Correction S1-23
Correction S1-23
Correction S1-23
Exercice 1 :
-Variable qualitative nominale : la variable étudiée est le niveau d’éducation. Les modalités par
définition correspondent à l’ensemble des réponses fournies par le répondant . Dans notre cas ,
on a : analphabète, primaire, secondaire , supérieur ou universitaire .
-Variable quantitative discrète, on cherche à étudier le nombre des stagiaires : alors c’est une
variable quantitative ; de plus les stagiaires sont des personnes alors c’est indivisible : on travaille
dans ℕ. Les modalités = {0,1,2, … … 10}
-Variable qualitative nominale : on observe ou évalue les compétences ; pas de chiffres attribués.
Modalités : compétent / non ; excellent , moyen , faible….).
-Variable qualitative : on étudie la satisfaction des clients vis-à-vis la performance des services
d’une banque , alors question de jugement : très satisfait , satisfait, neutre, insatisfait, très
insatisfait.
Exercice 2 :
1- On peut écrire vecteur ligne ou colonne , dans ce qui suit on a le premier cas.
10 40 20 30 15
Soit M(2,5) = ( )
20 82 44 65 25
2- Transposé des vecteurs : Il suffit d’inverser ligne en colonnes
20 10
82 40
Soit Y’(5,1) = 44 ; X’(5,1) = 20
65 30
(25) (15)
𝑋̅ = 1/5 ( 10+40+20+30+15) = 23
Exercice 3
1- Valeurs propres de A⇒ dét (A- I) = 0
On a : dét (A- I) =0, on distingue 2 valeurs propres , 𝜆1 =0 ; 𝜆2 = 7
Vecteurs propres:* (A-1 I) V1 = 0ℝ3
1 2 𝑥 0 𝑥 + 2𝑦 = 0
On a : ( ) (𝑦)= ( ) il faut résoudre le système suivant : {
3 6 0 3𝑥 + 6𝑦 = 0
On remarque que l’équation (2) = 2* équation (1), donc le système consiste à
−2𝑦 −2
résoudre l’équation : x + 2 y = 0 d’où x = -2 y et V1 = ( ) = y ( ).
𝑦 1
* (A-2 I) V2 = 0ℝ3
1−7 2 𝑥 −6 2 𝑥 0
On a : ( ) (𝑦)=( ) (𝑦) = ( ) il faut résoudre le système
3 6−7 3 −1 0
−6𝑥 + 2𝑦 = 0 −6𝑥 + 2(3𝑥) = 0: 𝑣𝑟𝑎𝑖 ∀ 𝑥 ∈ ℝ
suivant : { {
3𝑥 − 𝑦 = 0 3𝑥 = 𝑦
𝑥 1
Alors : V2 = ( ) = x ( ).
3𝑥 3
0 0
2- La matrice est diagonalisable , on a D = ( )
0 7
−2 1
Elle s’écrit sous la forme A = PDP-1, avec P = ( ).
1 3
1
On a P-1 = |𝑃| 𝑡𝑃̃ ; avec 𝑃̃ = com(P)
Exercice 4 :
1-
Modalités nj 𝒙̅𝒋 𝝈𝟐𝒋
A 3 -0.506 0.147
B 5 0.466 0.044
C 2 1.855 0.6
10
𝟐
∑ 𝒏 𝒋 (𝒚 𝒋 ̅)
̅̅̅−𝒀 𝟏
Variance inter : = (3 (-0.506-0.4522)2+5*(0.466-0.4522)2 + 2*
𝒏 𝟏𝟎
(1.855-0.4522)2) = 0.669
∑ 𝒏 𝒋 𝝈𝟐𝒋 𝟏
Variance intra= = (3 (0.147)+5*(0..44) + 2* (0.6)) = 0.384
𝒏 𝟏𝟎
D’où la variance totale = somme des deux variances = 0.669 + 0.384= 1.075