Chapitre 1 Rappel sur les turbomachines

1.1Introduction
On définit comme turbomachines tous les dispositifs dans lesquels l'énergie est
transférée vers ou depuis un fluide en écoulement par l'action dynamique d'une ou
plusieurs rangées de pales mobiles. Le mot turbo ou turbinis est d'origine latine et
implique celui qui tourne ou tourbillonne. Essentiellement, une rangée de pales en
rotation, un rotor ou une roue à aubes varie l'enthalpie de stagnation du fluide qui la
traverse en effectuant un travail positif ou négatif en fonction de l'effet requis de la
machine. Ces variations d'enthalpie sont intimement liées aux changements de
pression qui se produisent simultanément dans le fluide.

1.2 Classification des turbomachines

Il existe plusieurs façons de classifier les turbomachines. La première
concerne le sens du transfert d'énergie. Alors il y a deux catégories :
Les turbomachines qui fournissent de l'énergie au fluide (enthalpie).
Dans ce groupe on trouve les compresseurs, les ventilateurs et les pompes ;
Les turbomachines desquelles on retire de l'énergie du fluide pour l'utili ser
comme un travail mécanique. Dans ce cas, on parle alors de turbines.
On trouve une seconde classification des turbomachines en fonction de la
direction principale de l'écoulement par rapport à l'axe de rotation de la
machine. Selon ces critères on a :
Les turbomachines axiales dans lesquelles la direction de l'écoulement
est parallèle a l'axe de rotation de la machine ;
Les turbomachines radiales ou centrifuges dans lesquelles une partie
importante de l'écoulement a l'entrée ou a la sortie est située dans un plan
normale a l'axe de rotation ou radiale ;

Les turbomachines mixtes dans lesquelles la direction de l'écoulement, à

l'entrée ou à la sortie, comporte de composantes axiales et radiales
signifiantes
Une troisième classification peut être faite en fonction de la nature du
transfert énergétique. En particulier on trouve :
Les turbomachines à action dans lesquelles le fluide subit seulement un
changement d'impulsion lors du passage dans le rotor sans aucune variation
de pression ;
Les turbomachines à réaction dans lesquelles l'échange énergétique
entre le fluide et le rotor entraine une chute de pression sans aucune
variation de vitesse ;
Les turbomachines de type combiné dans lesquelles le fluide subit un
changement de pression et de vitesse lors de son passage par le rotor.
Enfin, on peut classifier les turbomachines en fonction du type d'installation. On
distingue deux types :
Les turbomachines encastrées telles que les pompes centrifuges, les
turbines à gaz etc., où le fluide circule à l'intérieur de conduits ;
 Chapitre 1 Rappel sur les turbomachines

Les turbomachines en veine libre telles que les éoliennes, les hélices
d'avion ou de navire .

1.3 Exemples de composants de turbomachines

1.3.1 Turboréacteur d’un avion
a) Description :
La figure 1.1 illustre un schéma d’une turbine a gaz d’un avion
composé d'un compresseur axial ayant 3 étages et d'une turbine axiale
ayant 2 étages. La figure 1.2 illustre une photo de rotor d’une turbine à gaz
qui montre les différentes parties du rotor et la comparaison de la taille des
aubes par rapport à celle de l’ouvrier.
La turbine à gaz, aussi appelée turbine à combustion, est une machine
thermique qui connaît actuellement une grande vague, cette machine est composée
de trois éléments principaux: Un compresseur axial , une chambre de combustion
et une turbine axiale,

Fig.1.1: Exemple d'une turbine à gaz à un seul arbre

Fig. 1.2: Photo de rotor d’une turbine à gaz

b) Principe de fonctionnement
La turbine à gaz est une machine motrice tournante écoulement continu,
équipée d'un compresseur axial et des chambres de combustion; elle est en
 Chapitre 1 Rappel sur les turbomachines

mesure de produire elle même un fluide sous pression et à température très élevée
qui, en subissant sa phase d'expansion dans les différents étages de la turbine,
fournie de l'énergie mécanique à l'extérieur. Les parties principales constituant
une turbine à gaz (voir figure 1.3): ,
Compresseur d’air,
Alimentation en air des chambres de combustion,
Alimentation en combustible,
Chambre de combustion,
Turbine de détente des gaz brulés

Fig. 1.3: Schéma de turbine à gaz à simple arbre.

c) Section du compresseur d'air
Un compresseur axial est composé d'éléments en rotation et d'éléments
statiques. L’arbre central, guidé par des roulements, est composé d'anneaux composés
eux-mêmes d'aubes tournants et statiques, L'ensemble est un montage alternant des
rotors et des stators, On appelle un étage, un rang de rotor suivi d'un autre de stator.
d) Section de combustion
Elle se compose de plusieurs chambres annulaires disposées le long d’une
circonférence. L'air entre dans chaque chambre dans une direction opposée à la veine
intérieure des gaz chauds. En outre, l'air qui n'est pas employé dans le processus de
combustion, est employé pour refroidir les gaz chauds après la combustion. En effet,
il est introduit dans les chambres par les trous de mélange et refroidit le gaz à la
température optimale d'admission de la turbine (voir la figure 1.5).

Fig. 1.5: Chambres de combustion.

e) Section de la turbine
 Chapitre 1 Rappel sur les turbomachines

La section de la turbine comprend un certain nombre d’étages; chacun d'entre eux

se compose d'un rang stator et d’un rang rotor. Dans le stator, les gaz (à températures
et pression élevées) sont accélérés et acheminés vers les aubes du rotor. Le rotor
complète la conversion de l'énergie cinétique du fluide et le transforme en énergie
d’entraînement de l'arbre pour entraîner le compresseur. L'énergie des gaz échappés
contribuent à la propulsion de l’avion.

1.3.2 La suralimentation par turbocompresseur

La figure 1.3 illustre les éléments d'un turbocompresseur d’un véhicule. Il
se compose d’un compresseur centrifuge et une turbine centripète mono -
étagée. Il sert à augmenter le remplissage du moteur et faire entrer le mélange air/carburant
ou l’air d’admission « sous pression ». Une augmentation de la puissance du moteur à une
même vitesse de rotation est possible en favorisant le taux de remplissage.

a) Les composants du turbocompresseur

. Le turbocompresseur est un appareil centrifuge dont le rotor tourne à grande
vitesse (80 000 à 150 000 tr/min), celle-ci étant proportionnelle à l'énergie des gaz de
combustion, et qui comprend des parties distinctes :
- Le carter central ou support, comprenant les paliers, l’arbre, le système de
graissage et de refroidissement.
- L'étage turbine où les gaz de combustion en provenance des cylindres du moteur se
détendent et mettent en rotation la roue de turbine, avant d'être rejetés vers la
tuyauterie d'échappement.
- L'étage compresseur : l'air pénètre axialement dans le compresseur, est mis en
vitesse par la roue de compresseur, puis dévié de 90º vers le diffuseur qui transforme
l'énergie cinétique acquise en pression d'air, dirigée vers le collecteur d'admission.

Fig. 1.6: Photo coupée d’un turbocompresseur de suralimentation

 Chapitre 1 Rappel sur les turbomachines

b) Principe de fonctionnement

Le principe de la suralimentation est simple (voir figure 1.7) . C’est un élément qui
comprime l’air et l’envoie dans les cylindres de façon à renforcer le moteur pour
l’obliger à brûler une quantité supérieure de mélange dans un même cycle donc un
mélange plus énergétique. Les variantes sont nombreuses, allant du circuit simple à
un circuit muni d'une régulation de la pression maximum d'admission.

Figure I.6 Circuit de suralimentation

Fig. 1.7: Schéma de principe de la suralimentation

1.4 Exemples de coupes de turbomachines

En général, on représente une turbine selon une coupe axiale, telle qu'il est
illustré sur la figure 1.8. Au niveau des aubes, on préfère la coupe par un plan
coaxial (voir la figure 1.9) qui montre la projection des rangées des aubes dans
un repère U-x.

Fig. 1.8: Coupe axiale d’une turbine à gaz

Fig. 1.9: Coupe d’un étage axial par un plan coaxial (U, x)
 Chapitre 1 Rappel sur les turbomachines

1.5 Triangle des vitesses

1.5.2. Composition vectorielle des vitesses
Pour passer du domaine fixe au domaine mobile, ou inversement, on utilise la
règle classique de composition vectorielle des mouvements :
- U la vitesse d'entraînement créée au point considéré par le mouvement de rotation
autour de l'axe ; cette vitesse est perpendiculaire au rayon r, orientée dans le sens de la
rotation et égale en valeur absolue à ωr avec ω vitesse angulaire constante de rotation
et r distance du point considéré à l'axe de rotation.
- W la vitesse relative de fluide dans un système solidaire à l’aubage mobile.
- C la vitesse absolue de fluide dans système absolu qui la somme vectorielle des
deux vitesses précédentes exprimé par la relation :
𝑪=𝑼+𝑾
Donc, la composition des vitesses donne lieu au tracé d'un triangle de vitesses.
1.5.3. Exemple de présentation de triangle des vitesses
Considérant le cas d’un écoulement dans un rotor d’un compresseur centrifuge. Le
fluide arrive `à l’entrée de la roue avec une vitesse absolue C1 et un angle qui dépend
de l’ouverture des ailettes. La vitesse linéaire du bord d’attaque du rotor ´étant U1, la
vitesse relative est alorsW1 avec un angle d’écoulement relatif.
En sortie la vitesse absolue est C2, au bord de fuite des aubes du rotor, La vitesse
linéaire du rotor ´étant U2 et la vitesse relative est alors W2 avec un angle
d’écoulement relatif qui suit l’angle géométrique de l’aube.
En prenant le cas de triangle de vitesse à la sortie du rotor, on applique la relation
vectorielle des vitesses :
𝑪 𝟐 = 𝑼𝟐 + 𝑾 2
`La présentation de vitesse de fluide à la sortie du rotor est obtenu par la
construction du triangle des vitesses sur la photo du vue de gauche de la roue sur la
figure 1.11.

Fig. 1.11: Triangle de vitesses sur la sortie du rotor radiale

 Chapitre 1 Rappel sur les turbomachines

1.6 Rappels de notions de thermodynamique

1.6.2 Rapport de température
En considérant le fluide comme gaz parfait, avec une chaleur spécifique à
pression constante C p = constant, et l’enthalpie référentiel h ref = 0 à la
température référentielle à T=0 kelvin, donc :
- L’enthalpie à une température T est h = C p T
- L’enthalpie à la température T o est h o = C p T o ,

En appliquant la définition de l’enthalpie totale:

h o = h+v 2 /2
Alors, la température totale est:
T o =T+ V 2 /(2* C p ) ( 2.1)
Où : V est la vitesse absolue du fluide
En utilisant la relation de la vitesse du son de 𝑎 = 𝛾𝑅𝑇
Et l’expression de chaleur spécifique :
Cp= γR/(γ-1)
Où:
γ : l’exposant isentropique
R : la constant individuelle de gaz parfait
T : la température statique du fluide.

Alors on obtient les rapports des températures totale et statique:

𝑇𝑂 (𝛾 −1)𝑉 2
=1+
𝑇 2𝑎 2
Et :
(𝛾 −1)
𝑇𝑂
𝑇
=1+ 𝑀2 ( 2.2)
2
M est un nombre sans dimension appelé nombre de Mach , il est définit comme le
rapport :
M=V/a

1.6.3 Rapport de pression et de masse volumique

Lors d'un processus adiabatique réversible (isentropique), pour un gaz
parfait, on applique les relations suivantes :
1
𝑃(𝜌 )𝛾 = 𝐶𝑡𝑒

Et P/ρ=RT
On obtient la relation de rapport des pressions totale et statiques :
 Chapitre 1 Rappel sur les turbomachines

𝛾
𝑃𝑂 𝑇𝑂𝑠
𝑃
=( ) 𝛾 −1 (2.3)
𝑇

Ainsi, la relation de rapport des masses volumiques totale et statiques :

1
𝜌𝑂 𝑇𝑂𝑠
𝜌
=( ) 𝛾 −1 (2.4)
𝑇
Où l'indice « s » a été ajoute pour insister que le passage de l'état statique
vers l'état de stagnation s’effectue suivant un processus isentropique.

1.6.4 Transformations
a) Transformation réversible
La transformation réversible est donc un modèle idéal qui se traduit par
l’égalité :
dS= dQ/T.
b) Transformation irréversible
La transformation réelle irréversible est causée par les phénomènes dissipatifs.
L’énergie perdue par le système sous forme de chaleur contribue à l’augmentation du
désordre global mesuré par l’entropie qui se traduit par l’inégalité :

dS≥ dQ/T

1.6.5 Expressions de variation d’entropie

Pour un gaz parfait, et en utilisant l'équation de Gibbs :

Tds = du + Pd(1/ρ)

On peut obtenir les relations suivantes pour la variation d'entropie

entre deux états de transformation 1 et 2.

En utilisant l’expression : 𝑑𝑢 = 𝑐𝑣 𝑑𝑇 et P/ρ=RT on obtient :

𝑻𝟐 𝝆
𝒔𝟐 − 𝒔𝟏 = 𝒄𝒗 𝒍𝒏 + 𝑹𝒍𝒏(𝝆𝟏 )
𝑻𝟏 𝟐
𝑷
En utilisant l’expression de l’enthalpie : 𝒉 = 𝒖 + 𝝆 on obtient :
𝑻𝟐 𝑷
𝒔𝟐 − 𝒔𝟏 = 𝒄𝒑 𝒍𝒏 − 𝑹𝒍𝒏(𝑷𝟐)
𝑻𝟏 𝟏
En utilisant l’expression de l’enthalpie : 𝑹 = 𝒄𝒑 − 𝒄𝒗 on obtient :
𝝆𝟏 𝑷
𝒔𝟐 − 𝒔𝟏 = 𝒄𝒑 𝒍𝒏 + 𝒄𝒗 𝒍𝒏(𝑷𝟐 )
𝝆𝟐 𝟏
1.6.6 Expressions de rendement

Dans une turbomachine, il y a fondamentalement deux types de pertes: les

pertes externes entre la machine et l'ambiant, notamment par le frottement
des composantes mécaniques et les pertes internes de l'écoulement. Ces dernières
pertes sont dues aux forces visqueuses qui transforment de l'énergie
 Chapitre 1 Rappel sur les turbomachines

mécanique en chaleur, par le phénomène de turbulence, par le décollement de

la couche limite et par les fuites.
Ces différents types de pertes donne lieu aux diverses définitions de
rendement tel que le rendement mécanique, le rendement interne ou
isentropique, le rendement volumétrique et global.

a) Rendement isentropique
La nature non isentropique de l'écoulement suggère l'utilisation d'un
rendement pour prendre en compte les irréversibilités de façon globale. En
général, le rendement est défini comme une relation entre le travail spécifique
idéal (possible) et le travail spécifique réel. La définition dépend s'il s'agit d'une
machine qui consomme de l'énergie ou bien d'une machine qui fournit de
l'énergie.
a1) Rendement d'une turbine
Le rôle d'une turbine est la conversion de l'énergie théorique disponible dans le
fluide en énergie mécanique. Puisque les pertes réduisent le travail possible, on
définit le rendement isentropique comme le rapport entre l’énergie théorique de
détente et l'énergie réelle produite. Alors,

𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑟é𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑊𝑟

𝜂𝑖𝑠 = =
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑡𝑕𝑒𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑢 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 𝑊𝑠

Où les indices r et s indiquent des conditions réelles et isentropiques, respectivement.

Ainsi, Wr indique le travail réel et W s le travail idéal.

a2) Rendement d'un compresseur

Le rôle d'un compresseur est de fournir l'énergie au fluide. Dans ce cas, le
travail dans un compresseur réel est plus grand que celle d’un compresseur idéal
sans pertes. On définit alors le rendement par le rapport entre l'énergie théorique
nécessaire au fluide pour effectuer la compression et l'énergie réelle appliquée sur
l'arbre.
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑡𝑕𝑒𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑛é𝑐𝑒𝑠𝑠𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑎𝑢 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 𝑊𝑠
𝜂𝑖𝑠 = =
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑟é𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑓𝑜𝑢𝑟𝑛𝑖𝑒 𝑊𝑟
Etant donné que les variations d'énergie potentielle entre l'entrée (1) et la sortie
(2) des turbomachines sont négligeables, ainsi que la définition de travail est la
variation de l’enthalpie totale entre les deux états, on écrit:
- Pour une turbine
Wr = h01 - h02 e t Ws = h01- h02s

- Pour un compresseur
Ws = h02s - h01 et Wr = h02 - h01
Donc, une définition du rendement peut être considérée comme le rapport entre la
variation d'enthalpie totale réelle et la variation d'enthalpie totale idéale, pour les
machines qui fournissent de l'énergie (turbines) est au contraire des machines qui
 Chapitre 1 Rappel sur les turbomachines

consomment de l'énergie. Ce rendement est appelé total-a-total est donné par les
relations :
- Pour une turbine
Wr = h01 - h02 e t Ws = h01- h02s
𝑕𝑜1 − 𝑕𝑜2
𝜂𝑡𝑡 =
𝑕𝑜1 − 𝑕𝑜2𝑠
- Pour un compresseur
𝑕𝑜2𝑠 − 𝑕𝑜1
𝜂𝑡𝑡 =
𝑕𝑜2 − 𝑕𝑜1
1.7 Présentation sur un diagramme (h-s)
En général, on présente les transformations dans les turbomachines sur des
diagrammes enthalpie-entropie (h-s). La figure 1.3 montre les transformations entre
les états statiques et totales des points d’entrée et sortie d’un compresseur, ainsi, la
détermination graphique de travail réel et idéal.

Fig. 1.3 : Transformations dans le rotor d’un compresseur

1.8 Autre expression de rendement isentropique
La définition de rendement d’une turbomachine peut emploie des conditions
statiques à statique à la sortie et l’entrée tout en considérant les hypothèses
suivantes :
- Les courbes des isobares sont équidistantes.
- La variation de l’énergie cinétique du fluide est négligeable.
Pour un compresseur on peut écrire :
1 1 1 1
𝑕𝑜2 − 𝑕𝑜1 = 𝑕2 + 2 𝐶 2 2 − 𝑕1 + 2 𝐶 2 1 = 𝑕2 − 𝑕1 + 𝐶22 − 2 𝐶21 =
2
𝑕2 − 𝑕1
 Chapitre 1 Rappel sur les turbomachines

1 1 1 2 1
𝑕𝑜2𝑠 − 𝑕𝑜1 = 𝑕2𝑠 + 𝐶 2 2 − 𝑕1 + 𝐶 2 1 = 𝑕2𝑠 − 𝑕1 + 𝐶 2 − 𝐶 21
2 2 2 2
= 𝑕2𝑠 − 𝑕1
Donc, le rendement statique à statique s’écrit :

𝑕2𝑠 − 𝑕1
𝜂𝑠𝑠 =
𝑕2 − 𝑕1

1.9 Rendement mécanique

Le rendement mécanique caractérise les pertes par friction entre les composants
mécaniques (axe moyeu)et se traduit par une relation entre le travail utile et le travail
fourni.
- Pour une turbine on écrit :
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑙 ′ 𝑎𝑟𝑏𝑟𝑒
𝜂𝑚 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑢𝑟𝑛𝑖𝑒 𝑎𝑢 𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟
- Pour un compresseur on écrit :
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑙𝑒 𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟
𝜂𝑚 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑓𝑜𝑢𝑟𝑛𝑖𝑒 à 𝑙′𝑎𝑟𝑏𝑟𝑒

1.10 Rendement global

Le rendement global englobe tous les rendements mis sur la chaine de
processus du système. Dans notre cas et en considérant que les pertes volumétriques
sont négligeables, ce rendement s’écrit :
𝜂𝑔 = 𝜂𝑖𝑠 𝜂𝑚
Remarque :
Le rendement volumétrique n’apparait pas dans l’expression de rendement
global puisque toute perte autre que mécanique est considérée comme comprise
dans le rendement interne (isentropique).
1.11 Conservation de la masse
En considérant qu'il n’existe pas au sein de l'élément de volume de contrôle dans
l’écoulement, des puits et des sources, on pourra leur affecter une valeur nulle. Ainsi,
l a c o n s e r v a t i o n d e l a m a s s e est ramenée à une équation locale connue sous
l'appellation d'équation de continuité sous forme différentielle:
𝜕𝜌
+ 𝛻. 𝜌𝑣 = 0
𝜕𝑡
Pour obtenir la forme intégrale de l’équation, on intègre l’équation sur le
volume V et en utilisant la formule d'Ostrogradski pour transformer l’intégrale
de volume de deuxième terme de l’équation en intégrale de surface fermée, on
obtient :
𝑑 𝜕𝜌
𝑑v + 𝜌𝑣 𝑑𝑠 = 0 (3.1)
𝑑𝑡 𝑉 𝜕𝑡 𝑠

1.12 Conservation de la quantité de mouvement

Le principe de la conservation de la quantité de mouvement indique que la
sommation des forces est égale a l'accumulation de la quantité de mouvement
 Chapitre 1 Rappel sur les turbomachines

dans un volume de contrôle plus la somme des flux de quantité de mouvement

qui traversent les frontières du volume..
𝑑 𝜕𝜌
𝐹= 𝑉
𝑣𝑑v + 𝑠
𝜌𝑣 𝑣𝑑𝑠 (3.2)
𝑑𝑡 𝜕𝑡

1 . 1 3 Co n s e r v a t i o n d u mo me n t
Ce principe indique que la variation de l'impulsion angulaire est égale a
la somme des moments des forces externes. Tel que pour la quantité de
mouvement, la conservation du moment cinétique est couramment exprimée par
la formule :
𝑑 𝜕𝜌
𝑀= 𝑟 ∧ 𝑣𝑑v + 𝑟 ∧ 𝜌𝑣 𝑣𝑑𝑠 = 0 (3.3)
𝑑𝑡 𝑉 𝜕𝑡 𝑠

1.14 Equation d'Euler

Le point de départ pour l'étude des turbomachines est l'Equation d'Euler.
Celle-ci peut être déduite aisément du principe de conservation de
l'impulsion angulaire
On considère un filet de l’écoulement en régime permanent dans le rotor d’une
turbomachine ayant des conditions uniforme à l’entrée « 1 » et la sortie « 2 ».

Fig. 3.2 : Schéma de l’écoulement dans le rotor

En appliquant l’équation (3.2) sur un filet de fluide entre les deux points illustrés
sur la figure 3.2, on obtient :

𝑀= 𝑟 ∧ 𝜌𝑣 𝑣𝑑𝑠 = 𝑟 2 ∧ 𝜌2 𝑣2 𝑣2 𝑠 2 − 𝑟 1 ∧ 𝜌1 𝑣1 𝑣1 𝑠 1
𝑠
𝑀 = 𝑟 2 ∧ 𝑣2 𝜌2 𝑄2 − 𝑟 1 ∧ 𝑣1 𝜌1 𝑄1 (3.4)
Où
Q : le débit massique
S : surface de la section
V : la vitesse absolue de fluide
D’autre part en appliquant la condition de régime permanent sur l’équation (3.1)
, l’équation de continuité sur un filet de fluide entre les deux points de 1 et 2 de
l’écoulement s’écrit :

𝑠
𝜌𝑣 𝑑𝑠 = 𝜌2 𝑣2 𝑠 2 − 𝜌1 𝑣1 𝑠 1 =0
𝜌2 𝑄2 − 𝜌1 𝑄1 = 0
 Chapitre 1 Rappel sur les turbomachines

𝑚2 = 𝑚1 = 𝑚
Où 𝑚 est le débit massique de fluide.
En substituant le débit massique dans l’équation 3.4, on obtient :
𝑀 = 𝑚(𝑟 2 ∧ 𝑣2 − 𝑟 1 ∧ 𝑣1 ) (3.5)
Malgré cette expression de l’équation Euler est sous une forme mathématique
élégante, elle nécessite des simplifications pour être facilement utilisable.

1 . 1 5 Fo r me c o u r a n t e d e l ’ é q u a t i o n d ' E u l e r
Le vecteur de la vitesse absolue de fluide est présentée sur la figure 3.3 dans
l’espace de trois dimensions de la base orthogonale suivant les directions : axiale x,
tangentielle u et radiale r

Fig. 3.3 : Composantes de vitesses absolues de fluide dans le rotor

La vitesse absolue de fluide dans le repère absolue est régie par la relation
vectorielle déjà expliquée au chapitre 1:
𝑪=𝑼+𝑾
Les projections des composantes de vitesses absolues sont notées :
Cx : la composante de vitesse absolue dans la direction axiale
Cu : la composante de vitesse absolue dans la direction tangentielle
Cr : la composante de vitesse absolue dans la direction radiale

En appliquant la notion de produit vectoriel dans l’équation 3.5 et en tenant

compte de vecteur de rayon de rotation r :
𝑟 = (0, 0, 𝑟)

En substituant les résultats du produit vectoriel dans le point d’entrée « 1 »

et le point de sortie « 2 », on obtient deux composantes de moment cinétique. Mais,
on prend que la composante engendrée par les composantes tangentielles de vitesse
absolue de fluide, car les composantes axiales de vitesse ne participent pas dans
l’expression d’énergie. La relation scalaire de moment s’écrit comme suit :
𝑀 = 𝑚(𝑟2 𝐶𝑢2 – 𝑟1 𝐶𝑢1) (3.6)
Chapitre 1 Rappel sur les turbomachines

1.16 Expressions énergétiques

E n c o n s i d é r a n t l a v i t e s s e a n g u l a i r e u n i f o r m e d u r o t o r ω , on
obtient les relations énergétiques suivantes.
1.16.1 La puissance
Pour les machines tournantes l’expression de puissance est
obtenue par la multiplication de moment par la vitesse
angulaire :
𝑃𝑢𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒 = 𝑀. 𝜔 = 𝑚(𝑟2 𝐶𝑢2 – 𝑟1 𝐶𝑢1). 𝜔
En notant les expressions des vitesse linéaire du rotor par :
U1=r1. ω
U2=r2. ω
La relation de puissance en (Watts) s’écrit :
𝑃𝑢𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒 = 𝑀. 𝜔 = 𝑚(𝑈2 𝐶𝑢2 – 𝑢1 𝐶𝑢1) (3.7)

1.16.2 Le travail massique (spécifique)

Pour les turbomachines fonctionnant avec des fluides
compressibles, la relation du travail spécifique en (J/kg)
s’obtient par la division de la puissance par le débit massique 𝑚
et elle s’écrit :
𝑇𝑟𝑎𝑣𝑎𝑖𝑙 𝑠𝑝é𝑐𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒 = (𝑈2 𝐶𝑢2 – 𝑢1 𝐶𝑢1) (3.8)

1.16.3 Le travail massique (spécifique)

Pour les turbomachines fonctionnant avec des fluides
incompressibles, la relation d’énergie est exprimée par la
hauteur en (m) s’obtient par la division de la puissance par le
p r o d u i t 𝑚. 𝑔 e t e l l e s ’ é c r i t :
𝐻𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 = (𝑈2 𝐶𝑢2 – 𝑢1 𝐶𝑢1)/𝑔 (3.9)

1.16.4 Deuxième forme de l’équation Euler

Cette deuxième forme peut être obtenue par l’utilisation
des relations trigonométriques dans le triangle de vitesse qui se
caractérise par angle Φ formée par le vecteur de vitesse C er U
qui s’écrit :
C2 + U2 = 2U C cosΦ = W2
La composante de vitesse tangentielle de la vitesse absolue est :
Cu = C cosΦ
En remplaçant cette composante de vitesse tangentielle on trouve :
C2 + U2 =2U Cu = W2
Donc , le produit de vitesses s’écrit :
U Cu = (W2 - C2 - U2)/2
 Chapitre 1 Rappel sur les turbomachines

En substituant ce produit appliqué au point d’entrée « 1 » et le point de

sortie « 2 » dans l’équation 3.8, on obtient la deuxième forme de l’équation
Euler:
(𝐶2 2 –𝐶1 2 ) (𝑈2 2 –𝑈1 2 ) (𝑊1 2 –𝑊1 2 )
𝑇𝑟𝑎𝑣𝑎𝑖𝑙 𝑠𝑝é𝑐𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒 = + + (3.10)
2 2 2
Cette équation montre que le transfert d'énergie peut être reparti de
différentes manières. Le premier terme indique la variation d'énergie cinétique
dans l'écoulement dans le repère absolu, le deuxième, la variation d'énergie
due aux forces centrifuges et le troisième la variation d'énergie due aux
vitesses relatives
1 . 1 7 Co n s e r v a t i o n d e l ’ é n e r g i e
La forme intégrale de la conservation d’énergie pour un volume de contrôle
V (en négligeant les effets dissipatifs) se forme de bilan de différents types
d’énergie dans système. Donc, ce principe s'écrit :
𝑑
𝜌. 𝑒. 𝑑v + 𝑠 𝜌. 𝑒 − 𝑃 𝑣𝑑𝑠 𝑉
𝜌. 𝑒. 𝑑v = 𝑄 + 𝑊 + 𝑆 (3.11)
𝑑𝑡 𝑉

𝑄 ; Taux de transfert de chaleur au volume de contrôle.

W ; Taux de travail mécanique évoluant au volume de contrôle.
e : énergie totale par unité de masse
S : Source d'énergie par unité de masse
P : la pression statique de fluide
En tenant compte de l’hypothèse de régime permanent le premier terme
de l’équation 3.11 s’annule :
𝑑
𝜌. 𝑒. 𝑑v = 0
𝑑𝑡 𝑉
Donc, l’équation d’énergie s'écrit :

𝜌. 𝑒 − 𝑃 𝑣𝑑𝑠 = 𝑊
𝑠

Ainsi, que de l’équation de continuité on obtenue le conservation de

débit massique ;
𝑚= ρ i C1 S1 = ρ2 C2 S2 (entre l’entrée 1, et la sortie2)
- Le taux de transfert de chaleur est négligeable ; Q= 0.
- Aucun type de source d’énergie ; S = 0

En intégrant l’équation précédente entre le point d’entrée « 1 » et le point de

sortie « 2 » , on obtient
𝑊 = 𝜌2 𝑒2 − 𝑃2 𝑐2 𝑆2 − 𝜌21 𝑒1 − 𝑃1 𝑐1 𝑆1
 Chapitre 1 Rappel sur les turbomachines

𝑃2 𝑃1
𝑊 = 𝑒2 − 𝑐2 𝑐2 𝜌2 − 𝑒1 − 𝑐 𝑐 𝜌
𝜌2 𝜌1 1 1 1
Sachant que l’équation de continuité exprime le débit massique ;
𝑚= ρ i C1 S1 = ρ2 C2 S2 (entre l’entrée 1, et la sortie 2)
Donc, l’équation précédente entre le point d’entrée « 1 » et le point de sortie
« 2 » , s’écrit :
𝑃 𝑃
𝑊 = 𝑚[ 𝑒2 − 𝜌2 − 𝑒1 − 𝜌1 ] (3.12)
2 1

L'énergie totale par unité de masse « e » est définit par la somme de

l’énergie interne, l’énergie cinétique et l’énergie potentielle qui s’écrit :
𝑐2
𝑒 = 𝑢 + + 𝑔. 𝑧
2
u : énergie interne par unité de masse.
𝑐2
: Énergie cinétique
2
g.z : énergie potentielle.
c : vitesse absolue de fluide
En général, pour les turbomachines à gaz et à vapeur on considère que la
variation de l’énergie potentielle est négligeable, donc l’expression
précédente s’écrit :
𝑐2
𝑒=𝑢+
2
En substituant l’expression de l’énergie totale appliquée au point d’entrée « 1 »
et le point de sortie « 2 » dans l’équation 3.10, on obtient :
𝑐 2 2 𝑃2 𝑐 2 1 𝑃1
𝑊 = 𝑚[ 𝑢2 + − − 𝑢1 + − ]
2 𝜌2 2 𝜌1
La définition de l’enthalpie massique est:
𝑃
𝑕=𝑢+
𝜌
En appliquant la définition de l’enthalpie sur l’équation précédente, on
obtient:
𝑐22 𝑐21
𝑊 = 𝑚[ 𝑕2 + − 𝑢1 + ]
2 2

La définition de l’enthalpie massique totale h0 (de stagnation) est:

𝑐2
𝑕0 = 𝑕 +
2
L’équation de l’énergie prend la forme simplifiée:
𝑊 = 𝑚[𝑕02 − 𝑕01 ] (3.13)
En confrontant l’équation de l’énergie 3.13 par l’équation de puissance 3.7 déduit
de principe de conservation de moment, on obtient :
 Chapitre 1 Rappel sur les turbomachines

𝑚 𝑕02 − 𝑕01 = 𝑚(𝑈2 𝐶𝑢2 – 𝑢1 𝐶𝑢1)

En divisant les deux membres par le débit massique, on trouve :
𝑕02 − 𝑕01 = 𝑈2 𝐶𝑢2 – 𝑢1 𝐶𝑢1 (3.14)
Finalement, on aboutit à la définition de travail massique comme la
variation de l’enthalpie massique totale.
1 . 1 8 No t i o n d e R o t h a l p i e
L'équation (3.14) est valable pour un écoulement adiabatique et dans
l'absence de terme sources, elle peut s'écrire comme :
𝑕02 − 𝑈2 𝐶𝑢2 = 𝑕01 – 𝑢1 𝐶𝑢1
Donc, en général, on peut écrire:
𝑕0 − 𝑈. 𝐶𝑢 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
En introduisant l’expression de l’enthalpie totale, on obtient :
𝑐2
𝑕0 − 𝑈. 𝐶𝑢 = 𝑕 + − 𝑈. 𝐶𝑢
2
Le terme h0 — C u U est appelé rothalpie « Rth ».
A partir de cette dernière équation, on peut définir l'enthalpie de stagnation
relative. Notamment par :
𝑐2 1 1
R th = h + — CuU + U2 - U2
2 2 2
1 1
= h + 2 (C2 - 2CuU +U2) - 2
U2
La vitesse relative est pris de l’expression trigonométrique de triangle de vitesses:

C2 - 2CuU +U2)=W2

Donc , la rohalpie s’écrit :

1 1
R th = h + 2 W2 - 2
U2 (3.15)
1
L’expression h + 2 W2 est appelé l’enthalpie relative.
Remarque :
Pour un écoulement axial avec faible variation du rayon (quasi-
cylindrique) la variation de l'énergie cinétique produite par la vitesse
périphérique (ΔU 2 /2 ) peut être considérée nulle. Alors, l'équation d'énergie
dans le système relatif a la même forme que dans le système absolu.