L1 SVSE Université de Montpellier

Raisonnement Scientifique – HAV220X 2022–2023

Fiche d’exercices sur le CM3

Exercice 1
Une machine comporte deux composants. La probabilité pour que le premier soit en panne est
P(A) = 0.1. La probabilité pour que le deuxième soit en panne est P(B) = 0.2. La probabilité
pour qu’au moins un des deux soit en panne est 0.25. Les pannes des deux composants sont-elles
indépendantes ?

Exercice 2
Dans l’entreprise Maboîte, la probabilité pour que Tartampion quitte l’entreprise est de 0.2, et
la probabilité que Bidule quitte l’entreprise est de 0.25. On définit les événements suivants
— T : "Tartampion quitte l’entreprise",
— B : "Bidule quitte l’entreprise".
1– Donner P(T ) et P(B).
On suppose que les événements T et B sont indépendants.
2– Donner la probabilité que Tartampion et Bidule quittent l’entreprise.
3– Donner la probabilité que Tartampion ou Bidule quitte l’entreprise.
4– Donner la probabilité que ni Tartampion ni Bidule ne quitte l’entreprise.
5– Donner la probabilité que seul·e Tartampion quitte l’entreprise.
Dans toute la suite, on suppose dorénavant que Tartampion et Bidule se concertent avant
de quitter Maboîte, et que la probabilité qu’ils ou elles partent simultanément est de 0.15.
6– Les événements T et B sont-ils encore indépendants ?
7– Donner la probabilité que Tartampion ou Bidule quitte l’entreprise.
8– Donner la probabilité que ni Tartampion ni Bidule ne quitte l’entreprise.
9– Donner la probabilité que seul·e Tartampion quitte l’entreprise.

Exercice 3
Pour effectuer une étude sur le téléchargement illégal tout en préservant la confidentialité des
personnes sondées (et pour obtenir des réponses honnêtes), on propose le protocole suivant : on
demande à la personne sondée de lancer un dé, puis de dire la vérité si le tirage donne 1 ou 2
et de mentir si le tirage donne 3, 4, 5 ou 6. On appelle p la probabilité (inconnue) de faire des
téléchargements illégaux.
On sélectionne une personne au hasard dans une population, et on la soumet au protocole ci-
dessus. La question posée est "Vous arrive-t-il de télécharger illégalement des films ou de la
musique ?". On modélise l’expérience avec l’univers
Ω = {mentir, dire la vérité} × {télécharger, ne pas télécharger}.
1– Donner la probabilité des événements M =mentir et T =télécharger.
2– Exprimer en fonction de M et T l’événement O=répondre oui à la question posée.
3– En considérant que le lancer du dé et le fait de télécharger ou pas sont indépendants,
exprimer P(O) en fonction de p.

Exercice 4
Les groupes sanguins ont été découverts en 1901 par Karl Landsteiner. On distingue quatre
phénotypes (c’est-à-dire groupes sanguins) : A, B, AB et O. Le gène qui détermine le groupe
sanguin existe sous trois formes alléliques A, B et O. On sait que A et B sont dominants sur O
et codominants ensembles. Ainsi, on peut dire :

1
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— le phénotype O correspond au génotype O/O,

— le phénotype A correspond aux génotypes A/A et A/O,
— le phénotype B correspond aux génotypes B/B et B/O,
— le phénotype AB correspond au génotype A/B.

On rappelle que le génotype d’un individu est déterminé par deux allèles : l’un hérité de
la mère et l’autre du père de façon indépendante. Chaque parent a lui-même deux allèles qui
définissent son groupe sanguin et il transmet l’un ou l’autre avec la même probabilité égale à
0.5. On sait que dans la population, la répartition des allèles est : 68% pour l’allèle O, 25% pour
l’allèle A et 7% pour l’allèle B.

1– Un individu adulte est pris au hasard dans la population. Donnez la probabilité qu’elle
ou il transmette l’allèle A à son enfant (même question avec les allèles B et O).
2– Lorsqu’on prend un individu au hasard dans la population, on note [A] l’ événement
"Etre du groupe sanguin A" (de même pour [B], [O] et [AB]). Calculez la probabilité de ces
quatre événements.
3– Pour réaliser des transfusions sanguines, on sait que les groupes sanguins ne sont pas
tous compatibles. Les incompatibilités sont données dans le tableau ci-dessous.
Compatible Donneur O Donneuse A Donneur B Donneuse AB
Receveuse O OUI NON NON NON
Receveur A OUI OUI NON NON
Receveuse B OUI NON OUI NON
Receveur AB OUI OUI OUI OUI
Mais au XIXème siècle, on n’en avait pas connaissance et les transfusions étaient faites au hasard.
Si l’on prélève un individu au hasard dans la population et qu’on lui fait une transfusion avec
le sang d’une donneuse ou d’un donneur pris au hasard également, calculer la probabilité qu’il
y ait incompatibilité.=S{P(AnO)+P(AnB)+P(BnO)+P(BnA)+P(ABnO)+P(ABnA)+P(ABnB)}

Exercice 5
On considère trois plants de maïs A, B, C qui peuvent être atteints du charbon du maïs, maladie
causée par un champignon. Au début de l’expérience, soit les 3 plants sont sains ce qui arrive
avec probabilité 9/10, soit l’un des trois est atteint du charbon. A la fin de l’expérience, le plant
malade (s’il y en avait un) n’a pas eu le temps de guérir et a contaminé chacun des plants voisins
avec la probabilité 1/5.

Exercices 2 E. Brunel-Piccinini et B. de Saporta

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A B
B C
C

Quelle est la probabilité que le plant B soit malade à la fin de l’expérience ?

Exercice 6
La mucoviscidose est une maladie héréditaire récessive qui se caractérise par la présence d’un
allèle m au lieu d’un allèle M . Les personnes atteintes sont de génotype mm. Les personnes
hétérozygotes sont de génotype M m. Des études ont montré que 1 personne sur 1600 est atteinte
de la mucoviscidose et 1 personne sur 20 est hétérozygote. On choisit au hasard (avec remise)
4000 individus dans la population.
1– On s’intéresse au nombre de personnes atteintes de mucoviscidose. Modéliser cette expé-
rience par un schéma de Bernoulli dont on précisera les caractéristiques.
2– On s’intéresse au nombre de personnes hétérozygotes. Modéliser cette expérience par un
schéma de Bernoulli dont on précisera les caractéristiques.

Exercice 7
On a observé que les oeufs de tortue verte Chelonia mydas pondus sur la plage de Moya à
Mayotte ont une chance sur 100 de donner naissance à une tortue qui va survivre aux différents
prédateurs. Une tortue vient de pondre 120 oeufs, et on s’intéresse au nombre de nouvelles
tortues qui vont naître de ces oeufs et survivre.
1– Reconnaître un schéma de Bernoulli dont on précisera les caractéristiques.
2– Calculer la probabilité qu’une seule nouvelle tortue survive.

Exercice 8
Les opposums sont des marsupiaux. Les individus de l’espèce Trichosurus cunninghami vivent
dans les forêts australiennes et se nourrissent principalement de fruits et de feuilles. Entre février
et mars 2009, des feux ont ravagé un grand nombre de forêts dans l’état de Victoria, ce qui a eu
un fort impact sur les populations de Trichosurus cunninghami. On estime à 2700 leur population
en 2019. Les chercheuses et chercheurs de l’Université de Camberra en Australie ont procédé
à une campagne de marquage dans les forêts brûlées en 2019. Ils ont capturé et marqué 82
individus qu’ils ont ensuite relâchés.
1– Calculer la probabilité qu’un individu capturé au hasard dans la population de Tricho-
surus cunninghami soit marqué.
Deux semaines plus tard, les chercheuses et chercheurs ont capturé 67 individus.

Exercices 3 E. Brunel-Piccinini et B. de Saporta

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2– Reconnaître un schéma de Bernoulli dont on précisera les caractéristiques pour modéliser

la capture des 67 individus.
3– Calculer la probabilité de ne capturer aucun individu marqué.
4– Calculer la probabilité de capturer au moins 1 individu marqué

Exercice 9 [facultatif]
La Seine a connu une crue record dite "centennale", le 28 janvier 1910. On cherche à déterminer
la probabilité qu’une telle crue se produise dans les 10 ans à venir. On arrondira les résultats
numériques à 10−4 près. Une crue "centennale " est une crue dont la probabilité de survenue
annuelle est égale à 0.01.
1– En supposant que les intempéries sont des phénomènes aléatoires et indépendants, justifier
que l’on peut modéliser la survenue des crues centennales par un schéma de Bernoulli dont on
précisera le nombre d’épreuves et la probabilité de succès.
2– Quelle est la probabilité d’avoir trois crues centennales au cours d’un siècle ?
3– Quelle est la probabilité qu’il faille attendre 100 ans pour qu’une crue centennale sur-
vienne ?
4– Quelle est la probabilité qu’une crue centennale survienne d’ici 10 ans ?
5– La dernière crue centennale a eu lieu il y a plus de 100 ans. La probabilité qu’une crue
centennale survienne d’ici 10 ans est-elle plus grande ?

Exercice 10 [facultatif]
Lors d’un sondage portant sur un grand nombre d’individus, 1% des personnes interrogées ac-
ceptent de ne pas rester anonymes et de dévoiler leur identité. Sachant que 100 personnes ont
été interrogées, calculer la probabilité que
1– ces 100 personnes souhaitent rester anonymes,
2– 3 personnes acceptent de révéler leur identité,
3– plus de 4 personnes acceptent de révéler leur identité.

Exercices 4 E. Brunel-Piccinini et B. de Saporta