Chapitre 4 Oscillations Électriques Forcées en Régime Sinusoidal
Chapitre 4 Oscillations Électriques Forcées en Régime Sinusoidal
Chapitre 4 Oscillations Électriques Forcées en Régime Sinusoidal
OSCILLATIONS
ÉLECTRIQUES FORCÉES
EN RÉGIME SINUSOÏDAL
e cais-
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es t m u ts des
é le c trique s o n t adjoin ce à
ar e e Grâ
La guit se à laquell agnétiques. ié
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microp ance électr
iq
r e ll e de la
u
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la rés r la résonan
su
prime
se.
111
Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
On a vu dans le chapitre précédent que si un circuit RLC série peut effectuer des oscillations libres, celles-ci ces-
sent plus au moins rapidement à cause de l'amortissement dû à sa résistance.
Quel sera l'effet de l'application d'une tension sinusoïdale aux bornes d'un tel oscillateur, une simple compensa-
tion de l'amortissement ou plus ?
Manipulation
On réalise le montage de la figure 1 : il s’agit d’un circuit RLC
série fermé sur un GBF (générateur basse fréquence) délivrant
une tension sinusoïdale u(t) de fréquence N réglable :
u(t) = Um.sinωt, Um étant maintenue constante.
Le circuit RLC série est constitué d’un résistor de résistance Ro
réglable, d’un condensateur de capacité C = 0,47 μF et d’une Fig.1 : Circuit RLC série soumis à
une tension sinusoïdale
bobine d’inductance L = 0,2 H et de résistance interne
r = 12,5 Ω (Fig.1).
Pour suivre simultanément l’évolution de la tension u délivrée
par le GBF entre ses bornes et celle de l’intensité i du courant
débité dans le circuit, on relie à un oscilloscope bicourbe, le
point M à la masse, le point A à la voie Y1 et le point B à la voie
Y2 .
On fixe N à la valeur 400 Hz, Um à 2 V et Ro à 50 Ω par Fig.2 : Oscillogrammes de u et
de uRo.
exemple. Lorsque l’interrupteur K est ouvert, on observe sur
l’écran de l’oscilloscope uniquement l’oscillogramme (1) de la
figure 2. En fermant le circuit, on observe sur l’écran de l’os-
cilloscope les oscillogrammes stables (1) et (2) (Fig.2) avec la
sensibilité 1 ms/div.
La fréquence étant toujours égale à 400 Hz, on réalise une
série de mesures de URom en fonction de Um.
Les résultats de mesures ont permis d’obtenir le tracé de la
figure 3. Fig.3 : Tracé de Um = f (URom)
112
Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
Questions
1°) Comparer la forme de l’oscillogramme représentant i(t) à
celle de u(t).
2°) Mesurer la fréquence N de i(t) et la comparer à celle de u(t).
3°) Comparer la fréquence N à la fréquence propre No de l’os-
cillateur.
4°) a) A l’aide de la courbe de la figure 3, montrer que :
Um = kURom, où k est une constante que l’on calculera.
b) Montrer que la tension maximale Um peut s’écrire en fonction
de l’intensité maximale Im sous la forme : Um = Z Im où Z est une
constante dont on déterminera la dimension.
Commentaire
L’analyse des oscillogrammes de la figure 2 montre que,
comme celle de u(t), la courbe représentant i(t) varie sinusoï-
dalement au cours du temps.
De plus, il y a constamment le même décalage horaire entre
les deux oscillogrammes. Par conséquent, l’intensité i(t) varie
avec la même fréquence que la tension u(t) imposée par le
GBF et non avec la fréquence propre du circuit RLC série : les
oscillations imposées par le GBF ne sont plus libres, elles sont
forcées. Ainsi, le GBF a joué le rôle d’excitateur.
La forme linéaire de la courbe représentant URom en fonction
Um
de Um montre que le quotient est une constante qui ne
Im
dépend que des caractéristiques de l’oscillateur. On l’appelle
impédance du circuit et on la note Z.
Interprétation théorique
Pour le circuit utilisé précédemment, la loii des mailles s'écrit :
uBM + uDB + uAD + (-uAM ) = 0 , d'où uAM = uBM + uDB + uAD .
di q
Donc, uAM = Ro .i + r.i + L + ,
dt C
di q
soit uAM = Ro .i + r.i + L + .
dt C
di 1
Or, q = i.dt. Donc, uAM = R.i + L + i.dt, où R = Ro + r
dt C
et = 2N.
Une telle équation différentielle à second membre non nul
admet comme solu ution particulière celle du régime permanen nt :
i(t) = Imsin(t + ).
113
Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
1.2- DÉPHASAGE
Définition
On appelle déphasage entre deux fonctions sinusoïdales de
phases initiales ϕ1 et ϕ2 et de même période, la différence de
phase Δϕ = (ϕ2 - ϕ1) ou (ϕ1 - ϕ2).
114
Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
Conclusion
A tout décalage horaire Δt entre deux fonctions sinusoïdales y1(t) et y2(t)
isochrones (de même péride T), représentées dans le même système
2
d’axes, est associé un déphasage Δϕ tel que : = t.
T
- Si Δt = 0, Δϕ = 0 : les deux fonctions sont en concordance de phase.
T
- Si Δt = , Δϕ = ± π rad : les deux fonctions sont en opposition de
2
phase.
T
- Si Δt = , Δϕ = ± rad : les deux fonctions sont en quadrature de
4 2
phase.
Si le déphasage (ϕ2 - ϕ1) est positif, y2(t) est en avance de phase par rap-
port à y1(t) et inversement.
Questions
1°) Montrer que, dans les conditions de l’expérience réalisée, la
valeur de la phase initiale ϕ est égale à la valeur du déphasage
entre i et u.
2°) Décrire la forme particulière de la courbe représentant Im
en fonction de N.
3°) a) Déterminer graphiquement la valeur de la fréquence N
pour laquelle l’intensité maximale Im du courant oscillant est à
115
Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
Conclusion
En régime forcé sinusoïdal, l’intensité maximale Im et la phase initiale ϕ
du courant oscillant dans un circuit RLC série dépendent de la fréquence
N de la tension excitatrice et des grandeurs R, L et C caractéristiques de
l’oscillateur.
La réponse d’un circuit RLC série à une tension sinusoïdale de fréquen-
ce N égale à la fréquence propre No du circuit est un courant oscillant en
phase avec la tension excitatrice et avec l’intensité maximale la plus éle-
vée : c’est la résonance d’intensité.
A la résonance d’intensité, le circuit RLC série se comporte comme un
résistor de résistance R.
Interprétation théorique
i(t) = Imsin(ωt+ϕ).
Pour déterminer l’amplitude Im et la phase initiale ϕ de i(t), il est
commode de recourir à la construction de Fresnel dont le prin-
cipe est expliqué dans la fiche technique de fin de chapitre
(p.136).
Valeur maximale Im et phase initiale ϕ de l’intensité i du
courant
di 1
On a : Ri + L +
dt C
i.dt = Um sin t, avec R = Ro + r
i(t) = Im sin(t + ).
di
= Imsin(t + + )
dt 2
I
i.dt = m sin(t + 2 ) + cte
Il vient alors :
I cte
RImsin(t+) +LImsin(t+ + )+ m sin(t+ ) + =Um sin (t).
2 C 2 C
Etant une fonction sinusoïdale, Um sint ne peut être qu'une
somme de fonctions sinusoïïdales. Donc, cte = 0.
• RIm sin(t + ), OA1 [RIm , ]
• LIm sin(t + + ), OA2 [LIm , + ]
2 2
116
Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
Im I
• sin(t+ ), OA3 [ m , ]
C 2
C 2
• Um sint, OA [Um , 0] tel que : OA = OA1 + OA2 + OA3
Les vecteurs de Fresnel OA 2 et OA3 étant de sens contraires,
il en résulte trois construcctions possibles :
• OA2 > OA3 , cas correspondant à L > 1
C
c'est-à-dire N>No : il donne la construction de la figure 7a.
• OA2 < OA3 , cas correspondant à L < 1
C
c'est-à-dire N<No : il donne la construction de la figure 7b.
• OA2 = OA3 , cas correspondant à L = 1
C Fig.7a : Cas où Lω >
1
C
c'est-à-dire N=No : il donne la construction de la figure 7c.
énéral, on a :
Dans le cas gé
Im 1 2
2
Um = (RIm )2 + (LIm )2 , d ' où Um = R2 + (L ) I .
C C m
Um
Donc, Im = ,
1 2
R + (L
2
)
C Fig.7b : Cas où Lω <
1
C
Um 1 2
soit : Im = avec Z = R2 + (L ) .
Z C
1
D ' après le cas de la figure 7a, L > , on a < 0,
C
ça signifie que l'intensité i(t) du courant est en retard de phase
par rapport à la tension excitatrice u(t) : le circuit RLC série est
dit inductif. Fig.7c : Cas où Lω =
1
C
1 Fig.7 : Constructions de Fresnel
D ' après le cas de la figure 7b, L < , on a > 0, ça
C
signifie que l'intensité i(t) du courant est en avance de phase par
rappoort à la tension excitatrice u(t) : le circcuit RLC série est dit
capacitif.
D'après lees constructions précédentes, on a :
1
L
C
tg =
R
En tenant compte de la dépendance du signe de de celui de
117
Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
1
(L ), la phase initiale de i est telle que :
C
1
L
tg = C , avec - rad < < rad
R 2 2
Remarque
Le déphasage ϕ entre i et u peut être aussi caractérisé par :
R
cos =
Z
Résonance d’intensité
1 2
L'impédance du circuit s'écrit Z = R2 + (L ) .
C
∞Aux très basses pulsations ainsi qu
u'aux pulsations beaucoup
plus élèvées que la pulsation propre o de l'oscillateur,
1
l'écart entre L et augmente. Par suite, l'impédance Z
C
devient de plus en plus gra
ande.
U
Donc, dans l'un ou dans l'autre cas, Im () = m 0, ce qui
Z
signifie que la réponse du circuit RLC série devient de plus en
n
plus faible. Cette réponse s'améliore lorrsque Z prend une
valeur modérée, ce qui n''est possible qu'avec des valeurs
1
comparablles de L et de .
C
1 1
Dans le cas particulier où L = , obtenu avec = o = :
C LC
∞ l'impédance Z est minimale : Z = R.
Par connséquent, l'intensité maximale prend sa valleur la plus
Um
élevée Im0 = : c'est la résonance d'intensité.
R
1
L
∞ tg = C = 0, ce qui signifie qu'à la résonance, la
R
te
ension u et l'intensité i sont en phase.
Remarque
L’appellation d’un oscillateur en régime forcé comme étant un
résonateur revient au phénomène de résonance.
118
Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
Conclusion
La réponse d’un circuit RLC série à une tension sinusoïdale de fréquence N
égale à la fréquence propre No du circuit est un courant oscillant en phase avec
la tension excitatrice et avec l’intensité maximale la plus élevée : c’est la réso-
nance d’intensité.
1 "$I est la plus élevée
N = No = : Résonance d'intensité ! # m
2 LC $%u et i sont en phase
Questions
1°) Comparer les allures des courbes de résonance (1) et (2)
entre elles et avec celle de la courbe de la figure 6a ; en dédui-
re l’influence de la résistance totale du circuit sur la résonance.
2°) Pour les valeurs R02 et R03 de R0, déterminer graphique-
ment :
a) la valeur de la fréquence de résonance,
Fig.8b : Influence de l’amortisse-
b) le déphasage ϕ correspondant entre l’intensité i et la tension ment sur le déphase ϕ
d’alimentation u.
Fig.8 : Influence de l’amortissement
Interprétation
A la résonance d’intensité, on a Imo = Um/R. Cela signifie que
l’importance de la résonance dépend de l’ordre de grandeur de
R, donc de Ro car R = Ro + r :
Imo est d’autant plus grande que R est plus petite.
- Si R est très petite, le maximum de Im est très élevé, ce qui
se traduit par un pic de résonance très pointu (courbe (1) de la
figure 8a) : c’est la résonance aiguë.
- Si R est grande, Imo est faible, ce qui se traduit par un pic de
résonance très peu prononcé (courbe (2) de la figure 8a) : c’est
la résonance floue.
119
Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdall
Conclusion
La résonance d’intensité de courant d’un oscillateur RLC série est d’autant
plus aiguë que l’amortissement est faible.
Cependant, quel que soit l’amortissement, la fréquence de résonance
reste toujours égale à la fréquence propre du résonateur.
4 LE PHÉNOMÈNE DE SURTENSION
Manipulation
On reprend le montage de la figure 1 (p.112), toujours avec
L = 0,2 H, C = 0,47 μF et Um = 2 V, mais en choisissant comme
fréquence d’excitation, la fréquence propre (No = 520 Hz) du
circuit RLC série. On mesure la valeur maximale UCm de la ten-
sion aux bornes du condensateur pour des valeurs de la résis-
tance Ro égales à Ro1 = 20 Ω, Ro2 = 50 Ω et Ro3 = 200 Ω. Les
résultats des mesures sont consignés dans le tableau suivant :
Ro (Ω) 20 50 200
UCm (V) 40 21 6,5
Questions
1°) Reproduire, puis compléter le tableau suivant :
Ro (Ω) 20 50 200
UCm
Q=
Um
UCm
2°) Le quotient Q = est appelé facteur de surtension à la
Um
résonance. Justifier cette appellation.
3°) a) Montrer théoriquement que Q peut s’écrire uniquement
en fonction des caractéristiques R, L et C de l’oscillateur.
b) Calculer les valeurs théoriques de Q, correspondant respecti-
vement aux valeurs 20 Ω, 50 Ω et 200 Ω de la résistance Ro.
4°) Quelle précaution faut-il prendre pour avoir un facteur de
surtension modéré à la résonance ?
Expression de Q
120
Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
1
En remplaçant o par dans (1) par exemple, il vient :
LC
1 1 L
Q= LC . Donc : Q =
(Ro + r ) C (Ro + r ) C
Remarque
A la résonance d'intensité : U = (Ro + r) I et UBobine = r 2 + (Lo )2 I.
Si la valeur de l'inductance L est telle que, Lo >> (Ro + r),
La valeur de la tension efficace aux borrnes de la bobine sera
plus grande que la valeur de la tension efficace d'alimentatio
on. Fig.9 : Surtension aux bornes de
la bobine
Donc, il y a aussi risque de surtension aux bornes de la bobine
(Fig.9).
Conclusion
- A la résonance d’intensité d’un circuit RLC série, il peut surgir aux bor-
nes du condensateur, une surtension caractérisée par le facteur :
1 L
Q=
(Ro + r ) C
5 APPLICATIONS DE LA RÉSONANCE
Les applications de la résonance sont très nombreuses. on cite
essentiellement :
- les oscillateurs à quartz,
- le haut parleur et le microphone électrodynamique,
- la réception d’émissions radiophoniques.
Dans le dernier exemple cité, lorsqu’il s’agit d’un poste radio
ordinaire, la résonance aiguë est recherchée parce que pour
écouter nettement une émission, on doit accorder la fréquence
propre de l’oscillateur RLC série du récepteur (poste radio)
121
Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
122
Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
1 1
kTp kTp
(k+1)Tp (k+1)Tp
Donc, P = UIcosdt - UIcos(2t + )dt.
Tp Tp
UIcos (k + 1)Tp UI (k+1)Tp .
Ce qui donne : P = t kTp - sin(2t + ) kT
Tp 2Tp p
π
π
La fonction sin(2t + ) étant périodique de période Tp = ,
on a : sin(2t + ) kT p = 0.
(k + 1)T
p
P = UIcosϕ
Cette forme générale de l’expression de la puissance moyenne
est indépendante de la nature du dipôle.
Etant semblable à l’expression de la puissance consommée en
courant continu, le produit UI intervenant dans l’expression de
P est appelé puissance apparente du dipôle.
La puissance apparente s’exprime en volt-ampère (V.A).
Le facteur cosϕ auquel la puissance moyenne est proportion-
nelle s’appelle facteur de puissance.
R
Pour le circuit RLC série, cosϕ = . Donc, ce facteur est tou-
Z
jours positif. Par suite, la puissance moyenne est positive, ce
qui veut dire que le circuit RLC série se comporte dans l’ensem-
ble comme un dipôle passif.
123
Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
P
sera parcouru par un courant d’intensité efficace : I = .
U cos
Le courant électrique débité provoque un échauffement par
effet Joule des câbles de la ligne de transport d’électricité.
Par conséquent, de la puissance est perdue et, en grande par-
tie, la perte est à la charge de la STEG : c’est la perte en ligne.
Comment minimiser la perte en ligne ?
Si l’on désigne par Po la puissance moyenne perdue par effet
Joule dans la ligne d’alimentation de résistance Ro, on a :
Po = RoI2,
P2
soit : Po = Ro
U2 cos2
Conclusion
La puissance moyenne d’un circuit RLC série est dissipée par effet
Joule. Cette dissipation se fait à n’importe quelle fréquence mais elle est
d’autant plus importante que la résistance est plus grande.
A la résonance d’intensité, correspond une résonance de puissance :
la puissance moyenne de l’oscillateur RLC série est dans ces conditions
la plus élevée.
125
Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
L’essentiel
Comme en régime libre non amorti, les oscillations forcées d’un circuit RLC série sont
sinusoïdales mais de fréquence imposée par l’excitateur.
La réponse d’un circuit RLC série à une tension excitatrice sinusoïdale de fréquence N
est un courant électrique d’intensité sinusoïdale de valeur maximale Im et de phase initiale
ϕ dépendant de la fréquence des excitations et des grandeurs électriques R, L et C carac-
téristiques de l’oscillateur :
Um 1
Im = - L
R2 + (L
1 2
) tg =
C
C R
1
En régime forcé sinusoïdal, selon que le circuit RLC série, est capacitif ( > L) ou bien
1 C
inductif (L > ) , l'intensité i du courant électrique y oscille en avance de phase ou bien
C
en retard de phase par rapport à la tension excitatrice u.
En régime forcé sinusoïdal, la valeur maximale de l’intensité du courant est d’autant plus
élevée que l’amortissement est plus faible.
La résonance d’intensité est obtenue pour une fréquence d'excitations égale à la fré-
quence propre de l’oscillateur. Dans ces conditions, i oscille en phase avec u.
La résonance d’intensité d’un circuit RLC série peut être accompagnée d’une surtension
aux bornes du condensateur, caractérisée par un quotient Q > 1 appelé dans ces conditions
facteur de surtension :
UC
Q=
U
En régime sinusoïdal forcé, la puissance moyenne P d’un circuit RLC série est la valeur
moyenne prise par sa puissance instantanée p(t) durant une période :
P = UIcos = RI2
Comme la résonance d’intensité, la résonance de puissance est obtenue pour une fré-
quence d'excitations égale à la fréquence propre de l’oscillateur.
Les pertes par effet Joule sont d’autant plus faibles que le facteur de puissance est plus
grand.
126
Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
Exercices
Exercice résolu
ÉNONCÉ
On associe en série un condensateur de capacité C, une bobine B d’inductan-
ce L et un résistor de résistance Ro = 81,5 Ω. L’ensemble est alimenté par un générateur de
basses fréquences (GBF) délivrant à ses bornes une tension alternative sinusoïdale u(t) de
valeur maximale Um = 6 V et de fréquence N réglable (Fig.1).
1°) a) Préciser parmi les points A et B du circuit celui auquel on doit
relier la masse du GBF afin de visualiser simultanément la tension
d’alimentation u(t) et la tension uRo aux bornes du résistor, sur l’é-
cran d’un oscilloscope bicourbe.
b) Reproduire le schéma de la figure 1 en y indiquant les branche-
ment effectués à l’oscilloscope.
2°) Pour une valeur N1 de la fréquence N du GBF, on obtient les
Fig.1
oscillogrammes (1) et (2) de la figure 2 avec les réglages suivants :
- base de temps : 0,5 ms/div ;
- voie utilisée pour visualiser u(t) : 2 V/div ;
- voie utilisée pour visualiser uRo(t) : 1 V/div.
a) Identifier parmi les oscillogrammes (1) et (2) celui repré-
sentant u(t).
b) Déterminer graphiquement la fréquence N1 et la valeur
maximale Im de l’intensité i(t) du courant électrique oscillant
dans le circuit RLC série.
c) Calculer l’impédance Z du circuit RLC série. Fig.2
127
Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
SOLUTION
1°a) Afin de visualiser simultanément u(t) et uRo (t ), il faut que la masse du GBF soit du
côté du résistor de résistance Ro . Il faut alors la relier au point B.
2 (ou Y)
b) Comme sur le schéma de la figure 4, le point A estt à relier
B D
à l'entrée Y1 (ou Y2 ) afin de visualiser u(t) tandis que le point
D est à relier à l'entrée Y2 (ou Y1) pour visualiser uRo (t).
2°a) Um = 6 V et la voie utilisée pour visualiser u(t) est de
2 V/div. Don nc, l'oscillogramme (1) dont les crêtes son nt distantes
de 6 div est celui qui représen nte u(t). A E
b) uRo (t) = Ro .i(t) : étant proportionnelles l'une à l'autre, i(t) et (ou Y)
2
128
Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
T T
t = et rad . Donc, = rad.
6 2 3
Les maximums de uRo (t) sont atteints à t après ceux de u(t). Donc, uRo (t) est en retard de
phase par rapport à u(t), ce qui signifiie < 0. Par suite, on a : = rad.
3
R 1
On sait que cos = . Ceci équivaut à R = Z.cos. Avec Z = 245 et cos = car
Z 2
-
= rad, on a : R = 122,5 . Or, Ro = 81,5 . Donc, R > Ro . Il en découle que la bobine
3
a une résistance non nulle r = R - Ro . A. N. : r = 41 .
3°a) Pour visualiser simultanément la tension d'alimenttation
u(t) et la tension uC (t) aux bornes du condensateur, la masse
du GBF doit être
e reliée au point A comme dans la figure 5..
b) Comme sur le schéma de la figure 5, le point B est à relier
à l'entrée Y1 (ou Y2 ) afin de visualiser u(t) tandis que le poiint
E est à relier à l'entrée Y2 (ou Y1) pour visualiser uC (t).
c) L'oscillogramme (1) étant le seul d'amplitude égale à 6 V, ill Fig.5
représente u(t). Donc, c'est l'oscillogra
amme (2) qui représente uC (t).
d) Du fait que le décalage horaire entre les oscillogra
ammes (1) et (2) de la figure 3 est
constannt, on affirme que uC (t) évolue avec la même fréquence N2 de u(t).
En procédant comme on a fait pour répondre à la question 2.b
b, on obtient : N2 = 167 Hz.
T
Les maximums de la tensions u(t) sont atteints à avan nt ceux de uC (t),ce qui signifie que
4
ort à u(t) : u u = -
uC (t) est en quadrature retard de phase par rappo rad.
C
2
dq q
e) On a : i = , d'où : i = q + . D'autre part, uC = . Il s'en suit : u = q .
dt 2 C C
Donc, i = u + . Or, u u = - rad, Donc, u (i - ) = rad, d'où : u i = 0.
C
2 C
2 2 2
Il s'agit alors d'une résonance d'intensité.
UCm
f)) Q = . En procédant comme on a fait pour déterminer graphiquement la valeur de
Um
URom dans la réponse à la question 2.c, on trouve : UCm = 7 V. On a ainsi : Q & 1,17.
Q étant très peu supérieur à l'unité du fait que UCm est très légèrement supérieure à Um ,
on ne court aucun danger.
1 1
g) On est à la résonance d'intensité. Donc, Q = , d'où : C = .
RC2 RQ2
A. N. : Sachant que 2 = 2N2 et avec N2 = 167 Hz, on trouve : C = 6,68 ∝F.
D'autre part, la fréquence d'excitation est égale à la fréquence propre de l'oscillateur :
1 1
N2 = , d'où L = . A.N : L = 137 mH
2 LC 4 N22C
2
129
Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
Exercices à résoudre
Tests rapides des acquis
130
Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
Exercices d’application
3 Les émetteurs produisent des oscilla-
tions électriques forcées dans les circuits
2°) Donner L’expression de l’intensité efficace I
en fontion de Z.
d’accord des récepteurs radio. La recherche 3°) Le circuit est équivalent à un résistor de
des stations émettrices sur ces derniers est un résistance (R + r).
exemple de résonance d’intensité. a) Montrer que la valeur de N est égale à la fré-
On désire capter une émission à la fréquence quence propre No du circuit. La calculer.
N = 16233 Hz. Quelle valeur doit-on donner à la b) Déterminer les valeurs de l’impédance Zo et
capacité C du condensateur du circuit d’accord de l’intensité Io obtenues pour N = No.
RLC série sachant que la bobine a une induc-
tance L = 10-4 H ?.
6 On considère un circuit comportant, en
série, un résistor de résistance R, une
131
Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
132
Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
133
Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
1°) Pour une fréquence No, la valeur de la ten- b) En exploitant ce nouveau diagramme, calcu-
sion efficace aux bornes du résistor est ler l’impédance Zo du circuit, la valeur efficace
UR = 9,6 V et la tension instantanée aux bornes Io de l’intensité du courant débité par le GBF et
du condensateur est : la puissance Po consommée par le circuit.
uc (t ) = Uc 2 sin(318 t
2
), où Uc = 36 V. 15 On dispose des appareils et des com-
posants suivants :
a) Montrer que le circuit est en résonance d’in- - un générateur de tension sinusoïdale de
tensité. valeur efficace réglable de 0 à 10 V, de fréquen-
b) Déterminer : ce réglable de 5 à 5 kHz,
- la valeur de l’intensité efficace Io du courant - un ampèremètre,
électrique circulant dans le circuit, - deux voltmètres,
- les valeurs de C, L et r, - une bobine d’inductance L et de résistance r,
- la valeur du coefficient de surtension Q du cir- - un condensateur de capacité C,
cuit. - une boîte de résistance réglable de 0 à 1,1 kΩ,
c) Montrer que u et uc vérifient à chaque instant - un oscilloscope bicourbe.
la relation : uc2 = - Q2u2 + 2Uc2 . 1°) Schématiser avec les éléments adéquats de
d) Etablir l’expression de l’énergie totale de la liste ci-dessus le montage permettant d’étu-
l'oscillateur en fonction de u et uc et montrer dier la variation de l’intensité du courant dans
qu’elle se conserve. un circuit RLC série soumis à une tension sinu-
soïdale de fréquence variable (l’oscilloscope
14 Un GBF (générateur basse fréquence)
délivrant une tension sinusoïdale de
sera utilisé au 3°).
2°) la mesure de l’intensité efficace dans le cir-
valeur efficace U = 10 V, est utilisé pour alimen- cuit en fonction de la fréquence permet de dres-
ter un résistor de résistance R = 100Ω, un ser le tableau suivant. La tension efficace U
condensateur de capacité C = 0,5 μF et une d’entrée est maintenue constante, égale à 5 V
bobine de résistance r = 100 Ω et d’inductance pour tout l’exercice.
L = 50 mH, ces trois dipôles étant montés en
série. N(Hz) 100 200 300 400 500 600 700
1°) Pour la fréquence N = N1 = 318 Hz du GBF I(mA) 1,6 3,4 5,7 8,9 15,1 27,6 47,0
calculer : N(Hz) 800 900 1000 1100 1200 1300 1400
a) l’impédance Z1 du circuit RLC série,
I(mA) 31,5 20,5 14,6 11,7 9,8 8,5 7,6
b) la valeur efficace I1 de l’intensité du courant
débité par le GBF, a) Tracer la courbe I = f(N).
c) la puissance P1 consommée par le circuit, Echelles :
d) la phase ϕ1 de la tension u(t) délivrée par le - Sur l’axe des abscisses, 1cm représente
générateur par rapport à l’intensité du courant 100 Hz.
qu’il débite. Préciser parmi ces deux grandeurs - Sur l’axe des ordonnées, 1cm représente
(tension ou intensité du courant) celle qui est en 2,5 mA.
avance de phase sur l’autre. b) Que représente la fréquence No correspon-
En déduire le caractère (résistif, capacitif ou dant au maximum d’intensité ?
inductif) du circuit. Donner sa valeur.
2°) Pour la fréquence N1, tracer à l’échelle le c) Quelle est la résistance totale du circuit ?
diagramme de Fresnel du circuit. 3°) a) Représenter sur le schéma de la premiè-
3°) On fixe la fréquence N à une valeur No re question le branchement de l’oscilloscope
égale à la fréquence propre du circuit RLC pour visualiser la tension u(t) délivrée par le
série. générateur sur la voie A et les variations d’in-
a) Que devient le diagramme de Fresnel tracé tensité du courant sur la voie B.
précédemment ? b) Lorsque N = No, on observe l’oscillogramme
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Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
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Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
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Evolution de systèmes Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
En savoir plus
GÉNÉRATEUR DE COURANT HAUTE FRÉQUENCE
Etant inventé et construit vers 1895, l'appareil de la figure ci-
contre permet, à partir d'une source de courant de haute ten-
sion fournie par une bobine spéciale connue sous le nom de
bobine de Ruhmkorff (partie cylindrique située à la partie droi-
te de la figure), de la transformer en courant de haute fréquen-
ce. Le principe est fondé sur la propriété de la décharge
oscillante des condensateurs qui se compose d'une série de
décharges, alternativement dans un sens, puis en sens
contraire, avec des intensités qui décroissent rapidement.
L'intervalle de temps qui sépare deux décharges successives
est d’ailleurs extrêmement court. Une décharge oscillante
constitue donc un courant qui change de sens un grand nombre de fois par seconde. Ce phé-
nomène est d’autant plus net qu’il se produit lorsque la décharge traverse des conducteurs
métalliques, gros et courts. Il est dû à l’auto-induction du circuit de décharge. La période est
d’autant plus grande que le circuit est plus enroulé sur lui-même, c’est-à-dire qu’il a une auto-
induction plus considérable. Elle croît également avec la capacité du condensateur. Les cou-
rants de haute fréquence ont la propriété d'illuminer les tubes à vide (Crookes, Geissler) à
distance, sans aucune liaison par fil. Les premières applications pratiques des courants, en
haute tension, ont été réalisées dans le domaine médical. Nikola Tesla, physicien autrichien
né en Dalmatie en 1857, s’aperçoit que les courants ainsi produits sont sans danger pour le
corps humain qui peut aisément recevoir des effluves électriques même sous une intensité
de deux ou trois ampères, en ne ressentant seulement qu’une sensation de chaleur. Les fré-
quences élevées sont sans action directe sur les fibres nerveuses et musculaires.
Le docteur et professeur Arsène d'Arsonval généralise l'emploi de ces courants dans le
monde médical dès 1893. Il crée ainsi le service d’électrothérapie à la Salpêtrière et appelle
cette nouvelle thérapeutique la d’arsonvalisation. Ces courants ont la propriété de produire
une dilatation vasculaire générale abaissant la tension artérielle.
Les premiers appareils étaient munis du résonateur du docteur Oudin (c’est le cas de l’ap-
pareil présenté ci-dessus) : il s’agit d’un autotransformateur constitué par un solénoïde placé
verticalement, dont l’extrémité se termine par une boule conductrice. La partie inférieure
seule sert de circuit de décharge des armatures externes de deux condensateurs, reliés sur
une longueur correspondant à quelques spires par l'intermédiaire d’un contact mobile ajus-
table. Selon son emplacement, il se produit par résonance électrique, un courant de haute
fréquence dont les effets sont considérablement amplifiés.
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Evolution de systèmes Oscillations libres d’un pendule élastique
Objectifs
A l'aide d'un enregistrement graphique, reconnaitre le régime d'oscillations libres
(amorties ou non amorties) d'un pendule élastique.
Distinguer les régimes pseudopériodique, apériodique et critique des oscilla-
tions amorties.
Etablir l'équation différentielle des oscillations libres d'un pendule élastique.
Mesurer la période des oscillations d'un pendule élastique.
Calculer l'énergie mécanique d'un pendule élastique en régime libre.
Expliquer la conservation de l'énergie mécanique d'un oscillateur non amorti.
Expliquer la diminution d'amplitude des oscillations libres amorties d'un pendule
élastique par la non conservation de son énergie mécanique.
Prérequis
SAVOIR SAVOIR FAIRE
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