MIMTH-FO-1401 Théorie Élèves

CENTRE DE FORMATION PROFESSIONNELLE
BERNE FRANCOPHONE
MIMTH-FO-1401
COURS DE MATHS POUR LA MPT - ALGÈBRE | CP-MME
TABLE DES MATIÈRES

1. ALGÈBRE DE BASE 3
1.1. NOMBRES, TERMES, RELATIONS D’ORDRE 3
1.1.1. LES ENSEMBLES DE NOMBRES 3
1.1.2. VALEUR ABSOLUE D’UN NOMBRE 10
1.1.3. EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES 12
1.1.4. POLYNÔMES 13
1.1.5. RELATIONS D’ORDRE 14
1.2. ADDITION, SOUSTRACTION 15
1.3. MULTIPLICATION 16
1.3.1. RÈGLES DE DISTRIBUTIVITÉ ET IDENTITÉS REMARQUABLES 16
1.3.2. LE TRIANGLE DE PASCAL 19
1.3.3. FACTORISATION 20
1.4. FRACTIONS 26
1.4.1. SIMPLIFICATION D’UNE FRACTION RATIONNELLE 27
1.4.2. ADDITION ET SOUSTRACTION 28
1.4.3. MULTIPLICATION 31
1.4.4. DIVISION 32
1.5. PUISSANCES 34
MIMTH-FO-1401 Théorie élèves 3p.docx 1/58
1.5.1. DÉFINITION DE an (n ) 34
1.5.2. ADDITION ET SOUSTRACTION DE PUISSANCES 35

1.5.3. PROPRIÉTÉS DES PUISSANCES : 35
1.5.4. PUISSANCE DE 10 37
1.6. RACINES 41
1.6.1. LA RACINE CARRÉE 41
2. EQUATIONS ET INÉQUATIONS 43
2.1. PROPOSITIONS ET ÉQUATIONS 43
2.1.1. PROPOSITIONS 43
2.1.2. RELATIONS ENTRE DES PROPOSITIONS 43
2.1.3. FORMULE 44
2.1.4. FORMULES ÉQUIVALENTES 45
2.1.5. EQUATIONS GÉNÉRALITÉS 45
2.1.6. EQUIVALENCE / TRANSFORMATIONS ÉQUIVALENTES 46
2.2. EQUATION LINÉAIRE 47
2.2.1. EQUATIONS SANS PARAMÈTRE 47
2.2.2. EQUATIONS AVEC PARAMÈTRES 54
2.2.3. INÉQUATION LINÉAIRE 55
2/58
1. ALGÈBRE DE BASE
1.1. NOMBRES, TERMES, RELATIONS D’ORDRE
1.1.1. Les ensembles de nombres

Voyons les différents ensembles numériques que l’on peut rencontrer
1.1.1.1. Ensemble des nombres naturel :

= 0;1;2;3;...;1031;1032;...
*= \ 0 = 1;2;3;...;1031;1032;...
Notations : 4 
élément appartient ensemble
1.1.1.2. Ensemble des nombres entiers relatifs :

" + entiers négatifs"
= ...; − 1013; − 1012;... − 2; − 1;0;1;2;3;...;413;414;...
*= \ 0 = ...; − 1013; − 1012;... − 2; − 1;1;2;3;...;413;414;...
Remarques : 1. 
ensemble inclus ensemble
2. 
Propriétés et définitions :
(1) 24 = 1 24 = ( −1)( −24 ) Les parenthèses sont indispensables : −1 − 24  ( −1)( −24 )
= 2  12 = ( −2 )( −12 )
= 3  8 = ( −3 )( −8 )
= 4  6 = ( −4 )( −6 )
Les nombres 1 ; -1 ; 2 ; -2 ; 3 ; -3 ; 4 ; -4 ; 6 ; -6 ; 8 ; -8 ; 12 ; -12 ; 24 ; -24 sont appelés les

diviseurs de 24. En général, on ne tient compte que des diviseurs positifs !
(2) On appelle nombre premier, un nombre dont ses seuls diviseurs positifs sont 1 et
lui-même.
Remarque : Le nombre 1 n’est pas considéré comme un nombre premier ! Le plus petit
nombre premier est donc 2. C’est aussi le seul nombre premier pair.
Exemples de nombres premiers : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 …
3/58
(3) Théorème fondamental de l’arithmétique :
Tout nombre entier positif différent de 1 s’exprime de façon unique comme produit de
nombres premiers.
Exemples :
(a) 24 = 2  2  2  3 = 23  3
Technique : 24 2
12 2
6 2
3 3
1
Exercices Ecrire les nombres suivants comme produit de nombres premiers
(a) 36 = 22  32
(b) 35 = 5  7
(c) 364 = 22  7 13
4/58
1.1.1.3. Ensemble des nombres rationnels :
= "Ensemble des fractions"
a
q  q = avec a et b  *
b
Tout nombre rationnel peut s’écrire de deux manières :
3 1 18
(1) A l’aide d’une fraction, par exemples − , ,
4 3 6
En général, on donne une fraction sous sa dorme irréductible.
Forme irréductible d’un quotient :

La forme irréductible d’un quotient est obtenue lorsque le numérateur et le dénominateur de la
fraction n’ont plus de diviseur commun.
48 24 8
Exemple : = =
18 9 3
Remarque : On peut également d’abord chercher le plus grand diviseur commun (PGDC) et
simplifier ensuite.
90
:
126
90 = 2  3  3  5 = 2  32  5 ; 126 = 2  3  3  7 = 2  32  7
90 5
Le PGDC est donc 2  32 = 18 et ainsi =
126 7
Exercices : Calculer les PGDC des fractions et en déduire la forme irréductible.
(a)
969
= 3 17 19 = 17 = 17
513 3 19
3
32 9
= 2  32 11 = 3 11 = 33
3
594
(b)
846 2  3  47 47 47
5/58
(2) A l’aide d’un nombre décimal dont la partie décimale est finie (par exemple −0.75 , 3.0 )
ou illimitée périodique (par exemple 0.3 ).
Autrement dit, tous nombre décimal ayant une partie décimale finie ou illimitée périodique peut
s’écrire à l’aide d’une fraction.
Technique pour transformer des codes à virgule en code fractionnaire :

Il faut prendre le dernier chiffre significatif du nombre à virgule et regarder à quelle ordre de
grandeur il correspond.
O.ABCDEF A : le dixième (10)
B : le centième (100)
C : le millième (1'000)
D : le dix millième (10'000)
E : le cent millième (100'000)
F : le millionième (1'000'000)
Ensuite, il faut créer la fraction en mettant au numérateur le code à virgule mais sans
virgule (uniquement les chiffres significatifs), en bas il faut mettre l'ordre de grandeur
correspondante (10 ou 100 ou 1000, etc.)
Exemple :
3.51 donne pour le numérateur 351, l'ordre de grandeur du dernier chiffre significatif est le
centième, il faut donc prendre 100 pour le bas de la fraction.
351
Finalement la fraction donne :
100
Il faut, ensuite, essayer de simplifier la fraction. C'est à dire essayer de diviser le haut et le
bas par le même diviseur afin d'obtenir des nombres plus petits. Ceci n'est parfois pas
possible. La simplification se termine si un des deux nombres de la fraction est un
nombre premier ou si le plus grand diviseur commun entre les deux nombres de la fraction est 1.
351 13  3  3  3
Pour en décomposant les deux nombres :
100 2255
Aucun diviseur n'est commun (seulement 1) entre 351 et 100, la fraction ne se simplifie pas.
1,52 =
152 = 38
Exemples : (a)
100 25
0,038 =
38 = 19
(b)
1000 500
6/58
Technique pour transformer des codes à virgule périodique en code fractionnaire
La meilleure façon d'expliquer cette transformation est de prendre un exemple.
Il faut transformer 1,63 en code fractionnaire. Comme les nombres périodiques ne se
terminent pas, il n'est pas possible de prendre la même méthode que pour les nombres à
virgule standard.
En premier il faut faire disparaître la partie périodique du nombre. Cette opération s'effectue à
l'aide d'une soustraction.
Par exemple, pour éliminer la période de 1,63 , il faudrait soustraire 0,03 au nombre de
départ. Mais dans notre cas, il faut procéder en manipulant le nombre différemment. Il faut
éliminer la période en soustrayant le nombre de base à un de ces multiples (10 fois si
un seul chiffre est périodique, 100 fois si on a deux chiffres périodiques, 1000 fois si on a 3
chiffres périodiques…). Si l’on reprend notre exemple :
On pose x = 1,63 (ce qui signifie x = 1,633333333... )
Comme la période est sur un seul chiffre, on fait fois 10 :
10  x = 16,3 (ce qui signifie 10  x = 16,33333333... )
Si on soustrait 10x − x , il ne reste que 9x et la soustraction donne :

16,333...
− 1,633...
14,7
On a alors : 9x = 14,7
14,7
Ce qui donne : x=
9
Le nombre est une fraction, mais le numérateur est en code à virgule, il faut l'éliminer et ensuite
essayer de simplifier la fraction :
14,7 147 49
= =
9 90 30
49
On peut alors finalement écrire : 1,63 =
30
Exercices : Dans le livre Algèbre et analyse de donnée, faire :
• Exercice 1 : a), c), e) et g)
• Exercice 2 : a) et c)
7/58
Remarques :
a
(1) Tout nombre a est rationnel car il peut s’écrire à l’aide d’une fraction : a =
1
On a donc :  (mais  ) et avec ce qui a été vu au paragraphe
précédent, on a :   .
1
(2) On rencontre parfois la notation 3 41 , cela signifie 3 + et on a donc
4
1 12 + 1 13
3 41 = 3 + = =
4 4 4
1.1.1.4. Ensemble des nombres réels :

= "Ensemble de tous les nombres"
contient toutes les fractions et également tous les nombres dont la partie décimale est
illimitée et non périodique.
Exemples : 1.4812162342156789123641… ;  = 3.14159... ; 2 = 1.414...
Remarque :  (mais  )
Et avec ce qui précède :   
On peut représenter cette suite d’inclusion à l’aide d’un diagramme de Venn :
On représente également l’ensemble par une droite (axe) orientée : la droite réelle.
8/58
Remarque : La racine carrée d’un nombre réel n’est pas toujours un nombre réel !
−16 
C’est pourquoi il existe encore un autre ensemble : , l’ensemble des nombres complexes.
• Exercice 4 : Tous
1.1.1.5. Comment arrondir un nombre

La manière standard d’arrondir des nombres est celle utilisée par les machines à calculer. Le
principe est très simple :
Lorsque le dernier chiffre est soit : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ou 4, l’arrondi se fait sans forcer le chiffre
précédent.
Exemples :
1,892 donne
10,1 donne
10,0044 donne
Lorsque le dernier chiffre est soit : 5 ; 6 ; 7 ; 8 ou 9, l’arrondi se fait en augmentant le chiffre

précédent d’une unité. Il est important de conserver l’ordre de grandeur dans certain cas.
Exemples :
1,895 donne
10,7 donne
10,0049 donne
12999 donne
1.1.1.6. Chiffres significatifs

Avant d’arrondir un nombre, il faut savoir avec combien de chiffres significatifs il faut l’écrire. Il
est inutile de noter tous les chiffres qui apparaissent sur l’écran d’une machine à calculer. En
général, 4 à 5 chiffres significatifs sont largement suffisants. Mais qu’est-ce que les chiffres
significatifs ?
Le premier chiffre significatif d’un nombre est celui, qui à gauche, est différent de 0.
Exemples : Pour 5641 , il s’agit du 5
Pour 0,007485 , il s’agit du 7
Tous les chiffres, à partir du premier significatif, sont considérés comme significatifs.
Exemples : Pour 5641 , il y a 4 chiffres significatifs
Pour 0,007485 , il y a 4 chiffres significatifs
Pour 10056 , il y a 5 chiffres significatifs
Pour 0,010509 , il y 5 chiffres significatifs
9/58
1.1.1.7. Comment arrondir à un certain nombre de chiffres significatifs
Cette opération consiste à ne conserver que les n chiffres significatifs d’un nombre en
effectuant un arrondi selon la règle sur le nème chiffre significatif. Il est important de conserver
l’ordre de grandeur du nombre.
Exercices : Arrondir les nombres suivants au 3ème, 4ème, 5ème et 6ème chiffre significatif.
• 1246,04924671
Au 3ème chiffre significatif :
• 0,00001995386235
1.1.2. Valeur absolue d’un nombre

La valeur absolue d’un nombre réel a , notée a représente la distance sur la droite réelle
entre l’origine O et le point a .
O a
Exemples :
−4 = 4 4 =4
2.5 = 2.5
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6
10/58
Autre définition de la valeur absolue :
a si a  0
La valeur absolue d’un nombre réel a , notée a est : a = .
−a si a  0
Remarque : a  0 ,a 
Exemples :
• 3 =3 car 3  0
• 0 =0 car 0  0
• −3 = − ( −3 ) = 3 car −3  0
• 2− 2 =2− 2 car 2 − 2  0
• 2 −2 =− ( )
2 −2 =2− 2 car 2 −20
On en déduit : a = −a , a 
a − b si a  b
a−b = b−a = 
b − a si a  b
On utilise également la valeur absolue pour définir la distance entre deux points sur la droite
réelle. Si on note A le point de coordonnées (a ; 0) et B celui de coordonnées (b ; 0), on définit
la distance entre A et B ainsi :
d ( A ; B ) = b − a = " longueur du segment  AB  "
d ( A ; B) = b − a
O a b
Remarques : (1) Comme b − a = a − b , on a d ( A; B ) = d (B; A )

(2) La distance entre A et l’origine O(0 ; 0) est alors d ( O; a ) = a − 0 = a
(comme vu précédemment).
• Exercice 6
11/58
1.1.3. Expressions algébriques
Définitions et notations
(1) Une expression algébrique est le résultat obtenu en additionnant, en soustrayant, en
multipliant, en divisant, en élevant à des puissances, en extrayant des racines de variables
et de nombres réels.
3
n ( n + 1) 2xy +
6 x2
Exemples : ; x − 5x +
3
;
2 x 3 y −1
(2) La valeur numérique de l’expression est obtenue lorsque l’on remplace les variables par
des nombres.
n ( n + 1) 5 ( 5 + 1)
Exemples : Avec , pour n = 5 on a = 15
2 2
21( 21 + 1)
pour n = 21 on a = 231
2
6 6
Avec x 3 − 5x + , pour x = 4 on a 43 − 5  4 + = 64 − 20 + 3 = 47
x 4
3 3
2xy + 2  1 9 +
Avec x 2 , pour x = 1 et y = 9 on a : 12 = 21
3 y −1 3
9 −1 2
(3) L’ensemble de définition d’une expression algébrique est l’ensemble des valeurs réelles
que peuvent prendre les variables tout en donnant un sens à l’expression algébrique. Cet
ensemble de définition ne contient pas, par exemple, des valeurs qui annuleraient les
dénominateurs ou qui feraient que les racines n’existent pas.
Exemples :
6
Avec x 3 − 5x + :
x
Il y a un risque de division par zéro
Il y a un risque avec la racine carrée
Les 2 conditions réunies nous donne :
• Exercice 8 : a), c), d) et e)
12/58
1.1.4. Polynômes
Définitions :
(1) Un monôme en x est une expression de la forme a  xn où a et n .
Exemples : 3x 2 est un monôme
3x 2 + x 3 n’est pas un monôme
2x −5 n’est pas un monôme
2
− x est un monôme
2
(2) Un binôme en x est la somme de deux monômes et un trinôme est la somme de trois
monômes.
Exemples : 3x 2 − 15x est un binôme
3x 2 − 15x + 1 n’est pas un binôme
3x 2 − 15x + 1 est pas un trinôme
x 4 − 12x3 + x2 − 12x n’est pas un trinôme
(3) Un polynôme en x est une somme finie de monôme, donc une expression de la forme :
an xn + an−1xn−1 + an−2 xn−2 + + a2 x2 + a1x + a0 , où ak  et n
Si an  0 , alors on dit que le polynôme est de degré n.
Exemples : 2x5 + 3x4 − 7x2 + x − 10 est un polynôme de degré 5 en x.

3x4 − x n’est pas un polynôme.
(4) On appelle coefficient dominant le coefficient de la plus grande puissance de x.

Exemples : 2x5 + 3x4 − 7x2 + x − 10 a pour coefficient dominant
x 2 − x − 3x 3 + 10 a pour coefficient dominant
Remarques :
(1) Nous pouvons considérer des polynômes en d’autres variables que x.
2 1
Exemple : − z3 + z7 − 3 + z 2 est un polynôme de degré 7 en z.
5 2
(3) De manière générale, un polynôme en x est une expression algébrique ne contenant

uniquement un nombre fini d’additions, de soustractions et de multiplications faisant
intervenir x. Un polynôme ne contient aucune division (ou puissance négative), ni aucune
racine (ou puissance rationnelle) faisant intervenir x.
1
Exemples : x − 2x 2 + est un polynôme de degré 2 en x.
3
1
+ 3x n’est pas un polynôme.
x
x−5
n’est pas un polynôme.
x2 + 2
13/58
(3x 3
)(
− 5x + 1  x + x2 ) est un polynôme de degré 5 en x.
3x2 + x − 2 n’est pas un polynôme.
1.1.5. Relations d’ordre

Soient a et b deux nombres réels, on écrit et on dit :
• ab « a est strictement plus grand que b »  a − b est positif ( a − b  0 ).
• ab « a est strictement plus petit que b »  a − b est négatif ( a − b  0 ).
Sur l’axe réel, a  b signifie que a est à droite de b et a  b signifie que a est gauche de b.
soit a  b
• ab « a est plus grand ou égal à b »  
soit a = b
Remarque : Il est impossible d’avoir les deux conditions simultanément !
soit ab
• ab « a est plus petit ou égal à b »  
soit a=b
a  b

• a  b  c (ou c  b  a ) signifie  et . On dit que b est strictement compris entre a et c.

b  c
 x  −a

• x  a avec a  0 signifie  et donc −a  x  a

 xa
 x  −a

• x  a avec a  0 signifie  ou

 xa

• Exercice 12 à 17 : Tous
14/58
1.2. ADDITION, SOUSTRACTION
Propriétés pour l’addition des nombres réels :
• L’addition est commutative : a+b =b+a a,b 
Exemple : 2 et 4  , alors
2+4= 4+2
6 6
Commentaires : Dans l’addition de deux nombres ou plus, l’ordre de ces derniers est
sans importance
• L’addition est associative : a + (b + c ) = ( a + b ) + c a,b,c 
Exemple : 2 ; − 1 et 5 , alors
2 + ( −1 + 5 ) = 2 + 4 = 6
( 2 + ( −1)) + 5 = 1 + 5 = 6
Commentaire : Dans l’addition de trois nombres ou plus, le regroupement est sans
importance
• L’addition possède un élément neutre : 0

a + 0 = a a 
• Tout nombre a possède un élément opposé : −a

a + ( −a ) = 0 a 
Propriétés pour la soustraction des nombres réels :

Soustraire un nombre revient à additionner l’opposé de ce nombre : a − b = a + ( −b )
Donc les propriétés relatives à la soustraction découlent de celles de l’addition.

Remarque : a − b  b − a , mais a − b = −b + a
Additions de polynômes :
Exemple Simplifier
(a) ( ) (
x2 + 3x − 2x − x 2 + 3x3 + 2x − x + 2x 3 = )
(b) ( ) ( ) ( )
− 2a − a2 + 3ab + a − b − b2 + b − ab + b2  +  3a2 − b2 − ( 2ab + b − 3a ) =
Solution
Il est primordial de procéder par étapes !
(a) ( ) (
x 2 + 3x − 2x − x 2 + 3x 3 + 2x − x + 2x 3 = x2 ) + 3x − 2x + x2 − 3x3 + 2x − x + 2x3 =
15/58
(b) ( ) ( ) ( )
− 2a − a2 + 3ab + a − b − b2 + b − ab + b2  +  3a2 − b2 − ( 2ab + b − 3a ) =
= − 2a − a2 − 3ab − a + b + b2 + b − ab − b2  + 3a2 − b2 − 2ab − b + 3a  =

   
= − 2 − a2 − 4ab + 2b + 3a2 − b2 − 2ab − b + 3a =
   
= −2 + a2 + 4ab − 2b + 3a2 − b2 − 2ab − b + 3a =
= 4a2 + 3a + 2ab − b2 − 3b − 2
• Exercice 19 : a), c) et f)
• Exercice 20 : b), d) et f)
1.3. MULTIPLICATION
1.3.1. Règles de distributivité et identités remarquables
• La multiplication est commutative : a  b = b  a a,b 
• La multiplication est associative : a  (b  c ) = ( a  b )  c a,b,c 
• La multiplication possède un élément neutre : 1

a 1= a a 
1
• Tout nombre non nul a possède élément inverse :
a
1
a = 1 a  *
Propriétés pour la division des nombres réels :

a 1
Diviser par un nombre revient à multiplier par l’inverse de ce nombre : = a
b b
Donc les propriétés relatives à la division découlent de celles de la multiplication, il faut juste
1
retenir que n’est pas un nombre réel !
0
Propriété liant à la fois l’addition et la multiplication :

• La multiplication est distributive par rapport à l’addition :
a  (b + c ) = ( a  b ) + ( a  c ) a,b,c 
( a + b )  c = ( a  c ) + (b  c ) a,b,c 
16/58
Multiplication de binômes
Exemple Soient P1 = 4x + 5 et P2 = 3x − 2 , deux polynômes. Calculer P1  P2 .
Solution
P1  P2 = ( 4x + 5)  (3x − 2) =
On distribue la 1ère parenthèse.
= 4x  (3x − 2) + 5  (3x − 2) =
On distribue les 2 parenthèses.
= 4x  3x + 4x  ( −2) + 5  3x + 5  ( −2) =
On calcul.
= 12x2 − 8x + 15x − 10 =
On réduit les termes semblables et on ordonne.
= 12x2 + 7x − 10
Remarque : Avec l’expérience, on passe facilement de la 1ère à la 4ème ligne !
Multiplication de polynômes
Exemple Effectuer le produit (x 2
)( )
+ 5x − 4 2x3 + 3x − 1
Solution
On distribue la 1ère parenthèse.
(x 2
)( )
+ 5x − 4 2x3 + 3x − 1 = x2 (2x 3
) ( ) (
+ 3x − 1 + 5x 2x3 + 3x − 1 − 4 2x3 + 3x − 1 = )
On distribue les 3 parenthèses.
= 2x5 + 3x3 − x2 + 10x4 + 15x2 − 5x − 8x3 − 12x + 4 =

On réduit et ordonne.
= 2x5 + 10x4 − 5x3 + 14x2 − 17x + 4
Remarque : Avec l’expérience, on passe facilement de la 1ère à la 3ème ligne !
17/58
Exemple Effectuer le produit (x 2
) (
− 2x − 3 ( 3x + 1) x 2 + x + 5 )
Solution
Il ne faut pas essayer de tous faire en un seul coup ! Il faut choisir 2 polynômes, effectuer le
produit, puis faire le produit avec le 3ème polynôme.
(x 2
) (
− 2x − 3 ( 3x + 1) x 2 + x + 5 = )
(
= x2 (3x + 1) − 2x (3x + 1) − 3 (3x + 1) x 2 + x + 5 = )( )
( )( ) (
= 3x3 + x2 − 6x2 − 2x − 9x − 3 x 2 + x + 5 = 3x3 − 5x 2 − 11x − 3 x 2 + x + 5 = )( )
(
= 3x3 x2 + x + 5 − 5x 2 ) ( x + x + 5) − 11x ( x + x + 5) − 3 ( x + x + 5 ) =
2 2 2
= 3x5 + 3x 4 + 15x3 − 5x 4 − 5x3 − 25x 2 − 11x3 − 11x 2 − 55x − 3x 2 − 3x − 15 =

= 3x5 − 2x 4 − x3 − 39x 2 − 58x − 15
Remarque : Dans les exercices nous verront des produits de polynômes de plusieurs
variables !

Identités remarquables
Les identités remarquables sont des formules qui permettent d’effectuer rapidement un produit
de polynômes (partie facile) ou encore de factoriser un polynôme (partie difficile).
Bien que ces formules se trouvent dans le formulaire, il est plus que conseillé de les savoir
par cœur !
Voici les quelques formules que nous pourrons être amené à utiliser pour effectuer un produit
de polynômes:
(1) ( a + b )(a − b ) = a2 − b2
(a + b) (a − b)
2 2
(2) = a2 + 2ab + b2 (3) = a2 − 2ab + b2
(a + b) (a − b)
3 3
(4) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (5) = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Exemple Effectuer :
(a) (15x − 2)
2
(b) ( 2a + 3b )
3
(c) (2r 2
)(
− s 2r 2 + s )
Solution
(a) On utilise la formule (3) avec a = 15x et b = 2 :
(15x ) − 2  (15x )  ( 2) + ( 2) = 225x2 − 60x + 4

2 2
(15x − 2)
2
=
18/58
(b) On utilise la formule (4) avec a = 2a et b = 3b :
(2a) + 3  ( 2a )  (3b ) + 3  ( 2a )  (3b ) + (3b ) =

3 2 2 3
( 2a + 3b )
3
=
= 8a3 + 36a2b + 54ab2 + 27b3

(c) On utilise la formule (1) avec a = 2r 2 et b = s :
( 2r )( ) (2r )( ) ( ) ( )
2 2
2
− s 2r 2 + s = 2
+ s 2r 2 − s = 2r 2 − s = 4r 4 − s

1.3.2. Le triangle de Pascal

On peut déterminer les coefficients des polynômes ( a  b ) à l’aide du triangle de Pascal
n
(a  b)
0
: 1
(a  b)
1
: 1 1
(a  b)
2
: 1 2 1
(a  b)
3
: 1 3 3 1
(a  b)
4
: 1 4 6 4 1
(a  b)
5
: 1 5 10 10 5 1
(a  b) = 1
0
Ce qui signifie :
(a  b) = 1 a  1 b
1
(a  b) = 1 a2  2  a  b + 1 b2
2
(a  b) = 1 a3  3  a2  b + 3  a  b2  1 b3
3
(a  b) = 1 a4  4  a3  b + 6  a2  b2  4  a  b3 + 1 b4
4
(a  b) = 1 a5  5  a4  b + 10  a3  b2  10  a2  b3 + 5  a  b4  1 b5
5

• Exercice 26 : a), c) et f)
19/58
1.3.3. Factorisation
La factorisation d’un polynôme est « le processus inverse du développement ». Factoriser un
polynôme revient à écrire celui-ci comme produit de polynômes irréductibles.
Il existe plusieurs techniques permettant d’effectuer cette tâche.
1.3.3.1. La mise en évidence

Si il y a des diviseurs communs dans chaque termes du polynôme, on peut mettre ceux-ci en
évidence.
Exemple Factoriser
(a) 12x2 y3 z5 − 8x3 z3 (b) 36a3bc 6 − 27a2bc 5 + 18a4b5
Solution
(a) On s’occupe d’abord des nombres : Le pgcd entre 12 et 8 est .
Pour les lettres, il faut qu’elle(s) apparaisse(nt) dans chacun des termes et on prend la
plus petite puissance :
On fait alors la mise en évidence. On remplit la parenthèse en divisant chaque terme par
celui que l’on a mis en évidence :
12x2 y3 z5 − 8x3 z3 = 4x2z3 (3y z

3 2
− 2x )
(b) 36a3bc 6 − 27a2bc 5 + 18a4b5 = 9a2b (4ac 6
− 3c5 + 2a2b4 )
• Exercice 29 : a), c) et e)
1.3.3.2. Factorisation par regroupement ou double factorisation

Si un polynôme est composé de 4 termes ou plus, il est parfois possible de grouper les termes
de façons judicieuses et de trouver des mises en évidences successives qui vont factoriser le
polynôme.
Exemple Factoriser
(a) 4ac + 2bc − 2ad − bd (b) 3x 3 + 2x 2 − 12x − 8
Solution
(a) On se rend compte que l’on ne peut pas faire de mise en évidence sur tous les termes,
mais en ne prenant que le 2 premiers, on peut mettre 2c en évidence et en prenant les 2
derniers, on peut mettre −d en évidence :
4ac + 2bc − 2ad − bd = 2c (2a + b) − d(2a + b)
20/58
A ce stade, nous n’avons pas factorisé le polynôme, car on a obtenu la différence et non le
produit de plusieurs polynômes ! Par contre il faut voir cette expression comme étant de la
forme 2c  k − d  k (avec k = ( 2a + b ) ) . On peut donc mettre k en évidence :
2c  k − d  k = ( 2c − d)  k , ce qui donne en fait :
4ac + 2bc − 2ad − bd = 2c (2a + b) − d(2a + b) = (2c − d)(2a + b)

(b) Selon la même technique :
3x3 + 2x2 − 12x − 8 = 3x (x 2

) ( )
− 4 + 2 x2 − 4 = (3x + 2) x2 − 4 ( )
Ce n’est pas terminé, on peut maintenant utiliser une identité remarquable :
3x3 + 2x2 − 12x − 8 = ( 3x + 2) x 2 − 4 =( ) (3x + 2)( x + 2)( x − 2)

• Exercice 31 : a), c), e), g) et i)
• Exercice 32 : a), c), et e)
1.3.3.3. Les identités remarquables

Il faut reconnaître dans notre expression une identité remarquable « déguisée ». On utilisera les
mêmes formules vues dans le paragraphe 1.3.7 (mais « de droite à gauche ») auxquelles
viennent s’ajouter deux nouvelles identités remarquables. Ce qui nous donnent les formules
suivantes A SAVOIR PAR CŒUR :
(1) x 2 − y 2 = ( x + y )( x − y )
(2) (
a3 − b3 = ( a − b ) a2 + ab + b2 ) (3) (
a3 + b3 = ( a + b ) a2 − ab + b2 )
a2 + 2ab + b2 = (a + b ) a2 − 2ab + b2 = ( a − b )
2 2
(3) (4)
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b ) a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = ( a − b )

3 3
(5) (6)
Exemple Factoriser
(a) 81x4 − y4 (b) 8a3 − 12a2b2 + 6ab4 − b6 (c) 20x2 y + 60xy + 45y
21/58
Solution
(a) Ca ressemble à la (1) !
( ) ( ) ( )( )
2 2
81x 4 − y 4 = 9x2 − y2 = 9x2 + y2 9x2 − y2
Mais ce n’est pas terminé car la 2ème parenthèse ressemble encore à la (1) !
(9x )  (3x) 

( )
− y2  = 9x2 + y2 (3x + y )(3x − y )
2
81x 4 − y 4 = 2
+ y2

(b) Ça ressemble à la (6) !
(2a) ( ) ( ) (
− 3  ( 2a)  b2 + 3  2a  b2 + b2 = 2a − b2 )
3 2 2 3 3
8a3 − 12a2b2 + 6ab4 − b6 =
(c) On commence par faire une mise en évidence et on repère une identité remarquable dans
la parenthèse !
( )  
4x2 + 12x + 9 = 5y  ( 2x ) + 2  (2x )  3 + 32  = 5y (2x + 3 )
2 2
20x2 y + 60xy + 45y = 5y
 
• Exercice 33 : a), c), e), g), i) et k)
• Exercice 34 : a), c), e), g), et i)
Il n’y a pas de méthode générale pour factoriser un polynôme quelconque, par contre il existe
des techniques permettant de factoriser certains polynômes du 2ème degré.
1.3.3.4. Factorisation du polynôme de x2+bx+c

Si on peut le factoriser, la factorisation aura l’allure suivante : x 2 + bx + c = ( x + p )( x + q)
Si on développe le membre de droite :

( x + p )( x + q) = x2 + q  x + p  x + p  q = x 2 + (p + q)  x + p  q
p + q = b
Pour avoir l’égalité, on doit avoir : 
p  q = c
Pour factoriser le polynôme x 2 + bx + c , il faut chercher 2 nombres (entiers) dont le produit
donne le coefficient constant (c) et la somme le coefficient de x (b).
22/58
Exemple Factoriser
(a) x 2 + 9x + 18 (b) x 2 − 9x + 14 (c) x 2 − 10x + 12
Solution
(a) x2 + 9x + 18 = ( x + p )( x + q) k  2
On cherche 2 nombres dont le produit donne +18 et la somme +9 :
On essaye : 18 = 118 ; 1+ 18 = 19 k.o.
18 = 2  9 ; 2 + 9 = 11 k.o.
18 = 3  6 ; 3 + 6 = 9 o.k.
x2 + 9x + 18 = ( x + 3)( x + 6)
Ainsi
(b) x2 − 9x + 14 = ( x + p )( x + q)
On cherche 2 nombres dont le produit donne +14 et la somme -9 :
On essaye : 14 = 114 ; 1+ 14 = 15 k.o.
14 = 2  7 ; 2 + 7 = 9 k.o.
On devine alors : 14 = ( −2)  ( −7) ; ( −2) + ( −7) = −9 o.k.
x2 + 9x + 14 = ( x − 2) ( x − 7)
Ainsi
(c) x2 + 5x − 12 = ( x + p )( x + q)
On cherche 2 nombres dont le produit donne -12 et la somme +5 :
On essaye : −12 = 1 ( −12) ; 1+ ( −12) = −11 k.o.
Inutile d’essayer avec −1 et +12 , ça donnerait +11
−12 = 2  ( −6) ; 2 + ( −6) = −4 k.o.
−12 = 3  ( −4 ) ; 3 + ( −4 ) = −4 k.o.
Il n’y a pas d’autre possibilité, donc x2 + 5x − 12 est irréductible
Remarque : Avec l’expérience, il n’est plus nécessaire de remplir un tableau, on arrive à

totalement raisonner de tête !

• Exercice 37 : a), et c)
23/58
1.3.3.5. Factorisation du polynôme de ax2+bx+c
Si on peut le factoriser, la factorisation aura l’allure suivante : ax 2 + bx + c = (...  x + ...)(...  x + ...)
Dans un premier temps, on cherche 2 nombres (p et q) dont le produit donne a  c et dont la

somme b .
On décompose alors notre polynôme à factoriser de la manière suivante :
ax2 + bx + c = ax2 + px + qx + c
On termine alors la factorisation en procédant par regroupement (1.3.3.2.)
Exemple Factoriser
(a) 5x 2 − 9x − 18 (b) 6x 2 − 7x − 3 (c) −10x 2 − 33x + 7
Solution
(a) 5x 2 − 9x − 18 = (...)(...)
On teste toutes les possibilités :
24/58
(b) 6x 2 − 7x − 3 = (...)(...)
Comme ci-dessus, on teste toutes les possibilités et on trouve :
(c) −10x 2 − 33x + 7 = (...)(...)
Comme ci-dessus, on teste toutes les possibilités et on trouve :

• Exercice 37 : d) et f)
25/58
1.4. FRACTIONS
Définition : Une expression fractionnaire est le quotient de deux expressions algébriques.
P
En particulier, une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes P
Q
et Q.
P
La division par zéro n’étant pas possible, l’ensemble de définition de est
Q
moins les éléments qui annulent Q.
6x2 − 5x + 4
Par exemple, l’ensemble de définition de la fraction rationnelle est
x2 − 9
sauf −3 et 3 (que l’on notera \ −3 ; 3 ).
Rappel sur la simplification des fractions :

a d a
• = pour autant que d  0
b d b
m n m
• = pour autant que n  0
n pq pq
p  q r q
• = pour autant que p  0 et r  0
r  p v v
p + q 1+ q
• ATTENTION 
pr r
−a a a
• = =−
b −b b
a−b a−b
• = = −1
b − a − (a − b)
Ces principes s’appliquent aux fractions rationnelles !

• Exercice 45 : a) et b)
26/58
1.4.1. Simplification d’une fraction rationnelle
Exemple Simplifier :
(a)
x  ( x − 3)
(b)
3x 2 − 5x − 2
(c)
2 − x − 3x 2
(d)
( x + 8x + 16 ) ( x − 5 )
2
x  ( x + 1) x2 − 4 6x2 − x − 2 ( x − 5x )( x − 16 )
2 2
Solution
(a) On peut simplifier par x (pour autant que x soit différent de 0)
x  ( x − 3) x −3
=
x  ( x + 1) x +1
Et c’est terminé !!! Il ne faut pas faire des simplifications qui ne sont pas autorisées.
(b) Il faut commencer par factoriser le numérateur et le dénominateur.
3x 2 − 5x − 2
=
(3x + 1)( x − 2)
x2 − 4 ( x + 2)( x − 2)
On peut simplifier par x-2 (pour autant que x soit différent de 2).
3x 2 − 5x − 2 ( 3x + 1)( x − 2 ) 3x + 1
= =
x2 − 4 ( x + 2)( x − 2) x+2
− ( 3x − 2)( x + 1) − ( x + 1)
2 − x − 3x 2
= = = − x +1
(3x − 2)(2x + 1)
(c)
6x 2 − x − 2 x 2 2x + 1 2x + 1
3
( x + 8x + 16 ) ( x − 5 ) = ( x + 4) ( x − 5)
2
x+4
2
(d) =
( x − 5x )( x − 16 ) x ( x − 5) ( x + 4) ( x − 4)
2 2 x −4
x 5 x ( x − 4)

27/58
1.4.2. Addition et soustraction
Rappel : Pour additionner ou soustraire 2 fractions, il faut trouver un dénominateur commun si
possible le plus petit) et utiliser les propriétés des quotients :
a b ab a c ad  bc
 = ou  =
d d d b d bd
Si le dénominateur des deux fractions n’est pas le même, le dénominateur commun
sera le ppmc des deux dénominateurs :
7 5
Exemple Effectuer et simplifier : +
24 18
Il faut trouver le ppmc de 24 et 18. Pour cela, nous allons utiliser la décomposition en nombres
premiers : et
Le ppmc est alors :
= 7  33+ 52 2 = 21+ 20 = 41

2
Ainsi
7
+
5 7 + 5
= 3
24 18 2  3 2  32 2 3 89 72
Nous allons appliquer les mêmes principes aux fractions rationnelles. La décomposition en
nombres premiers revient à factoriser les 2 dénominateurs, pour trouver le ppmc, il faut prendre
une fois tous les facteurs qui apparaissent, avec la plus grande puissance.
Exemple Déterminer le ppmc des polynômes P et Q :
P Q
(a) x +1 x
(b) 3x − 2 2x − 3
(c) x x3
(d) x2 + x x2 − 1
(e) (x 2
)
− 4x + 4 ( x − 1)
3
( x − 1) ( x 2 − 5x + 6 )
5
Solution
(a) Les polynômes sont déjà factorisé au maximum !
Il n’y a aucun facteur commun, le ppmc est donc ( x + 1)  x .
(b) Les polynômes sont déjà factorisé au maximum !

Il n’y a aucun facteur commun, le ppmc est donc (3x − 2)  (2x − 3) .
28/58
(c) Les polynômes sont déjà factorisé au maximum !
Il y a x comme facteur commun, la plus grande puissance à laquelle il apparaît est 2. Le
ppmc est donc x3 .
(d) On factorise P : x2 + x = x ( x + 1)
On factorise Q : x2 − 1 = ( x + 1)( x − 1)
Il y a x + 1 comme facteur commun dont la puissance la plus élevé est 1. Le ppmc est
donc x ( x + 1)( x − 1) .
( x − 2) ( x − 1)
2 3
(e) On factorise P : (x 2
)
− 4x + 4 ( x − 1) =
3
( x − 1) ( x2 − 5x + 6 ) = ( x − 1) ( x − 3)( x − 2)
5 5
On factorise Q :
Il y a x − 1 comme facteur commun dont la puissance la plus élevé est 5 et x − 2 dont la
( x − 2) ( x − 1) ( x − 3)
2 5
puissance la plus élevé est 2. Le ppmc est donc .
Exercices : Déterminer le ppmc des polynômes suivants

a) 6a3bc ; 2a2b2c 4 ; 10ab5c ; 15a3b3c 3
b) x2 + 3x − 4 ; x2 − 16 ; x2 − 2x + 1
c) u − 1 ; u + 2 ; u2 − 1 ; u3 + 2u2 − u − 2
6 5 2
Exemple Effectuer et simplifier + − 2
x ( 3x − 2 ) 3x − 2 x
Solution Les dénominateurs sont déjà factorisés. Le ppmc est x2 (3x − 2)

La première fraction doit être amplifiée par , la deuxième par et la troisième
par :
6  x + 5  x2 − 2  (3x − 2)
= 6x + 25x − 6x + 4 =
2
6 5 2
+ − 2 =
x ( 3x − 2 ) 3x − 2 x x2 (3x − 2) x (3x − 2)
= 25x + 4
2
x (3x − 2)
On ne peut pas factoriser le numérateur, l’exercice est alors terminé !
29/58
2x + 5 x 1
Exemple Effectuer et simplifier + 2 +
x + 6x + 9 x − 9 x − 3
2
Solution On factorise les 2 premiers dénominateurs :

2x + 5
+ 2
x
+
1
=
2x + 5 + x + 1
x + 6x + 9 x − 9 x − 3
( x + 3) ( x + 3)( x − 3) x − 3
2 2
( x + 3)  ( x − 3)
2
Le ppmc est donc
La première fraction doit être amplifiée par ( x − 3) , la deuxième par ( x + 3) et
( x + 3)
2
la troisième par :
( )( ) ( ) ( )
2
2x + 5 x 1 2x + 5  x − 3 + x  x + 3 + 1 x + 3
+ + = =
( x + 3)
2
( x + 3 )( x − 3 ) x − 3 (
2
x +3 x −3 )( )
2x 2 − 6x + 5x − 15 + x 2 + 3x + x 2 + 6x + 9 4x 2 + 8x − 6
= = =
( x + 3) ( x − 3) ( x + 3)  ( x − 3)
2 2
=
(
2 2x 2 + 4x − 3 )
( x + 3)  ( x − 3)
2
On ne peut pas factoriser 2x 2 + 4x − 3 , l’exercice est alors terminé !
En résumé pour additionner ou soustraire des fractions rationnelles il faut faire les étapes
suivantes :
1° Factoriser les dénominateur (et les numérateurs si une simplification est possible)
2° Déterminer le dénominateur commun (ppmc des dénominateurs)
3° Mettre au même dénominateur en amplifiant correctement chaque numérateur
4° Développer – simplifier – factoriser le numérateur
5° Simplifier la fraction si nécessaire.

30/58
1.4.3. Multiplication
Rappel : Pour multiplier deux fractions, il faut multiplier les deux numérateurs et les deux
dénominateurs :
a c ac
 =
b d bd
1  x2   2x 2 + 2x − 1 
2

Exemple Effectuer et simplifier :  1 +  1 +   2 − 
 x   x2 + x   x2 + x 
Solution
On simplifie chaque fraction :
2  
 1 
2
x2   2x 2 + 2x − 1   1  1+ x2   2 − 2x2 + 2x − 1 =
+  +  −  = 1 + 
x   x ( x + 1)   x ( x + 1) 
 1 1 2
 x   x2 + x   x 2 + x  
  
2  

= 1+ 1  1+ x   2 − 2x2 + 2x − 1

 x   x + 1  x ( x + 1) 
 
On écrit chaque facteur sous forme de fraction :

2
1  x  2x 2 + 2x − 1   x + 1
2 
 x + 1+ x   2x ( x + 1) − (2x2 + 2x − 1)  =
= 1 +  1 +  2 − =   x + 1   
x ( x + 1)

x + 1  x ( x + 1)   x 
 x   
 
 
2   2  
=  x + 1
   2x + 1  2x2 + 2x − 2x2 − 2x + 1  x + 1  2x + 1  1 
    =  x   x + 1  
 x   x +1 

(
x x +1 ) 

   x

( x + 1) 
On applique les règles de calcul et on simplifie :
( ) (2x + 1) = ( x + 1) (2x + 1) = 2x + 1
2 2
 x + 1   2x + 1  
2
1  x +1
 x   x + 1   x x + 1  = 2
    ( )  x x +1 ( ) x ( x + 1) x3 ( x + 1)2 x−1 x3
En résumé pour multiplier des fractions rationnelles il faut faire les étapes suivantes :
1° Réduire à une seule fraction en multipliant les numérateurs et les dénominateurs entre
eux (sans développer)
2° Factoriser toutes les expressions algébriques
3° Simplifier
31/58
1.4.4. Division
Rappel : Pour diviser deux fractions, il faut multiplier la première par l’inverse de la deuxième :
a
a c b a d ad
 = =  =
b d c b c bc
d
x+2
x+2 x −42 Autre notation possible
2x − 3
Exemple Effectuer et simplifier :  2 =
2x − 3 2x − 3x x2 − 4
2x 2 − 3x
Solution
x+2
2x − 3 = x + 2  2x − 3x = ( x + 2 ) x ( 2x − 3 ) =
2 ( x + 2) x ( 2x − 3 ) x
=
x −4
2
2x − 3 x − 4
2
( 2x − 3 )( x + 2 )( x − 2 ) ( 2x − 3 ) ( x + 2) ( x − 2) x −2
x
3
x−2
2x − 3x
2 2
En résumé pour diviser des fractions rationnelles il faut faire les étapes suivantes :
1° Transformer la division en une multiplication en faisant le numérateur fois l’inverse du

dénominateur
2° Effectuer la multiplication comme précédemment
32/58
Simplification d’une fraction composée
2 2
−
Exemple Simplifier la fraction composée x+3 a+3
x−a
Solution On s’occupe du numérateur comme précédemment :
2 (a + 3 ) − 2 ( x + 3 ) 2a + 6 − 2x − 6 2a − 2x 2 (a − x )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )=
2 2
−
x+3 a+3 =
x+3 a+3 x +3 a+3 x +3 a+3 x +3 a +3
= = =
x−a x −a x −a x −a x −a
On utilise les propriétés de la division de fraction ( multiplier par la fraction inverse) :
2 (a − x )
2 (a − x )
( x + 3 )( a + 3 ) =
( x + 3)(a + 3) = 2 (a − x )  1 = 2 (a − x )
=
x−a x −a
1
( x + 3 )(a + 3 ) x − a ( x + 3 )(a + 3 ) ( x − a )
−2 ( x − a ) −2
= =
( x + 3)(a + 3) ( x − a) xa ( x + 3)(a + 3)

33/58
1.5. PUISSANCES
1.5.1. Définition de an (n )

Soient n  * et a , on définit : an = a  a  a  a
n fois le facteur a
a est appelé la base et n l’exposant.
Exemples : 54 = 5  5  5  5 = 625
5
 1 1 1 1 1 1 1
 2  = 2  2  2  2  2 = 32
 
( −3) = ( −3)  ( −3) = 9
2
( −3) = ( −3 )  ( −3 )  ( −3 ) = −27
3
0 = 000000 = 0
6
Il ne faut pas confondre c  an avec (c  a)

n
Attention ! :
5  23 = 5  8 = 40 (5  2) = 103 = 1000
3
et
−2  32 = −2  9 = −18 ( −2  3) = ( −6) = 36
2 2
et
Mais surtout : 3x  ( 3x ) 3 3
Remarque : Si a  0 , alors an  0 n
an  0 si n est pair

Si a  0 , alors  n
a  0 si n est impair

n
Définition de a pour n=0 et n<0 :
Si a  0 , alors a0 = 1 . Par exemple : 520 = 1 0 0 n’existe pas !
1 1 1
Si a  0 et n  * , alors a −n = n . Par exemple : 5 −3 = 3 =
a 5 125
Théorèmes des exposants négatifs

Si m, n  0 et a,b  0 :
a−m bn
(1) =
b−n am
−n n
a b
(2) b = a
   
Preuve :
1
−n
a−n bn  b 
n
a−m am 1 bn b n a
(1) = =  = (2) b = = =
b−n 1 am 1 am   b−n an  a 
bn
34/58
• Exercices 81 à 87 : Tous
1.5.2. Addition et soustraction de puissances

Pour pouvoir additionner ou soustraire des puissances, il faut qu’elles aient la même base et le
même exposant : a  xm + b  xm − c  xm = ( a + b − c )  xm
S’il y a des exposants différents, on peut parfois quand même simplifier :
( )
Exemple : 7  2n+1 − 3  2n + 8  2n−1 = 7  2n  21 − 3  2n + 8  2n  2−1 = ( )
 1
( )
= 7  2n  2 − 3  2n + 8   2n   = 14  2n − 3  2n + 4  2n =
 2
= (14 − 3 + 4 )  2 = 15  2
n n

1.5.3. Propriétés des puissances :

Soient a,b  et m,n . On a :
(1) am  an = am+n
Exemples : 23  24 = 23 + 4 = 27 = 128
x5  x = x5+1 = x6
(a )
n
(2) m
= amn
(2 )
4
Exemples : 3
= 234 = 212
(x )
3
2
= x 23 = x6
(a  b)
n
(3) = an  bn
( 200) = ( 2  100) = 23  1003 = 8  1000000 = 8000000
3 3
Exemples :
( 4x ) = 42  x2 = 16x2
2
n
a an
(4) b =
  bn
3
x x3 x3
Exemples : 3 = =
  33 27
35/58
am
(5) (a) = am−n si m  n
an
am 1
(b) n
= n −m si m  n
a a
25
Exemples : = 25−3 = 22 = 4
23
x5
= x5 − 2 = x3
x2
54 1 1 1
= 6−4
=
=
56 5 5 2
25
x 1 1
= 8 −1 = 7
x8 x x
(a  b  c )
n
Ces règles se généralisent : = an  bn  cn
x a  xb  x c = x a +b + c
am  bn  ( a  b )
m+ n
Attention :
m −n
am  a 

bn  b 

• Exercice 96 : b), c), e) et h)
36/58
1.5.4. Puissance de 10
1.5.4.1. Notation scientifique des nombres
Pour éviter les longues écritures de nombres, les scientifiques ont convenu d’écrire les grands
et les petits nombres sous forme de produit d’une puissance de 10 par un nombre compris
entre 1 et 9
C’est à dire : a  10n avec 1  a  10 et n  .
Rappels : pour n  0 pour n  0

1 = 100 1
0.1 = = 10 −1
10 = 101 10
1
100 = 102 0.01 = = 10 −2
100
1000 = 103
1
0.001 = = 10 −3
1000
1000000 = 106
1
0.000001 = = 10 −6
1000000
Mise en notation scientifique :

(1) 126 = 1.26  102 (4) 0.12 = 1.2  10−1
(2) 2578.41 = 2.57841 103 (5) 0.001835 = 1.835  10−3
(3) 123 423 486 = 1.23423486  108 (6) 0.0000346 = 3.46  10−5
Exercices Codez en notation scientifique les nombres suivants :
(1) 2 000 000 = 2  106 (2) 38 800 = 3.88  104
(3) 0.042 = 4.2 10−2 (4) 0.000 651 = 6.51 10−4
(5) 79 000 000 = 7.9  107 (6) 0.000 4 = 4  10−4
(7) 0.000 000 81 = 8.110−7 (8) 9.536 = 9.536
37/58
1.5.4.2. Notation ingénieure des nombres
Lorsque l’on travaille avec des unités, il est très pratique d’utiliser la notation ingénieure qui
consiste à écrire n’importe quel nombre sous la forme a  10n avec 1  a  999 et n est un
multiple de 3.
Mise en notation ingénieure :

(1) 126 = 126 (4) 0.12 = 120  10−3
(2) 2578.41 = 2.57841 103 (5) 0.001835 = 1.835  10−3
(3) 123 423 486 = 123.423486  106 (6) 0.0000346 = 34.6  10−6
Exercices Codez en notation ingénieure les nombres suivants :
(1) 2 000 000 = 2  106 (2) 38 800 = 38.8  103
(3) 0.042 = 42 10−3 (4) 0.000 651 = 651 10−6
(5) 79 000 000 = 79 106 (6) 0.000 4 = 400 10−6
(7) 0.000 000 81 = 810  10−9 (8) 9.536 = 9.536
(9) 5,21 102 = 521 (10) 8,57  10−7 = 857 10−9
(11) 1,03  107 = 10.3 106 (12) 4,37  10−5 = 43.7 10−6
1.5.4.3. Les préfixes

Appelés aussi multiples et sous multiples. Ils permettent de prononcer et d’écrire des nombres
de tailles grandes ou petites.
Par exemple, on ne dit pas 1000 mètres, mais un kilomètre est plus approprié.
Cela signifie que kilo veut dire 1000 (ou 103). Tous les préfixes utilisés, sont des puissances de
10 (positives ou négatives).
Il est important dans les professions techniques d’utiliser et de savoir utiliser ces préfixes, ainsi
que les notations avec des puissances de dix.
Vous trouverez des exercices pour vous entraîner à manipuler ces préfixes et les puissances
de 10.
A la page suivante vous trouverez une récapitulatif de tous les préfixes couramment utilisés
dans le domaine scientifique et technique. Il est important de savoir utiliser correctement ces
préfixes et de faire des calculs avec.
Ils permettent d’éviter les nombres trop grands ou trop petits, de cette manière le calcul devient
possible avec les machines scientifiques.
Nous allons nous entraîner à utiliser ces préfixes dans tous les sens. Dès à présent, il est
important de les connaître, de les maîtriser et, surtout, de les utiliser.
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Table des préfixes
1 000 000 000 000 000 000 000 000 1024 -- yotta Y
1 000 000 000 000 000 000 000 1021 -- zetta Z
1 000 000 000 000 000 000 1018 trillion exa E
1 000 000 000 000 000 1015 billiard péta P
1 000 000 000 000 1012 billion téra T
1 000 000 000 109 milliard giga G
1 000 000 106 million méga M
1 000 103 mille kilo k
100 102 cent hecto h
10 101 dix déca da
1 100 un -- --
0,1 10-1 dixième déci d
0,01 10-2 centième centi c
0,001 10-3 millième milli m
0,000 001 10-6 millionième micro 
0,000 000 001 10-9 milliardième nano n
0,000 000 000 001 10-12 billionième pico p
0,000 000 000 000 001 10-15 billiardième femto f
0,000 000 000 000 000 001 10-18 trillionième atto a
0,000 000 000 000 000 000 001 10-21 -- zepto z
0,000 000 000 000 000 000 000 001 10-24 -- yocto y
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Exercices Supprimez le préfixe et donnez le résultat en code à virgule :
(1) 13 000 mm = 13 m (2) 0.3 dm = 0.03 m

(3) 53 hl = 5300 l (4) 7 500 cg = 75 g
Exercice Donnez la réponse dans l’unité demandée :
(1) 0,03 m = mm
(2) 410 V = kV
(3) 0,005 W = mW
(4) 100 000 Pa = MPa
(5) 7 500 l = dal
Exercice Ajoutez le bon préfixe (sauf centi, déci, déca et hecto) aux valeurs ci-dessous
pour que le nombre soit compris entre 1 et 999 :
(1) 10 000 W = (2) 0,003 g =
(3) 0,00002 A = (4) 20 000 Hz =
(5) 10 000 Pa = (6) 1 200  =
• Exercices 110 à 112 : Tous
• Exercice 115
• Exercice 117
• Exercice 119
40/58
1.6. RACINES
1.6.1. La racine carrée

1.6.1.1. Définition
a , que l’on prononce « racine carrée de a » est le nombre réel positif b tel que b2 = a .
( a)
2
On a ainsi : a a = =a si a  0
ATTENTION : a n’est pas définie pour a  0 . Par exemple −4 n’est pas définie !
a n’est jamais négative : a 0 a  0
Si a  0 , alors a2 = a , mais de manière générale : a2 = a .
1.6.1.2. Règles de calculs

Pour autant que les racines existent
(1) ab = a  b
a a
(2) =
b b
Attention : (1) a+b  a + b
(2) a2 + b2  a + b
En effet : (1) 4 + 9 = 13 et 4 + 9 =2+3=5
(2) 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5 et 3 + 4 = 7
Exemples :
16 = 4 car 42 = 16
−16 n’existe pas car −16  0
(3)
2
=3
( −3 )
2
= −3 = 3
175 = 25  7 = 25  7 = 5  7
8x 2 = 4  x 2  2 = 4  x 2  2 = 2 x 2
36 36 6
= =
225 225 15
41/58
• Exercice 125 : a), c), e), g), i), k) et m)
1.6.1.3. La forme normale d’une expression contenant des racines

C’est une expression du type : a0 + a1 n1 + a2 n2 + ...
avec a0 ,a1,a2 ,... et n1,n2 ,n3 ,...  *
Tous les radicants ni sont simplifiés et ordonnés par ordre croissant.

1 2 1
Exemples : 5 ; 2− 6 ; 1 + 3 3 − 10 + 15
3 3 8
1
Contres exemples : ; 0.4 ; 2 2 −5 2 ; 3 12 + 20
3
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2. EQUATIONS ET INÉQUATIONS
2.1. PROPOSITIONS ET ÉQUATIONS
2.1.1. Propositions
Une proposition est une « phrase » formulée à l’aide de mots et (ou) de chiffres et pour laquelle
on pourra se demander si elle est vraie ou fausse. A une proposition, on pourra assigner la
valeur vrai (v) ou la valeur faux (f).
Exemples
Proposition ? Valeur
Le Rhin est un fleuve européen Oui Vrai
45 − 23 = 21 Oui Faux
Quel nombre premier est supérieur à 5 ? Non
St.-Imier est dans le canton de Neuchâtel Oui Faux
2.1.2. Relations entre des propositions

La relation « et »
Deux proposition A et B peuvent être liées entre elles par le mot « et » ; on obtient ainsi une
nouvelle proposition « A et B ».
Exemple
A: 12 est divisible par 3 B: 12 est divisible par 4
A et B : 12 est divisible par 3 et 4.
Table de vérité de la relation et :

A B A et B ( A  B )
v v v
v f f
f v f
f f f
43/58
La relation « ou »
Deux proposition A et B peuvent être liées entre elles par le mot « ou » ; on obtient ainsi une
nouvelle proposition « A ou B ».
Table de vérité de la relation et :

A B A et B ( A  B )
v v v
v f v
f v v
f f f
2.1.3. Formule
Une formule est une « phrase » contenant au moins une variable et qui devient une proposition
si on remplace chaque variable par un élément d’un ensemble de base.
Exemples
Formules Ensemble de base Exemple de proposition Valeur
5x = 35 5  7 = 35 vrai
n est un nombre carré 8 est un nombre carré faux
8y  11 2
8  9.6  11 2
vrai
Toute formulation d’équation est une formule !
Formule à une variable :
Ensemble de base G : Ensemble de tous les éléments pouvant prendre la place de la

variable dans la formule.
Ensemble solution S : Ensemble de tous les éléments de G qui, en prenant la place de la

variable, donnent une proposition vraie.
On distingue :
S = ... ; ... L’ensemble solution n’est pas un ensemble vide et n’est pas égal à
l’ensemble de base.
 3 
Exemple : ( 2x + 3 )( x − 4 ) avec G = , S = − ; 4 
 2 
S=G L’ensemble solution contient tous les éléments de l’ensemble de

base.
Exemple : x ( x + 2 ) = x 2 + 2x avec G = , S =
S =  ou S =   L’ensemble solution est un ensemble vide.

Exemple : 3x + 4 = 3x avec G = , S=
Sauf indication, on utilisera toujours G = .
44/58
Relation entre formules
A B : L’ensemble solution est l’intersection des ensembles solution des
formules A et B : S ( A  B ) = S ( A )  S (B )
A B : L’ensemble solution est l’union des ensembles solution des formules
A et B : S ( A  B ) = S ( A )  S (B )
2.1.4. Formules équivalentes

Deux formules sont équivalentes dans l’ensemble de base si elles admettent le même
ensemble solution.
Notation : A  B « A est équivalent à B »
Exemples : Pour G = , n est un nombre premier  n a exactement deux diviseurs

Pour G = , x + 2x = 5  3x = 5
2.1.5. Equations généralités

1) xy =0  x=0 ou y=0
2) x+z=y+z  x=y
3) Pour z  0 on a : x  z = y  z  x=y
Définition
Une équation est un énoncé qui affirme que deux quantités ou deux expressions algébriques
sont égales.
Un nombre x0 est appelé solution d’une équation si on obtient un énoncé vrai quand on le
substitue à x dans l’équation.
Pour résoudre une équation, on se base sur le théorème suivant :

L’ensemble solution d’une équation ne change pas si on additionne (ou soustrait) un même
nombre aux deux membres de l’équation ou si on multiplie (ou divise) les deux membres par
un même nombre différent de 0.
Après avoir résolu une équation, on peut toujours vérifier nos solutions en remplaçant dans
l’équation de départ l’inconnue par la ou les valeurs trouvées et en contrôlant que cette dernière
est vraie.
Si en plus de l’inconnue l’équation contient d’autres variables, on les nomme paramètres. En

général, dans une équation avec des paramètres, l’inconnue est x.
Exemple : ax − b2 = bx + 2 x est l’inconnue ; a et b sont les paramètres
45/58
2.1.6. Equivalence / Transformations équivalentes
Par transformation on comprend toute transformation qui ne modifie pas l’ensemble des
solutions de l’équation.
1. Toute transformation (simplification) de l’expression algébrique du membre de gauche (ou

du membre de droite) de l’équation en une expression algébrique équivalente à une
équation équivalente.
Exemple : 5x + 2x − 5 = x ( x − 3) Simplifier
7x − 5 = x2 − 3x
2. Additionner ou soustraire un nombre réel.
Exemple : 2x + 6 = 3 −6
2x = −3
3. Multiplier par un nombre réel non nul.
x =3 2
Exemple :
2
x=6
4. Diviser par un nombre réel non nul.
Exemple : 3x = 12 1
3
x=4
5. Additionner ou soustraire un terme de la forme a  xn .
Exemples : 8x = 5x −1 −5x
3x = −1
46/58
2.2. EQUATION LINÉAIRE
Définition : Une équation linéaire à une inconnue est une équation ne faisant intervenir que
des polynômes du 1er degré. On peut toujours les mettre sous la forme ax + b = 0 .
Exemples : 3x = 7 ; 3x =  ; 0.7 = 2.5x ; 0 = 0.79x − 5 ; x 2 = x ( x + 1) − 5
On résout ces équations en écrivant successivement des équations équivalentes jusqu’à

obtenir x = ... .
2.2.1. Equations sans paramètre

Exemple Résoudre l’équation 3x + 7 = 2 − x
Solution Il faut « isoler » x. On commence par faire disparaître le +7 dans le membre de
gauche en faisant -7 (des 2 côtés !)
3x + 7 = 2 − x −7
3x + 7 − 7 = 2 − x − 7 Réduire
3x = −5 − x
On fait disparaître le –x dans le membre de droite en faisant +x (des 2 côtés !)
3x = −5 − x +x
3x + x = −5 − x + x Réduire
4x = −5
On fait disparaître le facteur 4 devant x dans le membre de gauche en divisant par
4 (des 2 côtés).
4x = −5 1
4
4x = −5 Simplifier
4 4
x =−5
4
Quand on maitrise ces différentes opérations, on peut faire plus rapidement :

3x + 7 = 2 − x +x − 7
1
4x = −5 
4
5
x=−
4
5  5
La solution de l’équation est donc x = − , que l’on note ainsi : S = −  .
4  4
On peut également contrôler la solution pour être sûr de la réponse (voir exemples suivants).
47/58
Il peut arriver qu’il y ait des termes en x de puissance supérieures à 1, mais dans ce chapitre
(équation du 1er degré), ces termes devront forcément disparaître totalement !
Exemple Résoudre ( 8x − 2 )( 3x + 4 ) = ( 4x + 3 )( 6x − 1)
Solution (8x − 2)(3x + 4) = ( 4x + 3)(6x − 1) Développer

24x2 + 32x − 6x − 8 = 24x 2 − 4x + 18x − 3 Réduire
24x2 + 26x − 8 = 24x 2 + 14x − 3 −24x 2 − 14x + 8
12x = 5 1
12
x= 5
12
Contrôle
7
     
MG =  8  5 − 2   3  5 + 4  =  10 − 6   5 + 16  = 4  21 = 7
 12   12   3 3  4 4  3 4
7
     
MD =  4  5 + 3   6  5 − 1 =  5 + 9   5 − 2  = 14  3 = 7
 12   12   3 3  2 2  3 2
o.k.
 
 S =  5 
12 
Remarque : Une équation n’a pas toujours une solution !

• Exercice 225 : b), d), f) et h). Si nécessaire remplacer les chiffres à
virgules dans l’énoncée par des fractions !
• Exercice 226 : b), d), f) et h
Des équations sont souvent utilisées pour résoudre des problèmes faisant intervenir des
applications des mathématiques à d’autres domaines. A cause de la variété illimitée des
applications, il est difficile d’établir des règles précises pour trouver des solutions. Toutefois, la
marche à suivre que voici peut être utile, pour autant que le problème puisse être formulé sous
forme d’une équation à une variable.
48/58
1 Si le problème est posé par écrit, le lire plusieurs fois soigneusement, réfléchir aux faits
donnés ainsi qu’à la quantité inconnue à trouver.
2 Choisir une lettre qui représente la quantité inconnue. C’est l’un des pas décisifs dans la
recherche de la solution. Des phrases contenant des mots comme trouver, quoi, combien,
où, quand, devraient vous renseigner sur la quantité inconnue.
3 Faire éventuellement un dessin avec des légendes.
4 Dresser une liste des faits connus et des relations concernant la quantité inconnue. Une
relation peut être décrite par une équation dans laquelle apparaissent d’un seul ou des deux
côtés du «signe égal» des énoncés écrits à la place des lettres ou des nombres.
5 Après avoir analysé la liste de l’étape 4, formuler une équation qui décrive précisément ce
qui est énoncé avec des mots.
6 Résoudre l’équation formulée à l’étape 5.
7 Répondre à la question de manière claire et précise !
8 Contrôler les solutions obtenues à l’étape 6 en se reportant à l’énoncé de départ du
problème. Vérifier que la solution concorde avec les conditions de l’énoncé.
Exemple 1 Un étudiant a obtenu les notes 3,3 et 4,2 lors des deux premiers travaux écrits.
Quelle note devra-t-il faire lors du dernier TE afin d’obtenir une moyenne suffisante
(la moyenne est arrondie au demi-point, tandis que les TE sont mis au dixième).
Solution
1 Lire le problème autant de fois que nécessaire afin de le comprendre !
2 On veut la 3ème note, on pose alors : x = troisième note
3 Il n’est pas nécessaire de faire de dessin !

4 On connaît : note1 = 3,3 , note2 = 4,2 et moyenne  3,75
On va résoudre le problème pour moyenne = 3,75 et arrondir la note en conséquence.
Relation connue (formule) : moyenne = note1+ note2 + x

3
5 On en déduit l’équation à résoudre : 3,75 = 3,3 + 4,2 + x

3
6 On résout l’équation : 3,75 = 3,3 + 4,2 + x 3 et réduire

3
11,25 = 7,5 + x −7,5
x = 3,75
7 Pour répondre correctement à la question, il faut analyser la réponse que l’on vient de
trouver et se rendre compte qu’il faut l’arrondir au dixième supérieur ! On a donc
Réponse : L’étudiant doit obtenir au minimum un 3,8

8 Contrôle.
On calcul sa moyenne : moyenne = 3,3 + 4,2 + 3,8  3,77

3
donc 4,0 après arrondi  o.k.
49/58
Remarque : Il n’est pas obligatoire de faire toutes les étapes de manière aussi détaillée, mais
j’accorde beaucoup d’importance à l’étape 7.
Pour la suite, nous allons voir une série d’exemples types ( avec pourcentage – mélanges –
problème de cinématique - …) sans noter à chaque fois le numéro de l’étape. A vous de les
identifier !

• Exercice 229 : a)
• Exercice 230 : a)
Exemple 2 Problème avec des pourcentage

Une société d’investissement a 100000 FRS à investir pour un client et décide d’investir dans
deux fonds, A et B. L’intérêt annuel attendu, ou intérêt simple, pour le fonds A est de 15%, mais
il y a un certain risque et le client ne veut pas investir plus de 50000 FRS dans ce fonds. Pour le
fonds B plus solide, l’intérêt escompté est de 10%.Déterminer s’il y a une façon d’investir
l’argent pour que l’intérêt annuel soit (a) 12000 FRS (b) 13000 FRS
Solution
Dans un premier temps, il n’est pas nécessaire de distinguer (a) de (b) !
On pourrait croire que ce problèmes à deux inconnues : x = somme investie dans A
y = somme investie dans B
et que l’on est pas dans le bon chapitre (problème à 1 inconnue) !
En fait lorsqu’il y a plus d’une inconnue, il y a toujours un lien facile entre elles qui nous permet
d’exprimer toutes les inconnues en fonction de l’une d’elle. Dans cet exercice, le lien est que la
somme totale à investir doit être égale à 100000. Ce qui nous permet d’écrire : y = 100000 − x .
On a la formule : intérêt = capital  taux
Ici : intérêt annuel pour le fond A = 0,15  x
intérêt annuel pour le fond B = 0,1 (100000 − x ) = 10000 − 0,1x
Et ainsi :intérêt total = 0,15x + 10000 − 0,1x = 0,05x + 10000
(a) intérêt total = 12000

12000 = 0,05x + 10000 −10000
1
0,05x = 2000 
0,05
x = 40000
Comme 40000<50000, c’est possible !
Réponse : C’est possible, en investissant 40000 FRS dans le fond A et 60000 FRS dans
le fond B.
50/58
(b) intérêt total = 13000
13000 = 0,05x + 10000 −10000
1
0,05x = 3000 
0,05
x = 60000
Comme 60000>50000, c’est pas possible !
Réponse : Ce n’est pas possible.

• Exercice 232 : b)
Exemple 3 Problème de mélange

Un chimiste a 10 millilitres d’une solution qui contient une concentration d’acide à 30%.
Combien de millilitres d’acide pur doit-il ajouter pour augmenter la concentration à 50%?
Solution
x = nombre de ml d’acide pur à ajouter
Schématiquement :
Quantité totale :
Quantité d’acide :
La 2ème ligne nous donne l’équation à résoudre :
51/58
• Exercice 233 : a) et b)
Exemple 4 Problème de cinématique

Deux villes sont reliées par une autoroute. Une voiture quitte la ville B à 13 heures et roule à la
vitesse constante de 40 km/h vers la ville C. Trente minutes plus tard, une autre voiture quitte B
et roule vers C à la vitesse constante de 55 km/h. Si l’on ne tient pas compte de la longueur des
voitures, à quel moment la seconde voiture rejoindra-t-elle la première ?
La formule de physique qui va intervenir est : distance = vitesse  temps
Si on pose t = temps en heure écoulé à partir de 13 h, on a :
Pour la 1ère voiture : d1 = 40  t

 
Pour la 2ème voiture : Comme 30 minute =
1
heure, on a d2 = 55   t − 1 
2  2
Lorsque la 2ème voiture rattrape la 1ère , celles ont parcouru la même distance. On obtient donc
l’équation :
d1 = d2
 
40  t = 55   t − 1  Développer
 2
40t = 55t − 55 + 55 − 40t
2 2
55 = 15t 1
2 15
t = 55 = 11
30 6
11 = 1+ 5
t = 1h 5  60min = 1h50min
6 6 , donc 6
Réponse : La deuxième voiture rejoint la première à 14h50.

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Exemple 5 Problème de partage
Deux pompes sont utilisables pour remplir un réservoir d’essence. La pompe A, utilisée seule,
peut remplir le réservoir en 3 heures, et la pompe B, utilisée seule, peut le remplir en 4 heures.
Si les deux pompes sont utilisées simultanément, combien faudra-t-il de temps pour remplir le
réservoir ?
Solution
Travail total Proportion en 1h Proportion en x h
A 3h
B 4h
t = temps utiliser pour remplir le réservoir en utilisant les 2 pompes
Proportion remplie par A :
Proportion remplie par B :

Pour effectuer tout le travail ensemble (rappel : 100% = 1) :

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2.2.2. Equations avec paramètres
Exemple 1 Résoudre ( a + x )( 2x − 2) − ( 2x + 3b )( x + 1) = 3 (5x − 3a ) x étant l’inconnue
Solution
(a + x ) ( 2x − 2) − (2x + 3b )( x + 1) = 3 (5x − 3a ) Développer

2ax − 2a + 2x2 − 2x − 2x 2 − 2x + 3bx + 3b = 15x − 9a Réduire
2ax + 3bx − 4x − 2a + 3b = 15x − 9a −15x + 2a − 3b
2ax + 3bx − 19x = −7a − 3b x en évidence
x ( 2a + 3b − 19 ) = −7a − 3b  1
2a + 3b − 19
x = −7a − 3b
2a + 3b − 19
Une transformation de formule se fait en considérant la lettre à isolée comme inconnue et
toutes les autres comme paramètre.
1 1 1 1
Exemple 2 Dans la formule = + + isoler R2
R R1 R2 R3
Solution
1= 1 + 1 + 1 R  R1  R2  R3 Pas de danger !!!
R R1 R2 R3
R1R2R3 = RR2R3 + RR1R3 + RR1R2 −RR2R3 − RR1R2
R1R2R3 − RR2R3 − RR1R2 = RR1R3 Mettre R2 en évidence
R2 (R1R3 − RR3 − RR1 ) = RR1R3  1
R1R3 − RR3 − RR1
RR1R3
R2 =
R1R3 − RR3 − RR1

• Exercice 248 : c), e), g), i) et j)
• Exercice 249
• Exercice 252
54/58
2.2.3. Inéquation linéaire
Une inéquation linéaire est comme une équation linaire mais avec une inégalité (  ,  ,  ,  ) à
la place du = .
Par exemple : 2x + 3  11.
Les solutions d’une inéquation sont les valeurs de x pour lesquelles l’inégalité est vérifiée. Il y
en a en général une infinité !
Si on reprend l’inéquation 2x + 3  11 :
x MG = 2x + 3 Symbole MD = 11 Conclusion
3 9 > 11 Faux, donc 3 n’est pas solution
4 11 > 11 Faux, donc 4 n’est pas solution
4,5 12 > 11 Vrai, donc 4,5 est solution
5 13 > 11 Vrai, donc 5 est solution
6 15 > 11 Vrai, donc 6 est solution
Il est impossible d’énumérer toutes les solutions, mais dans ce cas, on devine que c’est tous les
nombres (réels) > 4.
Pour exprimer les solutions d’une inéquation, on utilise les intervalles. On les divise en
plusieurs catégories :
Dans le tableau ci-dessous, a et b représentent des nombres réels tels que a  b
Terminologie Notation et définition Représentation
Intervalle ouvert a ; b = x  t.q. a  x  b

a b
Intervalle fermé  a ; b  = x  t.q. a  x  b

a b
Intervalle semi-
ouvert à droite
a ; b = x  t.q. a  x  b
a b
Intervalle semi-
ouvert à gauche
a ; b = x  t.q. a  x  b
a b
− ; b = x  t.q. x  b
Intervalle non b
ou
borné à gauche
− ; b = x  t.q. x  b
b
a ; +  = x  t.q. x  a
a
Intervalle non
ou
borné à droite
a ; +  = x  t.q. x  a a
Pour l’inéquation 2x + 3  11, la solution serait :
55/58
Remarque : Il y a aussi l’intervalle − ; +  , mais − ; +  =
Exemple Exprimer l’inéquation par un intervalle et donner sa représentation graphique.

(a) x  −3 (b) 1  x  19 (c) 3x6
Solution (a)
(b)
(c)
Les méthodes pour résoudre une inéquation linaire sont à peu près semblables à celles
utilisées pour les équations linéaires. On se base sur les propriétés suivantes :
(0) Si a  b et b  c , alors ac

Exemple : 2  5 et 5  7 , alors 2  7
(1) Si a  b , alors a + c  b + c et a − c  b − c
Exemple : 2  5 , alors 2 + 7  5 + 7 et 2 − 7  5 − 7
9 12 −5 −2
(2) Si a  b et c  0 , alors a  c  b  c et a  b
c c
Exemple : 2  5 et 3  0 , alors 2  3  5  3 et 2  5
6 15
3 3
0,6 1,6
a  c  b  c et a  b
!!! !!!
(3) Si a  b et c  0 , alors
c c
Exemple : 2  5 et −4  0 , alors 2  ( −4)  5  ( −4) et 2  5

−4 −4
−8 −20 −0,5 −1,25
La principale différence par rapport aux équations est la 3ème propriété.
Il est évident que ces propriétés restent valables avec d’autres inégalités, par exemple la
propriété (3) peut s’écrire : Si a  b et c  0 , alors a  c  b  c .
56/58
Exemple Résoudre l’inéquation −3x + 4  11
Solution
4 − 3x
Exemple 3 Résoudre l’inéquation −5  1
2
Solution
4 − 3x 4 − 3x
Il y a en fait 2 inéquations à résoudre : (1)  −5 ET (2)  1.
2 2
Les solutions de l’inéquation de départ sont les nombres qui sont solutions de la 1ère ET de la
2ème inéquation, ce qui signifie qu’il faut faire l’intersection des 2 solutions !
57/58
4 − 3x
On aurait pu faire plus rapide : −5   1 2
2
−10  4 − 3x  2 −4
1
−14  −3x  −2  !
−3
14 2
x
3 3
2 14
x
3 3
 2 14 
 S= ; 
3 3 

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TABLE DES MATIÈRES

1.5.2. ADDITION ET SOUSTRACTION DE PUISSANCES 35

1.1.1. Les ensembles de nombres

1.1.1.1. Ensemble des nombres naturel :

1.1.1.2. Ensemble des nombres entiers relatifs :

Les nombres 1 ; -1 ; 2 ; -2 ; 3 ; -3 ; 4 ; -4 ; 6 ; -6 ; 8 ; -8 ; 12 ; -12 ; 24 ; -24 sont appelés les

Exercices Ecrire les nombres suivants comme produit de nombres premiers

(c) 364 = 22  7 13

Forme irréductible d’un quotient :

Exercices : Calculer les PGDC des fractions et en déduire la forme irréductible.

Technique pour transformer des codes à virgule en code fractionnaire :

10  x = 16,3 (ce qui signifie 10  x = 16,33333333... )

Si on soustrait 10x − x , il ne reste que 9x et la soustraction donne :

• Exercice 1 : a), c), e) et g)

1.1.1.4. Ensemble des nombres réels :

On peut représenter cette suite d’inclusion à l’aide d’un diagramme de Venn :

Exercices : Dans le livre Algèbre et analyse de donnée, faire :

1.1.1.5. Comment arrondir un nombre

Lorsque le dernier chiffre est soit : 5 ; 6 ; 7 ; 8 ou 9, l’arrondi se fait en augmentant le chiffre

1.1.1.6. Chiffres significatifs

Au 3ème chiffre significatif :

Au 4ème chiffre significatif :

Au 5ème chiffre significatif :

Au 6ème chiffre significatif :

Au 3ème chiffre significatif :

Au 4ème chiffre significatif :

Au 5ème chiffre significatif :

Au 6ème chiffre significatif :

1.1.2. Valeur absolue d’un nombre

Remarques : (1) Comme b − a = a − b , on a d ( A; B ) = d (B; A )

Exercices : Dans le livre Algèbre et analyse de donnée, faire :

Il y a un risque de division par zéro

Il y a un risque avec la racine carrée

Les 2 conditions réunies nous donne :

Exercices : Dans le livre Algèbre et analyse de donnée, faire :

• Exercice 8 : a), c), d) et e)

Si an  0 , alors on dit que le polynôme est de degré n.

Exemples : 2x5 + 3x4 − 7x2 + x − 10 est un polynôme de degré 5 en x.

(4) On appelle coefficient dominant le coefficient de la plus grande puissance de x.

(3) De manière générale, un polynôme en x est une expression algébrique ne contenant

3x2 + x − 2 n’est pas un polynôme.

Exercices : Dans le livre Algèbre et analyse de donnée, faire :

1.1.5. Relations d’ordre

Exercices : Dans le livre Algèbre et analyse de donnée, faire :

• L’addition est associative : a + (b + c ) = ( a + b ) + c a,b,c 

• L’addition possède un élément neutre : 0

• Tout nombre a possède un élément opposé : −a

Propriétés pour la soustraction des nombres réels :

Donc les propriétés relatives à la soustraction découlent de celles de l’addition.

= − 2a − a2 − 3ab − a + b + b2 + b − ab − b2  + 3a2 − b2 − 2ab − b + 3a  =

Exercices : Dans le livre Algèbre et analyse de donnée, faire :

1.3.1. Règles de distributivité et identités remarquables

• La multiplication est commutative : a  b = b  a a,b 

• La multiplication est associative : a  (b  c ) = ( a  b )  c a,b,c 

• La multiplication possède un élément neutre : 1

Propriétés pour la division des nombres réels :

Propriété liant à la fois l’addition et la multiplication :

= 2x5 + 3x3 − x2 + 10x4 + 15x2 − 5x − 8x3 − 12x + 4 =