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    TP1 Gwarah

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    Youcef Bony
    Le document décrit l'application de la méthode des volumes finis pour résoudre l'équation de la chaleur en une dimension avec des conditions aux limites spécifiées. La méthode implique la discrétisation du domaine, l'intégration de l'équation sur chaque volume de contrôle et la résolution du système d'équations algébriques résultant.

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    TP1 gwarah

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    Introduction 

    La méthode des volumes finis (MVF) est une méthode numérique qui permet
    d’approcher la solution d’une équation différentielle régissant un phénomène donnée.

    Le but de ce TP :

    Le but de ce TP est de calculer la réparation de la température dans une barre, on se


    place dans un cas où la température est considéré comme n’intervenant plus dans le
    phénomène de diffusion, le problème devient alors stationnaire, l’équation stationnaire de
    la chaleur en 1D sera modélisée à l’aide d’une équation aux dérivées partielles avec les
    conditions aux limites suivantes :

    Rappelle théorique :

    Pour résoudre un phénomène spécifique à l'aide de la méthode MVF, les étapes


    suivantes doivent être suivies :

    1. Définir l’équation du phénomène.


    2. Discrétisation de du domaine.
    3. D’intégration de l’équation sur chaque volume de contrôle.
    4. Traitement des conditions aux limites.
    5. Formation du systéme d’équation algébrique résultant et sa résolution.
    6. Présentation les résultats (comparaison avec la solution analytique où à l’expérience).

    On va appliquer les étapes précédentes sur le phénomène de notre TP :

    Etape 01 : Définir l’équation du phénomène.

    ∂(ρϕ)
    +¿ ( U ρ ϕ ) =¿ ( Γ grad ϕ ) + S
    ∂t

    Pour simplifier le problème, considérons le cas d’un problème stationnaire (régime


    permanent) 
    ∂(ρϕ)
    =0
    ∂t

    On Suppose qu'il n'y ait pas de charge thermique dans ce cas :

    ¿ ( U ρ ϕ )=0

    On Suppose qu'il n'y ait pas aussi terme source :

    S=0

    De tout ce qui précède, nous obtenons l'équation suivante :


    ∂ ∂ϕ
    ¿ ( Γ grad ϕ )= Γ
    ∂x ∂x (=0 )
    Γ : est le coefficient de diffusivité qui dépend du matériau utilisé.

    Etape 02 : le maillage de domaine :

    Etape 03 : Intégration de l’équation sur chaque volume de contrôle (les nouds 2,
    3, 4) :

    ∫ ∂∂x ( Γ ∂∂ ϕx )dv =0 Avec : dv =A dx

    ∫ ∂∂x ( Γ ∂∂ ϕx ) A dx=0
    W

    ([ Γ ∂∂ ϕx ) A dx ]=0
    ∂ϕ ∂ϕ
    [ ( ) ] [( )
    Γ A +
    ∂x e e e ∂x w
    ]
    Γ w A w =0

    Et on à :

    ϕ E −ϕ P
    ( ∂∂ ϕx ) =
    e δx EP

    ϕP −ϕ w
    Et : ( ∂∂ ϕx ) = δx
    w PW

    ϕE −ϕ P ϕ −ϕ
    Alors : [ δx EP ][
    Γ e A e + P w Γ w Aw =0
    δx PW ]
    Après la réarrangement on trouve :

    Γ e A e Γ w Aw Γ A Γ A
    [ +
    δx EP δx PW ]
    ϕ P= w w ϕ w + e e ϕ E
    δx PW δx EP
    Etape 04 : traitement des conditions aux limites :

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