COURS DE MECANIQUE STATIQUE

CLASSE : 2nde F4

PROJET D’HARMONISATION DE COURS

 COURS DE MECANIQUE STATIQUE NIVEAU 2nde F4

SECONDE F4

MATIERE : MECANIQUE APPLIQUEE

Volume horaire hebdomadaire : 3 heures

Coefficient : 4

OBJECTIFS GENERAUX :

L’élève doit être capable de résoudre un problème de mécanisme

OBJECTIFS OBJECTIFS
INTERMEDIAIRES SPECIFIQUES/PEDAGOGIQUES CONTENUS

OI1 -APPLIQUER Op1 : Déterminer les éléments de CALCUL VECTORIEL DANS

LES METHODES géométrie vectorielle UN REPERE A DEUX AXES
ANALYTIQUES DE  Définition
RESOLUTION DES  Propriétés de la somme
PROBLEMES DE vectorielle
MECANIQUE
 Projection orthogonale d’un
vecteur
 Produit scalaire de deux
vecteurs
 Produit vectoriel de deux
vecteurs
 Moment d’un vecteur glissant
par rapport à un point et à un
axe

Op2 : Calculer la résultante et le RESULTANTE ET MOMENT

moment des forces DES FORCES
 Notion de force
 Résultante des forces
(concourantes et parallèles)
 Moment vectoriel d’une force
 Moments des forces

Op3 : Calculer les couples de forces et COUPLES DE FORCES ET

leur moment LEUR MOMENT
 Définition d’un couple

ii
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 Moment d’un couple de forces

 Couples équilibrants et
couples équivalents

Op4 : Déterminer l’équilibre d’un EQUILIBRE D’UN SOLIDE

solide  Principe fondamental de la
statique
 Différents types d’appui
 Applications
 Détermination du centre de
gravité
 Applications

iii
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LES ELEMENTS DE LA
GEOMETRIE VECTORIELLE
Objectif pédagogique :
A la fin de ce chapitre ; l’apprenant sera capable de réaliser les opérations simples sur
les vecteurs ou forces.
1. DEFINITIONS
1.1. Scalaire
C’est une grandeur ou magnitude (module).
Exemple : le temps, le volume, la densité, l’énergie, la masse etc.
1.2. Vecteur

C’est un gradeur (ou module) associée à une direction et un sens. Le vecteur v a

pour module v ou v .
- Vecteur unitaire :
Un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est égale à 1.
C’est lui qui donne à un module (ou une intensité) la direction et le sens pour devenir
un vecteur.
1.3. Catégories de vecteurs
Vecteur libre : c’est un vecteur quelconque généralisé. Il n’est pas lié à une ligne
unique dans l’espace ; donc il n’a pas un sens imposé.
Vecteur glissant : c’est un vecteur lié à une ligne d’action. C’est l’exemple d’une
force qui agit sur un corps rigide. Cette force peut agir en importe quel point de la
ligne d’action de ce corps : on parle de la statique
Vecteur fixe : c’est un vecteur lié à un point bien déterminé
Exemple : une force qui agit sur un corps déformable (RDM)
1.4. Une base
  
C’est un ensemble formé de trois (3) vecteurs unitaires i , j , k appartenant à un
plan.

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1.5. Un repère
C’est une base dont les vecteurs ont un point commun.
1.6. Un espace
C’est un repère à trois dimensions ayant x, y et z comme axes de référence.
1.7. Temps
C’est la mesure de la succession des événements.
1.8. Force
C’est l’action d’un corps sur un autre.
1.9. Masse
C’est la quantité de matières qui constitue un corps.
1.10. Corps rigide
C’est un corps qui ne subit pas de déformation entre deux (2) points internes.
1.11. Corps déformable
C’est tout corps dont on considère les déformations internes.

2. PROPRIETES DE LA SOMME VECTORIELLE

2.1. Les caractéristiques d’un vecteur
Un vecteur est caractérisé par :
 son point d’application ou point origine,
 sa direction qui correspond à celle de son support,
 son sens défini précédemment par le sens de l’axe,
 sa norme ou son module : c’est la longueur du segment de droite, mesurée avec
l’unité de longueur adoptée. Le module du vecteur est un nombre essentiellement
 
positif ou nul. Le module du vecteur AB se note AB ou AB


Exemple : Représenter le vecteur V de direction oblique dirigé de gauche vers la
droite, de module 15 cm et appliqué au point A.

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Solution

2.2. Propriétés e la somme vectorielle

  
 Soient trois (3) vecteurs U , V , W et c, d des scalaires. Les propriétés de
l’addition des vecteurs sont données par :
   
- Commutativité : U + V = V + U
     
- Associativité : U +( V + W ) = ( U + V )+ W
  
- Distributivité : (c+d) V = c V +d V
 
c(d. V ) = (c.d) V
 
- Unité : (1) V = V
 
(-1) V = - V

(0) V = 0
 Addition géométrique des vecteurs

ou

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 Addition algébrique des vecteurs

 
Soient U et V deux (2) vecteurs définis dans l’espace par leur coordonnées.
       
U  Ux i  Uy j  Uz k et V  Vx i  Vy j  Vz k
    
U  V  ( Ux  Vx ) i  ( Uy  Vy ) j  ( Uz  Vz ) k
      
Exemple : U  3 i  2 j  k et V  5 j  3 k

Solution

2.3. Projection orthogonale de deux (2) vecteurs

 Projection orthogonale
   
Soient deux (2) vecteurs s et V avec s = vecteur unitaire c’est-à-dire s  1 .

 
La projection orthogonale du vecteur V sur la direction du vecteur unitaire s est :
 
V s  V  cosθ  s
  Λ 
V s  V  cos(V , s ). s

 Représentation d’un vecteur dans l’espace et dans le plan


- Dans le plan, le vecteur V peut être exprimé en fonction de deux (2) vecteurs
    
unitaires i et j formant un repère cartésien plan tel que : V  Vx i  Vy j .

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
- Dans l’espace, le vecteur V peut être exprimé en fonction de trois (3) vecteurs
  
unitaires i , j et k formant un repère cartésien trirectangle tel que :
   
V  Vx i  Vy j  Vz k .

Vx , Vy et Vz sont appelés des cosinus vecteurs de V avec
V x  V  Cos x  V  Cos
V y  V  Cos y  V  Cos
V z  V  Cos z  V  Cos

Comme les axes du système de coordonnées sont trirectangles, les cosinus

directeurs sont reliés entre eux par la relation : cos2α + cos2β + cos2γ = 1.

Fig.1 : Représentation d’un Fig.2 : Représentation d’un

Vecteur dans l’espace Vecteur dans le plan
Un vecteur peut être défini par deux points connus dans l’espace par leurs
coordonnées : A ( x A ; y A : z A ) et B ( x B ; y B : z B ).

Le vecteur V d’origine A et d’extrémité B est donné par la formule :

d(A, B)  V  (xB  x A )2  (yB  y A )2  (zB  z A )2

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3. PRODUIT SCALAIRE DE DEUX (2) VECTEURS

  
Le produit scalaire de deux vecteurs U et V est le produit du vecteur U par la
   
projection du vecteur V dans la direction du vecteur U ( U scalaire V ).

VX  V  Cos
 
U  V  U  V  Cos

3.1. Les propriétés du produit scalaire

  
Soient U , V , W trois (3) vecteurs et a un scalaire. Les propriétés du produit scalaire
se définissent comme suit :
   
- Commutativité : U  V  V  U
   
- Associativité par rapport au scalaire : ( a U ) V  a ( V  U )
      
- Distributivité : U ( V  W )  U V  U W
  
Pour les vecteurs unitaires i , j et k , on a :
     
i  i  j  j  k  k  1  1  1  Cos 0   1
     
i  j  i  k  j  k  0  1  1  Cos 90   0
Autres expressions du produit scalaire
       
Soit U  Ux i  Uy j  Uz k et V  Vx i  Vy j  Vz k . On a :
 
U  V  UxVx  UyVy  UzVz
     
U  V  0 si U  V ou U  0 ou V  0
 
U  U  Ux 2  Uy 2  Uz 2
   Λ   
U  V  U  V  cos( U , V )   Λ UxVx  UyVy  UzVz U V
 
  cos( U , V )  cosθ  
U V U V
U  V  UxVx  UyVy  UzVz 

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4. PRODUIT VECTORIEL DE DEUX (2) VECTEURS

4.1. Définition
 
Soient deux (2) vecteurs U et V de l’espace orienté et normé. Le produit vectoriel du
 
vecteur U par le vecteur V est la surface d’un parallélogramme ayant comme côtés
U et V.
  
Le produit vectoriel des deux (2) vecteurs U et V est un vecteur W défini comme suit :
  
W  U Λ V (lire U vectoriel V)

    
U Λ V  UV  Sin θ n avec n = vecteur unitaire dans la direction du vecteur W .

4.2. Les propriétés du produit vectoriel

  
• Les vecteurs U , V et W forment un trièdre droit
  
• Le vecteur W est orthogonal au plan formé par U et V .
   
• U Λ V V Λ U
   
• (aU ) Λ V  a(U Λ V )
      
• U Λ (V  b )  U Λ V  U Λ b
 
• U Λ V  0 si seulement si U=0 ou V=0 ou encore U et V sont proportionnels.
  
Soient i , j , k trois (3) vecteurs unitaires de l’espace cartésien. On a :
     
i Λ j k; k Λi  j
     
j Λ i   k ; i Λk   j
     
i Λ i  j Λ j  k Λk  0

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     
Si U et V sont définis par leurs coordonnées U  Ux i  Uy j  Uz k et
   
V  Vx i  Vy j  Vz k :
 
U Λ V est donné par la formule suivante :
  
i j k
 
U Λ V  Ux Uy Uz
Vx Vy Vz

    
U Λ V  (Uy Vz  Vy  Uz) i  (Ux Vz  Vx  Uz) j  (Ux Vy  Vx  Uy) k

5. MOMENT D’UN VECTEUR GLISSANT PAR RAPPORT A UN POINT

OU PAR RAPPORT A UN AXE
5.1. Moment par rapport à un point
 
Soit un vecteur AB et un point O. Le moment du vecteur AB par rapport au point O
  
 
est le résultat du produit vectoriel OA Λ AB . Mo/ AB  OA Λ AB
   
Le module du moment Mo/ AB est : Mo/ AB = W = d  AB

  
Le sens du moment est choisi tel que : OA , OB , W forment un trièdre droit (sens
trigonométrique).

B
A

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5.2. Moment par rapport à une droite ou un axe


Le moment du vecteur AB par rapport à l’axe (xx’) est le moment de sa projection

orthogonale A' B' sur un plan (P) perpendiculaire à l’axe (xx’) par rapport au point

O. Le point O étant l’intersection du plan (P) avec (xx’).

   
Mxx ' / AB  Mo / A' B'  OA' Λ A' B'

Mxx ' / AB  h  A' B'  h  AB  Cosθ

O
B

P
h A

A’ B’

x’

6. MOMENT D’UNE FORCE

Une force est l’action d’un corps sur un autre. Elle est caractérisée par :
- Un point d’application
- Une direction
- Un sens
- Et une intensité (ou norme)
Une force est donc une quantité vectorielle. Tout calcul du moment d’un vecteur
glissant para rapport à un point ou à un axe est alors valable pour une force. Il suffit
 
donc de remplacer le vecteur AB par la force F .

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Exercices :

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