Series TD Physique Analyse Dim

Série de TD 1: Rappels mathématiques et
analyse vectorielle
LMD 1ère année ST/SM, Section : 2D

Janvier, 2021
Analyse Dimensionnelle
Exercice 5
1- Écrire les équations aux dimensions des grandeurs: Force, travail, pression, masse volumique
et puissance.
1-a. Force: La dimension d’une force est une masse m que multiplie l’accélération a,
l’équation aux dimensions pour la force s’écrit alors:
[F ] = [m] · [a]
L’accélération a est une vitesse v divisée par le temps, et la vitesse v est une distance d divisée
par le temps. On a alors:
[d] L
[v] = = = L · T −1
[t] T
[v] L · T −1
[a] = = = L · T −2
[t] T
On peut maintenant exprimer la dimension de la force
[F ] = [m] · [a] = M · L · T −2
1-b. Travail: Le travail W est le produit d’une force F par un déplacement d, l’équation
aux dimensions s’exprime alors comme:
[W ] = [F ] · [d]
[W ] = M · L · T −2 · L = M · L2 · T −2
1-c Pression: La pression P est une force F divisée par une surface S,
[F ] M · L · T −2
[P ] = = = M · L−1 · T −2
[S] L·L
1
1-d Masse volumique: La masse volumique est définie comme la masse m divisée par le
volume V
[m] M
[ρ] = = = M · L−3
[V ] L·L·L
1-e Puissance: Une puissance P est par définition une énergie E par unité de temps t
[E] M · L2 · T −2
[P ] = = = M · L2 · T −3
[t] T
2- Rapport des unités MKSA et CGS:

2-a Force:
Dimension: [F ] = M · L · T −2
Unité MKSA: kg · m · s−2
Unité Cgs: g · cm · s−2
Unité MKSA
Le rapport entre les unités Unité CGS
FM KSA kg · m · s−2 103 g · 102 cm · s−2 105 g · cm · s−2

= = = = 105
FCGS g · cm · s−2 g · cm · s−2 g · cm · s−2
1N (N ewton) = 105 dyn (dyne)
2-b Pression:
Dimension: [P ] = M · L−1 · T −2
Unité MKSA: kg · m−1 · s−2
Unité Cgs: g · cm−1 · s−2
PM KS kg · m−1 · s− 2 103 × 10−2 g · cm−1 · s−2

= = = 10
PCGS g · cm−1 · s−2 g · cm−1 · s−2
1P a (P ascal) = 10Ba (Barye)
2-c Travail:
Dimension: [W ] = M · L2 · T −2
Unité MKSA: kg · m2 · s−2
Unité Cgs: g · cm2 · s−2
WM KS kg · m2 · s− 2 103 × 104 g · cm2 · s−2

= = = 107
WCGS g · cm2 · s−2 g · cm−1 · s−2
1J (Joule) = 107 erg
Exercice 6
Vérifier l’homogénéité des expressions: 1- 5mγ 3 /8p3 où m est la masse, p la pression et γ
l’accélération.
On sait que [W ] = M · L2 · T −2
2
[m] · [γ]3
[W ] =
[p]2
(Les facteurs numériques apparaissant dans les formules physiques étant sans dimension.)
M · (L · T −2 )3 M · L3 · L3 · T −6
[W ] = = 6= M · L2 · T −2
(M · L−1 · T −2 )2 M 2 · L−2 · T −4
L’expression n’est pas homogène.

2- q
T = 2π L/g
, où T est la période de dimension [T ] = T , g l’accélération de la pesanteur de dimension

[g] = LT −2 et L la longueur du fil de dimension [L] = L.
v
u [L] [L]1/2 L1/2
u
[T ] = 2π t = = =T
[g] [g]1/2 L1/2 · T −1
On vérifie bien que l’expression est homogène.
Exercice 7
Déterminer la dimension de µ0 à partir de l’expression de la force de Laplace d’expression
µ0 I1 · I2
F = ( )L
2π D
2π · D · F
µ0 =
I1 · I2 · L
[D] · [F ]
[µ0 ] =
[I1 ] · [I2 ] · [L]
L · M · L · T −2 M · L2 · T −2
[µ0 ] = =
I ·I ·L I2 · L
[µ0 ] = M · L · I −2 · T −2
µ0 est appelée: perméabilité magnétique du vide.
Exercice 8
Expression de la vitesse de propagation des ondes sonores dans un gaz en fonction de la pression
P et de la masse volumique ρ.
V = k · P x · ρy , avec k une constante sans dimensions.
On sait que [V ] = L · T −1 , il s’agit alors de déterminer les exposants x et y dans l’expression

précédente en veillant à ce que le résultat soit homogène à la dimension d’une vitesse.
3
[V ] = [P ]x · [ρ]y
L · T −1 = (M · L−1 · T −2 )x (M · L−3 )y
L · T −1 = M x · L−x · T −2x · M y · L−3y
L · T −1 = M x+y · L−x−3y · T −2x
Par identification, on a :
  
x+y
M0 =M 0 =x+y = 1/2
x

 
 

 
 

 
1 −x−3y ⇒ ⇒
 L =L 1 = −x − 3y 
  
T −1 = T −2x y = −1/2
  
 −1 = −2x

On écrit alors l’expression de la vitesse comme :

s
1/2 −1/2 P
V =k·P ·ρ =k·
ρ

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Série de TD 1: Rappels mathématiques et

LMD 1ère année ST/SM, Section : 2D

2- Rapport des unités MKSA et CGS:

FM KSA kg · m · s−2 103 g · 102 cm · s−2 105 g · cm · s−2

1N (N ewton) = 105 dyn (dyne)

PM KS kg · m−1 · s− 2 103 × 10−2 g · cm−1 · s−2

WM KS kg · m2 · s− 2 103 × 104 g · cm2 · s−2

L’expression n’est pas homogène.

, où T est la période de dimension [T ] = T , g l’accélération de la pesanteur de dimension

µ0 est appelée: perméabilité magnétique du vide.

V = k · P x · ρy , avec k une constante sans dimensions.

On sait que [V ] = L · T −1 , il s’agit alors de déterminer les exposants x et y dans l’expression

L · T −1 = M x · L−x · T −2x · M y · L−3y

L · T −1 = M x+y · L−x−3y · T −2x

On écrit alors l’expression de la vitesse comme :

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