Rotation 3ème Mathématiques

Dans tous les exercices le plan est orienté.

Exercice 1
On considère un parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷 de sens direct.
⃗⃗⃗⃗̂
1) Construire le triangle 𝐼𝐴𝐷 rectangle et isocèle en 𝐼 tel que (𝐼𝐴 ⃗⃗⃗⃗ ) ≡ 𝜋 [2𝜋] et le triangle 𝐷𝐶𝐸 rectangle
, 𝐼𝐷 2

⃗⃗⃗⃗⃗̂
isocèle en 𝐷 tel que (𝐷𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ≡ 𝜋 [2𝜋].
, 𝐷𝐸
2
𝜋
2) Soit 𝑅 la rotation de centre 𝐼 et d’angle 2

a) Quelle est l’image de 𝐴 par 𝑅 ?

b) Montrer que 𝑅 (𝐵) = 𝐸.
3) Soit 𝐴′ le symétrique de 𝐴 par rapport à 𝐼.
a) Justifier que 𝐴′ = 𝑅(𝐷).
b) Montrer que 𝐴′𝐸 = 𝐵𝐷 et que les droites (𝐴′𝐸 ) et (𝐵𝐷) sont perpendiculaires.
Exercice 2
⃗⃗⃗⃗⃗̂
On considère un triangle 𝐴𝐵𝐶 tel que (𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ≡ 𝜋 [2𝜋] et 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶. On désigne par ζ le cercle circonscrit à
, 𝐴𝐶 3

ce triangle et par 𝑂 son centre.

1) Faire une figure.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗̂
2) Soit l’ensemble 𝐸 = {𝑀 ∈ 𝑃/ (𝑀𝐵 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝜋
𝑀𝐶 ) ≡ [2𝜋]}.
3

a) Vérifier que 𝐴 ∈ 𝐸 puis déterminer et construire l’ensemble 𝐸.

⃗⃗⃗⃗̂
b) Déterminer et construire le point 𝐼 du plan tel que 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 et (𝐼𝐵 , ⃗⃗⃗⃗
𝜋
𝐼𝐶 ) ≡ 3 [2𝜋].

3) Soit 𝑃 le point du segment [𝐴𝐶 ] tel que 𝐶𝑃 = 𝐴𝐵.

a) Montrer qu’il existe une unique rotation 𝑅 telle que 𝑅 (𝐴) = 𝑃 et 𝑅(𝐵) = 𝐶. Quel est son angle ?
b) Déterminer le centre de la rotation 𝑅.
4) Donner la nature du triangle 𝐼𝐴𝑃 et en déduire que 𝐴𝐶 = 𝐴𝐼 + 𝐴𝐵.
5) Soit 𝑀 un point variable de l’ensemble 𝐸 et 𝐺 le centre de gravité du triangle 𝑀𝐵𝐶. Déterminer et
construire l’ensemble décrit par le point 𝐺 lorsque 𝑀 décrit 𝐸.
Exercice 3
⃗⃗⃗⃗⃗̂
On considère un carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 tel que (𝐴𝐵 , ⃗⃗⃗⃗⃗
𝜋
𝐴𝐷) ≡ 2 [2𝜋]. Soit 𝑟 = 𝑅(𝐴 ,𝜋)
2

1) Préciser les images par 𝑟 des droites (𝐴𝐵) et (𝐵𝐶 ).

⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 ⃗⃗⃗⃗⃗
2) Soit le point 𝑃 tel que 𝐵𝑃 𝐵𝐶 . La droite (𝐴𝑃) coupe (𝐶𝐷) en 𝑄. La perpendiculaire à (𝐴𝑃) menée par 𝐴
3

coupe (𝐵𝐶) en 𝐾 et (𝐶𝐷) en 𝑆.

a) Préciser les images par r des droites (𝐴𝑃) et (𝐴𝐾)
b) Montrer que r (K )  Q et r (P)  S
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 c) Soient les points I et J milieux respectifs des segments [𝐾𝑃] et [𝑄𝑆].
Montrer que le triangle 𝐴𝐼𝐽 est rectangle isocèle.
3) Montrer que les droites (𝑃𝑆) et (𝑄𝐾) sont perpendiculaires.
Exercice 4
On considère un triangle 𝐴𝐵𝐶 de sens direct. 𝐵𝐴𝐵′ et 𝐴𝐶𝐶′ deux triangles rectangles et isocèles en 𝐴 et de sens
direct.
𝜋
1) En utilisant la rotation 𝑟1 de centre 𝐴 et d’angle montrer que : 𝐵𝐶′ = 𝐵′𝐶 et que (𝐵𝐶′) ⊥ (𝐵′𝐶 ).
2

2) a) Montrer qu’il existe une unique rotation 𝑟2 qui transforme 𝐵 en 𝐶 et 𝐶′ en 𝐵′.

b) Déterminer son angle 𝜃 et construire son centre 𝐽.
3) Soit 𝐸 = 𝐵 ∗ 𝐶′ et 𝐹 = 𝐶 ∗ 𝐵′.
a) Déterminer 𝑟1 (𝐹 ) et 𝑟2 (𝐸 ).
b) En déduire que 𝐴𝐹𝐽𝐸 est un carré.
Exercice 5
⃗⃗⃗⃗⃗̂
On considère un triangle 𝐴𝐵𝐶 rectangle et isocèle en 𝐴 tel que : (𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ≡ 𝜋 [2𝜋] on désigne par 𝐼 le milieu
, 𝐴𝐶 2

de [𝐵𝐶 ] et par ∆ la droite perpendiculaire à (𝐵𝐶) et passant par 𝐶 et on désigne par 𝐾 le point d’intersection de
∆ et (𝐴𝐵) et on désigne par 𝐽 le milieu [𝐾𝐶 ].
1) Faire un figure
𝜋
2) Soit 𝑅 la rotation de centre 𝐴 et d’angle 2

a) Déterminer : 𝑅(𝐵), 𝑅((𝐴𝐶 )) et 𝑅((𝐵𝐶 )).

b) Déduire 𝑅(𝐶) et 𝑅(𝐼).
3) On désigne par ζ le cercle circonscrit au triangle 𝐴𝐵𝐶.
Déterminer l’image ζ’ du cercle ζ par la rotation 𝑅 puis déterminer ζ ∩ ζ’.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗̂
4) Soit 𝑀 un point du plan tel que : (𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ≡ 5𝜋 [2𝜋].
, 𝑀𝐵 4

a) Déterminer l’ensemble des points 𝑀.

b) On pose : 𝑀′ = 𝑅(𝑀), déterminer l’ensemble des points 𝑀′ lorsque 𝑀 varie.
c) Montrer que (𝐵𝑀) ⊥ (𝐶𝑀′) et que 𝐼𝑀 = 𝐽𝑀′.
Exercice 6
⃗⃗⃗⃗⃗̂
On considère un parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷 de centre 𝑂 tel que 𝐴𝐵 ≠ 𝐴𝐷, (𝐴𝐵 , ⃗⃗⃗⃗⃗
𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗̂
𝐴𝐷 ) ≡ 3 [2𝜋] et (𝐷𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ≡
, 𝐷𝐵
𝜋
[2𝜋]. Soit 𝐸 le point du plan tel que 𝐶𝐸𝐷 est un triangle équilatéral direct.
2

1) a) Montrer qu’il existe une unique rotation 𝑅 telle que 𝑅(𝐴) = 𝐸 et 𝑅 (𝐵) = 𝐷.
b) Déterminer son angle 𝜃 et construire son centre 𝐼.
2) La droite (𝐸𝐶) coupe (𝐴𝐵) en 𝐹.
a) Montrer que 𝐷 ∈ [𝐴𝐸 ].
b) Montrer que le triangle 𝐴𝐹𝐸 est équilatéral direct.

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 c) Montrer que 𝑅(𝐹 ) = 𝐴.
d) En déduire que 𝐼 est le centre du cercle ζ circonscrit au triangle 𝐴𝐸𝐹.
𝜋
3) Soit 𝑅′ la rotation de centre 𝐶 et d’angle − 3

a) Déterminer 𝑅′(𝐷) et 𝑅′(𝐹).

b) En déduire que les droites (𝐹𝐷) et (𝐵𝐸) sont sécantes en un point 𝐽.
⃗⃗⃗⃗̂
c) Montrer que (𝐽𝐷 ⃗⃗⃗⃗ ) ≡ 2𝜋 [2𝜋].
, 𝐽𝐵 3

4) On désigne par ζ’ le cercle circonscrit au triangle 𝐴𝐵𝐷.

Montrer que le cercle ζ’ passe par 𝐼 et 𝐽.
Exercice 7
Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle équilatéral direct et soit 𝑂 son centre de gravité. Soient 𝑀 un point du segment [𝐴𝐵]\
{𝐴 , 𝐵} et 𝑁 un point du segment [𝐵𝐶 ] tel que 𝐴𝑀 = 𝐵𝑁.
1) a) Montrer qu’il existe une unique rotation 𝑅 qui transforme 𝐴 en 𝐵 et 𝑀 en 𝑁.
b) Préciser l’angle de 𝑅.
2) a) Montrer que le point 𝐶 est l’image de 𝐵 par 𝑅.
b) En déduire le centre de 𝑅.
3) Soit 𝑃 l’image de 𝑁 par 𝑅.
a) Montrer que 𝑃 ∈ [𝐴𝐶 ].
b) Montrer que le triangle 𝑀𝑁𝑃 est équilatéral de centre de gravité 𝑂.
4) Montrer que le cercle ζ circonscrit au triangle 𝑀𝐴𝑃 passe par 𝑂.
Exercice 8
⃗⃗⃗⃗⃗̂
On considère un carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 de centre 𝑂 tel que (𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ≡ 𝜋 [2𝜋].
, 𝐴𝐷 2
𝜋
Soit 𝑅 la rotation de centre 𝑂 et d’angle 2

1) a) Faire une figure

b) Montrer que 𝑅(𝐷) = 𝐴 et 𝑅(𝐶 ) = 𝐷
c) Déterminer la nature et les élément caractéristiques de 𝑅 о 𝑅.
d) En déduire que 𝑅(𝐴) = 𝐵.
2) Soit 𝑀 un point du segment [𝐴𝐷] distinct de 𝐴 et 𝐷. La perpendiculaire à la droite (𝑀𝐶 ) passant par 𝐷
coupe le segment [𝐴𝐵] en un point 𝑁.
a) Déterminer les images du segment [𝐴𝐷] et de la droite (𝑀𝐶 ) par la rotation 𝑅.
b) En déduire que 𝑅(𝑀 ) = 𝑁.
c) En déduire que 𝐶𝑀 = 𝐷𝑁 et que (𝐶𝑀) ⊥ (𝐷𝑁).
3) Soit ζ le cercle de centre 𝑂 et passant par 𝐴 ; la demi-droite [𝐶𝑀) recoupe le cercle ζ en 𝐸. Soit 𝐹 le point de
la demi-droite [𝐷𝑁) tel que 𝐷𝐹 = 𝐶𝐸.
a) Montrer que 𝑅 (𝐸 ) = 𝐹.
b) Déterminer l’image de ζ par 𝑅.
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 c) En déduire l’ensemble des points 𝐹 lorsque 𝑀 varie sur le segment [𝐴𝐷].
Exercice 9
⃗⃗⃗⃗⃗̂
On considère un triangle équilatéral 𝐴𝐵𝐶 tel que (𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ≡ 𝜋 [2𝜋]. Soit 𝐼 le milieu de [𝐵𝐶 ] et soit le point 𝐽
, 𝐴𝐶 3
tel que 𝐵 est le milieu de [𝐽𝐶 ].
𝜋 2𝜋
Soit la rotation 𝑅1 de centre 𝐴 et d’angle et la rotation 𝑅2 de centre 𝐵 et d’angle −
3 3

1) Faire une figure.

2) Soit 𝐴′ et 𝐵′ les images respectifs des points 𝐴 et 𝐵 par l’application 𝑅1 о 𝑅2 .

Montrer que 𝐼 est le milieu de [𝐴𝐴′] et que 𝐵 est le milieu de [𝐴𝐵′].
3) Soit 𝑀 un point du plan, on pose 𝑀1 = 𝑅1 (𝑀) 𝑀2 = 𝑅2 (𝑀).
En précisant la nature de 𝑅1 о 𝑅2 −1 . Montrer que pour tout point 𝑀 du plan, 𝐼 est le milieu [𝑀1 𝑀2 ].
4) Montrer que l’application 𝑅1 о 𝑅2 est une rotation dont on déterminera le centre et l’angle.
Exercice 10
Soit (𝑂, 𝑖 , 𝑗) un repère orthonormé du plan.
Soit 𝑓 l’application qui à tout point 𝑀(𝑥 , 𝑦) du plan associe le point 𝑀′(𝑥′ , 𝑦′) du plan tel que :

1 √3 √3 − 2
𝑥′ = 𝑥 − 𝑦+
2 2 2
√3 1 1 + 2√3
𝑦′ = 𝑥+ 𝑦+
{ 2 2 2
1) Montrer que 𝑓 est une isométrie du plan.
2) Montrer que le point Ω(𝑥 , 𝑦) est l’unique point invariant par 𝑓.
3) Soit les points 𝑀(𝑥 , 𝑦) et 𝑀′(𝑥′ , 𝑦′) tel que 𝑓(𝑀 ) = 𝑀′.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑑𝑒𝑡 (Ω𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Ω𝑀′
a) Exprimer en fonction de 𝑥 et 𝑦, Ω𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , Ω𝑀′

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , Ω𝑀′
b) En déduire la mesure principale de l’angle (Ω𝑀

c) Quelle est alors la nature de 𝑓.

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