S5D ♣ TD : Probabilité ♣ 2017–2018

Exercice 1 Une course oppose 20 concurrents 1. Quelle est la probabilité que les 2 enfants
dont Aristide. soient des garçons sachant que l’aîné est
1. Combien y-a-t-il de podiums possibles ? un garçon?
2. Quelle est la probabilité que les 2 enfants
2. Combien y-a-t-il de podiums possibles où
soient des garçons sachant qu’au moins un
Aristide est premier?
des enfants est un garçon?
3. Combien y-a-t-il de podiums possibles
dont Aristide fait partie? Exercice 9 Dans le parc BangreWeogo,
4. On souhaite récompenser les 3 premiers en l’organisme de protection des oiseaux (les eaux
leur offrant un livre. Combien y-a-t-il de et forêt) a évalué à 20 000 la population de
distributions de récompenses possibles. pigeons sauvages. 500 d’entre eux ont été
bagués. Un an après, on capture 100 pigeons
sauvages dans le parc. Calculer la probabilité :
Exercice 2 Une urne contient 10 boules
rouges, 5 noires, 3 jaunes et 2 vertes. On tire 1. de ne pas avoir de pigeon sauvage bagué ?
quatre boules les unes après les autres, et on les 2. d’avoir au moins deux oiseaux bagués ?
range les unes derrière les autres dans leur ordre
de sortie. On appellera tirage la liste ordonnée Exercice 10 Monsieur Paul prend son para-
des couleurs obtenues. pluie en partant le matin avec une probabilité
1. Combien a-t-on de tirages possibles ? de 1 s’il pleut, 0,6 s’il y a des nuages et 0,2 si le
ciel est bleu.
2. Combien a-t-on de tirages avec une boule Dans la ville où réside Monsieur Paul, le temps
de chaque couleur ? au petit jour, au cours du mois de janvier, suit
3. Combien a-t-on de tirages avec exactement la loi suivante :
2 boules rouges et deux noires ?
temps probabilités
4. Combien a-t-on de tirages avec exactement
pluie 0.2
2 boules rouges, une jaune et une verte ?
nuage 0.5
Exercice 3 On lance simultanément deux dés, ciel bleu 0.3
l’un vert et l’autre blanc.
Calculer la probabilité que Monsieur Paul parte
1. Quelle est la probabilité pour que la en emportant son parapluie le 18 janvier 2014.
somme des faces tirées soit inférieure à 20
? Exercice 11 Un certain système a 5 com-
2. Quelle est la probabilité pour que la posantes. Une panne du système est causée 35
somme des faces tirées soit égale à 1 ? %, 30 %, 20 %, 10 % et 5 % des fois par une
panne dans les composantes A,B,C,D et E, re-
3. Quelle est la probabilité d’obtenir un nom- spectivement. On suppose que les pannes simul-
bre positif sur le dé vert ? tanées dans plus d’une composante à la fois sont
4. Quelle est la probabilité d’obtenir un 3 sur si rares qu’on peut les négliger.
le dé rouge ? 1. Si une panne du système n’est pas causée
par A, quelle est la probabilité qu’elle soit
Exercice 4 Soient A et B deux évènements causée par B?
quelconques. Démontrer que P (A ∪ B) = 2. Si une panne du système n’est causée ni
P (A) + P (B) − P (A ∩ B) puis P (A ∪ B ∪ C) = par A, ni par B, quelle est la probabilité
P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − qu’elle soit causée par C ou D?
P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)
Exercice 12 On lance deux fois un dé bien
Exercice 5 Soient A et B deux évènements équilibré. Les événements A et B suivants sont-
quelconques tels que P (A ∪ B) = 7/8, P (A ∩ ils indépendants ?
B) = 1/4 et P (A) = 5/8. Calculer: P (A), P (B) 1. A : "2 sort en premier". B : "3 sort en
et P (A ∩ B). second".
2. A : "6 sort en premier". B : "6 sort deux
Exercice 6 Montrer que si A et B sont deux fois".
évènements indépendants, alors A et B sont in-
dépendants. 3. A : "6 sort une fois". B : "1 sort une fois".

Exercice 13 Le tableau suivant donne la

Exercice 7 On choisit un point au hasard à répartition de 150 stagiaires en fonction de la
l’intérieur d’un cercle. Quelle est la probabil- langue choisie et de l?activité sportive choisie.
ité qu’il se situe plus près du centre que de la On choisit un élève au hasard.
circonférence?
Tennis Equitation Voile
Exercice 8 On considère une famille avec 2 en- Anglais 2 45 18 27
fants. On suppose que la venue d’une fille est
Allemand 33 9 18
aussi certaine que celle d’un garçon.

Fondation 2iE 1 Dr Zorom 2018

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1. Les événements “étudier l’allemand” et 2. qu’elle vote pour le parti A, sachant que
“pratiquer le tennis” sont-ils indépendants c’est une femme
? 3. qu’elle vote pour le parti B ou C, si on sait
2. Les événements “étudier l’anglais” et “pra- que c’est un homme
tiquer la voile” sont-ils indépendants ? 4. que ce soit une femme, si on sait qu’elle
vote pour le parti C.
Exercice 14 Une compagnie d’assurance ré-
partit les assurés en 3 classes : personnes à bas Exercice 18 Pour diagnostiquer une maladie
risque, risque moyen et haut risque. Ses statis- M, on utilise un test T. Ce test donne un résultat
tiques indiquent que la probabilité qu’une per- positif chez 95 % des gens effectivement atteints
sonne soit impliquée dans un accident sur une de la maladie M ; donc pour 5 % des malades,
période d’un an est respectivement de 0,05, 0,15 le test ne permet pas de détecter la maladie. Le
et 0,30. On estime que 20 % de la population test donne un résultat négatif pour 97 % des
est à bas risque, 50 % à risque moyen et 30 % à gens non atteints. 5 personnes sur 1000 dans
haut risque. la population considérée sont atteintes de cette
1. Quelle est la proportion d’assurés qui ont maladie.
eu un accident ou plus au cours d’une an- a) Quelle est la probabilité qu’une personne
née donnée? dont le test est positif soit effectivement
2. Si un certain assuré n’a pas eu d’accidents malade ? (sensibilité du test)
l’année passée, quelle est la probabilité b) Quelle est la probabilité qu’une personne
qu’il fasse partie de la classe à bas risque? ayant un test négatif ne soit pas malade
? (spécificité du test)
Exercice 15 Lors d’un référendum, deux ques-
c) Quelle est la probabilité qu’une personne
tions étaient posées. 65 % des personnes ont
dont le test est positif ne soit pas malade
répondu “oui” à la première question, 51 % ont
?
répondu “oui” à la seconde question, et 46 %
ont répondu “oui” aux deux questions. d) Doit-on mettre ce test sur le marché ?
1. Quelle est la probabilité qu’une personne
ait répondu “oui” à l’une ou l’autre des Exercice 19 Deux personnes se donnent
questions ? rendez-vous entre 19h et 20h. La première à
arriver attend 20 mn, pas plus et pas au-delà
2. Quelle est la probabilité qu’une personne
de 20h. Quelle est la probabilité qu’elles se
ait répondu “non” aux deux questions ?
rencontrent ?

Exercice 16 A Londres il pleut en moyenne 1 On constitue une file d’attente en attribuant

jour sur 2 et donc la météo prévoit de la pluie la au hasard des numéros d’ordre à n personnes
moitié des jours. Les prévisions sont correctes (n ≥ 2). Deux amis A et B se trouvent dans
2 fois sur 3, c’est-‘a-dire les probabilités qu’il cette file d’attente.
pleuve quand on a prévu de la pluie et qu’il 1. Quelle est la probabilité que les deux amis
ne pleuve pas quand on a prévu du temps sec soient situés l’un derrière l’autre ?
sont égales à 2/3. Quand la météo prévoit de
la pluie, Mr. Pickwick prend toujours son para- 2. Quelle est la probabilité que les deux amis
pluie. Quand la météo prévoit du temps sec il soient distants de r places (i.e. séparés par
le prend avec probabilité 1/3. Calculer : r-1 personnes) ?

1. la probabilité que Mr. Pickwick prenne

Exercice 20 Un débutant à un jeu effectue
son parapluie un jour quelconque ;
plusieurs parties successives. Pour la première
2. la probabilité qu’il n’ait pas pris son para- partie, les probabilités de gagner ou perdre sont
pluie un jour pluvieux ; les mêmes; puis, on suppose que : les uns des
3. la probabilité qu’il ne pleuve pas sachant autres.
qu’il porte son parapluie. • Si une partie est gagnée, la probabilité de
gagner la suivante est 0.6.
Exercice 17 Pour connaître les intentions • Si une partie est perdue, la probabilité de
de vote de la population, on a interrogé perdre la suivante est 0.7.
100 personnes et on leur a demandé pour
Soit Gn l’événement “Gagner la partie n”, et
lequel des partis A,B,C elles voteraient. On
un = P (Gn ). On note vn = P (Gn ).
regroupe les résultats dans le tableau ci-dessous:
1. Écrire 2 relations entre un , un+1 , vn , vn+1 .
A B C 2. A l’aide de la matrice mise en évidence en
Homme 13 21 19 déduire un et vn . Faire un calcul direct à
Femme 20 8 19 l’aide de un + vn .

Si on choisit une personne au hasard dans ce

groupe, trouver la probabilité
1. qu’elle vote pour le parti A

Fondation 2iE 2 Dr Zorom 2018

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