Mathématiques Financieres Melong
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I- RAPPORTS
1- Définitions
𝒂
Etant donné deux nombres a et b avec b≠0 l’expression = 𝒙 est appelé rapport de a à b ou a est le
𝒃
Exemple 1 : 27 est le triple de 9. Nous pouvons exprimer cette relation entre 27 et 9 de deux manières.
𝟐𝟕
27=9 X 3 ou =𝟑
𝟗
𝟐𝟕
L’expression est dite rapport de 27 à 9 et 3 la valeur de ce rapport.
𝟗
1,5
Exemple 2 : soient les bouteilles Tangui de 1,5L et 0,5 L. le rapport de la grande à la petite est = 3.
0,5
0,5 1
Le rapport de la petite à la grande est : =
1,5 3
APPLICATION
𝟑 𝟒
Calculer la valeur des rapports suivants : à et 22,5 à 1,5
𝟓 𝟑
3
3 3 9 22,5𝑋10 225
Solution : 5
4 = 𝑋 = = 0,45 ; = = 15
5 4 20 1,5𝑋10 15
3
1 1
Exemple : = 0,25 ; 𝑎𝑢 𝑙𝑖𝑒𝑢 𝑑𝑒 0,333.
4 3
Propriétés
P1- le rapport d’une proportion est nul si le premier terme est nul.
P2-on ne change pas la valeur d’un rapport si on multiplie ou on divise les deux termes du rapport par
𝒂 𝒂𝑿𝒄 𝒂
un même nombre. EX : = = 𝒃 𝒄 = 𝒙 avec b≠0 et c≠0
𝒃 𝒃𝑿𝒄 𝒄
𝒂 𝒄 𝒆
P3- étant donné une suite de rapports égaux = = = 𝒙 avec b, d et f≠0 on obtient un nouveau
𝒃 𝒅 𝒇
𝑎 𝑐 𝑎+𝑐 1 5 1+5 6
EX : = = ; = = = = 0,5
𝑏 𝑑 𝑏+𝑑 2 10 2+10 12
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
c) Division
𝑎 1
𝑎 𝑑 𝑎×𝑑 1 4 4 2
𝑏
𝑐 = × = EX : 25 = × = =
𝑏 𝑐 𝑏×𝑐 2 5 10 5
𝑑 4
d) Soustraction
𝑎 𝑐 𝑎𝑑 −𝑐𝑏 1 5 (4×1)−(5×2) 6 3
− = EX : − = =− = −
𝑏 𝑑 𝑏𝑑 2 4 2×4 8 4
II- PROPORTIONS
1- Définition
𝑎 𝑐
C’est légalité entre deux rapports = ou a et d sont les extrêmes, b et c les moyens avec bd≠0.
𝑏 𝑑
𝟓 𝟑𝟐
= = 0,8
𝟔,𝟐𝟓 𝟒𝟎
2- Propriétés
La propriété fondamentale d’une proportion est que le produit des termes extrêmes est égal au produit
𝒂 𝒄 𝒂𝒅 𝒃𝒄
des termes moyens. On démontre par exemple que : = = = ⥦ ad=bc
𝒃 𝒅 𝒃𝒅 𝒃𝒅
Conséquences
1- En ajoutant ou en retranchant une même quantité aux deux proportions, on obtient une
nouvelle proportion
𝒂 𝒄 𝒂 𝒄
= ⥦ +𝒙 = + 𝒙
𝒃 𝒅 𝒃 𝒅
𝒂+𝒃𝒙 𝒄+𝒅𝒙
⥦ =
𝒃 𝒅
𝒂 𝒄 𝒂−𝒄
= ⥦
𝒃 𝒅 𝒃 −𝒅
2- On peut permuter les termes extrêmes moyens ou les deux à la fois dans une proportion dont
aucun terme n’est nul.
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
𝒂𝒅 𝒂𝒄
ad= bc ⥦ =
𝒂𝒃 𝒂𝒅
𝒅 𝒄
⥦ =
𝒃 𝒂
𝒂𝒅 𝒃𝒄
ad=bc ⥦ =
𝒃𝒄 𝒅𝒄
𝒂 𝒃
⥦ =
𝒄 𝒅
𝒂 𝒙
Soit x tel que = ⥦ x²=ab
𝒙 𝒃
𝟐 𝒙
EX : = ⥦ x² = 12 ⤄ x= ± 12
𝒙 𝟔
4- moyenne géométrique
𝟐 𝒙
EX : = ⥦ x² = 12 ⤄ x= 12
𝒙 𝟔
5- 4éme proportionnelle
𝒂 𝒄 𝒃𝒄
X est appelé quatrième proportionnelle à a, b et c ssi : = ⤄ 𝐱 =
𝒃 𝒙 𝒂
2 6 5×6
EX : Déterminer la 4ème proportionnelle à : 2,5et 6. = ⤄𝑥= ⤄ 𝑥 = 15 ; déterminer la
5 𝑥 2
A:𝒂𝟏 ; 𝒂𝟐 ; 𝒂𝟑 ;𝒂𝟒 ; 𝒂𝟓 … 𝒂𝒏
𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑 𝒂𝒏
Les deux grandeurs ci-dessus sont directement proportionnelles ssi = = =⋯=
𝒃𝟏 𝒃𝟐 𝒃𝟑 𝒃𝒏
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
Autrement dit deux grandeurs sont directement proportionnelles si, le rapport des deux valeurs
𝒂𝟐 𝒃𝟐
quelconque de l’une est égale au rapport des valeurs correspondantes. En effet, =
𝒂𝟑 𝒃𝟑
𝒙+𝒚+𝒛 = 𝑨
𝒙 𝒚 𝒛
= = =𝑲
𝒂 𝒃 𝒄
𝑎1 𝑎2 𝑎3
Les grandeurs ci-dessus sont inversement proportionnelles ssi : 1 = 1 = 1 =𝐾
𝑏1 𝑏2 𝑏3
⥦𝑎1 𝑏1 = 𝑎 2 𝑏2 = 𝑎 3 𝑏3 = ⋯ = 𝑎 𝑛 𝑏𝑛
𝒙+𝒚+𝒛 = 𝑨
𝒙 𝒚 𝒛
𝟏 = 𝟏 = 𝟏 =𝑲
𝒂 𝒃 𝒄
Solution
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 390000 (1) 𝑥 𝑦 𝑧
𝑥 𝑦
= = =𝐾
𝑧
(2) (2) ⥦ = = =𝐾
0,25 2,5 6
0,25 2,5 6
𝟏 𝟓
⥦ x = 𝒌; y = 𝒌; z = 𝟔𝒌 (3)
𝟒 𝟐
𝟏 𝟓 𝑘+10𝑘+24𝑘
𝒌 + 𝒌 + 𝟔𝒌 = 𝟑𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎 d’où = 390000
𝟒 𝟐 4
35𝑘
⥦ = 390000
4
2 5 10
EXEMPLE : partager 28360 en partie inversement proportionnelle à ; 𝑒𝑡
3 4 7
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 28360 (1)
𝑥 𝑦 𝑧
3 = 4 = 7 = 𝐾 (2)
2 5 10
3 4 7 3 4 7
x= 𝑘; 𝑦= 𝑘; 𝑧= k d’où 𝑘 + 𝑘+ k = 28360 ⥦ 𝐾 = 9453,3333; donc x=
2 5 10 2 5 10
C- Partage composé
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝐴 (1)
𝑥 𝑦 𝑧
1 = 1 = 1 = 𝐾 (2)
𝑎 𝑏 𝑐
𝒂 𝒃 𝒄
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 360000 (1)
𝑥 𝑦 𝑧
1 = 1 = 1 =𝐾 (2)
(24 × 4) (30 × 2) (32 × 3)
𝟏𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎 72000 𝟗𝟔𝟎𝟎𝟎
1 1 1 1 1 1
X= 𝑘 ; y= 𝑘; 𝑧 = 𝑘 d’où 𝑘+ 𝑘+ 𝑘 =360000
1500 1200 1000 1500 1200 1000
1
⥦ 𝑘 =360000
400
D- Partage erroné
Un directeur doit repartir une gratification à ses ouvriers en raison directement proportionnelle
Partage normal
𝑥 +𝑦+𝑧 = 𝑆 (1)
𝑥 𝑦 𝑧
1= 1= 1=𝐾 (2)
(25000 × 3) (20000 × 2) (15000 × 1)
𝟓 4 3
𝟏𝟓 𝑺 𝟓
Opération dans (2) : x= 15000k ; y = 10000k et z = 5000k donc x = 𝑺; y = ; z= 𝑺
𝟑𝟎 𝟑 𝟑𝟎
𝑠
D’où 15000k+10000k +5000k= S ⥦ k=
30000
Partage erroné
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑆′ (1)
𝑥′ 𝑦′ 𝑧′ (2) ⥦ x’=75000k’; y’=40000k’; z’= 15000k’
= = = 𝑘′
75000 40000 15000
D’où 75000k’+40000k’+15000k’=S’
𝑆′ 75 4 15
⥦ =k’ (3) donc x’= 𝑆′ ; y’= 𝑆′ ; z’= 𝑆′
130000 130 13 130
𝑺 4
D’où y-y’=1000 ⥦ - 𝑆′ =1000 si S=S’
𝟑 13
13−12
𝑆 = 1000 ⥦ S = 39000
39
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
𝒙 = 𝟏𝟗𝟓𝟎𝟎
Alors 𝒚 = 𝟏𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 et S = 𝟏𝟗𝟓𝟎𝟎, 𝟏𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟔𝟓𝟎𝟎
𝒛 = 𝟔𝟓𝟎𝟎
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
I- Les pourcentages
1. Définitions
On appelle pourcentage, le rapport de deux grandeurs proportionnelles dont le dénominateur est 100.
𝑎 𝑥
Le pourcentage de deux nombres a et b est l’expression = . Il peut se noter de trois manières
𝑏 100
sous la forme :
20
D’un rapport ex :
100
RQ :
1) Le pourcentage n’a de sens que si l’on indique sur quel montant il est calculé.
Le dénominateur n’est pas nécessairement 100, il peut être 1000, 10000. On parle de tant pour
25 50
1000 noté ou 25 0 00, tant pour 10000 noté ou 50 0
000
1000 10000
1 1
2) Il faut utiliser les quotients exacts i.e. ; en lieu et place de 0,33 ; 0,25 ; 0,66 …
3 4
Un pourcentage est direct lorsqu’il est appliqué à des nombres connus. Le pourcentage x de a et b étant
𝑎 𝑥
= .
𝑏 100
Application :
Un commerçant reçoit une remise de 5% sur 1 million d’achat. Déterminer le montant de la remise.
Solution
5 𝑅 5
R= 5% vente A.N. R= × 1000000=50000 ou encore =
100 1000000 100
EX : le prix de revient d’un article est de 12800 et représente 80% du prix de vente. Quel est le prix de
vente ?
12800 80 12800×100
= ⤄ PV= =16000
𝑃𝑉 100 80
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
b. Pourcentage indirect
Un pourcentage est indirect lorsqu’il est appliqué à des nombres inconnus. Selon que le nombre est
plus grand ou plus petit que le nombre donné, on distingue deux types de pourcentage :
Pourcentage en dehors
EX : après une remise de 5%, le montant net d’une facture s’élève à 17100 FCFA. Déterminer le
montant de la remise et le brut de la facture.
Solution
Soit le tableau de proportionnalité suivant : avec PB le prix brut, Re, la remise et PN le prix net.
PB 100 ?
Re 5 ?
PN 95 17100
Pourcentage en dedans
EX : après majoration de 40%, un portable vaut 8400. Combien valait t il avant la majoration ?
Majoration 40 ?
Un pourcentage est dit par tranche lorsqu’on applique à chaque tranche des calculs de taux différents.
EX : un fournisseur accorde les ristournes à ses clients, selon les modalités suivantes :
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
- - 𝑟𝑖𝑠𝑡𝑜𝑢𝑟𝑛𝑒 242500
NB :
1) Pour déterminer x, d’une quantité, on multiplie cette quantité par x % ;
2) Pour déterminer la valeur d’un objet après une remise (ou une réduction de x%), on
multiplie la valeur initiale par (1 – x)% ;
3) Augmenter une valeur de x%, c’est multiplier cette valeur par (1+X%) ;
𝑋×𝑌
4) Pour déterminer X%, de Y% d’une quantité, on multiplie cette quantité par
10000
EX : dans une classe de 300 élèves, 60% des élèves sont des filles et 30% d’entre elles
sont de teint clairs. Quel est le nombre de filles au teint clair ?
SOLUTION
300×60×30
N= = 54
10000
b. Pourcentage successif
Un pourcentage est dit successif lorsque les calculs se font en cascade, l’ordre des calculs
n’influençant pas le résultat final. Mais, il faut calculer les pourcentages dans l’ordre donné, les
réductions commerciales (rabais, remise, ristourne) devant être effectuées avant les réductions
financières (escompte).
EX : sur le montant brut d’une facture, on prélève successivement une remise de 10% et 12% de
remise.
Sachant que le montant net de la facture est de 2000000. Calculer le montant brut de la facture.
Solution :
MB = 100
Re 10%= - 10
N𝐶1 = 90
Re 12%= - 10,8
N𝐶2 = 79,2
𝑀𝐵 100 100×𝑀𝑁𝑒𝑡
D’où le rapport suivant : = ⤄MB =
𝑀𝑁𝑒𝑡 79,2 79,2
100×2000000
⤄ MB = = 2525252,525
79,2
500000×5
SOLUTION : Re 5%= = 25000
100
Exo : calculer le montant de la TVA (19,25%) sur le net financier sachant que le montant TTC est
238500.
𝑴𝑻𝑻𝑪 𝟐𝟑𝟖𝟓𝟎𝟎
𝐌𝑯𝑻 = A.N. 𝐌𝑯𝑻 = = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ; Montant TVA= 𝑴𝑻𝑻𝑪 − 𝐌𝑯𝑻 = 𝟐𝟑𝟖𝟓𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟑𝟖𝟓𝟎𝟎
𝟏,𝟏𝟗𝟐𝟓 𝟏,𝟏𝟗𝟐𝟓
Exo : calculer le montant d’une remise de 8%, sur le montant brut, sachant que le montant net à payer
est de 460000
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
En ce qui concerne les pourcentages successifs, calculer les réductions dans l’ordre donné, toute fois,
les réductions commerciales doivent être effectué avant les réductions financières.
S’il n’y a qu’une seule réduction, le cumul du prix net PN à payer résulte de l’application d’un
pourcentage à une quantité connue.
EX : calculer le net à percevoir (NAP) pour régler une facture de 100000 à laquelle sont appliquées
successivement, une remise de 10%, 5% et un escompte de 1%.
SOLUTION
MB=100000 Coef
100000×10
Re 10%= = 10000
100
N𝐶1= 100000 – 10000 = 90000 0,9
90000×5
Re 5%= =4500
100
Le résultat final ne dépend pas de l’ordre dans lequel sont effectuées les réductions ;
Il est possible de passer du montant brut au montant net en employant un coefficient
multiplicateur qui tient compte de toutes les réductions, 0,9 × 0,95 × 0,99 = 0,84645
est notre coefficient multiplicateur.
Le coefficient multiplicateur permet de calculer directement un prix sans calculer séparément les
diverses majorations et minorations envisagées.
15355
Soit un coefficient des réductions= =0,15355
100000
Exemple : calculer le montant net sachant que le montant brut est de 265000 et les remises sont de
10%, 5% et 1% d’escompte.
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
Re 5% = 11925
N𝐶2= 226575
Esc 1% = 2266
NF = NAP = 224309
𝐺2
𝐺1 𝑒𝑡 𝐺2 ; 𝐺1 × 𝐾 = 𝐺2 ⤄ K= d’où 265000 K= 224309
𝐺1
Exo : d’un prix brut, on déduit une double remise de 20% et 12% et on a un net de 477500. Calculer le
coefficient multiplicateur qui permet de déterminer le prix brut à partir du montant net.
Solution :
MB= 100
Re 20%= 20
N𝐶1 = 80
Re 12%= 9,6
N𝐶2 =70,4
𝑀𝐵 100
D’où coef multiplicateur k = = = 1,42
𝑀𝑁 70?4
𝟏𝟎𝟎
K=coef de proportionnalité= avec α le taux de marge.
𝟏𝟎𝟎− 𝜶
Le taux de marge brut est le rapport de marge brute calculé sur le coût d’achat.
𝑇𝑚 𝑚𝑏
= AVEC 𝑇𝑚 le taux de marge ; 𝑚𝑏 la marge brute ; C.A le coût d’achat.
100 𝐶.𝐴
Le taux de marque brut est le rapport de la marge brute calculé sur le prix de vente.
𝑇𝑀 𝑚𝑏
= Avec TM le taux de marque ; PV le prix de vente ; 𝑚𝑏 la marge brute
100 𝑃𝑉
Exemple : un article a couté 40000, il est vendu à 50000. Calculer le taux de marque et le taux de
marge.
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
Solution :
50000−40000
Taux de marque = × 100 = 20% ;
50000
50000−40000
Taux de marge = × 100 = 25%
40000
Un commerçant achète un lot de marchandise à 500000. Il supporte 10000 de frais de transport. Quel
doit être son prix de vente pour que le taux de marque soit égal à 25%. Calculer le pourcentage de
marge brute par rapport au coût d’achat.
Solution :
PV 100 ?
Mb 25 ?
C.A 75 510000
100 𝑃𝑉
= PV= 680000 Possibilité d’utilisation de la règle de trois.
75 510000
25 𝑚𝑏
= ⤄ mb = 170000
75 510000
Le coût désigne un total de charge ou de dépense et est une opération interne de l’entreprise. Le prix
est utilisé au stade final et est une opération externe à l’entreprise.
Solution :
MB= 3250000
Re 10%= 325000
N𝐶1 = 2925000
Rabais 5% = 146250
N𝐶2 = 2778750
ESC 2%=55575
MNet = 2723175
PV HT 100 ?
mb 30 ?
CA 70 2950675
𝐶𝐴 70 𝐶𝐴×100 2950675×100
= ⤄ 𝑃𝑉 = =
𝑃𝑉 100 70 70
⤄ 𝑃𝑉 = 4215250
CA TMarge PV
100 Y= 42,85 X
2950675 1264575 4215250
Pour le taux de marge base 100 le cout d’achat.
Mb= 4215250 – 295067= 1264575
100 2950675
= ⤄y = 42,85%
𝑌 1264575
6. Autres formules
FRAIS DE FABRICATION = CP° - CA
COUT DE DISTRIBUTION = CR – CP°
CR= CA+ FRAIS DE FABRICATION + COUT DE DISTRIBUTION
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
APPLICATION :
Des marchandises achetées 240000 supportent 2% de frais sur achat, puis sur le prix obtenu 30% de
frais de transformation.
Calculons la différence entre les termes consécutifs de cette suite. On constate qu’elle est constante et
égale à 3. On dit de cette suite ou progression qu’elle est arithmétique.
On appelle progression arithmétique une suite de nombre telle que la différence entre deux nombres
consécutifs quelconques est égale à un nombre constant appelé raison et la progression arithmétique
est croissante.
Elle est limitée si on connait un terme et son rang, le nombre de terme et la raison.
EX : tous les multiple de 5 de 20 à 200 ; Progression limitée
Elle est illimitée lorsqu’ on ne connait pas le nombre de terme c'est-à-dire le nombre de terme
qui tend vers l’infinie
EX 2 : par contre tous les multiple de 5 n’est pas une progression limitée
La condition nécessaire et suffisante pour que les nombres A, B et C rangés dans cet ordre forme une
progression arithmétique est que 2b=a+c
On note les termes d’une progression arithmétique par la lettre a suivie d’un indice numéraire
indiquant son rang.
Si on appelle 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑,…, 𝒂𝒏 les n termes d’une suite arithmétique de raison r et de premier terme
𝒂𝟏. On aura le tableau suivant :
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
𝒂𝟏= 𝒂𝟏
𝒂𝟐= 𝒂𝟏 + 𝒓
𝒂𝟑= 𝒂𝟐 + 𝒓 = 𝒂𝟏 + 𝒓 + 𝒓 = 𝒂𝟏 + 𝟐𝒓
𝒂𝟒= 𝒂𝟑 + 𝒓 = 𝒂𝟏 + 𝒓 + 𝒓 + 𝒓 = 𝒂𝟏 + 𝟑𝒓
…………………………….
𝒂𝒏 = 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒓 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒓
EXEMPLE : calculer le 17è me terme d’une progression arithmétique connaissant le 3è me terme qui est
5 et la raison 1,5
EXEMPLE 2 : calculer le 8è me terme d’une progression arithmétique sachant que 𝒂𝟓=𝟑 𝒂𝟕 =13
𝑺 𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + 𝒂𝟑 + ⋯ + 𝒂𝒏−𝟐 + 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏
+
𝑺 𝒏 = 𝒂𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟑 + 𝒂𝟐 + 𝒂𝟏
Or
(𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 ) = (𝒂𝟐 + 𝒂𝒏−𝟏 ) = (𝒂𝟑 + 𝒂𝒏−𝟐 ) = (𝒂𝒏−𝟐 + 𝒂𝟑 ) = 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝟐 = (𝒂𝒏 + 𝒂𝟏 )
(𝒂𝟏+𝒂𝒏) 𝒏 [𝟐 𝒂𝟏+(𝒏−𝟏)𝒓]𝒏
D’où 𝟐𝑺 𝒏 = (𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 ) 𝒏 ⤄ 𝑺 𝒏 = si 𝒂𝒏 = 𝒂𝒑 + 𝒏 − 𝒑 𝒓 alors 𝑺 𝒏 =
𝟐 𝟐
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
Application : déterminez la somme des 15 premiers termes d’une suite arithmétique dont le premier
terme est 2 et la raison 5.
(𝟐×𝟐)+(𝟏𝟓−𝟏)𝟓]𝟏𝟓
Solution 𝑺 𝟏𝟓 = = 555
𝟐
Application 2 : la somme d’une suite arithmétique est de 735, son premier terme est 7 et sa raison 6.
Déterminez le nombre de terme de cette suite.
𝑆𝑛 = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛
Calculer la somme des n premiers nombres entiers revient à utiliser la formule suivante :
(𝒏+𝟏) 𝒏
𝑺𝒏 =
𝟐
𝑆𝑛 = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 157
(𝟏𝟓𝟕+𝟏) 𝟏𝟓𝟕
𝑺 𝟏𝟓𝟕 = =12403
𝟐
(𝒂𝟏+𝒂𝒏) 𝒏 (𝟐+𝟐𝒏) 𝒏
𝑺𝒏 = Or 𝑎 𝑛 = 2𝑛 et 𝑎1 = 2 d’où 𝑺 𝒏 = = n (1+n)
𝟐 𝟐
EX : 𝑆𝑛 = 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 30
(𝒂𝟏+𝒂𝒏) 𝒏 (𝟏+𝟐𝒏−𝟏) 𝒏
𝑺𝒏 = Or 𝒂𝟏 = 𝟏 et 𝒂𝒏 = 𝟐𝒏 − 𝟏 d’où 𝑺 𝒏 = = 𝒏𝟐
𝟐 𝟐
EXEMPLE : calculer 𝑆𝑛 = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + 39
On appelle progression géométrique , une suite de nombre telle que 2 termes consécutifs quelconques
de cette suite sont dans un rapport constant appelle raison de la progression et noté q.
Une progression géométrique peut être limitée ou illimitée. Elle est limitée si n est fini et illimitée si n
est infini.
2. Propriétés et formulation
Si on appelle :
𝑼𝟏 = 𝒑𝒓é𝒎𝒊𝒆𝒓 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒆
𝑼 𝟐 = 𝑼𝟏 × 𝒒
𝑼𝟑 = 𝑼𝟐 × 𝒒 = 𝑼𝟏 × 𝒒𝟐
𝑼𝟒 = 𝑼𝟑 × 𝒒 = 𝑼𝟏 × 𝒒𝟑
………………………………….
𝑼𝒑 = 𝑼𝒑−𝟏 × 𝒒 = 𝑼𝟏 × 𝒒(𝒑−𝟏)
(𝑛−1) 𝑈𝑛
q=
𝑈1
(𝑛−1) 𝑈𝑛 (𝒏−𝒑) 𝑼𝒏
La raison q= ou alors q= avec n > p
𝑈1 𝑼𝒑
𝑼𝒏 = 𝑼𝒑 × 𝒒(𝒏−𝒑)
N.B. SI la raison q est supérieure à 1 la progression est dite croissante par contre si q est inférieure
à 1, elle est dite décroissante.
𝑺 𝒏 = 𝑼𝟏 + 𝑼𝟐 + 𝑼𝟑 + ⋯ + 𝑼𝒏−𝟐 + 𝑼𝒏−𝟏 + 𝑼𝒏
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
𝒒𝑺 𝒏 = 𝑼𝟏 × 𝒒 + 𝑼𝟏 × 𝒒𝟐 + 𝑼𝟏 × 𝒒𝟑 + ⋯ + 𝑼𝟏 × 𝒒𝒏−𝟐 + 𝑼𝟏 × 𝒒𝒏−𝟏 + 𝑼𝟏 × 𝒒𝒏
Dans une progression géométrique, le produit des termes équidistants est constant et égale aux
produits des termes extrêmes.
RQ : dans une progression géométrique, lorsque le nombre de terme est impair, le terme médian ou
moyen est la racine carré du produit des extrêmes. I.e.𝑼𝒎é = 𝑼𝟏 × 𝑼𝒏
Application :
Soit la suite géométrique suivante : 25000, 5000, 1000, 200, 40, 8, et 1,6
Solution :
a. Calcul de la raison
𝑼𝟐 = 𝑼𝟏 × 𝒒 ⤄5000=25000×q ⤄ q = 0,2
b. Calcul de la somme
𝑼𝟏 𝒒𝒏 − 𝟏
𝑺𝒏 =
𝒒−𝟏
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎(𝟎,𝟐)𝟕 −𝟏)
𝑺𝟕 = = 31249,6
𝟎,𝟐−𝟏
25000×1,6=5000×8=1000×40=40000
EXERCICE 2 : soit la suite géométrique ayant les termes suivants : 𝑈15 = 17 et 𝑈17 = 15, n=20
(𝒏−𝒑) 𝑼𝒏
𝑼𝒏 = 𝑼𝒑 × 𝒒(𝒏−𝒑) ; q= =0,94 , 𝑼𝟏𝟓 = 𝑼𝟏 × 𝒒𝟏𝟒⤄ 𝑼𝟏 =40,36
𝑼𝒑
𝑺𝟐𝟎 = 𝟒𝟕𝟖, 𝟑
EXERCICE 3 : soit la suite de nombre suivante : 4, 12, 36, 108, 324, 972
2- Calculer la raison
𝑈4 12 36 108
= 𝑞 A.N. = = =….=3
𝑈3 4 12 36
Insérer m terme moyen équidistant entre eux dans une progression arithmétique revient à créer une
nouvelle progression dont les caractéristiques sont :
Le premier terme 𝒂𝟏
Le nombre de terme de la nouvelle suite n’= [(n-1) (m+1)] +1
𝒓
La raison de la nouvelle suite ou progression est r’= AVEC n le nombre de terme de la
𝒎+𝟏
Application :
a) Montrer que cette suite est en progression arithmétique et donner ses caractéristiques
18-10=26-18=34-26=8 la différence de deux termes consécutifs est la raison de la suite
arithmétique. D’où les caractéristiques suivantes, cette suite est une progression
arithmétique de raison r=8 et de premier terme 𝒂𝟏=10
b) Insérer entre chaque terme 3 termes équidistants et donner les caractéristiques de la
nouvelle progression
𝒂𝟏 = 𝟏𝟎
𝑛=4 r =8,n le nombre de terme de la suite initiale, m le nombre de terme à insérer
𝑚=3
Le nombre de terme de la nouvelle suite est : n’= [(n-1) (m+1)] +1 A.N.
n’= [(4-1) (3+1)] +1= 13
𝒓 𝟖
r’= = = 2 r’= 2 est la raison de la nouvelle progression
𝒎+𝟏 𝟑+𝟏
Insérer m terme dans une progression géométrique revient à créer une nouvelle progression telle que
les caractéristiques sont les suivantes :
q’ = 2 ; 𝑼𝟏 = 𝟒 ; d’où la nouvelle suite suivante : 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,
2048.
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
I- OBJECTIFS PEDAGOGIQUES
Solution
SOLUTION
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
Décompte :
NB : on considère généralement le mois commercial égal à 30 jours et l’année à 360 jours. Bien
que l’année soit retenue à 360 jours, les mois sont comptés à leurs nombres de jours exacts et non
à 360 jours. Jan 30, février 28, mars 31, avril 30, juillet et août 31 jours.
C ×t× 1
- pendant un an I=
100
C ×t×x
- pendant x années I=
100
C ×t ×m
- pendant m mois I=
1200
C × t ×n
- pendant n jours I= année commerciale
36000
C × t ×n
I= année civile
36500
EXEMPLE : Calculer l’intérêt rapporté par un capital de 300000 FCFA à un taux de 12% du
17/03/N au 12/08/N
SOLUTION : décompte
I=300000*12*148/36000 = 14800
EXEMPLE 2 : Calculer l’intérêt simple sur un capital de 250000 FCFA placé du 15 juin au 14
décembre de la même année au taux de 8 %
Solution : décompte
I=250000*8*182/36000 =10111,11
𝐂 × 𝐭 ×𝐧
C- METHODES DE SIMPLIFICATION DE I=
𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎
C × t ×n/t C ×n
I= ⤄I=
36000/t 36000/t
C ×n N
= =I
36000/t D
36000 44400000
D= = 3000 ; N= 300000×148 = 44 400 000 d’où I = = 14800
12 3000
Le résultat est le même, mais cette méthode de simplification nous permet de calculer l’intérêt de
plusieurs capitaux. En effet, si 𝐶1, 𝐶2,𝐶3 , 𝐶4les capitaux placés pendant 𝑛1 , 𝑛2, 𝑛3 et 𝑛4 jours,
l’intérêt total est à T%.
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
1- L’intérêt global
𝟒
𝑪𝟏𝒏𝟏 𝑪𝟐 𝒏𝟐 𝑪𝟑𝒏𝟑 𝑪𝟒𝒏𝟒 𝒊=𝟏 𝑪𝒊 𝒏𝒊
L’intérêt global Ig= + + + =
𝑫 𝑫 𝑫 𝑫 𝑫
EXEMPLE :
𝐶𝑖 Nombre de jour 𝑪𝒊 𝒏𝒊
301800 01/05 au 19/05 = 18 5 432 400
245000 05/01 au 14/03= 68 16 660 000
436000 02/06 au 10/12 = 191 8 3276 000
535400 10/03 au 11/11 = 246 131 708 400
Total 237 076 800
𝑪𝒊 𝒏𝒊 = 𝟐𝟑𝟕𝟎𝟕𝟔𝟖𝟎𝟎
𝒊=𝟏
𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟑𝟕𝟎𝟕𝟔𝟖𝟎𝟎
𝑫= = 𝟔𝟎𝟎𝟎 Car t=6% d’où I= = 𝟑𝟗𝟓𝟏𝟐,𝟖
𝟔 𝟔𝟎𝟎𝟎
Les taux𝑡1 , 𝑡2, 𝑡3, …𝑡𝑘 n’étant pas tous égaux entre eux.
𝐶1 × 𝑡1 × 𝑛1 𝐶2 × 𝑡2 × 𝑛2 𝐶3 × 𝑡3 × 𝑛3 𝐶𝑘 × 𝑡𝑘 × 𝑛𝑘
𝐼= + + +⋯+
36000 36000 36000 36000
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
Nous appellerons taux moyen de cet ensemble de placement, le taux unique T qui, appliqué aux
capitaux placés et pour leurs durées respectives, conduirait au même intérêt total. Ce taux T est
donc donné par :
𝐶1 × 𝑇 × 𝑛1 𝐶2 × 𝑇 × 𝑛2 𝐶3 × 𝑇 × 𝑛3 𝐶𝑘 × 𝑇 × 𝑛𝑘 𝐶1 × 𝑡1 × 𝑛1 𝐶2 × 𝑡2 × 𝑛2 𝐶3 × 𝑡3 × 𝑛3 𝐶𝑘 × 𝑡𝑘 × 𝑛𝑘
+ + +⋯+ = + + +⋯+
36000 36000 36000 36000 36000 36000 36000 36000
T(𝐶1 × 𝑛1 + 𝐶2 × 𝑛2 + 𝐶3 × 𝑛3 + ⋯ + 𝐶𝑘 × 𝑛𝑘)= 𝐶1 × 𝑡1 × 𝑛1 + 𝐶2 × 𝑡2 × 𝑛2 + 𝐶3 × 𝑡3 × 𝑛3 + ⋯ + 𝐶𝑘 × 𝑡𝑘 × 𝑛𝑘
𝑘
𝑖=1 𝐶𝑖 ×𝑡 𝑖 ×𝑛 𝑖
⤄ T= 𝑘 𝐶 ×𝑛
𝑖=1 𝑖 𝑖
T=6,078701923%
EXEMPLE : quel est le capital, qui, placé pendant 45 jours au taux de 10% rapporte un
intérêt de 12500.
36000×12500
Solution : C= = 1000000
10×45
2- Calcul du taux
36000×𝐼
t=
𝐶 ×𝑛
EXEMPLE : quel est le taux qui appliqué à un capital de 7800000 pendant 30 jours,
rapporte un intérêt de 80000
36000×80000
t= = 12,30 %
7800000×30
3- Calcul de la durée
36000×𝐼
n=
𝑡 ×𝐶
EXEMPLE : un capital de 135000 est placé à un taux de 15% l’an et rapporte un taux
d’intérêt de 3656,25.
36000×3656,25
n= = 65 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠
135000×15
F- REPRESENTATION GRAPHIQUE
1- De l’intérêt
C × t ×n
De I= , si on connaît deux variables, on fait varier l’inconnue en fonction de l’autre.
36000
2- Représentation graphique
Y 0 15
X 0 1
Y=15x
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
X 0 80
Désignons par A le montant emprunté, n, la durée de l’emprunt, A’, le montant remis au comptant, t’,
le taux post compté, t, le taux pré compté.
𝑨×𝒏×𝒕 𝒏×𝒕 𝒕
A’=A - or At’ = At d’où t = (𝟏 − )t’ ⤄ 𝒕′ = 𝒏×𝒕 avec t’ le taux effectif
𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟏−
𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎
EXEMPLE : Une personne place à intérêt précompté 10000 pour un an, au taux de 10%. Quel est le
taux effectif de placement réalisé ?
Solution
𝒕 𝟏𝟎
𝒕′ = 𝒏×𝒕 A.N. 𝒕′ = 𝟏×𝟏𝟎 = 11,11% n en année
𝟏− 𝟏−
𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎
Autre calcul.
C × t ×n 10000×10×1
Calculons tout d’abord l’intérêt I. I= A.N. I= = 1000
100 100
Le prêteur reçoit immédiatement cet intérêt. Les choses se passent comme s’il n’avait déboursé que
10000-1000= 9000, puisqu’il reçoit son intérêt. Le prêteur recevra, dans un an, son capital de 10000. Il
aura donc gagné en un an, 1000 en engageant 9000. Le taux effectif de placement sera donc :
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
𝟗𝟎𝟎𝟎×𝒕′×𝟏 𝟏𝟎𝟎𝟎×𝟏𝟎𝟎
= 1000⤄ t’= = 11,11%
𝟏𝟎𝟎 𝟗𝟎𝟎𝟎×𝟏
Méthode de simplification :
𝐶×𝑛×𝑡
𝐸= Divisons les deux termes du quotient par t, nous aurons :
36000
𝑪×𝒏×𝒕
𝑪×𝒏 𝑵 𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎
𝐸= 𝒕
𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎 ⤄𝑬 = ⤄𝑬= AVEC N= Cn et D= D le diviseur et N le nombre
𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎/𝒕 𝑫 𝒕
𝒕
3) La valeur actuelle
La valeur actuelle Va d’un effet de commerce, est égale à la différence entre sa valeur nominale C et
l’escompte E.
𝐶×𝑛 𝒏
Va= C – E or E= d’où Va= C(1− )
𝐷 𝑫
RQ : au lieu de calculer l’escompte sur la valeur nominale, il serait plus judicieux de calculer
l’escompte sur la somme avancée par le banquier au négociateur lors de la négociation.
L’escompte ainsi calculé est appelé escompte rationnel.
4) L’escompte rationnel
Soit E’, l’escompte rationnel qui se calcule sur la valeur actuelle rationnelle, noté 𝑉𝑎𝑟 .
𝐶×𝐷
𝑉𝑎𝑟 =
𝐷+𝑛
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
𝑪×𝒏
E’= C- 𝑽𝒂𝒓 ⤄ E’=
𝑫+𝒏
EXERCICE D’APPLICATIONS
EX : quelle est la valeur nominale C d’un effet de commerce qui est escompté le 04 mars à 6% pour
25675 et vient à échéance 75 jours plus tard.
Solution :
N=75 jours, Va=25675, C=VN= ?
𝑪×𝟔×𝟕𝟓
Va= C – E ⤄ 25675= C –
𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎
⤄C-0,0125C= 25675
𝟐𝟓𝟔𝟕𝟓
⤄C= VN = =26000
𝟎,𝟗𝟖𝟕𝟓
EX : une traite (effet de commerce) de 144000 est escomptée à 139200, 40 jours avant son échéance.
Quel est son taux d’escompte ?
Solution :
VN= C= 144000 ; Va= 139200 ; n= 40 Jours
144000×40×𝑡
Va= C – E A.N. 139200=144000−
36000
⤄144000−139200 = 160𝑡
𝟒𝟖𝟎𝟎
⤄t= = 𝟑𝟎%
𝟏𝟔𝟎
EX : un effet de commerce de 650000 de nominal escompté à 4,5% à une valeur actuelle de 645250.
Calculer, le nombre de jours à couvrir, de la date de négociation à la date d’échéance. Déterminer la
date de négociation, si l’échéance à lieu le 11 Août.
Solution :
VN=C= 650000 ; Va= 645250 ; t= 4,5%
650000×4,5×𝑛
645250 = 650000−
36000
⤄645250=650000−81,25𝑛
650000−645250
⤄ n= = 58 jours soit la date le 14/06/N
81,25
nominale – agio ainsi que le montant net à remettre au client. Les étapes de calculs suivantes figurent
sur un bordereau d’escompte :
a) Calcul du nombre de jour
Le nombre de jour va de la négociation jusqu’à l’échéance en tenant compte du nombre de jour
minimal fixé par la banque.
b) Calcul de l’escompte au taux fixé par le banquier
D’une manière générale, désignons par t, le taux d’escompte, t’, le taux de la commission
d’endossement C.E, F, les frais fixes, K, le taux proportionnel ou de la commission indépendante du
temps et C ou VN, la valeur nominale.
𝐴𝑔𝐻𝑇 = 𝐸 + 𝐶. 𝐸 + 𝐶. 𝐼. 𝑇 + 𝐹
𝐶×𝑡×𝑛 𝐶×𝑡′ ×𝑛 𝐶×𝐾
= + + +𝐹
36000 36000 100
360𝐾 36000
⤄Tr=t+t’+ +
𝑛 𝐶×𝑛
435000×54×𝑇
𝐴𝑔𝐻𝑇 = 7675,5 ⤄ 7675,5=
36000
𝟕𝟔𝟕𝟓,𝟓×𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎
⤄ Tr= =11,76% taux réel
𝟒𝟑𝟓𝟎𝟎𝟎×𝟓𝟒
𝟕𝟔𝟕𝟓,𝟓×𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎
A.N. t’= = 𝟏𝟏, 𝟗𝟕%
(𝟒𝟑𝟓𝟎𝟎𝟎−𝟕𝟔𝟕𝟓,𝟓)×𝟓𝟒
Taux de revient
𝑽𝒂 × 𝒕′ × 𝒏
𝑨𝒈𝑯𝑻 =
𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟕𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎−𝟏𝟕𝟖𝟔𝟓𝟒 ×𝒕 ′ ×𝟑𝟒,𝟐𝟓
A.N. 𝟏𝟕𝟖𝟔𝟓𝟒 = ⤄ t’= 11%
𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎
La comparaison des conditions d’escompte offertes par deux banques amènent à choisir la banque qui
à le tau réel d’escompte, le plus petit. Pour réaliser la comparaison, on détermine en fonction de n les
taux réel des banques.
EXEMPLE : les banques A et B proposent les conditions d’escompte suivantes :
Banque A Banque B
taux d’escompte 3,8% 4,5%
Commission endossement 0,6% 0,4%
Commission proportionnelle 0,5% 0,4%
360𝐾 36000
Tr=t+t’+ +
𝑛 𝐶×𝑛
360×0,5
Tr A=3,8+0,6+
𝑛
180 360×0,4 144
⤄ 𝑇𝑟 𝐴 = 4,4 + ; Tr B = 4,5+0,4+ =4,9+
𝑛 𝑛 𝑛
La banque A est plus avantageuse que la banque B ssi Tr A< 𝑇𝑟 𝐵 i.e n> 72
NB : SI n= 72 ⤄Tr A = Tr B
Si n< 72 ⤄ 𝑇𝑟 𝐴 > 𝑇𝑟 𝐵
On a généralement recours à l’équivalence de deux effets lorsqu’un débiteur ne peut pas s’acquitter de
sa dette, à une certaine date et demande que l’échéance soit reportée plus tard.
Deux effets sont dits équivalents si leur valeur actuelle estimée à un même taux et à une même date
appelé date d’équivalence sont égale.
Soient deux effets, de valeur nominale, A et B ayant à couvrir 𝑛1 𝑒𝑡 𝑛2 jours, séparant les dates
d’échéances de ces deux effets à la date d’équivalence. La condition d’équivalence s’écrit comme
suit :
𝐴×𝑛 1 𝐵×𝑛 2
A− =𝐵−
𝐷 𝐷
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
RQ :
1. On ne négocie que les effets non échus i.e. qui n’ont pas atteint la date d’échéance.
2. Pour que l’équivalence soit possible, il faut que l’échéance de l’effet ayant la plus forte valeur
nominale, soit la plus tardive possible.
3. Si A=B alors 𝑛1 = 𝑛2 pour que l’équivalence soit vérifiée
4. Deux effets dz valeur nominales différentes et d’échéance différentes ne peuvent être
équivalents qu’à une seule date.
5. Considérer la date d’échéance du 1er effet (plus courte) comme date d’équivalence, si cette
date n’est pas précisée dans l’exercice.
b. Problèmes types concernent l’équivalence de deux effets
On peut avoir à calculer n, la date d’équivalence, 𝒏𝟏 𝑒𝑡 𝒏𝟐 les échéances des effets, A et B les valeurs
nominales des effets, D ou t le taux.
Un effet est équivalent à plusieurs autres (somme) si, escompté au même taux, à une même date, dans
un même système d’escompte, la valeur actuelle de l’effet unique est égale à la somme des valeurs
actuelles des autres effets.
Soit A, un effet unique échéant dans n jours et K effets échéant dans 𝑛1 , 𝑛2 , 𝑛3 … . 𝑛𝑘 jours, de valeurs
nominales𝐴1 , 𝐴 2 , 𝐴 3 ,… , 𝐴 𝑘 . La date d’équivalence s’exprime par :
𝐴𝑖 ×𝑛 𝑖 𝐴1 ×𝑛 1 𝐴2×𝑛 2 𝐴3 ×𝑛 3 𝐴4 ×𝑛 4 𝐴𝑘 ×𝑛 𝑘
A= 𝐴 𝑖 − = 𝐴1 − + 𝐴2 − + 𝐴3 − + 𝐴4 − + ⋯ + 𝐴𝑘 −
𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷
La date d’échéance de l’effet unique est appelé échéance commune. Dans le cas particulier où la
valeur nominale de l’effet unique est égale à la somme des valeurs nominale des autres effets. On parle
d’échéance moyenne .
En effet, si A= 𝐴1 + 𝐴 2 + 𝐴 3 + ⋯ + 𝐴 𝑘 alors A n = 𝐴1 × 𝑛1 + 𝐴 2 × 𝑛2 + 𝐴 3 × 𝑛3 + ⋯ + 𝐴 𝑘 × 𝑛𝑘 et
𝑘
𝑖 =1 𝐴𝑖 𝑛 𝑖
l’échéance moyenne n= 𝑘
𝑖 =1 𝐴𝑖
Deux groupes d’effets sont équivalents si escomptés au même taux, dans un même système
d’escompte, un jour donné la somme des valeurs actuelle du 1 er groupe est égale à la somme des
valeurs actuelles du 2è me groupe d’effet.
2è me groupe : 𝐴′1 , 𝐴′2 , 𝐴′3 ,… , 𝐴′𝑘 échéant 𝑛′1 , 𝑛′2 , 𝑛′3 … . 𝑛′𝑘 jours
𝐴 1 × 𝑛1 𝐴 × 𝑛2 𝐴 × 𝑛3 𝐴 × 𝑛4 𝐴 × 𝑛𝑘
𝐴1 − + 𝐴2 − 2 + 𝐴3 − 3 + 𝐴4 − 4 + ⋯ + 𝐴𝑘 − 𝑘
𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷
𝐴′1 × 𝑛′1 𝐴′ × 𝑛′2 𝐴′ × 𝑛′3 𝐴′ × 𝑛′4 𝐴′ × 𝑛′𝑘
= 𝐴′1 − + 𝐴′2 – 2 + 𝐴′3 − 3 + 𝐴′4 − 4 + ⋯ + 𝐴′𝑘 – 𝑘
𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷
2. APPLICATIONS
a. Cas de deux effets
SOLUTION
X 190 jours
S’il désire le 1er /05/N remplacer ces trois effets par un effet unique, le 20/01/N. qu’elle est la valeur
nominale C de cet effet unique au taux de 6%.
2. Exo 2
1 3000000 Au 30/04
2 500000 Au 31/05
3 600000 Au 30/06
Pour un effet unique de valeur nominale C=1390000, si le remplacement s’est effectué le 20 mars.
Quelle est l’échéance de l’effet unique au taux de 6%.
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
Le prix d’un bien ou d’un service est l’expression monétaire de sa valeur d’échange. C’est la
quantité d’argent que l’on doit débourser pour obtenir un bien.
On distingue :
Le prix relatif qui est le prix d’un bien exprimé en fonction du prix d’un autre bien ;
Le prix réel est le rapport entre le prix nominal et le revenu (niveau général des prix) ;
Le prix nominal ou prix courant, c’est un prix exprimé en monnaie courante (monnaie
nationale) ;
Le prix naturel qui est le rapport d’échange entre deux biens sans intervention de la
monnaie (troc) ;
Le prix absolu est quant à lui un prix qui ne vari pas
L’indice de prix est le rapport du prix de la période courante sur le prix de la période de base
ou de référence multiplié par 100.
Il permet de comparer l’évolution du niveau des prix entre la période de base et la période
courante ou actuelle :
𝑃𝑡
𝐼𝑡 = × 100
0 𝑃0
EX : en 2004, le prix d’un paquet de sucre était de 550 F ; en 2007, le paquet de sucre est de
750 F. calculer l’indice de prix du paquet de sucre en 2007 base 100 ; en 2004.
SOLUTION
MATHEMATIQUES FINANCIERES PREMIERE
𝟕𝟓𝟎
𝑰𝟐𝟎𝟎𝟕 = 𝟓𝟓𝟎 × 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟑𝟔, 𝟑𝟔 Il y a augmentation du prix du paquet de sucre entre
𝟐𝟎𝟎𝟒
2004 et 2007 de 36,36%
Les indices de prix sont synthétiques quant ils concernent plusieurs produits à la fois. Ils sont
obtenus en faisant une moyenne arithmétique des indices simples.
Supposons un panier de biens (poulets, pangolin, bœufs, chèvres) désignons par 𝐼1 l’indice
de prix du poulet, 𝐼2 pour le pangolin, 𝐼3 pour le bœuf, 𝐼4 pour les chèvres. Supposons que
le poids N de chaque produit dans le panier est de 𝑛1 pour le poulet, 𝑛2 pour le pangolin, 𝑛3
pour le bœuf et 𝑛4 pour les chèvres.
Si toutes ses viandes ont le même volume, l’indice de prix synthétique simple de ce
panier de viande est le suivant :
En supposant que ses biens ont la même importance dans le panier ; calculer l’indice
de prix de ce panier en 2007 Base 100 en 2005.
Solution :
𝐼1 +𝐼2 +𝐼3
𝐼2007 = × 100
2005 3
A.N.
40 83 124
+ +
𝐼2007 = 42 75 125
× 100 = 101,70 soit une augmentation globale de 1,70% en moyenne.
2005 3
𝑛 1 𝐼1 +𝑛 2 𝐼2 +𝑛 3 𝐼3
𝐼𝑡 =
0 𝑛 1 +𝑛 2 +𝑛 3
0,95×0,3 + 1,11×0,55 +(0,992×0,15)
𝐼2007 = ×100 = 104,43
2005 0,3+0,55+0,15
Soit une augmentation globale de 4,43%
En supposant que les quantités vendus sont 42, 12 et 16. Calculez l’indice de prix en 2004
base 100 en 2005
𝑃1 𝑞0
𝑰𝑳 =
𝑃0 𝑞0
Cet indice mesure la variation de coût des vecteurs de consommation ( 𝑞10 , 𝑞20 , 𝑞30 , 𝑞40 …𝑞0)
acheté par les consommateurs pendant la période de base.
𝒒𝟏𝒉 𝑷𝟏𝒉
𝑰𝑷 =
𝑷𝟎𝒉 𝒒𝟏𝒉
Cet indice mesure la variation du coût du vecteur de consommation (𝑞11 , 𝑞21 , 𝑞31 …𝑞1) acheté
par les consommateurs pendant la période courante.
𝑷𝟏𝒉 𝒒𝟏𝒉
IVG=
𝑷𝟎𝒉 𝒒𝟎𝒉
𝐹𝑡 = 𝐿 𝑡 𝑃𝑡
0 0 0