Correction TD-1
Correction TD-1
Correction TD-1
1. L’énergie seuil d’extraction est donnée par Eex = hν0 = h λc0 ( c désigne la célérité de la
lumière.
En utilisant la conservation de l’énergie au cours de ce processus, on peut écrire
hν = hν0 + Ec
Ec = hν − hν0 (1)
Puisque l’énergie cinétique Ec est trés petite devant l’énergie de masse d’un éléctron au repos
m0 c2 = 511eV , on peut négliger les effets relativistes et écrire
1
Ec = m0 v 2
2
et on obtient le rapport
r
v 2Ec
=
c m0 c2
Application nmérique: v
c = 1.26.10−3
2. En vertu de la dualité Onde-Corpuscule, l’électron a aussi un comportement ondulatoire.
Pour un électron de quantité de mouvement → −p , on associe une onde de longueur d’onde
→
−
λ = h/p avec p = | p |. (Formule de Louis De Debroglie). Nous avons vérifé que v << c et donc
1 2
les effets relativistes sont négligeables et on peut écrire p = m0 v et Ec = 2 m0 v . Ceci nous
permet d’écrire
hc
λ= √ (2)
2Ec m0 c2
A.N. λ = 1.91.10−3 µ = 19.1Å
2. Supposons que l’électron arrive à l’anode avec une énergie cinétique nulle. Dans ce cas, le
théorème de la variation de de l’énergie cinétique entre l’anode et la cathode donne
∆Ec = Wfext
où Wfext est le travail de la force électrostatique qui déplace l’électron de l’anode vers la cathode.
Ce travail est donné par
Wfext = F L
oú la force s’exprime en fonction de la tension et la distance entre l’anode et la cathode comme
suit F = eE = e VL . On obtien alors
∆Ec = Wfext = eV
I
I = ne −→ n =
e
Nous calculons ensuite le nombre de photons incidents N arrivant sur la cellule photélectrique
pendant une seconde. Le flux lumineux du faisceau incident est donné par:
2
Energie Nombre de photons × hν
Φ= =
temps t
Pour t = 1s, nous obtenons
Φ Φλ
Φ = N hν −→ N = =
hν hc
En utilisant les expressions de n et N , il est facile de voir que nous obtenons le résultat
suivant
I hc
ρ=
Φ eλ
A.N: ρ = 0, 04
I
Remarque: Le rapport k = Φ définit la sensibilité de la photocathode
4. Nous avons montré que l’énergie cinétique des électrons éjectés par effet photoélectrique est
λ0 − λ
Ec = hc
λλ0
Pour les rayon X, on a λ << λ0 et donc on peut écrire que
hc
Ec '
λ
Nous obtenons donc Ec = 0.123M eV . Pour des électrons ayant une énergie cinétique de cet
ordre de grandeur, les effets relativistes ne puvent ête négligés. Nous devons donc faire appel à
la formule
E = mc2 , E 2 = p2 c2 + m20 c4
Ec = E − m0 c2 = (m − m0 )c2
m0
où m = 1−( υc 2 )
3
Le photon se propage à la vitesse de la lumière c. L’électron dans le métal est supposé comme
étant au repos. Pour simplifier nous placons l’électron à l’origine O du plan (Ox, Oy muni de
la base cartésienne (→
−
e ,→
x
−
e ). Nous considérons un photon incident qui se propage suivant la
y
direction →
−
ex de sorte que sa quantité du mouvement du photon est
→
− E0
p0 = p0 →
− ~ω0
ex p0 = = = ~k0
c c
où p E = hν l’énergie du photon de fréquence ν. Après interaction, le photon est diffusé suivant
la direction θ. Son impulsion s’écrit donc →
−
p = p→ −
e avec θ = (→
u
−
e ,→−
e ) et nous avons
u x
→
− E
p = p→
− ~ω
eu p= = = ~k
c c
L’électron est ensuite diffué dans la direction →
−
ev faisant un angle φ avec la direction →
−
ex (
φ = (→ −
e ,→
x
−
e )) On désigne par λ et λ les longueurs d’ondes respectives des photons incident
v 0
où m0 c2 est l’énergie au repos de l’électron et mc2 est l’énergie de l’électron après le choc.
La loi de conservation de l’impulsion donne
→
−
p0 = →
−
p +→
−
pe , →
−
pe = m→
−
v (2)
→
−
pe = →
−
p0 − →
−
p
qui conduit à
→
−
pe · →
−
pe = (→
−
p0 − →
−
p ) · (→
−
p0 − →
−
p)
et on obtient donc
p2e = p0 2 + p2 − 2(→
−
p0 · →
−
p ) = p0 2 + p2 − 2p0 p cos θ
hν0 2 hν h2 ν0 ν
m2 v 2 = ( ) + ( )2 − 2 2 cosθ (3)
c c c
L’équation de conservation de l’énergie donne
4
2 2
E 2 = mc2 = h(ν − ν0 ) + m0 c2 (4)
h
λ − λ0 = (1 − cosθ)
m0 c
h
La quantité m0 c = 0.024 Å est appelé longeur d’onde Compton.
2. Calcul de ∆λ = λ − λ0
Nous avons montré que
∆λ = 0.0242(1 − cosθ)Å
θ=0 ∆λ = 0
π
θ = 2 ∆λ = 0.0242Å
θ = π ∆λ = 0.0484Å
∆λ
3. Pour le visible λ ' 4000 Å et donc λ ' 0.00001 Å
∆λ
Pour les rayons X, nous avons λ = 0.5 Å donc λ ' 0.1 Å
Conclusion : L’effet Compton ne peut pas être observé dans le domaine du visible.
1. Nous avons
n2
λ = λ0 avecλ0 = 3645Å
n2 − 4
La plus petite valeur possible pour n est conditionée par la positivié de la longueur d’onde
λ ≥ 0 =⇒ n > 2
Les valueurs possibles du nombre entier natrurel n sont 3, 4, 5 · · · et la valeur minimale est
5
nmin = 3
2.
Pour λv = 4000Å, les raies dans le domaine du visible sont données par λ ≥ λv . Il s’en suit
l’inégalité suivante
n2 n2 λv
λ0 ≥ λ v ⇒ ≥ ∼ 1.1
n2 − 4 n2 − 4 λ0
et par conséquent, nous avons la condition
n≤6
n = 3, λ = 6561Å (Hα )
n = 4, λ = 4860 (Hβ )
n = 5, λ = 4340 (Hγ )
n = 6, λ = 4101 (Hδ ) (3)
3.
Lorsque n −→ ∞ =⇒ λ −→ λ0
Le photon correspondant à cette longueur d’onde à une énergie E est donnée par
c
E = hν0 = h = 3.4eV (4)
λ0