S Eance 2: Formulations Variationnelles

ANN201.
Méthode des éléments finis (2022-2023) 1
Séance 2 : Formulations variationnelles
Dans les exercices 1 et 2, nous partons d’EDPs complétées par des conditions
aux limites et construisons les formulations variationnelles (FV) associées.
Cette construction utilise une formule de Green. Nous établissons ensuite
l’équivalence (si u est solution de la FV alors elle est solution de l’EDP).
Cette étape est plus délicate car nous ne pouvons plus utiliser de formule
de Green (nous avons moins d’information sur la régularité de la solution),
un choix approprié des fonctions test permet d’utiliser la dérivation au sens
des distributions. Et il faut enfin retrouver la condition aux limites. Notez
que les conditions de Fourier ou Neumann et de Dirichlet interviennent
différemment dans les FV : une condition de Fourier ou Neumann est dite naturelle
car elle intervient naturellement dans la FV alors qu’une condition de Dirichlet
est dite essentielle, elle est imposée dans l’espace dans lequel est cherché
la solution, qui est le meme que celui des fonctions tests.
Dans l’exercice 3, on part d’une FV et on découvre l’EDP associée.

Notez enfin que l’unicité de la solution des FV est toujours très simple à
démontrer.
Dans la suite, Ω est un ouvert borné de R3 , dont la frontière ∂Ω est “régulière”. On note
n la normale unitaire extérieure à la frontière.
Exercice 1 Problème avec condition aux limites de Fourier

On considère le problème aux limites
Trouver u ∈ H 1 (Ω) telle que

u − ∆u = f dans Ω
. (1)
∇u · n + λ u = g sur ∂Ω
avec λ ≥ 0, f ∈ L2 (Ω) et g ∈ L2 (∂Ω).
Question 0. On rappelle que γ0 est la première application trace. Quelle assertion est
juste
(a) Im γ0 ⊂ L2 (∂Ω) et Im γ0 est dense dans L2 (∂Ω)

(b) L2 (∂Ω) ⊂ Im γ0 et L2 (∂Ω) est dense dans Im γ0
(c) L2 (∂Ω) = Im γ0 .
Question 1. Construire la formulation variationnelle (FV1) associée à (1).
Question 2. Prouver l’unicité de la solution de (FV1). Que se passe-t-il si λ < 0 ?

ANN201. Méthode des éléments finis (2022-2023) 2
Question 3. Etablir l’équivalence entre les problèmes (1) et (FV1).
Exercice 2 Diffusion de la chaleur

On considère le problème aux limites
Trouver u ∈ H 1 (Ω) telle que

− div(k∇u) = f dans Ω
. (2)
u=0 sur ∂Ω
avec f ∈ L2 (Ω), k ∈ L∞ (Ω) et k(x) ≥ kmin > 0 presque pour tout x dans Ω.
Question 0. Donner les espaces auxquels doivent appartenir W~ et v pour pouvoir écrire
la formule de Green suivante
Z Z
~ v+W
div W ~ · ∇v dΩ = ~ · n|∂Ω v|∂Ω dΓ
W
Ω ∂Ω
(a) ~ ∈ (L2 (Ω))3 et v ∈ H 1 (Ω)

W
~ ∈ (L2 (Ω))3 , div W
(b) W ~ ∈ L2 (Ω) et v ∈ H 1 (Ω)
(c) ~ ∈ (H 1 (Ω))3 et v ∈ H 1 (Ω)

W
En déduire les espaces auxquels doivent appartenir u et v pour pouvoir écrire la formule
de Green suivante
Z Z
(div(k∇u)v + k∇u · ∇v) dΩ = k∇u · n|∂Ω v|∂Ω dΓ
Ω ∂Ω
Question 1. Construire la formulation variationnelle (FV2) associée à (2) (on supposera

pour simplifier que u est dans H 1 (Ω) et est telle que k∇u ∈ (H 1 (Ω))3 ).
Question 2. Prouver l’unicité de la solution de (FV2).
Question 3. Etablir l’équivalence entre les problèmes (2) et (FV2).
Exercice 3 Coefficients discontinus

Soit d un entier naturel non nul, Ω un ouvert borné de Rd à frontière suffisamment
régulière. On le partitionne en Ω = Ω1 ∪ Ω2 , où Ω1 et Ω2 sont deux ouverts disjoints
à frontières suffisamment régulières. On note Σ = ∂Ω1 ∩ ∂Ω2 , et on suppose, pour des
raisons techniques dépassant le cadre de ce cours, que Σ ∩ ∂Ω = ∅. On note →−
n le vecteur
unitaire sortant à Ω2 .
Soient κ1 , κ2 deux constantes strictement positives et définissons κ : Ω → R par

(
κ1 si x ∈ Ω1 ,
κ(x) =
κ2 si x ∈ Ω2 .
ANN201. Méthode des éléments finis (2022-2023) 3
Soit enfin g ∈ L2 (Σ). On résout le problème variationnel (P)

Trouver u ∈ H01 (Ω) telle que
Z Z
κ∇u · ∇v dΩ = g v|Σ dΣ, ∀v ∈ H01 (Ω).
Ω Σ
Interpréter le problème (P) en termes d’équations aux dérivées partielles dans Ω1 et Ω2 , de

conditions aux limites et de condition sur l’interface Σ (pour cette dernière, on raisonnera
“formellement”).
⌦2 ⌃ ⌦1
Figure 1 – Un exemple de domaine Ω.

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Méthode des éléments finis (2022-2023) 1

Séance 2 : Formulations variationnelles

Dans l’exercice 3, on part d’une FV et on découvre l’EDP associée.

Exercice 1 Problème avec condition aux limites de Fourier

avec λ ≥ 0, f ∈ L2 (Ω) et g ∈ L2 (∂Ω).

(a) Im γ0 ⊂ L2 (∂Ω) et Im γ0 est dense dans L2 (∂Ω)

Question 1. Construire la formulation variationnelle (FV1) associée à (1).

Question 2. Prouver l’unicité de la solution de (FV1). Que se passe-t-il si λ < 0 ?

Question 3. Etablir l’équivalence entre les problèmes (1) et (FV1).

Exercice 2 Diffusion de la chaleur

(a) ~ ∈ (L2 (Ω))3 et v ∈ H 1 (Ω)

(c) ~ ∈ (H 1 (Ω))3 et v ∈ H 1 (Ω)

Question 1. Construire la formulation variationnelle (FV2) associée à (2) (on supposera

Question 2. Prouver l’unicité de la solution de (FV2).

Question 3. Etablir l’équivalence entre les problèmes (2) et (FV2).

Exercice 3 Coefficients discontinus

Soient κ1 , κ2 deux constantes strictement positives et définissons κ : Ω → R par

Soit enfin g ∈ L2 (Σ). On résout le problème variationnel (P)

Interpréter le problème (P) en termes d’équations aux dérivées partielles dans Ω1 et Ω2 , de

Figure 1 – Un exemple de domaine Ω.

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