Université Mohammed V Année universitaire : 2023–2024

Faculté des Sciences de Rabat Module : Analyse 2

Département de Mathématiques Filière : IA (S2)

Série d’exercices (N°1)

Exercice 1 (Formule de Taylor-Young à l’ordre 3). Soit a < x ≤ b et f : [a, b] → R une

fonction de classe C 2 telle que f (3) (a) existe. On considère la fonction :

ψx : [a, x] → R
f ′ (a) f ′′ (a) (u − a)3
u 7→f (u) − f (a) − (u − a) − (u − a)2 − A(x)
1! 2! 3!
où A(x) est la constante pour laquelle ψx (x) = 0.
1. Montrer qu’il existe v ∈]a, x[ tel que ψx′′ (v) = 0.
f ′′ (v) − f ′′ (a)
2. En déduire que A(x) = et que la fonction ε définie sur ]a, b] par ε(x) =
v−a
A(x) − f (3) (a) tend vers 0 quand x tend vers a.
f ′ (a) f ′′ (a) f (3) (a) (b − a)3
3. En déduire que f (b) = f (a)+ (b−a)+ (b−a)2 + (b−a)3 + ε(b).
1! 2! 3! 3!
Exercice 2. Démontrer les inégalités suivantes.
x2 2 3
1. x − 2
≤ ln(1 + x) ≤ x − x2 + x3 pour tout x ≥ 0.
x3 3 x5
2. x − 6
≤ sin(x) ≤ x − x6 + 120 pour tout 0 ≤ x ≤ π.
x 2 √ 2 3
3. 1 + 2
− x8 ≤ 1 + x ≤ 1 + x2 − x8 + x16 pour tout x ≥ 0.
Exercice 3. 1. Donner une valeur approchée de cos(0.1) à 10−5 près.
2. Donner une valeur approchée de e à 10−5 près, sachant que e < 3.
Exercice 4. Donner le développement limité au voisinage de x0 à l’ordre n des fonctions définies
par :


1. f (x) = ln cos(x) (x0 = 0 et n = 4).

π
2. f (x) = ln sin(x) (x0 = et n = 4).
2
3. f (x) = tan(x) (x0 = 0 et n = 5).
arctan(x)
4. f (x) = 2 (x0 = 0 et n = 5).
√
x − 1
5. f (x) =e x (x0 = 1 et n = 2).

Exercice 5. En utilisant les développements limités à l’ordre le plus bas possible, calculer les
limites suivantes :
2 √
esin(x) − etan(x) ex − cos(x) cos(x) − 1 − x2
lim ; lim ; lim ;
x→0 sin(x) − tan(x) x→0 x2 x→0 x4
r
ln(1 + x) − tan(x) + 12 sin2 (x)
 
3 1 2 1
lim 2 ; lim x ln 1 + − x 1 − .
x→0 3x2 sin (x) x→+∞ x x
Exercice 6. Déterminer le développement limité au voisinage de +∞ des fonctions définies par :

1 x+1 x




f (x) = ln x sin x
à l’ordre 4 et f (x) = x
à l’ordre 3.
Exercice 7. 1. Montrer que si la fonction f est convexe sur un intervalle I alors pour tous
x1 , . . . , xn ∈ I, λ1 , . . . , λn ∈ [0, 1] avec λ1 + . . . + λn = 1 on a f (λ1 x1 + · · · + λn xn ) ≤
λ1 f (x1 ) + · · · + λn f (xn ).
 2. Montrer que la fonction f :]0, +∞[→ R, x 7→ − ln(x) est convexe.
x1 + · · · + xn
3. En déduire que pour tous x1 , . . . , xn ∈ [0, +∞[ on a (x1 · · · xn )1/n ≤ .
n
Devoir à rendre

Exercice 8 (Formule de Taylor-Young). Soit a < x ≤ b, n ≥ 1, f : [a, b] → R une fonction de

classe C n−1 telle que f (n) (a) existe et ψx la fonction définie par :
n−1
X (u − a)k (k) (u − a)n
ψx : [a, x] → R, u 7→ f (u) − f (a) − A(x)
k=0
k! n!
où A(x) est la constante pour laquelle ψx (x) = 0.
(n−1)
1. Montrer qu’il existe v ∈]a, x[ tel que ψx (v) = 0. (Ind. on pourra appliquer le théorème
de Rolle aux dérivées successives de la fonction ψx )
f (n−1) (v) − f (n−1) (a)
2. En déduire que A(x) = et que la fonction ε définie sur ]a, b] par
v−a
ε(x) = A(x) − f (n) (a) tend vers 0 quand x tend vers a.
n
X f (k) (a) (b − a)n
3. En déduire que f (b) = (b − a)k + ε(b).
k=0
k! n!

Exercice 9. 1. Montrer que si l’application f , définie sur un intervalle contenant 0, admet

un développement limité d’ordre n ≥ 1 au voisinage de 0, f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn +
o (xn ), alors f (0) = a0 , f est dérivable en 0 et f ′ (0) = a1 .
2. Montrer que l’existence d’un développement limité d’ordre n ≥ 2 au voisinage d’un
point a n’assure pas l’existence de
f ′′ (a). (Ind. on pourra considérer la fonction définie
par f (x) = 1 + x + x2 + x3 sin x12 si x ̸= 0 et f (0) = 1)

Les développements limités des fonctions usuelles au voisinage de 0

x x2 x3 xn
ex = 1 + + o xn ,


+ + + ··· +
1! 2! 3! n!
x2 x4 x2n
+ o x2n+1 ,


ch(x) = 1 + + + ··· +
2! 4! (2n)!
3 5
x x x x2n+1
+ o x2n+2 ,


sh(x) = + + + ··· +
1! 3! 5! (2n + 1)!
2 4
x x x2n
− · · · + (−1)n + o x2n+1 ,


cos(x) = 1 − +
2! 4! (2n)!
3 5
x x x x2n+1
− · · · + (−1)n + o x2n+2 ,


sin(x) = − +
1! 3! 5! (2n + 1)!
r(r − 1) 2 r(r − 1)...(r − n + 1) n
(1 + x)r = 1 + rx + x + o xn ,


x + ··· +
2! n!
1
= 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)n xn + o xn ,


1+x
√ x x2 x3 5x4 1 × 3 × 5 × · · · × (2n − 3)xn
+ · · · + (−1)n−1 n


1+x=1+ − + − + o x ,
2 8 16 128 2n n!
1 1 3 5 35 4 1 × 3 × · · · × (2n − 1) n
= 1 − x + x2 − x3 + x − · · · + (−1)n n


√ x + o x ,
1+x 2 8 16 128 2n n!
x2 x3 x4 xn
+ · · · + (−1)n−1 + o xn ,


ln(1 + x) = x − + −
2 3 4 n
x3 x5 x7 x 2n+1
+ · · · + (−1)n + o x2n+2 .


arctan(x) = x − + −
3 5 7 2n + 1