TD2 Algèbre MENSA
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Africaines (ISSEA, ENSEA & ENSAE) et Démographiques (IFORD A & B).
S A
ISE Maths & IFORD B
E N
TD No 2 d’Algèbre : Matrices - Réduction
* M
*
NB : C ette s éri e d' exer ci ces d oit êtr e intégr alem ent
y
faite p ar l étu di ant( e) d e p eur d' êtr e
expuls é( e)
e
aux
Exercice 1 7 4
d
0 0
ca
−12 −7 0 0
Soit A = Montrer que A
20 11 −6 −12
Soit f un endomorphisme nilpotent. Montrer que
A
−12 −6 6 11
f admet comme seule valeur propre 0. En déduire
est diagonalisable ; déterminer une matrice réduite
que si f est diagonalisable et nilpotent, alors f = 0.
diagonale et une matrice de passage.
Exercice 2
S A Exercice 4
EN
Soit Pf (X) = (−1)n X n + an−1 X n−1 + ... + a1 X +
a0 . Monter que a0 = det f et que
Soient f et g deux endomorphismes d’un espace
vectoriel de dimension finie. Montrer que f ◦g et g◦f
M
an−1 = (−1)n−1 T rf. ont les mêmes valeurs propres.
Diagonalisation simultanée
Exercice 3
Soient f et g deux endomorphismes diagonali-
1
sables. On suppose que f et g commutent. On note condition nécessaire et suffisante pour que M soit
λ1 , λ2 , ..., λp (resp :µ1 , µ2 , ..., µq ) les valeurs propres inversible.
de f(resp : de g) et F1 , F2 , ..., Fp les sous-espaces
propres correspondants (resp :G1 , G2 , ..., Gq ).
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Exercice 8
1 Montrer que chaque Gj est stable par f et
chaque Fi est stable par g. Soient A et B eux matrices dans Mn (R) diagona-
lisables.
2 On pose Hij = Fi ∩Gj (i = 1, ..., p; j = 1, ..., q).
Montrer que, pour i donné, Fi est somme di-
recte des Hij , j = 1, ..., q (qui ne sont pas ré-
1 Montrer l’existence de P
exp A = P (A)
S A
∈ R[X] tel que
E N
2 On suppose que exp A = exp B. Montrer que
M
commune à f et à g (c’est-à-dire f et g sont dia-
gonalisables dans une même base) si et seulement
*
Exercice 9
si f et g commutent.. En particulier : La somme
de deux endomorphismes diagonalisables qui com-
mutent est un endomorphisme diagonalisable. *
Soit A ∈ Mn (C) . Déterminer l’ensemble des po-
y
lynômes complexes P tels que P (A) est nilpotente.
Exercice 6
em Exercice 10
ca
1 Pour chacune des matrices ci-dessous, donner
lynôme en M
une matrice réduite triangulaire en précisant la
matrice de passage :
3 −1 1
A1 = 2 0 1, A2 = −1 0 1
A
3 2 −2
Exercice 11
1 −1 2
S
13 −5 −2
et A3 = −2 7 −8
A
1 1 0 Soient A et B ∈ Mn (C) telles que AB = 0.
EN −5 4 7
M
rieures.
Exercice 7 Exercice 12
Donner les valeurs propres et les sous-espaces Soit E un espace vectoriel de diension finie non
propres de la matrice réelle M dont les éléments dia- nulle. Soient u et v des endomorphismes de E ; on
gonaux valent a et les autres valent b. Donner une pose [u, v] := u ◦ v − v ◦ u.
2
1 On suppose [u, v] = 0. Montrer que u et v sont domorphisme f de E défini par
cotrigonalisables. Indication de la rédaction : on
n
pourra commencer par montrer que u et v pos- ∀i ∈ {1, 2, ..., n−1}, f (ei ) = ei+1 et f (en ) =
X
a k ek
sèdent un vecteur propre en commun. i=1
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A
nulateur de f .
3 On suppose l’existence de complexes a et b tels
que [u, v] = au + bv. Montrer que u et v sont
3 Déterminer le polynôme minimal de f et le po-
lynôme caractéristique de f .
S
N
cotrigonalisables.
4 A quelle condition f est-il diagonalisable ?
E
M
Exercice 13
Exercice 16
A
Monter que M est diagonalisable.
sables. Montrer que φ est diagonalisable. La ré-
ciproque est-elle vraie ?
Exercice 14 S A Exercice 18
EN
Montrer que A et B, deux matrices réelles car-
rées d’ordre n diagonalisables, ayant même spectre
1 Montrer que AB et BA ont les mêmes valeurs
propres non nulles.
M
et telles que pour tout k ∈ N tr(Ak ) = tr(B k ) sont 2 Soit λ une valeur propre non nulle de AB.
semblables. Montrer que les sous-espaces propres pour AB
et pour BA associés à λ ont la même dimen-
sion.
Exercice 15
3
0 0 3t2 1 Montrer que la matrice AB − BA n’a que des
On note , pour t ∈]0, +∞[ : A(t) = 1 0 0 . valeurs propres imaginaires pures.
A
α β α (I − M )(I + M )−1 .
Soit la matrice M = β
0
α
0
β
1
S
1 Etudier la diagonalisation de M selon les va-
leurs de α et β.
2 On suppose α = 1 et β = 0. Calculer, pour tout
Exercice 23
* M
B = (bij ) deux matrices carrées d’ordre n i.e
n ∈ N, M n et (M + I)n , où I désigne la matrice
(Mn (K)) avec i = 1, ..., n lignes et j = 1, ..., p co-
6 1.
3 On suppose α > 0, β > 0, α+β = 1 , α−β =
tion des aij et des bij .
*
lonnes. Toute réponse devrait être donnée en fonc-
y
Calculer M n pour tout n.
1 A et B sont des matrices symétriques
Exercice 21
ca
Soit A = 1 −1 1 5 A et B sont des matrices inversibles
A
1 Trouver un polynôme P de degré 2 ayant deux rieures
racines réelles distinctes tel que P (A) = 0. 7 A et B sont des matrices triangulaires supé-
A
2 Calculer le reste de la division euclidienne de rieures
X n par P (X), où n est un entier naturel stric-
S
tement supérieur à 2.
8 A et B sont des matrices semblables
9 Calculer A + B, A × B. A-t-on toujours
EN
3 Pour n entier positif non nul, calculer An et ré-
soudrele système
xn
: Un+1 = AUn, où
Un = yn la condition U0 = −1
1
A × B = B × A?
10 Calculer la trace de A et de B notée : trace(A)
et trace(B).
M
4
3 2 −1 5 Le produit d’une matrice par une matrice nulle
Soit : A = 1 −1 1 est nul
A
2x − 4y + 5z = −3
Exercice 27
6 −2
S
2
Exercice 25
E2 0 7
1 Déterminer les valeurs propres de A. A est-elle
Soit A une matrice carrée réelle.
d
seulement si ses valeurs propres sont positives
ca
ou nuls ;
Exercice 28
4 Montrer que A est symétrique définie néga-
tive si et seulement si ses valeurs propres sont Soit A une matrice symétrique réelle.
A
toutes strictement négatives.
1 Montrer que A est négative si et seulement si
il existe une matrice carrée réelle P telle que
Exercice 26
S A A = −P 0 P où P 0 est la transposée de P .
2 Montrer que A est définie négative si et seule-
ment si il existe une matrice carrée réelle régu-
EN
(IFORD 2016) Les propositions suivantes sont-
elles vraies ou fausses ?
lière P telle que A = −P 0 P où P 0 est la trans-
posée de P .
6 −2 2
M 1 Une colonne d’une matrice Mn,p (R) est un vec- 3 Pour A = − 13 −2 5 0. Déterminer P .
teur de Rp 2 0 7
2 Une ligne d’une matrice Mn,p (R) est un vec- 4 On considère R4 muni du produit scalaire
teur de Rp usuel. On considère le sous espace vectoriel F
3 Une matrice non nulle n’a pas de coefficient x + y = 0
défini par les équations :
nul z + t = 0
4 Toute matrice carrée admet un inverse (a) Déterminer une base orthonormée de F
5
(b) Déterminer la matrice de PF dans la base Exercice 31
canonique de R4
(c) Soit a = (x, y, z, t) un vecteur de R4 . Dé- (IFORD 2008) On considère la matrice suivante :
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terminer d(a, F )
a+b b+c c+a
M = a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2
a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3
Exercice 29
Sans le développer, mettre le déterminant de M
(IFORD 2015) Résoudre et discuter le système sous la forme de produit de facteurs puis calculer sa
d’équations suivant : valeur.
S A
ax + y + z + t = 1
x + ay + z + t = 1
Exercice 32
E N
M
x + y + az + t = 1
x + y + z + at = b (IFORD 2021) On souhaite déterminer la suite
**
de nombres réels un )n définie par :
u0 = 1, u1 = −1, u2 = 0 et un+3 = 2un +un+1 −2un+2
y
pour tout n. Pour cela, on pose :
m
Exercice 30
un 0 1 0
e Un = un+1 et A = 0 0 1
(IFORD 2014) Résoudre et discuter les systèmes
d
un+2 2 1 −2
d’équations ci-après :
ca
2 1 Calculer U0 , U1 et U2
x + αy + α z = 0
1 2 Montrer que Un+1 = AUn et en déduire que
ᾱx + y + αz = 0
A Un = An U0 pour tout n ∈ N.
2
ᾱ x + ᾱy + z = 0
3 On cherche donc à calculer An . Pour cela, on
A
x + y + z = m + 1 pose :
2
S
mx + y + (m − 1)z = m
x + my + z = 1
N
1 1 1
P = −2 −1 1
3, 21x + 0, 71y + 0, 34z = 6, 12
E
3 0, 43x + 4, 11y + 0, 22z = 5, 71 4 1 1
M
0, 17x + 0, 16y + 4, 73z = 7, 06
(a) Montrer que la matrice P est inversible et
calculer son inverse.
x + 2y + 3z + 4t = a
(b) Soit ∆ = P −1 AP . Montrer que ∆ est une
4x + y + 2z + 3t = b
4 matrice diagonale. Puis, calculer ∆n pour
3x + 4y + z + 2t = c
tout n.
2x + 3y + 4z + t = d
(c) Montrer que An = P ∆n P −1 pour tout n.
(d) En déduire la valeur de un pour tout n.
6
2 On suppose α = 1 et β = 0. Calculer, pour
tout n, M n et (M + I)n , où I désigne la matrice
Exercice 33 identité d’ordre 3.
3 On suppose α > 0, β > 0, α+β = 1 et α−β 6= 1.
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A
!
a 1−a Exercice 35
S
A=
1−a a
(IFORD 2015) On considère la matrice :
N
!
1 1
1 Vérifier que D = P −1 AP où P = est 1 1 11
E
−1 1
A = 1 1 1
une matrice diagonale
1 1 1
2 On note Y = P −1 XP .
(a) Montrer que l’équation (∗) équivaut à
* M
1 Calculer les valeurs propres de A
2 La matrice A est-elle diagonalisable ? Est-elle
Y 2 = D(∗∗)
x y
! inversible ?
*
y
(b) Soit maintenant : Y = 3 Déterminer le vecteur propre associé à chaque
z t
valeur propre.
m
i. Écrire le système d’équations équi- 4 Déduire de 1) et 3) une décomposition de la
e
valent à (∗∗) matrice A.
ii. Montrer qu’aucune solution de (∗∗)
d
5 Calculer An pour n > 1
ne vérifie x + t = 0
ca
iii. Résoudre ce système et donner toutes
les solutions de (∗∗) (on discutera
A
suivant les valeurs de a)
3 En déduire que (∗) admet respectivement 0, 2
Exercice 36
!
A
ou 4 suivant que : a < 1/2, 1/2 < a ou a = 1/2. 0 1
(IFORD 2014) Soit la matrice : B =
−1 0
EN
Exercice 34
2 On considère la suite
Ap =
1 a
p
− ap 1
! de matrices :
. Donner la limite de Ap
M
lorsque p tend vers l’infini.
(ISEMaths 2019)
Soit la matrice :
α β α
M = β α β où α et β sont des paramètres
0 0 1 Exercice 37
réels.
1 Étudier la diagonalisation de M selon les va- (IFORD 2018) Résoudre le système suivant où a
leurs de α et β est un paramètre réel :
7
x1 − x2 = a 1 Si M est diagonalisable et A = M 2 , montrer
que A est diagonalisable.
x2 − x3 = 2a
x3 − x4 = 3a 2 On suppose maintenant que A est diagonali-
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A
x + x + ... + x
n−1 + xn = na Exercice 40
S
1 2
N
(ISE
Maths2021) Soit la matrice :
a b b
A = b a b
E
Exercice 38 b b a
3
1 Soit M : (a, b, c) ∈ C 7−→ M (a, b, c) = M
1 Étudier la diagonalisation de A (on précisera
*
les valeurs propres et les sous espaces propres
*
a 3c 3b associés)
b a 3c. Montrer que M est un isomor-
y
2 On suppose que a 6= 0, b 6= 0. Calculer An pour
c b a n∈N
phisme d’espaces vectoriels entre C et
E = M (a, b, c)/(a, b, c) ∈ C3 et déterminer
une base de E.
em 3 Déterminer, dans la base canonique de R3 ,
la matrice de la projection orthogonale sur le
d
sous espace vectoriel d’équation : x+y +z = 0.
0 0 3
ca
2 Soit la matrice U = 1 0 0, calculer U n
4 Déterminer, dans la base de R3 , la matrice de la
0 1 0 symétrie orthogonale par rapport au sous es-
pour tout n. pace vectoriel d’équation : x + y + z = 0.
A
3 Calculer M (a, b, c)M (a, jb, j 2 c)M (a, j 2 b, jc) où
j = exp(2π/3)
M (a, b, c).
S A
4 Déterminer, quand il existe, l’inverse de
Exercice 41
EN
5 Déterminer les valeurs propres de M (a, b, c). A (IFORD 2017) Soit E un espace vectoriel et u un
quelle condition ces valeurs propres sont-elles endomorphisme de E. On dit qu’un polynôme P
distinctes ? est un polynôme annulateur de u si P (u) = 0. On
M
définit de même la notion de polynôme annulateur
d’une matrice carrée.
Exercice 39
−1 8 −2
A= 0 4 0
(IFORD 2017) Soient M et A ∈ Mn (C)(n > 2). 3 4 4
On appelle φ et f les endomorphismes canonique-
ment associés à M et A.
8
Exercice 42 5 Montrer que la matrice de passage P de la
base canonique à la base b. Calculer son inverse
(ISE Maths 2022) On note E l’espace vectoriel P −1 .
des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels,
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A
8 Soit n un entier naturel. Déduire de ce qui pré-
cède la matrice An .
S
2 Montrer que E est la somme directe de S et A
3 Soit M ∈ A, étudier la diagonalisation de M 9 Qu’observe-t-on dans le cas où a + b = 1 ?
dans R et dans C.
2 . Déter-
tion de n, u0 , v0
E N
10 Donner les expressions de un et de vn en fonc-
M
2 −2 0
12 Que peut-on dire dans le cas où a + b = 1 ?
miner une base de vecteurs propres complexes
de M . Indiquer comment calculer M n pour n
entier supérieur à 1 (le calcul explicite n’est pas
demandé). * *
y
Exercice 44
Exercice 43
em (IFORD 2012) Dans l’espace vectoriel R3 muni
de la base canonique b = (e1 , e2 , e3 ) on considère
ca
b est :
(IFORD 2013) Soient a et b deux réels apparte-
nant à l’intervalle ]0, 1[. On considère deux suites
A
réelles (un ) et (vn ) définies par leurs premiers termes 2 1 0
u0 , v0 et la relation de récurrence mutuelle : M = −3 −1 1
1 0 −1
A
n+1 = (1 − a)un + avn
u
S
∀n ∈ N, 1 Calculer M 2 et vérifier que M 3 = 0
vn+1 = bvn + (1 − b)vn
2 Calculer (I − M )(I + M + M 2 ) et en déduire
N
1 Montrer que cette relation peut s’écrire sous la
E
forme matricielle : Xn+1 = AXn où
0
Xn = (un , vn ) et A une matrice de M2 (R) que
que I −M est inversible et préciser son inverse.
3 Quelle est la dimension du noyau de u ?
4 Quel est le rang de u ?
M l’on déterminera.
2 Exprimer Xn en fonction de X0 .
3 Soit f l’endomorphisme de R2 représenté dans
5 Montrer que ∀x 6= keru2 , les trois vecteurs
(x, u(x), u2 (x)) forment une base de R2 et en
déduire que la famille (x, −u(x), u2 (x)) est une
la base canonique par la matrice A. Déterminer famille libre. On pose e01 = u2 (e3 ), e02 = u(e3 ),
Ker(f − IdR ) ; en donner une base (e2 ). e03 = e3
4 Montrer que la famille b = (e1 , e2 ) est une base 6 Montrer que la famille b0 = (e01 , e02 , e03 ) est une
de R2 . base de R3
9
7 Donner la matrice P de passage de b à b0 .
8 Calculer P 2 et en déduire P −1
9 Donner la matrice M 0 de u dans la base b0 . Exercice 47
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(IFORD
2008) On considère
la matrice :
1 2 3 ··· n
2 2 3 · · · · · ·
Exercice 45 A = .. .. .. . . Où n désigne un entier
..
1
Soit A = 1
1
1
0
1
. . .
n n n ··· ···
. .
S A
supérieur ou égal à 3 et les vecteurs de C n ou de Rn
N
0 −1 1 sont identités à des matrices colonnes à n lignes.
1 Calculer A3 − 3A2 + 3A − I
2 En déduire que A est inversible et déterminer
E
1 Démontrer que les valeurs propres de A sont
réelles et que A est diagonalisable.
son inverse.
M
2 Écrire le système (1) des équations qui exprime
*
que le vecteur X est vecteur propre de A asso-
*
cié à la valeur propre λ.
3 Établir que ce système (1) est équivalent à un
Exercice 46
y
système (2) dans lequel la première équation
E1 relie x1 et x2 l’équation Fp , pour p variant
(ISE Maths 2022) On considère l’espace vectoriel
R4 rapporté à la base canonique. Soit f l’endomor-
phisme de R4 représenté par la matrice :
em de 2 à n − 1, relie xp et xp+1 et l’équation Gn
relie xn−1 et xn .
0 1 1 1
ca
1 0 2 0 de A et déterminer la dimension de chacun des
M =
1 2 4 2
sous-espaces propre. Combien cette matrice
A
1 0 2 0 possède-t-elle de valeurs propres distinctes ?
Justifier votre réponse.
1 Déterminer l’image de f .
A
2 Étudier la diagonalisation de f (on déter-
S
minera les valeurs propres et des vecteurs
propres pour la valeur propre double).
Exercice 48
EN
3 Soit q la forme quadratique sur R4 définie par :
q(x, y, z, t) = 4z 2 + 2xy + 2xz + 2xt + 4yz + 4zt.
Cette forme quadratique est-elle positive ?
Soit A = 0
1
0
1
1
0
0
1
1
10
3 Soit la matrice B = A − I. Calculer B n . En dé- (b) Donner une relation de même type pour
duire un autre mode de calcul de An . le polynôme caractéristique de w
(ISE Maths 2020) Soit la matrice : 3 On suppose toujours que u et v sont diagonali-
A = 13
1 1 −2 3
−1 2 −1 0
sables dans Rn tels que u ◦ v = v ◦ u
S A
(a) Montrer qu’il existe une matrice P inver-
sible telle que P −1 AP et P −1 BP soient
N
0 −3 3 −3
1 −2 1 0 diagonalisables.
M
KerA) et de l’image de A (notée ImA) −1 1 −7
4 Soit M = 41 −2 2 2
*
2 Quelle est la nature géométrique de l’endo-
*
morphisme associé à A ? −3 3 −5
m
désigne la matrice unité d’ordre 4. A B
est-elle diagonalisable ?
e
B A
(a) Calculer B n pour n ∈ N
d
(b) Quelle est la nature géométrique de l’en-
ca
domorphisme associé à B ?
Exercice 51
S A
(ISE Maths 2020) Soient u et v deux endomor-
Soit u l’application qui a un polynôme de R2 [X] as-
socie le polynôme de R[X] définie par :
2 0
phismes de Rn de matrices respectives A et B dans u(P ) = 2XP − X P . On appelle β = (1, X, X ) la
2
N
0
la base canonique de Rn . On considère l’endomor- base canonique de R2 [X] et β = (P1 , P2 , P3 )
E
phisme w de R2n dont la matrice dans !
M
B A
R2 [X].
1 Effectuer
! le produit matriciel
! : 3 Déterminer la matrice A de u dans la base ca-
I I A−B B nonique..
où I désigne la matrice
0 I B−A A
4 Montrer que β 0 est une base de R2 [X].
unité d’ordre n.
5 Déterminer la matrice D de u dans la base β 0 .
(a) Exprimer le déterminant detw en fonction
de det(u + w) et det(u − v)
11
Exercice 52
u(P ) = P + (1 − P )P 0 + 2P 00 . On appelle P1 = 1 − X,
Soit E = R2 [X]. On pose ∀P ∈ E,
P2 = 1 et P3 = 1 + 2X − X 2 .
f (P ) = (2X + 1)P − (X 2 − 1)P 2 .
1 Montrer que u est un endomorphisme de
1 Vérifier que f est un endomorphisme de E.
R2 [X].
2 Déterminer la matrice A de u dans la base ca-
nonique.
(1, X, X 2 ) A
2 Écrire la matrice de A de f par rapport à la base
S
N
3 Trouver les valeurs propres de f .
3 Déterminer la dimension de ker(u).
4 Déterminer les vecteurs propres de f .
4 Déterminer une base et la dimension de Im(u).
E
5 Calculer An pour tout entier naturel n.
* M
Exercice 53
Exercice 55
*
Soit C(R) l’espace vectoriel des fonctions conti-
nues de R vers R. Soient a et b les fonctions définies y
(IFORD 1997) Soit la matrice réelle :
par :
ex + e−x ex − e−x
em
0 a a2
A = a1 0 a
a(x) =
2
et b(x) =
2
d 1
a2
1
a 0
ca
On pose H = V ect(a, b) et où a est un paramètre réel non nul.
F = {f ∈ H/f (ln 2) = 0}
1 Montrer que A est inversible
1 Déterminer la dimension de H
A
2 Montrer que F est un sous-espace vectoriel de
2 Déterminer les valeurs propres et les vecteurs
propres de A
H.
S A
3 Quelle est la dimension de F ?
3 Diagonaliser la matrice A
4 Montrer que la matrice A est un zéro de sa
N
4 Soit φ : H −→ R2 définie pour f ∈ H par : propre équation caractéristique. Déduire A−1 .
φ(f ) = (f (− ln 2), f (ln 2)).
E
5 Calculer directement A−1 en utilisant la ma-
(a) Montrer que φ est une application linéaire trice diagonale obtenue à la question 2.
12