Université de Carthage IPEIN PC et T -Novembre 2016

LIMITE - CONTINUITÉ

Exercice 1:
1) En considérant les suites (un ) et (vn ) définies par un = π2 + 2nπ et vn = − π2 + 2nπ, montrer
que la fonction x 7→ sin x n’a pas de limite en +∞ .
2) Montrer que la fonction x 7→ cos x1 n’a pas de limite en 0.
3) Soit f une fonction définie sur R à valeurs dans R et T -périodique (T > 0), admettant une
limite réelle l quand x tend vers +∞ . Montrer que f est constante.

Exercice 2:
1) Soit f une fonction définie sur R+ croissante telle que la suite (f (n)) diverge vers +∞. Mon-
trer que lim f (x) = +∞
x→+∞
2) a)Soit g une fonction définie sur R à valeurs dans R, croissante et T -périodique (T > 0).
Soit x ∈ R. Montrer qu’il existe n0 ∈ N tel que: −nT 6 x 6 nT ; ∀n > n0 et déduire que g est
constante.
b)Soient f et g deux fonctions définies sur R à valeurs dans R avec g T -périodique, f + g crois-
sante, et lim f (x) = 0. Déduire de 2) a) que g est constante.
x→+∞
3) Reprendre 2) b) en utilisant : Exercice 1 3) et le Théorème de la limite monotone.

Exercice 3:
Montrer que la fonction f : x 7−→ x sin( x1 ) est prolongeable par continuité en 0.

Exercice 4:
Soit f : R −→ R définie par: 
x si x ∈ Q
f (x) =
0 si non.
Montrer que f est est continue en 0 mais nulle part ailleurs.

Exercice 5:
Étudier la continuité de la fonction définie sur R∗+ par:

eE(x) ln(x)
f (x) =
E(x)!

1
 Exercice 6:
1) Soit f : R −→ R continue telle que lim f (x) = 2016 et lim f (x) = −2017. Prouver que
x→−∞ x→+∞
f s’annule.
2) Soit f une fonction polynomiale de degré impair. Montrer que f possède au moins une racine
réelle.

Exercice 7:
1) Soit f : [0, 1] −→ [0, 1] continue. Montrer que f admet un point fixe.
2) Soit f : [a, b] −→ R continue.
a) Montrer que si f ([a, b]) ⊂ [a, b] alors f admet un point fixe.
b) Montrer que si [a, b] ⊂ f ([a, b]) alors f admet un point fixe.

Exercice 8:
Soit f : R −→ R continue et décroissante.
1) Montrer que ϕ : x 7−→ ϕ(x) = f (x) − x est strictement décroissante sur R.
2) Montrer que lim ϕ(x) = +∞ et déterminer lim ϕ(x).
x→−∞ x→+∞
3) Déduire que f admet un unique point fixe.

Exercice 9:
1) Montrer qu’une fonction définie sur R, continue et T -périodique (T > 0) est bornée.
2) Soient f : R −→ R bornée et g : R −→ R continue. Montrer que g ◦ f et f ◦ g sont bornées.
3)Soit f : [0; +∞[−→ R une fonction continue possédant une limite finie l en +∞. Montrer que
la fonction f est bornée.

Exercice 10:
On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ par: f (x) = 2(ln(x) + x1 ).
1) Montrer que l’équation f (x) = x admet une unique solution que l’on notera α (que l’on ne
cherchera pas à expliciter), puis vérifier que α > 1.
2) On considère la suite (un ) définie par u0 = 1 et un+1 = f (un ) , ∀n > 0.
a) Montrer que pour tout n ∈ N , un > 1.
b) Montrer que (un ) est croissante.
c) En déduire que (un ) converge vers un réel que l l’on précisera.

Exercice 11:
Soit f : R −→ R, telle que:

∀x, y ∈ R f (x + y) = f (x) + f (y) (R)

1) Calculer f (0) et vérifier que f est impaire.

2) On pose a = f (1). Calculer f (n) pour tout n ∈ Z.
3) Montrer que ∀r ∈ Q, f (r) = ar.
4) On suppose en outre que f est continue en 0.
a) Montrer que f est continue sur R.
b) En déduire que f (x) = ax pour tout réel x.
c) Déterminer toutes les applications continues f : R −→ R vérifiant (R).

2
 Exercice 12:
Soit n un entier naturel non nul et l’équation d’inconnue x ∈ R∗+ ;

En : xn ln x = 1

1
1) Montrer que ϕ : R∗+ −→ R définie par: ϕ(x) = xn ln x − 1 réalise une bijection de [e− n , +∞[
sur un intervalle Jn que l’on précisera.
2) Déduire que l’équation En admet une unique solution un , et que un > 1.
3) Vérifier que ϕn (un+1 ) − ϕn+1 (un+1 ) = unn+1 (1 − un+1 ) ln(un+1 ) puis comparer ϕn (un+1 ) et
ϕn (un )
4) Déduire que la suite (un ) est décroissante et converge vers 1.

Exercice 13:
Soit f : R −→ R, telle que:

∀x, y ∈ R |f (y) − f (x)| = |y − x|

Pour tout réel x, on pose g(x) = f (x) − f (0).

1) Établir que f et g sont continues sur R.
2) Calculer (g(x))2 pour tout réel x puis en calculant (g(x)−g(y))2 , démontrer que g(x)g(y) = xy
pour tous réels x et y.
3) En déduire l’expression de f .

Exercice 14:
Soient 0 < k < 1 et f : R −→ R, telle que:

∀x, y ∈ R |f (y) − f (x)| 6 k|y − x|

1) Établir que f est continues sur R.

2) Montrer que
∀x ∈ R |f (x)| 6 |f (0)| + k|x|

3) On considère la fonction g(x) = f (x) − x. Calculer les limites de g en ±∞ et déduire que f

possède un unique point fixe.

3
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