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T1 CONSTANTE DE STEFAN–BOLTZMANN

I. INTRODUCTION

Les échanges d'énergie thermique entre deux corps sont basés sur trois mécanismes : la
convection, la conduction et le rayonnement. Alors que les deux premiers phénomènes
nécessitent un support matériel entre les deux corps, le rayonnement permet un transfert
d'énergie au travers du vide.

Tout corps à température non nulle émet et absorbe des radiations électromagnétiques dont
le spectre de fréquence dépend essentiellement de la température. Ce rayonnement a son
origine dans les fluctuations de charges dues à l'agitation thermique. A l'équilibre thermique
un corps absorbe autant de rayonnement qu'il en émet.

II. THEORIE

Coefficient d'absorption

Lorsqu'un rayonnement monochromatique (longueur d'onde λ) de puissance Pi tombe sur un

corps, une partie Pa est absorbée. Le rapport Aλ = Pa/Pi est le facteur d'absorption
monochromatique du corps considéré. En général, Aλ dépend de la nature du corps, de l'état
de sa surface, de sa température ainsi que de la direction de l'onde incidente.

Corps noir

Un corps pour lequel Aλ = 1 quelle que soit la température et quelle que soit λ est appelé un
corps noir. Un tel corps absorbera intégralement tout le rayonnement incident.

Loi de Stefan-Boltzmann

La puissance totale par unité de surface (émittance En) d'un corps noir émise dans toutes les
directions de l'espace et toutes les longueurs d'onde est donnée par :

(4) E n (T) = σ T 4

2π 5 k B 4 -8 -2 -4
avec σ= 2 3 = 5.67⋅10 [W m K ]
15 c h

Pour un corps quelconque (Aλ < 1), on généralise la loi de Stefan-Boltzmann en écrivant :

(5) E = A σ T4

où A est une valeur moyenne des Aλ

III. EXPERIENCES
140

Considérons deux sphères concentriques. Les températures, surfaces et facteurs d'absorption

des sphères intérieures et extérieures sont respectivement T, S, A et T0, S0, A 0 .

Thermomètre

La puissance P émise par la

sphère intérieure est :

P = E S = A σ T4 S

T,A,S
La puissance Po émise par la
sphère extérieure est :
T 0,A0,S0 P0 = E 0 S0 = A 0 σ T04 S0

Figure 2

Pour calculer le bilan énergétique de la sphère intérieure, nous devons encore considérer le
rayonnement absorbé par la surface intérieure. Dans l’appendice I nous présentons le calcul
général, mais nous prenons ici le cas A ≈ 1 ce qui permet d’éviter de calculer les réflexions
multiples.

La fraction (1 − A 0 ) P est réfléchie par la sphère extérieure et A (1 − A 0 ) P est absorbée par

la sphère intérieure. La sphère intérieure absorbe la fraction AP0 S/So de la puissance émise
par la sphère extérieure. Ainsi la puissance effectivement émise par la sphère intérieure est :

(6) P = A S σ T 4 − A (1 − A 0 )S σ T 4 − AA 0 S σ T04

posons α = AA 0 et l'on obtient :

(7) P = α S σ (T 4 − T04 )

Pour calculer la température en fonction du temps, nous allons faire trois hypothèses :

1) il y a le vide entre les deux sphères, donc pas d'échange thermique autrement que par
rayonnement;
 141

2) la sphère extérieure est plongée dans un réservoir de chaleur. Ainsi la température To

reste constante;

3) la sphère intérieure est à une température plus élevée : T = To + ∆.

La puissance émise par la sphère intérieure est fournie par la variation de son énergie
thermique :
dE dT d (T − T0 ) d∆
(8) =C =C =C
dt dt dt dt
où C est la capacité calorifique totale de la sphère intérieure, d'où :
d∆
(9) C = −α S σ (T 4 − T04 )
dt
Cette équation différentielle est résolue dans l’appendice II. L'écart ∆ en température en
fonction du temps t est donné par la relation :

δ δ0
(10) ln = ln − γt
1 + 15
. δ 1 + 15
. δ0

∆ T(t) − T0
avec δ (t) = =
T0 T0

4α ST03
γ= σ
C

α ≅ AA 0 si A et A 0 sont proches de 1.
AA 0
le calcul exacte donne α =
1 − (1 − A)(1 − A 0 )

Expérience
Pour cette expérience on dispose de trois récipients géométriquement identiques avec un
3
volume interne de la sphère intérieure de 245 cm . L'épaisseur des parois de verre est de
1 mm. Deux récipients sont évacués (vide entre la sphère intérieure et extérieure) appelés
"Dewar" et "Vide" tandis que le troisième "Air" contient de l'air.

1) Le récipient évacué non argenté "Vide" servira à déterminer la constante de Boltzmann,

ce système s'approchant d'un corps noir, car le verre a un facteur d'absorption proche de
l'unité dans le domaine de l'infrarouge. La valeur de Ā=Ā0 est indiquée sur chaque poste
de mesure.

2) Le récipient évacué et argenté "Dewar" servira à déterminer le coefficient α des surfaces

réfléchissantes.

3) Le récipient non évacué (pression atmosphérique d'air entre les deux sphères) nous
permettra de nous convaincre que la plus grande partie de l'énergie thermique est
échangée par rayonnement.
142

IV. MANIPULATIONS

a) Calculer la surface extérieure de la sphère intérieure.

b) Lancer le programme T1 de prises de mesures.

3
c) Remplir chaque sphère intérieure avec exactement 245 cm d'eau chauffée à une
température d'environ 50 °C. La mesure de cette température se fait à l’aide de l’une des
sondes et "Mesure Continue" dans le programme. Arrêter le chauffage vers 45°C et
attendre que la température soit stable. Arrêter les mesures continues en cliquant sur
"Mesure Stop".

d) Mettre chaque sonde de température dans les bains. Mesurer plusieurs fois la
température To de chaque bain en cliquant sur " Tbain ". Arrêter lorsque les valeurs sont
stables.

e) Mettre chaque sonde de température dans les récipients. Démarrer "Mesure Continue" et
attendre que la température cesse d'augmenter. Cliquer sur "Mesure Stop" puis sur
"Mesure Début". Laisser le programme prendre les mesures pendant environ 45
minutes.

f) Arrêter la prise de mesures par " Mesure Stop ". Mettre chaque sonde de température
dans les bains. Mesurer la température finale Tf de chaque bain (" Tbain "). Arrêter le
programme en cliquant sur " Fin ". Sauver votre feuille de calcul sous votre nom avec
"Enregistrer sous" dans "Fichier".

g) Tracer le graphique de la température de chaque récipient en fonction du temps.

Commenter ces courbes.
δ
d) Pour les deux récipients évacués, tracer le graphique de ln en fonction de t.
1 + 15
. δ

e) Pour le récipient évacué non argenté, déterminer la constante de Stefan-Boltzmann.

Remarque : C = Ceau + Cverre

Cverre = 50.2 J/K

Ceau = V ρeau ceau

3
ceau = 4.18⋅10 J/kg K
3 3
ρeau ≈ 10 kg/m

f) Pour le récipient évacué et argenté, déterminer le coefficient α. Pour cette estimation,

prendre la valeur théorique pour la constante de Boltzmann σ .
 143

Appendice I

i) Calcul de la puissance réabsorbée du rayonnement émis par la sphère intérieure:

P est la puissance émise par la sphère intérieure. A(1-A0)P est réabsorbé après la première
réflexion et (1-A)(1-A0)P est réfléchie. Après la nième réflexion sur la surface extérieure, la
surface intérieure absorbera A(1-A)n-1 (1-A0)n P. La puissance totale absorbée sera donc la
somme de toute ces absorptions partielles:
∞
(15) Pa = ∑ A (1 − A ) n −1 (1 −A 0 ) n P
1

∞
= A (1 − A 0 ) P ∑ (1 − A ) n (1 −A 0 ) n
0

A (1 − A 0 )
= P
1 − (1 − A )(1 − A 0 )

ii) Calcul de la puissance absorbée du rayonnement émis par la sphère extérieure:

Po est la puissance émise par la sphère extérieure. APoS/So est absorbé après la première
réflexion et (1-A)PoS/So est réfléchie. Après la nième réflexion sur la surface extérieure, la
surface intérieure absorbera A(1-A)n (1-Ao)n PoS/So La puissance totale absorbée sera donc
la somme de toute ces absorptions partielles:
∞ ∞
Pa o = ∑ A(1 − A) n (1 −A 0 ) n PoS/So = A PoS/So ∑ (1 − A) n
(1 −A 0 ) n
0 0
(16)
A
= PoS/So
1 − (1 − A)(1 − A o )

iii) la puissance totale ainsi émise par la surface intérieure sera donc
AA o
(17) Pt = P − Pa − Pa o = S σ (T 4 − To4 ) = αS σ (T 4 − T04 )
1 − (1 − A)(1 − A o )

AA 0
où α est maintenant donné par α=
1 − (1 − A )(1 − A 0 )
144

Appendice II
d∆
Solution de l’équation différentielle C = −α S σ (T 4 − T04 )
dt
si ∆ << To, on peut écrire (développement au 2ème ordre) :

 ∆
(18) T 4 − T04 ≈ 4T03 ∆  1 + 15
. 
 T0 

∆ 4α ST03
Posons : δ= et γ= σ
T0 C

dδ
(19) = − γ δ (1 + 15
. δ)
dt
La solution de cette équation différentielle est élémentaire :
δ
(20) ln = − γt + B
1 + 15
. δ

B est une constante d'intégration et vaut en posant δ(t=0) = δo :

δ0
B = ln
1 + 15
. δ0