RPNE000025PP
RPNE000025PP
RPNE000025PP
VECTORIELLES DES
MACHINES
ASYNCHRONES ET
SYNCHRONES
5 GE
Cours
COMMANDE VECTORIELLE
& SYNCHRONES
Chapitre 1
5. NOTATIONS. ............................................................................................................ 18
Chapitre 2
COMMANDE VECTORIELLE DE LA MACHINE SYNCHRONE A AIMANTS
PERMANENTS
1. MODELISATION. .................................................................................................... 19
1.1. Structure d’une machine synchrone à aimants permanents (MSAP)................... 19
1.2. Représentation dans un repère diphasé. ............................................................... 20
1.3. Equations de Park de la machine. ........................................................................ 20
1.4. Equations d’état de la machine. ........................................................................... 21
1.5. Bond graph dans le repère d,q.............................................................................. 22
1.6. Equations dans le repère α, β............................................................................... 23
Chapitre 3
COMMANDE VECTORIELLE DE LA MACHINE SYNCHRONE A ROTOR BOBINE
1. MODELISATION. .................................................................................................... 27
1.1. Equations de Park de la machine ......................................................................... 28
1.2. Equations d’état de la machine. ........................................................................... 28
Chapitre 4
MLI VECTORIELLE
1. Préambule. ............................................................................................................................ 39
2. MLI Vectorielle, montage en triangle................................................................................... 40
2.1. Calcul des temps d’application des états de l’onduleur................................................ 41
2.2. Calcul des rapports cycliques de commutation pour chaque secteur............................ 42
2.3. Calcul des rapports cycliques de commutation pour chaque bras. ............................... 44
2.4. Tension d’alimentation de l’onduleur........................................................................... 46
3. MLI Vectorielle, montage étoile........................................................................................... 47
3.1. Calcul des temps d’application des états de l’onduleur................................................ 48
3.2. Calcul des rapports cycliques de commutation pour chaque secteur............................ 49
3.3. Calcul des rapports cycliques de commutation pour chaque bras ................................ 50
3.4. Algorithme de programmation pour le montage étoile................................................. 52
3.5. Tension d’alimentation de l’onduleur........................................................................... 55
4. MLI I ntersective .................................................................................................................. 56
5. Fonctionnement en pleine onde. ........................................................................................... 58
5.1. Montage étoile. ............................................................................................................. 58
ANNEXE A
PASSAGES DES REPERES TRIPHASES A DIPHASES
1.1. Principe.
Sans rentrer dans des développements complexes, il est facile de comprendre que les équations
régissant le fonctionnement des machines alternatives triphasées dépendent des résistances et
inductances du stator et du rotor, ainsi que de la mutuelle inductance stator-rotor. Ces mutuelles
inductances dépendent de la position relative du rotor par rapport au stator. Afin de simplifier la
formulation des équations différentielles régissant la machine il faut opérer à un changement de
coordonnées des grandeurs triphasées.
Pour rendre la mutuelle inductance constante il est usuel d’utiliser les transformations de
Concordia et Park (Cf. Annexe A)
Cette transformation permet donc de passer des valeurs des courants, des tensions et des flux des
trois bobines du stator (repère a s , bs , cs ) ainsi que celle du rotor (repère a r , b r , c r ) dans un
repère lié au champ tournant (repère dq).
i bs
q
vbs
d
r
ib r
Va
iar
r
Vc
vcs θs
ics
vas ias
icr
Dans les bobines du stator (repère a s , bs , cs ) et du rotor (repère a r , b r , cr ) les courants, les
tensions et les flux sont déterminés par leurs composantes triphasées X a , X b , X c .
Dans le repère orthogonal dq ces grandeurs triphasées seront notées X d , X q .
Pour opérer à ce changement de repère nous utiliserons les transformée de Concordia et Park
définies dans l’annexe A.
2
Pour avoir une relation conservative pour la puissance k = .
3
Ce calcul peut être fait en deux temps, passage des grandeurs triphasées au repère α−β et ensuite
calcul dans le repère dq.
R ( θ)
suuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuut
⎡ x d ⎤ ⎡ cos ( θ ) sin ( θ ) ⎤ ⎡ x α ⎤
Une rotation : ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ x q ⎦ ⎣ − sin ( θ ) cos ( θ ) ⎦ ⎣ xβ ⎦
⎡ ⎤
⎡ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎤ ⎢ V ⋅ sin(ω.t + γ) ⎥
⎢ cos(θ) cos⎜ θ − ⎟ cos⎜ θ + ⎟⎥ ⎢ ⎥
⎡Vd ⎤ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎥ ⎢ 2π
+ γ)⎥
2
⎢ ⎥= .⎢ ⋅ V ⋅ sin(ω.t − (1.3)
⎣Vq ⎦ 3⎢ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞⎥ ⎢ ⎥
− sin (θ) − sin ⎜ θ − ⎟ − sin ⎜ θ + ⎟⎥ ⎢ 3
⎥
⎣⎢ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎦ ⎢V ⋅ sin(ω.t − 4π
+ γ)⎥
⎣⎢ 3 ⎦⎥
En développant cette relation matricielle nous obtenons :
⋅ V ⋅sin (γ ) ⋅ V ⋅ cos(γ )
3 3
Vd = Vq = − (1.4)
2 2
Nous pouvons noter que le coefficient utilisé ici pour la transformée de Park affecte dans le plan
2
dq la valeur du module de la tension. (il aurait fallu choisir k = pour avoir des modules
3
égaux).
Réciproquement, pour des tensions ou des courants constants exprimés dans le repère dq, nous
voyons, que via la matrice P32 , nous obtenons des grandeurs triphasées sinusoïdales
P32
suuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuut
⎡ ⎤
⎢ cos ( θ ) − sin ( θ ) ⎥
⎡ V (t) ⎤ ⎢ ⎥
⎢ a ⎥ 2 ⎢ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎡ Vd ⎤
⎥
⎢ Vb (t) ⎥ = ⋅ ⎢ cos ⎜ θ − ⎟ − sin ⎜ θ − ⎟⎥⋅ ⎢ ⎥ (1.5)
⎢ ⎥ 3 ⎢ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎥ ⎣ Vq ⎦
⎢⎣ c ⎥⎦
V (t) ⎢ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎥
⎢ cos ⎜ θ + ⎟ − sin ⎜ θ + ⎟⎥
⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎦
2.1. Préambule.
La modélisation de la machine asynchrone dans le repère de Park aboutit, lorsque l’on sépare les
régimes électrique et mécanique, à une équation d’état de dimension quatre.
+ ω .Φ
Vsq = R s .Isq + Φ (2.2)
sq s sd
Flux au Stator.
Φsd = Ls .Isd + Lm .Ird (2.3)
Tensions au rotor.
− ω .Φ = 0
Vrd = R r .I rd + Φ (2.5)
rd sl rq
+ ω .Φ = 0
Vrq = R r .I rq + Φ (2.6)
rq sl rd
Flux au rotor.
Φ rd = Lr .I rd + L m .Isd (2.7)
Φ rq = L r .I rq + L m .Isq (2.8)
Couple électromagnétique.
L
(
Cem = P ⋅ m ⋅ Φ rd .Isq − Φ rq .Isd
Lr
) (2.9)
⎡ L 2 .R + L 2 .R Lm .R r ωr .L m ⎤
⎢ m r r s ωs ⎥
⎢ L 2 .L − L 2 .L
⎢ m r r s (
Lr 2 .Ls − L m 2 .L r ) L r .Ls − Lm 2 ⎥
⎥
⎢ ⎥
⎢ L m 2 .R r + Lr 2 .R s ωr .L m Lm .R r ⎥ (2.11)
−ωs −
( )
⎢ ⎥
A =⎢
⎢
Lm 2 .Lr − L r 2 .Ls L r .Ls − L m 2 Lr 2 .Ls − L m 2 .L r ⎥
⎥
⎢ L m .R r R ⎥
⎢ 0 − r ωs − ωr ⎥
⎢ Lr Lr ⎥
⎢ ⎥
( )
Lm .R r Rr
⎢ 0 − ωs − ωr − ⎥
⎢⎣ Lr Lr ⎦⎥
⎡ 1 ⎤
⎢ 0
⎥
2
⎢ L − Lm ⎥
⎢ s Lr ⎥
⎢ ⎥
=⎢ ⎥
1
B ⎢
0
L 2 ⎥
(2.12)
⎢ Ls − m ⎥
⎢ Lr ⎥
⎢ 0 0 ⎥
⎢ ⎥
⎣⎢ 0 0 ⎦⎥
sβ
Vsβ = R s .Isβ + Φ (2.14)
Flux au Stator.
Φsα = Ls .Isα + Lm .Irα (2.15)
Φ sβ = Ls .Isβ + L m .I rβ (2.16)
Tensions au rotor.
rα + ωr .Φ rβ = 0
Vrα = R r .I rα + Φ (2.17)
rβ − ωr .Φ rα = 0
Vrβ = R r .Irβ + Φ (2.18)
Flux au rotor.
Φ rα = Lr .Irα + L m .Isα (2.19)
Φ rβ = L r .I rβ + L m .Isβ (2.20)
Couple électromagnétique.
L
(
Cem = P ⋅ m ⋅ Φ rα .Isβ − Φ rβ .Isα
Lr
) (2.21)
=Φ
Φ = R . Lm .I − R r .Φ ⇒ I . L r = I − I
rd r r sd r mr sd mr
Lr Lr Rr
Isd
Imr = (3.3)
1 + Tr .p
A partir des équations (2.1) à (2.8) nous pouvons exprimer les tensions Vsd et Vsq
⎛ L2 ⎞ ⎛ L2 ⎞ Lm
Vsd = R s .Isd + ⎜ Ls − m ⎟.Isd − ωs . ⎜ Ls − m ⎟.Isq + .Φ rd (3.4)
⎜ L ⎟ ⎜ L ⎟ Lr
⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠
⎛ L2 ⎞ ⎛ L2 ⎞ Lm
Vsq = R s .Isq + ⎜ Ls − m ⎟.Isq + ωs .⎜ Ls − m ⎟.Isd + ωs . .Φ rd (3.5)
⎜ L ⎟ ⎜ L ⎟ Lr
⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠
⎛ L2 ⎞ ⎛ L2 ⎞ L 2 .p
Vsd = R s .Isd + p. ⎜ Ls − m ⎟.Isd − ωs .⎜ Ls − m ⎟.Isq + m .Isd (3.6)
⎜ L ⎟ ⎜ L ⎟ 1+ T .p
⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠ r
⎛ L2m ⎞ ⎛ L2m ⎞ Lm 2
Vsq = R s .Isq + p. ⎜ Ls − ⎟ Isq + ωs .⎜ Ls − ⎟ .Isd + .Imr (3.7)
⎜ L r ⎠⎟ ⎜ Lr ⎠⎟ Lr
⎝ ⎝
Nous mettrons cette dernière relation sous la forme : Vsd = Vsd1 − Femd
Pour les découplages Femd et Femq suivants :
⎛ L2m ⎞ Lm 2
Femd = +ωs .⎜ Ls − ⎟.I − .p.Imr (3.8)
⎜ Lr ⎟ sq Lr
⎝ ⎠
⎛ L2 ⎞ L 2
Femq = −ωs .⎜ Ls − m ⎟.Isd − ωs . m .Im r (3.9)
⎜ L r ⎟⎠ Lr
⎝
Les équations sur les axes dq sont alors régies par deux équations différentielles de premier
ordre.
⎛ L2 ⎞
Vsd1 = R s .Isd + p. ⎜ Ls − m ⎟.Isd (3.10)
⎜ Lr ⎟
⎝ ⎠
⎛ L2 ⎞
Vsq1 = R s .Isq + p. ⎜ Ls − m ⎟.Isq (3.11)
⎜ Lr ⎠⎟
⎝
Ce qui donne deux fonctions de transfert identiques :
Isd Isq 1 1
= = ⋅ (3.12)
Vsd1 Vsq1 ⎛ L2 ⎞ Rs
1 + ⎜1 − m ⎟ ⋅ p
⎜ L r ⋅ Ls ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
Isd 1 ⎜ 1 ⎟
= ⎜ ⎟ (3.14)
Vsd1 R s ⎜ Lf ⎟
⎜1+ .p ⎟
⎝ Rs ⎠
⎛ ⎞
Isq ⎜ ⎟
1 ⎜ 1 ⎟
= (3.16)
Vsq1 R s ⎜ Lf ⎟
⎜ 1 + p⎟
⎝ R s ⎠
=Φ
Φ = Lm .R r .I − R r .Φ (3.17)
dr r sd r
Lr Lr
= 0 = Lm .R r .I − ( ω − ω ) .Φ ⇒ ω = ω + L m .R r .I
Φ (3.18)
qr sq s r r s r sq
Lr L r .Φ r
sachant que Φ r = L m .I mr , (3.4) devient :
⎛ L2 ⎞ L 2 ⎛ L2 ⎞ L
Vsd = R s .Isd + ⎜ Ls − m ⎟.Isd + R r . m .Isd − ωs .⎜ Ls − m ⎟.Isq + R r . m .I mr (3.19)
⎜ L r ⎟⎠ Lr 2 ⎜ L r ⎟⎠ Lr
⎝ ⎝
Afin d’obtenir les mêmes constantes de temps sur les axes d et q, nous formulerons la tension
sur l’axe q sous la forme :
⎛ L2 ⎞ L 2 L 2
et Femq = −ωs .⎜ Ls − m ⎟.Isd − ωs . m .Im r + Rr. m .Isq (3.21)
⎜ Lr ⎟ Lr Lr 2
⎝ ⎠
Les équations différentielles sur les axes d et q sont :
⎛ L2 ⎞ L 2
Vsd1 = R s .Isd + ⎜ Ls − m ⎟.Isd + R r . m .Isd (3.22)
⎜ Lr ⎟ Lr 2
⎝ ⎠
⎛ L2 ⎞ L 2
Vsq1 = R s .Isq + ⎜ Ls − m ⎟.Isq + R r . m .Isq (3.23)
⎜ L r ⎟⎠ Lr 2
⎝
Les fonctions de transfert reliant Isd et Isq aux nouvelles entrées Vsd1 et Vsq1 sont deux premiers
ordres ayant pour formes :
⎛ ⎞
⎛ ⎞⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
Isd Isq ⎜ 1 ⎟⎜ 1 ⎟
= ⎜ ⎟ .⎜ ⎟
( )
(3.24)
2
Vsd1 Vsq1 ⎜ L r . L r .Ls − Lm 2
R r . m + R s ⎟ ⎜⎜ 1 + p. ⎟
L
⎜ ⎟ ⎟
⎝ Lr 2 ⎠⎜
⎝ (
Ls . Lm 2 .R r + Lr 2 .R s ) ⎟
⎠
En utilisant la relation (3.19), une variante à l’expression précédente donne pour Femq :
Les transmittances reliant les courants aux deux nouvelles tensions sont des premiers ordres :
⎛ ⎞
Isd Isq ⎜ ⎟
1 ⎜ 1 ⎟
= = . (3.28)
Vsd1 Vsq1 R r + R s ⎜ Lf ⎟
⎜ 1 + R + R .p ⎟
⎝ r s ⎠
Tableau 3-1
Tableau 3-2
• Pour la solution 1, les dynamiques pour les courants Isd et Isq sont du premier ordre, ce qui
simplifie la synthèse des correcteurs. En outre, le gain et la constante de temps sont
indépendants de la résistance rotorique, ce qui représente un avantage pour la robustesse. Par
contre les grandeurs Femd et Femq varieront avec la résistance rotorique via le courant I mr
• Pour la solution 2 nous avons encore deux dynamiques du premier ordre mais celles-ci
dépendent de la résistance rotorique ce qui peut nuire à la robustesse des correcteurs de ces
deux boucles.
Le choix d’une solution de découplage dépend sur quoi l’on désire voir apparaître les
I Isq
perturbations dues à une variation de la résistance rotorique, les transmittances sd et ou
Vsd1 Vsq1
les lois de découplage Femd et Femq .
Pour une commande vectorielle indirecte, les variations induites par évolution de la résistance
rotorique (tableau 3-2) montrent que le meilleur découplage correspondant à la solution 1.
Quelle que soit la solution de découplage adoptée, les incertitudes paramétriques et le bruit
amené par l’onduleur sur la commande doivent être pris en compte par une approche robuste de
la synthèse de la commande.
4. COMMANDE VECTORIELLE.
Nous avons défini la transformée de Park nécessaire au changement de coordonnées utilisé pour
la commande vectorielle.
Une fois dans ce repère, le moteur asynchrone peut être considéré comme un système
multivariable sur lequel le vecteur d’entrée est constitué des deux composantes de la tension
Vsd et Vsq dans le repère dq et des pulsations du champ tournant ωs et du rotor ω r .
La sortie est constituée de l’ensemble des flux et courants au stator et au rotor.
Lorsqu’un moteur électrique entraîne une charge mécanique il est indispensable, pour bien
piloter la dynamique de celle-ci, de maîtriser le couple instantané de celui-ci.
L’idée directrice de la commande vectorielle est d’avoir pour la machine asynchrone un couple
moteur proportionnel à un flux et un courant comme pour la machine à courant continu.
Ainsi, reprenons l’expression du couple électromagnétique de la machine asynchrone
( )
Cem = P. Φ rd .I sq − Φ rq .I sd , le repère dq dans lequel sont projeté le flux rotorique et le
courant statorique tourne à la vitesse du champ tournant, soit ici θs = ωs ⋅ t .
d
θs = ω s ⋅ t Isd Φr d
I sd
Φ rd
I sq Isq
Is
Is
Figure 4-1 : Flux rotorique non orienté. Figure 4-2. : Flux rotorique orienté
Il existe, pour la machine asynchrone, une infinité de positions du repère dq tournant à la vitesse
θs = ωs ⋅ t , pour celles ci le flux rotorique et le courant statorique se projettent conformément à
la figure 4-1. La position du repère dq étant arbitraire, afin d’avoir une expression du couple
électromagnétique analogue à celle d’un moteur à courant continu nous orienterons l’axe d dans
la direction du flux rotorique Φ r (figure 4-2).
L’expression du couple électromagnétique devient : Cem = P ⋅ Φ r ⋅ Isq (4.1)
Pour obtenir cette orientation il faut calculer la pulsation ωs que l’on intégrera pour calculer
l’angle θs nécessaire aux transformations de coordonnées. A partir des équations d’état (2.10) à
(2.12) si nous exprimons la composante du flux rotorique sur l’axe q on obtient :
L .R
= 0 = L m .R r .I − ( ω − ω ) .Φ ⇒ ω s = ω r + m r .I sq
Φ (4.2)
rq sq s r r L r .Φ r
Lr
1 Isq
ωs = ωr + ⋅ (4.4)
Tr I mr
Nous pourrons ainsi à partir de la mesure de vitesse mécanique estimer les pulsations
statoriques.
Nous voyons que le couple peut s’exprimer par : C em = P ⋅ L m ⋅ I mr ⋅ I sq , le courant
magnétisant I mr étant, à la constante de temps rotorique Tr près, l’image du courant Isd .
Ainsi si nous commandons correctement les courants statoriques I sd et I sq nous maîtriserons le
couple de la machine asynchrone.
Le courant I sd permettra de fixer le flux rotorique Φ r et le courant I sq pilotera le couple
électromagnétique.
Nous allons maintenant préciser les tâches nécessaires à la mise en œuvre d’une commande
vectorielle.
⎡ ⎤
⎢ ⎥ V an Ia
Vsd cos (θ ) − sin (θ ) ⎡ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎤ I sd
⎢ ⎥ cos (θ ) cos⎜ θ − ⎟ cos⎜ θ + ⎟
2 ⎢ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞⎥
Machine Ib 2 ⎢ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎥
. cos ⎜ θ − ⎟ − sin ⎜ θ − ⎟ V bn .⎢ ⎥ I sq
Vsq 3 ⎢ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎥ 3 ⎢ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎥
⎢ ⎥ asynchrone − sin (θ ) − sin ⎜ θ − ⎟ − sin ⎜ θ + ⎟
⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ Vcn Ic ⎢⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎥⎦
⎢ cos ⎜ θ + ⎟ − sin ⎜ θ + ⎟⎥ triphasée
⎢⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎥⎦
C em
Vsd
I sd
+
Isq
Vsq +
C em
Cem = P.(Φ rd .I sq − Φ rq .Isd )
Ces transformations étant effectuées la commandes des courants Isd et Isq de la machine
synchrone correspond à un système multivariable possédant deux entrées qui influencent
chacune des sorties (figure 4-4).
ωs Isq I mr
Femd = ω s . L f . Isq + R r I mr
Femd
Vsd1 Vsd θs
I sd I mr ωs
1 1 I sq 1
ωs = ωr + ⋅
1 + Tr ⋅ p Tr I mr p
Moteur I sd
Vsq1 Vsq Asynchrone
dans le Isq Isq
repère dq
C em Charge ωr
mécanique
Femq
Femq = − ω s .I sd .L f − ω r .L m .I mr
ωr ωr I sd I mrω s
⎛ ⎞
V sd1 ⎜ ⎟ I sd
1
.⎜ 1 ⎟ Ce découplage étant réalisé le comportement
Rr + Rs ⎜ Lf ⎟
⎜ 1 + .p
Rr + Rs ⎠
⎟ du système est ramené à deux premiers ordres
⎝
dont il faudra établir les lois de commande.
I sq Ces transmittances du premier ordre pourront
V sq1 ⎛
⎜
⎞
⎟
être valablement commandées par des
1 ⎜ 1 ⎟
. correcteurs polynomiaux de type RST.
Rr + Rs ⎜ Lf ⎟
⎜ 1 + .p ⎟ Un soin particulier devra être porté à la
⎝ Rr + Rs ⎠
robustesse car la résistance rotorique R r
évolue considérablement en fonction de la
Figure 4-6. : Comportement de la MAS avec température et du glissement.
le découplage sur les courants
Correcteur Km.
La boucle d’asservissement du courant I sd étant définie par la transmittance Γd le correcteur
Km devra assurer une bonne dynamique sur le courant magnétisant I mr .
I #mr #
Correct eur I I sd I mr
Γd
sd 1
I mr Km 1 + Tr ⋅ p
#
Ωr
I #sq I sq Charge mécanique Ωr
Γq
C em
Ωr Kv C em = P ⋅ L m ⋅ Isd ⋅ I sq 1
J⋅p + f
Système à commander
L’ensemble de tous ces correcteurs est représenté sur le schéma bloc figure 4-9.
Désexitation
#
Ωr
I #mr
#
Ωr Co rrect eur I
sd Co rrect eur ⎛ ⎞
I mr Km V sd1 ⎜ ⎟ I sd
1 1
I sd Kd .⎜ ⎟
Rr + Rs ⎜ Lf ⎟
⎜ 1+ .p ⎟
⎝ Rr + Rs ⎠
I mr 1 I sd
# 1 + Tr ⋅ p
Ωr Co rrect eur I#
sq
Correct eur ⎛ ⎞
Ωr Kv 1
⎜
1
⎟ I sq
I sq Kq .⎜ ⎟
Rr + Rs ⎜ Lf ⎟
⎜ 1+ .p ⎟
⎝ R r + R s ⎠
I sq ωs θs Transformation
1 1
ωr = P ⋅Ω r ωs = ωr + ⋅ de coordonnées
Tr I mr p
d, q
5. NOTATIONS.
Machine asynchrone.
Rs Résistance au stator
Ls Ls Inductance au stator
Rr Résistance au rotor
Lr Inductance au rotor
Lm Mutuelle inductance
Lf Inductance de fuite
Vsd , Vsq Tension stator sur les axes d et q
I sd , I sq Courants stator sur les axes d et q
I rd , I rq Courants rotor sur les axes d et q
Φ sd , Φ sq Flux statorique stator sur les axes d et q
Φ rd , Φ rq Flux rotorique stator sur les axes d et q
C em Couple électromagnétique
P Nombre de paires de pôles
Vitesse mécanique en rd/s
Ωr
ωr Vitesse électrique en rd/s
ωs Pulsation des courants statoriques
ωsl Pulsation de glissement ( ωs - ωr )
Vsα , Vsα Tension stator sur les axes α et β
I sα , I sα Courants stator sur les axes α et β
I rα , I rα Courants rotor sur les axes α et β
Φ sα , Φ sα Flux statorique stator sur les axes α et β
Φ rd , Φ rq Flux rotorique stator sur les axes α et β
Chapitre 2
1. MODELISATION.
Au plan technologiques les aimants peuvent être surfaciques ou placés dans la profondeur du
rotor, ils sont dit alors enterrés cf. Fig. 1-1 et Fig. 1-2-.
ias θr
d
id Ld
d
θr vas
Rs
vd
N
vbs Φf
vq
i bs
S
vcs iq
q
ics q
Rs
Lq
Figure 1.3 : Représentation de la MSAP dans les repères triphasé (a, b, c) et diphasés (d-q)
La projection dans un repère lié au rotor permet de définir une machine diphasée équivalente à la
machine triphasée, les enroulements étant disposés sur deux axes orthogonaux.
Il est à noter qu’ici la MSAP est ramené à une machine à une paire de pôle, l’angle θr
correspondra à l’angle réel du rotor multiplié par le nombre de paire de pôle P.
dΦ q
Vq = R s .Iq + + ωr .Φ d (1.2)
dt
Φ q = Lq .Iq (1.4)
(
Cem = P. Φ d .Iq − Φ q .Id ) (1.5)
(
Cem = f ⋅ Φ α , Φβ , Iα , Iβ )
(
Cem = P. Id .Iq ⋅ ( Ld − Lq ) + Φ f .Iq ) (1.6)
Dans ce cas le courant Id n’intervenant pas dans l’équation du couple le minimum des pertes
Joule est atteint pour une valeur nulle.
⎡ 1 ⎤
0 ⎥
⎡ I d ⎤ ⎢ Ls ⎡Φ ⎤
⎢I ⎥ = ⎢ ⎥ ⋅ ⎢ df ⎥ (1.10)
⎣ q⎦ ⎢ 0 1 ⎥ ⎣ Φq ⎦
⎢ Ls ⎥⎦
⎣
Couple électromagnétique :
Cem = P.Φ f .Iq
Equation mécanique.
= C + f ⋅Ω
J⋅Ω r em r
ωr = P ⋅ Ω r
I : Ls I:J
q
:V
s
L
e
S
I:
1
ωr ⋅ Φf Φf ⋅ Iq P
ed e q1 eq 2 Φf ⋅ Iq C em
Se : Vd 1 MGY 1 GY 1 TF 1
Id Id Iq Iq ωr ωr Ωr
Φf
ωr 0
R : Rs R : Rs R:f
ωr
I : Ls
q
:V
s
L
e
S
I:
1
ωr ⋅ Φf Φf ⋅ Iq P
ed e q1 eq2 Φf ⋅ Iq C em
Se : Vd 1 MGY 1 GY 1 TF Sf : Ωr
Id Id Iq Iq ωr ωr Ωr
Φf
ωr 0
R : Rs R : Rs
Si nous exprimons les équations différentielles de la machine synchrone dans un repère diphasé
lié au stator (repère α, β) le jeu d’équations différentielles régissant les courants et les flux est le
suivant :
Tensions.
dIα
Vα = R s ⋅ Iα + Ls − ωr ⋅ Φ f ⋅ sin ( θs ) (1.11)
dt
dIβ
Vβ = R s ⋅ Iβ + Ls + ωr ⋅ Φ f ⋅ cos ( θs ) (1.12)
dt
Flux.
Φ sα = Ls ⋅ Iα + Φ f ⋅ cos ( θs ) (1.13)
Couple.
(
Cem = p Φ α ⋅ Iβ − Φβ ⋅ Iα ) (1.15)
Nous pouvons remarquer, ce qui est naturel puisque le repère diphasé est fixe, que les
composantes des courants et des flux sont sinusoïdales.
A partir des équations (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) nous pouvons écrire :
dId
Vd = R s .Id + Ld ⋅ + ωr .Lq .Iq (2.1)
dt
dIq
Vq = R s .Iq + Lq . + ωr .Ld .Id + ωr .Φ f (2.2)
dt
Pour découpler l’évolution des courants Id et Iq par rapport aux commandes nous allons définir
des termes de compensations E d et E q tel que :
Pour la première composante du courant statorique nous aurons :
dId
Vd + ωr .Lq .Iq = R s .Id + Ld ⋅ = Vd' = Vd − E d (2.3)
dt
Avec les nouvelles entrées Vd' et Vq' , nous pouvons à partir des équations différentielles (2.3) et
(2.5) définir deux transmittances mono variables :
Id ( p ) 1
= (2.7)
Vd' ( p ) R s + Ld ⋅ p
Iq ( p ) 1
= (2.8)
Vq' ( p ) R s + Lq ⋅ p
ωr
Iq ωr .Lq .Iq
ω#r Onduleur
I #d Vd' - Vd Vsα Codeur
Boucles + ⎡cos ( θr ) − sin ( θr ) ⎤ Θr θr
ωr
de commande ⎢ ⎥ Vsβ MLI MSAP P
Id
Vq' Vq ⎢⎣sin ( θr ) cos ( θr ) ⎥⎦
+
Iq +
ωr Ωr ωr
Mesures des Calcul de la P
ωr .Ld .Id + ωr ⋅ Φf courants vitesse
Id
Ia Ib Ic
⎡ 2π 2π ⎤ Id
cos ( θr ) cos ⎜⎛ θr − ⎟⎞ cos ⎜⎛ θr + ⎟⎞ ⎥
θr 2 ⎢⎢ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎥
Iq
3⎢ ⎛ 2π⎞ ⎛ 2 π ⎞⎥
⎢ − sin ( r)
θ − sin θ −
⎜ r 3 ⎟ −sin θ +
⎜ r 3 ⎟⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
Chapitre 3
1. MODELISATION.
Ici nous présentons le modèle d’une machine synchrone à pôles saillant sans amortisseurs. La
présence de ces derniers ajoutant un régime asynchrone au fonctionnement.
La machine à pôles saillants correspond au schéma de la figure 1-1.
La projection dans un repère lié au rotor permet de définir une machine diphasée équivalente à la
machine triphasée, les enroulements étant disposés sur deux axes orthogonaux, comme le montre
la figure 1-2.
Dans ce nouveau repère nous noterons:
Ld (H) : inductance équivalente d'induit sur l'axe d.
L q (H) : inductance équivalente de l’induit sur l'axe q.
R s (Ω) : résistance équivalente d'enroulements statoriques.
L f (H) : Inductance de l'inducteur.
M sf (H) : Mutuelle inductance entre le stator et le rotor.
R f (Ω) : résistance de l'inducteur.
P : nombre de paires de pôles.
f : coefficient de frottement fluide.
J : inertie du rotor.
3
Pour simplifier l’écriture on prendra un nouveau paramètre M telle que: M = Msf
2
Nous pouvons maintenant écrire les équations régissant le fonctionnement du moteur.
INSA 5GE ISIP Commande vectorielle de la machine synchrone à rotor bobiné J.M RETIF
© [JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits réservés.
28
dΦ q
Vq = R s .I q + + ω r .Φ d (1.2)
dt
dΦ f
Vf = R f .I f + (1.3)
dt
Flux :
Φ d = L d .I d + M.I f (1.4)
Φ q = L q .I q (1.5)
Φ f = L f .I f + M.I d (1.6)
Couple électromagnétique:
(
C em = P. Φ d .I q − Φ q .I d ) (1.7)
X t ( t ) = ⎡⎣ Id ( t ) Iq ( t ) If ( t ) ⎤⎦ (1.8)
Ici le vecteur de commande sera constitué des deux composantes des tensions statorique et de la
tension d’excitation.
⎡Vd ( t ) ⎤
⎢ ⎥
U ( t ) = ⎢ Vd ( t ) ⎥ (1.9)
⎢⎣ Vf ( t ) ⎥⎦
Pour le vecteur de sortie nous prendrons les trois courant du vecteur d’état soit
Y(t) = X(t) (1.10)
Nous allons maintenant exprimer le modèle dynamique de la MSRB par ses équations d’état :
.
X ( t ) = AX ( t ) + BU ( t ) (1.11)
Y ( t ) = CX ( t )
En exprimant les flux et leurs dérivées des équations ((1-1) à (1-3)) par les expressions des
équations ((1-4) à (1-6)) on obtient:
INSA 5GE ISIP Commande vectorielle de la machine synchrone à rotor bobiné J.M RETIF
© [JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits réservés.
29
dI d dI
Vd = R s ⋅ I d + Ld. + M. f − ωr .Lq.Iq (1.12)
dt dt
dI q
Vq = Rs.I q + Lq. + ω r ⋅ (Ld.I d + M.I f ) (1.13)
dt
dI f dI
Vf = R f .I f + L f . + M. d (1.14)
dt dt
[ ]
Posons maintenant: X(t) = I d I q I f T et U(t) = Vd Vq Vf T [ ] (1.15)
INSA 5GE ISIP Commande vectorielle de la machine synchrone à rotor bobiné J.M RETIF
© [JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits réservés.
30
d Iq
Vq = R s .I q + L q . + ω r .Φ d (2- 2)
dt
d If
Si l’on explicite à partir de (1-6), nous pouvons obtenir une équation analogue à (1.12) sur
dt
l’axe d.
d I d ⎛⎜ M 2 ⎞⎟ M d Φf
Vd = R s .I d + . Ld − − ω r .Φ q + . (2-3)
dt ⎜ Lf ⎟ L f dt
⎝ ⎠
Comme pour la machine asynchrone, les équations reliant les tensions aux courants sur les axes
d et q sont interdépendantes (relation (1.12), (1.13), (1.14)).
Afin de pouvoir mettre en œuvre des techniques de commande monovariables, il est nécessaire
de s’affranchir du couplage reliant les courants Id et Iq aux tensions Vd et Vq .
A partir des équations (1.12) à (1.14). En soustrayant à chacune d'entre elles les termes de
couplage il est possible d’obtenir deux découplages différents.
d Id d If
Ici : Vd' = R s .I d + L d . avec Fem d = −ω r .Φ q + M. (2- 4)
dt dt
d Iq
Vq' = R s .I q + L q . avec Fem q = ω r .Φ d (2-5)
dt
Dans ce cas les dynamiques des courants Id et Iq seront :
I d (p) 1 1
= ⋅ (2-6)
Vd' (p) R s 1 + L d ⋅ p
Rs
I q (p) 1 1
= ⋅ (2-7)
Vq' (p) Rs
1+
Lq
⋅p
Rs
INSA 5GE ISIP Commande vectorielle de la machine synchrone à rotor bobiné J.M RETIF
© [JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits réservés.
31
' d I d ⎛⎜ M 2 ⎞⎟ M d Φf
Ici : Vd = R s .I d + Ld − avec Fem d = −ω r .Φ q + . (2-8)
dt ⎜ Lf ⎟ L f dt
⎝ ⎠
d Iq
Vq' = R s .I q + L q . avec Fm q = ω r .Φ d (2- 9)
dt
Dans ce cas les dynamiques des courants Id et Iq seront :
I d (p) 1 1
= ⋅ (2-10)
Vd' (p) R s ⎛L M2 ⎞
1+ ⎜ d − ⎟⋅p
⎜ R s R s ⋅ Lf ⎟
⎝ ⎠
I q (p) 1 1
= ⋅ (2-11)
Vq' (p) Rs
1+
Lq
⋅p
Rs
L’élaboration de ces grandeurs impose l’utilisation d’un estimateur ou d’un observateur de flux.
Ce découplage permet de simplifier considérablement la commande, en effet, par rapport aux
nouvelles tensions Vd' et Vq' , la dynamique des courants Id et Iq est définie par des premiers
ordres :
Nous pourrons alors aisément synthétiser des correcteurs polynomiaux de type RST pour
prendre en compte des contraintes de poursuite et de rejet de perturbations.
INSA 5GE ISIP Commande vectorielle de la machine synchrone à rotor bobiné J.M RETIF
© [JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits réservés.
32
Commande
de l'inducteur
ωr
d If
Iq ωr .Φq + M.
dt
ω#r Onduleur
Vd Codeur
I #d Vd' - Vs α
Boucles + ⎡cos ( θr ) − sin ( θr ) ⎤ Θr θr
ωr
de commande ⎢ ⎥ Vs β MLI MSRB P
Id
Vq' Vq ⎣⎢sin ( θr ) cos ( θr ) ⎦⎥
+
Iq +
ωr Ωr ωr
Mesures des Calcul de la P
Id ωr .Φd courants vitesse
Ia Ib Ic
Id
⎡ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎤
θr ⎢ cos ( θr ) cos ⎜ θr − 3 ⎟ cos ⎜ θr + 3 ⎟ ⎥
2⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥
Iq
3⎢ ⎛ 2π⎞ ⎛ 2 π ⎞⎥
⎢ − sin ( θr ) − sin ⎜ θr − ⎟ −sin ⎜ θr + ⎟⎥
⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎦
INSA 5GE ISIP Commande vectorielle de la machine synchrone à rotor bobiné J.M RETIF
© [JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits réservés.
33
Figure 2-3 : Boucle de régulation du courant iq
If (p) =
Rf
L (
. Vf' (p) + M.p.Id (p) −
Rf
L ) .Id (p) =
Rf
L
.Vf' (p) (2-13)
1 + f .p 1 + f .p 1 + f .p
Rf Rf Rf
Nous aboutissons ainsi à un transfert monovariable du premier ordre :
1
If (p) Rf
= (2-14)
'
Vf (p) 1 + Lf .p
Rf
Le schéma nous permettant de calculer le régulateur de l'inducteur se résume alors à la figure
suivante :
Nota :
Id La compensation de I d ,
PROCESSUS ici considéré comme une
perturbation mesurable,
M p
.
R f 1 Lf . p
nécessite une dérivation.
+
M.p Rf Celle ci pourra être
approximé par une
transmittance de la
V'f + Vf 1 1 +
- If M ⋅ p
+ .
R f 1 Lf . p forme :
+
Rf
1 + ω0 ⋅ p
1
Avec ω0 >>
M
Figure 2-4 : Schéma équivalent après découplage
INSA 5GE ISIP Commande vectorielle de la machine synchrone à rotor bobiné J.M RETIF
© [JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits réservés.
34
2.2.1. Contexte technologique.
Le schéma physique de la boucle de régulation est le suivant:
θr
ωr ⋅ Φ q
Vd
Commande RST
Id
I# & découplage
d
STRATEGIE ωr ⋅Φ d Vq
D'ELABORATION Iq Commande RST
I#
q & découplage
DES CONSIGNES
DE COURANT
Id
Commande RST Vf MLI vectorielle
I# If
& découplage HACHEUR
f
&
Id ONDULEUR
Mesure des courants
Iq et projection
C#
em If dans le repère dq
θr Mesure de
Boucle externe Ωr
# CHARGE
la position θ r
pour la commande
de vitesse ou de position Ωr
INSA 5GE ISIP Commande vectorielle de la machine synchrone à rotor bobiné J.M RETIF
© [JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits réservés.
35
3. COMMANDE DU MOTEUR A COS(φ)=1.
(
Γ = p. ( Φd.Iq − Φq.Id ) = p.Φ.I. Cos 2δ + Sin 2δ ) (3-2)
En travaillant à flux maximal sans saturation, nous minimiserons le courant en gardant le facteur
de puissance à un.
INSA 5GE ISIP Commande vectorielle de la machine synchrone à rotor bobiné J.M RETIF
© [JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits réservés.
36
Ω Γ#
I# = (3- 4)
Figure 3-2 p.Φ #
On mesure les trois courants de phases, et la position angulaire du rotor pour déterminer Id et Iq
par la transformation de Park.
Les valeurs Id et Iq et la mesure du courant inducteur nous permettent de calculer les flux :
Φ = Φd 2 + Φ q 2 (3-6)
D’où la valeur de l’angle de charge :
⎧ Φd
⎪⎪Cos ( δ ) = Φ
⎨ (3-7)
⎪Sin ( δ ) = Φq
⎩⎪ Φ
On peut alors calculer les consignes pour l’induit :
⎧Id # = − I# ⋅Sin ( δ )
⎪
⎨ (3-8)
⎪⎩Iq # = I # ⋅ Cos ( δ )
( )
2
Φ #2 − Lq.Iq # − Ld .Id #
If# = (3-9)
M
Enfin, pour maintenir le flux le plus constant possible pendant la phase dynamique, on vient
ajouter à la consigne de courant inducteur un signal dépendant de l’écart entre le flux réel et
celui de consigne. Cet écart est nul en régime permanent.
INSA 5GE ISIP Commande vectorielle de la machine synchrone à rotor bobiné J.M RETIF
© [JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits réservés.
37
D’où le schéma bloc suivant :
θ
Ia 3/2
3/2 Id Φd Sinδ Id* Vd* Ia
Ib Φ Reg Id
e-jθ
e-jθ d Φq e f g Ib
Ic Iq Cosδ Iq* Vq* MLI
c Reg Iq
Moteur Ic
If
θ dθ Ω Φ*
a b
dt
h ∆If Vf * MLI If
Φ Reg If Hacheur
Inducteur
Id* If *
Iq* i
Φ*
Γ*
b I* =
p.Φ *
⎡ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎤
⎢ cos ( θ ) cos ⎜ θ − ⎟ cos ⎜ θ + ⎟ ⎡ Ia ⎤
⎡ d⎤
I 2⎢ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎥⎢ ⎥
c ⎢I ⎥ = ⎥ Ib
⎣ q⎦ 3 ⎢ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎢ ⎥
⎥
⎢ − ( θ ) − ⎜ θ − ⎟ − ⎜ θ + ⎟⎥ ⎢ I ⎥
3 ⎠⎦ ⎣ c ⎦
sin sin sin
⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎝
e Φ = Φd 2 + Φq 2
⎧ Φd
⎪⎪Cosδ = Φ
f ⎨
⎪Sinδ = Φq
⎪⎩ Φ
⎧Id # = −I # ⋅ Sinδ
⎪
g ⎨
⎪⎩Iq # = I # ⋅ Cosδ
h ∆I # = k.⎛⎜ Φ # − Φ ⎞⎟
f ⎝ ⎠
2 2
Φ # − ⎛⎜ Lq.Iq # ⎞⎟ − Ld.Id #
⎝ ⎠
i I# =
f M
INSA 5GE ISIP Commande vectorielle de la machine synchrone à rotor bobiné J.M RETIF
© [JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits réservés.
38
INSA 5GE ISIP Commande vectorielle de la machine synchrone à rotor bobiné J.M RETIF
© [JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits réservés.
39
Chapitre 4
MLI VECTORIELLE
1. PREAMBULE.
La commande des machines alternatives par un onduleur de tension fait généralement appel à
des techniques de modulation de largeur d'impulsions pour commander les commutateurs de
puissance.
Si la commande en commutation des transistors de puissance minimise les pertes du
convertisseur, par contre elle altère de façon importante les tensions appliquées au moteur
électrique.
Les techniques de modulation de largeur d’impulsions sont multiples, le choix d’une d’entre
elles dépend du type de commande que l’on applique à la machine, de la fréquence de
modulation de l’onduleur et des contraintes harmoniques fixées par l’utilisateur.
La modulation peut être faite par diverses approches, classiquement par comparaison des
références à une fonction triangulaire ou à l'aide d'un calcul en temps réel satisfaisant un critère.
Notre propos n'étant pas ici de décrire les nombreuses techniques de modulation existantes dans
une très copieuse littérature.
Dans le contexte d’une commande échantillonnée, nous avons à l'instant discret de calcul k, trois
tensions Va ( k ) , Vb ( k ) , Vc ( k ) qui doivent, par l'intermédiaire des éléments non linéaires de
l'onduleur, s'appliquer au moteur.
Pour des utilisations à vitesses variables, sur des machines de petites et moyennes puissances,
les onduleurs fonctionnant à des fréquences de commutation de quelques kHz.
Nous allons dans ce chapitre mettre l’accent sur la modulation vectorielle et montrer sa
supériorité vis-à-vis de la MLI intersective généralement utilisée.
Principe de la MLI Vectorielle.
Pour chaque période de modulation de l’onduleur, les tensions triphasées fournies par
l’algorithme de commande peuvent s’exprimer dans un repère fixe au stator, par l’intermédiaire
de leurs projections Vα (k) et Vβ (k) (cf. Annexe A).
Un onduleur triphasé à deux niveaux de tension, possède six cellules de commutation (Fig. 1-1),
donnant huit configurations de commutations possibles. Ces huit configurations de
commutations (notés de ν 0 à ν 7 ) peuvent s’exprimer dans le plan α, β par 8 vecteurs de
tensions, parmi ceux-ci deux sont nuls les autres sont equi-répartis tout les 60°.
I ond
C E
2
A
O Moteur
B
triphasé
C
C E
2
Vβ
Vβ
2E ν2 ρ1 =
T1
2E ν2 Tmod
T2
ν3 ν1 ρ2 =
i=2 i=1 Tmod
i=1
3 Vs β
i=3 ν0 ν 7 i=6 E Vα Vs
2 ν1
ρ2 ⋅ ν2
i=4 i=5 i=6
ν4 ν6 ⋅ ν1 Vα
ρ1
ν0 ν Vs α 3
E
7
2
ν5
Figure 2-2 : Tensions dans le repère α, β Figure 2-3 :Décomposition d’un vecteur
tension
La somme des temps de conduction Ti et Ti+1 doit être inférieur à la période de modulation
Tmod de l’onduleur.
G
Pour illustrer la méthodologie, considérons ici le vecteur de tension Vs entre les vecteurs de
G G
V1 et V2 qui correspondent aux commutations ν1 et ν 2 .
π π
G j. G j.
V1 = 2 . E.e 6 et V2 = 2 . E.e 2 . (2-2)
En exprimant le vecteur tension dans le repère α,β nous aurons :
G T1 G T2 G
Vs = Vsα + j. Vsβ = . V1 + .V (2-3)
Tcom Tcom 2
T ⋅ 2 ⋅E ⎛ ⎛π⎞ ⎛ π ⎞⎞ T ⋅ 2 ⋅E ⎛ ⎛π⎞ ⎛ π ⎞⎞
Vsα + j.Vsβ = 1 . ⎜ cos ⎜ ⎟ + j.sin ⎜ ⎟ ⎟ + 2 . ⎜ cos ⎜ ⎟ + j.sin ⎜ ⎟ ⎟ (2-4)
Tmod ⎝ ⎝6⎠ ⎝ 6 ⎠⎠ Tmod ⎝ ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠⎠
En développant cette équation il est possible d’exprimer les temps d’application T1 et T2 des
G G
vecteurs V1 et V2 en fonction de Vsα et Vsβ .
Ces temps de conduction seront :
2 T ⎛ 1 1 ⎞ T
T1 = .Vsα . mod et T2 = ⎜ − Vsα + Vsβ ⎟ . mod (2-5)
3 E ⎝ 6 2 ⎠ E
Tableau 2-3 : Calcul des temps d'application des vecteurs non nuls
G
Afin de reconnaître dans quel secteur se trouve le vecteur de tension Vs une série de tests sur
Vsα et Vsβ assurent la localisation de celui ci.
En reportant dans ces deux relations les expressions de Vsα et Vsβ issues des équations (2.6)
Ti
(2-7) et sachant que le rapport cyclique est défini par ρi = , nous obtenons :
Tmod
⎛ 3 ⎞.
ρ1 = Vsα ρ2 = ⎜⎜ −0,5 ⋅ Vsα + Vsβ ⎟⎟
⎝ 2 ⎠
En opérant de la même façon pour les autres secteurs les résultats sont donnés tableau 2-4.
Ba +
Bb +
Bc +
Ba +
Bb +
Bc +
Le complément à la période de commutation Tcom sera assuré par les commutations nulles
G
ν 0 ou ν 7 . En notant Vz l’un de ces vecteurs nul, l’application des différents vecteurs en
fonction des secteurs définis dans le plan α, β sont donnés figure 2-5.
Ce type de modulation permet d’obtenir des tensions efficaces supérieures à celles obtenues par
la modulation intersective et conduit à des réalisations logicielles véloces compatibles avec les
contraintes de calcul en temps réels des machines alternatives.
Pour chaque bras de l’onduleur, nous considérerons que l’état ‘un’ correspond à la conduction du
E
transistor du haut (tension + ), et l’état ‘zéro’ à la conduction du transistor du bas
2
E
(tension − ).
2
A partir des rapports cycliques exprimant les temps d’application d’un état de l’onduleur
correspondant au tableau 2-4, il est nécessaire de déterminer les rapports cycliques de
conduction des bras pour tous les secteurs.
Secteur ρA ρB ρC
1 0,5 (1 + ρ1 + ρ2 ) 0,5 (1 − ρ1 + ρ2 ) 0,5 (1 − ρ1 − ρ2 )
2 0,5 (1 + ρ2 − ρ3 ) 0,5 (1 + ρ2 + ρ3 ) 0,5 (1 − ρ2 − ρ3 )
3 0,5 (1 − ρ3 − ρ4 ) 0,5 (1 + ρ3 + ρ4 ) 0,5 (1 − ρ3 + ρ4 )
4 0,5 (1 − ρ4 − ρ5 ) 0,5 (1 + ρ4 − ρ5 ) 0,5 (1 + ρ4 + ρ5 )
5 0,5 (1 − ρ5 + ρ6 ) 0,5 (1 − ρ5 − ρ6 ) 0,5 (1 + ρ5 + ρ6 )
6 0,5 (1 + ρ6 + ρ1 ) 0,5 (1 − ρ6 − ρ1 ) 0,5 (1 + ρ6 − ρ1 )
Tableau 2-5 : Rapports cyclique pour les bras de l’onduleur
Ces relations ne sont dépendantes que des chronogrammes définis figure 2-5, maintenant il faut :
pour la modulation vectorielle que nous mettons en œuvre, définir ces rapports cycliques en
fonction des tensions réduites Vsα et Vsβ .
Pour y parvenir reprenons les résultats du tableau 2-4.
Ainsi pour le secteur 1 ρA = 0,5 (1 + ρ1 + ρ2 ) avec ρ1 = Vsα et ρ2 = ⎛⎜ −0,5 ⋅ V sα + 3 V sβ ⎞⎟ ce qui
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
⎛ 1 3 ⎞
après simplification donne : ρA = 0,5 ⎜⎜ 1 + ⋅ Vsα + ⋅ Vsβ ⎟⎟ .
⎝ 2 2 ⎠
C E
2 Moteur
A triphasé
O
B N
C
C E
2
Figure 3-1 : Onduleur à deux niveaux de tension associé à une charge en étoile
Avec une charge équilibrée les tensions aux bornes des enroulements peuvent s’exprimer à partir
des tensions Vao , Vbo , Vco par la relation matricielle (3-1) :
⎡ Van ⎤ ⎡ 2 − 1 − 1⎤ ⎡ Vao ⎤
⎢ ⎥ 1⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ Vbn ⎥ = 3 ⎢ − 1 2 − 1⎥. ⎢ Vbo ⎥ (3-1)
⎢⎣ Vcn ⎥⎦ ⎢⎣− 1 − 1 2 ⎥⎦ ⎢⎣ Vco ⎥⎦
A partir de la relation (3-1) nous pouvons définir les tensions aux bornes des enroulements du
moteur. Pour obtenir ces tensions dans le repère α, β nous utiliserons l’équation (2-1), ce qui,
pour les huit vecteurs de commutation de l’onduleur, fourniront le résultat tableau 3-1.
ν0 ν1 ν2 ν3 ν4 ν5 ν6 ν7
Van 0 2 E E 2 E E 0
+ .E + − − .E − +
3 3 3 3 3 3
Vbn 0 E E 2 E E 2 0
− + + .E + − − .E
3 3 3 3 3 3
Vcn 0 E 2 E E 2 E 0
− − .E − + + ⋅E +
3 3 3 3 3 3
Vα 0 2 1 1 2 1 1 0
+ .E + .E − .E − .E − .E + .E
3 6 6 3 6 6
Vβ 0 0 1 1 0 1 1 0
+ .E + .E − .E − .E
2 2 2 2
Tableau 3-1 : Tensions pour un montage en étoile
Vβ
E Vβ
ν3 2 ν2
i=2 E ν2
T1
2 ρ1 =
Tmod
i=1
i=3
ν4 ν0 ν7 ν1 Vα T2
ρ2 =
i=1 Tmod
2
E
i=4 i=6 3
Vs
2
⋅ν
i=5
ρ2
Vα
ν1
ν5
ρ1 ⋅ ν1 2
ν6 E
3
Figure 3-2 Figure3-3
Nous pouvons remarquer ici, ce qui normal, que les vecteurs tensions correspondant aux
différents états de commutation de l’onduleur d’un module 3 plus faible que pour le montage
π
étoile et orientés de − .
6
Comme pour le montageGtriangle les tensions à fournir à la charge peuvent s’exprimer dans le
plan α, β par un vecteur Vs
G T G T G
Vs = Vsα + j.Vsβ = 1 .V1 + 2 .V2 (3-2)
Tmod Tmod
Pour le secteur 1 nous pouvons exprimer la tension dans le repère statorique.
⎛ ⎛π⎞ ⎛ π ⎞⎞
⋅ E ⋅ ( cos ( 0 ) + j.sin ( 0 ) ) + 2 ⋅
T 2 T 2
Vsα + j.Vsβ = 1 ⋅ ⋅ E ⋅ ⎜ cos ⎜ ⎟ + j.sin ⎜ ⎟ ⎟ (3-3)
Tmod 3 Tmod 3 ⎝ ⎝3⎠ ⎝ 3 ⎠⎠
Après résolution nous obtenons :
⎛ 3 1 ⎞ T T
T1 = ⎜⎜ .Vsα − .Vsβ ⎟⎟ . mod et T2 = 2.Vsβ . mod (3-4)
⎝ 2 2 ⎠ E E
Tableau 3-2 Calcul des temps d'application des vecteurs non nuls
Ba +
Bb +
Bc +
Ba +
Bb +
Bc +
Secteur ρA ρB ρC
1 0,5 (1 + ρ1 + ρ2 ) 0,5 (1 − ρ1 + ρ2 ) 0,5 (1 − ρ1 − ρ2 )
2 0,5 (1 + ρ2 − ρ3 ) 0,5 (1 + ρ2 + ρ3 ) 0,5 (1 − ρ2 − ρ3 )
3 0,5 (1 − ρ3 − ρ4 ) 0,5 (1 + ρ3 + ρ4 ) 0,5 (1 − ρ3 + ρ4 )
4 0,5 (1 − ρ4 − ρ5 ) 0,5 (1 + ρ4 − ρ5 ) 0,5 (1 + ρ4 + ρ5 )
5 0,5 (1 − ρ5 + ρ6 ) 0,5 (1 − ρ5 − ρ6 ) 0,5 (1 + ρ5 + ρ6 )
6 0,5 (1 + ρ6 + ρ1 ) 0,5 (1 − ρ6 − ρ1 ) 0,5 (1 + ρ6 − ρ1 )
4, 5 5, 6 5, 6 1, 2
Vs α ≥ 0 Vs α ≥ 0
Vs β ≥ 3 ⋅ Vs α
SECTEUR 3 SECTEUR2
SECTEUR 5 SECTEUR 6
SECTEUR 5 SECTEUR4
⎡V ⎤ ⎡ Vsα ⎤
En calculant pour les 6 directions des états actifs de l’onduleur tel que : ⎢ R ⎥ = TRT ⋅ ⎢ ⎥
⎣ VT ⎦ ⎣ Vsβ ⎦
i=2
i=2 i =1
i=3 i =1 Vs
i =3
Vs
ν4 ν1 ν4 ν1
i =6
i=4 i=6
i=4 i =5
i=5
ν5 ν6 ν5 ν6
2, 3 5, 6
VT < 0 VT ≥ 0
SECTEUR 4 SECTEUR 1
VT > VR − VT > VR
Pour des tensions sinusoïdales la MLI vectorielle fourni des rapports cycliques sur chaque bras
qui présentent un harmonique 3 (Fig.3-10). Ceci présente un avantage car cela permet d’avoir,
comme nous le verrons dans le paragraphe suivant, une tension efficace plus importante qu’avec
une MLI intersective.
Pour un signal à 50 Hz, et d’amplitude maximum les rapports cycliques sur les trois bras ne sont
pas sinusoïdaux et présentent un harmonique d’ordre 3, comme le point neutre est relié celui-ci
est éliminé et les tensions composées seront sinusoïdales cf. Fig.3-11.
ρa
1
0.5
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45
t(ms)
ρb
1
0.5
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45
t(ms)
ρc
1
0.5
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45
t(ms)
Vab
400
200
0
-200
-400
5 10 15 20 25 30 35 40 45
t(ms)
Vbc
400
200
0
-200
-400
5 10 15 20 25 30 35 40 45
t(ms)
Vca
400
200
0
-200
-400
5 10 15 20 25 30 35 40 45
t(ms)
4. MLI I NTERSECTIVE
La modulation intersective repose sur la comparaison entre les références des trois signaux de
tension avec une porteuse triangulaire de haute fréquence. Classiquement, pour des signaux de
l’ordre de 50 Hz la fréquence de modulation est supérieure à 10 kHz.
Références des tensions triphasées Signaux de commandes
des bras de l'onduleur
Comparateurs Onduleur
+
-
+
-
+
Porteuses triangulaires
-
Actuellement de type de modulation est réalisée par voie numérique, dans ce cas les rapports
cycliques des bras de l’onduleur sont les suivants :
V
ρa = 0,5 + 0,5. sin ( ω.t ) (4-1)
Vmax
V ⎛ 2.π ⎞
ρb = 0,5 + 0,5. sin ⎜ ω.t − ⎟ (4-2)
Vmax ⎝ 3 ⎠
V ⎛ 2.π ⎞
ρc = 0,5 + 0,5. sin ⎜ ω.t + ⎟ (4-3)
Vmax ⎝ 3 ⎠
E
La tension Vmax est le maximum atteignable et vaut :.
2
Afin de comparer cette technique intersective avec la modulation vectorielle nous allons
exprimer le vecteur tension dans le plan α, β .
⎡ Xα ⎤ 3 ⎡cos ( θ ) ⎤ 3
⎢X ⎥ = ⋅V ⎢ ⎥ d’où Vs = ⋅V (4-6)
⎣ β⎦ 2 ⎣ sin ( θ ) ⎦ 2
E 3 E
Comme la tension crête ne peut dépasser nous obtenons finalement : Vs = ⋅
2 2 2
Afin d’obtenir une relation avec la tension efficace, sachant que Vs = 3 ⋅ Veff (voir annexe A
§2.1.2) nous aurons :
E = 2 2.Veff (4-7)
Application numérique.
Pour une tension Veff = 220 V il faudra une alimentation continu de E 622 V qui est à
comparer à E = 540 V obtenu avec la modulation vectorielle.
Comparaison avec la MLI vectorielle
A partir de la relation (4-7) il est possible d’établir une interprétation sur les directions des
commutations une interprétation géométrique de la MLI intersective qui montre clairement
l’intérêt de la MLI vectorielle.
E
E Vβ 2
ν3 2 ν2
E 2
E
Vs 2 3
ν4 ν0 ν7 ν1 Vα
2
E
3
ν5
ν6 Vecteurs tension dans le planα , β
2
Ici le module du vecteur tension est constant et
E G
G 3 V1 2
V4
vaut Vs = ⋅E .
3
G
G
V5 V6
Vecteurs tension dans le planα , β
−
E Les différentes formes de la tension
2
ν1 ν2 ν3 ν4 ν5 ν6 ν1 ν2 ν3 ν4 ν5 ν6
sont représentées ci-contre.
Vbo
E
+
2
Pour obtenir les tensions aux bornes
−
E de chaque phase nous utiliserons la
2
relation (3-1), nous obtenons (voir
Vco ν1 ν2 ν3 ν4 ν5 ν6 ν1 ν2 ν3 ν4 ν5 ν6
E
tableau 2.7) les tensions suivantes :
+
2
E
−
2
Van
ν1 ν2 ν3 ν4 ν5 ν6 ν1 ν2 ν3 ν4 ν5 ν6
E
+2
3
E
−2
3
Vbn ν1 ν2 ν3 ν4 ν5 ν6 ν1 ν2 ν3 ν4 ν5 ν6
E
+2
3
E
−2
3
Vcn ν1 ν2 ν3 ν4 ν5 ν6 ν1 ν2 ν3 ν4 ν5 ν6
E
+2
3
E
−2
3
⎡ xh ⎤
⎢ ⎥
Pour le repère diphasé le vecteur X hαβ = ⎢ x α ⎥ (1-2)
⎢ xβ ⎥
⎣ ⎦
Une des plus classique est la transformée de Concordia, définie par une matrice C33 , le passage
des composantes triphasée X abc a la composante homopolaires et aux coordonnées dans le plan
α−β est donné par le relation matricielle suivante
X αβh = k ⋅ C33 ⋅ X abc (1-3)
⎡ 1 1 1 ⎤
⎢ ⎥
⎢ 2 2 2 ⎥
⎢ 1 1 ⎥
Avec C33 = ⎢ 1 − − ⎥ (1-4)
⎢ 2 2 ⎥
⎢ 3 3 ⎥⎥
⎢ 0 −
⎢⎣ 2 2 ⎥⎦
⎡xα ⎤
Si l’on sépare la composante homopolaire des coordonnées X αβ = ⎢ ⎥ la matrice C33 se
⎣ xβ ⎦
décompose en deux sous matrices C13 et C23 .
⎡ 1 1 ⎤
⎢ 1 − − ⎥
⎡ 1 1 1 ⎤ 2 2 ⎥
Avec C13 = ⎢ ⎥ C23 = ⎢
⎣ 2 2 2⎦ ⎢ 3 3⎥
⎢0 − ⎥
⎣ 2 2 ⎦
Pour une machine dont le point neutre n’est pas relié les composantes homopolaires sont nulles
et les relations (1-3) et (1-4) deviennent :
X abc
X αβ
suuuut
suuuut ⎡ xa ⎤
⎡xα ⎤ ⎢ ⎥
⎢ x ⎥ = k ⋅ C23 ⎢ x b ⎥ (1-5)
⎣ β⎦ ⎢⎣ x c ⎥⎦
C23
suuuuuuuuuuuuuuuuuut
⎡ 1 1 ⎤ ⎡x ⎤
⎢ 1 − − ⎥ a
⎡xα ⎤
⎢x ⎥ = k ⋅⎢
2 2 ⎥⋅ ⎢ x b ⎥ (1-6)
⎢ ⎢ ⎥
⎣ β⎦ 3 3⎥ ⎢ ⎥
⎢ 0 − ⎥ ⎣ xc ⎦
⎣ 2 2 ⎦
⎡ cos ( θ ) sin ( θ ) ⎤
Avec R ( θ ) = ⎢ ⎥ (1-8)
⎣ − sin ( θ ) cos ( θ ) ⎦
Réciproquement pour le passage inverse :
⎡xα ⎤ ⎡xd ⎤
⎢ x ⎥ = R ( θ) ⎢x ⎥
t
(1-9)
⎣ β⎦ ⎣ q⎦
⎡cos ( θ ) − sin ( θ ) ⎤
Avec R t ( θ ) = ⎢ ⎥ (1-10)
⎢⎣sin ( θ ) cos ( θ ) ⎥⎦
C23
suuuuuuuuuuuuuuuuuut Xabc
⎡ 1 1 ⎤ suuuut
⎡xd ⎤ ⎢ 1 − − ⎥ ⎡ xa ⎤
Soit : ⎢ ⎥ = R ( θ ) ⋅ k ⋅ ⎢ 2 2 ⎥ ⎢xb ⎥ (1-12)
x
⎣ q⎦ ⎢ 3 3 ⎥ ⎢⎢ ⎥⎥
⎢ 0 − ⎥ ⎣ xc ⎦
⎣ 2 2 ⎦
En développant cette relation nous obtenons :
⎡ xa ⎤
⎡xd ⎤ ⎢ ⎥
⎢ x ⎥ = k ⋅ P23 ⋅ ⎢ x b ⎥ (1-13)
⎣ q⎦
⎣⎢ x c ⎦⎥
P23
suuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuut
⎡ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎤
⎢ cos ( θ ) cos ⎜ θ − ⎟ cos ⎜ θ + ⎟ ⎡ xa ⎤
⎡xd ⎤ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎥⎢ ⎥
⎢x ⎥ = k ⎢ ⎥ xb (1-14)
⎣ q⎦ ⎢ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ − sin ( θ ) − sin ⎜ θ − ⎟ − sin ⎜ θ + ⎟⎥ ⎢⎣ x c ⎥⎦
⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎦
Maintenant que ces transformées sont définies nous allons expliciter les différents passages entre
les coordonnées triphasé et diphasées.
2
2.1.1. Utilisation de k =
3
Il est clair au vu de la relation (2-2) que les amplitudes des grandeurs électriques telles les
⎡xα ⎤ ⎡cos ( θ ) ⎤
courants les tensions sont conservées. ⎢ ⎥ = X ⋅ ⎢ ⎥.
x
⎣ ⎦β ⎣ sin ( θ ) ⎦
2
Les amplitudes des tensions et courants sont conservées avec cette valeur de k = .
3
Soit : I, et V les valeurs crêtes des tensions et des courants triphasées, dans le repère diphasé
Vα = V ⋅ cos ( θ ) Iα = I ⋅ cos ( θ )
nous aurons : et
Vβ = V ⋅ sin ( θ ) Iβ = I ⋅ sin ( θ )
2
2.1.2. Utilisation de k = .
3
Dans ce cas la relation (2-2) donne :
⎡xα ⎤ 3 ⎡cos ( θ ) ⎤
⎢x ⎥ = ⋅X⋅⎢ ⎥
⎣ β⎦ 2 ⎣ sin ( θ ) ⎦
3
Les amplitudes des grandeurs électriques sont multipliés par .
2
Comme précédemment, en régime triphasé sinusoïdal nous aurons :
3 3
Vα = ⋅ V ⋅ cos ( θ ) Iα = ⋅ I ⋅ cos ( θ )
2 2 3 3
et soit ici Vs = V et Is = I
3 3 2 2
Vβ = ⋅ V ⋅ sin ( θ ) Iβ = ⋅ I ⋅ sin ( θ )
2 2
Nous aurons donc pour les valeurs efficaces des courants et des tensions :
V I
Veff = s Ieff = s
3 3
Si nous exprimons la puissance P = 3 ⋅ Veff ⋅ Ieff ⋅ cos ( ϕ ) nous aurons :
P = Vs ⋅ Is ⋅ cos ( ϕ ) (2-5)
Conclusion :
2 3
Avec k = les amplitudes des tensions et des courants sont multipliées par un facteur
3 2
par contre ce coefficient est conservatif pour la puissance.
⎡xd ⎤ 3 ⎡1 ⎤
Soit : ⎢ ⎥ = X ⋅
⎣xq ⎦ 2 ⎢⎣0 ⎥⎦
Xs = x d2 + x q2
3
Nous pourrons alors écrire : Xs = ⋅ X si les grandeurs auxquelles nous nous intéressons sont
2
la tension et le courant, les valeurs efficaces seront :
Vs = 3 ⋅ Veff Is = 3 ⋅ Ieff
P = Vs ⋅ Is ⋅ cos ( ϕ )
⎡ xa ⎤
⎢ x ⎥ = k ⋅ C −1 ⎡ x α ⎤ = k ⋅ C t ⎡ x α ⎤ = k ⋅ C ⎡ x α ⎤
⎢ b⎥ 23 ⎢ x ⎥ 23 ⎢ x ⎥ 32 ⎢ x ⎥
⎢⎣ x c ⎥⎦ ⎣ β⎦ ⎣ β⎦ ⎣ β⎦
Sachant que les matrices de transformations de Concordia et de Park sont orthogonales, leurs
inverses sont égales à leurs transposées
C32
suuuuuuuuuuuuuuut
⎡ ⎤
⎢ 1 0 ⎥
⎡ xa ⎤ ⎢ ⎥
⎢ x ⎥ = k ⎢ −0,5 3 ⎥ ⎡xα ⎤
⎢ b⎥ ⋅⎢ ⎥ (2-8)
⎢ 2 ⎥ ⎣ xβ ⎦
⎢⎣ x c ⎥⎦ ⎢ ⎥
⎢ −0,5 − 3 ⎥
⎢⎣ 2 ⎥⎦
2 ⎡xα ⎤ 3 ⎡cos ( θ ) ⎤
Si nous prenons k = , nous pouvons vérifier qu’avec le vecteur ⎢ ⎥ = ⋅X⋅⎢ ⎥
3 ⎣ xβ ⎦ 2 ⎣ sin ( θ ) ⎦
⎡ ⎤
⎢ cos ( θ ) ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎛ 2 ⋅ π ⎞⎥
calculé précédemment on retrouve évidemment le vecteur initial X ⋅ ⎢ cos ⎜ θ − ⎟⎥
⎢ ⎝ 3 ⎠⎥
⎢ ⎛ 2 ⋅ π ⎞⎥
⎢cos ⎜ θ + ⎟⎥
⎢⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎥⎦
3.2. Passage du repère d-q vers un système triphasé.
A partir de (1-13) nous pouvons écrire :
⎡ xa ⎤
⎢ x ⎥ = k ⋅ P −1 ⋅ ⎡ x d ⎤ = k ⋅ P t ⋅ ⎡ x d ⎤ = k ⋅ P ⋅ ⎡ x d ⎤
⎢ b⎥ 23 ⎢x ⎥ 23 ⎢ x ⎥ 32 ⎢ x ⎥ (2-9)
⎢⎣ x c ⎥⎦ ⎣ q⎦ ⎣ q⎦ ⎣ q⎦
⎡ xa ⎤
⎡xd ⎤
Il vient : ⎢ x b ⎥⎥ = k ⋅ P32 ⋅ ⎢ ⎥
⎢ (2-10)
⎢⎣ x c ⎥⎦ ⎣xq ⎦
Notons :
⎡ ⎤
⎢ cos ( θ ) − sin ( θ ) ⎥ ⎡ ⎤
⎡ v (t ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 3
⋅ V ⋅ cos ( δ ) ⎥
⎢ a ⎥ 2 ⎢ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎥ ⎢ 2
⎢ v b (t ⎥ = . ⎢ cos ⎜ θ − ⎟ − sin ⎜ θ − ⎟⎥ . ⎥
⎢ ⎥ 3 ⎢ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎥ ⎢ 3 ⎥
v
⎢⎣ c ⎦⎥(t ⎢ ⋅ V ⋅ sin ( δ ) ⎥
⎢ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎥ ⎣ 2 ⎦
⎢ ⎜cos θ + ⎟ − sin ⎜ θ + ⎟⎥
⎣⎢ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎥⎦
⎡ ⎤
⎢ cos ( θ − δ ) ⎥
⎡ v (t ⎤ ⎢ ⎥
⎢ a ⎥ ⎢ ⎛ 2⋅π ⎞ ⎥
⎢ v b (t) ⎥ = V ⋅ ⎢cos ⎜ θ − − δ ⎟⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎝ 3 ⎠⎥
v (t
⎢⎣ c ⎦⎥ ⎢ ⎥
⎢cos ⎛ θ + 2 ⋅ π − δ ⎞ ⎥
⎢⎣ ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠ ⎥⎦
R t ( θ)
suuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuut
⎡ x α ⎤ ⎡cos ( θ ) − sin ( θ ) ⎤ ⎡ x d ⎤
⎢x ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ (2-13)
⎣ β ⎦ ⎢⎣sin ( θ ) cos ( θ ) ⎥⎦ ⎣ x q ⎦