TS Chap0
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Mesures et incertitudes
Mesures et incertitudes
En physique et en chimie, toute grandeur, mesurée ou calculée, est entachée d’erreur, ce qui ne l’empêche
pas d’être exploitée pour prendre des décisions.
Aujourd’hui, la notion d’erreur a son vocabulaire ; le but est ici d’apprendre à estimer ou à calculer
l’incertitude de mesure associée.
1 – Grandeurs physiques
1.1 – Grandeurs mesurées et calculées
Une grandeur est utilisée en sciences pour caractériser un
objet ou un événement.
Les plus courantes, telles que la masse ou la longueur, ont
été initialement définies par comparaison à des étalons tels
que le mètre-étalon ou le kilogramme-étalon.
Les grandeurs sont obtenues soit par mesure (avec des
instruments adaptés) soit par calcul (à partir d’autres
grandeurs).
La masse m d’un véhicule est mesurée à l’aide d’une
bascule, sa vitesse v est lue sur le compteur ; son énergie
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cinétique est calculée à l’aide de la relation Ec = mv ² . Le kilogramme-étalon, conservé au Palais de
2 Breteuil, à Sèvres (France)
1.2 – Unités
La plupart des grandeurs sont associées à des unités ayant un nom et un symbole1. Le système
le plus utilisé, appelé système international (SI), comporte sept unités : mètre, kilogramme,
seconde (MKS), ampère, mole, kelvin et candela ; toutes les autres unités peuvent être
exprimées à partir de ces unités de base.
Mesurer une grandeur, c’est la comparer à son unité : la mesure comporte une valeur
accompagnée de son unité.
L’indice de réfraction ou la densité sont des grandeurs sans unité : elles sont dites
adimensionnées.
2 – Précision et incertitude
2.1 – Intervalle de confiance
Qu’elles soient mesurées ou calculées, les valeurs des grandeurs ne peuvent être connues
qu’avec une précision limitée.
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Le nom d’une unité est un nom commun, écrit sans majuscule. James Joule a donné son nom à l’unité d’énergie du système
international, le joule, de symbole J. Les unités issues de noms propres ont un symbole commençant par une majuscule.
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La valeur vraie d’une grandeur n’est pas accessible : du fait des fluctuations de tout phénomène
et des imperfections des mesures, l’expérimentateur n’a accès qu’à des valeurs estimées des
grandeurs, dont il peut donner un encadrement avec un bon niveau de confiance.
Cet encadrement est appelé intervalle de confiance dans lequel il estime que la valeur vraie de
la grandeur se trouve.
Les erreurs systématiques sont liées à l’appareil de mesure et peuvent disparaître idéalement
par réglage. Par exemple, une balance n’affichant pas zéro en l’absence de masse à peser
donnerait lieu à une erreur systématique.
Plus l’erreur systématique de mesure est petite, plus la justesse de la mesure est grande. Ainsi, à
priori, la fig. c indique que le fusil est mal réglé.
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3 – Estimation de l’incertitude
L’incertitude ne s’évalue pas de la même manière, selon que la mesure soit faite en une seule
fois ou répétée un grand nombre de fois.
Pour une série de n mesures indépendantes donnant des valeurs mesurées mk, l’écart-type de
la série de mesures est
∑ ( mk − m )
n 2
σ n−1 = k =1
n −1
où m est la moyenne de la série de mesures.
L’incertitude de répétabilité associée à la mesure dépend du nombre de mesures et de l’écart-
type peut être calculée par
σ n−1
∆M = k ×
n
où k, facteur d’élargissement, dépend du nombre de mesures réalisées et du niveau de
confiance choisi. Sa valeur figure dans une table issue de la loi statistique de Student.
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n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
k95% 12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,15 2,13
k99% 63,7 9,93 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,06 3,01 2,98 3,95
Exemple
La mesure de la durée ∆t de chute d’un objet depuis une fenêtre a été répétée 16 fois avec un
chronomètre de qualité. Les résultats sont les suivants.
3.3 – Etalonnage
Une série de mesures effectuées dans les mêmes conditions sur une série d’échantillons permet
de tracer une courbe d’étalonnage. Lorsque celle-ci peut être modélisée par une droite, il est
possible d’en déterminer graphiquement les caractéristiques : coefficient directeur, ordonnée à
l’origine, qui donnent une valeur plus précise qu’une mesure unique.
Le coefficient directeur est calculé à partir des points de la droite (non nécessairement des
points de mesure), ce qui correspond à une forme de moyenne appelée régression.
La qualité des mesures (et de la modélisation) est alors traduite par un coefficient de corrélation ;
elle est d’autant meilleure que ce coefficient est proche de 1.
L’alignement des points valide la méthode de mesure en montrant qu’elle est répétable : c’est
l’analogue du tir groupé sur la cible.
Exemple
Un dispositif informatique permet, à l’aide d’un émetteur et d’un récepteur, de mesurer les
durées de propagation t du son pour diverses distances d parcourues. Les distances sont
connues avec une incertitude ∆d = 1 cm, les durées avec une incertitude ∆t = 0,05 ms.
d (cm) 20 30 40 50 60
t (ms) 0,59 0,87 1,18 1,31 1,76
Le graphique tracé à partir des mesures présente des points semblant alignés, à une anomalie
près. La droite de tendance est tracée et son coefficient directeur mesuré graphiquement ;
d ( B) − d ( A) 55.10−2 − 0
v= = −3
= 3, 4.102 m.s −1
t ( B) − t ( A) 1, 6.10 − 0
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4 – Calculs d’incertitudes
4.1 – Incertitudes dans les calculs
Pour une grandeur obtenue par calcul, l’incertitude sur la valeur de cette grandeur se calcule
également.
Le nombre de chiffres significatifs avec lequel un résultat est exprimé doit être en accord avec
l’incertitude absolue calculée.
Exemple : pour une grandeur x calculée à partir des grandeurs y et z, on peut appliquer les
règles simplifiées suivantes :
• Si x résulte d’additions ou de soustractions (ex : x = 2y – 3z), l’incertitude absolue sur x
est une somme d’incertitudes absolues (∆x = 2.∆y + 3.∆z).
• Si x résulte de multiplications ou de divisions (ex : x = 4yz), l’incertitude relative sur x est
∆x ∆y ∆z
la somme des incertitudes relatives sur y et sur z ( = + , le facteur ‘
x y z
n’intervenant pas dans l’expression)
Ainsi, prenons un pot de fleurs de masse m = 2,3 ± 0,2 kg tombant d’une altitude h = 4,5 ± 0,1 m
au-dessus du sol. L’intensité de la pesanteur est g = 9,81 ± 0,01 N.kg–1.
L’énergie potentielle de pesanteur du pot est Epp = mgh = 101,53 J : un excès de chiffres
significatifs est provisoirement conservé, et sera tranché à la lumière du calcul d’incertitude
∆Epp ∆m ∆g ∆h
= + + = 0,1
Epp m g h
soit ∆Epp = 0,1 x 101,53 = 1.101 J.
L’énergie potentielle de pesanteur s’écrira donc : Epp = (10 ± 1) 101 J.
Remarque : ces formules sont données au baccalauréat.
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Si le résultat provient d’une somme ou d’une différence de termes, il faut les exprimer dans la
même unité pour procéder au calcul : le dernier chiffre exprimé dans le résultat est déterminé
par le dernier chiffre exprimé de la donnée la moins précise.
Attention : certains nombres sont considérés comme exacts : c’est le cas du
coefficient ½ de l’énergie cinétique, mais aussi de la vitesse de la lumière dans le
vide, c = 299 792 458 m.s–1 (convention de 1983).
Exemple
Une feuille est mesurée avec une règle graduée de 30 cm.
Sa largeur est l = 29,7 cm ; pour connaître sa longueur, il faut utiliser la règle deux fois, ce qui
n’autorise pas la même précision : une manipulation peu soigneuse donne L = 42 cm.
• L’aire de la feuille est S = Ll = 42 x 29,7 = 1,2.103 cm² : il n’y a que deux chiffres
significatifs au résultat, puisque la longueur en comporte deux.
• Le périmètre de la feuille est P = 2L + 2l = 2 x 42 + 2 x 29,7 = 143 cm. Le plus petit chiffre
exprimé est celui des millimètres pour la largeur, mais celui des centimètres pour la
longueur : le résultat comporte trois chiffres significatifs, et non deux comme on pourrait
s’y attendre avec la règle pour les multiplications/divisions…
5 – Pratique expérimentale
5.1 – Données anormales
Certaines données doivent être éliminées quand elles sont manifestement incohérentes avec les
autres valeurs. Cette élimination doit donner lieu à une réflexion sur la méthode de mesure.
En toute rigueur, une mesure anormale pour laquelle aucune cause n’est imaginée doit être
effectuée de nouveau avant d’être éliminée.
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La mesure est alors d’autant plus satisfaisante que cet écart relatif est petit.
Exemple
En TP évalué, trois candidats font la même détermination de la concentration c d’un acide. Ils
proposent les valeurs suivantes.
•
Linh : 24 ± 3 mmol.L–1
• Sarah : 12 mmol.L–1
• Romain : 19,935 ± 4 mmol.L–1
Le correcteur attend la valeur c = 20 ± 2 mmol.L–1.
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Les récipients mesurant un volume n’ont pas tous la même précision : cela influe, par exemple, sur la connaissance
de la concentration.
Dans la suite, la masse volumique de l’eau à 20°C est prise égale à ρ = 0,998 16 g.mL–1.
1 – Expérience préliminaire
• A l’aide d’une balance de précision, peser un
bécher vide possédant une graduation 100 mL.
Le peser de nouveau, après l’avoir rempli d’eau
jusqu’à cette graduation, et en déduire la masse
d’eau.
• Faire de même avec une éprouvette et une fiole
jaugée.
Questions
1. Calculer, pour chacun des récipients, l’écart
relatif entre la masse d’eau mesurée et la masse
d’eau attendue.
2. Calculer la moyenne des écarts relatifs obtenus
par la classe pour chaque récipient : en déduire
lequel permet de mesurer des volumes avec la
meilleure précision.
Questions
1. Calculer l’incertitude ∆c1 avec laquelle c1 est connue sachant que
∆c1 ∆m ∆M ∆V
= + +
c1 m M V
où m est la masse de sulfate de cuivre pesée, M sa masse molaire et V le volume de la solution.
2. Calculer l’incertitude ∆c2 sur la concentration c2 sachant que
∆c2 ∆c1 ∆V1 ∆V2
= + +
c2 c1 V1 V2
où V1 est le volume de solution mère prélevé et V2 le volume de solution fille fabriqué.
3. Si S2 avait été préparée par pesée, quelle masse de solide aurait-il fallu peser ? Calculer
l’incertitude ∆c2 dans ce cas.
4. Commentez les deux modes de préparation de la solution S2 au regard des incertitudes trouvées.