Ce document contient deux exercices sur les équations aux dérivées partielles. L'exercice 1 contient 4 questions sur la résolution d'équations aux dérivées partielles et l'exercice 2 demande de trouver la solution d'une équation par la méthode de séparation des variables.
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Université de Douala Année académique 2021-2022
Ecole Nationale Supérieure Polytechnique Niveau : 3 Durée : 2h00
Equations aux dérivées partielles Contrôle Continu, Novembre 2021 Département TCO Enseignant : P. Njionou Sadjang
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Exercice 1. (10 points)
Dans cette exercice chaque question vaut 2,5 points.
∂f ∂f 1. Résoudre l’équation 2 + 3 = 4 f avec la condition aux limites f (t, t) = t, (t ∈ ∂x ∂y R). Considérons la fonction φ(t) = f ( a + 2t, a + 3t). Alors on vérifie que
∂f ∂f φ0 (t) = 2 +3 = 4φ(t). ∂x ∂x Ce qui donne alors φ(t) = ke4t . Mais x = a + 2t et y = a + 3t, donc t = y − x et a = (3x − 2y). De plus φ(0) = k = f ( a, a) = a = (3x − 2y). On en déduit que
f ( x, y) = (3x − 2y)e4(y− x) .
2. Résoudre l’équation aux dérivées partielles suivante :
∂f ∂f 2xy + (1 + y2 ) =0 ∂x ∂y
u2 + v2 u en utilisant le chamgement de variable x = et y = . 2 v 1 + y2
On obtient après calculs f ( x, y) = g où g est une fonction de classe C1 . x 3. Soit f : R2 → R de classe C 2 . On pose g( x, y) = f (2x + y, 2x − y). (a) Calculer les dérivées partielles secondes de g en fonction de celles de f . On a : ∂2 g ∂2 f ∂2 f ∂2 f = 4 6 +8 +4 2 2 ∂x2 ∂ x ∂x∂y ∂ y 2 ∂ g 2 ∂ f 2 ∂ f 2 ∂ f 2 = 6 −2 + 2 2 ∂x ∂ x ∂x∂y ∂ y 2 ∂ g 2 ∂ f ∂2 f = 2 2 −2 2. ∂x∂y ∂x ∂y
∂2 g ∂2 g (b) Trouver f telle que − 4 = 1. ∂x2 ∂y2 xy On obtient f ( x, y) = + h( x ) + k(y).. 16 4. En utilisant la transformée de Laplace, résoudre l’équation ∂u ∂u = 2 +u ∂x ∂t
1 avec le condition initiale u(0, x ) = 6e−3x . En faisant une transformée de Laplace, on revient à l’équation
d U (s, x ) − (2s + 1)U (s, x ) = −12e−3x . dx La solution de l’équation homogène est
U p (s, x ) = Ke(2s+1) x , K∈R
6 −3x En utilisant la variation de la constante on en déduit que U (s, x ) = e , ainsi s+2 u(t, x ) = 6e−2t e−3x . Exercice 2. (10 points) Trouver par la méthode de la séparation des variables la solution u = u( x, t) du problème
∂2 u ∂u ∂u = 2 + 2 + 2u x ∈ (0, π ), t > 0 ∂t ∂x ∂x u(0, t) = u(π, t) = 0 t>0 − x u( x, 0) = e sin 2x x ∈ (0, π ).
Solution : Etape 1 :(Séparation des variables). On commence par résoudre seulement
∂2 u ∂u ∂u = 2 + 2 + 2u x ∈ (0, π ), t > 0 ∂t ∂x ∂x u(0, t) = u(π, t) = 0 t > 0.
On cherche des solutions de la forme u( x, t) = v( x )w(t). On a donc :
u(0, t) = v(0)w(t) = u(π, t) = v(π )w(t) = 0 ∀t.
On en déduit que v(0) = v(π ) = 0. Par ailleurs, l’équation devient
v( x )w0 (t) = (v00 ( x ) + 2v0 ( x ) + 2v( x ))w(t)
Ce qui donne, en séparant les variables
v00 + 2v0 + 2v w0 = −λ = , v w c’est-à-dire ( v00 ( x ) + 2v0 ( x ) + (2 + λ)v( x ) = 0 et w0 (t) + λw(t) = 0. v (0) = v ( π ) = 0
Le premier problème a des solutions non triviales seulement quand λ = λn = n2 − 1 et elles
sont données par vn ( x ) = αn e− x sin nx. 2 −1) t En revenant à l’équation en w, on trouve wn (t) = e−(n . Ainsi la solution générale de l’équation est : ∞ ∑ αn sin nxe−(n −1)t . 2 u( x, t) = e− x n =1
2 Etape 2 :(Conditions initiales). Il nous faut encore choisir les αn pour que ∞ u( x, 0) = e− x sin 2x = ∑ αn e−x sin nx. n =1
On voit immédiatement que α2 = 1 et αn = 0 pour tout n 6= 2. La solution est ainsi
