Thermodynamique Appliqué
Thermodynamique Appliqué
Thermodynamique Appliqué
G. DEGREZ
Table des matières
1 Introduction 11
1.1 Objet et plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 La centrale thermique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 La machine frigorifique à compression de vapeur . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Concepts et définitions 15
2.1 Sysème thermodynamique et volume de contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Points de vue macroscopique et microscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Variables et états d’une substance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Transformations et cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Le volume massique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 La pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Egalité des températures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8 Le principe zéro de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.9 Les échelles de température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Travail et chaleur 29
4.1 Définition du concept de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Travail à la frontière mobile d’un système contenant du fluide . . . . . . . . . 30
4.3 Autres formes d’échange de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1
4.4 Remarques complémentaires sur le travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5 Définition du concept de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.6 Comparaison entre chaleur et travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2
7 L’entropie 64
7.1 L’inégalité de Clausius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.2 L’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.3 L’entropie d’une substance pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.4 Les variations d’entropie au cours de transformations réversibles . . . . . . . . 67
7.4.1 Le cycle de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.4.2 Le chauffage isobare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.5 Deux relations thermodynamiques importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.6 Transformations ouvertes irréversibles de systèmes fermés . . . . . . . . . . . . 70
7.7 Le travail non compensé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.8 Le principe de l’accroissement de l’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.9 L’entropie d’un solide ou d’un liquide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.10 L’entropie d’un gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.11 La transformation polytropique réversible d’un gaz parfait . . . . . . . . . . . 75
7.12 Le second principe de la thermodynamique pour les systèmes ouverts . . . . . 76
7.13 Les systèmes ouverts en régime permanent et les systèmes ouverts avec écoulement
uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.14 Les transformations réversibles des systèmes ouverts en régime permanent . . . 78
7.15 Principe d’accroissement de l’entropie pour un système ouvert . . . . . . . . . 79
7.16 Les rendements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.16.1 Rendements des transformations adiabatiques . . . . . . . . . . . . . . 81
7.16.2 Rendements des transformations avec échange de chaleur . . . . . . . . 86
8 Irréversibilité et exergie 87
8.1 Travail réversible et irréversibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1.1 Systèmes fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1.2 Systèmes ouverts en régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.1.3 Cas général : transformations instationnaires des systèmes ouverts . . . 90
8.2 Exergie et rendement exergétique des systèmes ouverts stationnaires . . . . . . 91
9 Cycles moteurs 94
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.2 Le cycle de Rankine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.3 Effet de la pression et de la température sur le cycle de Rankine . . . . . . . . 97
9.3.1 Effet de la pression de condenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.3.2 Effet de la surchauffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.3.3 Effet de la pression maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3
9.4 Le cycle à resurchauffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.5 Le cycle à soutirage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.6 Ecarts entre les cycles réels et les cycles idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.1 Pertes en tuyauterie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.2 Pertes dans la turbine et dans la pompe . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.3 Pertes dans le condenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.7 Les cycles théoriques à air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.8 Le cycle de Joule (Brayton) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.9 Le cycle de Joule à récupération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.10 Le cycle de Joule à compression et détente étagées, et récupération . . . . . . 106
9.11 Le cycle du turboréacteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.12 Le cycle d’Ericsson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.13 Le cycle de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.14 Le cycle d’Otto ou de Beau de Rochas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.15 Le cycle de Diesel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.16 Considérations additionnelles sur les cycles d’Otto et de Diesel . . . . . . . . . 113
9.16.1 Moteurs à quatre et à deux temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.16.2 Cycles mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.16.3 Moteurs suralimentés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4
11.4.2 Enthalpie et entropie dans le système T − p . . . . . . . . . . . . . . . 130
11.4.3 Relations concernant les chaleurs massiques . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.5 Coefficients de dilatation volumique et de compressibilité isotherme et adiabatique131
5
14 Ecoulements compressibles 154
14.1 Variables totales ou d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
14.2 Théorème de la résultante cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
14.3 L’écoulement (quasi-)unidimensionnel stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . 155
14.3.1 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
14.3.2 Théorème de la résultante cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
14.3.3 Premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
14.3.4 Second principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
14.4 La vitesse du son et le nombre de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
14.5 Equations des écoulements unidimensionnels de gaz parfaits en fonction du
nombre de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
14.6 Ecoulement unidimensionnel isentropique avec variation de section . . . . . . . 160
14.6.1 Effet de la variation de section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
14.6.2 Saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
14.6.3 Ecoulement de gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
14.6.4 Ecoulement dans une tuyère de forme donnée . . . . . . . . . . . . . . 164
14.7 Ecoulement unidimensionnel adiabatique avec frottement . . . . . . . . . . . . 164
14.7.1 Effet du frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
14.7.2 Equations de la ligne de Fanno pour les gaz parfaits . . . . . . . . . . . 166
14.8 Ecoulement unidimensionnel avec échange de chaleur . . . . . . . . . . . . . . 167
14.8.1 Effet de l’échange de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
14.8.2 Equations de la ligne de Rayleigh pour les gaz parfaits . . . . . . . . . 169
14.9 Ondes de choc normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
14.9.1 Intersections d’une ligne de Fanno et d’une ligne de Rayleigh . . . . . . 170
14.9.2 Conditions de saut : relations de Rankine-Hugoniot . . . . . . . . . . . 171
14.9.3 Relations de Rankine-Hugoniot pour les gaz parfaits . . . . . . . . . . . 172
14.9.4 Ecoulement avec choc dans une tuyère de Laval . . . . . . . . . . . . . 174
6
Table des figures
7
6.2 machine thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.3 machine thermique 2 : centrale thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.4 un système de réfrigération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.5 énoncé de Clausius et énoncé de Kelvin-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.6 Impossibilité des mouvements perpétuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.7 Transformation irréversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.8 Transformation réversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.9 La détente libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.10 Le cycle de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.11 dispositif cylindre/piston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.12 violation la proposition de Kelvin-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.13 cycles de Carnot moteurs entre 3 sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.14 thermomètre à gaz à volume constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.15 température thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8
9.6 Effet de la pression maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.7 Le cycle à resurchauffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.8 Le cycle à soutirage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.9 Le cycle à soutirage 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.10 Pertes en tuyauterie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.11 Pertes dans la turbine et dans la pompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.12 Le cycle de Joule (Brayton) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.13 dispositif cylindre/piston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.14 cycle de Joule 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.15 Le cycle de Joule à récupération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.16 Le cycle de Joule à compression et détente étagées, et récupération . . . . . . 106
9.17 Le cycle du turboréacteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.18 Le cycle d’Ericsson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.19 Le cycle de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.20 Transformation du cycle de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.21 Le cycle de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.22 Le cycle d’Otto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.23 Efficacité du cycle d’Otto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.24 Le cycle de Diesel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.25 Efficacité du cycle Diesel en fonction du rapport de compression pour différents
rapports de combustion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9
12.4 Transformations de l’air humide : Mélange adiabatique . . . . . . . . . . . . . 139
12.5 Transformations de l’air humide : Assèchement par refroidissement . . . . . . 139
12.6 Transformations de l’air humide : Saturation adiabatique . . . . . . . . . . . . 140
12.7 Le psychromètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
12.8 Le diagramme psychrométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
14.1 L’état d’arrêt isentropique se représente aisément sur un diagramme de Mollier 155
14.2 écoulement dans une canalisation droite de section variable A(x) . . . . . . . . 156
14.3 La vitesse du son et le nombre de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
14.4 Ecoulement unidimensionnel isentropique avec variation de section . . . . . . . 161
14.5 e nombre de Mach d’un écoulement subsonique augmente dans une tuyère
convergente et celui d’un écoulement supersonique dans une tuyère divergente 163
14.6 Ecoulement dans une tuyère de forme donnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
14.7 La ligne de Fanno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
14.8 La ligne de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
14.9 Intersections d’une ligne de Fanno et d’une ligne de Rayleigh . . . . . . . . . . 170
14.10Courbe de Hugoniot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
14.11Ecoulement avec choc dans une tuyère de Laval . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
14.12Ondes de choc obliques dans la tuyère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10
Chapitre 1
Introduction
11
Documentation
– Transparents
– G. J. Van Wylen, R. E. Sonntag, P. Desrochers
Thermodynamique appliquée
Editions du Renouveau Pédagogique, Montréal
ISBN 2-7613-0662-7
Disponible aux PUB au prix de 52 Euros.
– site web The Expert System for Thermodynamics (http ://www.ulb.ac.be/sma/testcenter)
Afin de nous familiariser avec le sujet, commençons par décrire brièvement quelques exemples
de dispositifs que l’on se propose d’analyser.
12
1.3 La machine frigorifique à compression de vapeur
1.4 Observations
Du bref examen des exemples précédents, on peut faire les observations suivantes :
– les installations décrites sont cycliques et font intervenir un agent actif (eau ou fluide fri-
gorigène) qui subit des transformations physiques (chauffage, évaporation, condensation,
compression ou détente) ; la nature de l’agent n’est pas modifiée ;
– ces transformations s’opèrent dans des composants de type divers, tels que
– des échangeurs de chaleur, où n’intervient que la forme thermique de l’énergie ;
– des machines réceptrices (pompes, compresseurs) ou motrices (turbines) où inter-
viennent les formes thermique et mécanique de l’énergie ;
– des vannes de détente, dans lesquelles n’intervient aucun échange d’énergie ;
– les composants de l’installation fonctionnent au contact d’éléments extérieurs (gaz brûlés,
eau de refroidissement, moteur d’entraı̂nement, alternateur) ;
13
– l’installation dans son ensemble est motrice, en ce sens que globalement, elle cède de
l’énergie mécanique au monde extérieur (centrale thermique) ou réceptrice où au contraire
elle reçoit globalement de l’énergie mécanique.
Outre les formes thermique et mécanique de l’énergie intervenant dans les exemples ci-
dessous, les formes chimique et électro-magnétique, voire nucléaire peuvent être mises en jeu.
Dans ce cours, c’est toutefois essentiellement aux formes thermique et mécanique que l’on
s’intéressera. Ce n’est qu’à l’occasion de l’étude des réactions de combustion que la forme
chimique de l’énergie sera considérée.
14
Chapitre 2
Concepts et définitions
Un système qui non seulement est imperméable à la matière, mais en outre n’échange ni
chaleur ni travail avec le milieu extérieur est dit isolé.
Lorsque la frontière d’un système (ou certaines portions de celle-ci) sont traversées par un
débit de masse, le système est dit ouvert. On donne aux portions de la frontière traversées par
un débit le nom de sections d’entrée et de sortie, selon que le sens du débit.
15
Fig. 2.2 – Frontière d’un système
16
L’état thermodynamique d’une substance se caractérise par certaines variables macrosco-
piques observables telles que la pression, la température, la masse volumique, que l’on appelle
variables d’état. Comme le nom l’indique, leur valeur ne dépend que de l’état de la substance,
et non du processus qui l’a amené dans cet état.
Les variables d’état se divisent en deux catégories : les variables intensives et les variables
extensives. Les variables intensives peuvent se définir en tout point d’un système (p, T ), alors
que les variables extensives ne sont définies que pour un système dans son entièreté (p. ex.
m, V ).
A chaque variable extensive, on peut faire correspondre une variable intensive massique
(par unité de masse), volumique (par unité de volume) ou encore molaire.
Un système uniforme, et dont les variables restent constantes dans le temps est en équilibre.
Toute variation des variables d’état en espace ou en temps implique donc un certain déséquilibre.
Cependant, dans énormément de situations, l’écart à l’équilibre est tellement faible qu’il peut
être négligé : c’est le concept d’équilibre thermodynamique local.
On se limitera dans ce cours à l’étude de systèmes à l’équilibre (local).
Si l’on retire le poids sur le piston, l’équilibre mécanique est rompu et le piston va se soulever
jusqu’à ce que l’équilibre soit rétabli. Il en résulte que les états intermédiaires entre l’état initial
et l’état final sont nécessairement hors d’équilibre.
Cependant, dans les nombreux cas où la transformation est suffisamment lente, on peut
admettre que les écarts entre les états intermédiaires et l’équilibre sont infinitésimaux. On dit
alors que les états intermédiaires sont en quasi-équilibre et que la transformation est quasi-
statique.
17
Si la transformation est trop rapide pour être considérée quasi-statique, alors la thermody-
namique classique est impuissante à décrire les états intermédiaires. Néanmoins, pour autant
que les états initial et final soient eux en équilibre, elle pourra quand même décrire certains
effets globaux.
Certaines transformations se caractérisent par le fait qu’une variable d’état reste constante.
On dénote cette caractéristiques par le préfixe «iso» : isotherme (température constante),
isobare (pression constante), isochore (masse volumique constante).
Lorsqu’au cours d’une transformation, un système retourne finalement à son état initial
après être passé par une succession d’états intermédiaires distincts, la transformation est ap-
pelée cycle. Ainsi, dans la centrale électrique considérée dans l’introduction, la vapeur d’eau
décrit un cycle.
Au contraire, si l’état final diffère de l’état initial, on parle de transformation ouverte.
Pour un système non-uniforme, le volume massique en un point P est défini par la relation
δV
v = lim (2.2)
δV →δV 0 δm
où δm est la masse contenue dans un volume δV autour du point P et δV 0 est le volume
minimal pour que le point de vue macroscopique reste valable.
Semblablement, on définit le volume molaire v̄ 1 par la relation
δV
v̄ = lim (2.3)
δV →δV 0 δn
où δn est le nombre de moles contenues dans δV .
La masse volumique, notée ρ est l’inverse du volume massique.
2.6 La pression
Considérons un point P situé sur la surface S d’un volume contenant un fluide. En raison
de l’agitation moléculaire (mouvement brownien), le fluide à l’intérieur du volume exerce une
force sur le milieu extérieur. Notons δ F~ la force exercée sur un élément de surface d’aire δA.
Dans un fluide au repos, cette force est normale à l’élément de surface, et La pression p du
fluide est alors définie par la relation
δF
p = lim (2.4)
δA→δA0 δA
1
On identifie les grandeurs molaires en les surmontant d’un tiret.
18
où δF est le module de la force δ F~ , et δA0 est la plus petite aire pour laquelle le point de vue
macroscopique reste valable.
Dans un fluide visqueux en mouvement, la force de surface cesse d’être purement normale
(voir cours de Mécanique des milieux continus). Pour les applications traitées dans ce cours,
on pourra négliger les effets de viscosité, et considérer le fluide comme parfait, c’est-à-dire non
visqueux. Dans ces conditions, la définition (2.4) reste valable.
En thermodynamique, la pression qu’il faut considérer est la pression absolue (par rap-
port au vide). Cependant, la plupart des jauges de pression (manomètres, capteurs) mesurent
une pression relative, par rapport à une pression de référence, généralement la pression at-
mosphérique. Il ne faut donc pas oublier d’ajouter cette pression de référence à la pression
indiquée par la jauge pour les calculs thermodynamiques.
19
en cent parties égales, que l’on appelle degré centigrade. L’échelle ainsi définie est purement
empirique puisqu’elle dépend du choix des points fixes et que l’interpolation entre les points
fixes dépend du thermomètre utilisé. Une échelle internationale pratique de température a été
définie de cette manière (voir Van Wylen et al., 2.11).
Outre de telles échelles empiriques, on verra qu’il est possible de définir, à partir des prin-
cipes de la thermodynamique, une échelle de température indépendante des propriétés d’un
thermomètre particulier. On donne à cette échelle absolue le nom d’échelle de température
thermodynamique.
20
Chapitre 3
21
On chauffe l’eau, sa température s’élève (sans changement de volume appréciable). Lorsque
la température atteint 99,6 °C, tout nouvel apport de chaleur entraı̂ne la vaporisation d’une
certaine quantité d’eau (b). Pendant cette transformation, la pression et la température restent
constantes, alors que le volume augmente considérablement. Lorsque tout le liquide a disparu,
tout nouvel apport de chaleur s’accompagne d’une augmentation de volume et de température
(c).
On appelle température de saturation la température à laquelle la vaporisation se produit
pour une pression donnée. Semblablement, cette même pression est appelée pression de satu-
ration pour la température donnée. Pression et température de saturation sont donc liées par
une relation fonctionnelle, que l’on appelle courbe de vaporisation.
– Lorsqu’une substance est à l’état liquide dans des conditions (p, T ) de saturation, on la
désigne sous le nom de liquide saturé.
– Une substance à l’état liquide à une température inférieure à la température de satura-
tion à la pression donnée (et par conséquent à une pression supérieure à la pression de
saturation à la température donnée) est appelée liquide refroidi ou comprimé.
– Lorsqu’une substance est à en partie sous forme liquide et en partie sous forme de vapeur
(mélange liquide/vapeur, cas (b)), on définit le titre en vapeur ou simplement titre comme
le rapport de la masse de vapeur à la masse totale x = mv /m.
On peut le considérer comme une variable intensive. Il n’est défini que lorsque la substance
est dans un état saturé.
– Lorsqu’une substance est à l’état de vapeur dans des conditions de saturation, on la
désigne sous le nom de vapeur saturée.
– Une substance à l’état de vapeur à une température supérieure à la température de
saturation est appelée vapeur surchauffée.
Portons à présent l’évolution de l’eau dans un diagramme température-volume
22
Fig. 3.3 – évolution de l’eau dans un diagramme température-volume
23
est appelé point triple car en ce point peuvent exister les trois phases (solide, liquide, vapeur)
en équilibre.
Ces divers processus sont clairement visualisés dans le diagramme p − T suivant (qui est
une extension du diagramme de vaporisation présenté précédemment)
Toutes les substances pures ont un comportement semblable, mais les conditions critiques
et les conditions au point triple varient grandement d’une substance à l’autre (voir Van Wylen
et al.).
Pour être complet, mentionnons qu’une substance pure peut exister sous plusieurs phases
solides (qui diffèrent par leur structure cristallographique). Un changement de phase d’une
phase solide à une autre est appelé transformation allotropique.
Il existe alors plusieurs points triples de coexistence de trois phases. Mais un seul correspond
à l’équilibre solide-liquide vapeur.
24
3.4 Equations d’état pour la phase vapeur d’une sub-
stance pure
Pour les vapeurs (gaz), on a constaté que, aux faibles masses volumiques, la relation entre
pression, température et volume molaire prenait la forme simple
pv = RT (3.2)
pV = nR̄T
(3.3)
pV = mRT
Comme on l’a mentionné, cette loi ne s’applique que pour les faibles masses volumiques
(on peut d’ailleurs l’obtenir théoriquement par la théorie cinétique des gaz en supposant les
forces intermoléculaires négligeables). On peut évaluer sa validité en fonction des conditions
de pression et température en définissant le facteur de compressibilité
pv̄
Z= (3.4)
R̄T
dont l’écart avec l’unité représente l’importance de la déviation entre le comportement réel et
la loi des gaz parfaits (3.1).
Examinons, à titre d’exemple, le diagramme de compressibilité de l’azote :
25
Observations :
– Quelle que soit T , Z → 1 lorsque p → 0. Pour les températures ambiantes et plus élevées,
Z ≈ 1 pour p ≤ 10 MPa.
– Pour une pression de 4 MPa (légèrement supérieure à la pression critique de l’azote, égale
à 3,39 MPa), Z diminue lorsque la température diminue. A ces densités, les molécules sont
assez proches pour que les forces d’attraction intermoléculaires prennent de l’importance.
Elles ont pour effet de rapprocher davantage les molécules, et donc d’augmenter la masse
volumique (par rapport au comportement de gaz parfait).
– Au contraire, aux très hautes pressions (p > 30 MPa), on constate une masse volumique
inférieure à celle donnée par la loi des gaz. C’est dé au fait que les distances inter-
moléculaires sont tellement faibles que les forces intermoléculaires deviennent répulsives.
Le comportement des autres gaz est semblable à celui de l’azote. En réalité, on constate
que si on porte le diagramme en pressions et températures réduites (en divisant pressions et
températures par leur valeur au point critique), les diagrammes de bon nombre de gaz sont
quasiment confondus. Ceci conduit à définir un diagramme de compressibilité généralisé valable
pour tous les gaz.
Plutôt que de représenter le comportement des gaz réels par le diagramme de compressibi-
lité, on peut (tenter de) le décrire par une équation d’état. Plusieurs ont été proposées. Citons,
à titre d’exemple
Equation de Van der Waals
a
(p + 2 )(v − b) = RT
v
Equation du viriel
B(T ) C(T )
Z =1+ +
v v2
Equation de Redlich-Kwong
RT a
p= −√
v−b T v(v + b)
26
– une table de propriétés d’un mélange saturé en fonction de la pression, qui inclut la
pression de saturation correspondante et les propriétés des deux phases ;
– une table de propriétés de la vapeur surchauffée (en fonction de p et T ) ;
– une table de propriétés du liquide comprimé.
Ces deux dernières tables sont parfois combinées en une seule. Il s’y ajoute parfois une table
du mélange saturé solide/vapeur (courbe de sublimation).
Pour un état saturé (mélange liquide/vapeur), le volume massique du mélange s’obtient en
remarquant que le volume du mélange est la somme des volumes de chaque phase. On a donc
V = mv = Vl + Vg = ml vl + mg vg
Fig. 3.6 – diverses courbes isothermes sur chaque surface, ainsi que dans un diagramme p, v
27
On a représenté diverses courbes isothermes sur chaque surface, ainsi que dans un dia-
gramme p, v.
On peut remarquer que, pour une substance qui se dilate en se solidifiant telle que l’eau,
la température de fusion diminue avec la pression. En augmentant la pression à température
constante (inférieure à la température du point triple), elle commence donc par devenir solide,
et puis liquide.
Au contraire, pour une substance qui se contracte en se solidifiant, en suivant une isotherme
(de température supérieure à la température du point triple), elle devient d’abord liquide, puis
solide lorsqu’on augmente la pression.
28
Chapitre 4
Travail et chaleur
On présente dans ce chapitre les concepts de travail et de chaleur, qui sont centraux pour
l’analyse des problèmes thermodynamiques.
Remarques
– Il n’est pas du tout nécessaire que le système déplace effectivement un poids, simplement
que son action soit équivalente au déplacement d’un poids.
– Contrairement à Van Wylen et al., on adoptera la convention traditionnelle en Europe
de compter comme positif le travail reçu par un système. Pour désigner le travail fourni
par un système (qui est l’effet utile d’un système moteur), on utilisera la notation W ∗
(W ∗ = −W ).
29
Illustrations
30
Soit le système constitué du gaz contenu dans le dispositif cylindre/piston ci-dessous.
Imaginons qu’un poids infinitésimal soit retiré du piston. Il va dès lors se soulever d’une
distance dL. Comme la force exercée par le gaz sur le piston vaut F = pA, le travail fourni par
le système au cours de ce déplacement vaut
Le travail effectué au cours d’une transformation quasi-statique sera alors obtenu en intégrant
la relation précédente. Il faut, pour ce faire, connaı̂tre l’évolution de la pression en fonction du
volume au cours de la transformation.
Supposons que l’on connaisse la courbe de compression, représentée dans un diagramme
p − V , pour la compression schématisée ci-dessous.
31
– Comme la compression de 1 à 2 peut se faire de multiples manières différentes, et puisque
l’aire sous la courbe dépend de la courbe de compression suivie, on en déduit que le travail
dépend non seulement des états initial et final, mais aussi du chemin parcouru entre ces
états.
Au contraire, la variation de volume entre 1 et 2 est indépendante du chemin parcouru.
Mathématiquement, cela correspond au fait que dV est une différentielle exacte, alors
que δW = −pdV ne l’est pas. Thermodynamiquement, cela correspond au fait que le
volume est une variable d’état, alors que le travail ne l’est pas.
Fig. 4.5 – rupture d’une membrane séparant un volume de gaz d’un volume évacué
32
Considérons d’abord le système formé du gaz et de l’espace vide. Puisque la frontière du
système ne se déplace pas lors de la transformation, on en déduit qu’aucun travail n’a été
échangé.
Par contre, si l’on considère le système formé par le gaz, une variation
R 2 de volume se produit,
et l’on serait tenté de calculer le travail par l’expression W = − 1 pdV . Mais il ne s’agit
pas d’une transformation quasi-statique, et donc l’expression ne s’applique pas. En réalité, la
variation de volume s’effectue sans résistance, et donc aucun travail n’est échangé.
Prenons un autre exemple, à savoir le système représenté ci-dessous.
33
échangée au cours d’une transformation infinitésimale n’est pas une différentielle exacte, de
sorte qu’on la note par le symbole δQ. La quantité de chaleur totale échangée s’exprime alors
par Z 2
1 Q2 = δQ
1
34
Chapitre 5
Le premier principe de la
thermodynamique
Ayant défini les concepts de travail et de chaleur, nous sommes maintenant en mesure de
présenter le premier principe de la thermodynamique, désigné encore sous le nom de principe
de conservation de l’énergie. On commencera par les transformations de systèmes fermés, puis
on l’étendra aux systèmes ouverts (volumes de contrôle).
35
Ce postulat est fondé sur l’observation expérimentale. La constante de proportionnalité J
dans l’expression dépend des unités utilisées pour exprimer travail et chaleur. Si l’on exprime
travail et chaleur dans la même unité, alors la constante vaut -1, de sorte que l’expression du
premier principe devient I
(δQ + δW ) = 0 (5.2)
On en déduit que, puisque les chemins B et C sont arbitraires, l’intégrale de (δQ + δW ) est
indépendante du chemin parcouru, et ne dépend que des états initial et final, et par conséquent
que (δQ + δW ) est une différentielle exacte.
On désigne par le symbole E la fonction (p. ex. de p et V ) dont la différentielle
dE = δQ + δW, (5.4)
et on lui donne le nom d’énergie du système. Par construction, il s’agit d’une variable d’état.
En intégrant de l’état initial 1 jusqu’à l’état final 2 (p. ex. en suivant le chemin A), on aura
donc
1 Q2 + 1 W2 = E2 − E1 (5.5)
36
1 Q2 et 1 W2 étant la chaleur et le travail reçus par le système au cours de la transformation.
Du point de vue physique, la variable E représente l’énergie totale du système. Cette énergie
peut se présenter sous diverses formes :
– énergie cinétique,
– énergie potentielle,
– énergie associée aux mouvements (de translation, de rotation, de vibration) des molécules,
– énergie associée au nuage électronique des molécules,
– énergie chimique,
– énergie électrique, p. ex. d’un condensateur chargé,
– ...
En thermodynamique, on a coutume de séparer les énergies cinétique et potentielle et de regrou-
per toutes les autres formes d’énergie du système en une seule variable appelée énergie interne,
notée U . La raison en est que les énergies cinétique et potentielle dépendent du référentiel choisi
et s’expriment directement en fonction de la masse, de la vitesse et des coordonnées dans ce
référentiel.
La différentielle de l’énergie du système peut alors s’exprimer comme suit
dE = dU + dEcin. + dEpot. (5.6)
de sorte qu’on obtient la forme différentielle du premier principe
δQ + δW = dU + dEcin. + dEpot. (5.7)
Les expressions de l’énergie cinétique et potentielle sont celles établies en mécanique ra-
tionnelle, ce que confirme l’analyse des deux cas suivants.
1. Soit un système subissant une force horizontale. Le travail infinitésimal effectué par cette
force sera δW = F dx. Mais, par la deuxième loi de Newton, F = m dc dt
, où c est la com-
posante de la vitesse dans la direction de la force. Comme seule varie l’énergie cinétique
au cours de cette transformation, on a
d mc2
2
dc dc mc
δW = m dx = mc dx = dx = d = dEcin.
dt dx dx 2 2
puisque dt = dx/c.
2. Soit un système en mouvement rectiligne uniforme dans la direction verticale. Au cours
du mouvement, seule varie l’énergie potentielle. Comme ce système est en mouvement
rectiligne uniforme, il s’y applique une force F qui équilibre son poids. Le travail de cette
force δW = F dz = mgdz = d(mgz), de sorte que
δW = F dz = mgd = d(mgz) = dEpot.
38
Bien qu’il ne soit pas toujours nécessaire de répondre systématiquement à toutes ces questions,
cette méthodologie peut s’avérer d’une grande aide lorsqu’on est confronté à un problème
nouveau ou qu’on est bloqué dans la résolution d’un problème. Plusieurs exemples sont donnés
dans le livre de Van Wylen et al. On aura l’occasion de la mettre en pratique aux exercices.
5.5 L’enthalpie
Considérons une transformation quasi-statique isobare d’un système fermé qui n’échange
du travail qu’à une frontière mobile.
Mais, s’agissant d’une transformation quasi-statique d’un système fermé à frontière mobile, le
travail est donné par Z 2
1 W2 = − pdV = −p(V2 − V1 )
1
puisque la pression est constante au cours de la transformation.
Par conséquent,
et donc, pour ce type particulier de transformation, la quantité de chaleur échangée est égale
à la variation de la grandeur U + pV . Puisque U, p et V sont des variables d’état, il en est de
même de l’expression U + pV .
Il s’avère donc commode de définir une nouvelle variable extensive, que l’on appelle l’en-
thalpie
H ≡ U + pV (5.10)
et sa correspondante intensive massique
h ≡ u + pv (5.11)
Avec cette définition, la quantité de chaleur échangée au cours d’une transformation quasi-
statique isobare d’un système fermé est égale à la variation d’enthalpie. Ce résultat n’est
évidemment valide que pour cette transformation particulière, parce que le travail est égal à
la variation du produit pV . Il ne l’est plus si la pression varie au cours de la transformation.
39
On verra que l’enthalpie a une signification dans d’autres cas également, en particulier pour
les systèmes ouverts stationnaires.
Il arrive fréquemment que les tables thermodynamiques fournissent les valeurs de l’enthalpie
mais pas celles de l’énergie interne. Mais, dans ce cas, on peut facilement obtenir l’énergie
interne par aplication de la définition de l’enthalpie
u = h − pv
Même si l’enthalpie n’a pas de signification physique pour les transformations de systèmes
fermés non isobares, cette relation entre variables d’état est valable en toutes circonstances.
Tout comme l’énergie interne, l’enthalpie est définie à une constante près, fixée arbitraire-
ment pour un état de référence. L’enthalpie et l’énergie interne à l’état de référence doivent
cependant être liées par la relation h = u + pv. A l’état liquide, le produit pv est souvent
négligeable et l’on a h ≈ u.
Dans la zone de saturation, l’enthalpie massique dépend du titre en vapeur de la même
manière que le volume massique et que l’énergie massique, à savoir
h = (1 − x)hl + xhg = hl + x(hg − hl )
40
puisque dv = 0. On en déduit que
∂u δq
cv = =
∂T v δT v
et l’on voit que la chaleur massique à volume constant est la quantité de chaleur échangée pour
une élévation unitaire de température au cours d’une transformation isochore.
Semblablement, l’expression de la chaleur massique à pression constante, dont la significa-
tion physique est la quantité de chaleur échangée pour une élévation unitaire de température au
cours d’une transformation isobare, sera, compte tenu du fait que pour une telle transformation,
la quantité de chaleur échangée est égale à la variation d’enthalpie (cfr section précédente)
δq ∂h
cp = = (5.13)
δT p ∂T p
Remarques
1. Comme les chaleurs massiques sont des variables d’état, elles sont indépendantes de la
transformation subie par le système. Ainsi, si l’on considère le système fermé à volume
constant auquel on fournit 100 kJ sous forme de chaleur, ou sous forme de travail,
Fig. 5.4 – le système fermé à volume constant auquel on fournit 100 kJ sous forme de chaleur,
ou sous forme de travail
la variation d’énergie interne est la même dans les deux cas, et par conséquent aussi celle
de température. Donc, la chaleur massique moyenne est identique dans les deux cas.
2. Les chaleurs massiques ainsi définies ne concernent que le travail de compression étudié
à la section 4.2. Pour les autres formes de travail, telles que celles mentionnées à la sec-
tion 4.3, on définit deux chaleur massiques, l’une correspondant à une transformation à
« déplacement »constant, et l’autre correspondant à une transformation à « force »constante.
3. Pour les solides et les liquides, le volume massique est très petit, de sorte que, comme on
l’a mentionné à la section précédente, dh = du + d(pv) ≈ du. Il en résulte que
cp ≈ cv (5.14)
h2 − h1 ≈ u2 − u1 = c(T2 − T1 ) (5.15)
41
5.7 L’énergie interne, l’enthalpie et les chaleurs mas-
siques des gaz parfaits
Tout comme on l’avait fait pour l’équation d’état liant p, v et T , nous allons maintenant
discuter la forme particulière de l’équation d’état liant l’énergie interne aux autres variables
thermodynamiques pour les substances pures en phase vapeur aux faibles masses volumiques.
Cette équation a été découverte grâce à l’expérience de Joule, illustrée ci-dessous.
Deux récipients connectés entre eux par un tuyau dans lequel est insérée une vanne sont
immergés dans un réservoir d’eau isolé. Le réservoir A est rempli d’un gaz à haute pression,
alors que le réservoir B a été évacué, et l’on attend que l’eau et les réservoirs soient en équilibre
thermique.
La vanne est ouverte et le gaz se répand du réservoir A dans le réservoir B jusqu’à ce que
les pressions s’égalisent.
– Comme on l’a déjà fait observer, cette transformation du système « gaz »s’effectue sans
échange de travail.
– Par ailleurs, Joule constate qu’au cours de la transformation, la température de l’eau ne
change pas, ce qui implique que la transformation s’est effectuée sans échange de chaleur.
Par application du premier principe, il en résulte que l’énergie interne du système « gaz »est
restée inchangée.
On en déduit que l’énergie interne d’un gaz ne dépend pas de la pression, mais uniquement
de la température :
u = f (T ) (5.16)
42
– La chaleur massique à pression constante
∂h dh
cp = = = cv + R (5.19)
∂T p dT
43
• Pour les gaz mono-
atomiques,
5
c̄p = R̄ = 20, 53 J/mol K
2
• Pour les gaz
diatomiques à
température am-
biante,
7
c̄p = R̄ = 28, 75 J/mol K
2
(sauf pour l’hy-
drogène).
• Pour les gaz poly-
atomiques,
7
c̄p > R̄
2
δQ + δW = dU + dEcin. + dEpot.
par l’intervalle de temps infinitésimal dt entre les deux états successifs, on obtient une équation
pour le taux de variation de l’énergie du système, à savoir
d δQ δW
(U + Ecin. + Epot. ) = + = Q̇ + Ẇ (5.20)
dt dt dt
44
où Q̇ et Ẇ sont respectivement le taux de transfert de chaleur et la puissance fournis au
systèmes.
Il faut remarquer que, ce faisant, on s’éloigne du point de vue strictement classique, puisque
selon ce point de vue, on ne considère que des systèmes en équilibre et que toute variation
dans le temps implique nécessairement un certain déséquilibre. Toutefois, si l’échelle de temps
de la transformation est beaucoup plus grand que celles des phénomènes de relaxation vers
l’équilibre, ce qui est très souvent le cas, cette approche est valable. C’est d’ailleurs l’approche
couramment utilisée en mécanique des fluides et en thermique (voir Phénomènes de transport)1 .
Remarques
45
Cette expression peut se développer à l’aide des règles de dérivation des intégrales de volume
sur volumes mobiles (vues en Mécanique des milieux continus).
Z Z I
d ∂ρ
ρ dV = dV + ρ~bF · ~n dS
dt VF VF ∂t SF
où ~bF est le vecteur vitesse de déplacement de la frontière du volume VF . Le système étant
fermé, cette vitesse doit être la vitesse de la matière ~bF = ~c.
On a donc Z I
dmF ∂ρ
= dV + ρ~c · ~n dS = 0 (5.21)
dt VF ∂t SF
Mais par ailleurs, la dérivée par rapport au temps de la masse contenue dans le système ouvert
O est donnée par Z Z I
dmO d ∂ρ
= ρ dV = dV + ρ~bO · ~n dS (5.22)
dt dt VO VO ∂t SO
où ~bO est le vecteur vitesse de déplacement de la frontière du système ouvert O. En combinant
ces deux expressions, compte tenu du fait qu’à l’instant initial, VF = VO = V et SF = SO = S,
on obtient I
dmF dmO
= + ρ(~c − ~bO ) · ~n dS = 0 (5.23)
dt dt S
Mais pour toute partie Σ de la surface S
I
ρ(~c − ~bO ) · ~n dS = ṁ (= qm )
Σ
est le débit traversant cette partie. On obtient donc finalement en désignant par l’indice s les
parties de S traversées par un débit sortant et par l’indice e les parties traversées par un débit
entrant
dmO X X
+ ṁs − ṁe = 0 (5.24)
dt
Cette équation est communément appelée équation de continuité.
Dans le cas particulier d’un système en régime permanent, cette équation se réduit à
X X
ṁs − ṁe = 0 (5.25)
d
(U + Ecin. + Epot. ) = Q̇F + ẆF
dt
au système fermé F considéré à la section précédente.
46
Tout d’abord, développons l’expression du membre de gauche en appliquant les règles de
dérivation des intégrales de volume :
c2
Z
d d
(U + Ecin. + Epot. )F = ρ u + + gz dV =
dt dt VF 2
2
c2
Z I
∂ c
ρ u + + gz dV + ρ u + + gz ~c · ~n dS
VF ∂t 2 SF 2
47
puisque Q̇F = Q̇O , ce qui est l’expression cherchée du premier principe pour les systèmes
ouverts.
L’expression finale est donc
c2 c2
d X X
(U + Ecin. + Epot. )O + ṁs h + + gz − ṁe h + + gz = Q̇ + Ẇ (5.26)
dt 2 s 2 e
Remarquons que, du fait que les sections d’entrée et de sortie sont fixes, comme toutes
les autres parties de la frontière du système, aucun travail de pression n’est effectué sur ces
sections.
Dans le cas particulier d’une seule entrée et d’une seule sortie, ces expressions se simplifient
en
48
En divisant cette dernière expression par le débit ṁ, on obtient
c2 c2
h + + gz − h + + gz = q + w (5.33)
2 s 2 e
Q̇ Ẇ
q= ; w= (5.34)
ṁ ṁ
On emploie souvent ce modèle pour l’analyse des machines volumétriques telles que les
compresseurs ou moteurs volumétriques. Or, pour ces systèmes, le débit est variable, de même
que chaleur et travail échangés. On se place dans les conditions d’application du modèle en
considérant des valeurs moyennes pour un nombre entier de cycles mécaniques.
Le système est supposé en régime permanent et ne reçoit aucun travail. De plus, ses dimen-
sions sont tellement faibles qu’on peut raisonnablement supposer que le transfert de chaleur
est négligeable. Négligeant également l’énergie potentielle, on a alors
c2e c2
he + = hs + s
2 2
he ≈ hs
49
5.13 Systèmes uniformes avec écoulement uniforme
On considère ici un autre modèle simplifié qui s’applique à certaines transformations non
permanentes de systèmes ouverts. Les hypothèses simplificatrices sont les suivantes :
1. la frontière du sytème est immobile ;
2. les propriétés de la matière dans le système peuvent varier dans le temps mais sont
supposées uniformes dans tout le système, ou du moins dans des parties identifiables du
système dont le système est l’union ;
3. les propriétés dans les sections d’entrée et de sortie sont constantes dans le temps, mais
les débits peuvent varier.
Dans ces conditions, les équations générales applicables aux systèmes fermés établies précédemment
deviennent
dmO X X
+ ṁs − ṁe = 0 (5.36)
dt
c2 c2 c2
d X X
m u + + gz + ṁs h + + gz − ṁe h + + gz = Q̇ + Ẇ
dt 2 2 2
| {z } O s e
U +Ecin. +Epot.
(5.37)
En intégrant ces expressions dans le temps entre un état initial 1 et un état final 2, on obtient
X X
m2 − m1 + ms − me = 0 (5.38)
2 2 2
X
c c c
m2 u2 + 2 + gz2 − m1 u1 + 1 + gz1 + ms hs + s + gzs
2 2 2
2
X c
− me he + e + gze = QO + WO (5.39)
2
où ms et me sont respectivement la masse totale ayant traversé les sections d’entrée et de
sortie, et QO et WO les chaleur et travail reçus par le système au cours de la transformation.
50
Chapitre 6
Le second principe de la
thermodynamique
51
échange de chaleur, suivie d’un refroidissement par transfert de chaleur vers le milieu extérieur
jusqu’au retour à l’état initial.
Nous savons d’expérience que le cycle inverse est impossible, ou en d’autres termes que si
nous fournissons d’abord de la chaleur, il ne reviendra pas à l’état initial en faisant tourner
l’agitateur, mais simplement en cédant la même quantité de chaleur au milieu extérieur.
De même, comme nous l’avons mentionné en introduction de ce chapitre, si, dans une
première étape, un corps froid reçoit une certaine quantité de chaleur d’un corps chaud, il est
impossible de le faire revenir dans son état initial par simple transfert de chaleur vers le corps
chaud, c’est à dire de lui faire subir un cycle complet par simple échange de chaleur.
Ceci nous conduit à introduire les notions de machine thermique et de cycle moteur d’une
part, de réfrigérateur ou pompe à chaleur encore appelée thermopompe et de cycle récepteur
d’autre part.
La machine thermique est un système décrivant un cycle moteur, c.-à-d. recevant un travail
net négatif (fournissant du travail au milieu extérieur) et une quantité de chaleur nette positive
résultant d’un échange de chaleur provenant d’un corps chaud, et d’un autre échange de chaleur
vers un corps froid1 .
Un réfrigérateur ou une thermopompe au contraire est un système décrivant un cycle, qui
reçoit de la chaleur d’un corps froid et en cède à un corps chaud. Ce processus exige que
le système reçoive un travail net positif, et par conséquent que la quantité de chaleur nette
échangée soit négative.
Illustrons ces définitions par quelques exemples.
On considère d’abord la machine thermique élémentaire représentée ci-dessous, consistant
en un cylindre fermé par un piston libre de se déplacer entre deux butées.
1
On emploie souvent l’expression « machine thermique »dans un sens plus large pour désigner tout dispositif
qui produit du travail par l’entremise d’un échange de chaleur ou d’une combustion, même si le système
correspondant ne décrit pas un cycle, p. ex. les machines volumétriques à combustion interne et les turbines à
gaz.
52
Les phases de la transformation sont les suivantes :
1. On commence par déposer une masse sur le piston, qui repose initialement sur la butée
inférieure ;
2. on chauffe le fluide contenu dans le cylindre par échange de chaleur avec un corps chaud
jusqu’à ce que le piston touche la butée supérieure ;
3. on retire alors la masse du piston ;
4. on laisse refroidir le fluide par échange de chaleur avec un corps froid jusqu’à ce qu’il
retourne à son état initial.
Du fait que la masse a été soulevée lors de la transformation, il s’agit clairement d’un cycle
moteur, et donc le système est une machine thermique.
Un deuxième exemple de machine thermique est la centrale thermique, telle que décrite
dans l’introduction (1.2), et que l’on peut schématiser comme suit.
Contrairement à l’exemple précédent dans lequel un système fermé subissait une évolution
temporelle cyclique, ce dispositif-ci fonctionne grâce à un écoulement permanent de fluide qui
décrit un cycle.
A ce stade, il est naturel d’introduire le concept d’efficacité thermique 2 d’un cycle moteur.
D’une manière générale, l’efficacité est définie comme le rapport de l’effet utile à l’effet
onéreux. Dans le cas d’un cycle moteur, l’effet utile (recherché) est le travail produit, et l’effet
onéreux est la chaleur reçue du corps chaud (on conçoit en effet que la chaleur cédée au corps
froid puisse être considérée comme « gratuite »). On a donc
W∗ QC − Q∗F Q∗
εth = = =1− F (6.1)
QC QC QC
2
On emploie traditionnellement le terme « rendement thermique »plutôt que le terme « efficacité ther-
mique »dans la littérature, notamment dans le livre de Van Wylen. La raison pour laquelle ce dernier terme a
été préféré est que la grandeur ainsi définie ne donne aucune information sur le degré de perfection du dispositif.
On préférera réserver le terme de rendement à des grandeurs caractérisant ce degré de perfection.
53
Considérons à présent un système de réfrigération tel que celui décrit dans l’introduction
(1.3), schématisé comme suit.
54
6.2 Le second principe de la thermodynamique
Il existe deux formulations classiques du second principe de la thermodynamique, dont on
montrera d’ailleurs qu’elles sont équivalentes :
Enoncé de Kelvin-Planck Il est impossible de réaliser un appareil décrivant un cycle qui
fournirait du travail en échangeant de la chaleur avec une seule source.
Cet énoncé se réfère aux machines thermiques et stipule qu’un système ne peut transfor-
mer intégralement en travail la chaleur reçue d’une source chaude. Il faut qu’une certaine
quantité de chaleur soit cédée à une source froide. Il s’ensuit que l’efficacité thermique
d’une machine thermique est nécessairement inférieure à l’unité.
Enoncé de Clausius Il est impossible de réaliser un appareil décrivant un cycle dont le seul
effet serait de transférer une quantité de chaleur d’une source froide à une source chaude.
Cet énoncé se réfère aux machines frigorifiques et aux pompes à chaleur et stipule qu’on
ne peut réaliser une machine frigorifique sans apport de travail. Il s’ensuit que l’efficacité
frigorifique, de même que l’efficacité calorifique sont nécessairement finies.
55
6.2.2 Impossibilité des mouvements perpétuels
L’impossibilité de transformer intégralement une quantité de chaleur en travail entraı̂ne
l’impossibilité de créer un mouvement perpétuel de deuxième espèce, à savoir un système qui
produirait du travail en puisant de la chaleur dans une source gratuite. Si c’était possible, en
effet, un tel système, pouvant p. ex. servir à la propulsion d’un navire, pourrait être réalisé de
la manière suivante.
56
1. les variables d’état repassent exactement par les mêmes valeurs que lors de la transfor-
mation initiale ;
2. les échanges d’énergie avec le milieu extérieur soient exactement opposés à ceux effectués
lors de la transformation initiale.
Illustrons cette définition par les exemples suivants :
a) Transformation irréversible
b) Transformation réversible
57
6.4.2 La détente libre
La détente libre est la transformation déjà décrite à la section 4.4 par laquelle un gaz se
répand dans un volume initialement évacué après la rupture de la membrane qui l’en séparait.
Cette transformation est manifestement irréversible puisqu’on ne peut ramener le gaz dans
son état initial que par apport de travail et cession de chaleur.
58
6.5 Le cycle de Carnot
Soit une machine thermique fonctionnant entre une source chaude et une source froide,
et décrivant un cycle dont toutes les transformations qui le composent sont réversibles. Il en
résulte que le cycle est lui aussi réversible. Un tel cycle est appelé cycle de Carnot, et nous
allons bientôt montrer que c’est le cycle le plus efficace qui puisse fonctionner entre les deux
sources.
Un tel cycle de Carnot est schématisé ci-après, sous la forme d’une machine à écoulement
permanent de fluide semblable à la centrale thermique schématisée à la section 6.1.
59
Remarquons que le cycle de Carnot peut être réalisé de diverses manières. Ainsi, on pourrait
le réaliser à l’aide d’un dispositif cylindre/piston comme illustré ci-dessous.
Remarquons que, dans ce cas, on aurait également échange de travail lors des phases de
chauffage et de refroidissement.
60
Proposition 2 : Toutes les machines décrivant un cycle de Carnot entre deux sources ont
la même efficacité.
Cette proposition se démontre de la même manière que la première.
61
Qui plus est, nous pouvons affirmer que la fonction f doit être de signe constant et croissante,
puisque dans l’exemple
Q3 Q2
<
Q1 Q1
N’importe quelle fonction f qui satisfait ces deux propriétés peut alors servir de définition à
une échelle absolue de température.
L’échelle communément utilisée consiste à adopter une forme linéaire pour f , f (T ) ≡ aT .
La constante de proportionnalité étant quelconque, on peut la choisir arbitrairement. Une
manière de la choisir est de faire en sorte que la différence de température entre deux points
fixes soit identique à sa valeur dans une échelle conventionnelle choisie. Ainsi, l’échelle absolue
telle que la différence de température entre le point d’ébullition et de solidification de l’eau à
pression atmosphérique soit égale à 100 comme dans l’échelle centigrade, est l’échelle Kelvin.
Comme l’efficacité thermique d’un cycle de Carnot entre deux sources à ces températures
vaut 0,268, on en déduit que Tglace = 273, 15 K.
Puisque la fonction f doit être de signe constant, on en déduit que, pour ce choix d’une
forme linéaire de la fonction f , la température ne peut devenir négative, d’où la notion de zéro
absolu 3 .
Comme il est en pratique malaisé de mesurer l’efficacité d’un cycle de Carnot, on fixe
plutôt la constante arbitraire de l’échelle thermodynamique absolue en attribuant une valeur
à un point fixe donné, à savoir 273,16 K pour le point triple de l’eau.
On peut mesurer la température thermodynamique à l’aide d’un thermomètre à gaz à
volume constant, dont le principe est illustré dans le schéma suivant.
pv = RT 4
3
Comme on l’a fait remarquer, le choix de la forme linéaire pour la fonction f n’est pas le seul possible. A
titre anecdotique, on mentionnera que Kelvin avait aussi proposé une forme exponentielle f (« T ») ≡ 10« T » .
Dans cette échelle alternative, les températures varient de −∞ à +∞. Comme dans l’échelle communément
utilisée, f (T ) = aT , on a
« T » = log T + log a
4
On aura sans doute relevé que l’on avait formulé cette relation alors qu’on avait pas encore défini la notion
de température absolue. Il aurait sans doute été plus rigoureux à ce stade de se contenter d’exprimer la loi de
62
En mesurant la semblablement la pression correspondant à la température du point triple
de l’eau, on a alors
p
T = 273, 16
pp.t.
Bien sur, en pratique, les gaz ne sont pas exactement parfaits. C’est seulement à la limite
d’une pression tendant vers 0 qu’ils se comportent comme tels. En mesurant les pressions pour
différentes quantités de gaz et, en portant la valeur de température déduite de ces mesures en
fonction du niveau de pression, la température thermodynamique s’obtient par extrapolation
des valeurs pour une pression nulle.
63
Chapitre 7
L’entropie
64
Considérons à présent un cycle parcourant le même chemin thermodynamique et prélevant
la même quantité de chaleur à la source chaude QC , mais dont certaines parties sont parcourues
∗ ∗
de manière irréversible. Le cycle étant irréversible, Wirr < Wrév , et donc Q∗F,irr > Q∗F,rév .
Il en résulte
δQ∗ δQ∗ Q∗F,irr Q∗F,rév
Z Z Z Z
δQ δQ QC
= = , = = >
C T C TC TC F T F TF TF TF
et, en soustrayant
δQ∗ Q∗F,rév
I Z Z
δQ δQ QC
= − < − =0 (7.2)
T C T F T TC TF
Semblablement, comme un cycle de Carnot frigorifique n’est rien d’autre qu’un cycle de
Carnot thermique inversé, il satisfait aussi
Q∗
I
δQ QF
= − C =0
T TF TC
Pour le cycle frigorifique parcourant le même chemin thermodynamique et prélevant la même
quantité de chaleur à la source froide QF , mais dont certaines parties sont parcourues de
manière irréversible, Wirr > Wrév , et donc Q∗C,irr > Q∗C,rév .
Il en résulte
δQ∗ δQ∗ Q∗C,irr Q∗C,rév
Z Z Z Z
δQ δQ QF
= = , = = >
F T F TF TF C T C TC TC TC
et, en soustrayant
δQ∗ Q∗C,rév
I Z Z
δQ δQ QF
= − < − =0 (7.3)
T F T C T TF TC
ce qui complète la démonstration de la proposition (pour le cas particulier des cycles compor-
tant des échanges de chaleur isothermes).
La généralisation au cas des cycles comportant des échanges de chaleur non isothermes ne
pose pas de difficultés majeures.
7.2 L’entropie
Considérons deux cycles réversibles composés respectivement des transformations A et B,
et A et C.
65
Puisque les deux cycles sont réversibles,
I Z 2 Z 1
δQ δQ δQ
= + =0
T 1 T A 2 T B
et I Z 2 Z 1
δQ δQ δQ
= + =0
T 1 T A 2 T C
En soustrayant, on déduit Z 1 Z 1
δQ δQ
= =0
2 T B 2 T C
et l’on voit que l’intégrale ne dépend pas du chemin parcouru (pour autant que la transforma-
tion soit réversible) et par conséquent que (δQ/T )rév est une différentielle exacte.
On désigne par le symbole S la fonction dont la différentielle
δQ
dS = (7.4)
T rév
et on lui donne le nom d’entropie du système. Par construction, il s’agit d’une variable d’état.
En intégrant de l’état initial 1 jusqu’à l’état final 2 (p. ex. en suivant le chemin A), on aura
donc Z 2
δQ
S 2 − S1 = (7.5)
1 T rév
Remarques
– Bien que pour calculer la variation d’entropie entre deux états 1 et 2, on doive intégrer
δQ/T le long d’une transformation réversible, l’entropie étant une variable d’état, la
différence d’entropie entre deux états est indépendante non seulement du chemin par-
couru, mais aussi de la nature (réversible ou non) de la transformation subie.
– Tout comme l’énergie, l’entropie n’est définie par l’équation (7.5) qu’à une constante
près. La valeur absolue de l’entropie n’est fixée que d’après le troisième principe de la
thermodynamique qui stipule que l’entropie d’une substance pure est nulle au zéro absolu
des températures.
La valeur absolue de l’entropie n’est toutefois nécessaire qu’en cas de changement de
composition, c.-à-d. en cas de réactions chimiques.
66
Comme on l’a déjà mentionné plusieurs fois, on représente souvent les propriétés thermo-
dynamiques d’une substance dans un diagramme thermodynamique,p. ex. le diagramme p − v.
Deux diagrammes faisant intervenir l’entropie sont fréquemment utilisés, à savoir le diagramme
T − s, souvent appelé diagramme entropique ou diagramme de Stodola, et le diagramme h − s
appelé diagramme de Mollier.
1 2 δQ 1 2 hg − hl
Z Z
1 q2
s2 − s1 = sg − sl = = δQ = =
m 1 T m 1 T T
68
puisque pour une transformation isobare d’un système fermé, la chaleur échangée est égale
à la variation d’enthalpie (section 5.5).
dU = δQ + δW
δW = −pdV δQ = T dS
dU = T dS − pdV (7.6)
A ce stade toutefois, cette relation ne fait intervenir que des variables d’état et doit par
conséquent être valable pour une transformation infinitésimale irréversible aussi bien que
pour une transformation infinitésimale réversible — pour autant toutefois que la notion d’état
conserve un sens, ce qui implique que le système reste proche de l’équilibre. Par conséquent, on
peut intégrer l’équation (7.6) entre deux états, que la transformation soit réversible ou non1 .
1
Bien sur, pour pouvoir effectuer l’intégration, il faut connaı̂tre le chemin suivi, ce qui, en toute rigueur, ne
peut être défini que pour une transformation quasi-statique, et donc réversible.
69
En vertu de la définition de l’enthalpie, H = U + pV , on a en différentiant
dH = dU + pdV + V dp = T dS + V dp (7.7)
Rassemblant les résultats pour les cas réversible et irréversible, on peut donc écrire
δQ
≤ dS
T
Z 2
δQ
≤ S2 − S 1 (7.9)
1 T
Remarquons que ces deux relations sont applicables quel que soit le signe de δQ. Si δQ est
négative, cela contribue à faire diminuer l’entropie, mais les irréversibilités contribuent toujours
à faire croı̂tre l’entropie.
70
A quantité de chaleur échangée constante, la variation d’entropie est toujours plus élevée
pour une transformation irréversible que pour une transformation réversible. A parcours ther-
modynamique identiques, la chaleur reçue pour une transformation réversible est toujours plus
faible que pour la transformation réversible correspondante.
On perce une ouverture dans la membrane de manière à ce que le gaz se répande lentement
dans tout le réservoir, tout en recevant une quantité de chaleur telle que la température reste
constante tout au cours de la transformation. Il est clair qu’aucun travail n’est échangé au
cours de cette transformation.
Comparons cette transformation avec la transformation réversible représentée en b. Pour
cette évolution réversible
δQ = T dS δW ∗ = pdV
On constate que le travail fourni par le système lors de la transformation irréversible est
moindre que celui qu’aurait fourni la transformation réversible : du travail a été en quelque
sorte « perdu ».
(δW ∗ )irr = pdV − δWi∗ (7.10)
En vertu du premier principe δQ + δW = dU , et de la relation de Gibbs (7.6)
et l’on voit que la chaleur reçue est moindre que celle reçue pour une transformation réversible.
La différence, que l’on appelle chaleur non compensée est égale au travail non compensé.
Résolvant la relation précédente pour dS, on obtient
δQ δWi∗
dS = + (7.11)
T T
à rapprocher de l’inégalité
δQ
dS ≥ (7.12)
T
71
établie précédemment. La différence entre dS et δQ/T est l’augmentation d’entropie due aux
irréversibilités
δWi∗
dSi = (7.13)
T
appelée production d’entropie.
Conséquences
– La variation d’entropie d’un système au cours d’une transformation résulte de deux effets,
à savoir les échanges de chaleur avec le milieu extérieur, et les irréversibilités.
– Les échanges de chaleur peuvent conduire, selon leur signe, à une augmentation ou à une
diminution de l’entropie d’un système.
– Les irréversibilités sont toujours responsables d’une augmentation d’entropie.
– Alors que pour une transformation réversible, les aires sous les courbes représentant la
transformation dans les diagrammes T − s et p − v sont égales à la chaleur échangée
et au travail fourni respectivement, il n’en est plus de même pour une transformation
irréversible.
D’ailleurs, comme on l’a mentionné précédemment, on ne peut pas à proprement parler
définir les états intermédiaires d’une transformation irréversible puisque la notion d’état
implique l’équilibre et que l’irréversibilité d’une transformation va de pair avec un écart
par rapport à l’équilibre. C’est la raison pour laquelle il est préférable de représenter les
transformations irréversibles par des pointillés dans les diagrammes thermodynamiques.
Supposons qu’au cours de cette transformation, le système soit à une température T et que
le mileu extérieur soit à une température T0 > T . Pour le système, on a
δQ
dSsys ≥
T
alors que pour le milieu extérieur,
δQ
dSext = −
T0
puisque, si on le considère comme une source, l’échange de chaleur ne modifie pas sa température,
et donc la transformation est réversible.
72
Sommant les deux variations d’entropie, on a
δQ δQ δQ T
dStot = dSsys + dSext ≥ − = (1 − ) > 0 (7.14)
T T0 T T0
Si l’on suppose au contraire que T < T0 , alors l’échange de chaleur est dans le sens contraire,
c.-à-d. δQ < 0, et l’on a de même
de sorte que la variation d’entropie de l’ensemble système + milieu extérieur est toujours
positive.
Ce résultat est connu sous le nom de principe d’accroissement de l’entropie. Il indique que
les seules transformations possibles sont celles pour lesquelles l’entropie globale augmente (voire
reste constante). Sauf pour ce cas limite, la transformation inverse qui ramènerait le système
et le mileu extérieur dans son état initial est impossible.
L’accroissement global d’entropie peut se décomposer entre contributions interne et externe.
La variation d’entropie du système pouvant s’écrire selon la relation (7.11)
δQ
dSsys = + dSi
T
où dSi est la production d’entropie due aux irréversibilités internes, on a
δQ T
dStot = dSi + (1 − ) = dSi + dSe
T T
| {z 0 }
dSe
dSe étant la production d’entropie externe due à l’irréversibilité de l’échange de chaleur avec
le milieu extérieur.
dh ≈ du ≈ cdT
73
7.10 L’entropie d’un gaz parfait
L’entropie d’un gaz parfait s’obtient directement des équations de Gibbs (7.8), des expres-
sions de l’énergie interne et de l’enthalpie, et de la loi des gaz parfaits.
T ds = du + pdv = cv dT + pdv
On peut utiliser ces expressions pour déterminer la variation de pression et de volume mas-
sique pour une évolution adiabatique et réversible (et donc isentropique) entre deux températures.
Ainsi, l’on aura
1 T2 dT s0 (T2 ) − s0 (T1 )
Z
p2
ln = cp = (7.26)
p1 R T1 T R
Le calcul est simplifié en utilisant la pression relative pr définie par la relation
1 T dT s0 (T )
Z
p
ln pr ≡ ln = cp = (7.27)
p0 R T0 T R
74
que l’on tabule en fonction de la température. On a alors
p2 pr (T2 )
= (7.28)
p1 pr (T1 )
Semblablement, on peut définir un volume massique relatif, d’où on obtient directement le
rapport des volumes massiques
v1 vr (T1 )
= (7.29)
v2 vr (T2 )
Les valeurs de pr et de vr pour l’air sont fournies en annexe du livre de Van Wylen. Pour
d’autres gaz, elles ne sont généralement pas données, seule étant donnée la fonction s0 (T ). Il
suffit alors d’appliquer (7.26).
Les expressions se simplifient si l’on suppose les chaleurs massiques constantes. Introduisant
le rapport des chaleurs massiques k = cp /cv (γ dans la littérature anglo-saxonne), on a, compte
tenu de l’identité cp = cv + R,
cp R R kR
k= =1+ → cv = cp = (7.30)
cv cv k−1 k−1
de sorte qu’on peut réécrire la différentielle de l’entropie comme suit
ds 1 dT dv k dT dp k dv 1 dp
= + = − = +
R k−1 T v k−1 T p k−1 v k−1 p
expressions valables dans le cas général où k dépend de la température. Lorsque k est constant,
ces expressions s’intègrent facilement pour fournir les relations entre rapports de pression, de
température et de volume massique pour une transformation isentropique.
k k
1 1
T2k−1 T1k−1
T2k−1 k−1
v2 = T1 v1 ; = ; v2k p2 = v1k p1 (7.31)
p2 p1
En particulier, on constate que, pour une transformation isentropique pv k = cte, une expression
connue sous le nom de loi de Laplace.
75
Pour un système fermé, le travail reçu est donc égal à
Z 2 Z 2
V 1−n − V11−n p2 V2 − p1 V1
1 W2 = − pdV = −p1 V1 n
V −n dV = −p1 V1n 2 =−
1 1 1−n 1−n
mR(T2 − T1 )
= − (7.34)
1−n
(n 6= 1).
On peut de même calculer la chaleur échangée au cours de la transformation. Comme, en
supposant cv constant,
mR(T2 − T1 ) p2 V2 − p1 V1
U2 − U1 = mcv (T2 − T1 ) = =
k−1 k−1
on a, par application du premier principe,
1 1 n−k
1 Q2 = U2 − U1 − 1 W2 = (p2 V2 − p1 V1 ) − = (p2 V2 − p1 V1 ) (7.35)
k−1 n−1 (k − 1)(n − 1)
76
conséquent, on doit remplacer δQ/T par une somme sur chaque élément de la frontière dont
la température est différente
δQ X δQ
←
T T
A la limite, si la température varie continément sur la frontière, en notant δΦ la chaleur
échangée par unité de surface, δQ = δΦdA, de sorte que
I
δQ δΦ
← dA
T A T
Puisque la température du système est uniforme, on peut exprimer le dernier terme en fonction
du travail non compensé Ṡi = Ẇi∗ /T , ce qui fournit l’expression alternative
Z t !
X X Q̇ + Ẇi∗
m 2 s2 − m 1 s1 + m s ss − m e se = dt (7.44)
0 T
77
7.14 Les transformations réversibles des systèmes ou-
verts en régime permanent
On va maintenant établir une expression du travail échangé par un système ouvert perma-
nent dans le cas d’une transformation réversible. Dans le cas d’une seule section d’entrée et de
sortie, le premier principe s’écrit (5.33)
c2 c2
h + + gz − h + + gz = q + w
2 s 2 e
ss = se
Rs
Par conséquent, vu la relation de Gibbs dh = T ds + vdp, hs − he = e
vdp, et dès lors
Z s
c2 − c2e
w= vdp + s + g(zs − ze ) (7.45)
e 2
Transformation isotherme Puisque la transformation est isotherme, il s’ensuit que la température
du système est uniforme, et dès lors,
X Q̇ Q̇ q
= = ṁ
T T T
de sorte que le second principe devient
q
ss − se = (7.46)
T
Rs
Par ailleurs, par application de la même relation de Gibbs, hs −he = T (ss −se )+ e vdp, et
par conséquent, l’expression du travail est identique à celle établie pour la transformation
adiabatique (7.45).
Enfin, puisqu’un échange de chaleur réversible non isotherme peut se concevoir comme une
succession d’échanges de chaleur réversibles isothermes élémentaires, il s’ensuit que l’expression
(7.45) est applicable généralement à toutes les transformations réversibles de systèmes ouverts
en régime permanent.
Un cas particulier d’une transformation sans échange de travail (comme l’écoulement dans
une tuyère), l’expression devient
Z s
c2 − c2e
vdp + s + g(zs − ze ) = 0 (7.47)
e 2
équation très importante en mécanique des fluides, connue sous le nom d’équation de Bernoulli.
Dans le cas particulier des fluides à masse volumique constante, elle se simplifie en
c2s − c2e
v(ps − pe ) + + g(zs − ze ) = 0 (7.48)
2
78
L’équation (7.45) est largement employée pour tous les systèmes ouverts avec échange de
travail comme les turbomachines. Dans de nombreux cas, les variations d’énergie cinétique et
potentielle sont négligeables, de sorte que le travail par unité de masse est simplement
Z s
w= vdp (7.49)
e
d’où l’on constate que le travail transmis à l’arbre d’une turbomachine est directement lié au
volume massique du fluide la traversant.
Par conséquent, dans le cas d’une centrale thermique à vapeur telle qu’idéalisée ci-après,
la pression reste constante dans toutes les composantes où aucun travail n’est échangé et donc
l’augmentation de pression dans la pompe est égale à la chute de pression dans la turbine.
Par ailleurs, puisque la pompe comprime du liquide dont le volume massique est très petit
par rapport à celui de la vapeur détendue dans la turbine, la puissance consommée par la
pompe est nettement inférieure à celle fournie par la turbine, la différence étant la puissance
nette fournie par la centrale.
79
Fig. 7.10 – Principe d’accroissement de l’entropie pour un système ouvert
dSsys X X X Q̇
+ ṁs ss − ṁe se = + Ṡi
dt T
Par ailleurs, le taux de variation de l’entropie du milieu extérieur, qui est lui aussi un
système ouvert, vaut lui
P
dSext X X Q̇
− ṁs ss + ṁe se = − (7.50)
dt T0
puisque les débits sont inversés, de même que l’échange de chaleur, et que, pour le milieu
extérieur à température T0 , l’échange de chaleur est réversible.
En sommant ces deux équations, on obtient le taux de variation de l’entropie totale
P
dStot dSsys dSext X Q̇ Q̇
= + = − +Ṡi = Ṡe + Ṡi > 0 (7.51)
dt dt dt T T0
| {z }
Ṡe
Le terme Ṡe , toujours positif puisque Q̇ > 0 lorsque T < T0 et vice-versa, est le taux de
production d’entropie externe, due à l’irréversibilité de l’échange de chaleur.
Pour un système ouvert en régime permanent, l’entropie du système est constante, et par
conséquent
dStot dSext X X Q̇
= = ṁs ss − ṁe se −
dt dt T0
Par contre, pour les systèmes ouverts avec écoulement uniforme, on calcule les variations
d’entropie au cours de la transformation en intégrant dans le temps comme on l’a fait à la
section 7.13. La variation d’entropie du système vaut
∆Ssys = m2 s2 − m1 s1 (7.52)
alors que le travail échangé lors d’une transformation adiabatique réelle (irréversible) vaut lui,
par application du premier principe,
c2s − c2e
w = hs − he + + g(zs − ze )
2
Par conséquent, l’expression générale du rendement est
Rs 2 2
e
vdp + cs −c2
e
+ g(zs − ze )
η= c2s −c2e
machine réceptrice
hs − he + 2 + g(zs − ze )
2 2
(7.55)
he − hs + ce −c
2
s
+ g(ze − zs )
η = Rs c2e −c2s
machine motrice
− e vdp + 2 + g(ze − zs )
Pour les machines à fluide (ou plutôt à écoulement) incompressible, le travail massique
idéal s’évalue aisément. En effet, comme le volume massique est approximativement constant,
81
Rs
e
vdp ' v(ps − pe ). D’autre part, le travail massique réel peut s’évaluer en mesurant la
différence d’enthalpie entre sections d’entrée et de sortie (cfr labo du cours MECA 336 Moteurs
à pistons en 4e Méca), ou encore en mesurant la puissance à l’arbre de la machine (couple et
vitesse de rotation).
Rs
Pour les machines à fluide compressible, les choses sont plus complexes. Pour calculer e vdp,
il faut en effet connaı̂tre le chemin thermodynamique parcouru lors de la transformation. Dans
le cas des gaz parfaits, une bonne approximation est de supposer que le chemin parcouru
coı̈ncide avec celui d’une transformation polytropique réversible (section 7.11), et le rendement
ainsi défini est appelé rendement polytropique, noté ηp .
Comme pour une polytropique (pv n = C),
nC n
vdp = −nCv −n dv = − d(v 1−n ) = d(pv)
1−n n−1
et
kR k
dh = cp dT =dT = d(pv)
k−1 k−1
on obtient, en omettant les termes d’énergie potentielle, toujours négligeables pour les fluides
compressibles, les expressions suivantes pour le rendement polytropique
n c2s −c2e
(p v
n−1 s s
− pe ve ) + 2
ηp = k c2s −c2e
machine réceptrice
(p v
k−1 s s
− p e ve ) + 2
c2e −c2s
(7.56)
k
(p v
k−1 s s
− p e ve ) + 2
ηp = n c2e −c2s
machine motrice
(p v
n−1 e e
− ps vs ) + 2
qui deviennent, lorsque les variations d’énergie cinétique sont aussi négligeables,
n
n−1
ηp = k
machine réceptrice
k−1
k
(7.57)
k−1
ηp = n machine motrice
n−1
Lorsque l’on n’a pas affaire à un gaz parfait, comme p. ex. pour les turbines à vapeur, cette
définition n’est pas utilisable, ce qui conduit à introduire une autre définition, à savoir celle de
rendement isentropique noté ηs . Contrairement au cas précédent, où la transformation idéale
de référence était la polytropique réversible de même états initial et final que la transformation
réelle2 , la transformation idéale de référence est cette fois la transformation adiabatique et
réversible, c.-à-d. isentropique, de même état initial et de même pression finale (et de même
pression totale finale, voir définition de ce terme ci-après) que la transformation réelle.
Il résulte de cette définition que l’état final de la transformation idéale de référence diffère
de l’état final réel. En notant s∗ l’état final de la transformation isentropique de référence et
cs∗ la vitesse de sortie correspondante qui, en raison de la définition
R s∗ n’est pas exactement égale
à la vitesse de sortie réelle, et compte tenu du fait que e vdp = hs∗ − he , l’expression du
2
Remarquez que cette transformation n’est pas adiabatique.
82
rendement isentropique est donc (négligeant toujours les variations d’énergie potentielle)
c2s∗ −c2e
hs∗ − he + 2
ηs = c2s −c2e
machine réceptrice
hs − he + 2
(7.58)
c2e −c2s
he − hs + 2
ηs = c2e −c2s∗
machine motrice
he − hs∗ + 2
On peut encore donner une forme alternative de cette expression en introduisant les notions
d’enthalpie et de pression totales (ou d’arrêt). On appelle enthalpie et pression totales d’un
fluide en un point (h0 , p0 ), l’enthalpie et la pression que l’on obtiendrait en amenant le fluide
à l’arrêt de manière adiabatique et réversible, c.-à-d. isentropiquement. Il résulte de cette
définition que
c2
h0 = h + p0 = p(h0 , s) (7.59)
2
Pour un gaz parfait avec chaleurs massiques constantes, on a donc
k
h0
k−1
0
p =p (7.60)
h
Avec ces définitions des conditions totales, les expressions du rendement isentropique de-
viennent
h0 − h0e
ηs = s0∗ machine réceptrice
hs − h0e
(7.61)
h0e − h0s
ηs = 0 machine motrice
he − h0s∗
Explicitons ces dernières expressions dans le cas des gaz parfaits à chaleurs massiques
constantes, afin de les comparer avec les expression du rendement polytropique (7.57). En
notant Π le rapport entre haute et basse pression, et en rappelant que pour une polytropique,
n−1
hs Ts ps n
= =
he Te pe
3
Dans le cas d’un gaz parfait, on peut expliciter l’expression de cs∗ . En effet, comme p0s∗ = p0s et ps∗ = ps ,
on en déduit
h0s∗ h0 c2
= s =1+ s
hs∗ hs 2hs
Il en résulte
hs∗ c2s hs∗ 2
h0s∗ = hs∗ + → c2s∗ = c
hs 2 hs s
83
on obtient k−1 k−1
Π k −1 Π k −1
ηs = n−1 = 1 k−1 machine réceptrice
Π n −1 Π ηp k
−1
n−1 k−1
(7.63)
1 − Π− n 1 − Π−ηp k
ηs = k−1 = k−1 machine motrice
1 − Π− k 1 − Π− k
et l’on remarque que le rendement isentropique dépend non seulement du rendement poly-
tropique (ou, ce qui est équivalent, de l’exposant n) mais aussi du rapport de pression. Pour
les faibles rapports de pression Π = 1 + , ηs ≈ ηp , ce qui explique le nom « small stage
efficiency »employé parfois comme synonyme de rendement polytropique dans la littérature
anglophone.
Pour finir, donnons une interprétation graphique à ces définitions, pour le cas où les varia-
tions d’énergie cinétique sont négligeables. Considérons tout d’abord le cas d’une compression.
La polytropique joignant les états initial et final, de même que l’état final de la transformation
isentropique de référence sont représentés dans le diagramme entropique ci-dessous.
p
s
s s
*
p
H
e
e
h a b s
Le travail
R s reçu lors de laRtransformation isentropique de référence vaut ws = hs∗ − he =
s
hs∗ − hH = H∗ T ds + vdp = H∗ T ds, soit l’aire H − s∗ − a − h − H, de sorte que le rendement
4
Sur le graphique, on a considéré le cas d’un gaz parfait, de sorte que l’isenthalpique est confondue avec
l’isotherme, c.-à-d. horizontale.
84
isentropique vaut
aire H − s∗ − a − h − H
ηs =
aire H − s − b − h − H
d’où il apparaı̂t que ηs < ηp .
Ce résultat se confirme analytiquement pour les gaz parfaits en développant l’expression
du rendement isentropique pour les rapports de pression proches de l’unité. Avec Π = 1 + et
la formule binomiale
m(m − 1) 2
(1 + )m = 1 + m + + . . . = 1 + m(1 + (m − 1) + . . .)
2 2
k−1 k−1
− 1 2 + ...
k h
1 + k k−1 1
ηs = i ' ηp 1 − −1 < ηp
k−1
1+ k−1
− 1 2 + . . . k ηp 2
ηp k ηp k
Répétons l’analyse pour le cas d’une détente, représentée ci-dessous dans un diagramme
entropique
p p
e s
e
H
s
s
*
a b h s
Fig. 7.12 – analyse pour le cas d’une détente dans un diagramme entropique
Le travail réel fourni vaut he − hs , qui est représenté par l’aire s − H − h −Rb − s alors
R eque le
∗ e
travail fourni lors
Rs de la transformation polytropique de référence vaut wp = s
vdp = s
dh −
R sds = he −hs + e T ds, soit la somme du travail réel représenté par l’aire s−H −h−b−s et de
T
e
T ds représentée par l’aire e−s−b−a−e, et est donc représenté par l’aire e−s−H −h−a−e.
Par conséquent, le rendement polytropique de détente vaut
aire s − H − h − b − s
ηp =
aire e − s − H − h − a − e
De son côté, le travail fourni lors de la transformation isentropique de référence vaut ws∗ =
he −hs∗ = hH −s∗ représenté par l’aire s∗ −H −h−a−s∗ , de sorte que le rendement isentropique
vaut
aire s − H − h − b − s
ηs =
aire s∗ − H − h − a − s∗
d’où il apparaı̂t que ηs > ηp .
85
Rien d’étonnant dès lors à ce que les fabricants de compresseurs préfèrent donner le rende-
ment polytropique de leurs machines, alors que les fabricants de turbines préfèrent donner le
rendement isentropique !
Systèmes sans échange de travail (diffuseurs et tuyères) Pour les systèmes sans
échange de travail, les définitions précédentes n’ont pas de sens. La fonction de ces dispositifs est
de transformer l’énergie cinétique en énergie interne ou vice-versa. Par conséquent, la définition
générale du rendement de ces dispositifs est donc (en supposant à nouveau les variations
d’énergie potentielle négligeables)
2 2
ce −cs Rs
2
idéal
vdp
η= c2e −c2s
= e diffuseur
hs − he
2
(7.64)
c2s −c2e
he − hs
η = 2 22 = Re tuyère
cs −ce
s
vdp
2
idéal
wT hs − he − T0 (ssT − se )
ηT = = T (7.65)
w hs − he − q
où sT est l’état à pression ps et à température T0 . Pour un gaz parfait, hsT − he = 0.
On définit de même un rendement isotherme de détente (beaucoup moins utilisé cependant)
w∗ he − hs + q
ηT = ∗ = (7.66)
wT he − hsT + T0 (ssT − se )
86
Chapitre 8
Irréversibilité et exergie
Comme on l’a vu au chapitre précédent, les irréversibilités sont responsables des imperfec-
tions des transformations réelles. Ceci nous a conduit à définir toute une série de rendements
afin de caractériser le degré de perfection des transformations réelles, en les comparant avec
des transformations idéales (réversibles) de référence. Mais l’inconvénient de ces multiples
définitions est précisément la multiplicité des transformations idéales de référence, selon le
type d’application envisagé.
Au contraire, nous allons à présent définir une transformation réversible de référence indépendante
du type de dispositif considéré (échangeur de chaleur, compresseur, turbine), qui nous conduira
à définir les notions d’irréversibilité (ou encore travail non compensé ou chaleur non compensée)
et d’énergie disponible (ou utilisable) ou encore exergie.
Ces notions se sont avérées des outils très puissants d’analyse et d’optimisation de systèmes
thermodynamiques complexes, de sorte que leur usage est maintenant largement répandu.
1 Q2 = U2 − U1 + 1 W2∗ (8.1)
et d’autre part, par le second principe, l’accroissement total d’entropie (système + source)
1 Q2
∆Stot = S2 − S1 − >0 (8.2)
TC
87
Pour ce faire, ajoutons au système un cycle de Carnot moteur entre la source chaude et le
système et un cycle de Carnot frigorifique entre le système et la source froide gratuite.
TC
δQC
Carnot δ W= δQ(1−T/T )
C
moteur
δ Q(T/T )
C
dU δ W=TdS−dU
dS
TdS−δ Q(T/TC)
Carnot δ W=(TdS−δ Q(T/TC ))(1−T0 /T
p. à. ch.
(TdS−δ Q(T/TC))T0/T
T0
Sommant les quantités de travail échangées par les 3 systèmes, le travail fourni par le dispositif
réversible, appelé travail réversible, vaut
∗ T T T0
δWrev = T dS − dU + δQ 1 − − (T dS − δQ ) 1 −
TC TC T
T0
= T0 dS − dU + δQ 1 − (8.3)
TC
et, en intégrant, pour une transformation finie,
∗ T0
Wrev = T0 (S2 − S1 ) − (U2 − U1 ) + 1 Q2 1− (8.4)
TC
La différence entre le travail effectivement réalisé et le travail réversible est l’irréversibilité ou
travail (ou chaleur) non compensé(e).
∗
1 I2 = Wrev − 1 W2∗ (8.5)
88
En substituant dans cette équation les expressions du travail réversible et du travail réel, on
obtient la forme alternative
T0
1 I2 = T0 (S2 − S1 ) − 1 Q2 = T0 ∆Stot (8.6)
TC
On peut encore réécrire le résultat comme suit :
T0
(U2 − U1 ) − T0 (S2 − S1 ) = 1 W2 + 1 Q2 1− − 1 I2 (8.7)
TC
expression qui ressemble au premier principe, mais en faisant apparaı̂tre les irréversibilités. Le
membre de gauche est la variation d’énergie utilisable U − T0 S, qui est donc égale à la somme
du travail reçu et de la fraction utilisable (convertible en travail) de la quantité de chaleur
reçue, diminuée des pertes par irréversibilités.
89
2. l’apport exergétique d’un transfert de chaleur est toujours inférieur à la quantité de
chaleur reçue. L’apport est d’autant plus grand que la température de la source est élevée.
Un apport de chaleur d’une source à température plus faible que l’ambiance représente
une consommation d’exergie, d’autant plus grande que la température de la source est
faible ;
3. un apport de matière correspond à un apport d’exergie égale à j = h − T0 s ;
4. les énergies cinétique et potentielle sont de l’exergie pure ;
5. l’irréversibilité se traduit par une perte d’exergie, égale au produit de la production
d’entropie totale par la température de la source gratuite.
c2 c2
d X X X
(U + Ecin. + Epot. )sys + ṁs h + + gz − ṁe h + + gz = Q̇k + Ẇ
dt 2 s 2 e
c2
d X
(U − T0 S + Ecin. + Epot. )sys + ṁs h − T0 s + + gz
dt 2
2
s
X c X T0
− ṁe h − T0 s + + gz = Q̇k 1 − + Ẇ − I˙ (8.13)
2 e T k
90
Un troisième cas particulier est celui des systèmes ouverts uniformes non permanents. En
intégrant l’équation générale dans le temps, on obtient
c22 c21
m2 u2 − T0 s2 + + gz2 − m1 u1 − T0 s1 + + gz1
2 2
2
c2
X c X
+ ms h − T0 s + + gz − me h − T0 s + + gz
2 s 2 e
X T0
= Qk 1 − +W −I (8.14)
Tk
expression dont on tire également le travail réversible
∗
Wrev = W ∗ + I = −(W − I) (8.15)
et l’irréversibilité. Pour cette dernière, on obtient également l’expression alternative
X X X Qk
I = T0 (m2 s2 − m1 s1 ) + m s ss − m e se − (8.16)
Tk
91
∗
isentropique wrev = he − hm
∗
isotherme wrev = hm − h0 + T0 (s0 − sm )
de sorte que
∗
wrev = he − h0 − T0 (se − s0 ) = je
L’application du concept d’exergie est illustrée ci-dessous dans le cas de l’évolution dans un
moteur à combustion interne
Fig. 8.1 – L’application du concept d’exergie dans le cas de l’évolution dans un moteur à
combustion interne
1
Le code de ce syllabus étant en partie fournit par Degrez, je rajoute le texte qu’il avait décidé de ne pas mettre.
Je le signalerai chaque fois
92
Par contre, pour une machine réceptrice, l’effet utile est la variation d’exergie du fluide
c2s −c2e c2s −c2e
js − je + 2
+ g(zs − ze ) js − je + 2
+ g(zs − ze ) wrev
ηex = = c2s −c2e
= (8.19)
w hs − he + + g(zs − ze ) − q w
2
de sorte qu’on peut donner encore une autre interprétation du rendement exergétique, à savoir
variation d’exergie onéreuse réversible
ηex =
variation d’exergie onéreuse réelle
w∗ w ∗ qC εth
ηex = = ∗
= (8.21)
qC 1 − T0 qC wrev εth,Carnot
TC
93
Chapitre 9
Cycles moteurs
9.1 Introduction
Comme on l’a fait remarquer à la section 6,1, on peut distinguer parmi les cycles moteurs,
entre ceux qui opèrent à l’aide de systèmes fermés subissant une évolution temporelle, qui
font intervenir du travail de déplacement de frontière, et ceux qui opèrent à l’aide de systèmes
ouverts en régime, qui font intervenir du travail à l’arbre d’une machine tournante.
Pour une transformation d’un système ouvert en régime avec variations négligeables d’énergie
cinétique et potentielle, le travail massique réversible vaut
Z
w = vdp
94
Ces deux grandeurs sont représentées dans le diagramme ci-dessous.
soit l’aire à l’intérieur de la courbe décrite par le cycle. Le travail effectué lors de la détente
est supérieur à celui reçu lors de la compression parce que le volume massique est plus élevé
lors de la détente.
Si le même cycle était effectué par un système fermé à frontière mobile de type cylindre/piston,
le travail massique net serait
Z 2 Z 3 Z 4 Z 1
∗
wnet = pdv + pdv + pdv + pdv
1 2 3 4
95
qui est aussi l’aire à l’intérieur de la courbe. Le travail net est positif parce que pour chaque
changement de volume massique, la pression est plus grande lors des détentes que lors des
compressions.
Le travail massique net est le même pour les deux systèmes, bien que le travail lors de
chacune des 4 transformations soit différent dans les 2 cas. Ceci est une conséquence du fait
que I I I
pdv + vdp = d(pv) = 0
| {z } | {z }
∗
wnet,SF ∗
−wnet,SO
Fig. 9.3 – Cycle idéal des centrales thermiques à vapeur d’eau représenté schématiquement
dans un diagramme entropique
Il se compose de
1–2 : pompage adiabatique et réversible dans la pompe, à partir d’un état de liquide saturé
1;
2–3 : échange de chaleur isobare dans la chaudière jusqu’à l’état de vapeur saturée 3 ;
3–4 : détente adiabatique et réversible dans la turbine (ou dans une machine volumétrique à
vapeur) ;
4–1 : échange de chaleur isobare dans le condenseur.
Une variante est le cycle de Hirn dans lequel la vapeur est surchauffée avant d’être détendue.
C’est cette variante qui est employée dans les centrales électriques. On en expliquera les raisons
ultérieurement.
En négligeant les variations d’énergie cinétique et potentielle, la chaleur reçue par le fluide
est représentée par l’aire a − 2 − 20 − 3 − b − a et la chaleur cédée au condenseur est représentée
96
par l’aire a − 1 − 4 − b − a. L’efficacité thermique du cycle est donc donnée par la relation
aire 1 − 2 − 20 − 3 − 4 − 1
εth = (9.1)
aire a − 2 − 20 − 3 − b − a
Bien que le cycle de Rankine ait une efficacité inférieure à l’efficacité de Carnot en raison de
la production d’entropie lors du chauffage en phase liquide 2 − 20 , le rendement exergétique du
cycle de Rankine est en général très bon (supérieur à 80 %).
On peut se demander pourquoi on n’utilise pas plutôt le cyle de Carnot 10 − 20 − 3 − 4 .
La raison en est que la compression d’un mélange liquide/vapeur présente de grands dangers
(coup de liquide). Par contre, la compression en phase liquide se réalise très facilement et avec
une énergie beaucoup plus faible.
Inconvénients du cycle de Rankine
– Puisqu’il exige deux changements de phase, les températures des sources doivent être
comprises entre le point triple et le point critique. TC −TF peut donc difficilement dépasser
150 °C, et donc une efficacité de Carnot de 30 à 40%.
– Pour l’eau, avec l’ambiance comme source froide, le condenseur doit être sous vide, ce
qui complique la construction de la machine et aussi celui de la machine motrice car le
rapport de détente est très élevé.
– La condensation partielle (brouillard) lors de la détente exclut l’emploi de turbines. On
ne peut donc le réaliser qu’avec une machine volumétrique, ce qui limite les puissances.
Cet inconvénient peut être évité par l’emploi de fluides organiques dont la cloche de
saturation est penchée vers la droite dans le diagramme entropique. De plus, pour ces
fluides, la pression de saturation augmente moins vite avec la température, et donc le
rapport de détente est moins élevé. L’emploi de ces fluides pose cependant des problèmes
technologiques, chimiques et thermodynamiques.
97
On observe que le travail net augmente de la surface hachurée, alors que la chaleur fournie
à la vapeur augmente de l’aire a0 − 20 − 2 − a − a0 . Ces deux aires étant approximativement
égales, l’efficacité thermique augmente.
Mais le titre en vapeur à l’échappement 40 diminue. En pratique, pour les turbines à vapeur,
on ne doit pas dépasser une teneur en eau de 10% (diminution de rendement, érosion).
98
de l’aire 40 − 4 − b − b0 − 40 , de sorte que l’efficacité et le rendement exergétique augmentent
tous deux.
Mais la teneur en eau à l’échappement augmente.
99
En négligeant la puissance consommée par la pompe
h1 − h2
εRH =
h1 − h4
alors que l’efficacité du cycle avec soutirage vaut
00 0
qm (h1 − h2 ) + qm (h1 − h7 )
εRH, sout. = 0 00
(qm + qm )(h1 − h11 )
En négligeant la puissance de la pompe auxiliaire, on a par application du premier principe au
système entouré d’un trait mixte
0 00 0 00 0 00
(qm + qm )h11 = qm h7 + qm h4 → qm (h7 − h11 ) = qm (h11 − h4 )
Par conséquent,
00 0
qm (h1 − h2 ) + qm (h1 − h7 )
εRH, sout. = 0 00
(qm + qm )(h1 − h11 )
00 0
qm (h1 − h2 ) + qm (h1 − h7 )
= 00 00 (h − h ) + q 0 (h − h )
qm (h1 − h4 ) + qm 4 11 m 1 11
00 0
qm (h1 − h2 ) + qm (h1 − h7 )
= 00 0 (h − h ) + q 0 (h − h )
qm (h1 − h4 ) − qm 7 11 m 1 11
00 0
qm (h1 − h2 ) + qm (h1 − h7 )
= 00 0 (h − h )
qm (h1 − h4 ) + qm 1 7
qm0
(h1 − h2 ) + qm00 (h1 − h7 )
= qm0
(h1 − h4 ) + q 00
(h1 − h7 )
m
h1 − h2
> = εRH (9.2)
h1 − h4
car h1 − h7 > 0 et εRH < 1, ce qui démontre l’effet positif du soutirage sur l’efficacité.
En pratique, on utilise plusieurs soutirages et des réchauffeurs d’eau à mélange pour éviter
la multiplication des pompes, comme illustré dans le schéma.
100
9.6 Ecarts entre les cycles réels et les cycles idéaux
Evidemment, les cycles réels s’écartent des cycles idéaux. Examinons brièvement les origines
de ces écarts.
a − b : perte de charge. hb =
ha (q = w = 0) et pb <
pa .
b − c transfert de chaleur.
hb < ha (q < 0), et
pb = pa .
wt
– ηt =
h3 − h4∗
h2∗ − h1
– ηp =
wp
101
9.6.3 Pertes dans le condenseur
Les pertes dans le condenseur sont mineures. Une telle perte est le refroidissement du liquide
sous sa température de saturation à la sortie du condenseur.
102
Fig. 9.12 – Le cycle de Joule (Brayton)
(h3 − h4 ) − (h2 − h1 ) h4 − h1 T4 − T1
εth = =1− =1−
h3 − h2 h3 − h2 T3 − T2
eps,J
0.6 w
eps, JR
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Π
103
Ceci s’explique aisément à partir du diagramme entropique. Lorsque le rapport de pression
augmente (avec un rapport de température entrée turbine/sortie compresseur constant), le
cycle original se transforme en 1 − 20 − 30 − 4 − 1, pour lequel le travail est plus grand, alors
que la chaleur rejetée à la source froide est identique.
Mais la température maximum est plus élevée. En pratique, la température d’entrée turbine
est limitée par la tenue des matériaux.
En maintenant la température d’entrée turbine constante, mais en augmentant le rapport de
pression, on obtient le cycle 1−2”−300 −400 −1. Comme l’efficacité thermique ne dépend que du
rapport de pression, ce dernier cycle a une efficacité identique à celle du cycle 1 − 20 − 30 − 4 − 1.
Mais le travail massique est plus faible. Calculons ce dernier.
T3 − k−1 k−1
w = (h3 − h4 ) − (h2 − h1 ) = cp T1 (1 − Π k ) − (Π k − 1)
T1
On a par conséquent
s
r k
k−1
1 dw T3 1 T3 T3
= −1 → ywmax = → Πwmax = (9.4)
cp T1 dy T1 y 2 T1 T1
104
Fig. 9.14 – cycle de Joule 2
Le travail de compression est augmenté alors que le travail fourni par la turbine est réduit
→ le travail utile diminue très rapidement avec les pertes !
105
et Ty = T2 . Dès lors,
106
9.11 Le cycle du turboréacteur
Le cycle du turboréacteur est également une variante du cycle de Joule, dans laquelle on
effectue une détente partielle dans la turbine, de manière à ce que la puissance fournie par la
turbine soit juste suffisante à entraı̂ner le compresseur. Les gaz à la sortie de la turbine sont
alors détendus dans une tuyère pour être accélérés et ainsi produire une poussée.
Les quantité de chaleur et travail échangés au cours des quatre parties du cycle sont :
Compression isotherme 1 − 2 w12 = (h2 − h1 ) −q12 , et, en supposant l’échange de cha-
| {z }
=0 (gaz parfait)
leur réversible,
q12 = TF (s2 − s1 ) < 0
Chauffage isobare 2 − 3 q23 = h3 − h2
107
Détente isotherme 3 − 4 w34 = (h4 − h3 ) −q34 , et, en supposant l’échange de chaleur
| {z }
=0 (gaz parfait)
réversible,
q34 = TC (s4 − s3 ) > 0
Refroidissement isobare 4 − 1 q41 = h1 − h4
On a donc q23 = −q41 , de sorte qu’on peut réaliser ces transformations à l’aide d’un échangeur
de chaleur (récupérateur).
Le travail net fourni vaut donc
w∗ = TC (s4 − s3 ) − TF (s1 − s2 )
(TC − TF )(s4 − s3 ) TC − TF
εE = = = εCarnot (9.7)
TC (s4 − s3 ) TC
108
– une chambre de volume variable
VF en contact avec une source à
température TF ;
– une chambre de volume variable
VC en contact avec une source à
température TC ;
– un régénérateur qui reçoit et
fournit alternativement de la cha-
leur du et au fluide.
C’est une machine fermée dans la-
quelle le fluide est à chaque instant
non uniforme.
Détente isotherme 3 −R 4
4
3 W4 = − 3 pdV =
−mRTC ln(V4 /V3 ) < 0 et 3 Q4 =
−3 W4 = mRTC ln(V4 /V3 ) > 0
Refroidissement isochore 4 − 1
4 W1 = 0 et
4 Q1 = U4 − U1 = mcv (TF − TC )
On constate que 1 Q2 = −4 Q1 , de sorte que les échanges peuvent s’effectuer sans contact
avec une source, mais par l’entremise du régénérateur, qui stocke la chaleur cédée par le fuide
en 4 − 1 pour la lui rétrocéder en 2 − 3.
109
Fig. 9.21 – Le cycle de Stirling
On a constaté un regain d’intérêt récent pour les machines de Stirling (travaux de la firme
Phillips). Dans les réalisations récentes, le mouvement discontinu des pistons est remplacé par
des mouvements sinusoı̈daux déphasés. La source chaude est un bréleur dans lequel on réalise
la combustion externe d’un combustible.
Avantages et inconvénients
– Efficacité thermique élevée (en principe égale à l’efficacité de Carnot) ;
– combustion externe, donc moteur silencieux et polycarburant ;
– poids et prix élevés, en raison de la complexité de la cinématique ;
– puissance volumétrique très importante, grâce à la possibilité de travailler à très haute
pression ;
– régulation aisée par action sur la masse (m) du fluide actif.
110
Compression isentropique 1 − 2 Correspond à la compression du mélange air/essence lorsque
le piston se déplace du point mort bas au point mort haut, les soupapes étant fermées.
1 Q2 = 0 1 W2 = U2 − U1 = mcv (T2 − T1 )
111
9.15 Le cycle de Diesel
Le cycle de Diesel est le cycle idéalisé des moteurs volumétriques à allumage spontané
(moteur Diesel). Il diffère du cycle d’Otto par le fait que le processus de combustion, nettement
plus lent pour le brouillard de gouttelettes de gazole que pour le mélange air/essence, est
supposé isobare.
112
à rapport volumétrique de compression identique. On a porté l’efficacité du cycle Diesel en
fonction du rapport de compression pour différents rapports de combustion ci-après.
Fig. 9.25 – Efficacité du cycle Diesel en fonction du rapport de compression pour différents
rapports de combustion
En pratique toutefois, du fait que dans un moteur Diesel on comprime de l’air pur, on ne
risque pas la détonation, et l’on peut donc utiliser un rapport de compression plus élevé. Si l’on
compare un cycle d’Otto et un cycle de Diesel de même pression et température maximales
(cycles 1−2−3−4−1 et 1−20 −3−4−1 dans le diagramme entropique), il est clair que le cycle
Diesel est plus efficace. puisque toute la chaleur supplémentaire requise (aire 20 − 2 − 3 − 20 )
est transformée en travail.
113
9.16.3 Moteurs suralimentés
On peut augmenter considérablement la puissance volumétrique des moteurs à piston en
les alimentant à une pression supérieure à la pression atmosphérique à l’aide d’un groupe
de suralimentation. Un groupe de suralimentation se compose d’un compresseur qui élève
la pression à l’entrée de la machine volumétrique, entraı̂né par une turbine utilisant les gaz
d’échappement. Le rendement du cycle est théoriquement inchangé.
Les groupes de suralimentation sont généralement constitués de turbomachines (compres-
seur centrifuge et turbine radiale) tournant à une vitesse de rotation beaucoup plus élevée que
le moteur volumétrique.
114
Chapitre 10
Cycles frigorifiques
10.1 Introduction
Dans la section 9.1, on a considéré des machines thermiques constituées de quatre proces-
sus distincts, mettant en oeuvre soit des dispositifs à circulation de fluide (systèmes ouverts
en régime), soit un système fermé à frontière mobile. Le fluide actif pouvait soit subir des
changements de phase ou au contraire rester dans une seule phase au cours du cycle.
On a ensuite traité le cas particulier de dispositifs à circulation de fluide constitués de
deux échanges de chaleur isobares et de deux variations de pression adiabatiques, et donc
isentropiques.
On considère à présent le cycle de réfrigération idéal constitué exactement des mêmes
processus, si ce n’est qu’ils sont parcourus en sens inverse, de sorte que sa représentation dans
un diagramme p − v est la suivante.
115
En outre, il existe des cycles frigorifiques à trois sources de chaleur (trithermes), qui per-
mettent un fonctionnement sans apport de travail : les machines à absorption.
On peut classer les machines frigorifiques selon les applications et les plages de température
correspondantes :
De l’ambiance à 5-10 °C : conditionnement d’air, applications alimentaires, . . .
De +10 °C à -18 °C : conservation des denrées alimentaires, production de glace, congélation.
De -18 °C à ∼-40 °C : surgélation (conservation de denrées périssables pendant plusieurs
mois).
Jusque -200 °C : applications industrielles notamment liées à l’industrie chimique ou ali-
mentaire : liquéfaction de l’air et du gaz naturel, lyophilisation.
Sous -200 °C : En dessous de la température de liquéfaction de l’azote (77 K), on entre dans
la zone des très basses températures. Les applications industrielles sont très limitées
(propulsion par fusée à hydrogène et oxygène liquide, aimants à très haute induction,
. . . ).
10.2.1 Performances
Compression adiabatique et réversible w = h2 − h1
Refroidissement isobare q = h3 − h2 (p = psat (TC )).
Détente irréversible h4 = h3
Echauffement isobare qF = h1 − h4 , grandeur que l’on appelle la production frigorifique
nette (PFN). La puissance frigorifique nette Q̇F = ṁ(h1 − h4 ).
116
L’efficacité frigorifique, ou encore coefficient de performance, vaut
h1 − h4
εfr = (10.1)
h2 − h1
alors que le rendement exergétique
εfr TC
ηex = = εfr ( − 1) < 1 (10.2)
εfr,Carnot TF
Le compresseur est le plus souvent de type volumétrique (à piston, à palette ou à vis).
Une caractéristique importante est la puissance volumétrique par unité de débit volumétrique
aspiré par le compresseur, appelée production frigorifique volumétrique (PFV) :
qF h1 − h4
PFV = =
v1 v1
Mais le volume aspiré par le compresseur peut être très différent du volume balayé par le
piston, qui conditionne l’encombrement et le prix de la machine. On définit donc le coefficient
de remplissage kv comme suit
volume aspiré
kv =
volume balayé
Considérons à titre d’exemple un compresseur volumétrique de volume mort et de volume
balayé Vb . Le gaz restant dans le volume mort à la fin du refoulement occupe après détente à
la pression d’admission
k1
pref
V2 =
padm
(détente isentropique de gaz parfait). Le volume aspiré vaut donc
" 1 #
pref k
Vasp = + Vb − V2 = Vb − −1
padm
117
Il dépend donc des caractéristiques constructives du compresseur, mais aussi du rapport de
compression, lié aux températures des sources.
La production frigorifique par unité de volume balayé vaut par conséquent
PFVb = PFV kv
118
Plage de température Le fluide doit être tel que TF et TC soient comprises entre le point
triple et le point critique. De plus, il est souhaitable que p1 = psat (TF ) soit supérieure à
la pression atmosphérique (pour éviter des rentrées d’air dans le système, et pour réduire
l’encombrement — PFV∝ p1 ), et que p2 = psat (TF ) soit inférieure à 2 MPa. Enfin, il est
souhaitable d’avoir pcond /pevap aussi faible que possible, d’une part pour des raisons de
coét du compresseur, et d’autre part pour limiter la température T2 en fin de compression,
qui doit être compatible avec la stabilité thermique et chimique du fluide.
Efficacité frigorifique Il est évidemment avantageux d’avoir une efficacité frigorifique aussi
élevée que possible, ce qui implique de maximiser le rendement exergétique. Ce dernier
ne dépend que du fluide et des températures des sources.
119
Par conséquent, les réfrigérants à deux chiffres sont ceux comprenant un seul atome de carbone,
p. ex. R-22 pour C H Cl F2 . La présence du fluor rend ces composés très stables, ininflammables
et non toxiques. Ils sont compatibles avec les matériaux de construction, certaines huiles et les
élastomères.
Leur très grande stabilité, en particulier des composés sans atome d’hydrogène, est également
à l’origine de leur principal défaut principal défaut, car ils diffusent sans être décomposés jus-
qu’à la stratosphère, où ils sont décomposés par des réactions photochimiques, libérant du
chlore qui réagit avec l’ozone stratosphérique. Cet inconvénient est entièrement évité avec les
composés ne contenant pas de chlore, appelés HFC.
Des composés de masse moléculaire élevée, très fluorés, sont en cours d’étude et de développement
pour les applications aux pompes à chaleur, mais aussi aux cycles moteurs, p. ex. le C4 F8 .
Les réfrigérants fluorés ont été très largement étudiées, et leurs propriétés thermodyna-
miques sont publiées par les producteurs et divers organismes scientifiques. Des tables infor-
matisées sont notamment disponibles sur le TESTCenter.
Outre les fréons, le réfrigérant le plus employé est l’ammoniac, qui offre l’avantage d’une
production frigorifique nette beaucoup plus élevée, et donc requiert des débits plus faibles pour
une puissance frigorifique nette donnée. Il est également peu coéteux, ce qui explique qu’il est
encore largement utilisé pour les installations de moyenne et de grande puissance, malgré sa
toxicité et une certaine réactivité chimique (il corrode le cuivre).
10.4.1 Introduction
Si l’on dispose d’une source chaude en plus de la source gratuite à température ambiante,
il est possible d’extraire de la chaleur d’une source froide sans apport de travail (machine
frigorifique tritherme). Il existe deux principales manières de procéder :
1. les machines frigorifiques composées d’une machine thermique fonctionnant entre la
source chaude et l’ambiance, qui entraı̂ne une machine frigorifique à compression de
vapeur ;
2. les machines à absorption de vapeur.
Ces dernières, qui offrent l’avantage de ne pas comprendre de machines tournantes (à l’excep-
tion d’une pompe), ont une longue histoire et sont les seules ayant atteint le développement
industriel. Le principe va à présent en être expliqué, dans le cas particulier de la machine à
absorption d’ammoniac.
D’une manière générale, les machines frigorifiques trithermes ont une efficacité thermique
faible. Elles sont surtout utiles pour valoriser une source chaude à température modérée (rejets
industriels, énergie solaire, biomasse) qui sans cela serait inutilisée, de sorte que l’efficacité a
relativement peu d’importance.
120
10.4.2 Principe de fonctionnement
Une pompe sert à comprimer le liquide prélevé dans l’absorbeur, alors que le liquide prélevé
dans le bouilleur et celui sortant du condenseur sont détendus à basse pression au moyen d’une
vanne.
La machine comprend deux parties principales :
1. un compresseur chimique, formé de l’ensemble bouilleur-absorbeur, dont le but est de
fournir en 5 un réfrigérant à haute pression, et d’aspirer ce même réfrigérant à basse
température en 8.
2. un ensemble condenseur-vanne-évaporateur identique à celui des machines à compression.
Le compresseur chimique fonctionne en utilisant comme fluide actif un mélange comprenant
un réfrigérant volatil (ammoniac) et un solvant peu volatil (eau).
121
A une température donnée (en l’occurrence TC ), l’équilibre des phases liquide/vapeur d’un
tel mélange en fonction de son titre et de la pression se présente comme suit (voir Chimie
générale/Chimie physique) :
La vapeur riche à basse température sortant de l’évaporateur est ensuite absorbée par le
liquide pauvre dans l’absorbeur pour reformer un mélange de titre xr . La chaleur dégagée par
ce processus exothermique est cédée à l’ambiance.
L’analyse détaillée du processus permettant de calculer l’efficacité frigorifique est assez
complexe (J. Bougard, Thermodynamique technique) et ne sera pas traitée dans ce cours.
L’efficacité du cycle de base peut être améliorée en ajoutant des échangeurs de chaleur.
– la solution (pauvre)
chaude prélevée
du bouilleur sert à
réchauffer la solution
riche sortant de la
pompe ;
– la vapeur froide sortant
de l’évaporateur sert à re-
froidir le liquide sortant
du condenseur.
122
10.5 Cycle frigorifique à air
Le cycle frigorifique à air est simplement un cycle de Joule inversé.
T1 − T4 1 1 1 1
εfr = = T2 −T3
= T2
= k−1 < TC
(T2 − T1 ) − (T3 − T4 ) T1 −T4
−1 T1
−1 Π k −1 TF
−1
123
Fig. 10.10 – Courbes de COP
Pour des rapports de pression modérés, le COP diminue rapidement, et, en tenant compte
du rendement des machines, il est encore réduit (environ d’un facteur 3). Ces machines frigo-
rifiques ne sont donc pas compétitives avec les machines à compression de vapeur. Cependant,
leur faible poids (dé à l’utilisation de turbomachines) est un avantage décisif pour le condition-
nement d’air des avions.
On peut améliorer l’installation en utilisant un cycle de Joule inverse à récupération.
On peut ainsi atteindre aisément des températures très basses en un seul étage, ce qui rend la
machine très compétitive. Ces machines sont très largement utilisées dans les installations à très
basse température, notamment les liquéfacteurs. Le gaz utilisé n’est alors plus nécessairement
de l’air.
Il se pose toutefois des problèmes technologiques (matériaux, lubrification) en raison des
basses températures auxquelles la turbine fonctionne.
124
Les performances du cycle à récupération sont
125
Chapitre 11
Relations thermodynamiques
Parmi les variables thermodynamiques, seul un petit nombre peut faire l’objet de mesures
directes : p, v, T . On peut déduire les valeurs des variables non mesurables à partir des données
expérimentales grâce à des relations thermodynamiques, dont nous allons à présent établir les
principales.
126
Comme de plus, dans ces conditions, la chaleur latente est pratiquement indépendante de
la température, on peut intégrer cette dernière équation pour obtenir finalement
L L
ln psat = A − → psat (T ) = Ce− RT
RT
L’équation de Calpeyron (11.1) s’applique également mutatis mutandis aux autres équilibres
de phase, en particulier pour l’équilibre solide-liquide. Comme dans ce cas vl −vs est généralement
très faible, il s’ensuit que la pente de la courbe de fusion est très élevée. Dans le cas de l’eau,
qui se dilate en se solidifiant, vl − vs < 0 et par conséquent, la pente de la courbe de fusion
est négative, ce qui est cohérent avec la discussion sur les propriétés thermodynamiques des
substances pures à la section 3.6.
où la dernière notation est habituellement utilisée en thermodynamique pour rendre clair le
choix du couple de variables indépendantes.
On peut encore réécrire la relation précédente
dz = M dx + N dy
où
∂z ∂z
M= et N=
∂x y ∂y x
Pour une fonction z(x, y) suffisamment dérivable, les dérivées secondes croisées sont égales et
par conséquent
∂M ∂N
= (11.3)
∂y x ∂x y
127
Insérant cette dernière expression dans la précédente, on obtient
" #
∂x ∂y ∂x ∂y ∂x
dx = dx + + dz
∂y z ∂x z ∂y z ∂z x ∂z y
ou encore " #
∂x ∂y ∂x ∂y ∂x
− 1 dx + + dz = 0
∂y z ∂x z ∂y z ∂z x ∂z y
Comme dx et dz sont arbitraires, il s’ensuit que les deux termes entre crochets sont nuls.
∂x ∂y ∂x ∂y ∂x
−1=0 + =0
∂y z ∂x z ∂y z ∂z x ∂z y
Multipliant la deuxième relation par (∂z/∂x)y , et compte tenu de ce que, par la première,
∂z ∂x
=1
∂x y ∂z y
on obtient la forme alternative
∂z ∂x ∂y
+1=0 (11.4)
∂x y ∂y z ∂z x
128
Par ailleurs, par la définition même des dérivées partielles et l’expression des équations de
Gibbs,
∂u ∂u
= T, = −p (11.15)
∂s v ∂v s
∂h ∂h
= T, =v (11.16)
∂s p ∂p s
∂a ∂a
= −s, = −p (11.17)
∂T v ∂v T
∂g ∂g
= −s, =v (11.18)
∂T p ∂p T
Toutes ces relations sont mises à profit pour calculer les variables thermodynamiques non
directement mesurables à partir des données expérimentales. Ainsi, par exemple, les équations
(11.13–11.14) permettent de calculer les variations d’entropie le long d’une isotherme à partir
des mesures de p, v et T .
129
pour déterminer u en fonction de T et v dans toute la région de phase uniforme décrite par
l’équation d’état.
Par ailleurs, on a
∂s ∂s cv ∂p
ds = dT + dv = dT + dv (11.21)
∂T v ∂v T T ∂T v
dh = T ds + vdp
130
11.4.3 Relations concernant les chaleurs massiques
A partir des deux équations différentielles de l’entropie (11.21–11.24), on tire directement,
par application de l’identité (11.3)
2
∂(cv /T ) ∂ p
=
∂v T ∂T 2 v
ou encore
∂2p
∂cv
=T (11.25)
∂v T ∂T 2 v
et
∂2v
∂(cp /T )
=−
∂p T ∂T 2 p
ou encore
∂2v
∂cp
= −T (11.26)
∂p T ∂T 2 p
Résolvant cette dernière expression pour cp − cv et utilisant l’identité (11.4), on obtient finale-
ment 2
∂v ∂p ∂p ∂v
cp − cv = T = −T (11.27)
∂T p ∂T v ∂v T ∂T p
Observations
1. cp − cv > 0, puisque ∂v ∂p
< 0 pour toutes les substances connues ;
T
∂v
2. comme ∂T p
(qui est lié au coefficient de dilatation volumique, voir section suivante) est
habituellement faible pour les liquides et les solides, cp − cv est corollairement très faible,
comme on l’a déjà souligné ;
3. enfin, cp − cv → 0 lorsque T → 0.
131
on peut définir un coefficient de dilatation volumique, applicable tant aux gaz et aux liquides
qu’aux solides, par l’expression suivante
1 ∂V 1 ∂v
αp ≡ = (11.28)
V ∂T p v ∂T p
132
Chapitre 12
Mélanges de gaz
On s’est principalement limité jusqu’à présent à l’étude des substances pures. Or, bon
nombre de problèmes thermodynamiques font intervenir des mélanges de substances pures.
On s’intéressera dans ce chapitre aux propriétés thermodynamiques des mélanges de gaz, et
plus particulièrement des mélanges de gaz parfaits. Ceci nous conduira à considérer un modèle
simplifié pour des mélanges de gaz dont un est condensable comme le mélange d’air et de
vapeur d’eau.
133
12.1.1 Première loi des mélanges
Le mélange de gaz s’effectue sans variation de volume si la pression et la température ne
varient pas.
En pratique, le volume total étant constant au cours de la transformation, on constate que
ni pression ni température ne varient au cours du mélange.
Par conséquent, Vi étant le volume occupé initialement par le constituant i, et V étant le
volume total X
V = Vi (12.6)
Il en résulte qu’un mélange de gaz parfaits obéit à la loi de Boyle-Mariotte. En effet,
X X X
pV = pVi = ni R̄T = mi Ri T = f (T )
On en déduit que, puisque l’énergie interne de chaque constituant ne dépend que de la température,
il en va de même de l’énergie interne du mélange.
Puisque le mélange de gaz parfaits obéit aux lois de Joule et de Boyle-Mariotte, il
constitue également un gaz parfait : il obéit à la loi des gaz pV = nR̄T , et ses propriétés sont
calculables pour autant que l’on connaisse l’une des chaleurs massiques.
134
résultat connu sous le nom de loi de Dalton. On donne dès lors à la grandeur pi le nom de
pression partielle du constituant i.
Il en résulte que
pi Vi ni
= = = yi (12.11)
p V n
12.2.1 Généralités
On considère à présent le cas d’un mélange d’un gaz avec une vapeur condensable. L’exemple
le plus familier est le mélange d’air et de vapeur d’eau que l’on rencontre dans les problèmes
de conditionnement d’air et de séchage. Dans certaines circonstances, la vapeur se condense
partiellement, et est donc en équilibre avec une phase liquide (ou solide).
Ce genre de problèmes s’analyse aisément en faisant les hypothèses suivantes :
135
1. la phase liquide ou solide ne contient aucun gaz dissous ;
2. la phase gazeuse peut être considérée comme un mélange de gaz parfaits ;
3. l’équilibre entre la phase liquide et le mélange à une pression et une température données
n’est pas influencé par la présence de l’autre constituant. Il s’ensuit qu’à l’équilibre, la
pression partielle de vapeur est égale à la pression de saturation à la température du
mélange.
Considérons tout d’abord un mélange gaz-vapeur à une température T supérieure à la
température de saturation correspondant à la pression partielle de la vapeur, de sorte que
la vapeur est surchauffée. Corollairement, la pression partielle est inférieure à la pression de
saturation à la température donnée.
Si l’on refroidit le mélange à pression constante, alors la vapeur va se condenser lorsque
la température atteint la température de saturation correspondant à la pression partielle de
la vapeur. On appelle cette température la température de rosée du mélange. La situation est
illustrée dans le diagramme T − s de la vapeur ci-dessous.
136
12.2.3 L’humidité absolue
L’humidité absolue ω d’un mélange air-vapeur d’eau est le rapport de la masse de vapeur
d’eau à la masse d’air
mv
ω= (12.16)
ma
La définition s’appique également à tout autre mélange gaz-vapeur, et l’indice a désigne le gaz
non condensable. L’humidité absolue est directement liée au titre massique en vapeur. Comme
z = mv /m, et m = ma + mv ,
zv zv ω
ω= = → zv =
za 1 − zv 1+ω
Etablissons à présent la relation entre humidités absolue et relative.
mv p v Ra p v Mv Mv φpsat
ω= = = = (12.17)
ma pa Rv p − p v Ma Ma p − φpsat
et dans le cas de l’air humide, Mv /Ma = 0, 622. En inversant cette relation, on obtient
Ma
Mv
ω p
φ= Ma
(12.18)
1 + Mv ω psat
Au-dessus de la température
de rosée, la pression partielle
de vapeur reste constante.
Lorsque la température atteint
la température de rosée, la va-
peur atteint l’état de saturation
2, et il apparaı̂t un condensat
liquide saturé en équilibre avec la
vapeur (état 4). Si on continue
à abaisser la température, alors
la pression partielle de vapeur
diminue et les phases liquide et
vapeur se déplacent sur la cloche
de saturation.
137
12.3.1 Chauffage isobare
Q̇
(ha2 + ω2 hv2 ) − (ha1 + ω1 hv1 ) =
ṁa
La grandeur ha + ωhv est l’enthalpie du mélange par kg d’air sec. Pour faciliter l’écriture, on la
désigne par le symbole ha . Semblablement, on désigne par le symbole q a la quantité de chaleur
reçue par kg d’air sec. L’expression précédente devient alors
ha2 − ha1 = q a
Remarquons enfin que, puisque la pression de saturation augmente, l’humidité relative diminue.
pv pv
φ2 = < φ1 =
psat,2 psat,1
138
12.3.2 Mélange adiabatique
On suppose que le liquide condensé est en équilibre avec la vapeur dans l’état de sortie. Les
équations de conservation de la masse sont dès lors
En divisant par le débit massique d’air sec, on obtient l’expression de la quantité de chaleur à
extraire par kg d’air sec
q a∗ = ha1 − ha2 − (ω1 − ω2 )hl2
139
que l’on peut encore développer comme suit
q a∗ = ha1 − ha2 + ω1 hv1 − ω2 hv2 − (ω1 − ω2 )hl2
= ha1 − ha2 + ω2 (hv1 − hv2 ) + (ω1 − ω2 )(hv1 − hl2 )
= ha1 − ha2 + ω2 (hv1 − hv2 ) + (ω1 − ω2 )(hv1 − hv2 + hv2 − hl2 )
| {z }
=L
Si le mélange entrant n’est pas saturé, de l’eau s’évapore et la température du mélange di-
minue. La température de sortie lorsque le mélange de sortie est saturé est appelée température
de saturation adiabatique.
Les équations de conservation de la masse sont semblables à celles de la section précédente,
de sorte que
ṁl
= ω2 − ω1
ṁa
Si l’on suppose que le liquide évaporé est à température T2 (en équilibre thermique avec le
mélange de sortie), le premier principe donne
ṁa ha2 − ṁl hl2 − ṁa ha1 = 0
ou encore, en divisant par le débit d’air sec
ha2 = ha1 + (ω2 − ω1 )hl2
expression que l’on peut développer comme suit
ha1 − ha2 = ω2 hv2 − ω1 hv1 − (ω2 − ω1 )hl2
= ω2 L − ω1 (hv1 − hl2 ) = −ω1 (hv1 − hv2 ) + (ω2 − ω1 )L (12.19)
Une conclusion intéressante de cette relation est que la température de saturation adiabatique
ne dépend que de la température et de l’humidité du mélange d’entrée (et bien sér de la
pression) puisque, le mélange de sortie étant saturé, ω2 est fonction de la température T2 . Par
conséquent, l’humidité du mélange d’entrée peut être déterminée en mesurant la température
d’entrée et de sortie.
140
12.4 Le psychromètre
Comme on l’a vu à la section précédente, le phénomène d’évaporation de l’eau au contact
d’un air humide non saturé peut être mis à profit pour déterminer l’humidité de cet air. On
effectue habituellement ce type de mesure à l’aide d’un psychromètre tel que représenté dans
le schéma suivant, constitué d’un thermomètre sec et d’un thermomètre humide placés au sein
d’un écoulement d’air.
Le mélange n’étant pas saturé, une partie de l’eau de la mèche s’évapore, ce qui entraı̂ne
une chute de la température de l’eau de la mèche. Il en résulte un transfert de chaleur de
l’air et du thermomètre vers la mèche jusqu’à ce qu’un état d’équilibre déterminé par les taux
d’évaporation et de transfert de chaleur soit atteint.
Comme le taux d’évaporation dépend de l’humidité du mélange initial, il s’ensuit que la
température d’équilibre est d’autant plus faible que l’humidité du mélange initial est faible, et
donc la différence de température entre les deux thermomètres constitue une mesure de cette
humidité.
Les phénomènes intervenant dans le psychromètre sont clairement différents de ceux inter-
venant dans le processus de saturation adiabatique décrit à la section précédente. Toutefois,
au voisinage des conditions de pression et de température atmosphériques, on constate que les
températures de thermomètre humide et de saturation adiabatique sont quasiment égales.
En première approximation, on peut donc calculer l’humidité en supposant que la température
de thermomètre humide est la température adiabatique de saturation. Pour plus de précision,
il faut recourir au diagramme d’étalonnage du psychromètre.
141
– des courbes iso-humidité relative, calculées à partir de la relation (12.17)
Mv φpsat
ω=
Ma p − φpsat
– des isothermes humides, assimilées à des iso-température de saturation adiabatique, dont
l’équation est donnée par (12.19)
Comme hv (T ) − hl (Ts ) ≈ L(Ts ) ≈ hv (Ts ), ces courbes sont pratiquement des droites.
– des iso-enthalpie par kg d’air sec. Comme, si l’on néglige l’enthalpie du liquide qui est
évaporé, le processus de saturation adiabatique est un processus à enthalpie par kg d’air
sec constant (voir (12.19)), il s’agit de droites qui se superposent aux isothermes humides.
142
Chapitre 13
Dans la plupart des cycles moteurs étudiés au chapitre 9, les quantités de chaleur nécessaires
au fonctionnement du cycle sont obtenues par combustion d’hydrocarbures, c.-à-d. par des
réactions chimiques d’oxydation exothermiques.
Ce chapitre est consacré à l’analyse des systèmes subissant de telles réactions chimiques,
sur base des premier et second principes. On se bornera à considérer des situations d’équilibre,
et par conséquent, on n’abordera pas les phénomènes cinétiques.
143
Fig. 13.1 – Les hydrocarbures
144
Gaz naturels divers Gaz de Gaz à l’eau Gaz de
Constituant A B C D gazogène carburé four à coke
Méthane 93,9 60,1 67,4 54,3 3,0 10,2 32,1
Ethane 3,6 14,8 16,8 16,3
Propane 1,2 13,4 15,8 16,2
Butane, etc. 1,3 4,2 7,4
Ethène 6,1 3,5
Benzène 2,8 0,5
Hydrogène 14,0 40,5 46,5
Azote 7,5 5,8 50,9 2,9 8,1
Oxygène 0,6 0,5 0,8
CO 27,0 34,0 6,3
CO2 4,5 3,0 2,2
145
et de 79% d’« azote atmosphérique »auquel on attribue une masse molaire fictive pour tenir
compte de la présence d’argon. La réaction de combustion d’un hydrocarbure avec l’air devient
donc
y 79 y y 79 y
Cx Hy + (x + ) O2 + (x + ) N2 → x CO2 + H2 O + (x + ) N2 (13.4)
4 21 4 2 21 4
E =λ−1
Dans les moteurs volumétriques, on emploie également la richesse Φ, inverse du coefficient d’air
théorique. L’équation de combustion complète d’un hydrocarbure avec excès d’air devient
y 79 y y y 79 y
Cx Hy + λ(x + ) O2 + λ (x + ) N2 → x CO2 + H2 O + E(x + ) O2 + λ (x + ) N2 (13.5)
4 21 4 2 4 21 4
2
Pour les substances à l’état gazeux, on considère en général un état hypothétique de gaz parfait. Comme
on ne considère pas les effets de gaz réels dans ce cours, la distinction n’a pas lieu d’être
146
Considérons la combustion de carbone solide avec de l’oxygène dans un système ouvert
stationnaire.
Fig. 13.3 – Combustion de carbone solide avec de l’oxygène dans un système ouvert stationnaire
On suppose que les deux réactifs entrent dans la chambre de combustion à l’état de référence,
et que le dioxyde de carbone formé sort à l’état de référence également. Si l’on pouvait mesurer
précisément la quantité de chaleur cédée, on obtiendrait une valeur de q̄ = −393 522 kJ/kmol
de carbone.
L’équation chimique de réaction étant
C + O2 → CO2
La mesure de la chaleur échangée nous fournit donc la différence d’enthalpie entre les produits
et les réactifs aux conditions de référence. Supposons que l’on attribue une valeur nulle à
l’enthalpie des corps simples. Alors, on en déduit que
q̄ = h̄CO2
On appelle cette enthalpie du dioxyde de carbone considéré comme gaz parfait à l’état de
référence enthalpie de formation et on la désigne par le symbole h̄0f . Pour le dioxyde de carbone,
on a donc
h̄0f = −393 522 kJ/kmol
L’enthalpie du dioxyde de carbone dans d’autres conditions de pression et température peut
alors se calculer par
h̄(p, T ) = h̄0f + (∆h̄)ref→p,T (13.6)
Cette procédure peut s’appliquer à toute autre molécule composée. L’enthalpie de for-
mation de nombreuses substances est disponible dans la littérature (notamment sur le site
TESTCenter, module mélange de gaz parfaits(http ://www.ulb.ac.be/sma/testcenter/)).
Remarques complémentaires
1. Le concept d’enthalpie de formation a été défini en termes de la chaleur échangée lors
d’une réaction chimique idéalisée. En réalité, l’enthalpie de formation est déterminée par
application de la thermodynamique statistique.
2. La validité de la convention par laquelle on attribue une valeur d’enthalpie nulle aux
corps simples à l’état de référence repose sur le fait que la masse des éléments se conserve
au cours d’une réaction chimique.
147
3. Lorsqu’un corps simple ou un composé peut exister sous plusieurs formes à l’état de
référence, il importe de préciser la forme considérée. Pour les corps simples, la valeur
nulle est associée à la forme chimiquement stable à l’état de référence. Par exemple,
l’oxygène peut exister sous forme monoatomique, diatomique, ou triatomique (ozone).
Comme c’est la forme diatomique qui est stable à l’état de référence, c’est à cette forme
qu’est attribuée la valeur nulle.
4. Dans les tables thermodynamiques, on fournit deux valeurs pour l’enthalpie de formation
de l’eau, l’une pour l’eau à l’état liquide, l’autre pour l’eau à l’état hypothétique de
vapeur. Il s’avère commode d’utiliser la valeur à l’état liquide conjointement avec les
tables thermodynamiques de l’eau, et la valeur à l’état de vapeur lorsqu’on emploie le
modèle de gaz parfait.
où les ṅ sont les débits molaires des diverses substances. En divisant par ṅcomb , on obtient les
grandeurs par kmol de combustible.
Dans la plupart des cas, les réactifs et les produits ne se trouvent pas dans l’état de référence.
Pour les solides ou les liquides, la variation d’entalpie entre l’état considéré et l’état de référence
s’obtient à partir de tables thermodynamiques. Pour les gaz, avec l’hypothèse de gaz parfaits,
on calculera les variations à l’aide des tables de gaz parfaits.
En développant l’expression du premier principe, on obtient donc
X X
Q̇ + Ẇ = ṅs (h̄0f + ∆h̄)s − ṅe (h̄0f + ∆h̄)e (13.7)
P R
148
13.6 Enthalpie et énergie interne de combustion ; pou-
voir calorifique
L’enthalpie de combustion est la différence d’enthalpie entre les produits et les réactifs pour
une combustion complète à température et pression données, référée à l’unité de masse ou à
l’unité molaire de combustible.
!
1 X X h̄RP
h̄RP = ns (h̄0f + ∆h̄)s − ne (h̄0f + ∆h̄)e hRP = (13.8)
ncomb P R
Mcomb
On fournit généralement dans les tables les enthalpies de combustion aux conditions normales
(25 °C, 0,1 MPa).
L’énergie interne de combustion est définie de manière semblable
!
1 X X ūRP
ūRP = ns (h̄0f + ∆h̄ − pv̄)s − ne (h̄0f + ∆h̄ − pv̄)e uRP = (13.9)
ncomb P R
Mcomb
Si l’on considère tous les constituants gazeux comme parfaits, et les volumes des constituants
liquides et solides négligeables, alors
On utilise souvent les expressions chaleur de réaction ou pouvoir calorifique, qui désignent la
chaleur extraite de la chambre de combustion durant une combustion à température constante.
Dans le cas d’une combustion isobare, on a par le premier principe que cette chaleur est égale
à l’opposée de l’enthalpie de combustion. On l’appelle pouvoir calorifique isobare.
Dans le cas d’une combustion à volume constant, la chaleur échangée est égale à l”opposée de
l’énergie interne de combustion. On l’appelle pouvoir calorifique isochore.
On distingue les pouvoirs calorifiques inférieur (PCI) ou supérieur (PCS) selon que l’eau conte-
nue dans les produits est sous forme de vapeur ou sous forme liquide.
Lorsqu’on calcule les pouvoirs calorifiques des hydrocarbures par les expressions (13.8–13.9),
on constate que l’enthalpie de formation de l’hydrocarbure contribue faiblement. Considérant
l’équation chimique de combustion générale avec excès d’air (13.5), et compte tenu de ce que les
enthalpies de formation de l’oxygène et de l’azote moléculaire sont nulles, le pouvoir calorifique
isobare aux conditions normales vaut
y y
(PC) = −xh̄0f,CO2 − h̄0f,H2 O + h̄f,Cx Hy ≈ −xh̄0f,CO2 − h̄0f,H2 O (13.11)
2 2
d’on on déduit que
– le pouvoir calorifique de tous les hydrocarbures de même composition molaire (ou mas-
sique) en C et H est identique en première approximation, ce qui justifie l’utilisation de
la notion de combustible moyen, et
149
– le pouvoir calorifique est indépendant de la quantité d’espèces inertes (azote) présentes,
et de l’excès d’air.
Le pouvoir calorifique est mesuré expérimentalement par les dispositifs suivants :
Bombe de Mahler appareil dans lequel on réalise une combustion à volume constant avec
condensation de la vapeur d’eau, dont on déduit le pouvoir calorifique isochore. Convient
pour les combustibles solides ou liquides.
Calorimètre de Junkers appareil dans lequel on réalise une combustion isobare en système
ouvert stationnaire, dont on déduit le pouvoir calorifique isobare. Convient pour les
combustibles gazeux (voir laboratoire).
150
Dans le cas d’une transformation avec réaction chimique, cette expression devient, pour un
intervalle de temps donné
X X
∗
Wrev = ne (h̄0f + ∆h̄ − T0 s̄)e − ns (h̄0f + ∆h̄ − T0 s̄)s (13.12)
R P
Pour une transformation telle que les réactifs et les produits soient en équilibre de température
avec l’ambiance, le groupe h − T0 s est égal à l’énergie libre de Gibbs, de sorte qu’en l’absence
de variations d’énergie cinétique et potentielle, le travail réversible devient
X X
∗
Wrev = ne ḡe − ns ḡs (13.14)
R P
Examinons à présent la question du travail maximum qui peut être effectué au cours
d’une réaction chimique, les réactifs étant à température ambiante. Ce travail sera obtenu
si la réaction est réversible et si les produits sont en équilibre de pression et de température
avec l’ambiance, et est donc donné par l’expression précédente (13.14), c.-à-d. qu’il est égal à
la diminution de l’énergie libre de Gibbs.
Par conséquent, le rendement exergétique d’un dispositif destiné à produire du travail au
moyen d’une combustion, comme un moteur volumétrique, s’exprime comme le rapport entre
le travail réellement fourni et la diminution de l’énergie libre de Gibbs −ḡRP . Or, la définition
habituellement utilisée du rendement est le rapport entre le travail fourni et le pouvoir calo-
rifique −h̄RP . En pratique, comme pour les hydrocarbures, ḡRP ≈ h̄RP , les valeurs sont très
proches.
Illustrons les irréversibilités se produisant lors des combustions par un exemple. Considérons
la combustion isobare et adiabatique d’éthène (C2 H4 ) gazeux dans un système ouvert station-
naire avec un coefficient d’air théorique de 400%, les réactifs étant aux conditions normales.
L’équation chimique générale de réaction devient dans ce cas particulier (x = 2, y = 4, λ = 4)
79 79
C2 H4 + 4(3) O2 + 4 (3) N2 → 2 CO2 + 2H2 O + 3(3) O2 + 4 (3) N2
21 21
Les données thermodynamiques des réactifs et des produits aux conditions normales sont
données au tableau ci-dessous :
C 2 H4 O2 N2 CO2 H2 O
M (kg/kmol) 28,054 31,999 28,013 44,01 18,015
h̄0f (kJ/kmol) 52 467 0 0 -393 522 -241 826
s̄0 (kJ/kmol·K) 219,330 205,148 191,609 213,794 188,835
Commençons par calculer le pouvoir calorifique isobare (inférieur puisque l’eau sera à l’état de
vapeur) aux conditions standard
151
La température adiabatique de flamme s’obtient par l’expression (13.7)
X X X
ns (h̄0f + ∆h̄)s (Tad ) − ne (h̄0f + ∆h̄)e = ns ∆h̄s (Tad ) − (PCI)
P R P
= [2∆h̄CO2 + 2∆h̄H2 O + 9∆h̄O2 + 45, 1∆h̄N2 ](Tad ) − (PCI) = 0
Résolvant itérativement cette équation, on trouve Tad = 1016 K. Remarquez que, avec l’hy-
pothèse de gaz parfaits, la température de flamme ne dépend pas directement des pressions
partielles des constituants.
Calculons à présent le travail réversible. Comme les constituants sont chacun à leur pression
partielle de mélange, on calcule d’abord les entropies de chaque constituant à sa pression
partielle. On trouve
C 2 H4 O2 N2 CO2 H2 O
s̄0R (kJ/kmol·K) 253,109 218,267 193,713
s̄0P (kJ/kmol·K) 220,659 193,713 241,810 216,851
et par conséquent
X X
∗
Wrev = (PCI) − T0 [ n e se − ns ss ] = 1 332 387 kJ/kmol
R P
qui est effectivement très proche du pouvoir calorifique, comme on l’a précédemment indiqué.
L’irréversibilité au cours de la transformation est donnée par l’équation (13.13) avec Q = 0
puisqu’il s’agit d’une combustion adiabatique.
X X
I= ns T0 s̄s − ne T0 s̄e = 672 625 kJ/kmol
P R
152
13.9 Evaluation des procédés réels de combustion
On caractérise l’efficacité d’un procédé réel de combustion au moyen de divers paramètres,
selon l’application considérée.
Chambre de combustion (turbine à gaz) Dans ce cas, si la combustion était complète
et adiabatique, la température de sortie serait la température adiabatique de flamme.
En réalité, la combustion n’est pas parfaite (formation d’oxydes d’azote p. ex.) et il se
produit une perte de chaleur vers l’ambiance, de sorte que la quantité de combustible
nécessaire pour obtenir une température donnée est plus élevée que pour une combustion
complète et adiabatique. On définit dès lors le rendement de combustion ηcomb comme
µidéal
ηcomb = (13.15)
µréel
153
Chapitre 14
Ecoulements compressibles
Dans de nombreuses applications sont employés des dispositifs dont la fonction est de
transformer de l’énergie cinétique en énergie interne ou vice-versa, sans échange de travail :
tuyères propulsives de turboréacteurs ou de moteurs-fusée, aubages distributeurs de turbines à
gaz ou à vapeur, diffuseurs, aubages redresseurs de compresseurs. On les a d’ailleurs mentionnés
spécifiquement à la section 7.16 consacrée aux notions de rendement.
Et il en est de même pour les aubages mobiles des pompes, compresseurs et turbines,
lorsqu’on se place en repère relatif. C’est d’ailleurs la caractéristique fondamentale des turbo-
machines comme convertisseurs d’énergie (par rapport aux machines volumétriques) que d’ef-
fectuer la transformation d’énergie interne en travail ou vice-versa via le passage par l’énergie
cinétique.
On consacrera dès lors ce chapitre à l’aspect thermodynamique des écoulements dans de tels
dispositifs, en se limitant à l’étude des écoulements unidimensionnels. Les écoulements com-
pressibles bidimensionnels font l’objet du cours MECA 339 Dynamique des gaz en 5e MECA.
c2
h0 = h + s0 = s (14.1)
2
L’état d’arrêt isentropique se représente aisément sur un diagramme de Mollier . Dans le cas
des gaz parfaits à chaleurs massiques constantes, la pression totale ou pression d’arrêt se calcule
aisément à l’aide des expressions décrivant les transformations isentropiques (7.31)
k k
p0 T0 h0
k−1 k−1
= =
p T h
154
Fig. 14.1 – L’état d’arrêt isentropique se représente aisément sur un diagramme de Mollier
dP~F
= F~V + F~S
dt
où P~F est la quantité de mouvement du système fermé, et F~V et F~S respectivement les forces
de volume et de surface qui s’appliquent sur le système.
La généralisation à un système ouvert s’obtient en suivant exactement la même démarche
que pour les premier et second principe (voir sections 5.10 et 7.12). Le taux de variation de la
quantité de mouvement du système fermé constitué de la matière initialement contenue dans
le système ouvert considéré est relié à celui du système ouvert par
dP~O X X
+ ṁs~cs − ṁe~ce = F~V + F~S (14.3)
dt
et, dans le cas particulier d’un système en régime stationnaire
X X
ṁs~cs − ṁe~ce = F~V + F~S (14.4)
résultat abondamment employé au cours de Phénomènes de transport pour calculer les forces
s’appliquant sur des systèmes ouverts (p. ex. sur le coude d’une canalisation).
155
Fig. 14.2 – écoulement dans une canalisation droite de section variable A(x)
dṁ
ṁ(x + dx) − ṁ(x) = 0 → =0 (14.5)
dx
ou encore, comme ṁ = ρcA,
dρ dc dA dv dc dA
+ + =− + + =0 (14.6)
ρ c A v c A
dp
ṁ(c + dc) − ṁc = −[pA + d(pA)] + pA + (p + )dA − δFf − ρgAdz (14.7)
2
En simplifiant, et en négligeant les termes d’ordre supérieur, il reste
156
relation qui, en l’absence de frottement (δFf = 0), n’est rien d’autre que la forme différentielle
de l’équation de Bernoulli (7.47).
Pour les écoulements de fluides compressibles auxquels on s’intéresse, la contribution de la
force de volume est négligeable, et sera ignorée dans la suite.
On exprime la force de frottement au moyen d’un coefficient adimensionnel défini comme
suit
δFf
δF =
½ρc2 A
de sorte qu’on obtient finalement l’expression suivante du théorème de la résultante cinétique
dp c2
cdc + + δF = 0 (14.10)
ρ 2
Le frottement δFf comprend tout à la fois le frottement visqueux aux parois et la traı̂née des
corps éventuellement plongés dans l’écoulement. La contribution du frottement visqueux aux
parois s’exprime généralement en termes d’un coefficient de frottement f défini par l’expression
δFf,p A
f= = δFp (14.11)
½ρc (P M )dx
2 (P M )dx
c2 c2 c2
ṁ(h + + d(h + )) − ṁ(h + ) = δ Q̇ (14.12)
2 2 2
et donc,
c2 δ Q̇
d(h + )= = δq = dh0 (14.13)
2 ṁ
δ Q̇
ṁ(s + ds) − ṁs ≥ (14.14)
T
ou, en divisant par le débit massique
δq dh0
ds ≥ = (14.15)
T T
157
14.4 La vitesse du son et le nombre de Mach
On va à présent appliquer les résultats de la section précédente pour déterminer la vitesse
de propagation d’une petite perturbation de pression, c.-à-d. la vitesse du son.
Considérons une perturbation de pression infinitésimale d’amplitude dp créée par le déplacement
d’un piston avec une vitesse infinitésimale dc à l’extrémité d’un tube.
La perturbation se propage dans le tube sous la forme d’une onde plane se déplaçant à
une vitesse a. Plaçons-nous dans un référentiel lié à l’onde. Comme la surface du tube est
constante (dA = 0), et en supposant la transformation adiabatique et réversible, les équations
s’appliquant à une tranche de tube dx autour de l’onde s’écrivent, en appelant w = c − a la
vitesse dans le référentiel choisi
d(ρw) = ρdw + wdρ = ρdc − adρ = 0 (14.16)
dp dp
cdc + = −adc + =0 (14.17)
ρ ρ
dh + cdc = dh − adc = 0 (14.18)
ds = 0 (14.19)
On peut remarquer que les trois dernières équations sont évidemment liées entre elles, car
l’absence de frottement va de pair avec la réversibilité. En vertu de la relation de Gibbs dh =
T ds + vdp, dh = vdp, et donc les 2e et 3e équations sont identiques.
Eliminant dc entre les deux premières équations, on obtient
dp − a2 dρ = 0 (14.20)
dont on déduit l’expression de la vitesse de la perturbation a
2 ∂p
a = (14.21)
∂ρ s
que l’on peut également exprimer en fonction du coefficient d’élasticité adiabatique Bs (voir
section 11.5). En effet,
∂p ∂p Bs
Bs = −v =ρ → a2 =
∂v s ∂ρ s ρ
158
Evaluons cette expression dans le cas d’un gaz parfait. En vertu de la relation
ds k dv 1 dp k dρ 1 dp
= + =− +
R k−1 v k−1 p k−1 ρ k−1 p
établie à la section 7.10, on déduit
2 ∂p p
a = =k = kRT (14.22)
∂ρ s ρ
Un paramètre très important d’un écoulement compressible est le nombre de Mach, défini
comme le rapport entre la vitesse c et la vitesse du son a
c
M≡ (14.23)
a
Lorsque M < 1, l’écoulement est dit subsonique ; lorsque M > 1, il est dit supersonique, et
lorsque M = 1, l’écoulement est sonique.
c2
d(h + ) = dh0
2
s’intègre immédiatement pour donner
c2
h+ = h0 (14.26)
2
qui n’est rien d’autre que la définition de l’enthalpie totale. Pour un gaz parfait à chaleurs
massiques constantes,
kRT a2
h = cp T = = (14.27)
k−1 k−1
159
de sorte que l’on peut réécrire l’équation précédente sous la forme
k−1 2 k−1 2
h(1 + M ) = h0 ⇔ T (1 + M ) = T0 (14.28)
2 2
En en prenant la dérivée logarithmique, on obtient la forme différentielle
dh (k − 1)M 2 dM dh0
+ = (14.29)
h 1 + k−1
2
M2 M h0
Equation des gaz parfaits En prenant la dérivée logarithmique de l’équation des gaz parfaits
p = ρRT , on obtient la forme logarithmique
dp dρ dT dρ dh
= + = + (14.30)
p ρ T ρ h
Définition du nombre de Mach En prenant la dérivée logarithmique de la définition du
nombre de Mach M = c/a, on obtient la forme différentielle
dM dc da dc 1 dT dc 1 dh
= − = − = − (14.31)
M c a c 2 T c 2 h
Résumé En rassemblant les diverses équations, on obtient le système différentiel
dρ dc dA
+ + =0
ρ c A
dp dc kM 2
+ kM 2 + δF = 0
p c 2
dh (k − 1)M 2 dM dh0
+ = (14.32)
h 1 + k−12
M2 M h0
dp dρ dh
= +
p ρ h
dM dc 1 dh
= −
M c 2 h
que l’on peut résoudre pour dM/M , dc/c, dp/p, dρ/ρ et dh/h en fonction de dA/A (effet de la
variation de section), de δF (effet du frottement) et de dh0 /h0 (effet d’un apport de chaleur).
Nous allons étudier chacun de ces effets successivement.
160
L’écoulement étant isentropique dh = vdp = va2 dρ. Par conséquent, l’équation de l’énergie
peut se réécrire
dρ
a2 + cdc = 0 (14.33)
ρ
Résolvant pour dρ/ρ et insérant dans l’équation de conservation de la masse, on obtient
dc dA dA dc dp
(1 − M 2 ) + =0 → = − (1 − M 2 ) = − 2 (1 − M 2 ) (14.34)
c A A c ρc
Ce résultat a une grande importance, car il permet de déterminer la forme à donner à la
conduite pour effectuer une détente (tuyères) ou une compression (diffuseurs).
Pour une tuyère (dp < 0), elle doit être convergente (dA < 0) si l’écoulement est subsonique
(M < 1) et divergente (dA > 0) si l’écoulement est supersonique (M > 1). Inversément, un
diffuseur doit être divergent (dA > 0) si l’écoulement est subsonique (M < 1) et convergent si
l’écoulement est supersonique (M > 1).
On en déduit également que l’écoulement ne peut être sonique que là où la section passe
par un extremum (dS = 0) qui, compte tenu de la discussion précédente doit être un minimum,
c’est-à-dire en un col.
Si l’écoulement est sonique au col, alors l’évolution en aval du col peut être soit subsonique,
soit supersonique. C’est la condition aux limites en aval du divergent qui détermine lequel des
deux comportements se réalise.
14.6.2 Saturation
Supposons que l’on accélère un écoulement subsonique dans un convergent (ou que l’on
décélère un écoulement supersonique dans ce même convergent). Comme pour tous les fluides
compressibles, la vitesse du son diminue lorsque la température diminue, le nombre de Mach
varie dans le même sens que la vitesse. Il augmente donc pour un écoulement subsonique et
diminue pour un écoulement supersonique. Toutefois, en vertu de l’équation (14.34), le nombre
de Mach ne peut pas atteindre l’unité à l’intérieur du convergent, seulement à son extrémité.
On appelle ce phénomène la saturation de la tuyère.
Si l’on accélère un fluide de conditions d’arrêt données au moyen d’une tuyère convergente
en diminuant la pression régnant en aval de celle-ci, la vitesse à la section de sortie, et donc aussi
le débit, augmentent jusqu’à ce que les conditions soniques y soient atteintes. Ils ne changent
plus si on continue à réduire la pression.
161
On déduit également qu’on ne peut accélérer un écoulement jusqu’à des conditions super-
soniques qu’au moyen d’une tuyère convergente-divergente, que l’on appelle tuyère de Laval.
En particulier, les conditions au point sonique, appelées conditions critiques et désignées par
l’indice supérieur *, ont les valeurs suivantes
T∗ 2
0
= (14.37)
T k+1
k
p∗
k−1
2
= (14.38)
p0 k+1
1
ρ∗
k−1
2
= (14.39)
ρ0 k+1
162
Comme le débit massique ṁ = ρcA se conserve, on en déduit
1 k+1
" # k−1 + 12 " # 2(k−1)
A ρ∗ c ∗ 1 2(1 + k−12
M 2
) 1 2(1 + k−1
2
M 2
)
= = = (14.45)
A∗ ρc M k+1 M k+1
Cette dernière relation est représentée ci-dessous. Elle confirme la conclusion antérieure que le
nombre de Mach d’un écoulement subsonique augmente dans une tuyère convergente et celui
d’un écoulement supersonique dans une tuyère divergente.
Fig. 14.5 – e nombre de Mach d’un écoulement subsonique augmente dans une tuyère conver-
gente et celui d’un écoulement supersonique dans une tuyère divergente
A partir des expressions précédentes, on peut calculer le débit massique passant par une
section donnée
− k+1 k+1
kp0 kp0 A∗
2(k−1)
0 0 ρ a k − 1 2 2(k−1) 2
ṁ = ρcA = ρM aA = ρ a M 0 0 = 0 M 1 + M = 0
ρ a a 2 a k+1 A
On peut encore exprimer ce résultat en fonction du rapport de pression p/p0 . Comme
k
− k−1 ( " − k−1 #) 12
p k−1 2 2 p k
= 1+ M → M= −1
p0 2 k−1 p0
on obtient finalement
k+1 ( " k−1 #) 21 ( k2 " k−1 #) 12
− k
kp0 p 2k 2 p p0 2k 2 p p k
ṁ = 0 −1 = 0 1− −1
a p0 k−1 p0 a k − 1 p0 p0
(14.46)
Le terme entre accolades est appelé coefficient de débit et est désigné par le symbole ψ. Comme
il est proportionnel au rapport A∗ /A, il passe par un maximum lorsque l’écoulement est loca-
lement sonique, c.-à-d. pour
p p∗
=
p0 p0
Il va de soi que ce débit ne peut être atteint qu’à la section minimum (sortie pour une tuyère
convergente, col pour une tuyère de Laval).
163
14.6.4 Ecoulement dans une tuyère de forme donnée
Considérons une tuyère de forme donnée alimentée par un fluide de conditions totales
données et étudions le comportement de l’écoulement en fonction de la pression aval ps . Si la
pression aval est égale à la pression d’arrêt, le fluide est entièrement au repos. Si l’on baisse la
pression aval, un écoulement s’établit dans la tuyère. Tant que le rapport de pression ps /p0 est
tel que
( " k−1 #) 12
− k
As A 2 ps
< ∗ (Ms ) avec Ms = −1
Acol A k−1 p0
l’écoulement est subsonique au col, et il existe une solution unique (cas b de la figure suivante).
En effet, en vertu de la relation précédente, A∗ < Acol , et donc Mcol < 1.
Lorsque la pression est telle que As /Acol = (A/A∗ )(Ms ), l’écoulement est sonique au col
(cas c) et subsonique dans le divergent. Si l’on réduit encore la pression, alors il n’y a plus
de solution isentropique, sauf pour le cas d correspondant à un écoulement supersonique dans
le divergent. On dit alors que la tuyère est adaptée. Pour toutes les pressions intermédiaires
entre les cas c et d, il y aura donc des phénomènes irréversibles qui interviennent dans ou à
l’extérieur de la tuyère.
164
Premier principe
c2
d(h + ) = dh0 = 0 (14.49)
2
Comme c = Gv, on peut exprimer l’équation de l’énergie uniquement en fonction de variables
thermodynamiques :
v2
h + G2 = h0 (14.50)
2
Cette équation représente une courbe dans l’espace thermodynamique, que l’on appelle ligne
de Fanno. Elle s’applique au cas général d’un fluide d’équation d’état quelconque. L’effet du
frottement n’apparaı̂t pas explicitement, mais se manifeste via son influence sur les propriétés
thermodynamiques.
A titre d’illustration, on représente une ligne de Fanno dans un diagramme de Mollier de
la vapeur d’eau sur la planche suivante. La forme de la courbe est semblable pour tous les
fluides compressibles. Avec un fluide entrant dans l’état 1, le frottement aura pour effet de
réduire la pression (perte de charge), ce qui entraı̂ne une diminution de masse volumique et
donc une augmentation de vitesse, et par conséquent une diminution d’enthalpie. On constate
que l’entropie augmente, ce qui est en accord avec le second principe puisque la transformation
est adiabatique.
165
En l’absence d’obstacles dans l’écoulements, δF = 4fdx/Dh , et il y a donc une longueur
maximum de conduite Lmax ,
Dh L T ds
Z Z L Z L
Dh T ds Dh 2 dv dp
Lmax = = =− G + (14.51)
4f e c2 /2 4fG2 e v 2 /2 2fG2 e v v
Si la conduite considérée est plus longue que cette longueur limite, cela signifie que les conditions
d’entrée ne sont pas réalisables, spécifiquement que le débit est trop élevé.
Examinons de plus près les conditions d’écoulement au point limite L. Comme en ce point
ds = 0,
dh = vdp = va2 dρ = −a2 dv/v
Mais par ailleurs dh = −G2 vdv, de sorte que
G2 v = a2 /v → c2 = G2 v 2 = a2
c.-à-d. que l’écoulement est sonique, comme à l’extrémité d’une tuyère convergente saturée.
La partie inférieure de la ligne de Fanno correspond à des conditions d’entrée supersoniques.
Dans ce cas, le frottement a pour effet (paradoxal) de comprimer le fluide. La raison en est que la
perte de charge a pour effet principal de réduire la vitesse, dont il s’ensuit une augmentation de
masse volumique (par conservation du débit) et de pression. On constate donc que le frottement
a pour effet de faire tendre le nombre de Mach vers l’unité, comme la convergence d’une tuyère.
Remarquons pour terminer que, par un point du plan thermodynamique, il passe plusieurs
lignes de Fanno correspondant à des débits différents.
166
Calculons à présent la longueur maximum. De l’équation de l’énergie dh + cdc = 0, on a en
divisant par h,
dh c2 dc dT dc
+ = + (k − 1)M 2 = 0
h h c T c
Mais par ailleurs, par conservation de la masse,
dρ dc
+ =0
ρ c
d’où, en sommant,
dp dc
+ 1 + (k − 1)M 2 =0
p c
De l’équation de quantité de mouvement (14.25)
dp dc kM 2
+ kM 2 + δF = 0
p c 2
on déduit par conséquent
kM 2 dc
δF = (1 − M 2 )
2 c
Enfin, comme
dM dc 1 dT k−1 2 dc
= − = 1+ M
M c 2 T 2 c
on obtient
4fdx 2(1 − M 2 ) 1 dM 2(1 − M 2 )dM
δF = = = (14.55)
1 + k−1 3 1 + k−1 M 2
Dh kM 2 2
M 2 M kM 2
167
Conservation de la masse
ṁ c
G= = ρc = = constante (14.58)
A v
Résultante cinétique
dp
cdc + =0 (14.59)
ρ
Premier principe
c2
d(h + ) = dh0 (14.60)
2
Comme c = Gv, on peut exprimer l’équation de quantité de mouvement uniquement en fonction
de variables thermodynamiques
dp + Gdc = dp + G2 dv = 0
d’où, en intégrant,
p + G2 v = constante (14.61)
Cette équation représente une courbe dans l’espace thermodynamique, que l’on appelle ligne
de Rayleigh. Elle s’applique au cas général d’un fluide d’équation d’état quelconque. L’effet de
l’échange de chaleur n’apparaı̂t pas explicitement, mais se manifeste via son influence sur les
propriétés thermodynamiques.
A titre d’illustration, on représente une ligne de Rayleigh dans un diagramme de Mollier
de la vapeur d’eau sur la planche suivante. La forme de la courbe est semblable pour tous les
fluides compressibles. Dans un diagramme p − v, la ligne de Rayleigh est évidemment une ligne
droite. Avec un fluide entrant à l’état 1, l’apport de chaleur se traduit par une augmentation
d’entropie (puisque la transformation est réversible), qui s’accompagne d’une diminution de
pression et de masse volumique, et par conséquent une augmentation de vitesse.
168
On remarque deux points remar-
quables sur la ligne de Rayleigh, à
savoir un maximum d’enthalpie K et
un maximum d’entropie L. Initiale-
ment, l’apport de chaleur s’accompagne
d’une augmentation d’enthalpie, jus-
qu’au point K où l’apport de chaleur
se transforme intégralement en énergie
cinétique. Au-delà de K, l’augmenta-
tion d’énergie cinétique est supérieure
à l’apport de chaleur, ce qui entraı̂ne la
diminution de h.
Quant au point d’entropie maximum,
il indique à nouveau un phénomène de
saturation. En effet, il en résulte que
la quantité de chaleur fournie au fluide
est bornée supérieurement par la quan-
tité de chaleur l’amenant à l’état L. On
parle dans ce cas de saturation ther-
mique.
a2 − G 2 v 2 = 0 → c 2 = G 2 v 2 = a2 (14.63)
169
Par ailleurs, l’équation de conservation de la masse ρc = constante permet de déduire
√
r 2
p k T 2 1+k
ρc = M kRT = pM = constante → =M (14.65)
RT RT T∗ 1 + kM 2
En divisant, on déduit immédiatement
ρ 1 + kM 2
= (14.66)
ρ∗ M 2 (1 + k)
De la définition de la température totale, on tire l’expression de la variation de température
totale
k−1 2 T0 2M 2 (k + 1)(1 + k−1 M 2)
T 0 = T (1 + M ) → = 2
(14.67)
2 T 0∗ (1 + kM 2 )2
qui passe effectivement par un maximum pour M = 1.
Enfin, on peut calculer la variation d’entropie. Comme (section 7.10)
T2 p2
s2 − s1 = cp ln − R ln
T1 p1
on obtient ( k+1 )
∗
s −s k T p k kM k
= ln ∗ − ln ∗ = ln M 2 (14.68)
R k−1 T p k−1 1 + kM 2
Il faut remarquer que le saut de l’état 1 à l’état 2 est possible parce qu’il respecte le second
principe (s2 > s1 ) alors qu’au contraire le saut de l’état 2 à l’état 1 est impossible. Comme
s2 > s1 alors que la transformation est adiabatique, on en conclut qu’une onde de choc est un
phénomène irréversible.
170
14.9.2 Conditions de saut : relations de Rankine-Hugoniot
Les relations entre l’état 1 et l’état 2, appelées conditions de saut ou relations de Rankine-
Hugoniot, s’obtiennent à partir des équations de base des systèmes ouverts.
Conservation de la masse
Résultante cinétique
Premier principe
c22 c2 c22 c2
m2 (h2 + ) − ṁ1 (h1 + 1 ) = 0 → h2 + = h1 + 1 (14.71)
2 2 2 2
Pour des conditions à l’état 1 données, ces trois équations, accompagnées de l’équation d’état
h = h(p, ρ), forment un système de 4 équations à 4 inconnues p2 , ρ2 , h2 et c2 . Comme aucune
hypothèse n’a été faite sur l’équation d’état, elles sont applicables à un fluide quelconque.
En éliminant c2 ou c1 entre les équations de conservation de la masse et de quantité de
mouvement, on obtient
Cette équation représente une courbe dans l’espace thermodynamique, lieu de tous les états 2
pouvant être obtenus à partir d’un état 1 donné par une onde de choc normale. Elle est connue
sous le nom de courbe de Hugoniot.
On peut obtenir graphiquement la solution des conditions de saut en déterminant l’inter-
section de la courbe de Hugoniot avec une ligne de Rayleigh (ou une ligne de Fanno). Comme
l’équation de la ligne de Rayleigh est p + G2 v = constante (14.61), il s’agit d’une droite dans
le plan p − v, et il est donc avantageux d’utiliser ce plan.
171
Considérons plusieurs lignes de Rayleigh passant
par l’état initial 1. La ligne G1 tangente à la ligne
de Rayleigh sépare les lignes de pente plus élevée
telles que G2 qui intersectent la courbe de Hu-
goniot en un point de pression plus élevée, et les
lignes de pente plus faible telles que G02 qui l’in-
tersectent en un point de pression plus faible.
Comme on l’a observé précédemment, seules les
premières transformations sont possibles.
Mais par ailleurs, (ds)H = 0 au point 1. En effet, par l’équation de la courbe de Hugoniot,
dh 1 1 dp
= (p − p1 ) + (v1 + v)
dv H 2 2 dv H
Or précisément, dans le cas de la ligne G1 , les deux facteurs du membre de droite sont tous les
deux nuls. Par conséquent,
dp ∂p
= = −ρ21 a21
dv H ∂v s
et donc c1 = a1 , c.-à-d. que la ligne G1 correspond à des conditions soniques en 1. La branche
supérieure, admissible, de la courbe de Hugoniot correspond à des conditions supersoniques en
1 et donc, une onde de choc ne peut survenir que dans les écoulements supersoniques.
ρ2 c2 = ρ1 c1 (14.73)
p2 + ρ2 c22 = p1 + ρ1 c21 (14.74)
k p2 c22 k p1 c21
+ = + (14.75)
k − 1 ρ2 2 k − 1 ρ1 2
Il est avantageux
√ de donner une forme adimensionnelle à ce système. En divisant la première
équation par kρ1 p1 , la deuxième par p1 et la dernière par kp1 /ρ1 et en introduisant les
172
rapports de pression Π = p2 /p1 et de masse volumique σ = ρ2 /ρ1 , on obtient
√
σΠM2 = M1 (14.76)
Π(1 + kM22 ) = 1 + kM12 (14.77)
M22 M2
Π 1 1
+ = + 1 (14.78)
σ k−1 2 k−1 2
M12
M22 =
σΠ
En insérant dans la deuxième, on obtient
kM12
Π+ = 1 + kM12
σ
qui permet d’exprimer Π en fonction de σ. On tire alors de la troisième équation
p2 2 k 2 2kM12 − (k − 1)
Π= = 1 + kM1 − (2 + (k − 1)M1 ) = (14.80)
p1 k+1 k+1
Enfin, il ne reste plus qu’à injecter ces deux expressions dans l’expression de M2 et l’on trouve
M12 2 + (k − 1)M12
M22 = = (14.81)
σΠ 2kM12 − (k − 1)
Ces relations sont tabulées pour le cas d’un gaz diatomique (k=1,4) dans le livre de Van Wylen
et al.
173
Il est également intéressant de calculer la variation d’entropie à travers le choc. A partir de
la relation (voir section 7.10)
ds k dv 1 dp 1 dp dρ
= + = −k
R k−1 v k−1 p k−1 p ρ
on obtient en intégrant
∆s ∆s
(k − 1) = = ln Π − k ln σ (14.82)
R cv
et l’on vérifie, en portant cette fonction en graphique en fonction de M1 que ∆s > 0 lorsque
M1 > 1. Examinons en particulier le comportement de cette fonction au voisinage de l’unité.
En posant M12 = 1 + ε, on a
et donc
∆s 2k k−1
= ln(1 + ε) − k ln(1 + ε) + k ln(1 + ε)
cv k+1 k+1
Développant en série de Mac Laurin, on obtient
∆s 2k(k 2 − 1) 3 2k(k − 1) 3
= ε + . . . = ε + ... (14.83)
cv 3(k + 1)3 3(k + 1)2
On constate donc que l’accroissement d’entropie est proportionnel au cube de (M12 − 1) pour
M1 au voisinage de l’unité. Il est donc très faible lorsque M1 s’écarte peu de l’unité.
La variation d’entropie peut encore s’exprimer en termes de la variation de la pression
d’arrêt, une grandeur plus directement mesurable. Comme par définition s0 = s,
0
p
∆s = s2 − s1 = −R ln 02
0 0
(14.84)
p1
puisque T20 = T10 . Un accroissement d’entropie implique donc une chute de la pression d’arrêt.
Ceci explique que la chute de pression d’arrêt soit utilisée comme indicateur de pertes dans
certaines applications, notamment les turbomachines.
174
Fig. 14.11 – Ecoulement avec choc dans une tuyère de Laval
175
Chapitre 15
Au cours des chapitres précédents, on a maintes fois considéré des machines au sein des-
quelles s’opérait un échange de travail avec le milieu extérieur (compresseurs, turbines). Parmi
celles-ci, on a identifié deux grandes familles :
Machines volumétriques Dans ce type de machines, on fait subir au fluide actif une évolution
temporelle au sein d’un système fermé, et l’échange de travail se fait par action des
contraintes de pression sur une frontière mobile du système. L’exemple le plus emblématique
et le plus répandu est celui des dispositifs à cylindres et pistons, mais il en existe d’autres
(p. ex. les capsulismes, comme le moteur rotatif Wankel).
Machines à circulation de fluide Dans ce type de machines, le fluide subit une évolution
spatiale au sein d’un système ouvert, mais la manière précise dont le travail est échangé
n’a pas été discutée. On a simplement mentionné qu’il est généralement transmis à un
arbre en rotation. La très grande majorité, pour ne pas dire la totalité, des machines
de cette catégorie sont des turbomachines. Ce chapitre constitue une brève introduction
à l’étude de ces machines, qui se bornera à en faire une description générale et à en
expliquer le principe fondamental de fonctionnement.
176
15.2 Classification des turbomachines
De nombreux critères servent à classer les turbomachines. Les plus importants sont les
suivants :
Sens de l’échange d’énergie On distingue les machines réceptrices qui reçoivent du travail
et les machines motrices qui en fournissent. Parmis les machines réceptrices, on trouve
les turbopompes, les ventilateurs, les turbosoufflantes, les turbocompresseurs et les hélices
aériennes et marines. Les principales machines motrices sont les turbines à vapeur et à gaz,
les turbines hydrauliques, ainsi que les éoliennes. Ces deux classes de machines présentent
des différences importantes du point de vue de leur conception aérodynamique. En effet,
les machines réceptrices sont le siège d’une compression (élévation de pression) du fluide,
alors que les machines motrices font intervenir une détente. Or, les pertes visqueuses dans
les écoulements fluides sont très sensibles au gradient de pression et augmentent fortement
lorsque celui-ci devient trop important, en raison du phénomène de décrochage.
Direction principale du tube de courant Dans certaines machines, le tube de courant
traversant la machine est essentiellement parallèle à l’axe de la machine, et on les ap-
pelle donc des machines axiales. Les hélices aériennes et marines appartiennent à cette
catégorie, mais aussi certains ventilateurs, ainsi que les compresseurs et turbines axiaux
des turboréacteurs, et les turbines hydrauliques de type Kaplan. Dans de nombreux cas,
en particulier dans les turboréacteurs, les machines axiales comportent plusieurs étages.
177
Dans d’autres machines au contraire, le tube de courant traversant la machine est essen-
tiellement perpendiculaire à l’axe, et la machine est dite radiale (centrifuge ou centripète).
Pour des raisons que l’on discutera plus loin, on peut échanger une plus grande quantité
d’énergie dans un étage radial que dans un étage axial, de sorte que, pour une application
donnée, une machine radiale comporte moins d’étages que la machine axiale équivalente.
Bien évidemment, au voisinage de l’axe, l’écoulement doit prendre une direction axiale. Il
existe également des configurations intermédiaires, dites mixtes, dans lesquelles l’écoulement
a des composantes tant axiale que radiale. C’est le cas par exemple des turbines hydrau-
liques de type Francis. Dans certaines machines enfin, l’écoulement est tangentiel, c.-à-d.
que les particules fluides se déplacent dans un plan parallèle à l’axe de la roue.
Outre ces deux catégories principales, on distingue également
– les machines hydrauliques (à écoulements incompressibles) et les machines à écoulements
compressibles ;
– les machines à action, dans lesquelles la pression reste constante à travers le rotor, et
les machines à réaction dans lesquelles elle varie : on reviendra sur cette distinction plus
avant ;
– les machines à admission totale, dans lesquelles le rotor est alimenté sur la totalité de sa
surface d’entrée, et les machines à admission partielle où seule une partie du rotor est
alimentée. C’est toujours le cas des turbines hydrauliques de type Pelton, et pour certaines
turbines à vapeur pour lesquelles l’admission partielle est utilisée pour le réglage du débit.
L’admission partielle est réservée aux machines à action.
178
dévier l’écoulement tangentiellement), appelées en anglais « Inlet Guide Vanes (IGV) ».
Ces aubes sont parfois orientables afin de régler le débit.
Le rotor au sein duquel s’effectue l’échange d’énergie par travail des forces aérodynamiques
sur les aubes en rotation.
Le diffuseur dont le rôle est de collecter le fluide à la sortie du rotor [identifiée par l’indice
2] et l’amener à la section de sortie de la machine [identifiée par l’indice 3]. Comme pour
le distributeur, le diffuseur peut inclure une (voire deux) couronnes d’aubes fixes. Ces
aubes fixes sont notamment utiles lorsque l’écoulement a une composante tangentielle de
vitesse à la sortie du rotor et servent à ramener l’écoulement dans la direction principale
du tube de courant (axiale ou radiale), raison pour laquelle on utilise parfois le terme
redresseur.
Le distributeur et le diffuseur ne sont pas toujours présents, ou sont parfois réduits à un tronçon
de canalisation. C’est notamment le cas pour les hélices et éoliennes. Dans les machines multi-
cellulaires, chaque étage ne comprend généralement que deux éléments, à savoir un distributeur
et un rotor pour les turbines, et un rotor et un diffuseur pour les pompes et compresseurs, pour
des raisons qui apparaı̂tront clairement par la suite.
179
15.4 Cinématique de l’écoulement rotorique — triangle
des vitesses
Pour analyser l’écoulement dans un rotor de turbomachine, il est commode d’exprimer
la vitesse tantôt dans un repère lié aux parties fixes de la machine (distributeur, diffuseur,
stator) appelée vitesse absolue et notée ~c, tantôt dans un repère lié aux parties tournantes de
la machine (axe, roue) appelée vitesse relative et notée w. ~ La relation entre ces vitesses est
simplement
~c = w
~ + ~u (15.1)
où ~u est la vitesse d’entraı̂nement correspondant au mouvement du repère tournant. S’agissant
d’un mouvement de rotation pure, la vitesse d’entraı̂nement vaut simplement
~ × ~x
~u = ω (15.2)
~
w ~c
cm
β
α
~u cθ
Fig. 15.1 – diagramme vectoriel dans ce plan : triangle des vitesses
On note respectivement α et β les angles entre le vecteur vitesse absolue (resp. relative) et
le vecteur vitesse d’entraı̂nement.
180
La généralisation aux systèmes ouverts s’obtient de la même manière que pour les premier
et second principe (voir sections 5.10 et 7.12). La taux de variation du moment cinétique du
système fermé constitué de la matière initialement contenue dans le système ouvert considéré
est relié à celui du système ouvert par
~F
dM ~O I
dM
= + ρ(~x × ~c)(~c − ~bO ) · ~n dS
dt dt S
~
dM O X X
= + ṁs (~x × ~c)s − ṁe (~x × ~c)e (15.5)
dt
puisque la quantité de mouvement massique n’est rien d’autre que le moment du vecteur vitesse
~x × ~c. Et par ailleurs, les couples s’appliquant sur le système ouvert sont identiques à ceux
s’appliquant sur le système fermé au moment initial où ils coı̈ncident.
Dans le cas d’une turbomachine, seule la composante axiale du théorème du moment
cinétique nous intéresse. Le moment cinétique par unité de masse d’une particule (fluide ou
solide) valant
2
enveloppe
paroi fixe
paroi fixe
aubes
181
axiale du moment cinétique (15.6) s’écrit donc (comme il s’agit d’un système à une seule entrée
et une seule sortie)
ṁ(r2 cθ2 − r1 cθ1 ) = CA + C1 + C2 + Cp
où CA est le couple à l’arbre et C1 , C2 et Cp les couples des forces de surfaces sur les sections
1 et 2, et sur les parois fixes.
Remarquons que les forces de pression sur les sections 1 et 2 et sur les parois ne produisent
aucun couple axial. Donc, seules les contraintes de cisaillement visqueuses contribuent aux
couples de surface, et, comme celles-ci sont les plus élevées au voisinage des parois solides,
l’essentiel du couple des forces de surface est celui exercé par les parois (qui est nécessairement
dans le sens opposé à la vitesse de rotation). Il est toujours très faible par rapport au couple
à l’arbre et peut par conséquent être négligé. On obtient donc finalement
formule fondamentale des turbomachines, connue sous le nom de formule d’Euler pour le
couple. Remarquons que cette formule s’applique également aux organes fixes (stators distri-
buteurs ou diffuseurs).
En multipliant la formule d’Euler par la vitesse de rotation de l’arbre ω (pour un rotor,
la vitesse de rotation étant bien entendu nulle pour un stator), on obtient la formule de la
puissance
Ẇ = ωCA = ṁ(u2 cθ2 − u1 cθ1 ) (15.8)
Pour une machine réceptrice, le couple à l’arbre est dans le même sens que la vitesse de rotation,
et donc Ẇ > 0. Inversément, pour une machine motrice, le couple à l’arbre est dans le sens
opposé à la vitesse de rotation, et Ẇ < 0.
En divisant cette dernière relation par le débit massique, on obtient l’expression du travail
massique
Ẇ
w= = u2 cθ2 − u1 cθ1 (15.9)
ṁ
On peut donner une forme alternative de cette expression en utilisant la relation cinématique
~ = ~c − ~u, dont on déduit
w
c2 + u2 − w 2
w2 = c2 + u2 − 2~c · ~u → ~c · ~u = cθ u =
2
de sorte que
(c22 − c21 ) + (u22 − u21 ) − (w22 − w12 )
w= (15.10)
2
On décompose alors l’énergie échangée en deux contributions, à savoir la variation d’énergie
cinétique (c22 − c21 )/2 que l’on appelle énergie d’action et la variation de (u2 − w2 )/2 appelée
énergie de réaction. Le degré de réaction R est alors défini comme le rapport entre l’énergie de
réaction et l’énergie totale échangée.
182
15.6 Application du premier principe à un rotor de tur-
bomachine
Appliquons à présent le premier principe au système considéré précédemment. En supposant
l’absence d’échange de chaleur avec l’extérieur (q = 0) et en négligeant les variations d’énergie
potentielle, on a
(c22 − c21 )
w = (h2 − h1 ) + (15.11)
2
Soustrayant de cette expression l’expression alternative du travail massique (15.10), on obtient
c2
h+ = const.
2
(voir chapitre 14), l’expression devient
w 2 − u2
h+ = const.
2
pour une conduite en rotation telle qu’un canal inter-aubes rotoriques1 .
On déduit de l’équation (15.12) la formule de Bernoulli pour un écoulement permanent en
repère relatif. En effet, par la relation de Gibbs dh = vdp + T ds, on a
Z 2 Z 2 Z 2
h2 − h1 = vdp + T ds = vdp + ef12
1 1 1
puisque, en l’absence d’échange de chaleur, T ds = T dsi est l’énergie perdue par frottements
visqueux (def ), de sorte que
2
(w22 − w12 ) − (u22 − u21 )
Z
vdp + + ef12 = 0 (15.13)
1 2
On voit donc que (aux pertes près), la variation d’énergie de pression dans le rotor est égale à
l’énergie de réaction, qui se compose de deux contributions :
– la variation de l’énergie cinétique d’entraı̂nement u2 /2, qui résulte du travail de la réaction
d’entraı̂nement. C’est la contribution principale pour les machines radiales.
– l’opposée de la variation de l’énergie cinétique relative w2 /2 qui résulte du travail de la
réaction d’inertie. C’est la seule contribution pour les machines axiales (puisque pour
ces dernières, le tube de courant étant parallèle à l’axe, r2 = r1 ). C’est ce qui explique
pourquoi, toutes autres choses étant égales par ailleurs, on peut échanger plus d’énergie
dans un étage radial que dans un étage axial.
1
Il faut toutefois souligner que cette expression n’est valide que pour un écoulement permanent, ce qu’on a
supposé ici.
183
Enfin, on constate que pour une machine axiale à action pure idéale (sans pertes, énergie
de réaction nulle, w2 = w1 ), la pression reste constante dans le rotor. C’est ce qui permet
dans ce cas d’utiliser une admission partielle (une partie seulement des canaux rotoriques sont
alimentés et donc actifs) : puisque la pression ne varie pas entre entrée et sortie de la roue, le
fluide dans les canaux non alimentés est en équilibre au repos (en repère relatif). En réalité
(avec pertes), lorsque la pression est constante à travers le rotor, w2 < w1 et donc l’énergie de
réaction est positive. Pour une machine motrice (seul cas dans lequel on utilise des machines
à action en pratique), le degré de réaction est donc négatif (puisque l’énergie totale échangée
est négative pour une machine motrice).
184
15.7.1 Ventilateur/soufflante axial(e)
Distributeur + roue Roue + diffuseur
Roue
~c2 ~1
w
Distributeur ~c1
~c0
~2
w ~c1
~u
~1
w
Roue Diffuseur
~2
w
~c2 ~c2
~c1
~c3
~u
c20 −c21
eA = ∆hS = 2
< 0, Les deux couronnes d’aubes (fixes et tour-
w12 −w22
eR = ∆hR = 2
⇒ R > 1.
> ∆hétage nantes) contribuent toutes deux à l’augmen-
On commence par détendre avant de recom-tation d’enthalpie à travers l’étage. eR =
primer ! Ne semble pas logique. ∆hR =< ∆hétage ⇒ R < 1.
Cette analyse explique pourquoi la configuration roue + diffuseur est préférable pour une
machine réceptrice. On s’attend d’ailleurs à ce que le meilleur rendement soit obtenu lorsque la
charge est également répartie entre les deux couronnes, soit pour R = 0, 5 (cas de l’exemple).
Distributeur
~c1
Turbine à action
~c0
Pour une machine (axiale) à action, w1 = w2 et
donc, en supposant w1m = w2m , w1θ = −w2θ , si
~c1 l’on impose c2θ = 0 (sortie purement axiale), alors
~2
w w2θ = −u ⇒ w1θ = u ⇒ c1θ = 2u.
~c2
~1
w
Roue
~u
c2 −c2 c2 √
Comme par ailleurs eA = ∆h∗ = 1 2 0 = 21θ , on en déduit u = 2∆h∗ /2. Les vitesses de
l’écoulement et d’entraı̂nement peuvent devenir très importantes, ce qui entraı̂ne des pertes par
frottement visqueux (∝ (vitesse)2 ) importantes et des problèmes mécaniques. Pour y remédier,
on peut procéder à l’étagement des vitesses (de la transformation d’énergie cinétique en travail),
comme dans le dispositif représenté ci-dessous, qui comporte un deuxième étage comprenant
une couronne d’aubes fixes et une deuxième couronne d’aubes mobiles.
185
~c1 Distributeur 1
~c0
L’entièreté de la détente est ef-
Roue 1 fectuée dans le premier distributeur
~c1
~2
w (couronne d’aubes fixes ou, plus
~1
w ~c2 souvent, tuyères comme dans la tur-
~u bine à vapeur de Curtis), alors que
la pression reste constante dans les
Distributeur 2 ~c2 ~c3
deux couronnes mobiles (w2 = w1
et w4 = w3 ) et dans la couronne
fixe du deuxième étage (c3 = c2 ),
~c3 ~4
w
Roue 2 ~c4
ce qui permet d’utiliser l’admission
~3
w partielle, comme pour la machine à
~u un seul étage.
Distributeur
186