Chapitre 5

Géométrie

5.1 Figures géométriques

√
Si un carré est de côté a (cf. Fig. 5.1a), alors : • Périmètre = 4a ; • Aire = a2 ; • Diagonale = a 2.
Si un triangle équilatéral (les
√ trois côtés sont2 √ égaux et les trois angles sont égaux à 60◦ chacun) est de côté
a, alors : • Hauteur h = a 2 3 ; • Aire = a 4 3 (cf. Fig. 5.1b).
Si r est le rayon du cercle (cf. Fig. 5.1c) : • Périmètre = 2 × π × r ; • Aire = π × r2 .
Si un cube est de côté a , alors : √
• Volume = a3 ; • Aire latérale (aires des 6 faces) = a2 ; • Grande diagonale = a 3.

(a) le carré (b) le triangle équilatéral (c) le cercle

Figure 5.1 – Figures géométriques

5.1.1 Agrandissement - réduction

Si les longueurs sont multipliés par un nombre k, alors les aires sont multipliées par k 2 et les volumes par k 3 .

Exemple 5.1
Dans un carton, on peut mettre 45 boîtes identiques. Si on double les dimensions de ce carton, combien de
boîtes pourra-t-on y mettre ?
1. 90 2. 135 3. 180 4. 360 5. 720

Solution : Toutes les longueurs sont doublées (×2), donc la capacité (le volume) est multipliée par 23 = 8.
On pourra donc mettre 45 × 8 boîtes autrement dit 360, réponse 4.

5.1.2 Polygones réguliers

Définition 5.1
Un polygone est régulier si tous ses côtés sont égaux et tous ses angles sont égaux.

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Exemples de polygones réguliers :

(a) Triangle équilatéral (b) le pentagone (c) l’hexagone (d) l’octogone

Figure 5.2 – Polygones réguliers

Pour un polygone régulier à n côtés :

• La somme des n angles vaut : (n − 2) × 180 • Chaque angle au centre mesure : 360
n
(n − 2) × 180 n(n − 3)
• Chaque angle mesure : n • Le nombre de diagonales est : 2
Les quadrilatères
• Propriétés du parallélogramme • Propriétés du rectangle, en plus de celles du paral-
? Les diagonales qui se coupent en leur milieu. lélogramme
? Les côtés opposés sont parallèles 2 à 2 ? Les diagonales sont égales.
(ou égaux 2 à 2). ? Les angles sont droit.
• Propriétés du losange, • Propriétés du carré
en plus de celles du parallélogramme ? Le carré vérifie les propriétés du rectangle
? Les diagonales sont perpendiculaires. ? ainsi que les propriétés du losange.
? Les deux côtés consécutifs sont égaux.

5.1.3 Conversion
Il est indispensable d’être à l’aise en conversion et notamment la transition des m3 vers les litres. Voici un
rappel des tableaux.
Unités de longueurs et unités d’aires ou de surfaces

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

km hm dam m dm cm m
hectares ares m2 dm2 cm2 mm2
2 3 4 5 6 0

Exemple : 234 560 m2 = 0, 23456 km2 = 23, 456 hectares.

Unités de volumes ou de contenances
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
hl dal l dl cl ml
2 5 3 4 0

A retenir : 1 dm3 = 1 litre et 1 000 litres = 1 m3 . Exemple : 25 340 l = 25, 34 m3 = 25 340 dm3 .
Exemple 5.2
Un jerricane est rempli de jus et a pour dimension : 40 cm de largeur, 25 cm de profondeur et 80 cm de
hauteur.
Combien de verres de capacité 20 cl pourrait-on remplir avec ce jerricane ?
Solution :
Volume = 40 × 25 × 80 = 80 000 cm3 = 80 dm3 = 80 l = 8 000 cl. Or chaque verre a pour capacité 20 cl.
On pourra donc remplir 8 20
000 = 400 verres avec ce jerricane.

22
5.2 Le théorème de Pythagore : méthodes, formules, réciproque avec
exemples
Théorème 5.1 théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle (existence d’un angle droit mesurant 90 en degrés ou π
2 en radians), alors le
carré du plus long côté, appelé l’hypoténuse, est égal à la somme des carrés des deux autres côtés (côtés
de l’angle droit).
Si le triangle (ABC) est rectangle en A alors BC 2 = AC 2 + AB 2 (cf. Fig. 5.3).

Figure 5.3 – théorème de Pythagore

Exemple 5.3

1. Soit un triangle (ABC) rectangle en A et tel que AB = 15 cm et AC = 11, 25 cm. On veut calculer
la mesure exacte de l’hypoténuse BC.
2. Soit (DEF ) un triangle rectangle en D. On donne DF = 6 cm et EF = 10 cm. Calculer DE.

Solution :
1. (ABC) est rectangle en 2 2 2 2 2 2
pA donc BC = AC + AB , c’est-à-dire BC = 15 + 11, 25 = 351, 3625.
Par conséquent BC = 351, 3625 = 18.75 cm.
2. (DEF ) est un triangle rectangle en D donc EF 2 = DE 2 + DF 2 c’est-à-dire 102 = 62 + DE 2 . D’où
DE 2 = 100 − 36 = 64, donc DE = 8 cm.

Théorème 5.2 Réciproque du théorème de Pythagore

Si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs de
ses deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et admet pour hypoténuse le plus grand des côtés.
Autrement dit, si un triangle (ABC) est tel que BC 2 = AC 2 + AB 2 , alors ce triangle est rectangle en A.

Exemple 5.4
Soit un triangle (ABC) tel que AB = 5, 7 cm ; AC = 8, 4 cm et BC = 10 cm. Le triangle est-il rectangle ?

Réponse : non car 102 6= 5, 72 + 8, 42 (à vérifier).

23
5.3 Théorème de Thalès
Théorème 5.3 théorème de Thalès
On suppose que sur les deux figures ci-dessous la droite (AB) est parallèle à la droite (M N ). O est le point
d’intersection entre les deux droites sécantes (BN ) et (AM ) (cf. Fig. ?? et ??).
On a alors :
OM ON MN
= =
OA OB AB
On dit que les deux triangles (OAB) et (OM N ) sont semblables et leurs côtés sont proportionnels.

Figure 5.4 – théorème de Thalès

Exemple 5.5
Sur la figure ci-dessus (les dimensions ne sont pas respectées), on donne OA = 6 cm, AB = 5 cm, OB = 8
cm et ON = 6 cm. Calculer OM et M N .

Réponse :
OM = ON = M N
OA OB AB
d’où : OM
6 = 6 = M N , c’est-à-dire OM = 4, 5 et M N = 3, 75.
8 5
Théorème 5.4 réciproque du théorème de Thalès
Soient (d) et (d0 ) deux droites sécantes en A (cf. Fig. 5.5).
Soient B et M deux points de la droite (d), distincts de A.
Soient C et N deux points de la droite (d0 ), distincts de A.
Si AM AN
AB = AC et si les points A, B, M et les points A, C, N sont dans le même ordre, alors les droites (BC)
et (M N ) sont parallèles.

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 Figure 5.5 – réciproque du théorème de Thalès

Exemple 5.6
Sur la figure ci-dessous (les dimensions ne sont pas respectées), démontrer que les droites (BD) et (EC) sont
parallèles.

Figure 5.6 – théorème de Thalès

Solution :
Comparons AB 8 2 AD 10
AC = 12 = 3 et AE 15 = 3
2

donc AB AD
AC = AE , Les droites (BC) et (DE) sont sécantes en A.
Comme AB AD
AC = AE et puisque les points A, B et C sont alignés dans le même ordre que les points A, D et
E d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BD) et (EC) sont parallèles.

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5.4 Angle inscrit et angle au centre
Théorème 5.5

1. Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure. Donc
BAC
\ = BEC.
\
2. Dans un cercle, si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc, alors la mesure de
\ = 2 × BAC.
l’angle au centre est le double de celle de l’angle inscrit. Donc BOC \

(a) angle inscrit (b) angle au centre

Figure 5.7 – divers angles

5.5 Formulaires
Aires & Périmètres

Aires Périmètres
Triangle Base × Hauteur
2
Carré de côté a a2 4×a
Rectangle Longueur × Largeur 2× (Longueur + Largeur)
Losange de diagonales D1 et D2 D1 × D2
2
Parallélogramme Base × Hauteur
Hauteur × (B1 + B2 )
Trapèze de bases B1 et B2 2
Disque de rayon r π × r2 2×π×r

Volumes

Volumes Aires
Cube de côté a a3 6 × a2
Pavé droit de côtés L, l et h L × l × h
Prisme Base × Hauteur
Pyramide Base × Hauteur
3
Cylindre π × r2 × hauteur
Cône de rayon r π × r2 × hauteur
3
Sphère de rayon r 4 × π × r3 4 × π × r2
3

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