3e B – Chapitre I – Géométrie analytique – Exercices

CHAPITRE I

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN

EXERCICES
1 
1) Le plan étant muni d’un repère ( O, i , j ) , on donne A ( 5; −7,3) , B ( −9;0 ) , C  ; −3  ,
2 
 −4   6 
u   et v   . Calculez les coordonnées de :
 −1   2, 4 
a) AB d) u + v g) 3BA − 7CB

e) u − v 3
b) 2 ⋅ CA h) AC − CB + 4 BA
4
c) − BC f) 3u + 2v

2) Le plan étant muni d’un repère ( O, i , j ) , on donne A (11; −2 ) , B ( −4,5;1) , C ( −17;13) ,

D ( x; −5 ) et E ( −3; y ) . Déterminez les réels x et y pour que:

a) 2 AD − 6 EB = 0 c) DB + 2 BC = 3CE − DE
b) 5CD + AB = AC − 8 EA d) EA − 11BD = − BE + 4 EA
3) Soit ABCD un parallélogramme de centre O et I, J, K, L les milieux des quatre côtés :

a) Déterminez les coordonnées des points O, A, B, C, D, I, J, K et L

(
i) dans le repère O, OI , OJ )
ii) dans le repère ( C , OI , OJ )

iii) dans le repère ( B, BA, BC )

b) Déterminez les coordonnées des vecteurs AB , BC , IJ , LC , BD et JA dans le

(
repère O, OI , OJ . )

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4) Soit ABCDEF est un hexagone régulier de centre O :

(
Déterminez les coordonnées des vecteurs suivants dans le repère O, OA, OB : )
AF , FE , ED , DC , CB , BA , BF , BE , FD , DB .

5) Dans un repère ( O, OI , OJ ) on donne les points A ( −1, 4 ) , B ( 3, 7 ) et C ( 2, −5 ) .

Calculez les coordonnées du point K défini par AK + 2 BK − 4 KC = 0 :

(
a) dans le repère O, OI , OJ . )
b) dans le repère ( A, AB, AC ) .

6) Soient ∆ ( ABC ) un triangle quelconque et G son centre de gravité. Calculez les

(
coordonnées de G dans le repère A, AB, AC . )
7) Dans un R.O.N. on donne A ( −3; 2 ) , B (1;5 ) , C ( 4;1) et D ( x;0 ) .

a) Analysez la nature du triangle ∆ ( ABC ) .

b) Déterminez x pour que le triangle ∆ ( ABD ) soit isocèle en D.

8) Le plan étant muni d’un repère ( O, i , j ) , on donne A ( 24; x ) , B ( −31; −16 ) , C ( −3;77 ) ,

5 6  −3 
u   , v   et w  
15  18   11 
a) Analysez si ( O, u , v ) est un repère du plan.

b) Même question pour ( O, u , w ) .

c) Même question pour ( A, u , w ) .

d) Même question pour ( B, −u , 2w ) .

e) Pour quelle(s) valeur(s) de x les vecteurs AB et AC sont-ils colinéaires ?

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9) Le plan étant muni d’un repère ( O, i , j ) , on donne A ( 2; −1) , B ( −3;5) et C ( 7; −4 ) .

a) Trouvez les coordonnées de A, B, C et O dans le repère ( A, i , j ) .

b) Montrez que ( B, 2 j , −3i ) est un repère du plan, puis trouvez les coordonnées de A,

B, C et O dans ce repère.
c) Montrez que ( C , i − j , 2i + 3 j ) est un repère du plan, puis trouvez les coordonnées

de A, B, C et O dans ce repère. Plus généralement soit M un point de coordonnées

( xM , yM ) dans ( O, i , j ) et ( X M , YM ) dans ( C , i − j , 2i + 3 j ) : exprimez X M et YM

en fonction de xM et yM .

10) Soient A ( −1;8) , B(2;5) , C (7; −16) , D ( 3; −4 ) et E ( x; −9 ) .

a) Analysez si parmi les points A, B, C et D il y en a trois qui sont alignés.
b) Déterminez x pour que A, D et E soient alignés.
11) Dans un R.O.N. on donne P ( −5; −3) , Q (3; −1) , R(2;3) , S ( −6;1) .
a) Montrez par deux méthodes différentes que PQRS = # .
b) Montrez par deux méthodes différentes que PQRS est un rectangle.
c) Analysez si les diagonales sont perpendiculaires. Que peut-on en conclure ?
12) On donne A (1;8) , B ( 5; −2 ) et C ( −2,1) dans un R.O.N. du plan. Montrez par deux
méthodes différentes que ∆ ( ABC ) est un triangle rectangle.

13) Soient A (1; 2 ) , B(4; −2) , C (−1; −2) , D ( −4; 2 ) dans un R.O.N.. Montrez que ABCD est
un losange.
14) Déterminez une équation cartésienne (générale et réduite) de la droite d sachant que :
5
a) d passe par A ( −9;11) et a pour vecteur directeur u   .
 −3 

2  0
b) d passe par B  ; −1 et a pour vecteur directeur v   .
3  7
 −8 
c) d passe par C ( 2;13) et a pour vecteur directeur w   .
0
d) d passe par E ( 3;1) et par F ( −15; 4 ) .

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 2
15) Dans un R.O.N. on donne A ( −5;3) et n   .
 −7 
a) Déterminez une équation cartésienne de la droite d passant par A et de vecteur
normal n .
b) Déterminez un vecteur directeur de d.
16) Soient A ( 2; −3) , B ( −1; 4 ) et C ( 7;0 ) dans un repère quelconque.
a) Vérifiez que ∆ ( ABC ) est un triangle.

b) Calculez le centre de gravité G de ce triangle.

c) Déterminez les équations des trois médianes de ce triangle et vérifiez que G
appartient à chacune de ces droites.
17) Soient A ( 6; −1) et d ≡ 7 x − 2 y − 3 = 0 dans un R.O.N..
a) Déterminez l’équation de la droite a telle que A ∈ a et a ( Ox ) .
b) Déterminez l’équation de la droite b telle que A ∈ b et b d .

c) Déterminez l’équation de la droite c telle que A ∈ c et c ⊥ ( Ox ) .

d) Déterminez l’équation de la droite e telle que A ∈ e et e ⊥ ( Oy ) .

e) Déterminez l’équation de la droite f telle que A ∈ f et f ⊥ d .

18) Soient d ≡ 7 x − 9 y + 11 = 0 et d ' ≡ ax + 4 y − 1 = 0 dans un R.O.N..

a) Pour quelles valeurs de a a-t-on d d ' ?
b) Pour quelles valeurs de a a-t-on d ⊥ d ' ?
19) On donne quatre droites par leurs équations cartésiennes :
d1 ≡ x − y + 2 = 0 d2 ≡ 2 x + 3 y + 6 = 0
d3 ≡ 2 x + 7 = 0 d 4 ≡ −5 y + 15 = 0
a) Pour chacune de ces droites déterminez une équation réduite puis représentez-les.
 7 1
b) Vérifiez si les points A  − ;  , B (1;3) et O ( 0; 0 ) appartiennent à ces droites.
 2 3
20) Parmi les droites suivantes, quelles sont celles qui sont parallèles ? perpendiculaires ?
(toutes les équations sont données dans un R.O.N.)
y
d1 ≡ 4 = d2 ≡ 6 x = 5 − 4 y d3 ≡ x = 7 − y
2
x y
d4 ≡ 4 x − 6 y = 0 d5 ≡ y = 9 + x d6 ≡ + = 11
2 3
d7 ≡ 4 x + 3 = 5 d8 ≡ 2 x − 3 y = 1 d9 ≡ 5 x − 7 y = 5 ( x − y + 2 )

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21) Dans un R.O.N. on donne le point A ( −4;7 ) et la droite d ≡ 3x − 5 y + 8 = 0 . Déterminez

l’équation réduite des droites d1 et d 2 passant par A tel que d1 d et d 2 ⊥ d .

22) Soient M  −3;  , P ( −2;0 ) et d ≡ 2 x + 2 y + 1 = 0 . Déterminez ( MP ) ∩ d . Vérifiez

1
2 
votre résultat sur une figure.
23) Trouvez les points A, B et C sachant que :
( AB ) ≡ 2 x − y = 0 ( AC ) ≡ x + y = 3 ( BC ) ≡ 3 x − 2 y = 4

24) Soient A ( 9; −1) , B ( 0;8 ) et C ( 4; −3) .

a) Vérifiez que A, B et C ne sont pas alignés.
b) Déterminez une équation cartésienne de la droite d telle que C ∈ d et d ( AB ) .
c) Déterminez une équation cartésienne de la droite d ′ telle que B ∈ d ′ et d ' ( AC ) .
d) Déterminez D ∈ d ∩ d ′ .
e) Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? Déduisez-en une méthode (beaucoup !)
plus simple pour obtenir D.
25) Soient A ( 2;1) , B (5;3) , C (3; −1) dans un R.O.N..
a) Déterminez les équations des trois médiatrices du triangle ∆ ( ABC ) .

b) Montrez que les trois médiatrices se coupent en un point Ω .

c) Montrez que ΩA = ΩB = ΩC . Comment appelle-t-on le point Ω ?
d) Déterminez les équations des trois hauteurs du triangle ∆ ( ABC ) .

e) Montrez que les trois hauteurs se coupent en un point H. Comment appelle-t-on ce

point H ?
f) Déterminez le centre de gravité du triangle ∆ ( ABC ) .

g) Montrez qu’il existe une droite qui passe par Ω , H et G. Cette droite est appelée
droite d’Euler (mathématicien suisse du 18e siècle). Précisez les positions de ces
trois points.
26) Dans un R.O.N., déterminez une équation de la diagonale et de chacun des côtés non
donnés du rectangle dont une diagonale a pour équation cartésienne 3 x + 7 y − 10 = 0 et
dont deux côtés ont respectivement pour équations 5 x + 2 y − 7 = 0 et 5 x + 2 y = 36 .

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27) Dans un R.O.N., déterminez une équation cartésienne de chacun des côtés d’un triangle
dont on donne le sommet A ( −4; −5 ) et deux hauteurs d’équations 3 x + 8 y + 13 = 0 et

5x + 3 y − 4 = 0 .

28) Soient deux droites d ≡ 8 x − 6 y + 7 = 0 , d ′ ≡ 12 y − 5 x + 1 = 0 et A ( 2;3) dans un R.O.N..

De quelle droite le point A est-il le plus éloigné ?
29) Soient A ( 2; 2 ) , B ( −3;1) et C ( 5; −4 ) dans un R.O.N.. Calculez l’aire du triangle
∆ ( ABC ) .

y 2
30) Dans un R.O.N. on donne les deux droites d ≡ = x + 1 et d ′ ≡ 3 y − 4 x + 14 = 0 .
2 3
a) Montrez que d d ′ .
b) Calculez Pd ′ où P est un point quelconque de d. Que constatez-vous ?
31) Soient A (1; 0,5 ) , B ( −4;3) et C ( −2; −1) dans un R.O.N. (figure !).
a) Déterminez les équations des droites ( AB ) , ( AC ) et ( BC ) .

b) Montrez que l’ensemble des points (appelé aussi le lieu des points) P qui sont
équidistants de ( AB ) et ( AC ) est la réunion de deux droites perpendiculaires

sécantes en A. On sait que l’une de ces deux droites est la bissectrice bA de l’angle

BAC . Laquelle ?

c) Déterminez de même les bissectrices bB de l’angle CBA et bC de l’angle ACB .

d) Montrez que les trois bissectrices sont concourantes en un point D équidistant des
trois côtés du triangle ∆ ( ABC ) .

32) Donnez une équation cartésienne du cercle …

a) de centre Ω ( 4; −3) et de rayon 2.

b) de centre Ω ( 0; −1) et passant par R (12; −6 ) .

1 3 2
c) de centre Ω  ; −  et de rayon .
2 4 2

d) de diamètre [ AB ] avec A ( −5; 4 ) et B ( 7; −8) .

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33) Déterminez les lieux suivants :

L = { P ( x; y ) / x 2 − 6 x + y 2 − 14 y − 63 = 0}

 55 
M =  P ( x; y ) / x 2 + y 2 − 3 x + 6 y − = 0
 4 

P = {P ( x; y ) / 49 x 2 + 42 x + 49 y 2 + 9 = 0}

O = {P ( x; y ) / x 2 − 8 x + y 2 − 18 y + 135 = 0}

 11 
I =  P ( x; y ) / x 2 + 7 x + y 2 − y + 51 = 0 
 2 

J = {P ( x; y ) / 4 x 2 − 4 x + 4 y 2 + 8 y − 31 = 0}

K = { P ( x; y ) / 36 x 2 + 48 x + 36 y 2 − 180 y + 205 = 0}

E = { P ( x; y ) / ( 2 x + 1)( 5 − 6 x ) − ( 3 y + 1)( 4 y + 7 ) = 0}

34) Reprenons les données de l’exercice 31.

a) Etablissez l’équation du cercle de centre D qui est tangent aux trois côtés du triangle
∆ ( ABC ) , appelé cercle inscrit du triangle.

b) Calculez l’aire et le périmètre de ce cercle.

35) Donnez une équation cartésienne du cercle passant par les points
a) A(1; 2) , B ( 0;1) et C (1;0 ) .

b) A( −1;3) , B ( 4; −2 ) et C ( −2; −5 ) .

36) Soient A ( −2; −3) , B ( 8;1) , C (6;6) et D (−4; 2) dans un R.O.N.. Quelle est la nature du
quadrilatère ABCD ? Déterminez son cercle circonscrit.
37) Soit C le cercle d’équation C ≡ x 2 + 10 x + y 2 − 2 y + 22 = 0 dans un R.O.N..

a) Déterminez le centre et le rayon de C.

b) Trouvez deux points A et B de C qui n’ont ni la même abscisse, ni la même

ordonnée.
c) Déterminez les équations des tangentes t A et t B au cercle aux points A et B
respectivement.
d) Déterminez le point d’intersection I de t A et t B .

e) Quelle est la nature du triangle ∆ ( IAB ) ?

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38) Soient A ( −4;1) et B ( 2;7 ) dans un R.O.N.. Déterminez les lieux suivants :
a) L = {M / le triangle ∆ ( ABM ) est rectangle en M } . Comment appelle-t-on ce lieu ?

b) S = {M / AM = BM } . Quel est ce lieu ? Prouvez-le !

39) Soit un triangle ∆ ( ABC ) quelconque, A′ = mil [ BC ] , B′ = mil [ AC ] C ′ = mil [ AB ] et G

son centre de gravité.
BC 2
a) Montrez que AC 2 + AB 2 = 2 AA′2 + (théorème des médianes)
2
b) Donnez sans démonstration des formules analogues pour les autres médianes.
BC 2 + AC 2 + AB 2
c) Déduisez-en que GA + GB + GC =
2 2 2
.
3
40) Montrez que pour tout # ( ABCD ) on a : AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 = AC 2 + BD 2 par
deux methods différentes:
a) En vous plaçant dans un repère approprié.
b) En utilisant le théorème des médianes établi dans l’exercice précédent.

41) Soient A et B deux points fixes tel que AB = 6 . Déterminez le lieu L des points M tel

que MA = 2 ⋅ MB .

42) Soient A ( 2;5 ) et B ( 4; 7 ) dans un R.O.N.. Déterminez le lieu L des points M tel que:

5
MA2 + MB 2 = AB 2
4
43) Une perche rigide [ AB ] de 10 m de long est posée contre un mur vertical. En supposant
que son extrémité A glisse le long du mur et son extrémité B le long du sol, quel est le

lieu L du milieu M de la perche ? (figure !)

44) Soient a et b deux droites perpendiculaires sécantes en O et M un point quelconque du

plan. On note A et B les projections orthogonales de M sur a et b respectivement

(figure !). Déterminez le lieu L des points M tels que OA + OB = 3 .

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