CM1 - Math - Guide Pédagogique
CM1 - Math - Guide Pédagogique
CM1 - Math - Guide Pédagogique
Avant-propos
Qu'est-ce que la méthode de Singapour ?
La méthode dite « de Singapour » est le fruit d’un long travail mené par une équipe de didacticiens en
mathématiques, soutenue par le Ministère de l'éducation de Singapour depuis 1980.
Elle est une des rares méthodes de mathématiques aujourd’hui à synthétiser un ensemble de démarches
didactiques validées par la recherche en enseignement efficace. Les élèves utilisant la méthode de
Singapour dans son intégralité se révèlent compétents dans la maîtrise des concepts mathématiques, aussi
bien en calcul qu’en résolution de problèmes. Ce dernier domaine des mathématiques y fait l’objet d’un
travail spécifique approfondi.
Aux évaluations internationales TIMMS (Mathématiques et Sciences) de 1995, 1999 et 2003, les élèves
de Singapour (4th et 8th grade, c'est-à-dire CM1 et 4ème) ont été reconnus comme possédant les meilleurs
acquis en mathématiques. Or si c'est le cas, c'est que ces élèves ont bénéficié de l'efficacité de la « méthode
de Singapour ».
1- La modélisation
La modélisation est une représentation par un schéma d’un concept ou d’une situation mathématique.
La méthode de Singapour est une méthode par « modélisation » : elle invite en effet les élèves à représenter
de façon schématique les concepts mathématiques. Cette stratégie diffère de la simple représentation
illustrée – qui est une pratique fréquente dans l'enseignement des mathématiques à l'école primaire – en
ce que chaque schéma peut-être appliqué à toutes les situations-problèmes qui présentent les mêmes
caractéristiques. En appliquant de manière systématique cette procédure, les élèves comprennent ainsi les
invariants des problèmes, ce qui est le premier pas vers l'abstraction.
L'efficacité de la modélisation a été reconnue dans le cadre d’une pratique guidée : le professeur
présente d'abord aux élèves le schéma qui va l'aider à résoudre le problème. Puis il invite les élèves à
représenter à leur tour les données du problème à l'aide de ce même schéma. Pour ce faire, il les habitue à
se poser les questions sur la nature de la représentation (Quel schéma, quel « visuel » faire ?) et son lien avec
le problème (Pourquoi ce graphique, ce « visuel » plutôt qu’un autre ?). Ce faisant, les élèves s'approprient
cette technique de modélisation, qui devient pour eux la base de tout raisonnement mathématiques.
2- L’approche « concrète-imagée-abstraite »
Pour chacun des concepts mathématiques du programme, la méthode de Singapour s’appuie sur une
démarche en trois étapes (concrète-imagée-abstraite) qui favorise l'appropriation graduelle de la notion.
Chaque concept est étudié sur une période relativement longue, ce qui permet d'étayer progressivement
les méthodes de raisonnement.
1) L'approche « concrète » : les élèves sont guidés dans leur compréhension du concept grâce à la mise
en situation ou la manipulation d’objets concrets (didactiques ou de la vie quotidienne).
Avant-propos
L’approche concrète-imagée-abstraite (Concrete-Representation-Abstract) a elle aussi fait l’objet d’ana-
lyses reconnaissant son efficacité, en particulier lors de l’enseignement des concepts mathématiques, des
4 opérations, des fractions et, enfin, de l’algèbre1.
Il est important de préciser que le passage par la manipulation – nécessaire à la compréhension notam-
ment dans les plus petites classes – est au service de l’abstraction au lieu d'être une fin en soi. Utilisée
pendant une, voire deux leçons, elle permet aux élèves de s’approprier ensuite les représentations visuelles.
Le bénéfice de l’approche concrète-imagée-abstraite tient dans la fréquence, la routine pour ainsi dire,
de son utilisation. C'est cette routine qui permet de maintenir chez les élèves un cadre structurel et des
procédures performantes, ce qui les rendra capables, par la suite, de résoudre des problèmes complexes.
Dans ce cadre, l'entraînement et la pratique permettent aux élèves d'acquérir cette « expertise ».
3- La « verbalisation »
La recherche en pédagogie a démontré l'efficacité des procédures qui encouragent les élèves à « verbaliser »
leur pensée2. En mathématiques, la verbalisation consiste à décrire, à expliquer les étapes qui leur permet-
tent de résoudre des problèmes.
En invitant les élèves à expliquer – à justifier, donc – leur raisonnement, on pallie à une approche souvent
« directe », « impulsive » qui n’accorde pas suffisamment d'attention aux données mathématiques en jeu
dans le problème. Bien sûr, c'est au professeur de montrer l'exemple : au moment de présenter sa réso-
lution du problème, au moment de dessiner le schéma qui va servir de base à son raisonnement, il doit
lui-même « verbaliser » sa pensée.
Pour rendre cette procédure pleinement efficace, il est donc conseillé aux enseignants de fournir de nom-
breux exemples explicites sur la façon de résoudre tel ou tel problème puis d’inviter ensuite les élèves à
décrire leur démarche et solution. Par imitation, les élèves ne manqueront pas d'utiliser les mêmes termes
et d'acquérir les mêmes réflexes que l'enseignant.
Vient alors l'importante question de « comment résoudre » tel ou tel type de problème, qui prendra un
temps conséquent de la séance.
1
(Butler et al. 2003 - Witzel, Mercer, and Miller 2003).
2
Dans une des études, l’effet (effect size) de cette stratégie a été mesurée à 0.98. (un effet de 0.2 est considéré comme faible,
0.4 comme modéré et 0.6 comme assez élevé).
IV IIIIIIIIIIIII Avant-propos
Avant-propos IIIIIIIIIIIII 3
9782916788340-GPSCM1_.indb
9782916788340_avpCM1.indd 3 4 28/09/11
27/09/11 16:41
19:21
Avant-propos
Avant-propos
Le concept des « parties dans le tout » (Whole-part)
Au Cycle 3, la méthode de Singapour introduit les notions de « tout » et de « partie » à l’aide d’un
schéma de lien entre les nombres (ou, selon l’usage des professeurs qui utilisent actuellement en France la
méthode de Singapour, le « mariage de nombres »).
Dès lors, les quatre opérations ne sont que les différentes facettes de deux problèmes fondamentaux :
Les élèves représentent les situations de « parties dans le tout », à l’aide d’un schéma présenté comme suit :
Tout
Partie Partie
En utilisant le schéma de lien entre les nombres (ou « mariage de nombres »), nous obtenons :
134 119
Je connais les deux parties, je ne connais pas le tout, je fais une addition.
253
134 119
253 enfants participent à une rencontre sportive, 119 d’entre eux sont des garçons, combien y a-t-il de filles ?
253
? 119
Avant-propos IIIIIIIIIIIII V
4 IIIIIIIIIIIII Avant-propos
9782916788340-GPSCM1_.indb4 5
9782916788340_avpCM1.indd 28/09/11 16:41
27/09/11 19:21
Avant-propos
Avant-propos
Je connais le tout (253)
Je connais une partie (119)
Je cherche une partie (le nombre de filles)
Partie Partie
Dans le concept des « parties dans le tout », il y a une relation de quantité entre les 3 quantités
représentées : le tout et les deux parts.
Pour trouver le tout lorsque l’on connaît les deux parties, les élèves additionnent :
Lorsque seuls le tout et une partie sont connues, pour trouver l’autre partie, les élèves soustraient :
134 119
VI IIIIIIIIIIIII Avant-propos
Avant-propos IIIIIIIIIIIII 5
9782916788340-GPSCM1_.indb
9782916788340_avpCM1.indd 5 6 28/09/11
27/09/11 16:41
19:21
Avant-propos
Avant-propos
La modélisation de la comparaison
L’élève peut avoir recours pour résoudre ce problème à la manipulation d’objets concrets.
L’écriture 6 – 2 = 4 est abstraite et nombre d’élèves auront des difficultés à résoudre un tel problème de
comparaison.
Pour faire sens à la comparaison « il y a 2 poires de plus que d’oranges », les élèves vont associer, relier les
poires et les oranges une à une pour comparer leur nombre. Par exemple :
Il y a 6 poires. Il y a autant de poires que d’oranges. Les deux nombres sont égaux.
Il y a 6 poires. Il y a 2 poires de plus que d’oranges. La différence entre les deux quantités est 2.
Avant-propos
On obtient la modélisation de la comparaison :
184 – 121 = 63
La modélisation de la comparaison est utilisée pour comparer deux quantités afin de voir quelle est la
quantité plus grande que l’autre.
En l’absence de modélisation, les élèves fixent leur attention sur les mots du problème « plus que… » et pourront
avoir recours à l’addition pour résoudre ce problème sans réaliser que cette procédure est incorrecte.
Il y a une relation de quantité entre les trois quantités représentées : la plus grande quantité, la plus petite
quantité et la différence.
La différence est obtenue par soustraction de la plus petite quantité à la plus grande.
Ce qui fait :
La plus grande quantité – la plus petite quantité = la différence
Pour trouver la plus grande quantité lorsque la petite quantité et la différence est connue, les élèves
additionnent :
Plus petite quantité + différence = plus grande quantité
Lorsque la plus grande quantité et la différence sont connues, pour trouver la plus petite quantité, les
élèves soustraient :
Plus grande quantité – différence = plus petite quantité.
Par exemple, les élèves pourront représenter de la façon suivante le problème de comparaison ci-dessus :
6–2=4
Il y a 4 oranges.
Avant-propos
2 - Multiplication et Division
Les concepts de multiplication et division impliquent un tout divisé en plusieurs parts égales.
5 enfants achètent un cadeau pour 30 euros. Ils partagent la somme à payer équitablement. Combien
chaque élève devra t-il payer ?
30 euros
? ? ? ? ?
On connaît le nombre de parties (5), le nombre total (30), mais la valeur de chaque partie est inconnue :
30 : 5 = 6
? 30
Pour trouver le tout lorsqu’une part et le nombre total de parts sont connus, les élèves multiplient :
Une partie X nombre de parts = Tout
Pour trouver la valeur d’une partie lorsque le tout et le nombre de parts sont connus, les élèves divisent :
Tout ÷ nombre de parties = une part
Pour trouver le nombre total de parts lorsque le tout et la valeur d’une part sont connus, les élèves
divisent :
Tout ÷ une part = nombre de parts.
Avant-propos IIIIIIIIIIIII IX
8 IIIIIIIIIIIII Avant-propos
9782916788340-GPSCM1_.indb8 9
9782916788340_avpCM1.indd 28/09/11 16:41
27/09/11 19:21
Avant-propos
Avant-propos
La modélisation au CM1
1. Les partages inégaux (c’est-à-dire le partage d’un tout entre plusieurs parties inégales entre elles)
2. Les calculs de fractions
3. Les nombres décimaux
Dans le cas des partages inégaux la démarche est dans la suite de ce qui a entrepris les autres années c'est-
à-dire que les schémas « en barre » sont le principal outil de modélisation. L’élève doit y faire apparaître
les données du problème ainsi que les quantités inconnues. Il peut ainsi déterminer le nombre d’étapes
permettant de répondre à la question posée dans le problème.
Les additions et soustractions de fractions sont abordées par le biais de la modélisation en barre, ce
qui permet en particulier de mettre en valeur la nécessité de trouver les dénominateurs communs. Les
schémas circulaires (parts de pizza, parts de gâteaux), comme étape dans la modélisation, sont ici intro-
duits. (Ils seront plus largement développés au CM2.) Ils permettent aux élèves de mieux comprendre
une notion primordiale au CM1, celle de « nombre mixte », c’est-à-dire de fraction supérieure à un entier
(par exemple : 5/4 = 1 + ¼)
Une autre modélisation apparaît, celle des grilles, qui permettent de représenter les dixièmes sous la
forme d’un carré à dix colonnes, et les centièmes sous celle d’un carré à dix lignes et dix colonnes. (Le
même schéma sera repris et complexifié au CM2 pour introduire les pourcentages.)
Ce travail de résolution de problème est sous-tendu, comme d’habitude, par un entraînement parallèle
au calcul comme par exemple la simplification de fractions. La valeur des nombres et le choix des opéra-
tions privilégient considérablement le calcul mental, compétence faisant très souvent défaut aux élèves
aujourd’hui.
Finalement la méthode de Singapour CM1 méthodiquement appliquée favorisera chez les élèves le déve-
loppement de l’abstraction, la capacité à généraliser, entraînant un soulagement de la mémoire de travail,
puis le transfert de compétences.
X IIIIIIIIIIIII Avant-propos
Avant-propos IIIIIIIIIIIII 9
9782916788340-GPSCM1_.indb
9782916788340_avpCM1.indd 9 10 28/09/11
27/09/11 16:41
19:21
Avant-propos
Avant-propos
Suivre avec attention la progression proposée : l’ordre dans lequel les notions sont enseignées, l'introduc-
tion calculée du vocabulaire, le nombre de séances, le nombre d'exercices propres à chaque séquence, la
fréquence des révisions ont été étudiés – et éprouvés – afin que vous puissiez suivre la progression en toute
confiance. Suivre l’esprit de la méthode, ses principes et sa progression pas à pas décrits dans ce guide,
c’est s’assurer d’une réussite certaine pour chacun de vos élèves.
Une précision supplémentaire : il va de soi que la méthode de Singapour a été conçue non pas pour une
seule classe mais pour toutes les années de l'école primaire. En conséquence, elle gagnera à être suivie du
CP au CM2, chaque classe s'enrichissant des habitudes acquises l'année précédente.
Ceci étant dit, et pour faire le meilleur usage de cette méthode, voici quelques points de vigilance que
l’enseignant doit garder à l’esprit :
• Réguler. Enchaînez les séances rapidement, dynamiquement : les étapes de la démarche pédagogique
interne à chaque séance se succéderont ainsi sans coupure.
• La compréhension des concepts est consolidée progressivement, au fur et à mesure des séances. Ainsi,
s’attarder sur une séance – parce qu'il vous semble que certains élèves ne la maîtrisent pas, par exemple
– peut s'avérer inutile. La méthode, anticipant les difficultés de certains élèves, revient régulièrement
sur les concepts dans les séances suivantes, les abordent sous un autre angle, apporte des précisions,
des illustrations et des exemples supplémentaires – sans parler des révisions.
• Enfin, ne négligez pas les révisions, celles-ci, prévues à intervalles de temps réguliers doivent
permettre aux élèves de réactiver les connaissances et compétences travaillées lors des semaines
et mois précédents. Les séquences d’apprentissage étant effectuées par chapitres -programmation
« massée »-, les révisions s’avèrent indispensables pour l’acquisition à long terme de notions
complexes.
Avant-propos IIIIIIIIIIIII XI
10 IIIIIIIIIIIII Avant-propos
Avant-propos
• Manipuler pour comprendre. La manipulation est une première étape essentielle de chaque séance
(l'étape « concrète ») mais qui doit rester « au service » de la compréhension (étapes « imagée » et
« abstraite »). Elle ne doit donc pas être trop longue, sans quoi les enfants risquent de perdre de vue
l'objectif poursuivi. Il est important, notamment, d'anticiper au maximum cette étape lors de la
préparation de classe, afin que sa mise en place (disposition et distribution du matériel, explication
et consignes…) prenne le moins de temps possible.
• Un bon moyen pour guider de façon efficace la séance consiste à en annoncer dès le début
l’objectif, en termes simples et accessibles aux élèves. Le bénéfice sera double : éveiller l’attention et
focaliser la démarche de l’enseignant.
• Formuler, expliciter, étayer : guider. La démarche de modélisation est une procédure de formulation
d’un modèle mathématique permettant de représenter puis de résoudre des problèmes. C’est par la
fréquentation et la confrontation de modèles variés que va s’exercer, petit à petit, dans une démarche
guidée, la compréhension des données d’un problème. La qualité de compréhension dépend essen-
tiellement de l’échange réalisé entre l’enseignant et ses élèves.
• Encourager les élèves à penser « à voix haute », à expliciter leurs stratégies et méthodes permet
à l’enseignant d’ajuster sa démarche d’enseignement au plus près de la compréhension du moment
exprimée par l’élève. Ce travail de compréhension en classe s’effectue par un étayage fait d’interac-
tions constantes. Dans la méthode de Singapour, cet étayage s’appuie sur la modélisation, un outil
efficace s'il en est, au centre de la résolution de problèmes.
• Objectiver. Nous recommandons vivement aux professeurs d'afficher en classe des tableaux
synthétiques reprenant notamment les différentes modélisations des problèmes résolus. Ces affiches se
révèleront d’un bon soutien pour les élèves ayant besoin d’un accompagnement plus soutenu, car la modé-
lisation est une pratique peu habituelle (surtout si la méthode de Singapour n’a pas été utilisée dans les classes
précédentes). Le site internet de La Libraire des Écoles propose régulièrement et pour chaque niveau
des modèles d'affiches.
• L’entraînement étant une condition de l’expertise, il ne faudra pas négliger de revenir de façon
quotidienne sur la résolution de problèmes en suivant un plan de questionnement qui permettra
aux élèves d’acquérir petit à petit une attitude de « déchiffrement » du problème avant sa résolution :
Quelle modélisation effectuer ? Pourquoi celle-ci plutôt qu’une autre ?...
Matériel suggéré
Disques-nombres
Il s’agit de jetons sur lesquels est écrit 0,001, 0,01, 0,1, 1, 10, 100, 1 000 ou 10 000. Procurez-vous en qui soit magnétiques. Vous pou-
vez également dessiner des cercles au tableau et les numéroter. Chaque élève ou équipe a besoin d’au moins 18 jetons de chaque.
Matériel de base 10
Le matériel de base 10 est composé de petits cubes isolés (unités), de piles (10 unités), de carrés (10 piles) et d’un cube
(10 carrés). À défaut de matériel, vous pouvez aussi les dessiner au tableau.
Cartes de numération
Ces cartes, de différentes tailles, peuvent comporter des nombres à 1, 2, 3, 4, ou 5 chiffres. Elles se superposent les unes aux
autres pour former des nombres. Vous pouvez recopier celles de la page 4 de ce guide sur du papier cartonné.
Cartes-chiffres
Ces cartes vous seront utiles pour les jeux ou les activités en équipes. Reportez-vous pour cela à la liste de matériel utilisé à
chaque partie. Si vous les confectionnez vous-même, utilisez du carton fin ou du papier épais afin que le chiffre ne puisse être
lu quand la carte est retournée face cachée. Vous aurez généralement besoin de quatre jeux de dix cartes (numérotées de 0 à
9) par équipe. Vous pouvez également utiliser des jeux de cartes classiques, en supprimant rois, reines et valets, et en transfor-
mant le 10 en carte pour le 0 (en effaçant le 1 et les symboles).
Cubes emboîtables
C'est un jeu de cubes dont chacune des six faces peut être accolée à une autre. Il doit y avoir assez de cubes pour que chaque
groupe d'élèves en ait environ 100. Il existe aussi d'autres objets géométriques dont les faces peuvent être assemblées entre
elles ou aux cubes. Ces objets sont utilisés lors de certaines activités facultatives.
Jetons
Utilisez des jetons ronds et opaques adaptés à la taille des cases du tableau des centaines. Vous pouvez aussi les remplacer par
des cubes ou tout autre type de jetons. Choisissez 4 ou 5 couleurs différentes.
Outils de mesure
Mètres, règles, rapporteurs, équerres (angles à 90°/45°/45° ou 90°/30°/60°), papier quadrillé en millimètres et en centimètres,
verres doseurs d’un litre, et balances en kilos.
Cubes-nombres
Il s’agit d’un cube pouvant être numéroté. Chaque équipe de quatre élèves doit disposer de deux cubes-nombres.
Carrés de fractions
Ces carrés sont divisés en 10 et en 100 parties. Référez-vous au site Internet de ce guide pour les photocopier.
IIIIIIIIIIIII 1
Objectifs
•• Lire et écrire les nombres jusqu’à 100 000.
•• Lire et écrire les nombres à cinq chiffres en identifiant les dizaines de milliers, les milliers, les centaines, les dizaines et les
unités.
•• Comparer et ordonner les nombres jusqu’à 100 000.
•• Arrondir à la dizaine et à la centaine la plus proche.
•• Estimer le résultat d’une addition ou d’une soustraction.
•• Trouver les facteurs de nombres entiers compris entre 0 et 100.
•• Trouver les multiples d’un chiffre.
•• Trouver les facteurs et multiples communs.
14 •• S’exercer P. 27 1.4c
Exercices 1B 1.4d
1.4e
Objectifs
•• Lire et écrire les nombres jusqu’à 100 000.
•• Lire et écrire les nombres à cinq chiffres en identifiant les dizaines de milliers, les milliers, les centaines, les dizaines et les
unités.
•• Comparer et ordonner les nombres jusqu’à 100 000.
•• Additionner, soustraire, multiplier et diviser de tête des milliers et des dizaines de milliers.
Entraînement
•• Cahier d’exercices 1
•• Cahier d’exercices 2
•• Cahier d’exercices 3
•• Cahier d’exercices 4
Remarques
•• Dans le manuel de CE2 de la méthode de Singapour, les élèves ont appris à lire et à écrire un nombre à quatre chiffres en
identifiant les milliers, les centaines, les dizaines et les unités. On passe ici aux nombres à 5 chiffres et à la dizaine de milliers.
•• La valeur d’un chiffre est déterminée par sa position dans le nombre. On utilise dix chiffres (0 à 9) pour écrire un nombre.
Dans un nombre, chaque chiffre a une valeur dix fois plus grande qu’un même chiffre situé à sa droite et dix fois plus petite
qu’un même chiffre situé à sa gauche. Le nombre 23 456 est composé de 2 dizaines de milliers, de 3 milliers, de 4 centaines,
de 5 dizaines et de 6 unités.
•• Expliquez ce que représentent une dizaine de milliers, un millier, une centaine, une dizaine et une unité à l’aide des objets
que vous avez à disposition : faux billets, fausse monnaie, disques-nombres, cartes de numération etc.
•• Les élèves se sont déjà servis des disques-nombres et du tableau de numération au cours des années précédentes. Un
tableau de numération est divisé en plusieurs colonnes : celle des unités, celle des dizaines, celle des centaines, celle des
milliers et ainsi de suite. Les disques-nombres sont des jetons ronds numérotés 1, 10, 100, 1 000 ou 10 000. Ils sont placés
sur le tableau de numération pour représenter un nombre (il est également possible de dessiner le tableau et les jetons). Les
élèves peuvent « manipuler » de vrais disques-nombres dans un tableau de numération en papier. Dans les manuels précé-
dents de la méthode de Singapour, ils ont appris qu’un disque « 10 » représente dix disques « 1 », qu’un disque « 100 » peut
être remplacé par dix disques « 10 », et qu’un disque « 1 000 » a la même valeur que dix disques « 100 ». Nous utiliserons à
nouveau les disques-nombres dans ce manuel-ci pour aborder les nombres décimaux.
4 5 1 3 6
•• Les cartes de numération indiquent la valeur de chaque chiffre et peuvent être superposées les unes aux autres afin de
former des nombres.
60 000 4 000 500 80 7
64 587
•• Les élèves vont apprendre à comparer les nombres jusqu’à 100 000 et à constater que la valeur de chaque chiffre d’un
nombre dépend de sa position au sein de celui-ci. Ils apprendront également à situer des nombres sur une échelle graduée.
Réviser les •• Utilisez les disques-nombres. Présentez ou dessinez un Milliers Centaines Dizaines Unités
notions de tableau de numération avec les colonnes des unités,
milliers, de des dizaines, des centaines et des milliers. 1000 100 10 1
centaines, de 1000 10 1
dizaines et 1000 10 1
d’unités puis 1000 1
introduire les 1000 1
dizaines de 1
milliers
•• Placez neuf disques « 1 » dans la colonne des unités. Milliers Centaines Dizaines Unités
Ajoutez-en un autre et rappelez aux élèves que cette
colonne ne peut contenir plus de 9 disques. 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1 000
•• Ajoutez neuf disques « 1 000 » au tableau. Milliers Centaines Dizaines Unités
1000 1000
1000 1000
1000 1000
1000 1000
1000
•• Faites-leur remarquer que vous avez à présent dix « Que doit-on faire quand on a 10 disques
disques et demandez-leur : dans la colonne des milliers ? »
•• Ils ont besoin d’une colonne supplémentaire. Dessinez
une colonne supplémentaire à gauche de la colonne
des milliers et dites aux élèves que c’est la colonne des
dizaines de milliers.
Dizaines de milliers Milliers Centaines Dizaines Unités
10 000
5 1 3 2 6
Cahier Réponses :
d’exercices A : 1. (a) 4 053 (b) 23 405
Ex. 1 2. (a) 32 400 (b) Trente-deux mille quatre cents
3. (a) 8 402 (b) 12 793 (c) 90 511 (d) 88 008 (e) 90 990
4. (a) Deux mille quatre-vingts
(b) Neuf mille deux cent quinze
(c) Quarante-sept mille dix
(d) Quatre-vingt-neuf mille cent deux
(e) Quarante mille neuf cents
(f ) Soixante-dix-huit mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf
Réviser Effectuez les exercices 4 à 7 des pages 9 et 10 et les exercices 1 à 3 des Exercices 1A de la
les notions page 18 du manuel de cours afin de réviser les notions de la dernière séance.
de dizaines Réponses :
de milliers, 4. 8 000 ; 60 000
de milliers, 5. (a) 800 (b) 80 000 (c) 8 000
de centaines, 6. (b) 35 260 (c) 2 (d) 5
de dizaines (e) 3 : 30 000 5 : 5 000
et d’unités 2 : 200 6 : 60 0 : 0
7. (b) 345 (c) 20 000
Exercices 1A :
1. (a) 12 803 (b) 20 050
(c) 70 000
2. (a) Mille sept cent cinquante-huit
(b) Cinq mille trois cent six
(c) Soixante-douze mille neuf cent trois
(d) Quatre-vingt-onze mille cent vingt
3. (a) 60 (b) 600
(c) 60 000 (d) 6
Former •• Demandez aux élèves de travailler par équipe de deux. L’un propose une suite de nombres et l’autre
une suite doit la compléter. Ils échangent les rôles quand ils ont complété la suite.
de nombres
Entraînement Solutions
Cahier Réponses :
d’exercices 1. (a) 9 000 ; 11 000 (b) 6 400 ; 8 400 (c) 34 065 ; 44 065 (d) 20 200 ; 25 200 (e) 10 043 ; 10 243
A : Ex. 2 2. (a) 9 ; 20 ; 500 ; 3 000 ; 20 000 (b) 8 ; 10 ; 600 ; 0 ; 40 000
(c) 3 ; 20 ; 0 ; 5 000 ; 40 000 (d) 8 ; 80 ; 800 ; 8 000 ; 80 000
3. (a) 3 (b) 6 000 (c) 40 000 (d) 2 000 (e) 4 307
(f ) 56 400 (g) 30 768 (h) 11 400 (i) 1 000 (j) 10
4. (a) 43 628 (b) 24 324 (c) 89 900 (d) 86 100
(e) 100 (f ) 1 000 (g) 526 (h) 30 000
5 000 5 000
500
•• Afin de leur permettre d’évaluer la valeur de chaque « Combien y a-t-il de traits entre 5 000
unité délimitée par deux traits, demandez aux élèves : et 5 500 ? »
•• Demandez-leur ensuite de déterminer le nombre que
représente chaque lettre.
•• On compte 4 traits à partir de 5000, auquel s’ajoute le
trait qui marque 5 500. On compte donc 5 unités au
total : chaque unité représente 100. Le premier trait
après 5 000 correspond donc à 5 100.
Comparer •• Écrivez deux nombres à 5 chiffres au tableau, tels que : 23 987 et 23 879
deux nombres •• Demandez à un élève : « Lequel des deux est le plus grand ?
Pourquoi ? »
•• Écrivez les nombres l’un en dessous de l’autre en 23987
veillant à bien aligner les chiffres : 23879
•• Montrez d’abord aux élèves comment comparer les
chiffres des dizaines de milliers. Si l’un est plus élevé
que l’autre, on peut en déduire que le nombre auquel
il appartient est le plus grand. S’ils sont égaux, on
compare alors les chiffres des milliers et ainsi de suite
jusqu’à ce qu’on atteigne deux chiffres différents.
•• Écrivez un nombre à 4 chiffres et un nombre à 5 chiffres
au tableau, par exemple : 12 345 et 5 432
•• Demandez aux élèves : « Lequel des deux est le plus grand ? »
•• Ils devraient remarquer qu’ils n’ont pas besoin de
comparer les premiers chiffres puisque, contrairement
au nombre à 5 chiffres, celui à 4 chiffres n’a pas de
dizaine de milliers : 12345
5432
Entraînement Solutions
Étape Démarche
Jeu •• Matériel pour chaque équipe d’environ quatre élèves : quatre jeux de cartes-chiffres numérotées de
0 à 9.
•• Un élève mélange les cartes et en distribue 5 par joueur.
•• Les joueurs placent leurs cartes les unes à côté des autres de façon à former le nombre à 5 chiffres le
plus élevé possible.
•• Les joueurs comparent leurs nombres. Ils peuvent les noter pour chaque partie.
•• Le joueur qui a le nombre le plus élevé gagne un point (ou bien : le joueur qui a le nombre le plus petit).
•• Les cartes sont mélangées et redistribuées pour une autre partie.
•• Le premier joueur qui obtient 10 points l’emporte.
1 4
2 3 5 7 6 5 4 2
6 7 8 9 10
20 000
28 800
24 230
24 030 70 000
24 800
28/09/11 16:41
Séance 1-1e Additionner et soustraire
Cahier Réponses :
d’exercices A : 1. (a) 16 000 (b) 37 000 (c) 24 000 (d) 41 000 (e) 70 000
Ex. 4 # 1 et 2 2. (a) 9 000 (b) 34 000 (c) 24 000 (d) 33 000 (e) 24 000
Entraînement Solutions
Cahier Réponses :
d’exercices A : 3. (a) 6 000 (b) 48 000 (c) 63 000 (d) 42 000 (e) 90 000
Ex. 3 et 4 4. (a) 2 000 (b) 12 000 (c) 3 000 (d) 3 000 (e) 12 000
Objectifs
•• Arrondir les nombres à la dizaine ou à la centaine la plus proche.
•• Estimer la réponse d’une addition et d’une soustraction.
Entraînement
•• Cahier d’exercices A : Ex. 5
•• Cahier d’exercices A : Ex. 6
•• Cahier d’exercices A : Ex. 7
Remarques
•• Arrondir les nombres permet aux élèves d’estimer la réponse d’une opération. Ils estiment la réponse d’une addition, d’une
soustraction, d’une multiplication ou d’une division. L’estimation peut être très utile dans certaines situations comme quand
on estime le prix d’un article avant de l’acheter. Mais l’estimation peut parfois aussi permettre aux élèves d’évaluer la logique
d’une réponse.
•• Un nombre est arrondi à la dizaine ou à la centaine la plus proche. Lorsqu’un nombre est à mi-chemin entre deux dizaines
ou deux centaines, la règle est de l’arrondir à la dizaine ou à la centaine la plus élevée.
•• Dites aux élèves que lorsqu’on arrondit un nombre à la « On arrondit 73 à 70 car c’est la dizaine la
dizaine la plus proche, il faut d’abord trouver de quelle plus proche. »
dizaine il est le plus proche.
•• Recommencez avec un autre nombre tel que : 58
•• Tandis que vous situer ensemble 58 sur l’échelle, les 58
élèves constatent qu’il devrait être placé plus près de
60 que de 50.
50 60 70 80 90
•• Demandez-leur : « À quelle dizaine doit-on arrondir 58 ? »
Exercices •• Lisez ensemble les pages 12 et 13 du manuel de « Il convient donc d’arrondir 65 à 70. »
d’application cours et les exercices 1 et 2 de la page 14.
Réponses :
1. (a) 30 (b) 40 (c) 80 (d) 100
2. (a) 230
(b) 1 460
(c) 2 740
•• Distribuez aux élèves des échelles graduées de 10 en
10, telles que les trois de la page suivante de ce guide.
•• Donnez-leur des nombres à situer sur l’échelle, puis
demandez-leur de les situer avec un trait et de vous
dire à quelle dizaine ils arrondiraient chacun d’entre
eux.
•• Demandez aux élèves d’effectuer l’exercice 3 de la Réponses :
page 14 et l’exercice 6 de la page 18 du manuel de 3. (a) 130 (b) 200 (c) 450 (d) 690
cours. (e) 2 070 (f) 4 360 (g) 4 810 (h) 5 510
6. (a) 90 (b) 730 (c) 4 620 (d) 9 050
•• Demandez aux élèves de trouver les nombres qui
peuvent être arrondis à une dizaine en particulier. Par
exemple : « Quels nombres peuvent avoir été
arrondis à 30 ? »
25 ; 26 ; 27 ; 28 ; 29 ; 31 ; 32 ; 33 ; 34
Entraînement Solutions
Cahier Réponses :
d’exercices A : (a) 50
Ex. 5 (b) 80
(c) 160
(d) 300
(e) 1 640
(f ) 3 450
28/09/11 16:41
Séance 1-2b Arrondir à la centaine la plus proche
Entraînement Solutions
Cahier Réponses :
d’exercices A : (a) 100 (b) 600 (c) 1 000
Ex. 6 (d) 1 400 (e) 1 900 (f ) 2 900
Étape Démarche
Comprendre •• Dites aux élèves qu’il est parfois utile de savoir estimer
l’utilité de la réponse d’un problème. Par exemple, s’ils disposent
8,40
l’estimation de 10 € pour acheter des jouets, ils doivent s’assurer
que la somme totale des articles qu’ils choisissent ne
dépasse pas 10 €. Mais ils n’ont pas besoin de connaître 35,20
le prix exact. Ils peuvent acheter un jouet à 4,87 € tout
en sachant qu’il leur reste 5 € pour acheter un deuxième 3,25
jouet. S’ils trouvent un autre jouet à 3,25 €, ils sauront
20,57
qu’ils en auront pour environ 8 € au total, et qu’on leur
rendra un peu moins de 2 € sur leur billet de 10 €.
•• Demandez aux élèves de réfléchir à un autre cas où
l’estimation leur serait utile. 4,87
•• Dites-leur également que trouver une réponse approximative à un exercice de mathématiques leur
permettra d’avoir une idée de la réponse exacte. Si celle-ci est très éloignée de l’approximation, cela
signifie alors qu’ils ont fait une erreur de calcul.
•• Expliquez-leur que lorsqu’on trouve une réponse approximative, on fait une estimation.
Exercices •• Lisez ensemble l’exercice 8 de la page 17 du manuel de cours. Demandez aux élèves d’effectuer
d’application l’exercice 9 de la page 17 du manuel de cours.
Réponses :
8. 1 200 ; 1 204
Réponses :
9. (a) 700 ; 680 (b) 1 300 ; 1 399 (c) 1 600 ; 1 621 (d) 300 ; 334 (e) 700 ; 687 (f ) 700 ; 715
•• Désignez quelques élèves pour vous donner leurs réponses.
Réviser Vous pouvez réviser l’addition et la soustraction de nombres à 4 chiffres en posant les opérations en
l’addition et la colonne et étendre la méthode à l’addition et à la soustraction de nombres à 5 chiffres. (L’addition
soustraction et la soustraction des nombres à 4 chiffres ont été abordées dans le manuel de CE2 de la méthode
de nombres à de Singapour. Vous y trouverez les méthodes de démonstration avec les disques-nombres.)
4 chiffres et puis
de nombres à
5 chiffres
Entraînement Solutions
Cahier Réponses :
d’exercices A : 1. (a) 900 (b) 300 (c) 800 ; 200 ; 1 000 (d) 900 ; 300 ; 600 (e) 600 ; 600 ; 1 200
Ex. 7 (f ) 900 ; 300 ; 600 (g) 1 800 ; 400 ; 2 200 (h) 2 300 ; 1 000 ; 1 300
2. (a) 800 (b) 700 ; 200 ; 300 ; 200 (c) 1 000 ; 200 ; 100 ; 900
(d) 500 ; 300 ; 300 ; 500 (e) 2 000 ; 600 ; 500 ; 1 900
(f ) 2 400 ; 600 ; 700 ; 2 300 (g) 1 100 ; 100 ; 400 ; 1 400
(h) 3 000 ; 1 000 ; 700 ; 4 700
Objectifs
•• Comprendre ce qu’est un facteur.
•• Déterminer si un chiffre est un facteur d’un nombre donné.
•• Trouver tous les facteurs d’un nombre compris entre 0 et 100.
•• Trouver les facteurs communs de deux nombres entiers.
•• Apprendre les règles de divisibilité pour 2, 3, 5, 6, 9 et 10.
Entraînement
•• Cahier d’exercices A : Ex. 8
•• Cahier d’exercices A : Ex. 9
Remarques
•• Les facteurs et les multiples sont des notions à assimiler afin d’étudier les fractions. Dans le manuel de CE2 de la méthode de
Singapour, les élèves ont appris le terme « produit ». Ils apprendront ici ce qu’est un « facteur » puis a trouvé les facteurs de
nombres entiers et les facteurs communs de deux nombres. Avant de commencer cette section, les élèves doivent impéra-
tivement maîtriser la multiplication et la division. N’hésitez pas à réviser les tables de multiplication et de division jusqu’à
10, si cela s’avère nécessaire. Un facteur est un nombre entier, et comme tout nombre entier, il peut être exprimé comme le
produit d’au moins deux facteurs. Par exemple : 3 × 4 = 12. 4 et 3 sont alors des facteurs de 12.
•• Un nombre a au moins deux facteurs, le plus petit facteur étant 1 et le plus grand étant le nombre lui-même. Les nombres
qui n’ont que deux facteurs (1 et eux-mêmes) sont des nombres premiers. Les nombres qui ont plus de deux facteurs sont
des nombres composés (ces termes ne sont pas utilisés dans le manuel de la méthode de Singapour). Le chiffre 1 n’est ni un
nombre premier ni un nombre composé.
•• Il est toujours possible de recourir à la division pour savoir si un nombre est le facteur d’un autre nombre, car lorsqu’un
nombre est divisé par l’un de ses facteurs, il n’y a pas de reste. Par exemple, 4 est un facteur de 12 car 12 ÷ 4 = 3, sans reste.
•• Les élèves apprendront à trouver les facteurs d’un nombre en le divisant par chaque nombre (depuis 1 jusqu’au nombre
lui-même), et ce jusqu’à ce que les facteurs se répètent. Par exemple, pour trouver les facteurs de 24, ils constatent que si 12
divise 24 de façon égale (sans reste), alors 2, 3, 4, 6 et 12 (qui sont des facteurs de 12) sont aussi des facteurs de 24. Toutefois,
pour trouver tous les facteurs de 24, ils doivent continuer à diviser car 8 est un facteur de 24 (24 ÷ 8 = 3) mais pas de 12. Les
facteurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24. Il s’agit de tous les nombres qui divisent 24 sans reste.
1 × 24 = 24 6 × 4 = 24
2 × 12 = 24 8 × 3 = 24
3 × 8 = 24 12 × 2 = 24
4 × 6 = 24 24 × 1 = 24
•• Ce cours aborde la notion de plus grand facteur commun sans l’approfondir. Vous pouvez cependant identifier le plus grand
facteur commun lorsque vous considérez que c’est pertinent.
•• Il existe plusieurs méthodes afin de connaître la divisibilité d’un nombre sans avoir à effectuer la division. Ces « règles de
divisibilité » peuvent aider les élèves à trouver des facteurs plus facilement. Ici, les élèves apprendront à appliquer les règles
de divisibilité aux nombres inférieurs à 100. Pour l’instant, il est seulement demandé aux élèves d’apprendre ces règles et
de les appliquer. Mais s’ils vous le demandent, vous pouvez leur expliquer comment elles fonctionnent. Voici les règles de
divisibilité par 2, par 3, par 4, par 5 et par 9 :
Un nombre est divisible par 3 si la somme de tous ses chiffres est divisible par 3.
•• Afin de comprendre la règle de divisibilité par 3, on peut décomposer le nombre en plusieurs parties, mais sans utiliser de
dizaines. Diviser 456 comme on l’a fait précédemment : (4 × 100) + (5 × 10) + 6, est inutile puisque 10 et 100 ne sont pas
divisibles par 3. Au contraire, 9 et 99 le sont. On peut écrire 400 ainsi : (4 × 99) + 4 et 50 ainsi : (5 × 9) + 5.
Alors, 456 = (4 × 99) + 4 + (5 × 9) + 5 + 6 = (4 × 99) + (5 × 9) + 4 + 5 + 6. Les deux premières parties (4 × 99) et (5 × 9) sont
divisibles par 3 parce que 99 et 9 le sont. Il faut à présent déterminer si (4 + 5 + 6) l’est. 4 + 5 + 6 = 15. 15 est divisible par 3
donc (4 × 99) + (5 × 9) + 15 = 456 est divisible par 3.
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
•• Comme nous l’avons vu plus haut, 456 n’est pas divisible par 9. Puisque 4 + 5 + 6 n’est pas divisible par 9. Par contre 459 est
divisible par 9. Décomposons-le de la même façon :
459 = (4 × 99) + 4 + (5 × 9) + 5 + 9 = (4 × 99) + (5 × 9) + 4 + 5 +9 = (4 × 99) + (5 × 9) + 18.
•• Les trois parties, dont le 18, sont divisibles par 9. Mais la partie qui nous intéresse vraiment est la dernière. Elle correspond à
la somme des chiffres de 459. C’est le cas de tous les nombres. Un nombre est donc divisible par 9 si la somme de ses chiffres
est divisible par 9.
Un nombre est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres sont divisibles par 4.
•• Les élèves n’ont pas à apprendre cette règle puisqu’on ne travaille ici qu’avec des nombres inférieurs à 100, mais vous pouvez
la leur enseigner si cela vous semble pertinent. 10 n’est pas divisible par 4 mais 100, 1 000 ou 10 000 le sont. Dans le cas d’un
nombre à 3 chiffres par exemple, il suffit de vérifier les deux derniers. 624 = (6 × 100) + 24. 6 × 100 est divisible par 4, tout
comme l’est 24. Pour savoir si les deux derniers chiffres sont divisibles par 4, on peut leur soustraire des vingtaines jusqu’à
obtenir 4, 8, 12, 16 ou 20. Par exemple : 3 478 n’est pas divisible par 4 puisque 78 – 20 – 20 – 20 = 18, et 18 n’est pas divisible
par 4.
1 × 24 = 24 6 × 4 = 24
2 × 12 = 24 8 × 3 = 24
3 × 8 = 24 12 × 2 = 24
4 × 6 = 24 24 × 1 = 24
•• Demandez-leur de classer les facteurs dans l’ordre
croissant. Dites-leur que ce sont les « facteurs » de 24 : 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
•• Demandez aux élèves de trouver les facteurs de 2, 3, 4, 2 : 1, 2
6 et 8 en formant des dispositions rectangulaires. 3 : 1, 3
4 : 1, 2, 4
6 : 1, 2, 3, 6
8 : 1, 2, 4, 8
12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
•• Précisez qu’on peut multiplier un facteur par lui-même,
ex. : 2 × 2 = 4
•• Les élèves peuvent s’aider de leur matériel de classe pour former des dispositions rectangulaires.
Réponses :
3. (a) 1 ; 7
(b) 1 ; 3 ; 9
(c) 1 ; 2 ; 5 ; 10
(d) 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18
4. (a) 8, 10, 24 (b) 15, 20, 25
•• Ils peuvent les résoudre à l’aide de dispositions rectangulaires. Ils peuvent travailler en groupes.
Demandez-leur de partager leurs réponses.
Entraînement Solutions
Cahier Réponses :
d’exercices A : 1. 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20
Ex. 8 2. (a) 2 ; 6
(b) 1 ; 8
(c) 3 ; 7
« Que constatez-vous ? »
•• Il s’agit des nombres sur lesquels on tombe quand on compte de 6 en 6. Ils sont divisibles par 6. 6
est donc un facteur de chacun de ces nombres. Demandez aux élèves ce qu’ils remarquent. Ce sont
des nombres pairs et la somme de leurs chiffres est divisible par 3. Faites-leur remarquer que 2 et 3
sont des facteurs de chacun de ces nombres.
•• Sur un tableau vierge, demandez aux élèves d’entourer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
les nombres de 9 en 9. Demandez-leur ce qu’ils 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
remarquent. La somme des chiffres de chacun de ces
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
nombres est égale à 9, donc on sait qu’ils sont divisibles
par 9. 9 est un facteur de chacun de ces nombres. 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Ajoutez que si 9 est un de leur facteur, alors 3 l’est aussi. 41 42 43 44 45 46 47 48 48 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Entraînement Solutions
Cahier Réponses :
d’exercices A 1. (a) 17, 5 ; non (b) 15 ; oui
Ex. : 9, # 1 et 2 2. oui oui non
oui oui non
oui oui oui
oui non oui
oui oui non
Exercices Demandez aux élèves d’effectuer les exercices 10 à 13 de la page 22 du manuel de cours, puis de
d’application faire part de leurs réponses. Énumérez les facteurs au tableau.
Réponses :
10. 4 ; 8 ; 16 ; 32
11. 8 ; 12 ; 16 ; 24
12. 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20 ; 25 ; 50, 100
13. (a) 1 ; 2 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 ; 40 (b) 1 ; 2 ; 5 ; 10 ; 25 ; 50
(c) 1 ; 3 ; 5 ; 15 ; 25 ; 75 (d) 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 16 ; 20 ; 40 ; 80
Entraînement Solutions
Cahier Réponses :
d’exercices A : 3. (a) non (b) non (c) oui
Ex. 9, 3 et 4 4. (a) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 (b) 1 ; 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 (c) 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84
Objectifs
•• Comprendre ce qu’est un multiple.
•• Faire le lien entre les facteurs et les multiples.
•• Déterminer si un nombre entier est un multiple d’un chiffre.
•• Établir la liste des multiples d’un chiffre.
•• Trouver les multiples communs.
•• Faire le lien entre les règles de divisibilité et les multiples.
Entraînement
•• Cahier d’exercices A : Ex. 10
Remarques
•• « Multiple » est le nom que l’on donne au produit d’un nombre donné et d’un nombre entier. Par exemple, 10 est un multiple
de 2 puisque 2 × 5 = 10. Les élèves ont déjà appris la notion de facteur. Par exemple, puisque 2 × 5 = 10, on dit que 2 et 5
sont des facteurs de 10. Ils apprendront maintenant que, puisque 2 × 5 = 10, on dit que 10 est un multiple de 2 et de 5.
•• Autrement dit : si 10 est un multiple de 2, alors 2 est un facteur de 10. Donc lorsqu’on détermine que 2 est un facteur de 10,
on détermine également que 10 est un multiple de 2.
•• Les élèves trouveront ici les multiples communs de deux nombres en énumérant et en comparant leurs multiples. Le tout
premier porte le nome de « plus petit multiple commun ». On ne s’y attardera pas dans ce cours, mais libre à vous de le
désigner lorsque cela vous semble pertinent. Un moyen simple de trouver un multiple commun de deux nombres est de
multiplier l’un par l’autre. Les élèves devront maîtriser les multiples communs pour étudier les fractions.
Exercices Demandez aux élèves d’effectuer les exercices 1 à 5 de la page 24 du manuel de cours.
d’application
Réponses :
1. (a) oui (b) oui
2. (a) non (b) non
3. (a) oui (b) oui (c) oui (d) non (e) oui
4. 5, 10, 15, 20
5. 9, 18, 27, 36
Entraînement Solutions
Cahier Réponses :
d’exercices A : 1. (a) 6, 12, 18, 24 (b) 7, 14, 21, 28, 35
Ex. 10, # 1 et 2 2. 6, 8, 10
9, 12, 15
12, 16, 20
18, 24, 30
24, 32, 40
30, 40, 50
Exercices Demandez aux élèves d’effectuer les exercices 10 et 11 de la page 26 du manuel de cours et de
d’application partager leurs résultats.
Réponses :
10. (a) 3, 9 (b) 18, 36
11. 15
Entraînement Solutions
Cahier Réponses :
d’exercices A : 3. (a) 6, 12
Ex. 10, # 3 (b) 8, 16
(c) 9, 18, 27, 36…
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…
18, 36
(d) 8, 16, 24, 32, 40, 48…
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…
24, 48
étApe démArChe
• Vous pouvez également profiter de cette séance pour jouer aux jeux du facteur et du multiple des
deux activités suivantes.
• Vous pouvez aussi réviser les nombres inférieurs à 100 000 et l’estimation.
1
5 4
5
2
6
5
5 1
5
5
5 5
5
5
5 5
5
8
5 2
5
5
5 5
5
5
5 5
5
1
•• Le but du jeu consiste à obtenir 3 jetons à la suite.
Objectifs
•• Multiplier un nombre à 4 chiffres par un nombre à 1 chiffre.
•• Diviser un nombre à 4 chiffres par un nombre à 1 chiffre.
•• Diviser par 10.
•• Multiplier un nombre compris entre 0 et 1000 par un nombre à 2 chiffres.
•• Estimer le résultat d’une multiplication et d’une division.
•• Résoudre des problèmes de mots jusqu’à 3 étapes.
Objectifs
•• Multiplier un nombre à 4 chiffres par un nombre à 1 chiffre.
•• Estimer le produit.
•• Diviser par 10.
•• Diviser un nombre à 4 chiffres par un nombre à 1 chiffre.
•• Estimer le quotient.
Entraînement
•• Cahier d’exercices A : Ex. 11
•• Cahier d’exercices A : Ex. 12
•• Cahier d’exercices A : Ex. 13
Remarques
•• Dans le manuel de CE2 de la méthode de Singapour, les élèves ont appris à multiplier et à diviser un nombre à 3 chiffres par
un nombre à 1 chiffre. Ici ils multiplieront et diviseront des nombres à 4 chiffres en posant des opérations en colonne. N’hési-
tez pas à illustrer les opérations à l’aide des disques-nombres et du tableau de numération.
•• Les élèves connaissent les termes produit, quotient et retenue. Ils seront approfondis dans ce chapitre. Vous pouvez égale-
ment employer les termes facteurs et multiples.
•• La multiplication et la division sont expliquées de façon claire pour permettre aux élèves de maîtriser ces notions parfois
difficiles à comprendre. Ils sont également encouragés à estimer les réponses de tête : cette capacité leur permet d’acquérir
une confiance en eux et de développer une « sensibilité » vis-à-vis des chiffres.
•• On estime une réponse de tête en arrondissant les nombres à des multiples de 10, de 100 ou de 1 000. Par exemple, pour
estimer 382 × 8, on peut arrondir 382 à 400. 400 × 8 = 3 200.
•• Pour estimer le résultat d’une division d’un nombre à 3 chiffres au moins, on l’arrondit à un multiple de 10, de 100 ou de
1 000 afin d’obtenir un multiple proche du diviseur. Par exemple, pour estimer le résultat de 4 812 ÷ 7, on peut arrondir 4 812
à 4 900 (49 est un multiple de 7). La réponse estimée est 4 900 ÷ 7 = 700.
•• L’estimation permet aux élèves de s’assurer de la logique d’une réponse, surtout en terme de nombres de chiffres. C’est
d’autant plus utile quand il s’agit de la multiplication et de la division par un nombre à 2 chiffres ou la multiplication et la
division de chiffres décimaux.
•• Continuez à donner à vos élèves des feuilles de calcul de 3 à 5 exercices comportant des multiplications, des divisions et
parfois des additions et des soustractions, et ce de façon régulière, à mesure que vous avancez d’un chapitre à l’autre.
•• Dans le manuel de CE2 de la méthode de Singapour, les élèves ont appris à s’aider de schémas représentant le tout et les
parties et de schémas de comparaison pour résoudre des problèmes impliquant des multiplications et des divisions. Ils sont
beaucoup utilisés pour résoudre les problèmes.
20
•• Si l’énoncé nous donne le total (100 €) et le nombre de parts (5), le schéma nous permet de trouver la valeur d’une part à
l’aide d’une division :
100 € ÷ 5 = 20 €.
100
20
•• Par exemple, si un manteau coûte 4 fois plus cher qu’une robe, on peut représenter le prix d’une robe (20 €) par une part, et
le prix du manteau par 4 parts. D’après ce schéma on constate immédiatement que :
1) On multiplie pour trouver le prix du manteau :
20 € × 4 = 80 €
2) Si on cherche le prix total (les prix de la robe et du manteau), on doit multiplier la valeur d’une part (20 €) par 5 :
20 € × 5 = 100 €
3) Si on veut savoir combien le manteau (4 parts) coûte de plus que la robe (1 part) on peut voir sur le schéma qu’il y a une
différence de 3 parts. On multiplie donc une part par 3 :
20 € × 3 = 60 €
4) Si on connaît la plus grande quantité et qu’on sait qu’elle représente 4 fois plus que la plus petite, on peut voir d’après le
schéma qu’on divise pour trouver la plus petite quantité :
80 € ÷ 4 = 20 €
•• On peut combiner ces schémas pour illustrer des problèmes plus complexes.
•• Par exemple : Une robe coûte 20 €. Une cliente a acheté 4 robes et une paire de chaussures. Elle a dépensé 110 € au total.
•• On peut schématiser le problème en dessinant une partie composée de 4 parts pour représenter les robes et une partie pour
représenter les chaussures. On écrit le total.
20 30
110
•• Le modèle en barre nous permet de voir qu’on peut procéder en deux étapes. On multiplie d’abord pour trouver le prix des 4
robes : 20 € × 4 = 80 €. On soustrait ensuite cette partie au total (110 €) pour trouver le prix des chaussures : 110 € – 80 € = 30 €.
•• Si au contraire l’énoncé nous donne le total (110 €), le prix des chaussures (30 €), et le nombre de parts dans la partie repré-
sentant les robes (4), on soustrait puis on divise pour trouver le prix d’une seule robe :
110 € – 30 € = 80 €, 80 €÷ 4 = 20 €.
•• Les élèves devraient être capables de dessiner des schémas lorsque c’est nécessaire. Ils ne sont toutefois pas obligés de le
faire s’ils savent résoudre le problème sans y avoir recours. Incitez-les tout de même à les dessiner tant qu’ils ne savent pas
quelle opération effectuer pour résoudre un problème.
Multiplier •• Dessinez un tableau de numération comportant les colonnes des dizaines de milliers, des milliers,
à l’aide d’objets des centaines, des dizaines et des unités. Ajoutez une ligne verticale en pointillés qui traverse la
concrets largeur du tableau.
1000 100 10 1
1000 100 10 1
1000 100 10 1
1000 100 10 1
100 10 1
10 1
10
10
10
1000 100 10 1
1000 100 10 1
1000 100 10 1
1000 100 10 1
100 10
10
10
100
100
100
1000 100 1
1000 100 1
1000 100 1
1000 100 1
100
•• On multiplie à présent les centaines par 4. Ici aussi on ne multiplie que les 5 centaines du nombre
initial. On n’inclut pas les 3 dizaines retenues résultant de la multiplication des dizaines par 4.
•• Quel est le produit de 5 centaines et 4 ? 20 centaines.
•• Retirez les 5 disques « 100 » du tableau et multipliez-les par 4.
•• Combien de centaines va-t-on obtenir dans la réponse finale ?
•• On a 20 centaines, plus les 3 centaines retenues, on a donc 23 centaines au total.
1000
1000
1000 100 1
1000 100 1
1000 100 1
1
•• Parmi celles-ci, transformez-en 20 en 2 milliers. Remplacez 20 disques « 100 » par 2 disques « 1 000 »
et placez-les dans la colonne des milliers au-dessus de la ligne en pointillés.
•• Placez les 3 disques « 100 », qui étaient au-dessus de la ligne en pointillés, dans la colonne des centaines.
•• Dans la multiplication en colonne, écrivez un petit 4 000 2 32
2 au-dessus des milliers et ajoutez 3 à la place des 500 × 4 = 2 000 4 576
centaines. 70 × 4 = 280
× 4
6 × 4 = 24
304
•• Placez le disque « 10 000 » dans la colonne des dizaines de milliers et les 8 disques « 1 000 » dans la
colonne des milliers.
•• Dans la multiplication en colonne, écrivez 1 à la place 4 000 × 4 = 16 000 2 32
des dizaines de milliers et 8 à la place des milliers. 500 × 4 = 2 000 4 576
70 × 4 = 280 × 4
6 × 4 = 24
18 304 18 304
•• Récapitulez en pointant du doigt chaque chiffre de la
multiplication en colonne : 4 milliers × 4 = 16 milliers, plus 2 milliers
= 18 milliers
•• On a la réponse finale : 4 576 × 4 = 18 304
Réponses :
2. (a) 17 700 (b) 25 960
•• Lisez ensemble l’exercice 3 de la page 30 du manuel de cours. Demandez aux élèves de calculer
la réponse exacte et de la comparer à l’estimation.
Réponses :
24 000 ; 24 000
Réponses :
(a) 20 000 ; 20 380
(b) 32 000 ; 34 536
(c) 18 000 ; 18 450
(d) 49 000 ; 48 517
(e) 18 000 ; 19 557
(f ) 24 000 ; 23 040
Entraînement Solutions
Réviser la •• Remarque : les élèves divisent des nombres à 2 et 3 chiffres par un chiffre depuis le CE2. La division
division de est une opération difficile pour beaucoup d’élèves. Vous pouvez consacrer une séance de révision
nombres à 2 ou supplémentaire de la division de nombres à 2 et 3 chiffres. Si cela ne suffit pas, vous pouvez revoir
3 chiffres les quatrième et cinquième parties du chapitre 3 du manuel de CE2 de la méthode de Singapour, et
ajouter des exercices du même manuel.
•• Rappelez aux élèves que : « Le résultat d’une division en parts égales
est appelé le quotient. »
« On appelle le reste ce qui n’a pas pu être
divisé en parts égales. »
•• Demandez aux élèves de recopier les termes et leurs
définitions.
•• Demandez-leur de calculer : 53 ÷ 2 = ?
•• Avancez avec eux étape par étape, à l’aide des disques-
nombres et d’une division en colonne.
53 2
–4 26
13
53 2
–4 26
13
– 12
1
40 ÷ 2 = 20
53
13 ÷ 2 = 6 R 1
Division par •• Avancez avec les élèves, étape par étape dans la
un nombre à 4 division en colonne par un nombre à 4 chiffres. Illustrer
chiffres chaque étape à l’aide des disques-nombres. Voici la
démarche suggérée pour : 4 608 ÷ 3
46083
–3 1
16
46083
–3 15
16
–15
1
46083
–3 15
16
–15
10
•• Sixième étape : on divise à présent les dizaines par 3. 1000 100 100 100 100 100
(10 dizaines ÷ 3 = 3 dizaines R 1 dizaine). 1
10 10 10 1
1
1000 100 100 100 100 100 1
10
10 10 10 1
1
1000 100 100 100 100 100 1
1
10 10 10
46083
–3 153
16
–15
10
– 9
1
46083
–3 153
16
–15
10
– 9
18
4608 3
–3 1536
16
–15
10
– 9
18
–18
0
ʰʰ On écrit le quotient sous le nombre par lequel on divise, le produit sous le nombre qu’on divise,
puis le reste dessous.
ʰʰ On écrit les unités à côté du reste. On divise ensuite les unités.
ʰʰ On écrit le quotient sous le nombre par lequel on divise, le produit sous le nombre qu’on divise,
puis le reste dessous.
•• À mesure que vous récapitulez, précisez bien qu’on divise simplement un nombre en des groupes
de milliers, de centaines, de dizaines et d’unités divisibles par 3.
Exercices •• Lisez ensemble la page 29 du manuel de cours. Simon répartit ses timbres de manière
d’application Demandez aux élèves de vous aider à dessiner un égale dans 5 paquets, combien de timbres
schéma pour représenter ce problème. (N’y passez y a-t-il dans chaque paquet ?
pas trop de temps, vous y reviendrez au cours d’une
prochaine séance.)
•• Contrairement à l’exercice précédent on ne compare 4 540
pas deux nombres, on n’a donc besoin que d’une seule
barre. La barre est composée de 5 parts égales, qui
représentent les 5 paquets. On écrit 4 540 pour le total ?
et un point d’interrogation sous une part pour montrer
qu’on en cherche la valeur. D’après le schéma on voit
qu’on doit diviser pour trouver cette valeur.
•• Avancez étape par étape dans la division en colonne 45405
avec les élèves. Insistez sur la troisième étape, où il n’y a
pas de dizaine à diviser. On écrit un 0 pour les dizaines – 45 908
dans le quotient. 040
–40
0
•• 7 (c) : 440 ÷ 10
100 10
100 10
100 10
100 10
Placez quatre disques « 100 » et quatre disques « 10 » « Comment peut-on diviser chaque
au tableau et demandez aux élèves : disque par 10 ? » (On divise en groupes
de 4 disques « 10 » et 4 disques « 1 ».)
•• Écrivez les opérations : 40 ÷ 10 = 4
400 ÷ 10 = 40
440 ÷ 10 = 44
•• Montrez aux élèves qu’en divisant par 10 un nombre
terminant par 0, il suffit d’enlever le 0 des unités.
•• Demandez aux élèves de calculer : 1 000 ÷ 10 = 100 et 4 000 ÷ 10 = 400
•• N’hésitez par à illustrer les opérations à l’aide des
disques-nombres si nécessaire.
•• Demandez aux élèves de résoudre l’exercice 7 (d) : 4 440 ÷ 10 = 444
•• Donnez-leur des exercices supplémentaires tels que : 310 ÷ 10 = 31
1 230 ÷ 10 = 123
Entraînement Solutions
? 3 654 €
Prix de deux motocyclettes = 2 × 3 654 €
= 7 308 €
Prix d’un scooter = 8 797 € – 7 308 € = 1 489 €
•• 2 (f ) : 1 895 €
? 3 032 €
L’argent que M. Étienne a gagné
= 1 895 € × 4 = 7 580 €
L’argent qu’il a dépensé
= 7 580 € – 3 032 € = 4 548 €
Entraînement Solutions
Cahier 1. 7 500
d’exercices A : 2. 3 648
Ex. 13 3. 10 045 €
4. 20 133 €
Objectifs
•• Multiplier un nombre à 2 ou 3 chiffres par un nombre à 2 chiffres.
•• Estimer le produit.
Entraînement
•• Cahier d’exercices A : Ex. 14
•• Cahier d’exercices A : Ex. 15
•• Cahier d’exercices A : Ex. 16
Remarques
•• Ici, les élèves apprendront à multiplier par un nombre à 2 chiffres. Ils commenceront par calculer les produits partiels en mul-
tipliant d’abord par les unités, puis par les dizaines, et en additionnant les deux produits ensemble.
•• Les élèves peuvent commencer à multiplier par les unités ou par les dizaines.
67 67 67 67
× 50 × 4 × 54 × 54
3 350 268 3 350 = 67 × 50 268 = 67 × 4
268 = 67 × 4 3350 = 67 × 50
3 618
3 618 3618
•• Encouragez les élèves à estimer la réponse avant de multiplier. Un mauvais alignement des produits partiels est une erreur
fréquente. Par exemple les élèves oublient souvent de commencer par placer le 0 des unités lorsqu’ils multiplient par des
dizaines. Estimer la réponse dans un premier temps leur permettra d’éviter ce genre d’erreur.
67 × 54 ; 70 × 50 = 3 500. 603 n’est pas une réponse logique. 67
× 54
268
335
603
•• Dans des cas particuliers, les élèves peuvent calculer de tête.
•• Si l’un des facteurs est proche d’un multiple de 10 ou de 100, on peut multiplier par celui-ci et soustraire l’excédent.
•• Si l’un des facteurs est 25, on peut multiplier par 100 et diviser par 4.
42 × 19 = 42 × 20 – 42
= 840 – 42
= 798
42 × 99 = 42 × 100 – 42
= 4 200 – 42
= 4 158
42 × 25 = 42 × 100 ÷ 4
= 4 200 ÷ 4
= 1 050
Chapitre 2 • La multiplication et la division des nombres entiers IIIIIIIIIIIII 59
Multiplier par •• Demandez aux élèves d’observer l’illustration de la 32 × 10 = 320 320 × 2 = 640
des dizaines page 36, ou dessinez-la au tableau. 32 × 2 = 64 64 × 10 = 640
32 × 20 = 640
× 10 ×2
10 100 100 100
× 10 ×2
10 100 100 100
× 10 ×2
10 100 100 100
× 10 ×2
1 10 10 10
× 10 ×2
1 10 10 10
Entraînement Solutions
Cahier 1. 10
d’exercices A : 340 €
Ex. 14 5 860
2. 260 380 5 820 7 490
204 2 040 200 2 000
1 744 17 440 5 360 53 600
4 × 5 = 20
4×2=8
4 × 7 = 20 + 8 = 28
•• Demandez aux élèves de recommencer avec : 32 × 24
•• Montrez-leur qu’on peut décomposer 24 en 20 et 4 : 32 × 20 = 640
32 × 4 = 128
32 × 24 = 640 + 128
Estimer •• Aidez les élèves à estimer les réponses des exercices 5 34 × 15 ; 30 × 20 = 600
et 6 du manuel de cours. Dites-leur que commencer 64 × 27 ; 60 × 30 = 1 800
par estimer la réponse leur permet d’évaluer la
probabilité de leur réponse exacte. Par exemple, s’ils
oublient d’écrire le 0 du produit de la multiplication par
la dizaine, leur réponse exacte sera très différente de la
réponse estimée. Ils sauront alors qu’ils doivent revoir
leur calcul.
Exercices •• Demandez aux élèves d’effectuez l’exercice 10 (a) à (d) de la page 39 du manuel de cours.
d’application Donnez-leur d’autres exercices pour un entraînement supplémentaire.
Réponses :
10. (a) 1 000 ; 882 (b) 1 400 ; 1 512 (c) 3 000 ; 2 914
Entraînement Solutions
Entraînement Solutions
? 50
Révision A
Objectifs
•• Réviser toutes les notions abordées jusqu’ici.
26
Entraînement
•• Cahier d’exercices A : Révision 1
Remarques
•• Les séances de révision de la méthode de Singapour reprennent toutes les notions abordées.
Étape Démarche
Réviser •• Demandez aux élèves d’effectuer seuls ou en équipe les exercices de la Révision A de la page 41
du manuel de cours et de partager leurs résultats.
Réponses :
1. (a) 60 (b) 6 000 (c) 60 000
2. (a) 24 038 (b) 74 002
3. (a) quarante-deux mille trois cent dix (b) quinze mille deux cent six (c) vingt mille huit cent quinze
4. 1 500 €
5. 1. 1, 2 ou 4
2. 24, 48, 72, 96, 120…
6. (a) 1 600 (b) 10 000
7. (a) 342 (b) 833 r 2 (c) 712 (d) 314 r 5
8. (a) 145 (b) 598
Voici une méthode pour résoudre le problème 8b :
8. b. Si la première pile avait 10 livres de moins, elle en aurait deux fois plus que la troisième pile.
La troisième pile = 1 unité
La deuxième pile = 2 unités
La première pile = 2 unités + 10
En retirant 10 livres de la première pile on a exactement 5 unités.
5 unités = 3 000 – 10 = 2 990
1 unité = 2 990 ÷ 5 = 598
La troisième pile comporte 598 livres.
Objectifs
•• Additionner ou soustraire des fractions au même dénominateur, et additionner et soustraire des fractions quand le dénomi-
nateur de l’une est un multiple du dénominateur de l’autre.
•• Résoudre des problèmes impliquant des additions ou des soustractions de fractions.
•• Convertir un nombre mixte en une fraction égale ou supérieure à 1.
•• Trouver les fractions d’un ensemble.
•• Multiplier une fraction par un nombre entier.
•• Déterminer un « tout » à partir d’une fraction.
•• Résoudre des problèmes en deux étapes impliquant les fractions d’un ensemble.
Remarque : La progression proposé anticipe légèrement sur le programme de CM2 2008, au profit des élèves, ce qui leur don-
nera des bases très solides pour la suite.
Objectifs
•• Réviser les fractions équivalentes.
•• Additionner des fractions au même dénominateur.
•• Additionner des fractions quand le dénominateur de l’une est un multiple du dénominateur de l’autre.
Entraînement
•• Cahier d’exercices A : Ex. 17
•• Cahier d’exercices A : Ex. 18
Remarques
•• Dans le manuel de CE2 de la méthode de Singapour, les élèves ont appris à trouver des fractions équivalentes. Cette notion n’est
pas revue dans le manuel de CM1 mais une bonne maîtrise des fractions équivalentes est nécessaire pour additionner et soustraire
des fractions. N’hésitez pas à consacrer du temps supplémentaire à la révision des fractions équivalentes si c’est nécessaire.
•• Illustrez l’addition et la soustraction de fractions à l’aide des modèles en barre et des cercles de fraction. Les modèles en barre
sont semblables à ceux utilisé pour les multiplications et les divisions lors de la résolution de problèmes. Mais ici, les unités
représentent les fractions d’un tout, et le total est 1. Plus tard, les élèves utiliseront des modèles en barre représentant les frac-
tions de nombres supérieurs à 1 pour trouver la valeur d’une unité, comme ils l’ont fait pour résoudre des problèmes compor-
tant des multiplications ou des divisions. Ils verront ainsi le lien entre les fractions, les parts égales d’un tout et la division.
•• Les fractions au dénominateur commun. Pour additionner des fractions au dénominateur commun, on additionne simple-
ment les numérateurs. Le dénominateur reste le même.
•• Lorsque le dénominateur d’une fraction est un multiple du dénominateur de l’autre. Pour additionner ce type de frac-
tions, on convertit une fraction en fraction équivalente de l’autre.
1 1
•• Lorsque des fractions n’ont pas le même dénominateur, telles que et . L’addition et la soustraction de fractions qui
5 7
n’ont pas le même dénominateur seront abordées dans le manuel de CM2 de la méthode de Singapour.
2
•• Expliquez-leur que est une fraction équivalente de
3
8
et qu’elle est irréductible. Irréductible est le terme
12
qu’on utilise lorsqu’aucun facteur commun ne peut
plus diviser à la fois le numérateur et le dénominateur
d’une fraction. (Si un élève suggère qu’on peut diviser
le numérateur et le dénominateur par 1, faites-lui
remarquer que la fraction restera la même.) Tant que
les deux chiffres d’une fraction peuvent être divisés par
le même nombre, elle n’est pas irréductible.
•• Donnez aux élèves quelques fractions et demandez-
leur de les transformer en fractions irréductibles ou
de vous dire si elles le sont déjà. Écrivez au tableau 5
nombres entre 1 et 12 : 2, 3, 5, 8, 9
•• Demandez-leur d’écrire un maximum de fractions
irréductibles : 2 3 8
, , , etc.
3 5 9
Entraînement Solutions
Cahier 3 7 5 7
d’exercices A : 1. (a) (b) (c) (d)
5 8 6 10
Ex. 17 1 2 3 3 7 5 9 5
2. (a) 1 (b) (c) (d) (e)
(h) (i)(f ) (g)
2 3 5 4 9 6 10 7
1 2 1 3 5 3 3 7
3. (dans le sens des aiguilles d’une montre) , , , , , , ,
2 3 4 5 6 8 10 9
3 5 7 6 9 3
4. (a) (b) 1 (c) (d) (e) (f ) 1 (g) (h)
5 8 9 7 10 4
1
6
4
6
1
6
4 + 1 = 5
6 6 6
Entraînement Solutions
Cahier 5 4 7 4 7
d’exercices A : 1. (a) (b) ; (c) ;
12 8 8 10 10
Ex. 18
2. (Dans le sens des flèches)
3 5 4 8 3 1 5 7 3 1
(a) ; ; ; ; ; ; ; ; ;
4 6 9 9 10 2 8 8 4 3
Objectifs
•• Soustraire des fractions qui ont le même dénominateur.
•• Soustraire des fractions quand le dénominateur de l’une est un multiple du dénominateur de l’autre.
•• Résoudre des problèmes impliquant l’addition ou la soustraction de fractions.
Entraînement
•• Cahier d’exercices A : Ex. 19
•• Cahier d’exercices A : Ex. 20
•• Cahier d’exercices A : Ex. 21
Remarques
•• Les mêmes règles s’appliquent à l’addition et à la soustraction de fractions.
•• Pour soustraire des fractions qui ont le même dénominateur, on soustrait les numérateurs. Le dénominateur ne change pas.
4 1 3 4
-
5 5 5 5
3 1
5 5
•• Avant de soustraire des fractions qui n’ont pas le même dénominateur, on les réduit au même dénominateur.
7 2 7 4 3 7
- - 10
10 5 10 10 10
3 2= 4
10 5 10
•• Encouragez les élèves à dessiner des modèles en barre clairs et précis afin de résoudre des problèmes. Cela les aidera à les
visualiser.
Réponses :
3 1 5 1 2 1 7 1 5 1 3 1
4. (a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g) (h) (i) (j) (k) (l)
5 8 9 3 5 4 9 10 12 5 8 3
Entraînement Solutions
Cahier 3 1 3 3 1 3
d’exercices A : 1. (a) (b) (c) (d) (e) (f )
5 6 8 10 4 5
Ex. 19 1 2 2 5 1 3 3 3 1 1
2. (a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g) (h) (i) (j)
3 5 3 8 4 4 5 10 2 12
3. (Dans le sens des aiguilles d’une montre en partant du haut)
1 1 5 3 1 1 3 2
; ; ; ; ; ; ;
2 8 7 10 4 6 5 3
1 2 1 1 1 3 1
4. (a) (b) (c) (d) 0 (e) (f ) (g) (h)
2 7 2 2 3 5 3
1
2
7
8
4
8
7
8
4 7 – 4 = 3
8 8 8 8
Cahier 1 4 1
d’exercices A : 1. (a) (b) ;
4 6 6
Ex. 20 8 7
(c) ;
12 12
1 1 4 2 3 5 1 1 1
2. A A D E I L Q R T U
3 8 9 3 10 12 2 12 4
QUADRILATÉRAL
Étape Démarche
S’entraîner •• Demandez aux élèves d’effectuer l’exercice 1 des Exercices 3A et l’exercice 1 des Exercices 3B
des pages 50 et 51 du manuel de cours et de partager leurs réponses.
Réponses :
Exercices 3A
4 5 7 3 3 7 6 7 2 4 2 3 3 8
1. (a) ; ; (b) ; ; (c) ; 1; (d) ; ; (e) ; ;
5 6 10 10 7 9 8 9 5 6 4 5 6 11
Exercices 3B
1 7 7 5 5 2 1 1 1 7 5 7 3 1
1. (a) ; ; (b) ; ; (c) ; ; (d) ; ; 1 (e) ; ;
4 12 10 9 6 3 12 8 2 8 12 8 8 2
Réponses :
Exercices 3A
1
2. (a)
2
5
(b)
9
4
(c)
7
1
(d)
3
Exercices 3B
1
2. (a) de litre
4
5
(b)
8
4
(c) 1.
10
5
2.
10
Entraînement Solutions
Cahier 5
d’exercices A : 1.
8
Ex. 21 1
2. de mètre
3
2
3.
3
2
4. de litre
5
1
5. de mètre
5
Objectifs
•• Comprendre les nombres mixtes comme la somme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à 1.
•• Interpréter une échelle graduée comportant des nombres mixtes.
•• Additionner une fraction inférieure à 1 et un nombre entier.
•• Soustraire une fraction inférieure à 1 à un nombre entier.
Entraînement
•• Cahier d’exercices A : Ex. 22
Remarques
•• Jusqu’ici les élèves ont travaillé avec des fractions inférieures ou égales à 1. Ici, ils aborderont les fractions supérieures à 1
composées d’un nombre entier et d’une fraction. Ce sont des nombres mixtes. Les élèves devraient les interpréter comme la
somme d’un nombre entier et d’une fraction.
•• Ils apprendront également à soustraire une fraction à un nombre entier. Plus tard, ils apprendront à additionner et à sous-
traire des nombres mixtes. Ils pourront ainsi « créer un ensemble » ou « soustraire à un ensemble » afin d’apprendre à utiliser
les fractions en calcul mental.
•• N’hésitez pas à utiliser des objets tels que cercles de fraction ou autres dessins pour illustrer les nombres mixtes.
6 – 1 =53
4 4
5 1
Exercices •• Demandez aux élèves d’effectuer l’exercice 3 de la page 53 du manuel de cours et de partager
d’application leurs réponses.
Réponses :
2 4 7 3 4 1
3. (a) 3 (b) 2 (c) 4 (d) 1 (e) 2 (f ) 4
3 5 10 4 5 3
Entraînement Solutions
Cahier 1 4 1 7
d’exercices A : 1. (a) 3 (b) 2 (c) 2 (d) 3
2 5 6 8
Ex. 22 3 2 1 3 2
2. (a) 1 ; 2 (b) 3 (c) 3 (d) 2
5 5 5 4 3
Objectifs
•• Interpréter des fractions égales ou supérieures à 1 comme les multiples de fractions unitaires.
•• Convertir une fraction égale ou supérieure à 1 en un nombre mixte.
•• Convertir un nombre mixte en une fraction égale ou supérieure à 1.
Entraînement
•• Cahier d’exercices A : Ex. 23
•• Cahier d’exercices A : Ex. 24
•• Cahier d’exercices A : Ex. 25
•• Cahier d’exercices A : Ex. 26
Remarques
•• Dans une fraction égale ou supérieure à 1, le numérateur est égal ou supérieur au dénominateur. Les élèves apprendront à
convertir une fraction égale ou supérieur à 1 en un nombre mixte en regroupant des fractions pour créer un nombre entier.
16 5 5 5 1 15 1 1
3
5 5 5 5 5 5 5 5
•• L’utilisation de la division pour convertir en un nombre mixte sera abordée dans le manuel de CM2 de la méthode de Singapour.
•• Les élèves apprendront à convertir un nombre mixte en une fraction égale ou supérieure à 1 en commençant par convertir
le nombre entier avant de l’additionner à la fraction.
1 15 1 16
3 = + =
5 5 5 5
1 1 2
4 4 4
1
•• Continuez à additionner des et à écrire les opérations. Demandez régulièrement aux élèves
4
combien il y a de quarts. Regroupez ensuite les quarts et écrivez des nombres mixtes :
1 3
3¥
4 4
1 4
4¥
4 4
1 5
5¥
4 4
1 6
6¥
4 4
1 7
7¥
4 4
1 8
8¥
4 4
1 9
9¥
4 4
9 1
2
4 4
2m
3
3m
3
4m
3
5m
3
Entraînement Solutions
Cahier 3 4 5 3
d’exercices A : 1. (a) 1 (b) 1 (c) 1 (d) 2
3 4 6 5
Ex. 23 4 22 2 5 3 15 3 13 7 23
2. (b) 2 ; (c) 1 ; (d) 3 ; (e) 2 ; (f ) 3 ;
9 9 3 3 4 4 5 5 8 8
Entraînement Solutions
Cahier 3 3
d’exercices A : 1. (a) 2 (b) 3
4 5
Ex. 24 2
1 2
2. 1 ; 1 ; 3 ; 3
3 3 3
1 7 1 1 1 1 3 1
3. (a) 2 (b) 1 (c) 1 (d) 2 (e) 2 (f ) 2 (g) 1 (h) 4 (i) 3 (j) 4
2 10 6 3 5 4 8 2
Cahier 6 8
d’exercices A : 1. (a) (b) 6 ;
3 3
Ex. 25 11 19
2. (a) (b)
6 8
7 5 19 21 19 10 5 23 13 30
3. (a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g) (h) (i) (j)
5 4 8 10 6 3 2 5 9 12
4 7 9 11 14
4. ; ; ; ;
4 4 4 4 4
1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10
5. 1 1 1 1 1 1 1
3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9
2 8 1 5 3 7 1 11 5 11 7 15
2 2 1 2 1 1
3 3 2 2 4 4 5 5 6 6 8 8
Entraînement Solutions
Cahier 1 2 1 1
d’exercices A : 1. (a) 3 (b) 2 (c) 3 (d) 2 (e) 6 (f ) 3
2 3 3 3
Ex. 26 7 3 1 3 2 7 1 4 1 5 1 7
2. 3 4 3 2 2 1 2 1 3 2 4 3
4 4 2 2 5 5 3 3 4 4 6 6
1 2 1 1 1 1
3. (a) 1 (b) 1 (c) 1 (d) 1 (e) 1 (f ) 1 (g) 1 (h) 1
2 7 3 8 6 10
2 7 1 3 3 1 1 1
4. (a) (b) (c) 1 (d) 1 (e) 2 (f ) (g) 4 (h) 3
9 12 4 8 7 5 2 4
5. (a) >
(b) <
(c) <
(d) =
(e) <
(f ) <
(g) =
(h) >
(i) >
(j) =
mixtes correspondants. 2
1 7 6 3
2 6 2
4 5
31 13
4 5 21 2
2
2 1 6 3
2
Objectifs
•• Comprendre les fractions d’un ensemble de plusieurs objets.
•• Trouver le nombre d’objets dans les fractions d’un ensemble.
•• Multiplier une fraction par un nombre entier.
•• Exprimer une partie sous la forme d’une fraction du tout.
•• Trouver la valeur du tout à partir d’une fraction.
•• Résoudre des problèmes de mots en deux étapes impliquant les fractions d’un ensemble.
Entraînement
•• Cahier d’exercices A : Ex. 27
•• Cahier d’exercices A : Ex. 28
•• Cahier d’exercices A : Ex. 29
•• Cahier d’exercices A : Ex. 30
•• Cahier d’exercices A : Ex. 31
•• Cahier d’exercices A : Ex. 32
•• Cahier d’exercices A : Ex. 33
•• Cahier d’exercices A : Ex. 34
•• Cahier d’exercices A : Ex. 35
Remarques
•• Jusqu’ici, les élèves ont travaillé avec des fractions d’un seul « tout ». On aborde ici la notion de fractions d’un ensemble de
plusieurs objets.
1
•• Pour trouver d’un ensemble de 20 objets, on peut diviser l’ensemble de 20 en 5 parts égales et déterminer le nombre
5
d’objets dans une seule part.
1 1
•• Les élèves apprendront à interpréter de 20 comme × 20.
5 5
3
•• Pour trouverde 20, on divise 20 en 5 parts égales puis on détermine le nombre d’objets dans 3 parts.
5
3 1
Donc de 20 = 3 × de 20.
5 5
3
•• Pour trouver de 22, on peut diviser 20 objets en 5 parts égales puis diviser les 2 objets restants en 5 parts égales de façon à
5 1
ce qu’elles aient chacune .
5
2 2 2 6 1 1
•• Il y a 4 dans chaque part de l’ensemble. Dans 3 parts il y a : 3 × 4 = 3 × 4 + 3 × = 12 + = 12 + 1 = 13 .
5 5 5 5 5 5
Chapitre 3 • Les fractions IIIIIIIIIIIII 91
?
3
= 3 parts = 18
3
1
= 1 part = 18 ÷ 3 = 6
3
2
= 2 parts = 6 × 2 = 12
3
•• On peut s’aider du modèle en barre représentant le tout et les parties afin de trouver un « tout » à partir d’une fraction. Par
3
exemple, si on sait que d’un nombre donné est 15, on peut trouver ce nombre à partir du schéma : on peut dessiner une
5
1
barre divisée en cinq parties et écrire 15 pour 3 parts. On s’aperçoit alors qu’on peut trouver , soit une part, en divisant par
5
3, puis trouver le total (5 parts) en multipliant cette valeur par 5.
•• Les élèves utiliseront le modèle en barre pour résoudre des problèmes de plus de 2 étapes impliquant les fractions d’un
ensemble. ?
15
3
= 3 parts = 15
5
1
= 1 part = 15 ÷ 3 = 5
5
5
= 5 parts = 5 × 5 = 25
5
Entraînement Solutions
1
de 24 = 8
3
Trouver 1
•• À l’aide des 24 cercles, montrez aux élèves de 24 :
le multiple 6
d’une fraction •• Rappelez aux élèves que le dénominateur (6) nous indique
d’un ensemble en combien de parts il faut diviser l’ensemble (24).
•• Demandez-leur : 2
« Combien font de 24 ? »
6
•• Rappelez-leur que le numérateur correspond aux
nombres de parties qu’on cherche (2).
•• Puisqu’une partie comporte 4 cercles, deux parties en
2
comportent 2 × 4 = 8. Donc pour trouver de 24, on
6
1
cherche d’abord de 24 qu’on multiplie par 2.
6
•• Demandez aux élèves : 3
« Combien font de 24 ? »
6
1 5
•• On multiplie donc par 3. « Combien font de 24 ? »
6 6
•• Demandez aux élèves s’ils connaissent un autre moyen
3 1
de trouver la réponse : puisque correspondent à ,
1 6 2
on peut chercher de 24.
2
•• Demandez aux élèves :
5
de 24 = 5 × 4 = 20
6
Entraînement Solutions
•• Écrivez : 1
de 12
4
•• Expliquez-leur qu’on divise l’ensemble de 12 cercles
en 4 groupes, puis qu’on compte le nombre de cercles
dans chaque groupe. Dites-leur que cette division nous
12
permet de trouver une fraction équivalente de qui
3 4
est ou 3.
1
1
•• Montrez-leur qu’on peut aussi trouver de chaque
4
1 1
cercle. On aurait alors 12 × . Si on regroupe ces en
4 4
1
cercles entiers, on obtient 12 × = 3 cercles entiers.
1 4
Cela correspond à de 12.
4
1 1 1 ¥ 12 12 12 1 1
•• Donc de 12 = × 12 = = =1× . de 12 = × 12
4 4 4 4 4 4 4
12
=
4
=3
3
•• Montrez maintenant aux élèves de 12, tout d’abord
4
1 3
comme 3 × × 12 puis comme de chacun des 12 cercles.
4 4
3
•• On a 12 × .
4
Entraînement Solutions
1 1
de 10 = 2
4 2
•• On multiplie donc le nombre entier et la fraction du 3 1
de 10 = 3 × 2
nombre mixte par 3. Puis on simplifie. 4 2
1
=6+1
1 2
=7
2
Entraînement Solutions
Cahier 1 2 3 3 1 3
d’exercices A : 1. (a) 4 (b) 2 (c) 1 (d) 3 (e) 7 (f ) 3
2 3 4 4 2 4
Ex. 30 # 1
Trouver, 1
•• Rappelez aux élèves qu’on peut se représenter de 8 en
en simplifiant, 4
la fraction 1 8
répartissant 8 en 4 groupes égaux. Donc × 8 = = 2.
d’un nombre 4 4
entier quand
elle correspond
à un nombre
mixte
•• Écrivez au tableau : 1 10
× 10 =
4 4
10
•• Demandez aux élèves de simplifier en un nombre
mixte : 4
10 1
=2
4 2
•• On peut donc utiliser la même méthode pour trouver 5
1 10 5 1
un nombre entier ou un nombre mixte. × 10 = = =2
4 42 2 2
1 10 5 5
•• Expliquez aux élèves que si × 10 = = 3 3 ¥ 10
4 4 2 × 10 =
3 5 4 42
alors × 10 = 3 × .
4 2 3 ¥ 5 15 1
= 7
2 2 2
•• Cette méthode permet de résoudre l’opération
beaucoup de façon beaucoup plus rapide.
Exercices •• Demandez aux élèves d’effectuer l’exercice 6 de la page 60 du manuel de cours. Ils peuvent
d’application utiliser la méthode la plus rapide puis vérifier l’exactitude de leur résultat à l’aide de schémas.
Réponses :
2 2
6. (a) 4 (b) 4 (c) (d) 6 (e) 6 (f ) 6
3 3
•• Donnez-leur d’autres exercices pour un entraînement supplémentaire.
Entraînement Solutions
Cahier 3 4 2 1 1 5 2 2
d’exercices A : (a) (b) 1 (c) 1 (d) 2 (e) 4 (f ) 5 (g) 1 (h) 2
13 5 3 2 6 8 3 5
Ex. 30 # 2
Réviser •• Donnez aux élèves quelques problèmes. Par exemple : Pierre a 5 fois plus d’argent que Paul.
quelques Marie a 3 fois plus d’argent que Paul. Ils
problèmes ont au total 90 €. De combien d’argent
impliquant dispose Marie ? Combien Pierre a-t-il de
des unités plus que Paul ?
•• Aidez les élèves à illustrer le problème à l’aide d’un ?
schéma. Montrez-leur qu’ils peuvent dessiner une
unité pour représenter l’argent de Paul, 3 pour celui de Paul
Marie et 5 pour l’argent de Pierre. Il y a donc un total de Pierre 90 €
9 unités qui représentent 90 €.
Marie
?
Établir •• Dites aux élèves que puisque les fractions sont des
le lien entre parts égales, chaque part peut être une part dans
des problèmes un modèle en barre. Ils peuvent ainsi résoudre des
impliquant problèmes impliquant des fractions à l’aide de schémas
des fractions représentant le tout et les parties. Par exemple : 2
Un épicier a 42 pommes. sont rouges et
et le modèle 7
en barre les autres sont vertes. Combien y a-t-il de
pommes vertes ?
•• On peut dessiner une barre divisée en 7 parts 42
(7 septièmes). On sait à quel nombre correspondent
ces 7 parts (42). On peut donc trouver la valeur d’une
part puis celle de plusieurs parts. Rouge Vert
7 parts = 42
1 part = 42 ÷ 7 = 6
5 parts = 6 × 5 = 30
Il y a 30 pommes vertes.
•• On peut aussi résoudre ce problème à partir de la ou
fraction, soit la proportion de pommes vertes : la proportion de pommes vertes =
2 5
1– =
7 7
6
5 5 ¥ 42
de 42 = 5 ¥ 6 30
7 71
•• Montrez aux élèves que les deux méthodes sont
similaires. Dans les deux cas on divise par 7 avant de
multiplier par 5.
Cahier Remarque : l’exercice 2. (b) est inadapté à moins que les élèves aient déjà appris à mesurer
d’exercices A : les angles et sachent donc que 90° est un angle droit. Vous pouvez le remplacer par « À
Ex. 32 1
quelle proportion de 1 heure correspond 50 minutes ? »
2
Réponses :
1 4 5
1. (a) (b) (c)
5 5 12
1 5 9
2. (a) (b) (c)
3 9 20
3 2 3 2
3. (a) (b) (c) (d)
4 5 8 5
Entraînement Solutions
•• Demandez aux élèves d’effectuer les Exercices 3C de la page 65 du manuel de cours. Invitez
certains d’entre eux à partager leurs résultats et commentez les solutions différentes s’il y en a.
Réponses :
2 1 3 1
1. (a) 6 (b) 24 (c)
(d) 8 (e) 9 (f ) 6 (g) (h) 7
3 3 4 2
1 3 3
2. (a) 2 m (b) 3 d’heures (c) ; 40 (d) 10 (e) 24 (f ) 24 €
4 4 5
Entraînement Solutions
Cahier 1. 240 €
d’exercices A : 2. 3m
Ex. 35 3. 40 m
4. 18
51
52
Entraînement
•• Cahier d’exercices A : Révision 2
•• Cahier d’exercices A : Révision 3
Réviser Demandez aux élèves d’effectuer seul ou en équipe les exercices de la Révision B des pages 66
à 69 du manuel de cours, puis demandez-leur de partager leurs résultats. Vous pouvez également
leur donner des activités du cahier d’exercices à faire en classe.
Réponses :
1. (a) 7 003 (b) 15 212
2. (a) quatre mille six cent soixante (b) trente-cinq mille six cents
(c) quarante-sept mille dix-neuf (d) cinquante-deux mille quatre cent soixante-treize
3. (a) 47 355, 74 355, 74 535, 75 435 (b) 23 232, 23 322, 32 223, 33 222
4. (a) 16 060 (b) 69 516
5. (a) 10 000 (b) 28 065
6. (a) 410 (b) 690 (c) 5 970
7. (a) 700 (b) 5 600 (c) 7 400
8. (a) 4 590 (b) 456r2
9. (a) 9 (b) 8 (c) 3 (d) 2
10. (a) 1 ou 3 (b) 18, 36, 54, 72, 90…
3 7 11 1 1 1
11. (a) (b) (c) (d) (e) (f )
4 9 12 5 4 8
5 1 1 1 3 1
12. (a) (b) (c) (d) (e) (f )
8 3 6 2 4 2
5 2
13. (a) (b)
9 3
1 1 3 4 3
14. ; ; ; ;
12 3 5 4 2
15. (a) 6 (b) 18 (c) 2 (d) 3
4 1 1 1
16. (a) (b) (c) 1 (d) 2
5 6 3 4
1 1 2
17. (a) 3 (b) 3 (c) 4 (d) 3
3 2 7
11 14 25 29
18. (a) (b) (c) (d)
7 5 8 10
1
19. 2
2
1
20. (a) 500 ml (b) 24 l (c) 25 (d) 39 € (e) 1. 2. 40 3. 24
5
Entraînement Solutions
Cahier 1. 56 952
d’exercices A : 2. 85 320
Révision 3 3. 76 410
4. 6
5. 6, 12, 18, 24, 30
6. 15
7. 130 cm
1
8.
2
1 7
9. 3 ;3
4 8
2
10.
5
2 2 2 9
11. , , ,
9 7 3 7
5 3 1
12. 1 1 2
8 4 8
1
13.
2
Objectifs
•• Lire et interpréter des graphiques (« histogrammes »).
•• Résoudre des problèmes à l’aide des données d’un graphique (« histogrammes »).
58
Objectifs
•• Lire et interpréter un graphique (« histogrammes »).
•• Résoudre un problème à l’aide des données d’un graphique (« histogrammes »).
Entraînement
•• Cahier d’exercices A : Ex. 36
•• Cahier d’exercices A : Ex. 37
•• Cahier d’exercices A : Ex. 38
•• Cahier d’exercices A : Ex. 39
•• Cahier d’exercices A : Ex. 40
Remarques
•• Dans le manuel de CE2 de la méthode de Singapour, les élèves ont appris à lire et à interpréter un graphique. Cette notion
sera revue ici et ils apprendront à créer leurs propres graphiques. Ils apprendront également à représenter des données sous
la forme d’un tableau.
•• Ils collecteront des données à représenter dans un tableau ou dans un graphique. Vous pouvez choisir de les faire travailler
en groupes ou tous ensemble et de restreindre la collecte des données au temps de classe. Vous pouvez aussi leur deman-
der de collecter les données chez eux pour les partager pendant le cours. Ils doivent être capables de collecter des données
à la fin de ce chapitre. (Voir séance 4.1d)
Entraînement Solutions
Entraînement Solutions
0
Cuisine Dessin Infor- Danse
matique
Garçons Filles
•• Demandez aux élèves de commenter les tableaux et graphiques qu’ils ont extraits de journaux.
Objectifs
•• Estimer et mesurer un angle.
•• Reconnaître un angle à 90°, à 180°, à 270° et à 360°.
•• Tracer un angle.
•• Trouver un angle complémentaire ou supplémentaire inconnu.
61 •• Reconnaître des angles de 180°, de 270° et de 360°. P. 76 et 77, Ex. 43, # 1 à 3 5.1c
•• Estimer et mesurer des angles de plus de 180°. Ex. 4 à 7
P. 76 et 77,
Ex. 5 à 7
Entraînement
•• Cahier d’exercices A : Ex. 41
•• Cahier d’exercices A : Ex. 42
•• Cahier d’exercices A : Ex. 43
•• Cahier d’exercices A : Ex. 44
Remarques
•• Dans le manuel de CE2 de la méthode de Singapour, les élèves ont appris à reconnaître des angles droits et des angles supé-
rieurs et inférieurs à des angles droits. Ici, ils apprendront à mesurer un angle en degrés à l’aide d’un rapporteur.
•• Le degré provient du système babylonien de base 60. Ils auraient divisé le cercle en 360 degrés après avoir constaté que le
soleil mettait environ 360 jours pour compléter un circuit à travers le ciel. 360 est divisible par 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18
et 20. Un cercle de 360 degrés est donc divisible en parties égales.
•• À partir de certaines propriétés de figures géométriques, on peut trouver certains angles sans les mesurer. Les élèves ren-
contreront ce concept pour la première fois avec les rectangles. Un rectangle a quatre angles droits. Si l’un d’eux est divisé
en deux angles et qu’on connaît les mesures de l’un, on peut alors trouver celles de l’autre en soustrayant (à 90°). On appelle
deux angles qui forment un angle droit, des angles complémentaires. On appelle deux angles qui forment une droite, des
angles supplémentaires. Puisque les élèves apprendront qu’une droite est un angle plat à 180°, ils seront alors capables de
trouver l’angle supplémentaire d’un autre angle. Ils n’ont cependant pas encore besoin d’apprendre les termes complémen-
taire et supplémentaire. 30°
180° – 20°
90° – 30°
20°
•• Le manuel de cours et le cahier d’exercices proposent des schémas comportant des angles que les élèves doivent trouver
calculer et non mesurer. Les angles ne sont pas exacts, il est donc inutile de les mesurer.
•• Montrez aux élèves qu’on peut mesurer les angles dont le sommet pointe vers la droite à l’aide de
la graduation extérieure, et ceux dont le sommet pointe vers la gauche, à l’aide de la graduation
intérieure (seule la graduation extérieure est graduée de degré en degré).
•• Si vous disposez de plusieurs rapporteurs de différentes tailles, montrez aux élèves qu’ils mesurent tous
les mêmes angles au même degré. Quelle que soit la taille du demi-cercle, ou la longueur des côtés de
l’angle, les degrés sont les mêmes. Le demi-cercle d’un rapporteur est toujours divisé en 180° égaux.
a
B
C
Entraînement Solutions
45°
35°
165°
•• Demandez aux élèves de tracer d’autres angles d’une
mesure donnée inférieure à 180°.
Entraînement Solutions
Cahier 1. (a) 60° (b) 90° (c) 105° (d) 75° (e) 65° (f ) 120°
d’exercices A : 2. (a) 80° (b) 125° (c) 120° (d) 70° (e) 140° (f ) 135°
Ex. 42
Entraînement Solutions
Exercices •• Demandez aux élèves de s’entraîner à tracer un angle d’une mesure donnée supérieur à 180°.
d’application
Entraînement Solutions
Cahier 240°
d’exercices A : 300°
Ex. 43 # 4 et 5
S’entraîner •• Les élèves peuvent travailler par équipe de deux. Le premier trace un angle et le second le mesure.
à mesurer Puis ils échangent les rôles.
et à tracer
un angle
Entraînement Solutions
Objectifs
•• Identifier des droites perpendiculaires et des droites parallèles.
•• Tracer des droites perpendiculaires et des droites parallèles.
Objectifs
•• Identifier des droites perpendiculaires.
•• Tracer des droites perpendiculaires.
Entraînement
•• Cahier d’exercices A : Ex. 45
•• Cahier d’exercices A : Ex. 46
Remarques
•• Deux droites qui se coupent en formant un angle droit sont des droites perpendiculaires.
•• Le symbole ⊥ signifie perpendiculaire. Une droite est nommée d’après les deux points de ses extrémités tels que A et B. On
peut donc écrire AB ⊥ CD pour indiquer que les droites AB et CD sont perpendiculaires.
•• Les élèves apprendront à reconnaître des droites perpendiculaires et à les tracer à l’aide d’une équerre.
D
A
B
C
Entraînement Solutions
Tracer •• Référez-vous à l’exercice 2 de la page 80. Tracez une droite AB. Dessinez un point
une droite per- P. En vous servant de votre équerre tracez
pendiculaire à une droite perpendiculaire à AB qui passe
une droite don- par P.
née en passant •• Tracez une droite AB et un point P d’un côté de la
par un point P
droite. Dites aux élèves que vous voulez tracer une A
droite perpendiculaire à AB qui passe par ce point.
Superposez votre équerre à AB puis faites-la glisser
jusqu’à ce que son côté perpendiculaire atteigne P.
Tracez ensuite la droite en partant de AB et en passant
par P.
B
P
A
Tracer •• Lisez ensemble l’exercice 3 de la page 80 du manuel Voici des exemples de droites
des droites per- de cours. Demandez aux élèves d’observer les droites perpendiculaires tracées sans l’aide d’une
pendiculaires à et de discuter de méthodes pour déterminer si elles équerre sur du papier quadrillé. Par quel
l’aide du papier sont perpendiculaires sans l’aide d’une équerre. moyen ont-elles été tracées ?
quadrillé •• Dessinez une figure similaire au tableau en montrant
aux élèves qu’on commence une droite dans un coin
pour la terminer dans un autre. Recommencez pour la
seconde droite en respectant le nombre de carreaux
utilisés pour la première.
•• Demandez aux élèves de tracer des droites
perpendiculaires à l’aide du papier quadrillé.
Objectifs
•• Identifier des droites parallèles.
•• Tracer des droites parallèles.
Entraînement
•• Cahier d’exercices A : Ex. 47
•• Cahier d’exercices A : Ex. 48
Remarque
•• Deux droites parallèles sont deux droites qui ne sont pas sécantes.
•• On dessine des flèches pour indiquer que deux droites sont parallèles. Si un schéma comporte plusieurs droites parallèles,
celles qui sont parallèles les unes aux autres possèdent le même nombre de flèches. Le symbole signifie parallèle. On peut
donc écrire AB CD pour indiquer que la droite AB est parallèle à CD.
•• Une droite horizontale est une droite parallèle à l’horizon. Sur une feuille de papier, on utilise le bord supérieur ou le bord
inférieur pour représenter l’horizon. Une droite horizontale est donc parallèle au bord inférieur d’une page. Une droite
verticale est une droite perpendiculaire à une droite horizontale. Elle est parallèle aux bords droit et gauche d’une page. Les
élèves apprendront à reconnaître des droites parallèles et à les tracer à l’aide d’une règle et d’une équerre.
A M
C
Q
L B
Identifier •• Lisez ensemble l’exercice 1 de la page 82 du manuel Dans cette figure à cinq côtés, PQRST,
des droites de cours. Demandez aux élèves d’écrire les droites quels sont les deux côtés qui sont
parallèles dans perpendiculaires (ST ⊥ SR) et les droites parallèles perpendiculaires l’un à l’autre ? Quels sont
un polygone (PT QR). les deux côtés qui sont parallèles l’un à
l’autre ?
•• Donnez-leur ensuite des figures ne comportant aucun
point. Demandez-leur de les nommer et d’y trouver
les droites perpendiculaires et les droites parallèles.
Ils peuvent travailler en équipes de deux et vérifier le
travail de l’autre.
Cahier 1. EF ; MN et YZ ; PS et QR ; KN et LM ; MN et KL
d’exercices A : 2. parallèles : AB et CD ; EF et GH ; WZ et XY ; ON et LM ;
Ex. 47 perpendiculaires : SR et PQ ; IJ et JK ; XW et XY ; WZ et WX
Tracer •• Référez-vous à l’exercice 2 de la page 83 du manuel Tracez une droite AB. Dessinez un point
une droite de cours. P. En vous servant de votre équerre et de
parallèle à votre règle, tracez une droite parallèle à
une droite AB qui passe par P.
donnée en •• Tracez une droite AB et un point P d’un côté de la B
passant par droite. Dites aux élèves que vous voulez tracer une
un point droite parallèle à AB qui passe par ce point. Superposez
votre équerre à AB. Alignez une règle au côté
perpendiculaire de l’équerre que vous faites ensuite
glisser le long de la règle jusqu’à atteindre le point P.
A
Tracer •• Lisez ensemble l’exercice 3 de la page 83 du manuel Voici des exemples de droites parallèles
des droites de cours. Demandez aux élèves d’observer les droites tracées sans l’aide d’une équerre sur du
parallèles puis de discuter de méthodes pour déterminer par papier quadrillé. Par quel moyen ont-elles
à l’aide simple observation si elles sont parallèles. été tracées ?
du papier
quadrillé •• Dessinez une grille au tableau et ajoutez-y des figures
similaires. Montrez aux élèves que les droites parallèles
traversent le même nombre de carreaux, naissent et se
terminent dans les mêmes coins. Il suffit en effet d’observer
le comportement des droites par rapport aux carreaux.
Objectifs
•• Trouver la largeur/longueur d’un rectangle à partir de son périmètre et de sa longueur/largeur.
•• Trouver la largeur/longueur d’un rectangle à partir de son aire et de sa longueur/largeur.
•• Trouver le périmètre et l’aire de figures composées comportant des rectangles ou/et des carrés.
74 •• Entraînement P. 90 à 93 7.2d
Exercices 7A
75
Objectifs
•• Trouver la largeur/longueur d’un rectangle à partir de son périmètre et de sa longueur/largeur.
•• Trouver la largeur/longueur d’un rectangle à partir de son aire et de sa longueur/largeur.
Entraînement
•• Cahier d’exercices A : Ex. 49
Remarques
•• Dans le manuel de CE2 de la méthode de Singapour, les élèves ont appris à calculer l’aire et le périmètre d’un rectangle à
partir de sa longueur et de sa largeur. Ici, on demandera aux élèves de trouver la largeur ou la longueur du rectangle à partir
de sa longueur ou de sa largeur et de son périmètre ou de son aire.
•• L’aire d’une figure fermée est la mesure de sa surface. L’aire se mesure en unités carrées.
•• Un carré est un rectangle dont la longueur est égale à la largeur. Il sera demandé aux élèves de trouver le côté d’un carré à
partir de son aire. Ils devraient être capables de reconnaître les nombres carrés afin de trouver le côté d’un carré à partir de
son aire (côté × côté), le terme ou le symbole de la racine carré n’apparaît pas encore ici.
Réviser l’aire •• Rappelez aux élèves que l’aire d’une figure est la
mesure de sa surface. Elle s’exprime en unités carrées.
Si l’aire d’une figure est 4 cm2 (centimètres carrés), cela
signifie qu’elle recouvre l’espace de 4 carreaux de 1 cm
de côté. Dessinez un carré de 4 unités carrées et une
autre figure, comme un triangle, de la même aire :
4 × 6 = 24
•• Demandez-leur : « Quelle est la forme de la figure ? »
(un rectangle)
« À quoi reconnaît-on un rectangle ? »
Les rectangles ont 4 côtés. Ses côtés
opposés sont parallèles et ses côtés
adjacents sont perpendiculaires.
•• Demandez-leur : « Comment calcule-t-on l’aire d’un
rectangle sans petits carreaux, à partir de
sa largeur et de sa longueur ? »
•• Effacez les carreaux à l’intérieur du rectangle.
•• On multiplie la longueur par la largeur. 6 cm
4 cm
Aire = 4 cm × 6 cm = 24 cm2
•• Dessinez un carré.
•• Rappelez aux élèves qu’un carré est un rectangle
particulier.
•• Demandez-leur : « Qu’est ce qui rend le carré si particulier ? »
•• Ses côtés ont la même longueur.
•• Écrivez la mesure d’un côté et demandez aux élèves de
trouver l’aire.
5 cm
Aire = 5 cm × 5 cm = 25 cm2
5 cm
Entraînement Solutions
Cahier 1. a) 5 cm ; 45 cm2
d’exercices A : (b) EF = 15 ; 90 cm2
Ex. 49 (c) SR = 6 ; 42 cm2
2. A. 6 cm 28 cm
B. 16 m 52 m
C. 10 cm 42 cm
D. 15 cm 48 cm
E. 14 m 44 m
Objectifs
•• Trouver le périmètre et l’aire de figures composées comportant des rectangles et/ou des carrés.
Entraînement
•• Cahier d’exercices A : Ex. 50
•• Cahier d’exercices A : Ex. 51
•• Cahier d’exercices A : Ex. 52
Remarques
•• Ici, les élèves apprendront à trouver l’aire et le périmètre d’une figure composée comportant des rectangles et des carrés. Il
leur sera aussi demandé de trouver des longueurs avant de trouver le périmètre et l’aire.
aire = 72 cm2
périmètre = 40 cm
•• Demandez aux élèves de dessiner leurs figures puis
d’en calculer l’aire et le périmètre. Demandez-leur de
les comparer. Elles devraient toutes avoir la même aire.
Entraînement Solutions
Entraînement Solutions
•• Demandez-leur à quoi cela ressemble. Cela pourrait représenter un chemin ou un cadre. Ils peuvent
donc trouver l’aire d’un chemin, autour d’une piscine par exemple, en soustrayant l’aire du petit
rectangle (la piscine) à l’aire du grand rectangle, le chemin compris. Ou, si on imagine qu’il s’agit d’un
cadre de photo, on soustrait le petit rectangle (la photo) au grand rectangle (la photo et le cadre) pour
trouver l’aire du cadre.
2 cm 6 cm 2 cm
Entraînement Solutions
5 cm
26 cm
Révision C Entraînement
Objectifs
•• Réviser toutes les notions abordées jusqu’ici.
78
79
80
Entraînement
•• Cahier d’exercices B : Révision 1
Étape Démarche
Réviser •• Demandez aux élèves d’effectuer individuellement ou en équipes les exercices de la révision C des
pages 94 à 96 du manuel de cours puis de partager leurs résultats. Vous pouvez également leur
donner des révisions du cahier d’exercices à faire en classe.
Réponses :
1. (a) 741 (b) 1 056 (c) 396 (d) 6 448 (e) 14 336 (f ) 1 188
2. 18
4 6 8 10 12 2 3 4 5 6 3 18 27 6 12
3. (a) , , , , … (b) , , , , … (c) , , …, , …
6 9 12 15 18 10 15 20 25 30 4 24 36 8 16
2 3 5 7 7
4. (a) , , (b) 1 , , 2
3 4 6 10 4
3 3 2
5. (a) (b) (c)
4 4 5
6. (a) >
(b) =
(c) >
7. 13 m, 38 m
8. 144 cm2
9. (a) 156 m2 (b) 108 m2
10. (a) 110 cm, 460 cm2 (b) 60 m, 128 cm2
11. (a) A et C (b) B et C (c) C
12. X et Z, Z
13. voir les graphiques des élèves
14. 11 ans et 2 mois, 154 cm, 41 kg
11 ans et 10 mois, 153 cm, 44 kg
13 ans et 8 mois, 160 cm, 48 kg
1
15. 8
2
16. 350 cm
17. 495
18. 1 080
Entraînement Solutions
Objectifs
•• Lire et écrire des nombres décimaux jusqu’à 3 chiffres après la virgule.
•• Savoir placer les chiffres d’un nombre décimal jusqu’à 3 chiffres après la virgule dans le tableau de numération.
•• Comparer et ordonner des nombres décimaux.
•• Écrire des fractions avec un dénominateur facteur de 10 ou de 100, sous la forme de nombres décimaux.
•• Écrire un nombre décimal sous la forme d’un nombre mixte simplifié au maximum.
•• Ajouter des dixièmes, des centièmes ou des millièmes à un nombre décimal.
•• Arrondir un nombre décimal au nombre entier le plus proche ou à un chiffre après la virgule.
2 •• Lire et écrire un nombre décimal à un chiffre après P. 101 et 102 Ex. 2 1.1b
la virgule supérieur à 1. Ex. 5 à 7
5 •• Lire et écrire un nombre décimal à deux chiffres P. 104 à 106 Ex. 5 1.2a
après la virgule. Ex. 1 à 4
•• Exprimer une fraction avec un dénominateur de
100 sous la forme d’un nombre décimal.
•• Placer un nombre décimal à deux chiffres après la
virgule dans le tableau de numération.
Objectifs
•• Lire et écrire des nombres décimaux à un chiffre après la virgule.
•• Exprimer une fraction ou un nombre mixte avec un dénominateur de 10 sous la forme d’un nombre décimal.
•• Former un nombre entier à partir d’un nombre décimal à un chiffre après la virgule inférieur à 1.
•• Illustrer les nombres décimaux à un chiffre après la virgule à l’aide de mesures.
•• Lire une échelle graduée en dixièmes.
•• Écrire un nombre décimal sous la forme d’une fraction irréductible ou d’un nombre mixte simplifié au maximum.
Entraînement
•• Cahier d’exercices B : Ex. 1
•• Cahier d’exercices B : Ex. 2
•• Cahier d’exercices B : Ex. 3
•• Cahier d’exercices B : Ex. 4
Remarques
•• Dans le manuel de CE1 de la méthode de Singapour, les élèves ont rencontré les nombres décimaux à deux chiffres après
la virgule sous la forme d’euros et de centimes : 1 euro est un tout qui comporte 100 centimes. On écrit les centimes sous la
forme d’un nombre décimal.
•• Le système de tableau de numération permet aux élèves une bonne compréhension des nombres et des calculs simples et
précis. On utilise 9 chiffres pour écrire les nombres. Dans un nombre, chaque chiffre a une valeur dix fois plus grande qu’un
même chiffre situé à sa droite et dix fois plus petite qu’un même chiffre situé à sa gauche. Le nombre 23 456 représente 2
dizaines de milliers, 3 milliers, 4 centaines, 5 dizaines et 6 unités. Dans le tableau de numération, le chiffre 3 se situe dans la
colonne des milliers, et sa valeur est de 3 000. Chaque nombre entier est donc un multiple d’une unité, d’une dizaine, d’une
centaine, d’un millier, etc. Ainsi, 23 456 peut s’écrire de la façon suivante : 20 000 + 3 000 + 400 + 50 + 6
•• Les nombres décimaux comportent des valeurs inférieures à 1. On met une virgule à droite du chiffre des unités. La première
valeur après la virgule est un dixième de 1, la suivante est un dixième d’un dixième de 1 (ou un centième de 1), etc. On peut
2 4 8
donc écrire le nombre décimal 2,248 de la façon suivante : 2 + 0,2 + 0,04 + 0,008 ou encore 2 + . Le premier
10 100 1000
chiffre après la virgule est un dixième, le deuxième est un centième, le troisième est un millième, et ainsi de suite (On ne
parle pas de « dizaine de millièmes » mais plutôt de « 5e chiffre après la virgule » ou de « cinquième décimale »). Ici, les élèves
aborderont les nombres décimaux jusqu’au troisième chiffre après la virgule (millième).
•• Les chiffres qui précèdent la virgule sont des nombres entiers et les chiffres qui la suivent sont des décimales. Lorsque les
nombres décimaux sont inférieurs à 1, c’est un 0 qui précède la virgule. Écrire 0,12 plutôt que, 12 permet une meilleure visi-
bilité de la virgule.
•• Expliquez la notion d’ordre des chiffres dans le tableau de numération à l’aide du matériel de base 10, des carrés de fractions
(que vous pouvez photocopier à la page 5 de ce guide pour permettre aux élèves de les colorier), et des disques-nombres.
Ces derniers seront particulièrement utiles au cours du prochain chapitre où ils illustreront l’addition, la soustraction, la mul-
tiplication et la division dans le tableau de numération. Les élèves devraient maintenant maîtriser l’utilisation de cet outil et
devraient être capables d’y placer des nombres décimaux.
0 1 2 3 4 5
20 21 22 23 24 25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
•• Écrivez au tableau : 1
de 1 = 0,1
10
dixième
•• Dites aux élèves qu’on met une virgule après le chiffre
des unités, puis que le premier chiffre après celle-ci
est celui des dixièmes. On ajoute ainsi une colonne au
tableau de numération pour un dixième de 1. Dites-
leur que c’est la place des dixièmes. Un nombre qui
comporte une virgule est un nombre décimal.
•• Écrivez les termes au tableau : dixièmes
nombre décimal
•• Écrivez au tableau : 1 111,1
3 1
Exercices •• Lisez ensemble les exercices 1 à 4 des pages 99 et 100 du manuel de cours.
d’application Réponses :
1. (a) 0,4 (b) 0,6 (c) 0,9
2. (a) 0,1 (b) 0,3 (c) 0,5 (d) 0,7
3. 10
4. 4
0,3 + 0,7 = 1
•• Demandez-leur ensuite : « Quel nombre décimal correspond aux
colonnes qui ne sont pas coloriées ? » (0,7)
« Quelle est la somme des deux nombres
décimaux ? » (1)
•• Écrivez un nombre décimal au tableau et demandez
0,3 0,3
aux élèves d’écrire le nombre décimal manquant pour
1 1 1 – 0,3 = 0,7
arriver à 1. Vous pouvez illustrer ceci à l’aide d’un
? 0,7
mariage de nombres et d’une soustraction :
1 – 0,3 = 0,7
Entraînement Solutions
4
2 = 2,4 = 2 + 0,4
10
« Il y a 2 et 4 dixièmes »
Entraînement Solutions
Cahier 1. 6,3
d’exercices B : 2. (a) 6,4 (b) 9,7 (c) 8,2
Ex. 2 3. (a) 1,6 (b) 2,4
4. (a) 2,8 (b) 1,4
1,4
1,2
•• À l’aide des carrés de fractions, comparez un nombre
entier et un nombre décimal inférieur comme par
exemple : 1,2 < 1,4
2 et 1,2
•• Expliquez aux élèves que même si 1,2 a deux chiffres,
il est plus petit que 2 dont le chiffre des unités est plus
élevé :
2
1,2
1,2 < 2
•• Lisez ensemble les exercices 10 à 12 de la page 102 Réponses :
du manuel de cours. 10. 3,7
11. 8,5
12. (a) 0,3 < 1,3 < 3 < 3,1 (b) 2,7 < 7,2 < 7,8 < 9
•• Donnez d’autres exercices aux élèves pour un
entraînement supplémentaire.
Entraînement Solutions
Cahier 2 6
d’exercices B : 1. ; 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ;
10 10
Ex. 3 2 2
1 ; 1,3 ; 1,4 ; 2 ; 3,5
10 10
2. (a) 0,7 (b) 1,5 (c) 0,8 (d) 3,6
3 3 3 3
3. (a) (b) 2 (c) (d) 3
10 10 5 5
4. (a) 0,4 ; 1,3 ; 2,8 (b) 8,8 ; 10,2 ; 11,7 (c) 59,5 ; 61,6 ; 64,4
5. (a) > (b) = (c) >
6. (a) 0,1 (b) 0,9
7. (a) 6,2 (b) 2,9
8. (a) 2,7 ; 2,9 (b) 6 ; 6,5
Écrire •• Illustrez des dixièmes à l’aide de deux carrés de 2 carrés réunis dont 14 dixièmes sont noircis.
des dixièmes fractions. Réunissez-les puis coloriez 14 dixièmes. Ils
sous la forme devraient écrire 1,4. Il se peut qu’un élève écrive 0,14,
de nombres ce qui est faux. Rappelez aux élèves que le rang des
décimaux dixièmes ne peut en contenir plus de 9. On remplace
donc 10 dixièmes par 1 unité. 14 dixièmes = 1 unité et
4 dixièmes.
Entraînement Solutions
Objectifs
•• Lire et écrire des nombres décimaux jusqu’à deux chiffres après la virgule.
•• Exprimer une fraction ou un nombre mixte dont le dénominateur est 100 sous la forme d’un nombre décimal.
•• Placer un nombre décimal à deux chiffres après la virgule dans le tableau de numération.
•• Illustrer les nombres décimaux à deux chiffres après la virgule à l’aide d’euros et de centimes.
•• Lire une échelle de mesure graduée en centièmes.
•• Comprendre des suites de nombres comportant des nombres décimaux.
•• Écrire des nombres décimaux à deux chiffres après la virgule sous la forme de fractions ou de nombres mixtes simplifiés au
maximum.
•• Former un nombre entier à partir d’un nombre décimal à un chiffre après la virgule inférieur à 1.
•• Additionner ou soustraire de tête des dixièmes ou des centièmes à des nombres décimaux jusqu’à deux chiffres après la
virgule.
•• Former un nombre entier de tête avec des centièmes.
Entraînement
•• Cahier d’exercices B : Ex. 5
•• Cahier d’exercices B : Ex. 6
•• Cahier d’exercices B : Ex. 7
•• Cahier d’exercices B : Ex. 8
•• Cahier d’exercices B : Ex. 9
•• Cahier d’exercices B : Ex. 10
Remarques
•• Les élèves aborderont ici les nombres décimaux à deux chiffres après la virgule. Le premier chiffre après la virgule corres-
pond aux dixièmes et le deuxième correspond aux centièmes. Un centième représente un dixième d’un dixième, et un
centième d’une unité.
4
0,04 = d’un tout
100
7 3 70 3 73
0,73 = d’un tout
10 100 100 100 100
•• Les élèves convertiront des nombres décimaux en fractions irréductibles. Ils ont déjà abordé les fractions équivalentes et les
fractions irréductibles dans le manuel de CE2 de la méthode de Singapour. Ils ont également abordé les facteurs au cours de
séances précédentes de ce manuel.
Entraînement Solutions
Cahier 1. (a) 0,82 (b) 8,34 (c) 3,05 (d) 5,17 (e) 20,09
d’exercices B : 2. (a) 34,02 (b) 40,25 (c) 24,13 (d) 30,04
Ex. 5 3. (a) dizaines, 70 (b) dizaines, 20 (c) dixièmes, 0,4
(d) dizaines, 50 (e) centièmes, 0,03 (f ) unités, 6
4. (a) 0,02, 0,7, 0, 90 (b) 0,01, 0,4, 7, 80 (c) 0,09, 0, 6, 50 (d) 0,8, 8, 10, 200
Entraînement Solutions
Cahier 1. (a) 0,07 (b) 1,07 (c) 0,58 (d) 2,58 (e) 0,24
d’exercices B : (f ) 1,24 (g) 0,65 (h) 3,65 (i) 0,03 (j) 2,03 (k) 0,05 (l) 10,05
Ex. 6 9 7
2. =0,9 = 0,07
10 100
17 29
= 0,17 = 0,29
100 100
3 9
= 0,03 = 0,09
10 100
7
= 0,7
10
Entraînement Solutions
Entraînement Solutions
Cahier 1 3 2 2 3 3 16 16
d’exercices B : 1. (a) (b) 2 (c) (d) 1 (e) (f ) 3 (g) (h) 1
2 10 25 25 20 20 25 25
Ex. 8
2. 2, 0,2
75
3. , 0,75
100
5 5 6 6
4. (a) 0, 5 (b) 3 , 3, 5 (c) 0, 6 (d) 1 , 1, 6
10 10 10 10
25 25 16 16
(e) , 0, 25 (f ) 2 , 2, 25 (g) , 0,16 (h) 1 , 1,16
100 100 100 100
5. (a) 0,8 (b) 3,8 (c) 0,45 (d) 1,45 (e) 0,06 (f ) 2,06
1 9
1. = _______ 14. = _______
3 20
3 3
2. = _______ 15. 4 = _______
20 20
3 1
3. = _______ 16. 5 = _______
5 5
1 2
4. = _______ 17. 7 = _______
25 25
1 7
5. 10 = _______ 18. = _______
4 10
1 4
6. = _______ 19. 6 = _______
50 5
9 21
7. = _______ 20. = _______
50 100
3 3
8. = _______ 21. 5 = _______
50 25
4 9
9. 3 = _______ 22. 9 = _______
25 25
3 11
10. 6 = _______ 23. = _______
4 20
7 11
11. = _______ 24. = _______
25 2
4 27
12. 10 = _______ 25. = _______
5 25
8 5
13. = _______ 26. = _______
25 2
Entraînement Solutions
1
•• Ils placent alors leurs disques-nombres dans le tableau
7
de numération, en remplaçant lorsque c’est nécessaire 3 2
10 disques d’une colonne par un disque de la colonne
immédiatement à gauche.
•• Ils écrivent ensuite le nombre sous la forme d’un
nombre décimal.
•• Au sein d’une équipe, les joueurs comparent leurs
1
nombres et les rangent dans l’ordre croissant.
•• Ils peuvent noter leurs résultats pour désigner un
gagnant après plusieurs parties.
•• Les élèves devraient les résoudre de tête sans avoir à les écrire l’un au-dessus de l’autre. Ils doivent
se concentrer sur le chiffre auquel on ajoute ou on soustrait.
•• Donnez-leur d’autres exemples pour un entraînement supplémentaire. Vous pouvez utiliser la série
d’exercices de la page suivante de ce guide.
Entraînement Solutions
Entraînement Solutions
Objectifs
•• Lire et écrire des nombres décimaux jusqu’à trois chiffres après la virgule.
•• Placer un nombre décimal à trois chiffres après la virgule dans le tableau de numération.
•• Ajouter 0,01 ou 0,001 à un nombre décimal jusqu’à trois chiffres après la virgule.
•• Soustraire 0,01 ou 0,001 à un nombre décimal jusqu’à trois chiffres après la virgule.
•• Comparer et ordonner des nombres décimaux jusqu’à trois chiffres après la virgule.
•• Comparer et ordonner des nombres entiers, des nombres décimaux et des fractions.
Entraînement
•• Cahier d’exercices B : Ex. 11
•• Cahier d’exercices B : Ex. 12
•• Cahier d’exercices B : Ex. 13
Remarques
•• Ici, l’écriture décimale s’applique à trois chiffres après la virgule. La troisième décimale correspond aux millièmes. 1 unité =
1 000 millièmes, 1 dixième = 100 millièmes et 1 centième = 10 millièmes. On peut écrire des fractions avec un dénominateur
de 1 000 sous la forme d’un nombre décimal à trois chiffres après la virgule et inversement. Dans ce cas, on simplifie toujours
la fraction au maximum.
125 1
0,125 = d’un tout
1000 8
millièmes
1
0,001 = d’un tout
1000
•• Rappelez-leur qu’on peut remplacer 1 par 10 dixièmes,
par 100 centièmes et par 1 000 millièmes.
•• Présentez aux élèves 15 disques « 0,001 » et demandez
aux élèves de les compter. Ou bien, distribuez-leur des
disques « 0,001 » et demandez-leur d’en compter 15
puis d’écrire 15 millièmes sous la forme d’un nombre
décimal : 0,015
•• Échangez dix disques « 0,001 » contre un disque
« 0,01 » et demandez aux élèves d’écrire 15 millièmes
comme la somme de centièmes et de millièmes : 15 millièmes = 0,015
15 millièmes = 1 centième + 5 millièmes
= 0,015
•• Placez vingt disques « 0,001 » et écrivez le nombre
décimal équivalent. On peut l’écrire 0,020 ou 0,02 : 20 millièmes = 0,020
20 millièmes = 2 centièmes
= 0,02
•• Lisez ensemble le haut de la page 112 du manuel de
cours.
•• Demandez aux élèves de lire chaque nombre décimal : 0,024 : zéro virgule zéro vingt-quatre
ou vingt-quatre millièmes
0,315 : trois cent quinze millièmes
4,002 : quatre et deux millièmes
•• Si vous leur enseignez maintenant comment lire
les nombres décimaux sous la forme de fractions,
vous pouvez aussi leur demander d’écrire la fraction
correspondante et recommencer lors de la prochaine
séance pour plus d’entraînement.
Situer •• L’exercice 11 du cahier d’exercices B comporte des échelles graduées. Les élèves devraient savoir
un nombre situer un nombre décimal à trois chiffres après la virgule, tout comme ils l’ont fait pour des nombres
décimal à trois à deux chiffres après la virgule. S’ils ont besoin de revoir l’utilisation d’une échelle graduée, vous
chiffre après pouvez leur donner l’exercice 11 # 5 du cahier d’exercices B à effectuer en classe, ou d’autres
la virgule échelles similaires et leur demander d’y situer des nombres à trois chiffres après la virgule. Vous
sur une échelle pouvez également leur demander de situer d’autres nombres à trois décimales sur l’échelle de
graduée l’exercice 11 # 5 (demandez-leur par exemple d’y situer 6,009).
Entraînement Solutions
Entraînement Solutions
Entraînement Solutions
Cahier 16 19 2 19 27 44 88 17
d’exercices B : 1. (a) (b) (c) 2 (d) 4 (e) (f ) (g) 3 (h) 2
25 50 25 20 125 125 125 40
Ex. 13 1
2. (a) 2,75 (b) 0,5 (c) 1 (d) 0,65
2
3. (a) 1,245, 1,254, 1, 425, 1, 524
(b) 0,097, 0,119, 0,19, 0,91
9 1
(c) 1 , 2, 5, 3 , 3, 95
10 5
1 3
(d) 7,1, 7,1, 7 , 7, 5, 7
5 5
Étape Démarche
Réviser •• Demandez aux élèves d’effectuer les Exercices 8A et 8B des pages 115 et 116 du manuel de
cours pour revoir les notions apprises jusqu’ici. Vous pouvez également jouer à une variante du jeu
de la séance 1.2f, en ajoutant des disques 0,001 et/ou leur donner l’une des séries de problèmes de
ce guide.
Réponses :
Exercices 8A :
1. (a) 0,6 (b) 6 (c) 0,06 (d) 0,006
2. (a) 4 (b) 7 (c) centièmes (d) millièmes
3. (a) 5,509 (b) 2,819 (c) 13,520
4. (a) 0,72 (b) 3,78 (c) 5,80 (d) 8,04
2 7 29 51 3 3 253 3
5. (a) (b) (c) (d) (e) 3 (f ) 1 (g) 4 (h) 2
25 50 200 125 5 25 500 500
6. (a) 0,9 (b) 0,03 (c) 0,039 (d) 1,7 (e) 2, 18 (f ) 3,007 (g) 0,999
7. (a) 0,2 (b) 0,005 (c) 2 (d) 1 000
Exercices 8B
1. (a) 0,008 < 0,009 < 0,08 < 0,09
(b) 3,025 < 3,205 < 3,25 < 3,502
(c) 4,386 < 4,638 < 4,683 < 4,9
(d) 9,392 < 9,923 < 9,932 < 10
2. (a) 0,5 (b) 0,75 (c) 0,2 (d) 3,8 (e) 6,25 (f ) 4,6
3. (a) = (b) > (c) < (d) = (e) < (f ) <
4. (a) 1, 703 (b) 0,085 (c) 5,069 (d) 10,052
5. (a) 0,248 (b) 0,792 (c) 3,78 (d) 10,504 (e) 7,009 (f ) 9,803
Objectifs
•• Arrondir un nombre décimal au nombre entier le plus proche.
•• Arrondir un nombre décimal à un chiffre après la virgule.
Entraînement
•• Cahier d’exercices B : Ex. 14
•• Cahier d’exercices B : Ex. 14 et 15
Remarques
•• Les élèves ont appris à arrondir les nombres à la dizaine ou à la centaine la plus proche. Ils verront dans ce chapitre comment
arrondir au nombre entier le plus proche ou à un chiffre après la virgule.
•• Pour arrondir un nombre décimal à un nombre entier, on observe le chiffre des dixièmes. S’il est inférieur à 5, on arrondit
« en dessous », par exemple : on arrondit 16,456 à 16. Si le chiffre des dixièmes est égal ou supérieur à 5, on arrondit « au-
dessus » : on arrondit 16,501 à 17, tout comme 16,5 est arrondi à 17.
•• Arrondir à un chiffre après la virgule revient à arrondir au dixième le plus proche. Pour cela, on observe le chiffre des cen-
tièmes. S’il est inférieur à 5, on arrondit au dixième « du dessous » : on arrondit 16, 14 à 16,1. Si le chiffre des centièmes est
égal ou supérieur à 5, on arrondit au dixième « du dessus » : on arrondit 16,152 à 16,2. Vous remarquerez que 16,152 est
arrondit à 16,2 et non à 16,20. Ajouter un 0 à la place des centièmes implique plus de précision.
•• Facilitez la compréhension des élèves à l’aide d’échelles graduées. Voir le nombre arrondi à côté du nombre entier ou du
dixième le plus proche les aidera à mieux comprendre cette notion.
•• Ils n’auront probablement pas de difficultés à arrondir au-dessus ou en dessous. Si vous le souhaitez, vous pouvez combiner
les deux séances de ce chapitre en une seule et sauter la leçon sur les mesures afin de consacrer plus de temps à la révision,
en particulier celle des problèmes.
•• Dites aux élèves que puisqu’il est exactement entre 1 et 2, on l’arrondit au-dessus. Expliquez-
leur que c’est la règle. Puisqu’il est au milieu, il est important de suivre une règle. On arrondira au
nombre entier juste au-dessus.
Exercices •• Lisez ensemble l’exemple de la page 117 du manuel de cours puis les exercices 1 à 3 de la
d’application page 118.
Réponses :
1. 37
2. 6
3. 25
•• Lisez ensemble l’exercice 4 de la page 119 du manuel de cours. Réponses :
4. (a) 4 (b) 14 (c) 30 (d) 5 (e) 16 (f ) 19
Entraînement Solutions
•• Demandez aux élèves de mesurer divers objets au centième de centimètre près et de noter leurs
mesures. Ils peuvent travailler en équipes pour mesurer un même objet. Chaque équipe note ses
mesures pour ensuite les comparer à celles d’une autre. Le dernier chiffre peut varier d’un élève
à l’autre. Dites-leur qu’il est difficile de mesurer au centième de centimètre près avec une simple
règle. Demandez-leur d’arrondir leurs mesures à un chiffre après la virgule. Ils devraient tous avoir le
même résultat s’ils mesurent avec précision.
Entraînement Solutions
Révision D
Objectifs
•• Réviser toutes les notions abordées jusqu’ici.
21
22
23
Entraînement
•• Cahier d’exercices B : Révisions 2 à 4
17 (c) 3
- Sarah a 20 €. Elle utilise lesde son
Chaque unité représente un quart. Il reste à Sarah une 4
unité. argent pour acheter un beau livre.
4 parts = 20 € Combien d’argent lui reste-t-il ?
1 part = 20 € ÷ 4 = 5 € 20 €
Il lui reste 5 €.
17 (d) 4
- Dans un groupe de 40 enfants, les
Chaque unité représente un cinquième. 1 unité 5
d’enfants ne sait pas nager. savent nager. Combien d’enfants de ce
5 parts = 40 groupe ne savent pas nager ?
1 part = 40 ÷ 5 = 8
ou 40
1 1
des enfants ne sait pas nager. × 40 = 8
5 5
8 enfants ne savent pas nager.
Objectifs
•• Additionner des nombres décimaux de tête ou à l’aide d’une addition en colonne.
•• Soustraire des nombres décimaux de tête ou à l’aide d’une soustraction en colonne.
•• Résoudre des problèmes impliquant l’addition et la soustraction de nombres décimaux.
•• Multiplier un nombre décimal jusqu’à deux chiffres après la virgule par un chiffre.
•• Diviser un nombre décimal par un chiffre.
•• Diviser un nombre entier par un chiffre et donner la réponse sous la forme d’un nombre décimal.
•• Arrondir un quotient à un chiffre après la virgule.
•• Résoudre des problèmes impliquant la division de nombres décimaux.
•• Vérifier la probabilité d’une réponse à l’aide de l’estimation.
36 •• Multiplier des dixièmes ou des centièmes par un P. 137 à 139 Ex. 28 9.2a
chiffre. Ex. 1 à 6
41 •• Diviser un nombre décimal jusqu’à deux chiffres P. 146 et 147 Ex. 34 9.3a
après la virgule par un chiffre quand le quotient est Ex. 1 à 6
un dixième ou un centième (ex. : 0,18 ÷ 3 = 0,06)
Objectifs
•• Additionner des nombres décimaux.
•• Soustraire des nombres décimaux.
•• Vérifier la probabilité d’une réponse à l’aide de l’estimation.
•• Résoudre des problèmes impliquant l’addition et la soustraction de nombres décimaux.
Entraînement
•• Cahier d’exercices B : Ex. 16
•• Cahier d’exercices B : Ex. 17
•• Cahier d’exercices B : Ex. 18
•• Cahier d’exercices B : Ex. 19
•• Cahier d’exercices B : Ex. 20
•• Cahier d’exercices B : Ex. 21
•• Cahier d’exercices B : Ex. 22
•• Cahier d’exercices B : Ex. 23
•• Cahier d’exercices B : Ex. 24
•• Cahier d’exercices B : Ex. 25
•• Cahier d’exercices B : Ex. 26
•• Cahier d’exercices B : Ex. 27
Remarques
•• Dans les manuels de CE1, CE2 et CM1 de la méthode de Singapour, les élèves ont appris à poser une addition et une sous-
traction de nombres entiers en colonne. Il s’agit des mêmes pour les nombres décimaux : les nombres sont placés les uns au-
dessus des autres et on additionne ou soustrait de droite à gauche. Les élèves doivent veiller à bien aligner les décimales.
•• Dans ce chapitre, les élèves rencontreront beaucoup d’additions et de soustractions de nombres à un seul chiffre non
nul (ex. : 0,7 ou 0,008). Ils peuvent les résoudre de tête, sans avoir à les poser en colonne. Ils l’ont déjà fait dans le chapitre
précédent et le reverront ici. Toutefois, lors des exercices en classe, ils poseront les additions et les soustractions en colonne.
Cela les entraîne à aligner les chiffres correctement et donc à savoir utiliser l’opération en colonne lorsqu’il rencontreront des
exercices plus difficiles.
•• Ils ont appris à arrondir des nombres entiers pour estimer la réponse d’une opération. Ils apprendront maintenant à esti-
mer la réponse d’une opération comportant des nombres décimaux. Encouragez-les à prendre l’habitude d’estimer leurs
réponses. L’estimation permet d’éviter les erreurs dues à une virgule mal placée, à l’oubli d’une étape, ou à une erreur de
calcul. Grâce à cette technique, ils peuvent déterminer la probabilité d’un résultat. Elle est particulièrement utile pour la mul-
tiplication et la division, où on rencontre plus d’erreurs ; ou encore lorsque seule une réponse approximative est nécessaire
(estimer le prix de plusieurs articles lors d’un achat).
•• Ils ont également utilisé ces méthodes pour additionner et soustraire de l’argent. Par exemple :
4,55 € + 1,95 € = 6,50 €
•• On ajoute 2 € et on retire 5 c
4,51 € – 1,95 € = 2,56 €
•• On soustrait 2 € et on ajoute 5 c
•• Ici, les élèves appliqueront ces méthodes aux nombres décimaux.
•• Dans le manuel de CE2, les élèves ont appris à résoudre des problèmes impliquant des additions et des soustractions à l’aide
de modèles en barre représentant le tout et les parties, et de modèles en barre de comparaison. Ils s’en serviront à nouveau
ici pour résoudre des problèmes en deux étapes impliquant l’addition ou la soustraction de nombres décimaux.
•• On peut dessiner un modèle en barre représentant le tout et les parties lorsque l’énoncé d’un problème nous indique soit
une partie et le total, soit les parties uniquement. On voit d’après le modèle ci-dessous qu’on soustrait pour trouver la partie
inconnue. 6,4
? = 6,4 – 1,9
1,9 ?
•• Si l’énoncé du problème nous donne deux valeurs à comparer, on peut alors dessiner un modèle en barre de comparaison
et y ajouter les informations dont on dispose. Si l’énoncé nous dit qu’un garçon a acheté une voiture à 2,33 € et un train qui
coûte 5,49 € de plus, on peut dessiner une barre pour le train et une autre pour la voiture, puis y ajouter les autres éléments
de l’énoncé. On peut alors y voir d’un seul coup d’œil quelle opération effectuer pour trouver le total.
Train
? ? = 2,33 + 2,33 + 5,49
Car
2,3 5,49
•• Dessinez des modèles en classe. Ils permettent de mieux visualiser le problème et d’en conclure quelle(s) opération(s) effec-
tuer. Encouragez les élèves à dessiner ces modèles jusqu’à ce qu’ils sachent résoudre les problèmes sans y avoir recours.
Additionner •• Lisez ensemble la page 123 du manuel de cours. 0,7 + 0,2 = 0,9
des dixièmes et
des centièmes •• Ici, on additionne des dixièmes sans retenue.
Exercices •• Demandez aux « élèves d’effectuer l’exercice 4 de la page 125 du manuel de cours.
d’application
Réponses :
4. (a) 0,8 (b) 1,3 (c) 1,2 (d) 0,06 (e) 0,10 (f ) 0,17
•• Encouragez-les à écrire à nouveau les opérations en colonnes, avec la réponse, en veillant à bien
aligner les chiffres. Il s’agit surtout de les entraîner à poser les additions en colonne, puisqu’ils sont
capables de les résoudre de tête.
Cahier 16. 1. (a) 0,8 (b) 1,2 (c) 0,6 (d) 1 (e) 1,4
d’exercices B : 2. (a) 0,06 (b) 0,12 (c) 0,05 (d) 0,10 (e) 0,11
Ex. 16 et 17 17. 1. (a) 3,1 (b) 5,4 (c) 10,5 (d) 6,2
2. (a) 5 (b) 8,3 (c) 13,7 (d) 16,3
•• Faites remarquer aux élèves que, comme le montre le mariage de nombre, le premier cumulateur
est décomposé en un nombre entier et un nombre décimal (6 et 0,9). Les dixièmes sont alors
additionnés entre eux (0,9 + 0,4), pour donner une somme composée d’une unité et de dixièmes
(1,3), qui est ensuite ajoutée au nombre entier du départ (6).
•• Donnez-leur d’autres exemples. Vous pouvez proposer aux élèves de jouer au jeu de la séance
suivante.
•• Encouragez les élèves à poser les additions en colonne. Vous pouvez inviter quelques élèves à venir
au tableau. Assurez-vous qu’ils alignent correctement les chiffres. Il se peut qu’ils soient capables de
résoudre les opérations de tête.
•• Donnez-leur d’autres exemples, en privilégiant des additions de nombres décimaux à un chiffre après
la virgule supérieur à 10 et d’autres inférieurs à 10. N’oubliez pas de veiller à l’alignement des virgules.
Entraînement Solutions
Jeu •• Matériel nécessaire par équipe d’environ quatre élèves : 10 1 0,1 0,1
ʰʰ Disques-nombres numérotés 10, 1 et 0,1 10
1 1 0,1
Exercices •• Demandez aux élèves d’effectuer l’exercice 10 de la page 126 du manuel de cours.
d’application
Réponses :
10. (a) 2,63 (b) 0,96 (c) 1,14 (d) 8,02 (e) 0,40 (f ) 1,03 (g) 4,28 (h) 1,18 (i) 1,35 (j) 7,49 (k) 3,06 (l) 4
Entraînement Solutions
Cahier 1. (a) 2,73 (b) 2,55 (c) 5,05 (d) 4,57 (e) 6,24 (f ) 3,88 (g) 2,7 (h) 4,34
d’exercices B : 2. (a) 0,92 (b) 3,03 (c) 2,36 (d) 28,28 (e) 3,62 (f ) 9,61 (g) 17,34 (h) 68,18
Ex. 18
Exercices •• Lisez ensemble les exercices 12 et 13 de la page 127 du manuel de cours. Pour l’exercice 12,
d’application demandez aux élèves de commencer par estimer leur résultat. Pour l’exercice 13, demandez-leur
aussi de calculer la réponse exacte.
Réponses :
12. (a) 33,12 (b) 7,17
13. 45
•• Demandez aux élèves de noter à la fois leurs estimations et leurs réponses exactes.
Réponses :
14. (a) 86,02 ; 86,63 (b) 25,1 ; 24,85 (c) 5,02 ; 4,89 (d) 55,4 ; 55,02 (e) 6,03 ; 6,26 (f ) 3,05 ; 3,53
Entraînement Solutions
Soustraire •• Les élèves sont certainement capables de résoudre ces exercices de tête. Ici, ils abordent la
des dixièmes soustraction en colonne de nombres décimaux.
à des unités •• Référez-vous à l’exercice 16 de la page 128 du Réponses :
et des dixièmes manuel de cours. Illustrez l’exercice au tableau. 16. 3,4
à l’aide Représentez chaque étape du calcul à l’aide des
des disques- disques-nombres.
nombres
•• Première étape : 4,2 – 0,8 = ?
Il n’y a pas assez de dixièmes pour y soustraire 0,8. 4,2 – 0,8 = 3 + 0,4 = 3,4
Échangez donc 1 unité contre 10 dixièmes. Illustrez
ceci dans la soustraction en colonne en barrant les 3 1,2
unités pour écrire les nouveaux chiffres des unités et 1,2 – 0,8 = 0,4
des dixièmes.
3
4, 12
– 0, 8
3, 4
•• Deuxièmes étape :
Soustrayez 8 dixièmes à 12 dixièmes et écrivez la différence à l’emplacement des dixièmes dans la
réponse. Ajoutez la virgule.
•• Troisième étape :
Soustrayez les unités et écrivez la différence dans la réponse.
•• Vous pouvez utiliser la série d’exercices 2.1f de la page suivante de ce guide, ou le jeu de la
prochaine séance pour un entraînement supplémentaire. Vous pouvez aussi les utiliser pour les
séances de révision.
Entraînement Solutions
Exercices •• Demandez aux élèves d’effectuer l’exercice 22 de la page 130 du manuel de cours.
d’application
•• Vous pouvez aussi leur donner la série d’exercices 2.1h de la page suivante de ce guide pour un
entraînement supplémentaire en calcul mental. Les séries d’exercices et les jeux peuvent être
gardés pour les séances de révision.
Réponses :
22. (a) 3,23 (b) 3,47 (c) 4,16 (d) 4,74 (e) 6,13 (f ) 6,41
Entraînement Solutions
•• Deuxième étape : 3
Soustrayez les dixièmes. Écrivez la différence à 4, 13
l’emplacement des dixièmes dans la réponse. Ajoutez
la virgule. – 1, 8
2, 5
•• Troisième étape :
Soustrayez les unités. Écrivez la différence à
l’emplacement des unités dans la réponse.
•• Écrivez au tableau : 5 – 1,2 = ?
•• Demandez aux élèves de poser la soustraction en 4
colonne. Assurez-vous qu’ils voient que les chiffres 5, 10
sont bien alignés selon leur place dans le nombre. Ils
peuvent ajouter une virgule et un 0 à 5 (5,0). – 1, 2
3, 8
Exercices •• Demandez aux élèves d’effectuer l’exercice 24 de la page 130 du manuel de cours en posant les
d’application soustractions en colonne.
Réponses :
24. (a) 3,6 (b) 3,5 (c) 2,7 (d) 2,5 (e) 2,6 (f ) 4,8
Entraînement Solutions
Cahier (a) 2,1 (b) 2,7 (c) 3,6 (d) 1,6 (e) 2,2 (f ) 1,4 (g) 4,1 (h) 3,6
d’exercices B :
Ex. 22
Exercices •• Demandez aux élèves d’effectuer les exercices 26 et 27 de la page 131 du manuel de cours.
d’application
•• Demandez-leur de poser les soustractions en colonne.
Réponses :
26. (a) 3,74 (b) 0,31 (c) 3,73 (d) 2,66
27. (a) 0,42 (b) 0,25 (c) 0,88 (d) 3,4 (e) 3,49 (f) 3,55 (g) 0,44 (h) 2,15 (i) 1,62 (j) 1,55 (k) 3,44 (l) 0,95
Entraînement Solutions
Cahier (a) 2,44 (b) 2,55 (c) 0,07 (d) 8,78 (e) 3,24 (f ) 4,76 (g) 6,15 (h) 5,43
d’exercices B :
Ex. 23
Exercices •• Demandez aux élèves d’effectuer les exercices 29 et 30 de la page 132 du manuel de cours.
d’application Réponses :
29. (a) 16 ; 15,87 (b) 50 ; 50,01 (c) 40 ; 39,57
•• Demandez aux élèves d’effectuer les Exercices 9A # 1 et 2 de la page 135 du manuel de cours
pour réviser l’addition et la soustraction de nombres décimaux.
Réponses :
1. (a) 0,9 1,7 4,1
(b) 0,1 0,11 1,26
(c) 0,1 0,6 2,6
(d) 0,03 0,93 3,35
(e) 8,3 0,82 2,02
(f ) 2,5 0,84 0,87
2. (a) 9 ; 8,85 (b) 8 ; 7,58 (c) 20 ; 20,04 (d) 3 ; 2,80 (e) 4 ; 4,51 (f ) 4 ; 3,64
Entraînement Solutions
Exercices •• Demandez aux élèves d’effectuer l’exercice 34 de la page 132 du manuel de cours.
d’application
•• Donnez-leur un entraînement supplémentaire, tel que la série d’exercices 2,1 l de la page suivante
de ce guide.
Réponses :
34. (a) 5,86 (b) 10,80 (c) 9,98 (d) 3,53 (e) 2,04 (f ) 4,11
Entraînement Solutions
Cahier 1. (a) 7,24, 7,24, 7,23 (b) 11,63, 11,58, 11,58 (c) 1,82, 1,83, 1,83 (d) 4,05, 4,07, 4,07
d’exercices B : 2. (a) 9,79 (b) 10,64
Ex. 25 3. (a) 4,26 (b) 4,58
Exercices •• Donnez aux élèves les exercices 35 à 37 des pages 133 Réponses :
d’application et 134 du manuel de cours afin d’aborder les problèmes 35. 11,14 €
comportant l’addition et la soustraction de nombres 36. 5,1 m
décimaux. Assurez-vous que les élèves savent faire le lien 37. 32,95 €
entre les schémas du manuel et les problèmes.
•• Exercice 35 : montrez aux élèves qu’on cherche à - Au supermarché, M. Antilogus dépense
trouver le total (« Combien a-t-il dépensé en tout ? »). 1,75 € pour une boîte de crayons ; 3,99 €
Le montant dépensé dans chaque article sont les pour des chaussettes ; et 5,40 € pour un livre.
parties. On dessine un modèle en barre représentant Combien a-t-il dépensé en tout ?
le tout et les parties puis on trouve le total en ?
additionnant.
Exercices •• Demandez aux élèves de résoudre l’exercice 3 des Exercices 9A de la page 135 du manuel de cours
d’application et de partager leurs résultats. Comparez d’autres méthodes éventuelles utilisées par les élèves.
Réponses :
2. (a) 1,25 m (b) 13,25 € (c) 20,40 € (d) 3,9 kg (e) Olivia, 0,8 s
Entraînement Solutions
Cahier 1. 2,65 m
d’exercices B : 2. 1,4 kg
Ex. 26 3. 33,91 €
Étape Démarche
Entraînement •• Demandez aux élèves d’effectuer les Exercices 9B de la page 136 du manuel de cours pour réviser
l’addition et la soustraction de nombres décimaux.
Réponses :
1. (a) 48,68 19,43 40,02 (b) 28,6 17,31 19,98
(c) 13,33 22,23 4,89 (d) 36,65 11,05 10,61
2. (a) 5,89 kg (b) 5,25 l
(c) 10 km (d) 55,8 cm
(e) 4,05 € (f ) 2,60 €
•• Distribuez aux élèves des feuilles d’exercices comportant 5 additions et soustractions. Mettez un
chronomètre en évidence et calculez à quelle vitesse ils sont capables de les résoudre. Vous pouvez
régulièrement les soumettre à cet exercice au cours de l’année, avec des multiplications et des
divisions de nombres décimaux, ou des fractions.
•• Révisez, si vous le souhaitez, le calcul mental à l’aide des séries d’exercices et des jeux de ce guide.
Entraînement Solutions
Cahier 1. 9,60 €
d’exercices B : 2. 3,50 €
Ex. 27 3. 84,30 €
4. 1m
Objectifs
•• Multiplier un nombre décimal par un chiffre.
•• Évaluer la logique d’une réponse à l’aide de l’estimation.
•• Résoudre un problème comportant la multiplication de nombres décimaux.
Entraînement
•• Cahier d’exercices B : Ex. 28
•• Cahier d’exercices B : Ex. 29
•• Cahier d’exercices B : Ex. 30
•• Cahier d’exercices B : Ex. 31
•• Cahier d’exercices B : Ex. 32
•• Cahier d’exercices B : Ex. 33
Remarques
•• Dans le manuel de CE2 de la méthode de Singapour, les élèves ont appris à poser une multiplication en colonne pour mul-
tiplier un nombre entier par un chiffre. Ici, ils l’appliqueront aux nombres décimaux. À ce stade, ils devraient déjà maîtriser
les tables de multiplication et l’ordre des chiffres dans le tableau de numération. Enfin, ils appliqueront à ce chapitre les
méthodes de calcul mental vues précédemment.
•• Lorsqu’on pose une multiplication en colonne, il est primordial de bien aligner les chiffres selon leur place dans chaque nombre.
•• Même si techniquement les deux multiplications ci-dessous sont correctement présentées, on n’utilisera que la seconde
pour ne pas perturber les élèves.
6, 1 4 6, 14
× 3 × 3
1 8, 4 2 1 8, 42
•• Dans le manuel de CE2 de la méthode de Singapour, les élèves ont appris à résoudre des problèmes impliquant une multi-
plication ou une division à l’aide des modèles en barre représentant le tout et les parties et des modèles de comparaison. Ils
les appliqueront ici à des problèmes impliquant la multiplication de nombres décimaux.
•• Dans le modèle en barre représentant le tout et les parties, on représente les parties par des unités égales.
•• Si l’on connaît la valeur d’une part (ex. : le prix d’une chemise 10,49 €) et du nombre d’unités (ex. : 5 chemises), on sait en
observant le modèle qu’on trouvera le prix de 5 chemises en multipliant (10,49 € × 5 = 52,45 €).
52,45
10,49
•• Si au contraire, l’énoncé nous indique le total (52,45 €) et le nombre de parts (5), on sait en observant le modèle qu’on divi-
sera pour trouver la valeur d’une part (52,45 € ÷ 5 = 10,49 €).
•• Dans le cas d’un modèle en barre de comparaison, une valeur est multiple d’une autre.
52,45
10,49
•• On constate d’après le modèle qu’on doit multiplier pour trouver le prix de la veste (10,49 € × 4 = 41,96 €).
•• Si on nous demandait de trouver le montant total, on verrait qu’il nous faudrait alors multiplier.
•• Si on nous demandait de trouver combien la veste coûte de plus que la chemise, on verrait qu’il nous faudrait multiplier la
valeur d’une unité par 3.
•• Ce modèle s’applique également à des problèmes impliquant une division. Si on connaît la valeur la plus élevée (la veste
41,96 €) et qu’on sait de combien elle l’est (4 fois plus) par rapport à la valeur de la plus petite (la chemise), il nous suffit
d’observer le modèle pour savoir qu’on divise pour trouver cette plus petite valeur (41,96 € ÷ 4 = 10,49 €).
•• On peut combiner ces modèles pour illustrer des problèmes plus compliqués.
•• Par exemple : une chemise coûte 10,40 €. Marie en a acheté 4 plus une paire de chaussures. Elle a dépensé 72,21 € au total.
•• On pourrait dessiner une barre composée d’une partie de 4 parts pour représenter les chemises, et une autre partie pour
représenter les chaussures. On indique le montant total de l’achat. On constate qu’on peut trouver le prix des chaussures en
commençant par trouver celui des chemises en multipliant (10,49 € × 4 = 41,96 €), puis en le soustrayant au total (72,21 € –
41,96 € = 30,25 €). 10,49 ?
72,21 €
•• Si l’énoncé nous indique le total (72,21 €), le prix des chaussures (30,25 €) et le nombre de chemises (4), on peut trouver le
prix des chemises à l’aide d’une soustraction, puis celui d’une chemise à l’aide d’une division : 72,21 € – 30,25 € = 41,96 €.
41,96 € ÷ 4 = 10,49 €
•• Les élèves devraient être capables de dessiner ces modèles en barre lorsque c’est nécessaire, mais s’ils savent résoudre un
problème sans y avoir recours, ne les obligez pas à le faire.
•• Écrivez : 4 centièmes × 3
•• Ajoutez ensuite deux rangées supplémentaires : 0,01 0,01 0,01 0,01
0,01 0,01 0,01 0,01
0,01 0,01 0,01 0,01
Réponses :
1. (a) 0,8 (b) 0,08
2. (a) 2,1 (b) 3
3. (a) 0,21 (b) 0,3
S’entraîner •• Vous pouvez donner aux élèves la série d’exercices de la page suivante de ce guide. Vous pouvez
à multiplier les chronométrer pour voir combien d’opérations ils sont capables de résoudre en 1 minute par
des dixièmes ou exemple. Ils pourront effectuer la même série plusieurs jours de suite et voir s’ils accélèrent.
des centièmes
par un nombre
entier
Entraînement Solutions
Cahier 1. (a) 0,8 (b) 1,8 (c) 1,4 (d) 3,6 (e) 3,0 (f ) 5,6 (g) 2,7 (h) 4,0
d’exercices B : 2. (a) 0,06 (b)0,28 (c) 0,18 (d) 0,35 (e) 0,3 (f ) 0,72 (g) 0,12 (h) 0,48
Ex. 28
1 6, 8
× 3
,4
•• Deuxième étape : multipliez 6 unités par 3. Triplez les Dizaines Unités Dixièmes
six disques « 1 ». Rappelez aux élèves qu’on ne triple
par les 2 unités de la retenue, elles sont le résultat de 10 10
la multiplication des dixièmes. 6 unités × 3 = 18 unités.
Ajoutez-les aux 2 unités pour obtenir 20 unités. 10 0,1 0,1
Remplacez vingt disques « 1 » par deux disques « 10 » : 0,1 0,1
1 6, 8
× 3
0 ,4
10 10 0,1 0,1
10 0,1 0,1
1 6, 8
× 3
5 0 ,4
•• Faites remarquer aux élèves qu’on obtient le même 16,8 × 3
résultat qu’en additionnant les produits de la 10 × 3 = 30
multiplication des dizaines, des unités et des dixièmes 6 × 3 = 18
séparément. 0,8 × 3 = 2,4
50,4
Exercices •• Donnez aux élèves les exercices 9 (a), (d), 10 (a), (b), Réponses :
d’application 11 (a), (d), 12 et 13 (a) de la page 141 du manuel de 9. (a) 12,9 (d) 11,8
cours et/ou les exercices ci-contre : 10. (a) 124,2 (b) 260,8
11. (a) 37 (d) 80,4
•• Demandez-leur de commencer par estimer, puis de 12. 63 ;
trouver la réponse exacte. 13. (a) 19,5
Opération Estimation Réponse exacte Opération Estimation Réponse exacte
3,2 × 6 18 19,2 7,6 × 8 64 60,8
30,2 × 6 180 181,2 14,2 × 3 30 42,6
2,2 × 5 10 11 6,5 × 8 56 52
Entraînement Solutions
Cahier (a) 8,6 (b) 19,2 (c) 16,8 (d) 42,3 (e) 27,6 (f ) 38,5 (g) 132,5 (h) 244,8
d’exercices B :
Ex. 29
Exercices •• Demandez aux élèves de terminer les exercices 9 à 13 et d’effectuer l’exercice 14 de la page 141
d’application du manuel de cours.
Réponses :
9. (b) 1,04 (c) 12,48 (e) 2,25 (f ) 36,16
10. (c) 414,09 (d) 180,81
11. (b) 102,06 (c) 289,56 (e) 180,75 (f ) 442
13. (b) 5,76 (c) 178,38
14. (a) 8,20 € (b) 117 € (c) 292,05 €
Entraînement Solutions
Cahier Exercice 30
d’exercices B : (a) 1,66 (b) 0,72 (c) 15,78 (d) 27 (e) 42,18 (f ) 45,12 (g) 579,46 (h) 582,48
Ex. 30 et 31 Exercice 31
T = 0,96 E = 81,2 N = 0,21 T = 14,73 A = 32,25 N = 561
R = 726,3 M = 64,44 E = 36,45 N = 3 265,6 I = 28,94 E = 78,48
ENTRAINEMENT
Entraînement Solutions
Cahier Exercice 32 :
d’exercices B : 1. 3,75 m
Ex 32 et 33 2. 28,5 l
3. 15 €
Exercice 33 :
1. 6,90 € + 2,90 € = 9,80 €
7,50 € + 1,90 € = 9,40 €
9,95 € + 4,80 € = 14,75 €
24 € + 16,50 € = 40,50 €
2. 3,3 m
3. 10,60 €
Étape Démarche
Réviser •• Demandez aux élèves d’effectuer les Exercices 9C de la page 144 du manuel de cours.
l’addition,
la soustraction Réponses :
et la 1. (a) 8,6 11 2,8
multiplication (b) 6,23 4,52 4,14
des nombres (c) 5,3 3,5 1,85
décimaux (d) 1,52 3,17 2,85
(e) 3,6 5,6 1,86
(f ) 1,35 6 19,3
2. (a) 18 ; 19,2 (b) 6 ; 7,44 (c) 20 ; 20,45
3. (a) 0,11 m
(b) 40,35 kg
(c) 7,15 €
(d) 1,3 l
(e) 8,25 €
•• Distribuez aux élèves des feuilles d’exercices comportant 5 multiplications. Chronométrez-les. Vous
pouvez le faire en début ou en fin de séances afin que les élèves puissent voir leurs progrès.
Objectifs
•• Diviser un nombre décimal par un chiffre.
•• Exprimer un quotient sous la forme d’un nombre décimal.
•• Arrondir un quotient à un chiffre après la virgule.
•• Évaluer la logique d’une réponse à l’aide de l’estimation.
•• Résoudre des problèmes impliquant une division.
Entraînement
•• Cahier d’exercices B : Ex. 34
•• Cahier d’exercices B : Ex. 35
•• Cahier d’exercices B : Ex. 36
•• Cahier d’exercices B : Ex. 37
•• Cahier d’exercices B : Ex. 38
•• Cahier d’exercices B : Ex. 39
•• Cahier d’exercices B : Ex. 40
Remarques
•• Dans le manuel de CE2 de la méthode de Singapour, les élèves ont appris à diviser un nombre entier par un chiffre en posant
une division en colonne pour diviser de l’argent par un chiffre (convertir des euros en centimes, les diviser comme des
nombres entiers avant de les convertir à nouveau en euros et en centimes). Ici, ils poseront des divisions en colonne pour les
nombres décimaux. Vous pouvez vous assurez que les élèves maîtrisent les tables de division et la notion d’ordre des chiffres.
Si vous pensez que ce n’est pas le cas, donnez-leur un entraînement supplémentaire avant de commencer ce chapitre.
•• On n’emploiera que très peu les termes « dividende » et « diviseur » dans ce guide. Le dividende est le nombre divisé, et le
diviseur est le nombre par lequel on divise. À ce stade, apprendre à diviser est bien plus important qu’apprendre la termi-
nologie, c’est pourquoi il est préférable que vous évitiez ces termes en classe. On ne les rencontrera pas non plus dans le
manuel.
Dividende ÷ diviseur = quotient
Dividende Diviseur
Quotient
•• Les élèves résoudront de nombreux exercices de tête (des exercices où le quotient a un seul chiffre non nul, comme :
3,6 ÷ 6 = 0,6).
•• Lorsqu’on divise un nombre entier par un autre, le quotient peut être un nombre entier avec reste (29 ÷ 4 = 7 R 1), une
1
fraction (29 ÷ 4 = 7 ) ou un nombre décimal (29 ÷ 4 = 7,25). Les élèves ont appris à donner la réponse sous la forme d’un
4
nombre entier et de son reste. Ici, ils apprendront à donner un quotient sous forme de nombre décimal et de l’arrondir à un
chiffre après la virgule.
Exercices •• Lisez ensemble la page 145 et les exercices 1 à 6 des pages 146 et 147 du manuel de cours.
d’application
Réponses :
1. (a) 0,3 (b) 0,03
2. (a) 0,6 (b) 0,5
3. (a) 0,06 (b) 0,05
4. (a) 2 (b) 0,2 (c) 0,02 (d) 5 (e) 0,5 (f ) 0,05 (g) 6 (h) 0,6 (i) 0,06
5. 7
6. 0,30 € (b) 0,30 € (c) 0,60 €
Entraînement Solutions
Cahier 1. (a) 0,4 (b) 0,3 (c) 0,3 (d) 0,4 (e) 0,4 (f ) 0,6 (g) 0,70 € (h) 0,60 €
d’exercices B : 2. (a) 0,06 (b) 0,05 (c) 0,04 (d) 0,06 (e) 0,06 (f ) 0,06 (g) 0,09 € (h) 0,05 €
Ex. 34
7, 02 3
–6 2,
1
Entraînement Solutions
Cahier 1. (a) 0,24 (b) 0,21 (c) 0,13 (d) 0,19 (e) 0,28 (f ) 0,17
d’exercices B : 2. (a) 0,95 € (b) 0,85 € (c) 0,35 € (d) 0,90 €
Ex. 35
Étape Démarche
Cahier 1. (a) 4,13 (b) 3,22 (c) 1,47 (d) 2,68 (e) 22,75 (f ) 5,27 (g) 20,14 (h) 7,05
d’exercices B : 2. (a) 1,05 (b) 1,15 (c) 1,45 (d) 1,35 (e) 1,15 (f ) 1,09 (g) 2,55 (h) 1,75
Ex. 36
Exercices •• Demandez aux élèves d’effectuer les exercices 16 et 17 de la page 150 et l’exercice 20 de la
d’application page 151 du manuel de cours. Les élèves devraient commencer par estimer.
Réponses :
16. (a) 6,08 (b) 1,5
17. (a) 1,6 (b) 2,5 (c) 2,75 (d) 0,45 (e) 0,34 (f ) 4,25
20. (a) 0,3 ; 0,27 (b) 0,9 ; 0,89 (c) 5 ; 5,15
Entraînement Solutions
Cahier 1. (a) 1,4 (b) 0,75 (c) 0,25 (d) 0,95 (e) 1,24 (f ) 1,25 (g) 8,25 (h) 5,85
d’exercices B :
Ex. 37
Entraînement Solutions
? 0,25 L
Cahier Exercice 39
d’exercices B : 1. 0,37 m
Ex. 39 et 40 2. 6,80 €
3. 5,65 €
Exercice 40
1. 3,90 €
2. 6,25 €
3. 0,3 kg
4. 6,5 l
52
Réviser •• Donnez aux élèves la Révision E des pages 157 à 159 du manuel de cours pour réviser toutes les
notions abordées jusqu’ici. Demandez-leur de partager leurs résultats, surtout s’ils emploient des
méthodes différentes.
Réponses :
1. (a) 124,66 (b) 124,57 (c) 124,46 (d) 124,55
2. (a) > (b) < (c) < (d) =
3. (a) 100 (b) 108 (c) 10 (d) 1
4. (a) 100 (b) 35 € (c) 9 kg (d) 10 m
5. (a) 30 ; 29,4 (b) 63 ; 62,3 (c) 20 ; 19,95 (d) 33 ; 32,97
6. (a) 8 000 (b) 80 (c) 8 (d) 80 000
7. 36
8. 57
1 8 1 1
9. (a) 1 (b) (c) 1 (d) 1
12 9 3 2
2 4 3 5
10. (a) (b) 2 (c) (d) 5
3 7 8 6
1 1 5 1 3 9 3 9 1 9 20
11. (a) , , (b) 1 , 1 , (c) 1 , 3, (d) 2 , ,
12 3 6 4 4 4 5 2 5 4 6
12. (a) 6,7 (b) 14,3 (c) 4,9
13. (a) 15 900 €
(b) 77 €
(c) 5 cm
(d) 9 cm
14. (a) 3,90 €
(b) 0,6 m
7
(c)
10
2
(d) 2 km
5
(e) 6
(f ) 75
1
(g) 4 l
2
(h) 73 €
(i) 5,70 €
Objectifs
•• Multiplier une longueur, une masse, un volume et une durée dans le temps en unités composées (m et cm ; kg et g ; l
et cl/m3 et cm3 ; h et min).
•• Diviser une longueur, une masse, un volume et une durée dans le temps en unités composées (m et cm ; kg et g ; l et cl/m3
et cm3 ; h et min).
56 •• Diviser une longueur, une masse, un volume et P. 162 et 163 Ex. 41 10.2a
une durée dans le temps en unités composées. Ex. 1 à 3
Objectifs
•• Multiplier une longueur, une masse, un volume, et une durée dans le temps en unités composées.
Remarques
•• Dans le manuel de CE2 de la méthode de Singapour, les élèves ont appris à convertir des unités de mesures et à additionner
ou à soustraire des longueurs, des masses, des volumes et des durées dans le temps en unités composées (m et cm ; kg et g ;
l et cl/m3 et cm3 ; h et min).
•• Ici, les élèves ne travailleront qu’avec des nombres entiers. Ils aborderont la conversion en nombres décimaux et en fractions
dans la manuel de CM2 de la méthode de Singapour.
Exercices •• Demandez aux élèves d’effectuer les exercices suivants 602 cm = m cm (6 m 2 cm)
d’application puis de partager leurs résultats : 2 kg = g (2 000 g)
2 048 ml = l ml (2 l 48 ml)
2 h = min (120 min)
185 min = h min (3 h 5 min)
Objectifs
•• Divisez des longueurs, des masses, des volumes et des durées dans le temps en unités composées.
Entraînement
•• Cahier d’exercice B : Ex. 41
Remarques
•• On divise des unités composées en commençant pas la plus grande. Si elle est multiple du diviseur, on peut ensuite passer à
la plus petite unité. Si ce n’est pas le cas, il y aura un reste qui devra être converti pour être ajouté à la plus petite unité qu’ils
pourront ensuite diviser.
•• À l’aide de liens entre les nombres, illustrez la décomposition de la plus grande unité en un multiple du diviseur et un reste.
6 h 20 min ÷ 2
6h÷2=3h
20 min ÷ 2 = 10 min
donc 6 h 20 min ÷ 2 = 3 h 10 min
7 h 20 min ÷ 4
6 h 60 min
7 h = 6 h + 60 min
7 h 20 min = 6 h 80 min
6 h 80 min ÷ 2 = 3 h 40 min
Cette division peut être représentée de la façon suivante :
7 h 20 min ÷ 2 = 6 h 80 min ÷ 2 = 3 h 40 min
Exercices •• Lisez ensemble les exercices 2 et 3 de la page 163 du Marina a versé 3 l 200 ml de lait de
d’application manuel de cours. manière égale dans 8 verres. Combien de
•• Dans l’exercice 3, on doit commencer par convertir les millilitres de lait contient chaque verre ?
litres en millilitres avant de diviser :
Entraînement Solutions
Cahier 1. (a) 4 l 900 ml (b) 7 m 95 cm (c) 31 km 250 m (d) 1 kg 100 g (e) 2 h 10 min (f ) 400 ml
d’exercices B : 2. 4 l 500 ml
Ex. 41 3. 33 kg
4. 6 h 40 min
5. 750 g
6. 1. 1 m 50 cm
2. 3 m
7. 1 kg 250 g
Étape Démarche
Entraînement Demandez aux élèves d’effectuer les Exercices 10A des pages 164 et 165 du manuel de cours et
de partager leurs résultats.
Réponses :
1. (a) 16 km (b) 17 l 200 ml (c) 11 h 40 min (d) 15 kg 600 g (e) 37 m 20 cm
2. (a) 1 l 120 ml (b) 2 km 650 m (c) 18 min (d) 1 kg 500 g (e) 65 cm
3. (a) 2 l 550 ml (b) 1 kg 190 g (c) 17 h 30 min (d) 1. 5 kg 400 g 2. 7 kg 200 g (e) 51 h 255 €
(f ) 2 m 44 cm (g) 300 g (h) 2 €
Révision F
Objectifs
•• Réviser toutes les notions abordées jusqu’ici.
60
Entraînement
•• Cahier d’exercices B : Révision 5
Étape Démarche
Réviser toutes Demandez aux élèves d’effectuer la Révision F des pages 172 à 174 du manuel de cours puis de
les notions partager leurs méthodes et résultats.
abordées Réponses :
jusqu’ici 1. (a) 2 (b) 0,03
2. (a) 90 504 (b) 17 541
3. 2,69
4. (a) 80 300, 82 300 (b) 5,59 6,09
5. (a) 14 680 (b) 30 083 (c) 9 900 (d) 89 301
6. (a) 7,03 (b) 4,9 (c) 2,41 (d) 3,602
7. (a) 14 058, 14 508, 41 058, 41 508 (b) 0,96, 8,54, 24,3, 72
8. (a) 0,28 (b) 0,04
9. (a) A = 4 490 B = 4 540 C = 4 620 (b) P = 2,43 q = 2,49 R = 2,54
10. 8,5
11. (a) 1, 3, 5, 9, 15, 45 (b) 24, 48 ou 72 (c) 10,41 (d) 8 856
12. (a) 6 350 (b) 138 cm (c) 7,50 €
13. (a) 0,75 l (b) 1 l 750 ml (c) 10, 75 € (d) 57,55 € (e) 18 € (f ) 445 € (g) 2 250 €
Cahier 1. (a) 10 590 ; 10 050 ; 9 950 ; 9 590 ; 9 190 (b) 8,3 ; 7,28 ; 2,83 ; 2,05
d’exercices B : 2. (a) 57,76 (b) 4,43 (c) 20,15 (d) 282
Révision 5 3. (a) 51,2 (b) 44
4. 26,08
5. A = 5,78 B = 5,84 C = 5,87
6. 9 h 35 min
7. 1,24 m
8. 480
3
9.
4
1
10.
3
2
11. 3 l
5
12. 15
13. (a) 33° (b) 44°
14. 6,00 €
15. 2 m 70 cm
16. 700 g
Objectifs
•• Reconnaître des figures symétriques comportant un seul axe de symétrie.
•• Reconnaître un axe de symétrie.
•• Compléter une figure symétrique.
63 •• Compléter une figure symétrique à partir d’un axe P. 171 Ex. 44 11.1c
de symétrie. Ex. 9
Objectifs
•• Reconnaître des figures symétriques comportant un seul axe de symétrie.
•• Reconnaître un axe de symétrie.
•• Compléter une figure symétrique.
Entraînement
•• Cahier d’exercices B : Ex. 42
•• Cahier d’exercices B : Ex. 43
•• Cahier d’exercices B : Ex. 44
Remarques
•• On appelle figure symétrique une figure plane qui possède un axe de symétrie. Ce dernier divise la figure en deux parties.
Chaque partie est une réflexion de l’autre. Lorsqu’on plie une figure en suivant l’axe de symétrie, les deux parties se super-
posent points par points. Les deux figures ci-dessous sont des figures symétriques. Les lignes en pointillés sont les axes de
symétrie. Certaines figures possèdent plus d’un axe de symétrie, comme la seconde :
•• À ce stade, les élèves n’auront pas à trouver le nombre total d’axes de symétrie dans une figure, mais ils devront être
capables de voir qu’elle en possède plus d’un. Ils n’aborderont ici que la symétrie axiale et non la symétrie de révolution.
•• Les élèves peuvent généralement trouver un axe de symétrie par simple observation, ou en dessinant la figure, en la décou-
pant et en la pliant en suivant ce qu’ils croient être l’axe de symétrie. Toutefois, les élèves ont appris à tracer des droites
perpendiculaires à l’aide d’une équerre, d’une règle ou de papier quadrillé. Vous pouvez leur montrer comment trouver un
axe de symétrie en dessinant une droite y étant perpendiculaire et en cherchant le même point de chaque côté de l’axe, à la
même distance. Un axe donné est un axe symétrique quand une droite partant d’un point de la figure et arrivant au même
point de l’autre côté de l’axe est perpendiculaire à l’axe, qui la sectionne en sa moitié.
•• Par exemple, dans le parallélogramme ci-dessous, les deux côtés de l’axe en pointillés sont identiques. Cet axe n’est pourtant
pas un axe de symétrie : la droite perpendiculaire à cet axe part d’un coin mais n’arrive pas dans le coin opposé.
•• Les élèves devront, à partir de la moitié d’une figure symétrique et d’un axe de symétrie, compléter la figure. Ils peuvent s’y
prendre de différentes manières : par simple observation ; à l’aide d’un miroir ; ou en pliant la feuille de papier en suivant
l’axe de symétrie pour repérer les droites ou les points à reproduire.
•• Dans ce chapitre, les élèves devront repérer les axes de symétrie dans des triangles isocèles et équilatéraux, des parallélo-
grammes, des losanges et des trapèzes. Ils aborderont les définitions et les propriétés de ces figures, en particulier celles des
angles, dans une classe supérieure. Ici, ils doivent être capables de reconnaître des côtés parallèles ou égaux, et reconnaître
et tracer des axes de symétrie.
•• Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés égaux. Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois côtés égaux.
Remarquez que les côtés égaux sont marqués d’un trait. Un triangle isocèle possède un axe de symétrie, alors que le triangle
équilatéral en possède trois.
•• Un triangle à angle droit possède un angle droit. On l’appelle aussi triangle rectangle. Un triangle rectangle peut être isocèle.
•• Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et égaux. Alors que la première paire de
côtés égaux est marquée d’un trait, on peut marquer la seconde paire de deux traits. On marque les droites parallèles par
des flèches. Si la figure en possède deux paires, on peut marquer la seconde par des doubles flèches. Le parallélogramme
ci-dessous ne possède pas d’axe de symétrie.
•• Un trapèze est un quadrilatère possédant deux côtés opposés parallèles. Il n’a généralement pas d’axe de symétrie, mais si
ses deux côtés opposés non parallèles sont égaux, il possède alors un axe de symétrie. Il s’agit alors d’un trapèze isocèle.
Étape Démarche
Étape Démarche
Repérer •• Lisez ensemble les exercices 4 à 7 des pages 169 et 170 du manuel de cours.
des axes Réponses :
de symétrie 6. (a) non (b) oui
dans d’autres 7. non
figures
géométriques •• Vous pouvez demander aux élèves de découper les figures de la page précédente de ce guide et
de les plier afin de voir si les lignes en pointillés sont des axes de symétrie. Ils peuvent aussi essayer
d’en repérer d’autres ou de repérer l’axe de symétrie du parallélogramme et du trapèze.
•• Alors que vous lisez les exercices, attirez l’attention des élèves sur les traits qui indiquent que deux côtés
sont égaux ; sur le carré qui indique un angle droit et sur les flèches qui indiquent des côtés parallèles.
•• Demandez aux élèves d’effectuer l’exercice 8 de la page 171 du manuel de cours.
Réponses :
(c) non (d) oui
•• Demandez-leur ensuite de trouver un axe de symétrie pour la question (c).
Entraînement Solutions
Cahier 2. (a) oui (b) non (c) oui (d) oui (e) non (f ) non (g) non (h) oui
d’exercices B :
Ex. 43
Étape Démarche
Tracer la moitié •• Distribuez aux élèves du papier quadrillé et demandez-leur d’effectuer l’exercice 9 de la page 171
manquante du manuel de cours.
d’une figure
•• Facultatif : montrez aux élèves qu’ils peuvent dessiner une droite perpendiculaire à l’axe de symétrie
symétrique à
en partant d’un coin de la figure pour situer avec exactitude le coin opposé.
l’aide d’un axe
de symétrie •• Ils peuvent s’entraîner avec les figures de la page suivante de ce guide.
•• Demandez-leur de dessiner leurs propres figures symétriques à l’aide du papier quadrillé.
•• Vous pouvez les faire travailler par équipe de deux : le premier dessine une moitié de la figure et le
second la complète.
•• Ils peuvent colorier leurs figures de façon symétrique. S’ils colorient la moitié d’un carré d’une
couleur, ils doivent colorier l’autre de la même couleur. Affichez leurs dessins.
Révision G
Objectifs
•• Réviser toutes les notions abordées jusqu’ici.
66
Entraînement
•• Cahier d’exercices B : Révision 6
Étape Démarche
Réviser toutes Demandez aux élèves d’effectuer la Révision G des pages 175 à 177 du manuel de cours et de
les notions partager leurs méthodes.
abordées Réponses :
jusqu’ici 1. (a) 123,58, 132,85, 135,28, 251,83
(b) 123,58 : 20 ; 132,8 : 2 ; 135,28 : 0,2 ; 251,83 : 200
(c) 123,58
2. (a) 6 (b) 7
3. (a) 450,07 (b) 35,53 (c) 30,54 (d) 107,08
4. 42
5. (a) 30 000 ; 27 360
(b) 9 000 ; 8 262
(c) 32 000 ; 32 103
4 3 2 1 1
6. (a) 1 (b) 1 (c) 1 (d) (e) 50 (f ) 4
9 8 5 8 2
9
7. (a) 1 (b) 3,22
25
8. 12,25 €
9. (a) 26 cm, 22 cm2 (b) 62 cm, 138 cm2
10. (a) 327
11. (a) 9 cm (b) 20 m
12. (a) 340 ml (b) 744 g
13. (a) 7 h 35 min (b) 22 h 05
14. (a) 21,85 € (b) 21 €
Cahier 1. 80 000
d’exercices B : 2. 6
révision 6 3. (a) 10 000 (b) 1 000 (c) 5
4. (a) 4,54, 5,04, 20,5, 25,4 (b) 3,515, 5,013, 10,513, 13,015
5. 12,65
6. 1 400 km
7. (a) 0,5 (b) 3,72 (c) 0,5
8. 13
1 5 1
9. P:3 Q:3 R:4
2 4 8 8
10.
5
4 1 5 3
11. 1 , 1 , ,
5 8 6 4
1
12.
5
13. (a) 349 (b) 336 (c) 1 200 (d) 16,50 € (e) 3,48 km
14. (a) 12 (b) 16 l (c) 10 h 50 (d) 20,90 € (e) 0,47 kg (f ) 2 h 45 min
15. 1 832 €
16. 294 €
17. (a) 43 (b) CM1
Objectifs
•• Visualiser des solides dessinés sur du papier pointillé.
•• Construire des solides à partir de modèles dessinés sur du papier pointillé.
•• Déterminer le nombre de cubes unités dans un solide dessiné sur du papier pointillé.
•• Visualiser de nouveaux solides formés par l’ajout ou le retrait de cubes unités à une figure sur du papier pointillé.
67 •• Visualiser des solides dessinés sur du papier P. 178 et 179 Ex. 45 12.1a
pointillé. Ex. 1 à 3
68 •• Construire des solides dessinés sur du papier P. 180 et 181 Ex. 46 12.1b
pointillé à l’aide de cubes unités. Ex. 4 à 6
•• Déterminer le nombre de cubes unités dans un
solide dessiné sur du papier pointillé.
Objectifs
•• Visualiser des solides dessinés sur du papier pointillé.
•• Construire des solides à partir de modèles dessinés sur du papier pointillé.
•• Déterminer le nombre de cubes unités dans un solide dessiné sur du papier pointillé.
•• Visualiser de nouveaux solides formés à partir de l’ajout ou du retrait de cubes unités à un modèle dessiné sur du papier
pointillé.
Entraînement
•• Cahier d’exercices B : Ex. 45
•• Cahier d’exercices B : Ex. 46
•• Cahier d’exercices B : Ex. 47
Remarques
•• Dans ce chapitre, les élèves apprendront à visualiser des représentations en deux dimensions de simples solides composés
de cubes unités.
•• On appelle « pavé » un prisme de forme rectangulaire. Si ses trois côtés (longueur, largeur et hauteur) sont égaux, il s’agit
alors d’un « cube ».
•• Les élèves construiront des solides représentés sur du papier pointillé à partir de cubes unités. Ils peuvent utiliser des cubes
emboîtables, qui permettent de créer des structures tridimensionnelles stables.
•• Il faut partir du principe que tous les modèles dessinés sur du papier pointillé ne sont pas des unités mais sont composés
de cubes, qu’on ne distingue pas tous dans un dessin. Par exemple, dans la figure pyramidale ci-dessous, certains cubes
sont cachés derrière les autres. En effet, elle doit contenir 10 cubes, et 4 n’apparaissent pas sur le dessin mais sont pourtant
indispensables pour soutenir les autres.
•• On supposera donc la présence de cubes cachés uniquement lorsqu’ils sont nécessaires pour soutenir les autres. Par
exemple, pour la figure de 6 cubes unités ci-dessous, même si rien ne nous empêche de croire que d’autres cubes se cachent
derrière, on sait qu’ils ne sont pas nécessaires au soutien des autres. On sait donc que la figure ne possède que 6 cubes
unités.
D
B
E
F
Entraînement Solutions
Cahier
d’exercices B :
Ex. 45
ÉTAPE DÉMARCHE
Construire un •• Distribuez aux élèves la feuille d’exercices de la page 94 de ce guide. (Vous pouvez également
solide à partir photocopier les dessins de la séance précédente s’il y en a). On y aperçoit les arêtes de tous les
d’un dessin cubes apparents.
•• Distribuez des cubes aux élèves et demandez-leur de reproduire les modèles.
•• Demandez-leur de compter le nombre de cubes.
•• Vous pouvez leur demander s’ils sont capables de savoir de combien de cubes ils ont besoin pour
construire chaque solide. Ils devraient supposer la présence de cubes cachés seulement s’ils sont
nécessaires pour soutenir les autres.
•• En observant attentivement les figures A et B de la page 94 de ce guide, on pourrait croire qu’il y en
a. En construisant ces solides et en comptant les cubes, partez du principe que ce n’est jamais le cas
à moins qu’ils soient indispensables pour soutenir les autres cubes.
•• Demandez aux élèves d’effectuer les exercices 4 et 5 de la page 180 du manuel de cours.
Réponses :
4. 16
5. A : 5 B : 6 C : 9 D : 9
•• Ici, on ne distingue pas les cubes des figures, les élèves peuvent donc avoir plus de mal à les
visualiser. Pour les aider, distribuez-leur du papier pointillé pour leur permettre d’y reproduire
certaines figures de la feuille d’exercices, en particulier les figures A et B, en ne dessinant que les
lignes extérieures.
•• Pour un entraînement supplémentaire, vous pouvez demandez aux élèves de construire les solides
de la pages 95 de ce guide. Ils peuvent travailler par équipe de deux. Vous pouvez leur demander
de commencer par déterminer le nombre de cubes nécessaires à la construction des solides. Le
voici pour chacun d’eux :
A : 24 B : 14 C : 7 D : 13e : 20 F : 48
Entraînement Solutions
Cahier 1. A 3 B 4 C 2 D 6 E 5 F 8
d’exercices B : 2. A 16 B 27 C 6 D 9 E 7
Ex. 46
Étape Démarche
•• Distribuez des cubes aux élèves et demandez-leur de construire la figure A, puis de retirer des cubes
pour reproduire la figure B. Certains élèves devraient être capables de répondre à la question sans
avoir à construire les solides.
Réponse :
8. 2
•• Demandez aux élèves de construire la figure C, puis d’ajouter des cubes pour construire la figure
D. Certains élèves devraient être capables de répondre à la question (combien de cubes faut-il
ajouter ?)sans avoir à construire les solides.
•• Certains élèves savent déterminer le nombre de cubes à ajouter ou à retirer de tête. L’intérêt est de
ne pas avoir à compter les cubes dans chaque figure pour calculer la différence.
•• Pour passer de la première figure A à la seconde, on retire 6 cubes. Pour les figures B, on ajoute 3
cubes, et pour les figures C, on en ajoute 10.
•• Vous pouvez également leur donner la feuille d’exercices de la page 95 de ce guide pour qu’ils
s’entraînent. Pour passer de la figure A à la figure B, on retire 10 cubes. Pour passer de la figure C à la
figure D, on ajoute 6 cubes. Pour passer de la figure E à la figure F, on ajoute 28 cubes.
Entraînement Solutions
Objectifs
•• Trouver le volume d’un solide en unités cubiques.
•• Visualiser la taille d’1 cm3 et d’1 m3.
•• Trouver le volume d’un pavé à partir de sa longueur, de sa largeur et de sa hauteur.
•• Assimiler les équivalences entre 1 ml et 1 cm3, et entre 1 l et 1 000 cm3.
70 •• Trouver le volume d’un solide en unités cubiques. P. 182 et 183 Ex. 48 13.1a
Ex. 1 et 2
71 •• Visualiser la taille d’un centimètre cube, et d’un P. 183 et 184 Ex. 49 13.1b
mètre cube. Ex. 3 et 4
73 •• Trouver le volume d’un pavé en unités composées. P. 187 et 188 Ex. 50 13.2b
Ex. 2 à 6
Objectifs
•• Trouver le volume d’un solide en unités cubiques.
•• Visualiser la taille d’1 cm3 et d’1 m3.
Entraînement
•• Cahier d’exercices B : Ex. 48
•• Cahier d’exercices B : Ex. 49
Remarques
•• Dans le dernier chapitre, les élèves ont compté le nombre de cubes unités dans un solide, ce qui revient à en trouver le
volume en unités cubiques. Ici, ils aborderont les unités standard de volume (cm3, m3).
•• Dans le manuel de CE2, les élèves ont appris à trouver l’aire d’un rectangle, ce qui sera brièvement revu ici.
Réviser l’aire •• Rappelez aux élèves que l’aire d’une figure est la
mesure de sa surface. Elle se mesure en unités carrées.
Si l’aire d’une figure est de 4 unités carrées, cela signifie
qu’elle recouvre 4 unités carrées :
•• Dessinez un carré de quatre carreaux. Demandez aux
élèves son aire en carrés :
4 cm
Aire = 4 cm × 6 cm = 24 cm2
•• Ils devraient se souvenir qu’on calcule l’aire d’un rectangle
en multipliant les longueurs de ses côtés entre elles.
Ajoutez des carreaux dans le rectangle si nécessaire.
•• Dessinez un rectangle composé de 6 carreaux et
indiquez que la longueur d’un carreau est de 2 cm :
2 cm
Demandez aux élèves de trouver l’aire du rectangle.
•• Essayez à l’aide de deux méthodes différentes :
•• Première méthode :
Calculez l’aire de chaque carreau de 2 cm de côtés et
multiplier-la par le nombre de carreaux.
Aire d’un carreau de 2 cm de côtés = 2 cm × 2 cm = 4 cm2
Nombre de carreaux = 6
Aire totale = 6 × 4 cm2 = 24 cm2
•• Deuxième méthode :
Trouvez la longueur et la largeur, puis calculez l’aire.
Longueur = 2 cm × 3 = 6 cm
Largeur = 2 cm × 2 = 4 cm
Aire totale = 6 cm × 4 cm = 24 cm2
Entraînement Solutions
Cahier 1. A : 12 B : 6 C : 16 D : 15 E : 10 F : 15 C : B
d’exercices B :
Ex. 48
1m 1m
Entraînement Solutions
Objectifs
•• Trouver le volume d’un pavé à partir de sa longueur, de sa largeur et de sa hauteur.
•• Assimiler les équivalences entre 1 ml et 1 cm3 et entre 1 l et 1 000 cm3.
Entraînement
•• Cahier d’exercices B : Ex. 50
•• Cahier d’exercices B : Ex. 51
Remarques
•• Ici, les élèves apprendront à calculer le volume d’un pavé en multipliant sa longueur par sa largeur et par sa hauteur.
Hauteur
Largeur
Longueur
•• Dans le manuel de CE1 et de CE2 de la méthode de Singapour, les élèves ont appris à calculer la capacité d’un contenant en
litres et en millilitres. Ils apprendront ici que les litres et les millilitres sont des unités de volume. 1 cm3 équivaut à 1 millilitre,
et 1 000 cm3 équivalent à 1 litre.
Réponses :
2. 80 cm3
6. A : 54 cm3 B : 30 000 cm3 C : 350 m3 D : 180 m3
•• Vous pouvez aussi leur donner des activités des Exercices 13A de la page 190 du manuel de cours.
Réponses :
1. (a) A : 9 cm3 B : 15 cm3 (b) 11 250 cm3
(c) 125 cm3 (d) 360 m3
(e) 120 (f ) 12 000 cm3
Entraînement Solutions
Réviser les •• Montrez aux élèves un verre doseur d’un litre. Si vous
litres et les pouvez, remplissez-le d’eau colorée. Demandez aux
millilitres élèves : « Quelle quantité d’eau a-t-on ? »
•• Rappelez-leur qu’il s’agit d’1 litre d’eau.
•• À l’aide d’un compte-gouttes, versez 20 gouttes
dans un contenant, ou remplissez une cuillère à
médicaments d’1 ml d’eau colorée. Dites aux élèves
qu’il s’agit d’1 ml.
•• Demandez-leur : « Combien y a-t-il de millilitres dans 1 l ? »
(1 000)
•• Rappelez-leur brièvement comment convertir des
millilitres en litres, et inversement. Par exemple : 2450 ml = 2 000 ml + 450 ml = 2 l 450 ml
2 l 40 ml = 2 000 ml + 40 ml = 2 040 ml
3 cm
5 cm
Volume = 5 cm × 3 cm × 4 cm
= 60 cm3
= 60 ml
Entraînement Solutions
1m
1m
100 cm × 100 cm × 100 cm = 1 000 000 cm3
1 m3 = 1 000 000 cm3
•• Demandez aux élèves : « Combien de centimètres cube
correspondent à 1 m3 ? »
•• Première méthode :
On calcule le volume de chaque cube de 2 cm, puis on
le multiplie par le nombre de cubes.
Le volume d’un cube de 2 cm de côtés =
2 cm × 2 cm × 2 cm = 8 cm3
Le nombre de cubes = 12
Le volume total = 12 × 8 cm3 = 96 cm3
•• Deuxième méthode :
On trouve la longueur, la largeur et la hauteur de la
figure, puis on calcule le volume.
Longueur = 2 cm × 3 = 6 cm
Largeur = 2 cm × 2 = 4 cm
Hauteur = 2 cm × 2 = 4 cm
Le volume total = 6 cm × 4 cm × 4 cm = 96 cm3
•• Dessinez un pavé, indiquez ses mesures en centimètres
et demandez aux élèves : « Jusqu’à combien de cubes peut-on
mettre dans ce pavé ? »
•• N’utilisez que des nombres pairs pour la longueur de
chaque côté. Dites aux élèves que les cubes doivent
rester entiers.
•• Ils peuvent déterminer le nombre de cubes pour
chaque côté puis le nombre de cubes au total.
•• Ils peuvent trouver le volume en centimètres puis
diviser par 8 (puisqu’un cube a un volume de 8 cm3)
•• Recommencez avec des nombres impairs pour la
longueur des côtés (au moins 1). Rappelez aux élèves
que les cubes de 2 cm de côtés doivent rester entiers.
•• Ils peuvent déterminer le nombre de cubes pour
chaque côté, puis le nombre de cubes au total.
•• Faites-leur remarquer qu’ils ne peuvent pas trouver le
volume total en centimètres puis diviser par 8, comme
on l’a fait précédemment, puisque les cubes doivent
rester entiers. Il restera de l’espace libre.
•• Demandez aux élèves : « Avec combien de litres d’eau pourrait-on
remplir un mètre cube ? »
•• Voyez s’ils sont capables de déterminer combien de
cubes de 10 cm de côtés (un cube de 1 000 unités
cubiques) rentreraient dans un mètre cube. Il y
en aurait 10 de chaque côté. La première couche
comporterait donc 100 mille cubes, et il y aurait
10 couches. On aurait donc 1 000 milliers de cubes
aurait besoin de 1 000 l d’eau pour remplir un
contenant d’1 mètre cube.
•• Demandez-leur à présent : « Avec combien de litres d’eau pourrait-on
remplir deux mètres cube ? »
•• Un tel contenant a un côté de 2 m. Il a une capacité de 8 m3.
Il pourrait donc contenir un maximum de 8 000 l d’eau.
78
79
80
Entraînement
•• Cahier d’exercices B : Révision 7
•• Cahier d’exercices B : Révision 8
Entraînement Solutions