TD1 Electrostatique

Loi de Coulomb - Champ électrique – Potentiel – Gradient – Divergence - Laplacien
Exercice I :
Deux petites sphères identiques, métallisées, ayant chacune une masse m = 50mg, sont
suspendues au même point d'un support par des fils de soie de même longueur L = 50
cm. Après électrisation par contact sur le même pôle d'une machine électrostatique, les
deux sphères portent des charges égales. Elles s'écartent alors de 5 cm. Calculer la
valeur de ces charges.
Exercice II :
Deux charges identiques Q sont disposées en deux sommets opposées d’un carré. Quelles
charges q et q’ faut-il placer aux deux autres sommets pour que la résultante des forces subies
par chacune des charges Q soit nulle?
Exercice III :
2C à l'origine, Q2 = -4
Sur un segment de droite, on place Q1 = 2 -4C à 2m et Q3 = 6
6C à 6m.
a) Calculer la force s’exerçant sur Q2.
b) Où faut-il placer Q2 pour qu’elle soit en équilibre?
Exercice IV :
On considère une goutte d'huile électrisée dont le rayon a pour valeur 1,09.10 -3 cm. La masse
volumique de l'huile est de 0,9 g/cm3. Cette goutte est placée entre deux plaques métalliques
parallèles et horizontales. La différence de potentiel entre ces deux plaques étant de 6000V et
leur distance de 2 cm, on constate que la goutte est en équilibre.
Quelle est, des deux plaques, celle dont le potentiel est le plus élevé quand la gouttelette porte
une charge négative ? Quelle est la valeur de cette charge?
Exercice V :
L’énergie potentielle résultante EP entre deux ions adjacents, séparés d’une distance r,
peut être représentée par la somme de l’énergie d’attraction E A = - A/r et de l’énergie de
répulsion ER = B/rn , A, B et n sont des constantes.
a) A quelles forces (E = Fdr) doit-on relier les énergies d’attraction et de répulsion?
b) Déterminer l’espace interionique d’équilibre ro en fonction de A, B et n.
c) Déterminer l’énergie de liaison Eo en fonction de A, B et n.
d) Dans le cas de la paire d’ions K + et Cl-, on a EA = - A/r et ER = 5,86.10-6/r9. Dans
ces expressions les énergies sont exprimées en électronvolts et r en nanomètres.
Calculer A. Calculer ro et Eo.
Exercice VI :
Un fil rectiligne infini est chargé uniformément (densité linéique de charge 
positive). Calculer le champ électrique E créé par le fil à une distance a.
On considère un point M situé à la distance l de H et à la distance r de A :

donner, en fonction de , dl, o et r, l’expression du champ élémentaire dE1 créé au
point A par le petit élément dl de fil. Donner l’expression du champ élémentaire dE
et en déduire E.
Exercice VII :
Deux charges égales sont séparées d'une distance 2a. Dans leur plan médiateur, il y a un cercle
sur lequel le champ qu'elles créent est maximum. Calculer le rayon de ce cercle.
Exercice VIII :
Un anneau filiforme de rayon R porte une charge Q uniformément répartie sur sa
circonférence. Calculer le champ en un point de l'axe, situé à distance x du centre.
Que pensez-vous du résultat pour x = 0 ? Pour x grand devant R ?
L'anneau précédent est interrompu par une étroite coupure, de largeur l petite devant le rayon
R. Calculer le champ au centre de l'anneau.
Exercice IX :
Calculer sur les chemins OAM et OBM la circulation du vecteur champ de
composantes :
Ex = 6xy et Ey = 3x2 – 3y2

En déduire le potentiel correspondant et vérifier le résultat en calculant son gradient.
Exercice X :
Calculer le potentiel créé par un disque de rayon R, uniformément chargé (densité s), en un
point de son axe situé à la distance a du centre. Que devient ce potentiel quand a>>R ? Quand
a=0?
Exercice XI :
On considère une circonférence de centre O, de rayon R, d'axe (O,x) uniformément
chargé avec une densité linéique 
a) Déterminer directement, en un point M d'abscisse x de l'axe (O,x), le champ
électrique et le potentiel électrique.
b) Vérifier la relation entre le champ et le potentiel électrique.
c) Exprimer le champ électrique maximum en fonction de  et R. Graphes de E(x)
et V(x) pour x>0 ?
Exercice XII :
Soit une sphère creuse de rayon R, de densité surfacique de charge s. En utilisant le
théorème de Gauss, déterminer, en tout point de l'espace, le champ électrique créé par
cette sphère. En déduire le potentiel (V∞ = 0).
Exercice XIII:
Calculer, en utilisant le théorème de Gauss, le champ créé, en tout point, par une droite
uniformément chargée (densité linéique l).
Exercice XIV:
Deux longs cylindres concentriques, de rayon R1 et R2 portent des densités surfaciques
s et -sR1/R2 respectivement. Calculer le champ créé, en tout point, par ce système.
Exercice XV :
Calculer le champ électrique créé, en tout point, par une sphère de rayon R
uniformément chargée en volume (densité volumique de charge r). Calculer le potentiel
V(r). Retrouver ces deux grandeurs par les équations locales.
Exercice XVI :
Montrer que le champ créé par un plan illimité uniformément chargé (densité surfacique s)
est s/2e0 au voisinage de ce plan.
En déduire le champ électrique en tout point d'un axe (x'x) perpendiculaire à deux plans M 1 et
M2 parallèles, distants de 2e, sachant que seul le volume compris entre ces plans est chargé
(densité volumique r positive et constante). Le plan médian M 0 coupe l'axe (x'x) en 0 que l'on
prendra comme origine des abscisses. Retrouver E(x) à partir du théorème de Gauss. Calculer
le potentiel V(x) en tout point de l'axe (x'x), en supposant V(0) = 0. Tracer E(x) et V(x).
Exercice XV : étude électrostatique d’une ligne bifilaire

Soit une ligne bifilaire supposée infinie constituée de deux conducteurs parfaits, cylindriques
de rayon R, séparés d’une distance D entre axes. On considère un tronçon de longueur h de
cette ligne.
Lorsqu’on applique une différence de potentiel V 1- V2 entre les deux conducteurs, les
tronçons (1) et (2) reçoivent une charge valant respectivement +Q et –Q. Le module du champ
électrique mesure sur l’axe Ox suit alors, entre les conducteurs, une loi d’évolution fonction
de x s’écrivant :
⃗ ( x )‖=
‖E
Q
( 1
+
1
2 πε 0 h x D−x )
1. Représenter sur la figure le champ électrique E au point M d’abscisse x situe entre les deux
conducteurs (OM = x).
2. Rappeler la relation générale reliant E et le potentiel V. En déduire une expression de V1-V2
(Remarque : entre les 2 conducteurs, x varie de R à D-R)
3. En déduire l’expression de la capacité C de ce tronçon de ligne bifilaire en fonction de ε , h,
0
R et D. Vérifier l’homogénéité des unités dans l’expression de C trouvée.

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Loi de Coulomb - Champ électrique – Potentiel – Gradient – Divergence - Laplacien

On considère un point M situé à la distance l de H et à la distance r de A :

Ex = 6xy et Ey = 3x2 – 3y2

Exercice XV : étude électrostatique d’une ligne bifilaire

R et D. Vérifier l’homogénéité des unités dans l’expression de C trouvée.

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