4.

Régulateur PID analogique

Introduction
Le régulateur, de fonction de transfert Gc(s), est situé en amont du système à régler,
de fonction de transfert Ga(s).

Figure: Schéma fonctionnel d'un système asservi mono-variable. On distingue le

régulateur Gc(s) et le système à régler Ga(s).
Le système à régler Ga(s) comprend, outre le processus, l'amplificateur de
puissance, l'actionneur, le capteur et l'électronique de traitement de la mesure
associée.

Figure: Schéma fonctionnel universel d'un système asservi.

L'entrée du régulateur comprend forcément la consigne et la mesure de

la grandeur réglée. Le plus souvent la comparaison

directe est effectuée, appelée écart ou erreur.

1
Le régulateur a pour charge de maintenir le signal d'erreur aussi proche de
zéro que possible; dans ce but, il fournit au système à régler la

commande telle que l'image de la grandeur réglée obtenue par mesure

corresponde à la consigne .

La commande est construite sur la base des signaux de consigne et de

mesure de la grandeur réglée selon la loi de commande

Cette commande est en général d'un faible niveau de puissance, raison pour
laquelle un amplificateur de puissance est normalement intercalé entre le régulateur
et le système à régler à proprement parler.

Appliquée au système à régler, la commande provoque donc une modification

de la grandeur réglée . Le régulateur en tenant compte pour former , on

constate que apparaît:

 à l'origine de l'action entreprise par le régulateur;

 comme conséquence de cette action.

Représenté graphiquement sous forme de schéma fonctionnel, le système présente

donc une boucle.

La loi de commande du régulateur peut être très simple (régulateur tout-ou-rien)

si

si
ou beaucoup plus compliquée (régulateurs flous, réseaux de neurones).

Régulateurs non-linéaires
Si l'on imagine vouloir régler la température d'une salle et la maintenir aux environs

de , on se dit qu'il suffit d'enclencher ou déclencher le chauffage selon que

2
la température ambiante est plus petite ou plus grande que la température souhaitée
(figure 4.8).

Avec ce régulateur, appelé tout-ou-rien, ou encore à action à deux positions, la

température oscillera légèrement autour de et cela à satisfaction des

utilisateurs de la salle. Cependant, le chauffagiste risque d'être très mécontent car il
verra la chaudière s'enclencher et déclencher sans cesse pour de courts instants.
Cette situation n'est pas acceptable pratiquement.

Figure: Régulation automatique de la température d'un local.

Pour éviter cela, on lui préfère un autre régulateur à deux niveaux avec hystérèse
(figure 4.9).

3
 Figure: Régulateur à action à deux position avec hytérèse.

Dans ce cas, on verra la température osciller avec plus d'amplitude autour

de et cela sans gêne pour le confort des personnes présentes. De son côté,
le chauffagiste sera satisfait, car la chaudière s'enclenchera et déclenchera pour des
durées raisonnables préservant ainsi sa durée de vie.

Figure: Allure de la grandeur réglée (température mesurée) lors d'un asservissement par
régulateur à action à deux position avec hytérèse.

Il faut cependant noter que la non-linéarité de ces régulateurs simples rend difficile
leur synthèse sur la base d'un cahier des charges fixant les performances du système
asservi. Malgré cela, ils sont fréquemment utilisés pour des applications dont
l'actionneur supporte une forte sollicitation et pour lesquelles une oscillation

4
constante de la grandeur réglée autour de la consigne est admissible. Un
exemple d'application est le réglage de courant fournit par une alimentation à
découpage.

Dans ce qui suit, on se contentera d'étudier le régulateur standard PID, de loin le

régulateur le plus utilisé en pratique.

Régulateur à action proportionnelle (P)

Loi de commande, fonction de transfert, réponses indicielle et harmonique du
régulateur P

Le régulateur à action proportionnelle, ou régulateur P, a une action simple et

naturelle, puisqu'il construit une commande proportionnelle à l'erreur .

Cette action s'apparente à un effet ressort (ressort de rappel).

 Loi de commande du régulateur P:

 Fonction de transfert du régulateur P:

 Schéma fonctionnel du régulateur P:

Figure 4.11:

 Réponse indicielle du régulateur P:

Figure: Réponse indicielle du régulateur P (idéal). La réponse en traitillé rappelle

5
 qu'aucun système physique ne peut réagir statiquement, i.e. sans retard. Dans le cas
d'une réalisation électronique (à amplificateurs opérationnels par exemple) du
régulateur P, il est clair que le temps de montée esquissé est négligeable par rapport
aux constantes de temps du système à régler.

 Réponse harmonique du régulateur P:

Figure: Réponse harmonique du régulateur P.

L'atténuation esquissée en traitillé à partir de la pulsation rappelle que la

caractéristique entrée-sortie de tout élément physiquement réalisable tend toujours
vers 0 lorsque la fréquence tend vers l'infini. Dans le cas du régulateur P, elle est
par exemple due aux limites en fréquence de l'amplificateur opérationnel utilisé
pour sa réalisation électronique:

6
 Figure 4.14:

Les inductance et capacité parasites des résistances pourraient également intervenir,

certes à plus haute fréquence.

Avantages et inconvénients de l'action proportionnelle

On voit que le régulateur P assure une transmission instantanée du signal d'erreur;

dans ce sens, son action est relativement dynamique: sa commande ne dépend pas
du passé, ni d'une tendance, mais simplement de ce qui se passe à l'instant présent.

Une limitation du régulateur P est son incapacité à annuler notamment l'erreur

statique en régulation de maintien, i.e. celle qui apparaît consécutivement à

l'intervention d'une perturbation constante. En effet, si la commande à

appliquer au système doit être non-nulle afin que celui-ci puisse retrouver son état
d'équilibre, il est dans le même temps nécessaire que l'erreur soit non-nulle
puisque:

La figure ci-dessous illustre le phénomène pour le système à régler

contre-réactionné par un régulateur P de gain .

7
Figure: Réponse indicielle en boucle fermée avec asservissement par régulateur P: une erreur

statique subsiste car le signal de commande à appliquer au système à

régler doit être dans ce cas non-nul pour que atteigne un niveau différent de
zéro.

Régulateur à action intégrale (I)

Le problème de l'erreur statique

Les exemples des asservissements de vitesse et de température vus au chapitre 1

ont montré qu'un système, même contre-réactionné par un régulateur P, pouvait
présenter une erreur permanente en régime permanent constant. Cette erreur
intervenant alors que les signaux d'entrée (consigne ou perturbation) sont constants,
on la désigne par erreur statique.

Dans le cas de la régulation de vitesse, ce phénomène s'explique par le fait que

même dans un cas aussi banal que lorsque le moteur est à vitesse constante (

const.) et à vide ( ), le moteur DC doit être alimenté par une tension

aux bornes de l'induit égale à la tension induite :

8
Figure: Asservissement de vitesse d'un moteur DC. La tension aux bornes de l'induit

doit être non-nulle si la vitesse est différente de zéro, ne serait-ce que pour équilibrer

(au moins) la FEM .

Ainsi, même en régulation de correspondance, soit sans couple résistant, l'erreur

statique est non nulle:

Il faut donc que le système présente une erreur pour qu'une tension

d'alimentation non-nulle soit appliquée aux bornes de l'induit.

Il n'en va pas autrement en régulation de maintien: si des perturbations de couple

interviennent, telles que les frottements sec ou visqueux ou plus généralement un

couple résistant agissant sur son arbre, le moteur doit fournir du couple
pour les compenser afin de se maintenir en état d'équilibre. Ce couple (moteur) ne

9
peut alors être fourni que si la tension aux bornes de l'induit est supérieure à

la tension induite :

Celle-ci étant positive différente de zéro puisque le moteur tourne, doit donc
être positive différente de zéro. Avec un régulateur de type P, l'erreur ne peut donc
qu'être différente de zéro et le système asservi présente donc ce qu'on appelle
du statisme.

Annulation de l'erreur statique

Pour remédier au problème du statisme, on pourrait dans un premier temps

augmenter la consigne de la valeur de l'erreur statique constatée (figure 4.17).

Figure: Annulation manuelle de l'erreur statique par décalage de la consigne.

Sur cette lancée, on pourrait décider d'agir directement sur la commande en

procédant comme suit (figure 4.18):

 ajouter à la commande issue du régulateur P la quantité

ajustable ;

10
  augmenter ou diminuer progressivement jusqu'à ce que soit
nulle;

 est alors nulle ( ) et est exactement égale à la valeur

nécessaire à la compensation de l'erreur statique, et bien que l'erreur soit

nulle, la commande est bel et bien non-nulle.

Figure 4.18: Annulation manuelle de l'erreur statique par augmentation du signal de

commande.

En vue d'automatiser cette procédure, on la transcrit sur le diagramme suivant:

Figure: Annulation manuelle de l'erreur statique par augmentation du signal de commande:

suite des opérations effectuées.

11
On voit qu'il s'agit de trouver un élément, complétant l'action P, qui accumule le

signal d'entrée et se maintient à son dernier niveau lorsque l'erreur est nulle: la
solution consiste à intégrer l'erreur. La loi de commande est donc:

La commande proposée est formée des deux contributions et , contributions

proportionnelle (P) et intégrale (I). Le régulateur est donc à actions proportionnelle
et intégrale: c'est un régulateur PI.

Figure: Asservissement par régulateur PI.

Loi de commande, fonction de transfert, réponses indicielle et harmonique du

régulateur PI

 Loi de commande du régulateur PI:

 Fonction de transfert du régulateur PI:

 Schéma fonctionnel du régulateur PI:

12
 Figure: Schéma fonctionnel du régulateur PI.

 Réponse indicielle du régulateur PI:

Figure: Réponse indicielle du régulateur PI.

 Réponse harmonique du régulateur PI:

Figure: Réponse harmonique du régulateur PI.

13
  Réalisation électronique de principe:

Figure: Réalisation électronique de principe d'un régulateur PI.

 A la mise sous tension de l'installation, il faut veiller à ce que la

capacité soit initialisée à une valeur correcte (en principe déchargée),

sans quoi le système risque d'emblée de recevoir un saut de commande .

Un dispositif de décharge de est donc à prévoir.

Régulateur I pur

L'action P du régulateur PI n'est pas utile du point de vue de la précision en régime

permanent; cependant, le fait que l'action P permette la transmission instantanée du
signal d'erreur rend le régulateur PI plus dynamique que le régulateur I pur, mis en
oeuvre dans quelques cas particuliers où la vitesse n'est pas importante et où l'on
souhaite avoir une action relativement ``molle'' sur le système à régler.

 Loi de commande du régulateur I:

 Fonction de transfert du régulateur I:

14
Le régulateur PI est le régulateur le plus utilisé en pratique où ses contributions à
la précision mais aussi à la robustesse du système asservi sont particulièrement
appréciées.

Avantages et inconvénients de l'action intégrale

La réponse harmonique du régulateur PI (figure 4.23) montre que celui-ci est à

action plutôt intégrale à basse fréquence et plutôt proportionnelle à haute fréquence.
Ce comportement intégrateur à basse fréquence fait l'avantage du principal du
régulateur PI, son action I permettant d'annuler une erreur statique. Cela peut
également se comprendre en observant sur la réponse harmonique qu'à basse
fréquence, le gain de l'intégrateur tend vers l'infini: en d'autres termes, le gain de
boucle

tend vers l'infini et l'on a, en régulation de correspondance d'une part

et en régulation de maintien d'autre part

L'examen de ces deux fonctions de transfert en boucle fermée, évaluées en basses

fréquences, peut montrer un autre avantage du terme intégrateur: si le

gain varie quelque peu, les performances en boucle fermée du système ne

s'en ressentent que faiblement puisque l'on a approximativement:

15
On dit que le régulateur à action intégrale améliore la robustesse du système,
rendant en particulier ses performances de précision peu dépendantes des variations

des paramètres (notamment du gain permanent ) du système à régler .

L'inconvénient du régulateur PI peut se déduire directement de sa réponse

fréquentielle (figure 4.23), laquelle montre qu'à basse fréquence, tous les signaux

sont déphasés de : l'action intégrale est lente et ralentit ainsi la propagation

des signaux dans la boucle. Elle augmente ainsi le risque d'instabilité inhérent à
tout système contre-réactionné. Il faut donc être sur ses gardes lorsque l'on s'apprête
à mettre en oeuvre un régulateur comprenant un action intégrale. Dans le meilleur
des cas, la stabilité du système est maintenue grâce au talent de l'ingénieur
automaticien mais ses performances dynamiques (rapidité) sont forcément
dégradées en comparaison des résultats obtenus avec un régulateur P. On obtient
donc un système asservi plus précis mais moins rapide.

De plus, la commande intégrale atteignant son maximum lorsque l'erreur est

nulle, il est vraisemblable que la réponse indicielle (en régulation de
correspondance) du système asservi présente un dépassement plus important
qu'avec un régulateur P. En effet, en se plaçant dans la situation où le système

asservi reçoit un saut de consigne , on comprend d'une manière

intuitive que la contribution intégrale ne cesse de croître que lorsque l'erreur
s'annule. Ainsi, l'action I "pousse" de plus en plus le système tout pendant que

l'erreur est de même signe et l'entraîne d'autant plus violemment que le gain sur

cette action est élevé. Si, au moment où l'erreur s'annule pour la première fois,

la commande est trop élevée, le système dépasse la consigne et l'erreur

change de signe: il y a dépassement. Ceci est en fait nécessaire pour que la
commande atteigne son niveau final, l'erreur devant forcément changer de signe
afin de diminuer le contenu de l'intégrateur, lequel devant trouver le niveau requis

16
pour maintenir le système à son nouvel état d'équilibre déterminé par la
consigne.

La figure 4.25 illustre le phénomène pour le système à régler

contre-réactionné de trois manières différentes:

 régulateur P de gain ;

 régulateur I pur de gain ;

 régulateur I pur de gain ;

Figure: Réponses indicielles en boucle fermée, régulateur P pur avec , I pur

avec et .

17
On observe qu'en , pour , l'erreur s'annule mais les commandes sont
respectivement nulle et maximale pour les régulateurs P et I. De plus, lorsque le
gain sur l'action intégrale est trop élevé, un comportement oscillatoire mal amorti
est observable. Enfin, il vaut la peine de remarquer qu'avec le régulateur P, une
erreur statique subsiste alors qu'en revanche, le système est beaucoup plus rapide.

Régulateur à action proportionnelle (P) et dérivée (D)

Considérons les deux situations suivantes (figure 4.26), où l'erreur ) a la même

amplitude, mais où

 elle croît dans le premier cas;

 elle décroît dans le second cas.

Figure: Présentation de situations d'asservissement identiques en pour un régulateur

P.

Intuitivement, on conçoit qu'il serait illogique d'appliquer dans ces deux situations

la même commande ), bien que ce soit bel et bien l'action qu'entreprendrait un

régulateur de type P!

Il vient alors l'idée de former la commande ) non pas en tenant compte

exclusivement de l'amplitude de l'erreur (action P), mais aussi de son évolution,
dans le but de savoir quelle est la tendance du signal d'erreur et d'en quelque sorte
de la prévoir. Un bon moyen consiste à évaluer son taux de variation, à savoir sa

pente en calculant la dérivée de l'erreur en .

18
Pour ce faire, la dérivée par rapport au temps du signal d'erreur est

calculée au moyen d'un bloc fonctionnel. Multipliée par un gain ajustable , cette
contribution est ensuite ajoutée à celle de l'action P. La loi de commande du
régulateur PD obtenu est alors:

Loi de commande, fonction de transfert, réponses indicielle et harmonique du

régulateur PD

 Loi de commande du régulateur PD:

 Fonction de transfert du régulateur PD:

 Schéma fonctionnel du régulateur PD:

Figure: Schéma fonctionnel du régulateur PD.

 Réponse indicielle du régulateur PD:

Figure: Réponse indicielle du régulateur PD.

19
  Réponse harmonique du régulateur PD:

Figure: Réponse harmonique du régulateur PD.

Avantages: effet stabilisant et amélioration de la rapidité

L'action D apporte une amélioration notable du comportement dynamique,

accélérant la vitesse de réaction du régulateur aux moindres variations de l'erreur.
Ainsi, un signal d'erreur, si faible que soit son amplitude, pourra générer une

réaction très énergique du régulateur si son taux de croissance est élevé.

L'action D anticipe donc l'évolution du système et a tendance à accélérer la
propagation des signaux dans la boucle, comme le confirme la réponse harmonique
ci-dessus, laquelle montre que les signaux de haute fréquence subissent une avance
20
de phase tendant asymptotiquement vers . On peut d'ores et déjà déduire de
cette constatation que l'action D a un effet plutôt favorable sur la stabilité du
système asservi: il est donc important de réaliser quel'action D est plutôt
stabilisante et améliore la rapidité des systèmes. La figure 4.30 compare les
réponses indicielles en boucle fermée, régulation de correspondance, avec des

régulateurs P et PD de même gain proportionnel ;

 Système à régler:

 Régulateur P:

 Régulateur PD:

21
Figure: Réponses indicielles en boucle fermée, pour un même système système asservi par un
régulateur P puis un régulateur PD. Ce dernier offre, avec la même action proportionnelle (

dans les 2 cas) un comportement mieux amorti et tout à la fois plus dynamique.

Outre le comportement moins oscillatoire du système asservi par un régulateur PD,

on remarque que le système est plus rapide. Quant à la commande, on vérifie sur la
figure 4.31 qu'après une impulsion de grande amplitude suivant immédiatement
l'application du saut unité de consigne, elle change de signe pour "freiner" le
système, l'erreur étant déjà en train de décroître. Elle est par d'ailleurs en avance

sur , contrairement à la commande purement proportionnelle.

22
 Figure: Réponse indicielle en boucle fermée avec régulateur PD. La décomposition de la

commande en ses contributions proportionnelle ( ) et dérivée ( ) montre

bien l'effet d'anticipation ("freinage") de l'action D.

Des contre-exemples démentant cette affirmation peuvent cependant être trouvés en

relevant que si que l'effet d'avance de phase de l'action D est favorable par le fait
qu'il facilite la propagation des signaux dans la boucle, cette avance est

néanmoins limitée à la valeur (respectable) de , alors que le gain continue à

croître sans limite au rythme de . Il est donc plausible de se retrouver

dans une situation ou les d'avance que subit un signal haute fréquence sont
en partie ou totalement compensés par les retards propres au système à régler (par
exemple dans le cas d'un système possédant un retard pur) alors que le gain reste à
une valeur élevée. Les méthodes d'analyse harmonique étudiées ultérieurement
(chap.6) permettront de quantifier précisément ce problème.

Une conséquence directe de l'effet d'anticipation de l'action D est qu'il est a priori
plus facile de limiter les dépassements de la réponse indicielle avec un régulateur
PD qu'avec un régulateur P ou PI: l'action D apporte une contribution allant
diminuant dès le moment où l'erreur décroît, introduisant ainsi un effet de freinage
lors de l'approche de la consigne. Dans ce sens, l'action D est une commande
particulièrement ``intelligente''.
23
Inconvénients: sensibilité aux bruits et précision statique

Un inconvénient majeur de l'action D est à rechercher au niveau de l'effet des bruits

intervenant sur la mesure. Le dérivateur amplifie l'effet des bruits et ceci d'autant
plus que ceux-ci se situent par nature dans une gamme de fréquences relativement

élevées. On a en effet, dans le cas d'un bruit sinusoïdal de fréquence :

Figure: Prise en compte de la présence bruit sur la mesure.

En conséquence, la commande peut être s'avérer inutilisable, malmenant le

système à régler et notamment l'actionneur par des à-coups très violents. Il s'agit là
d'un problème très important auquel on se heurte presque toujours en pratique. Une
ébauche de remède sera proposée au paragraphe 4.4.5.

Un problème lié à la très grande dynamique de la réaction du terme D apparaît

également lorsque la consigne varie brutalement; le système à régler ayant toujours
de l'inertie, i.e. son temps de réaction n'étant pas infiniment court, la variation
brutale de la consigne se reflète instantanément sur l'erreur, dont la dérivée peut
amener la commande à des valeurs très élevées, comme le montre la réponse
indicielle du régulateur PD. Pratiquement, l'amplitude de la commande est toujours
limitée, ne serait-ce que

 naturellement, car la puissance disponible bien sûr elle aussi limitée,

ou encore
24
  artificiellement à des fins de protection de l'actionneur.

Figure 4.33: Limitation volontaire de la grandeur de commande.

En conséquence, il est très vraisemblable qu'à la suite d'une variation trop rapide de
la consigne, une saturation de la commande u(t) intervienne, faisant ainsi travailler
le système en régime non-linéaire. Outre le fait qu'une telle situation est anormale
et ne devrait pas se prolonger, cela signifie que le modèle du système à régler ne
correspond plus à celui adopté. L'analyse et la prédiction de comportement, si elle
reste possible, devient néanmoins plus difficile. En pratique, on évite donc d'exciter
un système asservi avec des signaux à flancs abrupts comme le saut unité en est un
exemple. Ce dernier est et reste donc plutôt un signal d'analyse réservé à

l'identification de la fonction de transfert du système à régler ou plus

simplement aux études théoriques. Une alternative consiste à filtrer la consigne afin
de limiter ses variations (figure 4.34).

Figure: Filtrage de la consigne afin d'éviter les saturations de la commande.

D'autre part, si l'action D est particulièrement bénéfique en régime transitoire,

lorsque la consigne et/ou la grandeur réglée évoluent, offrant une meilleure
précision dynamique, il n'en va pas de même en régime permanent où la
contribution dérivée est d'autant plus faible que l'erreur varie peu: elle est même
nulle lorsque l'erreur est constante! De ce fait, il est exclu, dans le contexte d'un
système asservi, de mettre en oeuvre un régulateur à action D seule. Un tel
régulateur serait très efficace en régime dynamique mais s'avérerait bien sûr
totalement inopérant en régime permanent constant, incapable de réagir dans le cas
pourtant le plus facile, i.e. celui ou l'erreur est constante. Pour l'exemple de la
régulation de vitesse de moteur DC précédemment étudié, cela signifie qu'une

25
erreur de vitesse constante ne générerait aucune tension aux bornes de

l'induit: !

L'action D n'améliore donc pas directement la précision en régime permanent, cette

tâche étant à la charge de l'action P voire de l'action I si un régulateur comprenant
les trois types d'actions P, I et D est mis en oeuvre. En conséquence, on notera
que l'action D ne permettant pas la transmission d'un signal constant, elle doit
donc toujours s'accompagner au moins d'une action P en parallèle (régulateur
PD).

Toutefois, par le fait que l'action D est plutôt stabilisante, le gain de l'action P peut
parfois être ajusté à une valeur plus élevée en minimisant le risque d'instabilité: la
précision en régime permanent peut être ainsi améliorée indirectement par l'action
dérivée.

Régulateur PD réalisable

L'opérateur effectuant la dérivée du signal d'erreur n'est pas réalisable

physiquement; en effet, l'examen de son lieu de Bode montre que son gain
tend vers l'infini en même temps que la fréquence du signal. La puissance de celui-
ci est alors, dans le cas d'un signal sinusoïdal d'amplitude unitaire:

Cette puissance tend vers l'infini lorsque en fait autant, ce qui rend caduque la
réalisation d'un dérivateur pur. Il faut donc s'attendre à ce qu'à partir d'une certaine

fréquence, le gain du dérivateur réel cesse d'augmenter au rythme

de et se stabilise à une valeur constante avant même de décroître. Les

fréquences caractéristiques correspondantes sont liées aux imperfections inévitables
de la réalisation, telle que par exemple la bande passante finie des amplificateurs
opérationnels, les capacités parasites des étages amplificateurs ou plus simplement
des résistances, tout autant d'éléments qui provoquent une atténuation du gain à
partir d'une fréquence plus ou moins élevée.

En pratique, les conséquences sont négligeables, eu égard à la gamme des

fréquences auxquelles ces phénomènes parasites interviennent. Qui plus est, on
souhaitera même dans certains cas amplifier leur effet en complétant délibérément

26
l'action D par un filtrage passe-bas de pulsation caractéristique nettement plus
basse. La raison à cela est d'ordre essentiellement pratique: on souhaite par ce biais
atténuer l'effet des bruits. Aussi le régulateur PD réalisé a-t-il souvent pour fonction
de transfert:

où est un coefficient ajustable nommé facteur d'avance de phase valant en

général à .

Figure: Schéma fonctionnel d'un régulateur PD réalisable.

Ce régulateur est parfois appelé régulateur à avance de phase, en raison de l'avance

provisoire qu'il apporte à la phase, comme le montre sa réponse harmonique:

27
 Figure: Réponse harmonique d'un régulateur PD réalisable.

Le calcul et le tracé de la réponse indicielle de ce régulateur sont faits en exercice.

Régulateur industriel PID

Le régulateur Proportionnel-Intégral-Dérivée est la combinaison des trois actions
de base P, I et D. Grâce au terme I, il permet l'annulation d'une erreur statique tout
en autorisant des performances de rapidité supérieures à un régulateur PI.

 Loi de commande du régulateur PID:

28
 Fonction de transfert du régulateur PID:

 Schéma fonctionnel du régulateur PID:

Figure: Schéma fonctionnel du régulateur PID.

 Réponse indicielle du régulateur PID:

Figure: Réponse indicielle du régulateur PID.

 Réponse harmonique du régulateur PID:

29
 Figure: Réponse harmonique du régulateur PID.

Pour établir les fonctions de transfert des régulateurs PD et PID, on a supposé que
le dérivateur pur était réalisable. Ceci explique pourquoi les expressions

de obtenues

possèdent plus de zéros que de pôles ( ). Cette supposition se

justifie pour autant que les phénomènes parasites qui interdisent la construction
d'un dérivateur pur interviennent à des fréquences nettement supérieures à la zone

30
de travail du régulateur, ce qui est en principe le cas. On peut donc souvent les
prendre telles quelles pour les tracés de réponses indicielles ou harmoniques.

En réalité, tout système physiquement réalisable possède plus de pôles que de zéros

( ), ce qui se traduit concrètement par le fait que le gain de tout

système finit par décroître et déphaser les signaux lorsque la fréquence est
suffisamment élevée. Notons que cette affirmation rend également impossible la

réalisation d'un gain pur ( )!

Figure: Allures générales des gains de systèmes à degré relatif

, et . Seul ce dernier est physiquement réalisable.

Le calcul suivant montre cela pour un système dynamique linéaire d'ordre ,

ayant zéros et de type (i.e. ayant pôles en ):

31
"Hit parade" des régulateurs classiques

Figure: "Hit parade" des régulateurs classiques.

Tableau: Résumé des effets respectifs des actions P, I, et D.

Action Avantage Désavantage
P dynamique ne permet pas
d'annuler une erreur
statique
I annulation d'erreur action lente, ralentit
statique, le système (effet
amélioration de la déstabilisant)
robustesse
D action très sensibilité aux
dynamique, bruits forte
améliore la rapidité sollicitation de
(effet stabilisant) l'organe de
commande

32