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    DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2020 à 13:00

    Calcul du volume d’un solide de révolution

    1 Présentation d’une méthode de calcul


    Une méthode pour déterminer le volume d’un solide, consiste à découper celui-
    ci par des plans parallèles. On intègre ensuite les aires des surfaces obtenues par
    ce découpage suivant l’axe normal à ces plans.
    Solide de révolution : solide engendrée par z
    une surface de révolution
    Surface de révolution : surface engendrée par b
    une courbe (directrice) tournant autour
    d’un axe. S(z)
    r (z)
    Si l’axe (Oz) est l’axe de révolution, le volume V
    • dz
    du solide de révolution est égal à :
    Z b Z b
    V= S(z) dz = π r2 (z) dz a
    a a

    2 Volume d’une sphère


    On découpe la sphère avec des plan perpendiculaires à l’axe (Oz). Les surfaces
    obtenues sont des disques de rayon r (z) d’aire : S(z) = π r2 (z).

    Dans OMN rectangle en N, d’après le théorème de R


    Pythagore : r2 (z) = R2 − z2 .
    On obtient alors le volume de la sphère : r (z)
    Z R Z R N• •M
    symétrie 2 2
    V= S(z)dz = 2 π ( R − z )dz O• R
    −R 0
    
    z 3 R R3
     
    4
    2 3
    = 2π R z − = 2π R − = πR3
    3 0 3 3

    −R
    3 Volume d’un cône
    On découpe le cône d’axe (Oz) avec des plans perpendiculaires à l’axe (Oz). Les
    surfaces obtenues sont alors des disques de rayon r (z).
    Dans OBB’ les droites (AA’) et (BB’) sont paral-
    lèles, d’après le théorème de Thalès :
    OA AA’ z r (z) Rz R B’
    B• •
    = ⇔ = ⇔ r (z) =
    OB BB’ h R h
    On obtient ainsi le volume du cône :
    r (z)
    A• • A’
    R2 z2 πR2
    Z h Z h Z h
    2 2 h
    V= π r (z) dz = π dz = z dz
    0 0 h2 h2 0

    πR2 z
     3 h πR2
     3
    h 1
    = 2 = 2 = πR2 h •
    h 3 0 h 3 3 O

    PAUL MILAN 1 TERMINALE MATHS SPÉ

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