Equations Fonctionnelles

Équations fonctionnelles
Dans les concours mathématiques, on retrouve souvent des problèmes autour des
équations fonctionnelles : nous vous présentons quelques astuces et des exemples
abordables !
Vous avez déjà vu des équations dont les solutions sont des nombres réels, par exemple
x + 3 = 5. Il peut y avoir plus d’une solution (x2 − 9 = 0) ou peut-être aucune (x2 + 9 = 0).
En mathématiques, on retrouve aussi des équations dont les solutions sont des fonc-
tions. On appelle de telle équations des équations fonctionnelles.
Cela signifie que, au lieu de chercher l’ensemble des nombres réels vérifiant une cer-
taine propriété, il faut chercher l’ensemble des fonctions vérifiant une certaine propriété.
Pour simplifier, on ne s’intéresse qu’à des fonctions R → R, autrement dit des fonctions
définies sur tous les nombres réels et à valeurs réelles. Parmi ces fonctions, on retrouve
les fonctions affines (x 7→ 2x + 5), et plus généralement les fonctions polynomiales
(x 7→ 2x7 +5x2 +1). Tout particulièrement, on y retrouve les fonctions constantes (x 7→ 5).
Vérifier si une fonction est solution. Il est facile de vérifier si un nombre réel est
solution ou non d’une équation donnée : il suffit de remplacer l’inconnue de l’équation
par le nombre réel et voir si l’identité en question est vérifiée ou non (2 est solution
de x3 − 3 = 5, mais pas 7). Pour les équations fonctionnelles, cela fonctionne de la
même façon, on remplace la fonction inconnue de l’équation fonctionnelle par la solution
potentielle et on vérifie si l’on retrouve l’identité ou non.
Par exemple, prenons l’équation fonctionnelle :
2f (x) = f (2x)
Vous pouvez vérifier facilement que la fonction constante égale à 0 et que la fonction
x 7→ 7x sont solutions (les égalités 2 · 0 = 0 et 2 · 7x = 7 · 2x sont justes) mais la fonction
x 7→ x + 1 n’est pas solution (l’égalité 2 · (x + 1) = 2x + 1 n’est pas vraie pour tout x).
Sur l’ensemble des solutions. Il n’y a parfois aucune solution à une équation fonction-
nelle :
f (x)2 = −1
n’a pas de solution (le carré d’un nombre est toujours positif) et l’ensemble des solutions
est vide.
Il n’y a parfois qu’une solution à une équation fonctionnelle :
f (x)2 = 0
1
implique que f (x) = 0 pour tout x, la seule possibilité pour être solution est donc la
fonction constante égale à 0. On vérifie que c’est un candidat valide (02 = 0) donc il n’y
a qu’une solution, à savoir la fonction constante égale à 0.
Il y a parfois (beaucoup) plus d’une solution :
f (x)2 = 1
vous devinerez facilement que les fonctions constantes égales à 1 ou à −1 sont toutes
deux solutions. Mais l’ensemble des solutions contient une infinité de fonctions, à savoir
les fonctions f vérifiant f (x) = ±1 pour tout x mais où le signe dépend de x. Par exemple
on peut définir la fonction f qui vaut 1 sur les rationnels et −1 sur les irrationnels, c’est
une fonction définie sur tous les réels parfaitement légitime. Plus simplement, on peut
définir la fonction f qui vaut 1 sur les réels positifs et −1 sur les réels strictement négatifs
qui est également solution de l’équation fonctionnelle.
Trouver toutes les solutions. En utilisant différentes astuces (qui peuvent changer se-
lon l’équation fonctionnelle considérée), on trouve des conditions qui peuvent permettre
de resserrer l’ensemble des solutions : toutes les solutions sont d’une certaine forme.
Pour déterminer exactement l’ensemble des solutions, il faut également vérifier que
toutes les fonctions de cette forme sont solutions. Bien sûr, si les conditions trouvées
dans la première étape sont si restrictives qu’il n’y a aucune fonction vérifiant toutes les
conditions, on a montré que l’ensemble des solutions est vide et il n’y a plus rien à faire.
Astuce : le changement de variables. On a toujours le droit de changer les variables,

par exemple, en posant t = x + 1 on change l’équation fonctionnelle où l’on a une
fonction de x en une équation fonctionnelle où l’on a une fonction de t :
f (x + 1) = x2 + 2x + 5 ↔ f (t) = t2 + 4
Cela fait directement apparaître l’unique solution x 7→ x2 + 4. Quand les variables ne

parcourent pas forcément tout l’ensemble des réels, il faut se souvenir qu’en changeant
la variable on change aussi son domaine.
Astuce : la spécialisation de l’équation fonctionnelle. En présence d’une équation

fonctionnelle où la variable est x, on peut fixer la variable x (par exemple x = 0). Cela
simplifie toujours l’équation (parfois trop) et peut permettre d’obtenir, quand la spécia-
lisation est judicieusement choisie, des informations substantielles sur l’ensemble des
solutions. Par exemple, pour
f (x) + f (2x) = 2
fixer x = 0 impose f (0) + f (0) = 2 et donc f (0) = 1 (c’est une équation ordinaire
d’inconnue f (0)). Par contre, pour
f (x) = f (−x)
fixer x = 0 donne f (0) = f (0) et donc aucune information sur f (0).
2
La spécialisation est particulièrement efficace quand plusieurs variables apparaissent
dans l’équation fonctionnelle (qui, pour simplifier, varient sur tous les nombres réels).
Par exemple dans
f (x) + f (y) = x + 3y
vous pouvez tester x = 0, mais aussi x = y et ainsi de suite. . . En posant x = y on
obtient f (x) + f (x) = 4x et ainsi on obtient f (x) = 2x. Attention, on n’a pas terminé
puisque cette fonction n’est pas solution, en effet 2x + 2y = x + 3y n’est pas juste pour
tout x, y (en fait, ce n’est vrai que quand x = y).
Il faut choisir la spécialisation en fonction de l’équation fonctionnelle, cela s’apprend
avec le temps. Parfois la spécialisation est un peu inhabituelle. La spécialisation x =
f (y) dans l’équation fonctionnelle :
f (y) = x + 2y
nous donne f (y) = f (y) + 2y et donc y = 0. Ceci ne peut pas être vrai puisque y peut
prendre n’importe quelle valeur réelle (dans la spécialisation x = f (y) la variable x est
déterminée par y mais y prend n’importe quelle valeur). Il n’y a donc aucune solution à
l’équation fonctionnelle ci-dessus !
Astuce : symétrie. Par exemple, dans l’équation fonctionnelle
f (x) + f (y) = x + 3y
le membre de gauche ne change pas si l’on échange x et y. Ainsi si l’on avait une fonc-
tion f vérifiant effectivement l’équation fonctionnelle, le membre de droite de l’égalité
devrait également être invariant si l’on échange x et y. Autrement dit, on devrait avoir
x + 3y = y + 3x, ce qui impose x = y et contredit le fait que x et y puissent varier
indépendamment l’un de l’autre sur R. L’ensemble des solutions est donc vide.
3
1. Déterminer si f (x) = 2x+5 (f : R → R) est une solution de l’équation fonctionnelle
f (x) + 2 = f (x + 1) .
Peut-on trouver des solutions x 7→ f (x) telles que f (0) = f (1) = 0 ?

2. Trouver toutes les fonctions f : R → R satisfaisant l’équation fonctionnelle suivante
f (x + y) = x + f (y)
f (x + 2y) = x + 1 + 2f (y)
f (x + y) + f (x + f (y)) = f (f (x + y))
5. Soit f : R → R une fonction satisfaisant l’équation fonctionnelle suivante
f (x2 + y) + f (1) = 2f (x)y + f (y − 1) + f (x2 )
et telle que f (0) = 1, que peut-on dire de f (2) ?
Une question ? Il suffit de nous la poser !

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Par exemple, prenons l’équation fonctionnelle :

Astuce : le changement de variables. On a toujours le droit de changer les variables,

Cela fait directement apparaître l’unique solution x 7→ x2 + 4. Quand les variables ne

Astuce : la spécialisation de l’équation fonctionnelle. En présence d’une équation

fixer x = 0 donne f (0) = f (0) et donc aucune information sur f (0).

Astuce : symétrie. Par exemple, dans l’équation fonctionnelle

Peut-on trouver des solutions x 7→ f (x) telles que f (0) = f (1) = 0 ?

3. Trouver toutes les fonctions f : R → R satisfaisant l’équation fonctionnelle suivante

4. Trouver toutes les fonctions f : R → R satisfaisant l’équation fonctionnelle suivante

5. Soit f : R → R une fonction satisfaisant l’équation fonctionnelle suivante

f (x2 + y) + f (1) = 2f (x)y + f (y − 1) + f (x2 )

et telle que f (0) = 1, que peut-on dire de f (2) ?

Une question ? Il suffit de nous la poser !

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