Centre universitaire Abdelhafid Boussouf, Mila

Institut des Sciences et Technologies

Département des Sciences et Techniques
Transfert de chaleur et de masse approfondi
Pr. S. Saouli

Exercice n°1
Montrer que la condition aux limites générale

T
n
 
 q a  hT  T    T 4  Tr4

T  Tr
Pour  1 peut être linéariser et écrite sous la forme
Tr
T
  q a  hT  T   hr T  Tr 
n
où hr  4   Tr3 est le coefficient de transfert par rayonnement.
Exercice n°2
1) Si la surface est noire à la température T  505 K , et si la température de
référence est Tr  500 K , calculer le coefficient d’échange pour le rayonnement hr .
2) Calculer le flux de chaleur par rayonnement q ray avec et sans linéarisation.
Donnée :   5,67  108 W / m 2 K 4 .

Exercice n°3
Trouver l’équation de la chaleur en coordonnées cartésiennes pour un milieu
anisotrope.

Exercice n°4
Le tenseur de conductivité thermique d’un solide anisotrope est donné par la matrice

1  0
 
    20
0  3 
 0
a) Ecrire les expressions des flux de chaleur q x , q y et q z selon les directions
Ox, Oy, Oz  ,
b) Déduire l’équation de la chaleur.
Exercice n°5
La température d’un courant gazeux doit être mesurée par un thermocouple. La
3
jonction du thermocouple peut être assimilée à une sphère de diamètre D  mm , de
4
conductivité thermique   30W / mC , de masse volumique   8400 kg / m 3 et de
capacité calorifique C P  0,4 kJ / kgC . Si le coefficient d’échange entre le courant
gazeux e le thermocouple est h  600W / m 2 C , combien de temps mettra le
thermocouple pour enregistrer 99 % de la différence de température entre la
température du gaz et la température initiale du thermocouple.

Exercice n°6
Un récipient de surface interne S1 et de surface externe S 2 contient un fluide à la
température T0 . La température de l’air ambiant est constante et égale à T .Si on

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suppose que les coefficients d’échange convectif interne et externe sont h1 et h2 ,

calculer les températures du récipient et du fluide en fonction du temps T1 (t ) et T2 (t ) .

S1
T1 t  T
h1
h2
T2 t 

S2

Exercice n°7
Sachant que la variation journalière de température à la surface du sol est
T (t )  T0 cost ,

T (t )  T0 cos t
0

x 

et nous nous proposons de calculer la température du sol T x, t  , pour cela, nous
devons résoudre l’équation de Fourier
1 T x, t   2T x, t 

a t x 2
a) Ecrire les conditions aux limites adéquates,
1

b) Montrer que (i ) 2  (1  i) ,
2
c) Chercher la solution sous la forme : T ( x, t )  X ( x )e i t ,
d) En prenant la partie réelle de la solution calculer la constante d’intégration.
e) Quelles conclusions peut-on tirer de cette solution.

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Exercice n°8
Résoudre l’équation de Fourier dans ce cas sachant que T x,0  T0 .


h h

Exercice n°9
Sachant que la courbe du pouvoir émissif spectral E  ,b  , T  présente un maximum,
trouver l’équation qui permet de déduire la loi de déplacement de Wien.

Exercice n°10
Monter que le pouvoir émissif spectral maximal correspondant à mT  C3 ,
est Eb ( max , T )  C 4T 5 , calculer la valeur numérique de la constante C4 .

Exercice n°11

D’après la théorie électromagnétique de la lumière, la pression de radiation dans une

u
cavité de volume V et de température T est P  où u est la densité d’énergie par
3
unité de volume. Déduire la loi de Stefan-Boltzmann à partir du premier et du
deuxième principe de la thermodynamique.

Exercice n°12
Calculer la quantité de chaleur émise par une surface noire à 4000C et déduire les
fractions d’énergie émises dans les bandes spectrales suivantes :
0  0.38, 0.38  0.78, 0.78   m

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Exercice n°13
La température du filament d’une lampe à incandescence est 2500 K . Si nous
supposons que le filament est un corps noir, déterminer :
a) La fraction d’énergie rayonnée dans la bande visible,
b) La longueur d’onde correspondante à l’émission maximale.
Données : 1  0,4m, 2  0,76m

Exercice n°14
Considérons une sphère de diamètre 20 cm à 800 K suspendue dans l’air. Si nous
supposons que la sphère est un corps noir, déterminer :
a) Le pouvoir émissif total,
b) La quantité de rayonnement émis pendant cinq minutes,
c) Le pouvoir émissif à la longueur d’onde 3 m .

Exercice n°15
a) Trouver l’expression de l’élément de surface en coordonnées sphériques,
b) Déduire l’expression de l’angle solide en coordonnées sphériques sur une
sphère de rayon r ,
c) Calculer l’angle solide associé à une sphère et à un hémisphère.

Exercice n°16
La densité d’énergie contenue dans le volume d’une cavité contenant un
rayonnement électromagnétique est
8 2
u  3 E
c
De la thermodynamique statistique, nous savons que la probabilité de trouver un
système N i à l’état d’énergie E i est donnée par la ce que nous appelons la
distribution de Boltzmann
E
 i
P Ae kT

où k est la constante de Boltzmann et T est la température absolue du système. Par

conséquent, l’énergie moyenne E d’un tel système est

 E
 i
E i e kT dEi
Ei  0
 E
 i

0
e kT dEi

L’hypothèse de Planck est que l’énergie échangée entre les oscillateurs sur la paroi de
la cavité d’un corps noir et les ondes électromagnétiques stationnaires qui s’y
trouvent se fait par paquets d’énergie discrets appelés quantas donnés par la formule

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E n  nh
où n est un nombre entier.
a) Calculer l’énergie moyenne E des oscillateurs,
b) Calculer la densité d’énergie u contenue dans le volume de la cavité
contenant,
c
c) Sachant que E ,b  u , trouver l’expression du pouvoir émissif spectral E
4
Exercice n°17
Supposons que le soleil rayonne comme un corps noir, calculer sa température à
partir des données suivantes :
RS  7,0  108 m : rayon du soleil, RST  15 1010 m : distance soleil-terre,
S  1380 W / m 2 : constante solaire (flux d’énergie rayonnée moyenne incidente sur
l’atmosphère de la terre.
Exercice n°18
Calculer les facteurs de forme pour les configurations suivantes :

1
r
2 3 2
2

1
1

Exercice n°19
Calculer le facteur de forme et l’énergie rayonnée nette entre deux surfaces parallèles
infinies de températures respectives T1 et T2 . Les deux surfaces sont supposées
opaques et grises d’émissivités respectives  1 et  2 .
Exercice n°20
Calculer le facteur de forme et l’énergie rayonnée nette entre deux cylindres
concentriques infinis de températures respectives T1 et T2 . Les deux surfaces sont
supposées opaques et grises d’émissivités respectives  1 et  2 .
Exercice n°21
Considérons un four cylindrique tel que R  H  1 m , la surface supérieure ( S1 ) et la
base ( S 2 ) ont respectivement les émissivités  1  0,8 et  2  0,4 , et maintenues aux
températures T1  700 K et T2  500 K . la surface latérale est considérée comme
noire et est maintenue à la température T3  300 K .
a) Calculer l’énergie rayonnée par chaque surface,
b) Expliquer comment maintenir ces surfaces aux températures spécifiées durant
un régime permanent.

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