MPSI2 Lycée Champollion 20212022

Feuille d'exercices no7 : Les fonctions usuelles

Exercice 1 [Équations autours des logarithmes et puissances]

Résoudre les équations suivantes :
√ √ x
1. 23x+1 − 22x − 2x+3 + 4 = 0 ; 5. x x
= x ;
2. ln x − 1
ln x
= 32 ; 6. 2x + 3x = 5 ;
√ √
7. x + 3 x = 2 ;
2 x3
3. 2x = 3 ;
2 (x)
4. 2x+4 + 3x = 2x+2 + 3x+2 ; 8. π sin = cos(πx).

Exercice 2 [Systèmes d'équations]

Résoudre les systèmes d'équations suivants :
 x  
8 = 10y x+y = 7 ex e2y = a
1. x ; 2. ; 3. .
2 = 5y ln x + ln y = 1 2xy = 1

Exercice 3 [Système et étude de fonction]

Pour a > 0, étudier les variations de la fonction
 : x 7→ x + a + ax
1
sur R∗+ .
x+y+z = 0
En déduire les solutions du système : .
ex + ey + ez = 3

Exercice 4 [Une inégalité]

Montrer que, si x ∈]0; 1[, alors : xx (1 − x)1−x ⩾ 21 .

Exercice 5 [Utilisation d'une inégalité classique]

Montrer que, si x > −1, alors : ln(1 + x) ⩽ x.

n
−n
En déduire que, si n ∈ N avec n ⩾ 2 : 1 + n1 ⩽ e ⩽ 1 − n1 .

Exercice 6 [Limites et croissances comparées]

Calculer les limites suivantes en utilisant les limites classiques :
1  x1
1. lim+ x2 |ln(x)| ;
p
4. lim (ln x) ln x ;

ln x
x→0 x→+∞ 7. lim ;
(xx )

x x→+∞ x
2. lim+ x ; 5. lim 1 + x2 ; x
x→0 x→+∞ x
x(x ) ln x

3. lim+ (x ) ; x x x
6. lim+ [ln(1 + x)] ; 8. lim+ .
x→0 x→0 x→0 xx − 1

Exercice 7 [Étude de fonctions]

x
Faire l'étude complète de la fonction f : x 7→ 1 + x1 en étudiant bien les limites aux bornes de son
ensemble de dénition (et les prolongement éventuels).

Exercice 8 [Équations trigonométriques]

Résoudre les équations suivantes :

1. sin 9x + sin 5x + 2sin2 x = 1 ; 3. cos x + cos 3x + cos 5x = 0 ;

sin 2x
4. sin x + cos x − √ π
−x ;


2. sin 2x + sin 6x = sin 4x ; = cos 4
2+1
5. sin4 x + cos4 x = 1 ; 7. tan 2x = 3tan x ;
tan x + tan 4x 1 − tan2 x
6. sin3 x + cos3 x = 1 ; 8. = .
1 − tan xtan 4x 2tan x

Exercice 9 [Systèmes d'équations trigonométriques]

Résoudre les systèmes suivants :
 
1 + cos x + cos y = 0 cos a + cos x + cos y = 0
1. ; 2. (où a ∈ R).
sin x + sin y = 0 sin a + sin x + sin y = 0

Exercice 10 [Un calcul de sinus]

On se propose de calculer sin( 10
π
).
1. Déterminer les solutions de l'équation : sin(2x) = cos(3x).
2. Montrer que l'on a : sin(2x) − cos(3x) = cos(x) · 4sin2 (x) + 2sin(x) − 1 .
 

3. En déduire la valeur de sin( 10

π
).

Exercice 11 [Factorisation d'expressions trigonométriques]

Soient α, β, γ ∈ R tels que α + β + γ = 0. Factoriser les expressions suivantes :

1. sin α + sin β + sin γ ; 2. 1 − cos α + cos β + cos γ .

Exercice 12 [Réciproques de fonctions circulaires]

Simplier les expressions suivantes, en précisant l'intervalle auquel x appartient :

1. tan (arcsin(x)) ; 3. cos (arcsin(x)) ; 5. tan (2arcsin(x)) ;

2. sin (arccos(x)) ; 4. cos (2arccos(x)) ; 6. sin (2arccos(x)).

Exercice 13 [Quelques égalités] Préciser sur quel ensemble les égalités suivantes ont un sens et les
démontrer (on pourra chercher à dériver les expressions) :
  √
1. arcsin(x) = arctan √
x
; 3. arcsin( x) = π4 + 12 arcsin(2x − 1) ;
2
 1−x 
x
2. arctan(x) = arcsin √ ;
q 
4. arctan 1+x
= π4 + 12 arcsin(x).
1 + x2 1−x

Exercice 14 [Équations de fonctions hyperboliques à paramètres]

Étudier, suivant les valeurs de a, b, c ∈ R, l'existence de solutions à :

1. ach x + bsh x = c ; 2.
ch x + ch y = a
.
sh x + sh y = b

Exercice 15 [Fonctions circulaires et hyperboliques]

Montrer que pour tout x ∈ R : |arctan(sh x)| = arccos 1
.


ch x