M2 Script Complet

Gymnase intercantonal de la Broye
Mathématiques
Ecole de maturité 2ème année
Août 2022
Table des matières
1 Consolidations 3
2 La géométrie plane 140
3 Systèmes d’équations 244
4 Equations du deuxième degré 397
5 Problèmes mélangés 473
6 Factorisation 609
7 La mesure des angles 640
8 Trigonométrie dans le triangle rectangle 698
9 Le cercle trigonométrique 814
10Le triangle quelconque 875
11La division polynomiale 926
2
12Les fractions rationnelles 1081
13Fonctions numériques réelles 1202
14Fonctions quadratiques 1317
15Présentation des données 1421
16Mesures de tendance centrale et position 1523
17Mesures de dispersion et de forme 1598
Chapitre 1
Consolidations
4
Les exercices de ce chapitre sont inspirés du livre

Dimathème 3ème, 2006 publié chez Didier, ainsi
que de Diplôme Tome 1 de Hubert Bovet.
1 Fractions
Définition
6
Une fraction est une division non effectuée entre deux nombres entiers relatifs n et d =
n
0. Elle est représentée comme suit : . Le nombre du haut s’appelle le numérateur et le
d
nombre du bas s’appelle le dénominateur.
5
La simplification de fraction
ac a
=
bc b
Exemple
6
=
9
18
=
9
522
=
342
6
L’amplification de fraction
a ac
=
b bc
Exemple
4
=
5
5=
6
=
5
7
L’addition de fractions
Les fractions doivent être mises au même dénominateur pour être additionnées
a b a+b
+ =
m m m
Exemple
1 3
+ =
9 2
1 3
− =
9 2
2 1
+ =
5 7
8
La multiplication de fractions
On multiplie les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble
a b ab
· =
m n mn
Exemple
1 3
· =
9 2
7
·4=
3
3 7
· =
4 6
9
La division de fractions
On multiplie la première fraction par l’inverse de la seconde
a b a n an
: = · =
m n m b mb
Exemple
1 3
: =
9 2
7
:4=
3
10
La puissance de fraction
a n an
= n
b b
Exemple
2
3
=
2
3
4
=
3
11
2 La hiérarchie des opérateurs

L’ordre des opérations est important, ainsi dans le cas : 2 · 6 : 2 + 4 on pourrait obtenir, selon
l’ordre suivit :
2 · 6 : 2 + 4 = 12 : 2 + 4 = 6 + 4 = 10
ou bien : 2 · 6 : 2 + 4 = 2 · 3 + 4 = 2 · 7 = 14
ou bien : 2 · 6 : 2 + 4 = 12 : 2 + 4 = 12 : 6 = 2
12
Pour éviter l’ambiguïté, dans le cas d’opérations combinées, l’ordre à suivre doit être :
premier : parenthèses
deuxième : puissance et racine carrée

(de gauche à droite s’il y a deux ou plus)
troisième : multiplication et division

(de gauche à droite s’il y a deux ou plus)
quatrième : addition et soustraction
Exemple
8 · 6 − 4 · (36 : 9) =
=
=
13
3 Les ensembles numériques

Définition
— N contient les nombres entiers positifs.
C’est l’ensemble des nombres entiers naturels. {0; 1; 2; 3; 4 . . .}
— Z contient N ainsi que les nombres entiers négatifs.
C’est l’ensemble des nombres entiers relatifs.{.
. . − 4; −3; −2; −1; 0;1; 2; 3 . . .}
1 376
— Q contient Z ainsi que toutes les fractions −27.48; − ; 4.234; ... .
2 27
C’est l’ensemble des nombres rationnels.
— R contient Q ainsi que les nombres irrationnels. Ce sont les nombres décimaux
n √ non pé- o
√ 5
riodiques avec une quantité illimitée de décimales non répétitives, par ex. π; 2; 12 . . .
C’est l’ensemble des nombres réels.
14
Théorème
— Le développement décimal d’un nombre rationnel se finit ou se répète (périodique).
— Le développement décimal d’un nombre irrationnel ne se répète jamais (non pério-
dique) et ne se termine jamais.
Figure 1.1 – Les ensembles numériques : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

15
4 La règle des signes

Théorème La règle des signes
La règle des signes s’applique au produit de deux nombres réels :
— Le produit de deux nombres de même signe est positif.
— Le produit de deux nombres de signe différent est négatif.
+·+ =+ +·−=− −·+=− −·−=+
Exemple
−(−2) =
(−2) · (−5) =
(−2) · 5 =
2
=
−5
16
5 Puissances
Définition
La puissance nième d’un nombre réel a est un produit de n facteurs tous égaux à a :
a2 = a · a
a3 = a · a · a
a4 = a · a · a · a
..
En général :
an = a
| · a {z
· . . . · a}
n f acteurs
On dit que a est la base de la puissance et n l’exposant.
Cette définition est valable lorsque l’exposant n est un nombre entier positif non nul.
17
Théorème Propriétés
Pour tous les nombres réels a et b non nuls et tous les nombres entiers n et m non nuls, on
a les propriétés suivantes :
(i) an · am = an+m
an
(ii) m = an−m
a
(iii) (an)m = an·m
(iv) an · bn = (a · b)n
an a n
(v) n =
b b
18
6 Notation scientifique
L’évolution de la connaissance scientifique a mené à devoir jongler avec des nombres très petits ou
très grands. C’est le cas par exemple dans l’étude des nanotechnologies, l’exploration spatiale,
le décryptage du génome humain, etc. La notation scientifique permet de travailler avec ces
grandeurs...
Définition
Tout nombre réel non nul peut s’écrire en notation scientifique sous la forme :
b · 10n avec n ∈ Z 1 ≤ | b | < 10
b est la partie significative et 10n l’ordre de grandeur du nombre.

19
Exemple
a) Masse de la Terre =
b) Le nombre d’Avogadro =
c) Constante de gravitation universelle =
d) 5020000000000 =
e) −0.000018 =
f) −45909000000 =
g) (2 · 1023) · (6 · 109) =
h) (4 · 1010) ÷ (100 · 106) =
i) (6 · 1010)2 ÷ (2 · 108) =
j) 2000 · 40000000 · 0.000003 =

20
7 Calcul littéral
7.1 Monômes et poynômes
Définition
Un monôme est une expression obtenue par multiplication de nombres réels et de lettres.
Sous forme réduite, un monôme se compose de 2 parties : son coefficient et sa partie littérale.
Exemple
— 2a3b2c est un monôme. 2 est son coefficient et a3b2c sa partie littérale.
Définition
Deux monômes sont semblables si leurs parties littérales sont les mêmes.
Exemple
— 2a3b2c et −19a3b2c sont des monômes semblables.
— 3x2yx3 et 4x5y sont des monômes semblables.
— 5xyv 3 et x3y 3z 3 ne sont pas des monômes semblables.
21
Définition
Un polynôme est un monôme ou une somme de monômes. Les monômes qui composent le
polynôme sont le termes du polynôme. On peut réduire un polynôme en additionnant les
monômes semblables qui le composent.
Exemple
2a2b + 3b − 5a2b2 est un polynôme de degré...
6y 2 − 2xy + 2x2 − 5x2 + 3y 2 − 4xy est un polynôme de degré...

22
7.2 Degré de monômes et de polynômes
Définition
Le degré d’un monôme est la somme de tous les degrés des lettres composant le monôme.
Le degré d’un polynôme est le degré du terme de plus haut degré.
Exemple
— 5x2y 4z est un monôme de degré...
— 6 est un monôme de degré...
— 5x3y 2 − y 6 + 7x3y 4 est un polynôme de degré...
23
7.3 Calcul avec les monômes
Somme et différence de monômes semblables

On additionne ou soustrait les coefficients.
On ne peut additionner ou soustraire que des monômes semblables.
Exemple
2a2b − 5a2b + 6a2b =
1 2 5
ax − ax + ax =
4 3 2
24
Multiplication de monômes
On effectue le produit des coefficients et le produit des parties littérales en utilisant
les règles de calcul avec les puissances, afin d’obtenir un résultat réduit.
Exemple
(5a2b3c) · (−3abc5) =
Division de monômes
On effectue la division des coefficients (de sorte à obtenir un nombre réel ou une
fraction irréductible) et la division des parties littérales en utilisant les règles de
calcul avec les puissances, afin d’obtenir un résultat réduit.
Exemple
(20x2y 2z 3) : (4xy 2z) =
25
Puissance de monômes
On applique la règle de calcul de puissance d’un produit, afin d’obtenir un résultat
réduit.
(ab)n = anbn et (an)m = anm
Exemple
2 3 4 4 2 4 3 4

(5x y ) = 5 x y =
26
7.4 Calcul avec les polynômes
Somme et différence de polynômes

On regroupe, additionne ou soustrait tous les monômes semblables. Le résultat est
donné sous forme réduite.
Exemple
2a − 3b + 5ab − (4a − 3b) − ab + a =
=
=
27
Multiplication de polynômes
On effectue le produit de deux polynômes en appliquant la règle de la distributivité
ci-dessous. Le résultat est donné sous forme réduite.
a(b + c) = ab + ac et (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Exemple
(2a + 3b − ab) · (3a2 + 4b) =
28
Puissance de polynômes
Le produit de deux ou plusieurs polynômes identiques est une puissance de
polynômes et peut s’exprimer à l’aide de parenthèses et d’un exposant. Dans certains
cas, l’application d’identités dites “remarquables”, nous permettront d’effectuer cette
opération plus facilement.
Exemple
(x − a)2 =
29
8 Equations
Une équation dans R est une propriété considérée dans l’ensemble des nombres réels. Son écriture
se compose, dans l’ordre, d’une expression appelée membre de gauche, du signe = et d’une
expression appelée membre de droite.
Exemple
x3 = 4x
Cette équation dans R correspond à la propriété, pour un nombre réel, d’avoir un cube égal à
son quadruple. Elle détermine un sous-ensemble S de R, appelé ensemble de solutions :
S = {x | x3 = 4x}
Dans ce cas, S comprend trois nombres : -2, 0 et 2. En effet, ces trois nombres et eux seuls
vérifient la propriété énoncée.
S = {−2; 0; 2}
est l’ensemble des solutions de l’équation x3 = 4x.
30
Définition
La lettre utilisée pour écrire une équation est une variable sur R, appelée aussi inconnue.
Définition
Une équation dans R où ne figure qu’une seule lettre est une équation à une inconnue,
ou équation en x si l’inconnue est x. Elle est dite :
— polynomiale si ses deux membres sont des polynômes en x.
— rationnelle si ses deux membres sont des fractions rationnelles en x.
— avec radical si l’un de ses deux membres au moins contient l’inconnue x sous une
racine.
Exemple
1 3
— Equation polynômiale : 2x − 5x + x = 3x4 − 3
2
4
4x 8x
— Equation rationnelle : + = 12
x√− 2 x + 2 √
— Equation avec radical : 2x − 5 = 1 + x − 1
31
Remarque : Si on associe au membre de gauche une fonction g(x) et au membre de droite
une fonction d(x), alors l’équation définit une propriété vérifiée par les éléments de R qui ont la
même image par les deux fonctions.
Définition
L’ensemble des solutions d’une équation dans R est le sous-ensemble de R formé de
tous les nombres, et eux seuls, qui vérifient l’équation, c’est-à-dire qui font de l’équation une
égalité vraie : S = {x | g(x) = d(x)}.
Remarque :
Il est possible que l’ensemble des solutions comprenne aucun élément, un élément, plusieurs
éléments ou même tous les nombres réels.
Exemple
— x2 + 2 = 0. Cette équation n’a pas de solution dans R. On note S = {x | x2 + 2 = 0} =
∅
— x − 3 = 1. Cette équation a une seule solution. On écrit : S = {x | x − 3 = 1} = {4}
— x3 = 4x. Cette équation a trois solutions. On écrit : S = {x | x3 = 4x} = {−2; 0; 2}
— x+x = 2x. Tous les nombres réels ont cette propriété. On note S = {x | x+x = 2x} = R
32
8.1 Equation du premier degré

Résoudre une équation, c’est en chercher les solutions. Plusieurs manières de procéder sont
possibles. La méthode consiste à faire des manipulations algébriques (inspirées de celles de
al-Khwãrizmi) de manière à obtenir une équation équivalente dont la solution est connue. Le
théorème suivant nous assure de ne pas avoir changé l’ensemble des solutions.
Théorème d’équations equivalentes

Deux équations sont dites équivalentes si elles ont le même ensemble de solutions.
Une équation étant donnée dans R, on obtient une équation qui lui est équivalente sur R
— en permutant ses deux membres
— en effectuant du calcul littéral dans l’un ou l’autre membre, sans modifier les fonc-
tions associées
— en multipliant chacun de ses membres par un même nombre (différent de zéro)
— en ajoutant à chacun de ses membres une même expression (définie dans R pour
toute valeur réelle donnée à la variable)
33
8.2 Visualisation graphique

Les manipulations algébriques menant à une équation équivalente peuvent être visualisées à
l’aide d’un graphique.
Si on a l’équation 4x = 2x + 1, alors en
1
multipliant chaque membre par , on ob-
4
tient une équation équivalente. On voit sur
le graphique que si les membres de gauche
et de droite ne sont plus les mêmes, la nou-
velle équation reste équivalente à la précé-
dente, puisque l’ensemble des solutions est
le même.
Si on a l’équation 4x = 2x + 1, alors en et de droite ne sont plus les mêmes, la nou-

additionnant −1 à chaque membre , on ob- velle équation reste équivalente à la précé-
tient une équation équivalente. On voit sur dente, puisque l’ensemble des solutions est
le graphique que si les membres de gauche le même.
34
35
8.3 Exemples de résolution algébriques

Un usage judicieux des 4 principes d’équivalence permet d’obtenir une équation équivalente
simple.
3x + 4 = 2x − 1 2(y + 1) = 4y + 2 4(t − 1) + 2t = 6(t + 3)

3x − 2x = −1 − 4 2y + 2 = 4y + 2 4t − 4 + 2t = 6t + 18
x = −5 2 − 2 = 4y − 2y 6t − 4 = 6t + 18
S = {−5} 0 = 2y 6t − 6t = 18 + 4
0=y 0 = 22
S = {0} S=∅

2z − 5
5(2u − 1) − (u − 3) = 3(3u + 1) − 5

= 2 · 3
3
10u − 5 − u + 3 = 9u + 3 − 5
2z − 5 = 6
9u − 2 = 9u − 2
2z = 11
9u − 9u = 2 − 2
11
0=0 z=
2
S=R
36
11 20a = 8
S=
2 1 a 5 2
2a − = + · 12 a=
4 3 12 5

24a − 3 = 4a + 5 2
S=
5

3x − 1 5x + 3 c − 1 2c + 5 2c − 5
= · 12 − = + 4 · 18
6 4 3 2 9
2(3x − 1) = 3(5x + 3) 6(c − 1) − 9(2c + 5) = 2(2c − 5) + 72
6x − 2 = 15x + 9 6c − 6 − 18c − 45 = 4c − 10 + 72
−9x = 11 −16c = 113
113

11 c=−
S= −
9 16
113
S= −
16
37

1 2 2 2x 6(x − 2) 2(x − 5) x
x − 1 − (3x + 2) = − = · 60
3 5 5 15 5 5 12

2x 1 6x 4 2x 72(x − 2) − 24(x − 5) = 5x
− − − = · 15
15 3 5 5 15 72x − 144 − 24x + 120 = 5x
2x − 5 − 18x − 12 = 2x 43x = 24
−17 = 18x 24
17 x=
− =x 43

18 24
17
S=
S= − 43
18
Remarque : Si l’équation contient des puissances, des multiplications et des fractions numé-
riques, il est vraiment recommandé d’effectuer d’abord les multiplications, les puissances et
ensuite de multiplier les deux membres de l’équation par le plus petit dénominateur commun.
38
Exemple
Résolution JUSTE Résolution FAUSSE
7 x+1 1 19
7 x+1 1

19
+ = + =
3 5 2 15 3 5 2 15
7x + 7 7 19
70 6x + 6 15

38
+ = + = · 30
15 6 15 30 30 30 30
14x + 14 35 38
+ = · 30 70(6x + 6 + 15) = 38
30 30 30
14x + 14 + 35 = 38 420x + 420 + 1050 = 38
14x = −11 420x = −1432
11 358
x = − x = −
14 105
Autre erreur classique : un signe négatif devant une fraction ayant plusieurs terme au numérateur.
Le signe doit s’appiquer à tous les termes du numérateur.
39
Exemple
Résolution JUSTE Résolution FAUSSE
x−5 x−1 2x − 1 x−5 x−1 2x − 1
− = − =
15 5 3 15 5 3
x − 5 3x − 3 10x − 5

x − 5 3x − 3 10x − 5
− = · 15 − = · 15
15 15 15 15 15 15
x − 5 − (3x − 3) = 10x − 5 x − 5 − 3x − 3 = 10x − 5
x − 5 − 3x + 3 = 10x − 5 −3 = 12x
3 = 12x 1
x = −
1 4
x =
4
Attention ! Si l’on multiplie chaque membre d’une équation par une expression contenant x, on
peut obtenir une équation qui n’est pas équivalente.
Exemple
4x = 20 S = {5}
4x(x − 1) = 20(x − 1) S = {1; 5}
40
9 Exercices
Exercice 1.1
Calculer.
1 2 1
a) + +
8 3 2
1 2 3
b) + +
2 3 4
1 1 1
c) + −
10 100 1000

3 2 5
d) · +
2 5 2
1 4
e) 1 + · −3
3 5
41
1 1 1 1
f) + : +
3 2 4 5
2
1 5
g) +
5 3
1
h)
1
1+
1
2+
3
1
i)
1
4−
2
3+
5
42
Corrigé 1.1
1 2 1 3 16 12 31
a) + + = + + =
8 3 2 24 24 24 24
1 2 3 6 8 9 23
b) + + = + + =
2 3 4 12 12 12 12
1 1 1 100 10 1 109
c) + − = + − =
10 100 1000 1000 1000 1000 1000

3 2 5 3 4 25 3 29 87
d) · + = · + = · =
2 5 2 2 10 10 2 10 20
1 4 4 15 + 4 − 45 26
e) 1 + · − 3 = 1 + − 3 = =−
3 5 15 15 15

1 1 1 1 2 3 5 4 5 9 5 20 100 50
f) + : + = + : + = : = · = =
3 2 4 5 6 6 20 20 6 20 6 9 54 27
43
2 2 2
1 5 3 25 28 784
g) + = + = =
5 3 15 15 15 225
1 1 1 1 1 1 7
h) 1 = 1 = 1 3 = 7 3 = 10 = 10
1 + 2+ 1 1 + 6+1 1+ 71+7 7 + 7 7
3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 17
i) = = = 5 = 5 = 63 = 63
4 − 3+1 2 4 − 151+ 2 4− 1
17 4 − 17 68
17 − 17 17
5 5 5 5
44
Exercice 1.2
Calculer.

7 1 1 2 5 9 6
a) 12 + − 1 − − 1 − (−3) − 2+
4 2 3 5 3 4 7

3 2 3 1 2
b) − − − − −1
2 3 4 2 3

2 4 2 1 4
c) 4− + − : −3 − 3 · − + 2
5 3 3 2 5
45
Corrigé 1.2

7 1 1 2 5 9 6
a) 12 + − 1 − − 1 − (−3) − 2+
4 2 3 5 3 4 7

48 7 4 3 2 2 5 20 27 14 6
= + − − − − (−3) − +
4 4 4 6 6 5 5 12 12 7 7

51 1 3 3 7 20
= · · − + · −
4 6 5 1 12 7
153 420 51 51 200 251

=− − =− −5=− − =−
120 84 40 40 40 40
46
3 2 3 1 2
b) − − − − −1
2 3 4 2 3

3 2 3 1 2 3
= − − − − −
2 3 4 2 3 3

3 2 3 1 1
= − − − +
2 3 4 2 3

3 2 3 3 2
= − − − +
2 3 4 6 6

3 2 3 5
= − − −
2 3 4 6

3 2 9 10
= − − −
2 3 12 12

3 2 19 3 19 27 19 46 23
= − − = + = + = =
2 3 12 2 18 18 18 18 9
47
2 4 2 1 4
c) 4− + − : −3 − 3 · − + 2
5 3 3 2 5

60 6 20 10 3 4
= − + − : −3 − − + 2
15 15 15 15 2 5

64 30 15 8 20
= : − − − +
15 10 10 10 10

64 33 64 10 128
= : − = · − =−
15 10 15 33 99
48
Exercice 1.3
Calculer sans calculatrice.
a) 12 + 4 · 3 + 2
5 − (2 − 8) · 2
b)
2 · (6 + 3) − 1
c) (12 + 4) · 3 + 2
d) 9 + 3 · [2 · (9 − 5) − (5 − 7)]
e) 3 · 5 + (2 · 4 − 2) · 6
√
f) 36 + 64
g) (7 − 2)2 : 5 · 23
√ √
h) 36 + 64
i) 3 · (2 − 7) · (−1) − (6 − 9)3 − 23 + 1
49
Corrigé 1.3
a) 12 + 4 · 3 + 2 = 12 + 12 + 2 = 26
5 − (2 − 8) · 2 5 − (−6) · 2 5 − (−12) 17
b) = = = =1
2 · (6 + 3) − 1 2·9−1 18 − 1 17
c) (12 + 4) · 3 + 2 = 16 · 3 + 2 = 48 + 2 = 50
d) 9 + 3 · [2 · (9 − 5) − (5 − 7)] = 9 + 3 · [2 · 4 − (−2)] = 9 + 3 · [8 + 2] = 9 + 3 · [10] = 9 + 30 = 39
e) 3 · 5 + (2 · 4 − 2) · 6 = 15 + (8 − 2) · 6 = 15 + 6 · 6 = 15 + 36 = 51
√ √
f) 36 + 64 = 100 = 10
25
g) (7 − 2)2 : 5 · 23 = 52 : 5 · 8 = · 8 = 5 · 8 = 40
5
√ √
h) 36 + 64 = 6 + 8 = 14
i) 3·(2 − 7)·(−1)−(6 − 9)3 −23 +1 = 3·(−5)·(−1)−(−3)3 −8+1 = −15·(−1)−(−27)−7 =

15 + 27 − 7 = 35
50
Exercice 1.4
Répondre aux questions ci-dessous.
a) Est-ce que tous les entiers sont des rationnels ?
b) A quels ensembles appartient 1.345 ?
c) Nommer tous les ensembles auquel le nombre 2 fait partie.
d) Vrai ou faux ?
i −2 est un nombre naturel.
ii π est un nombre rationnel.
iii 1, 3̄ est un nombre rationnel.
51
Corrigé 1.4
a) Oui, car les entiers peuvent toujours s’écrire comme fraction.

b) 1,345 es un nombre décimal. Comme tous les décimaux peuvent s’écrire comme fraction, le
nombre 1,345 appartient à l’ensemble Q. Puisque tous les rationnels appartiennet aux réels,
le nombre 1,345 appartient aussi aux réels.
c) 2 est un nombre naturel. Il appartient donc à N, Z, Q et R.
d) i Faux
ii Faux
4
iii Vrai, car 1, 3̄ =
3
52
Exercice 1.5
Simplifier la notation sans utiliser la calculatrice.
a) 36 · 32 · 3−5
2 3

b) 2
c) 4−2 · 25 · 82
56
d) 2
5
3
3
e)
4
53
Corrigé 1.5
a) 36 · 32 · 3−5 = 36+2−5 = 33 = 27
2 3
= 22·3 = 26 = 64

b) 2
c) 4−2 · 25 · 82 = (22)−2 · 25 · (23)2 = 2−4 · 25 · 26 = 2−4+5+6 = 27 = 128
56
d) 2 = 56−2 = 54 = 625
5
3
3 33 27
e) = 3=
4 4 64
54
Exercice 1.6
Simplifier.
a) a3 · a4 · a6
b) a5 · a−6 · a12
c) am−2 · a3−m
a17
d) 5
a
a4
e) 5 3
a ·a
−2 4

f) a
5 3 4

g) a · b
3 2
b
h)
a8
55
Corrigé 1.6
a) a3 · a4 · a6 = a3+4+6 = a13
b) a5 · a−6 · a12 = a5−6+12 = a11
c) am−2 · a3−m = am−2+3−m = a
a17
d) 5 = a17−5 = a12
a
a4 4−(5+3) −4 1
e) 5 3 = a =a = 4
a ·a a
−2 4 1
= a−2·4 = a−8 =

f) a
a8
5 3 4
= a5·4 · b3·4 = a20 · b12

g) a · b
3 2
b b3·2 b6
h) = 8·2 = 16
a8 a a
56
Exercice 1.7
Ecrire le nombre en notation scientifique.
a) 600
b) 10
c) 0.005
d) 800000
e) 0.0000054
f) 0.000001
g) 0.125
h) 100000
i) 8
57
Corrigé 1.7
a) 600 = 6 · 102
b) 10 = 1 · 101
c) 0.005 = 5 · 10−3
d) 800000 = 8 · 105
e) 0.0000054 = 5.4 · 10−6
f) 0.000001 = 1 · 10−6
g) 0.125 = 1.25 · 10−1
h) 100000 = 1 · 105
i) 8 = 8 · 100
58
Exercice 1.8
Ecrire les nombres en notation décimale.
a) 4 · 106
b) 1.25 · 102
c) 4 · 10−4
d) 2 · 10−1
e) 6.987 · 1012
f) 3.0144 · 10−6
59
Corrigé 1.8
a) 4 · 106 = 400000000
b) 1.25 · 102 = 125
c) 4 · 10−4 = 0.0004
d) 2 · 10−1 = 0.2
e) 6.987 · 1012 = 60987000000000000
f) 3.0144 · 10−6 = 0.0000030144

60
Exercice 1.9
Calculer et écrire le résultat en notation scientifique.
a) 4 · 10−3 · 5 · 102
b) 6 · 106 · 3 · 103
c) (6 · 1010) ÷ (2 · 103)
d) (4 · 1010) ÷ (8 · 107)
e) 4 · 1010 · 4 · 10−19
f) 5 · 1010 · 4 · 10−10
g) 6 · 101 · 7 · 1012 · 4 · 10−5
h) (4 · 1010) ÷ (4 · 1010)
i) 3000 · 0.00000005 · 20000
j) 6 · (106 ÷ 3) · 103
61
−5 5
k) 1 · 10 · 9 · 10 · 2
l) 18 · 105 − 9 · 105
m) 10 · 10−5 · 103 · 105 · 19
n) 1020 · 103
o) (2 · 103)4 · (9 · 105)2
p) (4 · 10−24) ÷ (16 · 1010)
q) 2004 · 10002
r) 4000003 ÷ 0.000024
s) 0.00034 · 0.00015
t) 300002 ÷ 0.000032
62
Corrigé 1.9
a) 4 · 10−3 · 5 · 102 = 20 · 10−1 = 2 · 101 · 10−1 = 2 · 100 = 2
b) 6 · 106 · 3 · 103 = 18 · 109 = 1.8 · 1010
10 3 6 · 1010 10−3 7
c) (6 · 10 ) ÷ (2 · 10 ) = = 3 · 10 = 3 · 10
2 · 103
10 7 4 · 1010 1 10−7 3 −1 3 2
d) (4 · 10 ) ÷ (8 · 10 ) = = · 10 = 0.5 · 10 = 5 · 10 · 10 = 5 · 10
8 · 107 2
e) 4 · 1010 · 4 · 10−19 = 16 · 10−9 = 1.6 · 101 · 10−9 = 1.6 · 10−8
f) 5 · 1010 · 4 · 10−10 = 20 · 100 = 2 · 101 · 1 = 2 · 101
g) 6 · 101 · 7 · 1012 · 4 · 10−5 = 168 · 108 = 1.68 · 102 · 108 = 1.68 · 1010
h) (4 · 1010) ÷ (4 · 1010) = 1 = 1 · 100

63
3 −8 4 −1 1 −1 0
i) 3000 · 0.00000005 · 20000 = 3 · 10 · 5 · 10 · 2 · 10 = 30 · 10 = 3 · 10 · 10 = 3 · 10 = 3
6
10
j) 6 · (106 ÷ 3) · 103 = 6 · · 103 = 2 · 109
3
k) 1 · 10−5 · 9 · 105 · 2 = 18 · 100 = 1.8 · 101
l) 18 · 105 − 9 · 105 = 105 · (18 − 9) = 9 · 105
m) 10 · 10−5 · 103 · 105 · 19 = 19 · 101−5+3+5 = 19 · 104 = 1.9 · 105
n) 1020 · 103 = 1023
3 4 5 2 4 3 4 2 5 2
= 16 · 1012 · 81 · 1010 = 1296 · 1022 = 1.296 · 1025

o) (2 · 10 ) · (9 · 10 ) = 2 · 10 · 9 · 10
−24
4 · 10
p) (4 · 10−24) ÷ (16 · 1010) = = 0.25 · 10 −34
= 2.5 · 10 −1
· 10 −34
= 2.5 · 10 −35
16 · 1010
64
10 4 3 2 10 4
q) 2004 · 10002 = 2 · 10 = 24 · 10 3·2
= 16 · 108 · 106 = 16 · 1014 = 1.6 · 1015

· 10 · 10
5 3

3 4 64 · 1015
4 · 10 64 15−(−20) 35
r) 400000 ÷ 0.00002 = = = · 10 = 4 · 10
(2 · 10−5)4 16 · 10−20 16
−4 4 −4 5
4 5
= 81 · 10−16 · 10−20 = 81 · 10−36 = 8.1 · 10−35

s) 0.0003 · 0.0001 = 3 · 10 · 10
4 2

3 · 10 8
9 · 10
t) 300002 ÷ 0.000032 = = = 1 · 10 8−(−10)
= 1 · 10 18
= 1018
(3 · 10−5)2 9 · 10−10
65
Exercice 1.10
Sachant que 1 nanomètre (1nm) est égal à 10−9m,
a) Convertir cent cinquante millions de nanomètres en mètres.
b) Convertir 20 mm en nanomètres.
66
Corrigé 1.10
Grandeur en nm 1 1.5 · 108

a)
Grandeur en m 10−9 x
1.5 · 108nm · 10−9m

Donc x = = 1.5 · 10−1m= 0.15 m
1nm
Grandeur en nm 1 x
b)
Grandeur en m 10−9 2 · 10−2
1nm · 2 · 10−2m 7 0 0
Donc x = −9
= 2 · 10 nm = 20 000 000 nm
10 m
67
Exercice 1.11
La distance de la Terre au Soleil est d’environ 150 millions de km. La distance de Pluton au
Soleil est d’environ 7 · 109km. La distance de l’étoile polaire au Soleil est d’environ 7 · 1014km.
Combien de fois plus grande est la distance Pluton-Soleil ...

a) ... par rapport à la distance Terre-Soleil ?
b) ... par rapport à la distance Etoile Polaire-Soleil ?
68
Corrigé 1.11
7 · 109km ∼ ∼
a) Rapport distances Pluton-Soleil par Terre-Soleil = = 4.67 · 10 = 46.7 fois.
1.5 · 108km
7 · 109km −5
b) Rapport distances Pluton-Soleil par EtoileSolaire-Soleil = =10 fois.
7 · 1014km
Donc la distance Pluton-Soleil est en fait 105 fois plus petite...

69
Exercice 1.12
Le corps humain renferme environ 5 litres de sang. Il y a 5 millions de globules rouges et 7000
globules blancs par mm3 de sang.
a) Combien notre corps renferme t-il de globules rouges ?
b) Combien notre corps renferme t-il de globules blancs ?
La forme d’un globule rouge est assimilée à celle d’un cylindre de hauteur 3 µm. On empile tous
ces globules rouges pour former une colonne.
c) Quelle est la hauteur de la colonne obtenue ?
70
Corrigé 1.12
5l = 5dm3 = 5 · 103cm3 = 5 · 106mm3
globulesR
a) Nombre de globules rouges = 5 · 106 3
· 5 · 10 6
mm3
= 2.5 · 10 13
globules rouges.
mm
globulesB
b) Nombre de globules blancs = 7 · 103 3
· 5 · 10 6
mm3
= 3.5 · 10 10
globules blancs.
mm
mm
c) Hauteur = 2.5 · 1013globulesR · 3· 10−3 = 7.5 · 1010mm
globulesR
71
Exercice 1.13
La terre fine est classée en 5 catégories suivant le diamètre des particules dont elle est constituée.
— Sable grossier : diamètres de 2 mm à 200 µm
— Sable fin : diamètres de 200 µm à 50µm
— Sable très fin : diamètres de 50 µm à 20µm
— Limon : diamètres de 20 µm à 2µm
— Argile : diamètres de moins de 2µm
Dans quelle catégorie est classée une particule de diamètre :
a) 0.006 mm
b) 1000µm
c) 4 · 10−3µm
d) 150 · 10−5mm
e) 300 · 10−4mm
f) 0.15 mm
72
Corrigé 1.13
1µm = 10−6m = 10−3mm

a) 0.006 mm = 6 · 10−3 mm = 6 µm donc limon.
b) 1000µm = 1 mm donc sable grossier.
c) 4 · 10−3µm donc argile.
d) 150 · 10−5 mm = 1.5 · 10−3 mm = 1.5 µm donc argile.
e) 300 · 10−4 mm = 3 · 10−2 mm = 30 · 10−3 mm = 30µm donc sable très fin.
f) 0.15 mm = 150 µm donc sable fin.

73
Exercice 1.14
La force d’attraction (exprimée en Newton) entre deux corps est donnée par la formule :
m1 · m2
F =G·
d2
où m1 et m2 sont les masses des deux corps en kg, d est la distance entre les centres des deux
masses en mètres et G est la constante de gravitation universelle.
Evaluer un ordre de grandeur de la force d’attraction entre la Terre et la Lune, sachant que
2
24 22 −11 N · m
mT = 5.98 · 10 kg, mL = 7.25 · 10 kg, d = 385000 km et G = 6.67 · 10 2
.
kg
74
Corrigé 1.14
2
N.m 5.98 · 1024kg · 7.25 · 1022kg ∼ 19
∼
F = 6.67 · 10−11 2 · 5 3 2
= 19.5·10 N = 1.95 · 10 20
N
kg (3.85 · 10 · 10 m)
L’ordre de grandeur de la force d’attraction entre la Terre et la Lune en N est donc de 1020.
75
Exercice 1.15
Effectuer et réduire.
a) x · x2 · x5
b) a3 + a3 + a3
c) s · s−2 · s4
d) b3 · b2 · b−5
e) (v 3)3
f) x + x2 + x5
g) (c · d2 · n5)3
h) x8 ÷ x4
i) x · x · x · x · x
j) x2 ÷ x5
k) (a2)4 · (a5)2
l) y · y 2 + y 3
76
Corrigé 1.15
a) x · x2 · x5 = x1+2+5 = x8
b) a3 + a3 + a3 = 3a3
c) s · s−2 · s4 = s1−2+4 = s3
d) b3 · b2 · b−5 = b3+2−5 = b0 = 1
e) (v 3)3 = v 3·3 = v 9
f) x + x2 + x5 = x + x2 + x5
g) (c · d2 · n5)3 = c3 · d2·3 · n5·3 = c3 · d6 · n15
h) x8 ÷ x4 = x8−4 = x4
i) x · x · x · x · x = x1+1+1+1+1 = x5
2 5 2−5 −3 1
j) x ÷ x = x =x = 3
x
k) (a2)4 · (a5)2 = a2·4 · a5·2 = a8 · a10 = a8+10 = a18
l) y · y 2 + y 3 = y 1+2 · y 3 = y 3 + y 3 = 2y 3
77
Exercice 1.16
a) (2x)4
b) (−x)3
c) (−3b)2
d) (7ab)2
e) (−xy 2z)3
f) (2a2b3c3)3
g) (−5uv 3)2
h) 3(xy)2
i) −(abc)2
j) (−y)89
k) ((a2)4)3
l) (−(ab)2)5
78
Corrigé 1.16
a) (2x)4 = 24 · x4 = 16x4
b) (−x)3 = ((−1) · x)3 = (−1)3 · x3 = −1 · x3 = −x3
c) (−3b)2 = (−3)2 · b2 = 9b2
d) (7ab)2 = 72 · a2 · b2 = 49a2b2
e) (−xy 2z)3 = (−1)3 · x3 · (y 2)3 · z 3 = (−1) · x3 · y 2·3 · z 3 = −x3y 6z 3
f) (2a2b3c3)3 = 23 · (a2)3 · (b3)3 · (c3)3 = 8a6b9c9
g) (−5uv 3)2 = (−5)2 · u2 · (v 3)2 = 25u2v 6
h) 3(xy)2 = 3 · (x2 · y 2) = 3x2y 2
i) −(abc)2 = −(a2 · b2 · c2) = −a2b2c2
j) (−y)89 = (−1)89 · y 89 = −1 · y 89 = −y 89
2 4 3 2·4 3 8 3
= a = a8·3 = a24

k) ((a ) ) = a
2 5 2 5
l) (−(ab) ) = (−1) · (a · b) = (−1) · a · b = (−1)5 · a2·5 · b2·5 = −1 · a10 · b10 = −a10b10
2 5 2

79
Exercice 1.17
a) 7a · 8c
b) 10b4 · 4c3
c) (−3x) · 8x
d) 5rst · 2abs2
e) 12a2b3c · 6ab3f
f) 3a2b3 · 6a2b3
g) 2x2y 4z 3 · 5yz 2 · 3x2yz
h) (−a2b)3 · a−2b
80
Corrigé 1.17
a) 7a · 8c = 56ac
b) 10b4 · 4c3 = 40b4c3
c) (−3x) · 8x = −24x2
d) 5rst · 2abs2 = 10abrs3t
e) 12a2b3c · 6ab3f = 72a3b6cf
f) 3a2b3 · 6a2b3 = 18a4b6
g) 2x2y 4z 3 · 5yz 2 · 3x2yz = 30x4y 6z 6
h) (−a2b)3 · a−2b = (−a6b3) · a−2b = −a4b4

81
Exercice 1.18
Calculer le carré et le cube de chaque monôme mis entre parentèses.
4 2

a) 3xyz
4 3

3xyz
3 2

b) −5ac
3 3

−5ac
c) (an)2
(an)3
d) (5xy)2
(5xy)3
2 2

e) 3(ac)
2 3

3(ac)
f) (xm)2
(xm)3
82
Corrigé 1.18
4 2
= 32 · x2 · y 2 · (z 4)2 = 9x2y 2z 8

a) 3xyz
4 3
= 33 · x3 · y 3 · (z 4)3 = 27x3y 3z 12

3xyz
3 2
= (−5)2 · a2 · (c3)2 = 25a2c6

b) −5ac
3 3
= (−5)3 · a3 · (c3)3 = −125a3c9

−5ac
c) (an)2 = a2n
(an)3 = a3n
d) (5xy)2 = 52 · x2 · y 2 = 25x2y 2
(5xy)3 = 53 · x3 · y 3 = 125x3y 3
2 2
e) 3(ac) = (3a2c2)2 = 32 · (a2)2 · (c2)2 = 9a4c4

2 3
3(ac) = (3a2c2)3 = 33 · (a2)3 · (c2)3 = 27a6c6

f) (xm)2 = x2m
(xm)3 = x3m
83
Exercice 1.19
Quel est le degré des monômes et polynômes suivants ?
a) 3a4
b) −3xy
c) 4x3y 4z 2
d) 55v
e) 3(ac3)2
f) x + x2 + x3
g) (ab)3 + c5
h) 32
i) x + x + x + x + x
84
Corrigé 1.19
Rappel :
Le degré d’un monôme est la somme de tous les degrés des lettres composant le monôme.
Le degré d’un polynôme est le degré du terme de plus haut degré.
a) 3a4 −→ Monôme −→ 4
b) −3xy −→ Monôme −→ 1 + 1 = 2
c) 4x3y 4z 2 −→ Monôme −→ 3 + 4 + 2 = 9
d) 55v −→ Monôme −→ 1
e) 3(ac3)2 = 3a2c6 −→ Monôme −→ 8
f) x + x2 + x3 −→ Polynôme −→ 3
g) (ab)3 + c5 = a3b3 + c5 −→ Polynôme −→ 3 + 3 = 6
h) 32 = 9 −→ Monôme−→ 0
i) x + x + x + x + x = 5x −→ Monôme −→ 1
85
Exercice 1.20
a) a4 − b + c4 − (b + c4) + (a4 + b)
b) (x + x2 + x4) − (x4 − x) − (−x + x4 − x2)
c) 6x + 3y − 4z + 3x − (x + y − z)
d) 3x2y 2 + 4y 4 − (x3y − 4x2y 2 − 3xy 3 + 2y 4) − xy 3 − (4x2y 2 + 3y 4) + 3x4
e) x2 − (y 2 − z 2) − [y 2 − (z 2 − x2)] − [z 2 − (y 2 − x2)]
86
3 3 2 2 3 2 2 3
f) [x + y − (3x y + 3xy )] − [(x − 3x y) − (3xy − y )]
g) 7a − {−3a − [4a − (5a − 2b)] − (−3b + 2a)}
h) [2x − (3y + z − 2)] − [2x − (3y + z) − 2]
i) a + {4b − [6c − (4d − 1)]} − [(a + 4b) − (6c − 4d) − 1]
j) 2x3 − {−5y 2 − [3x − 3x2 + 3y 2]} − {−x2 − y 2 − [x3 + 2x2 − 4y 2 − (3x3 − 5y 2 + 3x)]}
87
Corrigé 1.20
a) a4 − b + c4 − (b + c4) + (a4 + b)
= a4 − b + c4 − b − c4 + a4 + b
= 2a4 − b
b) (x + x2 + x4) − (x4 − x) − (−x + x4 − x2)

= x + x2 + x4 − x4 + x + x − x4 + x2
= −x4 + 2x2 + 3x
c) 6x + 3y − 4z + 3x − (x + y − z)
= 6x + 3y − 4z + 3x − x − y + z
= 8x + 2y − 3z
d) 3x2y 2 + 4y 4 − (x3y − 4x2y 2 − 3xy 3 + 2y 4) − xy 3 − (4x2y 2 + 3y 4) + 3x4

= 3x2y 2 + 4y 4 − x3y + 4x2y 2 + 3xy 3 − 2y 4 − xy 3 − 4x2y 2 − 3y 4 + 3x4
= 3x4 − x3y + 3x2y 2 + 2xy 3 − y 4
88
2 2 2 2 2 2 2 2 2
e) x − (y − z ) − [y − (z − x )] − [z − (y − x )]
= x2 − y 2 + z 2 − [y 2 − z 2 + x2] − [z 2 − y 2 + x2]
= x2 − y 2 + z 2 − y 2 + z 2 − x2 − z 2 + y 2 − x2
= −x2 − y 2 + z 2
f) [x3 + y 3 − (3x2y + 3xy 2)] − [(x3 − 3x2y) − (3xy 2 − y 3)]

= x3 + y 3 − 3x2y − 3xy 2 − [x3 − 3x2y − 3xy 2 + y 3)]
= x3 + y 3 − 3x2y − 3xy 2 − x3 + 3x2y + 3xy 2 − y 3
=0
g) 7a − {−3a − [4a − (5a − 2b)] − (−3b + 2a)}

= 7a − {−3a − [4a − 5a + 2b] + 3b − 2a}
= 7a − {−3a − 4a + 5a − 2b + 3b − 2a}
= 7a + 3a + 4a − 5a + 2b − 3b + 2a
= 11a − b
89
h) [2x − (3y + z − 2)] − [2x − (3y + z) − 2]
= [2x − 3y − z + 2] − [2x − 3y − z − 2]
= 2x − 3y − z + 2 − 2x + 3y + z + 2
=4
i) a + {4b − [6c − (4d − 1)]} − [(a + 4b) − (6c − 4d) − 1]

= a + 4b − [6c − 4d + 1] − [a + 4b − 6c + 4d − 1]
= a + 4b − 6c + 4d − 1 − a − 4b + 6c − 4d + 1
=0
j) 2x3 − {−5y 2 − [3x − 3x2 + 3y 2]} − {−x2 − y 2 − [x3 + 2x2 − 4y 2 − (3x3 − 5y 2 + 3x)]}
= 2x3 − {−5y 2 − 3x + 3x2 − 3y 2} − {−x2 − y 2 − [x3 + 2x2 − 4y 2 − 3x3 + 5y 2 − 3x]}
= 2x3 + 5y 2 + 3x − 3x2 + 3y 2 − {−x2 − y 2 − x3 − 2x2 + 4y 2 + 3x3 − 5y 2 + 3x}
= 2x3 + 5y 2 + 3x − 3x2 + 3y 2 + x2 + y 2 + x3 + 2x2 − 4y 2 − 3x3 + 5y 2 − 3x
= 10y 2
90
Exercice 1.21
Effectuer.
a) y(y + 1)
b) b4(a + b + b2)
c) 3x(x + 2x2)
d) −c(x + 2a − b)
e) 2ab(a + a2 + a3)
f) (6a2b3 − ab)2b2
g) −2axy 2(3xyz − 4a2y 3 + axy 2)
h) (−2a)3 · (a + b − c)
91
Corrigé 1.21
a) y(y + 1) = y 2 + y
b) b4(a + b + b2) = ab4 + b5 + b6
c) 3x(x + 2x2) = 3x2 + 6x3
d) −c(x + 2a − b) = −cx − 2ac + bc
e) 2ab(a + a2 + a3) = 2a2b + 2a3b + 2a4b
f) (6a2b3 − ab)2b2 = 12a2b5 − 2ab3
g) −2axy 2(3xyz − 4a2y 3 + axy 2) = −6ax2y 3z + 8a3xy 5 − 2a2x2y 4
h) (−2a)3 · (a + b − c) = (−8a3)(a + b − c) = −8a4 − 8a3b + 8a3c

92
Exercice 1.22
a) (3x − 2)(4y − 1)
b) (6a − 2)(2c + 2)
c) (5 − 3x)(x − 5)
d) (3c − 2a)(2a − 3c)
e) (2x − x2)(x3 − 3x)

93
2
f) (3y − 1)(4y − 5y + 6)
g) (x2 + x − 3)(1 − 2x)
h) (y 2 − 5y − 1)(y 2 − y + 1)
i) (y 2 + 2x − 1)(1 − 2x − y 2)
j) (2x + 1)(3x − 1)(5x + 2)

94
Corrigé 1.22
a) (3x − 2)(4y − 1)
= 12xy − 3x − 8y + 2
b) (6a − 2)(2c + 2)
= 12ac + 12a − 4c − 4
c) (5 − 3x)(x − 5)
= 5x − 3x2 − 25 + 15x
= −3x2 + 20x − 25
d) (3c − 2a)(2a − 3c)

= 6ac − 4a2 − 9c2 + 6ac
= −4a2 − 9c2 + 12ac
e) (2x − x2)(x3 − 3x)

= −x5 + 2x4 + 3x3 − 6x2
95
2
f) (3y − 1)(4y − 5y + 6)
= 12y 3 − 15y 2 + 18y − 4y 2 + 5y − 6
= 12y 3 − 19y 2 + 23y − 6
g) (x2 + x − 3)(1 − 2x)

= x2 + x − 3 − 2x3 − 2x2 + 6x
= −2x3 − x2 + 7x − 3
h) (y 2 − 5y − 1)(y 2 − y + 1)
= y 4 − 5y 3 − y 2 − y 3 + 5y 2 + y + y 2 − 5y − 1
= y 4 − 6y 3 + 5y 2 − 4y − 1
i) (y 2 + 2x − 1)(1 − 2x − y 2)
= y 2 + 2x − 1 − 2xy 2 − 4x2 + 2x − y 4 − 2xy 2 + y 2
= −y 4 − 4xy 2 + 2y 2 − 4x2 + 4x − 1
j) (2x + 1)(3x − 1)(5x + 2)

= (6x2 + x − 1)(5x + 2)
= 30x3 + 5x2 − 5x + 12x2 + 2x − 2
= 30x3 + 17x2 − 3x − 2
96
Exercice 1.23
a) 3a(a2 − 1) − 4a2(a + 2) − 3a + 4(a2 − 1)
b) −3x2(x3 − 2x2 + 4) + 4x3(1 − 2x) + x(x − 1) + 2x
c) [x − (x2 + 3)]2x2 + 3(x − 2) + 4x2
d) 3x{x − [2x2 − (−x + 4)] + 3} − 3x2(x − 2)
e) 3a[ab − (b2 + a2)] − 2b{2a2 − [3ab + b2] + ab}

97
2 2
f) (x − x + 1)(x + x + 1)
g) (a2 − b2)(2a − 3b + 5c) + (b − a)(3a2 + 4bc − 5ac) + (b2 − a2)(4a − 3b + c)
h) (y + 2)[y 2 − (1 − y)] − y(2 − y 2)
i) z 3 + a2z − [a3 − (z + a)(z 2 + a2)]
j) [(x2 + 1) − 3x(x + 2)][x − (x2 + 1)]

98
Corrigé 1.23
a) 3a(a2 − 1) − 4a2(a + 2) − 3a + 4(a2 − 1)

= 3a3 − 3a − 4a3 − 8a2 − 3a + 4a2 − 4
= −a3 − 4a2 − 6a − 4
b) −3x2(x3 − 2x2 + 4) + 4x3(1 − 2x) + x(x − 1) + 2x

= −3x5 + 6x4 − 12x2 + 4x3 − 8x4 + x2 − x + 2x
= −3x5 − 2x4 + 4x3 − 11x2 + x
c) [x − (x2 + 3)]2x2 + 3(x − 2) + 4x2

= [x − x2 − 3]2x2 + 3x − 26 + 4x2
= 2x3 − 2x4 − 6x2 + 3x − 6 + 4x2
= −2x4 + 2x3 − 2x2 + 3x − 6
d) 3x{x − [2x2 − (−x + 4)] + 3} − 3x2(x − 2)

= 3x{x − [2x2 + x − 4] + 3} − 3x3 + 6x2
= 3x{x − 2x2 − x + 4 + 3} − 3x3 + 6x2
= 3x2 − 6x3 − 3x2 + 12x + 9x − 3x3 + 6x2
= −9x3 + 6x2 + 21x
99
2 2 2 2
e) 3a[ab − (b + a )] − 2b{2a − [3ab + b ] + ab}
= 3a[ab − b2 − a2] − 2b{2a2 − 3ab − b2 + ab}
= 3a2b − 3ab2 − 3a3 − 4a2b + 6ab2 + 2b3 − 2ab2
= −3a3 − a2b + ab2 + 2b3
f) (x2 − x + 1)(x2 + x + 1)
= x4 − x3 + x2 + x3 − x2 + x + x2 − x + 1
= x4 + x2 + 1
g) (a2 − b2)(2a − 3b + 5c) + (b − a)(3a2 + 4bc − 5ac) + (b2 − a2)(4a − 3b + c)

= 2a3 − 3a2b + 5a2c − 2ab2 + 3b3 − 5b2c + 3a2b + 4b2c − 5abc − 3a3−4abc + 5a2c + 4ab2
− 3b3 + b2c − 4a3 + 3a2b − a2c
= −5a3 + 3a2b + 9a2c + 2ab2 − 9abc
h) (y + 2)[y 2 − (1 − y)] − y(2 − y 2)

= (y + 2)[y 2 − 1 + y] − 2y + y 3
= y 3 + 2y 2 − y − 2 + y 2 + 2y − 2y + y 3
= 2y 3 + 3y 2 − y − 2
100
3 2 3 2 2
i) z + a z − [a − (z + a)(z + a )]
= z 3 + a2z − [a3 − (z 3 + az 2 + a2z + a3)]
= z 3 + a2z − [a3 − z 3 − az 2 − a2z − a3]
= z 3 + a2z − a3 + z 3 + az 2 + a2z + a3
= 2z 3 + az 2 + 2a2z
j) [(x2 + 1) − 3x(x + 2)][x − (x2 + 1)]

= [x2 + 1 − 3x2 − 6x][x − x2 − 1]
= [−2x2 − 6x + 1][−x2 + x − 1]
= 2x4 + 6x3 − x2 − 2x3 − 6x2 + x + 2x2 + 6x − 1
= 2x4 + 4x3 − 5x2 + 7x − 1
101
Exercice 1.24
Voici trois polynômes :
1 2 4 5 2
A = x3 − x2 + 1 B = x3 − x C = x−
2 3 5 2 5
Calculer :
a) P = AB
b) Q = BC
c) R = C(A + B)
d) S = 6A − 5B
102
Corrigé 1.24

1 3 2 2 3 4
a) P = AB = x − x +1 x − x
2 3 5
1 2 2 8 4
= x6 − x5 + x3 − x4 + x3 − x
2 3 5 15 5
1 2 2 23 4
= x6 − x5 − x4 + x3 − x
2 3 5 15 5

4 5 2
b) Q = BC = x3 − x x−
5 2 5
5 4 2 3 2 8
= x − x − 2x + x
2 5 25
103
5 2 1 3 2 2 4
c) R = C(A + B) = x− x − x + 1 + x3 − x
2 5 2 3 5

5 2 3 3 2 2 4
= x− x − x − x+1
2 5 2 3 5
15 4 5 3 2 5 3 3 4 2 8 2
= x − x − 2x + x − x + x + x −
4 3 2 5 15 25 5
15 4 34 3 26 2 141 2
= x − x − x + x−
4 15 15 50 5

1 3 2 2 3 4
d) S = 6A − 5B = 6 x − x +1 −5 x − x
2 3 5
= 3x3 − 4x2 + 6 − 5x3 + 4x
= −2x3 − 4x2 + 4x + 6
104
Exercice 1.25
Résoudre les équations.
a) 13 − (y + 3) = 7 d) 4x − (2 − x) = x − 8
b) z + (z − 5) = 3 e) 5 + (d − 3) = 2 − (d + 2)
c) 3x − (8 − x) = 0 f) 5t + (7 − t) = −1
105
g) 8x + (x − 7) = 9x − (3 + 4x) j) −9z = (7z + 15) − (10z − 8 + 5z)
h) 8t − (9 + 4t) − 5 = 7t − 6 k) 7u + (4 − u) = −2 − (u + 8)
i) 0 = 14 + 2x − (3x + 6) − 8x l) (5x + 3) − (2x − 2) = 23

106
m) (5m + 3) + (2m − 4) = 9 − (2 − 3m) q) 110 − (9y − 15) + 2y = 15 − 18y
n) (x + 1) + (x − 2) − (x + 3) = 0 r) −(−(12x − 9) + 8x − 60) = −(9 + x)
o) (r − 3) − (r − 5) = 7 − (5 − r) − 2 s) x − ((3 − 6x) − (12x − 9)) = x + 15
p) −(10 − 8u) − (6 − 12u) = 2 − 4u t) (7x − 6) + (6x − 4) − (2 − 3x) = −4

107
Corrigé 1.25
a) 13 − (y + 3) = 7 d) 4x − (2 − x) = x − 8
13 − y − 3 = 7 5x − 2 = x − 8
10 − y = 7 4x = −6
3=y 6 3
x=− =−
S = {3} 4 2

3
S= −
b) z + (z − 5) = 3 2
z+z−5=3
e) 5 + (d − 3) = 2 − (d + 2)
2z = 8
2 + d = −d
z=4
2 = −2d
S = {4}
d = −1
c) 3x − (8 − x) = 0 S = {−1}
3x − 8 + x
f) 5t + (7 − t) = −1
4x = 8
4t + 7 = −1
x=2
4t = −8
S = {2}
t = −2
S = {−2}
108
g) 8x + (x − 7) = 9x − (3 + 4x) j) −9z = (7z + 15) − (10z − 8 + 5z)
9x − 7 = 5x − 3 − 9z = −8z + 23
4x = 4 z = −23
x=1 S = {−23}
S = {1}
k) 7u + (4 − u) = −2 − (u + 8)
h) 8t − (9 + 4t) − 5 = 7t − 6 6u + 4 = −10 − u
4t − 14 = 7t − 6 7u = −14
− 8 = 3t u = −2
8 S = {−2}
t=−
3

8 l) (5x + 3) − (2x − 2) = 23
S= −
3 3x + 5 = 23
3x = 18
i) 0 = 14 + 2x − (3x + 6) − 8x
x=6
0 = 8 − 9x
S = {6}
9x = 8
8
x=
9

8
S=
9
109
m) (5m + 3) + (2m − 4) = 9 − (2 − 3m) o) (r − 3) − (r − 5) = 7 − (5 − r) − 2
7m − 1 = 7 + 3m 2=r
4m = 8 S = {2}
m=2
S = {2} p) −(10 − 8u) − (6 − 12u) = 2 − 4u
− 16 + 20u = 2 − 4u
n) (x + 1) + (x − 2) − (x + 3) = 0 24u = 18
x−4=0 18 3
u= =
x=4 24 4

S = {4} 3
S=
4
110
q) 110 − (9y − 15) + 2y = 15 − 18y s) x − ((3 − 6x) − (12x − 9)) = x + 15
125 − 7y = 15 − 18y 19x − 12 = x + 15
110 = −11y 18x = 27
y = −10 27 3
x= =
S = {−10} 18 2

3
S=
r) −(−(12x − 9) + 8x − 60) = −(9 + x) 2
4x + 51 = −9 − x
5x = −60 t) (7x − 6) + (6x − 4) − (2 − 3x) = −4
x = −12 16x − 12 = −4
S = {−12} 16x = 8
8 1
x= =
16 2

1
S=
2
111
Exercice 1.26
x x 1 x 3x
a) 3x + 100 = + − 4 c) 3x − + 6 = 25 +
3 2 2 5 2
1 1 2x 1

5x

27
b) 3x − (4 − x) = x − d) − −4 =x+
2 3 5 3 4 5
112
5x − 11 x − 1 11x − 1 x + 1 6x + 7 4 − 3x 1
e) − = g) − = −
4 10 12 2 8 5 8
x − 2 12 − x 5x − 36 5x − 1 9x − 7 9x − 5
f) − = −1 h) − + =0
3 2 4 7 5 11
113
x x x x
i) + = 10 j) x + + = 11
2 3 2 3
114
Corrigé 1.26
x x 1 x 3x
a) 3x + 100 = + − 4 c) 3x − + 6 = 25 +
3 2 2 5 2
18x + 600 = 2x + 3x − 24 30x − x − 30 = 250 + 15x
13x = −624 14x = 280
x = −48 x = 20
S = {−48} S = {20}
1 1

b) 3x − (4 − x) = x − 2x 1 5x 27
2 3 d) − −4 =x+
5 3 4 5
18x − 12 + 3x = 6x − 2 24x − 25x + 80 = 60x + 324
15x = 10 − 61x = 244

10 2
x= = x = −4
15
3
2
S= S = {−4}
3
115
5x − 11 x − 1 11x − 1 x + 1 6x + 7 4 − 3x 1
e) − = g) − = −
4 10 12 2 8 5 8
75x − 165 − 6x + 6 = 55x − 5 20x + 20 − 30x − 35 = 32 − 24x − 5
14x = 154 14x = 42
x = 11 x=3
S = {11} S = {3}
x − 2 12 − x 5x − 36 5x − 1 9x − 7 9x − 5
f) − = −1 h) − + =0
3 2 4 7 5 11
4x − 8 − 72 + 6x = 15x − 108 − 12 275x − 55 − 693x + 539 + 315x − 175 = 0
40 = 5x − 103x + 309 = 0
8=x x=3
S = {8} S = {3}
116
x x x x
i) + = 10 j) x + + = 11
2 3 2 3
3x + 2x = 60 6x + 3x + 2x = 66
5x = 60 11x = 66
x = 12 x=6
S = {12} S = {6}
117
Exercice 1.27
4x 7x 9x
a) 36 − =8 c) −5= −8
9 8 10
x x x 2x x 1
b) −2− + =1 d) + =4+
2 4 5 7 11 7
118
7x x 1 x 1 1
e) 9 −3 =5 1− g) + = (7x − 30)
2 10 8 10 2 40
1 1 12 − 3x 3x − 11
f) (3x − 1) − (4 − x) = 0 h) − =1
2 4 4 3
119
x − 5 284 − x 5x − 6 3x x − 4
i) − − 6x = 0 k) − =
4 5 5 13 9
3x − 1 1 − 4x 3 x 943 19x 1703

j) + =x− l) + = −
2 8 8 4 1000 10 250
120
x x x 5 3 2
m) + − = 7 n) (3x − 7) = x + 4 +
2 3 4 6 4 3
121
Corrigé 1.27
4x 7x 9x
a) 36 − =8 c) −5= −8
9 8 10
324 − 4x = 72 35x − 200 = 36x − 320
252 = 4x 120 = x
63 = x S = {120}
S = {63} 2x x 1
d) + =4+
7 11 7
x x x
b) −2− + =1 22x + 7x = 308 + 11
2 4 5
10x − 40 − 5x + 4x = 20 29x = 319
9x = 60 S = {11}
20
x=
3

20
S=
3
122
7x x 1 x 1 1
e) 9 −3 =5 1− g) + = (7x − 30)
2 10 8 10 2 40
63x − 54 = 10 − x x + 5 = 14x − 60
64x = 64 65 = 13x
x=1 5=x
S = {1} S = {5}
1 1 12 − 3x 3x − 11
f) (3x − 1) − (4 − x) = 0 h) − =1
2 4 4 3
6x − 2 − 4 + x = 0 36 − 9x − 12x + 44 = 12
7x = 6 − 21x = −68
6 68
x= x=
7 21

6 68
S= S=
7 21
123
x − 5 284 − x 5x − 6 3x x − 4
i) − − 6x = 0 k) − =
4 5 5 13 9
5x − 25 − 1136 + 4x − 120x = 0 585x − 702 − 135x = 65x − 260
− 111x − 1161 = 0 385x = 442

1161 442
x=− x=
111 385

387 442
S= − S=
37 385
3x − 1 1 − 4x 3 x 943 19x 1703

j) + =x− l) + = −
2 8 8 4 1000 10 250
12x − 4 + 1 − 4x = 8x − 3 250x + 943 = 1900x − 6812
0=0 7755 = 1650x

7755
S=R x=
1650

47
S=
10
124
x x x 5 3 2
m) + − = 7 n) (3x − 7) = x + 4 +
2 3 4 6 4 3
6x + 4x − 3x = 84 30x − 70 = 9x + 48 + 8
7x = 84 21x = 126
x = 12 x=6
S = {12} S = {6}
125
Exercice 1.28
3b 3b 1 x 1 x 1 x 1 1 x
a) b + − 2 = − c) − − + = − + −
2 4 4 3 3 4 4 5 5 6 6
3t 5t 4t 3t 2 13t x 5x x
b) − 18 − − + + = d) 18x + + − 36 − 8x = 360 +
8 6 5 7 3 14 4 6 12
126
2 7 5 x 39 2x + 1 3x + 1 5x − 2
e) x − x − 5 = x + − g) + = 28 −
3 4 6 2 2 3 4 7
3x 9x 27x 81x 1 6x + 7 x + 1 4 − 3x
f) x + + + + = 8591 h) = − +
4 16 64 256 8 8 2 5
127
10x + 11 14x − 13 7 − 6x 9(134 − 25x) 71 317 7x
i) − −4= j) + = −
6 3 4 40 10 8 8
128
Corrigé 1.28
3b 3b 1 x 1 x 1 x 1 1 x
a) b + − 2 = − c) − − + = − + −
2 4 4 3 3 4 4 5 5 6 6
4b + 6b − 8 = 3b − 1 20x−20−15x+15 = 12x−12+10−10x
7b = 7 3x = 3
b=1 x=1
S = {1} S = {1}
3t 5t 4t 3t 2 13t x 5x x
b) − 18 − − + + = d) 18x + + − 36 − 8x = 360 +
8 6 5 7 3 14 4 6 12
315t − 15120 − 700t − 672t + 360t + 560 = 780t 216x + 3x + 10x − 432 − 96x = 4320 + x
− 1477t = 14560 132x = 4752

14560
t=− x = 36
1477
2080 S = {36}
S= −
211
129
2 7 5 x 39 2x + 1 3x + 1 5x − 2
e) x − x − 5 = x + − g) + = 28 −
3 4 6 2 2 3 4 7
8x − 21x − 60 = 10x + 6x − 234 56x + 28 + 63x + 21 = 2352 − 60x + 24
− 29x = −174 179x = 2327
x=6 x = 13
S = {6} S = {13}
3x 9x 27x 81x 1 6x + 7 x + 1 4 − 3x
f) x + + + + = 8591 h) = − +
4 16 64 256 8 8 2 5
256x + 192x + 144x + 108x + 81x = 2199296 5 = 30x + 35 − 20x − 20 + 32 − 24x
781x = 2199296 42 = 14x
x = 2816 x=3
S = {2816} S = {3}
130
10x + 11 14x − 13 7 − 6x 9(134 − 25x) 71 317 7x
i) − −4= j) + = −
6 3 4 40 10 8 8
20x + 22 − 56x + 52 − 48 = 21 − 18x 1206 − 225x + 284 = 1585 − 35x
− 18x = −5 − 190x = 95
5 95
x= x=−
18 190

5 1
S= S= −
18 2
131
10 Solutions
Solution 1.1
31 109 26 784 17
a) c) e) − g) i)
24 1000 15 225 63
23 87 50 7
b) d) f) h)
12 20 27 10
Solution 1.2
251 23 128
a) − b) c) −
40 9 99
Solution 1.3
a) 26 c) 50 e) 51 g) 40 i) 35
b) 1 d) 39 f) 10 h) 14
Solution 1.4
a) Oui c) N, Z, Q et R
b) Q et R d) (i) faux (ii) faux (iii) vrai
132
Solution 1.5
a) 33 = 27 b) 26 = 64 c) 27 = 128 d) 54 = 625 33 27
e) 3 =
4 64
Solution 1.6
a) a13 c) a 1 g) a20 · b12

e) 4
a b6
b) a11 d) a12 f) a−8 h) 16
a
Solution 1.7
a) 6 · 102 d) 8 · 105 g) 1.25 · 10−1

b) 1 · 101 e) 5.4 · 10−6 h) 1 · 105
c) 5 · 10−3 f) 1 · 10−6 i) 8 · 100
133
Solution 1.8
a) 400000000 c) 0.00004 e) 60987000000000000

b) 125 d) 0.2 f) 0.0000003001404
Solution 1.9
a) 2 f) 2 · 101 k) 1.8 · 101 p) 2.5 · 10−35

b) 1.8 · 1010 g) 1.68 · 1010 l) 9 · 105 q) 1.6 · 1015
c) 107 h) 1 · 100 = 1 m) 1.9 · 105 r) 4 · 1035
d) 5 · 102 i) 3 · 100 = 3 n) 1023 s) 8.1 · 10−35
e) 1.6 · 10−8 j) 2· 109 o) 1.296 · 1025 t) 1 · 1018
Solution 1.10
a) 0.15m b) 2000000000nm
Solution 1.11
a) 46.7 b) 10−5. Donc 5 fois plus petite.

134
Solution 1.12
a) 2.5 · 1013 b) 3.5 · 1010 c) 7.5 · 107mm
Solution 1.13
a) 6µm donc limon, d) 1.5µm donc argile,

b) 1000µm = 1 mm donc sable grossier, e) 30µm donc sable très fin,
c) 4 · 10−3µm donc argile, f) 150µm donc sable fin.
Solution 1.14
1020N
Solution 1.15
a) x8 d) 1 g) c3 · d6 · n15 1
j)
x3
b) 3a3 e) v 9 h) x4 k) a18
c) s3 f) x + x2 + x5 i) x5 l) 2y 3
135
Solution 1.16
a) 16x4 d) 49a2b2 g) 25u2v 6 j) −y 89

b) −x3 e) −x3y 6z 3 h) 3x2y 2 k) a24
c) 9b2 f) 8a6b9c9 i) −a2b2c2 l) −a10b10
Solution 1.17
a) 56ac c) −24x2 e) 72a3b6cf g) 30x4y 6z 6

b) 40b4c3 d) 10abrs3t f) 18a4b6 h) −a4b4
Solution 1.18
a) 9x2y 2z 8 et 27x3y 3z 12 c) a2n et a3n e) 9a4c4 et 27a6c6

b) 25a2c6 et −125a3c9 d) 25x2y 2 et 125x3y 3 f) x2m et x3m
136
Solution 1.19
a) 2a4 − b f) 0
b) −x4 + 2x2 + 3x g) 11a − b
c) 8x + 2y − 3z h) 4
d) 3x4 − x3y + 3x2y 2 + 2xy 3 − y 4 i) 0
e) −x2 − y 2 + z 2 j) 10y 2
Solution 1.20
a) y 2 + y e) 2a2b + 2a3b + 2a4b

b) ab4 + b5 + b6 f) 12a2b5 − 2ab3
c) 3x2 + 6x3 g) −6ax2y 3z + 8a3xy 5 − 2a2x2y 4
d) −cx − 2ac + bc h) −8a4 − 8a3b + 8a3c
137
Solution 1.21
a) 12xy − 3x − 8y + 2 f) 12y 3 − 19y 2 + 23y − 6

b) 12ac + 12a − 4c − 4 g) −2x3 − x2 + 7x − 3
c) −3x2 + 20x − 25 h) y 4 − 6y 3 + 5y 2 − 4y − 1
d) −4a2 − 9c2 + 12ac i) −y 4 − 4xy 2 + 2y 2 − 4x2 + 4x − 1
e) −x5 + 2x4 + 3x3 − 6x2 j) 30x3 + 17x2 − 3x − 2
Solution 1.22
a) −a3 − 4a2 − 6a − 4 f) x4 + x2 + 1
b) −3x5 − 2x4 + 4x3 − 11x2 + x g) −5a3 + 3a2b + 9a2c + 2ab2 − 9abc
c) −2x4 + 2x3 − 2x2 + 3x − 6 h) 2y 3 + 3y 2 − y − 2
d) −9x3 + 6x2 + 21x i) 2z 3 + az 2 + 2a2z
e) −3a3 − a2b + ab2 + 2b3 j) 2x4 + 4x3 − 5x2 + 7x − 1
138
Solution 1.23
1 2 2 23 4 15 4 34 3 26 2 141 2
a) x6 − x5 − x4 + x3 − x c) x − x − x + x−
2 3 5 15 5 4 15 15 50 5
5 4 2 3 2 8
b) x − x − 2x + x d) −2x3 − 4x2 + 4x + 6
2 5 25
Solution 1.24
a) S = {3} g) S = {1} l) S = {6} q) S = {−10}

b) S = {4} 8 m) S = {2}
h) S = − r) S = {−12}
c) S = {2} 3
n) S = {4}

3

8 3
d) S = − i) S = s) S =
2 9 o) S = {2} 2
e) S = {−1} j) S = {−23}

3 1
p) S = t) S =
f) S = {−2} k) S = {−2} 4 2
139
Solution 1.25
a) S = {−48} c) S = {20} f) S = {8} i) S = {12}

d) S = {−4} g) S = {3}

2 j) S = {6}
b) S =
3 e) S = {11} h) S = {3}
Solution 1.26
a) S = {63} e) S = {1}

i) S = 47

387 l) S =

20 6 − 10
b) S = f) S =
7 37 m) S = {12}
3
g) S = {5} j) S = R
c) S = {120} n) S = {6}
68 442
h) S = k) S =
d) S = {11} 21 385
Solution 1.27
a) S = {1} c) S = {1} f) S = {2816}

5
i) S =
b) S 18
= d) S = {36} g) S = {13}
2080 1
− j) S = −
211 e) S = {6} h) S = {3} 2
Chapitre 2
La géométrie plane
141
1 Les vecteurs dans le plan

Intuitivement, en mathématiques et en physique, un vecteur est un objet utilisé dans le plan (ou
dans l’espace) pour représenter une translation, un mouvement, une accélération, une force, etc.
Un vecteur est représenté par une flèche.
Dans l’exemple ci-dessous, 4 représentants d’un même vecteur ~v dans le plan sont dessinés.
142
Un vecteur est un objet mathématique qui a les trois mêmes caractéristiques qu’une translation :
— la direction,
— le sens,
— la longueur.
La direction du vecteur est donnée par une droite (ce n’est pas la position de la droite qui compte
mais son orientation !), son sens est donné par une flèche (chaque direction a deux sens possibles)
et sa longueur est donnée par la longueur de la flèche (qui sera appelée norme).
Tant que les trois caractéristiques (direction, sens, longueur) sont exactement les mêmes, le
vecteur est le même. Peu importe où il est représenté. On parle de représentant du vecteur ~v .
143
2 Les vecteurs
Définition
Un vecteur peut être défini par une translation amenant d’un point A à un point B.
−→
On le note AB ou ~a.
— A est appelé l’origine du vecteur ~a,
— B est appelé l’extrémité du vecteur ~a,
— la droite passant par les points A et B est le support du vecteur et indique sa direction,
— la flèche représentant le vecteur donne son sens,
— la longueur du vecteur est donnée par la distance entre les points A et B : δ(a; B),
— la longueur d’un vecteur est appelée sa norme. Elle est toujours positive.
Un vecteur est alors défini par :

— sa direction : donnée par la droite sup-
port,
— son sens : donné par le sens de la flèche,
— sa norme : donnée par la longueur de la
flèche.
144
3 Les vecteurs égaux

Définition
Deux vecteurs égaux (où équivalents ou encore équipollents) définissent la même translation.
Ils ont les mêmes caratéristiques de direction, de sens et de norme.
Ce sont les représentants d’un même vecteur.
Exemple
Les vecteurs de la figure ci-dessous sont égaux :
−→ −−→
— AP = BQ
−→ −→
— AP = DS
−→ −→
— AP = CR
145
Deux vecteurs égaux ont la même direction, le même sens et la même norme.
Deux vecteurs égaux sont parallèles.
Exemple
Trouvez les vecteurs égaux des deux figures ci-dessous.
On a (entres autres) : On a (entres autres) :

−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −→ −→
— AO = OD = F E = BC — HG = DC = AB = EF
−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→
— AF = BO = OE = CD — AD = EH = F G = BC
— etc. — etc.
146
4 Notation
— Un vecteur est noté au moyen d’une lettre minuscule surmonté d’une flèche : ~v .
−→
— Si l’on connait l’origine A et l’extrémité B d’un vecteur, on peut le noter : AB.
−→ −→
— Si le vecteur est donné par AB, sa norme (longueur) est notée : ||AB||.
— Si le vecteur est donnée par →−v , sa norme est notée : ||→
−
v ||.
5 Vecteur nul
Définition
−→
Le vecteur AA, dont l’origine et l’extrémité sont confondues, est appelé le vecteur nul ou
→
−
le vecteur identité et on le note 0 (0 est zéro).
Sa direction et son sens ne sont pas définis. Sa norme est nulle, c’est à dire qu’il n’y a pas de
déplacement.
−→ →
−
||AA|| = || 0 || = 0
On a :
−→ −→ → −
||AB|| = 0 ⇔ AB = 0 ⇔ A = B
147
6 Direction 6= sens
Deux vecteurs peuvent avoir la même direction et :
— le même sens,
— un sens contraire.
Exemple
Ci-contre, les vecteurs ~u et ~v ont même direc-
tion ET même sens, alors que les vecteurs ~u et
w
~ ont certes, même direction, mais leur sens
sont contraires !
148
7 Opérations sur les vecteurs

Il y a principalement deux opérations possibles sur les vecteurs : l’addition des deux vecteurs et
la multiplication d’un vecteur par un scalaire.
7.1 Addition de deux vecteurs

Intuitivement, cela consiste à effectuer la translation représentée par le premier vecteur, suivie
de la translation représentée par le deuxième vecteur. Soit les deux vecteurs ~v et w,
~ la somme
de ces deux vecteurs correspond à la composition des deux translations représentées par ~v et w ~
et on la note : ~v + w
~
149
150
Pour additionner deux vecteurs ~v et w,

~ il faut faire coïncider l’origine du second vecteur w
~ avec
l’extrémité du premier ~v .
Le vecteur allant de l’origine du premier ~v à l’extrémité du second w

~ est la somme de ~v et w,
~
notée
~v + w
~
Remarque : Attention, ce n’est pas une addition de nombre : ||~v + w||
~ ≤ ||~v || + ||w||
~
151
Propriétés de l’addition de vecteurs

Soit ~u, ~v et w
~ des vecteurs du plan. Alors :
(a) ~u + ~v = ~v + ~u
L’addition de vecteur est commutative
(b) ~v + ~0 = ~0 + ~v = ~v
Le vecteur nul est un élément neutre pour l’addition
(c) ~v + (−~v ) = ~0
−~v est le vecteur opposé au vecteur ~v , de
même direction, de sens opposé et de même
longueur que ~v .
(d) (~u + ~v ) + w
~ = ~u + (w
~ + ~v )
L’addition de vecteurs est associative.
152
Remarques
(a) Les vecteurs ~a et −~a correspondent à une translation et sa réciproque. En effet, on a :
−→ −→
~a = AB ⇔ −~a = BA
(b) On définit la soustraction vectorielle comme l’addition de l’opposé :
~a − ~b = ~a + (−~b) = −~b + ~a
(c) Soit A, B et C trois points quelconque.
On a la relation de Chasles :
−→ −−→ −→
AB + BC = AC
(d) On peut écrire la relation de Chasles ainsi avec les point O, A et B ou O. On obtient la
relation extrémité-origine :
−→ −→ −−→
OA + AB = OB
−→ −−→ −→
AB = OB − OA
153
Exemple
−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→
(a) AB + DE + BD = (AB + BD) + DE = AD + DE = AE
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
(b) BC − DE − BD = BC + ED + DB = BC + EB = EB + BC = EC
(c) Soit l’hexagone régulier ci-contre :
−−→ −−→ −−→

OE + ED = OD
−→ −−→ −−→
OF + OD = OE
−→ −→ −→ −→ −−→ −→
AO + F O + AF − OA − DO = 4AO
−−→ −−→ −−→

2BO − DE = BD
154
7.2 Multiplication d’un vecteur par un scalaire

On peut multiplier n’importe quel vecteur ~v par un nombre réel λ. On note ce produit :
λ · ~v
Intuitivement, cela revient à modifier la longueur et le sens (si le nombre est négatif) d’un vecteur.
~ = λ · ~v est caractérisé par :

Le vecteur w
(a) une direction identique à celle du vecteur ~v ,
(b) un même sens que ~v si λ > 0 et le sens contraire si λ < 0,
(c) une norme égale au produit de celle de ~v par |λ| : ||λ · ~v || = |λ| · ||~v ||.
155
Propriétés de la multiplication d’un vecteur par un scalaire

Soit ~u et ~v des vecteurs du plan et λ, µ ∈ R des scalaires. Alors :
1. λ · (~u + ~v ) = λ · ~u + λ · ~v
2. (λ + µ) · ~u = λ · ~u + µ · ~u
3. λ · (µ · ~u) = (λ · µ) · ~u
4. 1 · ~u = ~u
5. (−1) · ~u = −~u
6. λ · (−~u) = (−λ) · ~u = − (λ · ~u)
7. 0 · ~u = ~0
8. λ · ~0 = ~0
156
Exemple
a) 3 · (~a + ~b) = 3 · ~a + 3 · ~b
b) 5 · ~a − 7 · ~a = (5 − 7) · ~a = −2 · ~a
c) 3 · (5 · ~a) = 3 · 5 · ~a = 15 · ~a
d) 2 · (3 · ~a − 4 · ~b) = 2 · 3 · ~a − 2 · 4~b = 6 · ~a − 8 · ~b
Définition
Le vecteur ~b est une combinaison linéaire des vecteurs ~e1, ~e2, . . .~en s’il existe des nombres
b1, b2, . . .bn tel que :
~b = b1 · ~e1 + b2 · ~e2 + · · · + bn · ~en
Exemple
Soit la somme vectorielle :
d~ = 2 · ~a − 3 · ~b + 5 · ~c
Le vecteur d~ est une combinaison linéaire des vecteurs ~a, ~b et ~c
157
Définition
Des vecteurs sont linéairement dépendants si l’un d’eux au moins, est une combinaison
linéaire des autres.
Dans le cas contraire, ils sont linéairement indépendants.
Exemple
Soit :
2
d~ = 5~a − ~b + 8~c
5
Ici, les vecteurs ~a, ~b, ~c et d~ sont linéairement dépendants.
Définition
Des vecteurs de même direction sont appelés colinéaires.
Remarque :
— Par convention, le vecteur nul ~0 est colinéaire à tout autre vecteur.
— Deux vecteurs du plan sont colinéaires si et seulement ils sont linéairement dépendants.
— Il s’ensuit que les vecteurs ~a et k · ~a sont colinéaires.
— Inversément, deux vecteurs colinéaires sont multiples l’un de l’autre :
~a et ~b sont colinéaires ⇔ ~a = λ · ~b
158
Dans l’exemple ci-dessous, tous les vecteurs sont colinéaires :
159
8 Les bases
Définition
Une base du plan est un couple de vecteurs non colinéaires (→ −
e1 ; →
−
e2 ) notée B (→
−
e1 ; →
−
e2 ) .
Lorsque les vecteurs →
−
e1 et →
−
e2 sont orthogonaux, la base est dite orthogonale.
Dans ce cas, le vecteur →
−
e1 est associé à l’axe x et le vecteur →
−
e2 à l’axe y.
Dans le cadre du présent cours de mathéma-

tiques, les bases utilisées sont toujours ortho-
gonales.
160
9 Les composantes d’un vecteur

Sur la figure ci-dessous, dans la base B (→−
e1 ; →
−
e2 ), pour aller de l’origine à l’extrémité du vecteur
~v , il faut avancer de trois vecteur de base ~e1 et descendre de un vecteur de base ~e2. On utilise
l’écriture suivante où 3 et -1 sont les composantes de ~v :
~v = 3 · ~e1 − 1 · ~e2
Pour simplifier l’écriture, on utilise une notation en colonne dont les éléments sont appelés les
composantes du vecteur ~v : !
3
~v =
−1
161
!
3
~v =
−1
162
La première composante indique le déplacement horizontal par rapport au vecteur → −

e1 (nombre
positif pour un déplacement vers la droite et négatif pour la gauche) et la deuxième composante
indique le déplacement vertical par rapport au vecteur →−
e2 (nombre positif pour un déplacement
vers le haut et négatif vers le bas).
→
−
Remarque : On utilise souvent (comme dans la représentation précédente) les vecteurs i et
→
−
j à la place des vecteurs →−
e1 et →
−
e2 .
163
10 Opérations sur composantes des vecteurs

10.1 Addition de deux vecteurs
Sur la figure ci-dessous, on a les vecteurs :
! ! ! !
v1 5 w1 6
~v = = et w
~= =
v2 3 w2 −8
La somme de ~v et w~ est :
! ! ! ! ! !
5 6 11 6 5 11
~v + w
~= + = w
~ + ~v = + =
3 −8 −5 −8 3 −5
164
Définition
! !
v1 w1
Soient ~v = et w
~= . Alors :
v2 w2
! ! !
v1 w1 v1 + w1
~v + w
~= + =
v2 w2 v2 + w2
Exemple
! !
3 2
Soient ~u = et ~v = . Alors :
−5 1
! ! !
3 2 5
~u + ~v = + =
−5 1 −4
! ! !
2 3 5
~v + ~u = + =
1 −5 −4
165
10.2 Multiplication d’un vecteur par un scalaire

Sur la figure ci-dessous, on a le vecteur :
! !
v1 6
~v = =
v2 2
Le produit de ~v par un scalaire est :

! ! ! !
6 −6 1 1 6 −3
— −1 · ~v = −1 · = — − · ~v = − · =
2 −2 2 2 2 −1
! ! ! !
6 12 6 18
— 2 · ~v = 2 · = — 3 · ~v = 3 · =
2 4 2 6
166
Définition
!
v1
Soient ~v = et λ ∈ R. Alors :
v2
!
λ · v1
λ · ~v =
λ · v2
Exemple
! !
−7 2
Soient ~u = et ~v = . Alors :
2 −1
! !
−7 −21
3 · ~u = 3 · =
2 6
2
 
 −3 
!
1 1 2
− · ~v = − · =
3 3 −1 1 
3
167
11 Dépendance linéaire et algèbre dans le plan

Rappel : Dans les pages précédentes, on a vu que deux vecteurs non nuls ~a et ~b du plan sont
colinéaires si et seulement s’il existe un scalaire λ tel que ~a = λ · ~b.
Exemple
! ! √ !
→
− 1 →
− −1 →
− 5 √
2
Les vecteurs d1 = , d2 = et d3 = sont colinéaires.
−2 2 −10 2
Définition
! !
a1 b1
Soient ~a = et ~b = . Alors
a2 b2

a b

1 1
det(~a; ~b) = = a 1 b 2 − b1 a 2
a 2 b2
est appelé déterminant des vecteurs ~a et ~b.
Le théorème suivant peut aussi être utilisé pour vérifier l’éventuelle dépendance linéaire de deux
vecteurs non nuls du plan.
168
Théorème
Soit deux vecteurs ~a et ~b, non nuls, relativement à la base othogonale B (→ −
e1 ; →
−
e2 ).
! !
a1 b a b

1 1 1
~a = et ~b = sont colinéaires ⇐⇒ =0
a2 b2 a 2 b2
Démonstration : ! ! (
a1 λb1 a1 = λb1
~a et ~b colinéaires ⇐⇒ ~a = λ~b ⇐⇒ = ⇐⇒ ⇐⇒
a2 λb2 a2 = λb2
(
−a1a2 = −λa2b1
⇐⇒ λ (a1b2 − a2b1) = 0 ⇐⇒ a1b2 − a2b1 = 0
a1a2 = λa1b2
Exemple
! !
2 −5 2 −5

(a) ~a = et ~b = sont colinéaires, car det(~a; ~b) = = 2·15−(−5)·(−6) =

−6 15 −6 15
0. ! !
1 3 1 3

(b) ~a = et ~b = ne sont pas colinéaires, car det(~a; ~b) = = 1 · 8 − 2 · 3 = 2.

2 8 2 8
169
12 Les repères dans le plan

Définition
Un repère du plan est formé d’un triplet de points non alignés (O; E1; E2), noté :
< (O; E1; E2)

→
− →
− →
− −−→ → − −−→
La base associée est B ( e1 ; e2 ) tel que e1 = OE1 et e2 = OE2.
Le point O est appelé origine.
Lorsque les droites OE1 et OE2 sont perpendiculaires, le repère est dit orthogonal.
Dans ce cas, la droite OE1 est associée à l’axe x et la droite OE2 à l’axe y.
Dans le cadre du présent cours de mathéma-

tiques, les repères utilisés sont toujours des
repères orthogonaux.
170
Définition
Les coordonnées d’un point P du plan, relativement au repère < (O; E1; E2) sont alors les
−→
composantes du vecteur OP relativement à la base B (→ −
e1 ; →
−
e2 ) :
!
−→ x
P (x; y) ⇐⇒ OP = =x·→ −e1 + y · →
−
e2
y
171
13 Vecteurs et points
13.1 Composantes d’un vecteur
−→
Les composantes d’un vecteur AB sont égales à la différence des coordonnées respectives de son
extrémité B et de son origine A :
!
−→ −−→ −→ b1 − a1
AB = OB − OA =
b2 − a2
Exemple
Soit la figure ci-dessous. On a les points A et B de coordonnées : A (1; 4) et B (4; 2)
! !
−→ −−→ −→ 4 1
AB = OB − OA = −
2 4
!
4−1
=
2−4
!
3
=
−2
172
ATTENTION
Il ne faut pas mélanger la notation des points avec celle des vecteurs.
— Un point du plan est formé de deux coordonnées, notées à l’horizontale, séparées par
un point-virgule, ex : P (3 ; 4).
— Un ! vecteur du plan est formé de deux composantes, notées à la verticale, ex : ~a =
2
.
1
173
13.2 Milieu M d’un segment AB

Le milieu d’un segment reliant le point A au point B est :

−−→ 1 −→ −−→
a 1 + b1 a 2 + b2
OM = OA + OB ⇔ M ;
2 2 2
Exemple
Soit la figure ci-dessous. On a les points A et B de coordonnées : A (1; 4) et B (4; 2)
Le mi-
lieu du segment AB a les coordonnées :

1+4 4+2 5
M ; ⇒M ;3
2 2 2
174
14 Exercices
Exercice 2.1
Utiliser les vecteurs de la figure ci-dessous pour dessiner, sur une feuille quadrillée, les vecteurs
suivants :
3
(a) ~a = w ~
2
(b) ~b = 2~v
(c) ~c = ~u + ~v
(d) d~ = w
~ + ~u
(e) ~e = ~u − w ~
(f) f~ = ~v − ~u
2
(g) ~g = − ~v + 3w~ + ~u
5
(h) ~h = 2 (w
~ + ~u) − ~v
175
Corrigé 2.1
176
Exercice 2.2
Utiliser les vecteurs de la figure ci-dessous pour répondre aux questions suivantes :
(a) ~ ~e et f~.
Exprimer ~c au moyen des vecteurs d,
(b) ~ ~e et ~k.
Exprimer ~g au moyen des vecteurs ~c, d,
(c) ~ ~g et ~h.
Exprimer ~e au moyen des vecteurs d,
(d) Exprimer ~e au moyen des vecteurs ~a, ~b, ~c et d.
~
(e) Que vaut ~x, sachant que ~x = ~a + ~b + ~k + ~g ?
(f) Que vaut ~x, sachant que ~x = ~a + ~b + ~c + ~h ?
(g) Que vaut ~x, sachant que ~x + ~b = f~ ?
(h) Que vaut ~x, sachant que ~x + d~ = ~e ?
177
Corrigé 2.2
1. ~c = ~e − f~ − d~
2. ~g = ~c + d~ − ~e − ~k
3. ~e = d~ − ~g − ~h
4. ~e = ~a + ~b + ~c + d~
5. ~x = ~0
6. ~x = −~g
7. ~x = ~a
8. ~x = −~g − ~h
178
Exercice 2.3
Soient A, B, C, D et E cinq points quelconques. Simplifier au maximum les expressions suivantes
en utilisant les relations de Chasles :
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→
(a) ~a = BC + DE + DC + AD + EB
(b) ~b = −→ −−→ −→
AC − BD − AB
−−→ −−→ −−→ −−→

(c) ~c = EC − ED + CB − DB
~ −→ −−→ −−→
(d) d = 3AB + 2BC − DB
−→ −−→ −−→
(e) ~e = 87 · AC + 82 · CD + 3 · AD
179
Corrigé 2.3
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→

~a = AD + DE + EB + BC + DC = AC + DC
~b = −→ −−→ −→ −−→ −→ −→ −−→

AC + DB + BA = DB + BA + AC = DC
−−→ −−→ −−→ −−→ − −→ −−→ −−→ −−→ ~

~c = EC + DE + CB + BD = EC + CB + BD + DE = 0
−→ −−→ −−→ −→ −→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ −→

d~ = 3AB + 2BC + BD = AB + 2AB + 2BC + BD = AB + BD + 2AC = AD + 2AC
−→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ −−→ −→ −−→

~e = 87AC + 82CD + 3AD = 82AC + 82CD + 5AC + 3AD = 82AD + 5AC + 3AD =
−−→ −→
85 · AD + 5 · AC
180
Exercice 2.4
Soit ABCDEF GH un parallélépipède rectangle (voir la figure ci-dessous).
Simplifier les vecteurs suivants :
−→ −−→
(a) ~a = EF + BC
(b) ~b = − −→ −→ −→
HB − F E − AB
−−→ −→
(c) ~c = HC − AC
−−→ −−→ −−→
(d) d~ = AD + HG − EH
−−→ −−→
(e) ~e = AH − BE
~ −−→ −−→ −−→ −→
(f) f = DC + BE − BD + F F
181
Corrigé 2.4
−−→ −→
~a = EG = AC
~b = −
−→ −→ −→ −−→
HB + EF + BA = HB
−−→ −→ −−→
~c = HC + CA = HA
~ −−→ −−→ −−→ −→

d = AD + HG + HE = AB
−−→ −−→ −→
~e = AH + EB = AC
~ −−→ −−→ −−→ → − −−→

f = DC + BE + DB + 0 = DF
182
Exercice 2.5
−→ →
− −−→ −→
Dans le parallélépipède ci-dessous, soit ~i = AB, j = AD et ~k = AE.
−−→ −−→ −−→ −→ −→ −→ −−→ −−→

Exprimer les vecteurs DE , DF , GD , AG , AB , F G , GE et BD comme combinaison li-
néaire
des vecteurs ~i, ~j et ~k.
183
Corrigé 2.5
−−→ ~ ~
— DE = k − j
−−→
— DF = ~i − ~j + ~k
−−→
— GD = −~i − ~k
−→
— AG = ~i + ~j + ~k
−→
— AB = ~i
−→
— F G = ~j
−−→
— GE = −~i − ~j
−−→ ~ ~
— BD = j − i
184
Exercice 2.6
Considérons les vecteurs suivants : ~a = 2~u − 3~v + w
~ ~b = −2~v − 3w
~ ~c = ~u + ~v + 2w
~
Exprimer les vecteurs ci-dessous comme combinaison linéaire des vecteurs ~u, ~v et w.
~
(a) ~a + ~b − 2~c
(b) −~b − ~c
(c) 2~a + 3~b + 4~c
(d) −~a + 5~b + 3~c
185
Corrigé 2.6
~a = 2~u − 3~v + w
~ ~b = −2~v − 3w
~ ~c = ~u + ~v + 2w
~
(a) ~a+~b−2~c = 2~u−3~v +w−2~

~ v −3w−2·(~
~ ~ = 2~u−5~v −2w−2~
u + ~v + 2w) ~ u−2~v −4w
~ = −7~v −6w
~
(b) −~b − ~c = − (−2~v − 3w)

~ − (~u + ~v + 2w) ~ − ~u − ~v − 2w
~ = 2~v + 3w ~ = −~u + ~v + w
~
(c) 2~a + 3~b + 4~c = 2 (2~u − 3~v + w)

~ + 3 (−2~v − 3w)
~ + 4 (~u + ~v + 2w)
~ =
4~u − 6~v + 2w
~ − 6~v − 9w ~ = 8~u − 8~v + w
~ + 4~u + 4~v + 8w ~
(d) −~a + 5~b + 3~c = − (2~u − 3~v + w)

~ + 5 (−2~v − 3w)
~ + 3 (~u + ~v + 2w)
~ =
− 2~u + 3~v − w
~ − 10~v − 15w ~ = ~u − 4~v − 10w
~ + 3~u + 3~v + 6w ~
186
Exercice 2.7
Soit ABCD un carré de 4 cm de côté. Dessiner les points E, F, G et H tels que :
−−→ −−→ −−→

1) BE = BD + CD
−−→ 1 −→ −−→
2) BF = · BA − AD
2
−−→ −−→ 1 −→
3) DG = 2DC + · CA
2
−−→ √ −→
4) AH = − 2 · AC
187
Corrigé 2.7
−−→ −−→ −−→

1) Pour E : le vecteur CD est mis à la suite du vecteur BD. On obtient le vecteur BE dont
l’extrémité est le point recherché puisqu’il débute en B.
188
−−→ 1 −→ −−→
2) Pour F : le vecteur −AD est mis à la suite du vecteur · BA. On obtient le vecteur BF
2
dont l’extrémité est le point F recherché puisqu’il débute en B.
189
1 −→ −−→ −−→
3) Pour G : le vecteur · CA est mis à la suite du vecteur 2 · DC. On obtient le vecteur DG
2
dont l’extrémité est le point G recherché puisqu’il débute en D.
√ −→
190
4) Pour H : commençons par déterminer la longueur du vecteur 2 · AC

√
On se sert de la connaissance du fait que la diagonale d’un carré de longueur x vaut 2 · x.
Sur le dessin ci-dessous, la diagonale du carré de côté AC a donc la longueur recherchée de
notre vecteur.
191
Il nous faut maintenant prendre la bonne direction
√ et le bon sens en reportant cette longueur.
−→ −−→ −→
Le sens est celui de CA puisque AH = − 2 · AC et le point de départ de ce vecteur est
le point A pour la même raison.
192
Exercice 2.8
Soit O, A et B trois points non alignés.
(a) Dessiner les points C, D et E tels que :
−→ −→ −−→ 3 −→ −−→ 3 −→
OC = 3 · OA OD = − · OA et OE = · OA
4 5
a) Que peut-on dire des points C, D et E ?
−−→ −→
b) Quel est l’ensemble des points M tels que OM = λ · OA si λ ∈ R ?
(b) Dessiner les points F, G et H tels que :

−→ −→ −−→ −→ 3 −→ −−→ −−→ 3 −→ −−→
OF = 3 · OA + OB OG = − · OA + OB et OH = · OA + OB
4 5
a) Que peut-on dire des points F, G et H ?
−−→ −→ −−→
b) Quel est l’ensemble des points N tels que ON = λ · OA + OB si λ ∈ R ?
(c) Dessiner les points I, J, K et L tels que :

−→ −→ −−→ −→ 3 −→ 7 −−→ −−→ 3 −→ 2 −−→
OI = 3 · OA − 2 · OB OJ = − · OA + · OB OK = · OA + · OB et
−→ −→ −−→ 4 4 5 5
OL = −3 · OA + 4 · OB
a) Que peut-on dire des points I, J, K et L ?
−→ −→ −−→
b) Quel est l’ensemble des points P tels que OP = λ · OA + · (1 − λ) OB si λ ∈ R ?
193
Corrigé 2.8
1. (i) Les points C, D et E sont alignés

(ii) L’ensemble des points cherchés est représenté par la droite OA.
2. (i) Les points F, G et H sont alignés
(ii) L’ensemble des points cherchés est représenté par la droite parallèle à la droite OA et
passant par le point B.
3. (i) Les points I, J, K et L sont alignés
(ii) L’ensemble des points cherché est représenté par la droite AB.
194
Exercice 2.9
−→ −−→
Soit ABCD un parallélogramme. On pose ~a = AB et ~b = AD.
D C
A B
−→ −→
Soit M le milieu du segment BC et P le point tel que P A = −2 · P C.
−−→ −−→ −−→

Exprimer les vecteurs P B, P M et DM comme combinaison linéaire de ~a et ~b.
195
Corrigé 2.9
−→
Afin de pouvoir placer le point P sur le dessin, il faudrait, par exemple, avoir le vecteur AP en
−→ −→ −→
fonction du vecteur AC. En effet, dans l’expression P A = −2 · P C , le point P apparait des
deux côtés de l’égalité et dans ce cas, il est difficile de le placer.
−→ −→ −→ −→ −→
P A = −2P C ⇐⇒ P A = −2(P A + AC)
−→ −→ −→ −→ −→
⇐⇒ P A = −2P A − 2AC ⇐⇒ 3P A = −2AC
−→ −→ −→ 2 −→
⇐⇒ −3AP = −2AC ⇐⇒ AP = AC
3
Ce qui permet maintenant de répondre plus facilement aux questions :
−−→ −→ −−→ 1 −→ ~ 1 ~

~ 1→− 2→−
P B = P C + CB = AC − b = ~a + b − b = a − b
3 3 3 3
−−→ −→ −−→ 1 −→ 1~ 1 ~

~ 1→− 1~ 1~ 1 1→−
P M = P C + CM = AC − b = ~a + b − b = a − b − b = ~a − b
3 2 3 3 3 2 3 6
−−→ −−→ −−→ → 1→−
DM = DC + CM = − a − b
2
196
Exercice 2.10
Soit ~a, ~b et ~c trois vecteurs tels que
~a + ~b − ~c = ~0
Déterminer et représenter graphiquement les vecteurs suivants :
— ~x = ~a + ~b + ~c
— ~y = ~a − ~b + ~c

— ~z = ~a + ~b − ~b − ~c

— ~ = (~a − ~c) + ~b − ~c
w
197
Corrigé 2.10

— ~x = ~a + ~b + ~c = 2~c
— ~y = ~a − ~b + ~c = ~a − ~b + ~a + ~b = 2~a

ou
— ~z = ~a + ~b − ~b − ~c = ~a + ~b − ~b + ~c = ~a + ~c = 2~a + ~b

— ~ = (~a − ~c) + ~b − ~c = ~a + ~b − 2~c = ~c − 2~c = −~c
w
198
Exercice 2.11
Les points P, R et S sont tels que
−→ −→ −→
P R = 2 · SP + 3 · SR
−→ −→
Exprimer le vecteur P S en fonction du vecteur P R.
199
Corrigé 2.11
−→ −→ −→
P R = 2SP + 3SR
−→ −→ −→ −→
P R = −2P S + 3 SP + P R
−→ −→ −→ −→
P R = −2P S − 3P S + 3P R
−→ −→ −→
P R = −5P S + 3P R
−→ −→
2P R = 5P S
−→ 2 −→
PS = PR
5
200
Exercice 2.12
On donne les vecteurs suivants :
! ! ! !
→
− −1 →
− 5 →
− 0 →
− 3
v1 = v2 = v3 = et v4 =
3 3 −2 4
Résoudre littéralement les équations suivantes (c’est-à-dire isoler ~v ), puis calculer les compo-
santes des solutions :
(a) ~v + 2→
−
v2 − 5→
−
v1 = ~0
1− →
(b) −3~v − →
−
v3 = →v3 − −
v1
2
5 3→
(c) ~v + −v4 = →
−
v3 − 2→
−
v2
3 2
201
Corrigé 2.12
~v + 2→
−
v2 − 5→
−
v1 = ~0 ⇐⇒ ~v = −2→
−
v2 + 5→
−
v1
! !
5 −1
⇐⇒ ~v = −2 +5
3 3
(a) ! !
−10 −5
⇐⇒ ~v = +
−6 15
!
−15
⇐⇒ ~v =
9
202
1− → 1−
−3~v − →
−
v3 = →v3 − −
v1 ⇐⇒ −3~v = −~v1 + →
−
v3 + →v3
2 2
3
⇐⇒ −3~v = −~v1 + ~v3
2
1 1
⇐⇒ ~v = ~v1 − ~v3
3 2
(b)
! !
1 −1 1 0
⇐⇒ ~v = −
3 3 2 −2
 
1
−
⇐⇒ ~v =  3 
2
203
5 3− → 5 3−
~v + →v4 = −
v3 − 2→
−
v2 ⇐⇒ ~v = −2→
−
v2 + v3 − →v4
3 2 3 2
6→ 3 9→
⇐⇒ ~v = − v2 + ~v3 − −
− v4
5 5 10
! ! !
(c) 6 5 3 0 9 3
⇐⇒ ~v = − + −
5 3 5 −2 10 4
 
87
−
 10 
⇐⇒ ~v = 
 42 

−
5
204
Exercice 2.13
Parmi les vecteurs suivants, déterminer les paires de vecteurs colinéaires.
Justifier la réponse en exprimant l’un des vecteurs comme multiple de l’autre.
! ! ! ! !
3 ~b = 2 −9 →
− 0 −4
~a = ~c = d = ~e =
−1 7 3 0 −14
205
Corrigé 2.13
— Le vecteur d~ est colinéaire à tous les autres vecteurs.
— Les vecteurs ~a et ~c sont colinéaires ; ~c = −3~a
— Les vecteurs ~b et ~e sont colinéaires ; ~e = −2~b

206
Exercice 2.14
Déterminer, parmi les vecteurs ci-dessous, ceux qui sont colinéaires.
! ! ! !
1 0 −2 2
f~ = ~g = ~h = ~l =
3 −1 3 6
 
  1  
!
1 − 0
6  9
m
~ = ~n =  3  ~o =   p~ =  2 
−4 −  1
2 − 3
3
207
Corrigé 2.14
! ! 
~l = 2f~ = 2 1 2 
= 

3 6







  =⇒
 ~, ~l et ~o sont colinéaires.
f 
1 1
! −  − 
1~ 1 1

 9 9 
~o = − f = − = = 

9 9 3  1   1 
 
− − 

3 3
!  
2 2 0 0
p~ = − · ~g = − =  2  =⇒ p~ et ~g sont colinéaires.
3 3 −1
3
  !
1 −2
~h = −2~n = −2  3  = =⇒ ~h et ~n sont colinéaires.
− 3
2
208
Exercice 2.15 ! ! !
7 −3 0
Considérons les vecteurs ~u = , ~v = et w
~= .
−2 5 5
Déterminer le nombre réel k et le vecteur ~x, colinéaire avec le vecteur ~u, tels que :
~x + k~v = w
~
209
Corrigé 2.15
Si ~x colinéaire à ~u, alors : ~x = λ · ~u. Donc :
~ ⇐⇒ λ · ~u + k~v = w
~x + k~v = w ~
! ! !
7 −3 0
⇐⇒ λ +k =
−2 5 5

3
7λ − 3k = 0 → λ = k

⇐⇒ 7
 −2λ + 5k = 5
3 −6 35 29 35
=⇒ −2 · k + 5k = 5 ⇐⇒ k+ k = 5 ⇐⇒ k = 5 ⇐⇒ k =
7 7 7 7 29
3 3 35 15
=⇒ λ = k = · =
7 7 29 29
!
15 7
=⇒ ~x = λ · ~u =
29 −2
210
Exercice 2.16
Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre λ les vecteurs ~a et ~b sont-ils colinéaires ?
! !
1 ~b = 4λ − 7
(a) ~a =
2λ + 1 −10 + λ
! !
−2λ ~b = λ−1
(b) ~a =
2λ − 3 2−λ
! !
3 − 2λ ~b = −1 4λ
(c) ~a =
5 − 3λ 3+λ
211
Corrigé 2.16

1 4λ − 7

(a) ~a et ~b colinéaires ⇐⇒ = 0 ⇐⇒ −10 + λ − (2λ + 1)(4λ − 7) = 0

2λ + 1 −10 + λ
√
−11 ± 121 − 96 3
⇐⇒ −8λ2 + 11λ − 3 = 0 ⇐⇒ λ1;2 = ⇐⇒ λ1 = 1 ; λ2 =
−16 8

−2λ λ − 1

(b) ~a et ~b colinéaires ⇐⇒ = 0 ⇐⇒ −2λ(2 − λ) − (2λ − 3)(λ − 1) = 0

2λ − 3 2 − λ
⇐⇒ −4λ + 2λ2 − (2λ2 − 2λ − 3λ + 3) = 0 ⇐⇒ λ = 3

3 − 2λ 4λ

(c) ~a et ~b colinéaires ⇐⇒ = 0 ⇐⇒ (3 − 2λ)(3 + λ) − (5 − 3λ)(4λ) = 0

5 − 3λ 3 + λ
√
23 ± 529 − 360 1 9
⇐⇒ 10λ2 − 23λ + 9 = 0 ⇐⇒ λ1;2 = ⇐⇒ λ1 = ; λ2 =
20 2 5
Remarque :
Il n’est pas nécessaire de prendre le signe négatif de ~b car si ~a et ~b sont colinéaires, ~a et −b
~
le sont aussi.
212
Exercice 2.17
On donne les vecteurs :
! ! !
2 3 12
~u = ~v = w
~=
4 −9 −6
Déterminer deux nombres réels α et β tels que
α~u + β~v = w
~
213
Corrigé 2.17 ! ! !
2 3 12
~ ⇐⇒ α
α~u + β~v = w +β =
4 9 −6
(
2α + 3β = 12
⇐⇒
4α − 9β = −6
(
−4α − 6β = −24
⇐⇒
4α − 9β = −6
+
=⇒ −15β = −30 ⇐⇒ β = 2
2α + 3 · 2 = 12 ⇐⇒ α = 3
214
Exercice 2.18
Soit ~v le vecteur ayant comme origine le point P et comme extrémité le point Q.
Ecrire le vecteur ~v comme combinaison linéaire de →
−e1 et →
−
e2 c’est-à-dire sous la forme :
~v = a · →
−
e1 + b · →
−
e2
Puis, sous la forme de composantes c’est-à-dire sous la forme :

!
a
~v =
b

1. P (0; 0) Q (3; 4) 1 2
5. P (−6; 0) Q ;−
2 3
2. P (−2; −1) Q (6; −2)
6. P (8; 1) Q (−6; 0)
3. P (3; 2) Q (5; 6)
7. P (−5; −4) Q (0; 3)
4. P (−3; 7) Q (0; 0)
3 1 3 4
8. P − ; Q ;−
4 3 2 3
215
Corrigé 2.18
! ! ! !
−→ 3−0 3 −→ 5−3 2
(a) P Q = = (c) P Q = =
4−0 4 6−2 4
−→ −→
P Q = 3→
−
e1 + 4 →
−
e2 P Q = 2→
−
e1 + 4 →
−
e2
! ! ! !
−→ 6 − (−2) 8 −→ 0 − (−3) 3
(b) P Q = = (d) P Q = =
−2 − (−1) −1 0−7 −7
−→ −→
P Q = 8→
−
e1 − →
−
e2 P Q = 3→
−
e1 − 7→
−
e2
    ! ! 216
1 13 −→ 0 − (−5) 5
− (−6) (g) P Q = =
−→  2   2 
3 − (−4) 7
(e) P Q = 
 = 
2   2
− −0 −
3 3 −→
P Q = 5→
−
e1 + 7 →
−
e2
−→ 13 → 2→
P Q = e1 − −
− e2
2 3
   
3 3 9
− −
−→  2 4   4 
(h) P Q =  =
! ! 
−→ −6 − 8 −14 
4 1
  5
(f) P Q = = − − −
0−1 −1 3 3 3
−→ −→ 9 → 5→
P Q = −14→
−
e1 − 7→
−
e2 P Q = e1 − −
− e2
4 3
217
Exercice 2.19
On donne les points A (1; 2) , B (8; 0) et C (6; 12).
D C
A B
Calculer les coordonnées du quatrième sommet du parallélogramme ABCD simple (les arêtes
ne se croisent pas).
218
Corrigé 2.19
A (1; 2) , B (8; 0) C (6; 12)

D C
A B
! ! !
−→ 8−1 7 −−→ 6−x
On a : AB = = et DC = avec D(x; y)
0−2 −2 12 − y
−→ −−→
On doit avoir AB = DC
! ! (
7 6−x 7=6−x
= ⇐⇒ ⇐⇒ x = −1 et y = 14 ⇐⇒ D(−1; 14)
−2 12 − y −2 = 12 − y
219
Exercice 2.20
Les points P, Q et R ci-dessous sont-ils alignés ?
1. P (5; 2) Q (6; −3) R (7; 8)
2. P (5; −6) Q (3; 8) R (−1; 36)
3. P (0; 1) Q (2; −1) R (−8; 9)
4. P (3; 1) Q (−4; −1) R (15; 33)

220
Corrigé 2.20
(a) P (5; 2) Q (6; −3) R (7; 8)
−→ −→ −→ −→
P, Q et R sont alignés ⇐⇒ P Q et P R sont colinéaires ⇐⇒ det P Q; P R = 0.
! ! ! !
−→ 6−5 1 −→ 7−5 2
PQ = = PR = =
−3 − 2 −5 8−2 6

−→ −→ 1 2
det P Q; P R = = 6 + 10 = 16 6= 0

−5 6
−→ −→
=⇒ P Q et P R ne sont pas colinéaires.
=⇒ Les trois points donnés ne sont donc pas alignés.
221
(b) P (5; −6) Q (3; 8) R (−1; 36)
−→ −→ −→ −→
! ! ! !
−→ 3−5 −2 −→ −1 − 5 −6
PQ = = PR = =
8+6 14 36 + 6 42

−→ −→ −2 −6
det P Q; P R = = −84 + 84 = 0

14 42
−→ −→
=⇒ P Q et P R sont colinéaires.
=⇒ Les trois points donnés sont donc alignés.
222
(c) P (0; 1) Q (2; −1) R (−8; 9)
−→ −→ −→ −→
! ! ! !
−→ 2−0 2 −→ −8 − 0 −8
PQ = = PR = =
−1 − 1 −2 9−1 8

−→ −→ 2 −8
det P Q; P R = = 16 − 16 = 0

−2 8
−→ −→
=⇒ P Q et P R sont colinéaires.
=⇒ Les trois points donnés sont donc alignés.
Remarque :
−→ −→
On aurait aussi pu simplement remarquer que P Q = −4P R et arriver à la même conclusion
plus rapidement !
223
(d) P (3; 1) Q (−4; −1) R (15; 33)
−→ −→ −→ −→
! ! ! !
−→ −4 − 3 −7 −→ 15 − 3 12
PQ = = PR = =
−1 − 1 −2 33 − 1 32

−→ −→ −7 12
det P Q; P R = = −224 + 24 = −200 6= 0

−2 32
−→ −→
=⇒ P Q et P R ne sont pas colinéaires.
=⇒ Les trois points donnés ne sont donc pas alignés.
224
Exercice 2.21
Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre α, les points A, B et C sont-ils alignés ?
1. A (1; 2) B (−3; 3) C (α; 1)
2. A (2; α) B (7α − 29; 5) C (−4; 2)

5α
3. A (−56; 84) B (5α − 4; −24) C 4 − 3α; +2
2
225
Corrigé 2.21
−→ −→
(a) A (1; 2) , B (−3; 3) et C (α; 1) sont alignés ⇐⇒ AB et AC sont colinéaires
−→ −→
⇐⇒ det AB; AC = 0.
! !
−→ −4 −→ α−1
AB = AC =
1 −1

−→ −→ −4 α − 1
det AB; AC = =4−α+1

1 −1
−→ −→
det AB; AC = 0 ⇐⇒ 4 − α + 1 = 0
⇐⇒ α = 5
226
−→ −→
(b) A (2; α) , B (7α − 29; 5) et C (−4; 2) sont alignés ⇐⇒ AB et AC sont colinéaires
−→ −→
⇐⇒ det AB; AC = 0.
! !
−→ 7α − 31 −→ −6
AB = AC =
5−α 2−α

−→ −→ 7α − 31 −6
det AB; AC = = (7α − 31)(2 − α) − (5 − α)(−6) = −7α2 + 39α − 32

5−α 2−α
−→ −→
det AB; AC = 0 ⇐⇒ −7α2 + 39α − 32 = 0
√
−39 ± 1521 − 896
⇐⇒ α1;2 =
−14
32
⇐⇒ α1 = 1 ; α2 =
7
227
5α −→ −→
(c) A (−56; 84) , B (5α − 4; −24) et C 4 − 3α; + 2 sont alignés ⇐⇒ AB et AC sont col.
2
−→ −→
⇐⇒ det AB; AC =
0
!  
−→ 5α + 52 −→  −3α + 60 
AB = AC = 5α − 164
−108
2

−→ −→ 5α + 52 −6α + 120
det AB; AC = = (5α+52)(5α−164)+108(120−6α) = 25α2−1208α+4432

−108 5α − 164
−→ −→
det AB; AC = 0 ⇐⇒ 25α2 − 1208α + 4432 = 0
√
1208 ± 104590264 − 4430200
⇐⇒ α1;2 =
50
1108
⇐⇒ α1 = 4 ; α2 =
25
228
−→
Remarque : Pour éviter des fractions, nous avons pris 2AC dans la matrice.
229
Exercice 2.22
1 1
On donne les points A (0; 1) , B (1; 1) , P ;0 et Q 1; .
2 4
Comment choisir un point M situé sur la droite passant par A et B et un point N situé sur
l’axe des ordonnées pour que le quadrilatère P QM N soit un parallélogramme ?
230
Corrigé 2.22
A et B sont sur la droite horizontale y = 1 car l’ordonnée de ces deux points est constante et
vaut 1. Le point M aura donc les coordonnées M (x; 1)
N étant sur l’axe des ordonnées, ses coordonnées sont N (0; y)

y
A(0;1) M(x;1) B(1;1)
1
N(0;y)
Q(1;1/4)
0 P(1/2;0) 1 x
Pour que P QM N soit un parallélogramme, on doit avoir :

 
1 !
−→ −−→  2 x 1 3 1 3
P Q = N M ⇐⇒   =
 ⇐⇒ x = et y = ⇐⇒ M ; 1 et N 0;
1 1 − y 2 4 2 4
4
231
Exercice 2.23
On donne dans la base orthonormée usuelle B(→
−
e1 ; →
−
e2 ) les vecteurs suivants :
! ! ! !
1 ~ 4 4 −3
~a = ,b= , ~u = , ~v =
3 −3 2 4
(a) Montrer que les vecteurs ~a et ~b forment une base dans le plan.
(b) Montrer que les vecteurs ~a et ~u forment une base dans le plan.
(c) Déterminer les composantes de ~u et de ~v dans la base B(~a; ~b).
(d) Déterminer les composantes de ~u et de ~v dans la base B(~u; ~a).

232
Corrigé 2.23
(a) Deux vecteurs forment une base du plan s’ils ne sont pas colinéaires.

1 4
det ~a; ~b = = −3 − 12 = −15 6= 0

3 −3
Ils forment donc une base du plan.
(b) On peut calculer det (~a; ~u) et voir qu’il est différent de 0 comme ci-dessus.

1 4

det (~a; ~u) = = 2 − 12 = −10 6= 0
3 2
Ou alors simplement constater que ~a 6= k · ~u et donc, ils ne sont pas colinéaires et forment
ainsi une base.
233
(c) Déterminer les composantes d’un vecteur ~u dans une base B(~a; ~b) consiste à dire combien de
fois il faut le vecteur ~a + combien de fois il faut le vecteur ~b pour obtenir ce vecteur
! ~u.
x
~u = x · ~a + y · ~b ⇐⇒ les composantes de ~u dans la base B(~a; ~b) sont ~u =
y
! ! !
~ 1 4 4
~u = x · ~a + y · b ⇐⇒ x · +y· =
3 −3 2
(
x + 4y = 4 → x = 4 − 4y
⇐⇒
3x − 3y = 2
⇐⇒ 3(4 − 4y) − 3y = 2
⇐⇒ 12 − 12y − 3y = 2
⇐⇒ 10 = 15y
2 2 4
⇐⇒ y = =⇒ x = 4 − 4 · =
3 3 3
4
 
!
2 2
Et donc, dans la base B(~a; ~b), ~u =  3  ou ~u =
 
2 3 1
3
234
On fait de même pour ~v :
! ! !
1 4 −3
~v = x · ~a + y · ~b ⇐⇒ x · +y· =
3 −3 4
(
x + 4y = −3 → x = −3 − 4y
⇐⇒
3x − 3y = 4
⇐⇒ 3(−3 − 4y) − 3y = 4
⇐⇒ −9 − 12y − 3y = 4
⇐⇒ −13 = 15y

13 13 7
⇐⇒ y=− =⇒ x = −3 − 4 · − =
15 15 15
7
 
!
~  15  1 7
Et donc, dans la base B(~a; b), ~v =  ou ~v =
13  15 −13
15
235
(d) Déterminer les composantes d’un vecteur ~u dans une base B(~u; ~a) consiste à dire combien de
fois il faut le vecteur ~u + combien de fois il faut le vecteur ~a pour obtenir ce vecteur ~u.
Et bien, c’est fort simple, pour former ~u!, il faut ... une fois ~u et zéro fois ~a !
1
Et donc, dans la base B(~u; ~a), ~u = .
0
! ! !
4 1 −3
~v = x · ~u + y · ~v ⇐⇒ x · +y· =
2 3 4
(
4x + y = −3 → y = −3 − 4x
⇐⇒
2x + 3y = 4
⇐⇒ 2x + 3(−3 − 4x) = 4
⇐⇒ 2x − 9 − 12x = 4
⇐⇒ −13 = 10x

13 13 22
⇐⇒ x=− =⇒ y = −3 − 4 · − =
10 10 10
13
 
−
!
 10  1 −13
Et donc, dans la base B(~u; ~a), ~v =  ou ~v =
22  10 22
10
236
15 Solutions
Solution 2.1
237
Solution 2.2
1) ~c = ~e − f~ − d~ 3) ~e = d~ − ~g − ~h 5) ~x = ~0 7) ~x = ~a
2) ~g = ~c + d~ − ~e − ~k 4) ~e = ~a + ~b + ~c + d~ 6) ~x = −~g 8) ~x = −~g − ~h
Solution 2.3
−→ −−→ −−→ −→
1) ~a = AC + DC 3) ~c = ~0 5) ~e = 85 · AD + 5 · AC
~ −−→ ~ −−→ −→
2) b = DC 4) d = AD + 2AC
Solution 2.4
−−→ −→ −−→ −→
1) ~a = EG = AC 3) ~c = HA 5) ~e = AC
−−→ −→ −−→
2) ~b = HB 4) d~ = AB 6) f~ = DF
Solution 2.5
−−→ −−→ −→ −−→
— DE = ~k − ~j — GD = −~i − ~k — AB = ~i — GE = −~i − ~j
−−→ −→ −→ −−→
— DF = ~i−~j +~k — AG = ~i +~j + ~k — F G = ~j — BD = ~j − ~i
238
Solution 2.6
1) ~a + ~b − 2~c = −7~v − 6w~ 3) 2~a + 3~b + 4~c = 8~u − 8~v + w

~
2) −~b − ~c = −~u + ~v + w
~ 4) −~a + 5~b + 3~c = ~u − 4~v − 10w~
Solution 2.7
239
Solution 2.8
1. (i) Les points C, D et E sont alignés
(ii) L’ensemble des points cherchés est représenté par la droite OA.
2. (i) Les points F, G et H sont alignés
(ii) L’ensemble des points cherchés est représenté par la droite parallèle à la droite OA et
passant par le point B.
3. (i) Les points I, J, K et L sont alignés
(ii) L’ensemble des points cherché est représenté par la droite AB.
Solution 2.9
−−→ 1 2 −−→ 1 1 −−→ 1

— P B = ~a − ~b — P M = ~a − ~b — DM = ~a − ~b
3 3 3 6 2
240
Solution 2.10
— ~x = 2~c
— ~y = 2~a
— ~z = 2~a + ~b
—w ~ = −~c
Solution 2.11
−→ 2 −→
PS = PR
5
241
Solution 2.12
!  
−15 87
(a) ~v = 5 · →
−
v1 − 2 · →
−
v2 = 6 → 3 → 9 →
−
 10 
9 (c) − − −
~v = − · v2 + · v3 − · v4 =  
  5 5 10  42 
1 −
1 →− 1 →−  −3  5
(b) ~v = · v1 − · v3 = 
3 2

2
Solution 2.13
Le vecteur d~ est colinéaire à tous les autres vecteurs. ~c = −3~a ~e = −2~b
Solution 2.14
— f~; ~l et ~o sont coli- néaires. — ~h et ~n sont colinéaires.
— p~ et ~g sont colinéaires.
Solution 2.15 !
35 15 7
k= et ~x =
29 29 −2
Solution 2.16
3 1 9
— λ1 = 1 ; λ2 = —λ=3 — λ1 = ; λ2 =
242
Solution 2.17
α = 3 et β = 2
Solution 2.18
!  
−→ 3 −→ 13
1. P Q = P Q = 3→
−
e1 + 4 →
−
e2 −→ 
4 5. PQ = 
 2  − P
→ 13 →
Q = −e 1 −
2→−
e2
2  2 3
−
! 3
−→ 8 −→ !
2. P Q = P Q = 8→
−
e1 − →
−
e2 −→ −14 −→
−1 6. PQ = P Q = −14→ −e1 − 7→ −
e2
−1
!
! −→ 5 −→
−→ 2 −→ 7. PQ = P Q = 5→
−
e1 + 7 → −
e2
3. P Q = P Q = 2→
−
e1 + 4 →
−
e2 7
4  
9
! −→  4  −→ 9 → − 5→−
−→ 3 −→ 8. PQ = 
  P Q = e 1 − e2
4. P Q = P Q = 3→
−
e1 − 7→
−
e2 −
5 4 3
−7 3
243
Solution 2.19
D1 (−1; 14)
Solution 2.20
(a) N on (b) Oui (c) Oui (d) N on
Solution 2.21
(a) α = 5 32 1108
(b) α1 = ; α2 = 1 (c) α1 = 4 ; α2 =
7 25
Solution 2.22

1 3
M ; 1 et N 0;
2 4
Solution 2.23
! !
(a) det ~a; ~b = −15 6= 0 2 2 1 7
(c) ~u = · ~v =
3 1 15 −13
(b) det ~a; ~b = −10 6= 0 ! !
1 1 −13
(d) ~u = ~v =
0 10 22
Chapitre 3
Systèmes d’équations
245
1 Systèmes d’équations à plusieurs inconnues

Une équation à plusieurs inconnues a généralement une infinité de solutions. Les problèmes nous
conduisent le plus souvent à des systèmes qui ont le même nombre d’équations que d’inconnues.
Les généralités sur les équations à une inconnue s’appliquent aux équations à plusieurs inconnues.
De plus, les principes d’équivalence sont encore valables pour les équations à plusieurs inconnues.
Définition
Un système d’équations est la conjonction de deux ou plusieurs équations. On signale un
système d’équations par une accolade placée à gauche des équations.
Exemple
( ( (
y = 2x + 1 x + 3y = −5 x=1
3x + 2y = 9 2x + 5y = −11 x − 5y = −9
246
Définition
Une inconnue est exprimée ou explicitée en fonction des autres inconnues si dans une
équation à plusieurs inconnues, elle se trouve isolée dans un des membres de l’équation
(l’autre membre ne doit pas contenir cette inconnue).
Exemple
y = 2x + 1 x = −3y − 5 x=1
Définition
Deux systèmes d’équations sont équivalents s’ils ont le même ensemble de solutions.
Exemple
( ( 
y = 2x + 1 x = −3y − 5 x = 1
3x + 2y = 9 2x + 5y = −11 x + 9 = y
( ( ( 5
y = 2x + 1 x = −3y − 5 x=1
x=1 y=1 y=2
247
Théorème Equivalence
On obtient un système d’équations équivalent par l’une ou l’autre des deux méthodes sui-
vantes :
— la méthode d’addition ou méthode de combinaison linéaire : On remplace l’une
des équations du système par une combinaison linéaire des équations de ce système,
le facteur de l’équation remplacée étant différent de zéro.
— la méthode de substitution : Une inconnue est explicitée dans l’une des équations
du système. On remplace dans toutes les autres équations du système (ou dans une
partie d’entre elles) cette inconnue par son expression.
248
2 Systèmes de deux équations à deux inconnues

Un usage judicieux des principes d’équivalence permet d’obtenir un système d’équations équi-
valent simple.
Remarque :
— La méthode de substitution fait apparaître très souvent des fractions. On utilise donc plus
volontiers la méthode d’addition, mais il existe différents types de systèmes d’équations
qu’on ne peut résoudre que par la méthode de substitution.
— Il est aussi préférable de mettre le système sous forme canonique ordonnée.
( (
2(x + y) + 3(y + 2) = −4 2x + 5y = −10
⇐⇒
3y = 5 + 12x −12x + 3y = 5
249
Exemple
Méthode d’addition Méthode de substitution
( (
2x + 3y = −4 | · 1 2x + 3y = −4
4x − y = 6 |·3 4x − y = 6
( (
2x + 3y = −4 2x + 3y = −4
12x − 3y = 18 y = 4x − 6
( (
2x + 3y = −4 2x + 3(4x − 6) = −4
14x = 14 y = 4x − 6
y = −4 − 2x
 (
14x = 14
3
x = 1 y = 4x − 6
( (
y = −2 x=1
x=1 y = −2
S = {(1; −2)} S = {(1; −2)}

250
Exemple
 5x − y + x + y = 7 + x | · 18
 
 4x + 15 − 3y − 5 = x | · 15

x 3y 2 18 3 5
 + =2 | · 12 2y + 3x y + 15
3 4

 + = y | · 20
( 4 5
6(5x − y) + 9(x + y) = 126 + x
(
5(4x + 15) − 3(3y − 5) = 15x
4x + 3y = 24 5(2y + 3x) + 4(y + 15) = 20y
( 
38x + 3y = 126 | · 1 5x − 9y = −90
4x + 3y = 24 | · (−1) 15x − 6y = −60 | · − 1
( 3
38x + 3y = 126
(
5x − 9y = −90
34x = 102 −5x + 2y = 20
y = 126 − 38x

x = 9y − 90

3 5
x = 3 −7y = −70
( (
y=4 y = 10
=⇒ S = {(3; 4)} =⇒ S = {(0; 10)}
x=3 x=0
251
3 Systèmes particuliers
Si la majorité des systèmes d’équations possède une solution de type (x; y), il existe des cas
particuliers.
252
Exemple
Résolvons par addition le système suivant :
(
2x + 3y = 7 | · (−2)
4x + 6y = 10 | · 1
(
−4x − 6y = −14
4x + 6y = 10
0y = −4
S=∅
On voit dans cet exemple un cas d’équation impossible. Par conséquent, le système lui-même
n’admet aucune solution. En examinant le système, on peut prévoir ce résultat : les premiers
membress des deux équations sont le double l’un de l’autre, mais ce n’est pas le cas pour les
seconds membres.
253
Exemple
Résolvons par addition le système suivant :
(
2x + 3y = 7 | · (−2)
4x + 6y = 14 | · 1
(
−4x − 6y = −14
4x + 6y = 14
0y = 0
Cette dernière équation est indéterminée : tout nombre réel est solution de cette dernière équa-
tion. L’une des équations du système permet de calculer la valeur correspondante pour l’autre
inconnue. Le système admet donc une infinité de solutions : par exemple y = 1 et x = 2 ; ou
y = −1 et x = 5 ; ... On écrit ainsi

7 − 3y
S = (x; y)|x =
2
Attention : une infinité de solutions ne signifie pas que n’importe quel couple (x; y) est solution !
Définition
Un système est impossible s’il n’admet pas de solution. Il est indéterminé s’il admet une
infinité de solutions.
254
3.1 Interprétation graphique

La résolution des systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues a une interprétation
graphique : elle est équivalente à la recherche des points d’intersections de deux droites.
Trois cas sont possibles :
Deux droites parallèles représentent un système sans solution ou impossible.
(
2x − 3y = 5
2x − 3y = 8
255
Deux droites sécantes représentent un système avec une solution (x; y).
(
2x − 3y = −5
5x + 3y = −2
256
Deux droites confondues représentent un système avec une infinité de solution ou indéterminé.
(
2x − 3y = −5
4x − 6y = −10
257
4 Système de trois équations à trois inconnues

La résolution d’un système de trois équations à trois inconnues se ramène, par élimination de
l’une des inconnues, à la résolution d’un système de deux équations à deux inconnues : on trans-
forme le système en un système équivalent de trois équations, dont deux équations ne contiennent
pas l’une des inconnues. L’élimination d’une inconnue s’effectue par l’une des méthodes vues pré-
cédemment.
Remarque :
— Il vaut la peine de passer quelques instants à determiner l’inconnue que l’on désire éliminer.
— Par exemple, si une ou plusieurs équations ne renferment pas l’une des inconnues, il sera
avantageux de commencer par éliminer aussi cette inconnue entre les autres équations du
système.
— La méthode par combinaisons linéaires est généralement plus rapide pour des systèmes de
trois équations à trois inconnues.
— Cependant, si une variable est facile à isoler dans une équation (typiquement lorsque le
coefficient de la variable est 1), on commencera par l’isoler puis on la remplacera dans les
autres équations.
258
Exemple
9 · 2 − 5y − 2
 
 9x − 5y − 3z = 2 | · 1 z =

 


 3
−2x + 3y + z = 8 | · 3 | · (−2) 26 − 3 · 2
y=
4

 
 5x + 2y + 2z = 14 |·1 

x = 2

 9x − 5y − 3z = 2

18 − 5 · 5 − 2


z =


3x + 4y = 26 |·1 3


y=5


 9x − 4y = −2 |·1 

 x = 2

9x − 5y − 3z = 2

 
3x + 4y = 26 z = −3




12x = 24 y=5


 x = 2
9x − 5y − 2

z=

 3 S = {(2; 5; −3)}
26 − 3x

y=
 4

 24
x =

12
259
Exemple
 
 9x − 5y − 3z = 2 z = 2x − 3y + 8

 

−2x + 3y + z = 8 3 · 2 + 4y = 26

 

 5x + 2y + 2z = 14 x = 2
 
 9x − 5y − 3(2x − 3y + 8) = 2 z = 2 · 2 − 3 · 5 + 8

 

z = 2x − 3y + 8 y=5

 

 5x + 2y + 2(2x − 3y + 8) = 14 x = 2
 
 z = 2x − 3y + 8 z = −3

 

3x + 4y = 26 |·1 y=5

 

 9x − 4y = −2 | · 1 x = 2

S = {(2; 5; −3)}
z = 2x − 3y + 8


3x + 4y = 26


12x = 24
260
Exemple
 
a+b+c=2

 |·1 

 c = 2a − 2b − 1
 1
2a − 2b − c = 1 | · 1 b=3· −3
 2
a = 1

 3a + b = 0 


 2
 3a − b = 3 |·1
 
 1 3

 c = 2 · − 2 · (− ) − 1
2a − 2b − c = 1 
 2 2
3
 
b=−

 3a + b = 0 |·1  2

 1
 a =

2a − 2b − c = 1 2


3a − b = 3


 
 c=3
6a = 3 
 3
b=−
 2
a = 1

c = 2a − 2b − 1
 


2


b = 3a − 3
 3 1 3
S= ;− ;3

a =

6 2 2
261
Remarque :
Il vaut la peine de passer quelques instants à determiner l’inconnue que l’on désire éliminer. Par
exemple, si une ou plusieurs équations ne renferment pas l’une des inconnues, il sera avantageux
de commencer par éliminer aussi cette inconnue entre les autres équations du système.
Exemple
 
 x + y = 10 3 + y = 10

 

x + z = 19 | · 1 x=3

 

 y + z = 23 | · (−1) 3 + z = 19
 
 x + y = 10 | · 1 y = 7

 

x − y = −4 | · 1 x=3

 

 x + z = 19 z = 16

S = {(3; 7; 16)}
x + y = 10


2x = 6


x + z = 19
262
5 Exercices
Remarque : Dans certains exercices, il y a de la place pour faire l’exercice sur la diapositive
suivante.
Exercice 3.1
Résoudre les systèmes d’équations suivants :

( ( (
y = 2x + 1 3x − 2y = 5 y = 3x − 1
(a) (d) (g)
3x + 2y = 9 2x − 5y = 7 y = 2x + 3
( ( (
x + 3y = −5 x−y =0 x = 3 − 3y
(b) (e) (h)
2x + 5y = −11 2x + y = 6 x + 2y = 0
( ( (
2x = 3y − 6 x−y =4 2x = 3 − 4y
(c) (f) (i)
4x − 5y + 9 = 0 x+y =0 2x + y = 1
263
( ( (
y = 2x + 1 x + 3y = −5 2x = 3y − 6
(a) (b) (c)
3x + 2y = 9 2x + 5y = −11 4x − 5y + 9 = 0
264
( ( (
3x − 2y = 5 x−y =0 x−y =4
(d) (e) (f)
2x − 5y = 7 2x + y = 6 x+y =0
265
( ( (
y = 3x − 1 x = 3 − 3y 2x = 3 − 4y
(g) (h) (i)
y = 2x + 3 x + 2y = 0 2x + y = 1
266
Corrigé 3.1
(
y = 2x + 1
(a)
3x + 2y = 9
Dans cette donnée, il y a déjà une inconnue (le y) qui est isolée.
Il est donc judicieux de procéder par substitution :
( ( (
y = 2x + 1 y = 2x + 1 y = 2x + 1
3x + 2 · (2x + 1) = 9 3x + 4x + 2 = 9 7x = 7
x = 1 et cette valeur substituée dans la première équation donne : y = 2 · 1 + 1 = 3
S = {(1; 3)}
( 267
x + 3y = −5
(b)
2x + 5y = −11
Pour ce système, il est tout aussi pratique de procéder par substitution que par combinaison
linéaire.
Commençons par la méthode utilisée ci-dessus, soit la substitution, en isolant le x dans la
première équation, la seule version qui évite des fractions :
( ( (
x = −3y − 5 x = −3y − 5 x = −3y − 5
2x + 5y = −11 2 · (−3y − 5) + 5y = −11 −6y − 10 + 5y = −11
(
x = −3y − 5
y = 1 et x = −3 · 1 − 5 = −8 S = {(−8 ; 1)}
−y = −1
268
Et voici ce même exercice résolu au moyen de la combinaison linéaire :
( (
x + 3y = −5 | · (−2) −2x − 6y = −10
2x + 5y = −11 2x + 5y = −11
Par addition des deux équations, on obtient −y = −1 ou y = 1
Terminons tout de même par substitution en mettant la valeur trouvée de y dans la pre-
mière équation :
x + 3 · 1 = −5 x = −8 S = {(−8 ; 1)}
( ( 269
2x = 3y − 6 | · (−2) −4x = −6y + 12

(c)
4x − 5y + 9 = 0 |(+5y − 9) 4x = 5y − 9
Par addition des deux équations, on obtient : 0 = −y + 3 ou y = 3 et
3
2x = 3 · 3 − 6 = 3 x=
2

3
S= ;3
2
( ( 270
3x − 2y = 5 | · 5 15x − 10y = 25
(d) 11x = 11 ou x = 1
2x − 5y = 7 | · (−2) −4x + 10y = −14
Puis 3 · 1 − 2y = 5 y = −1 S = {(1 ; −1)}

( 271
x−y =0
(e)
2x + y = 6
Par addition de ces deux équations, on obtient immédiatement : 3x = 6 ou x = 2 et y = x = 2
S = {(2 ; 2)}
( 272
x−y =4
(f) 2x = 4 ou x = 2 et y = −x = −2 S = {(2 ; −2)}
x+y =0
( 273
y = 3x − 1
(g) 3x − 1 = 2x + 3 ⇔ x = 4 et y = 3 · 4 − 1 = 11 S = {(4 ; 11)}
y = 2x + 3
( 274
x = 3 − 3y
(h)
x + 2y = 0
Par substitution de la première équation dans la deuxième :
3 − 3y + 2y = 0 ou y = 3 et x = 3 − 3 · 3 = −6 S = {(−6 ; 3)}
( 275
2x = 3 − 4y
(i)
2x + y = 1
Par substitution directe de la première équation dans la deuxième :
2
3 − 4y + y = 1 ou −3y = −2 ou encore y =
3
Dans la première équation :
2 9−8 1
2x = 3 − 4 · = ou x =
3 3 6

1 2
S= ;
6 3
276
Exercice 3.2

( ( (
x + 2y = 4 5x − 2y = 7 3x − 7y = 3
(a) (d) (g)
5x − 2y = 8 y−x=1 4y + 5x = 5
( ( (
3x + 2y = 5 4x + 3y + 3 = 0 7y + 27 = 5x
(b) (e) (h)
3x + 5y = 8 8x + 5y + 9 = 0 6y + 4x = 10
( ( (
2y + x = 1 25 + 4y = 7x 8x + 9y − 2 = 0
(c) (f) (i)
2x + 5y = 3 5x − 6y = 21 3x − y − 27 = 0
277
( ( (
x + 2y = 4 3x + 2y = 5 2y + x = 1
(a) (b) (c)
5x − 2y = 8 3x + 5y = 8 2x + 5y = 3
278
( ( (
5x − 2y = 7 4x + 3y + 3 = 0 25 + 4y = 7x
(d) (e) (f)
y−x=1 8x + 5y + 9 = 0 5x − 6y = 21
279
( ( (
3x − 7y = 3 7y + 27 = 5x 8x + 9y − 2 = 0
(g) (h) (i)
4y + 5x = 5 6y + 4x = 10 3x − y − 27 = 0
280
Corrigé 3.2
(
x + 2y = 4
(a)
5x − 2y = 8
Par addition : 6x = 12 ⇔ x = 2 et
dans la première équation : 2 + 2y = 4 ⇔ y=1
S = {(2 ; 1)}
281
(
3x + 2y = 5
(b)
3x + 5y = 8
Par soustraction de la première équation à la deuxième :
3y = 3 ou y = 1 et
3x + 2 · 1 = 5 ⇔ x=1
S = {(1 ; 1)}
282
( (
2y + x = 1 x = 1 − 2y
(c) 2 − 4y + 5y = 3 ⇔ y = 1 et
2x + 5y = 3 2 · (1 − 2y) + 5y = 3
x = 1 − 2 · 1 = −1
S = {(−1 ; 1)}
283
( (
5x − 2y = 7 5x − 2y = 7
(d)
y−x=1 |·2 −2x + 2y = 2
Par addition : 3x = 9 ⇔ x = 3 et y = x + 1 = 4
S = {(3 ; 4)}
284
( (
4x + 3y + 3 = 0 | · (−2) −8x − 6y − 6 = 0
(e)
8x + 5y + 9 = 0 8x + 5y + 9 = 0
Par addition : −y + 3 = 0 ⇔ y=3
Dans la première équation : 4x + 3 · 3 + 3 = 0 ⇔ 4x + 12 = 0 ⇔ x = −3
S = {(−3 ; 3)}
285
( ( (
25 + 4y = 7x −7x + 4y = −25 | · 3 −21x + 12y = −75
(f)
5x − 6y = 21 5x − 6y = 21 |·2 10x − 12y = 42
Par addition : −11x = −33 ⇔ x=3
Dans la première équation : 25 + 4y = 21 ⇔ 4y = −4 ⇔ y = −1
S = {(3 ; −1)}
286
( ( (
3x − 7y = 3 3x − 7y = 3 | · 4 12x − 28y = 12
(g)
4y + 5x = 5 5x + 4y = 5 | · 7 35x + 28y = 35
Par addition : 47x = 47 ⇔ x=1
Dans la deuxième équation : 4y + 5 · 1 = 5 ⇔ 4y = 0 ⇔ y=0
S = {(1 ; 0)}
287
( ( (
7y + 27 = 5x −5x + 7y = −27 |·4 −20x + 28y = −108
(h)
6y + 4x = 10 4x + 6y = 10 |·5 20x + 30y = 50
Par addition : 58y = −58 ⇔ y = −1
Dans la deuxième équation : 6 · (−1) + 4x = 10 ⇔ 4x = 16 ⇔ x=4
S = {(4 ; −1)}
288
( (
8x + 9y − 2 = 0 8x + 9y − 2 = 0
(i)
3x − y − 27 = 0 | · 9 27x − 9y − 243 = 0
Par addition : 35x − 245 = 0 ⇔ x=7
Dans la deuxième équation de départ : 3 · 7 − y − 27 = 0 ⇔ y = −6
S = {(7 ; −6)}
289
Exercice 3.3
( (
9 (x − y) + 24x = 100 6 (x − y − 3) = 155 + 5y
(a) (g)
3 (x − y) = 32 x − y − 3 = 4y
( (
6(x + y + 2) + 13x = 98 (x − 4) (y + 7) = (x − 3) (y + 4)
(b) (h)
x + y + 2 = 6x (x + 5) (y − 2) = (x + 2) (y − 1)
( (
6 (x + y) + 7 (x − y) − 19 = 0 3x + 2y = 4
(c) (i)
(x + y) − 4 (x − y) + 2 = 0 (x + 3) (y + 1) = (y + 2) (x − 2)
( (
2 (x + y) = 5 (x + 2) (y − 3) = xy
(d) (j)
x+y =3 xy + 15 = (x + 3) (y + 2)
( (
4 (x − 7) + 9y = 80 (2x + 1) (y − 2) = 2xy
(e) (k)
2 (x − 7) = 5.5y x (3y − 2) − 3y (x − 1) + 4 = 0
( (
2(x + y + 1) − 7 (x − 2y) + 23 = 0 (x + 5) (y + 7) = (x + 1) (y − 9) + 112
(f) (l)
2 (x + y + 1) − 7 (x − 2y) + 20 = 0 2 (x + 5) = 3y + 1
290
( (
9 (x − y) + 24x = 100 6(x + y + 2) + 13x = 98
(a) (b)
3 (x − y) = 32 x + y + 2 = 6x
291
( (
6 (x + y) + 7 (x − y) − 19 = 0 2 (x + y) = 5
(c) (d)
(x + y) − 4 (x − y) + 2 = 0 x+y =3
292
( (
4 (x − 7) + 9y = 80 2(x + y + 1) − 7 (x − 2y) + 23 = 0
(e) (f)
2 (x − 7) = 5.5y 2 (x + y + 1) − 7 (x − 2y) + 20 = 0
293
( (
6 (x − y − 3) = 155 + 5y (x − 4) (y + 7) = (x − 3) (y + 4)
(g) (h)
x − y − 3 = 4y (x + 5) (y − 2) = (x + 2) (y − 1)
294
( (
3x + 2y = 4 (x + 2) (y − 3) = xy
(i) (j)
(x + 3) (y + 1) = (y + 2) (x − 2) xy + 15 = (x + 3) (y + 2)
295
(l) (
(
(2x + 1) (y − 2) = 2xy
(k) (x + 5) (y + 7) = (x + 1) (y − 9) + 112
x (3y − 2) − 3y (x − 1) + 4 = 0
2 (x + 5) = 3y + 1
296
Corrigé 3.3
Parmi ces exercices, il y en a plusieurs où il vaut la peine d’effectuer des substitutions en bloc.
Chaque cas peut être différent du précédent, mais cela vaut la peine d’observer l’ensemble de la
donnée avant de commencer trop vite.
(
9 (x − y) + 24x = 100
(a)
3 (x − y) = 32
Pour cette donnée, on peut observer que la deuxième ligne est un sous-multiple (le tiers)
de la première partie de la première ligne.
En effectuant donc une subtitution de la deuxième ligne dans la première, on obtient :
1
3 · 32 + 24x = 100 ⇔ 96 + 24x = 100 ⇔ 24x = 4 ⇔ x=
6
Isolons maintenant le y dans la deuxième équation :
32 1 64 63 21
3x − 3y = 32 ⇔ 3y = 3x − 32 ⇔ y =x− = − =− =−
3 6 6 6 2

1 21
S= ;−
6 2
297
(
6(x + y + 2) + 13x = 98
(b)
x + y + 2 = 6x
On observe dans cette donnée que le membre de gauche de la deuxième équation corres-
pond exactement à ce qui se trouve dans la parenthèse de la première équation. Utilisons
cette observation en effectuant la substitution suivante (elle nous premettra de n’avoir déjà
plus qu’une inconnue) :
6 · 6x + 13x = 98 ⇔ 49x = 98 ⇔ x=2
La deuxième équation donne assez rapidement la valeur de y :
2 + y + 2 = 12 ⇔ y=8 S = {(2 ; 8)}

298
(
6 (x + y) + 7 (x − y) − 19 = 0
(c)
(x + y) − 4 (x − y) + 2 = 0
Pour cette donnée, rien de bien particuliers s’impose. Mais comme on voit dans les deux
équations x + y et x − y, on peut éventuellement commencer par isoler chacun d’eux, par
combinaison linéaire puis n’avoir plus qu’un système où apparaisent x + y et x − y.
(
6 (x + y) + 7 (x − y) − 19 = 0 ·1

·4

·(−6) ·7

(x + y) − 4 (x − y) + 2 = 0
Faisons la suite en parallèle :
( (
6 (x + y) + 7 (x − y) − 19 = 0 24 (x + y) + 28 (x − y) − 76 = 0
−6 (x + y) + 24 (x − y) − 12 = 0 7 (x + y) − 28 (x − y) + 14 = 0
299
L’équation de gauche donne : 31(x − y) − 31 = 0 ⇔ x−y =1
Et l’équation de droite : 31(x + y) − 62 = 0 ⇔ x+y =2
On a un nouveau système d’équation plus simple à résoudre :
(
x−y =1
qu’on peut résoudre rapidement par combinaison linéaire :
x+y =2

3 1 3 1
2x = 3 ⇔ x= et 2y = 1 ⇔ y= S= ;
2 2 2 2
300
( (
2 (x + y) = 5 2 (x + y) = 5
(d)
x+y =3 |·2 2(x + y) = 6
On peut déjà dire qu’il n’y aura pas de solution, puisque que les membres de gauches sont
les mêmes, mais pas ceux de droite (5 6= 6).
S=∅
301
( (
4 (x − 7) + 9y = 80 4 (x − 7) + 9y = 80
(e)
2 (x − 7) = 5.5y · (−2) −4 (x − 7) = −11y
Par addition : 9y = 80 − 11y ⇔ 20y = 80 ⇔ y=4
Dans la deuxième équation : 2(x − 7) = 5.5 · 4 = 22 ⇔ x − 7 = 11 ⇔ x = 18
S = {(18 ; 4)}
302
(
2(x + y + 1) − 7 (x − 2y) + 23 = 0
(f)
2 (x + y + 1) − 7 (x − 2y) + 20 = 0
Il suffit d’observer la donnée pour conclure qu’il n’y aura pas de solution. En effet, dans
la première équation, on ajoute 23 à un long terme pour obtenir 0 et dans la deuxième équa-
tion on ajoute 20 au même long terme pour obtenir 0. Il n’y a pas de solution, car cela
reviendrait à résoudre le système :
(
z + 23 = 0
z + 20 = 0
S=∅
303
( (
6 (x − y − 3) = 155 + 5y 6 (x − y − 3) = 155 + 5y
(g)
x − y − 3 = 4y | · (−6) −6(x − y − 3) = −24y
155
Par addition : 0 = 155 − 19y ⇔ y =
19
155 775 + 57 832
De la deuxième équation, on déduit que : x = 5y + 3 = 5 · +3= =
19 19 19

832 155
S= ;
19 19
304
( (
(x − 4) (y + 7) = (x − 3) (y + 4) xy − 4y + 7x − 28 = xy − 3y + 4x − 12
(h)
(x + 5) (y − 2) = (x + 2) (y − 1) xy + 5y − 2x − 10 = xy + 2y − x − 2
( (
3x − y = 16 |·3 9x − 3y = 48
8x = 56 ⇔ x=7
−x + 3y = 8 −x + 3y = 8
Et pourquoi pas, une fois, effectuer un système entièrement par combinaison linéaire !
Dans ce cas, on reprend la donnée réduite :
( (
3x − y = 16 3x − y = 16
8y = 40 ⇔ y=5
−x + 3y = 8 |·3 −3x + 9y = 24
S = {(7 ; 5)}
305
( (
3x + 2y = 4 3x + 2y = 4
(i)
(x + 3) (y + 1) = (y + 2) (x − 2) xy + 3y + x + 3 = xy + 2x − 2y − 4
( (
3x + 2y = 4 3x + 2y = 4
17y = −17 ⇔ y = −1
−x + 5y = −7 | · 3 −3x + 15y = −21
De l’équation ci-dessus, on isole aisément x : x = 5x + 7 = 5 · (−1) + 7 = 2
S = {(2 ; −1)}
306
( (
(x + 2) (y − 3) = xy xy + 2y − 3x − 6 = xy
(j)
xy + 15 = (x + 3) (y + 2) xy + 15 = xy + 3y + 2x + 6
( (
−3x + 2y = 6 |·3 −9x + 6y = 18 |·3
− 13x = 0 ⇔ x=0
−2x − 3y = −9 | · 2 −4x − 6y = −18 | · 2
Dans l’équation ci-dessus : −3 · 0 + 2y = 6 ⇔ y=3
S = {(0 ; 3)}
307
( (
(2x + 1) (y − 2) = 2xy 2xy + y − 4x − 2 = 2xy
(k)
x (3y − 2) − 3y (x − 1) + 4 = 0 3xy − 2x − 3xy + 3y + 4 = 0
( (
−4x + y = 2 | · (−3) 12x − 3y = −6
10x = −10 ⇔ x = −1
−2x + 3y = −4 −2x + 3y = −4
Dans l’équation ci-dessus : −4 · (−1) + y = 2 ⇔ y = −2
S = {(−1 ; −2)}
308
( (
(x + 5) (y + 7) = (x + 1) (y − 9) + 112 xy + 5y + 7x + 35 = xy + y − 9x − 9 + 112
(l)
2 (x + 5) = 3y + 1 2x + 10 = 3y + 1
( (
16x + 4y = 68 |:4 4x + y = 17
7y = 35 ⇔ y=5
2x − 3y = −9 | · (−2) −4x + 6y = 18
De l’équation ci-dessus : 2x − 3 · 5 = −9 ⇔ 2x = 6 ⇔ x=3
S = {(3 ; 5)}
309
Exercice 3.4
x−1 y−2
 
2y
(
x + =7  + =1 x − 2y = 3
(h)

(a) 3 
 2 4
x − y = 2 (e) 3x − 6y = 9
 x − 3 − y + 2 = −2




x y 5 3 2

 + =
 3 2 12

3 (x − 1) 4y

(b)  + =7
x
 
+ y = 19
 5 7
x − 3y = 1

  
(i)

 3

4 4 (f)  5x + 3y − 5 = 7




 x y 6 8
x − 1 = y − 2 + =7
 

3 5
(c) 3 y 5
3x + = 4
2
3 4 x+y 1
 
 
 x + y = 35 
 − y =
4 5  2 2
9x + 8y − 70 = 0

 

5 (g) (j)
(d) 13x
 9 x − 7 y + 17 = 0 2x − x − y + 5 = 0

 


 − 7y + 44 = 0  
3 10 5 2 2
310
x + 2y − 4 x − 2 10 − x y − 10 9x 10y
  

 =x−1 
 − = 
 = +4

 4  5
 3 4 4
 3
(k) (n) (q)
x + 1 + y − 2 = x + y  x + 13 + 2x + y = 2y + 4  11y = 10x − 47

 
 

  
3 2 4 3 4 8 3 5 3
x+2

17x 16y


8y + = 31 ( 
 − = 33

 3 7x − 5 = 6y + 3  3
 5
(l) (o) (r)
y + 7x = 7y + 12
 y + 5 + 10x = 192  25x − 11 − 11y = 9

 

 
4 12 15
2 2 2
 

2x + y = 44 
 x− y−4=0

 3 3
 5
(m) (p)
3x − 5 y = 33  5 x + 5 y − 40 = 0

 

 
6 8 6
311
x y 5
 
x + 2y = 7 
 + =
(a) 3  3 2 12

x − y = 2 (b)
x − 3y = 1



4 4
312
x − 1 = y − 2
 
9x + 8y − 70 = 0

(c) 3 y 5 (d) 13x 5
3x + = 4
2

 − 7y + 44 = 0
3
313
x−1 y−2 x
 

 + =1 
 + y = 19
 2
 4 3

(e) (f)
x y
 x − 3 − y + 2 = −2

 

  + =7

3 2 3 5
314
3 4
 (
 x + y = 35 x − 2y = 3
(h)

4
 5
(g) 3x − 6y = 9
 9 x − 7 y + 17 = 0



10 5
315
x+y 1

3 (x − 1) 4y


 + =7 
 − y =

 5 7  2
 2
(i) (j)
 5x + 3y − 5 = 7 2x − x − y + 5 = 0

 

 
6 8 2 2
316
x + 2y − 4 x+2
 

 =x−1 
8y + = 31

 4 
 3
(k) (l)
x + 1 + y − 2 = x + y  y + 5 + 10x = 192

 

 
3 2 4 3 4
317
2 x − 2 10 − x y − 10
 

2x + y = 44 
 − =

 3  5
 3 4
(m) (n)
3x − 5 y = 33  x + 13 + 2x + y = 2y + 4

 

 
6 4 8 3
318
2 2
( 
7x − 5 = 6y + 3  x − y−4=0
(o)

3
 5
y + 7x = 7y + 12 (p)
 5 x + 5 y − 40 = 0



8 6
319
9x 10y 17x 16y
 

 = +4 
 − = 33
4
 3  3
 5
(q) (r)
 11y = 10x − 47  25x − 11 − 11y = 9

 

 
5 3 12 15
320
Corrigé 3.4
x y 5
 
x + 2y = 7 | · 3
(
3x + 2y = 21 
 + = | · 12 (
(a) 3 ⇔  3 2 12

4x + 6y = 5
x − y = 2 x=y+2 (b) ⇔
4x − 3y = 1
x − 3y = 1 | · 4



4 4
3(y + 2) + 2y = 21
On soustrait la 2e équation à la 1re :
3y + 6 + 2y = 21
4
5y = 15 9y = 4 ⇐⇒ y =
9
y=3 4
On remplace y par dans 4x − 3y = 1
On remplace y par 3 dans x = y + 2, on 9
obtient x = 5. 4
4x − 3 · = 1 | · 3
9
12x − 4 = 3
S = {(5 ; 3)}
7
x=
12

7 4
S= ;
12 9
321
 x − 1 = y − 2 | · 15
 
9x + 8y − 70 = 0 | · 5

(c) 3 y 5 (d) 13x 5
3x + = 4 |·2  − 7y + 44 = 0 | · 3
2 
3
(
5x − 5 = 3y − 6 (
⇔ 45x + 8y − 350 = 0 | · 21
6x + y = 8 ⇔
13x − 21y + 132 = 0 | · 8
(
De la 2e équation, on obtient y = 8 − 6x 945x + 168y − 7350 = 0
que l’on substitue dans la 1re équation : ⇔
104x − 168y + 1056 = 0
5x − 5 = 3(8 − 6x) − 6 En additionnant les 2 équations, on
23x = 23 obtient
1049x = 6294
x=1
x=6
On remplace x par 1 dans y = 8 − 6x et
on obtient y = 2 On remplace x par 6 dans une des deux
équations :
S = {(1 ; 2)} 13 · 6 − 21y + 132 = 0
210 = 21y
322
y = 10
S = {(6 ; 10)}
 323
x − 1 + y − 2 = 1

|·4
2 4 S = {(3, ; 2)}
(e) x − 3 y + 2

 − = −2 | · 6
3 2 x


 + y = 19 | · 3
( 3

2x − 2 + y − 2 = 4 (f)
⇔
2x − 6 − 3y − 6 = −12

 x y
 + = 7 | · 15

( 3 5
y = −2x + 8 (
⇔ x + 3y = 57
2x − 3y = 0 ⇔
5x + 3y = 105
On substitue dans la 2e équation y par
On substitue dans la 2e équation x par
−2x + 8 et on obtient
57 − 3y et on obtient
2x − 3(−2x + 8) = 0
5(57 − 3y) + 3y = 105
8x = 24
285 − 15y + 3y = 105
x=3
180 = 12y
y = 15
On remplace x par 3 dans y = −2x + 8 et On remplace y par 15 dans x + 3y = 57 et

on obtient y = 2 on obtient x = 12.
324
S = {(12 ; 15)}
325
3 4

S = {(20 ; 25)}
 x + y = 35
 | · 20
(g) 4 5
 9 x − 7 y + 17 = 0 | · 10
(
 x − 2y = 3 |·3
10 5 (h)
( 3x − 6y = 9
15x + 16y = 700 | · 3
⇔
(
9x − 14y = −170 | · (−5) 3x − 6y = 9
⇔
( 3x − 6y = 9
45x + 48y = 2100
⇔ En soutrayant la deuxième équation à la
−45x + 70y = 850 première, on obtient :
En additionnant les 2 équations, on
0=0
obtient
118y = 2950 Donc tous les points qui satisferont ce
y = 25 système sont ceux de la droite d’équation :
1 2
On remplace y par 25 dans une des deux 3x − 6y = 9 ⇔ x − 2y = 3 ⇔ y = x − .
2 3
équations :
1 2

S = (x; y) y = x − , x ∈ R

9x − 14 · 25 = −170 2 3
9x = 180
x = 20
326
3 (x − 1) 4y S = {(6 ; 7)}


 + = 7 | · 35
(i) 5 7
 5x + 3y − 5 = 7

| · 24
6 8
(
21x − 21 + 20y = 245 | · 20
⇔
20x + 9y − 15 = 168 | · 21
(
420x + 400y = 5320
⇔
420x + 189y = 3843
En soustrayant les 2 équations, on obtient
211y = 1477
y=7
On remplace y par 7 dans une des deux
équations :
420x + 400 · 7 = 5320
420x = 2520
x=6
327
x+y 1


 −y = |·2
(j) 2 2
2x − x − y + 5 = 0 | · 2

2 2
(
x + y − 2y = 1
⇔
4x − x + y + 5 = 0
(
x=y+1
⇔
3x + y = −5
On remplace x par y + 1 dans la seconde
équation et on obtient :
3(y + 1) + y = −5
4y = −8
y = −2
Finalement on remplace y par −2 dans
x = y + 1 et on obtient x = −1.
S = {(−1; −2)}
328
x + 2y − 4


 =x−1 |·4
(k) 4
 x + 1 + y − 2 = x + y | · 12

3 2 4 3
(
x + 2y − 4 = 4x − 4
⇔
4x + 4 + 6y − 12 = 3x + 4y
(
2y = 3x
⇔
x = −2y + 8
On remplace x par −2y + 8 dans la
première équation et on obtient :
2y = 3(−2y + 8)
8y = 24
y=3
Finalement on remplace y par 3 dans
x = −2y + 8 et on obtient x = 2.
S = {(2; 3)}
329
x+2

8y +
 = 31 |·3
(l) 3
 y + 5 + 10x = 192 | · 4

4
(
24y + x + 2 = 93
⇔
y + 5 + 40x = 768
(
x = −24y + 91
⇔
40x + y = 763
On remplace x par −24y + 91 dans la
deuxième équation et on obtient :
40(−24y + 91) + y = 763
2877 = 959y
y=3
x = −24y + 91 et on obtient x = 19.
S = {(19; 3)}
330
2

S = {(16; 18)}
2x + y = 44 | · 3

(m) 3
3x − 5 y = 33 | · 6

6
(
6x + 2y = 132 | · 3
⇔
18x − 5y = 198 | · (−1)
(
18x + 6y = 396
⇔
−18x + 5y = −198
On additionne les 2 équations :
11y = 198
y = 18
l’une des équations :
6x + 36 = 132
6x = 96
x = 16
331
x − 2 10 − x y − 10

 − = | · 60
S = {(7; 10)}

(n) 5 3 4
 x + 13 + 2x + y = 2y + 4 | · 24

4 8 3
⇔
(
12x − 24 − 200 + 20x = 15y − 150
6x + 78 + 6x + 3y = 16y + 32
(
32x − 15y = 74 |·3
⇔
12x − 13y = −46 | · (−8)
(
96x − 45y = 222
⇔
−96x + 104y = 368
59y = 590
y = 10
Finalement, on remplace y par 10 dans
12x − 13y = −46 et on obtient x = 7.
332
2 2
( 
7x − 5 = 6y + 3  x − y − 4 = 0 | · 15

(o)
y + 7x = 7y + 12 (p) 3 5
 5 x + 5 y − 40 = 0 | · 24

( 8 6
7x − 6y = 8 (
⇔ 10x − 6y = 60 |·3
7x − 6y = 12 ⇔
15x + 20y = 960 | · (−2)
On soustrait les 2 équations : (
30x − 18y = 180
⇔
0 = −4 −30x − 40y = −1920
Ce qui est impossible. On additionne les 2 équations :
S=∅ −58y = −1740
y = 30
10x − 6 · 30 = 60
10x = 240
x = 24
333
S = {(24; 30)}
334
9x 10y

S = {(24; 15)}
 =
 +4 | · 12
(q) 4 3
 11y = 10x − 47 | · 15

5 3
(
27x − 40y = 48 | · 50
⇔
−50x + 33y = −705 | · 27
(
1350x − 2000y = 2400
⇔
−1350x + 891y = −19035
−1109y = −16635
y = 15
27x − 40 · 15 = 48
27x = 648
x = 24
335
17x 16y y = −5


 − = 33 | · 15
(r) 3 5 Finalement on remplace y par −5 dans
 25x − 11 − 11y = 9 | · 60

12 15
(
85x − 48y = 495 | · 25 85x − 48 · (−5) = 495
⇔
125x − 55 − 44y = 540 | · (−17) 85x = 255
(
2125x − 1200y = 12375 x=3
⇔
−2125x + 748y = −10115 S = {(3; −5)}
−452y = 2260
336
Exercice 3.5
  
3x − 5y + 4z = 5 3x + 2y − 4z = 20 3x + 2y + z = 23

 
 

(a) 7x + 2y − 3z = 2 (e) 3x + 2y = 8 (i) 5x + 2y + 4z = 46

 
 

4x + 3y − z = 7 5x − 3y + 2z = 1 10x + 5y + 4z = 75
  
x + y − 2z = 1 4u + 2v − w = 2 x − y + z = 0

 
 

(b) 2x − y + 3z = 1 (f) 2u − v + 2w = 3 (j) x + 2y − z = 0

 
 

3x + y − z = 2 5u − 3v + w = 8 4x + 5y − z = 3
  
x + y − z = −1 x + y + 2z = 14 3x − 2y + z = 2

 
 

(c) x − y + z = −3 (g) x + 2y + z = 7 (k) x+y−z =2

 
 

−x + y + z = 7 2x + y + z = 3 −x + 2y + z = 1
  
3x − y − z = 10 2x + 3y − z = 4 p + q = 2

 
 

(d) 3y − z − x = −2 (h) 4x + z = 0 (l) 3q − 2r = −11

 
 

3z − x − y = 6 6y − 5z = 12 2p + 5r = 15
   337
2x − 4y + 5z = 11 4x + 3z = 11 4x + 28 = 0


 
 

(m) x + 6y − z = 12 (q) 5x + 6y − 3z = 70 (u) y−x=2

 
 

3x − 5y + 2z = −8 x − z = 8 x + z = y
  
x + y = 16 y + z = 4 3x + 4y − 5z = −12

 
 

(n) y+z =7 (r) z−y =6 (v) 5x − 3y + 6z = 33

 
 
z + x = 5 x + z = 9 
2x + 5y − 4z = −18
 
x − y + 11 = 0 2y = 3z

 

(o) 3x + 2y + z + 6 = 0 (s) x+y =5

 

x + y + z = 7 y = z + 2
 
x + y = 3 x + y + z = 3

 

(p) 2x + y = 4 (t) 3x + 2y = 5

 

3x − y + 2z = 7 4x − 5y + 1 = 0
  338
3x − 5y + 4z = 5 x + y − 2z = 1

 

(a) 7x + 2y − 3z = 2 (b) 2x − y + 3z = 1

 

4x + 3y − z = 7 3x + y − z = 2
  339
x + y − z = −1 3x − y − z = 10

 

(c) x − y + z = −3 (d) 3y − z − x = −2

 

−x + y + z = 7 3z − x − y = 6
  340
3x + 2y − 4z = 20 4u + 2v − w = 2

 

(e) 3x + 2y = 8 (f) 2u − v + 2w = 3

 

5x − 3y + 2z = 1 5u − 3v + w = 8
  341
x + y + 2z = 14 2x + 3y − z = 4

 

(g) x + 2y + z = 7 (h) 4x + z = 0

 

2x + y + z = 3 6y − 5z = 12
  342
3x + 2y + z = 23 x − y + z = 0

 

(i) 5x + 2y + 4z = 46 (j) x + 2y − z = 0

 

10x + 5y + 4z = 75 4x + 5y − z = 3
  343
3x − 2y + z = 2 p + q = 2

 

(k) x+y−z =2 (l) 3q − 2r = −11

 

−x + 2y + z = 1 2p + 5r = 15
  344
2x − 4y + 5z = 11 x + y = 16

 

(m) x + 6y − z = 12 (n) y+z =7

 

3x − 5y + 2z = −8 z + x = 5
  345
x − y + 11 = 0 x + y = 3

 

(o) 3x + 2y + z + 6 = 0 (p) 2x + y = 4

 

x + y + z = 7 3x − y + 2z = 7
  346
4x + 3z = 11 y + z = 4

 

(q) 5x + 6y − 3z = 70 (r) z−y =6

 

x − z = 8 x + z = 9
  347
2y = 3z x + y + z = 3

 

(s) x+y =5 (t) 3x + 2y = 5

 

y = z + 2 4x − 5y + 1 = 0
  348
4x + 28 = 0 3x + 4y − 5z = −12


 

(u) y−x=2 (v) 5x − 3y + 6z = 33

 

x + z = y 2x + 5y − 4z = −18
349
Corrigé 3.5

3x − 5y + 4z = 5

 ·3 ·1 ( (
9x − 15y + 12z = 15 3x − 5y + 4z = 5

(a) 7x + 2y − 3z = 2 ·4

 28x + 8y − 12z = 8 16x + 12y − 4z = 28

4x + 3y − z = 7 ·4
Ces deux systèmes, après addition, nous fournissent un nouveau système où il n’y a plus que
deux inconnues :
(
37x − 7y = 23
56x = 56 ⇔ x=1
19x + 7y = 33
En insérant ce résultat dans une des équations du système à deux inconnues ci-dessus, on
obtient :
19 · 1 + 7y = 33 ⇔ 7y = 14 ⇔ y = 2
Et enfin en insérant ces deux valeurs dans la troisième équation de la donnée :

4·1+3·2−z =7 ⇔ z =3 S = {(1 ; 2 ; 3)}
 350

x + y − 2z = 1

 ·1 ( (
3x + z = 2 · (−2) −6x − 2z = −4 · (−2)

(b) 2x − y + 3z = 1 ·1 ·1

 5x + 2z = 3 5x + 2z = 3

3x + y − z = 2 ·1
x = 1 puis, dans la première équation à deux inconnues : 3 · 1 + z = 2 ⇔ z = −1
et enfin dans la toute première équation : 1 + y − 2 · (−1) = 1 ⇔ y = −2
S = {(1 ; −2 ; −1)}
 351

x + y − z = −1

 ·1 ·1 (
2x = −4

(c) x − y + z = −3 ·1 x = −2 et y = 3

 2y = 6

−x + y + z = 7 ·1
Comme on a déjà la valeur de deux inconnues, il nous reste à insérer ces deux résultats dans
une des équations de la donnée (prenons la première) :
−2 + 3 − z = −1 ⇔ z=2 S = {(−2 ; 3 ; 2)}

  352

3x − y − z = 10 3x − y − z = 10

 
 ·1

(d) 3y − z − x = −2 −x + 3y − z = −2 ·3 ·(−1)

 

3z − x − y = 6 
−x − y + 3z = 6 ·1
(
8y − 4z = 4
4y = 12 ⇔ y=3
−4y + 4z = 8
Dans la première des équations à deux inconnues : 24 − 4z = 4 ⇔ z=5
Insérons maintenant ces deux résultats dans la première équation de la donnée :
3x − 3 − 5 = 10 ⇔ 3x = 18 ⇔ x=6
S = {(6 ; 3 ; 5)}
 353

3x + 2y − 4z = 20

 ·1

(e) 3x + 2y = 8 ·(−1) − 4z = 12 ⇔ z = −3



5x − 3y + 2z = 1
On a ainsi un nouveau système, où il faudra tenir compte de la troisième équation :
( (
3x + 2y = 8 ·3
9x + 6y = 24
19x = 38 ⇔ x=2
·2

5x − 3y = 7 10x − 6y = 14
Dans la première équation du système à deux inconnues ci-dessus :
6 + 2y + 12 = 20 ⇔ 2y = 2 ⇔ y=1
S = {(2 ; 1 ; −3)}
 354

4u + 2v − w = 2

 ·2 ·1 (
10u + 3v = 7

(f) 2u − v + 2w = 3 ·1 37u = 37 ⇔ u=1

 9u − v = 10 | · 3

5u − 3v + w = 8 ·1
Et, en insérant cette solution dans la deuxième équation du système à deux inconnues :
v = 9·1−10 = −1 puis, à partir de la troisième équation de la donnée : w = 8−5·1+3·(−1) =

0
S = {(1 ; −1 ; 0)}
  355
x + y + 2z = 14 x = 14 − y − 2z (1)

 

(g) x + 2y + z = 7 ⇔ 14 − y − 2z + 2y + z = 7 (2)

 

2x + y + z = 3 2 · (14 − y − 2z) + y + z = 3 (3)
(
y − z = −7 (4)
−y − 3z = −25 (5)
(4)+(5) : −4z = −32 ⇔ z = 8
En remplaçant z par 8 dans (4), on obtient : y − 8 = −7 ⇔ y = 1
Finalement, on substitue ces deux valeurs dans (1) et on obtient : x = 14−1−2·8 ⇔ x = −3
S = {(−3; 1; 8)}
  356
2x + 3y − z = 4 2x + 3y − (−4x) = 4 (1)


 

(h) 4x + z = 0 ⇔ z = −4x (2)

 

6y − 5z = 12 6y − 5 · (−4x) = 12 (3)
(
6x + 3y = 4 |·2
20x + 6y = 12 | · (−1)
(
12x + 6y = 8 (4)
−20x − 6y = −12 (5)
1
(4)+(5) : −8x = −4 ⇔ x =
2
1
On substitude cette valeur dans (2) et on obtient : z = −4 · ⇔ z = −2
2
1
Et finalement on substitue z par −2 dans (3) : 6y − 5 · (−2) = 12 ⇔ 6y = 2 ⇔ y =
3

1 1
S= ; ; −2
2 3
  357
3x + 2y + z = 23 z = 23 − 3x − 2y (1)

 

(i) 5x + 2y + 4z = 46 ⇔ 5x + 2y + 4 · (23 − 3x − 2y) = 46 (2)

 

10x + 5y + 4z = 75 10x + 5y + 4 · (23 − 3x − 2y) = 75 (3)
(
−7x − 6y = −46 | · (−1)
−2x − 3y = −17 | · 2
(
7x + 6y = 46 (4)
−4x − 6y = −34 (5)
(4)+(5) : 3x = 12 ⇔ x = 4
On substitude cette valeur dans (4) et on obtient : 7 · 4 + 6y = 46 ⇔ 6y = 18 ⇔ y = 3
Finalement, on substitue ces deux valeurs dans (1) et on obtient : z = 23−3·4−2·3 ⇔ z = 5
S = {(4; 3; 5)}
  358
x − y + z = 0 x = y − z (1)

 

(j) x + 2y − z = 0 ⇔ y − z + 2y − z = 0 (2)

 

4x + 5y − z = 3 4 · (y − z) + 5y − z = 3 (3)
(
3y − 2z = 0 | · (−3)
9y − 5z = 3 | · 1
(
9y − 6z = 0 (4)
9y − 5z = 3 (5)
(5)-(4) : z = 3
On substitude cette valeur dans (4) et on obtient : 9y − 6 · 3 = 0 ⇔ 9y = 18 ⇔ y = 2
Finalement, on substitue ces deux valeurs dans (1) et on obtient : x = 2 − 3 ⇔ x = −1
S = {(−1; 2; 3)}
 359
3x − 2y + z = 2 (1)


(k) x+y−z =2 (2)


−x + 2y + z = 1 (3)
(2)+(3) : 3y = 3 ⇔ y = 1
( (
3x − 2 · 1 + z = 2 3x + z = 4 (4)
⇔
x+1−z =2 x = z + 1 (5)
1
On substitue (5) dans (4) : 3 · (z + 1) + z = 4 ⇔ 4z = 1 ⇔ z =
4
1 5
Finalement, on substitue cette valeur dans (5) et on obtient : x = +1⇔x=
4 4

5 1
S= ; 1;
4 4
  360
p + q = 2 p = 2 − q (1)

 

(l) 3q − 2r = −11 ⇔ 3q − 2r = −11 (2)

 

2p + 5r = 15 2 · (2 − q) + 5r = 15 (3)
( (
3q − 2r = −11 | · 2 6q − 4r = −22 (4)
⇔
−2q + 5r = 11 | · 3 −6q + 15r = 33 (5)
(4)+(5) : 11r = 11 ⇔ r = 1
On substitude cette valeur dans (4) et on obtient : 6q − 4 · 1 = −22 ⇔ 6q = −18 ⇔ q = −3
Finalement, on substitue q par −3 dans (1) et on obtient : p = 2 − (−3) ⇔ p = 5
S = {(5; −3; 1)}

  361
2x − 4y + 5z = 11 2 · (z − 6y + 12) − 4y + 5z = 11 (1)


 

(m) x + 6y − z = 12 ⇔ x = z − 6y + 12 (2)

 

3x − 5y + 2z = −8 3 · (z − 6y + 12) − 5y + 2z = −8 (3)
( (
−16y + 7z = −13 | · 5 −80y + 35z = −65 (4)
⇔
−23y + 5z = −44 | · 7 −161y + 35z = −308 (5)
(4)-(5) : 81y = 243 ⇔ y = 3
On substitude y par 3 dans (4) et on obtient : −80 · 3 + 35z = −65 ⇔ 35z = 175 ⇔ z = 5
Finalement, on substitue ces deux valeurs dans (2) et on obtient : x = 5−6·3+12 ⇔ x = −1
S = {(−1; 3; 5)}
  362
x + y = 16 x = 16 − y (1)

 

(n) y+z =7 ⇔ y+z =7 (2)

 

z + x = 5 z + 16 − y = 5 (3)
(
y+z =7 (4)
−y + z = −11 (5)
(4)+(5) : 2z = −4 ⇔ z = −2
On substitude z par -2 dans (4) et on obtient : y − 2 = 7 ⇔ y = 9
Finalement, on substitue y par 9 dans (1) et on obtient : x = 16 − 9 ⇔ x = 7
S = {(7; 9; −2)}
  363
x − y + 11 = 0 x = y − 11 (1)

 

(o) 3x + 2y + z + 6 = 0 ⇔ 3 · (y − 11) + 2y + z + 6 = 0 (2)

 

x + y + z = 7 y − 11 + y + z = 7 (3)
(
5y + z = 27 (4)
2y + z = 18 (5)
(4)-(5) : 3y = 9 ⇔ y = 3
On substitude y par 3 dans (1) et on obtient : x = 3 − 11 ⇔ x = −8
Finalement, on substitue y par 3 dans (5) et on obtient : 2 · 3 + z = 18 ⇔ z = 12
S = {(−8; 3; 12)}
 364
x + y = 3 (1)


(p) 2x + y = 4 (2)


3x − y + 2z = 7 (3)
(2)-(1) : x = 1
On substitude x par 1 dans (1) et on obtient : 1 + y = 3 ⇔ y = 2
Enfin, on substitue ces 2 valeurs dans (3) et on obtient : 3 · 1 − 2 + 2z = 7 ⇔ 2z = 6 ⇔ z = 3
S = {(1; 2; 3)}
  365
4x + 3z = 11 4 · (z + 8) + 3z = 11 (1)

 

(q) 5x + 6y − 3z = 70 ⇔ 5 · (z + 8) + 6y − 3z = 70 (2)

 

x − z = 8 x = z + 8 (3)
(
7z = −21 (4)
6y + 2z = 30 (5)
De (4), on obtient que z = −3
Que l’on remplace dans (3), ce qui nous donne x = −3 + 8 ⇔ x = 5
Puis dans (5), qui nous donne : 6y + 2 · (−2) = 30 ⇔ 6y = 36 ⇔ y = 6
S = {(5; 6; −3)}
 366
y + z = 4 (1)


(r) z − y = 6 (2)


x + z = 9 (3)
(1)+(2) nous donne 2z = 10 ⇔ z = 5
Que l’on remplace d’abord dans (1), ce qui nous donne y + 5 = 4 ⇔ y = −1
Puis dans (3), ce qui nous donne x + 5 = 9 ⇔ x = 4
S = {(4; −1; 5)}

 367
2y = 3z (1)


(s) x + y = 5 (2)


y = z + 2 (3)
On subtitue (3) dans (1) et on obtient 2 · (z + 2) = 3z ⇔ 2z + 4 = 3z ⇔ z = 4
Puis on remplace z par 4 dans (1) et on obtient 2y = 3 · 4 ⇔ 2y = 12 ⇔ y = 6
Et finalement on met cette valeur de 6 pour y dans (2) et on obtient x + 6 = 5 ⇔ x = −1
S = {(−1; 6; 4)}
  368
x + y + z = 3 x + y + z = 3 (1)

 

(t) 3x + 2y = 5 |·4 ⇔ 12x + 8y = 20 (2)

 

4x − 5y + 1 = 0 | · 3 12x − 15y = −3 (3)
(2)-(3) : 23x = 23 ⇔ x = 1
On remplace x par 1 dans (2) ce qui nous donne : 12 · 1 + 8y = 20 ⇔ 8y = 8 ⇔ y = 1
On prend ce deux valeurs que l’on injecte dans (1) pour obtenir : 1 + 1 + z = 3 ⇔ z = 1
S = {(1; 1; 1)}
 369
4x + 28 = 0 (1)


(u) y−x=2 (2)


x + z = y (3)
De (1) on obtient : 4x = −28 ⇔ x = −7
On remplace x par −7 dans la seconde équation : y − (−7) = 2 ⇔ y = −5
Et finalement, on met ces deux valeurs dans (3) : −7 + z = −5 ⇔ z = 2
S = {(−7; −5; 2)}

 370
3x + 4y − 5z = −12 | · 6 (1)



(v) 5x − 3y + 6z = 33 | · 5 (2)


2x + 5y − 4z = −18 (3)
Dans un tel système, on ne peut pas isoler facilement une variable dans une équation. On
va procéder par deux combinaisons linéaires de deux équations afin d’éliminer dans un pre-
mier temps une variable. Ici, nous allons commencer par une combinaison linéaire des deux
premières équations afin d’élimier z.
(
18x + 24y − 30z = −72 (1)
25x − 15y + 30z = 165 (2)
(1)+(2) nous donne : 43x + 9y = 93 (4)
On effectue ensuite une deuxième combinaison ici entre (1) et (3) afin d’éliminer à nouveau
z
3x + 4y − 5z = −12 | · 4 (1)


5x − 3y + 6z = 33 (2)


2x + 5y − 4z = −18 | · (−5) (3)
371
(
12x + 16y − 20z = −48 (1)
−10x − 25y + 20z = 90 (3)
(1)+(3) nous donne : 2x − 9y = 42 (5)
On regroupe (4) et (5) dans un nouveau système de 2 équations à 2 inconnues :

(
43x + 9y = 93 (4)
2x − 9y = 42 (5)
(4) + (5) nous donne 45x = 135 ⇔ x = 3
On injecte cette valeur dans (5) : 2 · 3 − 9y = 42 ⇔ −9y = 36 ⇔ y = −4
On met ces 2 valeurs dans (1) et on obtient : 3·3+4·(−4)−5z = −12 ⇔ −5z = −5 ⇔ z = 1
S = {(3; −4; 1)}

372
Exercice 3.6
Un patron distribue une gratification à ses employés ; s’il donne 400.- à chacun, il reste 5400.- ;
s’il donne 500.- à chacun, il manque 12600.-. Déterminer le nombre d’employés et la somme à
partager.
373
Corrigé 3.6
Soit x la somme à partager, y le nombre d’employés.

(
400y + 5400 = x (1)
500y − 12600 = x (2)
(1) - (2) : −100y + 18000 = 0 ⇔ 18000 = 100y ⇔ y = 180
Dans (1) : 400 · 180 + 5400 = x ⇔ x = 77400
S = {(77400; 180)}
Il a partagé 77400.- entre 180 employés.

374
Exercice 3.7
On place un capital de 6000.- dans une banque. L’intérêt ne change pas si on augmente le taux de
1% et diminue la durée de placement de 4 mois. De même, l’intérêt ne change pas si on diminue
le taux de 1% et augmente la durée de placement de 8 mois. Déterminer le taux et la durée.
375
Corrigé 3.7
Soit t le taux d’intérêt, n la durée en mois.


n−4 n
6000 · (t + 0.01) · = 6000 · t · (1)


12 12

 n+8 n
6000 · (t − 0.01) ·
 = 6000 · t · (2)
12 12
(
nt + 0.01n − 4t − 0.04 = nt (1)
nt − 0.01n + 8t − 0.08 = nt (2)
(
0.01n − 4t − 0.04 = 0 (1)
−0.01n + 8t − 0.08 = 0 (2)
(1) + (2) : 4t − 0.12 = 0 ⇔ 4t = 0.12 ⇔ t = 0.03
Dans (1) : 0.01n − 4 · 0.03 − 0.04 = 0 ⇔ 0.01n = 0.16 ⇔ n = 16
Le taux est de 3% et la durée est de 16 mois.

376
Exercice 3.8
Un cylindre qui mesure 10 cm de haut est composé de bois de masse volumique 0.6 kg/dm3 et
d’aluminium de masse volumique 2.7 kg/dm3. Déterminer la hauteur des parties en bois et en
aluminium de manière à obtenir un corps qui complètement immergé reste en équilibre dans
l’eau.
377
Corrigé 3.8
Soit x la hauteur en dm de la partie en bois, y celle en aluminium. Remarque : la masse volu-

mique de l’eau est de 1 kg/dm3
( (
π · r2 · x · 0.6 + π · r2 · y · 2.7 = π · r2 · 1 · 1 x · 0.6 + y · 2.7 = 1 (1)
⇔
x+y =1 x+y =1 (2)
17
(2) dans (1) : 0.6x + (1 − x) · 2.7 = 1 ⇔ 0.6x + 2.7 − 2.7x = 1 ⇔ 1.7 = 2.1x ⇔ x =
21
17 21 17 4
Dans (2) : +y =1⇔y = − ⇔y=
21 21 21 21

17 4
S= ;
21 21
17
La hauteur de la partie en bois est de dm ou de 8.09 cm et celle de la partie en aluminium
21
4
de dm ou 1.9 cm.
21
378
Exercice 3.9
Sur une façade de 14 m de large, un architecte veut disposer trois fenêtres. La deuxième doit
avoir une largeur égale à une fois et demi la largeur de la première et la troisième une largeur
égale à la somme des largeurs des deux autres. De plus, il faut prévoir 50 cm entre les fenêtres
et les extrémités de la façade et entre les fenêtres. Déterminer les largeurs des fenêtres.
379
Corrigé 3.9
Soit x la largeur de la première fenêtre en cm, 1.5x celle de la deuxième et x + 1.5x celle de la
troisème.
50 + x + 50 + 1.5x + 50 + x + 1.5x + 50 = 1400 ⇔ 5x = 1200 ⇔ x = 240
La première fenêtre a une largeur de 240 cm, la deuxième 360 cm et la dernière 600 cm.
380
Exercice 3.10
Un automobiliste pour aller d’une ville A à une ville B distantes de 120 km doit faire une partie
du trajet en montagne. Sa vitesse moyenne est de 60 km/h en palier, 30 km/h en montée et 40
km/h en descente. Pour aller de A vers B, il met 2 h 21 min et pour aller de B vers A, 2 h 24
min. Quelles sont les distances en palier, en montée et en descente dans le sens A vers B ?
381
Corrigé 3.10
Soit x la distance en palier en km, y la distance en montée et z la distance en descente.


 x + y + z = 120 (1) (4) - (5) donne :

y − z = −6 ⇔ y = z − 6

x y z 21
+ + =2+ (2)
60 30 40 60
Dans (4) :
 + + = 2 + 24
x z y


(3)

60 30 40 60 240 − 2z + 12 − 2z + 4z − 24 + 3z = 282
⇔ z = 54 ⇔ z = 18

x = 120 − y − z (1)
 
z = 18
 

2x + 4y + 3z = 240 + 42 (2)

 y = 18 − 6 = 12
2x + 3y + 4z = 240 + 48 (3) 

x = 120 − 12 − 18 = 90
S = {(90; 12; 18)}

(1) dans (2) et (3)
( La distance en palier est de 90 km, celle en
240 − 2y − 2z + 4y + 3z = 282 (4)
montée de 12 km et celle en descente de 18
240 − 2y − 2z + 3y + 4z = 288 (5) km.
382
Exercice 3.11
Déterminer un nombre de 6 chiffres sachant que :

— il reste le même si on inverse l’ordre des chiffres
— la somme de ses chiffres est 34
— la chiffre des dizaines est le triple du chiffre des mille
— la différence entre le nombre formé par les deux derniers chiffres et celui formé par les
deux premiers est égale à 36
383
Corrigé 3.11
Soit le nombre formé des chiffres xyzzyx.

Remarque : pour utiliser le nombre "yx", il faudra l’exprimer comme suit : "10y + x"
 (
2x + 2y + 2z = 34

 (1) 18x + 72z = 306 (4)
y = 3z (2) 54z − 18x = 72 (5)


(10y + x) − (10x + y) = 36 (3)
(4) + (5) : 126z = 378

(3) : 9y − 9x = 36 
 z=3


(2) dans (1) et (3) : y =3·3=9

 9 · 9 − 36
x = =5
( 
2x + 6z + 2z = 34 | ·9 9
27z − 9x = 36 | ·2 Le nombre est 593’395.
384
Exercice 3.12
La somme des arêtes d’un parallélépipède rectangle est de 60 cm. Si on retire 2 cm à la plus
grande arête et si on ajoute 2 cm à la plus petite, on obtient un cube. Déterminer les longueurs
des arêtes du parallélépipède.
385
Corrigé 3.12
Soit x la longueur de la grande arête en cm, y celle de la petite et z celle de la troisième.


4x + 4y + 4z = 60 (1)


x−2=z (2)


y + 2 = z (3)
(2) et (3) dans (1) : 4 · (z + 2) + 4 · (z − 2) + 4z = 60 ⇔ 4z + 8 + 4z − 8 + 4z = 60 ⇔ 12z = 60


z = 5


x=7


y = 3
S = {(7; 3; 5)} Les arêtes sont de 7 cm, 3 cm et 5 cm.

386
Exercice 3.13
Deux nombres sont tels que la somme du triple du premier et du quintuple du deuxième vaut
44 et que la somme du triple du deuxième et du sextuple du premier vaut 60.
Quels sont ces nombres ?

387
Corrigé 3.13
Soit x le premier nombre, y le deuxième.

( (
3x + 5y = 44 | · 2 6x + 10y = 88 (1)
⇔
3y + 6x = 60 6x + 3y = 60 (2)
(1)-(2) : 7y = 28 ⇔ y = 4
On remplace y par 4 dans (2) : 6x + 3 · 4 = 60 ⇔ 6x = 48 ⇔ x = 8
S = {(8; 4)}
Le premier nombre est 8, le deuxième 4.

388
Exercice 3.14
Trouver trois nombres tels que la somme du premier et de la moitié du deuxième, du deuxième
et du tiers du troisième, du troisième et du quart du premier, fasse chaque fois 1000.
389
Corrigé 3.14
Soit x le premier nombre, y le deuxième, z le troisième.
 y
 x + = 1000 
2

2x + y = 2000 (1)

 
 
 z 
y + = 1000 ⇔ 3y + z = 3000 (2)

 3 

4z + x = 4000 (3)
x


z + = 1000

4
De (3), on obtient : x = 4000 − 4z que l’on substitue dans (1)
( (
2 · (4000 − 4z) + y = 2000 (4) y − 8z = −6000 (4)
⇔
z = 3000 − 3y (2) z = 3000 − 3y (2)
(2) dans (4) : y−8·(3000−3y) = −6000 ⇔ y−24000+24y = −6000 ⇔ 25y = 18000 ⇔ y = 720
On remplace y par 720 dans (2) et on obtient : z = 3000 − 3 · 720 ⇔ z = 840
Et finalement, on injecte z = 840 dans (3) : 4 · 840 + x = 400 ⇔ x = 640
S = {(640; 720; 840)}
Le premier nombre est 640, le deuxième 720 et le troisième 840.

390
Exercice 3.15
Lors de l’impression d’un livre, on s’aperçoit que différentes variantes sont possibles. Tout en
conservant les mêmes caractères typographiques, on peut soit aérer le texte, en mettant 15 lignes
de moins par page, ce qui augmente le livre de 3 pages, soit resserrer le texte en mettant 25 lignes
de plus par page, ce qui diminue le livre de 3 pages. Déterminer le nombre de lignes par page et
le nombre de pages du livre.
391
Corrigé 3.15
Soit x le nombre de lignes par page, y le nombre de pages.
Equations sur le nombre total de lignes :

( ( (
(x − 15)(y + 3) = xy xy − 15y + 3x − 45 = xy −15y + 3x − 45 = 0 (1)
⇔ ⇔
(x + 25)(y − 3) = xy xy + 25y − 3x − 75 = xy +25y − 3x − 75 = 0 (2)
(1) + (2) : 10y − 120 = 0 ⇔ 10y = 120 ⇔ y = 12
On remplace y par 12 dans (1) : −15 · 12 + 3x − 45 = 0 ⇔ 3x = 225 ⇔ x = 75
S = {(75; 12)}
Il y a 75 lignes par page et 12 pages.
392
6 Solutions
Solution 3.1
1. S = {(1; 3)} 4. S = {(1; −1)} 7. S = {(4; 11)}

2. S = {(−8; 1)} 8. S = {(−6; 3)}
5. S = {(2; 2)}
3 1 2
3. S = ; 3) 9. S = ;
2 6. S = {(2; −2)} 6 3
Solution 3.2
1. S = {(2; 1)} 4. S = {(3; 4)} 7. S = {(1; 0)}

2. S = {(1; 1)} 5. S = {(−3; 3)} 8. S = {(4; −1)}
3. S = {(−1; 1)} 6. S = {(3; −1)} 9. S = {(7; −6)}
393
Solution 3.3

1 21 5. S = {(18; 4)} 9. S = {(2; −1)}
1. S = ;−
6 2
6. S = ∅ 10. S = {(0; 3)}
2. S = {(2; 8)}

832 155
11. S = {(−1; −2)}
3 1 7. S = ;
3. S = ; 19 19
2 2 12. S = {(3; 5)}
4. S = ∅ 8. S = {(7; 5)}
394
Solution 3.4
1. S = {(5; 3)} 10. S = {(−1; −2)}

7 4 11. S = {(2; 3)}
2. S = ;
12 9
3. S = {(1; 2)} 12. S = {(19; 3)}
4. S = {(6; 10)} 13. S = {(16; 18)}
5. S = {(3; 2)} 14. S = {(7; 10)}

6. S = {(12; 15)} 15. S = ∅
7. S = {(20; 25)} 16. S = {(24; 30)}

x−3
8. S = (x; y)/y = ,x ∈ R 17. S = {(24; 15)}
2
9. S = {(6; 7)} 18. S = {(3; −5)}
395
Solution 3.5
1. S = {(1; 2; 3)}

1 1 15. S = {(−8; 3; 12)}
8. S = ; ; −2
2 3
2. S = {(1; −2; −1)} 16. S = {(1; 2; 3)}
9. S = {(4; 3; 5)}
17. S = {(5; 6; −3)}
3. S = {(−2; 3; 2)} 10. S = {(−1; 2; 3)}
18. S = {(4; −1; 5)}
4. S = {(6; 3; 5)} 5 1
11. S = ; 1; 19. S = {(−1; 6; 4)}
4 4
5. S = {(2; 1; −3)}
12. S = {(5; −3; 1)} 20. S = {(1; 1; 1)}
6. S = {(1; −1; 0)} 13. S = {(−1; 3; 5)} 21. S = {(−7; −5; 2)}
7. S = {(−3; 1; 8)} 14. S = {(7; 9; −2)} 22. S = {(3; −4; 1)}
Solution 3.6
Il a partagé 77400.- entre 180 employés.
Solution 3.7
Le taux est de 3% et la durée est de 16 mois.
Solution 3.8
La hauteur de la partie en bois est de 8.09 cm et celle de la partie en aluminium de 1.9 cm.
396
Solution 3.9
La première fenêtre a une largeur de 240 cm, la deuxième 360 cm et la dernière 600 cm.
Solution 3.10
La distance en palier est de 90 km, celle en montée de 12 km et celle en descente de 18 km.
Solution 3.11
Le nombre est 593’395.
Solution 3.12
Les arêtes sont de 7 cm, 3 cm et 5 cm.
Solution 3.13
Le premier nombre est 8, le deuxième 4.
Solution 3.14
Le premier nombre est 640, le deuxième 720 et le troisième 840.
Solution 3.15
Il y a 75 lignes par page et 12 pages.
Chapitre 4
Equations du deuxième degré
398
1 Définition
Définition
Une équation à une inconnue est du deuxième degré si après réduction elle peut se mettre
sous la forme canonique ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0)
Pour résoudre les équations du deuxième degré, plusieurs méthodes sont possibles.
399
2 Résolution par factorisation

Les trois méthodes que nous allons principalement utiliser sont :
— La mise en évidence
— Somme et Produit : x2 + Sx + P = (x + n1)(x + n2) avec P = n1 · n2 et S = n1 + n2.
— Les identités remarquables
A2 + 2AB + B 2 = (A + B)2
A2 − 2AB + B 2 = (A − B)2
(A + B) (A − B) = A2 − B 2
400
Exemple
(a) x2 + 5x + 6 = 0 (d) x2 − 5x − 6 = 0 (g) x2 − 9 = 0
(x + 2)(x + 3) = 0 (x − 6)(x + 1) = 0 (x − 3)(x + 3) = 0
S = {−3; −2} S = {−1; 6} S = {−3; 3}
(b) x2 − 5x + 6 = 0 (e) x2 + 5x = 0 (h) (x + 5)2 = 9
(x − 2)(x − 3) = 0 x(x + 5) = 0 (x + 5)2 − 9 = 0
S = {2; 3} S = {−5; 0} (x + 5)2 − 32 = 0
(x + 5 − 3)(x + 5 + 3) = 0
(c) x2 + 5x − 6 = 0 (f) x2 − 6x + 9 = 0
(x + 2)(x + 8) = 0
(x + 6)(x − 1) = 0 (x − 3)2 = 0
S = {−8; −2}
S = {−6; 1} S = {3}
401
3 Résolution de l’équations du deuxième degré par la for-

mule
Pour découvrir la formule de résolution de l’équation du deuxième degré, nous allons utiliser la
technique intitulée “Complétion du carré”.
402
2 2
ax + bx + c = 0 | 2x + 9x + 4 = 0
b c 9 4
x2 + x = − | x2 + x = −
a a 2 2
2
b2

2 b b c 9 81 81 4
x + x+ 2 − 2 = − | x2 + x + − = −
a 4a 4a a 2 16 16 2
2 2
b2 − 4ac

b 9 81 − 32
x+ = | x+ =
2a 4a2 4 16
r r
b b2 − 4ac 9 81 − 32
x+ = ± | x+ = ±
2a 4a2 4 16
√ √
b b2 − 4ac 9 81 − 32
x = − ± | x = − ±
2a 2a 4 4
√ √
−b ± b2 − 4ac −9 ± 81 − 32
x = | x =
2a 4
403
Remarque :
— Naturellement, si cela est possible, les solutions seront simplifiées. Ici, nous obtenons :
√ √
−9 + 81 − 32 −9 + 7 1 −9 − 81 − 32 −9 − 7
x1 = = = et x2 = = = −4
4 4 2 4 4
— Il se peut qu’une équation du 2e degré ne possède pas de solution. C’est le cas lorsque la
quantité située sous la racine est négative. Cette valeur est donc essentielle.
Définition
Soit ax2 + bx + c = 0 une équation du 2e degré avec a 6= 0. Alors,
∆ = b2 − 4ac
est appelé discriminant de l’équation précédente.
Afin de mieux étudier les différents cas, il faut poser ∆ = b2 −4ac. L’équation précédente devient
404
Trois cas peuvent se présenter :
— ∆ < 0. L’équation n’a pas de solution, car la racine carrée d’un nombre < 0 n’existe pas.
S=∅
— ∆ = 0. L’équation possède une seule solution qui est :

−b
S=
2a
— ∆ > 0 L’équation possède deux solutions qui sont :
√ √
−b − ∆ −b + ∆
S= ;
2a 2a
Notation
La formule de résolution de l’équation du deuxième degré est souvent notée :
√
−b ± ∆
x1,2 =
2a
Remarque : Cette formule est à connaitre par coeur ! ! !

405
Exemple
a) 3x2 − 5x − 2 = 0 c) 3x2 + 2x + 1 = 0
∆ = (−5)2 − 4 · 3 · (−2) = 49 ∆ = (2)2 − 4 · 3 · 1 = −8

√
5 ± 49 5 ± 7
x1,2 = = S=∅
6 6

1
S = − ;2
3
d) 6x2 − 11x − 10 = 0
b) x2 − 4x + 1 = 0 ∆ = (−11)2 − 4 · 6 · (−10) = 361

√
11 ± 361 11 ± 19
∆ = (−4)2 − 4 · 1 · 1 = 12 x1,2 = =
12 12
√ √
√

4 ± 12 4 ± 2 3 2 5
x1,2 = = =2± 3 S= − ;
2 2 3 2
n √ √ o
S = 2 − 3; 2 + 3
406
Exemple
e) 9x2 − 12x + 4 = 0 f) 3x2 − 4x − 1 = 0
∆ = (−12)2 − 4 · 9 · 4 = 0 ∆ = (−4)2 − 4 · 3 · (−1) = 28

√ √ √
12 ± 0 2 4 ± 28 4 ± 2 7 2 ± 7
x1,2 = = x1,2 = = =
18 3 6 6 3
√ √
2 2− 7 2+ 7
S= S= ;
3 3 3
Remarque :
— La racine carrée d’un nombre négatif ne possède, certes, pas de solution dans R. Mais,
elle possède une solution dans le monde merveilleux des nombres complexes C ...
— Si le signe de a et de c ne sont pas les mêmes, alors l’équation possédera toujours deux
solutions dans R. Par exemple, sans calculer ∆, on sait que −17x2 + 5x + 11 = 0 possède
deux solutions réelles.
407
4 Exercices
Exercice 4.1
Résoudre les équations sans appliquer la formule générale.
(a) x2 = 1024 (k) x2 − 25 = 0

(b) 5x2 + 7x = 0 (l) 5x2 − 15x + 10 = 0
(c) 2x2 = 3x (m) x2 + 6x + 5 = 5
(d) 9x2 − 6x + 1 = 0
(n) 7x2 − 14x − 21 = 0
(e) x2 − 4 = x − 2
(o) x2 − 9x + 24 = 4
(f) (x − 4) (x + 3) + (x + 3) = 0
2 (p) x2 − 25x + 144 = 0
(g) 49 = x
(h) (x + 2)2 − 5 (x + 2) = 0 (q) (3x + 2) (x − 2) = 3x + 2
(i) 4x2 + 20x + 25 = 0 (r) 6x2 − 54x − 132 = 0

(j) x2 − 4x − 21 = 0 (s) 9x2 − 45x + 36 = 0
408
2 2
(a) x = 1024 (d) 9x − 6x + 1 = 0
(b) 5x2 + 7x = 0 (e) x2 − 4 = x − 2
(c) 2x2 = 3x (f) (x − 4) (x + 3) + (x + 3) = 0

409
2 2
(g) 49 = x (j) x − 4x − 21 = 0
(h) (x + 2)2 − 5 (x + 2) = 0 (k) x2 − 25 = 0
(i) 4x2 + 20x + 25 = 0 (l) 5x2 − 15x + 10 = 0

410
2 (q) (3x + 2) (x − 2) = 3x + 2
(m) x + 6x + 5 = 5
(n) 2
7x − 14x − 21 = 0 (r) 6x2 − 54x − 132 = 0
(s) 9x2 − 45x + 36 = 0

(o) x2 − 9x + 24 = 4
(p) x2 − 25x + 144 = 0

411
Corrigé 4.1
1) x2 = 1024 3) 2x2 = 3x
√
x = ± 1024 2x2 − 3x = 0
x = ±32 x · (2x − 3) = 0
3
S = {−32; 32} x1 = 0 ; x2 =
2
3
S = 0;
2
2) 5x2 + 7x = 0
x · (5x + 7) = 0 4) 9x2 − 6x + 1 = 0
7
x1 = 0 ; x2 = − (3x − 1)2 = 0
5
7 1
S = − ;0 x=
5 3
1
S=
3
412
2 2
5) x − 4 = x − 2 7) 49 = x
√
x2 − x − 2 = 0 x = ± 49
(x − 2) · (x + 1) = 0 x = ±7
x1 = 2 ; x2 = −1 S = {−7; 7}
S = {−1; 2}
8) (x + 2)2 − 5 (x + 2) = 0
6) (x − 4) (x + 3) + (x + 3) = 0 (x + 2) · [(x + 2) − 5] = 0
(x + 3) · [(x − 4) + 1] = 0 (x + 2) · [x − 3] = 0
(x + 3) · [x − 3] = 0 x1 = −2 ; x2 = 3
x1 = −3 ; x2 = 3 S = {−2; 3}
S = {−3; 3}
413
2 2
9) 4x + 20x + 25 = 0 11) x − 25 = 0
(2x + 5)2 = 0 (x − 5) · (x + 5) = 0
2x − 5 = 0 x = ±5
2x = 5 S = {−5; 5}
5
x=−
2

5 12) 5x2 − 15x + 10 = 0 | : 5
S= −
2 x2 − 3x + 2 = 0
2 (x − 2) · (x − 1) = 0
10) x − 4x − 21 = 0
x1 = 2 ; x2 = 1
(x − 7) · (x + 3) = 0
S = {1; 2}
x1 = 7 ; x2 = −3
S = {−3; 7}
414
2 2
13) x + 6x + 5 = 5 15) x − 9x + 24 = 4
x2 + 6x = 0 x2 − 9x + 20 = 0
x · (x + 6) = 0 (x − 4) · (x − 5) = 0
x1 = 0 ; x2 = −6 x1 = 4 ; x2 = 5
S = {−6; 0} S = {4; 5}
14) 7x2 − 14x − 21 = 0 16) x2 − 25x + 144 = 0
7 · (x2 − 2x − 3) = 0 (x − 9) · (x − 16) = 0
7 · (x − 3) · (x + 1) = 0 x1 = 9 ; x2 = 16
x1 = 3 ; x2 = −1 S = {9; 16}
S = {−1; 3}
415
17) (3x + 2) (x − 2) = 3x + 2 2
19) 9x − 45x + 36 = 0
(3x + 2) (x − 2) − (3x + 2) = 0 9 · (x2 − 5x + 4) = 0
(3x + 2) · [(x − 2) − 1] = 0 9 · (x − 1) · (x − 4) = 0
(3x + 2) · [x − 3] = 0 x1 = 1 ; x2 = 4
2
x1 = − ; x2 = 3 S = {1; 4}
3
2
S = − ;3
3
18) 6x2 − 54x − 132 = 0 | : 6
x2 − 9x − 22 = 0
(x − 11) · (x + 2) = 0
x1 = 11 ; x2 = −2
S = {−2; 11}
416
Exercice 4.2
Résoudre les équations sans appliquer la formule générale.
(a) (x + 2)2 = 9 (f) (2x − 3)2 = 9

(b) (x − 4)2 = 16 (g) (8x − 7)2 = 5
(c) (x + 2)2 = −7 (h) 9 (x + 5)2 = 8
(d) (x − 2)2 = 7 (i) 4 (x − 5)2 = 9
(e) (3x − 5)2 = 0 (j) (7x + 6)2 = 0
417
2 2
(a) (x + 2) = 9 (c) (x + 2) = −7
(b) (x − 4)2 = 16 (d) (x − 2)2 = 7

418
2 2
(e) (3x − 5) = 0 (h) 9 (x + 5) = 8
(f) (2x − 3)2 = 9 (i) 4 (x − 5)2 = 9
(g) (8x − 7)2 = 5 (j) (7x + 6)2 = 0

419
Corrigé 4.2
1) (x + 2)2 = 9 3) (x + 2)2 = −7
√ √
x+2=± 9 x + 2 = ± −7
(
x1 = −2 + 3 = 1
x = −2 ± 3 = S=∅
x2 = −2 − 3 = −5
S = {−5; 1}
4) (x − 2)2 = 7
√
x−2=± 7
2) (x − 4)2 = 16
√
√ x=2± 7
x − 4 = ± 16
√ o
( n
x1 = 4 + 4 = 8 S = 2± 7
x=4±4=
x2 = 4 − 4 = 0
S = {0; 8}
420
2 2
5) (3x − 5) = 0 7) (8x − 7) = 5
√
3x − 5 = 0 8x − 7 = ± 5  √
7+ 5
x1 =

√

3x = 5 8
8x = 7 ± 5 ⇒ √
 x2 = 7 − 5

5

x= 8
3 √
5 7± 5
S= S=
3 8
2
6) (2x − 3) = 9 8) 9 (x + 5)2 = 8
r
√ 8
2x − 3 = ± 9 x+5=±
3+3 √9 √
x1 =
 =3 8 4·2
2 x = −5 ± = −5 ±
2x = 3 ± 3 ⇒ 3√ 3
x2 = 3 − 3 = 0

2 2· 2
x = −5 ±
3√
S = {0; 3}
2 2
S = −5 ±
3
421
2 2
9) 4 (x − 5) = 9 10) (7x + 6) = 0
2 9
(x − 5) = 7x + 6 = 0
r4
9
x−5=± 7x = −6
4
3 6
x=5± x=−
 2 7
3 10 + 3 13
x1 = 5 + =
 = 6
2 2 2 S= −
⇒ 7
x2 = 5 − 3 = 10 − 3 = 7

2 2 2

7 13
S= ;
2 2
422
Exercice 4.3
Résoudre les équations à l’aide de la formule générale.
(a) 7x2 − 3x − 1 = 0 (g) 3x2 − 30 − x = 0

(b) 8x2 + 6x − 9 = 0 (h) 1 − 4x + x2 = 0
(c) 49x2 − 14x + 1 = 0 (i) 44 + x2 − 14x = 0
(d) 3x2 − 2x + 2 = 0 (j) x2 + 7x + 15 = 0
(e) 9x2 − 42x + 49 = 0 (k) 8x2 − 44x − 63 = 0
(f) 6x2 + 13x − 5 = 0 (l) 3x2 − 26x + 35 = 0
423
2 2
(a) 7x − 3x − 1 = 0 (c) 49x − 14x + 1 = 0
(b) 8x2 + 6x − 9 = 0 (d) 3x2 − 2x + 2 = 0

424
2 2
(e) 9x − 42x + 49 = 0 (g) 3x − 30 − x = 0
(f) 6x2 + 13x − 5 = 0 (h) 1 − 4x + x2 = 0

425
2 2
(i) 44 + x − 14x = 0 (k) 8x − 44x − 63 = 0
(j) x2 + 7x + 15 = 0 (l) 3x2 − 26x + 35 = 0

426
Corrigé 4.3
1) 7x2 − 3x − 1 = 0
a=7 ; b = −3 ; c = −1
√ p
2
√
−b ± − 4 · a · c −(−3) ± (−3) − 4 · 7 · (−1) 3 ± 37
b2
x1;2 = = =
2·a 2·7 14
√
3 ± 37
S=
14
2) 8x2 + 6x − 9 = 0
−6 + 18 12 3

p √ x1 =
 = =
−6 ± 62 − 4 · 8 · (−9) −6 ± 324 −6 ± 18 16 16 4
x1;2 = = = ⇒
2·8 16 16 x2 = −6 − 18 = −24 = − 3

16 16 2

3 3
S= − ;
2 4
427
2
3) 49x − 14x + 1 = 0
p
2
√
−(−14) ± (−14) − 4 · 49 · 1 14 ± 0 14 1
x1;2 = = = =
2 · 49 98 98 7

1
S=
7
4) 3x2 − 2x + 2 = 0
p
2
√ √
−(−2) ± (−2) − 4 · 3 · 2 2 ± 4 − 24 2 ± −20
x1;2 = = =
2·3 6 6
S=∅
5) 9x2 − 42x + 49 = 0
p
2
√
−(−42) ± (−42) − 4 · 9 · 49 42 ± 0 42 7
x1;2 = = = =
2·9 18 18 3

7
S=
3
428
2
6) 6x + 13x − 5 = 0
4 1

p √ x 1 = =
−13 ± 132 − 4 · 6 · (−5) −13 ± 289 −13 ± 17 
12 3
x1;2 = = = ⇒
2·6 12 12 x2 = − 30 = − 5

12 2

5 1
S= − ;
2 3
7) 3x2 − 30 − x = 0 ⇔ 3x2 − x − 30 = 0
a=3 ; b = −1 ; c = −30
20 10

p √ x1 =
 =
−(−1) ± (−1)2 − 4 · 3 · (−30) 1 ± 361 1 ± 19 6 3
x1;2 = = = ⇒
2·3 6 6 x2 = − 18 = −3

6

10
S = −3;
3
429
2 2
8) 1 − 4x + x = 0 ⇔ x − 4x + 1 = 0
a=1 ; b = −4 ; c=1
p
2
√ √ √ √
−(−4) ± (−4) − 4 · 1 · 1 4 ± 12 4 ± 4 · 3 4 ± 2 3 2 · (2 ± 3)
x1;2 = = = = =
2·1 2 2 2 2
n √ o
S = 2± 3
9) 44 + x2 − 14x = 0 ⇔ x2 − 14x + 44
a=1 ; b = −14 ; c = 44
p
2
√ √ √ √
−(−14) ± (−14) − 4 · 1 · 44 14 ± 20 14 ± 4 · 5 14 ± 2 5 2(7 ± 5)
x1;2 = = = = =
2·1 2 2 2 2
n √ o
S = 7± 5
430
2
10) x + 7x + 15 = 0
√ √ √
2
−7 ± 7 − 4 · 1 · 15 7 ± 49 − 60 7 ± −11
x1;2 = = =
2·1 2 2
S=∅
11) 8x2 − 44x − 63 = 0

p
2
√ √ √
−(−44) ± (−44) − 4 · 8 · (−63) 44 ± 3952 44 ± 4 247 4(11 ± 247)
x1;2 = = = =
2·8 16 16 16
√
11 ± 247
S=
4
12) 3x2 − 26x + 35 = 0

42

p √ x 1 = =7
−(−26) ± (−26)2 − 4 · 3 · 35 26 ± 256 26 ± 16 
6
x1;2 = = = ⇒
2·3 6 6 x2 = − 10 = 5

6 3
5
S= ;7
3
431
Exercice 4.4
x − 8 x2 x2 4x 86
(a) + −1=0 (f) − 17 = +
5 3 3 5 5
3x − 7 x2 − 9 5x + 2 53 x2 + 7
(b) −2=− (g) − =
5 7 8 2 4
1 − 8x x2 − 7 (x − 3)2 (x − 4)2
(c) + 2x = (h) =
2 4 5 6
x2 − 3 x2 − 11 x2 + 1 x2 11 x
(d) − = (i) + = +5
2 6 3 3 4 4
5x2 2 x2 + 4 7 − 3x 4 (x − 2)
(e) x− = (j) = −
16 5 6 5 10
432
2 2
x−8 x 3x − 7 x −9
(a) + −1=0 (b) −2=−
5 3 5 7
433
2 2 2 2
1 − 8x x −7 x − 3 x − 11 x + 1
(c) + 2x = (d) − =
2 4 2 6 3
434
2 2
5x 2 x 4x 86
(e) x− = (f) − 17 = +
16 5 3 5 5
435
2 2 2
5x + 2 53 x + 7 (x − 3) (x − 4)
(g) − = (h) =
8 2 4 5 6
436
2 2
x 11 x x + 4 7 − 3x 4 (x − 2)
(i) + = +5 (j) = −
3 4 4 6 5 10
437
Corrigé 4.4
x − 8 x2
1) + − 1 = 0 | · 15
5 3
3 · (x − 8) + 5 · x2 − 1 · 15 = 0
3x − 24 + 5x2 − 15 = 0
5x2 + 3x − 39 = 0
p
2
√
−3 ± 3 − 4 · 5 · (−39) −3 ± 789
x1;2 = =
2·5 10
√
−3 ± 789
S=
10
438
2
3x − 7 x −9
2) −2=− | · 35
5 7
7 · (3x − 7) − 2 · 35 = −5 · (x2 − 9)
21x − 49 − 70 = −5x2 + 45
5x2 + 21x − 164 = 0

40

p √  x1 =
 =4
−21 ± 212 − 4 · 5 · (−164) −21 ± 3721 −21 ± 61 10
x1;2 = = = ⇒
2·5 10 10 x2 = − 82 = − 41

10 5

41
S = − ;4
5
439
2
1 − 8x x −7
3) + 2x = |·4
2 4
2 · (1 − 8x) + 4 · 2x = x2 − 7
2 − 16x + 8x = x2 − 7
x2 + 8x − 9 = 0
(x + 9) · (x − 1) = 0
S = {−9; 1}
440
2 2 2
x − 3 x − 11 x + 1
4) − = |·6
2 6 3
3 · (x2 − 3) − (x2 − 11) = 2 · (x2 + 1)
3x2 − 9 − x2 + 11 = 2x2 + 2
0=0
S=R
441
2
5x 2
5) x − = | · 80
16 5
80 · x − 5 · 5x2 = 2 · 16
25x2 − 80x + 32 = 0
p
2
√ √ √
−(−80) ± (−80) − 4 · 25 · 32 80 ± 3200 80 ± 40 2 10 · (8 ± 4 2)
x1;2 = = = =
2 · 25 50 50 50
√
8±4 2
S=
5
442
2
x 4x 86
6) − 17 = + | · 15
3 5 5
5 · x2 − 17 · 15 = 3 · 4x + 3 · 86
5x2 − 255 = 12x + 258
5x2 − 12x − 513 = 0

114 57

p √ x1 =
 =
−(−12) ± (−12)2 − 4 · 5 · (−513) 12 ± 10404 12 ± 102 10 5
x1;2 = = = ⇒
2·5 10 10 x2 = − 90 = −9

10

57
S = −9;
5
443
2
5x + 2 53 x + 7
7) − = |·8
8 2 4
5x + 2 − 4 · 53 = 2 · (x2 + 7)
5x + 2 − 212 = 2x2 + 14
− 2x2 + 5x − 224 = 0
p
2
√ √
−5 ± 5 − 4 · (−2) · (−224) −5 ± 25 − 1792 −5 ± −1767
x1;2 = = =
2 · (−2) −4 −4
S=∅
444
2 2
(x − 3) (x − 4)
8) = | · 30
5 6
6 · (x − 3)2 = 5 · (x − 4)2
6 (x2 − 6x + 9) = 5 (x2 − 8x + 16)
6x2 − 36x + 54 = 5x2 − 40x + 80
x2 + 4x − 26 = 0
p
2
√ √ √
−4 ± 4 − 4 · 1 · (−26) −4 ± 120 −4 ± 2 30 2 · (−2 ± 30)
x1;2 = = = =
2·1 2 2 2
n √ o
S = −2 ± 30
445
2
x 11 x
9) + = + 5 | · 12
3 4 4
4x2 + 3 · 11 = 3 · x + 12 · 5
4x2 + 33 = 3x + 60
4x2 − 3x − 27 = 0
24

p √ x1 =
 =3
−(−3) ± (−3)2 − 4 · 4 · (−27) 3 ± 441 3 ± 21 8
x1;2 = = = ⇒
2·4 8 8 x2 = − 18 = − 9

8 4

9
S = − ;3
4
446
2
x + 4 7 − 3x 4 (x − 2)
10) = − | · 30
6 5 10
5 · (x2 + 4) = 6 · (7 − 3x) − 3 · 4 · (x − 2)
5x2 + 20 = 42 − 18x − 12x + 24
5x2 + 30x − 46 = 0
p
2
√ √ √
−30 ± 30 − 4 · 5 · (−46) −30 ± 1820 −30 ± 2 455 2 · (−15 ± 455)
x1;2 = = = =
2·5 10 10 10
√
−15 ± 455
S=
5
447
Remarque : Lors de la résolution de problèmes, il est important de déterminer l’inconnue avant
d’établir l’équation du degré deux à résoudre.
Exercice 4.5
Trouver deux nombres consécutifs, tels que la somme de leurs carrés soit 545.
448
Corrigé 4.5
Soit x et x + 1 les deux nombres consécutifs.
x2 + (x + 1)2 = 545
2x2 + 2x + 1 = 545
2x2 + 2x − 544 = 0
2(x2 + x − 272) = 0
2(x + 17)(x − 16) = 0
S = {−17; 16}
Les deux nombres sont -17 et -16 ou 16 et 17

449
Exercice 4.6
La différence entre le carré d’un nombre et le nombre lui-même est égale à 182. Quel est ce
nombre ?
450
Corrigé 4.6
Soit n le nombre.
n2 − n = 182
n2 − n − 182 = 0
(n − 14)(n + 13) = 0
S = {−13; 14}
Le nombre est -13 ou 14.

451
Exercice 4.7
Deux mobiles partent du sommet d’un angle droit en suivant chacun un côté de l’angle. L’un
part une seconde avant l’autre et parcourt 6 m par seconde, tandis que l’autre ne parcourt que
5 m par seconde.
A quel moment seront-ils éloignés de 75 m ?
452
Corrigé 4.7
Soit t le temps en seconde. En utilisant Pythagore :
(6t)2 + (5 (t − 1))2 = 752
36t2 + 25t2 − 50t + 25 = 5625
61t2 − 50t − 5600 = 0

p
50 ± (−50)2 − 4 · 61 · (−5600) 50 ± 1170
t1;2 = =
2 · 61 122

560
S = − ; 10
61
Après 10 secondes, ils seront éloignés de 75 m.
560
Remarque : − = −9.18 n’est pas prise ne considération, car cela signifie qu’il faudrait
61
revenir 9.18 secondes avant le départ des mobiles.
453
Exercice 4.8
Trouver les trois côtés d’un triangle rectangle, sachant que les mesures de ses côtés sont trois
nombres entiers consécutifs.
454
Corrigé 4.8
Soit x la première cathète, x + 1 la seconde cathète et x + 2 l’hypothénuse.
x2 + (x + 1)2 = (x + 2)2
2x2 + 2x + 1 = x2 + 4x + 4
x2 − 2x − 3 = 0
(x − 3)(x + 1) = 0
S = {−1; 3}
Les côtés sont 3, 4 et 5.
Remarque : -1 n’est pas prise ne considération, car une longueur ne peut pas être négative.
455
Exercice 4.9
Deux nombres sont entre eux comme 4 est à 7 et la somme de leurs carrés est 3185. Trouver ces
nombres ?
456
Corrigé 4.9
Soit x le premier nombre et y le deuxième nombre.
x = 4

y 7
x2 + y 2 = 3185
4
De la première équation, on obtient que x = · y, que l’on injecte dans la seconde équation :
7
2
4 2 16 2
·y + y = 3185 ⇐⇒ y + y 2 = 3185 ⇐⇒ 65y 2 = 156065 ⇐⇒ y 2 = 2401
7 49
√
⇐⇒ y = ± 2401 ⇐⇒ y = ±49
S = {−49; 49}
Les deux nombres sont 28 et 49 ou -49 et -28.

457
Exercice 4.10
Soient cinq multiples de quatre consécutifs. La somme des carrés des trois premiers est surpassée
de 512 par la somme des carrés des derniers. Quel sont ces nombres ?
458
Corrigé 4.10
Soit x, x + 4, x + 8, x + 12 et x + 16 les cinq multiples de quatre.
x2 + (x + 4)2 + (x + 8)2 + 512 = (x + 12)2 + (x + 16)2
x2 + x2 + 8x + 16 + x2 + 16x + 64 + 512 = x2 + 24x + 144 + x2 + 32x + 256
x2 − 32x + 192 = 0
√
32 ± 322 − 4 · 1 · 192 32 ± 16
x1;2 = =
2 2
x1 = 24 et x2 = 8
Les cinq multiples de quatres sont 8,12,16,20 et 24 ou 24,28,32,36 et 40.

459
Exercice 4.11
L’aire d’un carré double lorsqu’on augmente son côté de 1 m. Quelle est la mesure du côté de ce
carré ?
460
Corrigé 4.11
Soit c le côté du carré.
2c2 = (c + 1)2
c2 − 2c − 1 = 0
p √ √ √ √
2
2 ± (−2) − 4 · 1 · (−1) 2 ± 8 2 ± 4 · 2 2 ± 2 2 2(1 ± 2) √
c1;2 = = = = = =1± 2
2·1 2 2 2 2
√ √
S = {1 − 2; 1 + 2}
√
Le côté du carré est de 1 + 2.
√
Remarque : 1− 2 n’est pas prise ne considération, car une longueur ne peut pas être négative.
461
Exercice 4.12
La largeur d’un rectangle vaut le quart de sa longueur. Si tu triples sa largeur et que tu diminues
sa longueur de 8 cm, tu obtiens un second rectangle dont l’aire mesure 320 cm2 de plus que le
premier.
Quelle sont les dimensions du premier rectangle ?

462
Corrigé 4.12
Soit x la largeur et 4x la longueur du rectangle.
3x (4x − 8) = x · 4x + 320
8x2 − 24x − 320 = 0
x2 − 3x − 40 = 0
(x − 8)(x + 5) = 0
S = {−5; 8}
Le rectangle a des côtés mesurant 8 cm et 32 cm.
Remarque : -5 n’est pas prise ne considération, car une longueur ne peut pas être négative.
463
Exercice 4.13
Voici un problème figurant sur une tablette de l’ancien âge babylonien.

Trouver un rectangle connaissant son demi-périmètre 6,5 et son aire 7,5.
464
Corrigé 4.13
Soit x la largeur et 6.5 − x la longueur du rectangle.
x (6.5 − x) = 7.5
x2 − 6.5x + 7.5 = 0
2x2 − 13x + 15 = 0
p
13 ± (−13)2 − 4 · 2 · 15 13 ± 7 20 6 3
x1;2 = = ⇒ x1 = = 5 et x2 = = = 1.5
4 4 4 4 2
Si le premier côté mesure 1.5 unité, alors le second vaudra 6.5−1.5 c.-à-d. 5 unités et la deuxième
solution qui est 5, nous donnera comme second côté 6.5 − 5 c.-à-d. 1.5.
Le rectangle a des côtés mesurant 1.5 unité et 5 unités.

465
Remarque : Attention, les 2 solutions obtenues lors de la résolution sont des solutions pour le
premier côté et il faut quand même calculer le second côté.
466
Exercice 4.14
Dans une plaine se trouvent deux tours distantes de 50 pas, l’une haute de 30 pas, l’autre de 40.
Entre ces deux tours se trouve une fontaine, vers laquelle se dirigent deux oiseaux.
Partis simultanément du sommet de chacune des tours et volant à la même vitesse, ils arrivent
en même temps à la fontaine.
Quelle est la distance de la fontaine au pied de chaque tour ?
467
Corrigé 4.14
Soient d la distance parcourue par les oiseaux, x la distance entre la tour de 30 pas et la fontaine
et 50 − x la distance entre la tour de 40 pas et la fontaine.
x2 + 302 = d2 = (50 − x)2 + 402
x2 + 900 = 2500 − 100x + x2 + 1600
100x = 3200
S = {32}
La fontaine se situe à 32 m de la tour de 30 pas et à 18 m de la tour de 40 pas.

468
5 Solutions
Solution 4.1
(a) S = {−32; 32} (j) S = {−3; 7)}

7 (k) S = {−5; 5}
(b) S = − ;0
5
(l) S = {1; 2}
3
(c) S = 0;
2 (m) S = {−6; 0}

1 (n) S = {−1; 3}
(d) S=
3
(o) S = {4; 5}
(e) S = {−1; 2}
(f) S = {−3; 3} (p) S = {9; 16}

(g) S = {−7; 7} 2
(q) S = − ;3
3
(h) S = {−2; 3}

5 (r) S = {−2; 11}
(i) S= −
2 (s) S = {1; 4}
469
Solution 4.2
√ √
(a) S = {−5; 1}

7− 5 7+ 5
(g) S = ;
8 8
(b) S = {0; 8} √ √
−15 − 2 2 −15 + 2 2
(c) S=∅ (h) S = ;
3 3
√ √
(d) S = {2 − 7; 2 + 7} 7 13
(i) S = ;

5 2 2
(e) S=
6
3 (j) S = −
7
(f) S = {0; 3}
470
Solution 4.3
√ √
3 − 37 3 + 37 10
(a) S = ; (g) S= −3;
14 14 3

3 3
√ √
(b) S = − ; (h) S = {2 − 3; 2 + 3}
2 4 √ √
(i) S = {7 − 5; 7 + 5}

1
(c) S =
7 (j) S=∅
(d) S =∅ √ √

7 11 − 247 11 + 247
(e) S = (k) S= ;
3 4 4

5 1 5
(f) S = − ; (l) S= ;7
2 3 3
471
Solution 4.4
√ √
−3 − 789 −3 + 789 57
(a) S= ; (f) S= −9;
10 10 5

41
(g) S=∅
(b) S = − ;4 √ √
5 (h) S = {−2 − 30; −2 + 30}

(c) S = {−9; 1} 9
(i) S = − ;3
4
(d) S=R √ √
√ √

−15 − 455 −15 + 455
8−4 2 8+4 2 (j) S= ;
(e) S= ; 5 5
5 5
472
Solution 4.5 Les deux nombres sont -17 et -16 ou 16 et 17
Solution 4.6 Le nombre est -13 ou 14.
Solution 4.7 Après 10 secondes, ils seront éloignés de 75 m.
Solution 4.8 Les côtés sont 3, 4 et 5.
Solution 4.9 Les deux nombres sont 28 et 49 ou -49 et -28.
Solution 4.10 Les cinq multiples de quatres sont 8,12,16,20 et 24 ou 24,28,32,36 et 40.
√
Solution 4.11 Le côté du carré est de 1 + 2.
Solution 4.12 Le rectangle a des côtés mesurant 8 cm et 32 cm.
Solution 4.13 Le rectangle a des côtés mesurant 1,5 et 5.
Solution 4.14 La fontaine est à 32 pas de la tour de 30 pas et à 18 pas de la tour de 40 pas.
Chapitre 5
Problèmes mélangés
474
1 Méthode
Comme al-Khwãrizmi l’avait mentionné, les équations et leurs résolutions ont un but, à savoir
résoudre des problèmes de la vie auxquels il serait difficile de trouver une solution autrement.
Le Français René Descartes (1596-1650) avait le projet de développer une méthode universelle
de résolution de problèmes, qu’il énonce dans Les Règles pour la direction de l’esprit :
— Ramener tout problème à un problème arithmétique
— Ramener tout problème arithmétique à un problème d’algèbre
— Ramener tout problème d’algèbre à la résolution d’une seule équation
Descartes remarqua que certains problèmes ne pouvaient être résolus par cette méthode. Cepen-
dant, pour les problèmes présentés dans ce chapître, la méthode de Descartes constitue un bon
point de départ. Il est très recommandé de suivre la marche à suivre suivante :
475
— Lire attentivement et comprendre la donnée du problème

— Définir une ou des inconnues
— Mettre en équation(s) la donnée du problème
— Résoudre l’équation ou le système d’équations
— Vérifier la (les) solution(s)
— Expliciter la solution (Phrase ou ensemble de solutions)
Remarque : Au dernier point, il s’agit de vérifier que la ou les valeurs obtenues vérifient
l’équation ou le système d’équations ET que la (les) solution(s) obtenue(s) réponde(nt) bien au
problème énoncé.
Si la résolution algébrique d’une équation est une opération qui peut être automatisée (des
algorithmes peuvent faire ce travail), la compréhension et la mise en équation d’un problème
énoncé en français reste (et restera probablement longtemps encore) une opération qui ne peut
être exécutée que par un esprit humain. Cet exercice demande une part d’intuition, mais cette
intuition sera developpée par la pratique. L’étudiant ne se découragera donc pas si cette activité
lui paraît la plus difficile.
476
Exemple
Alice et Bob sont entrés dans un magasin avec la même somme d’argent. Alice dépense les trois
quarts de ce qu’elle a et Bob les deux cinquièmes. Quelle somme avaient-ils en entrant si, après
leur achat, Bob a 8.40 de plus qu’Alice ?
— Définir une inconnue : Soit x la somme recherchée.
— Mettre en équation la donnée du problème : Après son achat, Alice a encore le quart de
la somme, et Bob trois cinquièmes.
On peut donc traduire la dernière phrase de l’énoncé par l’équation suivante :
3 1
x − x = 8.40 · 20
5 4
— Résoudre l’équation : 12x − 5x = 168
x = 24
3 2
— Vérifier la solution : Alice a dépensé · 24 = 18.- et Bob · 24 = 9.60.
4 5
Il reste donc à Alice 6.- et à Bob 14.40, soit 8.40 de plus qu’Alice.
— Expliciter la solution : Alice a dépensé 18.- et Bob 9.60
477
478
Exemple
L’épitaphe de Diophante d’Alexandrie (3e siècle) propose le problème suivant :
Passant, sous ce tombeau repose Diophante
Ces quelques vers tracés par une main savante
Vont te faire connaître à quel âge il est mort
Des jours assez nombreux que lui compta le sort
Le sixième marqua le temps de son enfance
Le douzième fut pris par son adolescence
Des sept parts de sa vie, une encore s’écoula
Puis, s’étant marié, sa femme lui donna
Cinq ans après un fils qui, du destin sévère
Reçut de jours, hélas ! Deux fois moins que son père
De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut
Dis, si tu sais compter, à quel âge il mourut
— Définir une inconnue : Soit x l’âge de Diophante.
x x x x
— Mettre en équation la donnée du problème : + + + 5 + + 4 = x
6 12 7 2
— Résoudre l’équation :
x x x x
479
2 Exercices
Remarque préalable
Les exercices suivants sont composés de problèmes nécéssitant la maîtrise de différentes tech-
niques algébriques pour leur résolution, c’est-à-dire la résolution d’une équation du premier
degré à une inconnue, de deux ou trois équations du premier degré à deux ou trois inconnues,
d’équation(s) du deuxième de degré à une ou plusieurs inconnues.
C’est donc à l’étudiant de poser correctement le problème et d’identifier la méthode de réso-

lution. Intentionnellement ces problèmes sont mélangés et de difficultés variées.
480
Exercice 5.1
Les diagonales d’un losange diffèrent de 5 cm. Si on augmente la petite diagonale de 2 cm et que
l’on diminue la grande de 3 cm, son aire diminue de 4 cm2. Déterminer la mesure des diagonales
de ce losange.
481
Corrigé 5.1
Soit x la petite diagonale, y la grande.

(x + 2)(y − 3) x · y
= − 4 (1)


2 2



x+5=y (2)

 xy + 2y − 3x − 6 = xy − 8 (1)


y =x+5 (2)
(2) dans (1) : 2x + 10 − 3x − 6 = −8 ⇔ −x = −12 ⇔ x = 12
Finalement, on substitue x par 12 dans (2) et on obtient y = 12 + 5 ⇔ y = 17.
Le petite diagonale mesure 12 cm, la grande 17 cm.

482
Exercice 5.2
On a retranché 12 d’un nombre, et l’on a trouvé 35. Quel est ce nombre ?

483
Corrigé 5.2
Soit x le nombre.
x − 12 = 35 ⇔ x = 47
Le nombre est 47.

484
Exercice 5.3
Un nombre est formé de deux chiffres dont la somme est 12. Si on ajoute 21 au double de ce
nombre, on trouve le triple du nombre renversé. Quel est ce nombre ?
485
Corrigé 5.3
Soit x le chiffre des dizaines, y celui des unités.

(
x + y = 12 (1)
2 · (10x + y) + 21 = 3 · (10y + x) (2)
(
x = 12 − y (1)
17x − 28y + 21 = 0 (2)
(1) dans (2) : 204 − 17y − 28y + 21 = 0 ⇔ 225 = 45y ⇔ y = 5
Finalement, on substitue y par 5 dans (1) et on obtient x = 12 − 5 ⇔ x = 7.
Le nombre est 75.

486
Exercice 5.4
L’âge de Paul est le triple de celui de Jean et ils comptent ensemble 16 ans. Quel est l’âge de
chacun d’eux ?
487
Corrigé 5.4
Soit x l’âge de Paul, y celui de Jean.

(
x = 3y (1)
x + y = 16 (2)
(1) dans (2) : 4y = 16 ⇔ y = 4
Finalement, on substitue y par 4 dans (1) et on obtient x = 3 · 4 ⇔ x = 12.
Paul a 12 ans, Jean 4 ans.

488
Exercice 5.5
Un tonneau à vin contenait 180 litres. Si on en avait tiré 4 litres de moins, il en resterait la
moitié. Combien en a-t-on tiré de litres ?
489
Corrigé 5.5
Soit x le nombre de litres tirés.
180
180 − (x − 4) =
2
184 − x = 90
x = 94
On a tiré 94 litres.
490
Exercice 5.6
Le premier facteur d’un produit de deux nombres est 52. Si on augmente chaque facteur de 7, le
nouveau produit surpasse de 581 le produit primitif. Quel est le second facteur ?
491
Corrigé 5.6
Soit x le premier facteur, y le second.

(
x = 52 (1)
(x + 7)(y + 7) = xy + 581 (2)
(
x = 52 (1)
xy + 7y + 7x + 49 = xy + 581 (2)
(
x = 52 (1)
7y + 7x = 532 (2)
(1) dans (2) : 7y + 364 = 532 ⇔ 7y = 168 ⇔ y = 24
Le nombre cherché est 24.

492
Exercice 5.7
Un héritage de 85000.- doit être réparti entre un certain nombre d’héritiers.

S’il y en avait un de moins, chacun recevrait 4250.- de plus.
Combien y a-t-il d’héritiers et combien chacun reçoit-il ?
493
Corrigé 5.7
Soit x le nombre d’héritiers, y la part de chacun.
85000
( 
xy = 85000 (1)  x = (1)
⇔ y
(x − 1)(y + 4250) = 85000 (2) xy − y + 4250x = 89250 (2)
85000 85000 361250000

(1) dans (2) : · y − y + 4250 · = 89250 ⇔ 85000 − y + = 89250
y y y
⇔ 85000y − y 2 + 361250000 = 89250y ⇔ −y 2 − 4250y + 361250000 = 0
∆ = 1.46306 · 109 = 382502
4250 − 38250
y1 = = 17000 et y2 < 0 et x1 = 5
−2
Il y a donc 5 héritiers et chacun reçoit 17’000.-

494
Exercice 5.8
Combien a coûté une auto d’occasion, sachant qu’après y avoir fait pour 800.- de réparations,
on l’a vendue 19280.-, et qu’ainsi on a gagné les 2/5 du prix d’achat ?
495
Corrigé 5.8
Soit x le prix de l’auto d’occasion.
2
19280 − (x + 800) = x
5
2
−x + 18240 = x
5
7
18240 = x
5
L’auto coûtait 13200.-.

496
Exercice 5.9
Dans mon porte-monnaie, j’ai cinq fois plus d’argent que mon camarade. Ensemble nous avons
45.-. Combien possède chacun ?
497
Corrigé 5.9
Soit x mon montant d’argent, y celui du camarade.

(
x + y = 45 (1)
x = 5y (2)
45 15
(2) dans (1) : 5y + y = 45 ⇔ 6y = 45 ⇔ y = = .
6 2
15 15 75
On substitue y par dans (2) et on obtient x = 5 · ⇔x= .
2 2 2
J’ai 37.50 et mon camarade 7.50.

498
Exercice 5.10
Quel capital, placé à 4%, rapporte autant que 6000.- placé à 4.25% ?
499
Corrigé 5.10
Soit x le capital.
4 4.25
x· = 6000 ·
100 100
4x = 6000 · 4.25
x = 6375
Le capital est de 6375.-.

500
Exercice 5.11
Si de 125, j’ôte un nombre inconnu, je trouve 73. Quel est ce nombre ?

501
Corrigé 5.11
Soit x le nombre cherché.
125 − x = 73
x = 125 − 73
x = 52
Le nombre est 52.

502
Exercice 5.12
Un père a 33 ans et sa fille 9 ans. Dans combien d’années l’âge du père sera-t-il le double de
celui de sa fille ?
503
Corrigé 5.12
Soit x la durée cherchée.
33 + x = 2 · (9 + x)
33 + x = 18 + 2x
33 − 18 = x
x = 15
Il faut attendre 15 ans.

504
Exercice 5.13
Une salle de spectacle comprend 280 places louées à 7.50 ou à 10.-. Lorsque toute la salle est
louée, la somme encaissée avec les billets à 7.50 représente exactement la moitié de la recette
totale.
Combien y a-t-il de places de chaque sorte ?
505
Corrigé 5.13
Soit x le nombre de places à 7.50, y celui des places à 10.-.


7.5x = 7.5x + 10y (1)
(
15x − 7.5x = 10y (1)
2 ⇔
x + y = 280 (2) x = 280 − y (2)
(2) dans (1) : 2100 − 7.5y = 10y ⇔ 2100 = 17.5y ⇔ y = 120
On substitue y par 120 dans (2) et on obtient x = 280 − 120 ⇔ x = 160.
Il y a donc 160 places à 7.50 et 120 à 10.-.

506
Exercice 5.14
Un marchand achète deux chevaux pour 8800.-.

Quels sont les prix respectifs des deux chevaux, sachant que le premier coûte les sept quarts du
second ?
507
Corrigé 5.14
Soit x le prix du premier cheval, y celui du deuxième.




 x + y = 8800 (1)


 7
x = · y
 (2)
4
7 11y 4 · 8800
(2) dans (1) : · y + y = 880 ⇔ = 8800 ⇔ y = ⇔ y = 3200.
4 4 11
7
On substitue y par 3200 dans (2) et on obtient x = · 3200 ⇔ x = 5600.
4
Le premier cheval coûte 5600.-, le deuxième 3200.-.

508
Exercice 5.15
Quelle est la somme qui, placée à 5% pendant deux ans, est devenue 1852.20 ?
509
Corrigé 5.15
Soit x la somme recherchée.
(x · 1.05) · 1.05 = 1852.20

x · 1.052 = 1852.20
x = 1680
La somme est 1680.-.

510
Exercice 5.16
Un côté de l’angle droit d’un triangle rectangle mesure 4.6 m.

Quelles sont les mesures des deux autres côtés de ce triangle, sachant que l’autre côté de l’angle
droit mesure 2 m de moins que l’hypothénuse ?
511
Corrigé 5.16
Soit x la longueur de l’hypothénuse, y celle de l’autre côté.

(
x−2=y (1)
x2 = y 2 + 4.62 (2)
(1) dans (2) : x2 = x2 − 4x + 4 + 21.16 ⇔ 4x = 25.16 ⇔ x = 6.29
On substitue x par 6.29 dans (1) et on obtient y = 6.29 − 2 ⇔ y = 4.29.
L’hypothénuse mesure 6.29 m, l’autre côté 4.29 m.

512
Exercice 5.17
Un manteau et un chapeau ont coûté ensemble 120.-. Le manteau coûte 9 fois autant que le
chapeau.
Quel est le prix du chapeau et celui du manteau ?
513
Corrigé 5.17
Soit x le prix du chapeau, y celui du manteau.

(
x + y = 120 (1)
y = 9x (2)
(2) dans (1) : 10x = 120 ⇔ x = 12
On substitue x par 12 dans (2) et on obtient y = 9 · 12 ⇔ y = 108.
Le chapeau coûte 12.-, le manteau 108.-.

514
Exercice 5.18
Comment partager 20 en deux parties telles que la somme du triple de l’une et du quintuple de
l’autre soit 84 ?
515
Corrigé 5.18
Soit x la première partie, y la deuxième.

(
x + y = 20 (1) ⇒ x = 20 − y
3x + 5y = 84 (2)
(1) dans (2) :
3 · (20 − y) + 5y = 84
60 − 3y + 5y = 84
2y = 24
y = 12
La première partie est 8, l’autre 12.

516
Exercice 5.19
Une pièce de tissu mesure 8 m de plus qu’une autre, et les deux ensembles font 40 m.
Quelle est la longueur de chaque pièce ?
517
Corrigé 5.19
Soit x la longueur de la première pièce, y celle de la deuxième.

(
x + y = 40 (1)
x=y+8 (2)
(2) dans (1) : y + 8 + y = 40 ⇔ 2y = 32 ⇔ y = 16
On substitue y par 16 dans (2) et on obtient x = 16 + 8 ⇔ x = 24.
La longueur de la première pièce est de 24 m, celle de la deuxième 16 m.

518
Exercice 5.20
Un cycliste part à 8h00 à une vitesse de 30 km/h. 40 minutes plus tard, un autre cycliste part
à sa poursuite, à 45 km/h.
Quand le second cycliste rattrapera-t-il le premier et quelle distance aura-t-il parcourue ?
519
Corrigé 5.20
Soit t le temps écoulé depuis le départ du premier cycliste.
Le second cycliste aura rattrapé le premier cycliste lorsqu’ils auront parcouru la même distance !
distance
On sait que vitesse = . Donc d = v · t
temps
dcycliste 1 = dcycliste 2
vcycliste 1 · tcycliste 1 = vcycliste 2 · tcycliste 2

40
30 · t = 45 · t −
60
30t = 45t − 30
15t = 30
t=2
Le second cycliste rattrapera le premier à 10h (2h après le départ du premier cycliste) et chacun
aura parcouru 60 km (d = v · t ⇔ d = 30 · 2 ⇔ d = 60).
520
Exercice 5.21
Un nombre est formé de deux chiffres dont la somme est 12 ; si on ajoute 4 au sixième du nombre,
on trouve le septième du nombre renversé. Quel est ce nombre ?
521
Corrigé 5.21
Pour exprimer le nombre "xy", il faut écrire 10x + y.

  (
x + y = 12 x = 12 − y x = 12 − y (1)
⇔ 5x y ⇔
 1 · (10x + y) + 4 = 1 · (10y + x)  + + 4 = 10y + x 64x − 53y = −168 (2)
6 7 3 6 7 7
(1) dans (2) :
64 · (12 − y) − 53y = −168

768 − 64y − 53y = −168
936 = 117y
y=8
Le nombre cherché est 48.

522
Exercice 5.22
Une société compte 300 membres. En diminuant la cotisation de 2.-, le comité espère augmenter
le nombre des membres de 50% et le montant total des cotisations de 150.-.
Quelle est la cotisation actuelle ?
523
Corrigé 5.22
Soit x la cotisation annuelle.
(x − 2) · 1.5 · 300 = 300x + 150

450x − 900 = 300x + 150
150x = 1050
x = 7
La cotisation est de 7.-

524
Exercice 5.23
De cinq fois un nombre, j’ôte 14 et j’ai 46 pour reste. Quel est ce nombre ?
525
Corrigé 5.23
5x − 14 = 46
60
x =
5
Le nombre recherché vaut 12.

526
Exercice 5.24
Une des cathètes d’un triangle rectangle mesure les 3/4 de l’autre cathète.
Le périmètre du triangle est de 48 m.
Quelle est la longueur de son hypoténuse ?
527
Corrigé 5.24
Soit x la longueur d’une cathète, y celle de l’autre cathète, z celle de l’hypoténuse.
3
 
3 0
 y + y + z = 48 (2 )
x = y (1)
 
4
 
4

 
x + y + z = 48 (2) (1) dans (2) et (3) 2
3y

 

 x2 + y 2 = z 2 (3) + y 2 = z 2 (30)
 


4
7 7

0

 y + z = 48 (2 ) ⇒ z = 48 − y
4
 4
 25 · y 2 = z 2


(30)

16
25 2 49 2 24 2
(2’) dans (3’) : y = 2304 − 168y + y ⇔ y − 168y + 2304 = 0 ⇔ y 2 − 112y + 1536 = 0
16 16 16
Il s’agit d’une équation du second degré.

528
2
y − 112y + 1536 = 0
p
2
√
−(−112) ± (−112) − 4 · 1 · 1536 112 ± 6400 112 ± 80
y1;2 = = =
2·1 2 2
112 + 80 112 − 80
y1 = = 96 et y2 = = 16
2 2
Mais y1 n’est pas une solution cohérente, car elle est plus grande que le périmètre.
3
Donc si y = 16, alors en remplaçant dans (1), on obtient x = · 16 ⇔ x = 12.
4
Finalement, grâce à (2), on obtient que 12 + 16 + z = 48 ⇔ z = 20.
La longueur de l’hypoténuse est de 20 m.

529
Exercice 5.25
Trois nombres consécutifs sont tels que le double du plus petit, augmenté du triple du plus grand,
dépasse de 11 le quadruple du moyen. Quels sont ces nombres ?
530
Corrigé 5.25
Soit x le plus petit nombre, x + 1 le deuxième et x + 2 le troisième.
2x + 3(x + 2) = 4(x + 1) + 11
5x + 6 = 4x + 15
x=9
Les nombres sont 9, 10 et 11.

531
Exercice 5.26
L’eau d’un réservoir est amenée par un tuyau dont le débit est de 6 litres par seconde.
Quel est le débit d’un autre tuyau d’écoulement si, au bout de 1h45, le même réservoir contient
9450 litres de plus qu’avec le premier ?
532
Corrigé 5.26
Soit x le débit d’écoulement (en litres par seconde).
1h45 = 3600 + 45 · 60 sec = 6300 sec.
Avec le premier tuyau, après 1h45, le réservoir contient : 6 · 6300 (litres)= 370800 (litres).
Avec le deuxième tuyau, il contient :
370800 + 90450 litres = x · 6300 sec
6300x = 47250
47250
x=
6300
15
x=
2
Le débit est de 7.5 litres par seconde.
533
Exercice 5.27
Quelle est la valeur d’un champ sachant que les trois cinquièmes du prix font autant que les trois
quarts diminués de 750.-
534
Corrigé 5.27
Soit x la valeur du champ.
3 3
x = x − 750
5 4
12x = 15x − 15000
3x = 15000
x = 5000
Le champ vaut 5000.-.

535
Exercice 5.28
Un capital de 3000.- est divisé en deux sommes inégales. Une part est placée à 4%, l’autre à 5%.
Le revenu total est de 138.-.
Quelles sont les deux parts ?
536
Corrigé 5.28
Soit x la première part, y la deuxième.

 (
x + y = 3000 (1) x = 3000 − y (10)
⇔
 4 x + 5 y = 138 (2) 4x + 5y = 13800 (20)
100 100
(1’) dans (2’) : 12000 − 4y + 5y = 13800 ⇔ y = 1800
On substitue y par 1800 dans (1’) et on obtient : x = 3000 − 1800 ⇔ x = 1200.
La première part est de 1200.-, la deuxième de 1800.-.

537
Exercice 5.29
Dans une basse-cour, il y a des poules et des lapins, en tout 25 têtes et 66 pattes.
Combien y a-t-il de poules et de lapins ?
538
Corrigé 5.29
Soit x le nombre de poules, y celui des lapins.

( (
x + y = 25 | · (−2) (1) −2x − 2y = −50 (10)
⇔
2x + 4y = 66 (2) 2x + 4y = 66 (20)
Par addition : 2y = 16 ⇔ y=8
On substitue y par 8 dans (1) et on obtient : x + 8 = 25 ⇔ x = 17.
Il y a 17 poules et 8 lapins.
539
Exercice 5.30
Deux villes A et B sont distantes de 60 km. A 9h00, deux cyclistes partent, l’un de A vers B à
45 km/h, l’autre de B vers A à 30 km/h. Où et quand se croiseront-ils ?
540
Corrigé 5.30
Soit t le temps écoulé depuis le départ des cyclistes.
Ils vont se croiser lorsque, ensemble, ils auront parcouru les 60 km qui les séparent !
distance
temps
dcycliste 1 + dcycliste 2 = 60
vcycliste 1 · tcycliste 1 + vcycliste 2 · tcycliste 2 = 60
45 · t + 30 · t = 60
75t = 60
4
t=
5
Les cyclistes se croiseront après 0.8h c.-à-d. à 9h48. Le premier cycliste aura parcouru 36 km
(d1 = v1 · t1 ⇔ d1 = 45 · 0.8 ⇔ d1 = 36) et le second 24km (60km - 24 km).
541
Exercice 5.31
Comment partager le nombre 200 en deux parties telles qu’en divisant la première par 16 et la
deuxième par 10, la différence des quotients soit de 6 ?
542
Corrigé 5.31
Soit x la première partie, y la deuxième.

 ( (
x + y = 200 (1) x + y = 200 8x + 8y = 1600
x y ⇔ ⇔
 − = 6 (2) 5x − 8y = 480 5x − 8y = 480
16 10
Par addition, on obtient : 13x = 2080 ⇔ x = 160
On substitue x par 160 dans (1) et on obtient : 160 + y = 200 ⇔ y = 40.
Une partie est 160, l’autre 40.

543
Exercice 5.32
Une mère a 25 ans de plus que son fils. Dans 6 ans, l’âge de la mère sera le double de celui de
son fils.
Quels sont les âges de la mère et du fils ?
544
Corrigé 5.32
Soit x l’âge de la mère, y l’âge du fils.

(
x = 25 + y (1)
x + 6 = 2 · (y + 6) (2)
(1) dans (2) : 25 + y + 6 = 2y + 12 ⇔ y = 19
On substitue y par 19 dans (1) et on obtient : x = 25 + 19 ⇔ x = 44.
La mère a 44 ans, le fils 19 ans.

545
Exercice 5.33
De 523, j’ôte le triple d’un nombre et j’ai pour reste 439. Quel est ce nombre ?
546
Corrigé 5.33
523 − 3x = 439
523 − 439
x=
3
x = 28
Le nombre est 28.

547
Exercice 5.34
J’ai dépensé le tiers, puis le cinquième d’une somme de départ. Il me reste 14.-.
Combien avais-je ?
548
Corrigé 5.34
Soit x la somme de départ.
x x
x − − = 14
3 5
15x − 5x − 3x = 210
7x = 210
x = 30
J’avais 30.-.
549
Exercice 5.35
Une des cathètes d’un triangle rectangle mesure les 20/21 de l’autre cathète. L’aire du triangle
est de 1890 m2.
Quelles sont les dimensions du triangle ?
550
Corrigé 5.35
Soit x la longueur de la première cathète, y celle de la deuxième, z celle de l’hypothénuse.
20


 x= ·y (1)



 21
xy
= 1890 (2)


 2

x2 + y 2 = z 2 (3)

20
·y·y 20 · y 2
(1) dans (2) : 21
= 1890 ⇔ = 1890 ⇔ y 2 = 3969 ⇔ y = ±63
2 21 · 2
On ne garde pas la valeur négative, car on cherche une longueur qui se doit d’être positive.
20
On substitue y par 63 dans (1) et on obtient : x= · 63 ⇔ x = 60
21
2 2 2
√
Dans (3) : z = 63 + 60 ⇔ z = ± 8439 ⇔ z = ±87
A nouveau, la valeur négative n’est pas conservée, car z est une longueur qui se doit d’être
positive.
551
La première cathète mesure 60 m, la deuxième 63 m et l’hypothénuse 87 m.
552
Exercice 5.36
Dans une basse-cour, il y a des poules et des lapins, en tout 32 têtes et 104 pattes.
Combien y a-t-il de poules et de lapins ?
553
Corrigé 5.36
Soit x le nombre de poules, y celui de lapins.

( (
x + y = 32 (1) −2x − 2y = −64
⇔
2x + 4y = 104 (2) 2x + 4y = 104
Par addition : 2y = 40 ⇔ y = 20
On substitue y par 20 dans (1) et on obtient : x + 20 = 32 ⇔ x = 12.
Il y a 12 poules et 20 lapins.
554
Exercice 5.37
Un train de voyageurs qui fait 9 lieues à l’heure est parti 3h30 après un train de marchandise
qui fait du 4 lieues à l’heure.
Après combien de temps et à quelle distance du point de départ le premier train rattrapera-t-il
le deuxième ?
555
Corrigé 5.37
Soit t le temps écoulé depuis le départ du premier premier train (celui qui fait du 4 lieues à
l’heure).
Le second train aura rattrapé le premier train lorsqu’ils auront parcouru la même distance !
distance
temps
dtrain 1 = dtrain 2
vtrain 1 · ttrain 1 = vtrain 2 · ttrain 2
4 · t = 9 · (t − 3.5)
4t = 9t − 31.5
5t = 31.5
t = 6.3
6.3h − 3.5h = 2.8h

De plus, 0.8h · 60min/h = 48min
Et finalement : d = v · t ⇔ d = 9 · 2.8 ⇔ d = 25.2.
556
Le second train rattrapera le premier 2h48 après son départ et chacun aura parcouru 25.2 lieues
.
557
Autre version :
Soit t le temps de trajet pour le train de marchandise et d la distance parcourue par celui-ci.
(
(t − 3.5) · 9 = 4t (1)
d = 4t (2)
(1) : 9t − 31.5 = 4t ⇔ t = 6.3
On substitue t par 6.3 dans (2) et on obtient : d = 4 · 6.3 ⇔ d = 25.2
Le train rattrapera l’autre à 25.2 lieues du point de départ, après 6.3 − 3.5 = 2.8 heures, soit 2h
et 48min après son départ.
558
Exercice 5.38
Des écoliers se partagent 100 noix de manière à ce que chacun ait quatre fois autant de noix
qu’ils sont d’écoliers.
Combien sont-ils et combien de noix chacun reçoit-il ?
559
Corrigé 5.38
Soit x le nombre d’écoliers, y le nombre de noix par écolier.

(
xy = 100 (1)
y = 4x (2)
(2) dans (1) : 4x2 = 100 ⇔ x = ±5
x = −5 n’est pas solution du problème, car on cherche un nombre de noix à se partager.
On substitue x par 5 dans (2) et on obtient : y =4·5 ⇔ y = 20
Il y a 5 écoliers et chacun a 20 noix.

560
Exercice 5.39
Un capital de 2500.- est divisé en deux sommes inégales. Une part est placée à 4%, l’autre à 5%.
Le revenu total est de 113.-.
Quelles sont les deux parts ?
561
Corrigé 5.39
Soit x la première part, y la deuxième.

 (
x + y = 2500 (1) −4x − 4y = −10000
⇔
 4 x + 5 y = 113 (2) 4x + 5y = 11300
100 100
Par addition : y = 1300
On substitue y par 1300 dans (1) et on obtient : x + 1300 = 2500 ⇔ x = 1200
La première part est de 1200.-, la deuxième 1300.-.

562
Exercice 5.40
Un robinet peut remplir un bassin en 10 minutes et un autre robinet en 20 minutes.

En combien de temps ce bassin sera-t-il plein en ouvrant les deux robinets en même temps ?
563
Corrigé 5.40
volume
Soit t le temps nécessaire, v le volume du bassin. On sait que : débit = .
temps
v
Si l’on remplit le bassin avec le robinet 1 : d1 =
10
v
Si l’on remplit le bassin avec le robinet 2 : d2 =
20
Si l’on remplit le bassin avec les deux robinets :

v
d1 + d2 =
v t
v
+ ·t=v
10 20
(2v + v) · t = 20v
3 · v · t = 20 · v
3t = 20
20
t=
3
20
Il faut de minutes, donc 6 min 40 s.
3
564
Exercice 5.41
Si j’achète du café à 4.40 le kilo, il me reste 1.80. Si je prends la même quantité de café à 5.20
le kilo, il me manque 1.20.
Combien y a-t-il dans mon porte-monnaie ?
565
Corrigé 5.41
Soit x le montant dans mon porte-monnaie, y la quantité de café achetée.

(
4.4 · y + 1.8 = x (1)
5.2 · y − 1.2 = x (2)
On subtitue (1) dans (2) : 4.4y + 1.8 = 5.2y − 1.2 ⇔ 3 = 0.8y ⇔ y = 3.75
On substitue y par 3.75 dans (1) et on obtient : x = 4.4 · 3.75 + 1.8 ⇔ x = 18.3
J’ai 18.30 dans mon porte-monnaie.

566
Exercice 5.42
Un nombre de deux chiffres a le chiffre des unités double de celui des dizaines. Quand on ajoute
36 au nombre, on obtient le nombre renversé.
Quel est ce nombre ?
567
Corrigé 5.42
Attention, le nombre n’est pas “xy” mais bien 10 · x + y.
Par exemple, 54 n’est pas 5 · 4 (= 20), mais bien 5 · 10 + 4.
Le nombre inversé n’est pas “yx” mais bien 10 · y + x.

(
y = 2x (1)
36 + 10x + y = 10y + x (2)
(1) dans (2) : 36 + 10x + 2x = 20x + x ⇔ 36 = 9x ⇔ x=4
On substitue x par 4 dans (1) et on obtient : y =2·4 ⇔ y=8
Le nombre est 48.

568
Exercice 5.43
Deux capitaux placés respectivement à 4% et à 4.5% rapportent ensemble 229.50 d’intérêt annuel.
Quels sont-ils si leur somme de 5600.- ?
569
Corrigé 5.43
Soit x le capital à 4%, y celui à 4.5%.


 4 · x + 4.5 · y = 229.5 (1)
(
4x + 4.5y = 22950 (10)
100 100 ⇔
x + y = 5600 (2) x = 5600 − y (20)
(2’) dans (1’) : 22400 − 4y + 4.5y = 22950 ⇔ 0.5y = 550 ⇔ y = 1100
On substitue y par 1100 dans (2’) et on obtient : x = 5600 − 1100 ⇔ x = 4500
Le premier capital est de 4500.-, le deuxième 1100.-.

570
Exercice 5.44
Un nombre est divisé ainsi : la deuxième partie égale les 2/3 de la première, et la troisième les
3/4 de la deuxième. La différence entre la deuxième et la troisième partie est 400.
Quel est ce nombre et chaque partie ?
571
Corrigé 5.44
Soit x la première partie du nombre.
2
Alors · x sera la deuxième partie du nombre.
3

3 2 1
Et · · x = · x sera la troisième partie du nombre.
4 3 2
2 1
· x − · x = 400 | · 6
3 2
4x − 3x = 2400
x = 2400
2
La deuxième partie du nombre sera · 2400 = 1600
3
1
La troisième partie du nombre sera · 2400 = 1200
2
Et finalement le nombre recherché est 2400+1600+1200 c.-à-d. 5200.

572
Autre version :
Soit x le nombre, y la première partie, z la deuxième et x − y − z la troisième.
2
 
2 3 2

 z = ·y (1) 
 x − y − y = · y (2)

 3 
 3 4 3
3 (1) dans (2) et (3) :
x−y−z = ·z (2) 2

2

 4 
 3 y − x − y − 3 y = 400 (3)

 

z − (x − y − z) = 400 (3)
 
5 y 13
x − y = x = y

 

3 2 6
⇔ ⇔
−x + 2 y + 5 y = 400 −x = 400 − 7 y

 

3 3 3
1
Par addition, on obtient : 0 = 400 − · y ⇔ y = 2400
6
13 13 2 2
x= ·y = · 2400 = 5200 et z = · y = · 2400 = 1600
6 6 3 3
La première partie est 2400, la deuxième 1600, la troisième 1200, et le nombre est 5200.
573
Exercice 5.45
L’âge de Marie est le triple de celui d’Anne. La somme de leurs âges est 48 ans.
Quels sont les âges de Marie et d’Anne ?
574
Corrigé 5.45
Soit x l’âge de Marie, y celui d’Anne.

(
x + y = 48 (1)
x = 3y (2)
(2) dans (1) : 4y = 48 ⇔ y = 12
On substitue y par 12 dans (2) et on obtient : x = 3 · 12 ⇔ x = 36
Marie a 36 ans et Anne 12 ans.

575
Exercice 5.46
La diagonale d’un rectangle mesure 323 m et le rapport de ses côtés est de 15/8.
Quelles sont les dimensions de ce rectangle ?
576
Corrigé 5.46
Soit x la largeur du rectangle, y sa longueur.

 
x2 + y 2 = 3232 (1) x2 + y 2 = 3232 (1)
⇔
 15 = y (2)  15 · x = y (2)
8 x 8
2
15 64 + 225 2
(2) dans (1) : x2 + ·x = 104329 ⇔ · x = 104329 ⇔ x2 = 23104 ⇔ x = ±152.
8 64
On ne va garder que la solution positive, car x représente la largeur d’un rectangle.
15
On substitue x par 152 dans (2) et on obtient : y= · 152 ⇔ y = 285.
8
La largeur est de 152 m, la longueur 285 m.

577
Exercice 5.47
Si à un nombre inconnu, j’ajoute 378, la somme est égale à sept fois ce nombre.
Quel est ce nombre ?
578
Corrigé 5.47
Soit x le nombre recherché.
x + 378 = 7x
6x = 378
x = 63
Le nombre est 63.

579
Exercice 5.48
Le long d’une rue, on construit 7 maisons identiques distantes les unes des autres de 8.40 m et
de 5.50 m de chaque extrémité de la rue. Si on diminuait toutes ces distances de 1.40 m et la
longueur des maisons de 1 m, on pourrait construire 8 maisons.
Quelle est la longueur d’une maison ?
580
Corrigé 5.48
Soit x la longueur d’une maison.
7x + 6 · 8.4 + 2 · 5.5 = 8 · (x − 1) + 7 · (8.4 − 1.4) + 2 · (5.5 − 1.4)

7x + 61.4 = 8x + 49.2
12.2 = x
Une maison fait 12.2 m.

581
Exercice 5.49
Un nombre vaut le quart d’un autre ; si on retranche le plus petit de 25 et le plus grand de 70,
les restes sont égaux. Quels sont ces nombres ?
582
Corrigé 5.49
Soit x le petit nombre et y le plus grand.
x = y

(1)
4
25 − x = 70 − y (2)
y 3y
(1) dans (2) : 25 − = 70 − y ⇔ = 45 ⇔ y = 60
4 4
60
On substitue y par 60 dans (1) et on obtient : x= ⇔ x = 15.
4
Le petit nombre est 15, le grand 60.

583
Exercice 5.50
La fortune d’un négociant a augmenté la première année de 1/8 de sa valeur ; le seconde année,
des 4/9 de sa nouvelle valeur ; la troisième année des 5/13 de la valeur précédente. Elle se monte
alors à 27000.-.
Quelle était la fortune au commencement ?
584
Corrigé 5.50
Soit x la fortune au début.
1 9
La fortune après la première année est de : x + x = x.
8 8
9 4 9 9 4 13
La fortune après la deuxième année est de : x + · x = x + x = x.
8 9 8 8 8 8
13 5 13 13 5 18
La fortune après la troisième année est de : x + · x = x + x = x.
8 13 8 8 8 8
Mais, on sait aussi que la fortune à la fin de la troisième année se monte à 27’000.- :
18
x = 27000
8
x = 12000
Sa fortune était de 12000.-.

585
Exercice 5.51
Une personne place les 2/3 d’un capital à 4.75% et le reste à 5.5%. Elle retire 493.75 d’intérêt
au bout de 72 jours. Quel est le capital ?
586
Corrigé 5.51
Soit x le capital.

2 4.75 72 2 5.5 72
x· · + x− x · · = 493.75
3 100 360 3 100 360
2 1 360
x · 4.75 + x · 5.5 = 493.75 · · 100 | · 3
3 3 72
9.5x + 5.5x = 740625
15x = 740625
x = 49375
Le capital est de 49375.-.

587
Exercice 5.52
J’achète un nombre égal de mètres de tissu à 12.- le mètre et de doublure à 2.- le mètre. Je paie
en tout 56.-.
Combien ai-je acheté de mètres de chaque étoffe ?
588
Corrigé 5.52
Soit x la quantité de chaque tissu en mètres.
12x + 2x = 56
14x = 56
x=4
J’ai pris 4 m de chaque tissu.

589
Exercice 5.53
Pour une excursion en autocar, on a convenu d’un prix forfaitaire de 270.-.

Trois personnes ayant fait défection, le prix par participant s’en est trouvé augmenté de 1.-.
Combien de personnes ont participé à l’excursion ?
590
Corrigé 5.53
Soit x le nombre de personnes avant défection, y le prix par personne.
270
( 
xy = 270 (1)  x = (10)
y
(x − 3)(y + 1) = 270 (2) xy − 3y + x − 3 = 270 (20)
270
(1’) dans (2’) : 270 − 3y + = 273 ⇔ −3y 2 − 3y + 270 = 0 ⇔ y 2 + y − 90 = 0
y
√ √
−1 ± 12
− 4 · 1 · 90 −1 ± 361 −1 ± 19
y1;2 = = = ⇒ y1 = 9 et y2 = −10
1·2 2 2
On ne garde que la solution positive, car y représente un prix par personne.
270
On substitue y par 9 dans (1’) et on obtient : x= ⇔ x = 30.
9
Il y avait 30 personnes inscrites, donc 27 personnes ont participé à l’excursion.

591
Exercice 5.54
Un bassin A, qui n’est pas entièrement rempli, contient 15 hl d’eau ; un deuxième bassin B, pas
entièrement rempli, contient 12.5 hl d’eau. Un robinet remplit le bassin A à raison de 7 litres
par minute, un autre robinet remplit le bassin B à raison de 12 litres par minute. Au bout de
combien de temps les deux bassins contiendront-ils la même quantité d’eau ? Le problème est-il
toujours possible ?
592
Corrigé 5.54
Soit t le temps en minutes.
volume
On sait que : débit = ⇔ v = d · t.
temps
1500 + d1 · t = 1250 + d2 · t
1500 + 7t = 1250 + 12t
250 = 5t
t = 50
Il faut attendre 50 minutes.
Le problème n’est possible que si chaque bassin peut contenir 1500 + 7 · 50 = 1850 litres d’eau.
593
Exercice 5.55
Deux voyageurs sont éloignés de 45 km ; le premier fait 5 km en une heure, l’autre 6 km.
Le premier part à 5h. Le deuxième part, à la rencontre du premier, à 5h45.
Quand et où se rencontreront-ils ?
594
Corrigé 5.55
Soit t le temps écoulé depuis le départ du premier voyageur.
Ils vont se croiser lorsque, ensemble, ils auront parcouru les 45 km qui les séparent !
distance
temps
dvoyageur 1 + dvoyageur 2 = 45
vvoyageur 1 · tvoyageur 1 + vvoyageur 2 · tvoyageur 2 = 45

3
5·t+6· t− = 45
4
5t + 6t − 4.5 = 45
11t = 49.5
t = 4.5
Les voyageurs se croiseront 4.5h après le départ du premier voyageur c.-à-d. à 9h30. La rencontre
aura lieu à 22.5 km du point de départ du voyageur 1 (d1 = v1 ·t1 ⇔ d1 = 5·4.5 ⇔ d1 = 22.5). Et
soit dit en passant aussi 22.5km du point de départ du voyageur 2, vu qu’ils sont préalablement
séparés de 45km.
595
Exercice 5.56
Quel est le nombre dont le quintuple diminué de 17 donne 48 ?

596
Corrigé 5.56
Soit x le nombre.
5x − 17 = 48
5x = 65
x = 13
Le nombre est 13.

597
Exercice 5.57
Un nombre positif représente les 9/11 d’un autre. Les 2/5 du plus petit augmentés des 7/10 du
plus grand font 113.
Quels sont ces nombres ?
598
Corrigé 5.57
Soit x le petit nombre, y le grand.
9


 x = y (1)

 11
 2 x + 7 y = 113 (2)



5 10
2 9 7
(1) dans (2) : · y + y = 113 ⇔ 36y + 77y = 12430 ⇔ 113y = 12430 ⇔ y = 110
5 11 10
9
On substitue y par 110 dans (1) et on obtient : x= · 110 ⇔ x = 90.
11
Les nombres sont 90 et 110.

599
Exercice 5.58
Le rayon d’un disque mesure 8 cm.

De combien doit-on l’augmenter pour que l’aire du disque double ?
600
Corrigé 5.58
Soit x l’augmentation du rayon.
π(8 + x)2 = π · 82 · 2 | : π
64 + 16x + x2 = 128
x2 + 16x − 64 = 0
p
2
√ √ √
−16 ± 16 − 4 · 1 · (−64) −16 ± 512 −16 ± 256 · 2 −16 ± 16 2
x1;2 = = = =
2·1 2 2 2
√
2 · (−8 ± 8 2) √ √
= = −8 ± 8 2 = 8 · (± 2 − 1)
2
√
On ne garde que la solution positive, 8 · ( 2 − 1), car x représente une augmentation de rayon.
√
On doit donc augmenter le rayon de 8 2 − 1 m ≈ 3.317 m .
601
Exercice 5.59
A la fin de la saison, on demande à un chasseur combien il a tué de lièvres et de faisans.

"19 têtes et 54 pattes" répond-il malicieusement. Combien a-t-il tué de lièvres et de faisans ?
602
Corrigé 5.59
Soit x le nombre de lièvres, y celui de faisans.

( (
x + y = 19 (1) −2x − 2y = −38
⇔
4x + 2y = 54 (2) 4x + 2y = 54
Par addition : 2x = 16 ⇔ x=8
On substitue x par 8 dans (1) et on obtient : 8 + y = 19 ⇔ y = 11.
Il a tué 8 lièvres et 11 faisans.

603
Exercice 5.60
On multiplie un nombre par 5, on retranche 24 du produit, on divise le reste par 6, on ajoute 13

au quotient et on retrouve le même nombre. Quel est-il ?
604
Corrigé 5.60
Soit x le nombre.
1
(5x − 24) · + 13 = x
6
5x − 24 + 78 = 6x
54 = x
Le nombre est 54.

605
3 Solutions
Solution 5.1 Le petite diagonale mesure 12 cm, la grande 17 cm.
Solution 5.2 Le nombre est 47.
Solution 5.4 Paul a 12 ans, Jean 4 ans.
Solution 5.5 On a tiré 94 litres.
Solution 5.6 Le nombre cherché est 24.
Solution 5.7 5 héritiers reçoivent chacun 17’000.-
Solution 5.8 L’auto coûtait 13200.-.
Solution 5.9 J’ai 37.50 et mon camarade 7.50.
Solution 5.10 Le capital est de 6375.-.
Solution 5.12 Il faut attendre 15 ans.
Solution 5.13 Il y a 160 places à 7.50 et 120 à 10.-.
Solution 5.14 Le premier cheval coûte 5600.-, le deuxième 3200.-.
Solution 5.15 La somme est est 1680.-.
606
Solution 5.16 L’hypthénuse mesure 6.29 m, l’autre côté 4.29 m.
Solution 5.17 Le chapeau coûte 12.-, le manteau 108.-.
Solution 5.18 La première partie est 8, l’autre 12.
Solution 5.19 La longueur de la première pièce est de 24 m, celle de la deuxième 16 m.
Solution 5.20 Le second cycliste rattrapera le premier à 10h et chacun aura parcouru 60 km.
Solution 5.21 Le nombre cherché est 48.
Solution 5.22 La cotisation est de 7.-
Solution 5.23 Ce nombre est 12
Solution 5.24 La longueur de l’hypothénuse est de 20 m.
Solution 5.25 Les nombres sont 9, 10 et 11.
Solution 5.26 Le débit est de 7.5 litres par seconde.
Solution 5.27 Le champ vaut 5000.-.
Solution 5.28 La première part est de 1200.-, la deuxième de 1800.-.
Solution 5.29 Il y a 17 poules et 8 lapins.
Solution 5.30 Ils se croiseront à 36 km de A et après 48 minutes.
Solution 5.31 Une partie est 160, l’autre 40.
607
Solution 5.32 La mère à 44 ans, le fils 19 ans.
Solution 5.34 J’avais 30.-.
Solution 5.35 La première cathète mesure 60 m, la deuxième 63 m et l’hypothénuse 87 m.
Solution 5.36 Il y a 12 poules et 20 lapins.
Solution 5.37 Le train rattrapera l’autre à 25.2 lieues du point de départ, après 2h48.
Solution 5.38 Il y a 5 écoliers et chacun a 20 noix.
Solution 5.39 La première part est de 1200.-, la deuxième 1300.-.
Solution 5.40 Il faut 6 min 40 s.
Solution 5.41 J’ai 18.30 dans mon porte-monnaie.
Solution 5.43 Le premier capital est de 4500.-, le deuxième 1100.-.
Solution 5.44 La 1ère est 2400, la 2ème 1600, la 3ème 1200, et le nombre est 5200.
Solution 5.45 Marie à 36 ans, Anne 12 ans.
Solution 5.46 La largeur est de 152 m, la longueur 285 m.
608
Solution 5.48 Une maison fait 12.2 m.
Solution 5.49 Le petit nombre est 15, le grand 60.
Solution 5.50 La fortune était de 12000.-.
Solution 5.51 Le capital est de 49375.-.
Solution 5.52 J’ai pris 4 m de chaque tissu.
Solution 5.53 27 personnes ont participé à l’excursion.
Solution 5.54 Il faut attendre 50 minutes.
Le problème n’est possible que si chaque bassin peut contenir 1850 litres.
Solution 5.55 Il se rencontreront à 9h30 à 22.5 km du point de départ du premier.
Solution 5.57 Les nombres sont 90 et 110.
√
Solution 5.58 On doit augmenter le rayon de 8 2 − 1 m.
Solution 5.59 Il a tué 8 lièvres et 11 faisans.
Chapitre 6
Factorisation
610
1 Définition
Définition
La décomposition en facteurs ou factorisation d’un polynôme consiste à trouver un
produit qui lui soit égal, et dont les facteurs ne puissent plus être décomposés.
Exemple
2x2y + 14xy + 24y = 2y (x + 3) (x + 4)
611
2 Méthode de la mise en évidence

Pour mettre en évidence, on repère d’abord le facteur qui est commun à tous les termes du
polynôme à factoriser. Il peut être constitué d’un nombre, d’un monôme et même d’un polynôme.
On l’écrit alors devant une parenthèse et l’on complète cette parenthèse en utilisant la distribu-
tivité de la multiplication par rapport à l’addition.
L’utilisation systématique de cette méthode permet de simplifier le polynôme et de faciliter la
suite de la factorisation.
Exemple
1. 3x2 + 6x = 3x (x + 2)
3 2 2 2

2. −12x y + 24x y + 6xy = 6xy −2x + 4xy + 1
3. a(x + y) − b(x + y) = (x + y) (a − b)
612
3 Les produits remarquables

Les produits remarquables apparaissent souvent dans les calculs mathématiques.
(A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB 2 + B 3

(A − B)2 = A2 − 2AB + B 2 (A − B)3 = A3 − 3A2B + 3AB 2 − B 3
A2 − B 2 = (A + B) (A − B) 3 3 2 2

A + B = (A + B) A − AB + B
3 3 2 2

A − B = (A − B) A + AB + B
Exemple
1. 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2
2. 9x2 − 6x + 1 = (3x − 1)2
3. 16x2 − 49y 2 = (4x + 7y) (4x − 7y)
613
4 Décomposition du trinôme du deuxième degré

4.1 Somme et Produit
La décomposition du trinôme du deuxième degré x2 +7x+12 en un produit de facteurs du premier
degré, revient à chercher deux nombres réels a et b tels que x2 + 7x + 12 = (x + a) (x + b)
Le membre de droite de cette égalité peut s’écrire x2 + (a + b) x + ab
Il faut donc que a + b = 7 et ab = 12. Ces deux égalités sont vraies si a = 3 et b = 4.
Donc x2 + 7x + 12 = (x + 3) (x + 4)
La décomposition d’un trinôme du deuxième degré dont le coefficient de x2 est 1 est ainsi ramenée
à la recherche de deux nombres. Leur somme est égale au coefficient de x et leur produit au
terme de degré zéro.
Exemple
1. x2 − 7x + 12 = (x − 3) (x − 4)
2. x2 + x − 12 = (x − 3) (x + 4)
3. x2 − x − 12 = (x + 3) (x − 4)
614
Remarque :
En utilisant un procédé analogue, il est possible de décomposer certains trinômes dont le coeffi-
cient de x2 est différent de 1 et d’autres de degré supérieur à 2.
Exemple
6 3 3
3
1. x − 7x + 12 = x − 3 x − 4
4 2 2 4 2 2
2 2

2. x − 7x y + 12y = x − 3y x − 4y
3. 2x2 + 13x − 7 = (2x − 1) (x + 7)
Remarque :
Attention, il n’est pas toujours aisé de trouver cette décomposition. De plus, il n’est pas toujours
possible de factoriser un trinôme du second degré dans R.
615
4.2 Méthode générale

Lorsque nous n’arrivons pas à factoriser rapidement ax2 + bx + c avec la mise en évidence, les
indentités remarquables ou avec la méthode Somme et Produit, nous allons utiliser la formule
générale. C’est, certes, plus long, mais on est sûr d’y arriver.
Rappels :
— Une valeur x0 telle que f (x0) = 0 est appelée zéro (ou racine) de la fonction f .
— On appelle discriminant le nombre ∆ = b2 − 4ac.
— La formule de résolution de l’équation du deuxième degré ax2 + bx + c = 0, vue en M1,
est √
−b ± ∆
x1,2 =
2a
616
Théorème
Lorsqu’un nombre x0 est zéro de f (x) = ax2 + bx + c, ce trinôme peut être factorisé par
(x − x0).
— Si ∆ > 0, f possède deux zéros x1 et x2, on peut factoriser f ainsi :
f (x) = a(x − x1)(x − x2)
— Si ∆ = 0, f possède un seul zéro (dit double) x1, on peut factoriser f ainsi :
f (x) = a(x − x1)2
— Si ∆ < 0, f ne se factorise pas dans R.

617
Démonstration :
√ √
−b + ∆ −b − ∆
Soient x1 = et x1 = les deux zéros de f (x) = ax2 + bx + c.
2a 2a
√ √
−b + ∆ −b − ∆
a(x − x1)(x − x2) = a x − x−
√ 2a √ 2a

2ax − (−b + ∆) 2ax − (−b − ∆)
=a
2a 2a
√ √
2ax + b − ∆ 2ax + b + ∆
=a
2a 2a
√ √
(2ax + b) − ∆ (2ax + b) + ∆
=a
2a 2a
2
√ 2
(2ax + b) − ( ∆)
=a
4a2
2 2 2 2

4a x + 4abx + b − (b − 4ac)
=a
4a2
4a2x2 + 4abx + 4ac 4a(ax2 + bx + c)

= = = ax2 + bx + c
4a 4a
618
Exemple
Factoriser 12x2 + 17x − 40
√
2 −17 ± 2209 −17 ± 47 5 8
∆ = 17 − 4 · 12 · (−40) = 2209 =⇒ x1,2 = = x1 = x2 = −
2 · 12 24 4 3
2 5 8 5 8
12x + 17x − 40 = 12 x − x− − = 4·3 x− x+ = (4x − 5)(3x + 8)
4 3 4 3
Exemple
Factoriser 529x2 − 782x + 289
√
−(−782) ± 0 782 ± 0 17
∆ = (−782)2 − 4 · 529 · 289 = 0 =⇒ x1,2 = = x1 = x2 = −
2 · 529 1058 23
2 2
2 17 2 17
529x − 782x + 289 = 529 x − = 23 x − = (23x − 17)2
23 23
Exemple
Factoriser 5x2 − 6x + 2
∆ = (−6)2 − 4 · 5 · 2 = −4 =⇒ 5x2 − 6x + 2 ne se factorise pas, car ∆ < 0.
619
5 Méthode des groupements

Cette méthode consiste à former plusieurs groupes, de façon à pouvoir utiliser les produits
remarquables ou la mise en évidence d’un facteur commun aux groupes constitués.
Exemple
2 2 2 2
− 1 = (x + y)2 − 1 = [(x + y) + 1] [(x + y) − 1] =

(a) x + 2xy + y − 1 = x + 2xy + y
(x + y + 1) (x + y − 1)
(b) ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by) = x (a + b) + y (a + b) = (a + b) (x + y)
3 2 3 2 2 2 2

(c) x − x − x + 1 = x − x + −x + 1 = x x − 1 + (−1) x − 1 = x − 1 (x − 1)
Remarque :
(a) Pour décomposer un polynôme, il faut appliquer plusieurs des méthodes décrites, en général
dans l’ordre qui a été donné.
(b) Si pour un polynôme donné, aucune des méthodes vues ne donne de résultat, il faut se garder
de conclure que ce polynôme est indécomposable.
620
6 Exercices
Exercice 6.1
Mettre en évidence le plus de facteurs possibles.
(a) 10xy − 20x2y + 30xy 2
(b) 9x3 − 12x2 − 15x
(c) 9xy + 6yz + 3xz
(d) 24b3c5 − 36bc2
(e) 3a3b4 − 12a2b5
(f) 4x(x − y) + 5y(x − y)
(g) 35x2y − 28xy 2 + 7xy
(h) (x + 2)2 − 5(x + 2)
(i) 4bc6 − 2b2c5 + 10b3c4 + 8b4c3 − 6b5c2 + 12b6c
(j) 14x5 − 7x4 + 21x3 − 35x2

621
Corrigé 6.1
(a) 10xy − 20x2y + 30xy 2 = 10xy(1 − 2x + 3y)
(b) 9x3 − 12x2 − 15x = 3x(3x2 − 4x − 5)
(c) 9xy + 6yz + 3xz = 3(3xy + 2yz + xz)
(d) 24b3c5 − 36bc2 = 12bc2(2b2c3 − 3)
(e) 3a3b4 − 12a2b5 = 3a2b4(a − 4b)
(f) 4x(x − y) + 5y(x − y) = (x − y)(4x + 5y)
(g) 35x2y − 28xy 2 + 7xy = 7xy(5x − 4y + 1)
(h) (x + 2)2 − 5(x + 2) = (x + 2)((x + 2) − 5) = (x + 2)(x − 3)
(i) 4bc6 − 2b2c5 + 10b3c4 + 8b4c3 − 6b5c2 + 12b6c = 2bc(2c5 − bc4 + 5b2c3 + 4b3c2 − 3b4c + 6b5)
(j) 14x5 − 7x4 + 21x3 − 35x2 = 7x2(2x3 − x2 + 3x − 5)

622
Exercice 6.2
Factoriser à l’aide des produits remarquables.
(a) x2 + 2x + 1
(b) x2 − 2xy + y 2
(c) 9y 2 + 6y + 1
(d) 4x2 − 9y 2
(e) 1 − 16z 4
(f) 49x2 − 28x + 4
(g) 0, 01x2 − 4
(h) z 2 − 8z + 16
(i) 4x2y 2 − 9
(j) y 4 − 2y 2 + 1
(k) x3 − 1
(l) y 3 + 27
(m) x3 + 6x2 + 12x + 8
(n) z 3 − 30z 2 + 300z − 1000
623
Corrigé 6.2
(a) x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
(b) x2 − 2xy + y 2 = (x − y)2
(c) 9y 2 + 6y + 1 = (3y + 1)2
(d) 4x2 − 9y 2 = (2x − 3y)(2x + 3y)
(e) 1 − 16z 4 = (1 + 4z 2)(1 − 4z 2) = (1 + 4z 2)(1 + 2z)(1 − 2z)
(f) 49x2 − 28x + 4 = (7x − 2)2
(g) 0, 01x2 − 4 = (0, 1x − 2)(0, 1x + 2)
(h) z 2 − 8z + 16 = (z − 4)2
(i) 4x2y 2 − 9 = (2xy − 3)(2xy + 3)
(j) y 4 − 2y 2 + 1 = (y 2 − 1)2 = ((y − 1)(y + 1))2 ou (y − 1)2(y + 1)2
(k) x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)
(l) y 3 + 27 = (y + 3)(y 2 − 3y + 9)
(m) x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23 = (x + 2)3
(n) z 3 − 30z 2 + 300z − 1000 = z 3 − 3 · z 2 · 10 + 3 · z · 102 − 103 = (z − 10)3
624
Exercice 6.3
Factoriser les trinômes.
(a) x2 − 7x + 6
(b) x2 + 7x + 6
(c) x2 − 14x − 15
(d) x2 + 8x + 15
(e) x2 − 9x + 20
(f) z 2 + 7z + 12
(g) z 2 − 13z + 12
(h) 2x2 + 14x + 20
(i) 44 + x2 − 15x
(j) x4 − 13x2 + 36
(k) 2x2 − 3x − 5
(l) 24x2 − 22x − 35
(m) −6x2 + 7x + 55
(n) 40x4 − 86x2 − 9
625
Corrigé 6.3
(a) x2 − 7x + 6 = (x − 1)(x − 6)
(b) x2 + 7x + 6 = (x + 1)(x + 6)
(c) x2 − 14x − 15 = (x − 15)(x + 1)
(d) x2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)
(e) x2 − 9x + 20 = (x − 4)(x − 5)
(f) z 2 + 7z + 12 = (z + 3)(z + 4)
(g) z 2 − 13z + 12 = (z − 1)(z − 12)
(h) 2x2 + 14x + 20 = 2(z + 2)(z + 5)
(i) 44 + x2 − 15x = (x − 4)(x − 11)
(j) x4 − 13x2 + 36 = (x2 − 4)(x2 − 9) = (x + 2)(x − 2)(x + 3)(x − 3)

626
2
(k) 2x − 3x − 5
∆ = (−3)2 − 4 · 2 · (−5) = 49
√
−(−3) ± 3±7
49 10 5 −4
x1,2 = = =⇒ x1 = = ; x2 = = −1
2·2 4 4 2 4

5 5
2x2 − 3x − 5 = 2 x − (x − (−1)) = 2 x − (x + 1) = (2x − 5)(x + 1)
2 2
(l) 24x2 − 22x − 35
∆ = (−22)2 − 4 · 24 · (−35) = 3844

√
−(−22) ± 3844 22 ± 62 84 7 −40 5
x1,2 = = =⇒ x1 = = ; x2 = =−
2 · 24 48 48 4 48 6

2 7 5 7 5
24x −22x−35 = 24 x − x− − = 4·6· x − x+ = (4x−7)(6x+5)
4 6 4 6
627
2
(m) −6x + 7x + 55
∆ = 72 − 4 · (−6) · 55 = 1369
√
−7 ± 1369 −7 ± 37 30 5 −44 11
x1,2 = = =⇒ x1 = =− ; x2 = =
2 · (−6) −12 −12 2 −12 3

2 11 5
−6x + 7x + 55 = −6 · x − · x− −
3 2

11 5
= −3 · 2 · x − · x+
3 2
= −(3x − 11)(2x + 5) ou (11 − 3x)(2x + 5)

628
4 2
(n) 40x − 86x − 9
On pose y = x2 et on commence par factoriser 40y 2 − 86y − 9
∆ = (−86)2 − 4 · 40 · (−9) = 8836

√
−(−86) ± 8836 86 ± 94 180 9 −8 1
y1,2 = = =⇒ y1 = = ; y2 = =−
2 · 40 80 80 4 80 10

9 1
40y 2 − 86y − 9 = 40 · y − · y− −
4 10

9 1
= 4 · 10 · y − · y+
4 10
= (4y − 9)(10y + 1)
40x4 − 86x2 − 9 = (4x2 − 9)(10x2 + 1)
= (2x + 3)(2x − 3)(10x2 + 1)

629
Exercice 6.4
Factoriser en utilisant la méthode des groupements
(a) xy + xz − 3y − 3z
(b) 3x2 + 2xy + 6x + 4y
(c) 4xz − 4xy + 3z 2 − 3zy
(d) 15y 2 − 6y − 5yz + 2z
(e) x3 + 3y 3 + 3x2y + xy 2
(f) xy − 3z + xz − 3y
(g) x2 − y 2 + xz − yz
(h) 3x3 − 20y 2z − 5z + 12x3y 2
(i) 4xy − 9yz − 6xz + 6y 2
(j) 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5
630
Corrigé 6.4
(a) xy + xz − 3y − 3z = x(y + z) − 3(y + z) = (y + z)(x − 3)
(b) 3x2 + 2xy + 6x + 4y = x(3x + 2y) + 2(3x + 2y) = (3x + 2y)(x + 2)
(c) 4xz − 4xy + 3z 2 − 3z = 4x(z − y) + 3z(z − y) = (z − y)(4x + 3z)
(d) 15y 2 − 6y − 5yz + 2z = 3y(5y − 2) − z(5y − 2) = (5y − 2)(3y − z)
(e) x3 +3y 3 +3x2y+xy 2 = x3 +3x2y+xy 2 +3y 3 = x2(x+3y)+y 2(x+3y) = (x + 3y)(x2 + y2)
(f) xy − 3z + xz − 3y = xy + xz − 3y − 3z = x(y + z) − 3(y + z) = (y + z)(x − 3)
(g) x2 − y 2 + xz − yz = (x − y)(x + y) + z(x − y) = (x − y)((x + y) + z) = (x − y)(x + y + z)

3x3 − 20y 2z − 5z + 12x3y 2 = 3x3 + 12x3y 2 − 5z − 20y 2z = 3x3(1 + 4y 2) − 5z(1 + 4y 2)
(h)
= (1 + 4y2)(3x3 − 5z)
4xy − 9yz − 6xz + 6y 2 = 4xy − 6xz + 6y 2 − 9yz = 2x(2y − 3z) + 3y(2y − 3z)
(i)
= (2y − 3z)(2x + 3y)
1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 = 1 · (1 + x + x2) + x3 · (1 + x + x2) = (1 + x + x2)(1 + x3)

(j)
= (1 + x + x2)(1 + x)(1 − x + x2)
631
Exercice 6.5
Factoriser
(a) x4 − x6
(b) 6x2 + 13x + 6
(c) x4 − 1
(d) 2x3y − 18xy
(e) 7x2n+1 + 14xn+1y n + 7xy 2n
(f) 36x4 − 13x2 + 1
(g) 3x2 + 2x − 8
632
Corrigé 6.5
(a) x4 − x6 = x4(1 − x2) = x4(1 + x)(1 − x)
(b) 6x2 + 13x + 6
∆ = (13)2 − 4 · 6 · (6) = 25
√
−13 ± 25 −13 ± 5 −8 2 −18 3
x1,2 = = =⇒ x1 = = − ; x2 = =−
2·6 12 12 3 12 2

2 3 2 3
6x2+13x+6 = 6 x − − x− − = 3·2· x + x+ = (3x + 2)(2x + 3)
3 2 3 2
(c) x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)
(d) 2x3y − 18xy = 2xy(x2 − 9) = 2xy(x + 3)(x − 3)
7x2n+1 + 14xn+1y n + 7xy 2n = 7(x2n+1 + 2xn+1y n + xy 2n) = 7x(x2n + 2xny n + y 2n)

(e)
= 7x (x ) + 2x y + (y ) = 7x(xn + yn)2
n 2 n n n 2

633
4 2
(f) 36x − 13x + 1
On pose y = x2 et on commence par factoriser 36y 2 − 13y + 1
∆ = (−13)2 − 4 · 36 · 1 = 25
√
−(−13) ± 25 13 ± 5 18 1 8 1
y1,2 = = =⇒ y1 = = ; y2 = =
2 · 36 72 72 4 72 9

1 1
36y 2 − 13y + 1 = 36 · y − · y−
4 9

1 1
= 4·9· y− · y−
4 9
= (4y − 1)(9y − 1)
36x4 − 13x2 + 1 = (4x2 − 1)(9x2 − 1)
= (2x + 1)(2x − 1)(3x + 1)(3x − 1)

634
2
(g) 3x + 2x − 8
∆ = 22 − 4 · 3 · (−8) = 100
√
−2 ± 100 −2 ± 10 8 4 −12
x1,2 = = =⇒ x1 = = ; x2 = = −2
2·3 6 6 3 6

2 4
3x + 2x − 8 = 3 · x − · x − (−2)
3
= (3x − 4)(x + 2)
635
Exercice 6.6
Factoriser
(a) x3 − 27
(b) x6 − 64y 12
(c) 125x3 − 150x2 + 60x − 8
(d) 8x3 − 12x2 + 6x − 1
2 2 3 3 3 3

(e) x +y x −y − 2xy x − y
(f) y 3 − x3y 3 + 8 − 8x3
(g) x7 − 8x4 − 16x3 + 128

636
Corrigé 6.6
(a) x3 − 27 = x3 − 33 = (x − 3)(x2 + 3x + 9)
x6 − 64y 12 = (x3)2 − (8y 6)2 = (x3 − 8y 6)(x3 + 8y 6) = (x3 − (2y 2)3)(x3 + (2y 2)3)
(b)
= (x − 2y2)(x2 + 2xy2 + 4y4)(x + 2y2)(x2 − 2xy2 + 4y4)
(c) 125x3 − 150x2 + 60x − 8 = (5x)3 − 3 · (5x)2 · 2 + 3 · 5x · 22 − 23 = (5x − 2)3
(d) 8x3 − 12x2 + 6x − 1 = (2x)3 − 3 · (2x)2 · 1 + 3 · 2x · 12 − 13 = (2x − 1)3
2 2 3 3 3 3 3
3 2 2

(e) x +y x − y − 2xy x − y = (x − y ) (x + y ) − 2xy
= (x−y)(x +xy+y ) x −2xy+y = (x−y)(x2+xy+y 2)(x−y)2 = (x − y)3(x2 + xy + y2)
2 2 2 2

(f) y 3 − x3y 3 + 8 − 8x3 = y 3(1 − x3) + 8(1 − x3) = (1 − x3)(y 3 + 8)

= (13 − x3)(y 3 + 23) = (1 − x)(1 + x + x2)(y + 2)(y2 − 2y + 4)
(g) x7 − 8x4 − 16x3 + 128 = x4(x3 − 8) − 16(x3 − 8) = (x3 − 8)(x4 − 16)

= (x − 2)(x2 + 2x + 4)(x2 − 4)(x2 + 4) = (x − 2)(x2 + 2x + 4)(x − 2)(x + 2)(x2 + 4)
= (x − 2)2(x2 + 2x + 4)(x + 2)(x2 + 4)
637
7 Solutions
Solution 6.1
(a) 10xy (1 − 2x + 3y) (f) (x − y) (4x + 5y)
2

(b) 3x 3x − 4x − 5 (g) 7xy (5x − 4y + 1)
(c) 3 (3xy + 2yz + xz) (h) (x + 2) (x − 3)
2 2 3 2bc 2c5 − bc4 + 5b2c3 + 4b3c2 − 3b4c + 6b5

(d) 12bc 2b c − 3 (i)
2 3 2

2 4 (j) 7x 2x − x + 3x − 5
(e) 3a b (a − 4b)
Solution 6.2
(a) (x + 1)2 (h) (z − 4)2
(b) (x − y)2 (i) (2xy − 3) (2xy + 3)
2
(c) (3y + 1)2 (j) y − 1 = (y − 1)2 (y + 1)2
2
(d) (2x − 3y) (2x + 3y) (k) (x − 1)(x2 + x + 1)

2
(y + 3)(y 2 − 3y + 9)

(e) 1 + 4z (1 + 2z) (1 − 2z) (l)
(f) (7x − 2)2 (m) (x + 2)3
(g) (0, 1x − 2) (0, 1x + 2) (n) (z − 10)3
638
Solution 6.3
(a) (x − 1) (x − 6) (h) 2 (z + 2) (z + 5)
(b) (x + 1) (x + 6) (i) (x − 4) (x − 11)
(c) (x − 15) (x + 1) (j) (x + 2)(x − 2)(x + 3)(x − 3)
(d) (x + 3) (x + 5) (k) (x + 1)(2x − 5)
(e) (x − 4) (x − 5) (l) (6x + 5)(4x − 7)
(f) (z + 3) (z + 4) (m) −(3x − 11)(2x + 5) ou (11 − 3x)(2x + 5)
(g) (z − 1) (z − 12) (n) (2x − 3)(2x + 3)(10x2 + 1)
Solution 6.4
(a) (y + z) (x − 3) (f) (y + z) (x − 3)
(b) (3x + 2y) (x + 2) (g) (x − y) (x + y + z)
3 2

(c) (z − y) (4x + 3z) (h) 3x − 5z 1 + 4y
(d) (5y − 2) (3y − z) (i) (2x + 3y) (2y − 3z)
2 2 2 2

(e) x + y (x + 3y) (j) (1 + x) 1 − x + x 1 + x + x
639
Solution 6.5
(a) x4 (1 + x) (1 − x) (e) 7x (xn + y n)2
(b) (3x + 2) (2x + 3) (f) (3x + 1) (3x − 1) (2x + 1) (2x − 1)
2

(c) x + 1 (x + 1) (x − 1) (g) (3x − 4) (x + 2)
(d) 2xy (x − 3) (x + 3)
Solution 6.6
2

(a) (x − 3) x + 3x + 9
2
2 2 4
2
2 2 4

(b) x − 2y x + 2xy + 4y x + 2y x − 2xy + 4y
(c) (5x − 2)3
(d) (2x − 1)3
3 2 2

(e) (x − y) x + xy + y
2 2

(f) x + x + 1 (1 − x) (y + 2) y − 2y + 4
2 2
2
(g) (x − 2) (x + 2) x + 4 x + 2x + 4
Chapitre 7
La mesure des angles
641
1 Angles orientés
1.1 Définitions
Définition
Un angle rectiligne orienté est un
couple de demi-droites d’origine commune
S, noté ](Sa; Sb) . Une mesure de
l’angle orienté ](Sa; Sb) est la mesure
de l’angle d’une rotation qui transforme la
demi-droite [Sa) en la demi-droite [Sb) .
642
Remarques :
(a) Il existe une infinité de rotations qui transforment la demi-droite Sa en la demi-droite Sb.
Elles diffèrent d’un nombre entier de tours dans un sens ou dans l’autre. Il en résulte que si β
est une mesure en degrés d’un angle orienté, toute autre mesure de cet angle est de la forme
β + k · 360◦ avec k ∈ Z.
(b) Il y a une différence essentielle entre la notion d’angle et celle de mesure d’un angle. Ainsi,
l’expression “α est un angle de 30◦” n’a pas de sens et devrait être remplacée par “α est
un angle dont une mesure est égale à 30◦. Pour des raisons pratiques évidentes, on identifie
toutefois un angle à l’une de ses mesures. Il faut cependant être conscient du fait qu’en disant
“α est un angle de 30◦”, on commet un abus de langage.
643
2 La mesure des angles
Définition
Le degré est la mesure de l’angle au centre
qui intercepte sur le cercle un arc égal à la
360ème partie de ce cercle.
Considérons un cercle de centre S . Le ra-
dian est la mesure de l’angle au centre qui
intercepte sur le cercle un arc de longueur
égale au rayon du cercle.
644
On obtient alors des relations entre les différentes mesures d’un angle :
Remarques :
(a) Une autre unité fréquemment utilisée, notamment pour les coordonnées géographiques, est le
degré sexagésimal. L’unité standard du sexagésimal est le degré, puis la minute (60 minutes
= 1 degré), puis la seconde (60 secondes = 1 minute).
(b) Le grade (gr) est une autre unité utilisée en génie civil : 360◦ = 400 gr
645
3 Longueur d’un arc de cercle. Aire d’un secteur circulaire

Considérons un cercle de rayon r et un angle au centre de mesure α . La longueur l de l’arc
de cercle et l’aire σ du secteur circulaire sont proportionnelles à la mesure de l’angle au centre.
Nous en déduisons les formules ci-dessous :
646
Unité Arc de cercle Secteur circulaire
l α σ α
Radian = =
2πr 2π πr2 2π
1 2
l = rα σ= rα
2
l α σ α
Degré = =
2πr 360 πr2 360
2πrα πr2α
l= σ=
360 360
Remarque :
Le radian est une unité de mesure des angles particulièrement bien adaptée au calcul de la
longueur de l’arc de cercle et de l’aire du secteur circulaire.
647
4 Exercices
Exercice 7.1
Convertir la mesure des angles de radians en degrés décimaux. Précision : 10−2
π π 7. 0, 28421
1. 4.
6 10
2π 7π
2. 5. − 8. 1, 43216
3 10
15π
3. 4π 6.
4
9. 3, 45284
648
Corrigé 7.1
π 180◦
1. = = 30◦ 15π 15 · 180◦
6 6 6. = = 675◦
4 4
2π 2 · 180◦
2. = = 120◦
3 3 180◦
7. 0, 28421 = 0, 28421 · = 16, 28◦
π
3. 4π = 4 · 180◦ = 720◦
180◦
8. 1, 43216 = 1, 43216 · = 82, 06◦
π 180◦ π
4. = = 18◦
10 10
180◦
7π 7 · 180◦ 9. 3, 45284 = 3, 45284 · = 197, 83◦
5. − =− = −126◦ π
10 10
649
Exercice 7.2
Convertir la mesure des angles de degrés décimaux en radians. Précision : 10−5
1. 45◦ 4. 315◦ 7. 22, 43◦

2. 150◦ 5. −240◦ 8. 124, 35◦
3. 75◦ 6. −1050◦ 9. −224, 43◦
650
Corrigé 7.2
π π π 35π
1. 45◦ = 45◦ · = 6. −1050◦ = −1050◦ · = −
180◦ 4 180◦ 6
◦ π◦ 5π
2. 150 = 150 · = ◦ ◦ π
180◦ 6 7. 22.43 = 22.43 · = 0, 39148
180◦
◦ ◦π 5π
3. 75 = 75 · = π
180◦ 12 8. ◦
124.35 = 124.35 ·◦
= 2, 17032
π 7π 180◦
◦ ◦
4. 315 = 315 · ◦
=
180 4 π
9. −224.43◦ = −224.43◦ · ◦
= −3, 91704
π 4π 180
5. −240◦ = −240◦ · = −
180◦ 3
651
Exercice 7.3
Convertir la mesure des angles de degrés décimaux en degrés sexagésimaux. Précision : 1”
1. 82.43◦ 3. 121.4319◦ 5. 0.01894◦

2. 43.7116◦ 4. 12.4319◦
652
Corrigé 7.3
1. 82.43◦ = 82◦ + 0.43 · 600 = 82◦ + 25.80 = 82◦ + 250 + 0.8 · 6000 = 82◦2504800
2. 43.7116◦ = 43◦ + 0.7116 · 600 = 43◦ + 42.69600 = 43◦ + 420 + 0.6960 · 6000 = 43◦4204200
3. 121.4319◦ = 121◦ + 0.4319 · 600 = 121◦ + 25.9140 = 121◦ + 250 + 0.914 · 6000 = 121◦2505500
4. 12.4319◦ = 12◦ + 0.4319 · 600 = 12◦ + 25.9140 = 12◦ + 250 + 0.914 · 6000 = 12◦2505500
5. 0.01894◦ = 0.01894 · 600 = 1.13640 = 10 + 0.1364 · 6000 = 10 + 8.18400 = 0◦10800

653
Exercice 7.4
Convertir la mesure des angles de radians en degrés sexagésimaux. Précision : 1”
π 2 7π
1. 3. 5.
3 5 10
5π 4
2. 4. 6. 1, 3452
9 3
654
Corrigé 7.4
π 180◦
1. = = 60◦
3 3
5π 5 · 180◦
2. = = 100◦
9 9
2 2 180◦
3. = · = 22.9183◦ = 22◦ + 0.9183 · 600 =
5 5 π
22◦ + 55.09870 = 22◦ + 550 + 0.0987 · 6000 = 22◦550600
4 4 180◦
4. = · = 76.3943◦ = 76◦ + 0.3943 · 600 = 76◦ + 23.66240 =
3 3 π
76◦ + 230 + 0.6624 · 6000 = 76◦2304000
7π 7 · 180◦
5. = = 126◦
10 10
180◦
6. 1, 3452 = 1, 3452 · = 77.0743◦ = 77◦ + 0.0743 · 600 = 77◦ + 4.45690 =
π
77◦ + 40 + 0.4569 · 6000 = 77◦0402700

655
Exercice 7.5
Convertir en degrés décimaux (précision : 10−2) et en radians (précision : 10−5).
1. 25◦300 3. 112◦400 5. 23◦5804700

2. 42◦2403500 4. 12◦1202000 6. 90◦1500
656
Corrigé 7.5
◦ 0 1◦ ◦ ◦ 0
◦ π
1. 25 30 = 25 + 30 · 0 = 25.50 = 25, 50 · ◦
= 0.44506
60 180
◦ 0 1◦
00 00 1◦
◦ ◦0 ◦ π
2. 42 24 35 = 42 + 24 · 0 + 35 · = 42.41 = 42.41 · = 0.74019
60 360000 180◦
◦ 0 1◦ ◦ ◦ ◦ 0 π
3. 112 40 = 112 + 40 · 0 = 112.67 = 112.67 · = 1.96640
60 180◦
◦ 0 1◦
00 00 1◦
◦ ◦0 ◦ π
4. 12 12 20 = 12 + 12 · 0 + 20 · = 12.21 = 12.21 · = 0.21303
60 360000 180◦
◦ 0 1◦
00 00 1◦
◦ ◦0 ◦ π
5. 23 58 47 = 23 + 58 · 0 + 47 · = 23.98 = 23.98 · = 0.41853
60 360000 180◦
◦ 00 1◦ ◦ ◦ 00 ◦ π
6. 90 15 = 23 + 15 · = 90.0042 = 90.0042 · = 1.57087
360000 180◦
657
Exercice 7.6
L’angle au sommet d’un triangle isocèle mesure 72◦. Calculer la mesure exacte, en radians, des
angles de ce triangle.
658
Corrigé 7.6
π 2π
72◦ = 72◦ · =
180◦ 5

2π 1 3π
π− · =
5 2 10
2π 3π
L’angle au sommet mesure et les deux angles égaux .
5 10
659
Exercice 7.7
Calculer la mesure en degrés et en radians des angles intérieurs et extérieurs du :
1. triangle équilatéral 4. hexagone régulier

2. carré 5. polygone régulier convexe à n côtés
3. pentagone régulier 6. pentagone régulier étoilé
660
Corrigé 7.7
(a) Le triangle équilatéral :
180◦ π
Chaque angle intérieur vaut : = 60◦ =
3 3
π 2π
Chaque angle extérieur vaut : 180◦ − 60◦ = 120◦ = π − =
3 3
(b) Le carré :
360◦ ◦ 2π π
Chaque angle intérieur vaut : = 90 = =
4 4 2
π
Chaque angle extérieur vaut : 180◦ − 90◦ = 90◦ =
2
661
(c) Le pentagone régulier (5 côtés) :
3 · 180◦ ◦ 3π
Chaque angle intérieur vaut : = 108 =
5 5
◦ ◦ ◦ 3π 2π
Chaque angle extérieur vaut :180 − 108 = 72 = π − =
5 5
(d) L’hexagone régulier (6 côtés) :
4 · 180◦ 4π 2π
Chaque angle intérieur vaut : = 120◦ = =
6 6 3
π
Chaque angle extérieur vaut : 180◦ − 120◦ = 60◦ =
3
662
(e) Le polygone régulier (n côtés) :
(n − 2) · 180◦ n − 2 n−2
Chaque angle intérieur vaut : = · 180◦ = ·π
n n n
◦
◦ n − 2 ◦ n − (n − 2) ◦ 360 2π
Chaque angle extérieur vaut : 180 − · 180 = · 180 = =
n n n n
(f) Le pentagone étoilé :
Utilisons le résultat du pentagone régulier. L’angle extérieur vaut 72◦ donc, les pointes de
cette étoile étant des triangles isocèles, l’angle intérieur vaut :
◦ ◦ ◦ 2π π
180 − 2 · 72 = 36 = =
10 5
◦ ◦ ◦ π 4π
Chauqe angle extérieur vaut alors : 180 − 36 = 144 = π − =
5 5
663
Exercice 7.8
Déduire, de la construction géométrique d’un angle de 60◦, l’inégalité : 1 radian < 60◦.
664
Exercice 7.9
Le rayon d’un cercle mesure 24 cm. Trouver la longueur de l’arc et la surface du secteur circulaire
déterminé par un angle au centre de :
2 3. 75◦
1. radian
3 4. 130◦
3π
2. radian
5
665
Corrigé 7.9
2
(a) α = :
3
Pour un angle de 1 radian, la longueur de l’arc de cercle vaut la longueur du rayon, c’est-à-dire
ici 24 cm (c’est exactement la définition du radian).
2 2
Donc pour un angle de radians, la longueur de l’arc de cercle vaut 24 cm· = 16 cm.
3 3
Pour une disque de 24 cm de rayon, donc pour un angle de 2π radians, la surface de ce

disque vaut π · r2 = π · (24 cm)2
Si l’angle d’ouverture de l’arc de cercle vaut 1 radian, l’aire du secteur circulaire déterminé
π · (24 cm)2 242 cm2
par cet angle vaut : =
2π 2
2
Donc si l’angle d’ouverture vaut radians, l’aire du secteur circulaire déterminé par cet angle
2 2
3
2 24 cm
vaut : · = 192 cm2
3 2
Remarque : c’est en fait une proportionnalité qui a été faite ici.

666
3π
(b) α = :
5
Pour un angle de 1 radian, la longueur de l’arc de cercle vaut 24 cm (définition du radian).
3π 3π
Donc pour un angle de radians, la longueur de l’arc de cercle vaut 24 cm· = 45.24 cm.
5 5
Pour une disque de 24 cm de rayon, donc pour un angle de 2π radians, la surface de ce

disque vaut π · r2 = π · (24 cm)2
Si l’angle d’ouverture de l’arc de cercle vaut 1 radian, l’aire du secteur circulaire déterminé
π · (24 cm)2 242 cm2
par cet angle vaut : =
2π 2
3π
Donc si l’angle d’ouverture vaut radians, l’aire du secteur circulaire déterminé par cet
5
3π 242 cm2
angle vaut : · = 542.87 cm2
5 2
667
◦
(c) α = 75
Pour un cercle de rayon 24 cm, le périmètre du cercle vaut : 2πr = 2π · 24 cm
◦ 2π · 24 cm
Pour un angle de 1 d’ouverture, la longueur de l’arc de vaut :
360
Donc si l’angle d’ouverture de l’arc de cercle est de 75◦, la longueur de l’arc de cercle
2π · 24 cm
correspondant vaut : 75 · = 31.42 cm.
360
On procède de même pour l’aire du secteur circulaire :
Pour tout le disque, l’aire vaut : π · r2 = π · 242 cm2

◦ π242
Pour un angle d’ouverture de 1 , l’aire du secteur circulaire vaut : cm2
360
Et pour un angle d’ouverture de 75◦, l’aire du secteur circulaire correspondant vaut :

π242
75 · cm2 = 376.99 cm2
360
668
◦
(d) α = 130 :
360◦ donne une longueur d’arc de cercle de : 2π · 24 cm et une aire de π · (24 cm)2
◦ 2π · 24
1 donne une longueur d’arc de cercle de : cm et
360
π · (24 cm)2
une aire de secteur circulaire de :
360
2π · 24
130◦ donne une longueur d’arc de cercle de : 130 · cm = 54.45 cm et
360
π · (24 cm)2
une aire de secteur circulaire de : 130 · = 653.45 cm2
360
669
Exercice 7.10
Une roue tourne à la vitesse de 48 tours/minute. Exprimer cette vitesse angulaire en :
1. tours/seconde 3. radians/seconde
2. radians/minute 4. degrés/seconde
670
Corrigé 7.10
48 tours 4
1. 48 tours/minutes= = tours/seconde
60 secondes 5
48 · 2π
2. 48 tours/minutes= = 96π radians/minute
minute
96π radians 96π radians 8π
3. 48 tours/minutes = = = radians/seconde
minute 60 secondes 5
48 · 360◦
4. 48 tours/minutes= = 288◦/seconde
60 secondes
671
Exercice 7.11
Un pneu de voiture a un diamètre de 75 cm. À quelle vitesse angulaire (tours/minute) la roue
tourne-t-elle sur son axe si l’automobile roule à 72 km/h ?
672
Corrigé 7.11
Un tour de roue mesure : 75 · π cm.
Il faut donc n tours pour parcourir 72 km ou 72 · 105 cm :

5
72 · 10
n · 1 tours= n · 75 · π cm= 72 · 105 cm ou n =
75 · π
Ce pneu fait donc n tours par heure, soit :
72 · 105 tours 72 · 105 tours

Vitesse angulaire = = = 509,30 tours/minute
75 · π heure 75 · π · 60 minutes
673
Exercice 7.12
Au cours de la taille de certains outils, la vitesse linéaire de la surface abrasive ne doit pas
dépasser 2000 m/s. Trouver le nombre maximum de tours/seconde :
1. d’une meule de 30 cm de diamètre ;
2. d’une meule de 20 cm de diamètre.
674
Corrigé 7.12
2000 · 100 cm/seconde

1. =2122,07 tours/seconde
π · 30 cm
2000 · 100 cm/seconde

2. =3183,10 tours/seconde
π · 20 cm
675
Exercice 7.13
Eratosthène (276-196 av. JC) était bibliothécaire d’Alexandrie. Il disposait de tous les rensei-
gnements sur les évènements curieux observés dans l’empire d’Alexandre. C’est ainsi qu’il apprit
qu’un certain jour de l’année, le soleil se réfléchissait à midi dans l’eau d’un puit profond de
Syène (aujourd’hui Assouan). À ce moment le Soleil était donc à la verticale du puit. Le même
jour à midi, dans la ville d’Alexandrie, située à 800 km au nord, l’ombre d’un pilier permettait
de déterminer que le Soleil était à 7,5◦ de la verticale. En considérant que les rayons du soleil
son parallèles, utilisez ces renseignements pour calculer le rayon et la circonférence de la Terre
comme le fit Eratosthène en son temps.
676
Corrigé 7.13
7.5◦ correspondent à 800 km.
◦ 800 km ◦ 0
360 correspondent à : · 360 = 38 400 km.
7.5◦
Ceci correspond à la circonférence de la terre.
Pour en déterminer son rayon R, nous avons la relation suivante :
38400 km
2πR =38’400 km ⇐⇒ R = = 6111.55 km.
2π
677
Exercice 7.14
Deux points situés sur le même méridien terrestre ont des latitudes qui diffèrent de 1,5◦. Quelle
est la distance entre ces deux points ?
Rayon de la Terre : 6370 km.
678
Corrigé 7.14
Si on prend un angle d’ouverture de 360◦, cela correspond à la circonférence de la terre,
soit à une longueur de : 2πR = 2π · 6370 km
Donc, pour un angle d’ouverture de 1.5◦, la longueur correspondante est de :
1.5
d = 2π · 6370 km · = 166.766 km
360
679
Exercice 7.15
Sion et Delémont se trouvent sur le même méridien terrestre. Leur distance à vol d’oiseau est
de 123 km. Sachant que la latitude de Sion est 46◦14’ N, calculer, à 1’ près, celle de Delémont.
Vérifier sur une carte.
680
Corrigé 7.15
2πR = 2π · 6370 km correspond à la circonférence de la terre, soit à un angle au centre de

360◦.
123 km correspondent à un angle au centre de :
360◦
· 123 km = 1.10634◦ = 1◦ + 0.10634 · 600 = 1◦ + 6.380
2π · 6370 km
La lattitude de Delémont est donc de :
46◦140 + 1◦6.380 = 47◦ + 20.380 (on additionne car on sait que Delémont est au Nord de Sion)
Réponse qu’on arrondi à 47◦200 Nord selon la consigne.

681
Exercice 7.16
La distance à vol d’oiseau entre Lausanne et Genève est de 50 km. Quel est l’angle entre une
verticale à Lausanne et une verticale à Genève ?
682
Corrigé 7.16
2πR = 2π · 6370 km correspond à la circonférence de la terre, soit à un angle au centre de

360◦.
50 km correspondent à un angle au centre de :
360◦
· 50 km = 0.4497◦ = 0.4497 · 600 = 270
2π · 6370 km
683
Exercice 7.17
Calculer la distance d’un point situé à 36◦ de latitude nord à l’équateur.
684
Corrigé 7.17
360◦ correspondent à 2πR
◦ 2πR
36 correspondent à : = 4002.389 km
10
685
Exercice 7.18
Trouver la vitesse moyenne de la Terre en km/s dans sa course autour du Soleil.
Distance moyenne Terre-Soleil : 150’000’000 km. Durée de l’année solaire : 365,25 jours.
686
Corrigé 7.18
Distance parcourue par la terre en faisant un tour autour du soleil : d = 2π · 1.5 · 108 km.
Une année compte :
t = 1 an = 365.25 jours =365.25 · 24 heures= 365.25 · 24 · 600 = 365.25 · 24 · 60 · 6000
d 2π · 1.5 · 108
Vitesse moyenne : v = = = 29.86 km/s
t 365.25 · 24 · 60 · 6000
687
Exercice 7.19
Le mille marin est défini comme la longueur d’un arc correspondant à 1 minute d’angle en
latitude sur un cercle ayant un périmètre égal à celui de la Terre en passant par les pôles. Quelle
est la valeur d’un mille marin en mètres ?
Circonférence de la Terre : 40’000 km.
688
Corrigé 7.19
360◦ = 360 · 600 correspondent à une longueur de 40’000 km.
0 40000 · 1000 m
1 (une minute) correspond à : = 1851.85 m
360 · 60
689
Exercice 7.20
Le rayon du cercle de base d’un cône de révolution mesure 5cm. Calculer l’aire latérale du cône
et l’angle de son développement si la hauteur du cône mesure 12 cm.
690
Corrigé 7.20
L’apothème a du cône se calcule grâce : (5 cm)2 + (12 cm)2 = a2 et vaut donc 13 cm.
L’arc circulaire du cercle de base qui correspond à la circonférence de la base du cône est donc
de : l = 2πr = 10π cm.
2π · 13 cm correspond à la circonférence du cercle de base, donc à un angle au centre de 360◦
360◦ · 10π
10π cm correspond à un angle au centre de : α = = 138.46◦
2π · 13
π · (13 cm)2 ◦ 2
Ce qui correspond à une aire de : σ = · 138.46 = 204.2035 cm
360◦
691
Exercice 7.21
Les roues d’une diligence ont un diamètre de 1 m et comportent 16 rayons. On filme cette
diligence pendant le tournage d’un western avec une caméra 24 images par seconde. Au moment
de la projection du film, les roues semblent avancer, reculer ou rester immobiles, suivant la vitesse
de l’attelage. La vitesse d’un cheval au galopt n’excède guère 20 km/h.
Quelle est la vitesse de la diligence, si :
1. les roues semblent immobiles ;
2. les roues semblent avancer ;
3. les roues semblent reculer ;
4. les roues semblent compter 32 rayons.
692
Corrigé 7.21
360◦
Angle entre deux rayons de la roue : α = = 22.5◦ r = 0.5 m
16
Longueur du contact avec la route entre deux rayons de la roue :
22.5◦ π
d = 2π · r · = m
360◦ 16
1
Temps entre deux images : t = sec.
24
π
d 16 m 3π 3π 3600
v= = 1 = m/s= · km/h = 16.964 km/h.
t 24 s 2 2 1000
Ceci permet de conclure que :

1. en avançant à 16.964 km/h, les roues semblent immobiles
2. en avançant entre 0 et 8.482 km/h, les roues semblent avancer
3. en roulant entre 8.482 et 16.964 km/h, les roues semblent reculer
4. en roulant à 8.482 km/h il semble y avoir 32 rayons.
Remarque : Le phénomène recommence ensuite à partir de 16,964 km/h.
693
Exercice 7.22
Le millième (mil) ou pour-mille ( 0/00) utilisé dans l’artillerie est défini comme la mesure d’un
angle au centre interceptant un arc de cercle égal à 1/6400 de la circonférence.
a) Justifier ce nom en convertissant un angle de 1 mil en radians ;
b) Le commandant de tir observe l’impact des obus et transmet aux batteries la correction
observée sur le terrain en mètres. Cette correction doit être convertie en terme d’angle pour
être transmise aux canons. Montrer que ce système de mesure implique une conversion très
facile pour les petits angles.
694
5 Solutions
Solution 7.1
π π g) 0.28421 = 16, 28◦
a) = 30◦ d) = 18◦
6 10
7π
b)
2π
= 120◦ e) − = −126◦ h) 1.43216 = 82, 06◦
3 10
15π
c) 4π = 720◦ f) = 675◦ i) 3.45284 = 197, 83◦
4
Solution 7.2
◦ π ◦ 7π g) 22, 43◦ = 0.39148

a) 45 = d) 315 =
4 4
5π 4π h) 124, 35◦ = 2.17032
b) 150◦ = e) −240◦ = −
6 3 i) −224, 43◦ = −3.91704
◦ 5π ◦ 35π
c) 75 = f) −1050 = −
12 6
695
Solution 7.3
a) 82.43◦ = 82◦2504800 c) 121.4319◦ = 121◦2505500 e) 0.01894◦ = 0◦10800

b) 43.7116◦ = 43◦4204200 d) 12.4319◦ = 12◦2505500
Solution 7.4
a) 60◦ c) 22◦550600 e) 126◦

b) 100◦ d) 76◦2304000 f) 77◦0402700
Solution 7.5
a) 25.50◦ 0.44506
b) 42.41◦ 0.74019
c) 112.67◦ 1.96640
d) 12.21◦ 0.21303
e) 23.98◦ 0.41853
f) 90.0042◦ 1.57087
2π 3π
Solution 7.6 L’angle au sommet mesure et les deux angles égaux .
5 10
696
Solution 7.7
côtés angle intérieur angle extérieur
π 2π
a) triangle équilatéral 3 60◦ / 120◦ /
3 3
π π
b) carré 4 90◦ / 90◦ /
2 2
3π 2π
c) pentagone régulier 5 108◦ / 72◦ /
5 5
2π π
d) hexagone régulier 6 120◦ / 60◦ /
3 3
n−2 ◦ n−2 360 2π
e) polygone régulier n 180 / π /
n n n n
◦ π ◦ 4π
f) pentagone étoilé 5 36 / 144 /
5 5
Solution 7.9
a) l = 16 cm σ = 192 cm2
b) l = 45.24 cm σ = 542.87 cm2
a) l = 31.42 cm σ = 376.99 cm2
a) l = 54.45 cm σ = 653.45 cm2
Solution 7.10
4 8π
a) tours/seconde c) radians/seconde
5 5
b) 96π radians/minute d) 288◦/seconde
697
Solution 7.11 509.30 tours/minute
Solution 7.12 a) 2122.07 tours/seconde b) 3183.10 tours/seconde
Solution 7.13 r=6111.55 km c=38’400 km
Solution 7.14 166.766 km
Solution 7.15 47◦200 Nord
Solution 7.16 27’
Solution 7.18 29.86 km/seconde
Solution 7.19 1852 m
Solution 7.20 σ = 204.2035 cm2 138.46◦
Solution 7.21
a) 16.964 km/h c) 8.482 km/h < v < 16.964 km/h

b) 0 km/h < v < 8.482 km/h d) 8.482 km/h
Remarque : Le phénomène recommence ensuite à partir de 16.964 km/h.
Chapitre 8
Trigonométrie dans le triangle rectangle
699
1 Généralités
Définition
Un triangle est rectangle si l’un de ses angles est un angle droit.
Considérons un triangle ABC rectangle en B dont l’angle aigu au sommet A est noté α . Désignons
par a , b et c les longueurs respectives des côtés [BC], [AC] et [AB].
Définition
— [AB] est appelé côté adjacent à
l’angle α
— [BC] est appelé côté opposé à l’angle
α
— [AC] est appelé hypoténuse du tri-
angle ABC
700
Considérons maintenant la figure ci-dessous. Les triangles ∆AB1C1, ∆AB2C2 et ∆AB3C3 sont
semblables car ils ont deux angles égaux. Leurs côtés homologues sont donc proportionnels
(théorème de Thalès). Par exemple :
cathète opposée [B1C1] [B2C2] [B3C3]

= = =
hypoténuse [AC1] [AC2] [AC3]
En tout, six rapports peuvent être obtenus de cette manière en utilisant les côtés des triangles. Ces
rapports ne dépendent que de la mesure de l’angle α. On les appelle rapports trigonométriques.
b2
a2
b1 a1
c2
c1
Thalès = a2/a1 = b2/b1 = c2/c1

701
Définition
On définit, dans le triangle rectangle ABC , les rapports trigonometriques de l’angle α
par :
côté adjacent c
cos(α) = = , appelé cosinus de α
hypoténuse b
côté opposé a
sin(α) = = , appelé sinus de α
hypoténuse b
côté opposé a
tan(α) = = , appelé tangente de α
côté adjacent c
côté adjacent c
cot(α) = = , appelé cotangente de α
côté opposé a
702
Remarque :
Les deux autres rapports trigonométriques, très peu utilisés, sont :
hypoténuse 1 b
sec(α) = = = , appelé sécante de α.
côté adjacent cosinus(α) c
hypoténuse 1 b
cosec(α) = = = , appelé cosécante de α.
côté opposé sinus(α) a
Définition
Résoudre un triangle rectangle signifie déterminer les valeurs des angles, des longueurs des
côtés et l’aire de ce triangle.
703
Remarques :
1
(a) Il résulte directement des définitions ci-dessus que cot(α) =
tan(α)
(b) Les rapports trigonométriques d’un angle aigu sont toujours positifs, car définis comme rap-
ports de deux longueurs.
(c) L’hypoténuse d’un triangle rectangle étant toujours plus longue que les côtés de l’angle droit,
on peut affirmer que : 0 < cos (α) ) <1 et 0 < sin (α ) <1.
(d) Chacun des 6 rapports trigonométriques détermine l’angle aigu de manière unique.
(e) Designons par α et β les deux angles aigus d’un triangle ABC rectangle en C , alors :
cos(β) = cos(90◦ − α) = sin(α)

sin(β) = sin(90◦ − α) = cos(α)
tan(β) = tan(90◦ − α) = cot(α)
cot(β) = cot(90◦ − α) = tan(α)
704
2 Relations trigonométriques fondamentales

Théorème
Pour tout angle aigu α d’un triangle rectangle, on a :
(a) sin2(α) + cos2(α) = 1
sin(α) cos(α)
(b) tan(α) = et cot(α) =
cos(α) sin(α)
1 2
(c) = 1 + tan (α)
cos2(α)
1 2
(d) 2
= 1 + cot (α)
sin (α)
705
On peut également exprimer sin (α ) et tan (α ) en fonction de cos (α ) :
p
sin(α) = 1 − cos2(α)
p
1 − cos2(α)
tan(α) =
cos(α)
ainsi que cos (α ) et sin (α ) en fonction de tan (α ) :
1
cos(α) = p
1 + tan2(α)
tan(α)
sin(α) = p
1 + tan2(α)
706
3 Exercices
Exercice 8.1
Déterminer graphiquement une valeur approchée des rapports trigonométriques des angles :
1. 20◦ π 3. 85◦
2.
5
707
Corrigé 8.1
α sin(α) cos(α) tan(α) cot(α)
1. 20◦ 0,342 0,940 0,364 2,747
π
2. 0,588 0,809 0,727 1,376
5
3. 85◦ 0,996 0,087 11,430 0,087

708
Exercice 8.2
Déterminer les valeurs exactes des rapports trigonométriques des angles du triangle ∆ABC
rectangle en C, si :
1. b = 24 c = 25 3. a=3 b=3
√ √
2. a=2 c=2 5 4. b= 7 c=4
709
Corrigé 8.2
1. b = 24 c = 25
p √
2 2
a = c − b = 49 = 7
a 7
sin(α) = cos(β) = =
c 25
b 24
cos(α) = sin(β) = =
c 25
a 7
tan(α) = cot(β) = =
b 24
b 24
cot(α) = tan(β) = =
c 7
√ 710
2. a = 2 c = 2 5
p √
b= c2 − a2 = 16 = 4
√
a 2 1 5
sin(α) = cos(β) = = √ =√ =
c 2 5 5 5
√
b 4 2 2 5
cos(α) = sin(β) = = √ = √ =
c 2 5 5 5
a 1
tan(α) = cot(β) = =
b 2
1
cot(α) = tan(β) = =2
tan(α)
711
3. a = 3 b = 3
√ √ √
c= a2 + b2 = 18 = 3 2
√
a 3 2
sin(α) = cos(β) = = √ =
c 3 2 2
√
b 3 2
cos(α) = sin(β) = = √ =
c 3 2 2
a
tan(α) = cot(β) = = 1
b
1
cot(α) = tan(β) = =1
tan(α)
√ 712
4. b = 7 c=4
p √
2 2
a= c −b = 9=3
a 3
sin(α) = cos(β) = =
c 4
√
b 7
cos(α) = sin(β) = =
c 4
√
a 3 3 7
tan(α) = cot(β) = = √ =
b 7 7
√
1 7
cot(α) = tan(β) = =
tan(α) 3
713
Exercice 8.3
Calculer à l’aide d’une calculatrice :
a) sin(24,68◦) d) cot(73,45◦) g) cos(1,08724)

b) cos(37,84◦) e) cot(69,37◦) h) tan(0,94768)
c) tan(31,10◦) f) sin(0,64821) i) cot(1,12351)
714
Corrigé 8.3
a) 0,41755 d) 0,29716 g) 0,46493

b) 0,78973 e) 0,37647 h) 1,39155
c) 0,60324 f) 0,60376 i) 0.47971
715
Exercice 8.4
Résoudre les équations. Solution en degrés comprise entre 0◦ et 90◦, précision : 10−2.
a) sin(x)=0,54832 d) cot(x)=2,5846 g) tan(x)=8,41127

b) cos(x)=0,98421 e) sin(x)=1,05495 h) cot(x)=0,47658
c) tan(x)=0,63782 f) cos(x)=4,66472 i) 2 · sin(x) = 0, 78246
716
Corrigé 8.4
a) 33,25◦ d) 21,15◦ g) 83,22◦

b) 10,20◦ e) impossible h) 64,52◦
c) 32,53◦ f) impossible i) 23,03◦
717
Exercice 8.5
Résoudre les équations. Solution en radians comprise entre 0 et π/2, précision : 10−5.
a) sin(x)=5,98438 c) tan(x)=2,64 e) sin(x)=0,01234

√
3
b) cos(x)= d) cot(x)=7,20479 f) cot(x)=24
2
718
Corrigé 8.5
a) impossible c) 1,20871 e) 0,012340

π
b) d) 0,13792 f) 0,041643
6
719
Exercice 8.6
Déterminer les valeurs exactes des rapports trigonométriques des angles de 45◦, 30◦ et 60◦ .
720
Corrigé 8.6
1. Pour l’angle de 45◦ :
Un triangle rectangle avec un angle de 45◦ est un triangle rectangle isocèle.

√ √
2
Si on met l’angle droit en C, on a donc a = b et c = 2a = a 2
√
a 2
sin(45◦) = cos(45◦) = √ =
a 2 2
tan(45◦) = cot(45◦) = 1
721
◦ ◦
2. Pour les angles de 30 et 60 :
Un triangle rectangle avec un angle de 30◦ provient d’un triangle équilatéral, de côtés a,
coupé en deux par une bissectrice. Cela donne un triangle rectangle dont un angle vaut 30◦
et l’autre 60◦.
722
r r √
a 2 3a 2 a 3
h= a2 − = =
2 4 2
√
a 3
√
h 3
sin(60◦) = cos(30◦) = = 2 =
a a 2
a
◦ ◦ 2 1
cos(60 ) = sin(30 ) = =
a 2
√
◦ ◦ h a 3
2
√
tan(60 ) = cot(30 ) = a = a = 3
2 2
√
◦ ◦ 1 3
cot(60 ) = tan(30 ) = =
tan(60◦) 3
723
Exercice 8.7
Peut-on prolonger la définition des rapports trigonométriques à un angle de 0◦ ? de 90◦ ?
724
Corrigé 8.7
Cf. cercle trigonométrique

cos(α) sin(α) tan(α)
0◦ 1 0 0
90◦ 0 1 -
725
Exercice 8.8 √
Calculer les longueurs exactes des côtés du triangle ABC rectangle en A connaissant [AC] = 14
2
et cos(γ) = .
3
726
Corrigé 8.8
√ 2
b = [AC] = 14 et cos(γ) =
3
b
cos(γ) = ⇐⇒
a
√ √
b 14 3 14
a = [BC] = = 2 =
cos(γ) 3
2
Et p
c = a2 − b2 =
√ 2 √
s
3 14 √ 2 70
− 14 =
2 2
727
Exercice 8.9
Comparer les valeurs des rapports trigonométriques de deux angles complémentaires.
728
Corrigé 8.9
Soient α et β deux angles complémentaires, c’est-à-dire α + β = 90◦. Alors :
sin(α) = cos(β) tan(α) = cot(β)

cos(α) = sin(β) cot(α) = tan(β)
729
Exercice 8.10
Résoudre le triangle rectangle ∆ABC :
1. rectangle en C c=4,75 β = 65, 8◦
2. rectangle en A a=12,21 β = 40, 23◦
3. rectangle en B b=25,43 c=12,30
4. rectangle en C c=18,21 b=4,95
5. rectangle en A b=48,523 β = 53, 46◦
6. rectangle en B c=112,5 α = 14, 5◦
7. rectangle en C b=8,5 β = 22, 5◦
8. rectangle en B c=22,3 a= 46,8
9. rectangle en C a=8,45 b= 1,07
10. rectangle en A c=42,8 σ = 1040, 26
11. rectangle en B c=2,28 σ = 9, 5832
730
Corrigé 8.10
1.
c = 4.75 β = 65.8◦
α = 90◦ − β = 90◦ − 65.8◦ = 24.2◦
a
cos(β) = ⇐⇒
c
a = c · cos(β) = 4.75 · cos(65.8◦) = 1.95
a2 + b2 = c2 ⇐⇒ b2 = c2 − a2 ⇐⇒
p p
b = c2 − a2 = 4.752 − 1.952 = 4.33
a·b
σ= = 4.218
2
731
2.
a = 12.21 β = 40.23◦
γ = 90◦ − β = 90◦ − 40.23◦ = 49.77◦
c
cos(β) = ⇐⇒
a
c = a · cos(β) = 12.21 · cos(40.23◦) = 9.32
a2 = b2 + c2 ⇐⇒ b2 = a2 − c2 ⇐⇒
p
b = a2 − c2 = 7.88
b·c
σ= = 36.76
2
732
3.
b = 25.43 c = 12.30
c 12.30
sin(γ) = = = 0.48
b 25.43
γ = arcsin(0.48) = 28.93◦
α = 90◦ − γ = 90◦ − 28.93◦ = 61.07◦
a 2 = b2 − c 2 ⇐⇒
p p
a= b2 − c2 = 25.432 − 12.302 = 22.26
a·c
σ= = 136.88
2
733
11.
c = 2.28 σ = 9.5832
a·c 2σ
σ= ⇐⇒ a = = 8.41
2 c
√
b = 8.4062 + 2.282 = 8.71
c 2.28
sin(γ) = = = 0.26 ⇐⇒
b 8.71
γ = arcsin(0.26) = 15.17◦ et
α = 90◦ − γ = 74.83◦
734
Exercice 8.11
Résoudre le triangle ∆ABC, isocèle en A :
a) α = 48, 5◦ a=22,8
b) α = 103, 48◦ b=c=4,24
c) β = γ = 72, 4◦ a=8,5
d) β = γ = 32, 89◦ b=c=18,72
e) a = 56, 7 σ = 624, 34
735
Corrigé 8.11
1.
α = 48.5◦ a = 22.8
a α
= [HC] = 11.4 α0 =
2 2
180◦ − α
γ=β= = 65.75◦
2
[HC]
sin(α0) = ⇐⇒
c
[HC] 11.4
c= 0
= ◦
= 27.76
sin(α sin(24.25 )
p p
h = c2 − [HC]2 = 27.762 − 11.44 = 25.30
a·h
σ= = 288.5
2
736
2.
α = 103.48◦ b = c = 4.24
180◦ − α 180◦ − 103.48◦

β=γ= = = 38.26◦
2 2
a
α
α0 = = 51.74◦ sin(α0) = 2 ⇐⇒
2 c
a = 2c · sin(α0) = 2 · 4.24 · sin(51.74◦) = 6.66
h
cos(α0) = ⇐⇒ h = 4.24 · cos(51.74◦) = 2.625
c
a · h 6.66 · 2.625
σ= = = 8.7412
2 2
737
3.
β = γ = 72.4◦ a = 8.5
α = 180◦ − 2 · β = 180◦ − 2 · 72.4◦ = 35.2◦

a a
2
sin = ⇐⇒
2 b
a 8.5
b= α
= ◦
= 14.055
2 · sin 2
2 · sin(17.6 )
r a 2
h= b2 − = 13.39
2
a · h 8.5 · 13.39
σ= = = 56.94
2 2
738
4.
β = γ = 32.89◦ b = c = 18.72
α
α = 180◦ − 2β = 114.22◦ α0 = = 57.11◦
2
a
sin(α0) = 2
⇐⇒
b
a = 2b sin(α0) = 2 · 18.72 · sin(57.11◦) = 31.44
h
cos(α0) = ⇐⇒
b
h = b · cos(α0) = 10.1655
a · h 10.1655 · 31.44
σ= = = 159.796
2 2
739
5.
σ = 624.34 a = 56.7
h·a 2 · σ 2 · 624.34
σ= ⇐⇒ h = = = 22.0225
2 a 56.7
α a α α
tan 2
= ⇐⇒ tan = 1.2873 ⇐⇒ = 52.16◦ ⇐⇒ α = 104.32◦
2 h 2 2
180◦ − α
β=γ= ⇐⇒ β = γ = 37.84◦
2
a a
2 2 28.35
sin(α) = ⇐⇒ b = ⇐⇒ b = c = = 35.90
b sin(α) sin(52.16◦)
740
Exercice 8.12
√ √
On donne [AC] = 3, [CD] = 1 et [BC] = 3
(a) Calculer les angles en A et en B
(b) Calculer les longueurs exactes [AB], [AD] , [BE], [ED] et [AE] .
(c) Calculer les valeurs exactes des rapports trigonométriques de
75◦et 15◦.
(d) Vérifier : sin(75◦) = sin(30◦) cos(45◦) + sin(45◦) cos(30◦)
741
Corrigé 8.12
(a) Le triangle ABC est rectangle en C et isocèle, donc ∠(BAC) = ∠(ABC) = 45◦.
On a déjà l’angle en B qui est de 45◦.
[CD] 1
tan (∠(CAD)) = =√ ⇐⇒ ∠(CAD) = 30◦ et ∠(CDA) = 60◦
[AC] 3
L’angle en A vaut donc ∠(BAC) + ∠(CAD) = 75◦
p √ 742
2 2
(b) [AB] = [AC] + [CB] = 6
r
p √ 2
[AD] = [AC]2 + [CD]2 = 3 +1=2
Remarque : on ne peut pas donner la valeur exacte de BE ou AE en considérant le

triangle AEB, car nous ne connaissons pas les valeurs exactes des angles de 75◦ et de 15◦.
Par contre, en considérant le traingle EDB, nous avons déjà calculé dernièrement
(exercice 8.6) les valeurs exactes des rapports trigonométriques des angles de 60◦ et 30◦.
√ √
◦ [BE] ◦
√ 3 3+3
sin(60 ) = ⇐⇒ [BE] = [BD] · sin(60 ) = 1 + 3 · =
[BD] 2 2
√
◦ [ED] ◦
√ 1 1+ 3
cos(60 ) = ⇐⇒ [ED] = [BD] · cos(60 ) = 1 + 3 · =
[BD] 2 2
√ √
1+ 3 3− 3
[AE] = [AD] − [ED] = 2 − =
2 2
743
√
3+3
√ √√
◦ ◦ [BE] 2 3+3 3+3 6
(c) sin(75 ) = cos(15 ) = = √ = √ = √ ·√ =
[AB] 6 2 6 2 6 6
√ √ √ √ √ √
18 + 3 6 3 2 + 3 6 2+ 6
= =
12 12 4
√
√
3− 3
√ √
◦ ◦ [AE] 3− 3 3− 3
2 6
cos(75 ) = sin(15 ) = = √ = √ = √ ·√ =
[AB] 6 2 6 2 6 6
√ √√ √ √ √
3 6 − 18 3 6 − 3 2 6− 2
= =
12 12 4
√ √ √ √
[BE] 3+ 3
3+ 3 3+ 3 3+ 3 √
tan(75◦) = cot(15◦) = = 2√
= √ = √ · √ = ... = 2 + 3
[AE] 3− 3 3− 3 3− 3 3+ 3
2
◦ ◦ 1 √
cot(75 ) = tan(15 ) = = ... = 2 − 3
tan(75◦)
√ √ √ √ √ 744
◦ ◦ ◦ ◦ 1 2 2 3 2+ 6
(d) sin(30 ) · cos(45 ) + sin(45 ) · cos(30 ) = · + · = = sin(75◦).
2 2 2 2 4
Ce qu’il fallait vérifier.

745
Exercice 8.13
Sans chercher à déterminer α , calculer les rapports trigonométriques inconnus de l’angle aigu
α, sachant que :
1. cos(α)=0,8 1 2
3. cos(α)= 5. sin(α)=
4√ 7
5
2. sin(α)=0,5 4. tan(α)= 6. tan(α)= 0,7
2
746
Corrigé 8.13
4
(a) cos(α) = 0.8 =
5
r r
2 2
p 16 9 3
sin (α) + cos (α) = 1 ⇐⇒ sin(α) = 1 − cos2(α) = 1− = = = 0.6
25 25 5
sin(α) 0.6 3
tan(α) = = = = 0.75
cos(α) 0.8 4
1 4
cot(α) = =
tan(α) 3
747
(b) sin(α) = 0.5
r r √
1 3 3
q
2 2 2
sin (α) + cos (α) = 1 ⇐⇒ cos(α) = 1 − sin (α) = 1− = =
4 4 2
1
√ √
sin(α) 1 1 3 3
tan(α) = = √2 =√ =√ ·√ =
cos(α) 3 3 3 3 3
2
1 √
cot(α) = = ··· = 3
tan(α)
748
1
(c) cos(α) =
4
r r √
2 2
p 1 15 15
sin (α) + cos (α) = 1 ⇐⇒ sin(α) = 1− cos2(α) = 1− = =
16 16 4
√
sin(α) 15
4
√
tan(α) = = 1 = 15
cos(α) 4
√
1 1 15
cot(α) = =√ =
tan(α) 15 15
√ 749
5
(d) tan(α) =
2
r s r
1 2 1 1 4 2
= 1 + tan (α) ⇐⇒ cos(α) = = = =
cos2(α) 1 + tan2(α) 1 + 45 9 3
√ √
sin(α) 5 2 5
tan(α) = ⇐⇒ sin(α) = tan(α) · cos(α) = · =
cos(α) 2 3 3
√
1 2 2 5
cot(α) = =√ =
tan(α) 5 5
750
2
(e) sin(α) =
7
r r √
4 45 3 5
cos(α) = 1− = =
49 49 7
2
√
sin(α) 7 2 5
tan(α) = = √ =
cos(α) 3 5 15
7
√
1 15 3 5
cot(α) = = √ = ··· =
tan(α) 2 5 2
751
7
(f) tan(α) = 0.7 =
10
r s r √
1 2 1 1 100 10 10 149
2
= 1 + tan (α) ⇔ cos(α) = 2 = 49 = =√ =
cos (α) 1 + tan (α) 1 + 100 149 149 149
√ √
sin(α) 7 10 149 7 149
tan(α) = ⇐⇒ sin(α) = tan(α) · cos(α) = · =
cos(α) 10 149 149
1 10
cot(α) = =
tan(α) 7
752
Exercice 8.14
Considérons un triangle ∆ABC rectangle en C. Montrer que :
b2 sin(β) + cos(α)
a) sin(β) tan(β) = c) = tan(β)
ac cos(β) + sin(α)
1 a+c b
d) + cot(β) = =
b) sin(β) + cos(β) = sin(α) + cos(α) sin(β) b c−a
753
Corrigé 8.14
b b b2
1. sin(β) tan(β) = · =
c a ac
2. sin(β) + cos(β) =
cos(90◦ − β) + sin(90◦ − β) = cos(α) + sin(α)

sin(β) + cos(α) sin(β) + sin(β) 2 sin(β)
3. = = = tan(β)
cos(β) + sin(α) cos(β) + cos(β) 2 cos(β)
1 1 a c a a+c a+c c−a c2 − a2

4. + cot(β) = b + = + = = · =
sin(β) c
b b b b b c − a b · (c − a)
b2 b
= =
b · (c − a) c − a
754
Exercice 8.15
L’égalité cos(2α) = 2 cos(α) est-elle vraie ?
755
Corrigé 8.15
Non. Il suffit de donner un contre-exemple : par exemple α = 30◦

√
◦ 1 ◦ 3 √
cos(60 ) = et 2 cos(30 ) = 2 · = 3
2 2
756
Exercice 8.16
a) Pour quels angles aigus, sin(α) est-il égal, supérieur ou inférieur à cos(α) ?
b) Résoudre l’équation tan(α) = 1 et les inéquations : tan(α) > 1 ; tan(α) < 1
757
Corrigé 8.16
a) sin(α) = cos(α) ⇐⇒ α = 45◦

sin(α) < cos(α) ⇐⇒ 0◦ ≤ α < 45◦
sin(α) > cos(α) ⇐⇒ 45◦ < α ≤ 90◦
b) tan(α) = 1 ⇐⇒ α = 45◦
tan(α) > 1 ⇐⇒ 45◦ < α < 90◦
tan(α) < 1 ⇐⇒ 0◦ ≤ α < 45◦
758
Exercice 8.17
On donne cinq points A, B, C, D et E. Les points A, B, C et D sont alignés dans cet ordre et
AE est perpendiculaire à AB. Sous quels angles voit-on les segments [AB], [BC] et [CD] depuis
E, si [AE]=3, [AB]=[BC]=[CD]=2.
759
Corrigé 8.17
2
(a) tan(α) = ⇐⇒ α = 33.69◦
3
On voit donc le segment [AB] sous un angle

de 33.69◦ depuis E.
4
(b) tan(α + β) = ⇐⇒ α + β = 53.13◦ et
3
β = 53.13◦ − 33.69◦ = 19.44◦
On voit donc le segment [BC] sous un angle

6
(c) tan(α + β + γ) = = 2 ⇐⇒
3
α+β +γ = 63.43◦ et γ = 63.43◦ −53.13◦ = 10.30◦
On voit donc le segment [CD] sous un angle

760
Exercice 8.18
Calculer la longueur du côté (ici, par

exemple [AD]) d’un pentagone étoilé régu-
lier inscrit dans un cercle de 25 cm de rayon.
761
Corrigé 8.18
Le triangle AOY est rectangle en Y.
360◦
De plus,α = = 72◦ donc :
5
[AY ]
sin(α) = ⇐⇒
[AO]
[AY ] = [AO] · sin(α) = 25cm· sin(72◦) = 23.776 cm
[AD] = 2 · [AY ] = 47.55 cm.

762
Exercice 8.19
Quelle est la hauteur d’une tour qui donne 36 m d’ombre lorsque l’angle d’élévation du Soleil
au-dessus de l’horizon est de 37,5◦ ?
763
Corrigé 8.19
On a b = 36 m et γ = 37.5◦.
On cherche le valeur de h = c
h
tan(γ) = ⇐⇒
b
h = b · tan(γ) = 36 m· tan(37.5◦) = 27.624 m

764
Exercice 8.20
Dans un triangle quelconque ∆ABC, calculer en fonction de α, β et h les longueurs [AC], [BC],
[AH], [BH] et [AB]. (H désigne le pied de la hauteur issue de C et h la hauteur issue de C).
Application numérique : α = 65, 45◦, β = 15, 20◦, h = 9, 05
765
Corrigé 8.20
Puisque l’application numérique est don-
née tout à la fin, l’idée de cet exercice est
de commencer par déterminer les longueurs
demandées de manière générale et seule-
ment ensuite d’appliquer les valeurs numé-
riques.
C’est une démarche scientifique.
On connait α = 65.45◦, β = 15.20◦ et h = 9.05.
h h 9.05
sin(α) = ⇐⇒ [AC] = = ◦
= 9.95
[AC] sin(α) sin(65.45 )
h h 9.05
sin(β) = ⇐⇒ [BC] = = ◦
= 34.52
[BC] sin(β) sin(15.20 )
h h 9.05
tan(α) = ⇐⇒ [AH] = = ◦
= 4.13
[AH] tan(α) tan(65.45 )
h h 9.05
tan(β) = ⇐⇒ [BH] = = = 33.31
[BH] tan(β) tan(15.20◦)

h h 1 1
[AB] = [AH]+[HB] = + = h· + = h·(cot(α)+cot(β)) = 37.44
tan(α) tan(β) tan α) tan(β)
766
Exercice 8.21
Dans un cercle, une corde sous-tendant un arc de 82◦ est à 20 cm du centre. Quelle est la longueur
de cette corde ?
767
Corrigé 8.21
A calculer : l = [AB], sachant que 2α = 82◦

et [OD] = 20 cm.
[DB]
tan(α) = ⇐⇒
[OD]
l = 2 · [DB] = 2 · [OD] · tan(α) =
2 · 20 cm· tan(41◦) = 34.77 cm.

768
Exercice 8.22
On considère un losange ABCD tangent à un
cercle de 6 cm de rayon.
Calculer son aire si α=42,76◦.
769
Corrigé 8.22
[OT ] α [OT ] 6

= cos ⇐⇒ [OD] = α
= ◦)
= 6.44 cm
[OD] 2 cos 2 cos(21.38
180◦ − α
β = ∠(AOT ) β= = 68.62◦
2
[OT ] [OT ] 6
= cos(β) ⇐⇒ [OA] = = = 16.46 cm
[OA] cos(β) cos(68.62◦)
σ = 2 · [OD] · [OA] = 212 cm2

770
Exercice 8.23
Une route s’élève régulièrement en formant avec l’horizontale un angle de 4,5◦.
Quelle distance horizontale parcourt-on lorsqu’on a suivit la route sur 6,400 km ? De combien
s’est-ton élevé ?
771
Corrigé 8.23
b
= cos(β) ⇐⇒ a = c · cos(β) = 6.6 km· cos(4.5◦) = 6.38 km
c
a
= sin(β) ⇐⇒ a = c · sin(β) = 6.6 km· sin(4.5◦) = 0.502 km= 502 m
c
Remarque : la deuxième question peut aussi se résoudre au moyen du théorème de Pythagore.

772
Exercice 8.24
On voit une tour circulaire de 20 m de diamètre sous un angle horizontal de 18◦.
À quelle distance se trouve-t-on du point le plus proche de la tour ?
773
Corrigé 8.24
[OT ]
= sin(α) ⇐⇒
[OA]
[OT ] 10
[OA] = = m = 63.925 m
sin(α) sin(9◦)
[AB] = [OA] − [OB] = 53.925 m

774
Exercice 8.25
Un observateur placé à une hauteur de 252 m au-dessus de la mer a trouvé que le rayon visuel
aboutissant à l’horizon sensible faisait avec la verticale un angle de 89,49◦.
Calculer, d’après cette mesure, le rayon de la Terre.
775
Corrigé 8.25
La droite passant par D et B est tangente à l’arc de cercle

CB qui représente une partie de la surface de la terre.
[CD] = 252 m et [AC] = [AB] = R, le rayon de

la terre.
R
= sin(δ) ⇐⇒ R = (R + [CD]) · sin(δ) ⇐⇒
R + [CD]
R − R · sin(δ) = [CD] · sin(δ) ⇐⇒
R · (1 − sin(δ)) = [CD] · sin(δ) ⇐⇒
[CD] · sin(δ) 252 · sin(89.49◦)

R= = m = 6360.94 km
1 − sin(δ) 1 − sin(89.49◦)
776
Exercice 8.26
La voûte d’un tunnel routier est un arc de cercle d’angle au centre 220◦. Calculer le rayon r de
cet arc de cercle pour que la largeur de la route soit de 12 m. Calculer aussi la hauteur maximale
de la voûte au-dessus du sol.
777
Corrigé 8.26
360◦ − 220◦
α= = 70◦
2
[AH]
= sin(α) ⇐⇒
OA
[AH] 6
r = [OA] = = m =6.385 m
sin(α) sin(70◦)
[AH]
= tan(α) ⇐⇒
[OH]
[AH] 6
[OH] = = ◦
m =2.18 m
tan(α) tan(70 )
Hauteur maximale : [OH] + [OA] =8.57 m

778
Exercice 8.27
Deux poulies dont les diamètres sont de 122 cm et 88 cm, sont reliées par une courroie de
transmission tendue. La distance des axes des poulies est de 400 cm.
(a) Quelle est la longueur de la courroie ?
(b) Même question quand la courroie de transmission est croisée.
779
Corrigé 8.27
1. Les courroies ne se croisent pas entre les deux poulies :
[O1A] = [O1T1] − [AT1] =61 cm - 44 cm = 17 cm
p
[T1T2] = [AO2] = [O1O2]2 − [O1A]2 =399.64 cm
[O1O2] 17
cos(β) = = = 0.0425 ⇐⇒ β = 87.56◦
[O1A] 400
γ = 180◦ − β = 92.44◦
Notons l1 la longueur de l’arc de cercle T1B :
γ
l1 = 2π · [O1T1] · =98.41 cm
360◦
δ = β donc, en notant l2 la longueur de l’arc de cercle T2C :
δ
l2 = 2π · [O2T2] · ◦
=67.24 cm
360
Longueur totale de la courroie : L = 2(T1T2 + l1 + l2) =1130.58 cm

780
2. Les courroies se croisent entre les deux poulies :
[F O2] = [T1O2] ; [F T2] = [O1O2] et [F T1] = [F O1]+[OT1] =105 cm
p
[T1T2] = [F T2]2 − [F T1]2 =385.97 cm
[F T1] 105
cos(α) = = ⇐⇒ α = 74.78◦
[F T2] 400
β = 180◦ − α = 105.22◦
Notons l1 la longueur del ’arc de cercle T1B :
β
l1 = 2π · [O1T1] · =112.02 cm.
360◦
Notons l2 la longueur de l’arc de cercle T2C :
β
l2 = 2π · [O2T2] · ◦
=80.80 cm
360
Longueur totale de la courroie : L = 2(T1T2 + l1 + l2) =1157.59 cm

781
Exercice 8.28
Un polygone régulier convexe à quinze côtés a une aire égale à 1500.
Calculer la longueur de son côté et le rayon du cercle dans lequel il est inscrit.
782
Corrigé 8.28
Un tel polynome est formé de 15 triangles isocèles d’aires égales à 100 chacun.
360◦
α= = 24◦
15
α h α
cos = ⇐⇒ h = R · cos
2 R 2
α a α
sin = 2 ⇐⇒ a = 2R · sin
2 R 2
L’aire peut ainsi être exprimée au moyen de R :

α α
2

a·h 2R cos 2 · sin 2
= 100 ⇐⇒ = 100
2 2
2 100
R = = 491.72 ⇐= R = 22.17
sin(12◦) cos(12◦)
α
a = 2R · sin = 9.22
2
783
Exercice 8.29
Un homme aperçoit un arbre sous un angle de 38,6◦. Il recule de 25 m et voit l’arbre sous un
angle de 18,3◦ (on admettra que les yeux de l’observateur et le pied de l’arbre sont au même
niveau). Quelle est la hauteur de l’arbre ? À quelle distance du pied de l’arbre l’observateur se
trouvait-il au début ?
784
Corrigé 8.29
h
tan(α) = ⇐⇒ h = x · tan(α) xeth en mètres.
x
h
tan(β) = ⇐⇒ h = (x + 25) · tan(β)
x + 25
Comme on a isolé les h deux fois, profitons-en :

x · tan(α) = (x + 25) · tan(β) ⇐⇒ x · tan(α) = x · tan(β) + 25 · tan(β) ⇐⇒
x · tan(α) − x · tan(β) = 25 · tan(β) ⇐⇒ x · (tan(α) − tan(β)) = 25 · tan(β) ⇐⇒
25 · tan(β) 25 · tan(18.3◦)
x= = =17.68 m
tan(α) − tan(β) tan(38.6◦) − tan(18.3◦)
h = x · tan(α) =14.12 m
785
Exercice 8.30
Deux observateurs, situés à la même altitude, distants de 1350 m, mesurent au même moment
la hauteur d’un point remarquable d’un nuage situé entre eux. Ce point est dans le plan vertical
contenant les deux observateurs et les angles d’élévation sont de 65,4◦ et 76,5◦.
Quelle est la hauteur du nuage ?
786
Corrigé 8.30
h
tan(α) = ⇐⇒ h = (1350 − x) · tan(α)
1350 − x
x et h en mètres.
h
tan(β) = ⇐⇒ h = x · tan(β)
x
On a isolé deux fois le h, profitons-en :
(1350 − x) · tan(α) = x · tan(β) ⇐⇒ 1350 · tan(α) − x · tan(α) = x · tan(β) ⇐⇒
1350 · tan(α) = x · (tan(α) + tan(β)) ⇐⇒
1350 · tan(α) 1350 · tan(65.4◦)

x= = = 464.39 m
tan(α) + tan(β) tan(65.4◦) + tan(76.5◦)
h = x · tan(β) =1934.35 m
787
Exercice 8.31
D’un point de vue situé à 225 m au-dessus du niveau d’un lac, on aperçoit le sommet d’une
montagne de la rive opposée sous un angle d’élévation de 5,13◦. Du même point de vue, l’image
réfléchie du sommet de la montagne par la surface du lac apparaît sous un angle de dépression
de 6,88◦.
Calculer l’altitude de la montagne sachant que celle du lac est de 375 m.
788
Corrigé 8.31
α = 5.13◦ β = 6.88◦ x et h en mètres.
h − 225
tan(α) = ⇐⇒ h − 225 = x · tan(α) (1)
x
h + 225
tan(β) = ⇐⇒ h + 225 = x · tan(β) (2)
x
(2) − (1) : 450 = x · (tan(β) − tan(α)) ⇐⇒
450
x= = 14570.78
tan(β) − tan(α)
h = 225 + x · tan(α) = 1533.10
L’altitude du sommet est donc de
1533.10 m + 375 m = 1908.10 m

789
Exercice 8.32
Résoudre un triangle ∆ABC rectangle en C, connaissant le périmètre 2p et l’un des angles aigus
β.
Application numérique : 2p=64.20, β = 36.95◦.
790
Corrigé 8.32
2p = 64.20 et β = 36.95◦
α = 90◦ − β = 53.05◦
a
= cos(β) ⇐⇒ a = c · cos(β) = 21.38
c
b
= sin(β) ⇐⇒ b = c · sin(β) = 16.08
c
a + b + c = 2p ⇐⇒
c · (cos(β) + sin(β) + 1) = 2p ⇐⇒
2p
c= = 26.75
cos(β) + sin(β) + 1
a · b c2 · cos(β) · sin(β)
σ= = = 171.83
2 2
791
Exercice 8.33
On considère un triangle ∆ABC rectangle en A. Soit H le pied de la hauteur issue de A. On
pose [AH]=m. Calculer en fonction de m et de γ la longueur des segments [AB], [AC], [BC], [BH]
et [HC].
792
Corrigé 8.33
m
sin(β) = mais sin(β) = cos(γ) donc
[AB]
m m
cos(γ) = ⇐⇒ [AB] =
[AB] cos(γ)
m m
sin(γ) = ⇐⇒ [AC] =
[AC] sin(γ)
s s
p m2 m2 sin2(γ) + cos2(γ) m
[BC] = [AB]2 + [AC]2 = + 2 =m· =
2
cos (γ) sin (γ sin2(γ) · sin2(γ) cos(γ) · sin(γ)
m m m
tan(β) = ⇐⇒ [BH] = = = m · tan(γ)
[BH] tan(β) cot(γ)
m m
tan(γ) = ⇐⇒ [CH] = = m · cot(γ)
[CH] tan(γ)
793
Exercice 8.34
Un trapèze ABCD est rectangle en B et en C et sa base [CD] est égale à sa diagonale [AC].
Calculer les angles, les longueurs des côtés et l’aire du trapèze connaissant le côté [CD] = 10 et
l’angle ]ACD = 70◦ .
794
Corrigé 8.34
[CD] = [AC] = 10 et ∠(ACD) = 70◦
[BC]
cos(20◦) = ⇐⇒ [BC] = [AC] · cos(20◦) = 9.397
[AC]
◦ [AB]
sin(20 ) = ⇐⇒ [AB] = [AC] · [AC] · sin(20◦) = 3.42
[AC]
[AH] = [BC] [AB] = [CH] et [HD] = [CD] − [AB] = 6.57

p p
[AD] = [HD]2 + [AH]2 = ([CD] − [AB])2 + [BC]2 = 11.47
[AH] 9.397
tan(δ) = = = 1.428 ⇐⇒ δ = 55◦
[HD] 6.57
Le triangle ACD est isocèle, donc = δ = 55◦ et ∠(BAD) = 70◦ + = 125◦
[CD] + [AB]
σ= · [BC] = 63.05
2
795
Exercice 8.35
Le côté [AD] d’un trapèze ABCD, rectangle en B et C, est tangent au cercle de Thalès de BC
au point T. Calculer les angles et les longueurs des côtés du trapèze, sachant que [BC]=12 et
[TA]=2[DT].
796
Corrigé 8.35
[BC] = 12 [DT ] = x et [T A] = 2[DT ] = 2x
Les triangles OCD et OT D sont isométriques,

car ils ont [OT ] = [OC] et [OD] est commun aux
deux triangles et ce sont tous deux des triangles
rectangles. Donc α1 = α2 = α et [CD] = x
Les triangles OAB et OAT sont aussi isométriques
pour les mêmes raisons. Donc β1 = β2 = β et
[AB] = 2x
2α + 2β = 180◦ α + β = 90◦ et γ = α ainsi que ∠(T DO) = β
[OT ] [DT ] 6 x 2
√
tan(α) = ⇐⇒ = ⇐⇒ 2x = 36 ⇐⇒ x = 3 2 = [CD]
[T A] [OT ] 2x 6
√
√ √ x 2
[AD] = 3x = 9 2 [AB] = 2x = 6 2 tan(α) = = ⇐⇒ α = 35.26◦
6 2
∠(BAD) = 2α = 70.53◦ et ∠(CDT ) = 2 · (90◦ − α) = 109.47◦

797
Exercice 8.36
La partie émergente d’un paquebot mesure 45 m de hauteur. A la sortie d’un port, le paquebot
met le cap dans une direction perpendiculaire à la rive.
(a) Quelle partie du bateau est encore visible depuis le port lorsqu’il a parcouru 15 km ?
(b) Quelle distance minimum a-t-il parcourue lorsqu’il n’est plus visible depuis le port ?
(Le rayon de la terre vaut 6370 km)
798
Corrigé 8.36
1. Le bateau a parcouru 15 km :
[BD] est la partie encore visible depuis le port après 15 km de
parcours. C’est la longueur recherchée.
Donc [CB] est la partie qui n’est plus visible.
[OA] = [OC] = R est le rayon de la terre.
Et [CD] = [CB] + [BD] =45 m
L’arc de cercle AC correspondant à un angle d’ouverture de
α mesure 15 km.
2πR 15 · 360◦ ◦
· α = 15 ⇐⇒ α = = 0.1349
360◦ 2π · R
R
cos(α) = ⇐⇒
R + [CB]
R 6370
[CB] = −R = km −6370 km =0.01765 km
cos(α) cos(0.1349◦
Donc [CB] = 17.66 m et
[BD] =45 m - 17.66 m = 27.34 m.

799
2. Le bateau est tout juste plus visible depuis le port :
E est le sommet du bateau. Ce point est maintenant sur la

ligne d’horizon.
C’est la situation où le bateau disparait complètement à
l’horizon.
[OE] =6370 km + 0.045 km = 6370.045 km
R 6370
cos(β) = = = 0.99 ⇐⇒ β = 0.215◦
[OE] 6360.045
Un angle d’ouverture de β = 0.215◦ correspond, sur la

surface de la terre, à une distance de :
2πR ◦
l= ◦
· 0.215 =23.94 km.
360
Il s’agit de la distance minimale à parcourir pour voir

disparaître le bateau à l’horizon.
800
Exercice 8.37
La distance à vol d’oiseau de Rolle à Villeneuve est approximativement égale à 45 km. En
supposant qu’on parvienne à relier, par un câble parfaitement rectiligne, deux bornes situées au
bord du lac, l’une à Rolle, l’autre à Villeneuve, quelle serait la profondeur maximum atteinte
par le câble dans le lac ?
(R=6370 km)
801
Corrigé 8.37
Entre Rolle (R) et Villeneuve (V ), il y a un arc de cercle,

centré au centre de la terre, d’une longueur de 45 km.
Ceci correspond à un angle d’ouverture de α :
2π[OR] 45 · 360circ ◦
· α = 45 ⇐⇒ α = = 0.4047
360◦ 2π · 6370
α [OA]
cos = ⇐⇒
2 [OR]
[OA] = 6369.96 km ⇐⇒
[AB] = [OB] − [OA] =0.039736 km =39.74 m

802
Exercice 8.38
Une tour se dresse sur une falaise, non loin d’une rivière.
Dans un plan vertical perpendiculaire au cours d’eau et contenant la tour, on considère les deux
points situés sur les berges de la rivière.
De chacun de ces deux points, on mesure les angles d’élévation du pied et du sommet de la tour :
depuis le point le plus éloigné 28,63◦ et 36,05◦, depuis le point le plus proche 36,87◦ et 45◦.
Sachant que la tour mesure 20 m de hauteur, déterminer la largeur de la rivière.
803
Corrigé 8.38
Tous les points A, B, E, C et D sont sur le
même plan vertical et A est sur la berge la plus
éloignée de la tour, tandis que B est sur la berge
la plus proche de la tour. La tour est représentée
par le segment CD et E est la prolongation de
ce segment jusqu’à arriver à la même hauteur
que A et B.
Notons : x = [AB], la largeur de la rivière,
y = [BE] et z = [EC]
On a ∠(DAE) = 36.05◦, ∠(CAE) = 28.63◦, ∠(DBE) = 45◦ et ∠(DBC) = 36.87◦

z + 20 m
= tan(45◦) = 1 ⇐⇒ z + 20 m= y (1)
y
z
= tan(36.87◦) ⇐⇒ z = y · tan(36.87◦) (2)
y
◦ 20 m · tan(36.87◦)
(1) dans (2) : z = (z + 20 m) · tan(36.87 ) ⇐⇒ z = ◦
= 60 m
1 − tan(36.87
y = z + 20 m = 80 m
804
On recommence avec le triangle ADE :
z + 20 m ◦ 80 m
= tan(36.05 ) ⇐⇒ = tan(36.05◦) ⇐⇒
x+y x + 80 m
80 m · (1 − tan(36.05◦)
x= ◦
=29.90 m
tan(36.05 )
Comme l’angle ∠(CAE) = 28.63◦ n’a pas été utilisé, il faut encore vérifier la compatibilité
de cette information avec le reste de la donnée :
z
tan(∠(CAE)) = ⇐⇒
x+y
60
tan(∠(CAE)) = ⇐⇒ ∠(CAE) = 28.63◦ ce qui est bien le cas.
29.90 + 80
Donc la largeur de la rivière est de 29.90 m.

805
4 Solutions
Solution 8.1
α sin(α) cos(α) tan(α) cot(α)
a) 20◦ 0,342 0,940 0,364 2,747
π
b) 0,588 0,809 0,727 1,376
5
c) 85◦ 0,996 0,087 11,430 0,087
Solution 8.2
sin(α) = cos(α) cos(α) = sin(β) tan(α) = cot(β) cot(α) = tan(β)
7 24 7 24
a)
25
√ 25
√ 24 7
5 2 5 1
b) 2
√5 √5 2
2 2
c) 1 1
2 √2 √ √
3 7 3 7 7
d)
4 4 7 3
806
Solution 8.3
a) 0,41755 d) 0,29716 g) 0,46493

b) 0,78973 e) 0,37647 h) 1,39155
c) 0,60324 f) 0,60376 i) 0.47971
Solution 8.4
a) 33,25◦ d) 21,15◦ g) 83,22◦

b) 10,20◦ e) impossible h) 64,52◦
c) 32,53◦ f) impossible i) 23,03◦
Solution 8.5
a) impossible c) 1,20871 e) 0,012340

π
b) d) 0,13792 f) 0,041643
6
807
Solution 8.6
√ √
3 1 3
30◦
√2 √2 3
◦ 2 2
45 1
2 √2
◦ 1 3 √
60 3
2 2
Solution 8.7
Cf. cercle trigonométrique
0◦ 1 0 0
90◦ 0 1 -
√ √
3 14 70
Solution 8.8 [BC] = ; [AB] =
2 2
808
Solution 8.9
Soient α et β deux angles complémentaires, c’est-à-dire α + β = 90◦. Alors :
sin(α) = cos(β) tan(α) = cot(β)

cos(α) = sin(β) cot(α) = tan(β)
Solution 8.10
a) α = 24, 2◦ b = 4, 33 a = 1, 95 σ = 4, 2180
b) γ = 49, 77◦ b = 7, 89 c = 9, 32 σ = 36, 7557
c) γ = 28, 93◦ α = 61, 07◦ a = 22, 26 σ = 136, 8834
d) α = 74, 23◦ β = 15, 77◦ a = 17, 52 σ = 43, 3727
e) γ = 36, 54◦ a = 60, 394 c = 35, 958 σ = 872, 3849
f) γ = 75, 5◦ b = 116, 2 a = 29, 1 σ = 1636, 56
g) α = 67, 5◦ c = 22, 2 a = 20, 5 σ = 87, 21
h) γ = 25, 48◦ α = 64, 52◦ b = 51, 8 σ = 521, 82
i) α = 82, 78◦ β = 7, 22◦ c = 8, 52 σ = 4, 5208
j) β = 48, 64◦ γ = 41, 36◦ b = 48, 6 a = 64, 8
k) γ = 15, 17◦ α = 74, 83◦ a = 8, 41 b=8,71
809
Solution 8.11
a) β = γ = 65, 75◦ b = c = 27, 76 σ = 288, 5005
b) β = γ = 38, 26◦ a = 6, 66 σ = 8, 7412
c) α = 35, 20◦ b = c = 14, 1 σ = 56, 94
d) α = 114, 22◦ a = 31, 44 σ = 159, 7959
e) β = γ = 37, 84◦ α = 104, 32◦ b = c = 35, 9
Solution 8.12
(a) ∠DAC = 30◦ ; ∠BAC = 45◦ ; ∠ABE = 15◦ ; ∠EBD = 30◦
√ √ √
√ 3+ 3 1+ 3 3− 3
(b) [AB] = 6 ; [AD] = 2 ; [BE] = ; [ED] = ; [AE] =
√ √ 2 2 2
6+ 2
(c) sin(75◦) = cos(15◦) =
4
√ √
◦ ◦ 6− 2
cos(75 ) = sin(15 ) =
4
◦ ◦
√
tan(75 ) = cot(15 ) = 2 + 3
◦ ◦
√
cot(75 ) = tan(15 ) = 2 − 3
810
Solution 8.13
3 4
a) sin(α) = 0, 6 tan(α) = cot(α) =
√ 4√ 3
3 3 √
b) cos(α) = tan(α) = cot(α) = 3
√2 3 √
15 √ 15
c) sin(α) = tan(α) = 15 cot(α) =
4 √ 15
√
2 5 2 5
d) cos(α) = sin(α) = cot(α) =
3√ 3√ 5
√
3 5 2 5 3 5
e) cos(α) = tan(α) = cot(α) =
7 15 2
10 7 10
f) cos(α) = √ sin(α) = √ cot(α) =
149 149 7
Solution 8.14
Solution 8.15 Non. Contre-exemple : α = 30◦
811
Solution 8.16
a) sin(α) = cos(α) ⇐⇒ α = 45◦
sin(α) < cos(α) ⇐⇒ 0◦ ≤ α < 45◦
sin(α) > cos(α) ⇐⇒ 45◦ < α ≤ 90◦
b) tan(α) = 1 ⇐⇒ α = 45◦
tan(α) > 1 ⇐⇒ 45◦ < α < 90◦
tan(α) < 1 ⇐⇒ 0◦ ≤ α < 45◦
Solution 8.17 ∠BEA = 33, 69◦ ∠CEB = 19, 44◦ ∠DEC = 10, 30◦
Solution 8.18 47,55 cm
Solution 8.19 27,62 m
Solution 8.20
h h h
[AC] = = 9, 95 [BC] = = 34, 52 [AH] = = 4, 13
sin(α) sin(β) tan(α)

h 1 1
[BH] = = 33, 31 [AB] = h · + = 37, 44
tan(β) tan(α) tan(β)
Solution 8.21 34,77 cm
Solution 8.22 212,10 cm2
Solution 8.23 l = 6, 380km h = 502m
Solution 8.24 53,925 m
812
Solution 8.25 6361 km
Solution 8.26 r = 6, 39m h = 8, 57m
Solution 8.27 a) l = 1130, 6cm b) l = 1157, 6cm
Solution 8.28 c = 9, 22 r = 22, 17
Solution 8.29 l = 17, 68m h = 14, 12m
Solution 8.30 h=1934 m
Solution 8.31 1908,10 m
Solution 8.32 a = 21, 38 b = 16, 08 c = 26, 75 α = 53, 05◦ σ = 171, 8345
Solution 8.33
m m m
[AB] = [AC] = [BC] =
cos(γ) sin(γ) sin(γ) cos(γ)
m
[BH] = m · tan(γ) [CH] = m · cot(γ) =
tan(γ)
Solution 8.34
∠CDA = 55◦ ∠DAB = 125◦ [AB] = 3, 42
[BC] = 9, 40 [AD] = 11, 47 σ = 63, 05
813
Solution 8.35
α = 70, 53√◦ δ = 109, 47
√
◦
√
[AB] = 6 2 [CD] = 3 2 [DA] = 9 2
Solution 8.36
(a) Hauteur visible après 15 km : 27,3 m.
(b) Distance minimum : 23,9 km.
Solution 8.37 Profondeur maximum : 39,74m.
Solution 8.38 Largeur de la rivière : 29,90 m.
Chapitre 9
Le cercle trigonométrique
815
1 Le cercle trigonométrique
Définition
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon égal à 1 centré à l’origine d’un repère
orthonormé.
Traçons maintenant une demi-droite

d formant un angle α avec l’axe des
abscisses. La droite coupe le cercle en
M. Les coordonnées du point M sont
(M1; M2). Le point T , respectivement
C, est l’intersection entre la droite d
et la tangente au cercle au point E1,
respectivement E2.
816
Déterminons les coordonnées des points M, T et C en fonction des rapports trigonométriques de
l’angle α.
[OM1] [OM1]
M ([OM1] ; [OM2]) = = cos(α) =⇒ [OM1] = 1 · cos(α) = cos(α)
[OM ] 1
[OM2] [OM2]
= = sin(α) =⇒ [OM2] = 1 · sin(α) = sin(α)
[OM ] 1
817
[E1T ] [E1T ]
T ([OE1] ; [E1T ]) = = tan(α) =⇒ [E1T ] = 1 · tan(α) = tan(α)
[EO1] 1
[E2C] [E2C]
C([E2C] ; [OE2]) = = cot(α) =⇒ [E2C] = 1 · cot(α) = cot(α)
[OE2] 1
818
2 Généralisation de la notion de rapport trigonométrique

Le cercle trigonométrique permet donc de définir les rapports trigonométriques pour des angles
aigus, appartenant au premier quadrant. Généralisons cette définition aux quatre quadrants
Définition
cos(α) = abscisse de M = [OM1]
sin(α) = ordonnée de M = [OM2]
tan(α) = ordonnée de T = [E1T ]
cot(α) = abscisse de C = [E2C]
819
Quadrant I Quadrant II
820
Quadrant III Quadrant IV

821
Remarque :
(a) Ces définitions prolongent de manière naturelle à tout angle orienté les rapports trignonomé-
triques définis à l’aide des triangles rectangles pour des angles aigus.
(b) Les rapports trigonométriques sont des nombres réels.
(c) La définition des rapports trigonométriques utilise les coordonnées de certains points liés au
cercle trigonométrique. Il faut donc utiliser la mesure algébrique des segments correspondants,
le signe indiquant l’orientation du segment par rapport au système d’axes.
(d) Pour tout angle α, on peut vérifier les identités suivantes :
2 2 1 2
sin (α) + cos (α) = 1 = 1 + tan (α)
cos2(α)
sin(α) 1
tan(α) = 2 = 1 + cot2(α)
cos(α) sin (α)
1 cos(α)
cot(α) = =
tan(α) sin(α)
822
3 Relations entre les rapports trigonométriques de certains

angles
cos(−α) = cos(α) cos(π − α) = − cos(α) cos(π + α) = − cos(α)

sin(−α) = − sin(α) sin(π − α) = sin(α) sin(π + α) = − sin(α)
tan(−α) = − tan(α) tan(π − α) = − tan(α) tan(π + α) = tan(α)
cot(−α) = − cot(α) cot(π − α) = − cot(α) cot(π + α) = cot(α)
823
π π
cos − α = sin(α) cos + α = − sin(α)
2
π 2
π
sin − α = cos(α) sin + α = cos(α)
2
π π 2
tan − α = cot(α) tan + α = − cot(α)
2
π π2
cot − α = tan(α) cot + α = − tan(α)
2 2
824
4 Exercices
Exercice 9.1
Construire sur papier quadrillé un cercle trigonométrique de 10 carrés de rayon (placer le centre
du cercle au centre de la feuille). Évaluer, pour les angles suivants, les rapports trigonométriques
puis comparer avec les valeurs trouvées à l’aide d’une calculatrice :
a) 40◦ b) 55◦ π d) 220◦ 6π

c) − e) −
6 5
825
Corrigé 9.1
cos(40◦) ≈ 0.77 cos(55◦) ≈ 0.57

sin(40◦) ≈ 0.65 sin(55◦) ≈ 0.82
tan(40◦) ≈ 0.85 tan(55◦) ≈ 1.42
cot(40◦) ≈ 1.20 cot(55◦) ≈ 0.70
826
π
− = −30◦ = 330◦ (dans un cercle trigo.)
6 π cos(220◦) ≈ −0.77
cos − ≈ 0.87
π6 sin(220◦) ≈ −0.64
sin − ≈ −0.50 tan(220◦) ≈ 0.84
6
π
tan − ≈ −0.58 cot(220◦) ≈ 1.19
π6
cot − ≈ −1.73
6
827
6π
5

6π 6π
cos − ≈ −0.81 tan − ≈ −0.72
5 5

6π 6π
sin − ≈ 0.59 cot − ≈ −1.38
5 5
828
Exercice 9.2
Déterminer, à l’aide d’un cercle trigonométrique et d’un rapporteur, les angles compris entre 0◦
et 360◦ tels que :
√
1 c) tan(t)=− 2 e) cos(t)=0,3 g) cos(t)=0,83
a) sin(t)=
3
b) tan(t)=1,2 d) sin(t)=1,54 f) cot(t)=0,43 h) sin(t)=0,92
829
Corrigé 9.2
a)
b)
α1 ≈ 19.5◦; α2 ≈ 160.5◦
α1 ≈ 50.2◦; α2 ≈ 230.2◦
830
d) Impossible, car un sinus ne peut pas dépas-
ser 1.
c)
α1 ≈ 125.3◦; α2 ≈ 305.3◦
831
f)
e)
α1 ≈ 66.7◦; α2 ≈ 246.7◦
α1 ≈ 72.5◦; α2 ≈ 287.5◦
832
h)
α1 ≈ 66.9◦; α2 ≈ 113.1◦
g)
α1 ≈ 33.9◦; α2 ≈ 326.1◦
833
Exercice 9.3
Déterminer les angles compris dans l’intervalle [0◦; 360◦] :
1 1 1
a) le sinus vaut : − 1 -1 − 2
4 4 2
1 1
b) le cosinus vaut : − 0 1
2 3
√
2
c) la tangente vaut : 1 2 -1.2 0
2
√
3 1
d) la cotangente vaut : -1 -0.2 0
3 2
834
Corrigé 9.3
1
a) sin(α) = ⇔ α1 = 14, 48◦ ; α2 = 180◦ − 14, 48◦ = 165, 52◦
4
1
sin(α) = − ⇔ α1 = 194, 48◦ ; α2 = 180◦ − 194, 48◦ = −14.48◦ + 360◦ = 345, 52◦
4
sin(α) = 1 ⇔ α1 = 90◦ (α2 = 180◦ − 90◦ = 90◦ = α1)
sin(α) = −1 ⇔ α1 = 270◦ (α2 = 180◦ − 270◦ = −90◦ + 360◦ = 270◦ = α1)
1
sin(α) = − ⇔ α1 = 210◦ ; α2 = 180◦ − 210◦ = −30◦ + 360◦ = 330◦
2
sin(α) = 2 Impossible, car − 1 ≤ sin(α) ≤ 1

835
1
b) cos(α) = ⇔ α1 = 60◦ ; α2 = −60◦ + 360◦ = 300◦
2
1
cos(α) = − ⇔ α1 = 109.47◦ ; α2 = −109.47◦ + 360◦ = 250.53◦
3
cos(α) = 0 ⇔ α1 = 90◦ ; α2 = −90◦ + 360◦ = 270◦
cos(α) = 1 ⇔ α = 0◦
c) tan(α) = 1 ⇔ α1 = 45◦ ; α2 = 45◦ + 180◦ = 225◦
tan(α) = 2 ⇔ α1 = 63.43◦ ; α2 = 63.43◦ + 180◦ = 243.43◦
tan(α) = −1.2 ⇔ α1 = 129.81◦ ; α2 = 129.81◦ + 180◦ = 309.81◦
tan(α) = 0 ⇔ α1 = 0◦ ; α2 = 0◦ + 180◦ = 180◦

√
2
tan(α) = ⇔ α1 = 35.26◦ ; α2 = 35.26◦ + 180◦ = 215.26◦
2
√ 836
3
d) cot(α) = ⇔ α1 = 60◦ ; α2 = 60◦ + 180◦ = 240◦
3
cot(α) = −1 ⇔ α1 = 135◦ ; α2 = 135◦ + 180◦ = 315◦
1
cot(α) = ⇔ α1 = 63.43◦ ; α2 = 63.43◦ + 180◦ = 243.43◦
2
cot(α) = −0.2 ⇔ α1 = 101.31◦ ; α2 = 101.31◦ + 180◦ = 281.31◦
cot(α) = 0 ⇔ α1 = 90◦ ; α2 = 270◦

837
Exercice 9.4
Les axes partagent le plan en quatre parties égales appelées quadrants, numérotés de I à IV
suivant le sens trigonométrique. Étudier le signe des rapports trigonométriques dans chacun des
quadrants.
838
Corrigé 9.4
sin(x) cos(x) tan(x) cotan(x)
Quadrant I >0 >0 >0 >0
Quadrant II >0 <0 <0 <0
Quadrant III <0 <0 >0 >0
Quadrant IV <0 >0 <0 <0

839
Exercice 9.5
Dans quel quadrant se trouve-t-on si :
a) cos(α) > 0 et sin(α) < 0
b) tan(α) > 0 et cos(α) < 0
c) cos(α) < 0 et cot(α) < 0
d) cos(α) < 0 et sin(α) < 0
e) cot(α) < 0 et sin(α) > 0
f) sin(α) > 0 et cos(α) < 0

840
Corrigé 9.5
a) cos(α) > 0 et sin(α) < 0 =⇒ Quadrant IV
b) tan(α) > 0 et cos(α) < 0 =⇒ Quadrant III
c) cos(α) < 0 et cot(α) < 0 =⇒ Quadrant II
d) cos(α) < 0 et sin(α) < 0 =⇒ Quadrant III
e) cot(α) < 0 et sin(α) > 0 =⇒ Quadrant II
f) sin(α) > 0 et cos(α) < 0 =⇒ Quadrant II

841
Exercice 9.6
Les nombres sont-ils des mesures en degré d’un même angle ?
a) 2782◦ et -88◦ c) -1725◦ et 795◦ e) 463◦ et 9103◦

b) 2184◦ et -420◦ d) 42◦ et -688◦ f) -981◦ et 99◦
842
Corrigé 9.6
a) non c) oui e) oui

b) non d) non f) oui
843
Exercice 9.7
Un angle orienté mesure 310◦. Quelle est la mesure de cet angle en degrés :
a) comprise entre -1440◦ et -1080◦ c) comprise entre -360◦ et 0◦

b) comprise entre 3960◦ et 4320◦ d) comprise entre -2520◦ et -2160◦
844
Corrigé 9.7
a) −1130◦ c) −50◦
b) 4270◦ d) −2210◦
845
Exercice 9.8
Quelle est la plus petite mesure (comprise entre ]−180◦; 180◦], respectivement ]−π; π]) des angles
orientés.
a) 243◦ c) −214◦ e) 53π

13π 3π
b) −243◦ d) − f) −
2 4
846
Corrigé 9.8
a) −117◦ c) 146◦ e) π
π 3π
b) 117◦ d) − f) −
2 4
847
Exercice 9.9
Exprimer en fonction des rapports trigonométriques de l’angle α ceux des angles :
a) −α b) π − α c) π + α π π
d) −α e) +α
2 2
848
Corrigé 9.9
cf. Formulaires & Tables
849
Exercice 9.10
Déterminer, sans machine, les valeurs exactes des rapports trigonométriques des angles :
a) 120◦ f) −1110◦ 17π

j) −
5π 4
b) −60◦ g)
6 23π
c) 225◦ 13π k)
h) 4
d) −225◦ 4
11π 43π
e) 1290◦ i) − l) −
3 3
850
Corrigé 9.10
α cos(α) sin(α) tan(α) cot(α)
√ √
1 3 √ 3
a) 120◦ − − 3 −
2 2
√ √3
1 3 √ 3
b) −60◦ − − 3 −
√2 √2 3
◦ 2 2
c) 225 − − 1 1
√ 2 √2
◦ 2 2
d) −225 − −1 −1
√2 2 √
◦ 3 1 3 √
e) 1290 − − 3
√ 2 2 3
√
3 1 3 √
f) −1110◦ − − − 3
2 2 3
851

√ √
5π 3 1 3 √
g) − − − 3
6 √2 2√ 3
13π 2 2
h) − − 1 1
4 2 √ 2 √
11π 1 3 √ 3
i) − 3
3 √2 2√ 3
17π 2 2
j) − − −1 −1
4 √2 √2
23π 2 2
k) − −1 −1
4 2 √2 √
43π 1 3 √ 3
l) − − − 3 −
3 2 2 3
852
Exercice 9.11
Calculer, sans la machine, la valeur exacte des expressions :
a) sin(240◦) · cos(−150◦) − sin(450◦)
b) 2 tan(210◦) · sin(−300◦) + 3 cos(720◦)

2π 2 11π
c) tan · tan
3 6
d) 2 cos(−570◦) sin(150◦)
π
2π 14π 7π
e) tan · tan − tan · tan2
6 3 3 6
853
Corrigé 9.11
√ √
1 3 3
a) − c) − e) −1 +
4
√3 3
3
b) 4 d) −
2
854
Exercice 9.12
Démontrer sans machine :
√ √
◦ ◦ ◦ ◦ 6− 2
sin(510 ) · cos(−135 ) + sin(315 ) · cos(150 ) =
4
855
Exercice 9.13
Démontrer les égalités suivantes :
Indication : il faut, en général, transformer le membre le plus complexe de l’égalité pour arriver
au membre le plus simple. Il existe parfois plusieurs méthodes.
tan(x) − sin(x) 1
a) =
sin3(x) cos(x)(1 + cos(x))
b) sin(x) cos(x)(1 + tan(x))(1 + cot(x)) = 1 + 2 sin(x) cos(x)
1 + 2 sin(x) cos(x) 2
c) = (1 + tan(x))
cos2(x)
1 + cos(x) sin(x) 1
d) = =
sin2(x) cos(x)(tan(x) − sin(x)) 1 − cos(x)
1 − 2 cos2(x)

1 1
e) (1 − cot(x)) + =
cos(x) sin(x) cos(x)(1 − cos2(x))
2 cot(x) sin(x) 1 + cos(x) 2

f) = + =
cos(x) 1 + cos(x) sin(x) sin(x)
856
2
1 + 4 tan(x) + tan (x)
g) 2 = 1 + 4 sin(x) cos(x)
1 + tan (x)
2 1 1
h) − − =0
tan2(x) cos2(x) 1 − cos(x) 1 + cos(x)
857
Exercice 9.14
Calculer, sans déterminer l’angle et sans utiliser la machine, la valeur exacte des trois autres
rapports trigonométriques.
4
a) sin(α) = α ∈ ]−90◦; 90◦[
5
12
b) cos(α) = − α ∈ ]−π; 0[
13
12
c) tan(α) = α ∈ ]−270◦; −90◦[
5
d) cot(α) = −2 α ∈ ]90◦; 270◦[
858
Corrigé 9.14
Quadrant sin(α) cos(α) tan(α) cot(α)
4 3 4 3
a) I
5 5 3 4
5 12 5 12
b) III − −
13 13 12 5
12 5 12 5
c) III − −
13 13 5 12
√ √
5 2 5 1
d) II − − −2
5 5 2
859
Exercice 9.15
a) Déterminer le sinus, le cosinus et la cotangente de tous les angles α dont la tangente est àgale
2
à − . Préciser dans quels quadrants se trouvent ces angles.
3
b) Dans le cas où 0 < α < π, montrer que :
π
tan + α + cos(π + α) 2 + √13
2 = √
3π 2 − 13
sin − α − cot(−α)
2
860
Corrigé 9.15

√ √
2 13 3 13 2 3
α1 II − − −
13 13 3 2
√ √
2 13 3 13 2 3
α2 IV − − −
13 13 3 2
861
Exercice 9.16
Exprimer, à l’aide des fonctions trigonométriques élémentaires.
a) cos(270◦ + t) f) cos(−270◦ + t)
b) tan(270◦ − t) g) sin(2340◦ + t)
c) sin(−t − 270◦) h) tan(−630◦ − t)
d) cot(−90◦ − t) i) sin(2250◦ − t)
e) sin(t − 270◦) j) cos(t − 2070◦)
862
Corrigé 9.16
a) sin(t) f) − sin(t)
b) cot(t) g) − sin(t)
c) cos(t) h) cot(t)
d) tan(t) i) cos(t)
e) cos(t) j) − sin(t)
863
Exercice 9.17
Simplifier l’écriture de l’expression :
2 cos2(90◦ + t) − 2 sin(90◦ − t) cos(360◦ + t) − sin2(180◦ + t) + sin(270◦ − t) cos(180◦ − t) + cos2(t)

864
Corrigé 9.17
sin2(t)
865
5 Solutions
Solution 9.1
cos(40◦) ≈ 0.77 cos(55◦) ≈ 0.57

sin(40◦) ≈ 0.65 sin(55◦) ≈ 0.82
tan(40◦) ≈ 0.85 tan(55◦) ≈ 1.42
cot(40◦) ≈ 1.20 cot(55◦) ≈ 0.70
866
π
6 π cos(220◦) ≈ −0.77
cos − ≈ 0.87
π6 sin(220◦) ≈ −0.64
sin − ≈ −0.50 tan(220◦) ≈ 0.84
6
π
tan − ≈ −0.58 cot(220◦) ≈ 1.19
π6
cot − ≈ −1.73
6
867
6π
5

6π 6π
cos − ≈ −0.81 tan − ≈ −0.72
5 5

6π 6π
sin − ≈ 0.59 cot − ≈ −1.38
5 5
Solution 9.2
a) t = 19, 47◦ ou t = 160, 53◦ b) t = 50, 19◦ ou t = 230, 19◦

868
◦ ◦ ◦ ◦
c) t = 54, 74 ou t = 234, 74 f) t = 66, 73 ou t = 246, 73
d) impossible g) t = 33, 90◦ ou t = 326, 10◦
e) t = 72, 54◦ ou t = 287, 46◦ h) t = 66, 93◦ ou t = 113, 07◦
869
Solution 9.3
1
a) sin(α) = , α = 14, 48◦ ou α = 165, 52◦
4 c) tan(α) = 1 , α = 45◦ ou α = 225◦
1
sin(α) = − , α = 194, 48◦ ou α = 345, 52◦ tan(α) = 2 , α = 63, 43◦ ou α = 243, 43◦
4
sin(α) = 1 , α = 90◦ tan(α) = −1.2 , α = 129, 81◦ ou α =
sin(α) = −1 , α = 270◦ 309, 81◦
1
sin(α) = − , α = 210◦ ou α = 330◦ tan(α) = 0√, α = 0◦ ou α = 180◦
2 2
sin(α) = 2 , Impossible ! (−1 ≤ sin(α) ≤ tan(α) = , α = 35, 26◦ ou α = 215, 26◦
1) 2
√
1 3
b) cos(α) = , α = 60◦ ou α = 300◦ d) cotan(α) = , α = 60◦ ou α = 240◦
2 3
1 cotan(α) = −1 , α = 135◦ ou α = 315◦
cos(α) = − , α = 109, 47◦ ou α =
3 1
250, 53 ◦ cotan(α) = , α = 63, 43◦ ou α = 243, 43◦
2
cos(α) = 0 , α = 90◦ ou α = 270◦ cotan(α)=−0.2 , α=101, 31◦ ou α=281, 31◦
cos(α) = 1 , α = 0◦ cotan(α) = 0 , α = 90◦ ou α = 270◦
870
Solution 9.4
sin(x) cos(x) tan(x) cotan(x)
Quadrant I >0 >0 >0 >0
Quadrant II >0 <0 <0 <0
Quadrant III <0 <0 >0 >0
Quadrant IV <0 >0 <0 <0
Solution 9.5
a) IV c) II e) II
b) III d) III f) II
Solution 9.6
a) non c) oui e) oui

b) non d) non f) oui
Solution 9.7
a) −1130◦ c) −50◦
b) 4270◦ d) −2210◦
871
Solution 9.8
a) −117◦ c) 146◦ e) π
π 3π
b) 117◦ d) − f) −
2 4
Solution 9.9 cf. Formulaires & Tables
Solution 9.10
√ √
1 3 √ 3
a) 120◦ − − 3 −
2 2
√ √3
◦ 1 3 √ 3
b) −60 − − 3 −
2√ √2 3
2 2
c) 225◦ − − 1 1
√2 √2
◦ 2 2
d) −225 − −1 −1
√2 2 √
3 1 3 √
e) 1290◦ − − 3
√2 2 3
√
◦ 3 1 3 √
f) −1110 − − − 3
2 2 3
872

√ √
5π 3 1 3 √
g) − − − 3
6 √2 2√ 3
13π 2 2
h) − − 1 1
4 2 √2 √
11π 1 3 √ 3
i) − 3
3 √2 2√ 3
17π 2 2
j) − − −1 −1
4 √2 √2
23π 2 2
k) − −1 −1
4 2 √ 2 √
43π 1 3 √ 3
l) − − − 3 −
3 2 2 3
873
Solution 9.11
√ √
1 3 3
a) − c) − e) −1 +
4
√3 3
3
b) 4 d) −
2
Solution 9.12
Solution 9.13
Solution 9.14
4 3 4 3
a) I
5 5 3 4
5 12 5 12
b) III − −
13 13 12 5
12 5 12 5
c) III − −
√ 13 13
√ 5 12
5 2 5 1
d) II − − −2
5 5 2
874
Solution 9.15
√ √
2 13 3 13 2 3
α1 II − − −
13
√ √ 13 3 2
2 13 3 13 2 3
α2 IV − − −
13 13 3 2
Solution 9.16
a) sin(t) d) tan(t) g) − sin(t) j) − sin(t)

b) cot(t) e) cos(t) h) cot(t)
c) cos(t) f) − sin(t) i) cos(t)
Solution 9.17 sin2(t)

Chapitre 10
Le triangle quelconque
876
1 Théorème du cosinus
Théorème
Théorème du cosinus
ABC est un triangle quelconque

a2 = b2 + c2 − 2 b c · cos(α)
b2 = a2 + c2 − 2 a c · cos(β)
c2 = a2 + b2 − 2 a b · cos(γ)
Remarque : Ce théorème est une généralisation du théorème de Pythagore.

877
Preuve du théorème du cosinus :
BD = c − AD (1)
AD
= cos(α) ⇐⇒ AD = b · cos(α))
b
(1) devient BD = c − b · cos(α) (2)
CD
= sin(α) ⇐⇒ CD = b · sin(α) (3)
b
a2 = BD2 + CD2 (4)
(2) et (3) dans (4) permettent de dire que :
a2 = (c − b · cos(α))2 + (b · sin(α))2 = · · · =
c2 + b2 − 2 b c · cos(α)
Remarque : Cette démonstration est faite à partir d’un triangle dont tous les angles étaient
inférieurs à 90◦, mais la démonstration est semblable si un des angles est supérieur à 90◦.
878
2 Théorème du sinus
Théorème
Théorème du sinus
Dans tout triangle, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés.
Le facteur de proportionnalité est égal au diamètre du cercle circonscrit au triangle :
a b c
= = = 2r
sin(α) sin(β) sin(γ)
879
Preuve du théorème du sinus
DC DC
sin(α) = et sin(β) =
b a
ou sin(α) · b = sin(β) · a
a b
ou encore = (1)
sin(α) sin(β)
Et
BE BE
sin(γ) = et sin(α) =
a c
ou sin(α) · c = sin(γ) · a
a c
ou encore = (2)
sin(α) sin(γ)
a b c
(1) = (2) ⇐⇒ = =
sin(α) sin(β) sin(γ)
880
a
Il reste à montrer que, par exemple, = 2r
sin(α)
Considérons F, le point diamétralement opposé à

B.
Le triangle BCF est rectangle en C.
a
Ceci permet de dire que : sin(δ) = .
2r
Comme les angles ≺ (BF C) = δ et ≺ (BAC) = α
interceptent le même arc de cercle, on a α = δ.
a a
Ainsi sin(δ) = sin(α) = ou = 2r
2r sin(α)
Remarque : Ce théorème est également valable si les segments AE ou DC sortent du triangle

ABC.
881
3 Théorème de l’aire
Théorème
Théorème de l’aire
L’aire d’un triangle est égale au demi produit de deux de ses côtés par le sinus de l’angle
compris entre ces deux côtés :
1 1 1
σ = ab sin(γ) = bc sin(α) = ac sin(β)
2 2 2
Preuve du théorème de l’aire :
DC DC
On a = sin(α) et = sin(β) donc DC = b · sin(α) = a · sin(β)
b a
BE
Et on a aussi = sin(γ) donc BE = a · sin(γ)
a
1 1 1 1 1
Donc : σ = · c · DC = · c · b · sin(α) = · c · a · sin(β) = · b · BE = · b · a · sin(γ)
2 2 2 2 2
882
4 Exercices
Exercice 10.1
Résoudre le triangle ABC, c-à-d déterminer les longueurs de tous les côtés, les mesures de tous
les angles et l’aire du triangle ABC
(a) a = 70.24 b = 82.12 γ = 30.69◦
(b) a = 57.89 b = 10.48 γ = 128.51◦
(c) a = 85.80 c = 57.29 β = 117.81◦
(d) b = 33.46 c = 58.26 α = 142.58◦
(e) a = 66.85 b = 38.73 γ = 116.99◦
(f) β = 58.25◦ γ = 39.38◦ a = 20.46
(g) a= 85.67 β = 123.18◦ γ = 24.54◦
(h) β = 30.65◦ a= 98.06 c= 364.04
(i) β = 39.37◦ a = 460.14 b = 335.59
(j) a = 41.94 b = 96.92 c = 107.26
(k) a = 60.44 b = 93.83 c = 37.85
(l) a = 5 b = 6 α = 20◦
883
Corrigé 10.1
Remarques préliminaires :
Dans le cadre de la recherche des angles dans un triangle quelconque, si nous utilisons le théorème
du sinus pour déterminer un angle α, une difficulté apparaît car, à partir de sin(α) = a, il y a
deux solutions possibles : l’angle α que la calculatrice donne et 180◦ − α.
Dans ce cas, il est parfois très difficile de savoir laquelle des deux solutions choisir (ce n’est parfois
qu’une fois que nous voulons déterminer le 3ème angle qu’une des solutions s’avère impossible)
et parfois les deux solutions sont possibles.
Par contre, du moment où la situation le permet, il est préférable d’utiliser le théorème du cosinus
pour déterminer cet angle, car nous ne nous trouvons pas devant la difficutlé d’auparavant.
En effet, partir de cos(α) = b il y a également deux solutions, mais c’est simplement ±α et dans
un triangle, un angle est de toutes manières positif, donc dans ce cas ce sera uniquement |α|.
884
1.
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ) = 70.242 + 82.122 − 2 · 70.24 · 82.12 · cos(30.69◦) = 1757, 2864 ⇔
c = 41.92
a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α) ⇔
a2 − b2 − c2 70.242 − 82.122 − 41.922

cos(α) = = =? ⇔ α = 58.79◦
−2bc −2 · 82.12 · 41.92
β = 180◦ − α − γ = 180◦ − 58.79◦ − 30.69◦ = 90.52◦
1 1
σ= · ab · sin(γ) = · 70.24 · 82.12 · sin(30.69◦) = 1472.001
2 2
885
2.
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ) = 57.892 + 10.482 − 2 · 57.89 · 10.48 · cos(128.51◦) = 4217.2036 ⇔
c = 64.94
a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α) ⇔
a2 − b2 − c2 57.892 − 10.482 − 64.942

cos(α) = = =? ⇔ α = 44.23◦
−2bc −2 · 10.48 · 64.94
β = 180◦ − α − γ = 180◦ − 44.23◦ − 128.51◦ = 7.26◦
1 1
σ= · ab · cos(γ) = · 57.89◦ · 10.48◦ · sin(128.51◦) = 237.366
2 2
886
9.
b a a · sin(β) 460.14 · sin(39.37◦)

= ⇔ sin(α) = = =?
sin(β) sin(α) b 335.59
(
60.43◦
sin(α) =? ⇔ α=
180◦ − 60.43◦ = 119.57◦
a) α = 60.43◦ : γ = 180◦ − α − β = 80.20◦
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos(γ) = 460.142 + 335.592 − 2 · 460.14 · 335.59 · cos(80.20◦) = 2710784.9689
1 1
c = 521.33 et σ = · ab · sin(γ) = · 460.14 · 335.59 · sin(80.20◦) = 760082.695
2 2
b) α = 119.57◦ : γ = 180◦ − α − β = 21.06◦
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos(γ) = 460.142 + 335.592 − 2 · 460.14 · 335.59 · cos(21.06◦) = 360141.8121
1 1
c = 190.11 et σ = · ab · sin(γ) = · 460.14 · 335.59 · sin(21.06◦) = 270743.953
2 2
887
12.
b a b · sin(α) 6 · sin(20◦)
= ⇔ sin(β) = = =?
sin(β) sin(α) a 5
(
24.23◦
sin(β) =? ⇔ β=
180◦ − 24.23◦ = 155.76◦
a) β = 24.23◦ : γ = 180◦ − α − β = 135.76◦
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos(γ) = 52 + 62 − 2 · 5 · 6 · cos(135.76◦) = 103.8361
1 1
c = 10.19 et σ = · ab · sin(γ) = · 5 · 6 · sin(135.76◦) = 10.463
2 2
b) β = 155.76◦ : γ = 180◦ − α − β = 4.23◦
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos(γ) = 52 + 62 − 2 · 5 · 6 · cos(4.23◦) = 1.1664
1 1
c = 1.08 et σ = · ab · sin(γ) = · 5 · 6 · sin(4.23◦) = 1.107
2 2
888
Exercice 10.2
Déterminer le rayon du cercle circonscrit à un triangle si a =24.9 ; b = 33.2 et c = 41.5
889
Exercice 10.3
Les côtés d’un triangle valent respectivement
n2 + n + 1 2n + 1 n2 − 1 (n > 1)
Montrer que l’angle opposé au premier côté mesure 120◦

890
Exercice 10.4
Calculer la longueur des segments BC, BD, AD et AC à

partir des indications lisibles sur la figure ci-contre
891
Corrigé 10.4
≺ (CAB) = 43◦ = α ≺ (ABC) = 110◦ = β ≺ (ACB) = 27◦ = γ
≺ (ADB) = 180◦ − 25◦ − 110◦ = 45◦
BC AB sin(α) sin(43◦)
= ⇐⇒ BC = AB · = 42.5 · ◦
= 63.84
sin(α) sin(γ) sin(γ) sin(27 )
BD AB sin(25◦) sin(25◦)
◦
= ◦
⇐⇒ BD = AB · ◦
= 42.5 · ◦
= 25.4
sin(25 ) sin(45 ) sin(45 ) sin(45 )
AD AB sin(β) sin(110◦)
= ⇐⇒ AD = AB · = 42.5 · = 56.48
sin(β) sin(45◦) sin(45◦) sin(45◦)
AC AB sin(β) sin(110◦)
= ⇐⇒ AC = AB · = 42.5 · = 87.97
sin(β) sin(γ) sin(γ) sin(27◦)
892
Exercice 10.5
D’un quadrilatère convexe ABCD, on donne l’angle α = 110◦, ainsi que les longueurs des quatre
côtés : AB = 3 , BC = 6 , CD = 6 et DA = 5. Calculer l’aire et les angles du quadrilatère.
893
Corrigé 10.5
x2 = AB 2 + AD2 − 2 · AB · AD · cos(≺ (BAD)) =
9 + 25 − 2 · 3 · 5 · cos(110◦) = 44.26 x = 6.65
AD2 = AB 2 + BD2 − 2 · AB · BD · cos(β1)
AB 2 + BD2 − AD2
⇐⇒ cos(β1) = =
2 · AB · BD
9 + 44.26 − 25
= 0.708
2 · 3 · 6.65
⇐⇒ β1 = 44.93◦
δ1 = 180◦ − 110◦ − 44.93◦ = 25.07◦

894
Considérons maintenant le triangle BCD :
x2 = BC 2 + CD2 − 2 · BC · CD · cos(γ) ⇐⇒
BC 2 + CD2 − x2 36 + 36 − 44.26
cos(γ) = = = 0.38 ⇐⇒ γ = 67.33◦
2 · BC · CD 2·6·6
180◦ − γ2 180◦ − 67.33◦
Le triangle BCD est isocèle : β2 = δ2 = = = 56.33◦
2 2
≺ (ABC) = β1 + β2 = 101.26◦ ≺ (ADC) = δ1 + δ2 = 81.4◦
1 1
σ(ABD) = · AB · AD · sin(≺ (BAD)) = · 3 · 5 · sin(110◦) = 7.05
2 2
1 1
σ(BCD) = · BC · CD · sin(γ) = · 6 · 6 · sin(67.33◦) = 16.61
2 2
Surface totale : σ(ABD) + σ(BCD) = 23.66

895
Exercice 10.6
Pour déterminer l’altitude du sommet non atteignable C d’une montagne, on fait le choix de
deux points A et B (atteignables) distants de 400 m. On mesure les angles ≺ (BAC) = 35◦,
≺ (ABC) = 110◦ , ainsi que l’angle d’élévation θ = 20◦ sous lequel on voit C depuis A.
Quelle est l’altitude de C si celle de A est de 1000 m ?
896
Corrigé 10.6
γ = 180◦ − 35◦ − 110◦
AC AB
◦
= ◦
⇐⇒
sin(110 ) sin(35 )
sin 110◦
AC = 400 m· = 655.32 m
sin 35◦
◦ h
sin(20 ) = ⇐⇒ h = AC · sin(20◦) = 224.13 m
AC
Altitude de C : 1000 m + 224.13 m = 1224.13 m

897
Exercice 10.7
Pour déterminer l’altitude du sommet C d’une montagne, on fait le choix, dans un plan vertical
contenant C, de deux points A et B distants de 200 m. On mesure les angles ≺ (BAC) = 110◦,
≺ (ABC) = 50◦, ainsi que l’angle δ = 40◦ entre AB et l’horizontale.
Quelle est l’altitude de C si celle de A, extrémité inférieure de la base, est de 800 m ?
898
Corrigé 10.7
≺ (ACB) = 180◦ − 110◦ − 50◦ = 20◦
AC 200
= m ⇐⇒
sin(50◦) sin(20◦)
sin(50◦)
AC = 200 m· ◦
= 447.95 m
sin(20 )
◦ h
sin(30 ) = ⇐⇒ h = 223.97 m
AC
Altitude de C : 800 m + 223.97 m = 1023.97 m

899
Exercice 10.8
Calculer le côté et les angles inconnus d’un triangle ABC, connaissant a = 5 , c = 7 et sachant
de plus que la longueur de la bissectrice issue de B est égale à 4.5.
900
Corrigé 10.8
≺ (ABC) = β = 2 · δ Notons b=AC et x = CD
x BC BC · sin(δ)
= ⇐⇒ sin() = (1)
sin(δ) sin() x
b−x AB AB
= ◦
= ⇐⇒
sin(δ) sin(180 − ) sin()
AB · sin(δ)
sin() = (2)
b−x
BC · sin(δ) AB · sin(δ)
(1) = (2) : =
x b−x
5b 7b
5b − 5x = 7x ⇐⇒ x = et b − x =
12 12
2
2 25b
x = = BC 2 + BD2 − 2 · BC · BD · cos(δ) = 52 + 4.52 − 2 · 5 · 4.5 · cos(δ)
144
b2 45.25 − 45 · cos(δ)
⇐⇒ = (3)
144 25
2 49b2
(b − x) = = AB 2 + BD2 − 2 · AB · BD · cos(δ) = 72 + 4.52 − 2 · 7 · 4.5 · cos(δ)
144
901
b2 69.25 − 63 · cos(δ)
⇐⇒ = (4)
144 49
45.25 − 45 · cos(δ) 69.25 − 63 · cos(δ)
(3) = (4) ⇐⇒ =
25 49
⇐⇒ cos(δ) = 0.77 ⇐⇒ δ = 39.51◦ et β = 2 · δ = 79.035◦
Puis b2 = ... = 60.67 d’où b = 7.79
AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2 · AC · BC · cos(γ) ⇐⇒
AC 2 + BC 2 − AB 2
cos(γ) = = 0.47 ⇐⇒
2 · AC · BC
γ = 61.90◦ et α = 180◦ − γ − β = 180◦ − 61.90◦ − 79.035◦ = 39.06◦

902
Exercice 10.9
Pour connaitre la hauteur d’une tour, depuis un point A vous mesurez l’angle d’élévation (par
rapport à l’horizontale) qui s’avère être de 15◦. Vous reculez ensuite jusqu’à un point B situé à
30 m de A et sur la même ligne horizontale que A et le pied de la tour. Vous mesurez en B le
nouvel angle d’élévation qui est alors de 13◦
Calculer la hauteur de cette tour et la distance entre cette tour et le point A.
903
Corrigé 10.9
On peut facilement calculer que : γ =≺ (ACB) = 2◦
AB x AB · sin(β) 30 · sin(13◦)
= ⇔x= = ◦
m = 193.37 m
sin(γ) sin(β) sin(γ) sin(2 )
h
sin(α) = ⇔ h = x · sin(α) = 50.05 m
x
y
cos(α) = ⇔ y = x · cos(α) = 186.78 m
x
904
Exercice 10.10
Une tour de 50 m de hauteur est située sur le flanc d’une colline. Si depuis le pied de la tour, on
descend de 220 m le long de la colline, on voit la tour sous un angle verticale de 12.5◦.
Calculer l’angle d’inclinaison de la colline par rapport à un plan horizontal.
905
Corrigé 10.10
≺ (BCA) = γ ≺ (CAB) = 12.5◦
BC BA AB · sin(≺ (CAB)) 220 · sin(12.5◦)

= ⇐⇒ sin(γ) = = = 0.95
sin(≺ (CAB)) sin(γ) AB 50
⇐⇒ γ = 72.24◦ ou γ = 180◦ − 72.24◦ = 107.56◦
Mais cette deuxième solution est impossible, car on serait monté le long de la colline dans ce cas.
En considérant le triangle rectangle ADC, on a : α = 90◦ − (γ − 12.5◦) = 5.26◦

906
Exercice 10.11
D’un point A, un pilote parcourt 125 km dans la direction

NO 38◦ jusqu’au point B. Là, il tourne dans l’intention de
revenir vers A. En fait, en raison d’une erreur, il parcourt
125 km dans la direction SE 51◦.
Combien de kilomètres lui reste-t-il à parcourir et dans
quelle direction pour rejoindre A, s’il ne s’aperçoit de son
erreur qu’une fois les 125 km parcourus ?
907
Corrigé 10.11
α = 51◦ − 38◦ = 13◦. Notons AC = x
Le triangle ABC est isocèle, ce qui per-

met de passer par la définition du sinus :
x
α
2 = sin ⇐⇒ x = 28.30 km
AB 2
180◦ − 13◦
Et ≺ (ACB) = = 83.5◦
2
Et la direction à prendre sera SO,

β = 83.5◦ − 38◦ = 45.5◦
908
Exercice 10.12
Un mobile parcourt le trajet ABCD suivant : AB = 30

km, BC = 50 km, CD = 40 km.
On sait de plus que ≺ (ABC) = 110◦ et ≺ (BCD) = 80◦
(voir figure ci-contre).
Calculer la distance à vol d’oiseau entre A et D.
909
Corrigé 10.12
AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 · AB · BC · cos(≺ (ABC))
AC 2 = (302 + 502 − 2 · 30 · 50 · cos(110◦)) km2 = 4426.06 km2 AC = 66.53 km.
AB AC
= ⇐⇒ sin(γ1) = 0.424 ⇐⇒ γ1 = 25.07◦
sin(γ1) sin(≺ (ABC))
(L’autre solution : 180◦ − γ1 est impossible)
γ2 =≺ (BCD) − γ1 = 54.93◦
AD2 = AC 2 + DC 2 − 2 · AC · DC · cos(γ2) = 2967.93 km2 AD = 54.48 km

910
Exercice 10.13
Dans le cadre d’une activité ménagère, vous partez d’un

point A (votre lit), parcourez 20 m en ligne droite, tournez
ensuite de 150◦ vers la droite, parcourez encore 15 m en
ligne droite, tournez de 50◦ vers votre droite et parcourez
10 m en ligne droite. Vous vous trouvez alors en un point
B (votre bureau). Voir le dessin ci-contre.
Quel angle de rotation devez-vous effectuer et quelle dis-
tance devez-vous parcourir pour rejoindre en ligne droite
le point de départ A (retourner au lit) ?
911
Corrigé 10.13
AD2 = AC 2 + CD2 − 2 · AC · CD · cos(≺ (ACD)) =
(202 + 152 − 2 · 20 · 15 · cos(30◦)) m2
= 105.38 m2 AD = 10.26 m
Notons δ1 =≺ (ADC) et δ2 =≺ (ADB)
AC 2 = AD2 + CD2 − 2 · AD · CD · cos(δ1) ⇐⇒
AD2 + CD2 − AC 2 105.38 + 152 − 202

cos(δ1) = = = −0.226
2 · AD · CD 2 · 10.26 · 15
δ1 = 103.06◦ et δ2 = 180◦ − δ1 − 50◦ = 26.93◦
AB 2 = AD2 + BD2 − 2 · AD · BD · cos(δ2) = (105.38 + 102 − 2 · 10.26 · 10 · cos(26.93◦))

m2
912
2
= 22.34 m AD = 4.73 m
AD2 = AB 2 + BD2 − 2 · AB · BD · cos(≺ (ABD)) ⇐⇒
AB 2 + BD2 − AD2 22.34 + 102 − 105.38

cos(≺ (ABD)) = = = 0.179
2 · AB · BD 2 · 4.73 · 10
≺ (ABD) = 79.66◦ et β = 180◦− ≺ (ABD) = 100.33◦

913
Exercice 10.14
Une personne se déplace en ligne droite de A vers B puis

de B vers C, ensuite de C vers D selon les indications
suivantes : la distance entre A et B est de 10 m, celle
entre B et C est de 7m et celle de C et D de 4 m. Arrivée
en B, cette personne fait une rotation de β = 130◦sur elle-
même avant de continuer sa ballade. En C elle en fait une
de γ = 30◦ degrés.
Quelle est la distance entre A et D ?
914
Corrigé 10.14
AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 · AB · BC · cos(α)
AC 2 = (102 + 72 − 2 · 10 · 7 · cos(50◦)) m2 = 59.01 m2
AC = 7.68 m.
AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2 · AC · BC · cos(δ1)
AC 2 + BC 2 − AB 2 59.01 + 72 − 102
cos(δ1) = = = 0.074
2 · AC · BC 2 · 7.68 · 7
δ1 = 87.73◦ et δ2 = 180◦ − δ1 = 94.27◦
AD2 = AC 2 + DC 2 − 2 · AC · BC · cos(γ + δ2) = 109.61 m2
AD = 10.47 m
915
Exercice 10.15
Voici une conversation par natel entre Vincent, alpiniste, et Noé, pilote d’hélicoptère, que Vincent
m’a demandé de vous transmettre. V : Salut Noé, tu me vois ? Contre les rochers devant toi ?
N : Oui, super, comment vas-tu ?
V : J’irais un peu mieux si je n’avais pas un problème avec mon altimètre. Mais tu es mon
sauveur, si tu veux bien m’aider.
N : Bien sûr, si c’est dans mes compétences.
V : Tout à fait. Je te demande de te déplacer et dès que je te le dis, stabilise-toi pour prendre
quelques mesures. Parce que moi, je n’ai pas d’instrument de mesure d’angles, mais je suis
capable, comme le commun des mortels, de mesurer un angle de 45◦ et 15◦. Et, ce qui est bien,
c’est que moi je vois le sommet du Matterhorn, de 4478 m d’altitude sous un angle d’élévation
(par rapport à l’horizontale) de 15◦. Alors, si l’angle que je vois entre ton hélico et le Matterhorn
est de 60 ◦ et que tu me donnes quelques informations d’angles et d’altitudes, je suis sauvé.
Alors, tu es d’accord ? Oui ! Génial, je vois que tu te déplaces déjà dans la bonne direction. Stop.
Voilà. Alors maintenant, donne-moi ton altitude.
N : Mon altimètre me donne une altitude de 4220 m.
V : Et quel angle mesures-tu entre moi et le Matterhorn ?
N : 80◦.
V : Et quand tu regardes le Matterhorn, tu le vois sous quel angle d’élévation (par rapport à
l’horizontale) ?
916
◦
N:6.
V : Voilà, j’ai tout ce qu’il me faut. Il me reste à transmettre ces informations à un élève du
GYB de 2ème et de lui demander de calculer mon altitude. Merci, merci beaucoup Noé.
N : Mais c’était avec plaisir. Tu es sûr d’avoir toutes les informations dont tu as besoin ? Oui ?
Alors, bonne chance.
Voilà. Il vous reste à faire ce que Vincent vous demande pour être sauvé.
917
Corrigé 10.15
h = 4478 m - 4220 m = 258 m
h h
= sin(α) ⇐⇒ x= = 2468.22 m
x sin(α)
x y x · sin(β)
= ⇐⇒ y= = 2806.76m
sin(γ) sin(β) sin(γ)
H
= sin(δ) ⇐⇒ H = y · sin(δ) = 726.44 m
y
Alt. de V. : 4478 m - 726.44 m = 3751.55m

918
Exercice 10.16
Dernièrement, un pilote a eu un problème

d’altimètre, alors il a téléphoné à vous, son
ami(e), et vous a donné les informations sui-
vantes. "Je viens de quitter le sommet d’une
montagne et j’ai déjà parcouru 20 km. De-
puis où je suis maintenant, je vois un autre
sommet que je sais être distant de 35 km
du premier et être à une altutide de 3720
m. Je vois ces deux sommets sous un angle
de 100◦. Je vois ce deuxième sommet sous
un angle d’élévation de 2◦ et je le vois plus
haut que moi. Comme il me faut absolu-
ment connaitre mon altitude actuelle, peux-
tu me faire ce calcul pour moi, vu que je
n’ai pas de calculatrice, mais toi oui." Al-
lez, l’ami(e) de ce pilote, au travail !
919
Corrigé 10.16
b a a · sin(β) 20 · sin(100◦)
= ⇔ sin(α) = = = 0.56 ⇒ α = 34.24◦ et γ = 45.75◦
sin(β) sin(α) b 35
L’autre solution, c-à-d 180◦ − 34.24◦, n’est pas possible, le total des mesures des angles du tri-
angle étant dans ce cas supérieur à 180◦.
c b b · sin(γ) 35 · sin(45.75◦)
= ⇐⇒ c = = ◦
km = 25.45 km
sin(γ) sin(β) sin(β) sin(100 )
h
= sin(δ) ⇐⇒ h = c · sin(δ) = 0.8885 km
c
L’altitude recherchée est donc de : 3720 m - 888.5 m = 2831.5 m

920
Exercice 10.17
Une personne a en sa possession une carte lui indiquant le lieu d’un trésor. Elle se trouve au
point de départ indiqué sur la carte et suit les instructions suivantes :
a) Avancer plein nord, en ligne droite, de 35m.
b) Tourner vers la gauche d’un angle de 65◦.
c) Avancer en ligne droite de 50m.
d) Tourner vers la gauche d’un angle de 110◦.
e) Avancer en ligne droite de 45m.
(a) Faire un dessin représentant la carte.
(b) Quelle est la distance à vol d’oiseau entre le point de départ et le trésor ?
(c) Quelle est la direction à prendre depuis le point de départ pour aller directement au trésor.
921
Corrigé 10.17
(a)
922
2 2 2
(b) x = AB + BC − 2 · AB · BC · cos(≺ (ABC))
x2 = 502 + 352 − 2 · 50 · 35 · cos(115◦) m2 = 5204.16 m2 ⇔ x = 72.14 m.
AB x
=
sin(α) sin(≺ (ABC))
AB · sin(≺ (ABC)) 35 · sin(115◦)
⇔ sin(α) = = = 0.439 ⇔ α = 26.09◦
x 72.14
L’autre solution x = 153.91◦ n’est pas possible.
β =≺ (BCD) − α = 70◦ − 26.06◦ = 43.91◦
d2 = CD2 + x2 − 2 · CD · x · cos(β) = 452 + 72.142 − 2 · 45 · 72.14 · cos(43.9◦) = 2552.27
⇒ d = 50.52 m
923
2 2 2
(c) x = CD + d − 2 · CD · d · cos(δ)
CD2 + d2 − x2 452 + 50.522 − 72.142

⇔ cos(δ) = = = −0.138
2 · CD · d 2 · 45 · 50.52
⇒ δ = 97.93◦ et = 180◦ − β − δ = 38.17◦
De plus γ = 180◦− ≺ (ABC) − α = 38.914◦
Ainsi γ + = 77.08◦
Donc la direction à prendre est : NO 77.08◦

924
5 Solutions
Solution 10.1
1. α = 58.79◦ β = 90.52◦ c= 41.92 σ = 1472.001
2. α = 44.23◦ β = 7.26◦ c= 64.94 σ = 237.366
3. α = 37.95◦ γ = 24.24◦ b= 123.41 σ = 2173.871
4. β = 13.48◦ γ = 23.94◦ a= 87.24 σ = 592.273
5. α = 40.78◦ β = 22.23◦ c= 91.21 σ = 1153.555
6. α = 82.37◦ b= 17.55 c= 13.10 σ = 113.932
7. α = 32.28◦ b= 134.26 c= 66.62 σ = 2388.546
8. α = 7.89◦ γ = 141.46◦ c= 444.95 σ = 11121.631
9. α1 = 60.43◦ γ1 = 80.20◦ c1 = 521.33 σ1 = 76082.695
α2 = 119.57◦ γ2 = 21.06◦ c2 = 190.11 σ2 = 27743.953
10. α = 22.99◦ β = 64.52◦ γ = 92.48◦ σ = 2030.504
11. α = 22.04◦ β = 144.36◦ γ = 13.59◦ σ = 666.453
12. β1 = 24.23◦ γ1 = 135.76◦ c1 = 10.19 σ1 = 10.463
β2 = 155.76◦ γ2 = 4.23◦ c2 = 1.08 σ2 = 1.107
Solution 10.2 r=20.75

Solution 10.4 BC=63.8 BD=25.4 AD = 56.5 AC =88.0
925
◦ ◦ ◦
Solution 10.5 σ = 23.66 β = 101.3 γ = 67.3 δ = 81.4
Solution 10.6 Altitude de C : 1224 m
Solution 10.7 Altitude de C : 1024 m
Solution 10.8 α = 39.1◦ β = 79◦ γ = 61.9◦ b = 7.8
Solution 10.9 Hauteur de la tour : 50.05 m et distance entre la tour et A : 186.78 m
Solution 10.10 5.3◦
Solution 10.11 28.3 km dans la direction SO 45.5◦
Solution 10.13 β = 100.33◦ et d = 4.73 m
Solution 10.14 10.47 m
Solution 10.15 3751.55 m
Solution 10.16 2831.5 m
Solution 10.17 d=50.52 m et NO 77.08◦

Chapitre 11
La division polynomiale
927
1 Introduction
Dans ce chapitre, nous allons étendre la notion de division arithmétique (des nombres entiers
avec reste) aux polynômes.
Exemple
Diviser 177 par 14
1 7 7 14
− (1 4) 12
3 7
− (2 8)
9
On nomme 177 le dividende, 14 le diviseur, 12 le quotient et 9 le reste.
Ainsi, il est possible d’écrire la relation fondamentale suivante :
177 = 14 · 12 + 9
928
2 Division polynomiale
Théorème : Relation arithmétique fondamentale
Dividende = Diviseur · Quotient + Reste
Considérons deux polynômes, le premier, f (x), que nous appellerons le dividende et le second,
g(x), le diviseur.
Grâce à la factorisation des polynômes, nous sommes capables d’effectuer quelques divisions,
comme par exemple :
x4 − x2 − 12 (x2 − 4)(x2 + 3) (x − 2)(x + 2)(x2 + 3)

= = = (x − 2)(x2 + 3)
x+2 x+2 x+2
Cependant, nous ne sommes actuellement pas en mesure d’effectuer la division ci-dessous :
x4 − x2 − 12
x2 + x − 5
Pour y parvenir, nous allons utiliser une procédure (un algorithme) appelée division polyno-
miale.
929
Comme pour la division arithmétique, celle-ci va faire apparaître un quotient et un reste.
L’exemple suivant illustre l’algorithme de la division polynomiale.
Exemple
Effectuons la division du polynôme x4 − x2 − 12 par le polynôme x2 + x − 5
x4 −x2 −12 x2 + x − 5
− (x4 +x3 −5x2) x2 − x + 5
−x3 +4x2
− (−x3 −x2 +5x)
5x2 −5x −12
− (5x2 +5x −25)
−10x +13
Ainsi la division du polynôme x4 − x2 − 12 par le polynôme x2 + x − 5 donne un quotient de

x2 − x + 5 et un reste de −10x + 13.
D’après la relation fondamentale, nous venons donc d’établir l’égalité suivante :

4 2 2
2
x − x − 12 = x + x − 5 x − x + 5 − 10x + 13
930
Théorème : Extension de la relation fondamentale

Soient f (x) et g(x) deux polynômes avec g(x) 6= 0. Alors il existe deux uniques polynômes
q(x) et r(x) tels que :
1) f (x) = g(x) · q(x) + r(x)
2) le degré de r(x) est plus petit que le degré de g(x)
Définition
Le polynôme f (x) est le dividende, g(x) est le diviseur, q(x) est le quotient et r(x) le reste.
De plus, si r(x) = 0, on dit que la division est exacte.
931
3 Critère de divisibilité
Il est possible de déterminer le reste d’une division polynomiale sans effectuer la division en
appliquant le théorème suivant :
Théorème: du reste " degré du polynome g(x) = 1" la + haute puissance est de 1
g(x) = ax + b
Soient f (x) et g(x) deux polynômes tels que deg(g(x)) = 1. On définit c, la solution de
l’équation g(x) = 0. Alors f (c) est le reste de la division de f (x) par g(x).
Démonstration :
En appliquant le point 2 de la relation fondamentale, le degré du reste doit être plus petit que le
degré du diviseur (g(x)) qui peut s’écrire g(x) = a(x − c) où a est une constante. Vu que le degré
de g(x) est égal à 1, le degré du reste doit être nul. Ceci montre que le reste est une constante
(indépendante de la variable x). Dès lors, nous pouvons réécrire la relation fondamentale ainsi :
f (x) = g(x) · q(x) + r(x) = a(x − c) · q(x) + r
Et en évaluant le polynôme en c, nous obtenons :
f (c) = a(c − c) · q(c) + r = 0 · q(c) + r = r

932
Ce qui prouve le théorème.
Exemple
Déterminer le reste de la division du polynôme f (x) = x9 −4x2 +3 par le polynôme g(x) = x+1.
Puisque g(x) est un polynôme de degré 1, nous pouvons appliquer le théorème du reste. Ici
g(x) = x − c = x + 1, d’où c = −1. Ainsi, en évaluant f (−1) :
f (−1) = (−1)9 − 4(−1)2 + 3 = −1 − 4 + 3 = −2

nous pouvons déduire que la division n’est pas exacte, car le reste est égal à -2.
Exemple
Déterminer le reste de la division du polynôme f (x) = x3−4x2+2 par le polynôme g(x) = 2x+1.
Puisque g(x)
estun polynôme de degré 1, nous pouvons appliquer
le théorème du reste. Ici
1 −1 −1
g(x) = 2 x + , d’où c = . Ainsi, en évaluant f :
2 2 2
3 2
−1 −1 −1 −1 7
f = −4 +2= −1+2=
2 2 2 8 8
7
nous pouvons déduire que la division n’est pas exacte, car le reste est égal à .
8
933
Une des principales applications de la division polynomiale est la factorisation de polynômes en
utilisant le théorème suivant.
Théorème: Critère de divisibilité

La division du polynôme f (x) par g(x) = x − c est exacte ⇐⇒ f (c) = 0
Démonstration :
Puisque la division est exacte, le reste est nul. Or d’après le théorème du reste, celui-ci est égal
à f (c). D’où f (c) = 0.
Réciproquement, en appliquant le théorème du reste, la division de f (x) par x − c donne un

reste de f (c), mais vu que f (c) = 0, la division est exacte.
Exemple
x4 − 5x2 + 2
La division est-elle exacte ?
x+4
Ici g(x) = x − c = x + 4, d’où c = −4.
Le reste de la division r = f (−4) = (−4)4 − 5(−4)2 + 2 = 178 ce qui montre que la division
n’est pas exacte.
934
4 Les zéros potentiels

Dans la pratique, il n’est pas toujours aisé de déterminer les racines (aussi appelées zéros)
des polynômes et cette question fut même centrale pendant longtemps en algèbre. Nous savons
aujourd’hui qu’un polynôme de degré n admet n racines, toutefois ces racines ne sont pas toujours
des nombres réels...Mais ceci dépasse le cadre de ce cours et, en ce qui nous concerne, nous nous
concentrerons sur les racines réelles.
Cependant, même en restreignant la recherche des zéros au cas réel, il faut encore en distinguer
trois sortes. En effet parmi les zéros réels figurent les zéros rationnels, parmi lesquels figurent les
zéros entiers.
√ Petit rappel : Z ⊂ Q ⊂ R. Le polynôme x2 +x−1 par exemple admet deux zéros :
−1 ± 5
, lesquels sont réels mais pas rationnels (dans le cas de polynômes de degré 2 nous avons
2
toujours à disposition la formule du discriminant afin de déterminer les éventuels zéros réels).
Dans le cas de polynômes de degré supérieur à 2, la recherche des zéros peut s’avérer délicate,
toutefois, lorsque les coefficients du polynôme sont tous entiers (ou rationnels, moyennant une
multiplication par le ppmc des coefficients on peut les rendre entiers), le théorème suivant nous
renseigne sur les éventuels zéros rationnels.
935
Théorème: Zéros rationnels

Soit f (x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a2x2 + a1x + a0 un polynôme de degré n,
c
où tous les coefficients ai sont entiers. Alors si est un zéro rationnel du polynôme, écrit
d
sous forme irréductible, on a :
1) c est un diviseur de a0 2) d est un diviseur de an
Démonstration :
Supposons que c > 0. (La démonstration pour c < 0 est semblable.) Montrons que c est un
diviseur de a0. Le cas c = 1 est évident, puisque 1 est un diviseur de n’importe quel nombre.
c
Supposons alors c 6= 1. Dans ce cas, 6= 1 car c’est zéro rationnel , écrit sous forme irréductible.
d
La seule possibilité
c serait c = d = 1, mais nous venons de supposer c 6= 1. Ainsi, c 6= 1 et c 6= d.
Puisque f = 0,
d
cn cn−1 c
an · n + an−1 · n−1 + · · · + a1 · + a0 = 0
d d d
En multipliant par dn puis en additionnant −a0dn aux deux membres de l’équation, nous obte-
nons :
ancn + an−1cn−1d + · · · + a1cdn−1 = −a0dn

n−1 n−2 n−1
= −a0dn

c an c + an−1c d + · · · + a1d
936
n
La dernière équation montre que c est un diviseur de l’entier a0d . Or puisque c et d n’ont pas
c
de facteur commun (car la fraction est irréductible), c est un diviseur de a0. On peut montrer
d
de manière semblable que d est un diviseur de an.
Définition
Soit f (x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a2x2 + a1x + a0 un polynôme de degré n,
où tous les coefficients ai sont entiers. On définit l’ensemble des zéros potentiels de f (x)
comme étant
nc o
Zpotentiels = c est un diviseur de a0 et d est un diviseur de an

d
Il découle de cette définition et du théorème précédent que si un polynôme f (x) à coefficients

entiers admet des zéros rationnels, ceux-ci se trouvent dans l’ensemble des zéros potentiels. En
résumé : n c c o
f = 0 ⊂ Zpotentiels

d d
De plus, puisque 1 est toujours un diviseur du coefficient dominant an, nous pouvons facilement
dresser une liste de candidats pour être des zéros entiers.
937
Théorème: (des zéros potentiels)

Soit f (x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a2x2 + a1x + a0 un polynôme de degré n
à coefficients entiers. Alors :
Si an = 1, les zéros potentiels de f (x) sont les diviseurs de a0 :
{Diviseurs de a0} = Zpotentiels
sinon, les diviseurs de a0 font partie des zéros potentiels de f (x) :
{Diviseurs de a0} ⊂ Zpotentiels

938
Exemple
Pour factoriser le polynôme unitaire f (x) = x3 − 7x − 6 on recherche les diviseurs de 6. Les
zéros potentiels sont :
Zpotentiels = {−6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6}
Testons ces zéros potentiels grâce au critère de divisibilité pour en trouver un.
f (1) = 13 − 7 · 1 − 6 = 1 − 7 − 6 = −12 6= 0 ainsi x = 1 n’est pas un zéro du polynôme.
f (2) = 23 − 7 · 2 − 6 = 8 − 14 − 6 = −12 6= 0 ainsi x = 2 n’est pas un zéro du polynôme.
f (3) = 33 − 7 · 3 − 6 = 27 − 21 − 6 = 0. Ainsi x = 3 est un zéro du polynôme.
x3 −7x −6 x−3
− (x3 −3x2) x2 + 3x + 2
3x2 −7x −6
− (3x2 −9x)
2x −6
− (2x −6)
0
En appliquant la relation fondamentale, on obtient x3 − 7x − 6 = (x − 3) · (x2 + 3x + 2) et on
conclut en factorisant le dernier membre x3 − 7x − 6 = (x − 3) · (x + 1) · (x + 2)
939
5 Exercices
Exercice 11.1
Effectuer la division polynomiale du polynôme f (x) par le polynôme g(x) et écrire ensuite
l’égalité fondamentale qui en résulte.
1) f (x) = x3 − 8x2 + 16x + 4 g(x) = x − 5
2) f (x) = x5 − 8x3 + 8x2 − 7x + 6 g(x) = x2 + 3x − 2
3) f (x) = 5x3 − 2x2 + 4x − 4 g(x) = x − 1

940
4) f (x) = 6x5 − x4 − 35x3 + 31x2 − 10x + 6 g(x) = 2x2 − 5x + 2
5) f (x) = 3x4 − 23x3 + 26x2 + 28x − 24 g(x) = x2 − 5x − 6
6) f (x) = −x3 − x2 + 5 g(x) = 2x − 3
7) f (x) = x4 + x3 − 8x2 − 3x + 19 g(x) = −x2 + x + 2
8) f (x) = −2x3 − 3x + 5 g(x) = 3x3 + x2 − 1
9) f (x) = 12x4 + 47x3 + 22x2 − 15x + 11 g(x) = −3x2 − 8x + 3

941
10) f (x) = −4x4 + 2x3 − 7 g(x) = −5
11) f (x) = −4x4 + 8x3 − 7 g(x) = −2x3
12) f (x) = 2x3 + 7x2 + 10x + 8 g(x) = 2x3 + 7x
13) f (x) = 3x2 − 4x + 12 g(x) = 3x2 − 4x + 1
14) f (x) = 4x4 g(x) = 2x2 − 5x + 1

942
15) f (x) = x8 − 1 g(x) = x4 − 1
16) f (x) = x12 − 1 g(x) = x4 − 1
17) f (x) = x12 − 1 g(x) = x8 + x4 + 1
18) f (x) = x5 − 32 g(x) = x − 2
19) f (x) = x4 − a4 g(x) = x − a

943
20) f (x) = x5 + a5 g(x) = x + a
21) f (x) = x4 + a4 g(x) = x + a
5 2 7 1 5 1
22) f (x) = x − x − g(x) = x +
8 12 3 4 2
1 1 3 1
23) f (x) = − x4 + 2x2 − g(x) = x2 +
3 2 2 3
2 4 3 3 1 2 2 3
24) f (x) = x − x + x − x g(x) = − x
5 4 2 3 5
944
Corrigé 11.1
1)
x3 −8x2 +16x +4 x −5
− (x3 −5x2) x2 −3x +1
−3x2 +16x
− (−3x2 +15x)
x +4
− (x −5)
9
3 2 2

Relation fondamentale : x − 8x + 16x + 4 = (x − 5) x − 3x + 1 + 9
945
2)
x5 −8x3 +8x2 −7x +6 x2 +3x −2
− (x5 +3x4 −2x3) x3 −3x2 +3x −7
−3x4 −6x3 +8x2
− (−3x4 −9x3 +6x2)
3x3 +2x2 −7x
− (3x3 +9x2 −6x)
−7x2 −x +6
− (−7x2 −21x +14)
20x −8
5 3 2 2 3 2

Relation fondamentale : x −8x +8x −7x+6 = x + 3x − 2 x − 3x + 3x − 7 +20x−8
946
3)
5x3 −2x2 +4x −4 x −1
− (5x3 −5x2) 5x2 +3x +7
3x2 +4x
− (3x2 −3x)
7x −4
− (7x −7)
+3
3 2 2

Relation fondamentale : 5x − 2x + 4x − 4 = (x − 1) 5x + 3x + 7 + 3
947
4)
6x5 −x4 −35x3 +31x2 −10x +6 2x2 −5x +2
− (6x5 −15x4 +6x3) 3x3 +7x2 −3x +1
14x4 −41x3 +31x2
− (14x4 −35x3 +14x2)
−6x3 +17x2 −10x
− (−6x3 +15x2 −6x)
2x2 −4x +6
− (2x2 −5x +2)
x +4
Relation fondamentale :
5 4 3 2 2 3 2

6x − x − 35x + 31x − 10x + 6 = 2x − 5x + 2 3x + 7x − 3x + 1 + x + 4
948
5)
3x4 −23x3 +26x2 +28x −24 x2 −5x −6
− (3x4 −15x3 −18x2) 3x2 −8x +4
−8x3 +44x2 +28x
− (−8x3 +40x2 +48x)
+4x2 −20x −24
− (4x2 −20x −24)
0
4 3 2 2 2

Relation fondamentale : 3x − 23x + 26x + 28x − 24 = (x − 5x − 6) 3x − 8x + 4
949
6)
−x3 −x2 +5 2x −3
3 3 2 1 2 5 15
− (−x + x ) − x − x −
2 2 4 8
5 2
− x
2
5 2 15
− (− x + x)
2 4
15
− x +5
4
15 45
− (− x + )
4 8
5
−
8
1 5 15 5
Relation fondamentale : −x3 − x2 + 5 = (2x − 3) − x2 − x − −
2 4 8 8
950
7)
x4 +x3 −8x2 −3x +19 −x2 +x +2
− (x4 −x3 −2x2) −x2 −2x +4
2x3 −6x2 −3x
− (2x3 −2x2 −4x)
−4x2 +x +19
− (−4x2 +4x +8)
−3x +11
4 3 2 2 2

Relation fondamentale : x + x − 8x − 3x + 19 = −x + x + 2 −x − 2x + 4 − 3x + 11
8)
−2x3 −3x +5 3x3 + x2 −1
2 2 2
− (−2x3 − x2 + ) −
3 3 3
2 2 13
x −3x +
3 3
3 3 2
2 2 2 13
Relation fondamentale : −2x − 3x + 5 = 3x + x − 1 − + x − 3x +
3 3 3
951
9)
12x4 +47x3 +22x2 −15x +11 −3x2 −8x +3
− (12x4 +32x3 −12x2) −4x2 −5x +2
15x3 +34x2 −15x
− (15x3 +40x2 −15x)
−6x2 +0x +11
− (−6x2 −16x +6)
16x +5
Relation fondamentale :
4 3 2 2 2

12x + 47x + 22x − 15x + 11 = −3x − 8x + 3 −4x − 5x + 2 + 16x + 5
10)
−4x4 +2x3 −7 −5
4 4 2 3 7
− (−4x4) x − x +
5 5 5
+2x3
− (2x3)
−7
− (−7)
0
952
4 4 2 3 7
Relation fondamentale : −4x4 + 2x3 − 7 = (−5) x − x +
5 5 5
11)
−4x4 +8x3 −7 −2x3
− (−4x4) 2x −4
8x3 −7
− (8x3)
−7
4 3 3

Relation fondamentale : −4x + 8x − 7 = −2x (2x − 4) − 7
12)
2x3 +7x2 +10x +8 2x3 +7x
− (2x3 +7x) 1
7x2 +3x +8
Relation fondamentale : 2x + 7x + 10x + 8 = 2x + 7x · 1 + 7x2 + 3x + 8
3 2 3

953
13)
3x2 −4x +12 3x2 −4x +1
− (3x2 −4x +1) 1
11
2 2

Relation fondamentale : 3x − 4x + 12 = 3x − 4x + 1 · 1 + 11
14)
4x4 2x2 −5x +1
23
− (4x4 −10x3 +2x2) 2
2x +5x +
2
10x3 −2x2
− (10x3 −25x2 +5x)
23x2 −5x
115 23
− (23x2 − x + )
2 2
105 23
x −
2 2
23 105 23
Relation fondamentale : 4x4 = 2x2 − 5x + 1 2x2 + 5x +

+ x−
2 2 2
954
15)
x8 −1 x4 −1
− (x8 −x4) x4 +1
x4 −1
− (x4 −1)
0
8 4
4
Relation fondamentale : x − 1 = x − 1 x + 1
16)
x12 −1 x4 −1
− (x12 −x8) x8 +x4 +1
x8 −1
− (x8 −x4)
x4 −1
− (x4 −1)
0
12 4 8 4

Relation fondamentale : x − 1 = x − 1 x +x +1
955
17)
x12 −1 x8 +x4 +1
− (x12 +x8 +x4) x4 −1
−x8 −x4 −1
− (−x8 −x4 −1)
0
12 8 4 4

Relation fondamentale : x − 1 = x + x + 1 x −1
956
18)
x5 −32 x −2
− (x5 −2x4) x4 +2x3 +4x2 +8x +16
2x4
− (2x4 −4x3)
4x3
− (4x3 −8x2)
8x2
− (8x2 −16x)
16x −32
− (16x −32)
0
5 4 3 2

Relation fondamentale : x − 32 = (x − 2) x + 2x + 4x + 8x + 16
957
19)
x4 −a4 x −a
− (x4 −ax3) x3 +ax2 +a2x +a3
ax3
− (ax3 −a2x2)
a2 x2
− (a2x2 −a3x)
a3x −a4
− (a3x −a4)
0
4 4 3 2 2 3

Relation fondamentale : x − a = (x − a) x + ax + a x + a
958
20)
x5 +a5 x +a
− (x5 +ax4) x4 −ax3 +a2x2 −a3x +a4
−ax4
− (−ax4 −a2x3)
a2 x3
− (a2x3 +a3x2)
−a3x2
− (−a3x2 −a4x)
a4x +a5
− (a4x +a5)
0
5 5 4 3 2 2 3 4

Relation fondamentale : x + a = (x + a) x − ax + a x − a x + a
959
21)
x4 +a4 x +a
− (x4 +ax3) x3 −ax2 +a2x −a3
−ax3
− (−ax3 −a2x2)
a2 x2
− (a2x2 +a3x)
−a3x +a4
− (−a3x −a4)
2a4
4 4 3 2 2 3
Relation fondamentale : x + a = (x + a) x − ax + a x − a + 2a4

960
22)
5 2 7 1 5 1
x − x − x +
8 12 3 4 2
5 1 1 2
− ( x2 + x) x −
8 4 2 3
5 1
− x −
6 3
5 1
− (− x − )
6 3
0

5 2 7 1 5 1 1 2
Relation fondamentale : x − x − = x+ x−
8 12 3 4 2 2 3
23)
1 1 3 2 1
− x4 +2x2 − x +
3 2 2 3
1 4 2 2 2 2 112
− (− x − x) − x +
3 27 9 81
56 1
+ x2 −
27 2
56 2 112
− ( x + )
27 243
467
−
961
1 1 3 2 1 2 112 467
Relation fondamentale : − x4 + 2x2 − = x + − x2 + −
3 2 2 3 9 81 486
24)
2 4 3 1 2 3
x − x 3 + x2 − x − x
5 4 2 3 5
2 4 2 3 5 2 5 10
− ( x) − x + x − x +
5 3 4 6 9
3
− x3
4
3 3
− (− x )
4
1 2
x
2
1
− ( x2 )
2
2
− x
3
2
− (− x)
3
0

2 4 3 3 1 2 2 3 2 3 5 2 5 10
Relation fondamentale : x − x + x − x = − x − x + x − x+
5 4 2 3 5 3 4 6 9
962
Exercice 11.2
Montrer que le polynôme f (x) = x5 − 1 est divisible par g(x) = x − 1.

963
Corrigé 11.2
D’après le théorème du reste, il suffit d’évaluer f (1). On obtient f (1) = 15 − 1 = 0. Ce qui

montre que la division est exacte.
964
Exercice 11.3
Montrer que le polynôme f (x) = x6 − 6x5 + 15x4 − 20x3 + 15x2 − 6x + 1 est divisible par
g(x) = x − 1.
965
Corrigé 11.3
D’après le théorème du reste, il suffit d’évaluer f (1). On obtient f (1) = 16 − 6 · 15 + 15 · 14 −

20 · 13 + 15 · 12 − 6 · 1 + 1 = 1 − 6 + 15 − 20 + 15 − 6 + 1 = 0. Ce qui montre que la division est
exacte.
966
Exercice 11.4
Déterminer le reste de la division du polynôme f (x) = 3x100 + 5x85 − 4x38 + 2x17 − 6 par le
polynôme g(x) = x + 1.
967
Corrigé 11.4
D’après le théorème du reste, ce reste est égal à f (−1). On obtient :
f (−1) = 3 · (−1)100 + 5 · (−1)85 − 4 · (−1)38 + 2 · (−1)17 − 6

= 3 · 1 + 5 · (−1) − 4 · 1 + 2 · (−1) − 6
= 3−5−4−2−6
= −14
968
Exercice 11.5
Déterminer le reste de la division du polynôme f (x) par le polynôme g(x) sans effectuer la
division puis en déduire si la division est exacte.
1) f (x) = x3 − 11x2 + 4x + 6 g(x) = x − 1
2) f (x) = 2x4 + 5x3 − 4x2 + 2x + 4 g(x) = x + 2
3) f (x) = x6 + x5 − x4 − x3 g(x) = x + 1
969
4) f (x) = x5 − 6x3 + 5x + 4 g(x) = x + 3
3 2 2
5) f (x) = 5x + 7x − 3x − 11 g(x) = x +
3
6) f (x) = 2x2 − 14x + 11 g(x) = 5x − 2
7) f (x) = 3x4 + 2x3 − 14x + 2 g(x) = 2x + 1
3 3 2 1
8) f (x) = x + x + x g(x) = 2x + 1
2 2
9) f (x) = −2x5 + x3 − x + 1 g(x) = −3x + 2

970
10) f (x) = 3x3 − 4x2 + 5x − 6 g(x) = x
3 3 2 1 1
11) f (x) = x + x + x + 3 g(x) = x + 1
2 2 2
12) f (x) = 5x4 + 6x3 − 5x2 + 4x − 4 g(x) = x + 2
13) f (x) = x4 − 5x3 + 2x2 − 7x + 14 g(x) = x − 2
3 2 1
14) f (x) = 4x − x − 2x + 1 g(x) = x +
2
15) f (x) = −16x3 − 12x2 + 6x − 5 g(x) = 4x + 5

971
16) f (x) = 6x2 − 2x − 28 g(x) = 3x − 7
17) f (x) = −16x2 − 20x + 6 g(x) = 2x + 3
18) f (x) = x5 + 32 g(x) = x + 2
19) f (x) = x6 − a6 g(x) = x − a
20) f (x) = x5 + a5 g(x) = x + a
21) f (x) = x5 − a5 g(x) = x − a

972
22) f (x) = x6 − 12a2x4 − 75a5x − 22a6 g(x) = x + 2a
23) f (x) = 5x4 + 7ax3 − 4a2x2 + 2a3x − 4a4 g(x) = x + 2a
24) f (x) = x3 + (1 − a)x2 − 2x + (a2 − 2a) g(x) = x − a + 2
25) f (x) = −3a5x5 + 2a4x4 + 4a3x3 + 4a2x2 + 5ax g(x) = ax + 1 , a 6= 0
26) f (x) = 3x4 − 8x2 − 3 g(x) = x2 − 3

973
Corrigé 11.5
1) Evaluons f (1) = 13 − 11 · 12 + 4 · 1 + 6 = 1 − 11 + +4 + 6 = 0. Le reste de la division est nul,

ce qui montre que la division est exacte.
2) Evaluons f (−2) = 2 · (−2)4 + 5 · (−2)3 − 4 · (−2)2 + 2 · (−2) + 4 = 32 − 40 − 16 − 4 + 4 = −24.
Le reste de la division est égal à −24, ce qui montre que la division n’est pas exacte.
3) Evaluons f (−1) = (−1)6 + (−1)5 − (−1)4 − (−1)3 = 1 − 1 − 1 + 1 = 0. Le reste de la division
est nul, ce qui montre que la division est exacte.
4) Evaluons f (−3) = (−3)5 − 6 · (−3)3 + 5 · (−3) + 4 = −243 + 162 − 15 + 4 = −92. Le reste
de la division est égal à −92, ce qui montre que la division n’est pas exacte.
2 2 3 2 2 2 40 28 6 40 84
5) Evaluons f (− ) = 5 · (− ) + 7 · (− ) − 3 · (− ) − 11 = − + + − 11 = − + +
3 3 3 3 27 9 3 27 27
54 297 199 199
− = − . Le reste de la division est égal à − , ce qui montre que la division n’est
27 27 27 27
pas exacte.
2 2 2 8 28 8 140 275 143
6) Evaluons f ( ) = 2 · ( )2 − 14 · ( ) + 11 = − + 11 = − + = . Le reste
5 5 5 25 5 25 25 25 25
143
de la division est égal à , ce qui montre que la division n’est pas exacte.
25
974
1 1 1 1 3 2 3 4 144 143
7) Evaluons f (− ) = 3·(− )4 +2·(− )3 −14·(− )+2 = − +7+2 = − + = .
2 2 2 2 16 8 16 16 16 16
143
Le reste de la division est égal à , ce qui montre que la division n’est pas exacte.
16
1 1 3 1 1 1 −1 3 1 −1 3 2
8) Evaluons f (− ) = (− )3 + · (− )2 + · (− ) = + − = + − = 0. Le reste
2 2 2 2 2 2 8 8 4 8 8 8
de la division est nul, ce qui montre que la division est exacte.
2 2 2 2 64 8 2 64 72 162 243 89
9) Evaluons f ( ) = −2·( )5 +( )3 −( )+1 = − + − +1 = − + − + = .
3 3 3 3 243 27 3 243 243 243 243 243
89
243
10) Evaluons f (0) = 3 · 03 − 4 · 02 + 5 · 0 − 6 = −6. Le reste de la division est égal à −6, ce qui
montre que la division n’est pas exacte.
3 3 2 1
11) Evaluons f (−2) = (−2) + · (−2) + · (−2) + 3 = −8 + 6 − 1 + 3 = 0. Le reste de la
2 2
division est nul, ce qui montre que la division est exacte.
12) Evaluons f (−2) = 5 · (−2)4 + 6 · (−2)3 − 5 · (−2)2 + 4 · (−2) − 4 = 80 − 48 − 20 − 8 − 4 = 0.
Le reste de la division est nul, ce qui montre que la division est exacte.
13) Evaluons f (2) = 24 − 5 · 23 + 2 · 22 − 7 · 2 + 14 = 16 − 40 + 8 − 14 + 14 = −16. Le reste de
la division est égal à −16, ce qui montre que la division n’est pas exacte.
975
1 1 1 1 1 1 2 1 8 5
14) Evaluons f (− ) = 4 · (− )3 − (− )2 − 2 · (− ) + 1 = − − + 1 + 1 = − − + = .
2 2 2 2 2 4 4 4 4 4
5
4
5 5 5 5 125 75 30 20
15) Evaluons f (− ) = −16 · (− )3 − 12 · (− )2 + 6 · (− ) − 5 = − − − = 0. Le
4 4 4 4 4 4 4 4
reste de la division est nul, ce qui montre que la division est exacte.
7 7 7 98 14 84
16) Evaluons f ( ) = 6 · ( )2 − 2 · ( ) − 28 = − − = 0. Le reste de la division est nul,
3 3 3 3 3 3
ce qui montre que la division est exacte.
3 3 3
17) Evaluons f (− ) = −16 · (− )2 − 20 · (− ) + 6 = −36 + 30 + 6 = 0. Le reste de la division
2 2 2
est nul, ce qui montre que la division est exacte.
18) Evaluons f (−2) = (−2)5 + 32 = −32 + 32 = 0. Le reste de la division est nul, ce qui montre
que la division est exacte.
19) Evaluons f (a) = a6 − a6 = 0. Le reste de la division est nul, ce qui montre que la division
est exacte.
20) Evaluons f (−a) = (−a)5 + a5 = −a5 + a5 = 0. Le reste de la division est nul, ce qui montre
que la division est exacte.
21) Evaluons f (a) = a5 − a5 = 0. Le reste de la division est nul, ce qui montre que la division
est exacte.
976
6 2 4 5 6 6 6 6 6
22) Evaluons f (−2a) = (−2a) −12a ·(−2a) −75a ·(−2a)−22a = 64a −192a +150a −22a =
0. Le reste de la division est nul, ce qui montre que la division est exacte.
23) Evaluons f (−2a) = 5 · (−2a)4 + 7a · (−2a)3 − 4a2 · (−2a)2 + 2a3 · (−2a) − 4a4 = 80a4 −
56a4 − 16a4 − 4a4 − 4a4 = 0. Le reste de la division est nul, ce qui montre que la division est
exacte.
24) Evaluons f (a−2) = (a−2)3 +(1−a)·(a−2)2 −2·(a−2)+(a2 −2a) = a3 −6a2 +12a−8+(1−a)·
(a2 −4a+4)−2a+4+a2 −2a = a3 −6a2 +12a−8+a2 −4a+4−a3 +4a2 −4a−2a+4+a2 −2a = 0.
Le reste de la division est nul, ce qui montre que la division est exacte.
1 1 1 1 1 1
25) Evaluons f (− ) = −3a5 · (− )5 + 2a4 · (− )4 + 4a3 · (− )3 + 4a2 · (− )2 + 5a · (− ) =
a a a a a a
3 + 2 − 4 + 4 − 5 = 0. Le reste de la division est nul, ce qui montre que la division est exacte.
26) Posons y = x2 ainsi f (y) = 3y 2 − 8y − 3 et g(y) = y − 3. Evaluons f (3) = 3 · 32 − 8 · 3 − 3 =
27 − 24 − 3 = 0. Le reste de la division est nul, ce qui montre que la division est exacte.
977
Exercice 11.6
Déterminer la valeur du paramètre a pour que la division du polynôme f (x) par le polynôme
g(x) soit exacte et en déduire le quotient.
1) f (x) = x2 + ax + 12 g(x) = x − 3
2) f (x) = x2 + ax + 18 g(x) = x + 3
3) f (x) = 3x4 − ax3 + 8x2 − 2ax − 20 g(x) = x − 2
4) f (x) = 8x4 − 3x + a g(x) = 2x − 1
5) f (x) = 2x3 + ax2 + 3x − 1 g(x) = 2x + 1
6) f (x) = 3x2 − 3ax − x + 3a g(x) = x + 1

978
7) f (x) = x4 − ax3 + 3x2 − 2ax − a2 g(x) = x − 2
8) f (x) = x4 − 10x2 − ax + a2 − 1 g(x) = x − 3
9) f (x) = ax5 + 2x4 − 3ax3 + a2x2 + ax − 8 g(x) = x + 1
10) f (x) = x5 − ax3 + ax2 − 7x + 6 g(x) = x2 − 3x + 2
11) f (x) = 3x4 − 23x3 + 6ax2 + 2x2 + 28x − 6a g(x) = x2 − 5x − 6
12) f (x) = 4x4 − 2ax3 − 4x2 + ax + a g(x) = −2x2 + x + 1
13) f (x) = 4x3 + ax2 + x − 1 g(x) = 2x2 + 7x − 4
14) f (x) = 3x3 + ax2 − 59x − 20 g(x) = x2 + x − 20

979
Corrigé 11.6
1) On évalue le dividende f (x) par le zéro du diviseur f (3) = 9 + 3a + 12 = 3a + 21.

La division est exacte si et seulement si le reste est nul, donc si f (3) = 0, c’est-à-dire si 3a+21 = 0.
D’où a = −7. Et on a
x2 −7x +12 x −3
− (x2 −3x) x −4
−4x +12
− (−4x +12)
0
Ainsi le quotient est x − 4.
980
2) On évalue le dividende f (x) par le zéro du diviseur f (−3) = 9 − 3a + 18 = −3a + 27.
La division est exacte si et seulement si le reste est nul, donc si f (−3) = 0, c’est-à-dire si
−3a + 27 = 0. D’où a = 9. Et on a
x2 +9x +18 x +3
− (x2 +3x) x +6
6x +18
− (6x +18)
0
Ainsi le quotient est x + 6.
981
3) On évalue le dividende f (x) par le zéro du diviseur : f (2) = 48−8a+32−4a−20 = −12a+60.
La division est exacte si et seulement si le reste est nul, donc si f (2) = 0, c’est-à-dire si −12a +
60 = 0. D’où a = 5. Et on a
3x4 −5x3 +8x2 −10x −20 x −2

− (3x4 −6x3) 3x3 +x2 +10x +10
x3 +8x2
− (x3 −2x2)
10x2 −10x
− (10x2 −20x)
10x −20
− (10x −20)
0
Ainsi le quotient est 3x3 + x2 + 10x + 10.
982
1 1 1 1 3
4) On évalue le dividende f (x) par le zéro du diviseur : f = 8· −3· +a = − +a =
2 16 2 2 2
−1 + a.
1
La division est exacte si et seulement si le reste est nul, donc si f ( ) = 0, c’est-à-dire si −1+a = 0.
2
D’où a = 1. Et on a
8x4 −3x +1 2x −1
− (8x4 −4x3) 4x3 +2x2 +x −1
4x3
− (4x3 −2x2)
+2x2 −3x
− (2x2 −x)
−2x +1
− (−2x +1)
0
Ainsi le quotient est 4x3 + 2x2 + x − 1.
983
5)On évalue
le dividende f (x) par le zéro du diviseur :
1 −1 1 −1 1 a 6 4 a 11
f − =2· +a· +3· −1=− + − − = −
2 8 4 2 4 4 4 4 4 4
1
La division est exacte si et seulement si le reste est nul, donc si f (− ) = 0, c’est-à-dire si
2
a 11
− = 0. D’où a = 11. Et on a
4 4
2x3 +11x2 +3x −1 2x +1
− (2x3 +x2) x2 +5x −1
10x2 +3x
− (10x2 +5x)
−2x +1
− (−2x +1)
0
Ainsi le quotient est x2 + 5x − 1.
984
6)On évalue le dividende f (x) par le zéro du diviseur : f (−1) = 3 + 3a + 1 + 3a = 6a + 4.
La division est exacte si et seulement si le reste est nul, donc si f (−1) = 0, c’est-à-dire si
2
6a + 4 = 0. D’où a = − . Et on a
3
3x2 +x −2 x +1
− (3x2 +3x) 3x −2
−2x −2
− (−2x −2)
0
Ainsi le quotient est 3x − 2.
985
2
7) On évalue le dividende f (x) par le zéro du diviseur : f (2) = 16 − 8a + 12 − 4a − a =
−a2 − 12a + 28.
La division est exacte si et seulement si f (2) = 0, c’est-à-dire si −a2 − 12a + 28 = 0 ⇐⇒
a2 + 12a − 28 = 0 ⇐⇒ (a − 2)(a + 14) = 0.
Si a = 2, alors
x4 −2x3 +3x2 −4x −4 x −2

− (x4 −2x3) x3 +3x +2
+3x2 −4x
− (3x2 −6x)
2x −4
− (2x −4)
0
Et le quotient est x3 + 3x + 2.
Si a = −14, alors
986
x4 +14x3 +3x2 +28x −196 x −2

− (x4 −2x3) x3 +16x2 +35x +98
16x3 +3x2
− (16x3 −32x2)
35x2 28x
− (35x2 −70x)
98x −196
− (98x −196)
0
Et dans ce cas-là le quotient est x3 + 16x2 + 35x + 98.
987
2 2
8) On évalue le dividende f (x) par le zéro du diviseur : f (3) = 81−90−3a+a −1 = a −3a−10.
La division est exacte ⇐⇒ le reste est nul. Or f (3) = 0 ⇐⇒ a2 −3a−10 = 0 ⇐⇒ (a−5)(a+2) =
0.
Si a = 5, alors
x4 +0x3 −10x2 −5x +24 x −3

− (x4 −3x3) x3 +3x2 −x −8
3x3 −10x2
− (3x3 −9x2)
−x2 −5x
− (−x2 +3x)
−8x +24
− (−8x +24)
0
Et le quotient est x3 + 3x2 − x − 8.
Si a = −2, on obtient
988
x4 +0x3 −10x2 +2x +3 x −3

− (x4 −3x3) x3 +3x2 −x −1
3x3 −10x2
− (3x3 −9x2)
−x2 +2x
− (−x2 +3x)
−x +3
− (−x +3)
0
Et le quotient est x3 + 3x2 − x − 1.
989
2 2
9) f (−1) = −a + 2 + 3a + a − a − 8 = a + a − 6.
Pour que la division soit exacte, il faut que f (−1) = 0, c’est-à-dire
a2 + a − 6 = 0 ⇐⇒ (a − 2)(a + 3) = 0.
Si a = 2, on obtient
2x5 +2x4 −6x3 +4x2 +2x −8 x +1

− (2x5 +2x4) 2x4 −6x2 +10x −8
−6x3 +4x2
− (−6x3 −6x2)
10x2 +2x
− (10x2 +10x)
−8x −8
− (−8x −8)
0
Ainsi le quotient est 2x4 − 6x2 + 10x − 8.
Si a = −3, alors
990
−3x5 +2x4 +9x3 +9x2 −3x −8 x +1

− (−3x5 −3x4) −3x4 +5x3 +4x2 +5x −8
5x4 +9x3
− (5x4 +5x3)
4x3 +9x2
− (4x3 +4x2)
5x2 −3x
− (5x2 +5x)
−8x −8
− (−8x −8)
0
Et dans ce cas le quotient est −3x4 + 5x3 + 4x2 + 5x − 8.
991
2
10) Les zéros du diviseur sont 1 et 2 car x − 3x + 2 = 0 ⇐⇒ (x − 2)(x − 1) = 0.
En évaluant le dividende f (x) par le premier zéro on trouve f (1) = 1 − a + a − 7 + 6 = 0.
Aussi, quelque soit la valeur de a, la division est exacte. (Il n’y a pas de condition pour a avec
x = 1). En évaluant f (x) par le deuxième zéro du diviseur on obtient f (2) = 32−8a+4a−14+6 =
−4a + 24.
La division est exacte si et seulement si le reste est nul c’est-à-dire si f (2) = 0.
Or f (2) = 0 ⇐⇒ −4a + 24 = 0, d’où a = 6. Et on obtient
x5 −6x3 +6x2 −7x +6 +1x2 −3x +2

− (x5 −3x4 +2x3) x3 +3x2 +x +3
3x4 −8x3 +6x2
− (3x4 −9x3 +6x2)
x3 −7x
− (x3 −3x2 +2x)
3x2 −9x +6
− (3x2 −9x +6)
0
Et le quotient est x3 + 3x2 + x + 3.
992
2
11) Les zéro du diviseur sont −1 et 6 car x − 5x − 6 = (x − 6)(x + 1).
On évalue f (x) par le premier zéro du diviseur et on trouve f (−1) = 3+23+6a+2−28−6a = 0.
Et donc quelque soit la valeur de a, la division est exacte. (Il n’y a pas de condition pour a avec
x = −1)
En évaluant f (x) par 6 on obtient f (6) = 3888 − 4968 + 216a + 72 + 168 − 6a = 210a − 840.
Ainsi, la division est exacte si et seulement si 210a − 840 = 0, d’où a = 4. Et la division devient :
3x4 −23x3 +26x2 +28x −24 +1x2 −5x −6

− (3x4 −15x3 −18x2) +3x2 −8x +4
−8x3 +44x2 +28x
− (−8x3 +40x2 +48x)
4x2 −20x −24
− (4x2 −20x −24)
0
Ainsi le quotient est 3x2 − 8x + 4.
993
1
12) Les zéro du diviseur sont − et 1 car −2x2 + x + 1 = (2x + 1)(−x + 1).
2
En évaluant le dividende par le premier zéro du diviseur on trouve f (1) = 4 − 2a − 4 + a + a = 0.
Ainsi, quelle que soit la valeur de a, la division est exacte. (Il n’y a pas de condition pour a avec
x = 1)
Eten évaluant
le dividende par le deuxième zéro du diviseur on obtient
1 1 1 1 −1 1 a 4 −2a 4a 3a − 3
f − = 4 · + 2a · − 4 · + a · +a= + − + + = .
2 16 8 4 2 4 4 4 4 4 4
3a − 3
Donc la division est exacte si et seulement si = 0, d’où a = 1. La division devient
4
4x4 −2x3 −4x2 +x +1 −2x2 +x +1
− (4x4 −2x3 −2x2) −2x2 +1
−2x2 +x +1
− (−2x2 +x +1)
0
Ainsi le quotient est −2x2 + 1.
1 261 1
13) Le diviseur s’annule pour x = −4 et x = , mais f (−4) = 0 pour a = et f =0
2 16 2
pour a = 0. Il n’y a donc pas de a tel que f (x) soit divisible par g(x).
994
14) Le diviseur s’annule pour x = 4 et x = −5, et f (4) = 0 pour a = 4 et f (−5) = 0 également
pour a = 4. Donc a = 4 rend f (x) divisible par g(x) et le quotient vaut alors 3x + 1.
995
Exercice 11.7
Déterminer ϕ et µ pour que la division du polynôme f (x) par le polynôme g(x) soit exacte et
en déduire le quotient.
1) f (x) = x3 + ϕx2 + µx + 6 g(x) = (x − 2) · (x − 3)
2) f (x) = x4 + ϕx3 + 3x2 + 2x + µ g(x) = x · (x + 1)
3) f (x) = x5 + 2x4 + 3x3 + 4x2 + ϕx + µ g(x) = x2 − 5x + 6

996
4) f (x) = 2x4 − 5x3 + ϕx2 − 2x + 4µ g(x) = 2x2 − x − 1
5) f (x) = x4 − x3 + ϕx2 + 2x + µ g(x) = x2 − x − 2
6) f (x) = 2x5 + x4 − x3 + ϕx2 − 5x + µ g(x) = x2 + x − 2
7) f (x) = x3 + ϕx2 − 9x + µ g(x) = (x + 1)2
8) f (x) = 4x4 + ϕx3 + 7x2 + µx + 3 g(x) = 2x2 + x + 1

997
Corrigé 11.7
1) Les zéros du diviseur sont 2 et 3. En évaluant le dividende f (x) par le premier zéro du diviseur
on trouve f (2) = 8 + 4ϕ + 2µ + 6.
Et en évaluant f (x) par 3 on trouve f (3) = 27 + 9ϕ + 3µ + 6.
La division est exacte si et seulement si les restes sont nuls, c’est-à-dire si f (2) = 0 et f (3) = 0.
Les deux équations doivent être satisfaites, ainsi il faut résoudre le système d’équations suivant :
(
8 + 4ϕ + 2µ + 6 = 0
27 + 9ϕ + 3µ + 6 = 0
Que l’on peut ramener au système équivalent suivant :
(
12ϕ + 6µ = −42
18ϕ + 6µ = −66
Ainsi, −6ϕ = 24 et donc ϕ = −4 et on trouve µ = 1. La division devient :
998
x3 −4x2 +x +6 x2 −5x +6
− (x3 −5x2 +6x) x +1
x2 −5x +6
− (x2 −5x +6)
0
Ainsi le quotient est x + 1.
999
2) Les zéros du diviseur sont −1 et 0. En évaluant le dividende par le premier zéro on a f (0) =
0 + 0 + 0 + 0 + µ.
Et en évaluant f (x) par le deuxième zéro on trouve f (−1) = 1 − ϕ + 3 − 2 + µ.
Or la division est exacte si et seulement si les restes sont nuls, d’où le système d’équations
suivant :
(
µ = 0
2−ϕ+µ = 0
Ainsi, µ = 0 et ϕ = 2
x4 +2x3 +3x2 +2x x2 +x

− (x4 +x3) x2 +x +2
x3 +3x2
− (x3 +x2)
+2x2 +2x
− (2x2 +2x)
0
Ainsi le quotient est x2 + x + 2.
1000
2
3) Les zéros du diviseur sont 2 et 3 car x − 5x + 6 = 0 ⇐⇒ (x − 2) · (x − 3) = 0.
En évaluant f (x) en 2 on a f (2) = 32 + 32 + 24 + 16 + 2ϕ + µ, et en évaluant en 3 on obtient
f (3) = 243 + 162 + 81 + 36 + 3ϕ + µ.
La division est donc exacte si et seulement si les restes sont nuls, c’est-à-dire qu’il faut résoudre
le système d’équations suivant :
(
104 + 2ϕ + µ = 0
522 + 3ϕ + µ = 0
On soustrait les deux équations et on obtient :
−418 − ϕ = 0, d’où ϕ = −418 et µ = 732
x5 +2x4 +3x3 +4x2 −418x +732 x2 −5x +6

− (x5 −5x4 +6x3) x3 +7x2 +32x +122
7x4 −3x3 +4x2
− (7x4 −35x3 +42x2)
32x3 −38x2 −418x
− (32x3 −160x2 +192x)
122x2 −610x +732
− (122x2 −610x +732)
0
1001
3 2
Ainsi le quotient est x + 7x + 32x + 122.
1002
1
4) Les zéros du diviseur sont − et 1 car 2x2 − x − 1 = 0 ⇐⇒ (2x + 1) · (x − 1) = 0.
2
1 1 1 −1 1 −1
En évaluant f (x) en − on obtient f − = 2· −5· +ϕ· −2· + 4µ =
2 2 16 8 4 2
1 5 2ϕ 8 32µ
+ + + + et en évaluant f (x) en 1 on a f (1) = 2 − 5 + ϕ − 2 + 4µ. Pour
8 8 8 8 8
que la division soit exacte il faut donc résoudre le système d’équations suivant, où nous avons
préalablement amplifié la première équation par 2 et la seconde par 8 :
(
2ϕ + 8µ − 10 = 0
2ϕ + 32µ + 14 = 0
On soustrait les deux équations est on obtient −24µ − 24 = 0, d’où µ = −1 et ϕ = 9.
2x4 −5x3 +9x2 −2x −4 2x2 −x −1

− (2x4 −x3 −x2) x2 −2x +4
−4x3 +10x2 −2x
− (−4x3 +2x2 +2x)
8x2 −4x −4
− (8x2 −4x −4)
0
Ainsi le quotient est x2 − 2x + 4.
1003
2
5) Les zéros du diviseur sont −1 et 2 car x − x − 2 = 0 ⇐⇒ (x − 2) · (x + 1) = 0.
En évaluant le dividende par le premier zéro on obtient f (−1) = 1 + 1 + ϕ − 2 + µ.
Et en évaluant le dividende par le deuxième zéro on a f (2) = 16 − 8 + 4ϕ + 4 + µ.
Pour que la division soit exacte il faut que les restes soient nuls. Autrement dit, il faut que les
deux équations soient satisfaites simultanément, d’où le système d’équations :
(
ϕ+µ = 0
4ϕ + µ + 12 = 0
En soustrayant les deux équations on obtient −3ϕ − 12 = 0, ainsi ϕ = −4 et µ = 4. L’expression
devient :
x4 −x3 −4x2 +2x +4 x2 −x −2

− (x4 −x3 −2x2) x2 −2
−2x2 +2x +4
− (−2x2 +2x +4)
0
Et donc le quotient vaut x2 − 2.
1004
2
6) Les zéros du diviseur sont −2 et 1 car x + x − 2 = 0 ⇐⇒ (x + 2) · (x − 1) = 0.
En évaluant f (x) en −2 on obtient f (−2) = −64 + 16 + 8 + 4ϕ + 10 + µ et en évaluant le
dividende par le deuxième zéro on a f (1) = 2 + 1 − 1 + ϕ − 5 + µ.
La division est exacte si les restes sont nuls, c’est-à-dire si les deux équations sont satisfaites,
ainsi il faut résoudre le système d’équations suivant :
(
4ϕ + µ − 30 = 0
ϕ+µ−3 = 0
En soustrayant les deux équations on obtient 3ϕ − 27 = 0, d’où ϕ = 9 et µ = −6. L’expression
est alors
2x5 +x4 −x3 +9x2 −5x −6 x2 +x −2

− (2x5 +2x4 −4x3) 2x3 −x2 +4x +3
−x4 +3x3 +9x2
− (−x4 −x3 +2x2)
4x3 +7x2 −5x
− (4x3 +4x2 −8x)
3x2 +3x −6
− (3x2 +3x −6)
0
1005
3 2
Ainsi le quotient est 2x − x + 4x + 3.
1006
7) Le diviseur admet un seul zéro (double) :x = −1. En évaluant le dividende par le seul zéro
du diviseur on trouve f (−1) = −1 + ϕ + 9 + µ.
La division est exacte si et seulement si le reste est nul, ainsi nous obtenons une relation entre
ϕ et µ : µ = −ϕ − 8 que nous substituons dans la division polynomiale :
x3 +ϕx2 −9x −ϕ − 8 x2 +2x +1

− (x3 +2x2 +x) x +(ϕ − 2)
(ϕ − 2)x2 −10x −ϕ − 8
− (ϕ − 2)x2

+2(ϕ − 2)x +(ϕ − 2)
(−10 − 2(ϕ − 2))x −2ϕ − 6
Or pour que la division soit exacte, il faut que le reste soit nul pour tout x ∈ R, ainsi le système
d’équations suivant doit être satisfait :
(
−10 − 2(ϕ − 2) = 0
−2ϕ − 6 = 0
On le simplifie et on obtient :
(
−2ϕ − 6 = 0
−2ϕ − 6 = 0
1007
D’où, ϕ = −3 et µ = −5.
Ainsi le quotient est x + (ϕ − 2) = x − 5.
1008
2
8) Puisque le diviseur 2x + x + 1 n’a pas de zéro, on doit appliquer la division polynomiale
directement
4x4 +ϕx3 +7x2 +µx +3 2x2 +x +1
ϕ−2 5 ϕ−2
− (4x4 +2x3 +2x2) 2x2 + x + −
2 2 4
(ϕ − 2)x3 +5x2 +µx
ϕ−2 2 ϕ−2
− (ϕ − 2)x3 + x + x
2 2
ϕ−2 2 ϕ−2
(5 − )x +(µ − )x +3
2 2
ϕ−2 2 5 ϕ−2 5 ϕ−2
− (5 − )x +( − )x +( − )
2 2 4 2 4
5 ϕ−2 5 ϕ−2
(µ − − )x +(3 − + )
2 4 2 4
Mais pour que la division soit exacte, il faut que le reste soit nul pour tout x ∈ R, ainsi le
système d’équations suivant doit être satisfait :

µ−5−ϕ−2 = 0

2 4
5 ϕ − 2
 3− +
 = 0
2 4
On le simplifie et on obtient :
(
4µ − 10 − ϕ + 2 = 0
12 − 10 + ϕ − 2 = 0
1009
On déduit de la deuxième équation ϕ = 0 et ainsi que µ = 2. Ce qui permet de déterminer le
ϕ−2 5 ϕ−2 −2 5 −2
quotient de la division qui est 2x2 + x+ − = 2x2 + x+ − = 2x2 − x + 3.
2 2 4 2 2 4
1010
Exercice 11.8
Déterminer un polynôme du quatrième degré vérifiant les conditions suivantes :

· il admet x = −2 comme zéro
· il est divisible par le polynôme x + 1
· il admet x comme facteur
· il s’annule en x = 2
· il admet 180 pour reste lorsqu’on le divise par x − 3.
1011
Corrigé 11.8
Nous allons construire un polynôme Q(x) de degré 4 étape par étape :
1) Si Q(x) admet x = −2 comme zéro, il est divisible par x + 2 d’après le théorème du reste et
donc
Q(x) = T (x) · (x + 2) où T (x) est un polynôme de degré 3
2) D’autre part, il est divisible par x + 1 et donc
Q(x) = D(x) · (x + 2) · (x + 1) où D(x) est un polynôme de degré 2
3) Puisqu’il admet x comme facteur, nous pouvons écrire
Q(x) = U (x) · (x + 2) · (x + 1) · x où U (x) est un polynôme de degré 1
4) Si Q(2) = 0, alors Q(x) est divisible par x − 2 et ainsi

1012
Q(x) = c · (x + 2) · (x + 1) · x · (x − 2) où c est un polynôme de degré 0, donc une constante
5) L’évaluation du polynôme en 3 donne 180 :
180 = Q(3) = c · (3 + 2) · (3 + 1) · 3 · (3 − 2) = 60c

Ainsi, c = 3 et le polynôme cherché est Q(x) = 3·(x+2)·(x+1)·x·(x−2) = 3x4 +3x3 −12x2 −12x.
1013
Exercice 11.9
Factoriser les polynômes suivants.

1) 3x3 + 2x2 − 7x + 2
2) x3 − 3x2 + 3x − 2
3) x3 + 2x2 − 5x − 6
4) x4 − 7x3 + 17x2 − 17x + 6
5) x4 + 2x3 − 16x2 − 2x + 15
6) x5 + 3x4 − 16x − 48
7) 6x4 + 13x3 − 13x − 6
8) x4 − 3x3 + 3x2 − 3x + 2
9) 12x3 − 7x2 − 8x + 3
10) 6x4 − 5x3 − 23x2 + 20x − 4
11) 6x4 + 4x3 − 26x2 − 16x + 8
12) 35x4 − 57x3 − 185x2 + 129x − 18
1014
Corrigé 11.9
1) On pose f (x) = 3x3 + 2x2 − 7x + 2 et on recherche un zéro du polynôme en appliquant le

corollaire des zéros potentiels
{−2; −1; 1; 2} ⊂ Zpotentiels

La recherche s’effectue en vérifiant successivement chacun de ces zéros potentiels
f (−1) = −3 + 2 + 7 + 2 = 8 6= 0, donc x = −1 n’est pas un zéro de f (x)
f (1) = 3 + 2 − 7 + 2 = 0, donc x = 1 est un zéro de f (x) et ainsi le polynôme est divisible par
x − 1.
3x3 +2x2 −7x +2 +x −1

− (3x3 −3x2) 3x2 +5x −2
5x2 −7x
− (5x2 −5x)
−2x +2
− (−2x +2)
0
La relation fondamentale est 3x3 + 2x2 − 7x + 2 = (x − 1) · (3x2 + 5x − 2). On termine la
1015
factorisation avec la formule générale du 2ème degré par exemple où
−5 − 7 −12 −5 + 7 1
∆ = 72, x1 = = = −2, x2 = =
6 6 6 3
2 1
Ainsi, 3x + 5x − 2 = 3 · (x + 2) · x − , ce qui permet de conclure :
3

1
f (x) = 3 · (x − 1) · (x + 2) · x −
3
1016
3 2
2) On pose f (x) = x − 3x + 3x − 2 et on recherche un zéro du polynôme en appliquant le
Zpotentiels = {−2; −1; 1; 2}
On vérifie successivement chaque zéro potentiel
f (1) = 1 − 3 + 3 − 2 = −1 6= 0, d’où x = 1 n’est pas un zéro de f (x)
f (−1) = −1 − 3 − 3 − 2 = −9 6= 0, d’où x = −1 n’est pas un zéro de f (x)
f (2) = 8 − 12 + 6 − 2 = 0, ainsi x = 2 est un zéro de f (x) et donc le polynôme est divisible par
x − 2.
x3 −3x2 +3x −2 x −2
− (x3 −2x2) x2 −x +1
−x2 +3x
− (−x2 +2x)
x −2
− (x −2)
0
La relation fondamentale est f (x) = x3 − 3x2 + 3x − 2 = (x − 2) · (x2 − x + 1) et la factorisation
est terminée car la deuxième parenthèse n’est pas factorisable vu que ∆ = −3. Ainsi on a
f (x) = (x − 2) · (x2 − x + 1)
1017
3 2
3) On pose f (x) = x + 2x − 5x − 6 et on recherche un zéro du polynôme en appliquant le
Zpotentiels = {−6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6}

f (1) = 1 + 2 − 5 − 6 = −8 6= 0, d’où x = 1 n’est pas un zéro de f (x)
f (2) = 8 + 8 − 10 − 6 = 0, ainsi x = 2 est un zéro de f (x) et donc il est divisible par x − 2.
x3 +2x2 −5x −6 x −2
− (x3 −2x2) x2 +4x +3
4x2 −5x
− (4x2 −8x)
3x −6
− (3x −6)
0
La relation fondamentale est f (x) = x3 + 2x2 − 5x − 6 = (x − 2) · (x2 + 4x + 3).
De plus, x2 + 4x + 3 = (x + 1) · (x + 3) et nous pouvons écrire
f (x) = (x − 2) · (x + 1) · (x + 3)
1018
4 3 2
4) On pose f (x) = x − 7x + 17x − 17x + 6 et on recherche un zéro du polynôme en appliquant
le corollaire des zéros potentiels
Zpotentiels = {−6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6}

f (1) = 1 − 7 + 17 − 17 + 6 = 0 et donc x = 1 est un zéro de f (x) lequel se divise alors par x − 1.
x4 −7x3 +17x2 −17x +6 x −1

− (x4 −1x3) x3 −6x2 +11x −6
−6x3 +17x2
− (−6x3 +6x2)
− (11x2 −11x)
−6x +6
− (−6x +6)
0
La relation fondamentale est x4 − 7x3 + 17x2 − 17x + 6 = (x − 1) · (x3 − 6x2 + 11x − 6) et on
factorise le second facteur en utilisant la même méthode que précédemment.
1019
On recherche un zéro du second facteur, noté g(x), en appliquant le corollaire des zéros potentiels
Zpotentiels = {−6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6}

g(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0, donc x = 1 est un zéro de g(x) lequel se divise alors par x − 1.
x3 −6x2 +11x −6 x −1
− (x3 −x2) x2 −5x +6
−5x2 +11x
− (−5x2 +5x)
6x −6
− (6x −6)
0
Ici, la relation fondamentale est x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1) · (x2 − 5x + 6) et puisque
x2 − 5x + 6 = (x − 3) · (x − 2) nous pouvons exprimer la factorisation du polynôme initial
f (x) = (x − 1) · (x3 − 6x2 + 11x − 6) = (x − 1) · (x − 1) · (x2 − 5x + 6) = (x − 1)2 · (x − 3) · (x − 2)

1020
4 3 2
5) On pose f (x) = x + 2x − 16x − 2x + 15 et on recherche un zéro du polynôme en appliquant
Zpotentiels = {−15; −5; −3; −1; 1; 3; 5; 15}

On recherche un zéro en vérifiant successivement chaque zéro potentiel
f (1) = 1 + 2 − 16 − 2 + 15 = 0, donc x = 1 est un zéro de f (x) et le polynôme est divisible par
x − 1.
x4 +2x3 −16x2 −2x +15 x −1

− (x4 −1x3) x3 +3x2 −13x −15
3x3 −16x2
− (3x3 −3x2)
−13x2 −2x
− (−13x2 +13x)
−15x +15
− (−15x +15)
0
La relation fondamentale est f (x) = x4 +2x3 −16x2 −2x+15 = (x−1)·(x3 +3x2 −13x−15) et on
factorise la deuxième parenthèse, disons g(x), en utilisant la même méthode que précédemment.
1021
On recherche un zéro de g(x) en appliquant le corollaire des zéros potentiels
Zpotentiels = {−15; −5; −3; −1; 1; 3; 5; 15}
On recherche un zéro en vérifiant successivement chaque zéro potentiel

g(1) = 1 + 3 − 13 − 15 = −24 6= 0, d’où x = 1 n’est pas un zéro de g(x)
g(−1) = −1 + 3 + 13 − 15 = 0, ainsi x = −1 est un zéro de g(x), lequel est donc divisible par
x + 1.
x3 +3x2 −13x −15 x +1

− (x3 +1x2) x2 +2x −15
2x2 −13x
− (2x2 +2x)
−15x −15
− (−15x −15)
0
La relation fondamentale, appliquée à g(x), est x3 + 3x2 − 13x − 15 = (x + 1) · (x2 + 2x − 15).
Finalement, puisque x2 + 2x − 15 = (x − 3) · (x + 5), on peut exprimer la factorisation du
polynôme initial
f (x) = (x−1)·(x3 +3x2 −13x−15) = (x−1)·(x+1)·(x2 +2x−15) = (x−1)·(x+1)·(x−3)·(x+5)

1022
6) On pose f (x) = x5 + 3x4 − 16x − 48 et on remarque que le polynôme est factorisable

par la méthode des groupements
f (x) = x5 + 3x4 − 16x − 48 = x4(x + 3) − 16(x + 3) = (x + 3) · (x4 − 16)
On factorise la deuxième parenthèse en utilisant le troisième produit remarquable et on conclut
f (x) = (x + 3) · (x4 − 16) = (x + 3) · (x2 − 4) · (x2 + 4) = (x + 3) · (x − 2) · (x + 2) · (x2 + 4)

1023
4 3
7) On pose f (x) = 6x + 13x − 13x − 6 et on recherche un zéro du polynôme en appliquant le
{−6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6} ⊂ Zpotentiels

f (1) = 6 + 13 − 13 − 6 = 0, ainsi x = 1 est un zéro de f (x) et donc le polynôme est divisible
par x − 1.
6x4 +13x3 −13x −6 x −1

− (6x4 −6x3) 6x3 +19x2 +19x +6
19x3
− (19x3 −19x2)
19x2 −13x
− (19x2 −19x)
6x −6
− (6x −6)
0
La relation fondamentale est f (x) = 6x4 + 13x3 − 13x − 6 = (x − 1) · (6x3 + 19x2 + 19x + 6). On
factorise le second facteur, disons g(x), en utilisant la même méthode que précédemment, donc
on recherche un zéro de g(x) en appliquant le corollaire des zéros potentiels
1024
{−15; −5; −3; −1; 1; 3; 5; 15} ⊂ Zpotentiels

g(1) = 6 + 19 + 19 + 6 = 50 6= 0, d’où x = 1 n’est pas un zéro de g(x)
g(−1) = −6 + 19 − 19 + 6 = 0, on a trouvé un zéro de g(x), ainsi le polynôme est divisible par
x + 1.
6x3 +19x2 +19x +6 x +1

− (6x3 +6x2) 6x2 +13x +6
13x2 +19x
− (13x2 +13x)
6x +6
− (6x +6)
0
La relation fondamentale, appliquée à g(x), s’écrit 6x3 +19x2 +19x+6 = (x+1)·(6x2 +13x+6).
Pour finir la factorisation, il reste à factoriser la deuxième parenthèse avec la formule générale
du 2ème degré
2 −13 − 5 −3 −13 + 5 −2
∆ = 5 , x1 = = , x2 = =
12 2 12 3
1025
3 2
Ainsi, 6x2 + 13x + 6 = 6 · (x + ) · (x + )
2 3
ce qui permet de conclure et d’exprimer la factorisation du polynôme
f (x) = (x − 1) · (6x3 + 19x2 + 19x + 6) = (x − 1) · (x + 1) · (6x2 + 13x + 6)

3 2
= 6 · (x − 1) · (x + 1) · x + · x+
2 3
1026
4 3 2
le corollaire des zéro potentiels
Zpotentiels = {−2; −1; 1; 2}

Puisque f (1) = 1 − 3 + 3 − 3 + 2 = 0, x = 1 est un zéro de f (x), lequel se divise alors par x − 1.
x4 −3x3 +3x2 −3x +2 x −1

− (x4 −1x3) x3 −2x2 +x −2
−2x3 +3x2
− (−2x3 +2x2)
x2 −3x
− (x2 −x)
−2x +2
− (−2x +2)
0
La relation fondamentale est f (x) = x4 − 3x3 + 3x2 − 3x + 2 = (x − 1) · (x3 − 2x2 + x − 2).
On factorise la deuxième parenthèse en utilisant la méthode par groupements ce qui permet de
conclure
f (x) = (x − 1) · (x3 − 2x2 + x − 2) = (x − 1) · (x2 · (x − 2) + 1 · (x − 2)) = (x − 1) · (x − 2)(x2 + 1)

1027
3 2
9) On pose f (x) = 12x − 7x − 8x + 3 et on recherche un zéro du polynôme en se basant sur
{−3; −1; 1; 3} ⊂ Zpotentiels

Puisque f (1) = 12 − 7 − 8 + 3 = 0, x = 1 est un zéro de f (x), lequel se divise alors par x − 1.
12x3 −7x2 −8x +3 x −1

− (12x3 −12x2) 12x2 +5x −3
5x2 −8x
− (5x2 −5x)
−3x +3
− (−3x +3)
0
La relation fondamentale est f (x) = 12x3 − 7x2 − 8x + 3 = (x − 1) · (12x2 + 5x − 3)
Pour finir la factorisation, il reste à factoriser la deuxième parenthèse avec la formule générale
du 2ème degré
2 −5 − 13 −3 −5 + 13 1
∆ = 13 , x1 = = , x2 = =
24 4 24 3
1028
3 1
Ainsi, 12x2 + 5x − 3 = 12 · (x + ) · (x − )
4 3
Ce qui permet de conclure et d’exprimer la factorisation du polynôme

2 3 1
f (x) = (x − 1) · (12x + 5x − 3) = 12 · (x − 1) · x + · x−
4 3
1029
4 3 2
10) On pose f (x) = 6x −5x −23x +20x−4 et on recherche un zéro du polynôme en appliquant
{−4; −2; −1; 1; 2; 4} ⊂ Zpotentiels

Puisque f (1) = 6 − 5 − 23 + 20 − 4 = −6 6= 0, x = 1 n’est pas un zéro de f (x)
Puisque f (−1) = 6 + 5 − 23 − 20 − 4 = −36 6= 0, x = −1 n’est pas un zéro de f (x)
Puisque f (2) = 96 − 40 − 92 + 40 − 4 = 0, x = 2 est un zéro de f (x), lequel se divise alors par
x − 2.
6x4 −5x3 −23x2 +20x −4 x −2

− (6x4 −12x3) 6x3 +7x2 −9x +2
7x3 −23x2
− (7x3 −14x2)
−9x2 +20x
− (−9x2 +18x)
2x −4
− (2x −4)
0
La relation fondamentale est f (x) = 6x4 − 5x3 − 23x2 + 20x − 4 = (x − 2) · (6x3 + 7x2 − 9x + 2).
1030
On factorise le second facteur, disons g(x), en utilisant la même méthode que précédemment.
{−2; −1; 1; 2} ⊂ Zpotentiels

g(2) = 48 + 28 − 18 + 2 = 60 6= 0, donc x = 1 n’est pas un zéro de g(x)
Puisque g(−2) = −48 + 28 + 18 + 2 = 0, x = −2 est un zéro de g(x), lequel se divise alors par
x + 2.
6x3 +7x2 −9x +2 x +2

− (6x3 +12x2) 6x2 −5x +1
−5x2 −9x
− (−5x2 −10x)
x +2
− (x +2)
0
La relation fondamentale est 6x3 + 7x2 − 9x + 2 = (x + 2) · (6x2 − 5x + 1) et on factorise
la deuxième parenthèse à l’aide de la formule de résolution d’une équation du second degré :
6x2 − 5x + 1 = (2x − 1) · (3x − 1).
f (x) = (x−2)·(6x3 +7x2 −9x+2) = (x−2)·(x+2)·(6x2 −5x+1) = (x−2)·(x+2)·(2x−1)·(3x−1)

1031
4 3 2
11) On pose f (x) = 6x +4x −26x −16x+8 et on recherche un zéro du polynôme en appliquant
{−8; −4; −2; −1; 1; 2; 4; 8} ⊂ Zpotentiels

f (1) = 6 + 4 − 26 − 16 + 8 = −24 6= 0, donc x = 1 n’est pas un zéro de f (x)
f (−1) = +6 − 4 − 26 + 16 + 8 = 0, donc on a trouvé un zéro de f (x), ainsi le polynôme est
divisible par x + 1.
6x4 +4x3 −26x2 −16x +8 x +1

− (6x4 +6x3) 6x3 −2x2 −24x +8
−2x3 −26x2
− (−2x3 −2x2)
−24x2 −16x
− (−24x2 −24x)
8x +8
− (8x +8)
0
La relation fondamentale s’écrit f (x) = 6x4 +4x3 −26x2 −16x+8 = (x+1)·(6x3 −2x2 −24x+8).
1032
On factorise la deuxième parenthèse en utilisant la méthode par groupements, suivie d’un produit
remarquable, ce qui permet de conclure
f (x) = (x + 1) · (6x3 − 2x2 − 24x + 8)

= (x + 1) · (2x2 · (3x − 1) − 8 · (3x − 1))
= (x + 1) · (3x − 1) · (2x2 − 8)
= (x + 1) · (3x − 1) · 2 · (x2 − 4)
= 2 · (x + 1) · (3x − 1) · (x − 2) · (x + 2)
1033
4 3 2
12) On pose f (x) = 35x − 57x − 185x + 129x − 18 et on recherche un zéro du polynôme en
appliquant le corollaire des zéros potentiels
{−18; −9; −6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6; 9; 18} ⊂ Zpotentiels
f (1) = 35 − 57 − 185 + 129 − 18 = −96 6= 0, donc x = 1 n’est pas un zéro de f (x)

f (−1) = 35 + 57 − 185 − 129 − 18 = −240 6= 0, donc x = −1 n’est pas un zéro de f (x)
f (2) = 560 − 456 − 740 + 258 − 18 = −396 6= 0, donc x = 2 n’est pas un zéro de f (x)
Puisque f (−2) = 560 + 456 − 740 − 258 − 18 = 0, on a trouvé un zéro de f (x), ainsi le polynôme
est divisible par x + 2.
35x4 −57x3 −185x2 +129x −18 x +2

− (35x4 +70x3) 35x3 −127x2 +69x −9
−127x3 −185x2
− (−127x3 −254x2)
69x2 +129x
− (69x2 +138x)
−9x −18
− (−9x −18)
0
Ainsi : f (x) = 35x4 − 57x3 − 185x2 + 129x − 18 = (x + 2) · (35x3 − 127x2 + 69x − 9)
1034
On factorise ensuite le second facteur, g(x), en utilisant la même méthode que précédemment,
c’est-à-dire que l’on recherche un zéro en appliquant le corollaire des zéros potentiels
{−9; −3; −1; 1; 3; 9} ⊂ Zpotentiels

g(3) = 48 + 28 − 18 + 2 = 60 6= 0, donc x = 1 n’est pas un zéro de g(x)
g(3) = 2835 − 1539 − 1665 + 387 − 18 = 0, donc on a trouvé un zéro de g(x), ainsi le polynôme
est divisible par x − 3.
35x3 −127x2 +69x −9 x −3

− (35x3 −105x2) 35x2 −22x +3
−22x2 +69x
− (−22x2 +66x)
3x −9
− (3x −9)
0
La relation fondamentale, appliquée à g(x), s’écrit 35x3 − 127x2 + 69x − 9 = (x − 3) · (35x2 −
22x + 3).
1035
Pour terminer la factorisation, il reste à factoriser la deuxième parenthèse avec la formule générale
du 2ème degré
+22 − 8 1 +22 + 8 3
∆ = 82, x1 = = , x2 = =
70 5 70 7
2 1 3
Ainsi, 35x − 22x + 3 = 35 · (x − ) · (x − )
5 7
Ce qui permet de conclure et d’exprimer la factorisation du polynôme
f (x) = (x + 2) · (35x3 − 127x2 + 69x − 9)

2
= (x + 2) · (x − 3) · (35x − 22x+ 3)

1 3
= 35 · (x + 2) · (x − 3) · x − · x−
5 7
1036
Exercice 11.10
Résoudre les équations suivantes et donner l’ensemble des solutions de chacune d’elles.
1) 2x3 + x2 − 7x − 6 = 0
2) x4 + 2x3 − 4x2 − 5x − 6 = 0
3) x3 + 3x2 − 16x − 48 = 0
4) x3 + 5x2 − 8x − 48 = 0
5) x3 − 9x2 + 23x − 15 = 0
6) x4 − 7x3 + 18x2 − 20x + 8 = 0
7) x3 − 9x2 + 26x − 24 = 0
1037
3 2
8) x − 8x + 19x − 12 = 0
9) x5 − 4x4 + 8x3 − 16x2 + 16x = 0
10) 35x3 + 47x2 + 13x + 1 = 0
11) 6x3 − 17x2 + 14x − 3 = 0
12) 3x6 − 5x5 − 19x4 + 20x3 + 28x2 = 0

1038
Corrigé 11.10
1) On pose f (x) = 2x3 + x2 − 7x − 6 et on recherche un zéro du polynôme en appliquant le

{−6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6} ⊂ Zpotentiels

f (1) = 2 + 1 − 7 − 6 = −10 6= 0, donc x = 1 n’est pas un zéro de f (x)
f (−1) = −2 + 1 + 7 − 6 = 0, ainsi x = −1 est un zéro de f (x), lequel se divise par x + 1.
2x3 +1x2 −7x −6 x +1

− (2x3 +2x2) 2x2 −1x −6
−x2 −7x
− (−x2 −x)
−6x −6
− (−6x −6)
0
La relation fondamentale s’écrit f (x) = 2x3 + x2 − 7x − 6 = (x + 1) · (2x2 − x − 6) et on applique
formule du discriminant sur le deuxième facteur
1039
1 − 7 −3 1+7
∆ = 72, x1 = = , x2 = =2
4 2 4
−3
ce qui permet de déterminer l’ensemble des solutions de l’équation S = ; −1; 2
2
1040
4 3 2
2) On pose f (x) = x + 2x − 4x − 5x − 6 et on recherche un zéro du polynôme en appliquant
Zpotentiels = {−6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6}

f (1) = 1 + 2 − 4 − 5 − 6 = −12 6= 0, donc x = 1 n’est pas un zéro de f (x)
f (−1) = 1 − 2 − 4 + 5 − 6 = −12 6= 0, donc x = −1 n’est pas un zéro de f (x)
f (2) = 16 + 16 − 16 − 10 − 6 = 0, donc on a trouvé un zéro de f (x), lequel est alors divisible
par x − 2.
x4 +2x3 −4x2 −5x −6 x −2

− (x4 −2x3) x3 +4x2 +4x +3
4x3 −4x2
− (4x3 −8x2)
4x2 −5x
− (4x2 −8x)
3x −6
− (3x −6)
0
La relation fondamentale s’écrit f (x) = x4 + 2x3 − 4x2 − 5x − 6 = (x − 2) · (x3 + 4x2 + 4x + 3)
1041
et on factorise le second facteur, disons g(x), en recherchant un zéro potentiel de g(x)
Zpotentiels = {−3; −1; 1; 3}

g(3) = 27 + 36 + 12 + 3 = 78 6= 0, donc x = 3 n’est pas un zéro de g(x)
g(−3) = −27 + 36 − 12 + 3 = 0, donc on a trouvé un zéro de g(x) lequel se divise alors par x + 3.
x3 +4x2 +4x +3 x +3
− (x3 +3x2) x2 +x +1
x2 +4x
− (x2 +3x)
x +3
− (x +3)
0
La nouvelle relation fondamentale s’écrit x3 +4x2 +4x+3 = (x+3)·(x2 +x+1) et la factorisation
est terminée car la deuxième parenthèse n’est pas factorisable vu que ∆ = −3. Ceci permet de
déterminer l’ensemble des solutions de l’équation S = {−3; 2}
1042
3 2
3) On pose f (x) = x + 3x − 16x − 48 et on remarque que le polynôme est décomposable par
groupements
f (x) = x3 + 3x2 − 16x − 48 = x2(x + 3) − 16(x + 3) = (x + 3) · (x2 − 16).
On factorise ensuite la deuxième parenthèse à l’aide d’une identité remarquable
f (x) = (x + 3) · (x2 − 16) = (x + 3) · (x − 4) · (x + 4)
ce qui permet de déterminer l’ensemble des solutions de l’équation
S = {−4; −3; 4}
1043
3 2
4) On pose f (x) = x + 5x − 8x − 48 et on recherche un zéro du polynôme en appliquant le
Zpotentiels = {−48; −24; −16; −12; −8; −6; −4; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6; 8; 12; 16; 24; 48}

f (−1) = −1 + 5 + 8 − 48 = −36 6= 0, donc x = −1 n’est pas un zéro de f (x)
f (−2) = −8 + 20 + 16 − 48 = −20 6= 0, donc x = −2 n’est pas un zéro de f (x)
f (3) = 27 + 45 − 24 − 48 = 0, donc 3 est un zéro de f (x) et le polynôme est divisible par x − 3.
x3 +5x2 −8x −48 x −3

− (x3 −3x2) x2 +8x +16
8x2 −8x
− (8x2 −24x)
16x −48
− (16x −48)
0
La relation fondamentale s’écrit f (x) = x3 + 5x2 − 8x − 48 = (x − 3) · (x2 + 8x + 16) et puisque
1044
3 2 2
x + 5x − 8x − 48 = (x − 3) · (x + 4) , l’ensemble des solutions de l’équation est
S = {−4; 3}
1045
3 2
Zpotentiels = {−15; −5; −3; −1; 1; 3; 5; 15}

f (1) = 1 − 9 + 23 − 15 = 0, donc on a trouvé un zéro de f (x) et le polynôme est divisible par
x − 1.
x3 −9x2 +23x −15 x −1

− (x3 −x2) x2 −8x +15
−8x2 +23x
− (−8x2 +8x)
15x −15
− (15x −15)
0
La relation fondamentale s’écrit f (x) = x3 − 9x2 + 23x − 15 = (x − 1) · (x2 − 8x + 15) et puisque
(x − 1) · (x2 − 8x + 15) = (x − 1) · (x − 3) · (x − 5), on déduit l’ensemble des solutions de l’équation
S = {1; 3; 5}
1046
4 3 2
Zpotentiels = {−8; −4; −2; −1; 1; 2; 4; 8}

f (1) = 1 − 7 + 18 − 20 + 8 = 0, ainsi x = 1 est un zéro de f (x) et le polynôme est divisible par
x − 1.
x4 −7x3 +18x2 −20x +8 x −1

− (x4 −x3) x3 −6x2 +12x −8
−6x3 +18x2
− (−6x3 +6x2)
12x2 −20x
− (12x2 −12x)
−8x +8
− (−8x +8)
0
La relation fondamentale s’écrit f (x) = x4 − 7x3 + 18x2 − 20x + 8 = (x − 1) · (x3 − 6x2 + 12x − 8)
et on factorise le second facteur, g(x), en utilisant la même méthode que précédemment.
1047
Zpotentiels = {−8; −4; −2; −1; 1; 2; 4; 8}
g(1) = 1 − 6 + 12 − 8 = −1 6= 0, donc x = 1 n’est pas un zéro de g(x)

g(−1) = −1 − 6 − 12 − 8 = −27 6= 0, donc x = −1 n’est pas un zéro de g(x)
g(2) = 8 − 24 + 24 − 8 = 0, donc x = 2 est un zéro de g(x) lequel se divise alors par x − 2.
x3 −6x2 +12x −8 x −2
− (x3 −2x2) x2 −4x +4
−4x2 +12x
− (−4x2 +8x)
4x −8
− (4x −8)
0
La relation fondamentale s’écrit x3 − 6x2 + 12x − 8 = (x − 2) · (x2 − 4x + 4) et puisque
(x2 − 4x + 4) = (x − 2)2 l’ensemble des solutions de l’équation est
S = {1; 2}
1048
3 2
Zpotentiels = {−24; −12; −8; −6; −4; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6; 8; 12; 24}
f (1) = 1 − 9 + 26 − 24 = −6 6= 0, donc x = 1 n’est pas un zéro de f (x)

f (−1) = −1 − 9 − 26 − 24 = −58 6= 0, donc x = −1 n’est pas un zéro de f (x)
f (2) = 8 − 36 + 52 − 24 = 0, donc a trouvé un zéro de f (x) et le polynôme est divisible par
x − 2.
x3 −9x2 +26x −24 x −2

− (x3 −2x2) x2 −7x +12
−7x2 +26x
− (−7x2 +14x)
12x −24
− (12x −24)
0
La relation fondamentale s’écrit f (x) = x3 − 9x2 + 26x − 24 = (x − 2) · (x2 − 7x + 12) et on
remarque que la deuxième parenthèse est un trinôme unitaire
f (x) = (x − 2) · (x2 − 7x + 12) = (x − 2) · (x − 3) · (x − 4)
1049
S = {2; 3; 4}
1050
3 2
Zpotentiels = {−12; −6; −4; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6; 12}

f (1) = 1 − 8 + 19 − 12 = 0, donc on a trouvé un zéro de f (x) et le polynôme est divisible par
x − 1.
x3 −8x2 +19x −12 x −1

− (x3 −1x2) x2 −7x +12
−7x2 +19x
− (−7x2 +7x)
12x −12
− (12x −12)
0
La relation fondamentale s’écrit f (x) = x3 − 8x2 + 19x − 12 = (x − 1) · (x2 − 7x + 12) et on
remarque que la deuxième parenthèse est un trinôme unitaire
f (x) = (x − 1) · (x2 − 7x + 12) = (x − 1) · (x − 3) · (x − 4)
1051
S = {1; 3; 4}
1052
5 4 3 2
9) On pose f (x) = x − 4x + 8x − 16x + 16x et on remarque qu’il est possible de placer x en
évidence.
f (x) = x5 − 4x4 + 8x3 − 16x2 + 16x = x · (x4 − 4x3 + 8x2 − 16x + 16)
On recherche un zéro de la parenthèse en appliquant le corollaire des zéros potentiels
Zpotentiels = {−16; −8; −4; −2; −1; 1; 2; 4; 8; 16}

f (1) = 1 − 4 + 8 − 16 + 16 = 5 6= 0, donc x = 1 n’est pas un zéro de f (x)
f (−1) = 1 + 4 + 8 + 16 + 16 = 45 6= 0, donc x = −1 n’est pas un zéro de f (x)
f (2) = 16 − 32 + 32 − 32 + 16 = 0, donc x = 2 est un zéro de f (x), ainsi le polynôme est divisible
par x − 2.
1053
x4 −4x3 +8x2 −16x +16 x −2

− (x4 −2x3) x3 −2x2 +4x −8
−2x3 +8x2
− (−2x3 +4x2)
4x2 −16x
− (4x2 −8x)
−8x +8
− (−8x +8)
0
La relation fondamentale s’écrit x4 − 4x3 + 8x2 − 16x + 16 = (x − 2) · (x3 − 2x2 + 4x − 8) et
on factorise la deuxième parenthèse en utilisant la même méthode par groupements
f (x) = x · (x4 − 4x3 + 8x2 − 16x + 16) = x · (x − 2) · (x3 − 2x2 + 4x − 8) = x · (x − 2) · (x2(x −
2) + 4(x − 2)) = x · (x − 2) · (x − 2) · (x2 + 4)
Ce qui permet de déterminer l’ensemble des solutions de l’équation puisque x2 + 4 n’est pas
factorisable. On a donc
S = {0; 2}
1054
3 2
10) On pose f (x) = 35x + 47x + 13x + 1 et on recherche un zéro du polynôme en appliquant
{−1; 1} ⊂ Zpotentiels
f (1) = 35 + 47 + 13 + 1 = 96 6= 0, donc x = 1 n’est pas un zéro de f (x)
f (−1) = −35 + 47 − 13 + 1 = 0, donc x = −1 est un zéro de f (x), ainsi le polynôme est divisible
par x + 1.
35x3 +47x2 +13x +1 x +1

− (35x3 +35x2) 35x2 +12x +1
12x2 +13x
− (12x2 +12x)
x +1
− (x +1)
0
La relation fondamentale s’écrit f (x) = 35x3 + 47x2 + 13x + 1 = (x + 1) · (35x2 + 12x + 1) et
pour finir la factorisation, on remarque que 35x2 + 12x + 1 se décompose en (5x + 1) · (7x + 1).
Dès lors, f (x) = (x + 1) · (35x2 + 12x + 1) = (x + 1) · (5x + 1) · (7x + 1) et

1 1
S = −1; − ; −
5 7
1055
3 2
11) On pose f (x) = 6x − 17x + 14x − 3 et on recherche un zéro du polynôme en appliquant
{−3; −1; 1; 3} ⊂ Zpotentiels
f (1) = 6 − 17 + 14 − 3 = 0, donc x = 1 est un zéro de f (x), lequel se divise alors par x − 1.
6x3 −17x2 +14x −3 +x −1

− (6x3 −6x2) +6x2 −11x +3
−11x2 +14x
− (−11x2 +11x)
3x −3
− (3x −3)
0
La relation fondamentale s’écrit f (x) = 6x3 − 17x2 + 14x − 3 = (x − 1) · (6x2 − 11x + 3) et
pour finir la factorisation, il reste à factoriser la deuxième parenthèse avec la formule générale
du 2ème degré
2 11 − 7 1 11 + 7 3
∆ = 7 , x1 = = , x2 = =
12 3 12 2
1056
Ce qui permet de déterminer l’ensemble des solutions de l’équation

1 3
S= ; 1;
3 2
1057
2 6 5 4 3 2 2 4
12) On commence par mettre x en évidence : 3x − 5x − 19x + 20x + 28x = x · (3x −
5x3 − 19x2 + 20x + 28). On sait déjà que x = 0 est une solution de l’équation (à ne pas oublier).
On poursuit en posant f (x) = 3x4 − 5x3 − 19x2 + 20x + 28 et on applique le corollaire des zéros
potentiels à f (x)
{−28; −14; −7; −4; −2; −1; 1; 2; 4; 7; 14; 28} ⊂ Zpotentiels

On recherche un zéro en vérifiant successivement chaque zéro potentiel jusqu’à ce qu’on en trouve
un qui l’est vraiment :
f (1) = 3 − 5 − 19 + 20 + 28 = 27 6= 0, donc x = 1 n’est pas un zéro de f (x)
f (−1) = 3 + 5 − 19 − 20 + 28 = −3 6= 0, donc x = −1 n’est pas un zéro de f (x)
f (2) = 48 − 40 − 76 + 40 + 28 = 0, donc on a trouvé un zéro de f (x), ainsi le polynôme est
divisible par x − 2.
1058
3x4 −5x3 −19x2 +20x +28 x −2

− (3x4 −6x3) 3x3 +1x2 −17x −14
x3 −19x2
− (x3 −2x2)
−17x2 +20x
− (−17x2 +34x)
−14x +28
− (−14x +28)
0
La relation fondamentale s’écrit 3x4 − 5x3 − 19x2 + 20x + 28 = (x − 2) · (3x3 + x2 − 17x − 14)
On factorise ensuite le second facteur, g(x), en utilisant la même méthode que précédemment,
c’est-à-dire que l’on recherche un zéro de g(x) en appliquant le corollaire des zéros potentiels
{−14; −7; −2; −1; 1; 2; 7; 14} ⊂ Zpotentiels

g(2) = 24 + 4 − 34 − 14 = −20 6= 0, donc x = 2 n’est pas un zéro de g(x)
g(−2) = −24 + 4 + 34 − 14 = 0, ainsi x = −2 est un zéro de g(x), lequel se divise alors par
x + 2.
1059
3x3 +1x2 −17x −14 x +2

− (3x3 +6x2) 3x2 −5x −7
−5x2 −17x
− (−5x2 −10x)
−7x −14
− (−7x −14)
0
La relation fondamentale, appliquée à g(x), s’écrit 3x3 + x2 − 17x − 14 = (x + 2) · (3x2 − 5x − 7).
Pour finir la factorisation, il reste à décomposer la deuxième parenthèse avec la formule du
discriminant
√ √
5− 109 5+ 109
∆ = 109, x1 = , x2 =
6 6
ce quipermet de
√ déterminer l’ensemble
√ des solutions de l’équation
5 − 109 5 + 109
S = −2; ; 0; 2;
6 6
1060
Exercice 11.11
Une boîte en forme de parallélépipède rectangle à base carrée a un volume de 10dm3. Déterminer
les dimensions de la boîte sachant que la somme des longueurs de ses arêtes vaut 48 dm.
1061
Corrigé 11.11
Notons h la hauteur de la boîte en dm et x le côté de la base de la boîte, en dm.
La somme des longueurs des arêtes nous fournit une première équation 4x + 4x + 4h = 48
On transforme celle-ci en 2x + h = 12 et on isole h pour obtenir h = 12 − 2x.
Le volume d’un parallélépipède rectangle à base carrée est donné par
V = base · hauteur et dans notre cas nous obtenons x2 · h = 10.
En substituant la valeur de h exprimée ci-dessus dans cette équation on obtient
x2 · (12 − 2x) = 10 ⇐⇒ x3 − 6x2 + 5 = 0

1062
Pour factoriser ce polynôme, il suffit de remarquer que x − 1 le divise et d’effectuer la division
x3 −6x2 +5 x −1
− (x3 −x2) x2 −5x −5
−5x2
− (−5x2 +5x)
−5x +5
− (−5x +5)
0
Ici la relation fondamentale s’écrit x3 − 6x + 5 = (x − 1) · (x2 − 5x − 5) et on termine la
factorisation à l’aide de la formule du discriminant. Ici
√ √
5 − 45 ∼ 5 + 45 ∼
∆ = 45, x1 = = −0.854, x2 = = 5.854
2 2
Il faut refuser x1 car la réponse est négative.
√ √
5+3 5 5+3 5 √
Les dimensions de la boîte sont x x (7 − 3 5)dm3 ou 1 x 1 x 10dm3
2 2
1063
Exercice 11.12
Soient y = −x2 + 3x + 1 une parabole et P (x; y) un point sur cette parabole avec x > 0. Soient
A la projection orthogonale de P sur l’axe horizontal et B celle sur l’axe vertical. Déterminer
les dimensions du rectangle OAP B pour que sa surface soit égale à 3. (Le point O est l’origine.)
1064
Corrigé 11.12
Les coordonnées des points sont O(0; 0), A(x; 0), P (x; −x2 + 3x + 1) et B(0; −x2 + 3x + 1).
L’aire du rectangle OAP B vaut OA · AP , c’est-à-dire x · (−x2 + 3x + 1). Ainsi puisqu’on veut
une aire de 3, en développant on obtient x3 − 3x2 − x + 3 = 0 et pour factoriser ce polynôme, il
suffit de remarquer que x − 1 le divise (car x = 1 est un zéro) et d’effectuer la division.
x3 −3x2 −x +3 x −1
− (x3 −x2) x2 −2x −3
−2x2 −x
− (−2x2 +2x)
−3x +3
− (−3x +3)
0
La relation fondamentale s’écrit x3 −3x2 −x+3 = (x−1)·(x2 −2x−3) et puisque x2 −2x−3 =

(x − 3) · (x + 1), on a comme solutions à l’équation que x ∈ {−1, 1, 3}.
Il faut refuser x = −1 car x > 0. D’où les 2 points P (1; 3) ou P (3; 1) et la solution :
Les dimensions du rectangle sont 1 x 3 ou 3 x 1
1065
Exercice 11.13
Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre n ∈ N∗ la division de (x + 1)n − (x − 1)n par x est-elle

exacte ?
1066
Corrigé 11.13
Posons f (x) = (x + 1)n − (x − 1)n.

Ainsi, si (x + 1)n − (x − 1)n est divisible par x alors f (0) = 0 (théorème du reste).
Evaluons cette expression :
f (0) = (0 + 1)n − (0 − 1)n = 1n − (−1)n = 1 − (−1)n.
Il faut distinguer deux cas selon que n est pair ou pas.
Si n est pair, (−1)n = 1 et donc f (0) = 1 − 1 = 0.
Si n est impair, (−1)n = −1 et donc f (0) = 1 − (−1)n = 1 − (−1) = 2.
Par suite, la division est exacte si et seulement si n est pair.
1067
Exercice 11.14
Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre n ∈ N∗ la division suivante est elle exacte (a ∈ R∗) :
1) xn + an par x + a
2) xn + an par x − a
3) xn − an par x + a
4) xn − an par x − a
1068
Corrigé 11.14
1) Posons f (x) = xn + an. Alors, d’après le théorème du reste, x + a divise exactement xn + an

si et seulement si f (−a) = 0. Or, puisque f (−a) = (−a)n + an, pour que f (−a) = 0 il faut que
(−a)n = −an, autrement dit, il faut que n soit impair.
2) En posant f (x) = xn + an et d’après le théorème du reste, x − a divise exactement xn + an

si et seulement si f (a) = 0. Or, puisque f (a) = an + an = 2 · an 6= 0 ∀ n ∈ N∗, la division n’est
jamais exacte.
3) En posant f (x) = xn − an et d’après le théorème du reste, x + a divise exactement xn − an

si et seulement si f (−a) = 0. Or, puisque f (−a) = (−a)n − an, pour que f (−a) = 0 il faut que
(−a)n = an, autrement dit, il faut que n soit pair.
4) En posant f (x) = xn − an et d’après le théorème du reste, x − a divise exactement xn − an

si et seulement si f (a) = 0. Or, puisque f (a) = an − an = 0 ∀ n ∈ N∗, la division est toujours
exacte.
1069
Exercice 11.15
Déterminer un polynôme unitaire du 3ème degré dont les divisions par x+2 et x−1 sont exactes
mais où la division par x − 3 donne un reste de 40.
1070
Corrigé 11.15
Tout polynôme unitaire du 3ème degré s’écrit comme x3 + ax2 + bx + c, avec a, b et c ∈ R.

Vu que les divisions par x + 2 et x − 1 sont exactes, f (−2) = f (1) = 0. D’autre part, le fait que
la division par x − 3 donne un reste de 40 se traduit, d’après le théorème du reste, par f (3) = 40.
Aussi nous obtenons le système d’équations suivants :

3 2
 (−2) + a · (−2) + b · (−2) + c = 0

(1)3 + a · (1)2 + b · 1 + c = 0
(3)3 + a · (3)2 + b · 3 + c = 40


Après quelques opérations nous obtenons le système équivalent :

 4a − 2b + c = 8

a + b + c = −1

 9a + 3b + c = 13
En soustrayant la 2ème équation de la 1ère, puis la 2ème de la 3ème, on obtient :
(
3a − 3b = 9
8a + 2b = 14
1071
ou encore le système équivalent :
(
6a − 6b = 18
24a + 6b = 42
En additionnant les deux équations, on obtient 30a = 60 et on trouve a = 2 , b = −1 et c = −2.
Par suite, le polynôme recherché est x3 + 2x2 − x − 2.
1072
6 Solutions
Solution 11.1
3 2 2

1) x − 8x + 16x + 4 = (x − 5) x − 3x + 1 + 9
5 3 2 2
3 2

2) x − 8x + 8x − 7x + 6 = x + 3x − 2 x − 3x + 3x − 7 + 20x − 8
3 2 2

3) 5x − 2x + 4x − 4 = (x − 1) 5x + 3x + 7 + 3
5 4 3 2 2 3 2

4) 6x − x − 35x + 31x − 10x + 6 = 2x − 5x + 2 3x + 7x − 3x + 1 + x + 4
4 3 2 2 2

5) 3x − 23x + 26x + 28x − 24 = (x − 5x −6) 3x − 8x + 4
3 2 1 2 5 15 5
6) −x − x + 5 = (2x − 3) − x − x − −
2 4 8 8
4 3 2 2 2

7) x + x − 8x − 3x + 19 = −x + x +2 −x − 2x + 4 − 3x + 11
3 3 2
2 2 2 13
8) −2x − 3x + 5 = 3x + x − 1 − + x − 3x +
3 3 3
4 3 2 2 2

9) 12x + 47x + 22x − 15x+ 11 = −3x − 8x + 3 −4x − 5x + 2 + 16x + 5
4 3 4 4 2 3 7
10) −4x + 2x − 7 = (−5) x − x +
5 5 5
11) −4x4 + 8x3 − 7 = −2x3 (2x − 4) − 7

12) 2x + 7x + 10x + 8 = 2x + 7x · 1 + 7x2 + 3x + 8

3 2 3

2 2

13) 3x − 4x + 12 = 3x − 4x + 1 · 1 + 11
1073
23 105 23
4 2
14) 4x = 2x − 5x + 1 2x2 + 5x +

+ x−
2 2 2
15) x8 − 1 = x4 − 1 x4 + 1

12 4
8 4

16) x − 1 = x − 1 x + x + 1
12 8 4
4
17) x − 1 = x + x + 1 x − 1
5 4 3 2

18) x − 32 = (x − 2) x + 2x + 4x + 8x + 16
4 4 3 2 2 3

19) x − a = (x − a) x + ax + a x + a
5 5 4 3 2 2 3 4

20) x + a = (x + a) x − ax + a x − a x + a
21) x + a = (x + a) x − ax+a x − a + 2a4
4 4 3 2 2 3

5 2 7 1 5 1 1 2
22) x − x − = x+ x−
8 12 3 4
2 3
2
1 4 2 1 3 2 1 2 2 112 467
23) − x + 2x − = x + − x + −
3 2 2 3 9 81 486
2 3 1 2 3 2 5 5 10
24) x4 − x3 + x2 − x = − x − x3 + x2 − x +
5 4 2 3 5 3 4 6 9
1074
Solution 11.2
f (1) = 0
Solution 11.3
f (1) = 0
Solution 11.4
f(-1) = -14
1075
Solution 11.5
1) r = 0 donc la division est exacte.

2) r = −24 donc la division n’est pas exacte.12) r = 0 donc la division est exacte.
3) r = 0 donc la division est exacte. 13) r = −16 donc la division n’est pas exacte.
5
4) r = −92 donc la division n’est pas exacte.14) r = donc la division n’est pas exacte.
4
199
5) r = − donc la division n’est pas exacte. 16) r = 0 donc la division est exacte.
27
143
6) r = donc la division n’est pas exacte. 18) r = 0 donc la division est exacte.
25
143
16
8) r = 0 donc la division est exacte. 22) r = 0 donc la division est exacte.
217
243
10) r = −6 donc la division n’est pas exacte. 26) r = 0 donc la division est exacte.
1076
Solution 11.6
a Quotient
1) −7 x−4
2) 9 x+6
3) 5 3x3 + x2 + 10x + 10
4) 1 4x3 + 2x2 + x − 1
5) 11 x2 + 5x − 1
2
6) − 3x − 2
3
7) 2 x3 + 3x + 2
−14 x3 + 16x2 + 35x + 98
8) 5 x3 + 3x2 − x − 8
−2 x3 + 3x2 − x − 1
9) 2 2x4 − 6x2 + 10x − 8
−3 −3x4 + 5x3 + 4x2 + 5x − 8
10) 6 x3 + 3x2 + x + 3
11) 4 3x2 − 8x + 4
12) 1 −2x2 + 1
13) pas possible aucun
14) 4 3x + 1
1077
Solution 11.7
ϕ µ Quotient
1) −4 1 x+1
2) 2 0 x2 + x + 2
3) −418 732 x3 + 7x2 + 32x + 122
4) 9 −1 x2 − 2x + 4
5) −4 4 x2 − 2
6) 9 −6 2x3 − x2 + 4x + 3
7) −3 −5 x−5
8) 0 2 2x2 − x + 3
Solution 11.8
3x4 + 3x3 − 12x2 − 12x

1078
Solution 11.9

3 5
1) 3 · (x − 1) · x + · x−
2 6
2) (x − 2) · (x2 − x + 1)
3) (x − 2) · (x + 1) · (x + 3)
4) (x − 1)2 · (x − 3) · (x − 2)
5) (x − 1) · (x + 1) · (x − 3) · (x + 5)
2
6) (x + 3) · (x − 2) · (x +
2) · (x +4)
3 2
7) 6 · (x − 1) · (x + 1) · x + · x+
2 3
8) (x − 1) · (x − 2)(x2 + 1)
3 1
9) 12 · (x − 1) · (x + 1) · x + · x−
4 3
10) (x − 2) · (x + 2) · (2x − 1) · (3x − 1)
11) 2 · (x + 1) · (3x − 1) · (x
− 2) · (x
+ 2)
1 3
12) 35 · (x + 2) · (x − 3) · x − · x−
5 7
1079
Solution 11.10

−3
1) S = ; −1; 2 2) S = {−3; 2}
2
3) S = {−4; −3; 4} 4) S = {−4; 3}
5) S = {1; 3; 5} 6) S = {1; 2}
7) S = {2; 3; 4} 8) S = {1; 3; 4}

1 1
9) S = {0; 2} 10) S = −1; − ; −
5 7
√ √
1 3 5 − 109 5 + 109
11) S = ; 1; 12) S = −2; ; 2;
3 2 6 6
Solution 11.11
√ √
5+3 5 5+3 5 √
Les dimensions de la boîte sont x x (7 − 3 5)dm3 ou 1 x 1 x 10dm3.
2 2
1080
Solution 11.12
Les dimensions du rectangle sont 1 x 3 ou 3 x 1
Solution 11.13
La division est exacte si n est pair.
Solution 11.14
1) Lorsque n est impair.

2) Pour aucune valeur de n.
3) Lorsque n est pair.
4) Pour toutes les valeurs de n ∈ N∗
.
Solution 11.15
x3 + 2x2 − x − 2
Chapitre 12
Les fractions rationnelles
1082
1 Introduction
Dans ce chapitre, nous allons étendre la notion de fraction aux polynômes.
Définition
Une fraction rationnelle est une fraction où le numérateur et le dénominateur sont des poly-
nômes. L’ensemble de toutes les fractions rationnelles à une variable peut s’écrire ainsi :

p(x)

f (x) = p(x), q(x) ∈ {polynômes} et q(x) 6= 0
q(x)
Exemple
Les expressions suivantes sont des fractions rationnelles.
2 3 5
a−b
3x − 5x − 2 x − 3x + 7
7 − x2 x+5−c
x2 − 5x − 4
En fin de chapitre, nous traiterons des fractions rationnelles à plusieurs variables. Avant tout,
nous allons étendre la définition de ppmc aux polynômes.
1083
Définition
Le plus petit multiple commun de plusieurs polynômes fi(x), noté ppmc, est un polynôme
de degré minimum qui est multiple de chacun des polynômes fi(x).
Méthode : Pour déterminer le ppmc, on factorise chacun des polynômes fi(x) en facteurs
irréductibles et on forme le ppmc comme étant le produit de chaque facteur irréductible distinct
pris avec l’exposant le plus grand.
Exemple
Déterminons le plus petit multiple commun des trois polynômes suivants :
f (x) = 3x2 − 2x g(x) = 4x3 − x2 h(x) = 15x − 10
On commence par décomposer chacun des polynômes en facteurs irréductibles :
f (x) = x · (3x − 2) g(x) = x2 · (4x − 1) h(x) = 5 · (3x − 2)
et on multiplie chaque facteur irréductible distinct pris avec l’exposant le plus grand :
5 · x2 · (3x − 2) · (4x − 1)
Le polynôme obtenu est le ppmc des 3 polynômes de départ.

1084
2 Les opérateurs
Théorème : Opérations sur les fractions rationnelles
Soient f (x), g(x), h(x) et k(x) 4 polynômes. Alors les opérations suivantes connues avec les
nombres s’étendent aux polynômes de manière naturelle :
— Simplification de fractions rationnelles :
f (x) · h(x) f (x)

=
g(x) · h(x) g(x)
(g(x) 6= 0, h(x) 6= 0)
— Multiplication de fractions rationnelles :
f (x) h(x) f (x) · h(x)

· =
g(x) k(x) g(x) · k(x)
(g(x) 6= 0, k(x) 6= 0)
1085
Théorème : Suite
— Division de fractions rationnelles :
f (x)
g(x) f (x) k(x)
= ·
h(x) g(x) h(x)
k(x)
(g(x) 6= 0, k(x) 6= 0, h(x) 6= 0)
— Addition (et soustraction) de fractions rationnelles :
f (x) h(x) f (x) · k(x) + h(x) · g(x)
+ =
g(x) k(x) g(x) · k(x)
(g(x) 6= 0, k(x) 6= 0)
Remarque : Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse.
1086
Exemple
x2 − 5x + 4 (x − 4) · (x − 1) x − 4
1) Simplification : 2
= =
x −1 (x − 1) · (x + 1) x + 1
2) Effectuer et simplifier une multiplication :
x2 − 6x + 9 2x − 4 (x − 3)2 · 2 · (x − 2) 2 · (x − 3)
· = =
x2 − 4 x−3 (x − 2) · (x + 2) · (x − 3) x+2
3) Effectuer et simplifier une division :

x+3
2x−3 x + 3 2x2 − 3x (x + 3) · x · (2x − 3) x
x2 −9
= · = =
2x2 −3x
2x − 3 x2 − 9 (2x − 3) · (x − 3) · (x + 3) x − 3
1087
Exemple
4) Effectuer et simplifier une addition en utilisant le ppmc :
2x + 5 x 1 2x + 5 x 1
+ − = + −
x2 + 4x + 4 x2 − 4 x − 2 (x + 2)2 (x − 2)(x + 2) x − 2
(2x + 5)(x − 2) x(x + 2) (x + 2)2
= 2
+ 2
−
(x + 2) (x − 2) (x − 2)(x + 2) (x − 2)(x + 2)2
2x2 + x − 10 + x2 + 2x − x2 − 4x − 4
=
(x + 2)2(x − 2)
2x2 − x − 14
=
(x + 2)2(x − 2)
1088
3 Exercices
Exercice 12.1
Déterminer le plus petit multiple commun (ppmc) des nombres entiers suivants :
1) 28 ; 35 ; 49
2) 75 ; 50
3) 16 ; 20 ; 24 ; 28
4) 30 ; 36 ; 175
5) 16 ; 64 ; 128
1089
Corrigé 12.1
1) On décompose chaque nombre en produit de nombres premiers

28 = 22 · 7 35 = 5 · 7 49 = 72
Ainsi, on obtient le ppmc en prenant la puissance la plus élevée de chaque nombre premier :
ppmc = 22 · 5 · 72 = 980

75 = 3 · 52 50 = 2 · 52
ppmc = 2 · 3 · 52 = 150
1090
16 = 24 20 = 22 · 5 24 = 23 · 3 28 = 22 · 7
ppmc = 24 · 3 · 5 · 7 = 1680

30 = 2 · 3 · 5 · 7 36 = 22 · 32 175 = 52 · 7
ppmc = 22 · 32 · 52 · 7 = 6300

16 = 24 64 = 26 128 = 27
ppmc = 27 = 128
1091
Exercice 12.2
Déterminer le plus petit multiple commun (ppmc) des 2, 3 ou 4 polynômes suivants :
1) 9xy x2 6y 2
2) 6x2z 15xy 2
3) 3x(x + 2) 2x(x − 1) (x − 1)(x + 2) (3x + 6)(x + 2)
4) 12x2(x − y) 15(x − y)(x + y) 8(x − y)2
5) (x − 1)2(x + 1)(x + 2) (x − 1)(x + 1)2 (x − 1)(x + 2)2
6) 2x3 8x2 + 24x 4x3 + 12x2

1092
7) 9x2 − 6xy + y 2 9x2 + 6xy + y 2 81x4 − y 4
8) x2 − x x3 − 3x2 + 2x x3 − 4x2 + 3x
9) 3x3 − 18x2y + 27xy 2 9x3 − 81xy 2 18x2y − 6x3
10) x2 − 11x + 30 x2 − x − 20 x3 − 5x2 − 16x + 80
2 2
x3 + 1 x3 − x2 + x

11) x +x+1 x −x+1
1093
Corrigé 12.2
1) On factorise la partie littérale et on décompose le coefficient en nombres premiers pour chaque

polynôme : 9xy = 32xy x 2 = x2 6y 2 = 2 · 3y 2
Le ppmc est le produit de chaque facteur distinct pris avec l’exposant le plus grand :
ppmc = 2 · 32x2y 2 = 18x2y 2

polynôme : 6x2z = 2 · 3x2z 15xy 2 = 3 · 5xy 2
ppmc = 2 · 3 · 5x2y 2z = 30x2y 2z
1094
polynôme : 3x(x + 2) = 3x(x + 2) 2x(x − 1) = 2x(x − 1) (x − 1)(x + 2) = (x − 1)(x + 2)
(3x + 6)(x + 2) = 3(x + 2)2
ppmc = 2 · 3x(x − 1)(x + 2)2 = 6x(x − 1)(x + 2)2

polynôme : 12x2(x − y) = 22 · 3x2 · (x − y) 15(x − y)(x + y) = 3 · 5 · (x − y)(x + y)
8(x − y)2 = 23 · (x − y)2
ppmc = 23 · 3 · 5x2(x − y)2(x + y) = 120x2(x − y)2(x + y)
1095
5)Les polynômes sont déjà factorisés
(x − 1)2(x + 1)(x + 2) (x − 1)(x + 1)2 (x − 1)(x + 2)2
ppmc = (x − 1)2(x + 1)2(x + 2)2
6)On factorise la partie littérale et on décompose le coefficient en nombres premiers pour chaque
polynôme : 2x3 = 2x3 8x2 + 24x = 8x(x + 3) = 23x(x + 3)
4x3 + 12x2 = 4x2(x + 3) = 22x2(x + 3)
ppmc = 23 · x3(x + 3) = 8x3(x + 3)
1096
polynôme : 9x2 − 6xy + y 2 = (3x − y)2 9x2 + 6xy + y 2 = (3x + y)2
81x4 − y 4 = (9x2 − y 2)(9x2 + y 2) = (3x − y)(3x + y)(9x2 + y 2)
ppmc = (3x − y)2(3x + y)2(9x2 + y 2)

polynôme : x2 − x = x(x − 1) x3 − 3x2 + 2x = x(x2 − 3x + 2) = x(x − 2)(x − 1)
x3 − 4x2 + 3x = x(x2 − 4x + 3) = x(x − 3)(x − 1)
ppmc = x(x − 1)(x − 2)(x − 3)
1097
polynôme : 3x3 − 18x2y + 27xy 2 = 3x(x2 − 6xy + 9y 2) = 3x(x − 3y)2
9x3 − 81xy 2 = 9x(x2 − 9y 2) = 32x(x − 3y)(x + 3y)
18x2y − 6x3 = 6x2(3y − x) = −2 · 3x2(x − 3y)
ppmc = 2 · 32x2(x − 3y)2(x + 3y) = 18x2(x − 3y)2(x + 3y)
10) On factorise la partie littérale et on décompose le coefficient en nombres premiers pour

chaque polynôme : x2 − 11x + 30 = (x − 5)(x − 6) x2 − x − 20 = (x + 4)(x − 5)
x3 − 5x2 − 16x + 80 = x2(x − 5) − 16(x − 5) = (x2 − 16)(x − 5) = (x − 4)(x + 4)(x − 5)
ppmc = (x − 6)(x − 5)(x − 4)(x + 4)
1098
11) On factorise la partie littérale et on décompose le coefficient en nombres premiers pour
chaque polynôme : (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1)
x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1) x3 − x2 + x = x(x2 − x + 1)
ppmc = x(x + 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1)
1099
Exercice 12.3
Simplifier les fractions suivantes
ab 7a2x2 4m3n2p5
1) 2) 3)
abc 35a4x2 6m4np2
15ax3y 2 −8a3b2 −15a2bc3

4) 5) 6)
25a2xy 6 12a2b3 12a3bc2
30a2b3c2z 8 5 6x2 + 12xy

7) 8) 9)
36a5bc2z 6 10 − 5x 18xy
xy
10)
x2 − xy
1100
Corrigé 12.3
ab 1 7a2x2 1
1) = 2) =
abc c 35a4x2 5a2
4m3n2p5 2np3 15ax3y 2 3x2

3) 4 2
= 4) 2 6
=
6m np 3m 25a xy 5ay 4
−8a3b2 −2a −15a2bc3 −5c

5) = 6) =
12a2b3 3b 12a3bc2 4a
30a2b3c2z 8 5b2z 2 5 5 1
7) 5 2 6
= 8) = =
36a bc z 6a3 10 − 5x 5 · (2 − x) 2 − x
6x2 + 12xy 6x · (x + 2y) x + 2y xy xy y

9) = = 10) 2 = =
18xy 18xy 3y x − xy x · (x − y) x − y
1101
Exercice 12.4
Simplifier les fractions de polynômes
a−b a−b a2 − b2
1) 2) 2 3) 2
(a − b)2 a − b2 a − ab
a3 − 1 ax (a + bc)2
4) 3 5) 2 2 6)
a − 3a2 + 3a − 1 a x − ax ax + bcx
100 − 4x2 7a2x2 − 7a2 9a − 11x

7) 8) 9)
25 + 5x 21 − 21x2 81a2 − 121x2
(a + b)2 − (a − b)2
10)
ab
1102
Corrigé 12.4
a−b 1
1) =
(a − b)2 a − b
a−b a−b 1
2) = =
a2 − b2 (a − b)(a + b) a + b
a2 − b2 (a − b)(a + b) a + b
3) 2 = =
a − ab a(a − b) a
a3 − 1 (a − 1)(a2 + a + 1) a2 + a + 1
4) 3 2
= 3
=
a − 3a + 3a − 1 (a − 1) (a − 1)2
ax ax 1
5) = =
a2x2 − ax ax · (ax − 1) ax − 1
(a + bc)2 (a + bc)2 a + bc
6) = =
ax + bcx x · (a + bc) x
1103
100 − 4x2 4 · (25 − x2) 4 · (5 − x)(5 + x) 4 · (5 − x)

7) = = =
25 + 5x 5 · (5 + x) 5 · (5 + x) 5
7a2x2 − 7a2 7a2 · (x2 − 1) 7a2 · (x − 1)(x + 1) a2 · (x − 1) a2

8) 2
= 2
= = =−
21 − 21x 21 · (1 − x ) 21 · (1 − x)(1 + x) −3 · (x − 1) 3
9a − 11x 9a − 11x 1
9) = =
81a2 − 121x2 (9a − 11x)(9a + 11x) 9a + 11x
(a + b)2 − (a − b)2 [(a + b) − (a − b)][(a + b) + (a − b)] [a + b − a + b][a + b + a − b]

10) = =
ab ab ab
2b · 2a
= =4
ab
1104
Exercice 12.5
(x + a)2 − (b − c)2 a2 + b2 − c2 + 2ab a 3 + b3

1) 2) 3)
(x + b)2 − (a − c)2 2ac − b2 + c2 + a2 (a − b)2 + ab
(x3 − y 3)(x + y) x2 − 4 (x − y)2 − z 2

4) 5) 2 6) 2
(x3 + y 3)(x − y) x − 5x + 6 x − (y + z)2
(a + b)2 − (a − b)2 a 3 + b3 x2 − 5x + 6
7) 8) 3 9) 2
a4 − b4 a − b3 − 2ab(a − b) x − 4x + 4
1105
2 2 2 2 2 2
x − 3x + 2 a − 9ab + 14b x − a − 2ab − b
10) 11) 12)
−x2 + 4x − 3 a2 − ab − 2b2 x+a+b
4a2 − 9b2 − c2 + 6bc 20(2a + b)2 − 5(2a − b)2

13) 14)
10a + 5c − 15b 5(4a + b)2 − 20(a − b)2
1106
Corrigé 12.5
(x + a)2 − (b − c)2 [(x + a) − (b − c)][(x + a) + (b − c)] [x + a − b + c][x + a + b − c]

1) 2 2
= =
(x + b) − (a − c) [(x + b) − (a − c)][(x + b) + (a − c)] [x + b − a + c][x + b + a − c]
x+a−b+c
=
x−a+b+c
a2 + b2 − c2 + 2ab (a + b)2 − c2 [(a + b) − c][(a + b) + c] a + b − c

2) 2 2 2
= 2 2
= =
2ac − b + c + a (a + c) − b [(a + c) − b][(a + c) + b] a − b + c
a 3 + b3 (a + b)(a2 − ab + b2) (a + b)(a2 − ab + b2)

3) 2
= 2 2
= 2 2
=a+b
(a − b) + ab a − 2ab + b + ab a − ab + b
(x3 − y 3)(x + y) (x − y)(x2 + xy + y 2)(x + y) x2 + xy + y 2

4) 3 = =
(x + y 3)(x − y) (x + y)(x2 − xy + y 2)(x − y) x2 − xy + y 2
1107
x2 − 4 (x − 2)(x + 2) x + 2
5) 2 = =
x − 5x + 6 (x − 3)(x − 2) x − 3
(x − y)2 − z 2 [(x − y) − z][(x − y) + z] [x − y − z][x − y + z] x − y + z

6) 2 = = =
x − (y + z)2 [x − (y + z)][x + (y + z)] [x − y − z][x + y + z] x + y + z
1108
2 2
(a + b) − (a − b) [(a + b) − (a − b)][(a + b) + (a − b)] [a + b − a + b][a + b + a − b]
7) 4 4
= 2 2 2 2
=
a −b (a − b )(a + b ) (a − b)(a + b)(a2 + b2)
[2b][2a] 4ab
= =
(a − b)(a + b)(a2 + b2) (a − b)(a + b)(a2 + b2)
a 3 + b3 (a + b)(a2 − ab + b2) (a + b)(a2 − ab + b2)

8) 3 = =
a − b − 2ab(a − b) (a − b)(a + ab + b ) − 2ab(a − b) (a − b)(a2 + ab + b2 − 2ab)
3 2 2
(a + b)(a2 − ab + b2) a + b
= 2 2
=
(a − b)(a − ab + b ) a − b
x2 − 5x + 6 (x − 3)(x − 2) x − 3
9) 2 = 2
=
x − 4x + 4 (x − 2) x−2
x2 − 3x + 2 (x − 2)(x − 1) (x − 2)(x − 1) x−2 2−x

10) = = =− =
−x2 + 4x − 3 −(x2 − 4x + 3) −(x − 3)(x − 1) x−3 x−3
1109
a2 − 9ab + 14b2 (a − 7b)(a − 2b) a − 7b

11) 2 2
= =
a − ab − 2b (a + b)(a − 2b) a+b
x2 − a2 − 2ab − b2 x2 − (a2 + 2ab + b2) x2 − (a + b)2

12) = =
x+a+b x+a+b x+a+b
[x − (a + b)][x + (a + b)]
= =x−a−b
x+a+b
1110
2 2 2 2 2 2 2 2
4a − 9b − c + 6bc 4a − (9b − 6bc + c ) (2a) − (3b − c)
13) = =
10a + 5c − 15b 5(2a + c − 3b) 5(2a − 3b + c)
[(2a) − (3b − c)][(2a) + (3b − c)] [2a − 3b + c][2a + 3b − c] 2a + 3b − c

= = =
5(2a − 3b + c) 5(2a − 3b + c) 5
20(2a + b)2 − 5(2a − b)2 5[4(2a + b)2 − (2a − b)2] [(2(2a + b))2 − (2a − b)2]
14) = =
5(4a + b)2 − 20(a − b)2 5[(4a + b)2 − 4(a − b)2] [(4a + b)2 − (2(a − b))2]
[(2(2a + b)) − (2a − b)][(2(2a + b)) + (2a − b)] [4a + 2b − 2a + b][4a + 2b + 2a − b]

= =
[(4a + b) − (2(a − b))][(4a + b) + (2(a − b))] [4a + b − 2a + 2b][4a + b + 2a − 2b]
[2a + 3b][6a + b] 6a + b
= =
[2a + 3b][6a − b] 6a − b
1111
Exercice 12.6

x3 − a3 x3 − y 3
1) 2 2)
x − a2 (x + y)2 − xy
a7 − 64a b2 − b2 x 2
3) 2 4)
a − 2a + 4 1 + b + x + bx
b2 + b2 x 2 (ab + 1)2 − (a + b)2

5) 6)
1 + x2 + b + bx2 (a2 − 1)(b2 − 1)
2x3 − 7x2 + 2x + 3 5x3 + 7x2 − 8x − 4

7) 8)
2x3 − 9x2 + 10x − 3 3x3 − x2 − 10x + 8
1112
Corrigé 12.6
x3 − a3 (x − a)(x2 + ax + a2) x2 + ax + a2
1) 2 = =
x − a2 (x − a)(x + a) x+a
x3 − y 3 (x − y)(x2 + xy + y 2) (x − y)(x2 + xy + y 2)
2) = 2 = =x−y
(x + y)2 − xy x + 2xy + y 2 − xy x2 + xy + y 2
a7 − 64a a(a6 − 26) a(a3 − 23)(a3 + 23)

3) 2 = =
a − 2a + 4 a2 − 2a + 4 a2 − 2a + 4
a(a − 2)(a2 + 2a + 4)(a + 2)(a2 − 2a + 4) 2
= = a(a − 2)(a + 2a + 4)(a + 2)
a2 − 2a + 4
b2 − b2 x 2 b2(1 − x2) b2(1 − x)(1 + x) b2(1 − x)

4) = = =
1 + x + b + bx (1 + x) + b(1 + x) (1 + b)(1 + x) 1+b
1113
2 2 2 2 2 2 2 2
b +b x b (1 + x ) b (1 + x ) b
5) = = =
1 + x2 + b + bx2 (1 + x2) + b(1 + x2) (1 + b)(1 + x2) 1 + b
(ab + 1)2 − (a + b)2 [(ab + 1) − (a + b)][(ab + 1) + (a + b)]

6) 2 2
=
(a − 1)(b − 1) (a − 1)(a + 1)(b − 1)(b + 1)
[ab − a − b + 1][ab + a + b + 1] [a(b − 1) − (b − 1)][a(b + 1) + (b + 1)]
= =
(a − 1)(a + 1)(b − 1)(b + 1) (a − 1)(a + 1)(b − 1)(b + 1)
[(a − 1)(b − 1)][(a + 1)(b + 1)]
= =1
(a − 1)(a + 1)(b − 1)(b + 1)
2x3 − 7x2 + 2x + 3 (x − 1)(2x2 − 5x − 3) 2x2 − 5x − 3 (x − 3)(2x + 1)

7) 3 2
= 2
= 2 =
2x − 9x + 10x − 3 (x − 1)(2x − 7x + 3) 2x − 7x + 3 (x − 3)(2x − 1)
2x + 1
=
2x − 1
5x3 + 7x2 − 8x − 4 (x − 1)(5x2 + 12x + 4) 5x2 + 12x + 4 (x + 2)(5x + 2)
8) 3 2
= 2
= 2
=
3x − x − 10x + 8 (x − 1)(3x + 2x − 8) 3x + 2x − 8 (x + 2)(3x − 4)
5x + 2
=
3x − 4
1114
Exercice 12.7

3x2 − 6x x2 − 9 7x2 − 700
1) 2
2) 2 3)
x −4 x + 6x + 9 14x + 140
x3 + 8x2 + 15x x2 − 4 x2 − 7x + 12
4) 5) 3 6) 2
x3 − 25x x +8 x − 8x + 15
7x3 − 10x2 + 7x − 10 x − x3 3x2 + 10x + 3

7) 8) 4 9)
2x3 − x2 + 2x − 1 x + 2x3 + x2 9x2 − 1
2 − 18x2 6x2 − 36x 6x2 + 2x

10) 11) 2 12)
4 − 24x + 36x2 x − 12x + 36 27x3 + 1
1115
4 4 3 4
(x + 1) − (x − 1) x − 27 x − 81
13) 14) 15)
8x5 + 16x3 + 8x 3x2 − 3x − 18 (x3 − 27)(x2 + 9)
1 − x2 + x3 − x5 x2 − x4 − x6 + x5 x3 + x2 − x − 1
16) 17) 2 18) 3
x + x2 − x3 − x4 x + x4 − x6 − x3 x + 2x2 − x − 2
4x3 − 8x2 − 16x + 32 x2 − 6x + 8 x3 + 8x2 + x + 8

19) 20) 3 21)
x4 − 4x2 + 8x − 16 x − 5x2 + 2x + 8 8x3 + 8x2 + 8x + 8
2x3 + 9x2 + 7x − 6 x4 − 13x2 + 36

22) 23)
2x3 + x2 − 13x + 6 2x3 + 6x2 − 8x − 24
1116
Corrigé 12.7
3x2 − 6x 3x(x − 2) 3x
1) = =
x2 − 4 (x − 2)(x + 2) x + 2
x2 − 9 (x − 3)(x + 3) x − 3
2) = =
x2 + 6x + 9 (x + 3)2 x+3
7x2 − 700 7(x2 − 100) (x − 10)(x + 10) x − 10

3) = = =
14x + 140 14(x + 10) 2(x + 10) 2
x3 + 8x2 + 15x x(x2 + 8x + 15) (x + 3)(x + 5) x + 3

4) = = =
x3 − 25x x(x2 − 25) (x − 5)(x + 5) x − 5
1117
2
x −4 (x − 2)(x + 2) x−2
5) = =
x3 + 8 (x + 2)(x2 − 2x + 4) x2 − 2x + 4
x2 − 7x + 12 (x − 4)(x − 3) x − 4
6) 2
= =
x − 8x + 15 (x − 5)(x − 3) x − 5
7x3 − 10x2 + 7x − 10 x2(7x − 10) + (7x − 10) (x2 + 1)(7x − 10) 7x − 10

7) 3 2
= 2 = 2 =
2x − x + 2x − 1 x (2x − 1) + (2x − 1) (x + 1)(2x − 1) 2x − 1
x − x3 x(1 − x2) (1 − x)(1 + x) 1−x

8) = = =
x4 + 2x3 + x2 x2(x2 + 2x + 1) x(x + 1)2 x(x + 1)
3x2 + 10x + 3 dp (x + 3)(3x + 1) x+3

9) = =
9x2 − 1 (3x − 1)(3x + 1) 3x − 1
1118
2 − 18x2 2(1 − 9x2) (1 − 3x)(1 + 3x) 1 + 3x

10) = = =
4 − 24x + 36x2 4(1 − 6x + 9x2) 2(1 − 3x)2 2(1 − 3x)
6x2 − 36x 6x(x − 6) 6x

11) = =
x2 − 12x + 36 (x − 6)2 (x − 6)
6x2 + 2x 2x(3x + 1) 2x
12) = =
27x3 + 1 (3x + 1)(9x2 − 3x + 1) 9x2 − 3x + 1
(x + 1)4 − (x − 1)4 [(x + 1)2 − (x − 1)2][(x + 1)2 + (x − 1)2]

13) 5 3
=
8x + 16x + 8x 8x(x4 + 2x2 + 1)
1119
2 2 2 2 2
[x + 2x + 1 − x + 2x − 1][x + 2x + 1 + x − 2x + 1] 4 · [x] · 2 · [x + 1] 1
= = =
8x(x2 + 1)2 8x(x2 + 1)2 x2 + 1
x3 − 27 (x − 3)(x2 + 3x + 9) (x − 3)(x2 + 3x + 9) (x2 + 3x + 9)

14) 2
= 2
= =
3x − 3x − 18 3(x − x − 6) 3(x − 3)(x + 2) 3(x + 2)
x4 − 81 (x2 − 9)(x2 + 9)
15) =
(x − 27)(x + 9) (x − 3)(x2 + 3x + 9)(x2 + 9)
3 2
(x − 3)(x + 3) x+3
= =
(x − 3)(x2 + 3x + 9) x2 + 3x + 9
1 − x2 + x3 − x5 (1 − x2) + x3(1 − x2) (1 + x3)(1 − x2)

16) 2 3 4
= 2 3
=
x+x −x −x x(1 + x − x − x ) x((1 + x) − x2(1 + x))
1120
(1 + x)(1 − x + x2)(1 − x)(1 + x) (1 + x)(1 − x + x2)(1 − x) (1 − x + x2)

= 2
= =
x(1 − x )(1 + x) x(1 − x)(1 + x) x
x2 − x4 − x6 + x5 x2(1 − x2 − x4 + x3) 1 − x2 + x3 − x4 dp (x − 1)(−x3 − x − 1)

17) 2 4 6 3
= 2 2 4
= =
x +x −x −x x (1 + x − x − x) 1 − x + x − x dp (x − 1)(−x3 − x2 − 1)
2 4
−x3 − x − 1 x3 + x + 1
= = 3
−x − x − 1 x + x2 + 1
3 2
x3 + x2 − x − 1 x2(x + 1) − (x + 1) (x2 − 1)(x + 1) x + 1

18) 3 2
= 2 = 2 =
x + 2x − x − 2 x (x + 2) − (x + 2) (x − 1)(x + 2) x + 2
4x3 − 8x2 − 16x + 32 4(x3 − 2x2 − 4x + 8) 4(x2(x − 2) − 4(x − 2))

19) = =
x4 − 4x2 + 8x − 16 dp (x − 2)(x3 + 2x2 + 8) (x − 2)(x3 + 2x2 + 8)
1121
4((x2 − 4)(x − 2)) 4(x − 2)(x + 2)(x − 2) 4(x − 2)(x + 2)

= 3 2
= 3 2
= 3
(x − 2)(x + 2x + 8) (x − 2)(x + 2x + 8) x + 2x2 + 8
x2 − 6x + 8 (x − 4)(x − 2) (x − 4)(x − 2) 1
20) = = =
x3 − 5x2 + 2x + 8 dp (x − 2)(x2 − 3x − 4) (x − 2)(x − 4)(x + 1) x + 1
x3 + 8x2 + x + 8 x2(x + 8) + (x + 8) (x2 + 1)(x + 8) x+8

21) = = =
8x3 + 8x2 + 8x + 8 8x2(x + 1) + 8(x + 1) 8(x2 + 1)(x + 1) 8(x + 1)
2x3 + 9x2 + 7x − 6 dp (x + 3)(2x2 + 3x − 2) 2x2 + 3x − 2 ∆ (x + 2)(2x − 1)

22) 3 2
= 2
= 2 =
2x + x − 13x + 6 dp (x + 3)(2x − 5x + 2) 2x − 5x + 2 ∆ (x − 2)(2x − 1)
x+2
=
x−2
1122
x4 − 13x2 + 36 (x2 − 9)(x2 − 4) (x − 3)(x + 3)(x − 2)(x + 2)

23) 3 2
= 3 2
=
2x + 6x − 8x − 24 2(x + 3x − 4x − 12) 2(x2(x + 3) − 4(x + 3))
(x − 3)(x + 3)(x − 2)(x + 2) (x − 3)(x + 3)(x − 2)(x + 2) x − 3

= = =
2(x2 − 4)(x + 3) 2(x − 2)(x + 2)(x + 3) 2
1123
Exercice 12.8
Effectuer les opérations suivantes et simplifier le résultat
13a 9 8a 21b 5a 3(a − 2b)

1) − a 2) + − +
4 4 15 10 12 30
x−1 x+1 3x − 2y 9x − 22y 2x + 4y

3) − 4) + −
3 4 3 15 5
1 2y a ab
5) + 2 6) + 2
x + y x − y2 a − b b − a2
1124
1 2 1 1 1 6
7) − + 8) + − 2
x+1 x+2 x+3 x+3 x−3 x −9
a2 b2 a−1 a−3
9) + 10) −
a−b b−a a+3 a+1
a2 + b2 a b 1 1 1
11) 2 + + 12) + −
a − b2 a + b b − a (a − 1)2 (a + 1)2 a2 − 1
1125
Corrigé 12.8
13a 9 13a − 9a 4a
1) − a= = =a
4 4 4 4
8a 21b 5a 3(a − 2b) 32a + 126b − 25a + 6a − 12b 13a + 114b
2) + − + = =
15 10 12 30 60 60
x − 1 x + 1 4x − 4 − 3x − 3 x − 7
3) − = =
3 4 12 12
3x − 2y 9x − 22y 2x + 4y 15x − 10y + 9x − 22y − 6x − 12y 18x − 44y
4) + − = =
3 15 5 15 15
2(9x − 22y)
=
15
1126
1 2y 1 2y (x − y) + 2y x+y 1
5) + = + = = =
x + y x2 − y 2 x + y (x − y)(x + y) (x − y)(x + y) (x − y)(x + y) x − y
a ab a ab a(a + b) − ab a2 + ab − ab a2
6) + = − = = =
a − b b2 − a2 a − b (a − b)(a + b) (a − b)(a + b) (a − b)(a + b) (a − b)(a + b)
1 2 1 1(x + 2)(x + 3) − 2(x + 1)(x + 3) + 1(x + 1)(x + 2)

7) − + =
x+1 x+2 x+3 (x + 1)(x + 2)(x + 3)
x2 + 5x + 6 − 2(x2 + 4x + 3) + x2 + 3x + 2 2
= =
(x + 1)(x + 2)(x + 3) (x + 1)(x + 2)(x + 3)
1127
1 1 6 1 1 6 (x − 3) + (x + 3) − 6
8) + − = + − =
x + 3 x − 3 x2 − 9 x + 3 x − 3 (x − 3)(x + 3) (x − 3)(x + 3)
2x − 6 2(x − 3) 2
= = =
(x − 3)(x + 3) (x − 3)(x + 3) x + 3
a2 b2 a2 −b2 a2 − b2 (a − b)(a + b)
9) + = + = = =a+b
a−b b−a a−b a−b a−b a−b
a − 1 a − 3 (a − 1)(a + 1) − (a − 3)(a + 3) a2 − 1 − a2 + 9 8
10) − = = =
a+3 a+1 (a + 3)(a + 1) (a + 3)(a + 1) (a + 3)(a + 1)
1128
2 2 2 2 2 2
a +b a b a +b a −b a + b + a(a − b) − b(a + b)
11) + + = + + =
a2 − b2 a + b b − a (a − b)(a + b) a + b a − b (a − b)(a + b)
a2 + b2 + a2 − ab − ab − b2 2a(a − b) 2a
= = =
(a − b)(a + b) (a − b)(a + b) a + b
1 1 1 1 1 1
12) + − = + −
(a − 1)2 (a + 1)2 a2 − 1 (a − 1)2 (a + 1)2 (a − 1)(a + 1)
(a + 1)2 + (a − 1)2 − (a − 1)(a + 1) a2 + 2a + 1 + a2 − 2a + 1 − a2 + 1
= 2 2
=
(a − 1) (a + 1) (a − 1)2(a + 1)2
a2 + 3
=
(a − 1)2(a + 1)2
1129
Exercice 12.9

1 1 2 4
1) + + +
1 + a 1 − a 1 − a2 a2 − 1
x3 x2 1 1
2) − − +
x−1 x+1 x−1 x+1
c−a c−b (a − b)2

3) + −
c − b c − a (c − a)(c − b)
x y (x − y)2
4) − −
x + 2y 2y − x x2 − 4y 2
1130
2
3 + 4x 3x − 2 10x − 5x + 15
5) − +
3−x 3+x x2 − 9
1 1 1 1
6) + + −
a(a + b) b(a + b) a(a − b) b(b − a)
a2x − 2ax2 a3 + a2x a2 − 2ax

7) 2 2
+ 2 2
−
a −x a + 2ax + x a−x
x−1 2x − 4 x−3
8) − +
2x2 − 10x + 12 x2 − 4x + 3 2x2 − 6x + 4
x2 + y 2 x y y 4 − x4 + 4x3y
9) − − +
2xy x+y x−y 2(x3y − xy 3)
x x2 + x − 1 x2 − x − 1 x3 − x
10) 2
+ 3 2
+ 3 2
− 4
x −1 x −x +x−1 x +x +x+1 x −1
1131
Corrigé 12.9
1 1 2 4 1 −1 −2 4
1) + + 2
+ 2 = + + 2 + 2
1+a 1−a 1−a a −1 a+1 a−1 a −1 a −1
1 −1 −2 4 1(a − 1) − 1(a + 1) − 2 + 4
= + + + =
a + 1 a − 1 (a − 1)(a + 1) (a − 1)(a + 1) (a − 1)(a + 1)
1(a − 1) − 1(a + 1) − 2 + 4 0
= = =0
(a − 1)(a + 1) (a − 1)(a + 1)
1132
3 2 3 2
x x 1 1 x (x + 1) − x (x − 1) − 1(x + 1) + 1(x − 1)
2) − − + =
x−1 x+1 x−1 x+1 (x − 1)(x + 1)
x4 + x3 − x3 + x2 − x − 1 + x − 1 x4 + x2 − 2 (x2 − 1)(x2 + 2)
= = =
(x − 1)(x + 1) (x − 1)(x + 1) (x − 1)(x + 1)
(x − 1)(x + 1)(x2 + 2)
= = x2 + 2
(x − 1)(x + 1)
1133
2 2 2 2
c−a c−b (a − b) (c − a) + (c − b) − (a − b)
3) + − =
c − b c − a (c − a)(c − b) (c − b)(c − a)
c2 − 2ac + a2 + c2 − 2bc + b2 − a2 + 2ab − b2 c2 − 2ac + c2 − 2bc + 2ab

= =
(c − b)(c − a) (c − b)(c − a)
2(c2 − ac − bc + ab) 2(c(c − a) − b(c − a)) 2(c − b)(c − a)

= = = =2
(c − b)(c − a) (c − b)(c − a) (c − b)(c − a)
1134
2 2
x y (x − y) x −y (x − y)
4) − − 2 = − −
x + 2y 2y − x x − 4y 2 x + 2y x − 2y (x − 2y)(x + 2y)
x(x − 2y) + y(x + 2y) − (x − y)2 x2 − 2xy + xy + 2y 2 − x2 + 2xy − y 2

= =
(x − 2y)(x + 2y) (x − 2y)(x + 2y)
xy + y 2 y(x + y)
= =
(x − 2y)(x + 2y) (x − 2y)(x + 2y)
1135
2 2
3 + 4x 3x − 2 10x − 5x + 15 −3 − 4x 3x − 2 10x − 5x + 15
5) − + 2
= − +
3−x 3+x x −9 x−3 x+3 (x − 3)(x + 3)
(−3 − 4x)(x + 3) − (3x − 2)(x − 3) + 10x2 − 5x + 15

=
(x − 3)(x + 3)
−3x − 4x2 − 9 − 12x − 3x2 + 9x + 2x − 6 + 10x2 − 5x + 15

=
(x − 3)(x + 3)
3x2 − 9x 3x(x − 3) 3x
= = =
(x − 3)(x + 3) (x − 3)(x + 3) x + 3
1136
1 1 1 1 1 1 1 1
6) + + − = + + +
a(a + b) b(a + b) a(a − b) b(b − a) a(a + b) b(a + b) a(a − b) b(a − b)
b(a − b) + a(a − b) + b(a + b) + a(a + b) ab − b2 + a2 − ab + ab + b2 + a2 + ab

= =
ab(a + b)(a − b)) ab(a + b)(a − b))
2a2 + 2ab 2a(a + b) 2

= = =
ab(a + b)(a − b) ab(a + b)(a − b) b(a − b)
1137
2 2 3 2 2 2 2 2 2
a x − 2ax a +a x a − 2ax a x − 2ax a (a + x) a − 2ax
7) 2 2
+ 2 2
− = + 2
−
a −x a + 2ax + x a−x (a − x)(a + x) (a + x) a−x
ax(a − 2x) a2 a(a − 2x)

= + −
(a + x)(a − x) a + x (a − x)
ax(a − 2x) a2(a − x) a(a − 2x)(a + x)

= + −
(a + x)(a − x) (a + x)(a − x) (a + x)(a − x)
a2x − 2ax2 + a3 − a2x − (a3 + a2x − 2a2x − 2ax2) −a2x

= =
(a − x)(a + x) (a − x)(a + x)
1138
x−1 2x − 4 x−3
8) − +
2x2 − 10x + 12 x2 − 4x + 3 2x2 − 6x + 4
x−1 2x − 4 x−3
= − +
2(x2 − 5x + 6) x2 − 4x + 3 2(x2 − 3x + 2)
x−1 2x − 4 x−3
= + +
2(x − 3)(x − 2) (x − 3)(x − 1) 2(x − 2)(x − 1)
(x − 1)2 − 2(2x − 4)(x − 2) + (x − 3)2
=
2(x − 3)(x − 2)(x − 1)
x2 − 2x + 1 − 2(2x2 − 8x + 8) + x2 − 6x + 9
=
2(x − 3)(x − 2)(x − 1)
x2 − 2x + 1 − 4x2 + 16x − 16 + x2 − 6x + 9
=
2(x − 3)(x − 2)(x − 1)
−2x2 + 8x − 6 −2(x2 − 4x + 3) −(x − 3)(x − 1) −1
= = = =
2(x − 3)(x − 2)(x − 1) 2(x − 3)(x − 2)(x − 1) (x − 3)(x − 2)(x − 1) x − 2
1139
2 2 4 4 3 2 2
x +y x y y − x + 4x y x + y x y y − x + 4x3y 4 4
9) − − + 3 3
= − − +
2xy x+y x−y 2(x y − xy ) 2xy x+y x−y 2xy(x2 − y 2)
x2 + y 2 x y y 4 − x4 + 4x3y
= − − +
2xy x + y x − y 2xy(x − y)(x + y)
(x2 + y 2)(x − y)(x + y) − x(2xy(x − y)) − y(2xy(x + y)) + y 4 − x4 + 4x3y

=
2xy(x − y)(x + y)
(x2 + y 2)(x2 − y 2) − x(2x2y − 2xy 2) − y(2x2y + 2xy 2) + y 4 − x4 + 4x3y

=
2xy(x − y)(x + y)
x4 − y 4 − 2x3y + 2x2y 2 − 2x2y 2 − 2xy 3 + y 4 − x4 + 4x3y

=
2xy(x − y)(x + y)
2x3y − 2xy 3 2xy(x2 − y 2)
= = =1
2xy(x − y)(x + y) 2xy(x − y)(x + y)
x x2 + x − 1 x2 − x − 1 x3 − x
10) + + −
x2 − 1 x3 − x2 + x − 1 x3 + x2 + x + 1 x4 − 1
1140
2 2 3
x x +x−1 x −x−1 x −x
= + 2 + 2 − 2
(x − 1)(x + 1) x (x − 1) + (x − 1) x (x + 1) + (x + 1) (x − 1)(x2 + 1)
x x2 + x − 1 x2 − x − 1 x3 − x
= + 2 + 2 −
(x − 1)(x + 1) (x + 1)(x − 1) (x + 1)(x + 1) (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)
x(x2 + 1) + (x2 + x − 1)(x + 1) + (x2 − x − 1)(x − 1) − x3 + x

=
(x − 1)(x + 1)(x2 + 1)
x3 + x + x3 + x2 − x + x2 + x − 1 + x3 − x2 − x − x2 + x + 1 − x3 + x
=
(x − 1)(x + 1)(x2 + 1)
2x3 + 2x 2x(x2 + 1) 2x
= = =
(x − 1)(x + 1)(x2 + 1) (x − 1)(x + 1)(x2 + 1) (x − 1)(x + 1)
1141
Exercice 12.10
x y 2xy
1) + − 2
x + y x − y x − y2
2x + 1 x − 1
2) −
2x − 1 x + 1
x2 + y 2 y x
3) + −
x2 − y 2 x − y x + y
4x 3x
4) + −7
x−1 x+1
1 x 2x + 1
5) − 2 +
x x − 1 x − x3
16 1 2
6) + +
(x2 + 4)(x2 − 4) x + 2 x2 + 4
4 3y x − 3y
7) + −
x2 − y 2 x2y − x3 x3 − xy 2
1142
x+4 x−4 64
8) − − 2
x − 4 x + 4 x − 16
2x 2y 6xy + 4y 2
9) + − 2
x − 2y x + 2y x − 4y 2
x2 + y 2 x2 y2
10) − −
xy xy + y 2 x2 + xy
3 − 2x 2x + 3 36
11) − +
2x + 3 3 − 2x 4x2 − 9
x+y x−y x2 + y 2
12) − − 2
2(x − y) 2(x + y) x − y 2
1 1 1
13) + +
(x − y)(x − z) (y − x)(y − z) (z − x)(z − y)
4x2 + 2y 2 2
14) −
x3 + y 3 x+y
x−3 x−2 5
15) − +
x2 + 6x + 8 x2 + 7x + 12 x2 + 5x + 6
x−y x+y
16) + +1
x2 − 2xy + y 2 x2 − y 2
1143
13 − 5x 3x 3x − 5 2x − 7
17) 2
+ + −
6x − 6 x + 1 3x − 3 2x + 2
1144
Corrigé 12.10
x y 2xy x y 2xy x(x − y) + y(x + y) − 2xy

1) + − = + − =
x + y x − y x2 − y 2 x + y x − y (x − y)(x + y) (x − y)(x + y)
x2 − xy + xy + y 2 − 2xy x2 − 2xy + y 2 (x − y)2 x−y

= = = =
(x − y)(x + y) (x − y)(x + y) (x − y)(x + y) x + y
2x + 1 x − 1 (2x + 1)(x + 1) − (x − 1)(2x − 1)

2) − =
2x − 1 x + 1 (2x − 1)(x + 1)
2x2 + x + 2x + 1 − 2x2 + x + 2x − 1 6x
= =
(2x − 1)(x + 1) (2x − 1)(x + 1)
x2 + y 2 y x x2 + y 2 + y(x + y) − x(x − y) x2 + y 2 + xy + y 2 − x2 + xy
3) + − = =
x2 − y 2 x − y x + y (x − y)(x + y) (x − y)(x + y)
2y 2 + 2xy 2y(y + x) 2y
= = =
(x − y)(x + y) (x − y)(x + y) x − y
1145
4x 3x 4x(x + 1) + 3x(x − 1) − 7(x − 1)(x + 1)
4) + −7=
x−1 x+1 (x − 1)(x + 1)
4x2 + 4x + 3x2 − 3x − 7(x2 − 1) x+7

= =
(x − 1)(x + 1) (x − 1)(x + 1)
1 x 2x + 1 1 x 2x + 1
5) − 2 + = − +
x x − 1 x − x3 x (x − 1)(x + 1) x(x2 − 1)
1(x − 1)(x + 1) − x2 + 2x + 1 x2 − 1 − x2 + 2x + 1
= =
x(x − 1)(x + 1) x(x − 1)(x + 1)
2x 2
= =
x(x − 1)(x + 1) (x − 1)(x + 1)
1146
16 1 2 16 1 2
6) + + = + +
(x2 + 4)(x2 − 4) x + 2 x2 + 4 (x2 + 4)(x − 2)(x + 2) x + 2 x2 + 4
16 + 1(x2 + 4)(x − 2) + 2(x − 2)(x + 2) 16 + x3 + 4x − 2x2 − 8 + 2x2 − 8

= 2
=
(x + 4)(x − 2)(x + 2) (x2 + 4)(x − 2)(x + 2)
x3 + 4x x(x2 + 4) x
= 2 = =
(x + 4)(x − 2)(x + 2) (x2 + 4)(x − 2)(x + 2) (x − 2)(x + 2)
4 3y x − 3y 4 3y x − 3y
7) + − = + −
x2 − y 2 x2y − x3 x3 − xy 2 (x − y)(x + y) x2(y − x) x(x2 − y 2)
4 −3y x − 3y 4x2 − 3y(x + y) − (x − 3y)x

= + − =
(x − y)(x + y) x2(x − y) x(x − y)(x + y) x2(x − y)(x + y)
4x2 − 3xy − 3y 2 − x2 + 3xy 3(x2 − y 2) 3

= 2
= 2 = 2
x (x − y)(x + y) x (x − y)(x + y) x
x+4 x−4 64 (x + 4)2 − (x − 4)2 − 64 x2 + 8x + 16 − x2 + 8x − 16 − 64
8) − − = =
x − 4 x + 4 x2 − 16 (x − 4)(x + 4) (x − 4)(x + 4)
1147
16(x − 4) 16
= =
(x − 4)(x + 4) x + 4
2x 2y 6xy + 4y 2 2x(x + 2y) + 2y(x − 2y) − 6xy − 4y 2

9) + − 2 =
x − 2y x + 2y x − 4y 2 (x − 2y)(x + 2y)
2x2 + 4xy + 2xy − 4y 2 − 6xy − 4y 2 2(x2 − 4y 2)

= = =2
(x − 2y)(x + 2y) (x − 2y)(x + 2y)
x2 + y 2 x2 y2 x2 + y 2 x2 y2 (x2 + y 2)(x + y) − x3 − y 3
10) − 2
− 2 = − − =
xy xy + y x + xy xy y(x + y) x(x + y) xy(x + y)
x3 + x2y + xy 2 + y 3 − x3 − y 3 xy(x + y)
= = =1
xy(x + y) xy(x + y)
1148
3 − 2x 2x + 3 36 3 − 2x 2x + 3 36
11) − + 2 = + +
2x + 3 3 − 2x 4x − 9 2x + 3 2x − 3 (2x − 3)(2x + 3)
(3 − 2x)(2x − 3) + (2x + 3)2 + 36 6x − 4x2 − 9 + 6x + 4x2 + 12x + 9 + 36

= =
(2x + 3)(2x − 3) (2x + 3)(2x − 3)
12(2x + 3) 12
= =
(2x + 3)(2x − 3) 2x − 3
x+y x−y x2 + y 2 (x + y)2 − (x − y)2 − 2(x2 + y 2)

12) − − 2 2
=
2(x − y) 2(x + y) x − y 2(x − y)(x + y)
x2 + 2xy + y 2 − x2 + 2xy − y 2 − 2x2 − 2y 2 −2(x2 − 2xy + y 2)

= =
2(x − y)(x + y) 2(x − y)(x + y)
−2(x − y)2 y−x

= =
2(x − y)(x + y) x + y
1149
1 1 1
13) + +
(x − y)(x − z) (y − x)(y − z) (z − x)(z − y)
1 −1 1 1(y − z) − (x − z) + 1(x − y)
= + + =
(x − y)(x − z) (x − y)(y − z) (x − z)(y − z) (x − y)(x − z)(y − z)
0
= =0
(x − y)(x − z)(y − z)
4x2 + 2y 2 2 4x2 + 2y 2 2 4x2 + 2y 2 − 2(x2 − xy + y 2)

14) 3 3
− = 2 2
− =
x +y x + y (x + y)(x − xy + y ) x + y (x + y)(x2 − xy + y 2)
4x2 + 2y 2 − 2x2 + 2xy − 2y 2 2x2 + 2xy 2x(x + y)

= = =
(x + y)(x2 − xy + y 2) (x + y)(x2 − xy + y 2) (x + y)(x2 − xy + y 2)
2x
= 2
x − xy + y 2
1150
x−3 x−2 5 x−3 x−2 5
15) − + = − +
x2 + 6x + 8 x2 + 7x + 12 x2 + 5x + 6 (x + 2)(x + 4) (x + 3)(x + 4) (x + 2)(x + 3)
(x − 3)(x + 3) − (x − 2)(x + 2) + 5(x + 4) x2 − 9 − x2 + 4 + 5x + 20

= =
(x + 2)(x + 3)(x + 4) (x + 2)(x + 3)(x + 4)
5(x + 3) 5
= =
(x + 2)(x + 3)(x + 4) (x + 2)(x + 4)
x−y x+y x−y x+y 1 1

16) 2 2
+ 2 2
+ 1 = 2
+ + 1 = + +1
x − 2xy + y x −y (x − y) (x − y)(x + y) x−y x−y
1+1+x−y x−y+2
= =
x−y x−y
1151
13 − 5x 3x 3x − 5 2x − 7 13 − 5x 3x 3x − 5 2x − 7
17) + + − = + + −
6x2 − 6 x + 1 3x − 3 2x + 2 6(x − 1)(x + 1) x + 1 3(x − 1) 2(x + 1)
13 − 5x + 3x(6(x − 1)) + (3x − 5)(2(x + 1)) − (2x − 7)(3(x − 1))

=
6(x − 1)(x + 1)
13 − 5x + 18x2 − 18x + 6x2 + 6x − 10x − 10 − 6x2 + 6x + 21x − 21

=
6(x − 1)(x + 1)
18x2 − 18 18(x2 − 1)
= = =3
6(x − 1)(x + 1) 6(x − 1)(x + 1)
1152
Exercice 12.11

3ax 2 1
1) · −
2x − a a x
2
3x 3x 9x
2) −1 · +1 : −1
5y 5y 25y 2
x4 + x2 − 2 x + 1
3) ·
x2 + 3x + 2 x2 − 1
2 2

1 x+y x−y x +y
4) · − · −1
2 x−y x+y 2xy
x3 − 7x − 6 x2 + x − 6 x3 + x2 − x − 1
5) 2
· 3 2
·
x − 3x + 2 x − 3x − x + 3 x2 − 3x − 10
x2 + xy + y 2 x4 − y 4
6) ·
(x + y) (x2 + y 2) x2 + xy + y 2
4x2 + 4xy + y 2 − z 2 3x2 + 3xy + 3y 2
7) ·
x3 − y 3 4x + 2y + 2z

x+y x−y x+y x−y
8) + · −
x−y x+y x−y x+y
1153
x+2 x−2 x+2
9) + −2 · −1
x−2 x+2 4
x2 − 2x + 1 x2 + 3x + 2 x2 − 4
10) 2
· 2 · 2
x + 2x + 1 x − 3x + 2 x − 1
2 2 2 2
2 2

1 x+y x−y x +y x +y
11) · −1 · +1 · +1 · −1
4 x−y x+y 2xy 2xy

x y y x x 2y
12) + −1 · − − 1− · 2−
x+y x−y x y y x
(x + y)2 − z 2 x (x − y)2 − z 2
13) 2
· 2 ·
x + xy − xz (x + z) − y 2 xy − y 2 − yz
xm − y m x2n − y 2n
14) n n
· 2m
x −y x − y 2m
1154
Corrigé 12.11

3ax 2 1 3ax 2x − a
1) · − = · =3
2x − a a x 2x − a ax
2 2 2

3x 3x 9x 3x − 5y 3x + 5y 9x − 25y
2) −1 · +1 : −1 = · :
5y 5y 25y 2 5y 5y 25y 2
3x − 5y 3x + 5y 25y 2
= · · =1
5y 5y (3x − 5y) (3x + 5y)
2
2

4 2 x −1 x +2
x +x −2 x+1 x+1
3) · = ·
x2 + 3x + 2 x2 − 1 (x + 1) (x + 2) (x − 1) (x + 1)
2

(x − 1) (x + 1) x + 2 1 x2 + 2
= · =
(x + 1) (x + 2) (x − 1) x+2
1155
2 2
2 2 2 2

1 x+y x−y x +y 1 (x + y) − (x − y) x + y − 2xy
4) − −1 =
2 x−y x+y 2xy 2 (x − y) (x + y) 2xy
1 x2 + 2xy + x2 − x2 + 2xy − y 2 (x − y)2 1 4xy (x − y)2 x − y

= · · = · · =
2 (x − y) (x + y) 2xy 2 (x − y) (x + y) 2xy x+y
x3 − 7x − 6 x2 + x − 6 x3 + x2 − x − 1
5) · ·
x2 − 3x + 2 x3 − 3x2 − x + 3 x2 − 3x − 10
2

(x + 1) x − x − 6 (x − 2) (x + 3) x2 (x + 1) − (x + 1)
= · 2 ·
(x − 2) (x − 1) x (x − 3) − (x − 3) (x − 5) (x + 2)
2

(x + 1) (x − 3) (x + 2) x+3 x − 1 (x + 1)
= · 2 ·
x−1 (x − 1) (x − 3) (x − 5) (x + 2)
x + 1 x + 3 x + 1 (x + 1)2 (x + 3)
= · · =
x−1 1 x−5 (x − 1) (x − 5)
1156
2 2 2 2
x2 + xy + y 2 x4 − y 4 1 x −y x +y
6) 2 2
· 2 2
= 2 2
·
(x + y) (x + y ) x + xy + y (x + y) (x + y ) 1
1 (x − y) (x + y)
= · =x−y
x+y 1
2 2 2

2 2 2 2 2 2
3 x + xy + y
4x + 4xy + y − z 3x + 3xy + 3y (2x + y) − z
7) · = ·
x3 − y 3 4x + 2y + 2z (x − y) (x2 + xy + y 2) 2 (2x + y + z)
[(2x + y) − z][(2x + y) + z] 3 3 (2x + y − z)

= · =
x−y 2 (2x + y + z) 2 (x − y)
1157
2 2
x+y x−y x+y x−y (x + y) (x − y)
8) + − = 2 −
x−y x+y x−y x+y (x − y) (x + y)2
(x + y)4 − (x − y)4 [(x + y)2 − (x − y)2][(x + y)2 + (x − y)2]

= 2 2 =
(x − y) (x + y) (x − y)2 (x + y)2
[[(x + y) − (x − y)][(x + y) + (x − y)]][x2 + 2xy + y 2 + x2 − 2xy + y 2]

=
(x − y)2 (x + y)2
2 2

2 2 8xy x + y
[2y][2x][2x + 2y ]
= 2 2 =
(x − y) (x + y) (x − y)2 (x + y)2
2 2 2

(x + 2) + (x − 2) − 2 x − 4 x + 2 − 4

x+2 x−2 x+2
9) + −2 −1 = ·
x−2 x+2 4 (x − 2) (x + 2) 4
x2 + 4x + 4 + x2 − 4x + 4 − 2x2 + 8 x − 2 4
= · =
(x − 2) (x + 2) 4 x+2
1158
2 2 2 2
x − 2x + 1 x + 3x + 2 x − 4 (x − 1) (x + 1) (x + 2) (x − 2) (x + 2) (x + 2)2
10) · · = · · =
x2 + 2x + 1 x2 − 3x + 2 x2 − 1 (x + 1)2 (x − 2) (x − 1) (x − 1) (x + 1) (x + 1)2
2 2 2 2
2 2

1 x+y x−y x +y x +y
11) −1 +1 +1 −1
4 x−y x+y 2xy 2xy
1 ((x + y) − (x − y))2 ((x − y) + (x + y))2 x2 + y 2 + 2xy x2 + y 2 − 2xy

= · 2 · 2 · ·
4 (x − y) (x + y) 2xy 2xy
1 4y 2 4x2 (x + y)2 (x − y)2

= · 2 · 2 · · =1
4 (x − y) (x + y) 2xy 2xy
1159
x y y x x 2y
12) + −1 − − 1− 2−
x+y x−y x y y x
2 2

x (x − y) + y (x + y) − 1 x − y y 2 − x2 y − x 2x − 2y
= · − ·
(x + y) (x − y) xy y x
2 2

2 2 2 2
x − xy + xy + y − x + y − x − y − (x − y) 2 (x − y)
= · − ·
(x + y) (x − y) xy y x
2y 2 −1 −2 (x − y)2 −2y 2 + 2 (x − y)2 −2y 2 + 2x2 − 4xy + 2y 2

= · − = =
1 xy xy xy xy
2x2 − 4xy 2x (x − 2y) 2 (x − 2y)

= = =
xy xy y
1160
2 2 2 2
(x + y) − z x (x − y) − z
13) · ·
x2 + xy − xz (x + z)2 − y 2 xy − y 2 − yz
[(x + y) − z][(x + y) + z] x [(x − y) − z][(x − y) + z]

= · ·
x (x + y − z) [(x + z) − y][(x + z) + y] y (x − y − z)
[x + y + z] 1 [x − y + z] 1
= · · =
1 [x + z − y][x + z + y] y y
xm − y m x2n − y 2n xm − y m (xn − y n) (xn + y n) xn + y n

14) n n
· 2m 2m
= n · m = m
x −y x −y x − y (x − y ) (x + y ) x + y m
n m m m
1161
Exercice 12.12

1 1 xy − x + y − 1 xy − x + 2y − 2
1) (x + y) : + 2) 2
:
x y 3x + 3x 4x2 + 8x
2 2

2x y + z z x − 7x + 6 x − 36 x−1
3) : − 4) : : 2
2y − z 3 2 x3 − x2 − 25x + 25 x2 − 6x + 5 x + 11x + 30
2 2 2 2

x − xy xy − y 2x (x + y) x +y 3 3

5) : 6) −x : x +y
xy + y 2 x2 + xy xy y
2 2
1162
x −y x+y y x y x
7) : 8) 1+ : 1+ : 1− : 1−
x2 + 2xz + z 2 x + z x y x y
2 2 3 2

x + x x + 3x x +x 1 1 1 1 x+y
9) · : 10) − : − :
x+3 x−1 x−1 x2 y 2 x y x−y
2 2 4 2 3
4x2

a x −x ax + x 2x 2x
11) : 12) x+ −2 : 2
a3 − x3 a2 + ax + x2 x−2 x−2 x −4
1163
2 2 2 2

xy y x − 2yz − y − z x − y − z
13) x+ : y+ 14) 2 2 2
:
x−y x−y x − z + 2yz − y x − z + y
2 2 3 3

x + xy + y x −y 1 1 y y x 1
15) : 16) − 2 : +1 −1 2 −
x3 + y 3 x2 − xy + y 2 x x x x y − x2 x2
2 2
2x2 + 4x

1 2 3 1 4x − x − 14 4x x−2
17) − − : −1 18) · · :
x x2 x3 x2 6xy − 14y x2 − 4 4x + 7 3x2 − x − 14
1164
Corrigé 12.12

1 1 x + y y + x x + y xy
1) (x + y) : + = : = · = xy
x y 1 xy 1 x+y
xy − x + y − 1 xy − x + 2y − 2 x (y − 1) + (y − 1) 4x (x + 2)
2) : = ·
3x2 + 3x 4x2 + 8x 3x (x + 1) x (y − 1) + 2 (y − 1)
(x + 1) (y − 1) 4 (x + 2) 4
= · =
3 (x + 1) (x + 2) (y − 1) 3
2x y + z z 2x 2y + 2z − 3z 2x 6 12x
3) : − = : = · =
2y − z 3 2 2y − z 6 2y − z 2y − z (2y − z)2
2 2

x − 7x + 6 x − 36 x−1
4) : : 2
x3 − x2 − 25x + 25 x2 − 6x + 5 x + 11x + 30
1165
(x − 6) (x − 1) (x − 5) (x − 1) (x + 5) (x + 6)
= 2 · ·
x (x − 1) − 25 (x − 1) (x − 6) (x + 6) x−1
(x − 1) x−5 x+5
= 2 · · =1
(x − 25) (x − 1) 1 1
x2 − xy xy − y 2 x (x − y) x (x + y) x2
5) : = · =
xy + y 2 x2 + xy y (x + y) y (x − y) y 2
2 2

2 2 2 2
2 (x + y) x + y − xy (x + y) x − xy + y

2x (x + y) x +y 3 3

6) −x : x +y = · :
xy y y y 1
2 (x + y) x2 + y 2 − xy 1 2
= · · =
y y (x + y) (x2 − xy + y 2) y 2
1166
2 2
x −y x + y (x − y) (x + y) x + z x − y
7) 2 2
: = 2 · =
x + 2xz + z x + z (x + z) x+y x+z

y x y x x+y y+x x−y y−
8) 1+ : 1+ : 1− : 1− = : : :
x y x y x y x

x+y y x − y −y y −y y x
= · : · = : = · = −1
x x+y x x−y x x x −y
2 2
x3 + x2 x (x + 1) x (x + 3)

x + x x + 3x x−1
9) · : = · · 2 =1
x+3 x−1 x−1 x+3 x−1 x (x + 1)
2 2

1 1 1 1 x+y y −x y−x x−y
10) 2
− 2
: − : = 2 2
: ·
x y x y x−y xy xy x+y
(y − x) (y + x) xy x − y x − y
= 2 2
· · =
xy y−x x+y xy
1167
2 2 2
a2 x2 − x4 ax2 + x3 x a −x a2 + ax + x2
11) 3 3
: 2 2
= 2 2
· 2
a −x a + ax + x (a − x) (a + ax + x ) x (a + x)
(a − x) (a + x) 1
= · =1
a−x (a + x)
2

2x 2x 4x x (x − 2) + 2x 2x − 2 (x − 2) (x − 2) (x + 2)
12) x+ −2 : 2 = · ·
x−2 x−2 x −4 x−2 x−2 4x2
x2 − 2x + 2x 2x − 2x + 4 x + 2 x2 4 x+2 x+2
= · · 2
= · · 2
=
x−2 1 4x x − 2 1 4x x−2
2
x (x − y) + xy y (x − y) + y 2

xy y
13) x+ : y+ = :
x−y x−y x−y x−y
x2 − xy + xy x−y x2 1 x
= · = · =
x−y xy − y 2 + y 2 1 xy y
1168
2 2 2
x2 − 2yz − y 2 − z 2 x − y − z x − y + 2yz + z x−z+y
14) : = ·
x2 − z 2 + 2yz − y 2 x − z + y x2 − (y 2 − 2yz + z 2) x − y − z
x2 − (y + z)2 x − z + y [x − (y + z)] [x + (y + z)] x − z + y

=
2 2 · x − y − z = [x − (y − z)] [x + (y − z)] · x − y − z
x − (y − z)
[x − y − z] [x + y + z] x − z + y x + y + z
= · =
[x − y + z] [x + y − z] x − y − z x − y + z
x2 + xy + y 2 x3 − y 3 x2 + xy + y 2 x2 − xy + y 2
15) : 2 = ·
x3 + y 3 x − xy + y 2 (x + y) (x2 − xy + y 2) (x − y) (x2 + xy + y 2)
1
=
(x + y) (x − y)
1169
1 1 y y x 1
16) − 2 : +1 −1 2 −
x x x x y − x2 x2

x−1 y+x y−x x 1
= : · · −
x2 x x (y − x) (y + x) x2
x − 1 x − 1 x − 1 x2

x−1 1 1
= : − = : = · =1
x2 x x2 x2 x2 x2 x−1
x2 − 2x − 3 1 − x2

1 2 3 1
17) − − : −1 = :
x x2 x3 x2 x3 x2
(x − 3) (x + 1) 1 x−3
= · =
x (1 − x) (1 + x) x (1 − x)
1170
2 2 2

4x − x − 14 4x x−2 2x + 4x
18) · 2 · : 2
6xy − 14y x − 4 4x + 7 3x − x − 14
dp(x − 2) (4x + 7) 4x2 x − 2 (x + 2) (3x − 7)

= · · ·
2y (3x − 7) (x − 2) (x + 2) 4x + 7 2x (x + 2)
(x − 2) x 1 1 x (x − 2)
= · · · =
y x + 2 1 1 y (x + 2)
1171
Exercice 12.13

2x 2x
1) 1− : 1+
1 + 2x 1 − 2x
2a
2) 2a − 3a
1 − 1+3a
a2 +b2
b − a a 2 − b2
3) 1 1 · 3
b − a
a + b3

y y−1 y y−1
4) + : −
y+1 y y+1 y
4 2

x −1 2x + 2 x
5) 4 2
: · 4x +
16x − 9x 4x + 3 x−1
1172
2 2 2

x +y xy 4x (x + y)
6) +1 :
2xy x3 + y 3 x2 − xy + y 2
2 3
x2

x −1 x −1
7) · ·
x4 − 2x3 + x2 x2 + 2x + 1 (x + 1)2 − x
2

x y z 2z
8) + +2− : 1+
y x xy x+y−z
1 1
9) x2 +y 2
+ x2 +y 2
2xy −1 2xy +1
x2 + 24yz − 16y 2 − 9z 2 x + 4y − 3z
10) 2 2 2
:
16y − 9z − 6xz − x x − 4y + 3z
1173
Corrigé 12.13

2x 2x 1 + 2x − 2x 1 − 2x + 2x 1 1 − 2x
1) 1− : 1+ = : = ·
1 + 2x 1 − 2x 1 + 2x 1 − 2x 1 + 2x 1
1 − 2x
=
1 + 2x
2a 2a 2a 2a 1 + 3a
2) 2a − 3a = 2a − 1+3a−3a = 2a − 1 = 2a − · = 2a − 2a − 6a2 = −6a2
1 − 1+3a 1+3a 1+3a
1 1
a2 +b2 2 2 a2 +b2 −ab

b −a a −b b (a − b) (a + b)
3) 1 1 · 3 3
= a−b
·
b − a
a +b ab
(a + b) (a2 − ab + b2)
2 2
a + b − ab ab a−b
= · · 2 2
=a
b a − b a − ab + b
1174
y 2 + (y + 1) (y − 1) y 2 − (y − 1) (y + 1)

y y−1 y y−1
4) + : − = :
y+1 y y+1 y (y + 1) y y (y + 1)
y 2 + y 2 − 1 y (y + 1) 2
= · 2 2
= 2y −1
(y + 1) y y − y + 1
2
2
4 2 x −1 x +1

x −1 2x + 2 x 4x + 3 4x (x − 1) + x
5) 4 2
: · 4x + = 2 2
· 2
·
16x − 9x 4x + 3 x−1 x (16x − 9) 2 (x + 1) x−1
(x − 1) (x + 1) 4x + 3 4x2 − 4x + x x+1 1 x (4x − 3) x + 1

= 2 · · = 2 · · =
x (4x − 3) (4x + 3) 2 x−1 x (4x − 3) 2 1 2x
1175
2 2 2

x +y xy 4x (x + y)
6) +1 :
2xy x3 + y 3 x2 − xy + y 2
x2 + y 2 + 2xy xy 2 x2 − xy + y 2
= · 2 2
·
2xy (x + y) (x + xy + y ) 4x (x + y)
(x + y)2 y 1 y
= · · =
2x (x + y) 4 (x + y) 8x
2 3
x2

x −1 x −1
7) · ·
x4 − 2x3 + x2 x2 + 2x + 1 (x + 1)2 − x
2

(x − 1) (x + 1) (x − 1) x + x + 1 x2
= 2 2 · 2 · 2
x (x − 2x + 1) (x + 1) x + 2x + 1 − x
2

(x − 1) (x − 1) x + x + 1 1 1
= 2 · (x + 1)
· 2
x + x + 1
=
x+1
(x − 1)
1176
2
x2 + y 2 + 2xy − z 2 x + y − z + 2z

x y z 2z
8) + +2− : 1+ = :
y x xy x+y−z xy x+y−z
(x + y)2 − z 2 x + y − z [(x + y) − z][(x + y) + z] x + y − z

= · = ·
xy x+y+z xy x+y+z
[x + y − z] x + y − z (x + y − z)2
= · =
xy 1 xy
1 1 1 1 1 2xy 1 2xy
9) + = + = · + ·
x2 +y 2
−1 x2 +y 2
+1 x2 +y 2 −2xy x2 +y 2 +2xy 1 (x − y)2 1 (x + y)2
2xy 2xy 2xy 2xy
2xy[(x + y)2 + (x − y)2] 2xy[x2 + 2xy + y 2 + x2 − 2xy + y 2] 2xy[2x2 + 2y 2]

= 2 2 = 2 2 =
(x − y) (x + y) (x − y) (x + y) (x − y)2 (x + y)2
2 2

4xy x + y
=
(x − y)2 (x + y)2
1177
2 2 2
x2 + 24yz − 16y 2 − 9z 2 x + 4y − 3z x − 16y − 24yz + 9z x − 4y + 3z
10) : = ·
16y 2 − 9z 2 − 6xz − x2 x − 4y + 3z (4y)2 − (9z 2 + 6xz + x2) x + 4y − 3z
x2 − (4y − 3z)2 x − 4y + 3z [x − (4y − 3z)][x + (4y − 3z)] x − 4y + 3z

= 2 2 · x + 4y − 3z = [(4y) − (3z + x)][(4y) + (3z + x)] · x + 4y − 3z
(4y) − (3z + x)
[x − 4y + 3z] − (−x + 4y − 3z) −x + 4y − 3z

= · =
[4y − 3z − x][4y + 3z + x] 1 x + 4y + 3z
1178
Exercice 12.14
1 1
+ y+z 2 2 2
(y + z)2 − (y − z)2

x z +y −x
1) 1 1 · 1+ ·
x − y+z 2yz x+y+z
2 2
x y y z z x 2 x y y z z x
2) + + + + + − + · + · +
y x z y x z y x z y x z
2xy 2xy
x+y − x x+y − y
3) 1 1 + 1 1
y + x−2y x + y−2x
x+y x−y
1−xy + 1+xy
4) x2 −y 2
1− 1−x2 y 2
20x 8x − 12 5x
5) + −
4x2 − 9 4x2 − 12x + 9 2x2 + 3x
1179
1 − x−y
x+y
6) x−y x+y
x+y − x−y
4 (x + 3)2 x2 − 25 (2x + 3)2 − x2

7) 2 − 2 −
(3x + 5) − 4x2 9x2 − (2x + 5) (4x + 15)2 − x2
1 1
x +1 x +x−1
8) 1 ·
x
x2 − x + 1
x3 y3 z3
9) + +
(x − y) (x − z) (y − z) (y − x) (z − x) (z − y)
1180
Corrigé 12.14
1 1
+ y+z 2 2 2
(y + z)2 − (y − z)2

x z +y −x
1) 1 1 · 1+ ·
x − y+z 2yz x+y+z
y+z+x
x(y+z) 2yz + z 2 + y 2 − x2 y 2 + 2yz + z 2 − y 2 + 2yz − z 2
= y+z−x · ·
x(y+z)
2yz x+y+z
y + z + x x (y + z) (y + z)2 − x2 4yz
= · · ·
x (y + z) y + z − x 2yz x+y+z
1 1 [(y + z) − x][(y + z) + x] 2
= · · · = 2 (x + y + z)
1 y+z−x 1 1
1181
2 2
x y y z z x 2 x y y z z x
2) + + + + + − + · + · +
y x z y x z y x z y x z
2 2
2 2 2
2 2 2
2
x2 + y 2 y 2 + z 2 z 2 + x2

x +y y +z z +x
= + + − · ·
xy yz xz xy yz xz
x4 + 2x2y 2 + y 4 y 4 + 2y 2z 2 + z 4 x4 + 2x2z 2 + z 4 x2y 2 + x2z 2 + y 4 + y 2z 2 x2 + z 2

= 2 2
+ 2 2
+ 2 2
− 2
·
xy yz xz xy z xz
x4z 2 + 2x2y 2z 2 + y 4z 2 + x2y 4 + 2x2y 2z 2 + x2z 4 + x4y 2 + 2x2y 2z 2 + y 2z 4

=
x2 y 2 z 2
x4 y 2 + x4 z 2 + x2 y 4 + x2 y 2 z 2 + x2 y 2 z 2 + x2 z 4 + y 4 z 2 + y 2 z 4
−
x2 y 2 z 2
4x2y 2z 2
= 2 2 2 =4
xyz
1182
2xy 2xy 2xy−x(x+y) 2xy−y(x+y)

x+y − x x+y − y x+y x+y
3) 1 1 + 1 1 = x−2y+y + y−2x+x
y + x−2y x + y−2x y(x−2y) x(y−2x)
xy − x2 xy − 2y 2 xy − y 2 xy − 2x2 x (y − x) xy − 2y 2 y (x − y) xy − 2x2
= · + · = · + ·
x+y x−y x+y y−x x+y x−y x+y y−x
−x xy − 2y 2 −y xy − 2x2 −x2y + 2xy 2 − xy 2 + 2x2y

= · + · =
x+y 1 x+y 1 x+y
xy 2 + x2y xy (y + x)
= = = xy
x+y x+y
1183
x+y x−y (x+y)(1+xy)+(x−y)(1−xy)
1−xy + 1+xy (1−xy)(1+xy)
4) x2 −y 2
= 1−x2 y 2 −x2 +y 2
1− 1−x2 y 2 (1−xy)(1+xy)
(x + y) (1 + xy) + (x − y) (1 − xy) (1 − xy) (1 + xy)

= ·
(1 − xy) (1 + xy) 1 − x2 y 2 − x2 + y 2
x + y + x2y + xy 2 + x − y − x2y + xy 2 2x + 2xy 2

= =
−x2y 2 − x2 + y 2 + 1 −x2 (y 2 + 1) + (y 2 + 1)
2

2x 1 + y 2x
= =
(1 − x2) (y 2 + 1) 1 − x2
1184
20x 8x − 12 5x 20x 8x − 12 5x
5) + − = + −
4x2 − 9 4x2 − 12x + 9 2x2 + 3x (2x − 3) (2x + 3) (2x − 3)2 x (2x + 3)
20x2 (2x − 3) + x (8x − 12) (2x + 3) − 5x (2x − 3)2

=
x (2x − 3)2 (2x + 3)
3 2 2
2

40x − 60x + x 16x + 24x − 24x − 36 − 5x 4x − 12x + 9
=
x (2x − 3)2 (2x + 3)
40x3 − 60x2 + 16x3 − 36x − 20x3 + 60x2 − 45x 36x3 − 81x

= 2 =
x (2x − 3) (2x + 3) x (2x − 3)2 (2x + 3)
2

9x 4x − 9 9
= =
x (2x − 3)2 (2x + 3) (2x − 3)
1185
1 − x−y
x+y
x+y−x+y
x+y x+y−x+y (x + y) (x − y)
6) x−y x+y = = ·
x+y − x−y
(x−y)2 −(x+y)2 x+y (x − y)2 − (x + y)2
(x+y)(x−y)
2y x−y 2y x − y y − x
= · 2 2 2 2
= · =
1 x − 2xy + y − x − 2xy − y 1 −4xy 2x
1186
2 2 2 2
4 (x + 3) x − 25 (2x + 3) − x
7) 2 − 2 −
(3x + 5) − 4x2 9x2 − (2x + 5) (4x + 15)2 − x2
2

4 x + 6x + 9 (x − 5) (x + 5)
= −
[(3x + 5) − 2x][(3x + 5) + 2x] [3x − (2x + 5)][3x + (2x + 5)]
[(2x + 3) − x][(2x + 3) + x]
−
[(4x + 15) − x][(4x + 15) + x]
4x2 + 24x + 36 (x − 5) (x + 5) [x + 3][3x + 3] 4x2 + 24x + 36 (x + 5) [x + 1]

= − − = − −
5[x + 5][x + 1] 5[x − 5][x + 1] 15[x + 5][x + 3] 5[x + 5][x + 1] 5[x + 1] 5[x + 5]
4x2 + 24x + 36 − (x + 5)2 − (x + 1)2 4x2 + 24x + 36 − x2 − 10x − 25 − x2 − 2x − 1

= =
5[x + 5][x + 1] 5[x + 5][x + 1]
2

2 x + 6x + 5 2 (x + 1) (x + 5) 2
= = =
5[x + 5][x + 1] 5[x + 5][x + 1] 5
1187
1 1 1+x 1+x2 −x
x +1 x +x−1 x x 1 + x x 1 + x2 − x 1 1+x
8) 1 · = 1 · x2 −x+1
= · · · 2 =
x
x2 − x + 1 x 1
x 1 x x −x+1 x
x3 y3 z3
9) + +
(x − y) (x − z) (y − z) (y − x) (z − x) (z − y)
x3 −y 3 z3 x3 (y − z) − y 3 (x − z) + z 3 (x − y)
= + + =
(x − y) (x − z) (y − z) (x − y) (x − z) (y − z) (x − y) (x − z) (y − z)
x3y − x3z − xy 3 + y 3z + xz 3 − yz 3 x3y − x3z − xy 3 + xz 3 + y 3z − yz 3

= =
(x − y) (x − z) (y − z) (x − y) (x − z) (y − z)
3 3 3
2 2

x (y − z) − x y − z + yz y − z
=
(x − y) (x − z) (y − z)
3 2 2

x (y − z) − x (y − z) y + yz + z + yz (y − z) (y + z)
=
(x − y) (x − z) (y − z)
1188
3 2 2

(y − z) x − x y + yz + z + yz (y + z) x3 − xy 2 − xyz − xz 2 + y 2z + yz 2
= =
(x − y) (x − z) (y − z) (x − y) (x − z)

3 2 2 2
x − xy − xyz + y z − xz + yz x x − y − yz (x − y) − z 2 (x − y)
2 2 2
= =
(x − y) (x − z) (x − y) (x − z)
(x − y) [x (x + y) − yz − z 2] x2 + xy − yz − z 2 x2 − z 2 + xy − yz
= = =
(x − y) (x − z) (x − z) (x − z)
(x − z) (x + z) + y (x − z) (x − z) [(x + z) + y]
= = =x+y+z
(x − z) (x − z)
1189
4 Solutions
Solution 12.1
1) 980 2) 150 3) 1680 4) 6300 5) 128
Solution 12.2
1) 18x2y 2 2) 30x2y 2z
3) 6x(x − 1)(x + 2)2 4) 120x2(x − y)2(x + y)
5) (x − 1)2(x + 1)2(x + 2)2 6) 8x3(x + 3)
7) (3x − y)2(3x + y)2(9x2 + y 2) 8) x(x − 1)(x − 2)(x − 3)
9) 18x2(x − 3y)2(x + 3y) 10) (x − 6)(x − 5)(x − 4)(x + 4)
11) x(x + 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1)

1190
Solution 12.3
1 1 2np3
1) 2) 3)
c 5a2 3m
3x2 −2a −5c

4) 5) 6)
5ay 4 3b 4a
5b2z 2 1 x + 2y
7) 8) 9)
6a3 2−x 3y
y
10)
x−y
1191
Solution 12.4
1 1
1) 2)
a−b a+b
a+b a2 + a + 1
3) 4)
a (a − 1)2
1 a + bc
5) 6)
ax − 1 x
4 · (5 − x) a2
7) 8) −
5 3
1
9) 10) 4
9a + 11x
1192
Solution 12.5
x+a−b+c a+b−c
1) 2)
x−a+b+c a−b+c
x2 + xy + y 2
3) a + b 4) 2
x − xy + y 2
x+2 x−y+z
5) 6)
x−3 x+y+z
4ab a+b
7) 8)
(a − b)(a + b)(a2 + b2) a−b
x−3 2−x
9) 10)
x−2 x−3
a − 7b
11) 12) x − a − b
a+b
2a + 3b − c 6a + b
13) 14)
5 6a − b
1193
Solution 12.6
x2 + ax + a2
1) 2) x − y
x+a
2 b2 (1 − x)
3) a(a − 2)(a + 2a + 4)(a + 2) 4)
1+b
b2
5) 6) 1
1+b
2x + 1 5x + 2
7) 8)
2x − 1 3x − 4
1194
Solution 12.7
3x x−3 x − 10
1) 2) 3)
x+2 x+3 2
x+3 x−2 x−4
4) 5) 2 6)
x−5 x − 2x + 4 x−5
7x − 10 1−x x+3
7) 8) 9)
2x − 1 x(x + 1) 3x − 1
1 + 3x 6x 2x
10) 11) 12)
2(1 − 3x) (x − 6) 9x2 − 3x + 1
1 (x2 + 3x + 9) x+3
13) 2 14) 15) 2
x +1 3(x + 2) x + 3x + 9
(1 − x + x2) x3 + x + 1 x+1
16) 17) 3 18)
x x + x2 + 1 x+2
4(x − 2)(x + 2) 1 x+8
19) 20) 21)
x3 + 2x2 + 8 x+1 8(x + 1)
x+2 x−3
22) 23)
x−2 2
1195
Solution 12.8
13a + 114b
1) a 2)
60
x−7 2(9x − 22y)

3) 4)
12 15
1 a2
5) 6)
x−y (a − b)(a + b)
2 2
7) 8)
(x + 1)(x + 2)(x + 3) x+3
8
9) a + b 10)
(a + 3)(a + 1)
2a a2 + 3
11) 12)
a+b (a − 1)2(a + 1)2
1196
Solution 12.9
1) 0 2) x2 + 2
y(x + y)
3) 2 4)
(x − 2y)(x + 2y)
3x 2
5) 6)
(x + 3) b(a − b)
a2x −1
7) 8)
(a − x)(a + x) x−2
2x
9) 1 10)
(x − 1)(x + 1)
1197
Solution 12.10
x−y 6x
1) 2)
x+y (2x − 1)(x + 1)
2y x+7
3) 4)
x−y (x − 1)(x + 1)
2 x
5) 6)
(x − 1)(x + 1) (x − 2)(x + 2)
3 16
7) 2 8)
x x+4
9) 2 10) 1
12 y−x
11) 12)
2x − 3 x+y
2x
13) 0 14) 2
x − xy + y 2
5 x−y+2
15) 16)
(x + 2)(x + 4) x−y
17) 3
1198
Solution 12.11
1) 3 2) 1
x2 + 2 x−y
3) 4)
x+2 x+y
(x + 1)2 (x + 3)
5) 6) x − y
(x − 1) (x − 5)
2 2

3 (2x + y − z) 8xy x + y
7) 8)
2 (x − y) (x − y)2 (x + y)2
4 (x + 2)2
9) 10)
x+2 (x + 1)2
2 (x − 2y)
11) 1 12)
y
1 xn + y n
13) 14) m
y x + ym
1199
Solution 12.12
4 12x
1) xy 2) 3)
3 (2y − z)2
x2 2
4) 1 5) 2 6) 2
y y
x−y
7) 8) − 1 9) 1
x+z
x−y x+2
10) 11) 1 12)
xy x−2
x x+y+z 1
13) 14) 15)
y x−y+z (x + y) (x − y)
x−3 x (x − 2)
16) 1 17) 18)
x (1 − x) y (x + 2)
1200
Solution 12.13
1 − 2x
1) 2) − 6a2
1 + 2x
3) a 4) 2y 2 − 1
x+1 y
5) 6)
2x 8x
1 (x + y − z)2
7) 8)
x+1 xy
2 2

4xy x + y −x + 4y − 3z
9) 10)
(x − y)2 (x + y)2 x + 4y + 3z
1201
Solution 12.14
1) 2 (x + y + z) 2) 4
2x
3) xy 4)
1 − x2
9 y−x
5) 6)
(2x − 3) 2x
2 1+x
7) 8)
5 x
9) x + y + z
Chapitre 13
Fonctions numériques réelles
1203
1 Introduction
Une grandeur caractérisant un phénomène donné peut être entièrement déterminée par d’autres
grandeurs. Ces interdépendances sont celles qui ont donné naissance à la notion de fonction, car
plusieurs phénomènes observés dans la nature peuvent être liés les uns aux autres par corres-
pondance.
Dès qu’une grandeur dépend d’une autre, on peut parler de fonction à une variable et, dès que
la fonction permet d’associer à un réel un autre nombre réel, on parle de fonction numérique.
Exemple
— Si l’on considère un gaz parfait dans un récipient à volume constant, la pression P va
donc varier en fonction de la température T . Mathématiquement, on dira qu’il existe une
certaine fonction, notée par exemple f , telle que P = f (T ), ce qui se lit “P égale f de T”.
— Si quelqu’un achète au GYB n canettes de soda, il dépensera une somme de n fois le prix
d’une canette. Mathématiquement, on dira qu’il existe une certaine fonction notée g et
que la dépense D est définie en fonction du nombre de canettes n. On écrira D = g(n),
ce qui se lit “D égale g de n”.
1204
2 Fonctions
Définition
Soient deux ensembles D de R et A de R. Toute relation de D vers A qui associe à tout
nombre réel de D exactement un nombre réel de A est une fonction numérique de D dans
A.
Si f désigne cette fonction, on note f : D −→ A .
D est l’ensemble de départ de la fonction et A l’ensemble d’arrivée.
Si x est un élément de D, on désigne par f (x), qui se lit “f de x”, l’élément de A qui correspond
à x. f (x) est appelé l’image de x par f . On note :
f : D −→ A
x 7−→ f (x)
1205
Exemple
Soit f une fonction définie par :
f : R −→ R
x 7−→ x3 + 2
— Pour calculer l’image du nombre 3 par f , on remplace, partout où elle apparaît, la va-
riable x par 3. Ainsi, l’image de 3 par la fonction f est : 33 + 2 = 29.
On écrit donc : f (3) = 33 + 2 ou, de manière générale, f (x) = x3 + 2.
— On calcule l’image de −1 par la fonction f : f (−1) = (−1)3 + 2 = −1 + 2 = 1.

1206
Remarque : Parmi les fonctions numériques on trouve par exemple :
(a) les fonctions polynômiales de degré n :
f (x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a3x3 + a2x2 + a1x + a0, avec a0, a1, a2, a3, ...an ∈ R,
(b) les fonctions constantes du type f (x) = k, avec k ∈ R ,
(c) la fonction identité : f (x) = x,
(d) les fonctions linéaires (monôme du premier degré) : f (x) = ax, avec a ∈ R ,
(e) les fonctions affines (binôme du premier degré) : f (x) = ax + b, avec a, b ∈ R,
(f) les fonctions quadratiques (trinôme, binôme ou monôme du deuxième degré) : f (x) = ax2 +
bx + c, avec a, b, c ∈ R .
Notation:
— a ∈ R veut dire que a est un élément de l’ensemble R. On lit “a appartient à R “.
—b∈ / D veut dire que b n’est pas un élément de l’ensemble D. On lit “b n’appartient pas à
D”.
1207
Définition
Soit f une fonction.
— Si x est un réel, le réel f (x) est son image.
— Le réel x est un antécédent (préimage) de f (x).
Remarque : f (x) peut avoir plusieurs antécédents, mais l’image de x est unique, s’il en a une.
Exemple
Soit f une fonction définie par :
f : R −→ R
x 7−→ x2
— 9 est l’image de 3 car 32 = 9.
— −5 est un antécédent de 25 car (−5)2 = 25.
Remarque : Pour le cas d’une fonction numérique à une variable réelle f , un nombre peut
admettre zéro, un ou plusieurs antécédents (préimages) par f .
1208
Exemple
Soit f (x) = 3x − 2 une fonction polynômiale du premier degré.
Pour calculer le ou les antécédent(s) par f de 3, on remplace f (x) par 3 et on détermine x en
résolvant l’équation avec l’inconnue x.
3 = 3x − 2
3 + 2 = 3x
5 = 3x
5
x=
3
5
Dans ce cas, le nombre 3 admet un unique antécédent .
3
1209
Exemple
2
Soit f (x) = − x2 − 1 une fonction polynômiale du deuxième degré. Pour calculer le ou les
3
antécédent(s) par f de −2, on remplace f (x) par −2 et on détermine x en résolvant l’équation
avec l’inconnue x.
2
−2 = − x2 − 1
3
2 2
x = −1 + 2
3
2 2
x =1
3
3
x2 =
2
√ √ √ √
3 3· 2 6
x = ±√ = ±√ √ = ±
2 2· 2 2
√
6
Dans ce cas, le nombre −2 admet deux antécédents ± .
2
1210
2.1 Représentation graphique

— Une fonction à une variable réelle f de R dans R peut être représentée graphiquement.
— L’ensemble des points (x; y) du plan dont l’abscisse est x et l’ordonnée y = f (x), constitue
la représentation graphique de la fonction f . Celle-ci a le plus souvent l’aspect d’une courbe
notée Cf .
— On dit aussi que l’équation de la courbe représentative de f est : y = f (x).
Exemple
1211
3 Fonction linéaire
Définition
Toute fonction f qui associe à tout nombre x de R un nombre f (x) = ax, avec a ∈ R
s’appelle fonction linéaire. On la note ainsi :
f : R −→ R
x 7−→ ax
Remarque : On dit que f (x) et x sont proportionnelles et a est la constante de proportionnalité.

Exemple
Soit la fonction f définie par :
f : R −→ R
x 7−→ −4x
— L’image de 2 par f est : f (2) = −4 · 2 = −8.
— On dit que 2 est l’antécédent de −8 par f et que le point de coordonnées (2; −8) appar-
tient à Cf la courbe représentative de la fonction f.
— Supposons que le point de coordonnées (2; −8) s’appelle A, on peut donc écrire que :
A ∈ Cf .
1212
Exemple
Soit la fonction g définie par :
g : R −→ R
3
x 7−→ x
5
3
— L’image de 5 par g est : g(5) = · 5 = 3. On dit que 5 est l’antécédent de 3 par g.
5
3
— L’image de 15 par g est : g(15) = · 15 = 9. On dit que 15 est l’antécédent de 9 par g.
5
3 33 33
— L’image de 11 par g est : g(11) = · 11 = . Donc 11 est la préimage de par g.
5 5 5

33
— Les points de coordonnées (5; 3) , (15; 9), et 11; appartiennent à Cg la courbe
5
représentative de la fonction g.
1213
Exemple
Soit la fonction h définie par :
h : R −→ R
x 7−→ 3x
On peut calculer les images de quelques nombres de R par f et les placer dans un tableau pour
constater le respect de la relation de proportionnalité entre images et antécédents :
Dans ce cas, on observe que pour passer de x à f (x) on multiplie par 3, et pour passer de f (x)
à x on divise par 3.
1214

Dans un repère, la représentation graphique de la fonction linéaire f (x) = ax est une droite
passant par l’origine O(0; 0). Le nombre a est appelé pente de la droite. L’inclinaison de cette
dernière dépend de la valeur et du signe de a :
— Si a > 0, la droite monte.

— Si a < 0, la droite descend.
— Si a = 0, la droite est horizontal. Elle est confondue avec l’axe des abscisses.
Réciproquement, toute droite non verticale passant par l’origine du repère est la représentation
graphique d’une fonction linéaire.
1215
Exemple
Soit la fonction f définie par : f : R −→ R
x 7−→ 2x
Sa représentation graphique est la droite tracée en rouge ci-dessous :
— On lit graphiquement les images en ordonnées, et les antécédents sur l’axe des abscisses.
— Dans cet exemple, on constate que : f (1) = 2, f (2) = 4 et f (3) = 6.
— On observe que la droite représentative de la fonction linéaire passe par l’origine et que
la droite monte car la pente est positive.
1216
Exemple
Soit la fonction g définie par : g : R −→ R
x 7−→ −3x
Sa représentation graphique est la droite tracée ci-dessous :
— On obseve que : f (1) = −3 et f (2) = −6.

— On observe que la droite représentative de la fonction linéaire passe par l’origine.
— On observe que la droite descend car : a < 0.
1217
Remarque :
— Pour tracer une droite quelconque, on a besoin des coordonnées de deux points au mini-
mum.
— Pour représenter une fonction linéaire, on a besoin des coordonnées d’un seul point, puis-
qu’on sait déjà que la droite passera par l’origine O.
— La droite verticale passant par l’origine O possède l’équation suivante : x = 0.
— En générale, l’équation d’une droite verticale est de la forme x = k, avec k ∈ R.
— La droite horizontale passant par l’origine O possède l’équation suivante : y = 0.
— En générale, l’équation d’une droite horizontale est de la forme y = k, avec k ∈ R.

1218
4 Fonction affine
Définition
Soient a et b deux nombres réels constants. Toute fonction polynomiale f qui, à tout nombre
x, associe le nombre f (x) tel que : f (x) = ax + b s’appelle fonction affine.
On note :
f : R −→ R
x 7−→ ax + b
Propriétés
(a) Une fonction affine est définie par son coefficient a ∈ R et le nombre b ∈ R. Il suffit ainsi de
connaître les valeurs de a et b pour être en mesure de calculer l’image et l’antécédent de tout
nombre par la fonction.
(b) On distingue deux formes de fonctions affines particulières :
— si b = 0, la fonction est linéaire (une fonction linéaire est une fonction affine),
— si a = 0, la fonction est constante et la droite est horizontale. Elle coupe l’axe des ordonnées
en b.
1219
Définition
Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine f (x) = ax+b est une droite
coupant l’axe des ordonnées en un point. L’équation de la droite est de la forme y = ax + b.
— Le nombre a est appelé pente. Il indique l’inclinaison de la droite.
— Le nombre b est appelé ordonnée à l’origine. Il indique l’ordonnée du point d’in-

tersection de la droite avec l’axe des ordonnées. Les coordonnées de ce point sont
(0; b).
Remarque :
— Réciproquement, toute droite coupant l’axe des ordonnées du repère est la représentation
graphique d’une fonction affine.
— Les droites représentant les fonctions affines suivantes : x 7−→ ax + b et x 7−→ ax + b0 de

même pente a, sont parallèles (a; b; b0 ∈ R).
1220
1221
Exemple
(a) Soit (d) une droite qui représente la fonction suivante :
f : R −→ R
x 7−→ 3x − 2
Les coordonnées du point d’intersection A de la droite (d) avec l’axe des ordonnées sont :
(0; b). Dans ce cas b = −2, donc, il s’agit du point A(0; −2)
(d)
A(0;-2)
(b) Soit (d) une droite d’équation : y = 3x − 2 avec une pente a = 3 , et (d0) une autre droite
1222
Théorème
Pour une fonction affine, la croissance des images (4y = y2 − y1) est proportionnel à la
4y
croissance des antécédents correspondants (4x = x2 − x1) suivant le coefficient a = .
4x
y
y2
Δy
y1
(0;b)
Δx
O x1 x2
x
Remarque : Par conséquent, il suffit de connaître les images y1 et y2 de deux nombres x1 et x2

par une fonction affine pour pouvoir déterminer la valeur du coefficient a :
y2 − y1
a=
x2 − x1
On peut ensuite en déduire la valeur de b = y1 − ax1, et donc l’expression générale de la droite.
1223
Exemple
Soit (d) une droite qui passe par deux points A(0; 1) et B(1; 2).
La pente de la droite (d) est :
yB − yA 2 − 1 1
a= = = =1
xB − xA 1 − 0 1
L’ordonnée à l’origine est : b = yA − axA = 1. On peut donc écrire l’équation de la droite (d)
comme ainsi : y = x + 1.
1224
4.2 Recherche du zéro de la fonction affine
Définition
En mathématique le zéro d’une fonction est une valeur en laquelle cette fonction s’annule.
— Pour déterminer le zéro d’une fonction affine, il faut chercher l’antécédent du nombre zéro.
Il faut donc déterminer la solution x0 de l’équation f (x0) = 0.
— Sur la représentation graphique, le zéro de la fonction affine correspond à l’abscisse du

point d’intersection (x0; 0) de la droite avec l’axe des abscisses.
— En appliquant cette méthode à une fonction affine quelconque, on trouve que :

b
f (x0) = 0 ⇐⇒ ax0 + b = 0 ⇐⇒ ax0 = −b ⇐⇒ x0 = − .
a

b
— Donc, on trouve un unique point de coordonnées − ; 0 correspondant au point d’in-
a
tersection de la droite avec l’axe des abscisses.
1225
Exemple
Soit f une fonction affine définie par :
f : R −→ R
x 7−→ 5x − 16
On observe que a = 5 et que b = −16. Lepoint d’intersection de la droite représentative de la
16
fonction f et l’axe des abscisses est donc ;0 .
5
Exemple
Soit g une fonction affine définie par :
g : R −→ R
x 7−→ 2x + 1
On observe que a = 2 et que b = 1. Le point d’intersection
de la droite représentative de la
1
fonction g et l’axe des abscisses est donc − ; 0 .
2
1226
4.3 Intersection de deux droites
Méthode :
Pour déterminer le(s) point(s) d’intersection de deux droites il faut d’abord construire un sys-
tème d’équation linéaire avec deux inconnues x et y, en utilisant les équations de chaque droite,
et ensuite résoudre celui là.
Lors de la résolution de ce système, trois cas peuvent se présenter :

(a) Pas de solution pour le système d’équation, Il s’agit donc de deux droites parallèles.
Dans ce cas il n’existe pas de point d’intersection.
i) y
x
1227
Exemple
(
6x − 2y − 2 = 0
y = 3x + 10
On substitue le y de la deuxième équation dans la première et on obtient :
6x − 2(3x + 10) − 2 = 0
6x − 6x − 20 − 2 = 0
−22 = 0
Ce qui est absurde, donc, pour ce système d’équation il n’y a pas de solution : S = ∅.
Ce qui veut dire que les droites d’équations 6x − 2y − 2 = 0 et y = 3x + 10 ne vont jamais

se croiser car elles sont parallèles.
1228
(b) Une seule solution. Il s’agit donc de deux droites concourantes. Dans ce cas, il existe un
seul point d’intersection.
ii) y
x
1229
Exemple
(
6x − y = 1
y = 2x + 4
6x − (2x + 4) = 1
6x − 2x − 4 = 1
4x = 5
5
x=
4
5
On substitue x = dans la deuxième équation et on obtient :
4
5 5 5+8 13
y = 2 · + 4 ⇐⇒ y = + 4 ⇐⇒ y = ⇐⇒ y =
4 2 2 2

5 13
On note, donc, la solution du système d’équation ainsi : S = ;
4 2
Dans ce cas, les droites d’équations : 6x − y = 1 et y = 2x+ 4 sont

concourantes car elles
5 13
se croisent en un seul point d’intersection de coordonnées ; .
4 2
1230
(c) Une infinité de solutions. Il s’agit donc de deux droites confondues.
Dans ce cas, il existe une infinité de points d’intersection.
iii) y
x
1231
1232
Exemple
(
5y − 2x − 1 = 0
10y = 4x + 2
Première méthode :
( (
5y − 2x − 1 = 0 5y − 2x − 1 = 0
⇐⇒
10y = 4x + 2 10y − 4x − 2 = 0
2 1

y = x +
( 
5y = 2x + 1 
5 5
⇐⇒ ⇐⇒
10y = 4x + 2  y = 2x + 1

5 5
Il s’agit donc de deux équations identiques. On note la solution du système d’équation ainsi :

2 1
S = (x; y) y = x +
5 5
Dans ce cas les deux droites d’équations 5y − 2x − 1 = 0 et 10y = 4x + 2 sont confondues
et elles ont une infinité de points d’intersection.
1233
5 Exercices
Exercice 13.1
On donne la fonction polynômiale suivante :
f : R −→ R
x 7−→ x3 − 2x + 1
a Calculer l’image de 3, 1, et −7 par f .

b Calculer f (2), f (−1), f (r) et f (3t).
c Chercher l’antécédent de 1 par la fonction f .
d Chercher la préimage de 0 (uniquement pour M2R).
1234
Corrigé 13.1
f (x) = x3 − 2x + 1
a f (3) = 33 − 6 + 1 = 27 − 5 = 22,
f (1) = 13 − 2 + 1 = 0,
f (−7) = (−7)3 + 14 + 1 = −343 + 15 = −328.
b f (2) = 23 − 4 + 1 = 8 − 3 = 5,
f (−1) = (−1)3 + 2 + 1 = 2,
f (r) = r3 − 2r + 1,
f (3t) = (3t)3 − 6t + 1 = 27t3 − 6t + 1.

1235
c L’antécédent de 1 par la fonction f est :
1 = x3 − 2x + 1
x3 − 2x = 0
x(x2 − 2) = 0
√ √
x(x − 2)(x + 2) = 0
√ √
On trouve les solutions : x1 = 0, x2 = 2, et x3 = − 2. Donc, le nombre 1 posséde trois
antécédents par la fonction f .
1236
d On est amené à résoudre une équation du 3e degré. On sait que si f (a) = 0, alors f (x) se
divise par x − a. On remarque que f (1) = 0. 1 est donc notre première solution.
On effectue donc la division polynomiale de f (x) par x − 1 qui nous donne un quotien du 2e
degré, facile à résoudre. √ √
1− 5 1+ 5
On trouve finalement : x1 = 1, x2 = − , et x3 = − .
2 2
Donc, Le nombre 0 possède donc trois antécédents par la fonction f .
1237
Exercice 13.2
Soit la fonction :
g : R −→ R
x 7−→ 2x2 − 8
a Calculer l’ordonnée du point dont l’abscisse vaut 5.
b Calculer l’abscisse du ou des point(s) dont l’ordonnée vaut 2.
c Calculer les coordonées du point d’intersection avec l’axe des ordonnées.
d Calculer les coordonées des éventuels points d’intersection avec l’axe des abscisses.
1238
Corrigé 13.2
g(x) = 2x2 − 8
a x = 5, il faut caculer le y correspondant, donc : y = g(5) = 50 − 8 = 42 .
b y = 2, il faut calculer l’abscisse correspondante, donc :
2x2 − 8 = 2
2x2 = 10
x2 = 5
√
x=± 5
c Point d’intersection avec l’axe des ordonnées veut dire que x = 0, donc :
g(0) = 2 · 02 − 8
g(0) = −8
Le point d’itersection de la fonction avec l’axe ordonnées est le suivant : A(0; −8).
1239
d Points d’intersection avec l’axe des abscisses veut dire qu’il faut poser y = 0 et ensuite
résoudre l’equation :
0 = 2x2 − 8
8 = 2x2
x2 = 4
x = ±2
Il y a deux points d’intersection avec l’axe des abscisses : B(2; 0), et A(−2; 0).
1240
Exercice 13.3
Donner l’ensemble des zéros des fonctions suivantes :
f : R −→ R g : R −→ R h : R −→ R
a b 2 c
x 7−→ x(2x2 + 5) x 7−→ 3x − x 7−→ 7x
5
1241
Corrigé 13.3
Donner l’ensemble des zéros des fonctions suivantes veut dire qu’il faut poser que y = f (x) = 0.
a
x(2x2 + 5) = 0
x = 0 ou alors 2x2 + 5 = 0
Mais, 2x2 = −5 est impossible
Donc x = 0 est le seul zéro de cette fonction, cette dernière passe donc par l’origine.
b
2
3x − = 0
5
2
3x =
5
2
x=
15
c
7x = 0
x=0
1242
Exercice 13.4
Soit Cf la représentation graphique d’une fonction polynomiale f .
a Chercher graphiquement le ou les antécédents du nombre 0.
b Chercher graphiquement l’image du nombre 2.
1243
Corrigé 13.4
a Pour trouver graphiquement les antécédents du nombre 0, il faut poser y = 0 et chercher les
x correspondants.
Dans ce cas particulier, il faut chercher les abscisses des points d’intersection de la courbe
C f avec l’axe des abscisses. On trouve trois abscisses :
x1 = −1 x2 = 1 x3 = 3
Le nombre 0 possède donc trois antécédents par la fonction f.

1244
b Pour déterminer l’image du nombre 2, il faut poser x = 2 et chercher graphiquement le y.
On trouve f (2) = −3.
1245
Exercice 13.5
Vous achetez des tomates à la MIGROS à 2.- le kg.
a Exprimer le montant total à payer en fonction de la quantité achetée.
Représenter sur un graphique le montant à payer en fonction de la quantité achetée.
b Même travail si le prix est de 3.- le kg.
c Même travail si le prix est de 4.- le kg.
1246
Corrigé 13.5
Le montant total à payer y en fonction de la quantité achetée x est le suivant :
a On achete des tomates à 2.- le kg, donc y = 2x
b On achete des tomates à 3.- le kg, donc y = 3x
c On achete des tomates à 4.- le kg, donc y = 4x
y=4x
y=3x
y=2x
1247
Exercice 13.6
Représenter les fonctions linéaires suivantes :
f1(x) = −x f2(x) = −3x f3(x) = 7x f4(x) = 1.5x
7 12
f5(x) = x f6(x) = x f7(x) = 0
2 5
1248
Corrigé 13.6
f2(x)=-3x
f1(x)=-x
1249
f3(x)=7x
f4(x)=1.5x
1250
f5(x)=3.5x
f6(x)=2.4x
f7(x)=0
1251
Exercice 13.7
Représenter les fonctions affines suivantes :
g1(x) = x + 1 g2(x) = −3x − 2 g3(x) = 7x − 3
3 1 5
g4(x) = x + 3 g5(x) = − x − 6 g6(x) = x + 1
2 3 2
1252
Corrigé 13.7
g2(x)=-3x-2
g1(x)=x+1
1253
g3(x)=7x-3 g4(x)=1.5x+3
1254
g6(x)=2.5x+1
g5(x)=(-1/3)x-6
1255
Exercice 13.8
Déterminer la fonction affine dont la droite représentative passe par les points A(0; 5) et B(−1; 3).
1256
Corrigé 13.8
La fonction affine dont la droite représentative passe par les points de coordonnées A(0; 5) et
B(−1; 3) est : f (x) = ax + b, il faut donc détérminer a et b.
y2 − y1 3−5
a= = =2
x2 − x1 −1 − 0
La droite y = ax + b passe par le point A(0; 5) ⇐⇒ 5 = 2 · 0 + b ⇐⇒ b = 5
Donc :
f : R −→ R
x 7−→ 2x + 5
Que l’on note aussi plus régulièrement et plus simplement y = 2x + 5

1257
Exercice 13.9
Déterminer la fonction affine f telle que : f (3) = 2 et f (1) = 5.
1258
Corrigé 13.9
Il s’agit d’une fonction affine, on sait donc que f (x) = ax + b

On sait que f (3) = 2, cela nous donne l’équation 2 = 3a + b
On sait que f (1) = 5, cela nous donne l’équation 5 = a + b
On a ainsi le système d’équations suivant :

( (
2 = 3a + b 2 = 3a + b
⇐⇒
5=a+b −5 = −a − b
3
Par addition de ces deux équations on obtient : −3 = 2a ou a = −
2
3 13
Ensuite : b = 5 − a = 5 + =
2 2
La fonction affine recherchée est donc :
f : R −→ R
3 13
x 7−→ − x +
2 2
1259
Exercice 13.10
Déterminer la fonction linéaire g telle que : g(−1) = 7.
1260
Corrigé 13.10
Comme il s’agit d’une fonction linéaire, g(x) = ax.
On sait que g(−1) = 7 ⇐⇒ 7 = a · (−1) ⇐⇒ a = −7
Et donc, on obtient :
g : R −→ R
x 7−→ −7x
1261
Exercice 13.11
Déterminer la fonction affine k dont la droite représentative passe par le point de coordonnées
A(9; 6) telle que : k(2) = 0.
1262
Corrigé 13.11
Il s’agit d’une fonction affine, on sait donc que k(x) = ax + b

On sait que k(9) = 6, cela nous donne l’équation 6 = 9a + b
On sait que k(2) = 0, cela nous donne l’équation 0 = 2a + b
On a ainsi le système d’équations suivant :

(
6 = 9a + b
0 = 2a + b
6
Par soustraction de ces deux équations on obtient : 6 = 7a ⇐⇒ a =
7
6 12
Ensuite : b = −2a = −2 · = −
7 7
La fonction affine recherchée est donc :

k : R −→ R
6 12
x 7−→ x −
7 7
1263
Exercice 13.12
1
Déterminer la fonction affine dont la droite représentative a une pente égale à − et qui passe
2
par le point de coordonnées C(4; 1).
1264
Corrigé 13.12
1
La pente est donnée et vaut a = − .
2
1
Donc la fonction recherchée a la forme y = − · x + b
2
D’autre part, on a le point C(4; 1) qui est sur cette droite.
1
Ceci se traduit par : 1 = − · 4 + b ⇐⇒ 1 = −2 + b ⇐⇒ b = 3
2
Donc la fonction affine est :
f : R −→ R
1
x 7−→ − x + 3
2
1265
Exercice 13.13
Déterminer la fonction affine dont la droite représentative a une pente égale à 7 et une ordonnée
à l’origine égale à 11.
1266
Corrigé 13.13
La donnée se traduit immédiatement par a = 7 et b = 11, donc :
f : R −→ R
x 7−→ 7x + 11
1267
Exercice 13.14
Déterminer l’équation de la droite qui passe par les points de coordonnées C(2; 4) et D(−1; 3).
1268
Corrigé 13.14
Pour déterminer l’équation de la droite qui passe par les points de coordonnées C(2; 4) et
D(−1; 3), on peut d’abord calculer la pente a et ensuite l’ordonnée à l’origine b.
y2 − y1 4 − 3 1
a= = =
x 2 − x1 2 + 1 3
1
On sait maintenant que y = · x + b
3
On utilise l’information qu’un des points est sur cette droite, par exemple C :
1 2 10
4= ·2+b ⇐⇒ b=4− ⇐⇒ b=
3 3 3
1 10
L’équation de cette droite est donc y = ·x+
3 3
Mais, il existe aussi d’autres méthodes comme, par exemple, celle qui consiste à poser une système
de 2 équations à 2 inconnues.
1269
Exercice 13.15
Déterminer l’équation de la droite de pente 0 qui passe par le point A(0; 0).
1270
Corrigé 13.15
Si la pente est nulle, la droite est horizontale. De plus, si la droite passe par l’origine, alors la
droite recherchée coïncide avec l’axe des abscisses (l’axe des x). Pour tous les points de cette
droite, la valeur de l’ordonnée est 0. Donc l’équation de la droite est y = 0.
Autre version :
Si la pente vaut 0, alors a = 0. Si A(0; 0) ∈ y = ax + b, alors l’ordonnée à l’origine est nulle
⇐⇒ b = 0. Donc y = 0x + 0 ⇐⇒ y = 0.
1271
Exercice 13.16
Déterminer l’équation de la droite horizontale qui passe par le point A(−7; 3.5).
1272
Corrigé 13.16
Droite horizontale signifie que la pente est nulle, donc a = 0.
L’équation de la droite est donc y = 0x + b.
Comme la droite passe par le point A(−7; 3.5), cela signifie que les coordonnées de A doivent
vérifier l’equation y = 0x + b.
On remplace donc x par −7 et y par 3.5. Ce qui nous donne : 3.5 = 0 · (−7) + b ⇐⇒ b = 3.5
L’équation de la droite est donc :

y = 3.5
1273
Exercice 13.17
Déterminer l’équation de la droite verticale qui passe par le point A(−7; 3.5).
1274
Corrigé 13.17
On a vu, dans les exercices précédents, que l’équation d’une droite horizontale était y = Constante.
La valeur en y (l’ordonnée, la 2e coordonnée du point) etait la même pour tous les points de la
droite. Cette valeur était justement la valeur de cette constante.
Pour une droite verticale, la valeur en x (l’abscisse, la 1ère coordonnée) est, cette fois, la même
pour tous les points de la droite. Donc l’équation de la droite est x = Constante.
Comme la droite passe par le point A(−7; 3.5), alors tous les points de cette droite auront comme
abscisse −7. D’où l’équation de la droite recherchée :
x = −7
1275
Exercice 13.18
Déterminer l’équation de la droite verticale qui passe par le point A(0; 25).
1276
Corrigé 13.18
Comme vu à l’exercice précédent, une droite verticale a une équation de la forme x = Constante.
Celle-ci passe par le point A(0; 25), on obtient donc comme équation :
x=0
.
1277
Exercice 13.19
Déterminer l’équation de la droite de pente 2 qui passe par l’origine.
1278
Corrigé 13.19
La pente de la droite vaut 2. Donc, a = 2.
Comme la droite passe par l’origine, son ordonnée à l’origine vaut 0. Donc, b = 0.
Ce qui nous donne comme équation pour la droite recherchée :
y = 2x
1279
Exercice 13.20
Déterminer l’équation de la droite parallèle à la droite 3y = 2x − 7 qui passe par le point C(2; 4).
1280
Corrigé 13.20
La droite est parallèle à la droite 3y = 2x − 7 veut dire qu’elle aura la même pente.
Mais attention, la pente est certes le coefficient de x, mais uniquement lorsque y est isolé. Donc,
ici la pente ne vaut PAS 2.
2 7 2
3y = 2x − 7 ⇐⇒ y = x− =⇒ a=
3 3 3
2
La droite passe par le point C(2; 4), avec y = x + b permet de déterminer b :
3
2 4 12 − 4 8
4= ·2+b ⇐⇒ b=4− = =
3 3 3 3
L’équation de cette droite est donc :

2 8
y = x+
3 3
.
1281
Exercice 13.21
Déterminer l’équation de la droite parallèle à la droite 8y − 4x = 5 qui passe par l’origine.
1282
Corrigé 13.21
La droite est parallèle à la droite 8y − 4x = 5, donc la pente de la droite recherchée sera la même
que celle de 8y − 4x = 5.
Pour trouver la pente, il suffit d’isoler y et de prendre le coefficient de x.
8y − 4x = 5
8y = 4x + 5
4 5
y = x+
8 8
4 1
Donc : a = =
8 2
Si la droite passe par l’origine O(0 ;0), b, son ordonnée à l’origine, vaudra 0.
Donc, on obtient finalement :
1
y= x
2
1283
Exercice 13.22
Déterminer la pente de la droite qui passe par les points A(1; 0.5) et B(−1; 2), ainsi que l’équation
de la droite.
1284
Corrigé 13.22
Pour déterminer la pente et l’équation de la droite qui passe par les points A(1; 0.5) et B(−1; 2),
nous allons utiliser cette fois la méthode qui fait intervenir un système de deux équations à deux
inconnues. Mais, vous pouvez utiliser d’autres méthodes.

( 1
0.5 = a · 1 + b  − = −a − b
y = ax + b ⇐⇒ ⇐⇒ 2
2 = a · (−1) + b  2 = −a + b
On additionne les deux équations, et on obtient :
1 4−1 3 3
2− = −2a ⇐⇒ = −2a ⇐⇒ = −2a ⇐⇒ a=−
2 2 2 4
3
On remplace le a de la deuxième équation par − ce qui donne :
4

3 3 3 8−3 5
2=− − x + b ⇐⇒ 2 = + b ⇐⇒ b = 2 − = =
4 4 4 4 4
Finalement, on peut écrire :

3 5
y =− x+
4 4
1285
Exercice 13.23
Déterminer l’ordonnée à l’origine de la droite 4x − 5y = 12.
1286
Corrigé 13.23
Pour déterminer l’ordonnée à l’origine de la droite 4x−5y = 12, commençons par écrire l’équation
de cette droite dans sa forme usuelle (forme canonique), en isolant y dans la donnée :
4 12
y = x−
5 5
Une fois la droite écrite sous sa forme canonique, l’ordonnée à l’origine correspond au terme
constant. Donc, dans notre cas :
12
b=−
5
1287
Exercice 13.24
Vérifier si la droite qui passe par les points de coordonnées (0; 5) et (−1; 2) est parallèle ou non
à celle qui passe par l’origine et le point de coordonnées (1; −1).
1288
Corrigé 13.24
Pour vérifier si la droite qui passe par les points de coordonnées (0; 5) et (−1; 2) est parallèle ou
pas à celle qui passe par l’origine et le point de coordonnées (1; −1), il faut vérifier si elles ont
la même pente.
Soit a la pente de la première droite et a0 la pente de la seconde droite :
y2 − y1 5 − 2 3
a= = = =3
x2 − x1 0 + 1 1
0y20 − y10 −1 − 0
a = 0 0 = = −1
x2 − x1 1−0
a 6= a0
Donc, les droites ne sont pas parallèles puisqu’elles n’ont pas la même pente.
Elles se croisent ; on dit qu’elles sont concourantes.

1289
Exercice 13.25
La droite d’équation −2y = x + 4 est-elle parallèle à la droite qui passe par les points de
coordonnées (1; 3) et (−2; 2) ?
1290
Corrigé 13.25
On calcule les pentes :
1 4 1
−2y = x + 4 ⇐⇒ y= x+ ⇐⇒ y =− x−2
−2 −2 2
1
Donc a = −
2
0 y2 − y1 3 − 2 1
a = = =
x2 − x1 1 + 2 3
a 6= a0
Donc, les droites ne sont pas parallèles. Elles sont concourantes.

1291
Exercice 13.26
Le point de coordonnées P (3; 3) appartient-il à la droite qui passe par les points de coordonnées
A(−2; 2) et B(0; 3) ?
1292
Corrigé 13.26
Pour savoir si le point de coordonnées (3; 3) appartient à la droite qui passe par les points de
coordonnées (−2; 2) et (0; 3), il faut commencer par trouver l’équation y = ax + b de la droite,
puis contrôler si le point (3; 3) vérifie l’équation de cette droite :
y2 − y1 3 − 2 1
a= = =
x2 − x1 0 + 2 2
De plus, le point (0; 3), qui appartient à la droite, nous donne directement son ordonnée à l’ori-
gine vu qu’il est situé sur l’axe y. Donc, b = 3.
1
Et nous avons, du coup, l’équation de notre droite qui est : y = x + 3
2
On remplace les coordonnées du point (3; 3) dans l’équation de cette droite et on vérifie si
l’égalité obtenue est vraie :
1
? ?3+6 ?9
3= ·3+3 ⇐⇒ 3= ⇐⇒ 3=
2 2 2
9
3 6= , donc le point (3; 3) n’appartient pas à la droite.
2
1293
Exercice 13.27
Le point de coordonnées P (−10; 3) appartient-il à la droite d’équation d : −2y = x + 4 ?
1294
Corrigé 13.27
Pour savoir si le point de coordonnées (−10; 3) appartient à la droite d’équation −2y = x + 4 ,

on vérifie si ses coordonnées vérifient ou non l’équation de cette droite :
? ?
−2 · 3 = −10 + 4 ⇐⇒ −6 = −6
−6 = −6, donc : oui, le point (−10; 3) appartient à la droite.

1295
Exercice 13.28
Déterminer algébriquement et graphiquement l’intersection des deux droites :
a 2y − x = 5 et x + y − 7 = 0
b 2x − 2y − 1 = 0 et y = x + 10
c y = 5x − 6 et 10x − 2y = 12
d 2y − 3 = 5x et 5 − 3x = 4
e 2y = 5 et x − y = 0
1296
Corrigé 13.28
a
2y − x = 5 et x + y − 7 = 0
Méthode algébrique :
Comme le point d’intersection est le point qui est sur les deux droites en même temps, ce
point vérifie les deux équations de droites en même temps.
Donc, pour déterminer algébriquement l’intersection des deux droites, il faut construire un
système d’équations avec les équations des deux droites et le résoudre :
(
−x + 2y = 5
x+y =7
On additionne les deux équations et on obtient : 3y = 12 ⇐⇒ y=4
On remplace le 4 dans une des équations : x = 2y − 5 ⇐⇒ x = 2·4−5 ⇐⇒ x = 3.
Les deux droites sont concourantes car elles se croisent en un seul point d’intersection de
coordonnées A(3; 4). Donc, S = {(3; 4)}
1297
Méthode graphique :
— Pour déterminer graphiquement l’intersection des deux droites, il faut les représenter et
puis lire les coordonnées du point d’intersections.
— Il ne faut pas perdre de vue que cette méthode a ses limites, car selon les unités choisies,
un x = 3 ou x = 2.95 ne peuvent pas être distigués sur un graphique.
— Pour facilement représenter les droites, il faut isoler y dans les deux equations.

 y = 1x + 5
(
−x + 2y = 5
⇐⇒ 2 2
x+y =7  y = −x + 7
A(3;4)
Le point d’intersection est le suivant : S = {(3; 4)}.

1298
b
2x − 2y − 1 = 0 et y = x + 10
(
2x − 2y − 1 = 0
y = x + 10
2x − 2(x + 10) − 1 = 0 ⇐⇒ 2x − 2x − 20 − 1 = 0 ⇐⇒ −21 = 0
Ce qui est absurde, donc, pour ce système d’équation, il n’y a pas de solution.
Les droites ne vont jamais se croiser, car elles sont parallèles. Donc, S = ∅
1299

y =x−1
(
2x − 2y − 1 = 0
⇐⇒ 2
y = x + 10  y = x + 10
Pas d’intersection, S = ∅
1300
c
y = 5x − 6 et 10x − 2y = 12
( ( (
y = 5x − 6 y = 5x − 6 y = 5x − 6
⇐⇒ ⇐⇒
10x − 2y = 12 2y = 10x − 12 y = 5x − 6
Les deux équations sont identiques. Les deux droites sont donc confondues.
Dans ce cas, il existe une infinité de points d’intersection, chaque point de la droite y = 5x−6
est un point d’intersection.
La solution s’écrit alors ainsi : S = {(x; y) | y = 5x − 6}

1301
(
y = 5x − 6
y = 5x − 6
On observe que les deux droites sont confondues. Il existe donc une infinité de points d’inter-
section, chaque point de la droite est un point d’intersection. Donc S = {(x; y) | y = 5x − 6}
1302
d
2y − 3 = 5x et 5 − 3x = 4
( ( ( 
2y − 3 = 5x 2y − 3 = 5x 2y − 3 = 5x  2y − 3 = 5x
⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒
5 − 3x = 4 5 − 4 = 3x 1 = 3x  x=1
3
5 5 5+9 14 7
2y − 3 = ⇐⇒ 2y = + 3 ⇐⇒ 2y = ⇐⇒ 2y = ⇐⇒ y =
3 3 3 3 3

1 7
Le point d’intersection est le suivant : S = ; .
3 3
1303

 y = 5x + 3
( ( 
2y − 3 = 5x 2y = 5x + 3 2 2
⇐⇒ ⇐⇒ 1
5 − 3x = 4 1 = 3x  x=

3
B(1/3;7/3)

1 7
On lit graphiquement les coordonnées du point d’intersection : S = ;
3 3
1304
e
2y = 5 et x − y = 0

( 5
2y = 5 y= 
⇐⇒ 2
x−y =0 x−y =0
5
x − y = 0 ⇐⇒ x = y ⇐⇒ x =
2

5 5
Donc, le point d’intersection est le suivant : S = ; .
2 2
1305

y = 5
(
2y = 5
⇐⇒ 2
x−y =0 y=x
C(2.5;2.5)

5 5
On lit graphiquement les coordonnées du point d’intersection : S = ; .
2 2
1306
Exercice 13.29
Votre baignoire contient 150 litres d’eau. Vous enlevez le bouchon, et alors ?... Alors il s’écoule
10 litres par minute.
a Décrivez la quantité d’eau qu’il reste dans votre baignoire en fonction du temps.
b Représentez graphiquement la situation.
(Algèbre, Hubert Bovet)
1307
Corrigé 13.29
a Soient t le temps en minutes et Q(t) la quantité d’eau en litres (encore) présente dans la
baignoire au temps t.
En t = 0, la baignoire contient 150 litres. Il s’agit de l’ordonnée à l’origine.
Chaque minute, la quantité d’eau diminue de 10 litres. Donc, si on avance de 1 minute sur
l’axe du temps, on va descendre de 10 litres sur l’axe de la quantité d’eau. Ce qui nous donne
−10
comme pente .
1
On trouve donc : Q(t) = 150 − 10t
b
1308
Exercice 13.30
Le réservoir d’essence d’une voiture est rempli au maximum. La voiture s’engage sur une longue
route à une vitesse constante. La quantité d’essence qui reste dans le réservoir dépend du nombre
de kilomètres parcourus. Après 200 km de route, il reste 40 litres d’essence et après 450km, il en
reste 15 litres.
Trouvez la fonction affine qui exprime le nombre de litres d’essence restant dans le réservoir en
fonction du nombre de kilomètres parcourus (Algèbre, Hubert Bovet).
1309
Corrigé 13.30
Soient x le nombre de kilomètres parcourus et Q(x) la quantité d’essence en litres (encore)
présente dans le réservoir après x kilomètres parcourus. x.
Pour chaque km parcouru, la quantité d’essence consommée est la même. Donc la fonction Q(x),
représentant la quantité d’essence restante, sera de la forme Q(x) = ax + b.
Nous avons les informations suivantes :
— Après x = 200 km de route, il reste Q(x) = 40 litres d’essence ⇐⇒ 40 = a · 200 + b.
— Après x = 450 km de route, il reste Q(x) = 15 litres d’essence ⇐⇒ 15 = a · 450 + b.
( (
40 = a · 200 + b −40 = −200a − b
⇐⇒
15 = a · 450 + b 15 = 450a + b
On additionne les deux équations et on obtient :
25 1
−25 = 250a ⇐⇒ a = − =−
250 10
1
On substitue a = − dans la deuxième équation et on obtient :
10
1
15 = b − · 450 ⇐⇒ b = 15 + 45 ⇐⇒ b = 60.
10
1
Donc : Q(x) = − x + 60.
10
1310
Exercice 13.31
La résistance électrique des matériaux conducteurs varie linéairement avec la température.
La résistance d’un fil de cuivre est de 20Ω (Ohm) à 12◦C et de 30Ω à 28◦C.
Exprimez la résistance du fil en fonction de la température (Algèbre, Hubert Bovet).
1311
Corrigé 13.31
Résistance “R” varie linéairement avec la température “T ” veut dire R(T ) = aT + b.
Nous avons les informations suivantes :
— R = 20Ω à 12◦C ⇐⇒ 20 = a · 12 + b
— R = 30Ω à 28◦C ⇐⇒ 30 = a · 28 + b
( (
20 = a · 12 + b −20 = −12a − b
⇐⇒
30 = a · 28 + b 30 = 28a + b
On additionne les deux équations et on obtient :

10 5
10 = 16a ⇐⇒ a = =
16 8
5
On substitue a = dans la première équation et on obtient :
8
5 5 25
20 = 12 · + b ⇐⇒ b = 20 − 12 · ⇐⇒ b = .
8 8 2
5 25
Donc : R(T ) = ·T + .
8 2
1312
6 Solutions
Solution 13.1 2
bx=
a f (3) = 22 ; f (1) = 0 ; f (−7) = −328 15
cx=0
b f (2) = 5 ; f (−1) = 2 ; f (r) = r3 − 2r + 1 ;
f (3t) = 27t3 − 6t + 1 Solution 13.4
c Il y a trois antécédents de 1 par a x = −1 ; x = 1 et x = 3

√ √ la fonction
f : x = 0 ; x = − 2 et x = 2. b f (2) = −3
d Il y a trois antécédents√de 0 par la fonction
√ Solution 13.5
1− 5 1+ 5
f : x = 1; x = − et x = −
2 2 a y = 2x b y = 3x c y = 4x
Solution 13.2
a y = g(5) = 42 c (0; −8)

√
b x=± 5 d (2; 0); (−2; 0)
Solution 13.3
a x = 0 est le seul zéro de f (x). Le graphe
de cette fonction passe par l’origine.
1313
Solution 13.6 f5(x)=3.5x
f6(x)=2.4x
f2(x)=-3x
f1(x)=-x
f7(x)=0
Solution 13.7
f3(x)=7x
f4(x)=1.5x
1314
Solution 13.11
k : R −→ R
6 12
x 7−→ x −
7 7
Solution 13.12
f : R −→ R
1
x 7−→ − x + 3
2
Solution 13.13
f : R −→ R
x 7−→ f (x) = 7x + 11
1 10
Solution 13.14 y = x+
3 3
Solution 13.8 Solution 13.15 y=0
f : R −→ R Solution 13.16 y = 3.5
x 7−→ 2x + 5 Solution 13.17 x = −7
Solution 13.9
f : R −→ R Solution 13.18 x=0
3 13 Solution 13.19 y = 2x
x 7−→ − x +
2 2 2 8
Solution 13.10 Solution 13.20 y = x+
3 3
g : R −→ R x
Solution 13.21 y=
x 7−→ −7x 2
1315
3 5 bS=∅
Solution 13.22 y =− x+
4 4
12
Solution 13.23 b=−
5
Solution 13.24 Elles se croisent.
Solution 13.25 Elles se croisent.
Solution 13.26 Non, P ∈
/ AB.
Solution 13.27 Oui, P ∈ d.
Solution 13.28
a S = {(3; 4)}
c S = {(x; y) | y = 5x − 6}
1316
1 7 Solution 13.29
dS= ;
3 3
Q(t) = 150 − 10t

5 5
eS= ;
2 2
1
Solution 13.30 Q(x) = 60 − x
10
5 25
Solution 13.31 R(T ) = · T +
8 2
Chapitre 14
Fonctions quadratiques
1 Définition
Dans cette partie, nous allons nous restreindre aux fonctions polynomiales faisant intervenir le
carré de la variable x. Ces fonctions du second degré sont appelées fonctions quadratiques.
Définition
Une fonction quadratique est définie par une équation polynômiale du second degré. On la
note ainsi :
f : R −→ R
x 7−→ f (x) = ax2 + bx + c
Avec a ∈ R∗, b et c ∈ R.
Cette forme, f (x) = ax2 + bx + c, est appelée la forme canonique.
Remarque : Il faut noter que a est toujours non nul.

1318
Exemple
(a) f (x) = x2 + 2x + 8 (d) f (x) = (x − 3)2 + 5

f (x) est une fonction quadratique avec f (x) est une fonction quadratique, car
a = 1, b = 2 et c = 8 ; f (x) = x2 − 6x + 14 ;
(b) f (x) = −1 + 2x2 + x (e) f (x) = x2 − (x + 1)2

f (x) est une fonction quadratique, car f (x) n’est pas une fonction quadratique,
f (x) = 2x2 + x − 1 car f (x) = −2x − 1 est une fonction affine
avec a = 2, b = 1 et c = −1 ; du premier degré ;
√
(c) f (x) = −2x − x2 2
(f) f (x) = x − x + 7
f (x) est une fonction quadratique, car f (x) n’est pas une fonction quadratique,
f (x) = −x2 − 2x + 0 car impossible d’obtenir la forme cano-
avec a = −1, b = −2 et c = 0 ; nique.
1319
2 Les paraboles
La représentation graphique d’une fonction quadratique est appelée une parabole. Son graphique
est constitué de l’ensemble des points de coordonnées (x; y) tels que x ∈ R et y = f (x) =
ax2 + bx + c. Pour représenter une parabole, on détermine quelques couples de valeurs (x; y)
judicieusement choisis que l’on place sur un système d’axes et que l’on relie entre eux.
1320
Exemple
La fonction quadratique la plus simple est donnée pour a = 1 et b = c = 0.
f : R −→ R
x 7−→ x2
x -2 -1 0 1 2
f (x) 4 1 0 1 4
1 1
La fonction quadratique suivante est donnée pour a = , b = et c = −2.
4 2
f : R −→ R
1 2 1
x 7−→ x + x − 2
4 2
x -6 -4 0 2 4
1321
3 Influence des paramètres a, b et c

3.1 Le paramètre a
Le signe du paramètre a va déterminer le "sens" de la parabole.
— Si a est positif, la parabole est ouverte vers le haut. On dit qu’elle est convexe (elle sourit).
— Si a est négatif, la parabole est ouverte vers le bas. On dit qu’elle est concave (elle est
triste).
La grandeur du paramètre a va influencer l’ouverture de la parabole.
— Plus |a| est petite, plus la parabole est ouverte.
— Plus |a| est grande, plus la parabole est étroite.
1322
Exemple
f, g : R −→ R i, j, k : R −→ R
x 7−→ f (x) = 0.5x2 x 7−→ i(x) = x2
x 7−→ g(x) = −0.5x2 x 7−→ j(x) = 2x2
x 7−→ k(x) = 4x2
1323
3.2 Le paramètre c
Si l’on considère la forme la plus simple de la parabole, f (x) = x2, on constate que si l’on y
ajoute une valeur c (f (x) = x2 + c), cela aura comme influence de modifier la valeur prise par
l’ordonnée y = f (x), donc de déplacer verticalement la parabole, vers le haut si c > 0 et vers le
bas si c < 0.
Exemple
f, g, h : R −→ R
x 7−→ f (x) = x2 − 1
x 7−→ g(x) = x2
x 7−→ h(x) = x2 + 1
1324
3.3 Le paramètre b
L’influence du paramètre b est plus difficile à expliquer et nous ne traiterons pas ce cas dans
cette partie. L’exemple ci-dessous permet toutefois de remarquer que l’influence du paramètre b
sera de translater à la fois horizontalement et verticalement la parabole.
Exemple
f, g, h, i, j, k : R −→ R
x 7−→ f (x) = x2 + 7x − 4
x 7−→ g(x) = x2 + 5x − 4
x 7−→ h(x) = x2 + 3x − 4
x 7−→ i(x) = x2 + x − 4
x 7−→ j(x) = x2 − 4
x 7−→ k(x) = x2 − 5x − 4
1325
4 Les points particuliers

L’examen des représentations graphiques d’une parabole nous permet de faire les observations
suivantes :
— La parabole coupe toujours l’axe des or-

données en un point que l’on appelle
l’ordonnée à l’origine H ;
— La parabole passe toujours par un point
maximum ou minimum, le sommet S,
dépendant de l’orientation de la para-
bole (signe de a) ;
— La parabole possède un axe de sy-
métrie, parallèle à l’axe des ordonnées,
passant par le sommet S ;
— La parabole coupe parfois l’axe des abs-
cisses en un ou deux points K1 et K2
que l’on appelle les abscisses à l’ori-
gine ou les zéros.
1326
4.1 L’ordonnée à l’origine

La représentation graphique d’une fonction quadratique coupe toujours l’axe des ordonnées au
point H, appelé l’ordonnée à l’origine.
La forme canonique de la fonction quadratique permet de retrouver facilement les coordonnées

de ce point. En effet, ce dernier a une abscisse de 0, donc :
f (0) = a · 02 + b · 0 + c = c
Les coordonnées du point H sont donc H(0; c).
Exemple
Pour les deux fonctions suivantes :
f, g : R −→ R
x 7−→ f (x) = x2 − 5x + 3
x 7−→ g(x) = x2 − 5x − 3
on obtient les ordonnées à l’origine suivantes :
fonction f : c = 3 −→ Hf (0; 3)
fonction g : c = −3 −→ Hg (0; −3)
1327
4.2 Les abscisses à l’origine – les zéros

Les points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses s’appellent les abscisses à l’origine
ou les zéros.
Pour trouver les coordonnées de ces points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses,
il suffit de résoudre l’équation du second degré pour laquelle l’ordonnée y = f (x) est nulle :
ax2 + bx + c = 0
Pour rappel, le nombre de solutions d’une telle équation dépend du signe du discriminant
∆ = b2 − 4ac
• Si ∆ > 0, il y a deux solutions

√ √
−b − ∆ −b + ∆
x1 = et x2 =
2a 2a
Dans ce cas, les coordonnées des deux points d’intersection sont :
K1(x1; 0) et K2(x2; 0)
La fonction peut alors s’écrire sous une forme factorisée
f (x) = a(x − x1)(x − x2)

1328
• Si ∆ = 0, il y a une solution
−b
x1 =
2a
Dans ce cas, les coordonnées du point d’intersection sont :
K1 = K2(x1; 0)
La fonction peut alors s’écrire sous une forme factorisée
f (x) = a(x − x1)2
• Si ∆ < 0, il n’y a pas de solution. Dans ce cas, il n’y a pas de points d’intersection.
1329
Exemple
Pour les trois fonctions suivantes :
f, g, h : R −→ R
x 7−→ f (x) = 2x2 − 4x − 6
x 7−→ g(x) = 3x2 − 2x + 3
x 7−→ h(x) = −2x2 + 16x − 32
On obtient les discriminants, le nombre de solution et les solutions ci-dessous :
f : ∆ = (−4)2 − 4 · 2 · (−6) = 64 > 0 −→ 2 solutions : K1,f (−1; 0) et K2,f (3; 0)
g : ∆ = (−2)2 − 4 · 3 · 3 = −32 < 0 −→ 0 solution.
h : ∆ = 162 − 4 · (−2) · (−32) = 0 −→ 1 solution : K1,h = K2,h(4; 0)

1330
4.3 Le sommet
Nous avons constaté que le sommet se situe sur l’axe de symétrie vertical de la parabole. L’abs-
cisse du sommet et de l’axe de symétrie est donc le même.
Cela signifie que tous les points de la parabole ont un point symétrique de même ordonnée. Il
s’ensuit, dans le cas où la parabole possède deux zéros K1 et K2, que ces zéros sont symétriques
par rapport à l’axe de symétrie. L’abscisse du sommet S se situe entre les deux zéros K1 et K2.
Les abscisses de ces deux points sont x1 et x2 :
√ √
−b − ∆ −b + ∆
x1 + x2 + −2b −b
xS = = 2a 2a = =
2 2 4a 2a
L’ordonnée du sommet est donnée par :
2
b2 b2 b2 − 2b2 + 4ac

2 −b −b
f (xS ) = axS + bxS + c = a · +b· +c= − +c= =
2a 2a 4a 2a 4a
b2 − 4ac −∆
− =
4a 4a
−b −∆
Les coordonnées du sommet sont donc S ; .
2a 4a
1331
Remarque : Bien que la méthode présentée parte des zéros de la fonction, il est tout à fait
possible de généraliser pour une fonction ne possédant pas de zéros.
1332
Exemple
Pour les trois fonctions suivantes :
f, g, h : R −→ R
x 7−→ f (x) = 2x2 − 4x − 6
x 7−→ g(x) = 3x2 − 2x + 3
x 7−→ h(x) = −2x2 + 16x − 32
Avec comme sommets :

−(−4) −64
fonction f : Sf ; ⇒ Sf (1; −8)
2·2 4·2

−(−2) −(−32) 1 8
fonction g : Sg ; ⇒ Sg ;
2·3 4·3 3 3

−16 −0
fonction h : Sh ; ⇒ Sh (4; 0)
2 · (−2) 4 · (−2)
(Voir l’exemple précédent pour les valeurs des discriminants)

1333
4.4 Résumé
parabole f (x) = ax2 + bx + c
discriminant ∆ = b2 − 4ac
ordonnée à l’origine H(0; c)

−b −∆
sommet S ;
2a 4a
√
−b ± ∆
abscisses à l’origine ∆ > 0 K1,2 ;0
2a

−b
∆ = 0 K1 = K2 ;0
2a
∆ < 0 il n’y a pas de solution
forme factorisée f (x) = a(x − x1)(x − x2)

1334
4.5 Les propriétés d’une parabole

Les propriétés d’une parabole peuvent se résumer par les six cas suivants :
∆>0 ∆=0 ∆<0
a>0
a<0
1335
5 Les points particuliers avec la complétion du carré

On retrouve les résultats précédents en factorisant l’équation quadratique canonique à l’aide de
la méthode de la complétion des carrés :
5.1 L’ordonnée à l’origine

On trouve directement les coordonnées de l’ordonnée à l’origine à l’aide de l’équation canonique.
f (x) = ax2 + bx + c −→ H(0; c)
Exemple
Soit les fonctions f et g ci-dessous :
f (x) = 2x2 + 4x − 8 −→ H(0; −8)
g(x) = x2 + x −→ H(0; 0)
1336
5.2 Le sommet
Pour trouver les coordonnées du sommet, il faut mettre a en évidence et factoriser à l’aide de la
complétion du carré :

b c
f (x)=a x2 + x +
a a
2 2

2 b b b c
f (x)=a x + x + 2 − 2 +
a 4a 4a a
2
2
b b b c
f (x)=a x2 + x + 2 + − 2 +
a 4a 4a a
2 !
b2 − 4ac

b
f (x)=a x+ −
2a 4a2
2
b ∆
f (x)=a x + −a 2 avec ∆ = b2 − 4ac
2a 4a
2
b ∆
f (x)=a x + −
2a 4a
1337
2
b ∆
Dans l’expression f (x) = a x + − , la valeur la plus basse du terme entre parenthèses
2a 4a
b −b
x+ est zéro pour x = .
2a 2a
La fonction atteint donc, pour cette valeur de x, un extremum, c’est à dire un maximum ou
−∆
un minimum selon le signe de a car l’expression est constante et ne dépend pas de x. Elle
4a
n’influence pas l’extremum.
La fonction prend alors pour valeur :

−b −∆
f =
2a 4a
On a ainsi les coordonnées du minimum ou du maximum de la fonction, c’est-à-dire son sommet :

−b −∆
S ;
2a 4a
1338
Du développement ci-dessus, on remarque que si la fonction est donnée sous la forme :
f (x) = a(x − xS )2 + yS
on retrouve très rapidement les coordonnées qui sont S(xS ; yS ).

Et réciproquement, si l’on connaît les coordonnées du sommet, l’équation de la
fonction peut être rapidement déterminée, exception faite du paramètre a.
Exemple
On trouve les coordonnées des sommets des Et réciproquement, pour les sommets donnés
fonctions f et g ci-dessous : ci-dessous, les fonctions sont déterminées à
l’exception du paramètre a :
f (x) = (x + 1)2 − 9 −→ S(−1; −9)
S(1; 2) −→ h(x) = a(x − 1)2 + 2
1 1 1
g(x) = (x − 2)2 + −→ S 2;
4 4 4 S(−2; 0) −→ i(x) = a(x + 2)2
1339
5.3 Les zéros

Pour obtenir les coordonnées des zéros, il faut continuer à factoriser l’expression obtenue ci-dessus
(uniquement dans les cas où ∆ ≥ 0) :
2 !
b ∆
f (x) = a x+ − 2
2a 4a
√ √
b ∆ b ∆
f (x) = a x + + · x+ −
2a 2a 2a 2a
√ √
b+ ∆ b− ∆
f (x) = a x + · x+
2a 2a
Les zéros de la fonction sont donnés par la solution de l’équation :

√ √
b+ ∆ b− ∆
a x+ · x+ =0
2a 2a
Ce qui donne :
√ √
−b − ∆ −b + ∆
x1 = x2 =
2a 2a
1340
Du développement ci-dessus, on remarque que si la fonction est donnée sous la forme

ci-dessous, on retrouve rapidement les coordonnées des zéros K1(x1; 0) et K2(x2; 0) :
f (x) = a(x − x1) · (x − x2)

Et réciproquement, si l’on connaît les coordonnées des zéros, l’équation de la fonction
peut être rapidement déterminée, à l’exception du paramètre a.
Exemple
On trouve les coordonnées des zéros des fonctions f , g et h ci-dessous :
f (x) = (x + 3)(x − 1) −→ K1(−3; 0) et K2(1; 0)
g(x) = x(x + 2) −→ K1(0; 0) et K2(−2; 0)
h(x) = (x + 1)2 −→ K1 = K2(−1; 0)
Et réciproquement, pour les zéros ci-dessous, les fonctions sont définies à l’exception de a :
K1(1; 0) et K2(3; 0) −→ i(x) = a(x − 1)(x − 3)

K1(−2; 0) et K2(0; 0) −→ j(x) = a(x − (−2))(x − 0) = ax(x + 2)
1341
6 Déterminer l’équation d’une fonction quadratique

6.1 Généralités
Pour déterminer des points d’une fonction f (x), il suffit de choisir une abscisse x0 et déterminer
l’ordonnée correspondante y0 = f (x0). On a alors un couple de nombres (x0; y0) qui sont les
coordonnées d’un point de la fonction.
Exemple
Soit la fonction f (x) = x2 + x + 1, si l’on prend une abscisse x0 = 1, on obtient l’ordonnée :
y0 = f (1) = 12 + 1 + 1 = 3
Le point de coordonnées (1; 3) appartient à la parabole.

Réciproquement, si on a un couple de nombres (x0; y0) appartenant à la représentation graphique
de la fonction g(x), on peut écrire la relation y0 = g(x0).
Exemple
Soit un point A(2; −3) et une parabole f (x) = x2 − 3x − 1. Le point A appartient f (x) car :
f (2) = 22 − 3 · 2 − 1 = −3
Par contre, le point B(1; 2) n’appartient pas à la parabole car :
f (1) = 12 − 3 · 1 − 1 6= 2
1342
6.2 Cas 1 : La parabole est donnée par trois points

Lorsqu’une parabole est donnée par trois points, on peut écrire trois équations en utilisant la
propriété ci-dessus. On a alors un système de trois équations à trois inconnues a, b et c qu’il
s’agit de déterminer. Après résolution du système, on a l’équation de la parabole.
Exemple
On recherche l’équation d’une parabole passant par les trois points suivants : A(2; 9), B(−1; −6)
et C(3; 22). La forme canonique de l’équation d’une parabole est f (x) = ax2 + bx + c. On peut
alors écrire le système d’équations suivant :

2
a·2
 + b·2 + c = 9
a · (−1)2 + b · (−1) + c = −6
 a · 32

+ b·3 + c = 22
Sa résolution permet de déterminer les valeurs a = 2, b = 3 et c = −5. Donc f (x) = 2x2 +3x−5.
1343
6.3 Cas 2 : La parabole est donnée par le sommet et un autre point

Méthode 1
On utilise la même méthode que pour le cas précédent, mais, comme on a deux points nous
n’aurons que deux équations, il manque donc une équation pour résoudre le système. Pour palier
à ce problème, on utilise les coordonnées du sommet S pour écrire l’équation supplémentaire.
Exemple
Soient le sommet S(1; 2) et le point M (3; 6) d’une parabole. On peut écrire le système d’équation
suivant :
 

 S ⇒ a · 12 + b · 1 + c = 2 a + b + c = 2


M ⇒ a · 32 + b · 3 + c = 6 ⇒ 9a + 3b + c = 6
 −b 
 2a + b = 0
S ⇒
 = 1
2a
La résolution de ce système permet de déterminer les valeurs de a, b et c ce qui donne la fonction
suivante f (x) = x2 − 2x + 3.
1344
Méthode 2
Dans ce cas, on va utiliser la relation f (x) = a(x − xS )2 + ys développée précédemment. Le
second point va permettre de déterminer la valeur du paramètre a.
Exemple
Soient le sommet S(1; 2) et le point M (3; 6) d’une parabole. La relation f (x) = a(x − xS )2 + ys
permet de déterminer l’équation de la parabole :
f (x) = a(x − 1)2 + 2
Le point M permet de déterminer le paramètre a :
f (3) = a(3 − 1)2 + 2 = 6 →a=1
L’équation est donnée par :

f (x) = (x − 1)2 + 2
ou f (x) = x2 − 2x + 3 sous la forme canonique.
1345
6.4 Cas 3 : La parabole est donnée par les zéros et un autre point
Il y a deux méthodes pour résoudre ce type de problème, soit en écrivant un système de trois
équations à trois inconnues, soit en utilisant la relation f (x) = a(x − x1)(x − x2), le troisième
point permettra de déterminer la valeur du paramètre a.
Méthode 1
Exemple
Soient les zéros K1(−3; 0), K2(2; 0) et le point M (3; 12).On peut écrire le système d’équation
suivant :
 
2
 K1 ⇒ a · (−3) + b · (−3) + c = 0
  9a − 3b + c = 0

K 1 ⇒ a · 22 + b·2 + c = 0 ⇒ 4a + 2b + c = 0
 M ⇒ a · 32

+ b·3 + c = 12

 9a + 3b + c = 12
La résolution de ce système permet de déterminer la fonction suivante f (x) = 2x2 + 2x − 12.

1346
Méthode 2
Exemple
Soient les zéros K1(−3; 0), K2(2; 0) et le point M (3; 12). La relation f (x) = a(x − x1)(x − x2)
permet de déterminer l’équation de la parabole :
f (x) = a(x − (−3))(x − 2)
Le point M permet de déterminer le paramètre a :
f (3) = a(3 + 3)(3 − 2) = 12 →a=2
L’équation est donnée par :

f (x) = 2(x + 3)(x − 2)
ou f (x) = 2x2 + 2x − 12 sous la forme canonique.
1347
7 Intersection de deux fonctions

Pour déterminer le(s) point(s) d’intersection(s) de deux fonctions f (x) et g(x) (affine, linéaire,
quadratique, etc.), il faut trouver une (ou plusieurs) valeur(s) de l’abscisse x0 pour laquelle l’or-
donnée y0 est la même. Sur une représentation graphique, x0 et y0 déterminent les coordonnées
(x0; y0) du/des point(s) d’intersection.
Dans tous les cas, trouver les points d’intersection de deux fonctions revient à résoudre le sys-
tème d’équations formé par y = f (x) et y = g(x). On trouvera un couple de valeurs qui sont les
coordonnées (x0; y0) du (ou des) point(s) d’intersection.
1348
Exemple
Soient les deux fonctions f (x) = 2x2 + 2x + 1

et g(x) = −x2 − 2x + 5. Le(s) point(s) d’in-
tersection des deux fonctions, de coordonnées
(x0; y0), appartient aux deux paraboles. On a
donc le système d’équations suivant :
(
2x20 + 2x0 + 1 = y0
−x20 − 2x0 + 5 = y0
La résolution de ce système donne les co-

ordonnées des points d’intersection. Dans ce
cas, nous obtenons
les points de coordonnées
2 29
(−2; 5) et ; .
3 9
1349
8 Exercices
Exercice 14.1
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles définissent des fonctions quadratiques ? Le cas échéant,
donner son équation canonique.
(a) f (x) = 2x + 1 − x2 (d) f (t) = t3 − (t − 1)3 (g) f (x) = α2x + α

(b) f (x) = x2 + 4 (e) f (t) = 1 − 3t2 (h) f (x) = (x − 3)2 + 5
2
√
(c) f (x) = x − x + 7 (f) f (x) = x2 − 3x (i) f (t) = t2 − (t − 1)2
1350
Corrigé 14.1
(a) f est une fonction quadratique, f (x) = −x2 + 2x + 1
(b) f est une fonction quadratique, f (x) = x2 + 4
(c) f n’est pas une fonction quadratique.
(d) f est une fonction quadratique, f (t) = 3t2 − 3t + 1
(e) f est une fonction quadratique, f (t) = −3t2 + 1
(f) f est une fonction quadratique, f (x) = x2 − 3x
(g) f n’est pas une fonction quadratique
(h) f est une fonction quadratique, f (x) = x2 − 6x + 14
(i) f n’est pas une fonction quadratique

1351
Exercice 14.2
Chacune des six paraboles suivantes est la représentation graphique d’une fonction du type
f (x) = ax2. Déterminez, pour chacune d’elles, la valeur du réel a. Que constatez-vous ?
Fonction :
— af =
— ag =
— ah =
— ap =
— aq =
— ar =
1352
Corrigé 14.2
2 1
a. Le graphe de f passe par le point (2; 1), donc f (x) = ax donne 1 = 4a ⇔ a =
4
b. Le graphe de g passe par le point (2; 4), donc g(x) = ax2 donne 4 = 4a ⇔ a = 1
c. Le graphe de h passe par le point (1; 3), donc h(x) = ax2 donne 3 = a ⇔ a = 3
1
d. Le graphe de p passe par le point (4; −4), donc p(x) = ax2 donne −4 = 16a ⇔ a = −
4
e. Le graphe de q passe par le point (2; −4), donc q(x) = ax2 donne −4 = 4a ⇔ a = −1
f. Le graphe de r passe par le point (1; −3), donc r(x) = ax2 donne −3 = a ⇔ a = −3
Constatations :
— Pour a > 0 la parabole est convexe et pour a < 0 la parabole est concave.
— Plus |a| est grande, plus la parabole est étroite.
1353
Exercice 14.3
Chacune des quatre paraboles suivantes est la représentation graphique d’une fonction du type
f (x) = ax2 + q. Déterminez, pour chacune d’elles, les valeurs de a et q. Que constatez-vous ?
Fonction :
— af = qf =
— ag = qg =
— ap = qp =
— aq = qq =
1354
Corrigé 14.3
a. Le graphe de f passe par le point (0; −3), donc q = −3 et f (x) = ax2 − 3.

1
De plus, le graphe de f passe par le point (4; 1), ce qui donne 1 = 16a − 3 ⇔ a = .
4
b. Le graphe de g passe par le point (0; −2), donc q = −2 et g(x) = ax2 − 2.

De plus, le graphe de g passe par le point (1; 1), ce qui donne 1 = a − 2 ⇔ a = 3.
c. Le graphe de p passe par le point (0; −1), donc q = −1 et p(x) = ax2 − 1.

1
De plus, le graphe de p passe par le point (2; −2), ce qui donne −2 = 4a − 1 ⇔ a = − .
4
d. Le graphe de q passe par le point (0; 3), donc q = 3 et q(x) = ax2 + 3.

De plus, le graphe de q passe par le point (1; 1), ce qui donne 1 = a + 3 ⇔ a = −2.
Constatations :
— La parabole est déplacée verticalement vers le haut si q > 0.
— La parabole est déplacée verticalement vers le bas si q < 0.
1355
Exercice 14.4
f (x) = a(x − p)2. Déterminez, pour chacune, les valeurs de a et p. Que constatez-vous ?
Fonction :
— af = pf =
— ag = pg =
— ap = pp =
— aq = pq =
1356
Corrigé 14.4
a. Le graphe de f passe par (−3; 0) donc f (x) = a(x + 3)2 ou p = −3.

1
De plus le graphe de f passe par (1; 4), ce qui donne 4 = a(1 + 3)2 ⇔ a = .
4
b. Le graphe de g passe par (2; 0) donc g(x) = a(x − 2)2 ou p = 2.

De plus le graphe de g passe par (3; 3), ce qui donne 3 = a(3 − 2)2 ⇔ a = 3.
c. Le graphe de p passe par (−4; 0) donc p(x) = a(x + 4)2 ou p = −4.

De plus le graphe de p passe par (−3; −2), ce qui donne −2 = a(−3 + 4)2 ⇔ a = −2.
d. Le graphe de q passe par (3; 0) donc p(x) = a(x − 3)2 ou p = 3.

2 1
De plus le graphe de p passe par (1; −1), ce qui donne −1 = a(1 − 3) ⇔ a = − .
4
Constatations :
— La parabole est déplacée horizontalement vers la gauche si p < 0.
— La parabole est déplacée horizontalement vers la droite si p > 0.
1357
Exercice 14.5
f (x) = a(x − p)2 + q. Déterminez, pour chacune d’elles, les valeurs des réels a, p et q. Pour cela,
vous utiliserez les constatations faites aux trois exercices précédents.
Fonction :
— af = pf = qf =
— ag = pg = qg =
— ap = pp = qp =
— aq = pq = qq =
1358
Corrigé 14.5
1. Le graphe de f présente un minimum en (−3; −1) ; on peut donc en déduire que la paren-
thèse mise au carré doit s’annuler en x = −3. Ceci permet de dire que p = −3.
De plus, dans ce cas, y = −1. On a donc q = −1.
Ainsi, on a déjà f (x) = a(x + 3)2 − 1
1
D’autre part, le graphe de f passe par (−1; 0), ce qui donne 0 = a(−1 + 3)2 − 1 ⇔ a = .
4
2. Le graphe de g présente un minimum en (3; −3) ; on peut donc en déduire que la parenthèse
mise au carré doit s’annuler en x = 3. Ceci permet de dire que p = 3.
De plus, dans ce cas, y = −3. On a donc q = −3.
Ainsi, on a déjà g(x) = a(x − 3)2 − 3.
D’autre part, le graphe de g passe par (4; 0), ce qui donne 0 = a(4 − 3)2 − 3 ⇔ a = 3.
1359
3. Le graphe de p présente un maximum en (−2; 2) ; on peut donc en déduire que la parenthèse
mise au carré doit s’annuler en x = −2. Ceci permet de dire que p = −2.
De plus, dans ce cas, y = 2. On a donc q = 2.
Ainsi, on a déjà p(x) = a(x + 2)2 + 2.
D’autre part, le graphe de p passe par (−1; 0), ce qui donne 0 = a(−1 + 2)2 + 2 ⇔ a = −2.
4. Le graphe de q présente un maximum en (2; 1) ; on peut donc en déduire que la parenthèse

mise au carré doit s’annuler en x = 2. Ceci permet de dire que p = 2.
De plus, dans ce cas, y = 1. On a donc q = 1.
Ainsi, on a déjà q(x) = a(x − 2)2 + 1.
1
D’autre part, le graphe de q passe par (0; 0), ce qui donne 0 = a(0 − 2)2 + 1 ⇔ a = − .
4
1360
Exercice 14.6
Calculer les coordonnées des points H, S et K12 des paraboles d’équations suivantes. Préciser
également si le sommet est un minimum ou un maximum.
1. f (x) = x2 + 12x + 11 7. f (x) = 2x2 − x + 2 13. f (x) = 7x2 + 8x + 1

2. f (x) = x2 + 4x 8. f (x) = 3x2 − 12x + 12 14. f (x) = 15x2 + x − 2
4 4
3. f (x) = x2 − 2x − 3 9. f (x) = −x2 + x − 15. f (x) = −x2 + 8x + 20
3 9
4. f (x) = −x2 + 2x + 1 1 16. f (x) = x2 − 5
10. f (x) = x2 + x + 1
5. f (x) = x2 + x + 1 2
11. f (x) = −2x2 − 5x + 3 17. f (x) = x2 + 4x − 6
1 2 1 1
6. f (x) = − x − x − 12. f (x) = 2x2 − x + 4 18. f (x) = 3x2 + 5x − 4
3 3 3
1361
Corrigé 14.6
1. f (x) = x2 + 12x + 11
• H(0; 11)
• x2 + 12x + 11 = 0 ⇔ (x + 11)(x + 1) = 0 ⇒ K1(−11; 0), K2(−1; 0)

−b −b −12 2

• S ;f =S ; f (−6) = S −6; (−6) + 12 · (−6) + 11 = S (−6; −25),
2a 2a 2·1
minimum
2. f (x) = x2 + 4x
• H(0; 0)
• x2 + 4x = 0 ⇔ x(x + 4) = 0 ⇒ K1(0; 0), K2(−4; 0)

−b −b −4 2

• S ;f =S ; f (−2) = S −2; (−2) + 4 · (−2) = S (−2; −4), mini-
2a 2a 2·1
mum
3. f (x) = x2 − 2x − 3
1362
• H(0; −3)
• x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ (x − 3)(x + 1) = 0 ⇒ K1(−1; 0), K2(3; 0)

−b −b −(−2) 2

• S ;f =S ; f (1) = S 1; 1 − 2 · 1 − 3 = S (1; −4), minimum
2a 2a 2·1
4. f (x) = −x2 + 2x + 1
• H(0; 1)
√ p
2
√
2
2
−b ± b − 4ac −2 ± 2 − 4 · (−1) · 1 −2 ± 8
• −x + 2x + 1 = 0 ⇔ x1,2 = = = =
√ 2a 2 · (−1) −2
−2 ± 2 2 √ √ √
= 1 ∓ 2 ⇒ K1(1 + 2; 0), K2(1 − 2; 0) .
−2
−b −∆ −2 −8
• S ; =S ; = S (1; 2), maximum
2a 4a 2 · (−1) 4 · (−1)
1363
2
5. f (x) = x + x + 1
• H(0; 1)
√ √ √
−b ± b2 − 4ac −1 ± 12
−4·1·1 −1 ± −3
• x2 + x + 1 = 0 ⇔ x1,2 = = = =∅⇒
2a 2·1 2
Aucun zéro.

−b −∆ −1 −(−3) −1 3
• S ; =S ; =S ; , minimum
2a 4a 2·1 4·1 2 4
1364
1 1 1
6. f (x) = − x2 − x −
3 3 3

−1
• H 0;
3
√ √
1 2 1 1 2
−1 ± 1 − 4 −1 ± −3
2
• − x − x − = 0 ⇔ x + x + 1 = 0 ⇔ x1,2 = = =∅⇒
3 3 3 2·1 2
Aucun zéro.  
−1
−  2 !
−b −b 3 1  −1 1 −1 1 1 1

• S ;f =S ;f =S ;− · − · − =

2a 2a  2· −1 2  2 3 2 3 2 3
3

−1 −1
S ; , maximum
2 4
−∆
Attention à ne pas utiliser pour le calcul de la seconde coordonnée du sommet, car ici
4a
nous avons multiplié l’équation par 3 ; ce qui modifie la valeur de ∆.
1365
2
7. f (x) = 2x − x + 2
• H(0; 2)
√ p
2
√
2 −b ± − 4ac −(−1) ± (−1) − 16 1 ± −15
b2
• 2x −x+2 = 0 ⇔ x1,2 = = = =∅⇒
2a 2·2 4
Aucun zéro.

−b −∆ −(−1) −(−15) 1 15
2a 4a 2·2 4·2 4 8
8. f (x) = 3x2 − 12x + 12
• H(0; 12)
• 3x2 − 12x + 12 = 0 ⇔ 3(x2 − 4x + 4) = 0 ⇔ 3(x − 2)2 = 0 ⇒ K1 = K2(2; 0)
• Comme K1 = K2, alors S = K1, minimum

1366
4 4
9. f (x) = −x2 + x −
3 9

−4
• H 0;
9

2 4 4 1 2 1 2 2
• −x + x − = 0 ⇔ − (9x − 12x + 4) = 0 ⇔ − (3x − 2) = 0 ⇒ K1 = K2 ;0 ,
3 9 9 9 3
• Comme K1 = K2, alors S = K1, maximum

1 2
10. f (x) = x + x + 1
2
• H(0; 1) r
√ 1 √
−1 ± 12 −4· ·1
1 2 −b ± b2 − 4ac 2 1 ± −1
• x + x + 1 = 0 ⇔ x1,2 = = = =∅⇒
2 2a 1 1
2·
2
Aucun zéro.  

−b −∆  −1 −(−1)  1
• S ; =S ; = S −1; , minimum
2a 4a 1 1  2
2· 4·
2 2
1367
2
11. f (x) = −2x − 5x + 3
• H(0; 3)
p
2
√
−(−5) ± (−5) − 4 · (−2) · 3 5 ± 49 5±7
• −2x2 − 5x + 3 = 0 ⇔ x1,2 = = = ⇒
 2 · (−2) −4 −4
 x1 = −3 ⇒ K1 (−3; 0)
1 1
 x2 = ⇒ K 2 ; 0
2 2
−b −∆ −(−5) −49 −5 49
• S ; =S ; =S ; , maximum
2a 4a 2 · (−2) 4 · (−2) 4 8
12. f (x) = 2x2 − x + 4

• H(0; 4)
√ p
2
√
2 −b ± − 4ac −(−1) ± (−1) − 32 1 ± −31
b2
• 2x −x+4 = 0 ⇔ x1,2 = = = =∅⇒
2a 2·2 4
Aucun zéro.

−b −∆ −(−1) −(−31) 1 31
2a 4a 2·2 4·2 4 8
1368
2
13. f (x) = 7x + 8x + 1
• H(0; 1)
√

2
1 1
2 −8 ± 8 − 4 · 7 · 1 −8 ± 6
 x1 = ⇒ K 1 ;0
• 7x + 8x + 1 = 0 ⇔ x1,2 = = ⇒ 7 7
2·7 14
x2 = −1 ⇒ K2 (−1; 0)


−b −∆ −8 −36 −4 −9
2a 4a 2·7 4·7 7 7
14. f (x) = 15x2 + x − 2
• H(0; −2) 
√ 1 1
x = ⇒ K ;0

−1 ± 1 2 + 120 −1 ± 11
 1
 1
2 3 3
• 15x + x − 2 = 0 ⇔ x1,2 = = ⇒
2 · 15 30 −2 −2
x = ⇒ K ;0

 2
 2
5 5
−b −∆ −1 −121 −1 −121
2a 4a 2 · 15 4 · 15 30 60
1369
2
15. f (x) = −x + 8x + 20
• H(0; 20)
• −x2 +8x+20 = 0 ⇔ −(x2 −8x−20) = 0 ⇔ −(x−10)(x+2) = 0 ⇒ K1(10; 0), K2(−2; 0)

−b −b −8 2

• S ;f = S ; f (4) = S 4; −(4) + 8 · 4 + 20 = S (4; 36), maxi-
2a 2a 2 · (−1)
mum
16. f (x) = x2 − 5
• H(0; −5)
2 2
√ √ √
• x − 5 = 0 ⇔ x = 5 ⇔ x = ± 5 ⇒ K1 − 5; 0 , K2 5; 0

−b −b −0 2

• S ;f =S ; f (0) = S 0; 0 − 5 = S (0; −5), minimum
2a 2a 2·1
1370
2
17. f (x) = x + 4x − 6
• H(0; −6)
p √ √
2 −4 ± 42
− 4 · 1 · (−6) −4 ± 40 −4 ± 2 10
• x + 4x − 6 = 0 ⇔ x1,2 = = = =
 √ 2·1 2 2
√  K1 −2 + 10; 0
−2 ± 10 ⇒ √
 K2 −2 − 10; 0

−b −∆ −4 −40
• S ; =S ; = S (−2; −10), minimum
2a 4a 2·1 4·1
18. f (x) = 3x2 + 5x − 4

• H(0; −4)  √
√ √ −5 + 73
K ;0

1

−5 ± 5 2 + 48 −5 ± 73 6√

2
• 3x + 5x − 4 = 0 ⇔ x1,2 = = ⇒
2·3 6 −5 − 73
 K2 ;0


6
−b −∆ −5 −73 −5 −73
2a 4a 2·3 4·3 6 12
1371
Exercice 14.7
Représentez graphiquement les paraboles de l’exercice précédent.
1372
Corrigé 14.7
f1(x) = x2 + 12x + 11, f2(x) = x2 + 4x, f3(x) = x2 − 2x − 3
20
f1
f2
f3
10
-30 -20 -10 0 10 20 30 40
-10
-20
1373
1 1 1
f4(x) = −x2 + 2x + 1, f5(x) = x2 + x + 1, f6(x) = − x2 − x −
3 3 3
10
f5
-15 -10 -5 0 5 10 15
f4
f6
-5
-10
1374
4 4
f7(x) = 2x2 − x + 2 f8(x) = 3x2 − 12x + 12 f9(x) = −x2 + x −
3 9
15
f7
10
f8
-15 -10 -5 0 5 10 15 20
f9
-5
1375
1
f10(x) = x2 + x + 1 f11(x) = −2x2 − 5x + 3 f12(x) = 2x2 − x + 4
2
f12 7
f10 6
2
f11
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
0
1376
2 2 2
f13(x) = 7x + 8x + 1 f14(x) = 15x + x − 2 f15(x) = −x + 8x + 20
f14
35
f13 30
25
f15
20
15
10
0
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-5
Remarque : Attention, l’échelle n’est pas la même sur les deux axes.
1377
2 2 2
f16(x) = x − 5 f17(x) = x + 4x − 6 f18(x) = 3x + 5x − 4
f18 4
f16
2
0
-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-2
f17
-4
-6
-8
-10
1378
Exercice 14.8
Déterminez l’équation de la parabole qui passe par les points A(2; 9), B(−6; −7) et C(1; 0).
1379
Corrigé 14.8
 

 A(2; 9) ∈ y = ax2 + bx + c  2
 9 = a·2 +b·2+c
B(−6; −7) ∈ y = ax2 + bx + c ⇔ −7 = a · (−6)2 + b · (−6) + c
C(1; 0) ∈ y = ax2 + bx + c  0 = a · 12 + b · 1 + c

 

 9 = 4a +2b +c
 (
9 = 4a +2b −a − b
⇔ −7 = 36a −6b +c ⇔
 −7 = 36a −6b −a − b
 0 = a +b +c ⇒ c = −a − b
(
9 = 3a +b ⇒ b = 9 − 3a
⇔
−7 = 35a −7b
⇔ −7 = 35a − 7 · (9 − 3a) ⇔ −7 = 35a − 63 + 21a ⇔ 56 = 56a ⇔ a = 1
b = 9 − 3a ⇔ b = 9 − 3 · 1 ⇔ b = 9 − 3 ⇔ b = 6
c = −a − b ⇔ c = −1 − 6 ⇔ c = −7
y = x2 + 6x − 7
1380
Exercice 14.9
Déterminez l’équation de la parabole qui passe par l’origine et par les points A(3; −6) et
B(−3; 12).
1381
Corrigé 14.9
 
2 2
 A(3; −6) ∈ y = ax + bx + c
  −6 = a · 3
 +b · 3 +c
B(−3; 12) ∈ y = ax2 + bx + c ⇔ 12 = a · (−3)2 +b · (−3) +c
 O(0; 0) ∈ y = ax2 + bx + c
  0 = a · 02

+b · 0 +c

 −6
 = 9a +3b +c
⇔ 12 = 9a −3b +c

 0 = +c
(
−6 = 9a +3b
⇔
12 = 9a −3b
1
⇔ 6 = 18a ⇔ a =
3
1
−6 = 9a + 3b ⇔ −6 = 9 · + 3b ⇔ −6 = 3 + 3b ⇔ −9 = 3b ⇔ b = −3
3
1
y = x2 − 3x
3
1382
Exercice 14.10
Déterminez les zéros et l’équation de la parabole qui passe par le sommet S(3; 4) et par H(0; 2).
1383
Corrigé 14.10
Comme l’ordonnée à l’origine vaut 2, alors c = 2.
−b
La coordonnée en x du sommet nous donne une première équation : =3
2a
Une seconde équation est obtenue en utilisant le fait que le point S(3; 4) ∈ y = ax2 + bx + c

 −b
(
=3 b = −6a
⇔ 2a ⇔
 4 = a · 32 + b · 3 + 2 2 = 9a + 3b
−2
⇔ 2 = 9a + 3 · (−6a) ⇔ 2 = 9a − 18a ⇔ 2 = −9a ⇔ a =
9

−2 12 4
b = −6a ⇔ b = −6 · ⇔b= =
9 9 3
2 4
⇒ y = − x2 + x + 2
9 3
2 2 4
− x + x + 2 = 0 ⇔ x2 − 6x − 9 = 0
9 3 √
√ √

p  K1 3 + 3 2; 0
−(−6) ± (−6)2 + 36 6 ± 72 6 ± 6 2 √
⇔ x1,2 = = = =3±3 2 ⇒ √
2·1 2 2  K2 3 − 3 2; 0
1384
Exercice 14.11
Déterminez les équations des paraboles qui passent par les sommets S1(−2; −2) et S2(2; 2).
1385
Corrigé 14.11

2 
 S1(−2; −2) ∈ y = ax2 + bx + c
2
 −2 = a · (−2) +b · (−2) +c

 
S2(2; 2) ∈ y = ax + bx + c ⇔ 2 = a · 22 +b · 2 +c
 −b 
 −4a = −b
 S1(−2; −2) est le sommet :−2 =

2a

 −2 = 4a −2b +c
 ( (
−2 = 4a −2 · 4a +c −2 = −4a +c
⇔ 2 = 4a +2b +c 7 ⇔ ⇔

 b = 4a 2 = 4a +2 · 4a +c 2 = 12a +c
1
⇔ −4 = −16a ⇔ a =
4
1
2 = 12a + c ⇔ 2 = 12 · + c ⇔ 2 = 3 + c ⇔ c = −1
4
1
b = 4a ⇔ b = 4 · ⇔ b = 1
4
1 2
y1 = x + x − 1
4
 1386
2 
 S1(−2; −2) ∈ y = ax2 + bx + c  −2 = a · (−2)2 +b · (−2) +c

 
S2(2; 2) ∈ y = ax + bx + c ⇔ 2 = a · 22 +b · 2 +c
 −b 

 S2(2; 2) est le sommet donc :2 =  4a = −b
2a

 −2 = 4a −2b +c
 ( (
−2 = 4a −2 · (−4a) +c −2 = 12a +c
⇔ 2 = 4a +2b +c ⇔ ⇔

 b = −4a 2 = 4a +2 · (−4a) +c 2 = −4a +c
−1
⇔ −4 = 16a ⇔ a =
4
−1
−2 = 12a + c ⇔ −2 = 12 · + c ⇔ −2 = −3 + c ⇔ c = 1
4
−1
b = −4a ⇔ b = −4 · ⇔b=1
4
−1 2
y2 = x +x+1
4
1387
Exercice 14.12
Déterminez l’équation de la parabole tangente à l’axe des abscisses au point K(−2; 0) et qui
coupe l’axe des ordonnées au point H(0; −1).
1388
Corrigé 14.12
Comme la parabole est tangente à l’axe des abscisses en K(−2; 0), alors la parabole possède
un unique zéro et peut être écrite comme y = a(x − x1)2 avec x1 l’unique zéro qui vaut ici −2
⇒ y = a(x − (−2))2 ⇔ y = a(x + 2)2
Il ne reste plus qu’à déterminer la valeur du paramètre a.
On sait que la parabole passe par H(0; −1).

−1
Donc : −1 = a(0 + 2)2 ⇔ −1 = a · 4 ⇔ a = .
4
−1 2 −1 2
Donc nous obtenons finalement y = (x + 2) ⇔ y = (x + 4x + 4)
4 4
−1 2
⇔y= x −x−1
4
1389
Exercice 14.13
Résoudre les exercices suivants sans utiliser les relations théoriques.
(a) Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole d’équation y = x2 − 4x
(b) Déterminer les zéros de la parabole donnée par son sommet S(−4; 12) et le point K(6; 0).
(c) Déterminer l’équation de la parabole qui passe par le point A(4; 48) et pour laquelle les points
particuliers sont confondus (S = H = K1 = K2).
(d) Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole donnée par A(−6; 12), B(5; 7) et
C(−17; 7).
(e) Déterminer les zéros de la parabole donnée par son sommet S(4; 2) et le point H(0; 8).
1390
Corrigé 14.13
(a) Le sommet se trouve au milieu des zéros : 0 = x2 − 4x ⇔ 0 = x(x − 4). Les zéros sont donc
0+4
K1(0; 0) et K2(4; 0). La coordonnée en x vaudra donc = 2.
2
Pour trouver la coordonnée en y, il suffit de remplacer x par 2 dans la fonction et nous ob-
tenons y = 22 − 4 · 2 = −4.
Donc S(2; −4).
(b) K(6; 0) est déjà l’un des zéros. Le second se trouve par symétrie du premier par rapport au
sommet. Il y a 10 unités d’écart entre la coordonnées en x du zéro connu et celle du sommet
(6 − (−4)). Il en sera de même entre les coordonnées en x du zéro inconnu et du sommet.
Donc −4 − 10 = −14.
Et donc K1(6; 0), K2(−14; 0).

1391
(c) Le coefficient c vaut 0 car l’ordonnée à l’origine est 0. La coordonnée en x du sommet vaut
−b
. Or, on sait qu’elle vaut aussi 0. On peut donc en déduire que b = 0. L’équation de la
2a
parabole se résume donc à y = ax2.
On sait que A(4; 48) ∈ y = ax2 ⇔ 48 = a · 42 ⇔ 48 = 16a ⇔ a = 3.
Donc y = 3x2.
(d) Les points B et C ont la même ordonnée. Donc la coordonnée en x du sommet se trouve au
5 − 17
milieu des coordonnées en x de B et C : = −6. Or, la coordonnée en x de A(−6, 12)
2
vaut justement -6.
Donc A est le sommet S(−6; 12).
(e) L’ordonnée à l’origine : 8, est située plus haut que la coordonnée en y du sommet : 2. Donc la
parabole est convexe. Mais le sommet de la parabole (minimum) est situé en dessus de l’axe
des x : S(4; 2).
Donc cette parabole ne peut pas posséder de zéro.

1392
Exercice 14.14
Quelle est la valeur minimale du produit de deux nombres dont la différence est égale à 12 ?
Quels sont ces deux nombres ?
1393
Corrigé 14.14
Soit x le grand nombre et y le petit nombre.
(
x − y = 12 ⇒ y = x − 12
P (x; y) = x · y
P (x) = x · (x − 12) ⇔ P (x) = x2 − 12x
La représentation graphique de P (x) est une parabole. P (x) représente le produit en fonction de
x. On recherche la valeur minimale du produit, donc on recherche le minimum de cette parabole.
Il s’agit de son sommet :
−b −(−12)
xs = = =6
2a 2·1
Le produit est donc minimal si x prend la valeur de 6 et, par conséquent,
y = x − 12 = 6 − 12 = −6
Les deux nombres sont −6 et 6 ; ce qui donne, comme produit, −36.

−∆
Remarque : Attention, ys = = f (xs), ne représente pas le second nombre recherché y,
4a
mais bien la valeur du produit, c.-à-d. −36.
1394
Exercice 14.15
Quelle est la valeur maximale du produit de deux nombres dont la somme est égale à 35 ? Quels
sont ces deux nombres ?
1395
Corrigé 14.15
Soit x le premier nombre et y le second nombre.
(
x + y = 35 ⇒ y = 35 − x
P (x; y) = x · y
P (x) = x · (35 − x) ⇔ P (x) = −x2 + 35x
La représentation graphique de P (x) est une parabole. P (x) représente le produit en fonction de
x. On recherche la valeur maximale du produit, donc on recherche le maximum de cette parabole.
Il s’agit de son sommet :
−b −35 35
xs = = =
2a 2 · (−1) 2
35 35 35
Le produit est donc maximal si x prend la valeur de et donc, y = 35 − =
2 2 2
35 1225
Les deux nombres sont ; ce qui donne, comme produit, .
2 4
−∆
Remarque : Attention, ys = = f (xs), ne représente pas le second nombre recherché y,
4a
1225
mais bien la valeur du produit, c.-à-d. .
4
1396
Exercice 14.16
Calculez les coordonnées des points d’intersection des graphes des fonctions f et g ci-dessous :
(a) f (x) = x2 − 6x g(x) = 2x − 12
(b) f (x) = x2 + 3x − 1 g(x) = x + 2
(c) f (x) = x2 + 3x + 1 g(x) = −3x2 + x + 3
1397
Corrigé 14.16
(a) Au point d’intersection, f (x) = g(x) ⇔ x2 − 6x = 2x − 12 ⇔ x2 − 8x + 12 = 0
(
x1 = 6 ⇒ y = f (6) = 62 − 6 · 6 = 0 ⇒ I1(6; 0)
⇔ (x − 6)(x − 2) = 0 ⇒
x2 = 2 ⇒ y = f (2) = 22 − 6 · 2 = −8 ⇒ I2(2; −8)
(b) Au point d’intersection, f (x) = g(x) ⇔ x2 + 3x − 1 = x + 2 ⇔ x2 + 2x − 3 = 0

(
x1 = −3 ⇒ y = g(−3) = −3 + 2 = −1 ⇒ I1(−3; −1)
⇔ (x + 3)(x − 1) = 0 ⇒
x2 = 1 ⇒ y = g(1) = 1 + 2 = 3 ⇒ I2(1; 3)
(c) Au point d’intersection, f (x) = g(x) ⇔ x2 + 3x + 1 = −3x2 + x + 3 ⇔ 4x2 + 2x − 2 = 0

p
2
√
2 −1 ± 1 − 4 · 2 · (−1) −1 ± 9 −1 ± 3
⇔ 2x + x − 1 = 0 ⇒⇔ x1,2 = = =
2·2 4 4

 x1 = −1 ⇒ y = f(−1)
 = (−1)2 + 3 · (−1) + 1 = −1 ⇒ I1(−1; −1)
2
⇒

1 1 1 1 11 1 11
 x2 = 2 ⇒ y = f 2 = 2 + 3 · 2 + 1 = 4 ⇒ I2 2 ; 4

1398
Exercice 14.17
Pour les points 1 et 2 de l’exercice précédent, calculez, entre les points d’intersection, la distance
verticale maximale entre la parabole et la droite.
1399
Corrigé 14.17
(a) d(x) = g(x) − f (x) représente la distance entre les 2 fonctions.
d(x) = 2x − 12 − (x2 − 6x) ⇔ d(x) = −x2 + 8x − 12
La représentation graphique de cette fonction d(x) est une parabole concave. On cherche le
maximum de la distance d(x), donc on recherche le sommet de cette parabole.
−b −8
xs = = =4
2a 2 · (−1)
La distance est donc maximale lorsque x vaut 4. La distance maximale vaut dès lors :
d(4) = −(42) + 8 · 4 − 12 = 4
(b) d(x) = g(x) − f (x) représente la distance entre les 2 fonctions.
d(x) = x + 2 − (x2 + 3x − 1) ⇔ d(x) = −x2 − 2x + 3
La représentation graphique de cette fonction d(x) est une parabole concave. On cherche le
maximum de la distance d(x), donc on recherche le sommet de cette parabole.
−b −(−2)
xs = = = −1
2a 2 · (−1)
1400
La distance est donc maximale lorsque x vaut −1. La distance maximale vaut dès lors :
d(−1) = −(−1)2 − 2 · (−1) + 3 = 4

1401
Exercice 14.18
Dans les années 1940, Emmanuel Zacchini réa-

lisait régulièrement le tour de force d’être un
boulet humain pour les Ringling Brothers et
le cirque Barnum & Bailey. Le bout du canon
pointait à 4.5m du sol et la distance horizon-
tale parcourue était de 52.3 m. Si le canon est
orienté à 45◦, une équation de la trajectoire
parabolique est de la forme y = ax2 + x + c
(donc b = 1)
Exercice tiré de la brochure "Fonctions d’une

variable" de Didier Müller, www.apprendre-
en-ligne.net.
(a) Déterminez une équation du vol.

(b) Donnez la hauteur maximale atteinte par le boulet humain.
1402
Corrigé 14.18
15
10
5
A(0;4.5)
-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
B(52.3;0)
-5
Deux points nous sont connus : A(0; 4.5) et B(52.3; 0) si nous utilisons le repère ci-dessus.
1403
2
(a) L’équation du vol est de la forme y = ax + x + c. Comme il n’y a que deux variables à
déterminer (a et c), les deux points A(0; 4.5) et B(52.3; 0) seront suffisants.
— 4.5 est l’ordonnée à l’origine, donc c = 4.5.
2 2
— B(52.3; 0) ∈ y = ax + x + 4.5 ⇔ 0 = a · 52.3 + 52.3 + 4.5
⇔ −56.8 = 2735.29a
⇔ a = −0.020765622
Donc y = −0.020765622x2 + x + 4.5
(b) Nous recherchons la coordonnée en y du sommet de la parabole.
−∆ −b2 + 4ac −(12) + 4 · (−0.020765622) · 4.5

ys = = = = 16.54
4a 4a 4 · −0.020765622
La hauteur maximale est donc de 16.54m.

1404
Exercice 14.19
Les bonds des animaux sauteurs sont typique-

ment des trajectoires paraboliques. La figure
ci-dessous illustre le bond d’une grenouille su-
perposé à un système de coordonnées. La lon-
gueur du saut est de 2.7m et la hauteur maxi-
male au-dessus du sol est de 0.9m
Exercice tiré la brochure "Fonctions d’une va-

riable" de Didier Müller, www.apprendre-en-
ligne.net).
— Donnez, sous la forme y = ax2 +bx+c, l’équation de la trajectoire du saut de la grenouille.

1405
Corrigé 14.19
Nous connaissons 3 points de la trajectoire parabolique de la grenouille : A(0; 0), B(2.7; 0) et
C(1.35; 0.9).
En effet, le sommet de la parabole est atteint au milieu des zéros qui sont ici 0 et 2.7.
 

 A(0; 0) ∈ y = ax2 + bx + c  0 = a·0
 2
+b · 0 +c
B(2.7; 0) ∈ y = ax2 + bx + c ⇔ 0 = a · 2.72 +b · 2.7 +c
 C(1.35; 0.9) ∈ y = ax2 + bx + c
  0.9 = a · 1.352 +b · 1.35 +c


 0 = +c
 (
0 = 7.29a +2.7b
⇔ 0 = 7.29a +2.7b +c ⇔

 0.9 = 1.8225a +1.35b +c −1.8 = −3.645a −2.7b
−40
⇔ −1.8 = 3.645a ⇔ a =
81
−40 4
0 = 7.29a + 2.7b ⇔ 0 = 7.29 · + 2.7b ⇔ 3.6 = 2.7b ⇔ b =
81 3
40 2 4
y=− x + x
81 3
1406
Exercice 14.20
Résoudre les inéquations suivantes :
(x2 − 4x − 5)(2x + 3) 2x − x2 + 5
1. 2
>0 3. 2
≤0
x +6 x −4
x3 + 3x2 − 10x − 24 4. 2x − x3 − 1 ≤ 0
2. 3 2
≤0
2x + 5x + 7x + 4
1407
Corrigé 14.20
1. Commençons par définir les valeurs qui annulent chaque expression présente :
a) x2 − 4x − 5 = 0 ⇐⇒ (x − 5)(x + 1) = 0 ⇐⇒ x = 5 ou x = −1
3
b) 2x + 3 = 0 ⇐⇒ 2x = −3 ⇐⇒ x = −
2
c) x + 6 = 0 ⇐⇒ x = −6. Pas de solution car x2 ne peut être négatif
2 2
Etablissons maintenant le tableau des signes de cette expression :
3
x −∞ − −1 5 +∞
2
x2 − 4x − 5 + + + 0 - 0 +
2x + 3 - 0 + + + + +
x2 + 6 + + + + + + +
(x2 − 4x − 5)(2x + 3)
- 0 + 0 - 0 +
x2 + 6

3
Solution : S = − ; −1 ∪ ] 5 ; +∞ [
2
1408
2. Commençons par définir les valeurs qui annulent chaque expression présente :
— x3 + 3x2 − 10x − 24 = 0. Il s’agit d’une équation du troisième degré. Pour factoriser cette
expression, il nous faut passer par une division polynomiale.
Comme vu dans le chapitre traitant de ces divisions, nous allons chercher les zéros po-
tentiels dans les diviseurs de −24 c.-à-d. dans
{1; −1; 2; −2; 3; −3; 4; −4; 6; −6; 8; −8; 12; −12; 24; −24}
Suite à des essais, nous constatons que x = −2 annule bien cette équation. Divisons donc
x3 + 3x2 − 10x − 24 par x − (−2) c.-à-d. x + 2 :
x3 +3x2 −10x −24 x + 2

− (x3 +2x2) x2 + x − 12
x2 −10x
− (x2 +2x)
−12x −24
− (−12x −24)
0
Donc : x3 + 3x2 − 10x − 24 = 0 ⇔ (x + 2)(x2 + x − 12) = 0 ⇔ (x + 2)(x − 3)(x + 4) = 0.
Les solutions sont donc x = −2, x = 3 et x = −4
1409
3 2
— 2x + 5x + 7x + 4 = 0. Il s’agit aussi d’une équation du troisième degré.
Par le même résonnement, mais cette fois en cherchant les zéros potentiels parmi les
diviseurs de 4, on constate que x = −1 est solution de cette équation. On va donc
diviser 2x3 + 5x2 + 7x + 4 par x + 1 :
2x3 +5x2 +7x +4 x + 1

− (2x3 +2x2) 2x2 + 3x + 4
3x2 +7x
− (3x2 +3x)
4x +4
− (4x +4)
0
2x3 + 5x2 + 7x + 4 = 0 ⇔ (x + 1)(2x2 + 3x + 4) = 0
Reste à voir si 2x2 + 3x + 4 peut valoir 0 ; ce qui n’est pas le cas, car ∆ = −23
La seule solution est donc x = −1

1410
Nous pouvons maintenant établir le tableau des signes de cette expression :
x −∞ −4 −2 −1 3 +∞
x+2 - - - 0 + + + + +
x−3 - - - - - - - 0 +
x+4 - 0 + + + + + + +
x+1 - - - - - 0 + + +
2x2 + 3x + 4 + + + + + + + + +
(x + 2)(x − 3)(x + 3)
+ 0 - 0 + // - 0 +
(x + 1)(2x2 + 3x + 4)
Solution : S = [ 4 ; −2 ] ∪ ] − 1 ; 3 ]
p √ √ 1411
2 −2 ± 22 − 4 · (−1) · 5 −2 ± 24 −2 ± 2 6 √
3. −x + 2x + 5 = 0 ⇔ x1,2 = = = = 1± 6
2 · (−1) −2 −2
x2 − 4 = 0 ⇐⇒ x = ±2
Nous pouvons maintenant établir le tableau des signes de cette expression :

√ √
x −∞ −2 1− 6 2 1+ 6 +∞
−x2 + 2x + 5 - - - 0 + + + 0 -
x2 − 4 + 0 - - - 0 + + +
−x2 + 2x + 5
- // + 0 - // + 0 -
x2 − 4
h √ h h √ h
Solution : S =] − ∞ ; −2 [ ∪ 1 − 6; 2 ∪ 1+ 6 ; +∞
1412
3
4. −x +2x−1 = 0. Il s’agit d’une équation du troisième degré. Pour factoriser cette expression,
il nous faut passer par une division polynomiale.
Nous allons chercher les zéros potentiels dans les diviseurs de −1 c.-à-d. dans
{1; −1}
Nous constatons rapidement que x = 1 annule cette équation. Divisons donc −x3 + 2x − 1
par x − 1 :
−x3 +2x −1 x − 1
− (−x3 +x2) −x2 − x + 1
−x2 +2x
− (−x2 +x)
x −1
− (x −1)
0
Donc : −x3 + 2x − 1 = 0 ⇔ (x − 1)(−x2 − x + 1) = 0.

1413
2
Reste à voir si −x − x + 1 peut valoir 0 :
p √
2 −(−1) ± (−1)2
− 4 · (−1) · 1 1 ± 5
−x − x + 1 = 0 ⇔ x1,2 = =
2 · (−1) −2
√
1± 5
Cette expression s’annule pour x = 1 et x =
−2
√ √
1+ 5 1− 5
x −∞ 1 +∞
−2 −2
x−1 - - - - - 0 +
−x2 − x + 1 - 0 + 0 - - -
−x3 + 2x − 1 + 0 - 0 + 0 -
√ √
1+ 5 1− 5
Solution : S = ; ∪ [ 1 ; +∞ [
−2 −2
1414
9 Solutions
Solution 14.1
(a) f est une fonction quadratique, f (x) = −x2 + 2x + 1
(b) f est une fonction quadratique, f (x) = x2 + 4
(c) f n’est pas une fonction quadratique.
(d) f est une fonction quadratique, f (t) = 3t2 − 3t + 1
(e) f est une fonction quadratique,f (t) = −3t2 + 1
(f) f est une fonction quadratique, f (x) = x2 − 3x
(g) f n’est pas une fonction quadratique
(h) f est une fonction quadratique, f (x) = x2 − 6x + 14
(i) f n’est pas une fonction quadratique
1415
Solution 14.2
Pour a > 0 la parabole est convexe et pour a < 0 la parabole est concave. Plus |a| est grande,
plus la parabole est étroite.
af = 0.25 ag = 1 ah = 3 ap = −0.25 aq = −1 ar = −3
Solution 14.3
La parabole est déplacée verticalement vers le haut si q > 0 et vers le bas si q < 0.
af = 0.25 qf = −3 ap = −0.25 qp = −1
ag = 3 qg = −2 aq = −2 qq = 3
Solution 14.4
La parabole est déplacée horizontalement vers la gauche si p < 0 et vers la droite si p > 0.
af = 0.25 pf = −3 ap = −2 pp = −4
ag = 3 pg = 2 aq = −0.25 pq = 3
Solution 14.5
af = 0.25 pf = −3 qf = −1 ag = 3 pg = 3 qg = −3
ap = −2 pp = −2 qp = 2 aq = −0.25 pq = 2 qq = 1
1416
Solution 14.6
(a) H(0; 11), K1(−11; 0), K2(−1; 0), S (−6; −25), minimum
(b) H(0; 0), K1(0; 0), K2(−4; 0), S (−2; −4), minimum
(c) H(0; −3), K1(−1; 0), K2(3; 0), S (1; −4), minimum
√ √
(d) H(0; 1), K1(1 + 2; 0), K2(1 − 2; 0), S (1; 2), maximum

−1 3
(e) H(0; 1), Aucun zéro, S ; , minimum
2 4

−1 −1 −1
(f) H 0; , Aucun zéro, S ; , maximum
3 2 4

1 −15
(g) H(0; 2), Aucun zéro, S ; , minimum
4 8
(h) H(0; 12), K1 = K2(2; 0), S = K1, minimum

−4 2
(i) H 0; , K1 = K2 ; 0 , S = K1, maximum
9 3

1
(j) H(0; 1), Aucun zéro, S −1; , minimum
2
1417
1 −5 49
(k) H(0; 3), K1(−3; 0), K2 ;0 , S ; , maximum
2 4 8

1 31
(l) H(0; 4), Aucun zéro, S ; , minimum
4 8

1 −4 −9
(m) H(0; 1), K1 ; 0 , K2 (−1; 0), S ; , minimum
7 7 7

1 −2 −1 −121
(n) H(0; −2), K1 ; 0 , K2 ;0 , S ; , minimum
3 5 30 60
(o) H(0; 20), K1(10; 0), K2(−2; 0), S (4; 36), maximum
√ √
(p) H(0; −5), K1 − 5; 0 , K2 5; 0 , S (0; −5), minimum
√ √
(q) H(0; −6), K1 −2 + 10; 0 , K2 −2 − 10; 0 , S (−2; −10), minimum
√ √
−5 + 73 −5 − 73 −5 −73
(r) H(0; −4), K1 ; 0 , K2 ;0 , S ; , minimum
6 6 6 12
1418
Solution 14.7 20
15
f1
f2 10
f3 f5 f7
10
10
5 f8
-30 -20 -10 0 10 20 30 40 5
-15 -10 -5 0 5 10 15
f4
-10 f6
0
-15 -10 -5 5 10 15 20
-5
f9
-20
-5
-10
f12 f14 f18 4

7 35 f16
f10 f13 30
2
6
25
5 0
f15 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
20
4 -2
15
f17
3 -4
10
2 -6
f11 5
1 0 -8
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -5
0 -10
Solution 14.8 y = x2 + 6x − 7
1 2
Solution 14.9 y = x − 3x
3
2 2 4 √ √
Solution 14.10 y = − x + x + 2, K1 3 + 3 2; 0 , K2 3 − 3 2; 0
9 3
1 2 −1 2
Solution 14.11 y1 = x + x − 1, y2 = x +x+1
4 4
1419
−1 2
Solution 14.12 y = x −x−1
4
Solution 14.13
(a) S(2; −4)
(b) K1(6; 0), K2(−14; 0).
(c) y = 3x2
(d) S(−6; 12).
(e) Cette parabole ne possède pas de zéro.
Solution 14.14 Les deux nombres sont −6 et 6 ; ce qui donne, comme produit, −36.
35 1225
Solution 14.15 Les deux nombres sont ; ce qui donne, comme produit, .
2 4
Solution 14.16
(a) I1(6; 0), I2(2; −8)
(b) I1(−3; −1), I2(1; 3)

1 11
(c) I1(−1; −1), I2 ;
2 4
1420
Solution 14.17
(a) La distance maximale est de 4 unités.
(b) La distance maximale est de 4 unités.
Solution 14.18
(a) y = −0.020765622x2 + x + 4.5
(b) La hauteur maximale est de 16.54m.
40 2 4
Solution 14.19 y = − x + x
81 3
Solution
14.20
3
1. S = − ; −1 ∪ ] 5 ; +∞ [
2
2. S = [ −4 ; −2 ] ∪ ] − 1 ; 3 ]
h √ h h √ h
3. S =] − ∞ ; −2 [ ∪ 1 − 6 ; 2 ∪ 1 + 6 ; +∞
√ √
1+ 5 1− 5
4. S = ; ∪ [ 1 ; +∞ [
−2 −2
Chapitre 15
Présentation des données
1422
La partie théorique de ce polycopié est inspi-

rée du livre Statistique et probabilités de Gilles
Ouellet.
1423
1 Introduction
1.1 Aperçu historique
On retrace l’origine de l’étude des statistiques dès le début de notre ère et on peut même penser
que, sous une forme simple, on utilisait les statistiques bien avant celle-ci. Comme l’origine
latine du mot l’indique, les statistiques sont nées de l’étude d’amas de données et d’informations
chiffrées relatives à l’État. Les premières statistiques connues proviennent de recensements et
servent les besoins politiques, militaires et fiscaux des États. Pendant longtemps, elles se sont
limitées à cela. Ce n’est qu’au 18e siècle qu’apparait une discipline scientifique autonome servant
à décrire les caractéristiques numériques d’une situation, discipline qu’on appelle la statistique.
La statistique profite alors du développement de la théorie des probabilités pour progresser à
pas de géant. Dès lors, elle dépasse le stade exclusivement descriptif pour faire l’analyse des
données statistiques, l’interprétation des résultats et, ensuite, tirer certaines conclusions à partir
d’éléments connus. Aujourd’hui, les statistiques envahissent notre quotidien.
1.2 Nature et méthode de la statistique

La branche des mathématiques appliquées qui a pour objet l’étude des séries de faits ou de don-
nées numériques s’appelle la statistique. Plus précisément, on définit la statistique comme étant
la science qui traite des principes et des méthodes servant à recueillir, à classer, à organiser, à
synthétiser et à présenter des données numériques, puis, avec le concours du calcul des proba-
1424
bilités, à analyser, à interpréter, à tirer des conclusions et à prendre des décisions judicieuses à
partir de ces données numériques. D’un point de vue didactique, on peut décomposer la méthode
statistique en cinq grandes étapes :
Reconnaissance du problème
Dans cette étape, il faut délimiter de manière précise la population sur laquelle porte l’étude, la ou
les caractéristiques étudiées dans cette population et les objectifs qu’on désire atteindre par cette
étude. Négliger cette étape peut conduire à des résultats inexacts ou déformés. Nous avons tous
déjà entendu des affirmations du genre “On fait dire n’importe quoi aux statistiques” ou encore
“On peut arranger les chiffres comme on veut”. L’origine de ces statistiques qu’on dit “truquées”
est souvent le manque de rigueur dans les définitions de la population, des caractéristiques
étudiées et des objectifs visés. Si les nombres recueillis et calculés sont en eux-mêmes exacts et
précis, il faut savoir à quoi ils se rapportent et ce qu’ils représentent. D’où le soin et la minutie
qu’il faut accorder à cette première étape de toute étude statistique.
Collecte des données

Cette deuxième étape est très importante et elle doit être effectuée méticuleusement. C’est le défi
principal du statisticien “sur le terrain”. L’adéquation entre les objectifs poursuivis et les résultats
obtenus en dépend. Cette collecte se fait selon l’un des deux modes suivants : le recensement ou
le sondage. Le recensement est une opération par laquelle on recueille les informations faisant
1425
l’objet d’étude auprès de tous les individus de la population. Le sondage est une opération
par laquelle on recueille les informations requises auprès d’une partie de la population appelée
échantillon. La composition de l’échantillon doit être faite soigneusement selon des techniques
précises si on veut que les données recueillies et les résultats qui en découlent puissent être
représentatifs de toute la population. La collecte des données est donc une opération clé qui
peut s’avérer très délicate dans son aspect technique.
Regroupement, classification et présentation des données

À l’issue du recensement ou du sondage, on a en main un amas de données appelées données
brutes. À partir de normes, de définitions, de méthodes et de techniques reconnues, il faut
maintenant synthétiser et organiser cet amas de données pour en faire une présentation aussi
simple et aussi claire que possible. C’est l’objet d’étude de la statistique descriptive. Ce traitement
des données apporte un éclairage nouveau au problème étudié et fournit des éléments (par
exemple une moyenne, un taux, un graphique) qui ouvrent la voie à l’étape suivante.
Comparaison avec des modèles théoriques

À partir de l’étude de phénomènes où intervient le hasard, on élabore des modèles théoriques de
comportement qu’on appelle des lois de probabilité. Selon la nature et les objectifs du problème
étudié, on compare la situation observée avec l’une ou l’autre des lois de probabilités.
1426
Analyse et interprétation
À l’aide des éléments fournis par les deux étapes précédentes, on procède à une analyse des
résultats. On peut expliquer et interpréter les résultats obtenus, tirer certaines conclusions, faire
une prévision avec une certaine marge d’erreur ou prendre une décision éclairée sur la base de
l’interprétation des résultats. La partie de la statistique qui a pour objet l’étude des méthodes
permettant de tirer des conclusions concernant une population à l’aide de données recueillies
dans un échantillon extrait de cette population s’appelle l’inférence statistique.
Dans ce polycopié, nous allons nous limiter à la partie de la statistique qui regroupe l’ensemble
des méthodes permettant de recueillir, de classer, de synthétiser, de décrire et de présenter des
données numériques. Il s’agit de la statistique descriptive.
1.3 Utilité des statistiques

Dans tous les secteurs de l’activité humaine, les données numériques provenant de recherches,
d’expériences ou d’enquêtes constituent le matériel de base à partir duquel on s’informe et
on prend des décisions. Combien d’articles de journaux ou de revues, de comptes rendus de
recherches ou de travaux, d’enquêtes ou de sondages, de rapports d’organismes de tout ordre
contiennent des informations numériques et des tableaux. Bien sûr, on ne peut pas escamoter
cette partie de l’information, mais on doit plutôt s’y attarder et en tirer des renseignements
utiles.
1427
Pour bien comprendre et bien interpréter ce type d’information et, s’il y a lieu, prendre une
décision judicieuse sur cette base, il est essentiel de connaitre le langage statistique, de savoir
comment on condense et on expose des données numériques, de savoir comment on doit analyser,
expliquer et tirer des conclusions à partir de l’information numérique disponible. L’étude de
la statistique et des probabilités nous rend capable de lire, avec un oeil critique,
l’information chiffrée, de comprendre et de mener correctement des expériences, des
enquêtes et des travaux de recherche. Voilà, en bref, l’utilité des statistiques. Cela constitue,
du même coup, l’objectif principal du présent ouvrage.
1428
2 Terminologie de base
2.1 Population et échantillon
Lorsqu’on aborde une étude selon une démarche quantitative, il est toujours important de poser
clairement et précisément le problème qu’on se propose de résoudre. En tout premier lieu, il faut
définir clairement la population étudiée. En statistiques, on utilise le mot population dans son
sens le plus large.
Définition
On appelle population tout ensemble sur lequel porte une étude statistique. Les éléments
d’un tel ensemble s’appellent des individus ou unités statistiques.
Il faut bien comprendre qu’une population peut être formée de personnes, d’animaux, d’objets
et même de faits. Par exemple, on pourrait faire une étude statistique sur la population formée
par l’ensemble des accidents de circulation survenus dans la Broye au cours de l’année 2012, ou
encore sur l’ensemble des matchs de hockey de la première équipe de Fribourg-Gottéron durant
le championnat de la saison 2012-2013.
Une population doit toujours être clairement définie de sorte qu’il soit toujours possible de
déterminer si un élément quelconque est, ou n’est pas, un individu de cette population étudiée.
Supposons que l’on ait à mener une recherche sur la taille des écoliers. Il faut d’abord bien cerner
1429
la population, par exemple préciser l’âge ou le niveau scolaire, la région où se fera cette recherche,
les écoles choisies et peut-être certains autres points selon les objectifs de la recherche.
Définition
On appelle taille d’une population, notée N (majuscule), le nombre d’éléments de cette
population.
Lorsqu’une étude statistique porte sur une population très grande ou difficilement accessible
dans sa totalité, on choisira plutôt de procéder à l’étude sur un échantillon.
Définition
On appelle échantillon tout sous-ensemble de la population.
Pour qu’un échantillon soit représentatif d’une population, on devra suivre certaines règles dans
la formation de celui-ci, ce qui dépasse le cadre de ce cours.
Notation: Si l’on a pour habitude de désigner par n (minuscule) le nombre d’éléments dans
un échantillon, par souci de simplicité, qu’on ait affaire à une population ou à un échantillon de
cette dernière, nous utiliserons, dans les deux cas, la lettre N (majuscule).
Après avoir cerné très précisément la population ou, s’il y a lieu, après avoir soigneusement choisi
un échantillon, on peut maintenant étudier cette dernière.
1430
Définition
On appelle variable statistique une qualité, un attribut ou une caractéristique que possède
chacun des individus observés.
Notation: On notera une variable statistique par une lettre majuscule X (ou Y , ... ).
Définition
Les différents états ou les différentes valeurs que peut prendre une variable statistique s’ap-
pellent les modalités ou valeurs de cette variable statistique.
Notation: On notera ces modalités par la même lettre, mais minuscule, correspondant à sa
variable statistique, affectée d’indices : x1, x2, ... (ou y1, y2, ...). Pour désigner une modalité
quelconque, on notera xi où i prend autant de valeurs différentes qu’il y a de modalités distinctes.
Selon les besoins de l’étude statistique menée, on peut imaginer des ensembles de modalités
différents pour une même variable statistique.
Par exemple, pour la variable statistique “état civil”, on pourrait se contenter des deux modalités
suivantes : marié et non marié. Cependant, on pourrait raffiner davantage en admettant les
modalités suivantes : marié, en union libre, séparé, divorcé, célibataire, veuf et religieux. Pour
la variable statistique “âge”, on pourrait considérer l’ensemble {0, 1, 2, 3, ..., 120} ou encore
considérer les groupes d’âge suivants : 0 à 4 ans, 5 à 9 ans, 10 à 14 ans, ..., ou encore les groupes
d’âge suivants : 0 à 19 ans, 20 à 39 ans, ...
1431
L’ensemble de modalités choisi pour une variable statistique donnée dépend donc des objectifs
de la recherche et de la précision requise. Cependant, ces modalités devront former un ensemble
tel que chaque observation faite sur un individu donne un résultat qui se situe dans une et une
seule de ces modalités.
Exemple
Un restaurant désire faire une enquête auprès de sa clientèle. On demandera, à chaque client
qui viendra la semaine suivante, de remplir une petite carte où celui-ci indiquera son sexe, son
degré de satisfaction, son heure d’arrivée, le nombre de personnes qui l’accompagnent et le
montant de l’addition.
Population : Ensemble des clients du restaurant.

Échantillon : Ensemble des clients qui viendront au restaurant la semaine suivante.
Variables statistiques Modalités
X : sexe X : {masculin, féminin}
Y : degré de satisfaction Y : {bas, moyen, élevé, très élevé}
T : heure d’arrivée T : [0, 24]
V : nombre d’accompagnants V : {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...}
W : montant de l’addition W : [0, ...]
1432
Notation: Les accolades servent à noter un ensemble dont on énumère les éléments alors que
les crochets servent à noter un intervalle réel défini par ses extrémités.
Remarque : Pour certaines variables statistiques étudiées ici, on pourrait proposer des modalités
qui diffèrent quelque peu de celles mentionnées.
On classifie les variables statistiques en fonction de la nature des modalités qu’elles peuvent
prendre.
Définition
Lorsque les modalités d’une variable statistique sont des nombres, on dit alors que cette
variable statistique est quantitative. Lorsque les modalités d’une variable statistique ne
sont pas des nombres, on dit qu’il s’agit d’une variable statistique qualitative.
Ainsi, dans l’exemple précédent, X et Y sont des variables statistiques qualitatives alors que T ,
V et W sont des variables statistiques quantitatives.
1433
3 Étude d’une variable statistique qualitative

3.1 Distribution d’une variable statistique X
Supposons que l’on fasse une étude d’une variable statistique qualitative X dans une population
de N individus. L’ensemble des modalités de X est le suivant {x1, x2, ..., xi, ..., xk }. Il est clair
que k, le nombre de modalités différentes, ne peut pas être supérieur à N. Pour illustrer la
démarche à suivre, accompagnons notre étude d’un exemple.
Exemple
On a demandé l’état civil des 40 employés de la compagnie Hachtague. Les modalités acceptées
étaient les suivantes : {Marié(e), célibataire, divorcé(e), veuf(ve)}. Voici les données brutes
recueillies :
Marié Divorcée Veuve Divorcé Marié Mariée Marié
Mariée Veuf Célibataire Mariée Divorcé Célibataire Veuve
Célibataire Marié Mariée Célibataire Mariée Veuve Marié
Divorcé Célibataire Marié Marié Mariée Divorcée Marié
Marié Mariée Célibataire Marié Célibataire Célibataire
Célibataire Marié Marié Mariée Divorcée Célibataire
1434
Ainsi, N = 40, et X représente la variable statistique qualitative "état civil des employés de
la compagnie Hachtague". On obtient, avec ces données brutes, une information sur chaque
individu de la population. Cependant, ces données brutes sont difficilement utilisables et très
difficiles à interpréter. Ces difficultés d’utilisation et d’interprétation s’amplifient lorsque la taille
de la population ou de l’échantillon augmente. On devra donc sacrifier le caractère individuel de
l’information pour obtenir un portrait d’ensemble de l’état civil de la population concernée. Il
faut donc condenser l’information pour en faire une présentation aussi simple que possible. Pour
chaque modalité xi, on compte le nombre d’individus ayant cette modalité et ensuite on dressera
un tableau des effectifs. A chaque modalité xi correspondra un nombre ni que l’on appellera
l’effectif de xi.
Modalités Effectifs
xi ni
Marié(e) 20
Célibataire 10
Divorcé(e) 6
Veuf(ve) 4
1435
Notation: La somme des effectifs est toujours égale au nombre d’individus dans la population,
X k
ce que l’on note par : n1 + n2 + n3 + ... + nk = ni = N .
X i=1
La lettre grecque , sigma majuscule, est utilisée en mathématiques comme symbole de la
X
somme. Par conséquence ni = N se lira “la somme des ni est égale à N ”.
X
Remarque : En statistiques, on peut omettre ce qui se trouve au dessus et au dessous de car
les sommes portent toujours sur l’ensemble des données que l’on a, de sorte que cette notation
simplifiée ne portera pas à confusion.
3.2 Fréquences
Lorsqu’on dit qu’il y a 11 individus célibataires, il s’agit là d’un nombre absolu qui est difficile
à interpréter par lui-même. Est-ce peu ou beaucoup ? Pour répondre à une telle question, il
faut une base de comparaison, c’est-à-dire un autre nombre auquel ce nombre sera comparé. On
pourrait comparer le nombre de célibataire au nombre de mariés en divisant l’effectif du premier
par celui du second par exemple. Mais il semble plus naturel de comparer chacun des effectifs
au nombre total d’individus.
1436
Définition
On définit la fréquence ou proportion d’une modalité xi par le rapport de son effectif avec
l’effectif de la population totale.
ni
fi =
N
Modalités Effectifs Fréquences

xi ni fi
Dans l’exemple ci-contre, la proportion
Marié(e) 20 0.50 50%
de célibataires vaut
Célibataire 10 0.25 25%
10
Divorcé(e) 6 0.150 15% = 0.25 = 25%
40
Veuf(ve) 4 0.10 10%
Total 40 1 100%
Remarque : La somme des fréquences est toujours égale à 1 = 100%. En pratique, on limite
souvent la précision des fréquences à trois chiffres après la virgule, quitte à arrondir le dernier
chiffre. De ce fait, il pourrait arriver que le total des fréquences ne soit pas exactement 1.
1437
3.3 Présentation graphique

Toute l’information chiffrée que l’on possède se trouve dans le tableau précédent. Il est cependant
bien utile d’illustrer cette information en représentant graphiquement la distribution des effectifs.
Une telle représentation graphique peut se faire par un diagramme en colonnes, par un diagramme
à secteurs, ou par un pictogramme.
1438
Diagrammes en colonnes
Dans un diagramme en colonnes, on utilise deux axes perpendiculaires. Sur un des axes, l’axe
horizontal dans la figure 15.1, on indique par des segments de longueurs égales, séparés l’un de
l’autre, les modalités de X. Sur l’autre axe, l’axe vertical dans ce cas-ci, en choisissant une unité
de mesure appropriée, on indique les effectifs ou les fréquences. Chaque couple (xi, ni) ou (xi, fi)
est représenté par un rectangle de hauteur ni, respectivement fi.
Figure 15.1 – Effectifs des états civils des employés de la compagnie Hachtague
1439
Diagrammes à secteurs
Dans un diagramme à secteurs (ou circulaire), on utilise un cercle que l’on subdivise en autant
de secteurs qu’il y a de modalités et où l’aire de chacun de ces secteurs est proportionnelle à
la fréquence de la modalité correspondante. L’angle au centre, pour chacun des secteurs, est de
fi · 360◦.
Figure 15.2 – Fréquences des états civils des employés de la compagnie Hachtague
Pour l’exemple de la figure 15.2, le secteur correspondant aux divorcé(e)s a un angle au centre
de 0.15 · 360◦ = 54◦.
1440
Marié(e)s : x x x x x x x x x x
Célibataires : x x x x x
Divorcé(e)s : x x x
Veuf(ve)s : x x
Figure 15.3 – Pictogramme des états civils des employés de la compagnie Hachtague
Pictogrammes
Dans un pictogramme, on utilise diverses illustrations ou images pour donner une synthèse
visuelle de la distribution des effectifs. En pratique, ces pictogrammes sont surtout utilisés lorsque
les effectifs sont des nombres très grands.
Dans l’exemple de la figure 15.3, chaque x représente deux employés.
1441
4 Étude d’une variable statistique quantitative

4.1 Variable discrète ou continue ?
Supposons maintenant que les observations que l’on fait sur les individus d’une population s’ex-
priment directement par des nombres, c’est-à-dire que l’on étudie une variable statistique quan-
titative.
Définition
Une variable statistique quantitative est dite discrète si les valeurs que peut prendre cette
variable sont des valeurs isolées, généralement entières.
Par exemple, le nombre d’enfants d’une personne, le nombre d’employés d’une usine, le nombre
de votes recueillis par un député sont des variables discrètes puisque les valeurs possibles de
ces variables sont des entiers isolés les uns des autres ; ainsi, une personne ne peut pas avoir
2.4 enfants. Bien sûr, elle peut avoir deux ou trois enfants mais il ne saurait être question d’un
nombre intermédiaire entre des entiers. Les valeurs possibles sont ainsi isolées puisqu’il faut
sauter d’une valeur à la suivante et qu’il est impossible d’utiliser les nombres entre ces valeurs.
Définition
Une variable statistique quantitative est dite continue si l’ensemble des valeurs qu’elle peut
prendre est un intervalle de l’ensemble des nombres réels.
1442
Par exemple, la température du corps humain est une variable statistique continue puisque, à
priori, si on la mesure en degrés Celsius, elle peut prendre n’importe quelle valeur réelle dans
l’intervalle [36 ; 42]. Théoriquement du moins, on peut pousser la précision de la mesure aussi
loin qu’on veut ; on peut mesurer une température de 39.1207◦ et même avec plus de décimales
encore. En général, les variables concernant les longueurs, les surfaces, le temps, l’espace, la
masse sont des variables continues.
La distinction entre une variable statistique discrète et une variable statistique continue semble
claire d’un point de vue théorique. En pratique cependant, cette distinction n’est pas toujours
aussi nette puisque, rigoureusement, toute mesure est discrète du fait que la précision d’une me-
sure est toujours limitée. Ainsi, si on considère la température du corps humain et si l’instrument
de mesure dont on dispose nous permet de mesurer la température à une décimale près, on pour-
rait décrire l’ensemble des valeurs de cette variable statistique par : {36.0, 36.1, 36.2, 36.3, ..., 41.8, 41
On pourrait alors dire que ce sont des valeurs isolées et que la variable est discrète. Ce n’est pas
tout à fait exact puisqu’une mesure observée, par exemple 38.7, correspond à un intervalle réel
[38.65 ; 38.75[, car tout nombre réel se situant dans cet intervalle sera noté par 38.7.
4.2 Variable statistique quantitative discrète avec peu de modalités

L’étude de la variable statistique quantitative discrète avec un faible nombre de modalités se
fait sensiblement de la même manière que dans le cas d’une variable statistique qualitative.
On construit un tableau de distribution des effectifs en incluant, au besoin, une colonne de
1443
fréquences. On représente aussi graphiquement la distribution par un diagramme en colonnes.
Attention cependant à ne pas coller les colonnes.
Exemple
On a mené une enquête auprès d’un échantillon de 60 ménages de la région de Payerne. On
demandait notamment le nombre d’enfants dans le ménage. On a relevé les données brutes
suivantes :
2 1 4 0 5 1 1 2 1 2 0 1 0 5 3 5 2 3 1 3 1 2 3 4 2 1 4 0 3 2
3 1 2 3 0 3 2 1 2 0 4 0 3 2 2 6 8 6 2 4 5 2 3 4 1 0 3 2 4 1
1444
Modalités Effectifs Fréquences

xi ni fi
0 8 0.133 13.3%
1 12 0.2 20%
2 15 0.25 25%
3 11 0.183 18.3%
4 7 0.117 11.7%
5 4 0.067 6.7%
6 2 0.033 3.3%
7 0 0 0%
8 1 0.017 1.7%
Total 60 1 100%
1445
Figure 15.4 – Nombre d’enfants par ménages dans la région de Payerne
4.3 Variable statistique quantitative continue ou discrète avec beaucoup de moda-

lités
Les classes
Dans le cas où le nombre de modalités d’une variable statistique quantitative discrète est grand
et dans le cas d’une variable statistique quantitative continue, donc dans les cas où les données
brutes observées sont toutes différentes ou presque, on regroupe, pour vraiment synthétiser l’in-
formation fournie par les données brutes et pour donner un portrait clair, compréhensible et
significatif de l’ensemble de la distribution, les données en classes.
1446
Définition
Une classe est un intervalle semi-ouvert que l’on notera [bi−1; bi[ où bi−1 s’appelle la borne
inférieure de cette i-ème classe et bi la borne supérieure.
Par exemple, la classe [60; 80[ comprend toutes les valeurs supérieures ou égales à 60 mais stric-
tement inférieures à 80 ; ainsi, 60 appartient à cette classe de même que 79.99, mais 80 appar-
tiendrait à la classe suivante. C’est ce qu’on entend par semi-ouvert, c’est-à-dire fermé à gauche
(donc incluant la borne à gauche) et ouvert à droite (donc excluant la borne à droite). Pour
imaginer la façon dont on s’y prend pour regrouper des données en classes, représentons (figure
15.5) un ensemble de données brutes par des points sur un axe.
Figure 15.5 – Données brutes regroupées en classes

1447
On divise la partie de l’axe incluant toutes les données en k segments, en plaçant les points b0,
b1, b2, ..., bi−1, bi, ..., bk qui sont les bornes de chacune des classes.
Définition
On appelle milieu ou centre de la i-ème classe et on note par mi le nombre suivant :
bi−1 + bi
mi =
2
On appelle largeur ou amplitude de la i-ème classe et on note par Li le nombre suivant :
Li = bi − bi−1
1448
Quelles bornes choisir ?

Pour choisir les bornes des classes, il est recommandé de tenir compte de ce qui suit :
(a) Choisir un nombre k de classes se situant entre 5 et 15. Ce nombre dépend de N ; plus N
est grand, plus le nombre de classes peut être grand. À titre indicatif, ajoutons que si N est
inférieur à 50, alors k pourrait être 5, 6, 7 ou 8, si N est supérieur à 300, k pourrait être
entre 10 et 15. Ce nombre de classes doit être tel que les effectifs des classes ne soient pas
tous très petits. Avant de fixer ce nombre, on tient compte des critères qui suivent.
(b) Il faut que b0 soit plus petit que la plus petite donnée observée et que bk soit plus grand que
la plus grande. De ce fait, toutes les données sont comprises entre b0 et bk et chaque donnée
appartient à une et une seule classe.
(c) Les classes doivent être de largeur égale et cette largeur doit être de préférence un entier
multiple de 5, 10, 100, 1000 ou qui donne des milieux de classes entiers. On fixe cette largeur
simultanément avec le nombre de classes en considérant l’étendue des données, c’est-à-dire la
plus grande donnée moins la plus petite. Il peut arriver, à cause des caprices d’une distribu-
tion, que le respect de ce critère entraine des distorsions sur les effectifs des classes, soit une
ou deux classes avec des fréquences très grandes alors que les autres classes ont des fréquences
petites.
1449
On peut alors utiliser des classes de largeurs inégales mais en plaçant des classes de largeurs
égales au centre de la distribution et, aux extrémités, des classes dont la largeur est un
multiple de celles du centre. Dans la mesure du possible, on évitera aussi les classes ouvertes,
c’est-à-dire des classes sans borne (par exemple une classe définie par "100 et plus" ou encore
par "10 et moins ".
(d) Il faut éviter que les points de concentration, c’est-à-dire les endroits où se situent un grand
nombre de données, soient situés trop près des bornes. Cela aurait pour effet de fausser
légèrement les calculs que nous effectuerons dans les prochains chapitres. Des largeurs de
classes trop grandes accentueraient cet effet.
Remarque : Dans certains problèmes pratiques, il peut être difficile ou même impossible de
respecter tous les critères à la fois. Selon les situations, selon les inconvénients, on choisit le ou
les critères qui ne seront pas respectés. Le bon sens et l’expérience seront nos meilleurs guides.
Lorsque le regroupement en classes est complété, on étudie la variable statistique quantitative de
la même manière qu’une variable statistique qualitative. On construit un tableau de distribution
des effectifs en remplaçant la colonne des modalités par la colonne des classes et en ajoutant
la colonne mi des milieux de classes. Ce nombre mi deviendra la valeur représentant toutes les
données d’une même classe.
1450
Exemple
Aux JICSR 2012 (Jeux inter-collégiaux de Suisse romande), lors d’examens de contrôle, on a
noté la taille, en centimètres, de tous les athlètes masculins participant à l’épreuve du saut en
hauteur. Voici les données brutes rangées dans un ordre croissant :
171.1 177.3 181.6 183.4 185.8 187.6 189.3 190.7 193.2 194.5 198.2
172.3 178.7 181.6 183.7 185.9 188.0 189.9 191.1 193.5 194.8 199.1
174.1 179.3 181.6 184.3 186.2 188.4 190.0 191.4 193.8 194.9 199.4
175.2 181.3 182.2 184.9 186.5 188.6 190.2 191.5 193.9 195.1 201.7
176.4 181.5 182.5 185.0 187.1 188.9 190.5 191.9 194.4 196.8 204.8
Soit X la variable statistique représentant la taille mesurée en centimètres. On a 55 données

presque toutes différentes. Il y a donc lieu de les regrouper en classes. L’étendue de X est de
204.8 − 171.1 = 33.7
Avec 55 données, il n’y a pas lieu de choisir un trop grand nombre de classes ; un bon choix
consisterait à choisir 7 classes de largeur 5 en fixant la borne inférieure b0 à 170 et la borne
supérieure à 205. Bien sûr, un autre choix pourrait être fait et s’avèrerait aussi correct. Voici le
tableau de distribution des effectifs de X.
1451
Classes Milieux Effectifs Fréquences

[bi−1 ; bi[ mi ni fi
[170 ; 175[ 172.5 3 0.055 5.5%
[175 ; 180[ 177.5 5 0.091 9.1%
[180 ; 185[ 182.5 11 0.200 20%
[185 ; 190[ 187.5 13 0.236 23.6%
[190 ; 195[ 192.5 16 0.291 29.1%
[195 ; 200[ 197.5 5 0.091 9.1%
[200 ; 205[ 202.5 2 0.036 3.6%
Totaux 55 1 100%
1452
4.4 Présentation graphique

Pour représenter graphiquement une distribution des effectifs, lorsque les données ont été regrou-
pées en classes, on utilise deux types de graphiques : l’histogramme et le polygone des effectifs
(ou des fréquences).
Histogramme
L’histogramme est un diagramme en colonnes où les rectangles sont juxtaposés. En effet, les
modalités sont ici remplacées par des classes et ces classes sont formées d’intervalles successifs
de sorte qu’il n’y a plus lieu maintenant de séparer ces rectangles comme présenté dans la figure
15.7.
Dans l’histogramme, chaque rectangle représente l’ensemble des données comprises dans la classe
définie par l’intervalle à la base. Comme ces rectangles ont tous des bases égales et que les
hauteurs dépendent de l’effectif, on en conclut que l’aire de chaque rectangle est proportionnelle
à l’effectif de la classe correspondante. On cherchera à conserver ce principe de proportionnalité,
même dans le cas où on devra former des classes de largeurs inégales.
Polygone des effectifs ou des fréquences

Le polygone des effectifs (ou des fréquences) est une ligne obtenue en joignant les points milieux
consécutifs des sommets des rectangles de l’histogramme. On commence et on termine ce po-
lygone sur l’axe horizontal en imaginant une classe nulle avant la première classe et une autre
1453
Figure 15.6 – Histogramme des participants au saut en hauteur lors des JICSR 2012
Figure 15.7 – Histogramme des participants au saut en hauteur lors des JICSR 2012
1454
Figure 15.8 – Polygone des effectifs des participants au saut en hauteur lors des JICSR 2012
après la dernière classe et en considérant le point milieu de ces rectangles de hauteurs nulles.
Avec le polygone des effectifs de l’exemple précédent (figure 15.8), on peut remarquer que l’aire
totale des rectangles de l’histogramme est la même que l’aire totale sous le polygone des effectifs.
On peut facilement s’en convaincre en constatant que chaque petit triangle qui est au-dessus du
polygone des effectifs a la même aire qu’un triangle adjacent au-dessous du polygone des effectifs.
Le polygone de effectifs présente certains avantages par rapport à l’histogramme pour faire l’étude
d’une distribution des effectifs, du fait qu’il est simple à visualiser et plus approprié pour faire
des comparaisons. Dans le cas d’une variable statistique continue, si on imagine que l’on a un
très grand nombre de données, que l’on forme un nombre de plus en plus grand de classes et que
1455
Figure 15.9 – Courbe des effectifs des participants au saut en hauteur lors des JICSR 2012
la tendance de la distribution des effectifs se maintient, alors le polygone des effectifs sera formé
de très nombreux petits segments de droites et en poussant le processus à la limite on aura une
courbe de distribution des effectifs. Le polygone précédent des effectifs se rapprocherait de la
figure 15.9.
On dit alors qu’on a lissé le polygone des effectifs. Cette forme de représentation graphique
d’une distribution des effectifs sera souvent utilisée en inférence mathématique, où l’on cherche
à comparer la distribution observée aux lois de probabilités théoriques. Une fois la courbe de
distribution des effectifs associée à une loi de probabilités connue, on utilise alors les propriétés
connues de cette loi de probabilités pour prévoir le comportement de l’ensemble de la population.
1456
4.5 Des classes plus grandes aux extrémités

Dans certaines situations, il peut s’avérer opportun de ne pas mettre la même largeur à toutes
les classes.
Exemple
Lors d’une enquête sur les chauffeurs de taxi de la région de Genève, on a prélevé un échantillon
de 52 chauffeurs et on leur a demandé leur kilométrage pour la journée du 19 décembre 2012.
Voici les données brutes :
156.2 221.8 256.6 192.2 385.3 228 121.5 241.2 249.7 336.1 340.5 211.3 276.8
363.3 341.2 263.5 349.1 152.7 96.3 316.1 329.9 546.1 281.2 235.8 267.1 236.1
226.5 281.9 297.3 276.4 127.3 176.4 206.3 286.1 272.3 216.3 246.2 186.5 370.5
146.1 170.8 68.7 138.9 367.4 340.7 302.0 166.3 130.1 261.3 291.4 328.8 290.0
La population est l’ensemble des chauffeurs de taxi de la région de Genève. On a prélevé un

échantillon de 52 de ces chauffeurs et la variable étudiée X est le kilométrage de la journée
du 19 décembre 2012. C’est une variable statistique quantitative continue. On a 52 données
toutes différentes, la plus petite étant 68.7 et la plus grande 546.1. Pour regrouper en classes,
on considère d’abord l’étendue de la variable X, soit : 546.1 − 68.7 = 477.4. Supposons que l’on
choisisse 5 classes de largeur 100 en prenant 50 comme borne inférieure de la première classe.
On remarque, dans le tableau suivant de gauche, qu’il y a ainsi deux classes avec des effectifs
1457
relativement grands comparativement aux autres classes. Cela détaille moins bien la distribution
de la variable X que dans le tableau de droite où nous avons choisi 10 classes de largeur 50 en
prenant encore 50 comme borne inférieure de la première classe :
Classes Effectifs
[50 ; 100[ 2
[100 ; 150[ 5
Classes Effectifs
[150 ; 200[ 7
[50 ; 150[ 7
[200 ; 250[ 11
[150 ; 250[ 18
[250 ; 300[ 13
[250 ; 350[ 22
[300 ; 350[ 9
[350 ; 450[ 4
[350 ; 400[ 4
[450 ; 550[ 1
[400 ; 450[ 0
[450 ; 500[ 0
[500 ; 550[ 1
Cependant, dans le tableau de droite, on a alors deux classes d’effectifs nuls avant la dernière
classe d’effectif 1. Généralement, on n’admet pas de classe à effectif nul. On termine alors la
distribution avec une seule classe de largeur 150, soit la classe [400; 550[, de manière à récupérer
la dernière donnée qui est vraiment éloignée des autres données. Voici le tableau de distribution
des effectifs de X :
1458
Classes Milieux Effectifs Fréquences

[50 ; 100[ 75 2 0.038
[100 ; 150[ 125 5 0.096
[150 ; 200[ 175 7 0.135
[200 ; 250[ 225 11 0.212
[250 ; 300[ 275 13 0.250
[300 ; 350[ 325 9 0.173
[350 ; 400[ 375 4 0.077
[400 ; 550[ 475 1 0.019
Total 52 1
Dans le tracé de l’histogramme, il faut porter une attention particulière au dernier rectangle,
c’est-à-dire celui qui correspond à la classe [400; 550[. Pour ce rectangle ayant une base trois fois
plus grande que celle des autres, il faudra diviser sa hauteur (donc, la mesure de l’effectif) par
3 pour respecter le principe de proportionnalité. Ce dernier rectangle aura pour base l’intervalle
1
[400; 550[ et pour hauteur comme le montre la figure 15.10 .
3
Pour tracer le polygone des effectifs de la figure 15.11, on procède selon la même technique où
on considère le dernier rectangle comme étant formé de trois rectangles de largeur 50.
1459
Figure 15.10 – Histogramme des chauffeurs de taxis selon leur kilométrage du 19.12.2012
4.6 Fréquences cumulées

Définition
Les tableaux de distribution vus jusqu’ici d’une variable statistique nous indiquent, pour chaque
modalité ou chaque classe, la fréquence de celle-ci. Cependant, dans certaines situations, on
s’intéressera à la fréquence de deux ou plusieurs modalités ou classes. Il suffit alors de cumuler
ces fréquences pour obtenir le résultat désiré.
1460
Figure 15.11 – Polygone des effectifs des chauffeurs de taxis selon leur kilométrage du
19.12.2012
Définition
L’effectif cumulé d’une modalité respectivement d’une classe, est formé de la somme des
effectifs de cette modalité, respectivement de cette classe, et de ceux de toutes les autres mo-
dalités respectivement classes, qui sont inférieures. Pour faciliter la comparaison de plusieurs
distributions et de certains calculs dans les chapitres à venir, on choisit plutôt d’inclure une
colonne des fréquences cumulées intitulée Fi.
1461
D’un point de vue pratique

Dans le cas d’une variable statistique quantitative, on ajoutera au tableau de distribution des
effectifs et des fréquences une colonne des fréquences cumulées plutôt qu’une colonne des effectifs
cumulés.
Classes Milieux Effectifs Fréquences Fréquences cumulées
[bi−1 ; bi[ mi ni fi Fi
[50 ; 100[ 75 2 0.038 0.038
[100 ; 150[ 125 5 0.096 0.134
[150 ; 200[ 175 7 0.135 0.269
[200 ; 250[ 225 11 0.212 0.481
[250 ; 300[ 275 13 0.250 0.731
[300 ; 350[ 325 9 0.173 0.904
[350 ; 400[ 375 4 0.077 0.981
[400 ; 550[ 475 1 0.019 1
Total 52 1
Naturellement, il n’y a pas lieu de faire le total de la colonne des fréquences cumulées puisque ces
nombres sont déjà des sommes. Pour trouver les proportions, on utilise la colonne des fréquences
ou celle des fréquences cumulées.
Ainsi, pour trouver la proportion des chauffeurs ayant un kilométrage de moins de 300 km, on
1462
peut additionner toutes les fréquences des classes inférieures à celle commençant à 300 km, c’est-
à-dire : 0.038 + 0.096 + 0.135 + 0.212 + 0.250 = 0.731, ou encore, trouver le résultat directement
dans la colonne des fréquences cumulées à la ligne correspondant à la classe se terminant à 300
km.
Pour trouver la proportion des chauffeurs ayant un kilométrage de plus de 350 km, on peut
additionner les fréquences de toutes les classes supérieures à celle se terminant à 350 km, c’est-
à-dire : 0.077 + 0.019 = 0.096, ou encore, trouver le résultat en soustrayant de 1 la fréquence
cumulée à la ligne correspondant à la classe se terminant à 350 km, c’est-à-dire : 1−0.904 = 0.096.
Pour trouver la proportion des chauffeurs ayant un kilométrage entre 200 et 300 km, on peut
additionner les fréquences de toutes les classes à partir de celle qui commence à 200 km jusqu’à
celle qui se termine à 300 km, c’est-à-dire : 0.212 + 0.250 = 0.462, ou encore, trouver le résultat
en soustrayant de la fréquence cumulée à la ligne correspondant à la classe se terminant à 300
km la fréquence cumulée à la ligne correspondant à la classe se terminant à 200 km, c’est-à-dire :
0.731 − 0.269 = 0.462.
1463
Courbe des fréquences cumulées

Pour représenter graphiquement la distribution des fréquences cumulées (voir figure ci-après), on
note, sur l’axe horizontal, les valeurs de la variable et sur l’axe vertical, les fréquences cumulées en
utilisant une échelle appropriée, on place ensuite les points (bi; Fi) correspondant à la fréquence
cumulée à la fin de chaque classe et finalement, on joint ces points par une ligne brisée en
commençant au point (b0; 0) et en terminant au point (bk ; 1).
Courbe des fréquences cumulées des chauffeurs de taxis selon

leurs km du 19.12.2012
1464
5 Exercices
Exercice 15.1
Dans un sondage réalisé auprès de 200 élèves du GYB âgés de moins de 18 ans, on a demandé
avec quel moyen de transport ils réalisaient le plus de kilomètres pour venir au GYB. 78 ont
répondu le train, 47 le bus, 18 l’auto, 31 véhicule motorisé à 2 roues et 26 les pieds.
(a) Déterminer la population.
(b) Déterminer la variable statistique.
(c) Déterminer les modalités de cette dernière.
(d) Calculer la fréquence de chaque modalité.
(e) Construire un diagramme en colonnes des effectifs.
(f) Construire un diagramme à secteurs.
1465
Corrigé 15.1
(a) 200 élèves du GYB âgés de moins de 18 ans.

(b) Le moyen de transport avec lequel ils réalisaient le plus de kilomètres pour venir au GYB.
(c) {Train, bus, auto, véhicule motorisé à 2 roues, pieds}
Modalités Effectifs Fréquences Angles
xi ni fi
Train 78 39% 140.4◦
Bus 47 23.5% 84.6◦
(d)
Auto 18 9% 32.4◦
Véhicule moto... 31 15.5% 55.8◦
Pieds 26 13% 46.8◦
Total 200 100% 360◦
1466
(e)
Nombre d’élèves par moyen de transport
(f)
Pourcentage d’élèves par moyen de transport

1467
Exercice 15.2
Dans l’entreprise ABO, on a demandé aux employés leur groupe sanguin. Voici les données
récoltées :
A A AB A O O O A B AB A O O O A
A A A O B B AB A B A A O O A O
B A A A O O O O O O A AB A O B
A A O A O B AB A O A A O O AB B
(e) Construire un diagramme en colonnes des fréquences.
1468
Corrigé 15.2
(a) Les employés de l’entreprise ABO.

(b) Leur groupe sanguin.
(c) {A, B, AB, O}
xi ni fi
A 24 40% 144◦
(d) B 8 13.3% 48◦
AB 6 10% 36◦
O 22 36.7% 132◦
Total 60 100% 360◦
1469
(e)
Pourcentage d’employé par groupe sanguin
(f)

1470
Exercice 15.3
Dans la classe Ma1-2 de 2011-2012, on a demandé aux élèves leur opérateur de téléphonie mobile.
Sunrise Orange Orange Sunrise Sunrise Orange Swisscom
Swisscom Sunrise Orange Swisscom Swisscom Orange Sunrise
Swisscom Sunrise Sunrise Sunrise Sunrise Swisscom Swisscom
Swisscom Swisscom Sunrise Sunrise
(e) Construire un diagramme en colonnes des fréquences.
1471
Corrigé 15.3
(a) Les élèves de la classe Ma1-2 de 2011-2012

(b) Leur opérateur de téléphonie mobile
(c) {Sunrise, Orange, Swisscom}
xi ni fi
Sunrise 11 44% 158.4◦
(d)
Swisscom 9 36% 129.6◦
Orange 5 20% 72◦
Total 25 100% 360◦
1472
(e)
Pourcentage d’élève par opérateur
(f)

1473
Exercice 15.4
Dans la classe CGz2-1 de 2012, on a demandé aux élèves quelle chaine de télévision ils regardaient
le plus parmi RTS1, TFI, FRANCE2, M6 et MTV. 5 ont répondu la chaine suisse, 4 la chaine
musicale américaine, 8 la plus ancienne chaine de télévision française, 4 la deuxième chaine
française et 6 la plus jeune des trois chaines françaises.
(a) Calculer la fréquence de chaque modalité.
(b) Construire un diagramme semi-circulaire représentant ces données.
1474
Corrigé 15.4

xi ni fi
RTS1 5 18.5% 33.3◦
TF1 8 29.6% 53.3◦
(a)
FRANCE2 4 14.8% 26.7◦
M6 6 22.2% 40.0◦
MTV 4 14.8% 26.7◦
Total 27 100.0% 180.0◦
(b)
Pourcentage d’élève par chaine de télévision

1475
Exercice 15.5
Considérons le diagramme suivant présentant les principales causes de décès des hommes en 2010
à Sierre

(c) Construire le tableau de distribution des fréquences.
(d) Représenter cette même distribution à l’aide d’un diagramme à secteurs.
1476
Corrigé 15.5
(a) Hommes décédés en 2010 à Sierre

(b) La principale cause de décès
xi ni fi
Tumeurs malignes 18 36% 129.6◦
Démence 3 6% 21.6◦
(c)
Appareil circulatoire 20 40% 144◦
Appareil respiratoire 4 8% 28.8◦
Accidents et traumatismes 5 10% 36◦
Total 50 100% 360◦
1477
(d)
Principales causes de décès des hommes en 2010 à Sierre.

1478
Exercice 15.6
On a demandé à Tristan la facture de son téléphone portable du mois d’avril 2012. Voici le
nombre d’appels qu’il a passé chaque jour :
0 5 7 5 3 4 1 2 2 3
4 5 6 1 3 0 0 1 3 7
6 5 4 3 0 1 2 3 4 5
(c) Est-elle continue ou discrète ?
(d) Construire le tableau de distribution des fréquences cumulées.
(e) Représenter les données par un diagramme en colonnes des effectifs.
1479
Corrigé 15.6
(a) Tristan
(b) Le nombre d’appels qu’il a passé de son téléphone portable chaque jour du mois d’avril 2012
(c) Discrète
Modalités Effectifs Fréquences Fréquences Cumulées
xi ni fi Fi
0 4 0.133 0.133
1 4 0.133 0.267
2 3 0.1 0.367
(d) 3 6 0.2 0.567
4 4 0.133 0.7
5 5 0.167 0.867
6 2 0.067 0.933
7 2 0.067 1
Total 30 1
1480
(e)
Nombre d’appels passés par jour par Tristan en avril 2012.

1481
Exercice 15.7
Voici les notes de la dernière interrogation de mathématiques dans la classe Mz1-2 de l’année
2011-2012 :
3 3.5 4 3 5 6 6 4 4.5 5
5 3 2.5 3 5 6 5.5 4.5 2 2.5
3.5 4 4 4 4.5 5.5 4 5 3 5
(e) Représenter les données par un pictogramme.
1482
Corrigé 15.7
(a) Les élèves de la classe Mz1-2 de l’année 2011-2012.

(b) Leur note lors de la dernière interrogation de mathématiques.
(c) Discrète (suite à l’arrondi au 1/2 point).
xi ni fi Fi
2 1 3.3% 3.3%
2.5 2 6.7% 10%
3 5 16.7% 26.7%
3.5 2 6.7% 33.3%
(d)
4 6 20% 53.3%
4.5 3 10% 63.3%
5 6 20% 83.3%
5.5 2 6.7% 90%
6 3 10% 100%
Total 30 100%
1483
2 : §
2.5 : §§
3 : §§§§§
3.5 : §§
4 : ©©©©©©
(e)
4.5 : ©©©
5 : ©©©©©©
5.5 : ©©
6 : ©©©
Pictogramme du nombre d’élèves par note
1484
Exercice 15.8
Voici les salaires de la première année de travail (13ème salaire inclus) pour un employé à l’État de
Fribourg en 2012 suivant la classe dans laquelle se trouve sa profession. Par exemple, le professeur
d’un gymnase fribourgeois est situé en classe 25 et le professeur ordinaire de l’Université de
Fribourg se trouve en classe 36. Les quatre dernières classes sont qualifiées de spéciales et la
dernière est réservée, entre autres, aux préfets et aux juges.
44058 49799 58577 70513 85769 104505 126852 152985
44966 51307 60707 73300 89237 108686 131780 158672
45982 52932 62957 76218 92847 113010 136855 164540
47128 54684 65345 79258 96582 117466 142069 170541
48406 56564 67859 82445 100475 122086 147451 176716
On a réuni, dans une salle de la Chancellerie d’État de Fribourg, une personne de chacune de
ces classes salariales.
(d) Construire le tableau de distribution des fréquences cumulées après avoir choisi de regrouper
ces valeurs en classes de largeur L = 200000 = 20k avec b0 = 400000 = 40k.
1485
(e) Représenter les données par un histogramme des effectifs. Y ajouter le polygone des effectifs.
(f) Déterminer le pourcentage d’employés, présents dans la salle, ayant un salaire, pour la pre-
mière année de travail, ...
(i) ... inférieur à 120’000.-.

(ii) ... supérieur à 80’000.-.
(iii) ... entre 60’000.- à 140’000.-.
(g) Représenter la courbe des fréquences cumulées.

1486
Corrigé 15.8
(a) 40 personnes représentant les 40 classes salariales de l’année 2012 des employés de l’État de
Fribourg.
(b) Leur salaire annuel lors de leur première année d’activité
(c) Discrète, mais avec beaucoup de modalités, donc traitée comme une variable statistique
continue.
Classes Milieux Effectifs Fréquences F. cumulées
[40k ; 60k[ 50k 11 27.5% 27.5%
[60k ; 80k[ 70k 8 20% 47.5%
[80k ; 100k[ 90k 5 12.5% 60%
(d)
[100k ; 120k[ 110k 5 12.5% 72.5%
[120k ; 140k[ 130k 4 10% 82.5%
[140k ; 160k[ 150k 4 10% 92.5%
[160k ; 180k[ 170k 3 7.5% 100%
Total 40 100%
1487
(e)
Nombre d’employés par classe salariale

(f) ...
(i) F4 = 72.5%
(ii) 100% − F2 = 100% − 47.5% = 52.5%
(iii) F5 − F1 = 82.5% − 27.5% = 55% ou f2 + f3 + f4 + f5 = 20% + 12.5% + 12.5% + 10% = 55%
1488
(g)
Fréquences cumulées des employés selon leur classe salariale.

1489
Exercice 15.9
Lors du recrutement, chaque jeune Suisse passe une visite médicale où l’on calcule son IMC
(indice de masse corporelle) en calculant le rapport entre sa masse (en kg) et le carré de sa taille
(en m). Voici les résultats obtenus pour les 60 premières recrues du lundi 24 septembre 2012 au
centre de recrutement de Lausanne.
1490
Masse Taille Masse Taille Masse Taille Masse Taille

87 1.64 91 1.78 82 1.88 70 1.99
81 1.96 97 1.72 77 1.83 99 1.76
77 1.64 91 1.78 96 1.69 84 1.61
85 1.83 78 1.94 74 1.68 93 1.87
99 1.60 77 1.58 79 1.58 96 1.85
85 1.94 74 1.86 91 1.86 84 1.91
95 1.96 80 1.86 99 1.59 91 1.59
98 1.53 79 1.58 87 1.50 79 1.71
71 1.95 70 1.99 70 1.92 71 1.76
73 1.70 73 1.61 75 1.76 76 1.97
74 1.73 86 1.63 84 1.56 84 1.56
85 1.95 89 1.66 91 1.90 94 1.91
94 1.66 74 1.71 98 1.81 75 1.79
80 1.90 95 1.69 72 1.59 91 1.95
79 1.87 86 1.81 81 1.57 96 1.73
1491
(b) Déterminer les variables statistiques.
(c) Sont-elles continues ou discrètes ?
(d) Construire le tableau de distribution des fréquences cumulées des tailles après avoir choisi de
regrouper ces valeurs de façon à former entre 5 et 10 classes de largeur identique.
(e) Construire le tableau de distribution des fréquences cumulées des masses après avoir choisi
de regrouper ces valeurs de façon à former entre 5 et 10 classes de largeur identique.
(f) Pour la masse des élèves, représenter les données par un histogramme des fréquences puis y
ajouter le polygone des fréquences.
(g) Représenter la courbe des fréquences cumulées des tailles.
1492
Corrigé 15.9
(a) Les 60 premières recrues du lundi 24 septembre 2012 au centre de recrutement de Lausanne.
(b) Leur masse et leur taille.
(c) Continues.
Tailles Milieux Eff. Fréq. F. cumul.
[1.50 ; 1.60[ 1.55 11 18.33% 18.33%
[1.60 ; 1.70[ 1.65 11 18.33% 36.67%
(d)
[1.70 ; 1.80[ 1.75 12 20% 56.67%
[1.80 ; 1.90[ 1.85 11 18.33% 75%
[1.90 ; 2.00[ 1.95 15 25% 100%
Total 60 100%
1493

[1.50 ; 1.55[ 1.525 2 3.33% 3.33%
[1.55 ; 1.60[ 1.575 9 15% 18.33%
[1.60 ; 1.65[ 1.625 6 10% 28.33%
[1.65 ; 1.70[ 1.675 5 8.33% 36.67%
ou [1.70 ; 1.75[ 1.725 6 10% 46.67%
[1.75 ; 1.80[ 1.775 6 10% 56.67%
[1.80 ; 1.85[ 1.825 4 6.67% 63.33%
[1.85 ; 1.90[ 1.875 7 11.67% 75%
[1.90 ; 1.95[ 1.925 7 11.67% 86.67%
[1.95 ; 2.00[ 1.975 8 13.33% 100%
Total 60 100%
1494
Masses Milieux Effectifs Fréquences F. cumulées

[70 ; 75[ 72.5 12 20% 20%
[75 ; 80[ 77.5 11 18.33% 38.33%
(e) [80 ; 85[ 82.5 9 15% 53.33%
[85 ; 90[ 87.5 8 13.33% 66.67%
[90 ; 95[ 92.5 9 15% 81.67%
[95 ; 100[ 97.5 11 18.33% 100%
Total 60 1
(f)
Nombre de recrues par masse

1495
(g)
Fréquences cumulées des recrues selon leur taille

(L = 10 cm)
(h)

(L = 5 cm)
1496
Exercice 15.10
Voici les relevés météorologiques issus du site http ://www.meteopayerneouest.com (moyenne
sur une journée) pour le mois d’août 2012 concernant la ville de Payerne :
◦
Jour C Vent Humi. Pres. Jour ◦C Vent Humi. Pres.
1 22.0 6.3 74 % 1013 17 20.8 5.1 76 % 1018
2 22.4 7.0 75 % 1013 18 22.8 6.1 72 % 1018
3 22.1 6.1 72 % 1015 19 24.8 5.3 71 % 1018
4 21.1 5.9 73 % 1013 20 25.3 7.0 70 % 1019
5 19.8 7.2 86 % 1010 21 25.4 5.0 74 % 1016
6 17.4 7.1 86 % 1015 22 25.6 8.2 70 % 1015
7 18.5 7.6 73 % 1022 23 23.9 5.6 75 % 1012
8 19.0 7.5 72 % 1022 24 20.7 6.2 87 % 1009
9 19.8 6.3 73 % 1021 25 20.2 9.8 80 % 1011
10 20.4 7.7 71 % 1020 26 17.5 11.7 69 % 1018
11 19.8 7.3 72 % 1017 27 16.6 5.7 74 % 1020
12 19.7 6.6 75 % 1013 28 18.5 6.6 75 % 1018
13 21.5 7.1 75 % 1012 29 19.0 5.6 82 % 1018
14 21.4 5.8 73 % 1012 30 16.5 6.1 92 % 1018
15 23.2 9.7 66 % 1010 31 12.8 9.6 88 % 1020
16 20.4 7.9 79 % 1017
1497
(b) Déterminer les variables statistiques.
(c) Sont-elles continues ou discrètes ?
(d) Construire le tableau de distribution des fréquences de la pression et de l’humidité après avoir
choisi de regrouper ces valeurs de façon à former entre 5 et 10 classes.
(e) Idem pour la température, mais prendre une classe plus grande au début de la distribution
et pour le vent, en prendre une plus grande à la fin de la distribution.
(f) Pour la température et le vent, représenter les données par un histogramme des fréquences.
Y ajouter le polygone des fréquences.
1498
Corrigé 15.10
(a) Jours du mois d’août 2012 à Payerne.

(b) Pression moyenne, humidité moyenne, température moyenne et vitesse moyenne du vent.
(c) Continues.
Pressions Milieux Eff. Fréq.
Humidité Milieux Eff. Fréq.
[1009 ; 1011[ 1010 3 9.68%
[65 ; 70[ 67.5 2 6.45%
[1011 ; 1013[ 1012 4 12.90%
[70 ; 75[ 72.5 15 48.39%
[1013 ; 1015[ 1014 4 12.90%
(d) [75 ; 80[ 77.5 7 22.58%
[1015 ; 1017[ 1016 4 12.90%
[80 ; 85[ 82.5 2 6.45%
[1017 ; 1019[ 1018 9 29.03%
[85 ; 90[ 87.5 4 12.90%
[1019 ; 1021[ 1020 4 12.90%
[90 ; 95[ 92.5 1 3.23%
[1021 ; 1023[ 1022 3 9.68%
Total 31 100%
Total 31 100%
1499
Vent Milieux Eff. Fréq.

Températures Milieux Eff. Fréq. [bi−1 ; bi[ mi ni fi
[bi−1 ; bi[ mi ni fi [5.0 ; 5.5[ 5.25 3 9.68%
[12 ; 18[ 15 5 16.13% [5.5 ; 6.0[ 5.75 5 16.13%
[18 ; 20[ 19 8 25.81% [6.0 ; 6.5[ 6.25 6 19.35%
(e)
[20 ; 22[ 21 8 25.81% [6.5 ; 7.0[ 6.75 2 6.45%
[22 ; 24[ 23 6 19.35% [7.0 ; 7.5[ 7.25 6 19.35%
[24 ; 26[ 25 4 12.90% [7.5 ; 8.0[ 7.75 4 12.90%
Total 31 100% [8.0 ; 12.0[ 10.00 5 16.13%
Total 31 100%
(f)
Fréquences et polygone des fréquences des températures

1500
(g)
Fréquences et polygone des fréquences de la vitesse moyenne du

vent
1501
6 Solutions
Solution 15.1
(a) 200 élèves du GYB âgés de moins de 18 ans.
(b) Le moyen de transport avec lequel ils réalisaient le plus de kilomètres pour venir au GYB.
(c) {Train, bus, auto, véhicule motorisé à 2 roues, pieds}
xi ni fi
Train 78 39% 140.4◦
Bus 47 23.5% 84.6◦
(d)
Auto 18 9% 32.4◦
Véhicule moto... 31 15.5% 55.8◦
Pieds 26 13% 46.8◦
Total 200 100% 360◦
1502
(e)
Nombre d’élèves par moyen de transport
(f)
Pourcentage d’élèves par moyen de transport

Solution 15.2
(a) Les employés de l’entreprise ABO.
1503
(b) Leur groupe sanguin.
(c) {A, B, AB, O}
xi ni fi
A 24 40% 144◦
(d) B 8 13.3% 48◦
AB 6 10% 36◦
O 22 36.7% 132◦
Total 60 100% 360◦
(e)

1504
(f)

Solution 15.3
(a) Les élèves de la classe Ma1-2 de 2011-2012
(b) Leur opérateur de téléphonie mobile
(c) {Sunrise, Orange, Swisscom}
1505

xi ni fi
Sunrise 11 44% 158.4◦
(d)
Swisscom 9 36% 129.6◦
Orange 5 20% 72◦
Total 25 100% 360◦
(e)

1506
(f)

1507
Solution 15.4
xi ni fi Angles
RTS1 5 18.5% 33.3◦
TF1 8 29.6% 53.3◦
(a) FRANCE2 4 14.8% 26.7◦
M6 6 22.2% 40.0◦
MTV 4 14.8% 26.7◦
Total 27 100.0% 180.0◦
(b)
Pourcentage d’élève par chaine de télévision

Solution 15.5
(a) Hommes décédés en 2010 à Sierre
(b) La principale cause de décès
1508
xi ni fi Angles
Tumeurs malignes 18 36% 129.6◦
Démence 3 6% 21.6◦
(c) Appareil circulatoire 20 40% 144◦
Appareil respiratoire 4 8% 28.8◦
Accidents et traumatismes 5 10% 36◦
Total 50 100% 360◦
(d)
Principales causes de décès des hommes en 2010 à Sierre.
Solution 15.6
(a) Tristan
(b) Le nombre d’appels qu’il a passé de son téléphone portable chaque jour du mois d’avril 2012
1509
(c) Discrète
xi ni fi Fi
0 4 0.133 0.133
1 4 0.133 0.267
2 3 0.1 0.367
(d) 3 6 0.2 0.567
4 4 0.133 0.7
5 5 0.167 0.867
6 2 0.067 0.933
7 2 0.067 1
Total 30 1
1510
(e)
Nombre d’appels passés par jour par Tristan en

avril 2012.
Solution 15.7
(a) Les élèves de la classe Mz1-2 de l’année 2011-2012.
(b) Leur note lors de la dernière interrogation de mathématiques.
(c) Discrète (suite à l’arrondi au 1/2 point).
1511

xi ni fi Fi
2 1 3.3% 3.3%
2.5 2 6.7% 10%
3 5 16.7% 26.7%
3.5 2 6.7% 33.3%
(d)
4 6 20% 53.3%
4.5 3 10% 63.3%
5 6 20% 83.3%
5.5 2 6.7% 90%
6 3 10% 100%
Total 30 100%
1512
2 : §
2.5 : §§
3 : §§§§§
3.5 : §§
4 : ©©©©©©
(e)
4.5 : ©©©
5 : ©©©©©©
5.5 : ©©
6 : ©©©
Pictogramme du nombre d’élèves par note
Solution 15.8
(a) 40 personnes représentant les 40 classes salariales de l’année 2012 des employés de l’État de
Fribourg.
(b) Leur salaire annuel lors de leur première année d’activité
(c) Discrète, mais avec beaucoup de modalités, donc traitée comme une variable statistique
continue.
1513
Classes Milieux Effectifs Fréquences F. cumulées

[40k ; 60k[ 50k 11 27.5% 27.5%
[60k ; 80k[ 70k 8 20% 47.5%
[80k ; 100k[ 90k 5 12.5% 60%
(d)
[100k ; 120k[ 110k 5 12.5% 72.5%
[120k ; 140k[ 130k 4 10% 82.5%
[140k ; 160k[ 150k 4 10% 92.5%
[160k ; 180k[ 170k 3 7.5% 100%
Total 40 100%
1514
(e)
Nombre d’employés par classe salariale

(f) ...
(i) 72.5%
(ii) 52.5%
(iii) 55%
1515
(g)
Fréquences cumulées des employés selon leur classe

salariale.
1516
Solution 15.9
(a) Les 60 premières recrues du lundi 24 septembre 2012 au centre de recrutement de Lausanne.
(b) Leur masse et leur taille.
(c) Continues.
[1.50 ; 1.60[ 1.55 11 18.33% 18.33%
[1.60 ; 1.70[ 1.65 11 18.33% 36.67%
(d)
[1.70 ; 1.80[ 1.75 12 20% 56.67%
[1.80 ; 1.90[ 1.85 11 18.33% 75%
[1.90 ; 2.00[ 1.95 15 25% 100%
Total 60 100%
1517

[1.50 ; 1.55[ 1.525 2 3.33% 3.33%
[1.55 ; 1.60[ 1.575 9 15% 18.33%
[1.60 ; 1.65[ 1.625 6 10% 28.33%
[1.65 ; 1.70[ 1.675 5 8.33% 36.67%
ou [1.70 ; 1.75[ 1.725 6 10% 46.67%
[1.75 ; 1.80[ 1.775 6 10% 56.67%
[1.80 ; 1.85[ 1.825 4 6.67% 63.33%
[1.85 ; 1.90[ 1.875 7 11.67% 75%
[1.90 ; 1.95[ 1.925 7 11.67% 86.67%
[1.95 ; 2.00[ 1.975 8 13.33% 100%
Total 60 100%
1518
Masses Milieux Effectifs Fréquences F. cumulées

[70 ; 75[ 72.5 12 20% 20%
[75 ; 80[ 77.5 11 18.33% 38.33%
(e) [80 ; 85[ 82.5 9 15% 53.33%
[85 ; 90[ 87.5 8 13.33% 66.67%
[90 ; 95[ 92.5 9 15% 81.67%
[95 ; 100[ 97.5 11 18.33% 100%
Total 60 1
(f)
Nombre de recrues par masse

1519
(g)

(L = 10 cm)
(h)

(L = 5 cm)
1520
Solution 15.10
(a) Jours du mois d’août 2012 à Payerne.
(b) Pression moyenne, humidité moyenne, température moyenne et vitesse moyenne du vent.
(c) Continues.
Pressions Milieux Eff. Fréq.
Humidité Milieux Eff. Fréq.
[1009 ; 1011[ 1010 3 9.68%
[65 ; 70[ 67.5 2 6.45%
[1011 ; 1013[ 1012 4 12.90%
[70 ; 75[ 72.5 15 48.39%
[1013 ; 1015[ 1014 4 12.90%
(d) [75 ; 80[ 77.5 7 22.58%
[1015 ; 1017[ 1016 4 12.90%
[80 ; 85[ 82.5 2 6.45%
[1017 ; 1019[ 1018 9 29.03%
[85 ; 90[ 87.5 4 12.90%
[1019 ; 1021[ 1020 4 12.90%
[90 ; 95[ 92.5 1 3.23%
[1021 ; 1023[ 1022 3 9.68%
Total 31 100%
Total 31 100%
1521
Vent Milieux Eff. Fréq.

Températures Milieux Eff. Fréq. [bi−1 ; bi[ mi ni fi
[bi−1 ; bi[ mi ni fi [5.0 ; 5.5[ 5.25 3 9.68%
[12 ; 18[ 15 5 16.13% [5.5 ; 6.0[ 5.75 5 16.13%
[18 ; 20[ 19 8 25.81% [6.0 ; 6.5[ 6.25 6 19.35%
(e)
[20 ; 22[ 21 8 25.81% [6.5 ; 7.0[ 6.75 2 6.45%
[22 ; 24[ 23 6 19.35% [7.0 ; 7.5[ 7.25 6 19.35%
[24 ; 26[ 25 4 12.90% [7.5 ; 8.0[ 7.75 4 12.90%
Total 31 100% [8.0 ; 12.0[ 10.00 5 16.13%
Total 31 100%
1522
(f)
Fréquences et polygone des fréquences des

températures moyennes
(g)
Fréquences et polygone des fréquences de la vitesse

moyenne du vent
Chapitre 16
Mesures de tendance centrale et position
1524
1 Caractéristiques d’une variable statistique

En statistique, on s’intéresse à des ensembles de données. De ce fait, on range les données en
ordre, on les condense selon les modalités ou on les regroupe selon des classes pour étudier la
distribution des effectifs. Cette étude met de côté le caractère individuel de chacune des données
pour mettre l’accent sur le caractère d’ensemble de ces données. Dans le même ordre d’idées, pour
décrire un ensemble de données, on cherche à dégager des caractéristiques d’une distribution des
effectifs représentée par une courbe de distribution des effectifs (figure 16.1).
Figure 16.1 – Courbe des effectifs des participants au saut en hauteur lors des JICSR 2012
Pour caractériser et bien décrire une distribution des effectifs, on définit des mesures indiquant
où se situent le centre et toute autre position et on définit ensuite des mesures décrivant la
dispersion des données. Ce sont, respectivement, les mesures de tendance centrale, les mesures
de position et les mesures de dispersion.
1525
2 Mode, médiane, moyenne

Il y a plusieurs façons d’envisager la notion de centre d’une distribution des effectifs, ce qui
nous amène à distinguer différentes mesures de tendance centrale. Considérons d’abord les trois
principales : le mode, la médiane et la moyenne.
L’idée de base derrière chacun de ces concepts est simple :
— le mode, c’est la plus haute fréquence,
— la médiane, c’est le milieu, le partage en deux parties égales,
— la moyenne, c’est l’équilibre où on tient compte de la grandeur de toutes les données.
2.1 Le mode
Définition
Le mode d’une variable discrète, noté M0, est la modalité dont l’effectif est le plus élevé.
1526
Exemple
xi ni
12 3
Dans cet exemple, le mode M0 = 18 (et non
14 6
pas 16 ! ! !). En effet, c’est la modalité dont
16 10
l’effectif est le plus élevé.
18 16
20 11
25 6
Dans le cas où les données ont été regroupées en classes

(variables statistiques continues et variables statistiques
discrètes mais avec beaucoup de modalités), on parlera
de classe modale. C’est la classe dont l’effectif est le plus
élevé. A l’intérieur de cette classe, on situera de façon
plus précise le mode ; proportionnellement aux différences
d’effectifs de la classe modale avec ses deux classes voisines
selon la figure ci-contre.
1527
Définition
Le mode d’une variable statistique continue, noté Mo, est défini comme étant

∆1
M o = bi−1 + · Li
∆1 + ∆2
où
bi−1 : borne inférieure de la classe modale,
∆1 : différence entre l’effectif de la classe modale et l’effectif de la classe précédente,
∆2 : différence entre l’effectif de la classe modale et l’effectif de la classe suivante,
Li : largeur de la classe modale.
1528
Exemple
Classes Milieux Effectifs Ici, la classe modale est [60 ; 70[ puisque cette classe possède
[bi−1 ; bi[ xi ni l’effectif le plus élevé. A l’intérieur de cette classe, on situe
[30 ; 40[ 35 4 le mode de façon plus précise
ainsi :
[40 ; 50[ 45 7 ∆1
M o = bi−1 + · Li
[50 ; 60[ 55 11 ∆
1 2 + ∆
[60 ; 70[ 65 12 1
= 60 + · 10
[70 ; 80[ 75 8 1+4
= 62
[80 ; 90[ 85 5
1529
2.2 La médiane
Définition
La médiane d’une variable statistique discrète, notée M , est la première modalité dont
la fréquence cumulée est supérieure à 0.5 = 50%.
Remarque : Si la fréquence cumulée est exactement égale à 0.5 = 50%, on choisira comme
médiane, le nombre à mi-chemin entre la modalité concernée et la suivante.
Dans le cas où les données ont été regrou-

pées en classes (variables statistiques conti-
nues et variables statistiques discrètes mais
avec beaucoup de modalités), on parlera de
classe médiane. Ce sera la première classe
dont l’effectif sera supérieur ou égal à 50%.
A l’intérieur de cette classe, on situera de
façon plus précise la médiane, en suppo-
sant que les données de la classe médiane
sont réparties uniformément, en interpolant
comme dans la figure suivante.
1530
Définition
La médiane d’une variable statistique continue, notée M , est définie comme étant

0.5 − Fi−1
M = bi−1 + · Li
fi
où
bi−1 : borne inférieure de la classe médiane,
Fi−1 : fréquence cumulée de la classe qui précède la classe médiane,
fi : fréquence de la classe médiane,
Li : largeur de la classe médiane.
1531
Exemple
Modalités Effectifs Fréq. F. cumul.
xi ni fi Fi
12 3 0.055 0.055
14 6 0.109 0.164
Dans cet exemple, la médiane est 18 (et non pas
16 10 0.182 0.345
63.6%). En effet, c’est la première modalité dont
18 16 0.291 0.636
la fréquence cumulée est supérieure à 50%.
20 11 0.2 0.836
25 6 0.109 0.945
29 3 0.055 1
Total 55 1
1532
Exemple
Classes Mil. Eff. Fréq. F. cum. Dans cet exemple, la classe médiane est [60 ; 70[
[bi−1 ; bi[ xi ni fi Fi puisque c’est la première classe dont l’effectif est
[30 ; 40[ 35 4 0.085 0.085 supérieur à 50%. A l’intérieur de cette classe, on
[40 ; 50[ 45 7 0.149 0.234 situe la médiane de façon plus précise de la ma-
[50 ; 60[ 55 11 0.234 0.468 nière suivante
:
0.5 − Fi−1
[60 ; 70[ 65 12 0.255 0.723 M = bi−1 + · Li
fi
[70 ; 80[ 75 8 0.170 0.894
0.5 − 0.468

[80 ; 90[ 85 5 0.106 1 = 60 + · 10
0.255
Total 47 1 = 61.3
1533
2.3 La moyenne
Définition
On définit la moyenne arithmétique µ comme étant
n1 · x1 + n2 · x2 + n3 · x3 + ... + nk · xk X ni · xi
µ= =
N N
où k est le nombre de modalités différentes.
De façon équivalente, on peut définir
X
µ = f1 · x1 + f2 · x2 + f3 · x3 + ... + fk · xk = f i · xi
ni
car = fi, ∀i.
N
Remarque :
(a) Dans le cas de données groupées en classes, on agit comme si toutes les données étaient situées
au centre de la classe qui les contient. On remplace donc, dans les formules précédentes, les
bi−1 + bi
xi par le milieu des classes c’est-à-dire .
2
(b) Dans l’éventualité où on calcule µ à partir des données groupées en classes, il est possible que
le résultat soit légèrement différent de celui où on calcule µ directement à partir des données
brutes. Bien sûr, ceci est attribuable au fait que lorsque les données sont groupées en classes,
1534
on considère toutes les données comme situées au centre de la classe.
(c) Par la suite, nous désignerons la moyenne arithmétique simplement par moyenne.
(d) La moyenne, c’est l’équilibre. Si, à partir de cette valeur, on calcule la distance algébrique (+
ou -) de chacune des données et qu’on fait la somme de ces distances, alors cette somme sera
nulle.
Exemple
Dans cet exemple, la moyenne est :
X ni · xi
Modalités Effect. Fréquences µ =
xi ni fi N
n1 · x1 + n2 · x2 + ... + nk · xk
12 3 0.055 =
N
14 6 0.109 3 · 12 + 6 · 14 + ... + 3 · 29
=
16 10 0.182 55
= 18.6
18 16 0.291
Ou, avec la seconde formule :
20 11 0.2 X
µ = fi · x i
25 6 0.109
29 3 0.055 = f1 · x1 + f2 · x2 + ... + fk · xk
= 0.055 · 12 + 0.109 · 14 + ... + 0.055 · 29
Total 55 1
= 18.6
1535
Exemple
Dans cet exemple, la moyenne est
X ni · xi
Classes Mil. Eff. Fréq. µ =
N
[bi−1 ; bi[ xi ni fi n1 · x1 + n2 · x2 + ... + nk · xk
=
[30 ; 40[ 35 4 0.085 N
4 · 35 + 7 · 45 + ... + 5 · 85
[40 ; 50[ 45 7 0.149 =
47
[50 ; 60[ 55 11 0.234 = 61
[60 ; 70[ 65 12 0.255 Ou, avec la seconde formule :
X
[70 ; 80[ 75 8 0.170 µ = fi · x i
[80 ; 90[ 85 5 0.106 = f1 · x1 + f2 · x2 + ... + fk · xk
Total 47 1 = 0.085 · 35 + 0.149 · 45 + ... + 0.106 · 85
= 61
2.4 Comparaison des mesures de tendance centrale

Le mode, la médiane et la moyenne sont trois mesures introduites dans le même but : situer
le centre d’une distribution d’effectifs. Puisqu’elles ne sont pas définies de la même manière, on
comprend qu’elles ont des caractéristiques, des avantages, des inconvénients qui diffèrent de l’une
à l’autre. Pour comparer ces trois mesures, procédons à une analyse de chacune.
1536
Le mode
(a) Il peut y en avoir plus d’un par variable statistique. Si on a deux modes, on dit que la
distribution est bimodale. S’il y en a plusieurs, on dit que la distribution est plurimodale. La
présence de plus d’un mode peut être une indication que la population étudiée se compose
de sous-groupes distincts ; selon l’étude désirée, cela pourrait inviter à scinder la population.
C’est d’ailleurs lorsqu’on est en présence d’une distribution bimodale ou plurimodale que le
mode s’avère le plus utile comparativement aux autres mesures de tendance centrale.
(b) Il a un sens simple à concevoir. Il peut être utilisé pour une variable statistique qualitative.
(c) Il est facile à déterminer : c’est son plus grand avantage.
(d) Il ne dépend pas de toutes les données ; ainsi, il n’est pas influencé par les données extrêmes
de la distribution.
(e) Dans le cas de données groupées en classes, il peut être grandement influencé par le choix
des classes ; il est rarement utilisé dans le cas de données groupées en classes.
(f) Il n’est vraiment significatif que si l’effectif correspondant est nettement supérieur aux autres
effectifs.
(g) Sa valeur n’est pas stable, c’est-à-dire qu’elle varie beaucoup d’un échantillon à l’autre choisi
dans une même population.
1537
(h) Il sert de première estimation de la tendance centrale avant de calculer la moyenne par la
suite.
(i) On l’utilise surtout lorsqu’on a des variables discrètes. C’est la mesure de tendance centrale
la moins utilisée.
La médiane
(a) Elle provient d’une conception simple de la notion de centre.
(b) Elle n’est pas très difficile à calculer, mais elle est plus difficile à exprimer algébriquement de
sorte qu’elle se prête mal aux calculs algébriques.
(c) Elle ne dépend pas de la valeur des données, mais uniquement de leur position ; elle n’est pas
influencée par des données extrêmes de la variable statistique.
(d) Dans le cas de données groupées en classes, elle est peu influencée par le choix des classes.
(e) Elle est surtout utilisée lorsque la distribution des effectifs est fortement dissymétrique ou
lorsqu’elle contient des classes ouvertes. Elle est peu utilisée lorsqu’on a des variables discrètes
où les écarts entre les données sont assez grands.
(f) Sa valeur est moins stable que celle de la moyenne ; cela s’explique par le fait que cette valeur
ne dépend que de quelques données parmi celles choisies dans un échantillon.
(g) Elle est plus utilisée que le mode, mais moins que la moyenne.
1538
La moyenne
(a) Elle est sans doute la mesure de tendance centrale la plus familière.
(b) Elle est la plus onéreuse à calculer, mais elle s’exprime algébriquement d’une façon simple.
(c) Elle tient compte de toutes les données ; elle est donc influencée par des données extrêmes
dans la distribution. Cependant, dans le cas où une distribution de fréquences est fortement
dissymétrique, ou encore lorsqu’une ou quelques données s’éloignent considérablement de
l’ensemble des autres données, cela devient un inconvénient qui justifie l’utilisation de la
médiane au lieu de la moyenne.
(d) Dans le cas de données groupées en classes, elle est peu influencée par le choix des classes.
Elle ne peut cependant pas être calculée s’il y a une classe ouverte ; cette situation justifie
l’utilisation de la médiane au lieu de la moyenne.
(e) Elle se prête facilement aux manipulations algébriques en raison de son expression mathéma-
tique simple.
(f) Sa valeur est stable, c’est-à-dire qu’elle varie peu, d’un échantillon à l’autre, du fait qu’elle
tient compte de toutes les données.
(g) C’est la mesure de tendance centrale la plus utilisée.
1539
3 Mesures de position
La médiane est une mesure de tendance centrale définie par la position qu’elle occupe dans la
distribution de fréquences. C’est une valeur telle que 50% des données sont plus petites qu’elle
et, par conséquent, les autres sont plus grandes. La médiane partage la distribution de fréquences
en deux parties égales. On peut généraliser cette idée et partager la distribution de fréquences
en quatre, cinq, dix ou cent parties égales. Les valeurs déterminant ce partage de la distribution
de fréquences s’appellent respectivement des quartiles, des déciles ou des centiles. On les définit
d’une manière analogue à la médiane. Par exemple, le 32ème centile, que l’on note C32, est une
valeur telle que 32 % des données lui sont inférieures et, par conséquent, 68 % lui sont supérieures.
Si on considère une courbe de distribution de fréquences, 32 % de l’aire sous la courbe se situe
à gauche de C32, alors que 68 % de l’aire sous la courbe est à droite de C32.
3.1 Le centile d’ordre
Définition
Le centile d’ordre α d’une variable statistiques discrète, noté Cα, est la première
α
modalité dont la fréquence cumulée est supérieure à .
100
α
Remarque : Si la fréquence cumulée est exactement égale à , on choisira comme centile
100
d’ordre α, le nombre à mi-chemin entre la modalité concernée et la suivante.
1540
Dans le cas où les données ont été regroupées en classes (variables statistiques continues et
variables statistiques discrètes mais avec beaucoup de modalités), la classe contenant Cα sera la
α
première classe où la fréquence cumulée est supérieure à . A l’intérieur de cette classe, on
100
situera de façon plus précise le centile d’ordre α, en supposant que les données de la classe en
question sont réparties uniformément, en interpolant.
Définition
Le centile d’ordre α d’une variable statistiques continue est défini comme étant
α
100 − Fi−1
Cα = bi−1 + · Li
fi
où
bi−1 : borne inférieure de la classe contenant Cα,
Fi−1 : fréquence cumulée de la classe qui précède la classe contenant Cα,
fi : fréquence de la classe contenant Cα,
Li : largeur de la classe contenant Cα.
Remarque : D’un point de vue pratique, on utilisera rarement les centiles pour une distribution
de fréquences où le nombre de données est petit. En effet, il est presque dérisoire de partager
une distribution de fréquences en 100 parties si on a, par exemple, 15 ou 20 données. De ce fait,
les centiles sont utilisés surtout dans le cas de données nombreuses et groupées en classes.
1541
On peut utiliser une méthode graphique pour déterminer les centiles et, en général, toutes les
mesures de position.
Détermination graphique du centile

d’ordre α d’une variable continue
Pour trouver C32, on localise, sur l’axe des fréquences cumulées, le point 0.32. De ce point, on
trace une horizontale (illustrée en pointillées) jusqu’à sa rencontre avec la courbe des fréquences
cumulées. De ce point de rencontre, on abaisse une verticale qui touche l’axe des valeurs de la
variable statistique X au point cherché.
1542
Exemple
Classes Mi. Eff. Fréq. F. cum.
[bi−1 ; bi[ xi ni fi Fi Le centile d’ordre 58, C58, se trouve dans la
classe [60; 70[. Donc ici :
[30 ; 40[ 35 4 0.085 0.085 α
100 − Fi−1
[40 ; 50[ 45 7 0.149 0.234 Cα = bi−1 + · Li
fi
[50 ; 60[ 55 11 0.234 0.468
[60 ; 70[ 65 12 0.255 0.723 58
100 − 0.468
[70 ; 80[ 75 8 0.170 0.894 C58 = 60 + · 10
0.255
[80 ; 90[ 85 5 0.106 1 = 64.38
Total 47 1
3.2 Quartiles, déciles et centre interquartile

Les autres mesures de position, les quartiles et les déciles, peuvent être considérées comme des
cas particuliers des centiles.
Définition
Les quartiles, que l’on note Q1, Q2 et Q3 sont des mesures qui partagent une distribution
de fréquences en quatre parties égales : Q1 = C25, Q2 = C50 = M et Q3 = C75.
1543
Définition
Les déciles, que l’on note D1, D2, D3, ..., D9 partagent une distribution de fréquences en dix
parties égales : D1 = C10, D2 = C20, D3 = C30, ..., D9 = C90.
Exemple
Pour le premier quartile, ainsi que les sixièmes et huitièmes déciles de la variable statistique
continue suivante, nous obtenons :
Classes Mi. Eff. Fréq. F. cum.
[bi−1 ; bi[ xi ni fi Fi 25
100 − 0.234
[30 ; 40[ 35 4 0.085 0.085 Q1 = C25 = 50 + · 10 = 50.681
[40 ; 50[ 45 7 0.149 0.234 60 0.234
100 − 0.468
[50 ; 60[ 55 11 0.234 0.468 D6 = C60 = 60 + · 10 = 65.16̄
0.255
[60 ; 70[ 65 12 0.255 0.723 80
− 0.723

100
[70 ; 80[ 75 8 0.170 0.894 D 8 = C 80 = 70 + · 10 = 74.5
0.170
[80 ; 90[ 85 5 0.106 1
Total 47 1
1544
4 Exercices
Exercice 16.1
Trouver le mode, la médiane et la moyenne de la variable statistique suivante :
2 11
4 9
6 2
8 2
10 3
12 5
14 0
16 1
1545
Corrigé 16.1
Modalités Effectifs Fréq. F. cumul.
xi ni fi Fi
2 11 0.333 0.333
M0 = 2. C’est la modalité qui possède le plus
4 9 0.273 0.606
grand effectif et non l’effectif en question.
6 2 0.061 0.667
8 2 0.061 0.727 M = 4. C’est la première modalité dont la
10 3 0.091 0.818 fréquence cumulée dépasse 0.5.
12 5 0.152 0.970 11 · 2 + 9 · 4 + ... + 1 · 16
µ= = 5.82
33
14 0 0 0.970
16 1 0.030 1
Total 33 1
1546
Exercice 16.2
Trouver le mode, la médiane et la moyenne de la variable statistique suivante :
Classes Effectifs
[0 ; 10[ 4
[10 ; 20[ 12
[20 ; 30[ 11
[30 ; 40[ 6
[40 ; 50[ 5
[50 ; 100[ 7
1547
Corrigé 16.2
∆1
Classes Milieux Eff. Fréq. F. cum. M o = bi−1 + · Li
[bi−1 ; bi[ xi ni fi Fi ∆1 + ∆2
8
[0 ; 10[ 5 4 0.089 0.089 = 10 + · 10 = 18.89
8+1
[10 ; 20[ 15 12 0.267 0.356 0.5 − Fi−1
M = bi−1 + · Li
[20 ; 30[ 25 11 0.244 0.600 f i
[30 ; 40[ 35 6 0.133 0.733 0.5 − 0.356
= 20 + · 10 = 25.91
[40 ; 50[ 45 5 0.111 0.844 0.244
n1 · x1 + n2 · x2 + ... + nk · xk
[50 ; 100[ 75 7 0.156 1 µ =
N
Total 45 1 4 · 5 + 12 · 15 + ... + 7 · 75
= = 31.89
45
1548
Exercice 16.3
En 2007, on a déterminé, pour chaque élève inscrit au GYB, le nombre de lettres de leur prénom.
Les résultats varient entre 3 lettres (Ana, ...) et 13 lettres (Paul-Alexandre et Marcia-Andreia).
Trouver le mode, la médiane et la moyenne de cette distribution.
3 10
9 45
4 52
10 17
5 155
11 7
6 198
12 2
7 156
13 2
8 102
1549
Corrigé 16.3
xi ni fi Fi fi · x i
3 10 0.013 0.013 0.040
4 52 0.070 0.083 0.279
5 155 0.208 0.291 1.039
6 198 0.265 0.556 1.592
M0 = 6.
7 156 0.209 0.765 1.464
8 102 0.137 0.902 1.094 M = 6.
10 · 3 + 52 · 4 + ... + 2 · 13
9 45 0.060 0.962 0.543 µ= = 6.449
746
10 17 0.023 0.985 0.228
11 7 0.009 0.995 0.103
12 2 0.003 0.997 0.032
13 2 0.003 1.000 0.035
Total 746 1 µ = 6.449
1550
Exercice 16.4
Sur un parking de Payerne, on a répertorié, pour chaque voiture, le pays d’origine de sa marque.
Déterminer le mode, la médiane et la moyenne de cette distribution.
Modalité France Italie Japon Corée du Sud Allemagne USA Autres
Effectif 11 4 14 7 20 5 6
1551
Corrigé 16.4
M0 = Allemagne
La médiane et la moyenne n’ont aucun sens dans le cas de variables statistiques qualitatives. En
effet, ici la provenance d’une voiture est une “qualité” et non pas une “quantité”.
1552
Exercice 16.5
Voici les résultats, ci-après, d’une étude effectuée dans un service hospitalier spécialisé dans le
traitement des allergies alimentaires. On a répertorié l’âge des patients. Déterminer le mode, la
médiane ainsi que la moyenne de cette variable statistique.
Classes Effectifs
[0 ; 10[ 25
[10 ; 20[ 16
[20 ; 30[ 12
[30 ; 40[ 10
[40 ; 50[ 11
[50 ; 100[ 8
1553
Corrigé 16.5

∆1
Classes Mil. Eff. Fréq. F. cum. M o = bi−1 + · Li
[bi−1 ; bi[ xi ni fi Fi fi · x i ∆1 + ∆2
25
[0 ; 10[ 5 25 0.305 0.305 1.524 = 0+ · 10 = 7.353
25
+ 9
[10 ; 20[ 15 16 0.195 0.500 2.927 0.5 − Fi−1
M = bi−1 + · Li
[20 ; 30[ 25 12 0.146 0.646 3.659 fi
[30 ; 40[ 35 10 0.122 0.768 4.268 0.5 − 0.305
= 10 + · 10 = 20
[40 ; 50[ 45 11 0.134 0.902 6.037 0.195
n1 · x1 + n2 · x2 + ... + nk · xk
[50 ; 100[ 75 8 0.098 1 7.317 µ =
N
Total 82 1 25.732 25 · 5 + 16 · 15 + ... + 8 · 75
= = 25.732
82
1554
Exercice 16.6
Aux 26 étudiants de la CGx1-3 de l’année 2012-2013, on a demandé le nombre d’enfants qu’avait
eu leur maman, le salaire mensuel net cumulé dans leur foyer ainsi que leur âge actuel. Trouver
le mode, la médiane et la moyenne de ces trois variables statistiques.
Enfants Effectifs Salaires Effectifs Âges Effectifs
1 8 [0 ; 4000[ 5 [17 ; 17.5[ 6
2 7 [4000 ; 6000[ 7 [17.5 ; 18[ 8
3 5 [6000 ; 8000[ 5 [18 ; 18.5[ 6
4 3 [8000 ; 10000[ 4 [18.5 ; 19[ 3
5 2 [10000 ; 12000[ 3 [19 ; 19.5[ 2
6 1 [12000 ; 24000[ 2 [19.5 ; 20[ 1
1555
Corrigé 16.6
Moda. Eff. Fréq. F. cum.

xi ni fi Fi fi · x i
Mo = 1
1 8 0.308 0.308 0.308
M = 2
2 7 0.269 0.577 0.538 n1 · x1 + n2 · x2 + ... + nk · xk
3 5 0.192 0.769 0.577 µ =
N
4 3 0.115 0.885 0.462 8 · 1 + 7 · 1 + ... + 1 · 6
=
5 2 0.077 0.962 0.385 26
= 2.5
6 1 0.038 1 0.231
Total 26 1 4.5 µ = 2.5
1556
∆1
M o = bi−1 + · Li
∆1 + ∆2
2
Classes Mil. Eff. Fréq. F. c. = 4000 + · 2000
2+2
[bi−1 ; bi[ xi ni fi F i f i · xi
= 50000
[0 ; 4k[ 2k 5 0.192 0.192 385 0.5 − Fi−1

[4k ; 6k[ 5k 7 0.269 0.462 1346 M = bi−1 + · Li
fi
[6k ; 8k[ 7k 5 0.192 0.654 1346 0.5 − 0.462
= 6000 + · 2000
[8k ; 10k[ 9k 4 0.154 0.808 1385 0.192
[10k ; 12k[ 11k 3 0.115 0.923 1269 = 60400
[12k ; 24k[ 18k 2 0.077 1.000 1385 n1 · x1 + n2 · x2 + ... + nk · xk
µ =
Total 26 1 7115 N
5 · 2000 + 7 · 5000 + ... + 2 · 180000
=
26
= 7115
1557
∆1
M o = bi−1 + · Li
∆1 + ∆2
2
Classes Mil. Eff. Fréq. F. c. = 17.5 + · 0.5
2+2
[bi−1 ; bi[ xi ni fi F i f i · xi
= 17.75
[17 ; 17.5[ 17.25 6 0.231 0.231 3.98 0.5 − Fi−1

[17.5 ; 18[ 17.75 8 0.308 0.538 5.46 M = bi−1 + · Li
fi
[18 ; 18.5[ 18.25 6 0.231 0.769 4.21 0.5 − 0.231
= 17.5 + · 0.5
[18.5 ; 19[ 18.75 3 0.115 0.885 2.16 0.308
[19 ; 19.5[ 19.25 2 0.077 0.962 1.48 = 17.94
[19.5 ; 20[ 19.75 1 0.038 1 0.76 n1 · x1 + n2 · x2 + ... + nk · xk
µ =
N
Total 26 1 18.06
6 · 17.25 + 8 · 17.75 + ... + 1 · 19.75
=
26
= 18.06
1558
Exercice 16.7
Démontrer que la définition du mode cor-

respond bien au au point d’intersection des
deux lignes en pointillés rouges de la figure
ci-contre.
1559
Corrigé 16.7

[BI] [AI] 
4ABI ∼ 4F EI ⇒ = 
[BI] [AC]

[IE] [IF ]
[AC] [AI]  ⇒ [IE] = [DF ]
4ACI ∼ 4F DI ⇒ = 
[DF ] [IF ]

[BI] ∆1
⇐⇒ = ⇐⇒ [BI] · ∆2 = (Li − [BI]) · ∆1
Li − [BI] ∆2
⇐⇒ [BI] · ∆2 = Li · ∆1 − [BI] · ∆1 ⇐⇒ [BI] · ∆1 + [BI] · ∆2 = Li · ∆1
∆1
⇐⇒ [BI] · (∆1 + ∆2) = ∆1·Li ⇐⇒ [BI] = · Li
∆1 + ∆2
∆1
M0 = bi−1 + [BI] = bi−1 + · Li
∆1 + ∆2
1560
Exercice 16.8
0.5 − Fi−1
Démontrer que la formule de la médiane M = bi−1 + · Li calcule bien l’abscisse
fi
du point de la courbe des fréquences cumulées dont l’ordonnée vaut 0.5.
1561
Corrigé 16.8
[AB] [BE]
4ABE ∼ 4ACD ⇒ =
[AC] [CD]
[AB] 0.5 − Fi−1
⇐⇒ =
Li Fi − Fi−1
0.5 − Fi−1
⇐⇒ [AB] = · Li
fi
0.5 − Fi−1
M = bi−1 + [AB] = bi−1 + · Li
fi
1562
Exercice 16.9
Comment peut-on déterminer graphiquement la médiane ?
1563
Corrigé 16.9
(a) On se met sur l’axe des fréquences cumulées à 0.5.

(b) On se déplace à l’horizontale jusqu’à ce que l’on rencontre la courbe.
(c) On va lire la valeur de la variable statistique qui correspond au point où l’on a touché la
courbe.
1564
Exercice 16.10
Voici les notes réalisées par la classe CGy1-3 année 2012-2013 lors du test sur la combinatoire :
2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 3 3 3 3 3 3 3.5 3.5 3.5 3.5 4 4.5 5 5 5 5.5 5.5 5.5 6 6 6 6 6
et les notes réalisées par la classe CGz1-3 année 2012-2013 sur un test de même difficulté :
6 6 6 6 6 6 5 5 4.5 4.5 4.5 4.5 4 4 4 3.5 3.5 3.5 3.5 3 3 3 3 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5
Pour ces deux variables statistiques :
(e) Calculer les mesures de tendance centrale.
1565
Corrigé 16.10
(a) Les élèves de la classe CGy1-3 année 2012-2013 respectivement les élèves de la classe CGz1-3
année 2012-2013.
(b) Leur note lors du test sur la combinatoire.
(c) Discrète.
Moda. Eff. Fréq. F. cum. Moda. Eff. Fréq. F. cum.
xi ni fi Fi f i · xi xi ni fi Fi fi · x i
2.5 5 0.179 0.179 0.446 2.5 5 0.179 0.179 0.446
3 6 0.214 0.393 0.643 3 4 0.143 0.321 0.429
3.5 4 0.143 0.536 0.500 3.5 4 0.143 0.464 0.500
(d) 4 1 0.036 0.571 0.143 4 3 0.107 0.571 0.429
4.5 1 0.036 0.607 0.161 4.5 4 0.143 0.714 0.643
5 3 0.107 0.714 0.536 5 2 0.071 0.786 0.357
5.5 3 0.107 0.821 0.589 5.5 0 0.000 0.786 0.000
6 5 0.179 1 1.071 6 6 0.214 1 1.286
Total 28 1 4.089 Total 28 1 4.089
1566
Mo = 3 Mo = 6
M = 3.5 M = 4
(e) n1 · x1 + n2 · x2 + ... + nk · xk n1 · x1 + n2 · x2 + ... + nk · xk
µ = µ =
N N
5 · 2.5 + 6 · 3 + ... + 5 · 6 5 · 2.5 + 4 · 3 + ... + 6 · 6
= = 4.089 = = 4.0
28 28
1567
Exercice 16.11
Lors de la journée sportive de juillet 2008 du GYB, les élèves avaient participé à un pentathlon
mixte regroupant 80m, 800m, longueur, hauteur et lancer du boulet. Voici les résultats, en
secondes, du 800m pour les élèves du quartier A :
152 153 175 175 175 180 185 185 188 188 190 190 190 191 194 194 195 197 199 200 200
200 200 208 208 208 210 215 215 215 215 217 217 217 218 218 218 220 220 222 228 235
245 245 245 252 253 260 260 260 261 265 265 268 278 292 292 292.
Calculer les mesures de tendance centrale avec ...
(a) ... des classes égales de longueur 15,
(b) ... des classes égales de longueur 30,
(c) ... deux classes de longueurs 30 aux extrémités et les autres classes de longueur 15.
1568
Corrigé 16.11
[bi−1 ; bi[ xi ni fi F i fi · x i
∆1
[150 ; 165[ 157.5 2 0.03 0.03 5.43 M o = bi−1 + · Li
[165 ; 180[ 172.5 3 0.05 0.09 8.92 ∆1 + ∆ 2
4
[180 ; 195[ 187.5 11 0.19 0.28 35.56 = 210 + · 15 = 213.8
4 + 12
[195 ; 210[ 202.5 10 0.17 0.45 34.91
0.5 − Fi−1
[210 ; 225[ 217.5 14 0.24 0.69 52.50 M = bi−1 + Li
(a) f i
[225 ; 240[ 232.5 2 0.03 0.72 8.02
0.5 − 0.448

[240 ; 255[ 247.5 5 0.09 0.81 21.34 = 210 + · 15 = 213.2
0.241
[255 ; 270[ 262.5 7 0.12 0.93 31.68 n1 · x1 + n2 · x2 + ... + nk · xk
[270 ; 285[ 277.5 1 0.02 0.95 4.78 µ =
N
[285 ; 300[ 292.5 3 0.05 1 15.13 2 · 157.5 + ... + 3 · 292.5
= = 218.3
58
Total 58 1 218.3
1569
∆1
M o = bi−1 + · Li
∆1 + ∆ 2
[bi−1 ; bi[ xi ni fi Fi fi · x i 16
= 180 + · 30 = 202.86
[150 ; 180[ 165 5 0.09 0.09 14.22 16 + 5

[180 ; 210[ 195 21 0.36 0.45 70.60 0.5 − Fi−1
M = bi−1 + · Li
(b) [210 ; 240[ 225 16 0.28 0.72 62.07 f i
[240 ; 270[ 255 12 0.21 0.93 52.76 0.5 − 0.448
= 10 + · 30 = 215.63
[270 ; 300[ 285 4 0.07 1 19.66 0.276
Total 58 1 219.31 n1 · x1 + n2 · x2 + ... + nk · xk
µ =
N
5 · 165 + ... + 4 · 285
= = 219.31
58
1570
∆1
[bi−1 ; bi[ xi ni fi Fi fi · x i M o = bi−1 + Li
[150 ; 180[ 165 5 0.09 0.09 14.22
∆1 + ∆ 2
4
[180 ; 195[ 187.5 11 0.19 0.28 35.56 = 210 + · 15 = 213.8
4 + 12
[195 ; 210[ 202.5 10 0.17 0.45 34.91
0.5 − Fi−1
[210 ; 225[ 217.5 14 0.24 0.69 52.50 M = bi−1 + Li
(c) f i
[225 ; 240[ 232.5 2 0.03 0.72 8.02

0.5 − 0.448
[240 ; 255[ 247.5 5 0.09 0.81 21.34 = 210 + · 15 = 213.2
0.241
[255 ; 270[ 262.5 7 0.12 0.93 31.68 n1 · x1 + n2 · x2 + ... + nk · xk
[270 ; 300[ 285 4 0.07 1 19.66 µ =
N
Total 58 1 217.89 5 · 165 + ... + 4 · 285
= = 217.9
58
1571
Exercice 16.12
En 2007 en Suisse, la taille moyenne des hommes était de 175.4 cm et celle des femmes de 164.0
cm. En sachant que la population suisse, à cette date, était de 7’589’141 habitants et que la
taille moyenne d’un citoyen suisse (femmes et hommes mélangés) était de 169.6 cm, déterminer
le nombre des femmes qu’il y avait de plus que d’hommes à cette époque.
1572
Corrigé 16.12
Soit x le nombre d’hommes.

x · 175.4 + (705890141 − x) · 164 = 169.6 · 705890141
175.4x + 1024406190124 − 164x = 1028701180313.6
11.4x = 4204990189.6
x = 307270999
Le nombre de femmes est donc de 705890141 − 307270999 = 308610142.
Il y avait donc 308610142 − 307270999 = 1330143 femmes de plus que d’hommes en Suisse en 2007.
1573
Exercice 16.13
Depuis 1919, le coureur qui mène le Tour de France cycliste au temps porte un maillot distinctif
jaune. Le nombre de porteurs différents sur une édition d’un Tour de France varie entre 1 (1924,
1928 et 1935) et 11 coureurs différents (1958). Le Tour ne s’est pas disputé entre 1940 et 1946.
Déterminer C57, D4, Q3, ainsi que le mode, la médiane et la moyenne cette distribution :
Nombre de porteurs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Nombre d’éditions 3 6 10 8 20 17 13 4 4 1 1
1574
Corrigé 16.13
xi ni fi Fi f i · xi
1 3 0.034 0.034 0.034
2 6 0.069 0.103 0.138
C57 6 =
3 10 0.115 0.218 0.345
D4 5 =
4 8 0.092 0.310 0.368
Q3 7 =
5 20 0.230 0.540 1.149
Mo 5 =
6 17 0.195 0.736 1.172
M 5 =
7 13 0.149 0.885 1.046 n1 · x1 + n2 · x2 + ... + nk · xk
8 4 0.046 0.931 0.368 µ =
N
9 4 0.046 0.977 0.414 3 · 1 + 6 · 2 + ... + 1 · 11
= = 5.276
10 1 0.011 0.989 0.115 87
11 1 0.011 1 0.126
Total 87 1 5.276
1575
Exercice 16.14
Lors de la 79ème édition de la course pédestre Morat-Fribourg disputée en 2012, 4802 hommes
ont été classés. Le vainqueur Kimaiyo Shadrack a mis 54 minutes et 52 secondes pour parcourir
les 17.45 km. Voici un condensé des temps :
Temps # coureurs Temps # coureurs
Temps # coureurs
[54 ; 64[ 37 [84 ; 89[ 786
[104 ; 109[ 305
[64 ; 74[ 300 [89 ; 94[ 748
[109 ; 119[ 307
[74 ; 79[ 418 [94 ; 99[ 580
[119 ; 169[ 171
[79 ; 84[ 677 [99 ; 104[ 473
(a) Déterminer C37, D8, Q1, ainsi que le temps médian et le temps moyen. Ces deux dernières
valeurs sont à donner en heures-minutes-secondes.
(b) Tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes, puis, à partir de cette courbe, estimer
C68, D1 et Q2.
1576
Corrigé 16.14
α
100 − Fi−1
Cα = bi−1 + · Li
[bi−1 ; bi[ xi ni fi Fi f i · xi 37 fi
− 0.298
[54 ; 64[ 59 37 0.008 0.008 0.455 C37 = 84 + 100 · 5 = 86.193
0.164
[64 ; 74[ 69 300 0.062 0.070 4.311 D8 = C80
[74 ; 79[ 76.5 418 0.087 0.157 6.659 80
100 − 0.738
[79 ; 84[ 81.5 677 0.141 0.298 11.490 = 99 + · 5 = 102.125
0.099
[84 ; 89[ 86.5 786 0.164 0.462 14.158 Q1 = C25
25
(a) [89 ; 94[ 91.5 748 0.156 0.618 14.253 − 0.157
= 79 + 100 · 5 = 82.290
[94 ; 99[ 96.5 580 0.121 0.738 11.656 0.141
[99 ; 104[ 101.5 473 0.099 0.837 9.998 0.5 − Fi−1
M = bi−1 + · Li
[104 ; 109[ 106.5 305 0.064 0.900 6.764 fi
[109 ; 119[ 114 307 0.064 0.964 7.288 0.5 − 0.462
= 89 + · 5 = 90.223
0.156
[119 ; 169[ 144 171 0.036 1 5.128 n1 · x1 + n2 · x2 + ... + nk · xk
Total 4802 1 92.160 µ =
N
37 · 59 + 300 · 69 + ... + 171 · 144
= =9
4802
 1577
90.223 ÷ 60 = 1.5037 → 1 

1.5037 − 1 = 0.5037 


0.5037 · 60 = 30.2233 → 30 ⇒ M =1 heure 30 minutes et 13 secondes

30.2233 − 30 = 0.2233 



0.2233 · 60 = 13.3957 → 13


92.160 ÷ 60 = 1.5360 → 1 

1.5360 − 1 = 0.5360 


0.5360 · 60 = 32.1596 → 32 ⇒ µ =1 heure 32 minutes et 10 secondes

32.1596 − 32 = 0.0.1596 



0.1596 · 60 = 9.5773 → 10

(b)
1578
Exercice 16.15
Voici les 60 premiers chiffres du nombre irrationnel
π = 3.141592653 5897932384 6264338327 9502884197 1693993751 0582097494
(a) Construire le tableau complet de distribution des fréquences de ses 60 premiers chiffres.
(b) Déterminer numériquement C77, D2, Q2 ainsi que les mesures de tendance centrale.
1579
Corrigé 16.15
Moda. Eff. Fréq. F. cum.

xi ni fi Fi f i · xi
0 3 0.050 0.050 0.000
C77 8 =
1 5 0.083 0.133 0.083
D2 2 =
2 6 0.100 0.233 0.200
Q2 5 =
3 9 0.150 0.383 0.450
Mo 9 =
(a) 4 6 0.100 0.483 0.400 (b)
M 5 =
5 6 0.100 0.583 0.500 n1 · x1 + n2 · x2 + ... + nk · xk
6 4 0.067 0.650 0.400 µ =
N
7 5 0.083 0.733 0.583 3 · 0 + 5 · 1 + ... + 10 · 9
= = 4.917
8 6 0.100 0.833 0.800 60
9 10 0.167 1.000 1.500
Total 60 1.000 4.917
1580
Exercice 16.16
Lors d’un sondage effectué le 07.12.2012 sur la route Lausanne-Berne à la hauteur de Dompierre,
on a demandé à 100 automobilistes qui se rendaient à leur travail, le nombre de kilomètres qu’ils
effectuaient pour un aller simple depuis chez eux jusqu’à leur place de travail. Voici les résultats
obtenus :
2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10
10 10 10 10 10 11 12 14 16 16 17 17 18 19 20 20 21 22 23 24 25 26 26 26 26 27 29 30 30
31 32 33 34 35 35 37 37 39 40 40 40 41 42 47 47 49 49 56 64 76 77 82 95 97.
(a) Déterminer la population et la variable statistique.
(b) Est-ce une variable statistique continue ou discrète ?
(c) Construire un tableau de distribution des fréquences. Prendre une plus grande classe de
longueur 50 à la fin de la distribution.
(d) Calculer les mesures de tendance centrale ainsi que C33, D7 et Q1.
(e) A partir de la courbe des fréquences cumulées, estimer C33, D7 et Q1.
1581
Corrigé 16.16
(a) La population comprend 100 automobilistes qui se rendaient à leur travail arrêté sur la route
Lausanne-Berne à la hauteur de Dompierre le 07.12.2012.
La variable statistique correspond au nombre de kilomètres qu’ils effectuaient pour un aller
simple depuis chez eux jusqu’à leur place de travail.
(b) Continue

45
Mo = 0 + · 10 = 6
45 + 30
Classes Mil. Eff. Fréq. F. cu. 0.5 − 0.45
M = 10 + · 10 = 13.3̄
[bi−1 ; bi[ xi ni fi F i f i · xi 0.15
[0 ; 10[ 5 45 0.45 0.45 2.25 45 · 5 + 15 · 15 + ... + 7 · 75
µ = = 20.9
[10 ; 20[ 15 15 0.15 0.60 2.25 α 100
− F i−1
(c) [20 ; 30[ 25 13 0.13 0.73 3.25 (d) Cα = bi−1 + 100 · Li
33 fi
[30 ; 40[ 35 11 0.11 0.84 3.85 100 − 0
C33 = 0+ · 10 = 7.3̄
[40 ; 50[ 45 9 0.09 0.93 4.05 0.45
70
[50 ; 100[ 75 7 0.07 1 5.25 100 − 0.60
D7 = 20 + · 10 = 27.7
Total 100 1 20.90 25 0.13
− 0
Q1 = 0 + 100 · 10 = 5.5̄
0.45
1582
(e)
1583
Exercice 16.17
Une étude menée par l’institut Nielsen aux Etats-Unis sur les quatre grands groupes de diffusion
(CBS, ABC, NBC et FOX) en 2010 a permis de déterminer, entre autres, l’âge des spectateurs
de la série policière NCIS. Voici la distribution des effectifs :
Classes Effectifs
[10 ; 20[ 9
(a) Construire le tableau complet de distribution des fréquences.
[20 ; 30[ 61
[30 ; 40[ 112 (b) Calculer les mesures de tendance centrale ainsi C60, D1 et Q3.
[40 ; 50[ 118 (c) Tracer l’histogramme et le polygone des effectifs
[50 ; 60[ 192 (d) Tracer la courbe des fréquences cumulées.
[60 ; 70[ 288
(e) Vérifier vos résultats de C60, D1 et Q3 obtenus en (b) à l’aide
[70 ; 80[ 177
de la courbe des fréquences cumulées.
[80 ; 90[ 33
[90 ; 100[ 10
1584
Corrigé 16.17

∆1
Mo = bi−1 + Li
1 ∆ + ∆ 2
[bi−1 ; bi[ xi ni fi Fi fi · x i

96
= 60 + · 10 = 64.638
[10 ; 20[ 15 9 0.009 0.009 0.135 96 + 111
[20 ; 30[ 25 61 0.061 0.070 1.525 0.5 − Fi−1
M = bi−1 + Li
[30 ; 40[ 35 112 0.112 0.182 3.920 f i
[40 ; 50[ 45 118 0.118 0.300 5.310 0.5 − 0.492
= 60 + · 10 = 60.278
(a) [50 ; 60[ 55 192 0.192 0.492 10.560 (b) 0.288
9 · 15 + 61 · 25 + ... + 10 · 95
[60 ; 70[ 65 288 0.288 0.780 18.720 µ = = 57.2
60 1000
[70 ; 80[ 75 177 0.177 0.957 13.275 − 0.492
C60 = 60 + 100 · 10 = 63.75
[80 ; 90[ 85 33 0.033 0.990 2.805 10 0.288
[90 ; 100[ 95 10 0.010 1 0.950 100 − 0.07
D1 = 30 + · 10 = 32.679
Total 1000 1 57.2 75 0.112
100 − 0.492
Q3 = 60 + · 10 = 68.958
0.288
1585
Histogramme et polygone des

effectifs des spectateurs de la sé-
(c)
rie NCIS distribués selon leur
âge.
Fréquences cumulées des spec-

(d) tateurs de la série NCIS distri-
bués selon leur âge.
1586
Fréquences cumulées des spec-

(e) tateurs de la série NCIS distri-
bués selon leur âge.
1587
5 Solutions
Solution 16.1
M0 = 2, M = 4,µ = 5.82
Solution 16.2
M0 = 18.89, M = 25.91, µ = 31.89
Solution 16.3
M0 = 6, M = 6, µ = 6.449
Solution 16.4
M0 = Allemagne. La médiane et la moyenne n’existent pas
Solution 16.5
M0 = 7.353, M = 20, µ = 25.732
Solution 16.6
M0 = 1, M = 2, µ = 2.5
M0 = 50000, M = 60400, µ = 70115
M0 = 17.75, M = 17.94, µ = 18.06
Solution 16.9
(a) On se met sur l’axe des fréquences cumulées à 0.5.
1588
(b) On se déplace à l’horizontale jusqu’à ce que l’on rencontre la courbe.
(c) On va lire la valeur de la variable statistique qui correspond au point où l’on a touché la
courbe.
1589
Solution 16.10
(a) Les élèves de la classe CGy1-3 année 2012-2013 respectivement les élèves de la classe CGz1-3
année 2012-2013.
(b) Leur note lors du test sur la combinatoire.
(c) Discrète.
xi Fi xi Fi
2.5 0.179 2.5 0.179
3 0.393 3 0.321
3.5 0.536 3.5 0.464
(d) 4 0.571 4 0.571
4.5 0.607 4.5 0.714
5 0.714 5 0.786
5.5 0.821 5.5 0.786
6 1 6 1
Mo = 3 Mo = 6
(e) M = 3.5 M = 4
µ = 4.089 µ = 4.089
1590
Solution 16.11
M0 = 213.8, M = 213.2, µ = 218.3
M0 = 202.86, M = 215.63, µ = 219.31
M0 = 213.8, M = 213.2, µ = 217.9
Solution 16.12
1330143
Solution 16.13
C57 = 6, D4 = 5, Q3 = 7, M o = 5, M = 5, µ = 5.276
Solution 16.14
C37 = 86.193, D8 = 102.125, Q1 = 82.290, M =1 heure 30 minutes et 13 secondes, µ =1 heure
32 minutes et 10 secondes
1591
Solution 16.15
x i fi
0 0.050
1 0.083
C77 = 8
2 0.100
D2 = 2
3 0.150
Q2 = 5
4 0.100
Mo = 9
5 0.100
M = 5
6 0.067
µ = 4.917
7 0.083
8 0.100
9 0.167
1592
Solution 16.16
(a) La population comprend 100 automobilistes qui se rendaient à leur travail arrêté sur la route
Lausanne-Berne à la hauteur de Dompierre le 07.12.2012.
La variable statistique correspond au nombre de kilomètres qu’ils effectuaient pour un aller
simple depuis chez eux jusqu’à leur place de travail.
(b) Continue
Classes Fréq.
[bi−1 ; bi[ fi
[0 ; 10[ 0.45
[10 ; 20[ 0.15
(c) [20 ; 30[ 0.13
[30 ; 40[ 0.11
[40 ; 50[ 0.09
[50 ; 100[ 0.07
Total 1
1593
Mo = 6
M = 13.3̄
µ = 20.9
(d)
C33 = 7.3̄
D7 = 27.7
Q1 = 5.5̄
(e)
1594
Solution 16.17
[bi−1 ; bi[ fi
[10 ; 20[ 0.009
[20 ; 30[ 0.061
[30 ; 40[ 0.112
[40 ; 50[ 0.118
(a)
[50 ; 60[ 0.192
[60 ; 70[ 0.288
[70 ; 80[ 0.177
[80 ; 90[ 0.033
[90 ; 100[ 0.010
Mo = 64.638
M = 60.278
µ = 57.2
(i)
C60 = 63.75
D1 = 32.679
Q3 = 68.958
1595
(b)
Histogramme et polygone des effectifs des spectateurs de la série NCIS distribués selon leur
âge.
1596
(c)
Fréquences cumulées des spectateurs de la série NCIS distribués selon leur âge.
(d)
1597
Fréquences cumulées des spectateurs de la série NCIS distribués selon leur âge.
Chapitre 17
Mesures de dispersion et de forme
1599
1 Autres caractéristiques d’une variable statistique
Un statisticien est une personne qui peut avoir la

tête dans un four et les pieds pris dans la glace et
dire, qu’en moyenne, il se sent bien. Dixit Ben-
jamin Dereca.
1600
Le chapitre précédent a été consacré à l’étude d’une importante caractéristique d’une variable
statistique, la tendance centrale. Cette tendance centrale, que l’on mesure principalement par le
mode, la médiane ou la moyenne, indique autour de quelle valeur se situent les données étudiées.
Bien qu’elle soit fort utile, cette mesure ne donne pas une description suffisamment précise de
la distribution des effectifs. Par exemple, Richard et Louise comparent les diamètres des arbres
sur leur terrain. On décide donc de mesurer en centimètres les diamètres. Richard recueille les
données suivantes : {10, 12, 14, 52, 56, 60} alors que Louise obtient {28, 29, 33, 35, 38, 41}. Les
deux ensembles de données ont la même moyenne, soit 34. Intuitivement, on comprend bien que
ces deux populations sont bien différentes. Les données recueillies par Richard sont beaucoup
plus dispersées que celles de Louise. Pour exprimer cette différence, il faut un instrument pour
indiquer la dispersion, l’éparpillement, l’étalement, le déploiement des données autour de la
mesure de tendance centrale. Cet instrument peut prendre diverses formes ; ce sont les mesures
de dispersion. Ces mesures de dispersion précisent la forme de la distribution de fréquences,
permettent de juger de la représentativité des mesures de tendance centrale et indiquent un
niveau d’éparpillement. Les principales mesures de dispersion sont : l’étendue, l’écart moyen, la
variance et l’écart-type.
1601
2 Étendue, écart moyen, variance et écart-type

Les différentes mesures de dispersion correspondent à des points de vue différents sur la manière
de considérer la dispersion. Ainsi, l’étendue est la distance entre la plus grande donnée et la
plus petite. L’écart moyen est la moyenne des écarts entre chaque donnée et la moyenne. La
variance est la moyenne des carrés des écarts entre chaque donnée et la moyenne. L’écart-type
est la racine carrée de la variance.
2.1 L’étendue
Définition
L’étendue d’une variable statistique discrète est la différence entre la plus grande et la
plus petite modalité.
L’étendue d’une variable statistique continue est la différence entre la borne supérieure de
la dernière classe et la borne inférieure de la première classe.
1602
2.2 L’écart moyen
Définition
L’écart absolu moyen, noté EM , est la moyenne pondérée des valeurs absolues des écarts
à la moyenne : P
ni |xi − µ| X
EM = = fi |xi − µ|
N
L’écart moyen est une mesure de dispersion naturelle et logique. Plus cet écart moyen est grand
plus les données sont éloignées de la moyenne. Cependant, à cause des valeurs absolues qu’on
trouve dans sa définition, l’écart moyen se prête mal à un traitement algébrique. Tout en essayant
de conserver l’essence de cette idée, on contourne l’inconvénient algébrique en définissant la
variance et par la suite l’écart-type.
1603
Exemple
xi ni fi f i xi fi |xi − µ|
12 3 0.055 0.655 0.362 Etendue = xn − x1
14 6 0.109 1.527 0.506 = 29 − 12
16 10 0.182 2.909 0.479 = 17
X
18 16 0.291 5.236 0.185 EM = fi |xi − µ|
20 11 0.200 4.000 0.273 = 0.055 · |12 − 18.636| + ...
25 6 0.109 2.727 0.694 +0.055 · |29 − 18.636|
29 3 0.055 1.582 0.565 = 3.064
Total 55 1 18.636 3.064
1604
Exemple
[bi−1 ; bi[ xi ni fi fi x i fi |xi − µ|
Etendue = bn − b0
[30 ; 40[ 35 4 0.085 2.975 2.200
= 90 − 30
[40 ; 50[ 45 7 0.149 6.705 2.367
= 60
[50 ; 60[ 55 11 0.234 12.870 1.377 X
EM = fi |xi − µ|
[60 ; 70[ 65 12 0.255 16.575 1.049
= 0.085 · |35 − 60.885| + ...
[70 ; 80[ 75 8 0.170 12.750 2.400
+0.106 · |85 − 60.885|
[80 ; 90[ 85 5 0.106 9.010 2.556
= 11.949
Total 47 1 60.885 11.949
1605
2.3 Variance et Écart-Type
Définition
La variance d’une variable statistique X, que l’on note par σ 2, est définie par
P 2
ni (x i − µ) X
2
σ = = fi (xi − µ)2
N
Si la variance ne possède plus le désavantage de l’utilisation d’une valeur absolue, elle possède
malgré tout un petit défaut. Elle s’exprime en unités carrées. Par exemple, si la variable statis-
tique X s’exprime en kilogrammes, alors la variance, σ 2 s’exprime en kilogrammes carrés. Pour
corriger ce petit défaut, on extrait la racine carrée et on obtient alors une mesure de dispersion
que l’on nomme l’écart-type.
Définition
L’écart-type d’une variable statistique X, noté σ, est la racine carrée de la variance :
√
σ = σ2
1606
Exemple
xi ni fi f i xi fi (xi − µ)2 X
2
σ = fi (xi − µ)2
12 3 0.055 0.655 2.402
= 0.055 · (12 − 18.636)2 + ...
14 6 0.109 1.527 2.345
+0.055 · (29 − 18.636)2
16 10 0.182 2.909 1.264
= 16.777
18 16 0.291 5.236 0.118
20 11 0.200 4.000 0.372 √
σ = √σ 2
25 6 0.109 2.727 4.418
= 16.777
29 3 0.055 1.582 5.858
= 4.096
Total 55 1 18.636 σ 2 = 16.777
1607
Exemple
2
X
[bi−1 ; bi[ xi ni fi fi x i fi (xi − µ) 2
σ = fi (xi − µ)2
[30 ; 40[ 35 4 0.085 2.979 57.344 = 0.085 · (35 − 60.957)2 + ...
[40 ; 50[ 45 7 0.149 6.702 37.925 +0.106 · (85 − 60.957)2
[50 ; 60[ 55 11 0.234 12.872 8.306 = 202.807
[60 ; 70[ 65 12 0.255 16.596 4.172
√
[70 ; 80[ 75 8 0.170 12.766 33.565 σ = √σ 2
[80 ; 90[ 85 5 0.106 9.043 202.807 = 202.807
Total 47 1 60.957 202.807 = 14.241
On remarque, en comparant les deux exemples précédents, que l’écart-type est plus grand que
l’écart moyen. C’est généralement le cas à moins que les écarts à la moyenne ne soient très
petits. Cela est dû au fait que dans le calcul de l’écart-type, on utilise des carrés des écarts.
Cependant, il n’est pas très important de comparer ces deux mesures de dispersion entre elles.
Ce qui importe, c’est d’avoir une mesure, un étalon pour décrire une distribution des effectifs et
comparer ces dernières.
Ces diverses mesures de dispersion correspondent à des manières différentes de définir la disper-
sion. Un peu plus loin, on comparera ces mesures en donnant les avantages et les inconvénients
de chacune d’elles.
1608
2.4 Calcul de la variance et de l’écart-type

La variance et l’écart-type sont les deux mesures de dispersion qui exigent les calculs les plus
onéreux. On peut simplifier sensiblement ces calculs en utilisant des propriétés algébriques qui
permettent de transformer la définition.
Théorème
X
2
σ = fix2i − µ2
Démonstration :
X
2
σ = fi (xi − µ)2
X
fi x2i − 2xiµ + µ2

=
X
2 2

= fixi − 2fixiµ + fiµ
X X X
2 2
= fix − 2µ fi x i + µ fi
X i
= fix2i − 2µ · µ + µ2 · 1
X
= fix2i − µ2
1609
Remarque : D’un point de vue pratique, on ajoutera donc une colonne intitulée fix2i au tableau
et on appliquera la formule du théorème précédent.
Exemple
[bi−1 ; bi[ xi ni fi fi x i fix2i X
2
σ = fix2i − µ2
[30 ; 40[ 35 4 0.085 2.979 104.255
[40 ; 50[ 45 7 0.149 6.702 301.596 = 3918.617 − 60.9572
[50 ; 60[ 55 11 0.234 12.872 707.979 = 202.807
[60 ; 70[ 65 12 0.255 16.596 1078.723 √
[70 ; 80[ 75 8 0.170 12.766 957.447 σ = √σ 2
[80 ; 90[ 85 5 0.106 9.043 768.617 = 202.807
X = 14.241
Total 47 1 60.957 fix2i = 3918.617
Remarque : Si la précédente formule utilisée pour calculer la variance est préférable à celle de
la définition car elle permet des calculs simples et rapides, on ne doit pas oublier la formule de
la définition car elle seule reflète la nature fondamentale de la variance.
1610
2.5 Comparaison des mesures de dispersion

L’étendue
— Elle est très simple à calculer et à interpréter.
— Elle ne tient pas compte de toutes les données ; elle n’implique que les valeurs extrêmes.
— Elle est utilisée pour donner une idée sommaire et rapide de la dispersion et pour déter-
miner les largeurs de classes lorsqu’on fait un regroupement en classes.
— Elle n’est pas stable ; elle varie beaucoup d’un échantillon à l’autre dans une même popu-
lation.
— Elle est très peu utilisée.
L’écart moyen
— Il n’est pas difficile à calculer et son interprétation est naturelle.
— Il tient compte de toutes les données et il accorde le même poids à chacun des écarts. Il
est donc moins influencé que l’écart-type par les données extrêmes.
— Il se prête mal aux manipulations algébriques à cause des valeurs absolues. De ce fait,
il est difficile d’effectuer certains calculs à l’aide de l’écart moyen. C’est un inconvénient
sérieux.
— Sa valeur est stable d’un échantillon à l’autre.
— Son utilisation est très limitée.
1611
La variance et l’écart-type
— Leur calcul est plus lourd et leur interprétation moins immédiate.
— Ils tiennent compte de toutes les données mais la présence de carrés accorde plus de poids
aux grands écarts. Ils sont ainsi fortement influencés par les données extrêmes.
— Ils se prêtent facilement aux manipulations algébriques. On les trouve ainsi dans plusieurs
calculs en inférence statistique. C’est un grand avantage.
— Leur valeur est stable d’un échantillon à l’autre.
— Ils sont les mesures de dispersion les plus utilisés.
1612
3 Autres mesures de dispersion

On peut imaginer d’autres mesures indiquant la dispersion d’une variable statistique. Bien
qu’elles soient moins fréquemment utilisées, ces mesures peuvent avoir leur utilité dans certaines
circonstances. Nous en étudions deux : l’écart semi-interquartile et le coefficient de variation.
3.1 Écart semi-interquartile
Définition
L’écart semi-interquartile, que l’on note par Q, est défini par la formule suivante :
Q3 − Q1
Q=
2
1613
Exemple
xi ni fi Fi
12 3 0.055 0.055
14 6 0.109 0.164 Q1 = C25 = 16
16 10 0.182 0.345 Q3 = C75 = 20
18 16 0.291 0.636 L’écart semi-interquartile vaut donc :
20 11 0.200 0.836 Q3 − Q1 20 − 16
Q= = =2
25 6 0.109 0.945 2 2
29 3 0.055 1
Total 55 1
Remarque : Naturellement, plus Q est petit, plus la moitié centrale des données est concentrée.
1614
Exemple
[bi−1 ; bi[ xi ni fi Fi
[30 ; 40[ 35 4 0.085 0.085 25
− 0.234

100
[40 ; 50[ 45 7 0.149 0.234 Q1 = C25 = 50 + · 10 = 50.681
75 0.234
[50 ; 60[ 55 11 0.234 0.468

− 0.723
[60 ; 70[ 65 12 0.255 0.723 Q3 = C75 = 70 + 100 · 10 = 70.156
0.170
[70 ; 80[ 75 8 0.170 0.894 Q3 − Q1 70.156 − 50.681
Q= = = 60.112
[80 ; 90[ 85 5 0.106 1 2 2
Total 47 1
Caractéristiques de l’écart semi-interquartile

— Est simple à calculer et à interpréter.
— Ne tient pas compte de toutes les données : n’est donc pas influencé par les données
extrêmes.
— Est utilisé lorsque la distribution de fréquences est très dissymétrique, lorsque la médiane
est préférée à la moyenne comme mesure de tendance centrale.
— Sa valeur est moins stable que celle de la variance ou de l’écart-type.
— Est peu utilisé en général.
1615
3.2 Coefficient de variation

Pour caractériser et ainsi décrire d’une manière concise et efficace une variable statistique, on
utilise généralement deux mesures : une mesure de tendance centrale et une mesure de dispersion.
Par exemple, pour décrire une variable statistique, on peut donner sa médiane M et son inter-
valle semi-interquartile Q. Cependant, dans la grande majorité des cas, on décrit une variable
statistique par sa moyenne µ et son écart-type par σ.
La moyenne indique autour de quelle valeur sont situées les données, alors que l’écart-type donne
une idée de la dispersion. Cette idée de dispersion doit cependant être située dans son contexte.
Si on dit que l’écart-type d’une variable statistique est 10, peut-on dire que cette dernière est très
dispersée ou peu dispersée ? Bien sûr, cela dépend de l’ordre de grandeur des données. En effet,
si les données traitées sont de l’ordre de 2000, par exemple, cet écart-type de 10 est vraiment
petit et les données sont sûrement très concentrées. Par contre, si les données sont de l’ordre de
15, par exemple, un écart-type de 10 est alors grand et les données sont relativement dispersées.
Il est donc utile parfois de mesurer la dispersion relative et cela se fait grâce à une mesure que
l’on nomme coefficient de variation.
1616
Définition
On appelle coefficient de variation d’une variable statistique X le nombre suivant :
σ
CV =
µ
C’est une mesure de dispersion relative. Ce coefficient de variation est un indicateur de l’homogé-
néité de la population. On considère qu’un coefficient de variation inférieur à 0.15 = 15% indique
que la population est homogène, tandis qu’un coefficient supérieur à 0.15 = 15% indique que
la population est dispersée. De plus, ce coefficient de variation est une mesure pure, c’est-à-dire
qui n’a pas d’unité. On peut donc l’utiliser pour comparer des dispersions de deux ou plusieurs
variables statistiques, même si elles sont exprimées en unités différentes. Cependant, le coefficient
de variation n’est pas très utile si la moyenne est près de 0.
Exemple
xi 12 14 16 18 20 25 29
ni 3 6 10 16 11 6 3
Nous avions obtenu, pour cette variable statistique, une moyenne de µ = 18.632 et un écart-type
de σ = 4.096.
4.096
Le coefficient de variation vaut donc CV = = 0.2198 = 21.98%.
18.632
1617
Exemple
[bi−1 ; bi[ [30 ; 40[ [40 ; 50[ [50 ; 60[ [60 ; 70[ [70 ; 80[ [80 ; 90[
ni 4 7 11 12 8 5
Nous avions obtenu, pour cette variable statistique, une moyenne de µ = 60.957 et un écart-type
de σ = 14.241.
14.241
Le coefficient de variation vaut donc CV = = 0.2336 = 23.36%.
60.957
Si la variable statistique du premier exemple a des données légèrement plus homogènes que celles
du second exemple (21.98% contre 23.36%), aucune des deux n’est vraiment très homogènes. Elles
sont même plutôt dispersées.
1618
4 Exercices
Exercice 17.1
Lors de la Coupe du Monde de football 2010 disputée en Afrique du Sud, nous avons répertorié,
pour chaque équipe, le nombre de buts qu’elle a marqué lors de chaque rencontre.
Déterminer pour cette variable statistique : # Buts Effectif
0 43
(a) l’étendue,
1 47
(b) l’écart moyen, 2 24
(c) l’écart semi-interquartile, 3 9
(d) la variance, 4 4
5 0
(e) l’écart-type,
6 0
(f) le coefficient de variation.
7 1
1619
Corrigé 17.1
xi ni fi Fi fixi fi |xi − µ| fi (xi − µ)2 fix2i

0 43 0.336 0.336 0.000 0.381 0.431 0.000
1 47 0.367 0.703 0.367 0.049 0.006 0.367
2 24 0.188 0.891 0.375 0.163 0.141 0.750
3 9 0.070 0.961 0.211 0.131 0.245 0.633
4 4 0.031 0.992 0.125 0.090 0.257 0.500
7 1 0.008 1 0.055 0.046 0.269 0.383
Total 128 1 1.133 0.859 1.350 2.633
(a) Etendue = xn − x1 = 7 − 0 = 7
X
(b) EM = fi |xi − µ| = 0.336 · |0 − 1.133| + ... + 0.008 · |7 − 1.133| = 0.859
)
Q1 = 0 Q3 − Q1 2 − 0
(c) =⇒ Q = = =1
Q3 = 2 2 2
X
2
(d) σ = fi (xi − µ)2 = 0.336 · (0 − 1.133)2 + ... + 0.008 · (7 − 1.133)2 = 1.350
√ √
2
(e) σ = σ = 1.350 = 1.162
σ 1.162
(f) CV = = = 100.6% (Pas très utile comme valeur car µ est proche de 0.)
µ 1.133
1620
Exercice 17.2
Une étude parue dans La Liberté du 23.10.2012 a été menée en 2012 au Collège du Sud à Bulle
sur l’utilisation du fameux réseau social au pouce levé et plus particulièrement sur le temps
d’utilisation journalier moyen, en minutes, d’un élève de 16 ans. Sur les 310 élèves interrogés, 33
ne possédaient pas de compte Facebook. Pour les 277 autres, voici le détail ci-dessous.
Déterminer pour cette variable statistique :
Durée Effectif
[0 ; 30[ 67 (a) l’étendue,
[30 ; 60[ 50 (b) l’écart moyen,
[60 ; 90[ 48 (c) l’écart semi-interquartile,
[90 ; 120[ 42
(d) la variance,
[120 ; 150[ 45
(e) l’écart-type,
[150 ; 180[ 25
(f) le coefficient de variation.
1621
Corrigé 17.2
[bi−1 ; bi[ xi ni fi Fi f i xi fi |xi − µ| fi (xi − µ)2 fix2i

[0 ; 30[ 15 67 0.242 0.242 3.628 15.115 944.560 54.422
[30 ; 60[ 45 50 0.181 0.422 8.123 5.865 190.553 365.523
[60 ; 90[ 75 48 0.173 0.596 12.996 0.432 1.075 974.729
[90 ; 120[ 105 42 0.152 0.747 15.921 4.171 114.741 1671.661
[120 ; 150[ 135 45 0.162 0.910 21.931 9.343 537.285 2960.740
[150 ; 180[ 165 25 0.090 1 14.892 7.898 691.140 2457.130
Total 277 1 77.491 42.823 2479.355 8484.206
(a) Etendue = bn − b0 = 180 − 0 = 180
X
(b) EM = fi |xi − µ| = 0.242 · |15 − 77.491| + ... + 0.090 · |165 − 77.491| = 42.823
25 
− 0.242
Q1 = C25 = 30 + 100 · 30 = 31.35 

0.181 Q3 − Q1 120.5 − 31.35

(c) 75 =⇒ Q = = =
− 0.747 2 2
Q3 = C75 = 120 + 100 · 30 = 120.5 


0.162
44.575
X
2
(d) σ = fix2i − µ2 = 8484.206 − 77.4912 = 2479.355
√ √ 1622
2
(e) σ = σ = 2479.355 = 49.793
σ 49.793
(f) CV = = = 64.3%
µ 77.491
1623
Exercice 17.3
Un élève de M3 fait son travail de maturité sur les dépenses des jeunes
Montant Effectif
dans la Broye. Afin d’avoir une idée sur l’argent qu’ils consacrent au
[0 ; 4[ 60
repas de midi, le 4 novembre 2012 à 14 heures, il envoie un mail à tous
[4 ; 8[ 90
les étudiants du GYB en leur demandant le montant qu’ils ont consacré
[8 ; 12[ 185
au repas du midi. Sur les 1007 mails envoyés, il a obtenu 400 réponses.
[12 ; 16[ 55
On considère que les élèves sont répartis uniformément dans les classes.
[16 ; 20[ 10
Ci-contre les résultats.
(a) Déterminer la variance et l’écart-type de cette variable statistique.
(b) Déterminer le mode, la médiane, C37 et D7.
Déterminer le pourcentage d’élèves dépensant :
(c) Moins de 10.- (e) Au moins de 7.-
(d) Moins de 8.40 (f) Entre 6.- et 11.-
1624
Corrigé 17.3
[bi−1 ; bi[ xi ni fi Fi fixi fi |xi − µ| fi (xi − µ)2 fix2i

[0 ; 4[ 2 60 0.150 0.150 0.300 0.998 6.633 0.60
[4 ; 8[ 6 90 0.225 0.375 1.350 0.596 1.580 8.10
[8 ; 12[ 10 185 0.463 0.838 4.625 0.624 0.843 46.25
[12 ; 16[ 14 55 0.138 0.975 1.925 0.736 3.936 26.95
[16 ; 20[ 18 10 0.025 1 0.450 0.234 2.186 8.10
Total 400 1 8.650 3.188 15.178 90.00
X
2
(a) σ = fix2i − µ2 = 90 − 8.652 = 15.1778
√ √
σ = σ 2 = 15.178 = 3.896

∆1 95
(b) M0 = bi−1 + · Li = 8 + · 4 = 9.689
∆ + ∆2 95 + 130
1
0.5 − Fi−1 0.5 − 0.375
M = bi−1 + · Li = 8 + · 4 = 9.081
fi 0.463
37
100 − 0.150
C37 = 4 + · 4 = 7.911
0.225
70
− 0.375
D7 = C70 = 8 + 100 · 4 = 10.811
0.463
1625
(c) Cela représente tous les élèves des 2 premières classes ainsi que la moitié des élèves de la
60 + 90 + 185 2
troisième classe donc = 60.625%.
400
(d) On cherche x tel que Cx = 8.4. Cx se trouve donc dans la classe [8; 12[. Donc bi−1 = 8,
Fi−1 = 0.375 et fi = 0.463.
x x x
100 − 0.375 100 − 0.375 100 − 0.375
Cx = 8.4 ⇐⇒ 8 + · 4 = 8.4 ⇐⇒ · 4 = 0.4 ⇐⇒ =
0.463 0.463 0.463
x x
0.1 ⇐⇒ − 0.375 = 0.0463 ⇐⇒ = 0.42125 ⇐⇒ x = 42.125
100 100
Il y a donc 42.125% des élèves qui ont dépensé moins de 8.40.
3
(e) Cela représente tous les élèves moins ceux de la première classe et les des élèves de la
3
4
60 + 4 · 90
seconde classe : 100% − = 68.125%.
400
3
(f) Cela représente la moitié des élèves de la seconde classe ainsi que les des élèves de la
1 3
4
· 90 + 4 · 185
troisième classe : 2 = 45.9375%.
400
1626
Exercice 17.4
# jours d’absence Effectif

Une entreprise, qui avait l’impression que ses employés
0 55
étaient souvent malades, a décidé de ficher ces derniers.
1 31
Pour l’année 2012, M. X, le DRH de l’entreprise a montré
2 19
le tableau ci-contre au directeur général.
3 11
Le directeur général, sans scrupule et ce, malgré le fait
4 7
que la loi le lui l’interdise, ordonne à son DRH de licen-
5 5
cier tous les employés dont le nombre de jours d’absence
7 2
est supérieur d’un écart-type par rapport à la moyenne.
11 2
Combien d’employés vont faire les frais de cette décision ?
21 1
1627
Corrigé 17.4
xi ni fi fi x i fix2i
0 55 0.414 0.000 0.000 X
2
1 31 0.233 0.233 0.233 σ = fix2i − µ2 = 9.203 − 1.5942 = 6.662
2 19 0.143 0.286 0.571 √ √
2
σ = σ = 6.662 = 2.581
3 11 0.083 0.248 0.744
4 7 0.053 0.211 0.842
µ + σ = 1.594 + 2.581 = 4.175
5 5 0.038 0.188 0.940
7 2 0.015 0.105 0.737
Les personnes ayant manqué plus de 4 jours vont se
11 2 0.015 0.165 1.820
faire licencier c.-à-d. 5 + 2 + 2 + 1 = 10 personnes.
21 1 0.008 0.158 3.316
Total 133 1 µ = 1.594 9.203
1628
Exercice 17.5
L’entreprise Carandescie, spécialiste dans la fabrication de crayons, a

acheté une nouvelle machine pour produire ces derniers qui doivent
mesurer exactement 180 mm. Il est spécifié, dans le contrat de livrai- Longueur Effectif
son, qu’elle est capable de produire ces crayons avec un coefficient de [179.5 ; 179.7[ 2’000
variation inférieur à 0.1%. [179.7 ; 179.9[ 10’000
Avant de payer la facture de la nouvelle machine, l’entreprise décide [179.9 ; 180.1[ 70’000
de produire 100’000 crayons comme test. Si le coefficient de variation [180.1 ; 180.3[ 15’000
de la production de la machine, lors du test, n’est pas supérieur à celui [180.3 ; 180.5[ 3’000
indiqué dans le contrat de livraison, l’entreprise gardera la machine.
Sinon, elle s’en séparera. Ci-contre les résultats de cette production.
L’entreprise va-t-elle conserver sa nouvelle machine ? Pour cet exercice, il est essentiel de garder
au moins 3 chiffres après la virgule. Pour ce faire, il peut être utile de travailler avec un tableur
dans le style Calc ou Excel.
1629
Corrigé 17.5
[bi−1 ; bi[ xi ni fi f i xi fix2i

[179.5 ; 179.7[ 179.6 2000 0.02 3.592 645.123
[179.7 ; 179.9[ 179.8 10000 0.10 17.980 3232.804
[179.9 ; 180.1[ 180 70000 0.70 126.000 22680.000
[180.1 ; 180.3[ 180.2 15000 0.15 27.030 4870.806
[180.3 ; 180.5[ 180.4 3000 0.03 5.412 976.325
Total 100000 1 µ = 180.014 32405.058
X
2
σ = fix2i − µ2 = 32405.058 − 180.0142 = 0.0178
√ √
σ= σ2 = 0.0178 = 0.1334
σ 0.1334
CV = = = 0.074%
µ 180.014
Donc l’entreprise va conserver la machine.

1630
Exercice 17.6
En relevant le premier chiffre du prix des 200 premiers articles du catalogue Jysk (Literie -
Meubles - Déco) et du catalogue FUST (Electroménager - multimédia) du 21 octobre 2012, nous
obtenons les résultats suivants :
Chiffre Jysk Fust
1 50 60 Pour ces deux variables statistiques, déterminer
2 29 22
(a) l’étendue,
3 34 24
4 10 17 (b) l’écart moyen,
5 13 18 (c) l’écart semi-interquartile,
6 15 13 (d) l’écart-type,
7 22 14
(e) le coefficient de variation.
8 8 7
9 19 25
1631
Corrigé 17.6
Magasin Jysk
1 50 0.250 0.250 0.250 0.743 2.205 0.250
2 29 0.145 0.395 0.290 0.286 0.563 0.580
3 34 0.170 0.565 0.510 0.165 0.160 1.530
4 10 0.050 0.615 0.200 0.002 0.000 0.800
5 13 0.065 0.680 0.325 0.067 0.069 1.625
6 15 0.075 0.755 0.450 0.152 0.309 2.700
7 22 0.110 0.865 0.770 0.333 1.010 5.390
8 8 0.040 0.905 0.320 0.161 0.650 2.560
9 19 0.095 1.000 0.855 0.478 2.404 7.695
Total 200 1.000 3.970 2.386 7.369 23.130
(a) Etendue = xn − x1 = 9 − 1 = 8
X
(b) EM = fi |xi − µ| = 2.386
)
Q1 = 1.5 Q3 − Q1 6 − 1.5
(c) =⇒ Q = = = 2.25
Q3 = 6 2 2
X √ √ 1632
(d) σ 2 = fix2i − µ2 = 23.130 − 3.9702 = 7.369, donc σ = σ2 = 7.369 = 2.715

σ 2.715
(e) CV = = = 68.38%
µ 3.970
Magasin Fust
1 60 0.300 0.300 0.300 0.887 2.620 0.300
2 22 0.110 0.410 0.220 0.215 0.420 0.440
3 24 0.120 0.530 0.360 0.115 0.109 1.080
4 17 0.085 0.615 0.340 0.004 0.000 1.360
5 18 0.090 0.705 0.450 0.094 0.098 2.250
6 13 0.065 0.770 0.390 0.133 0.272 2.340
7 14 0.070 0.840 0.490 0.213 0.649 3.430
8 7 0.035 0.875 0.280 0.142 0.573 2.240
9 25 0.125 1 1.125 0.631 3.182 10.125
Total 200 1 3.955 2.432 7.923 23.565
(a) Etendue = xn − x1 = 9 − 1 = 8
X
(b) EM = fi |xi − µ| = 2.432
) 1633
Q1 = 1 Q3 − Q1 6 − 1
(c) =⇒ Q = = = 2.5
Q3 = 6 2 2
X √ √
2 2 2 2 2
(d) σ = fixi − µ = 23.565 − 3.955 = 7.923, donc σ = σ = 7.923 = 2.815
σ 2.815
(e) CV = = = 71.17%
µ 3.955
1634
Exercice 17.7
Un agent immobilier de Genève propose, entre autre, des appartements de trois pièces à la
location. Afin de qualifier le type de loyer (très bon marché, bon marché, moyen, cher, très cher),
il décide de procéder ainsi : ceux situés ...
... à plus ou moins un écart-type de la moyenne seront qualifiés de “moyens”,
... entre un et deux écarts-types au dessus de la moyenne seront qualifiés de “chers”,
... à plus de deux écarts-types au dessus de la moyenne seront qualifiés de “très chers”,
... entre un et deux écarts-types au dessous de la moyenne seront qualifiés de “bons marchés” ,
... à plus de deux écarts-types au dessous de la moyenne seront qualifiés de “très bons marchés”.
Ci-contre, la situations actuelle.
Comment sera qualifié un appartement dont le Prix Effectif
prix est de : [600 ; 1000[ 12
(a) 1100.- ? [1000 ; 1400[ 40
(b) 670.- ? [1400 ; 1800[ 56
[1800 ; 2200[ 60
(c) 1548.- ?
[2200 ; 2600[ 24
(d) 2896.- ?
[2600 ; 3000[ 8
(e) 2220.- ?
1635
Corrigé 17.7
X
2
σ = fix2i − µ2 = 302480000 − 17362 =
2340304
√ √
σ = σ = 2340304 = 484.05
2
[bi−1 ; bi[ xi ni fi fi x i fix2i
[µ − σ; µ + σ] = [1251.95; 2220.05]
[600 ; 1000[ 800 12 0.06 48 38400
[µ − 2σ; µ + 2σ] = [767.90; 2704.10]
[1000 ; 1400[ 1200 40 0.20 240 288000
[µ − 3σ; µ + 3σ] = [283.85; 3188.15]
[1400 ; 1800[ 1600 56 0.28 448 716800
[1800 ; 2200[ 2000 60 0.30 600 1200000 (a) Celui de 1100.- : bon marché,
[2200 ; 2600[ 2400 24 0.12 288 691200 (b) celui de 670.- : très bon marché,
[2600 ; 3000[ 2800 8 0.04 112 313600 (c) celui de 1548.- : moyen,
Total 200 1 1736 3248000
(d) celui de 2896.- : très cher,
(e) celui de 2220.- moyen à cher (car sur la
borne).
1636
Exercice 17.8
Après un test où la moyenne de classe était franchement mauvaise pour ne pas dire catastro-
phique, et ce, malgré le fait qu’un élève ait réussi à faire 5.5, un professeur (pas de mathématiques)
décide d’ajouter un demi point à la note de chaque élève. Donner l’influence que cela aura sur :
(a) la moyenne, (d) le mode, (g) le coefficient de variation,
(b) l’écart-type, (e) la médiane, (h) l’écart semi-interquartile
(c) la variance, (f) l’étendue, (i) l’écart moyen.
1637
Corrigé 17.8
(a) La moyenne augmente de 0.5pt. (f) L’étendue reste inchangée.

σ
(b) L’écart-type reste inchangé. (g) Le coefficient de variation CV = diminue
µ
(c) La variance reste inchangée. car µ augmente alors que σ reste inchangé.
(d) Le mode augmente de 0.5pt. (h) L’écart semi-interquartile reste inchangé.
(e) La médiane augmente de 0.5pt. (i) L’écart moyen reste inchangé.
1638
Exercice 17.9
(a) Une série A représente l’âge d’une famille de cinq membres (2 parents & 3 enfants) et une
série B l’âge des étudiants d’une classe du GYB. Laquelle de ces deux séries aura le plus
grand écart-type ?
(b) Un professeur, n’enseignant évidemment pas les mathématiques, fait passer le même test
dans deux de ses classes. Il obtient la même moyenne, mais l’écart-type de la classe A est
nettement plus grand que celui de la classe B.
Laquelle de ces deux classes est la plus homogène ?
(c) A Payerne, entre le 1er février 2012 et le 17 mars de la même année, on a enregistré les
précipitations quotidiennes. La moyenne est égale à 0. Que vaut l’écart-type ?
(d) Toujours à Payerne, on a enregistré les températures moyennes quotidiennes sur les 60 pre-
miers jours de l’année 2012. La moyenne des températures moyennes est égale à 0◦C. Que
vaut l’écart-type ?
(e) L’âge moyen des joueurs de football présents à la Coupe du monde 1998 était de 27 ans et 8
mois et l’écart-type était de 4 ans et 1 mois.
(i) Quel fut alors l’âge moyen et l’écart-type de ces joueurs lors de l’édition 2010 en imaginant
qu’aucun d’entre-eux ne soit décédé ?
1639
(ii) Quelle est l’étendue actuelle en sachant qu’à l’époque le joueur le plus jeune était l’atta-
quant camerounais Samuel Eto’o, 17 ans et 3 mois et le plus âgé était le gardien de but
écossais Jim Leighton, 39 ans et 10 mois ?
(f) Vrai ou faux ? Toutes les données d’une distribution dont la moyenne est 70 et l’écart-type
10 sont comprises entre 60 et 80. Si faux, quelle est alors la solution correcte ?
1640
Corrigé 17.9
(a) La série A, car les âges sont certainement plus dispersés par rapport à la moyenne.
(b) La classe B, car les données sont plus proches de la moyenne.
(c) L’écart-type vaut 0.
(d) On ne peut rien dire de l’écart-type si ce n’est qu’il est certainement supérieur à 0. A moins
que chaque jour la température moyenne fut de 0◦C. Contrairement à la question précédente,
ici les modalités peuvent être négatives.
(e) ...
(i) L’âge moyen a augmenté de 12 ans (39 ans et 8 mois) alors que l’écart-type n’a pas changé
(4 ans et 1 mois).
(ii) L’étendue actuelle est la même que l’étendue d’époque c.-à-d. 22 ans et 7 mois.
1641
(f) Faux. A moins que la moitié d’entre elles valent 60 et l’autre moitié 80.
En sciences, il est fréquent de considérer que les valeurs se répartissent selon une courbe de
Gauss. Dans le cas des sciences sociales, par exemple, la moyenne et l’écart-type permettent
de déterminer un intervalle dans lequel on trouve une majorité de la population. En effet, si la
moyenne est µ et l’écart-type est σ, on trouve environ 95 % de la population dans l’intervalle
[µ − 2σ ; µ + 2σ] et on trouve environ 68 % de la population dans l’intervalle [µ − σ ; µ + σ].
1642
Exercice 17.10
Âge Effectifs
Voici le tableau des âges des mamans suisses au moment
[15 ; 20[ 509
de la naissance de leur(s) enfant(s) en 2011.
[20 ; 25[ 6616
En supposant que les mamans sont réparties uniformé-
[25 ; 30[ 19721
ment dans les classes, quel pourcentage de ces dernières
[30 ; 35[ 29903
se situe dans l’intervalle ...
[35 ; 40[ 19196
(a) ... [µ − σ; µ + σ; ] ? [40 ; 45[ 4564
(b) ... [µ − 2σ; µ + 2σ; ] ? [45 ; 50[ 281
(c) ... [µ − 3σ; µ + 3σ; ] ? [50 ; 55[ 17
[55 ; 60[ 1
1643
Corrigé 17.10
[bi−1 ; bi[ xi ni fi fi x i fix2i

[15 ; 20[ 17.5 509 0.0063 0.110 1.929
[20 ; 25[ 22.5 6616 0.082 1.842 41.448
[25 ; 30[ 27.5 19721 0.244 6.711 184.561
[30 ; 35[ 32.5 29903 0.370 12.027 390.865
[35 ; 40[ 37.5 19196 0.238 8.908 334.056
[40 ; 45[ 42.5 4564 0.056 2.400 102.016
[45 ; 50[ 47.5 281 0.0035 0.165 7.846
[50 ; 55[ 52.5 17 0.00021 0.0110 0.580
[55 ; 60[ 57.5 1 0.000012 0.0071 0.0409
Total 80808 1 µ = 32.176 1063.342
X
σ2 = fix2i − µ2 = 1063.342 − 32.1762 = 28.062
√ √
2
σ = σ = 28.062 = 5.297
1644
(a) [µ − σ; µ + σ] = [26.878; 37.473]
Cela représente une partie de la fréquence de la classe [25; 30[, la fréquence de la classe [30; 35[
ainsi qu’une partie de la fréquence de la classe [35; 40[.
30 − 26.878 37.473 − 35
· 0.244 + 0.370 + · 0.238 = 63.990%
5 5
(b) [µ − 2σ; µ + 2σ] = [21.581; 42.770]
Cela représente une partie de la fréquence de la classe [20; 25[, les fréquences des classes
[25; 30[, [30; 35[ et [35; 40[ ainsi qu’une partie de la fréquence de la classe [40; 45[.
25 − 21.581 42.770 − 40
· 0.082 + 0.244 + 0.370 + 0.238 + · 0.056 = 93.893%
5 5
(c) [µ − 3σ; µ + 3σ] = [16.284; 48.068]
Cela représente une partie de la fréquence de la classe [15; 20[, les fréquences des classes
[20; 25[,[25; 30[, [30; 35[, [35; 40[ et [40; 45[ ainsi qu’une partie de la fréquence de la classe
[45; 50[.
20 − 16.284 48.068 − 45
· 0.0063 + 0.082 + 0.244 + 0.370 + 0.238 + 0.056 + · 0.0035 = 99.682%
5 5
1645
Exercice 17.11
On a demandé la pointure des 600 garçons d’une école et reporté les informations dans le tableau
ci-dessous. Malheureusement de l’eau a coulé sur la feuille et a fait disparaitre des données.
(a) Compléter les colonnes 2-3-4. Pour les deux dernières co-
lonnes, garder trois chiffres après la virgule.
Taille Eff. Fréq. F. cu.
(b) Quelle est la variable statistique ?
40 0.15
(c) Est-elle discrète ? Qualitative ? Continue ? Quantitative ? 41 0.3
Cumulative ? 42 0.275
(d) Quel est le pourcentage des personnes chaussant au moins 43 0.8
du 44 ? 44
(e) Déterminer Q. 45 30
(f) Déterminer le pourcentage de garçons compris dans l’inter-
valle [µ − σ; µ + σ; ].
1646
Corrigé 17.11
Taille Effectifs Fréquences Fréq. cumulées f i xi fix2i

40 90 (0.15 · 600) 0.15 0.15 6.000 240.000
41 90 (0.15 · 600) 0.15 (0.3 − 0.15) 0.3 6.150 252.150
42 165 (0.275 · 600) 0.275 0.575 (0.3 + 0.275) 11.550 485.100
(a)
43 135 (0.225 · 600) 0.225 (0.8 − 0.575) 0.8 9.675 416.025
44 90 (600 − 510) 0.15 (90/600) 0.95 (0.8 + 0.15) 6.600 290.400
45 30 0.05 (30/600) 1 2.250 101.250
Total 600 1 µ = 42.225 1784.925
(b) Leur pointure
(c) Discrète (bien que la taille des pieds soit continue) et quantitative.
90 + 30
(d) = 20%
600 )
Q1 = 41 Q3 − Q1 43 − 41
(e) =⇒ Q = = =1
Q3 = 43 2 2
X
2
(f) σ = fix2i − µ2 = 1784.925 − 42.2252 = 1.974
√ √ 1647
2
σ = σ = 1.974 = 1.405
[µ − σ; µ + σ] = [40.820; 43.630]
Cela représente les fréquences des modalités 41, 42 et 43 : 0.15 + 0.275 + 0.225 = 0.65 = 65%.
1648
5 Solutions
Solution 17.1 Solution 17.3
(a) Etendue = 7 (a) σ 2 = 15.1778
(b) EM = 0.859 σ == 3.896
(c) Q = 1 (b) M0 = 9.689
(d) σ 2 = 1.350 M = 9.081
C37 = 7.911
(e) σ = 1.162
D7 = 10.811
(f) CV = 100.6%
(c) 60.625%.
Solution 17.2
(d) 42.125%
(a) Etendue = 180
(e) 68.125%.
(b) EM = 42.823 (f) 45.9375%
(c) Q = 44.575
2
Solution 17.4
(d) σ = 2479.355 10, car µ + σ = 4.175
(e) σ = 49.793 Solution 17.5
(f) CV = 64.3% Oui, car CV = 0.074%
1649
Solution 17.6 (a) Celui de 1100.- : bon marché,
Magasin Jysk (b) celui de 670.- : très bon marché,
(a) Etendue = 8 (c) celui de 1548.- : moyen,
(b) EM = 2.386 (d) celui de 2896.- : très cher,
(c) Q = 2.25 (e) celui de 2220.- moyen à cher.
(d) σ = 2.715 Solution 17.8
(e) CV = 68.38% (a) La moyenne augmente de 0.5pt.
Magasin Fust (b) L’écart-type reste inchangé.
(a) Etendue = 8 (c) La variance reste inchangée.
(b) EM = 2.432 (d) Le mode augmente de 0.5pt.
(c) Q = 2.5 (e) La médiane augmente de 0.5pt
(d) σ = 2.815 (f) L’étendue reste inchangée.
σ
(e) CV = 71.17% (g) Le coefficient de variation CV = dimi-
µ
nue car µ augmente alors que σ reste in-
Solution 17.7
changé.
[µ − σ; µ + σ] = [1251.95; 2220.05]
(h) L’écart semi-interquartile reste inchangé.
[µ − 2σ; µ + 2σ] = [767.90; 2704.10]
[µ − 3σ; µ + 3σ] = [283.85; 3188.15] (i) L’écart moyen reste inchangé.
1650
Solution 17.9 (c) [16.284; 48.068]=⇒ 99.682%
(a) La série A Solution 17.11
(b) La classe B Taille Effectifs Fréquences Fréq. cumu.
(c) σ = 0 40 90 0.15 0.15
41 90 0.15 0.3
(d) σ > 0
42 165 0.275 0.575
(e) ... (a)
43 135 0.225 0.8
(i) L’âge moyen est 39 ans et 8, l’écart-type 44 90 0.15 0.95
de 4 ans et 1 mois. 45 30 0.05 1
Total 600 1
(ii) 22 ans et 7 mois.
(b) Leur pointure
(f) Faux. (c) Discrète et quantitative.
Solution 17.10 (d) 20%
(a) [26.878; 37.473]=⇒ 63.990% (e) Q = 1
(b) [21.581; 42.770]=⇒ 93.893% (f) [40.820; 43.630] =⇒ 65%

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Gymnase intercantonal de la Broye

Les exercices de ce chapitre sont inspirés du livre

2 La hiérarchie des opérateurs

deuxième : puissance et racine carrée

troisième : multiplication et division

quatrième : addition et soustraction

3 Les ensembles numériques

Figure 1.1 – Les ensembles numériques : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

4 La règle des signes

+·+ =+ +·−=− −·+=− −·−=+

On dit que a est la base de la puissance et n l’exposant.

b · 10n avec n ∈ Z 1 ≤ | b | < 10

b est la partie significative et 10n l’ordre de grandeur du nombre.

c) Constante de gravitation universelle =

h) (4 · 1010) ÷ (100 · 106) =

j) 2000 · 40000000 · 0.000003 =

6y 2 − 2xy + 2x2 − 5x2 + 3y 2 − 4xy est un polynôme de degré...

7.2 Degré de monômes et de polynômes

7.3 Calcul avec les monômes

Somme et différence de monômes semblables

(ab)n = anbn et (an)m = anm

7.4 Calcul avec les polynômes

Somme et différence de polynômes

8.1 Equation du premier degré

Théorème d’équations equivalentes

8.2 Visualisation graphique

Si on a l’équation 4x = 2x + 1, alors en et de droite ne sont plus les mêmes, la nou-

8.3 Exemples de résolution algébriques

3x + 4 = 2x − 1 2(y + 1) = 4y + 2 4(t − 1) + 2t = 6(t + 3)

153 420 51 51 200 251

d) 9 + 3 · [2 · (9 − 5) − (5 − 7)] = 9 + 3 · [2 · 4 − (−2)] = 9 + 3 · [8 + 2] = 9 + 3 · [10] = 9 + 30 = 39

i) 3·(2 − 7)·(−1)−(6 − 9)3 −23 +1 = 3·(−5)·(−1)−(−3)3 −8+1 = −15·(−1)−(−27)−7 =

a) Oui, car les entiers peuvent toujours s’écrire comme fraction.

c) 4−2 · 25 · 82 = (22)−2 · 25 · (23)2 = 2−4 · 25 · 26 = 2−4+5+6 = 27 = 128

b) a5 · a−6 · a12 = a5−6+12 = a11

c) am−2 · a3−m = am−2+3−m = a

e) 0.0000054 = 5.4 · 10−6

g) 0.125 = 1.25 · 10−1

b) 1.25 · 102 = 125

e) 6.987 · 1012 = 60987000000000000

f) 3.0144 · 10−6 = 0.0000030144

g) 6 · 101 · 7 · 1012 · 4 · 10−5

i) 3000 · 0.00000005 · 20000

m) 10 · 10−5 · 103 · 105 · 19

p) (4 · 10−24) ÷ (16 · 1010)

b) 6 · 106 · 3 · 103 = 18 · 109 = 1.8 · 1010

e) 4 · 1010 · 4 · 10−19 = 16 · 10−9 = 1.6 · 101 · 10−9 = 1.6 · 10−8

f) 5 · 1010 · 4 · 10−10 = 20 · 100 = 2 · 101 · 1 = 2 · 101

h) (4 · 1010) ÷ (4 · 1010) = 1 = 1 · 100

k) 1 · 10−5 · 9 · 105 · 2 = 18 · 100 = 1.8 · 101

l) 18 · 105 − 9 · 105 = 105 · (18 − 9) = 9 · 105

m) 10 · 10−5 · 103 · 105 · 19 = 19 · 101−5+3+5 = 19 · 104 = 1.9 · 105

n) 1020 · 103 = 1023

Grandeur en nm 1 1.5 · 108

1.5 · 108nm · 10−9m

Combien de fois plus grande est la distance Pluton-Soleil ...

Donc la distance Pluton-Soleil est en fait 105 fois plus petite...

5l = 5dm3 = 5 · 103cm3 = 5 · 106mm3

1µm = 10−6m = 10−3mm

b) 1000µm = 1 mm donc sable grossier.