Serie N°2 Activite's Numeriques I 2020 - 2021

L. K.
JANOURA KEBILI SERIE N°1 Mr :AMMAR BOUAJILA
1èr A.S PILOTE ACTIVITÉS NUMERIQUES I 2019 - 2020
EXERCICE 1 Répondre par V rai ou faux en justifiant
I/ Soient a , b et c trois entiers naturels non nuls.

a) Si a divise b, alors a2 divise b2
b) Si a divise b et c divise b alors le produit a.c divise b.
c) Si a et c sont deux diviseurs premiers de b le produit a.c divise b.
d) Si a divise 5b + 9 et divise 2b + 3 alors a = 1 ou a = 3.
e) le produit a(a+1)(a+5) est divisible par 6 pour tout entier naturel a
f) Pour tout entier naturel a , a4 − a est divisible par 4
g) Si la différence a − b = 538, et tels que le quotient et le reste de la division
euclidienne de a par b sont respectivement 13 et 22. alors b=43
h) le reste de la division euclidienne de (a2 + (a − 1)2 )2 par 4a2 est (2a − 1)2
i) 2 est le reste de la division euclidienne de 5a + 7 par a+1
J) Si dans la division euclidienne de a par b, le quotient n 'est pas nul.
alors a est supérieur au double du reste
k) Quel que soit l'entier naturel a, le nombre a(a + 3) est divisible par 2.
l) le nombre ⏟ 555555. . . . . . . . . . . . . . . .5 est un carré parfait.
2019 fois le chiffre 5
II/ Soient a ;b ;a’ et b’ quatre entiers naturels non nuls distincts tels que a =11a’ ;b =33b’
et a’ et b’ sont deux entiers premiers entre eux alors
1 a et b sont premiers entre eux ……………………………………………..

2 PGCD (a , b)=7 ……………………………………………..
3 PPCM (a , b) est un multiple de 11 …………………………………………….
4 La fraction 33a/11b est irréductible …………………………………………….
5 PGCD (a ;b)=11 si 3 ne divise pas a’ …………………………………………….
6 a +b est un nombre premier ……………………………………………
EXERCICE N° 2 les questions 1 / 2 / 3 / sont indépendantes

1/ Soient m et n deux entiers naturels tels que m est pair et le reste de la division
euclidienne de n par 4 égal 3 . Montrer que m+n est impair
2/ Soient x =8× 1010 −7 et y =8× 1015 +13
a) Déterminer le reste de la division euclidienne de x et y par 8
b) Montrer que x + y n 'est pas premier
c) Montrer que x et 1010 −1 sont premiers entre eux
3°/ Soit n un entier naturel supérieur à 10 dont son reste de la division
euclidienne par 8 égal 3
AMMAR BOUAJILA Page 1

a) Montrer que n et 8 sont premiers entre eux
b) Déterminer les valeurs possibles de n sachant de plus que n est inferieur à 260
et que n +5 est divisible par 22
N = 7a + 2
4°/ Soient N ; a et b trois entiers naturels non nuls tels que:{
N = 11b + 3
Montrer que le reste de la division euclidienne de N par 77 égal à 58
EXERCICE N° 3
Soit n un entier naturel

a) Déterminer le reste possible de la division euclidienne de n par 3
b) En déduire le reste de la division euclidienne de n2 + 1 par 3
c) Montrer que pour tout entier naturel m , le nombre 3m-1 n 'est pas un carré parfait
EXERCICE N° 4
1°/ Déterminer tous les entiers naturels a et b tels que (a − 1)2b = 18.
2°/ x et y désignent des entiers naturels avec x > y.
a) Démontrer que si x2 y − xy2 = 6, alors x.y e t x − y divisent 6.
b) Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que x2 y − xy2 = 6.
EXERCICE N° 5
a) Montrer que si n est somme des carrés de deux entiers consécutifs
alors 2n− 1 est le carré d'un entier.
b) Montrer que si 2n − 1 est le carré d'un entier naturel
alors n est somme des carrés de deux entiers consécutifs.
EXERCICE N° 6 Les questions 1, 2 , 3 , 4 , 5 et 6 sont indépendantes
1°/ Démontrer quels que soient les entiers naturels a et b, tel que a > b
le nombre n=ab (a²-b²) est divisible par 3.
2°/ Les nombres x ,y, z sont des entiers naturels appartenant à E={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Montrer que le nombre xyz̅̅̅̅̅ est divisible par 11 si ,x−y + z est divisible par 11
3°/ Soit n un entier naturel supérieur ou égaux à 3
3n²+4n 20
a) Vérifier que F = = 3n + 10 +
n−2 n−2
3n²+4n
b) Trouve les valeurs de n telles que la fraction F = soit égale à un entier naturel.
n−2
4°/ On désigne par x=12n+13 et y=42n+17 avec n un entier naturel
a) Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne x et y par 6
b) Montrer que x+y n’est pas premier
5°/ Soient les entiers naturels a , b et c tels que b= 15a + 17 et c= 15a + 14
Déterminer le PGCD (b ; c )
6°/ Montrer que pour tout entier naturel n , 2n( 2 n² + 1) est divisible par 6

EXERCICE N° 7
3570
On considère la fraction F =
1890
1°/ Pourquoi la fraction F n’est-elle pas irréductible ? (justifier sans faire de calculs).
2°/ Calculer, par la méthode de votre choix, le PGCD de 3570 et 1890
3°/ En déduire une écriture de F sous forme irréductible.
4°/a) Est-ce que la fraction F représente un nombre décimal ? Justifier
b) Donner l’arrondi au millième de F
EXERCICE N° 8
235
On considère la fraction :
120
1°/Les entiers naturels 235 et 120 sont ils premiers entre eux
2°/Calculer PGCD(235,120) par l’Algorithme d’Euclide. En déduire PPCM(235,120)
3°/ Déterminer l'ensemble des diviseurs communs à 235 et 120
235 235
4°/ Déterminer l'ensembles des entiers naturels n pour que et soient
n−1 n−1
des entiers naturels
EXERCICE N° 9
Soit x=560 et 𝑦 = 23 × 153
1°/ Décomposer x et y en produit de facteurs premiers
2°/ Déterminer le PPCM(x, y)
4°/ En utilisant l’algorithme d’Euclide calculer le PGCD(x, y)
𝑦
5°/ En déduire une fraction irréductible de
𝑥
EXERCICE N° 10
a) Trouvez deux entiers dont la différence entre leur PPCM et leur PGCD est 187.
b) Trouvez les deux nombres a et b sachant que leur PGCD est 24 et leur PPCM
est 1344
EXERCICE N° 11
n désigne un entier naturel
a) Vérifier que n2 + 5n + 7 = (n + 1)(n+4) +3
b) Montrer que PGCD(n2 + 5n + 7 ; n + 1) = PGCD(n + 1 ; 3).
c) En déduire les entiers naturels n pour lesquels n2 + 5n + 7 et n + 1
sont premiers entre eux
EXERCICE N° 12
Soit n un entier naturel non nul

On donne: a=n(n+1) , b= n2019 + n2018 et c= n2−1
1°/ a) Montrer que le nombre a est pair

b) En déduire que le nombre b est divisible par 2
c) Montrer que pour entier naturel n impair le nombre c est divisible par 8
2°/ Déterminer alors :
PGCD (2 ; a ) et PPCM (8 ; (a+1)2−1 ).
3°/ a) Vérifier que pour tout entier naturel n:
n3−n +8= n(n2−1) +8
b) Déterminer alors l'ensemble des entiers naturels n non nuls
n3 −n +8
pour que soit entier naturel
2(n+1)
EXERCICE N° 13
Soient x et y sont deux entiers compris entre 0 et 9.
On donne a = ̅̅̅̅̅̅̅
27𝑥𝑦 est l’écriture décimale d’un nombre à quatre chiffres dans lequel x est le
chiffres des dizaines et y celui des unités.
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
et b =10 𝑥8𝑦 est l’écriture décimale d’un nombre à cinq chiffres dans lequel x est le chiffres
des centaines et y celui des unités.
Déterminer la valeur de x et de y dans chacun des cas suivants :
1°/ a et b sont divisibles par 6.
1°/ a et b sont divisibles par 15

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I/ Soient a , b et c trois entiers naturels non nuls.

1 a et b sont premiers entre eux ……………………………………………..

EXERCICE N° 2 les questions 1 / 2 / 3 / sont indépendantes

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Soit n un entier naturel non nul

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