Mecanique Agregation. 25
Mecanique Agregation. 25
Mecanique Agregation. 25
NIVEAU AGREGATION
Dr O. MICHEL ZONGO
Page 2 sur 64
2°) Torseur cinétique.........................................................................................................30
3°) Energie cinétique.........................................................................................................32
II°) Grandeurs associées aux accélérations...........................................................................34
1°) Torseur dynamique.....................................................................................................34
III°) Applications..................................................................................................................36
1°) Energie cinétique d’un cône roulant sur un plan.........................................................36
2°) Torseur dynamique d’un cône roulant sur un plan.....................................................37
CHAPITRE 5 : DYNAMIQUE DU SOLIDE.........................................................................38
I°) Torseur d’action...............................................................................................................38
II°) Actions solide - solide....................................................................................................39
1°) Les forces à distance...................................................................................................39
2°) Actions de contact. Lois de coulomb..........................................................................40
3°) Liaisons parfaites classiques.......................................................................................41
III°) Principe fondamental de la Dynamique.......................................................................43
1°) Rappel de la dynamique des particules...........................................................................43
2°) Principe fondamental de la dynamique pour un système matériel..............................44
CHAPITRE 6 : THEOREME DE L’ENERGIE CINETIQUE.................................................47
I°) Puissance et travail d’une force.......................................................................................47
1°) Définitions...................................................................................................................47
2°) Généralisation.............................................................................................................48
3°) Cas des solides indéformables....................................................................................48
4°) Changement de repère................................................................................................49
5°) Puissance des actions de contact entre deux solides...................................................49
II°) Théorème de l’énergie cinétique....................................................................................50
1°) Cas d’un système discontinu.......................................................................................50
2°) Cas d’un solide indéformable.....................................................................................50
3°) Conservation de l’énergie mécanique.........................................................................50
4°) Applications................................................................................................................51
Bibliographie.............................................................................................................................54
ENONCES DES TRAVAUX DIRIGES DE MECANIQUE DU SOLIDE.............................55
T.D.1 DE MECANIQUE DU SOLIDE.............................................................................55
T.D. N°2 de MECANIQUE DU SOLIDE............................................................................57
T.D. N°3 DE MECANIQUE DE SOLIDE: CENTRE ET MATRICE D’INERTIE.........58
T.D. N°4 DE MECANIQUE DU SOLIDE : CINETIQUE –DYNAMIQUE......................59
Page 3 sur 64
CHAPITRE 1 : TORSEURS
I°) Préliminaires
1°) Produits scalaire et vectoriel de deux vecteurs.
⃗
a et b deux vecteurs quelconques de l’espace vectoriel à 3 dimensions de composantes
Soit ⃗
respectives (
a 1 , a2 , a3 ) et (b 1 , b2 , b3 ) rapporté à une base (⃗e 1 , ⃗e 2 ,⃗e 3 ) orthonormée et directe.
a) Le produit scalaire ⃗ a par ⃗ b noté ⃗a . ⃗b est un réel (ou scalaire, d’où son nom) et a pour
valeur le produit des modules des vecteurs par le cosinus de l’angle entre les deux vecteurs :
⃗a . ⃗b=|⃗a|.|⃗b|cosθ .
a . ⃗b=a1 b1 +a2 b 2 +a 3 b3 .
Le produit scalaire a pour expression analytique : ⃗
Le produit scalaire est commutatif : ⃗
⃗ ⃗
a . b= b .⃗a .
Cette opération algébrique permet d’exploiter les notions de la géométrie euclidienne
traditionnelle : longueurs, angles, orthogonalité.
Il est nul dans le cas où les deux vecteurs sont orthogonaux ou si un des vecteurs est nul.
Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens
a et ⃗
orientés de dimension 3. Aux deux vecteurs ⃗ b de E, on peut associer un vecteur unique
c unique de composantes a 2 b3 −a 3 b2 , a 3 b1 −a 1 b3 , a 1 b2 −a2 b 1 .
⃗
Notons que la deuxième et la troisième composante sont obtenues par simple permutation
circulaire des indices des composantes des vecteurs.
- Propriétés
Page 4 sur 64
Le produit vectoriel n’est pas commutatif mais il est anticommutatif : ⃗
a ∧ b=−b∧⃗
a⃗ ⃗
A partir des composantes des vecteurs, il est facile de montrer que ⃗ a . ⃗c =⃗b .⃗c =0 ;
a et ⃗
Si ⃗ b sont dans le plan de la feuille, alors le vecteur ⃗c est ¿ à ce plan.
On a ⃗ c¿⃗ a, ⃗ c¿⃗ b et les vecteurs (⃗ a ,⃗b ,⃗c ) forment un trièdre direct.
Le produit vectoriel a pour module le produit des modules des deux vecteurs par le sinus de
⃗ ⃗
l’angle θ entre les deux vecteurs : |⃗a∧ b|=|⃗a||b|sinθ .
- Signification géométrique
Le module du produit vectoriel représente l’aire du parallélogramme construit avec les deux
vecteurs.
- Le module du produit vectoriel est nul dans les cas suivants :
a) Si l’un au moins des vecteurs est nul.
b) Si les deux vecteurs sont colinéaires.
(⃗a ∧⃗b ). ⃗c
La définition du produit scalaire montre que la valeur du produit mixte s’identifie au volume
⃗ ⃗ ⃗
du parallélépipède construit avec les trois vecteurs :(⃗
a ∧b).⃗c =|⃗a ∧ b|×|⃗c|×cos(⃗a ∧ b,⃗c ) la
⃗
a ∧ b est l’aire de la base et |⃗c|×cos(⃗a ∧b,⃗c ) en est la hauteur.
⃗
norme de ⃗
⃗
Si dans le produit mixte (⃗
a ∧b ). ⃗c , on effectue une permutation circulaire sur les vecteurs,
l’interprétation géométrique précédente permet d’établir que :
⃗a . ( ⃗b∧⃗c )=⃗b .(⃗c ∧⃗a )=⃗c .(⃗a ∧⃗b ) .
⃗ ⃗ ⃗
A l’aide des composantes des vecteurs, on montre que : ⃗
a ∧( b∧⃗c )= b(⃗a .⃗c )−⃗c (⃗a b )
a et ⃗
Dans le cas où les vecteurs ⃗ ⃗ =⃗b ; on a :
b sont égaux a
⃗a ∧(⃗a ∧⃗c )=⃗a (⃗a .⃗c )−⃗c (⃗a . ⃗a )=−⃗a .⃗a [⃗c −⃗e 1 (⃗e 1 . ⃗c )]=(⃗a . ⃗a )⃗c ¿ , ??
⃗c ¿ étant le vecteur projection de ⃗c dans un plan perpendiculaire à ⃗
a.
Plus généralement, on retiendra que le double produit vectoriel de trois vecteurs dont deux
sont identiques de norme 1 permet d’obtenir le vecteur projection du troisième vecteur dans
e : ⃗e ∧(⃗e ∧⃗c )=⃗e (⃗e .⃗c )−⃗c (⃗e . ⃗e )=−⃗c +⃗e (⃗e .⃗c )
un plan perpendiculaire à ⃗
Page 5 sur 64
4°) Problème de division vectorielle.
⃗ et ⃗
Problème : étant donnés deux vecteurs a b de l’espace vectoriel E, existe-t-il un vecteur
⃗x ∈ E tel que ⃗ a ∧⃗x =⃗b ?
Si ⃗a . ⃗b=0 avec ⃗ a ∧⃗x =⃗b sont données par
x de l’équation ⃗
a ≠0 , toutes les solutions ⃗
a∧⃗ b
⃗x =⃗x λ=− 2 + λ ⃗a
⃗a avec λ un réel.
[ ]
0 S3 S2
M = S3 0 −S1
−S 2 S1 0 S1 , S2 , S3 désignent les composantes du vecteur
où les grandeurs
associé ⃗
S à l’application antisymétrique. ⃗u '=L(⃗u )=S ∧⃗u .⃗
Page 6 sur 64
Définition : Un champ de vecteurs ⃗
M est équiprojectif si et seulement si
[⃗
M ( P )−⃗ PQ=0 ⇔⃗
M (Q)]⃗ PQ=⃗
M ( P). ⃗ M ( P ). ⃗
PQ.
II°) Torseurs
Le torseur est l’outil privilégié de la mécanique du solide. Il existe quatre types de torseurs
mécaniques différents : le torseur cinématique qui existe uniquement pour un solide
indéformable), le torseur cinétique, le torseur dynamique est utilisé pour représenter le
mouvement d’un solide, caractériser une action mécanique, formuler le principe fondamental
de la dynamique de manière générale.
1°) Définition :
Soitε l’espace affine euclidien de dimension 3, on appelle torseur τ défini sur l’espace affine
ε , tout champ antisymétrique ⃗
M défini sur l’espace vectoriel E.
Un torseur est l’ensemble d’un champ de vecteur antisymétrique ⃗
M et de son vecteur associé
⃗
R
⃗
R tel que ⃗
Il existe un vecteur unique ⃗ M ( P )=⃗
M (Q)+ ⃗ QP=⃗
R ∧⃗ M (Q)+ PQ∧¿ ⃗R ¿.
2°) Propriétés
a) Deux torseurs sont égaux si et seulement s’il existe un point de l’espace affine ε où leurs
éléments de réduction sont égaux.
Page 7 sur 64
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
La somme de deux torseurs τ 1 et τ 2 de résultante R1 et R2 et de moments M 1 et M 2 est un
R= ⃗
torseur τ de résultante ⃗ R1 + ⃗ ⃗ =M
R2 et de moment M ⃗ 1+ M
⃗2
. On note τ =τ 1 + τ 2 .
Torseur nul : Un torseur est nul si son moment est nul en tout point de l’espace.
Proposition : Pour qu’un torseur τ soit nul il faut et il suffit qu’il existe un point où ses
éléments de réduction soient nuls.
La résultante ⃗
R d’un torseur est un invariant vectoriel du torseur τ .
Proposition : Le produit de deux torseurs (ou comoment) est indépendant du point P. C’est un
invariant scalaire associé aux torseurs τ 1 et τ 2 :
⃗R1 . M
⃗ 2 ( P)+ R⃗ 2 . M
⃗ 1 ( P )= ⃗R1 . M
⃗ 2 (Q )+ R⃗ 2 . M
⃗ 1 (Q ).
Soit ( A , w
⃗ ) un vecteur lié ; A ∈ ε et w
⃗ ∈ E . A chaque point P, faisons correspondre le
⃗
vecteur M ( P)=⃗
w ∧ AP= PA∧ w ⃗ ⃗
⃗.
⃗ et dont le moment en A est
Le champ de vecteurs ainsi défini est un torseur de résultante w
nul.
⃗ ( P) est le moment en P du vecteur lié ( A , w
M ⃗ ) . Le moment du vecteur lié ( A , w
⃗ ) est nul en
un point P si et seulement le vecteur ⃗
AP est colinéaire à w
⃗.
Page 8 sur 64
N
⃗ ( P)=∑ w
M ⃗ i ∧⃗
Ai P
Le moment en P de ce torseur associé aux vecteurs liés est donc i=1 .
N
∑ w⃗ i .
C’est un torseur de résultante i=1
3°) Glisseur
Définition : L’ensemble des vecteurs liés représentant le glisseur est appelé vecteur glissant.
4°) Couple
Définition : Un torseur est un couple si et seulement s’il un ensemble de deux vecteurs liés
( A,w
⃗ ) et ( A ,− w⃗ ) qui le représente.
Proposition 1 Un torseur τ est un couple si seulement si sa résultante
⃗R ( τ ) est nulle
Proposition 2 : Un torseur τ
⃗
est un couple si et seulement son champ de moment M (τ ) est
uniforme.
⃗(M
R ⃗ −α ⃗R )=0 α= ⃗R . M⃗ O /|R⃗ |2 ⃗
solution existe lorsque O , ce qui donne . Les solutions OP
⃗R ∧[ M
⃗ −α ⃗R ] ⃗R∧ M⃗
⃗
OP=
0 ⃗
+ λ R=
O
+λ ⃗R
sont données par
⃗
|R| 2 ⃗
|R|2
; λ étant un réel.
Il existe une infinité de points P dépendant de λ . L’ensemble des points P cherchés (tels que
le moment en P colinéaire à la résultante ⃗
R ) est donc une droite parallèle à la résultante ⃗
R
Page 9 sur 64
⃗
OP = R⃗ ∧ M
O
⃗ /|⃗R|2
O
passant par le point P0 défini par . Cette droite s’appelle l’axe central du
torseur.
α= ⃗R . M
⃗ O /|R⃗ |2 =0
Si , c’est le cas d’un glisseur ; le moment en tout point P de l’axe du
glisseur est nul, ce qui arrive lorsqu’on a un système de vecteurs coplanaires.
Un torseur τ est soit un glisseur, soit un couple, soit la somme d’un glisseur et d’un couple.
De façon précise, pour tout point A ∈ ε , il existe un glisseur unique G dont l’axe passe par A
si G≠0 et un couple unique C tels que τ =G +C
Démonstration
⃗R . M
⃗ =0
1er Cas : l’invariant scalaire est nul : O
⃗ =⃗0 ⃗ =⃗0
∀ P∈ε ,M
a) ⃗
R =⃗
0 et M O le torseur τ est le torseur nul, P
⃗ =⃗0 ⃗
b) ⃗
R ≠⃗
0 et M O , le torseur τ =G(O , R ) est un glisseur
⃗ ≠⃗0 ⃗R ⊥ M
⃗
c) ⃗
R ≠⃗
0 et M O alors O , il existe un glisseur unique de vecteur ⃗
R ayant pour
⃗ =⃗
⃗ (∃ A ∈ ε , M ⃗ ⃗
moment en O
M O O OA∧R =G
⃗ ≠⃗0
d) ⃗
R =⃗
0 et M O , le torseur est un couple.
⃗R . M
⃗ ≠0
2ème cas : l’invariant scalaire du torseur est non nul : O
Proposition : Tout torseur dont l’invariant scalaire est non nul peut être décomposé de
manière unique en la somme d’un couple C et d’un glisseur G
En tout point m de l’axe central, le moment du couple est minimal et est parallèle à la
résultante du glisseur.
⃗
Démonstration : Décomposons le moment du torseur M P en deux segments orientés
⃗ ¿P ⊥ ⃗
M⃗ //P // { ⃗R ¿ et M ⃗ P=M
R , on a donc M ⃗ ¿P + M
⃗ //P
. On peut écrire que le torseur
τ =¿ [ R ¿ ] ¿ ¿ ¿
⃗
¿ est la somme d’un couple parallèle à la résultante est d’un
⃗ ⃗
¿
glisseur car M P . R =0 . L’invariant scalaire permet d’écrire :
M⃗ //m . ⃗R =|M
⃗ //m|| ⃗R|= M⃗ Q . R⃗ (1)Q∉ Δet m∈ Δaxe central
=| M ⃗ Q||R⃗ |cos( M⃗ Q , ⃗R )≤|M ⃗ Q|| ⃗R|⇒|M⃗ m|≤|M
⃗ Q|(2)
Page 10 sur 64
⃗ Q . R⃗
M ⃗ . ⃗R
M
⃗ m//|=
|M , M⃗ m= Q 2 ⃗R
//
La cinématique est l’étude de la variation dans le temps des positions occupées par la matière
dans l’espace, ceci indépendamment des causes qui produisent le mouvement.
Elle s’appuie uniquement sur les notions d’espace et de temps que tout observateur possède
intuitivement.
On se place dans le cadre où l’on a continuité du temps et de l’espace c'est-à-dire tout
phénomène physique peut être donc être considéré comme une succession d’évènements se
produisant en des endroits déterminés de l’espace et à des instants donnés.
De plus, on a universalité du temps : les périodes d’un pendule mesurées par deux horloges
appartenant à deux référentiels différents sont supposées égales.
On notera que ce dernier principe n’est valable que dans le cadre spatio-temporel de la
cinématique newtonienne et non pas dans le cadre de la physique relativiste, car il revient à
admettre l’existence d’un signal de synchronisation d’horloges se propageant à une vitesse
infinie.
Page 11 sur 64
Le temps de la physique classique s’appuie sur un consensus basé sur les notions intuitives
de :
- simultanéité (qui suppose des observateurs infiniment rapides pour constater deux
évènements simultanés),
- succession (aptitude à constater qu’un évènement a lieu après un autre),
- durée,
- irréversibilité (retour vers le passé est impossible).
On peut donc imaginer une échelle de temps ayant une structure de droite orientée, ensemble
continu dont les éléments sont les instants auxquels on peut associer bijectivement un nombre
réel t positif.
Le problème qui se pose maintenant est le choix d’une échelle de temps (choix d’une
chronologie) et d’un instrument de mesure pour exprimer le plus simplement possible les lois
de la mécanique classique.
Il existe des chronologies privilégiées indépendantes de l’observateur (temps « standard ») qui
permettent d’énoncer simplement les lois de la mécanique. Ces chronologies sont basées sur
des mouvements périodiques astronomiques (mouvement de la terre autour du soleil) ou
atomiques.
( )
V⃗ ( M / R0 )=
l’observateur est lié au référentiel R0. On écrit cette vitesse
d⃗
OM
dt R0
(3)
Cette vitesse est connue si l’on connaît l’évolution de la position de M au cours du temps.
On pourra exprimer les composantes du vecteur vitesse du point M par rapport à un référentiel
fixe ou mobile par exemple dans un repère local.
L’accélération du point M par rapport au référentiel R0 est
( ) (
⃗a ( M /R 0 )=
d⃗
V
dt R0
=
d 2⃗
OM
dt 2 )
R0
Nous allons voir dans ce qui suit que, si l’on connaît certains éléments vectoriels
caractéristiques du mouvement d’un solide à un instant donné, nous pouvons calculer les
vitesses de tous les points de ce solide à ce même instant
Il ne faudra pas confondre par la suite un point matériel et un point géométrique coïncidant à
un instant donné avec un point matériel du système étudié. En effet, un point matériel est
toujours le même point physique du système (un point matériel d’un solide n’a pas de vitesse
par rapport à un référentiel lié au solide) tandis qu’un point géométrique de l’espace ne
coïncide toujours pas avec le même point matériel du système étudié. (cf : exemple du disque
roulant sur un plan).
Page 12 sur 64
II°) Cinématique du solide parfait
On appelle solide parfait ou indéformable un ensemble de points dont les distances mutuelles
ne varient pas au cours du temps. Il en résulte que les vitesses des différents points ne sont
donc pas indépendantes.
La cinématique du solide est alors l’étude de la distribution des vitesses des points du solide,
indépendamment des causes qui ont généré le mouvement du solide.
Si G est un point du solide (S) et R un trièdre issu de G et lié au solide (S). On repère le
mouvement de (S) en deux temps :
- mouvement de G par rapport à R0 (3 degrés de liberté),
- mouvement autour de G considéré comme fixe c'est-à-dire le mouvement de R lié au
solide par rapport à RK où RK est le repère d’origine G et des axes constamment parallèles à
ceux du repère R0.
On passe du repère du repère RK au repère R par trois rotations ordonnées au plus (3 degrés de
liberté dans le mouvement de R par rapport à RK).
Le solide a donc au total six degrés de liberté. Son mouvement est entièrement déterminé
par les trois coordonnées de G et les trois angles d’Euler. Les angles d'Euler sont les trois
angles introduits par Leonhard Euler (1707-1783) pour décrire l'orientation d'un solide.
Pour ceci, on considère le mouvement du solide S autour d’un point O considéré comme fixe
et origine du repère cartésien R0 =(O;⃗x 0 , ⃗y 0 ,⃗z 0 ) . Le repère R=(O ;⃗x , ⃗y ,⃗z ) est lié au
solide S.
a) Angle de précession
u ) l’axe porté par la droite intersection des plans π 0 =(O , ⃗x 0 , ⃗y 0 ) et π=(O ,⃗x , ⃗y ) .
Soit (O ;⃗
L’angle de précession ψ est défini par ψ=(⃗x 0 , ⃗ u ).
On alors un nouveau repère le premier repère intermédiaire R1 =( O , ⃗
u , ⃗v ,⃗z 0 ) .
b) Angle de nutation
Page 13 sur 64
c) Angle de rotation propre
R0 =(O;⃗x 0 , ⃗y 0 ,⃗z 0 )⃗ u , ⃗v , w⃗ )⃗
rotationψ /⃗z 0 R 1 =(O;⃗ rotation θ/⃗u R 2 =(O;u , v , w )
La définition d’un solide parfait entraîne que la dérivée par rapport au temps du carré de la
distance entre deux de ses points A et B est nulle :
d (⃗
AB2 ) d (⃗
AB ) ⃗ ⃗ ⃗
=O ↔2 ⃗
AB. =2 AB. ( V B−V A )=0 ⇔ ⃗
AB . V⃗ B=⃗
AB. V⃗ A
dt dt .
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
AB . V (B ∈ S /R 0 )= AB. V ( A ∈ S /R 0 ) .
On retrouve la propriété d’équiprojectivité :
Cela montre que le champ des vecteurs vitesses d’un solide parfait est un champ
⃗ S /R )
Ω(
antisymétrique. Il existe un vecteur libre 0 tel que
⃗
V ( B ∈ S/ R0 )=⃗
V ( A ∈ S/ R0 )+ ⃗
BA∧⃗
Ω (S / R0 ) .
⃗
V ( A ∈ S /R )
La notation 0 signifie la vitesse du point matériel A appartenant au solide S par
rapport au référentiel R0.
On définit alors le torseur cinématique exprimé au point A du solide 1 dans son mouvement
par rapport au repère R2 :
[ 1/2 ] A Ω1/2¿ ¿ ] ¿ ¿¿
[ ⃗
V =¿
Page 14 sur 64
⃗
Attention ! La vitesse V ( A ∈1/2) représente la vitesse du point A qui appartiendrait au solide
1 par prolongation fictive de celui-ci, même si le point A n’est pas physiquement un point
matériel du solide 1.
On appelle axe instantané de rotation l’axe central du torseur cinématique. Cet axe est donc le
lieu des points dont les vitesses sont parallèles au vecteur de rotation instantanée.
A tout instant, le mouvement du solide parfait peut être comme la composition d’une rotation
instantanée autour de l’axe instantané de rotation Δ(t ) de vitesse angulaire ⃗
Ω et d’une
⃗
V A , A étant un point de l’axe ;
translation le long de l’axe instantané de rotation de vitesse
⃗
V M =⃗
V A +⃗ ⃗
MA∧Ω : Translation + Rotation.
Nous avons vu que l’axe central d’un torseur est
le lieu des points où les moments sont minima.
Donc si un solide possède au moins deux points
de vitesse nulle, l’axe instantané de rotation passe
obligatoirement par ces deux points.
a) Mouvement de translation.
Pour un solide en mouvement de translation, à un instant donné, les vecteurs vitesses de tous
les points du solide sont égaux alors le vecteur rotation est constamment nul :
le torseur cinématique associé à un solide animé d’un mouvement de translation est un couple
⃗ ⃗
: V A =V B .
Le solide en rotation possède une liaison rotoide ou pivot avec le solide de référence : chaque
point du solide décrit alors une trajectoire circulaire autour de l’axe du rotoide constituant
l’axe instantané de rotation
⃗z ⃗ ⃗ ⃗
Si O appartient à l’axe fixe de vecteur directeur 0 , on a alors : V M = MO∧Ω possible si
⃗ ds dθ ⃗ dθ
Ω =Ω⃗z 0 colinéaire à ⃗z 0 . |V M|= dt =r dt =r θ̇ . On vérifie donc que : Ω = dt ⃗z 0 =θ̇ ⃗z 0
⃗
Si un solide est soumis à une rotation autour d’un axe de vecteur directeur
⃗z 0 à une vitesse
angulaire θ̇ dans le sens direct, le vecteur taux de rotation instantané de ce solide s’écrit
⃗
Ω =Ω⃗z 0 .
Le torseur cinématique associé à un solide animé d’un mouvement de rotation est un glisseur.
c) Mouvement hélicoïdal.
Page 15 sur 64
Ce mouvement est la superposition d’une rotation autour d’un axe et une translation suivant le
même axe. C’est le cas, par exemple, du mouvement d’une vis dans un écrou.
Le torseur cinématique associé à un solide animé d’un mouvement hélicoïdal est la somme
d’un glisseur et d’un couple.
Soit le repère orthonormé R1 =(O1 ;⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 ) et le repère orthonormé R2 =(O2 ;⃗u1 , ⃗u 2 , ⃗u 3 ) lié au
solide S2.
d u⃗1
Calculons d’abord l’expression de la dérivée par rapport au temps : dt .
d u⃗1 d ⃗
O A
⃗
O A=⃗
u1 , on peut alors écrire : = 2 =⃗ V A−⃗
V O =⃗
Ω∧⃗ ⃗ ∧⃗
O2 A=Ω u1
Soit le point A tel que 2 dt dt 2
d u⃗i
=⃗
Ω∧⃗
u i i=1, 2 , 3.
On a donc plus généralement la formule de la base mobile : dt
⃗ ⃗
Soit un vecteur b= b(t ) représentatif d’une grandeur physique variable dans les deux repères
cartésiens R1 et R2
⃗
Soient X1, X2, X3 les composantes du vecteur b dans R1 et Y1, Y2, Y3 celles de b dans R2.
⃗
⃗
On appelle dérivée du vecteur b par rapport au temps dans R1 et R2 respectivement :
( )
d ⃗b
( )
d ⃗b
3 3
=∑ Ẋ i ⃗ei =∑ Ẏ i u⃗i
dt R1 i=1 dt R 2 i=1
et . On a alors
( )
d ⃗b ⃗
( ) d ⃗b
( )
3 3 3 3
d ⃗u db
=∑ Ẏ ⃗ui + ∑ Y i 1 +∑ Y i ( Ω⃗ ∧⃗
ui )= ⃗ ∧∑ Y i u⃗i
+Ω
dt R1 i=1 i=1 dt dt R2 i=1 dt R2 i=1
=
D’où la règle de dérivation composée suivante ou règle de dérivation dans un repère mobile :
( ) ( )
d ⃗b
=
d ⃗b
dt R1 dt R2
+Ω⃗ ( R2 ¿ R1 )∧ b⃗
⃗ ⃗
Dans le cas particulier où b=Ω (R 2 / R1 ) , on remarque que
( d⃗
Ω( R2 /R 1 )
R1 dt ) (
=
R
2
⃗ (R 2 ¿ R1 )
dΩ
dt )
On peut aussi utiliser la relation
d ⃗b
( ) ( )
=
d ⃗b
dt R1 dt R2
Ω ( R2 ¿ R1 )∧ ⃗b
+⃗
pour obtenir la formule de
distribution des accélérations à partit de la relation des distributions des vitesses. En effet :
⃗
V ( A ∈ S /R 1 )=⃗
V (B ∈ S / R1 )+ ⃗
AB∧⃗
Ω (S / R1 ) .
Page 16 sur 64
( d⃗
V ( A ∈ S/ R1 )
dt ) (
R1
=
d⃗
V ( B ∈ S/ R1 )
dt ) ( )
R1
+
d⃗
AB
dt R1
¿Ω AB∧⃗
⃗ ( S /R 1 )+⃗ Ω̇( S/ R1 )
or
( ) ( ) + Ω⃗ (S / R )∧⃗AB=Ω⃗ (S / R )∧⃗AB
d⃗
AB
dt R1
=
d⃗
AB
dt R
2
1 1
A et B étant liés au solide S.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Ce qui entraîne : ⃗a ( A ∈ S / R1 )=⃗a ( B ∈ S / R 1 )+ AB∧Ω̇ ( S / R 1 )+[ Ω ( S /R 1 )∧ AB) ]∧Ω ( S /R 1 )
Cette formule est appelée formule de Rivals ou loi de distribution des accélérations dans un
solide indéformable. Cette formule de Rivals montre que le champ des accélérations des
points d’un solide indéformable ne peut pas être représenté par un torseur.
R1 sera noté :
⃗
V ( M / R1 )=
d⃗
O1 M
dt R1 ( )
le point O1 étant un point fixe par rapport au repère R1.
Le vecteur vitesse d’un point M du solide S par rapport à R2 sera noté :
⃗
V ( M / R2 )= (
d⃗
O2 M
dt R2 )
le point O2 étant un point fixe par rapport au repère R2
⃗
O1 M=⃗ O1 O2 +⃗
O2 M ⇒
d⃗O1 M
(
dt R1
=
d⃗O1 O2
dt R ) (
1
+
d⃗
O2 M
dt R
1⇒
) ( )
⇒ V⃗ (M /R 1 )=⃗
V (O2 ∈ R2 /R 1 )+ ( d⃗
O2M
dt )
R2
+⃗
Ω ( R 2 ¿ R1 )∧⃗
O2 M
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
alors la relation précédente devient: V ( M / R1 )=V (O2 ∈ R 2 / R1 )+ V ( M / R2 )+ Ω ( R2 /R 1 )∧O2 M
La vitesse du point M par rapport au repère R1 peut donc être composée en deux parties :
⃗
- la vitesse du point M par rapport au repère R2 : V ( M / R2 ) est appelé vitesse relative
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
- la vitesse d’entraînement :V e ( M )=V (O2 ∈ R 2 / R1 )+ Ω ( R2 /R 1 )∧O2 M .
⃗ ⃗ ⃗
On peut aussi écrire que : V ( M / R1 )=V ( M / R2 )+ V ( M ∈ R2 /R 1 ) .
⃗
Le terme V ( M ∈ R2 /R 1 ) est la vitesse d’un point M par rapport à R1 si M est supposée fixe
dans R2.
Soient M1 et M2 deux points d’un solide S. On peut écrire les trois équations suivantes :
⃗
V ( M 1 ∈ S /R 1 )=⃗
V ( M 2 ∈ S/ R1 )+⃗ ⃗ (S / R )
M 1 M 2∧Ω 1 (a)
⃗ ( M ∈ S /R )=⃗
V V ( M 2 ∈ S/ R2 )+⃗ ⃗ (S / R )
M 1 M 2∧Ω
1 2 2 (b)
⃗
V ( M 1 ∈ R 2 / R1 )=⃗
V ( M 2 ∈ R 2 / R1 )+⃗ ⃗ (R / R )
M 1 M 2∧Ω 2 1 (c)
Page 17 sur 64
(b) + (c)
⇒ V⃗ (M 1 ∈ S / R2 )+ ⃗
V ( M 1 ∈ R2 /R 1 )=⃗V ( M 2 ∈ S /R 2 )+ V⃗ ( M 2 ∈ R 2 / R1 )+
⃗
M 1 M 2 ∧Ω⃗ ( S /R )+⃗ ⃗
2 M 1 M 2 ∧Ω ( R2 /R 1 ) ; ce qui donne alors :
⃗
V ( M 1 ∈ S /R 1 )=⃗
V ( M 2 ∈ S/ R1 )+⃗
M 1 M 2∧[ Ω ⃗ (S /R )+ ⃗
2 Ω ( R2 /R 1 )]
⃗ ( S /R )=[ Ω
Ω ⃗ (S / R )+ ⃗Ω ( R /R )]
Comparée à la relation (a) ; on en déduit que : 1 2 2 1
car M1 et M2 étant des points quelconques.
(
⃗a ( M /R 1 )=
d 2⃗
O1 M
dt 2 ) (
R1
=
d V⃗ ( M / R1 )
dt ) R1
⃗
Ω ( R 2 / R1 )=⃗
Ω . Dérivons ⃗V ( M / R1 ) dans l’équation
Pour simplifier l’écriture, on pose
traduisant la loi de composition des vitesses par rapport au temps :
⃗
V ( M / R1 )=⃗
V (O2 ∈ R 2 / R1 )+ ⃗
V ( M / R2 )+ ⃗
Ω ( R2 /R 1 )∧⃗
O2 M
⃗a ( M /R 1 )= ( d⃗
V (O2 ∈ R 2 / R1 )
dt ) (
R1
+
d V⃗ ( M /R 2 )
dt )
R1
+
Ω ⃗ ⃗ d⃗
d⃗
dt
∧O 2 M + Ω ∧
O2 M
dt ( ) R1
or
( d⃗
) ( d⃗
) ( )
V (O2 ∈ R 2 / R1 ) V ( M /R 2 ) ⃗ ( M /R 2 )
dV
⃗a (O2 ∈ R 2 / R2 )= = ⃗ ∧⃗
+Ω V ( M / R2 )
dt R1 dt R1 dt R2
,
( d⃗
O2 M
dt ) (
R1
=
d⃗
O2 M
dt ) R
2
⃗ ∧⃗
+Ω O 2 M =⃗
V ( M /R 2 )+ ⃗
Ω∧⃗
O2 M
, nous obtenons alors :
⃗ ⃗
a ( M /R 2 )+⃗a (O2 ∈ R2 / R1 )+ Ω̇∧
a ( M /R 1 )=⃗
⃗ ⃗ ∧( Ω
O2 M + Ω O2 M )+ 2 ⃗
⃗ ∧⃗ Ω∧V⃗ ( M / R2 ) .
Attention : La loi de composition des accélérations ne doit pas être confondue avec la loi de
distribution des accélérations ou formule de Rivals.
Page 18 sur 64
Ainsi, tout objet en mouvement sur la terre est soumis à une accélération de Coriolis sauf s’il
tombe en chute libre aux pôles Nord et Sud. Un objet qui tombe va être dévié vers l’est.
Le référentiel galiléen
On appelle référentiels galiléens les référentiels équivalents à un référentiel fixe par rapport à
l’univers.
En particulier, un référentiel est galiléen s’il se trouve en translation rectiligne uniforme par
rapport à un autre référentiel galiléen.
Ainsi un point fixe par rapport à ce référentiel à une accélération d’entraînement et une
accélération de Coriolis nulles.
Le référentiel terrestre réalise une moins bonne approximation d’un référentiel galiléen qu’un référentiel lié au
soleil et à trois étoiles de la sphère céleste (référentiel de Copernic dont l’origine est située au centre d’inertie du
système solaire)
1°) Définitions
b) Un système matériel est soumis à des liaisons s’il ne peut évoluer librement c'est-à-dire son
mouvement est limité par des contraintes. Ces contraintes peuvent se présenter au niveau des
positions, des vitesses ou des deux à la fois.
c) Les liaisons entre solides diminuent le nombre de degrés de liberté. Pour décrire le
mouvement de n solides libres dans l’espace à trois dimensions, il faut 6n paramètres
(3 translations + 3 rotations par solide). Chaque solide est affecté d’un ou plusieurs degrés de
liaison. Si l’on a k degrés de liaison, le nombre de degrés de liberté est alors égal à : 6n – k.
Quand le nombre de degrés le liaison est égal au nombre de degrés de liberté, on dit le
système est isostatique.
Quand ce nombre est supérieur au nombre de degrés de liberté, le système est hyperstatique.
Une liaison est dite bilatérale si elle subsiste quel que soit le temps. Cela se traduit par une
équation de type :
f (⃗r 1 ,⃗r 2 ,........⃗r ; ⃗ṙ 1 , ⃗ṙ 2 ,....... ⃗ṙ N ;t )=⃗0 . Sinon, elle est unilatérale.
Page 19 sur 64
Toutes les composantes du taux de rotation instantané (α , β , γ ) ne sont généralement pas
nulles. Cependant, la projection de la vitesse du point de contact sur la normale au plan
tangent est nulle. Le torseur en I s’écrit alors (s’il ne peut pas y avoir de perte de contact) :
[]
V S /S =¿ {α u¿}{β v¿}¿{}(⃗x,⃗y,⃗z)
2 1I
La notation en colonnes est utilisée dans certains ouvrages.
Elle n’est complète que si la base de projection est indiquée.
a) Vitesse de glissement
V⃗ g ( S2 /S 1 )=V⃗ I ⃗ I ∈S
−V
Le vecteur-vitesse de glissement de S2 par rapport à S1 est : 2 ∈ S2 1 1
On remarque
V⃗ g ( S2 /S 1 ) est la vitesse du point I par rapport à un repère lié à S et que
2 1
Cette équation, bien que vectorielle, ne conduit qu’à deux équations scalaires pour un
problème tridimensionnel et à une seule équation scalaire pour un problème bidimensionnel
La condition de roulement sans glissement est intéressante pour trouver la relation existant
entre le vecteur taux de rotation instantané du solide et la vitesse d’un de ses points.
b) Roulement et pivotement
⃗
On appellera Ω( S2 /S 1 ) le vecteur taux de rotation instantané de S 2 par rapport à S1 :
⃗ S2 /S 1 )=Ω(
Ω( ⃗ S2 )−Ω(S
⃗ 1)
⃗
On peut décomposer le vecteur Ω( S2 /S 1 ) en deux vecteurs :
⃗
Ω
- t situé dans le plan tangent en I aux deux solides est le vecteur taux de rotation instantané
de roulement du solide S2 par rapport au solide S1
⃗
Ω
- n situé sur la normale en I au plan tangent , est le vecteur taux de rotation instantané de
pivotement du solide S2 par rapport au solide S1
Page 20 sur 64
4°) Autres liaisons
a) Exemples de liaisons
Les liaisons peuvent être classées suivant leur nombre de degrés de liberté :
- Solide à 6 degrés de liberté
Le solide est complètement libre dans l’espace. Il n’y a pas de liaison.
- Solide à 5 degrés de liberté
Par exemple trois rotations (2 roulements + 1 glissement) et 2 translations. Seule une
translation est bloquée (cas d’une sphère roulant ou glissant sur une autre sphère ou sur plan
sans perte de contact (liaison plan sphère).
- Solide à 4 degrés de liberté
C’est le cas de la liaison plan cylindre. On alors deux translations et deux rotations (1
pivotement + 1 roulement)
- Solide à 3 degrés de liberté
Nous pouvons citer comme exemples la liaison plan sur plan (2 translations + 1 pivotement),
la liaison rotule ou sphérique (sphère enfermée dans une cavité sphérique : 3 rotations)
et la liaison cardan ou gyroscopique (3 rotations). Cette dernière liaison matérialise les angles
d’Euler.
- Solide à 2 degrés de liberté
Il est difficile de réaliser 2 translations sans rotation ou 2 rotations sans translation, nous ne
pouvons citer le cas de la liaison verrou ou pivot glissant qui comporte 1 rotation et 1
translation : les solides sont en contact par deux surfaces cylindriques ;
- Solide à 1 degré de liberté
Dans ce cas, il n’existe que deux cas possibles : la liaison glissière (1 translation) et la liaison
rotoide et la liaison pivot (1 rotation).
Page 21 sur 64
Page 22 sur 64
CHAPITRE 3 : GEOMETRIE DES MASSES.
Pour aller plus loin dans la description et la compréhension du mouvement des systèmes
matériels, il est indispensable de connaître un certain nombre de données sur la répartition des
masses des systèmes c’est essentiellement :
- la localisation de centre de masse ou centre d’inertie,
- la détermination des moments d’inertie et produits d’inertie par rapport à des axes
(matrice d’inertie ou opérateur d’inertie).
Nous nous proposons donc d’étudier la répartition géométrique des masses dans un système
matériel afin de préparer les concepts cinétiques et dynamiques.
La masse mesure la quantité de matière contenue dans un volume donné. Dans le cadre de la
mécanique newtonienne ou galiléenne, la masse se conserve dans le temps et elle possède la
propriété d’additivité : la masse est une grandeur scalaire positive.
Un système matériel est un ensemble discret ou continu de points matériels ou encore une
réunion d’ensembles continus (ou discrets) de points matériels.
a) Systèmes discrets
Si le système est constitué d’un ensemble continu de points matériels , sa masse s’écrit sous la
m=∫ ρ (M )dv
forme la forme d’une intégrale de volume : V où dv est un élément de volume et
ρ( M ) est la masse volumique au point M.
Dans certains cas particuliers, cette relation peut être écrite différemment :
- Si une dimension est très petite par rapport aux deux autres (cas d’une plaque mince) :
m=∫ σ ( M )dS
S où dS est un élément de surface et σ (M ) est la densité surfacique au point M.
m=∫ λ ( M )dL
- Si deux dimensions sont très petites par rapport à l’autre (cas d’une tige) L
Page 23 sur 64
1 Définition
a) Cas discret
b) Cas continu
On appelle centre d’inertie ou centre des masses G du solide le barycentre des différents
éléments de volume dV affectés des coefficients des masses élémentaires dm :
OG∫ dm( M )=∫⃗
⃗ OM dm( M )
V V ; O étant un point quelconque de l’espace. Cette relation est
∫⃗
GM dm( M )=⃗0
équivalente à V .
Si nous rapportons l’espace à un trièdre orthonormé (O ,⃗x , ⃗y ,⃗z ) d’origine O, les coordonnées
1 M=∫ ρ dV
x G= ∫ ρ xdv y G= 1 ∫V ρ ydv z G= 1 ∫V ρ zdv
de G sont : M V
, M , M où V désigne
la masse du système et ρ est la masse volumique au point M de coordonnées (x, y, z) le
centre du volume élémentaire dV.
Remarque : Il ne faut pas confondre le centre d’inertie avec le centre de gravité : le centre de
OC∧m ⃗g =∫ ⃗
⃗ OM ∧⃗g dm
gravité est par définition le point d’application du poids du solide : V
- Si le système matériel possède des éléments de symétrie matérielle, son centre d’inertie G
est nécessairement situé sur ces éléments de symétrie.
Page 24 sur 64
- Si le système matériel peur être décomposé en une somme de systèmes matériels simples, le
centre d’inertie global G est le barycentre des centres d’inertie Gi partiels affectés des masses
correctes.
b) Théorèmes de Guldin
Il existe deux théorèmes de Guldin dans le cas où le système considéré est homogène.
Premier théorème : L’aire de la zone engendrée par une courbe plane homogène C en
tournant autour d’une droite située dans son plan et ne la traversant pas, est égale au produit
de longueur de cette courbe par celle du cercle engendré par son centre d’inertie.
mx G=∫ λ . x . dL
AB si λ est une constante et L la longueur
où
S y représente l’aire de la surface engendrée
par la rotation de la courbe AB autour de l’axe O ⃗y .
S S
x G= y y G= x
On a donc : 2 πL 2 πL
Deuxième théorème : Le volume engendré par une plaque plane homogène en tournant
autour d’une droite située dans son plan et ne la traversant pas est égal au produit de l’aire de
cette plaque par la longueur du cercle engendré par son centre d’inertie.
On appelle moment d’inertie d’un système discret (formé de n points matériels de masse m i)
n
I Δ=∑ mi r 2i
par rapport à un axe Δ la quantité : i =1 où
r i est la distance du point M de masse
i
mi à l’axe Δ .
Page 25 sur 64
I Δ=∫ r 2 dm=∫ r 2 ρ( M )dv
Pour un système continu, on a : V V , ρ( M ) masse volumique au point
M.
2
On peut aussi écrire I Δ=mR où m est la masse totale du système et R le rayon de giration.
⃗x O ⃗x
Soit le repère orthonormé (O ;⃗x 1 ,⃗x 2 , ⃗x 3 ) . On appellera les plans π 1 , π 2 , 3 ; les plans 2 3
π
,
⃗x 1 O⃗x 3 , ⃗x 1 O⃗x 2 respectivement. Le point M est le point de coordonnées( x 1 , x 2 , x 3 ) .
I π =∫ x i dm
2
π
Le moment d’inertie par rapport au plan i est :
i
V
Le moment d’inertie par rapport à un axe est :
⃗
OM =( x 1 , x2 , x 3 ) et ⃗u =(u1 , u2 , u3 ) dans le même repère. On a donc :
On pose
Page 26 sur 64
OM∧⃗u =¿ ( x 2 u3−x 3 u2 ¿ )( x3 u1−x 1 u3 ¿ ) ¿ ¿¿
⃗
¿
- Calcul de
⃗
OM ∧( ⃗
OM ∧⃗u )
[ ]
2
0 − x3 x2
⃗ ⃗
OM ∧( OM ∧⃗
u )= x3 0 − x1 ¿ ( u1 ¿ ) ( u 2 ¿ ) ¿ ¿
¿
− x2 x1 0
- Calcul de I O (⃗
u)
I O (⃗u )=¿ (
I O1 ¿ )( I O2 ¿ ) ¿
¿¿
¿
[ ]
∫ ( x 22+x 23 )dm −∫ x 1 x 2 dm −∫ x 1 x 2 dm
V V V
−∫ x 2 x 3 dm ¿ ( 1 ¿ ) ( 2 ¿ )
I O (⃗u )= −∫ x1 x 2 dm u ( ¿ ) u ( ¿) ¿ ¿
∫ ( x21 +x 23)dm ¿
V V V
−∫ x1 x 2 dm −∫ x 2 x 3 dm ∫( x 21+x 22 )dm
V V V
I
Les termes ii sont les moments d’inertie par rapport aux axes i et les termes O ;⃗x I ij avec
i≠ j sont appelés les produits d’inertie. On remarque que la matrice d’inertie est
symétrique.
La matrice de l’opérateur d’inertie en O a pour éléments diagonaux les moments d’inertie par
rapport aux trois axes de coordonnées et pour éléments hors diagonaux les opposés des
produits d’inertie et est symétrique.
Page 27 sur 64
c) Axes principaux d’inertie
Etant donné que la matrice d’inertie est réelle et symétrique, il est possible de trouver un
système d’axes orthonormés tels que les produits d’inertie soient nuls. Ces axes sont appelés
axes principaux d’inertie et les valeurs propres sont les moments principaux d’inertie.
[ ]
I1 0 0
I O= 0 I2 0
0 0 I3 I1,I2 et
I 3 sont les moments principaux d’inertie.
[ ]
A 0 0
I O= 0 B 0
0 0 C
- Si deux moments principaux sont égaux A= B, ce qui arrive dans le cas d’un solide de
révolution autour du 3ème axe perpendiculaire au plan propre; on a : A = B = C/2 + C’. Dans
ce cas ; le calcul de A, B et C se ramène au calcul plus simple des intégrales C et C’.
A = B = C/2 +C’
+a b
4 ab3 σ Mb 2
A=σ ∬ y 2 dxdy=σ ∫ dx ∫ y 2 dy= =
S −a −b 3 3
+a b 3 2
4 a bσ Ma
B=σ ∬ x dxdy=σ ∫ x dx ∫ ydy=
2 2
=
S −a −b 3 3
M ( a2 + b2 )
C= A+ B=σ ∬ ( y 2 + x 2 ) dxdy = et C ' =σ ∬ z2 dxdy=0
S 3 S
C '=∫ z 2 dm
A = B = C/2 + C’ avec S avec dm= ρ2 π rdr h
h
2 πh 4 R MR 2 Mh 2
C=∫ r dm= ρ∫ 2 πr dr =
2
[ r ]0 =
3
;C '=∫ z 2 dm=∫ πR2 z 2 dz=
C C 4 2 C 0 3
Page 28 sur 64
C MR 2 Mh 2 MR 2
A=B= + C '= + , C=
2 4 3 2
C MR 2 MR 2
A=B= + C '= ,C=
2 4 2
Si par exemple, le plan ⃗x 1 O⃗x 2 est un plan de symétrie matérielle, le produit d’inertie
I 13=−∫ x 1 x3 dm
est nul puisque, par symétrie, on doit additionner deux à deux les éléments
qui ont même x1 et des valeurs de x3 opposées. De même, le produit d’inertie :
I 23=−∫ x 2 x 3 dm
est nul. La matrice s’écrit alors :
[ ]
I 11 I 12 0
I O= I 21 I 22 0
0 0 I 33
- Tout axe perpendiculaire à un plan de symétrie matérielle est axe principal d’inertie
- Tout axe de symétrie matérielle est axe principal d’inertie.
Les propriétés précédentes sont d’une grande utilité car elles permettent de simplifier le calcul
des matrices d’inertie.
Page 29 sur 64
Soit un système d’axes de référence orthonormé{
O ; xi}
et un système d’axes parallèles passant
par G { i } . Soit x i les coordonnées fixes de G dans le premier repère. Pour tout point M
G
G ; X
x
de coordonnées i ; on a la relation suivante : x i=x i + X i .
G
I (pqO )=∑ mh (δ pq ∑ x 2i −x p x q )
: cas discret
(O)
I pq = ∫ (δ pq ∑ 2
xi −x p x q )dm
D : cas continu
∫ (δ pq ∑ xi2−x p x q )dm
I (pqO )= G
Dans le cas continu ; on a : D avec x i=x i + X i
[ ]
I (pqO )=∫ δ pq ∑ ( X i +x Gi )2 −(x Gp + X p )( x Gq + X q ) dm
D
D
[ ]
¿ ∫ δ pq ∑ X 2i −X p X q dm+Mδ pq ∑ ( x Gi )2−Mx Gp x Gq +2 δ pq ∑ x Gi ∫ X i dm−x Gp ∫ X p dm−x Gq ∫ X q dm
D D D
∫ X p dm=∫ X q dm=0
Or D D , car elles expriment les coordonnées de G centre d’inertie dans les
axes GXi liés au solide lesquels ont pour origine précisément G.
D
[ i 2 G 2
]
pq =∫ δ pq ∑ ( X ) −x i ) − X p X p dm+M (δ pq d −x p x q )
I (O) 2 G G
Page 30 sur 64
CHAPITRE 4 : CINETIQUE.
La cinétique a pour objet l’établissement et l’étude des relations mettant en jeu les grandeurs
cinématiques associées à la répartition des masses.
Nous introduirons donc des grandeurs cinétiques telles que la résultante cinétique (ou
quantité de mouvement), le moment cinétique, la résultante dynamique (ou quantité
d’accélération), le moment dynamique et l’énergie cinétique.
a) Point matériel
⃗
Soit V M la vitesse d’un point M de masse m.
⃗
On appelle quantité de mouvement du point M la grandeur vectorielle :m V M
∑ mi V⃗ M
i
grandeur vectorielle : i=1
On appelle moment cinétique en A de l’ensemble des n points matériels M i la somme des
n
mV⃗ ∑⃗
AM i∧m i V⃗ i .
moments par rapport à ce point des quantités élémentaires i i soit i=1
c) Système matériel continu
Page 31 sur 64
La quantité de mouvement d’un système matériel continu (indéformable ou non) de volume V
⃗P=∫ V⃗ M dm( M ).
est : V
⃗P=∫ V⃗ M dm( M ).
V
⃗σ A=∫ ⃗
AM ∧V⃗ M dm( M )
V
a) Définition
⃗σ A=∫⃗
AM ∧V⃗ M dm( M )
Par définition, le moment cinétique en A est : V et le moment cinétique
en B
⃗σ B=∫ ⃗
BM ∧V⃗ M dm( M )
est V alors
⃗σ B −σ A =∫ ⃗
(BM −⃗ BA∧∫ V⃗ M dm(M )= ⃗
AM )∧V⃗ M dm( M )⇔ ⃗σ B −σ A =⃗ BA∧ ⃗P
V V .
Le moment cinétique obéit à la loi de transport des moments; ce qui montre qu’il est possible
de construire un torseur cinétique ayant pour résultante la quantité de mouvement du système.
Nous pouvons noter que le système ne doit pas être nécessairement indéformable
contrairement au cas du torseur cinématique.
[ C ] A =¿ ( ⃗P ¿ ) ¿ ¿ ¿
¿
⃗ est la quantité de mouvement et ⃗
Le vecteur P σ A est le moment cinétique par rapport au
Soit O le point origine d’un repère, la résultante du torseur cinétique peut s’écrire :
⃗
⃗P=∫ dm d OM = d ∫⃗ d
OM dm= (m ⃗
OG)=m V⃗ G
V
dt dt V
dt où G est le centre d’inertie.
Page 32 sur 64
Le torseur s’écrit alors :
⃗
[ C ]A =¿ (m V G ¿ ) ¿ ¿¿
¿
c) Théorème de Koenig relatif au moment cinétique
Le référentiel de Koenig R K est (ou référentiel barycentrique) est le référentiel dont les axes
sont issus de G centre d’inertie et constamment parallèles à ceux du repère R0
=∫ ⃗
GM dm( M )∧V̄ (G/ R0 )+∫ ⃗
GM ∧V ( M /R K )dm(M ) ∫⃗
GM dm( M )=⃗0
V V or V
car G est le centre d’inertie du système matériel et par définition
⃗σ G/ R =∫ ⃗
GM∧V⃗ (M / R K )dm( M ) ⃗
K σ G/ R = ⃗
σ G / RK
V . On a donc l’égalité : 0 .
⃗
σ A /R = ⃗
σG/R +⃗
AG∧ ⃗
PR
Le théorème de Koenig est alors : 0 K 0
⃗σ G=∫⃗
GM ∧¿ V⃗ ( M )dm=∫ ⃗
GM ∧[ V⃗ G+ Ω
⃗ ∧⃗
GM ] dm ¿
V V
∫⃗
GM dm∧V⃗ G +∫ [ ⃗ ⃗ ⃗
GM∧( Ω∧ GM )]dm ∫⃗
GM dm( M )=⃗0
V V or V (définition du centre d’inertie) et
⃗ )=∫ [ ⃗
I G(Ω ⃗ ∧⃗
GM∧( Ω GM )]dm
⃗)
I G(Ω
V où est appelé l’opérateur d’inertie en G appliqué au
⃗
vecteur Ω .
⃗)
⃗σ G=I G ( Ω
Le moment cinétique en G d’un solide indéformable s’écrit donc :
Si la rotation a lieu d’un axe fixe ( A , ⃗z ) et que ( A , ⃗z ) est un axe principal d’inertie, on a :
⃗
σ A =I zz Ω
⃗ .
Page 33 sur 64
3°) Energie cinétique
a) Définition
On appelle énergie cinétique d’un système matériel continu la quantité scalaire exprimée en
1
EC =∫ V⃗ 2M dm( M )
Joules (J) : V
2 .
b) Théorème de Koenig relatif à l’énergie cinétique
Par définition, l’énergie cinétique par rapport à un référentiel R 0 est (RK est le référentiel de
1 2 1
EC 0=∫ V⃗M dm( M )=∫ [ V⃗ G/ R0 + V⃗ M / R K ] dm( M )
R 2
Koenig) : V
2 V
2
R 1 2 1 2
EC 0=∫ V G dm( M )+∫ V⃗ G/ R0 . V⃗ M / R K +∫ V⃗ M / RK dm( M )
V
2 V V
2
1 ⃗2
m V G/ R + V⃗ G/R 0 . ∫ V⃗ M/ R K dm( M )+E C K
R
=2
0
V
1 ⃗2 d
m V G/ R + V⃗ G/R 0 . ∫ ⃗ GM dm( M )+E C K ∫⃗ GM dm( M )=⃗0
R
L’énergie cinétique d’un système par rapport à un référentiel R 0 est égale à l’énergie
cinétique de ce système dans son mouvement autour du centre d’inertie G augmentée de
l’énergie cinétique qu’aurait une masse m égale à la masse totale du système concentré en G
par rapport à R0
1 (Ω
EC = ¿ ⃗ ¿ )¿ ¿
Donc l’énergie cinétique est égale à : 2 ¿
soit la moitié du produit du torseur cinématique en S par le torseur cinétique en S :
1
EC = [ V ]S . [ C ] S
2 .
→ Si S = G : centre d’inertie du solide indéformable :
Page 34 sur 64
1 1⃗ 1 ⃗2
EC = m V⃗ 2G + Ω ⃗)
. I G(Ω mV G
2 2 où 2 est l’énergie cinétique de translation et
1⃗ ⃗
Ω. I G ( Ω)
2 est l’énergie cinétique de rotation.
L’énergie cinétique d’un solide quelconque peut donc s’écrire comme étant la somme de
l’énergie cinétique du centre d’inertie affecté de la masse totale du solide te de l’énergie
cinétique de rotation (théorème de Koenig).
⃗)
⃗σ S =I S ( Ω V⃗ =⃗0
Le moment cinétique en point S appartenant à l’axe (O ,⃗z ) s’écrit : car S
[ ]
I xx I xy I xz
⃗
σ S = I yx I yy I yz ¿ ( 0 ¿ )( 0 ¿ ) ¿ ¿
¿
I zx I zy I zz
Soit
1⃗ 1
EC = Ω . ⃗σ S = I zz Ω 2 .
L’énergie cinétique est donc 2 2
a) Définition
d V⃗ M
a M=
⃗
Soit ⃗
a M l’accélération d’un point M telle que dt . On appelle ⃗a M dm( M ) la quantité
d’accélération élémentaire du point M. Comme pour le torseur cinétique, on démontre qu’il
est possible de construire un torseur dynamique ayant comme résultante la quantité
d’accélération totale. Le torseur dynamique en A s’écrit :
( ⃗ ¿) ¿
D
[ D ] A=¿ ¿¿
¿
De la même manière que pour le torseur cinétique, le système étudié ne doit pas être
nécessairement indéformable, contrairement au cas du torseur cinématique.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Le moment dynamique obéit donc à la règle de transport des moments : δ A = δ B + AB∧ D
Page 35 sur 64
d V⃗ M d ⃗ d ⃗P d
⃗ =∫ ⃗a dm=∫
D dm= ∫ V M dm= = (m V⃗ G )
M
La résultante dynamique s’écrit : V V dt dt V dt dt
Le point étant le centre d’inertie. S’il y a conservation de la masse, la résultante dynamique
⃗ =m⃗a .
D
est donc égale au produit de la masse par l’accélération du centre d’inertie G : G
⃗δ =∫ ⃗GM∧⃗a M/ R 0 dm=∫ [ ⃗
GM∧(⃗a G/ R 0 +⃗a M /R K )]dm
G /R
0
V
∫⃗
GM dm∧⃗a G/ R +∫ ⃗
GM∧⃗a M / R dm
0 K
∫⃗
GM dm( M )=⃗0
=V V , or V .
⃗δ G /R =∫ ⃗
GM ∧⃗a M / RK dm
K
car G est le centre d’inertie du système matériel et par définition V .
⃗
δ A / R =⃗
δ G / RK +⃗ ⃗
AG∧ D
On a donc l’égalité 0
Dans les deux cas précédents, le moment dynamique est la dérivée du moment cinétique.
Pour simplifier les calculs, le moment dynamique devra être calculé à partir du moment
cinétique en un point fixe ou au centre d’inertie.
→ Remarque : si G est le centre d’inertie d’un solide indéformable ou si A est un point tel
Page 36 sur 64
instantané. De plus si la matrice d’inertie est exprimée dans un repère R lié au solide et si est
d⃗
OA ⃗
=0
un point géométrique fixe dt , nous pouvons écrire que le moment dynamique du solide
⃗
δP=
dans son mouvement par rapport au repère fixe R0 est (avec P = G ou A) :
dt
⃗)
dI P ( Ω
R0
[ ]
que nous pouvons écrire d’après la règle de dérivation composée :
⃗
δP= [ dt
⃗)
dI P ( Ω
] [
R0
=
dt
⃗
dI P ( Ω)
+ Ω∧I
avec ⃗
R
]
⃗ P( Ω
⃗)
⃗
σ P =I P ( Ω ) or la dérivée du vecteur
rotation de rotation instantanée dans un repère lié au solide est égale à la dérivée de le repère
fixe.
⃗ dΩ
Ω̇=
⃗
dt R( ) ( )
=
⃗
dΩ
dt R 0 Finalement, nous pouvons écrire les deux relations suivantes :
⃗ ⃗ ⃗
→ au centre de masse G pour un solide indéformable : δ G=I G ( Ω̇ )+ Ω∧⃗
σG
⃗ ⃗ ⃗
→ en un point fixe A fixe d’un solide indéformable : δ A =I A ( Ω̇ )+ Ω∧⃗
σA
Si le repère lié au solide est de plus un repère principal d’inertie et si les composants dans R
sont : (Ω X , Ω y ,Ω z ) , il est facile de calculer le moment dynamique à partir des relations :
⃗
δP= [ dt
⃗)
dI P ( Ω
] [
R0
=
dt
⃗
dI P ( Ω)
R
]
⃗ P( Ω
+ Ω∧I ⃗ )+ Ω∧I
⃗ )=I P ( Ω̇ ⃗ P( Ω
⃗)
.
Un cône S de rayon R et de hauteur h roule sans glisser sur un plan de sorte que son sommet
O reste fixe. Le cône roule sur le plan
⃗x 0 O ⃗y 0 . La droite(O ,⃗z ) passe par le sommet et le centre
du cône. Les vecteurs (⃗x , ⃗y , ⃗z ) sont liés au solide S. On désire calculer le torseur cinétique au
point O de ce cône ainsi que son énergie cinétique. Rappelons l’expression du vecteur taux de
⃗ S /R )=ψ̇ ⃗z + ϕ̇ ⃗z
Ω(
rotation instantanée : 0 0 avec ϕ̇=−ψ̇ /sin α Exprimons ce vecteur sur la
⃗
base (⃗x , ⃗y , ⃗z ) en posant θ=π / 2−α et θ̇=0 avec α=( OI ,⃗z )= Arc tan( R/h ).
O étant un point fixe, nous pouvons appliquer la relation 8 en utilisant la matrice d’inertie du
cône
[ ]
Ix 0 0
⃗
σ O= 0 Iy 0 ¿ ( ψ̇ cos α sin ϕ ¿ ) ( ψ̇ cos α cos ϕ ¿ ) ¿ ¿
¿
0 0 Iz
( )
2 2 2
⃗σ O= 3 R 3 h 3 mR
+ m ψ̇ cos α (sin ϕ⃗x +cos ϕ ⃗y )+ ( ϕ̇+ ψ̇ sin α )⃗z .
20 5 10
Cette solution peut être simplifiée en utilisant la condition de roulement sans glissement :
i
⃗σ O= (
3 R2 3 h2
20
+
5 )
m ψ̇ cos α (sin ϕ⃗x +cos ϕ ⃗y )−
3 mR 2 cos2 α
10
( ψ̇
sin α
)⃗z .
1
EC = ¿ (Ω
⃗ ¿ )¿ ¿
2 ¿
⃗
La quantité d’accélération R D est la dérivée de la quantité de mouvement du centre d’inertie
Page 38 sur 64
⃗
R D= ( )
d ⃗p
dt
3
= mh(cos α ( ψ̈ ⃗
R0 4
u + ψ̇
d⃗
u
dt ( ) R
0
).
.
Or d’après la règle de dérivation composée et la définition du vecteur
⃗
u
( ddt⃗u ) R0
u =ψ̇ ⃗v ⃗R D=
=ψ̇ z̄ 0 ¿ ⃗
,
d ⃗p
dt ( ) 3
= mhcos α( ψ̈ ⃗u + ψ̇ 2 ⃗v )
R0 4
⃗δ =¿ (I x(ψ̈cosαsin ϕ+ψ̇ ϕ̇cosαsin ϕ)+(I z−I y)( ϕ̇+ψ̇sin α)ψ̇cosαcosϕ ¿)( I y(ψ̈cosαcosϕ−ψ̇ ϕ̇cosαsin ϕ)+(Ix−Iz)( ϕ̇+ψ̇sin α)ψ̇cosαsin ϕ ¿)¿ ¿¿
O
¿
En adoptant une démarche intuitive, on peut tenter de définir une force comme toute cause
capable de produire ou de modifier un mouvement ou encore de créer une déformation.
Nous irons plus loin en posant qu’autre force ne peut provenir que d’une interaction
matière/matière et que c’est une grandeur objective (indépendante de tout observateur). Il ne
faut pas confondre ces interactions avec les forces d’inertie qui dépendent de l’observateur.
Les deux premières engendrent des efforts à distance. L’expérience incite à donner un
caractère vectoriel à la force (direction, sens, intensité, additivité, localisation).
Page 39 sur 64
Les efforts appliqués sur un système matériel peuvent être représentés mathématiquement par
[ F ]O =¿ [ F⃗ ¿] ¿¿¿
un torseur appelé torseur d’action qui s’écrit en un point O. ¿
La résultante représente la force appliquée ⃗
F.
Si les composantes de la force ⃗F et du moment au point O sont respectivement (X, Y, Z) et
(L, M, N) dans une base orthonormée (⃗x , ⃗y , ⃗z ) , on peut aussi l’écrire sous la forme :
[ X
[ F ] =¿ ¿¿ L¿ ] [ YM¿ ] ¿
O
On distinguera :
¿
⃗
- les forces localisées auxquelles on associe un vecteur lié ( M , F ) qui s’exerce sur un point
matériel isolé d’un système continu (force concentrée). Le torseur d’action s’écrit alors :
[ F ]M=¿ [ ⃗F ¿ ] ¿ ¿¿
¿
- les couples efforts concentrés nécessaires pour schématiser certaines actions décrites
[ F ]M=¿ [ ⃗0 ¿] ¿ ¿¿
géométriquement comme ponctuelle. On a dans ce cas : ¿ ,
La résultante étant nulle, l’expression du torseur en un point différent de M reste inchangé
- les forces réparties à densité (cas des actions à distance de type gravitationnel), pour un
⃗
système continu, on définit une densité vectorielle de force f ( M ) et à chaque élément
⃗
matériel dm entourant le point M, on associe le vecteur lié élémentaire ( M , f ( M )dm) .
[ F ] =¿
O [
∫ ⃗f (M )dm ¿
S
¿ ¿¿ ]
Le torseur s’écrit : ¿
- les pressions réparties sur une surface : elles peuvent être modélisées de façon locale, (Étude
de l’action en tout point de la zone où elle s’exerce) ou de façon globale en les représentant
par un torseur d’action unique. Il existe alors un point de la surface où le torseur prend la
forme du torseur correspondant à une force localisée. Ailleurs, cette action est représentée par
torseur comportant une résultante et un moment non nuls.
Les efforts extérieurs à un système matériel S sont des efforts exercés sur S par l’univers privé
de S. Si S est soumis à des forces localisées
( M i , F⃗ i ) , des couples ⃗Γ i et des efforts à
distance de densité massique
⃗
f , le torseur des efforts extérieurs à S s’écrira :
Page 40 sur 64
[
[ F e ]O=¿ e
⃗ ¿] ¿
F ¿¿
¿
II°) Actions solide - solide
Souvent deux solides se trouvent en contact. En plus des forces à distance telles que les forces
de gravitation et les forces électromagnétiques, il faut tenir compte des forces de contact.
Le calcul de ces forces est en fait très complexe car celles-ci dépendent de la structure
microscopique des surfaces de contact.
De plus, ces forces ne sont pas fondamentalement simples, contrairement aux forces de
gravitations ou aux forces électromagnétiques. En effet le torseur des forces à distance est
connu alors que le torseur des actions de contact est généralement inconnu.
Nous allons voir cependant qu’il existe des lois expérimentales de frottement entre solides
(frottement sec) qui permettent, dans certains cas, d’étudier le mouvement. Dans un premier
temps, nous rappellerons quelques résultats élémentaires sur les actions à distance.
Ces forces sont appelées forces de volume, car elles agissent sur tout le volume du solide
étudié contrairement aux forces de contact qui agissent uniquement sur les surfaces.
a) Forces gravitationnelles
Sur une petite surface de la terre, on peut généralement faire l’approximation d’un champ de
pesanteur constant. Pour un solide de masse m, le torseur des actions de pesanteur au centre
de masse G s’écrit avec g = 9,81 m/s2
La force de Lorentz qui s’exerce sur une particule A de charge q animée de la vitesse ⃗
v par
rapport à un référentiel galiléen a pour expression :
⃗F =q [ ⃗E +⃗v ∧B⃗ ] où ⃗
E est le champ
électrique et ⃗B le champ magnétique. Pour des particules chargées telles que l’électron, cette
force est très importante pour l’étude du mouvement.
Page 41 sur 64
−30
En effet alors que le poids de l’électron est de l’ordre de 10 N , une valeur de la force
5 −19 5 −14
électrostatique pour un champ de 3×10 V .m est F e=q e V =1 , 6×10 ×3 .10 =4 , 8×10 N .
Les lois de Coulomb introduisent les frottements de glissement entre solides. La réaction
⃗
R =⃗ ⃗ d’un solide S1 sur un solide S2 est schématisée sur la figure
T+N
a) Réaction normale
b) Réaction tangentielle
→ il y a glissement
Page 42 sur 64
tant que la réaction ⃗
R =⃗ T+N ⃗ est située à
l’intérieur du cône de frottement. I est le point
de contact entre S1 et S2 π est le plan tangent
en I aux surfaces de contact et
f S tan ϕ S .
c ) Roulement et pivotement
On appelle liaison parfaite une liaison sans frottement. Dans ce cas, les torseurs d’actions
d’un solide S1 sur un solide S2 ont souvent des composantes nulles. Ainsi les torseurs des
actions normalisées parfaites sont indiqués dans le tableau ci-dessous.
Liaison FS /S[ 1 ]
Forme particulière conservée
2 O
Page 43 sur 64
{ X 0 ¿} {Y 0 ¿ }¿ {}
Au point O
Rotule de centre O
Une particule peut être considérée comme un solide ponctuel possédant une masse m mais
aucune dimension (sa matrice d’inertie est donc nulle et sa position est confondue avec la
position de son centre de masses).
La dynamique des particules est régie par un groupe de propositions dites lois de Newton qui
sont en fait des principes. Ces principes constituent les base de mécanique classique ou
newtonienne dans laquelle on admet que les masses des particules sont constantes, que les
vitesses sont beaucoup plus petites que la vitesse de la lumière, que les actions à distance sont
transmises instantanément.
Cette mécanique newtonienne permet de décrire avec une précision très satisfaisante la quasi-
totalité des phénomènes.
Ces phénomènes présentent des caractères cinématiques supposent pour leur étude le choix
d’une chronologie et d’un référentiel d’espace.
Page 44 sur 64
a) Lois de Newton
Newton attribue cette première loi à Galilée, mais elle été en fait formulée vraiment
explicitement par Descartes.
R
Dans un repère absolu a , une particule A de masse m totalement isolée (qui n’est soumise à
aucune action de la part d’autres particules) possède une quantité de mouvement constante :
⃗P =m V⃗ =⃗ ⃗ ⃗
a a Cte . Dans l’hypothèse d’une masse invariante, V a =Cte .
et de M2 sur M1
( ⃗F 2→1 ) sont égales et opposées.
b) Les repères
→ Repère galiléen
Le référentiel absolu est un référentiel conceptuel par rapport auquel il faudrait pouvoir suivre
le mouvement de n’importe quelle particule constituant l’univers matériel.
On démontre que dans l’hypothèse d’un univers borné, il existe un référentiel et un seul issu
du centre de masse de l’univers, dans lequel la quantité de mouvement de l’univers au centre
de masse constitue un torseur équivalent à zéro.
Ce référentiel est le référentiel « univers » considéré comme référentiel absolu. Les repères
qui lui sont attachés sont appelés repères galiléens.
→ Repère sidéral
Il existe deux repères sidéraux dans lesquels sont étudiés les mouvements des astres. Pour ces
deux repères, les axes sont dirigés vers des étoiles fixes. L’origine peut être
le centre de masses du soleil : repère héliocentrique
le repère du centre de masses du système solaire : repère de Copernic
En fait ces deux repères sont pratiquement identiques car la masse du soleil est de plus 500
fois supérieure à celle de tout le reste du système solaire.
→ Repère géocentrique
L’origine du repère géocentrique est le centre de masses de la terre (en fait, son centre
géométrique); ses axes sont dirigés vers des étoiles fixes.
Page 45 sur 64
→ Repères terrestres
Les repères terrestres sont des repères établis à partir de points fixes sur la terre (murs de
laboratoires, montagnes, …).
⃗F =m ⃗a
Si la particule M de masse m est soumise à l’action de a et dans un repère relatif
⃗ −m(⃗a +⃗a )
m ⃗a r =F
(accéléré, d’où non galiléen) : e c où
⃗
a r est l’accélération relative : accélération de la particule par repère terrestre,
⃗
a e est l’accélération d’entraînement du repère relatif par rapport au repère absolu.
⃗ ( R/ R )∧⃗v
⃗a r =2 Ω ⃗
a r est l’accélération de Coriolis où Ω( R /R a ) est le vecteur taux de
a) Enoncé
C’est une généralisation des lois de Newton pour un système matériel possédant une
dimension (dans ce cas, la matrice d’inertie n’est pas nulle)
Il existe au moins une façon de mesurer le temps et référentiel d’espace tel que l’on ait , pour
tout système matériel, égalité entre le torseur dynamique et le torseur des efforts extérieurs :
[ e ]O ¿
F =¿ [ F⃗ e ¿ ] ¿ ¿¿ [ D ] =¿ [ ⃗R D ¿] ¿ ¿¿
O
[ F e ]O= [ D ]O avec et ¿
Ce qui donne deux égalités vectorielles. Le point O est un point quelconque qui devra être
judicieusement choisi afin de faciliter les calculs.
L’égalité des résultantes des deux torseurs se traduit dans un référentiel galiléen :
⃗F = d ⃗p =m⃗a
e G
dt Nous retrouvons la première loi de Newton appliquée à une particule
L’égalité des moments des deux torseurs se traduit dans un référentiel galiléen :
⃗ ( ⃗F )=⃗δ
M O e O
Si l’on écrit les torseurs en un point fixe A par rapport à un repère galiléen, on a alors :
d⃗
σ d⃗
σ
⃗ A( ⃗
M F e )= A ⃗ G( ⃗
M F e )= G
dt . De même au centre de masse G, on a : dt
Page 46 sur 64
On considère que le repère ( A ;⃗x ,⃗y ,⃗z ) lié au solide est un repère principal d’inertie et que A
est fixe par rapport à un référentiel galiléen. Le moment dynamique a été calculé :
d⃗
σA ⃗ )+ Ω
⃗ ⃗
σ A =I A ( Ω ) alors
⃗ (⃗
M A F e )= =⃗
δ A =I A ( Ω̇ ⃗ ∧σ⃗ .
A
dt car
|I x Ω̇ x +( I z −I y )Ω y Ω z =M x
( ) ( )
d ⃗σ A
=
d ⃗σ A
dt Ra dt R A
⃗
=I (Ω̇)+ Ω⃗ ∧⃗σ A =¿|I y Ω̇ y +( I x −I z )Ω z Ω x =M y
|I z Ω̇ z +( I y −I x )Ω x Ω y =M z
Dans le cas particulier où le moment des efforts extérieurs en A est nul, le mouvement est
appelé mouvement de Poinsot. Ces équations sont appelées équations d’Euler
On retrouve les mêmes équations si l’on remplace le point A fixe par le centre de masses G.
e) Solide mobile atour d’un axe Δ fixe
⃗ et
On considère que l’axe Δ est un axe principal d’inertie, de vecteur unitaire directeur u
qu’il passe par O.
d⃗σO
=M ⃗ (⃗
O Fe )
Le théorème du moment cinétique en O permet d’écrire : dt ou alors
d⃗σO ⃗
d (⃗u . σ O )
⃗
u. =M Δ ( ⃗
Fe) =M Δ ( ⃗Fe )
dt ⃗
u
. Comme est un vecteur constant, on a : dt
dΩ
IΔ=M Δ ( ⃗F e )
Donc dt O étant un point fixe, son moment cinétique est l’opérateur d’inertie
⃗
en O appliqué au vecteur Ω=Ω⃗u . On a : ⃗ u⃗σ O=⃗ut . I O (Ω ⃗
u )=I Δ (Ω ) ce qui entraîne que
dΩ
IΔ =M Δ ( ⃗F e ).
dt
f) Principe action réaction
Nous allons montrer le principe de l’action et de la réaction est une conséquence du principe
fondamental de la dynamique.
-[
F 1/ 2 ]
: Torseur des efforts exercés par le solide S1 sur le solide S2
- [ 2/ 1 ] : Torseur des efforts exercés par le solide S2 sur le solide S1
F
-
[ D2 ] : Torseur dynamique du solide S2
[ D1 ]+ [ D2 ] : Torseur dynamique du solide S1 + S2
On applique aux solides S1, S2 et S1+S2 le principe fondamental de la dynamique
Page 47 sur 64
[ F 2/ 1 ] +[ F 1 ]= [ D1 ] (a)
[ F 1/ 2 ] + [ F 2 ] =[ D2 ] (b)
[ F 1 ] + [ F 2 ] =[ D1 ] + [ D2 ] (c)
[
[ F i ]O=¿ −∫S ⃗a e dm−∫S ⃗a c dm ¿ ¿ ¿¿
¿
]
L’objectif de ce chapitre est d’écrire le théorème de l’énergie cinétique qui permet dans
de nombreux cas, de déterminer simplement une équation première du mouvement. Le
calcul de l’énergie cinétique ayant été développé dans le chapitre cinétique, les notions de
puissance et de travail seront abordées.
Page 48 sur 64
I°) Puissance et travail d’une force
1°) Définitions
Soit une force ⃗ F , fonction du temps t, s’exerçant sur un point matériel M qui peut être
toujours le même (par exemple pour une particule isolée) ou qui peut varier avec le temps
(par exemple dans le cas d’un outil fixe exerçant une force sur une meule animée d’un
mouvement de rotation ou le cas de la réaction d’un plan sur un cylindre roulant avec ou
sans glissement.
La puissance de ⃗F appliquée au point matériel M de vitesse ⃗V M à l’instant t est
⃗ ⃗
P= F (t ). V M
2 −3
L’unité de puissance est le watt (1 watt = 1 Joule/s). Sa dimension est [ P ] =ML T .
dW =Pdt =⃗
F (t ). V⃗ M dt=⃗
F (t ). ⃗
dM
t1
W =∫ Pdt
t
Le travail accompli entre deux instants 0 et t 1 est donc t0
.
2 −2
L’unité de travail est le joule. Sa dimension est [ W ] =ML T .
→ Référentiels
W 1 /2 = ∫ −dU =U ( M 1 )−U ( M 2 ).
M1
M2 et non du temps :
Nous pouvons citer comme exemple le travail des forces de pesanteur en considérant le
⃗
cas d’un matériel M de masse m : dW =m ⃗
g . dM=−mgdz=−d (mgz ) avec
U =mgz+Cte si z est la verticale ascendante. Le travail accompli pour passer d’une
position M1 à une position M2 est : W 1 /2 =mg( z 1 −z 2 )
Page 49 sur 64
Le travail des forces de pesanteur ne dépend pas du parcours effectué mais seulement de
la différence d’altitude entre le départ et l’arrivée.
2°) Généralisation
Dans le cas général d’un système matériel occupant un domaine D et soumis à un système
P=∫ V⃗ M . ⃗
dF
de forces, la puissance s’écrit symboliquement : D
Suivant les cas, le système est discret ou continu.
P=∑ V⃗ M . ⃗Fi
i
i
b) Système continu
⃗F
Soit un système matériel continu soumis à des forces concentrées i et réparties de
⃗ P=∑ V⃗ M . ⃗Fi +∫ V⃗ M .⃗
f ( M )dm
densités massiques f ( M ) , la puissance s’écrit : i
i
D
P=∫ V⃗ M . ⃗ ⃗ A∫ ⃗
dF=V dF+∫ ( ⃗
MA∧Ω). ⃗
dF
D D D .
En effectuant une permutation circulaire sur le produit mixte, on a alors :
P=∫ V⃗ M . ⃗ ⃗ ∫⃗
dF=V A dF+∫ ( MA∧Ω ). dF= V A ∫ dF+ Ω .∫ ( AM ∧ dF )
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
D D D D D
Finalement, la puissance des efforts extérieurs pour un solide indéformable est le produit du
torseur cinématique et du torseur des efforts extérieurs :
P=V⃗ A . ⃗F e + Ω
⃗ .M
⃗ ( F )=[ V ] A . [ F ]
A e e A
Page 50 sur 64
Les puissances d’une force appliquée à un point M calculée dans le repère R 1 et dans le repère
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
R2 sont respectivement : P1 = F . V ( M /R 1 ) et P2 = F . V ( M /R 2 ) . D’après la loi des
composition des vitesses :
V⃗ ( M / R1 )=V⃗ ( M / R2 )+ V⃗ e ( M ) avec V⃗ e ( M )=V⃗ (O2 )+ Ω
⃗ ∧⃗
O2 M
P1 = ⃗F .[ V⃗ (O2 )+ Ω(R
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
2 / R1 )∧O 2 M + V ( M / R2 )]= F . V (O 2 /R 1 )+ F .( Ω( R2 / R1 )∧O 2 M )+ P2 .
⃗
F .( Ω(⃗ R / R )∧⃗ O 2 M )est égal à Ω( ⃗ R /R ).(⃗ O2 M ∧ F ⃗)
Or le produit mixte 2 1 2 1
On peut donc en déduire la relation entre les puissances calculées dans le repère R 1 et le
P = ⃗F . V
⃗ (O / R )+ Ω(
⃗ R /R ). M
⃗ (F ⃗ )+ P 2
repère R2 : 1 2 1 2 1 O2
.
⃗
M
On admettra la généralité de ce résultat, ⃗F et O2
étant les éléments de réduction du torseur
des efforts appliqués au système considéré.
Nous pouvons donc conclure que la puissance des efforts intérieurs à un système ne dépend
pas du repère cas le torseur des efforts intérieurs à un système est nul.
Par conséquent : la puissance des efforts intérieurs d’un système indéformable est nulle.
En effet, d’après la conclusion précédente, la puissance des efforts intérieurs peut être
calculée dans n’importe quel repère, en particulier dans un repère lié au solide pour lequel
toutes les vitesses sont nulles.
Page 51 sur 64
II°) Théorème de l’énergie cinétique
La dérivée de l’énergie cinétique est égale au produit des torseurs cinématique et dynamique.
La dérivée de l’énergie cinétique est donc égale à la puissance des quantités d’accélération
absolue.
Or d’après le principe fondamental de la dynamique, le torseur dynamique est égal au torseur
dEC
=Pex
des efforts extérieurs. Pour un solide indéformable, la relation 7-6 devient alors dt
Nous pouvons déduire cette équation directement de 7-7 en se souvenant que la puissance des
efforts intérieurs est nulle pour un solide indéformable.
Page 52 sur 64
La quantité
EC +U est appelée l’énergie mécanique totale du système considéré.
4°) Applications
a) Pendule pesant
Nous allons traiter le cas simple du pendule pesant par deux méthodes :
- en utilisant le principe fondamental de la dynamique,
- en utilisant le théorème de l’énergie cinétique
Le pendule est un solide quelconque pouvant se mouvoir uniquement dans le plan 0 0 qui ⃗x O ⃗y
est un plan de symétrie matérielle pour le solide (voir figure). Ce pendule est fixé au point O
par une liaison pivot parfaite.
Dans les deux méthodes, il est nécessaire de calculer au moins les torseurs cinématique et
cinétique.
⃗
[ V ]G=¿ ( Ω=θ̇⃗z0 ¿ ) ¿ ¿¿
Le torseur cinématique en G est donné facilement par : ¿
Le plan ⃗x G ⃗y étant un plan de symétrie matérielle du solide, le torseur cinétique s’écrit :
[ C ]G =¿ ( ⃗P=ml { θ̇ ¿ ⃗y ¿) ¿ ¿¿
¿ où IG est le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe
G ⃗z 0 .
Il reste à calculer le torseur dynamique et le torseur des efforts extérieurs. Les efforts
⃗ et la réaction R
extérieurs sont le poids P ⃗ au point O.
Page 53 sur 64
(
[ D ]G=¿ D⃗ =ml( θ̈⃗y −θ̇2 ⃗x ¿ ) ¿
R ¿¿
¿
Le torseur des efforts extérieurs est :
2
−ml{θ̇ =Rx+mgcosθ¿ml{θ̈¿=Ry−mgsinθ¿IGθ̈=−lRy¿
De ce système, nous pouvons isoler une seule équation différentielle que doit vérifier θ(t ).
2
Cette équation est :( I G+ ml ) θ̈ +mgl sin θ=0 . La solution de cette équation permet de
calculer les composantes R x (t ) et R y (t ) de la réaction ⃗
R.
Le solide étant indéformable, il est possible d’utiliser l’équation 7-8. Dans ce cas, il reste à
calculer l’énergie cinétique, sa dérivée par rapport au temps et les puissances de efforts
extérieurs
1 1
E C = [ V ]G . [ C ] G = (I G +ml 2 ) θ̇2 .
2 2
Attention ! Dans le cas d’un solide déformable ou d’un système constitué de plusieurs solides
ayant des liaisons non parfaites entre eux, il faudrait tenir compte des puissances des efforts
intérieurs.
dEC
=( I G +ml 2 ) θ̇ θ̈
La dérivée de l’énergie cinétique est donc : dt
P ⃗R=¿ [ θ̇ ⃗z 0 ¿ ] ¿ ¿ ¿
La puissance de la réaction ⃗
R en O est nulle : ¿
Pm ⃗g =¿ [ θ̇ ⃗z 0 ¿ ] ¿ ¿ ¿
Par contre la puissance des efforts de pesanteur n’est pas nulle : ¿
L’application du théorème de l’énergie cinétique nous donne alors dans le cas où θ̇≠0
2
l’équation différentielle : ( I G+ ml ) θ̈ +mgl sin θ=0 identique à celle obtenue par
application du principe fondamental de la dynamique.
Page 54 sur 64
Par contre le principe fondamental de la dynamique nous donne deux équations
supplémentaires permettant la détermination de la force de liaison en O.
Puisque le système est conservatif (liaisons parfaites et pesanteur), nous pouvons aussi utiliser
la conservation de l’énergie totale.
Un demi disque de rayon R, de masse m et de centre G peut osciller sans glissement sur un
plan fixe
⃗x 0 O ⃗y 0 . Le point de contact est appelé I. Le mouvement se fait dans le plan ⃗x 0 O ⃗y 0 .
Le repère R D=(C ;⃗ u ,⃗v , ⃗z 0 ) est lié au demi disque et est tel que ⃗
CG=λ ⃗u .
On recherche l’équation du mouvement du solide. Il est nécessaire de calculer les torseurs
cinématique et cinétique.
[ V ]I =¿ [ Ω(D/R)=θ̇⃗z0 ¿ ] ¿ ¿¿
⃗
Le torseur cinématique du demi-disque au point I peut s’écrire : ¿
La vitesse du point G peut alors être calculée :
V⃗ G= V
⃗ +⃗ ⃗ ⃗
I GI∧Ω=V I −( λ ⃗ u +R ⃗y 0 )∧θ̇ ⃗z 0
¿( λ cosθ−R ) θ̇ ⃗x 0 +λ sin θ θ̇ ⃗y 0
[ C ]G =¿ [ P=m V̄ G ¿ ] ¿ ¿¿
⃗
Le torseur cinétique en G est donc ¿ où IG est le moment d’inertie du
solide par rapport à l’axe (G ,⃗z 0 ) .
Le solide étant indéformable, nous pouvons utiliser le théorème de l’énergie cinétique, dans
1 1
EC = [ V ]G . [ C ] G= (mλ 2 −2 mR λ cos θ+mR 2 + I G ) θ̇2
ce cas, l’énergie cinétique est donc 2 2 .
La dérivée de l’énergie cinétique s’en déduit :
dEC
=( mλ2 −2 mR λ cos θ+ mR 2 + I G ) θ̇ θ̈+ mR λ sin θ θ̇ 3
dt
La puissance de la réaction en I est nulle puisqu’il n’y a pas de glissement et que le contact est
P( ⃗R )=¿ ( θ̇ ⃗z 0 ¿ ) ¿ ¿¿
ponctuel : ¿
Page 55 sur 64
La puissance des efforts de pesanteur n’est pas nulle
Pm ⃗g =¿ [ θ̇ ⃗
z 0 ¿] ¿ ¿ ¿
¿
L’application du théorème de l’énergie cinétique nous donne alors dans le cas où θ̇≠0
( mλ 2 −2 mR λ cos θ+mR 2 + I G ) θ̈+mR λ sin θ θ̇2 + mg λ sinθ=0
Bibliographie
- Cours de Physique : mathématiques pour la physique : cours et exercices avec
solutions : Yves Noirot, Jean Pau Parisot, Nathalie Brouillet ; Dunod
- Mécanique : Fondements et applications J. P. Pérez, 5ème édition Masson, 1997.
- Mécanique des solides : Michel Combarnous, Didier Desjardins, Christophe Bacon.
2ème édition Dunod.
- Cours de Mécanique des Systèmes de solides indéformables : M. BOURICH
Deuxième édition 2014
Page 56 sur 64
ENONCES DES TRAVAUX DIRIGES DE MECANIQUE DU SOLIDE
3°) Démontrer que le champ des moments d’un torseur est équiprojectif et qu’un
champ vectoriel équiprojectif est le champ de moments d’un torseur.
⃗ ⃗ ⃗
4°) Soit la famille définie dans R=(O ; i , j , k) par les vecteurs :
⃗
a (1, 0, -3) dont l’origine est le point A (1 ,0 ,0)
⃗
b (-1 ,1 ,0) dont l’origine est le point B (0 ,1 ,0)
⃗
c (cx ,cy ,cz ) dont l’origine est le point C (X ,Y , 6 )
1) Déterminer les composantes de ⃗ c pour que le torseur que réalise la famille soit
représentable par un couple.
2) Déterminer le vecteur ⃗c et les coordonnées X et Y pour que le torseur que
réalise la famille au point O soit le torseur nul.
3) On impose à l’axe Δ du torseur que réalise la famille en O d’être parallèle à
Oy. Déterminer alors cx , cz et les composantes du point Q intersection de Δ
avec le plan (xOz) en fonction de cy , X et Y .
4) Déterminer Cx, Cy, Cz, X et Y pour que simultanément :
- la résultante de la famille soit parallèle à OX.
- le moment en C est nul,
- le moment en O soit égal à 6 ⃗j +2 k .
⃗
⃗⃗⃗
6°) Dans un repère ( O ; i , j , k ) ), trouver le torseur d’équations d’axe central :
y = z et x + y + z = 1
Page 57 sur 64
et tel que les moments algébriques par rapport aux axes de coordonnées sont :
Mx = 2, My =1, Mz = -3 (composantes du champ de moments en O).
⃗
7°) Dans un repère ( O , ⃗i , ⃗j , k ), soit le point A ( 2 ,1, -1) le vecteur glissant ,
V⃗ = ⃗i −2 ⃗j+2 ⃗k d’axe passant par A, définissant un glisseur G.
a) Déterminer les éléments de réduction au point O un glisseur G .
b) Trouver le réel k tel que le torseur T défini par :
⃗ ⃗
( k+ 2) ⃗i + (k-1) j – 2 k k
⃗ ⃗
( k – 4) j + (k – 4) k soit égal au glisseur G.
c) Montrer qu’il existe une autre valeur de k pour laquelle T est également un
glisseur. Déterminer le support du glisseur.
d) Effectuer la décomposition (réduction) du torseur dans le cas où k = 1.
8°) Soit un cube indéformable , de a mètres de cotés , auquel sont appliquées des
⃗F , F⃗ , ⃗F
vecteurs ( forces ) 1 2 3 indiqués sur la figure et où I est le centre du cube :
on a :
|F⃗ | |F⃗ | |F⃗ |
1 = 600 N , 2 =250 N , 3 = 150 N. Calculer
a) les composantes du torseur des vecteurs forces au point A
b) les composantes en un point M de l’axe central.
c) l’équation vectorielle de l’axe central
⃗F , F⃗ ⃗ ⃗ ⃗
d) Trouver le système de vecteurs ( 4 5 ) équilibrant le système ( F 1 , F 2 , F3 )
⃗ ⃗
F
telle que le support de F 4 passant par A et parallèle à l’axe Ax et celui de 5 de
composantes ( λ , μ , υ) passant par un point P de coordonnées ( x , y , a ) à
déterminer.
Page 58 sur 64
T.D. N°2 de MECANIQUE DU SOLIDE
1°) Soit [ O ; i , j , k ] un repère orthonormé direct. Montrer que la transformation définie par
⃗ ⃗ ⃗
[ x ' ¿ ][ y ' ¿ ] ¿ ¿ ¿
¿ est une rotation. Déterminer l’axe et l’angle de rotation.
2°) a) Démontrer que, si à tout instant, les vitesses par rapport à un repère fixe de deux points
A et B d’un système de points matériels sont égales, le système est un solide et celui-ci est
animé d’un mouvement de translation uniforme par rapport au repère fixe.
b) Démontrer que si, à tout instant, les accélérations par rapport à un repère fixe de deux
points A et B d’un solide sont égales, le solide est animé d’un mouvement de translation
rectiligne uniforme par rapport à ce repère.
3°) Une plaque rectangulaire A,B,C,D se meut par rapport à un espace euclidien ε rapporté à
un repère orthonormé direct [ O ; i , j , k ] de façon que A reste en O et que le côté AB reste dans
⃗ ⃗ ⃗
le plan [ O ; i , j ] Quel est son vecteur rotation?
⃗ ⃗
4°) Soit R0 =(O;⃗x 0 , ⃗y 0 ,⃗z 0 ) un repère orthonormé direct, dont le plan (O ;⃗x 0 , ⃗y 0 ) est supposé
matérialisé et noté P. Une sphère S de rayon a, de centre C, est mobile sur le plan P; soit
R=(C ;⃗x ,⃗y ,⃗z ) un repère orthonormé lié à S. La position dans R0 est repérée par les
coordonnées cartésiennes (x, y, a) de C et les angles d’Euler habituels (ψ, θ, φ) de(⃗x ,⃗y ,⃗z )
relativement par rapport à (⃗x 0 , ⃗y 0 , ⃗z 0 ) . Soit I le point de contact de S avec P.
1) Calculer V⃗ ( I /S ) et V⃗ ( I / P) , vitesses du point géométrique
2) Calculer la vitesse de glissement g
V⃗ ( S /P ) en I du solide S par rapport au plan P.
5°) Une plaque plane S ayant la forme d’un carré ABCD de coté a , se déplace dans un repère d’espace,
O ;⃗x 0 , ⃗y 0 , ⃗z 0 orthonormé direct de façon que le côté AB reste dans le plan O ;⃗x 0 , ⃗y 0
rapporté au trièdre R0 =
On rapporte la plaque au trièdre A ;⃗x ,⃗y ,⃗z orthonormé direct défini par ⃗x =⃗
AB/a,⃗z =⃗
AD/a et
⃗y =⃗z ∧⃗x . On pose ψ=(⃗x 0 , ⃗x ) mesuré autour de ⃗z 0 θ=(⃗z 0 , z ) mesuré autour de⃗x ; ⃗v =⃗z 0 ∧⃗x .
⃗
1) Montrer que OA est orthogonal à AB . Il en résulte que l’on a ⃗
⃗ OA=ρ ⃗v , où ρ est un scalaire que l’on
déterminera en fonction de θ.
Page 59 sur 64
Calculer explicitement OD en fonction de θ. Il en résulte de ces calculs que les paramètres ψ et θ
déterminent totalement la position de la plaque.
2) Calculer successivement, en fonction des paramètres ψ et θ, de leurs dérivées et des différents vecteurs
unités introduits :
- la vitesse par rapport à R0 du point D;
- le vecteur rotation de S par rapport à R0;
- la vitesse par rapport à R0 des points A, B, C de S ;
- la vitesse de S par rapport à R0 en O ;
3) On suppose, dans cette question, que le côté AB est en outre astreint à rencontrer l’axe
O ⃗y 0 au point I
⃗ b ⃗y
défini par O I = 0 où b est une constante.
Quelle est la trajectoire de A ? Montrer que le mouvement est parfaitement déterminé par la donnée de ψ en
fonction du temps et exprimer θ en fonction de ψ.
4) On abandonne l’hypothèse de la question 3°. Montrer qu’au lieu de ψ et θ, on peut utiliser, pour repérer la
position de S, les paramètres constitués par les coordonnées polaires ρ et α de A dans le plan
O ;⃗x 0 , ⃗y O
Calculer la vitesse par rapport à R0 des points A, B et D, ainsi que le vecteur rotation de S par rapport à R0, en
fonction de ces nouveaux paramètres (On suppose 0< θ < π/2).
6°) On considère le roulement plan sur plan d’un disque de centre C et de rayon a sur axe
O ;⃗x 0 . Le repère
( R D=C ;⃗x , ⃗y ,⃗z ) est lié au disque Déterminer
a) la vitesse du point du disque en contact avec le sol
b) l’accélération du point du disque en contact avec le sol
c) la vitesse de glissement. Du disque par rapport au sol
a) Trouver le nombre de degrés de liberté d’un solide tournant autour d’un axe fixe.
b) Un cylindre de rayon R roulant sans glisser et sans pivoter sur un plan incliné.
c) Trouver le nombre de degrés de liberté d’une sphère roulant sans glisser sur un plan horizontal fixe.
Quel est le nombre de degrés de liaison dans ce cas?
d) Trouver le nombre de degrés de liberté d’une paire de ciseaux pouvant se déplacer dans le plan.
e) Quel est le nombre de degrés de liberté d’un pendule sphérique? Quel est votre choix de coordonnées ?
Page 60 sur 64
T.D. N°3 DE MECANIQUE DE SOLIDE: CENTRE ET MATRICE D’INERTIE .
1°) Démontrer les théorèmes de Guldin :
a) L’aire de la zone engendrée par une courbe plane homogène C en tournant autour
d’une droite située dans son plan et ne la traversant pas, est égale au produit de la longueur de cette courbe par
celle du cercle engendré par son centre d’inertie.
b) Le volume engendré par une plaque plane homogène tournant autour d’une droite
située dans son plan et ne la traversant pas est égal au produit de l’aire de cette plaque par la longueur du cercle
engendré par son centre d’inertie.
c) Applications :
- centre d’inertie d’une demi circonférence, d’un demi disque.
- centre d’inertie d’un quart de cercle et un quart de disque,
- centre d’inertie d’un demi disque privé d’une partie circulaire de diamètre R.
2°) Déterminer le centre d’inertie et la matrice d’inertie des solides homogènes suivants :
2 2
a) d’un quart d’une plaque elliptique d’équation ( x /a ) + ( y /b ) =1 ,( x≥0 , y≥0 ).
b) d’un demi disque et d’un disque de rayon R.
c) d’un quart de cercle matériel de rayon R
d) d’un secteur circulaire de rayon R et d’angle au sommet 2α.
e) d’une demi boule de rayon R et d’une demi sphère.
f) d’un cône plein de rayon de base R et de hauteur h, d’une surface conique
g) d’un morceau d’hélice inhomogène de masse spécifique (calcul du C.I. uniquement).
(2a z )c, a, c R d’équations x=R cosθ , y=R sin θ , z=aθ ;θ ∈ [ 0 ,3 π /2 ] .
3°) Déterminer les moments principaux d’inertie pour des molécules considérées comme de systèmes de
particules situées à des distances réciproques invariables dans les cas suivants :
a) Molécule dont les atomes sont répartis sur une droite.
b) Molécule triatomique ayant la forme d’un triangle isocèle.
c) Molécule tétra atomique dont les atomes sont situés aux sommets d’une pyramide dont la base est un
triangle équilatéral (NH3)
4°) Une pyramide dont le triangle de base AOB est un triangle rectangle isocèle de côté OA=OB=a et
dont la hauteur OC =3 a/2 .
a) Déterminer la position du centre d’inertie
b) Déterminer cette matrice d’inertie de cette pyramide en son centre d’inertie
c) Déterminer les moments principaux et les axes principaux d’inertie associés à cette matrice d’inertie
5°) Une plaque rigide S, homogène, de masse spécifique σ, a la forme d’un triangle OAB, rectangle en O, on lie
Page 61 sur 64
T.D. N°4 DE MECANIQUE DU SOLIDE : CINETIQUE –DYNAMIQUE
1°) Un cône (S) de rayon R et de hauteur h roule sans glisser sur un plan de sorte que son sommet O reste fixe.
2°) Un système est constitué de deux masses M et M’ reliées entre elles par une corde inextensible et une poulie
de masse m et de rayon R. La masse M’ est suspendue dans le vide et la masse M peut glisser sans frottement
sur un plan incliné. Nous ferons l’hypothèse que la corde ne peut pas glisser sur la poulie. Déterminer
l’accélération γ des masses M et M’.
3°) On considère le roulement plan sur plan d’un disque de centre C et de rayon a sur un axe
(O ,⃗x O ) . Le
( R =C ;⃗x , ⃗y ,⃗z ) est lié au disque.
repère D
1) Calculer la vitesse du point I appartenant au disque en contact avec le sol.
2) Calculer l’accélération du point du disque en contact avec le sol.
3) Calculer la vitesse de glissement en I. du disque sur le sol.
4) Déterminer les torseurs cinétique et dynamique de ce disque en C.
4°) Le système étudié est composé d’un disque (D) plein et homogène de rayon R et de masse M et d’une tige
homogène (T) de longueur 2L et de masse m.
La liaison entre le disque et la tige en A est une liaison pivot parfaite sans frottement.
Le repère
R0 =(O;⃗x 0 , ⃗y 0 ,⃗z 0 ) est le repère fixe lié à l’observateur et considéré comme étant galiléen. Le
pesanteur
⃗g=−g ⃗y 0 Le repère
R D=( A ;⃗x , ⃗y ,⃗z 0 ) est lié au disque. Le repère
RT =(G ;⃗u , ⃗v ,⃗z 0 ) est lié
au lié à la tige.
z et I z les moments d’inertie du disque et de la tige par rapport aux axes ( A , ⃗
ID z 0 ) et
T
On appellera
(G ,⃗z 0 )respectivement. Ces moments d’inertie peuvent être déduits des calculs effectués des T.D précédents.
1) Déterminer le torseur cinématique du disque au point A et celui de la tige au point G centre d’inertie de
celle-ci.
2) Déterminer les torseurs cinétiques du disque en A et de la tige en G
3) Déterminer les torseurs dynamiques du disque en A et de la tige en G.
4) Appliquer le principe fondamental de la dynamique au disque et à la tige.
5°) Un pendule pesant est un solide quelconque pouvant se mouvoir uniquement dans le plan 0 0 (O ;⃗x , ⃗y )
qui est un plan de symétrie matérielle pour le solide. Ce pendule est fixé en O par une liaison pivot parfaite.
Trouver l’équation du mouvement du pendule pesant par deux méthodes :
- en utilisant le principe fondamental de la dynamique,
Page 62 sur 64
- en utilisant le théorème de l’énergie cinétique.
6°) Un demi disque de rayon R, de masse m et de centre d’inertie G peut osciller sans glissement sur un plan
fixe
(O ;⃗x 0 , ⃗y 0 ) . Le point de contact est appelé I. Le mouvement se fait dans le plan
(O ;⃗x 0 , ⃗y 0 ) . Le repère
R D=(C ;⃗u ,⃗v , ⃗z 0 ) est lié au solide et est tel que
⃗
CG=λ ⃗u . Déterminer l’équation du demi disque.
horizontal
(O ;⃗x , ⃗y )
0 0 du repère orthonormé direct R=(O ;⃗x 0 , ⃗y 0, ⃗z O ) supposé galiléen. Déterminer la
pulsation des petites oscillations.
8°) Une sphère homogène de masse m, de rayon a roule sans glisser sur un plan incliné d’un angle α sur
l’horizontal. Déterminer le mouvement de son centre d’inertie.
Page 63 sur 64
i