Serie D'exercices - Math - Polynomes (2) - 2ème Sciences

Série d’exercices Hichem Khazri
Polynomes 2esc
POLYNOMES
Vrai/Faux
Parmi les 5 affirmations suivantes, dites si elles sont vraies ou fausses. Si elles sont vraies, les
démontrer, si elles sont fausses, donner un contre-exemple.
A1. Si une fonction polynôme est de degré 3, alors son carré est de degré 9.
A2. Une fonction polynôme admet toujours une racine réelle.
A3. La fonction polynôme P définie par P(x) = x5 + x4 + 7x + 1 n'a pas de racines positives.
A4. Deux fonctions polynômes qui ont les mêmes racines sont égales.
A5. Si α est une racine de deux fonctions polynômes R et S, alors R(x) – S(x) est factorisable
par x – α.
Exercice 1
Démontrer que la fonction polynôme P définie par P(x) = x3 + x – 1 possède une racine réelle
α ∈ [0 ; 1].
(Il n'est pas demandé de la calculer)
Exercice 2
On considère les fonctions ƒ et g définies sur IR par ƒ(x) = x3 et g(x) = x2 + x – 1. On note Cƒ
et Cg leurs représentations graphiques respectives.
Calculer coordonnées des points d'intersections de Cƒ et Cg.
Exercice 3
2 2
On considère la fonction P définie par P(x) = (x +1) – (4x + 2) .
2
1. Montrer que P est une fonction polynôme dont on précisera le degré.

2. Résoudre l'équation P(x) = 0.
Exercice 4
On considère la fonction polynôme P définie P(x) = –x3 + 6x2 – 9x + k où k est un nombre
réel.
1. Déterminer la valeur du réel k pour x = 4 soit une racine de P.
2. Pour la valeur de k obtenue à la question 1), résoudre l'inéquation P(x) < 0.
Exercice 5
− 2 x 2 + 3x − 10
Résoudre l'inéquation > 0.
− x 3 + 7 x 2 − 14 x + 8
(On pourra, s'il y a lieu, factoriser le numérateur et le dénominateur puis faire un tableau de
signes)
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Exercice 6
On considère la fonction polynôme P définie par : P(x) = x3 – 5x2 + 3x + 1.
On note α, β et γ ses racines (elles existent !).
1. Écrire en fonction de α, β et γ la forme (totalement) factorisée de P(x).
2. Montrer que α + β + γ = 5, αβ + βγ + αγ = 3 et αβγ = –1.
3. Sachant que α = 2 – 5 et β = 1, calculer (simplement) la troisième racine γ.
Exercice 7
Le but de cet exercice est de montrer qu'un entier N est divisible par 9 si et seulement si la
somme de ses chiffres est divisible par 9.
À l'entier N qui s'écrit anan–1...a2a1a0 dans le système décimal, on associe le polynôme P(x) =
anxn + an–1xn–1 + ... + a2x2 + a1x + a0, ainsi N = P(10)
Un exemple :
Au nombre N = 9873, on associe la fonction polynôme P(x) = 9x3 + 8x2 + 7x + 3, ainsi N =
P(10).
1. Soit S la somme des chiffres de N. Montrer que S = P(1).
2. On pose P'(x) = P(x) – S. Montrer que 1 est une racine de P'(x).
3. En déduire que P(x) = (x – 1)Q(x) + S où Q est une fonction polynôme de degré n – 1.
4. Montrer que N = 9Q(10) + S. En déduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est
divisible par 9.
Exercice 8
3 3
On considère l'expression ƒ(x) =  x + 1 + x 2  +  x − 1 + x 2 
1. Démontrer que (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 et (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3.

2. Démontrer que ƒ est une fonction polynôme dont on précisera le degré.
3. Résoudre l'inéquation ƒ(x) > 0.
Exercice 9
On considère la fonction polynôme P définie par P(x) = x4 + x3 – 7x2 – 13x – 6.
1. Quel est le degré de P ?
2. Montrer que x = –1 est une racine de P.
3. Déterminer une fonction polynôme Q du troisième degré telle que P(x) = (x + 1)Q(x).
4. Déterminer les racines de Q. [On pourra s'inspirer des questions précédentes.]
5. Résoudre l'inéquation P(x) > 0.
Exercice 10
Résoudre x 4 − 6 x 2 + 8 = 0 et x 4 − x 2 − 12 = 0
Exercice 11
Soient ƒ et g les fonctions définies par ƒ(x) = 1 − x 2 et g(x) = x 2 − 4x + 2 pour tout x réel.
r r
On note Cƒ et Cg leurs courbes représentatives respectives dans un repère (O ; i , j ).
1. Dresser les tableaux de variations de ƒ et g.

2. Résoudre l'inéquation g(x) > 0 et interpréter graphiquement.
3. Tracer Cƒ et Cg en précisant les coordonnées des points d'intersection éventuels.
Exercice 12
Factoriser (sur IR) : P(x) = x 4 − 1
Exercice 13
On donne la fonction rationnelle F définie par : F(x) = − 2 x +211x − 7 x − 20 .

3 2
x − 2x − 3
1. Quel est l'ensemble de définition de F ?
2. Factoriser le numérateur et le dénominateur de F, puis simplifier l'expression de F(x).
3. Résoudre l'inéquation F(x) < 0.
Exercice 14
Résoudre les équations :
x3 + x2 + x + 1 = 0. (On pourra remarquer que x 3 + x 2 = x 2 (x + 1))
3 x 3 + x 2 + 3x + 1 = 0. (On pourra remarquer que 3 x 3 + x 2 = x 2 (3x + 1))
Exercice 15
Déterminer une fonction polynôme P de degré 3 admettant 1, −3 et − 4 pour racines et telle
que P(2) = 90.
Exercice 16
On considère la fonction polynôme définie par :
Q(x) = 2 x 3 −7x + 2.
1. Vérifier que −2 est une racine de Q.
2. Factoriser Q et résoudre l'équation Q(x) = 0.
Exercice 17
On donne la fonction rationnelle F définie par : F(x) = x +2 2 x − 3 .
3 2
− 2 x − 3x + 5
1. Quel est l'ensemble de définition de F ?
2. Factoriser le numérateur et le dénominateur de F, puis simplifier l'expression de F(x).
3. Résoudre l'inéquation F(x) < 0.
Exercice 18
On considère la fonction polynôme P définie par :
P(x) = −2 x 3 − 3 x 2 + 12x + 20
1. Vérifier que λ = −2 est une racine de P.
2. En déduire une factorisation maximale de P.
3. Résoudre l'inéquation : 3x(4 − x) <2( x 3 − 10)
Exercice 19
On considère la fonction polynôme P définie par :
P(x) = x3 − 2x2 − 9x + 18.
1. Calculer P(2). En déduire que x1 = 2 est une racine de P.
2. Factoriser P.
3. Résoudre l'inéquation P(x) > 0.
Exercice 20
Résoudre l'équation suivante : x2 − (J + M)x + JM = 0
(Par exemple, si la date de naissance est le 4 Mars (J = 4 et M = 3), il faut résoudre l'équation
x2 − 7x + 12 = 0)
Exercice 21
Résoudre l'inéquation suivante :
(
x 4 − 1 + ( M + 1)
2
) x + ( M + 1) > 0
2 2
(Avec l'exemple ci-dessus (M = 3), l'inéquation devient x 4 − 17 x 2 + 16 > 0)

Indication : on pourra poser X = x 2 , puis factoriser et enfin faire un tableau de signes...
Exercice 22
Soit ƒ la fonction définie sur IR par ƒ(x) = − x 3 + 3M x 2 − 3 ( M 2 − 1) x + J
(Avec toujours le même exemple (J = 4 et M = 3), la fonction ƒ s'écrit :
ƒ(x) = − x 3 + 9 x 2 − 24x + 4)
1. Calculer la dérivée ƒ'de la fonction ƒ et étudier son signe.
2. Dresser le tableau de variation de la fonction ƒ. (On ne précisera pas les valeurs des
éventuels extremums...)
Exercice 23
Le but de l'exercice est d'établir l'égalité suivante : 3 2 + 5 + 3 2 − 5 = 1
1. On pose α = 3 2 + 5 et β = 3 2 − 5 . Calculer α3 + β3 et αβ.
2. Démontrer que, pour tous réels A et B, on a :
(A3 + B3) = (A + B)(A2 − AB + B2) puis que (A3 + B3) = (A + B)((A + B)2 − 3AB)
3. En déduire, que le réel α + β est solution de l'équation x 3 + 3x − 4 = 0.
4. Résoudre l'équation x 3 + 3x − 4 = 0 puis conclure.
Exercice 24
1. Factoriser, sur IR, l'expression : x3 − 1.
1 A Bx + C
2. Déterminer les réels A, B et C tels que : = + .
x3 − 1 x − 1 x2 + x + 1
Exercice 25
1
Soit A(n) = où n ∈ IN*.
n( n + 1)
a b
1. Déterminer deux réels a et b tels que : A(n) = + .
n n +1
n
∑ k ( k + 1)
1
2. Exprimer, en fonction de n, la somme suivante :
k =1
Exercice 26
Résoudre l'équation : x + x 3 + x5 + x7 = 0
(Indication : peut-il y avoir une solution strictement positive ? Et une solution strictement
négative ?)

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Série d’exercices Hichem Khazri

1. Montrer que P est une fonction polynôme dont on précisera le degré.

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1. Démontrer que (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 et (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3.

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1. Dresser les tableaux de variations de ƒ et g.

On donne la fonction rationnelle F définie par : F(x) = − 2 x +211x − 7 x − 20 .

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(Avec l'exemple ci-dessus (M = 3), l'inéquation devient x 4 − 17 x 2 + 16 > 0)

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1. On pose α = 3 2 + 5 et β = 3 2 − 5 . Calculer α3 + β3 et αβ.

2. Démontrer que, pour tous réels A et B, on a :

3. En déduire, que le réel α + β est solution de l'équation x 3 + 3x − 4 = 0.

4. Résoudre l'équation x 3 + 3x − 4 = 0 puis conclure.

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