Cours Tns Master

Pr !
.!K
hCours!traitement!
ali
d
numérique!des!signaux
!M
!
in a
ou
!
Cours!TNS! 1"
i!
K.!MINAOUI!
! Pr
.!K !
h ali !
d
Introduc=on!
!M !
! in a
ou
!
Cours!TNS! 2"
i! K.!MINAOUI!
1.  Introduc=on!
Pr
1.1!!!défini=ons!de!base!:!Signal!
.!K
!  Un signal est la représentation physique de l’information qu’il transporte de sa source à son
destinataire. Il sert de vecteur à une information.
h
!  Il constitue la manifestation physique d’une grandeur mesurable (courant, tension, force,
température, pression, etc.).
ali
!  Les signaux sont des grandeurs électriques variant en fonction du temps x(t) obtenues à l’aide
de capteurs.
d !M
!  Le traitement du signal s’applique à tous les signaux physiques (onde acoustique, signal
optique, signal magnétique, signal radioélectrique, etc.).
in a
!  Le traitement d’images peut être considéré comme une extension du traitement du signal aux
signaux bidimensionnels (images).
!  Exemple
load handel
sound(y,Fs)
plot (y)
ou
! !
Cours!TNS!
i!
3" K.!MINAOUI!
1.  Introduc=on!
Pr
1.1!!!défini=ons!de!base!!:!Théorie!du!signal!
.!K
!  La théorie du signal a pour objectif fondamental la "description mathématique" des
signaux.
h
!  Cette représentation commode du signal permet de mettre en évidence ses principales
ali
caractéristiques (distribution fréquentielle, énergie, etc.) et d’analyser les modifications
subies lors de la transmission ou du traitement de ces signaux.
d
1.1!!!défini=ons!de!base!!:!Traitement!du!signal!
!M
!  Le traitement du signal est la discipline technique qui, s’appuyant sur les ressources de
l’électronique, de l’informatique et de la physique appliquée, a pour objet l’élaboration
in a
ou l’interprétation des signaux.
!  Son champ d’application se situe donc dans tous les domaines concernés par la
ou
perception, la transmission ou l’exploitation des informations véhiculées par ces
signaux.
!
!
Cours!TNS!
i!
4" K.!MINAOUI!
1.  Introduc=on!
Pr
1.1!!!défini=ons!de!base!!:!Traitement!du!signal!
.!K
!  Les fonctions du traitement du signal peuvent se diviser en deux catégories :
l’élaboration des signaux et l’interprétation des signaux. Les principales fonctions
intégrées dans ces deux parties sont les suivantes :
h ali
"  Élaboration des signaux
–  création de signaux de forme appropriée en procédant par exemple à une combinaison de signaux
élémentaires
–  modulation, changement de fréquence : moyen permettant d’adapter un signal aux caractéristiques
d
fréquentielles d’une voie de transmission
!M
–  codage : traduction en code binaire (quantification), etc.
"  Interprétation des signaux
in a
–  filtrage : élimination de certaines composantes indésirables
–  détection : extraction du signal d’un bruit de fond ( corrélation)
–  identification : classement d’un signal dans des catégories préalablement définies
–  analyse : isolement des composantes essentielles ou utiles d’un signal de forme complexe
ou
(transformée de Fourier)
–  mesure : estimation d’une grandeur caractéristique d’un signal avec un certain degré de confiance
(valeur moyenne, etc.)
!
Cours!TNS!
i!
5" K.!MINAOUI!
1.  Introduc=on!
Pr
1.2!!!Classifica=on!des!signaux!
.!K
Pour faciliter l’étude des signaux, différents modes de classification peuvent être envisagés
h
!  représentation temporelle des signaux ;
ali
!  caractéristique énergétique ;
!  représentation spectrale ;
d !M
!  caractéristique morphologique (continu ou discret).
in a
ou
!
Cours!TNS!
i!
6" K.!MINAOUI!
1.  Introduc=on!
Pr
.!K
1.2.1"Représenta2on"temporelle"des"signaux"
h
La première classification, basée sur l’évolution du signal en fonction du temps, fait
ali
apparaître deux types fondamentaux :
d
!  les signaux certains (ou déterministes) dont l’évolution en fonction du temps peut être
parfaitement décrite par un modèle mathématique. Ces signaux proviennent de
!M
phénomènes pour lesquels on connaît les lois physiques correspondantes et les
conditions initiales, permettant ainsi de prévoir le résultat ;
!
in a
!  les signaux aléatoires (ou probabilistes) dont le comportement temporel est imprévisible
et pour la description desquels il faut se contenter d’observations statistiques.
ou
!
Cours!TNS!
i!
7" K.!MINAOUI!
1.  Introduc=on!
Pr
"
.!K
1.2.1"Représenta2on"temporelle"des"signaux"
Signaux!physiques!
h ali
Signaux!déterministes! Signaux!aléatoires!
d !M
in a
Signaux!périodiques! Signaux!non!périodiques! Signaux! Signaux!non!!
sta4onnaires! sta4onnaires!
Signaux!
sinusoïdaux!
Signaux!
périodiques!
Signaux!
pseudo!
ou
Signaux!
transitoires!
Signaux!
ergodiques!
Signaux!non!
ergodiques!
!
complexes! périodiques!
Cours!TNS!
i!
8" K.!MINAOUI!
1.  Introduc=on!
Pr
"
.!K
1.2.2"Classifica2on"énergé2que"
h ali
La plupart des signaux peuvent être classés à partir de l’énergie totale et la puissance
moyenne totale, suivant les deux ensembles :
!  signaux à énergie finie

d !M
in a
!  signaux à puissance moyenne finie
!
ou
!
Cours!TNS!
i!
9" K.!MINAOUI!
1.  Introduc=on!
Pr
"
.!K
1.2.3"Classifica2on"spectrale"
h
Un signal peut être classé suivant la distribution de son énergie ou de sa puissance en
ali
fonction de la fréquence (spectre du signal). Le domaine des fréquences occupé par son
spectre est aussi appelé la largeur de bande du signal
d ΔF= ΔFmax – Δfmin
!M
Cette caractéristique, exprimée en hertz (Hz), est absolue. Aussi il est nécessaire de la
in a
comparer au domaine de fréquences dans lequel se situe le signal. En considérant la
fréquence moyenne Fmoy = (Fmax − Fmin)/2, on peut distinguer deux types de signaux :
ou
!  les signaux à bande étroite avec ΔF/Fmoy petit (soit Fmax ≈ Fmin) ;
!  les signaux à large bande avec ΔF/Fmoy grand (soit Fmax Fmin).
Cours!TNS!
i!
10" K.!MINAOUI!
1.  Introduc=on!
Pr
.!K
"
1.2.4"Caractéris2que"morphologique"(con2nu"ou"discret)"
Le temps est un paramètre important de classification. Comme nous venons de le voir, le
h
traitement numérique des signaux conduit à faire la distinction entre les signaux dits à temps
ali
continus (signaux continus) et les signaux dits à temps discrets (signaux discrets ou
échantillonnés). Un autre paramètre des signaux traités est à prendre en compte, c’est
l’amplitude qui peut aussi être continue ou discrète (quantifiée).
d
Ainsi quatre formes de signaux, qui se retrouvent dans un système numérique de contrôle
!M
d’un processus physique, peuvent être distinguées :
!  signal à amplitude et temps continus (signal analogique);
in a
!  signal à amplitude discrète et temps continu (signal quantifié);
ou
!  signal à amplitude continue et temps discret (signal échantillonné);
!  signal à amplitude discrète et temps discret (signal numérique) :
Cours!TNS!
i!
11" K.!MINAOUI!
1.  Introduc=on!
Pr
.!K
1.2.4"Caractéris2que"morphologique"(con2nu"ou"discret)"
"
h
"
ali
"
"
d
"
"
"
!M
in a
"
"
"
"
"
ou
i!
Les quatre types des signaux classés suivant leur morphologie(continu ou discret)
" !
Cours!TNS! 12" K.!MINAOUI!

"
1.  Introduc=on!
Pr
1.2!!!Quelques!signaux!
.!K
On fera souvent appel par la suite à des fonctions particulières caractérisant des
comportements types. Parmi ces signaux on notera les signaux causaux nuls pour t<0.
h ali
!  La fonction échelon unité ou fonction de Heaviside est définie par x(t ) = 1[ 0, +∞ [ (t ) . Sa
valeur à l’origine est arbitraire. Elle est le plus souvent choisie égale à 1/2. Cette
d
fonction peut être utilisé pour rendre compte de la causalité :
pour tout signal x (t ) , le signal y (t ) = x(t )u (t ) a comme support [0,+∞[;
!M
in a
!  La fonction signe se définit à partir de la fonction échelon unité par signe(t ) = 2u (t ) − 1
!  La fonction porte ou rectangle se définit par rectT (t ) = 1T (t ) = u(t + T / 2) − u(t − .T / 2)
ou
On l’utilisera pour réaliser le fenêtrage rectangulaire sur un signal x (t ) : xT (t ) = x(t )rectT (t )
Cours!TNS!
i!
13" K.!MINAOUI!
1.  Introduc=on!
Pr
!
.!K
!  L’impulsion ou la fonction Dirac a les propriétés suivantes :
1.  hℜ
ali
∫ δ (t )dt = 1 et ∫ δ (t ) x(t )dt = x(0) .
ℜ
2. 
d !M
x(t )δ (t − t0 ) = x(t0 )δ (t − t0 ) .
3.  x(t ) *δ (t − t0 ) = x(t − t0 ) .

in a
.
ou
!
Cours!TNS!
i!
14" K.!MINAOUI!
1.  Introduc=on!
Pr
!
.!K
!  Le signal sinusoïdal est définit par x(t ) = x0 sin(ω0t + φ ) = x0 sin( 2πf 0t + φ ) . x0 est
h
l’amplitude crête du signal, ω 0 sa pulsation, φ sa phase à l’origine et f 0 = ω0 / 2π
sa fréquence.
ali
d
!  Le signal exponentielle complexe est défini par x(t ) = x0 exp(2 jπf 0t );
!M
in a
!  la fonction sinus cardinal est définie par sin c(t ) = sin(πt ) / πt.
ou
!
Cours!TNS!
i!
15" K.!MINAOUI!
! Pr
.!K !
h ali
!
!!Md
Signaux!déterministes!à!temps!con=nu!
! in a
ou
!
Cours!TNS! 16"
i! K.!MINAOUI!
1.  Signaux!déterministes!à!temps!
con=nu!
Pr !!!!!
.!K
1.1!!!Représenta=on!fréquen=elle
!
h
On a pour habitude de décrire les signaux en fonction de la variable temporelle t car notre
perception des phénomènes physiques nous y incite. En électronique, la connaissance des
ali
propriétés spectrales d'un signal est primordiale. Ainsi, on utilise souvent une représentation
en fonction de la fréquence pour caractériser un signal ou un système. Les outils de
d
traitement des signaux nous aident dans cette tâche.
"
1.1.1"Série"de"Fourier"
!M
in a
"
La décomposition en série de Fourier permet de décomposer un signal en somme de
sinusoïdes. On utilise principalement les séries de Fourier dans le cas des signaux
ou
périodiques. Elles permettent ainsi de passer facilement du domaine temporel au domaine
fréquentiel.
Cours!TNS!
i!
17" K.!MINAOUI!
con=nu!
Pr
.!K
Pour tout signal x(t) qui est périodique, de période notée T , c-à-d. un signal tel que
x(t + T ) = x(t ) ∀ t ∈ℜ
h ali
on définit les coefficients de Fourier (aussi appelés coefficients spectraux) d’un tel signal x(t)
par :
d
1 T /2
cn = ∫ x(t )e − jnω0t dt
T
!M
−T / 2
2π
in a
où ω0 = est appelée pulsation fondamentale du signal.
T
Inversement, le signal x(t) peut s’exprimer de manière suivante
+∞
ou
x(t ) = ∑ cn e jnω0t
−∞
! !
Cours!TNS!
i!
18" K.!MINAOUI!
con=nu!
Pr
cn
.!K
....
c−2 c2
...
h ali
− 3ω0 − 2ω0
c−1
− ω0
c0 c1
ω0 2ω0 3ω0 ω
d !M
!
in a
Composante!!
con4nue!
ou
fondamental!
i!
harmoniques!
!

con=nu!
Pr
1.1.2"Transformée"de"Fourier"
Défini2on"
.!K
C’est une généralisation de la décomposition de série de Fourier à tous les signaux
h
déterministes. Elle permet d’obtenir une représentation en fréquence (représentation
ali
spectrale) de ces signaux. Soit x(t) un signal déterministe. Sa transformée de Fourier est
+∞
X ( f ) = TF [ x(t )] = ∫ x(t )e − j 2πft dt
d !M
−∞
Si cette transformée existe, la transformée de Fourier inverse est donnée par :
−1
x(t) = TF [X( f )] =
in a ∫
+∞
−∞
X( f )e j 2 π ft df
où
ou
TF −1 est la transformée inverse de Fourier inverse.
Cours!TNS! 20"
i! K.!MINAOUI!
con=nu!
Pr
.!K
Propriétés""
x(t)% X(f)%
h
Linéarité!
Transla2on!
ali
α .x(t ) + β . y(t )
x(t − t0 )
α . X ( f ) + β .Y ( f )
e −2 jπft0 X ( f )
Conjugaison!
d !M
e 2 jπf 0t x(t )
x* (t )
X ( f − f0 )
X * (− f )
! Dériva2on!
in a
d n x(t )
dt n
(2 jπf ) n X ( f )
Convolu2on!
ou
x(t ) * y(t )
x(t ).y (t )
X ( f ).Y ( f )
X ( f ) *Y ( f )
!
Cours!TNS!
i!
21" K.!MINAOUI!
con=nu!
Pr
.!K
Exercices"1"
"
h
1.  Calculer la transformé de Fourier de Dirac ;
ali
2.  Calculer la transformé de Fourier de x(t)=α.cos(ω 0 t)
Remarques""
• 
d
3.  Calculer la transformé de Fourier du signal%rectangle
!M
La transformée de Fourier d’une fonction sinusoïdale de fréquence f0 est représentée par
in a
deux impulsions de Dirac centrée sur les fréquences –f0 et +f0. Bien entendu,
l’impulsion centrée sur f0 n’a pas d’existence physique.
ou
•  Le spectre d’une décomposition en série de Fourier sera donc un spectre discontinu de
raies aux fréquences des sinusoïdes présentes dans la décomposition
"
!
Cours!TNS!
i!
22" K.!MINAOUI!
con=nu!
Pr
.!K
Exercices"2"
"
h
Calculer!la!TF!de!sin(2πf0t)%grâce!au!!
1.  Théorème du décalage

ali
2.  Théorème de la dérivée
d !M
On rappel que : TF(cos(2πf0t))=%
1
2
in a
(δ ( f + f0 ) + δ ( f − f0 ))
"
ou
!
Cours!TNS!
i!
23" K.!MINAOUI!
con=nu!
Pr
1.2!!!Filtrage!!!!!
.!K
Le filtrage est une forme de traitement de signal qui modifie le spectre de fréquence et/ou la
phase du signal présent en entrée du filtre et donc par conséquent sa forme temporelle. Il
h
peut s’agir soit :
ali
!  d’éliminer ou d’affaiblir des fréquences parasites indésirables
!  d’isoler dans un signal complexe la ou les bandes de fréquences utiles.
"
d
On classe les filtres en deux grandes familles :
!M
!  les filtres numériques réalisés à partir de structure intégrée microprogrammable
(DSP).
in a
!  les filtres analogiques réalisés à partir de composants passifs (résistance, inductance,
condensateur) ou actifs (AIL).
ou
!
!
Cours!TNS!
i! 24" K.!MINAOUI!
con=nu!
Pr
1.2!!!Filtrage!
.!K
1.2.1"Filtre"
!  Un filtre est un instrument , ou un modèle physique, associant (linéairement) une
"
" h
excitation, ou signal d’entrée, à un signal de sortie
x(t)%
ali %
T% y(t)%
d
"
%
"
1.2.2"Système"linéaire""
!M
!  Un système est linéaire s’il vérifie le principe de superposition, la réponse à une somme
in a
pondérés d’excitations est égale à la somme pondérée des réponses aux excitations
individuelles
ou
T [∑ α i xi (t )] = ∑ α iT [xi (t )]
i i
Cours!TNS!
i!
25" K.!MINAOUI!
con=nu!
Pr
1.2!!!Filtrage!
.!K
1.2.3"Système"temporellement"invariant""
!  Un système est dit invariant dans le temps si la réponse ne dépond pas de l’instant
"
h
d’application ; si y(t) est la réponse de x(t), la réponse de x(t − t0 ) est y (t − t0 ) .
ali
1.2.4"Réponse"impulsionnelle""
d
!  On appelle réponse impulsionnelle du filtre (RI), souvent notée h(t), la réponse du
système à l’application d’une impulsion de Dirac ;
!M
h(t ) = T [δ (t )]
"
in a
!  Cette réponse impulsionnelle h(t) définit le comportement du système;
ou
y (t ) = x(t ) * h(t )
!
!
Cours!TNS!
i!
26" K.!MINAOUI!
con=nu!
Pr
1.2!!!Filtrage!
.!K
1.2.5"Convolu2on"
!  L’opération de convolution est définie comme suit; soit x(t) et y(t), deux fonctions d’une
h
variable t. le signal noté y (t ) = x(t ) * h(t ) est définit par :
ali
x(t)* h(t) = ∫
+∞
−∞
x(u)h(t − u)du
d
!  Le produit de convolution de deux signaux est commutatif :
!M
x(t)* h(t) = h(t)* x(t)
!  Exercice: démontrer cette propriété.

in a
ou
!
!
Cours!TNS!
i! 27" K.!MINAOUI!
con=nu!
Pr
1.2!!!Filtrage!
.!K
1.2.6"Causalité"
!  Un filtre est dit causal, si la sortie ne dépond que des valeurs de l’entrée précédent la
h
sortie. En d’autre terme l’effet ne précède pas la cause. Dans ces conditions on ;
ali
h(t ) = 0, pour t <0
d
1.2.7"Stabilité"
!  Un filtre est dit stable si à toute entrée bornée correspond une sortie bornée.
1.2.8"Fonc2on"de"transfert"" !M
"
impultionnelle :
in a
!  La fonction de transfert d’un filtre est la transformée de Fourier de sa réponse
ou
+∞
H ( f ) = TF [h(t )] = ∫ h(t )e − j 2πft dt
−∞
!
!
Cours!TNS!
i!
28" K.!MINAOUI!
con=nu!
Pr
1.3!!!Energie,!puissance,!corréla=on!
.!K
1.3.1"Energie"et"puissance"en"représenta2on"temporelle
!  Pour un signal x(t) déterministe, à temps continu, à valeurs complexes, on définit les
quantités suivantes :
h
1.  La quantité :
2
ali
x(t ) est appelée « puissance instantanée » du signal x à l’instant t.
T T
2.  L’énergie du signal dans l’intervalle temporel &$− 2 , 2 #! vaut :
d
% "
!M
T /2 2
E x ,T = ∫ x(t ) dt
−T / 2
in a
3.  La puissance moyenne du signal sur cette intervalle vaut :
E x ,T
1 T /2
ou
2
Px ,T = = ∫ x(t ) dt
T T −T / 2
!
Cours!TNS!
i! 29" K.!MINAOUI!
con=nu!
Pr
.!K
1.3.1"Energie"et"puissance"en"représenta2on"temporelle
4.  L’énergie (ou l’énergie totale) du signal vaut :
h ali
+∞
E x = lim E x ,T = ∫ x(t ) dt
T →∞ −∞
2
d !M
5.  La puissance moyenne (totale) du signal vaut :
1 T /2
in a
2
Px = lim Px ,T = lim ∫ x(t ) dt
T →∞ T →∞ T −T / 2
ou
!
Cours!TNS!
i!
30" K.!MINAOUI!
con=nu!
Pr
.!K
1.3.2"Fonc2on"de"corréla2on
Insistons sur le fait que les grandeurs définies ci-dessous concernent les signaux
h
déterministes à énergie finie.
définie par :
ali
!  La fonction d’intercorrélation de deux signaux x(t) et y(t) à valeurs complexes est
+∞
Rxy = ∫ x(t ) y * (t − τ )dt
d
−∞
!M
où le symbole * représente la conjugaison des nombres complexes.
!  La fonction d’autocorrélation d’un signal x(t) est un cas particulier de la fonction

d’intercorrélation
in a
+∞
Rx = ∫ x(t ) x* (t − τ )dt
−∞
ou
!
+∞ 2
en particulier, pour τ = 0 , l’autocorrélation devient : Rx = ∫ x(t ) dt = Ex
−∞
!
!
Cours!TNS!
i!
31" K.!MINAOUI!
con=nu!
Pr
.!K
1.3.3"Théorème"de"Parseval
Ce théorème s’exprime par
h ∫
ali
+∞
−∞
2
x(t) dt = ∫
+∞
−∞
2
X( f ) df
d
!  Ce théorème montre que l’énergie d’un signal peut être calculé soit dans la
représentation temporelle soit dans la représentation fréquentielle.
!M
!  L’énergie d’un signal est répartie dans le temps suivant la puissance instantanée
qu’on peut appelé densité temporelle d’énergie.
2
x(t ) ,
in a
!  La relation de Parseval suggère que cette énergie est répartie sur l’axe fréquentiel avec
une densité spectral d’énergie donnée par
ou
X( f )
2
i!
!
!
con=nu!
Pr
.!K
1.3.4"Densité"spectrale"de"puissance
h
!  On définit la densité spectrale de puissance par la limite
ali S x ( f ) = lim
X(f )
2
d T
T → +∞
!M
!  La densité spectrale de puissance d’un signal à puissance finie est égale à la transformée
de Fourier de sa fonction d’autocorrélation.
in a
S x ( f ) = TF [ Rx (τ )]
ou
!
!
!
Cours!TNS!
i!
33" K.!MINAOUI!
con=nu!
Pr
Exercice 1 :
.!K
Quel est la différence entre la convolution et la corrélation dans le cas d'une fonction
symétrique ( f(x) = (f(-x) ) ?
h
Et dans le cas général?
Exercice 2 :
ali
Calculer l’énergie et la puissance moyenne des signaux :
d
1- la fonction porte d’amplitude 1;
2- x(t) = sin(tw);
!M
Conclure
in a
ou
i!
!

! Pr
.!K !
h ali !
! d
Signaux!numériques!
!M
in a
!
!
!
ou
!
Cours!TNS! 35"
i! K.!MINAOUI!
1.  défini=ons!
Pr
.!K
!  On appelle signal numérique la suite de nombres {x(n)} ou {xn } où n ∈ Ζ dans le cas
général, n ∈ Ν dans la cas des signaux causaux.
h ali
!  Cette suite de nombres provient en général de l’échantillonnage d’un signal analogique.
(quantification).
d
!  Il y a en réalité une double discrétisations; un échantillonnage du temps et de l’amplitude
!M
in a
!  Les signaux numériques forment un espace vectoriel, toutes les opérations relatives à cet
espace sont possibles ;
"  Addition : zn = xn + yn
"  Multiplication par un scalaire :
ou
yn = k .xn
Cours!TNS!
i!
36" K.!MINAOUI!
2.  Echan=llonnage!!
Pr
.!K
2.1!!!Défini=ons!
!  L’échantillonnage est la représentation d’un signal analogique par une suite de valeurs
ponctuels.
h ali
!  On parle d’échantillonnage régulier ou périodique lorsque les prélèvements sont effectués
selon un rythme régulier. L’intervalle Te entre deux échantillons successive est appelé pas
d’échantillonnage et f e = 1 / Te la fréquence d’échantillonnage.
d
2.2!!!Représenta=on!d’un!signal!échan=llonné!idéal!
!M
!  Il est important de noter qu’il n’y a pas d’égalité entre le signal continu et le signal
in a
échantillonné : il s’agit d’une représentation.
!  Le signal échantillonné s’écrit
ou
xe (nTe ) = ∑ x(t)δ (t − nTe )
n
Cours!TNS!
i!
37" K.!MINAOUI!
Pr
.!K
2.3!!!Fréquence!de!Nyquist!et!critère!de!Shannon
!  Pour que le signal ait un intérêt physique, il faut que le signal échantillonné ait un spectre
très proche de celui du signal analogique de départ ; et qu’à partir des échantillons, on
h
puisse le reconstituer.
ali
!  La reconstitution du signal impose une condition sur la fréquence d’échantillonnage pour
d
éviter le problème de recouvrement des spectres « overlapping » ou repliement de spectre.
!M
!  La condition pour que ce recouvrement soit absent repose sur le fait que le signal doit
posséder un spectre qui s’étend de − Fm à Fm avec Fe ≥ 2 Fm .
in a
!  La fréquence Fe/2 est appelée fréquence de Nyquist et la condition d’échantillonnage est
appelée critère de Shannon.
ou
!
Cours!TNS!
i!
38" K.!MINAOUI!
Pr
.!K
2.3!!!Fréquence!de!Nyquist!et!critère!de!Shannon!
h ali
d !M
in a
ou
i!
!
!
Pr
.!K
2.4!!!Reconstruc=on!du!signal!
!  Plaçons nous dans le cas où la condition de Shannon est satisfaite (Fe > 2Fm). On doit
donc pouvoir reconstruire le signal d’origine.
h ali
!  La multiplication du spectre X ( f ) par une porte de largeur Fe et d’amplitude 1 / Fe
permet de retrouver le spectre de départ, soit
1
Et par TF inverse d X ( f ) = X e ( f ). Π Fe ( f )
!M
Fe
sin(πFet )
in a
x(t ) = ∑ x(nTe ).δ (t − nTe ) *
n πFet
Ainsi le signal continu initial x(t) peut s’écrire sous la forme
x(t ) = ∑ x(nTe ).
n
ou
sin πFe (t − nTe )
πFe (t − nTe )
!
Cours!TNS!
i!
40" K.!MINAOUI!
3.  Comparaison!numérique!
analogique!
Pr
.!K
3.2!!!Intégrale!et!moyenne!
Dans le cas de signaux discrets, il faut remplacer le signe ∫ par le signe somme ∑ , et ainsi,
h
les relations d’intégrale et de moyenne deviennent
b
ali k=m
d
∫ x(t)dt  ∑x k où a = nTe, b = mTe
a
!M
k=n
1 k=m
in a
1 b
∫ x(t)dt  ∑ xk
T a
N k=n
Où
ou
N = m − n + 1 pour tenir compte des deux extrémité du signal
Cours!TNS!
i!
41" K.!MINAOUI!
analogique!
Pr
.!K
3.1!!!Convolu=on!et!corréla=on!
Dans le cas idéal d’une infinité d’échantillons, les relations donnant la convolution deviennent
h x(t)* y(t) = ali

∫
+∞
x(u)y(t − u)du  xn * yn =
k=+∞
∑ x(k).y(n − k)
d
−∞
k=−∞
et la corrélation
!M
Rxy = ∫
+∞
−∞ in a
x(u)y* (u − t)du  Rxn yn =
k=+∞
∑ x(n).y(n − k)
k=−∞
ou
!
Cours!TNS! 42"
i! K.!MINAOUI!
analogique!
Pr
.!K
3.3!!!Transforma=on!de!Fourier!Discrète!(TFD)!
Considérons x (n) une séquence périodique sur N échantillons, et considérons la suite de
h
Fourier discrète X (k ) donnée par
ali N −1
X (k ) = ∑ x(n)e − 2 jπ ( kn ) / N
d !M
n =0
La transformée de Fourier Discrète inverse (TFDI) est donnée par
x ( n) =in a
1 N −1
∑ X ( k )e 2 jπ ( kn ) / N
ou
k =0
Cours!TNS!
i!43" K.!MINAOUI!
3.  Comparaison!numérique!analogique!
Pr
Exercice 1 :
.!K
Soit les deux fonctions réelles du temps f (t) et g(t) dont on veut déterminer
la convolution y(t) = f (t) g(t) (Fig.1).
h ali
•  Déterminer l’intervalle de temps sur lequel la valeur de y(t) est non
nulle.
•  Déterminer le ou les instant(s) où y(t) atteint son maximum.
d
•  Calculer y(t) et donner son allure graphique.
!M
in a
ou
!
Cours!TNS!
i!
44" K.!MINAOUI!
3.  Comparaison!numérique!analogique!
Pr
Exercice 2 :
.!K
Soit!X(!f%)!le!spectre!(Transformée!de!Fourier)!représenté!en!Fig.1Ba!d’un!signal!audio!con4nu!x(t).!
1.!On!décide!de!numériser!ce!signal!x(t)!à!une!fréquence!Fe%=!22!kHz.!Donner!l’expression!du!
signal!échan4llonné!xTe(t),!en!fonc4on!de!x(t)!et!du!peigne!de!Dirac.!
h
2.!Tracer!le!spectre!XFe(!f%)!du!signal!échan4llonné!xTe(t)!dans!l’intervalle![B37!;37]!kHz.!
ali
3.!Que!se!passeBtBil!dans!l’intervalle![7!;15]!?!
4.!Soit!un!système!physique!(S)!caractérisé!par!la!fonc4on!H(!f%)!comme!illustré!en!Fig.1Bb.!
Comment!appelleBtBon!la!fonc4on!H(!f%)!?!
d
5.!Tracer!le!spectre!de!la!fonc4on!Y(!f%)!donné!en!sor4e!du!système!S!représenté!en!Fig.1Bc.!
6.!Tracer!le!spectre!YFe(!f%)!du!signal!échan4llonné!yTe(t)dans!l’intervalle![B37!;37]!kHz.!
!M
in a
ou
!
FIGURE!1!–!(a)!:!spectre!du!signal!audio.!(bBc)!:!caractéris4ques!fréquen4elles!du!système!S!
!
i!
!
!

4.  Quan=fica=on!!
Pr
.!K
4.1!!Défini=on!
!
h
!  La quantification est le processus de représentation d’un grand ensemble de valeurs (voire
infini) avec des valeur d’un ensemble plus petit.
ali
!  La quantification consiste à représenter un signal avec un ensemble fini de symboles.
Exemple!:!!
d !M
!  Source: nombre réels de [-10.0, 10.0]; cet inetrvale contient une infinité de valeur réelles
entre -10 et 10.
!  Quantification: Q(x)=round(x).
in a
!  [-10.0, 10.0]#{-10, -9, ...,-1, 0, 1, ..., 9, 10}.
!
ou
!
Cours!TNS!
i!
46" K.!MINAOUI!
Pr
.!K
4.2!Quan=fica=on!Uniforme!:!principe!
!  Chaque échantillon est arrondi au niveau de quantification le plus proche.
!
valeurs.
h
!  La quantification est dite uniforme si le pas de quantification est identique pour toutes les
ali Signal!con4nu!
d
Signal!échan4llonné!
! Signal!échan4llonné!quan4fié!
!M
in a
ou
!
!
!
Cours!TNS!
i!
47" K.!MINAOUI!
Pr
.!K
4.2.1!Quan=fica=on!Uniforme:!!Pas!de!quan=fica=on!
!  Soit D la plage dynamique du quantificateur.
h
Signal!con4nu!
!
ali Signal!échan4llonné!quan4fié!
Signal!con4nu!
d
Signal!échan4llonné!quan4fié!
!M
in a
ou
!  La quantification se fait à B bits sur 2B niveaux.
D
!  Le pas de quantifications (Écart entre 2 niveaux consécutifs) est: q=Δ= B
i!
! 2
!
!
Pr
.!K
•  4.2.2!Quan=fica=on!Uniforme:!!Mapping!entréeWsor=e!de!quan=fica=on!!
Midrise!
!
h ali
Midtread!
d !M
!
in a
Δ  = 1.0
!
ou
!
Cours!TNS! 49"
i! K.!MINAOUI!
Pr
.!K
•  4.2.3!Quan=fica=on!Uniforme:!!Erreur!de!quan=fica=on!!
!  L’erreur ou bruit de quantification est définie par :
!
h ε (t ) = xe (t ) − xq (t )
ali
Avec ; xe(t) : signal échantillonné non quantifié
d
xq(t) : signal échantillonné quantifié
!M
Plus le pas de quantification est petit plus l’erreur est petite.
PS
Où : Ps est la puissance du signal in a

!  Le rapport signal sur bruit de quantification est : SNRq =
PB
ou
PB est la puissance du bruit de quantification
!
!
Cours!TNS!
i!
50" K.!MINAOUI!
Pr
.!K
•  4.2.3!Quan=fica=on!Uniforme:!!Erreur!de!quan=fica=on!
!  !Erreur!de!quan4fica4on%:%;%Δ%/2%≤%ε(t)%<+%Δ%/2%
h ali
d !M
in a
!  La puissance moyenne du bruit de quantification peut s’écrire :
Δ/2 2
Δ
PB = ∫ ε 2 . f (ε ).dε =
!
ou
−Δ/2 12
1
où f(ε) désigne la densité de probabilité de ε, supposée constante : f (ε ) = = Cte
i!
Δ
!

Pr
.!K
4.3!Quan=fica=on!NonWUniforme
!  Motivation : Quantification uniforme # le SNR est proportionnel à la puissance du signal
et donc il est non constant (peut devenir très faible!)
h ali
d !M
! in a
ou
!  Solution : Quantification non uniforme #
Δ dépend de l’amplitude du signal
i!
Erreur de quantification non constante
!

Pr
.!K
4.3!Quan=fica=on!NonWUniforme!:!!Compression!logarithmique!
!  Il sagit de réalisé une compression suivie d’une quantification # Pré-traitement des
h
valeurs et conservation d’un quantificateur simple
ali
!  Les faibles amplitudes sont « amplifiées » ou « favorisées » par rapport aux fortes valeurs
d !M
in a
!
ou
!
Cours!TNS!
i!
Loi de compression logarithmique
53" K.!MINAOUI!
Pr
.!K
4.3!Quan=fica=on!NonWUniforme!:!!Compression!logarithmique%
1
h ali
On! peut! établir! une!
c o r r e s p o n d a n c e!
s i m p l e! e n t r e! l a!
d
quan4fica4on! sur! 12!
bits! et! la! compression!
!M sur!8!bits.!!
!
in a
!
ou
! !
Cours!TNS!
i!
54" K.!MINAOUI!
Pr
4.3!Quan=fica=on!NonWUniforme!:!!Compression!logarithmique!
%
.!K
h ali
! d !M
in a
ou
i!
!
!
Pr
.!K
4.4!Chaine!de!conversion!analogiqueWnumérique!(CAN)!et!numérique(CNA)!
analogique!!
h Filtre
ali
Anti-repliement
Echantillonnage/
Blocage
CAN
d !M Processeur
Numérique
in a
ou
Filtre
De reconstruction
CNA
Cours!TNS!
i!
56" K.!MINAOUI!
! Pr
.!K !
h ali
!
! !Md
Signaux!aléatoires!(stochas=ques)!
!
in a
!
ou
!
Cours!TNS! 57"
i! K.!MINAOUI!
1.  introduc=on!
Pr
!  La quasi-totalité des signaux extraits de phénomène réels présentent un aspect aléatoire.
.!K
h ali
d !M
in a
!  Un signal aléatoire est un signal x(n) qui, comme son nom l’indique, varie aléatoirement
en fonction du temps, en particulier sa valeur à un instant n ne peut pas être prédite.
!  Le fais qu’on étudie nécessairement des signaux qui ne sont pas parfaitement prévisibles
ou
nous amène à étudier les caractéristiques principales des signaux aléatoires et les bases
de probabilités nécessaires à cette étude.
Cours!TNS!
i!
58" K.!MINAOUI!
2.  Rappels!de!sta=s=que!nécessaire!
au!TS!
Pr
2.1!!!Variables!aléatoires!WMoments!
!
.!K
!  Considérons un processus aléatoire ω décrit dans l’espace des épreuves Ω .
h
On appelle : variable aléatoire discrète (resp. réelle), l’application de Ω dans Z (resp.
dans R) définie par :
ali Ω→Ζ
ω  x(ω ) ∈ Ζ
d !M
!  Une variable aléatoire est caractérisé par sa densité de probabilité (ou loi de probabilité)
p(x)
in a
!  Soit x une variable aléatoire et soit p(x) sa loi. On appelle,
le moment d’ordre m de x:
ou
+∞
m m
E ( x ) = ∑ x p( x) &$ resp. x m
p ( x ) dx #!
x % ∫−∞ "
!
Cours!TNS!
i!
59" K.!MINAOUI!
au!TS!
Pr
.!K
Moyenne de x ou espérance de x
+∞
E ( x) = ∑ xp ( x) resp E ( x) = ∫ xp ( x)dx
h
Moment d’ordre 2 :
ali
x
−∞
d
+∞
2 2
E ( x ) = ∑ x p( x) resp E ( x ) = ∫ x 2 p( x)dx
2
!M
−∞
x
Variance
in a
+∞
σ (x) = ∑ (x − E(x)) p(x)
2 2
resp 2
σ (x) = ∫ −∞
(x − E(x))2 p(x)dx
x
ou
!  La racine carrée de σ 2 ( x) est appelée écart-type de x.
N
!  Nq: ∑ xp ( x) = ∑ x(n) p( x) ; Estimation à partir de N réalisation de x(n).
i!
x n =0
!

au!TS!
Pr
.!K
Variance : on peut vérifié que
h ali
σ 2 ( x) = E ( x 2 ) − E ( x) 2
Corrélation: pour caractériser la relation entre deux variables aléatoire, on étudie leur
d
corrélation qui s’écrit en fonction de la densité de probabilité conjointe du couple aléatoires :
N −1
!M
+∞ +∞
E ( xy ) = ∫ ∫ xyp( x, y )dxdy resp E ( xy ) = ∑ x(n) y (n) p( x, y )
−∞ −∞
n =0
in a
!  On définit le coefficient de corrélation par
E ( xy )
ou
r= ⇒ −1 ≤ r ≤ 1
2 2
!
E(x )E( y )
!
!
Cours!TNS!
i!
61" K.!MINAOUI!
au!TS!
Pr
.!K
Corrélation:
h ali
!  Si r=0 on dit que les variables x(n) et y(n) sont orthogonales.
!  Si r=±1 on dit qu’il y a dépendance linéaire entre les deux signaux.
d
!  Si les variables aléatoires sont centrées et indépendantes, alors
!M
p( x, y) = p( x) p( y) et E( xy) = 0
2
in a
!  Les estimations de E ( x), E ( x ) et E ( xy ) sont d’autant meilleurs que N est grand.
ou
!
Cours!TNS! 62"
i! K.!MINAOUI!
au!TS!
Pr
2.2!!!Lois!de!probabilité!
.!K
2.2.1"Loi"uniforme"con2nue"
La densité de probabilité p(x) est définie par
.
p ( x) =
1
b−a
si a< x<b
h
a+b
Propriétés : E ( x ) =
2
2
σ ( x) =
ali
(b − a) 2
12
2.2.2"Loi"binomiale"discrète"
d !M
Une expérience avec deux issues possibles (succès et échec) effectué dans un environnement
industriel peut être réalisé avec une probabilité p. Appelons P(x =k) la probabilité pour qu’il
in a
y ait k succès au cours des N expériences consécutives. On montre alors que cette probabilité
s’écrit : k k
P ( x = k ) = C N p (1 − p )N −k
Propriétés : E ( x) = Np
σ 2 ( x) = Np (1 − p) ou
!
Cours!TNS!
i!
63" K.!MINAOUI!
au!TS!
Pr
"
.!K
2.2.3"Loi"de"Poisson"
Considérons un événement pouvant apparaître avec une probabilité p. La probabilité pour
h
que cet événement apparaisse k fois au cours de N expériences successives est donnée par la
loi de Poisson,
ali P(x = k) =
(Np)k − Np
e
Propriétés : E(x) = Np
d !M
k!
σ (x) = Np
in a
ou
!
Cours!TNS!
i!
64" K.!MINAOUI!
au!TS!
Pr
.!K
2.2.4"Processus"gaussiens"
!  Les processus gaussiens possèdent un certain nombre de propriétés remarquables qui en
font des processus permettant d’être facilement intégrés dans une problématique
h
industrielle.
ali
!  Un processus aléatoire x sera dit gaussien si sa loi s’écrit :
1 (x − m)2
d
Px = exp(− 2
)
σ 2π 2σ
On montre que E ( x) = m,
!M
E ( x 2 ) = σ 2 ( x) = σ 2
E ( xy ) = σ ( x)σ ( y ) in a
ou
!
!
Cours!TNS! 65"
i! K.!MINAOUI!
3.  Moyenne"et"Variance"de"signaux"
aléatoires!
Pr
3.1!Défini=on!
.!K
!  Les signaux aléatoires étant considérés comme des variables aléatoires indexées par le
h
temps, on définit la moyenne m(t) par
ali
m(t ) = E ( X (t , x)) = ∑ xk P( X = xk ) cas discret,
k
d
= ∫ x(t ) p( x, t )dx cas continu.
!M
Ω
!  Les signaux aléatoires étant considérés comme des variables aléatoires indexées par le
in a
temps, on définit la variance par
σ 2 (t ) = E ([ x(t ) − m(t )]2 ) = ∑ ( xk − m(t ))2 P( X = xk ) cas discret,

k
Ω
ou
= ∫ ( x − m(t ))2 p( x, t )dx cas continu.
Cours!TNS!
i!
66" K.!MINAOUI!
aléatoires!
Pr
3.2!Sta=onnarité!
.!K
!  Un signal aléatoire x(t,) est dit stationnaire du 2ème ordre si sa moyenne et sa variance
h
est indépendante du temps
E ( x(t )) = m,
ali σ 2 (t ) = σ 2 Même moyenne et variance
d !M
in a
ou
!
Cours!TNS!
i!
67" K.!MINAOUI!
aléatoires!
Pr
3.3!Ergodicité!
.!K
!  Un processus est ergodique à l’ordre N si les moyennes temporelles jusqu’à l’ordre N
h
sont indépendantes du choix de la réalisation
ali
d !M
in a
ou
Remplacer la moyenne statistiques par une moyenne temporelles sur une réalisation
Cours!TNS!
i!
68" K.!MINAOUI!
aléatoires!
Pr
3.4!Fonc=on!de!covariance!temporelle!
.!K
!  Considérons pour généraliser un signal complexe x(t). La fonction de covariance est
h
définie par
ρ (t1, t2 ) = E[x(t1 )x * (t2 )]− m(t1 )m* (t2 )
ali
!  Si x(t) est un signal stationnaire au 2ème ordre, la fonction de covariance ne dépond que
de τ = t1 − t2
d
ρ (t1, t2 ) = ρ (t1 − t2 ) = ρ (τ )
!M
3.5!Fonc=on!de!corréla=on!ou!d’autocorréla=on!
in a
!  Cette fonction est une fonction fondamentale en traitement du signal : elle permet de
caractériser un signal aléatoire de façon plus fine que la moyenne ou la variance.
!  Elle permet de comparer le signal à un instant t en fonction des propriétés qu’il avait à
ou
l’instant t − τ. Elle est donc définie par
r (τ ) = ρ (t , t + τ ) = E ( x(t ) x* (t + τ ))
!
Cours!TNS!
i!
69" K.!MINAOUI!
aléatoires!
Pr
3.5!Propriétés!de!la!fonc=on!d’autocorréla=on!
.!K
!  La fonction d’autocorrélation passe par son maximum pour τ = 0 et on
h ali r (0) = σ 2
d
!  Si on calcule r (−τ ) = E[ x(t ) x(t − τ )] et qu’on pose u = t − τ
!M
r (−τ ) = E ( x(u + τ ) x(u )) = r (τ )
in a
#La fonction d’autocorrélation est symétrique.
ou
!
Cours!TNS!
i!
70" K.!MINAOUI!
4.  Énergie"et"puissance"des"signaux"
aléatoires!
Pr
4.1!Défini=ons!
.!K
!  Si x(t) est stationnaire, on peut calculer l’espérance de la puissance instantanée par
h E ( Px ) = E ( x(t ) x* (t )) = ρ (t , t ) = ρ (0) = P = σ 2
ali
ce qui conduit à un résultat très important :
La puissance d’un signal aléatoire stationnaire est constante et est égale à la variance
d
du signal aléatoire.
!M
4.2!Densité!spectrale!de!puissance!(DSP)!ou!spectre!de!puissance!
in a
!  On appelle densité spectrale de puissance d’un signal stationnaire la transformée de
Fourier de sa fonction d’autocorrélation
S xx ( f ) = TF [r (τ )]
ou
Ce résultat est fondamental : il permet de relier les propriétés spectrales et les propriétés
statistiques des signaux
Cours!TNS!
i!
71" K.!MINAOUI!
4.  Énergie"et"puissance"des"signaux"
aléatoires!
Pr
4.3!Exemples!de!signaux!aléatoires!:!Bruit!blanc!
.!K
!  On l’appelle "bruit blanc" car sa densité spectrale de puissance est constante.
h
!  la fonction de corrélation est donnée par un delta de Dirac et la densité spectrale est
constante.
ali
(t )
d
x!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! r (τ ) = δ (!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!M
τ)
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
S xx ( f )
in a f!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ou
!  C’est un signal dont les échantillons sont décorrélés et sa puissance est constante dans
toute bande de fréquence.
Cours!TNS!
i! 72" K.!MINAOUI!
5.  Es2ma2on"de"la"moyenne"et"la"
corréla2on!
Pr
On"suppose"ici"que"les"signaux"sont"sta2onnaires"et"ergodiques."
.!K
!
5.1!Es=ma=on!de!la!moyenne
!  L’estimateur de la moyenne d’un signal numérique aléatoire est
h ali mˆ =
1
N
N −1
∑ x(k )
k =0
d
Cet estimateur est non biaisé et consistant (s’améliore quand N croît)
5.2!Es=ma=on!de!l’autocorréla=on
!M
in a
!  L’estimateur de la fonction d’autocorrélation d’un signal numérique aléatoire est
N − τ −1
1
Rxx (τ ) = ∑ x(k )x(k + τ )
N
ou
k =0
i!
Cet estimateur est biaisé mais consistant (s’améliore quand N croît)
!

5.  Es2ma2on"de"la"moyenne"et"la"
corréla2on!
Pr
5.3!Es=ma=on!de!l’intercorréla=on!
.!K
!  L’estimateur de la fonction d’’intercorrélation de deux signaux numériques aléatoires est
h $ 1 N −τ −1
ali
! N ∑ x(k ) y (k + τ )
k =0
pour 0 ≤τ ≤ N
d
!
Rxy (τ ) = #
! 1 N −1
! ∑ x(k ) y (k + τ ) !M pour − N ≤τ ≤ 0
" N k =−τ
in a
ou
Qui tient compte de la non symétrie de l’intercorrélation.
Cours!TNS!
i!
74" K.!MINAOUI!
6.  Formule"de"filtrage"des"processus"
aléatoires"SSL!
Pr
6.1!Défini=on!
.!K
!  On appelle processus aléatoire Stationnaire au sens Large (SSL) une suite de variables
aléatoires x(t ), t ∈ Ζ , telles que :
h ali
1.  E[ x(t )] = mx Indépendant de t,
2. 
2
E[ x(t ) ] < ∞ , d !M
3.  in a
Rxx (τ ) = E ( x(t + τ ) x* (t )) ne dépond que de l’écart de temps τ ∈ Ζ
ou
!
Cours!TNS!
i!
75" K.!MINAOUI!
aléatoires"SSL!
Pr
6.1!Formule!de!filtrage!
.!K
!  Soit x (t ) un processus à temps discret, SSL, de moyenne mx et de fonction
d’autocorrélation Rxx (τ ), et soit y (t ) la sortie d’un filtre, de réponse impultionnelle h (t ) ,
excité par x (t ) . Une condition pour que le somme,
h ali
y (t ) = x(t ) * h(t ) =
+∞
∑ h(t − s) x(s) = ∑ h(s) x(t − s)

s = −∞
+∞
s = −∞
1.  y (t ) est SSL, d

existe, est que h (t ) soit de module sommable, càd
!M
∑ s
h( s) < ∞ . Ainsi :
3.  Sa moyenne est donnée par my = mx

in a ∑
+∞
s = −∞
h( s ) ,
ou
4.  Sa fonction d’autocorrélation est donnée par
+∞ +∞
*
Ryy (τ ) = ∑ ∑ h ( n ) h ( s)Rxx (τ + n − s)
!
Cours!TNS!
s = −∞n = −∞
i!76" K.!MINAOUI!
aléatoires"SSL!
Pr
6.1!Formule!de!filtrage!
4. 
.!K
La fonction d’intercorréaltion entre y(t) et x(t) est donnée par
h ali
Ryx (τ ) =
+∞
∑R
s = −∞
xx (τ − s)h( s )
5. 
d
Si le processus x(t) possède une d.s.p, on aura
!M
S yy ( f ) = H ( f ) H * ( f ) S xx ( f )
et
in a
S yx ( f ) = H ( f ) S xx ( f )
ou
Où H(f) désigne la transformée de Fourier à temps discret de h(t).
Cours!TNS!
i! 77" K.!MINAOUI!
7.  Applica2ons"des"formules"de"
filtrage!
Pr
! 
.!K
Filtre adapté (Télémétrie Radar, Détection des craquements, )
! 
! 
h
Filtre moyenneur (réduction de la variance )
ali
Filtre dérivateur (préaccentuation )
! 
d !M
Processus autorégressifs discrets réels (prédiction linéaire , parole ,)
in a
ou
!
Cours!TNS!
i!
78" K.!MINAOUI!
filtrage!
Pr
7.1!Filtre!adapté!
! 
.!K
Dans certaines applications, on est amener à décider de la présence ou de l’absence
d’un signal .
!  h ali
Déterminer le traitement
l’absence du signal .
linéaire adéquat pour décider de la présence ou de
! 
d !M
Le signal émis x(t) d’énergie, E x = ∑x
+∞
t = −∞
2
(t ) qui parcourt la distance d
jusqu’à la cible, sur laquelle il est réfléchit en direction d’ un récepteur:
!  in a
A la réception , on reçoit le signal bruité :
ou
r (t ) = x(t ) + b(t )
et on s’impose la structure suivante:
!
Cours!TNS!
i!
79" K.!MINAOUI!
filtrage!
Pr
7.1!Filtre!adapté!
! 
.!K
Le signal reçu est passé à travers un filtre linéaire de réponse impulsionnelle h(i), à
déterminer .
! 
h ali
On observe la sortie de ce filtre à l’instant k ; on obtient la valeur scalaire :
d
+∞
y( K ) = ∑ h(K − t )r (t )
t = −∞
+∞
!M +∞
=
t = −∞
in a
∑ h(K − t ) x(t ) + ∑ h(K − t )b(t )
t = −∞
! 
ou
On décide de la présence ou de l’absence d’un signal à l’instant k, en comparant y(k)
à un seuil .
!
Cours!TNS!
i!
80" K.!MINAOUI!
filtrage!
Pr
7.1!Filtre!adapté!
! 
.!K
Maximisation du critère « rapport signal /bruit », défini par :
h
+∞ 2
∑ h(K − t)x(t)
ali p= t=−∞
2
+∞
∑
2
d
σ h(t)
!M
t=−∞
!  En utilisant l’inégalité de Schwarz , on obtient :

+∞ +∞
in a
2 2
∑ h(t) ∑ x(K − t) Ex
t=−∞ t=−∞
p≤ +∞
= 2
2 σ
ou
σ 2 ∑ h(t)
t=−∞
i!
où Ex est l’énergie du signal x(t) .
!

filtrage!
Pr
7.1!Filtre!adapté!
! 
.!K
L’égalité est atteinte lorsque h(t) et x(K-t) sont colinéaires:
h ali
h(t ) = λx( K − t )
! 
d
Le filtre optimal a une réponse impulsionnelle égale à la copie retournée et décalée
dans le temps du signal x(t) .
!M
in a
!  En ce sens, le filtre est adapté au signal d’entrée .
!  La relation de filtrage de r(t) avec une « copie retournée » équivaut en fait à effectuer
ou
une inter corrélation (au sens déterministe):
Cours!TNS!
i!
82" K.!MINAOUI!
filtrage!
Pr
7.1!Filtre!adapté!
.!K y(t) =
+∞ +∞
∑ h(u)r(t − u) = ∑ x (K − u)r(t − u)
*
h =
u=−∞
+∞
ali
*
u=−∞
+∞
∑ x (K + n)r(t + n) = ∑ x (K − t + n)r(n)
*
d
n=−∞ n=−∞
Soit
!M
y(t) = Rrx (K − t)
in a
!  Le récepteur optimal consiste donc à calculer l’intercorrélation entre le signal reçu y(t) et
ou
le signal attendu x(t). On parle alors souvent de récepteur à corrélation .
!
!
Cours!TNS!
i!
83" K.!MINAOUI!
filtrage!
Pr
7.2!Filtre!moyenneur!
.!K
!  La moyenne sur N échantillons consécutifs d’un signal est
h ali
1 n+( N −1)
y ( n) = ∑ x ( k )
N k =n
par :
# 1
% d
!  Cette opération est un filtrage linéaire numérique de réponse impulsionnelle h(n) définie
pour
!M {i ∈ n,..., n + N −1}
in a
%% N
h(i) = $
%
0 pour si non
ou
%
%&
Cours!TNS!
i!
84" K.!MINAOUI!
filtrage!
Pr
.!K
!  Le gain en fréquence est
N −1
H ( f ) = ∑ h( n)e − 2 jπkf
h
k =0
ali =
1 − jπ ( N −1) f sin( Nπf )
N
e
sin(πf )
2
N sin (πf )
d
!  La d.s.p, par application de la formule de filtrage est
1 sin 2 ( Nπf )
Sy ( f ) = 2
!M
Sx ( f ) avec f ∈[−1 / 2,1 / 2]
in a
!  Pour une entrée x(n) aléatoire centrée, blanche de d.s.p σ x2 , la puissance en sortie est :
ou
2 2
Py = σ x ∑ H( f )
f
Cours!TNS!
i! 85" K.!MINAOUI!
filtrage!
Pr
.!K
!  La formule de Parseval
k
2
∑ x( k ) = ∑ X ( f )
f
2
donne :
h ali 2
N−1
1 2
Py = σ ∑ h (n) = σ x2
d
n=0
x
N
!M
in a
!  L’opération de moyenne sur N échantillons réduit la variance d’un rapport N.
ou
!
Cours!TNS!
i!
86" K.!MINAOUI!
filtrage!
Pr
7.3!Filtre!dérivateur!!
.!K
!  Soit x’(t) le processus aléatoire dérivé de x(t) .
h
!  Au premier ordre , on a :
ali d
E ( x' (t )) = E ( x(t )) = 0
dt
d !M
!  Transformée de fourrier de la dérivée , est la multiplication par 2 jπf
in a
!  Le dérivateur est un filtre linéaire de gain en fréquence H ( f ) = 2 jπf
!  La fonction d’autocorrélation à la sortie est :
Rx ' x ' (τ ) =
ou
d 2 Rxx (τ )
dt 2
!
Cours!TNS!
i!
87" K.!MINAOUI!
filtrage!
Pr
7.3!Filtre!dérivateur!!
.!K
!  La d.s.p a pour expression :
h 2 2
S x ' ( f ) = 4π f S x ( f )
ali
d !M
in a
ou
!
!
Cours!TNS! 88"
i! K.!MINAOUI!
Pr !
.!K
h Filtrage!numérique!
ali
!
!Md
in a
ou
!
Cours!TNS! 89"
i!
K.!MINAOUI!
1.  Principes"généraux"
Pr
1.1!Rappels!sur!les!no=ons!de!filtrage!
! 
.!K
Objectifs de la fonction Filtrer les signaux :
Sélectionner une bande de fréquence comprise dans un signal.
h
!  Différents types de filtre - Gabarit :
ali
d !M
in a
! 
ou
Objectif général : concevoir un filtre linéaire ayant la réponse en fréquence
souhaitée et réalisable simplement .
Cours!TNS!
i!
90" K.!MINAOUI!
1.  Principes"généraux"
Pr
1.2!Avantages/Inconvénients!du!filtrage!numérique!
! 
.!K
Avantages des filtres numériques / analogiques :
"  Pas d’utilisation de composants discrets tels que R, C et L;
" 
" 
hPas de modification par conséquent des caractéristiques du filtre;
ali
Possibilité d’obtenir des filtres d’ordre très élevé sans difficulté (100 à 200), donc des
atténuations très importantes.
! 
d !M
Inconvénients des filtres numériques / analogiques :
"  Echantillonnage du signal d’entrée analogique => Choix de la fréquence d’échantillonnage
" 
in a
Fe (dans tous les cas, il faut respecter le théorème de Shannon);
Calcul parfois complexe pour obtenir la fonction de transfert du filtre numérique;
ou
"  Nécessite un calculateur puissant;
"  S’assurer de la stabilité du filtre numérique en fonction de la quantification des
Cours!TNS!
i!
coefficients et de la fréquence d’échantillonnage.
91" K.!MINAOUI!
1.  Principes"généraux!
Pr
1.3!Principe!des!filtres!numériques!
.!K
h ali Filtre!numérique!
d !M
Le filtre numérique transforme la suite d’échantillon d’entrée x(nTe) en une suite
d’échantillon y(nTe).
xnTe! in a
Filtre! ynTe!
ou
numérique!
Cours!TNS!
i!
92" K.!MINAOUI!
2.  Représenta2ons"des"filtres"
numériques!
! 
PrLes filtres numériques possèdent aussi leurs représentations :
.!K
" 
" 
Relation de récurrence;
Fonction de transfert en z appelé aussi transmittance.
! 
h ali
En analogique : Equation différentielle, et Fonction de Transfert en jω (Fourier)
2.1!Représenta=on!du!filtre!numérique!par!sa!rela=on!de!récurrence!:!!
d N
!M
M
∑ a . y ( n − k ) =∑ b .x ( n − j )
k =0
k
j =0
j
in a
!  Où :
"  les ak et bj des coefficients dépendant du type de filtre numérique réalisé;
ou
"  x(n-j) représente l’échantillon de l’entrée, j coups d’horloge précédent;
"  y(n-k) représente l’échantillon de la sortie, k coups d’horloge précédent.
Cours!TNS!
i!
93" K.!MINAOUI!
numériques!
Pr
2.1!Représenta=on!du!filtre!numérique!par!sa!rela=on!de!récurrence!:!!
.!K
Exemple : 2. y(n) + 0, 2. y(n −1) = 1,5.x(n) − 0, 48.x(n −1) + 0,12.x( n − 2)
! 
" 
h
On distingue 2 types de filtre numérique :
ali
Si N=0 : on parle de filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF ou FIR en anglais).
! 
" 
d
Si N≥1 : on parle de filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII ou IIR en anglais).
Exemple de filtre numérique RIF :

!M
!  Exemple de filtre numérique RII : in a
y (n) = y (nTe) = 0, 2.x(n) + 1,5.x(n − 1) − 0, 48.x(n − 2) − 0,12.x(n − 3)
ou
y (n) = 1,3.x(n) + 0, 26.x(n − 1) − 0, 08. y(n − 1) − 0, 79. y(n − 2)
Cours!TNS!
i!
94" K.!MINAOUI!
numériques!
Pr
2.1!Représenta=on!du!filtre!numérique!par!sa!Fonc=on!de!Transfert!en!z!:!!
! 
.!K
A l’image de la Transformée de Fourier en analogique de variable w, il existe aussi
une transformée en numérique appelé Transformée en Z de variable z.
! 
h ali
La transformée en Z est développé en annexe de ce cours.
! 
d
La Fonction de Transfert d’un filtre numérique peut donc s’écrire par :
!M Y ( z)
in a
H ( z) =
X ( z)
En numérique
ou
!
Cours!TNS!
i!
95" K.!MINAOUI!
numériques!
Pr
! 
.!K
Exemple de Fonction de Transfert en z d’un filtre numérique RII :
h
y (n) = 1,3.x(n) + 0, 26.x(n − 1) − 0, 08. y(n − 1) − 0, 79. y(n − 2)
ali
d
!  Méthode
" 
!M
On transforme les u(n-k) par z-k .U(z);
in a
"  On regroupe tous les termes en X(z) ensemble et les termes en Y(z) ensemble;
"  On établit ensuite la fonction de transfert H(z)=Y(z)/X(z).
! 
ou
L’opérateur z-1 représente un retard d’un échantillon.
Cours!TNS!
i!
96" K.!MINAOUI!
numériques!
Pr
! 
.!K
Pour notre exemple
on aura h
y (n) = 1,3.x(n) + 0, 26.x(n − 1) − 0, 08. y(n − 1) − 0, 79. y(n − 2)
ali
d
Y ( z ) = 1,3. X ( z ) + 0, 26.z −1. X ( z ) − 0,08.z −1.Y ( z) − 0,79.z −2 .Y ( z)
!M
Y ( z). (1 + 0,08.z −1 + 0,79.z −2 ) = X ( z). (1,3. + 0, 26.z −1 )
in a
La Fonction de Transfert en z est donc : H ( z) =
Y ( z)
=
1,3 + 0, 26.z −1
X ( z ) 1 + 0,08.z −1 + 0,79.z −2
ou
Ou encore en fonction des puissances positives de z : H ( z ) =
Y ( z)
=
z. ( 0, 26 + 1,3.z )
X ( z ) 0,79 + 0,08.z + z 2
!
Cours!TNS!
i!
97" K.!MINAOUI!
3.  Stabilité"des"filtres"numériques!
Pr
3.1!Théorème!de!stabilité!(non!démontré)!:!!
! 
.!K
Un filtre numérique est stable si tous les pôles de la Fonction de Transfert en z sont
à l’intérieur du cercle unité.
! 
!  h
Pour étudier la stabilité d’un filtre numérique de Fonction de Transfert H(z), il faut
ali
déterminer l’ensemble des pôles de celle-ci.
Par conséquent, il faut rechercher les racines du dénominateur pour l’écrire sous la
( )( ) (
forme : Den ( z ) = z − z1 . z − z 2 ... z − z n )
! 
d
Et vérifier que tous les pôles zi sont bien dans le cercle unité (module < 1).
!M
in a
ou
!
Cours!TNS!
i!
98" K.!MINAOUI!
3.  Stabilité"des"filtres"numériques!
Pr
3.2!Exemple!de!vérifica=on!de!la!stabilité!d’un!filtre!RII!:!!
.!K
Reprenons l’exemple précédent où la transmittance est :
Y ( z) z. ( 0, 26 + 1,3.z )
h
H ( z) = =
X ( z ) 0,79 + 0,08.z + z 2
ali
Cherchons les racines du dénominateur :
"
$
%"
'$
%
'
d
2
Den ( z ) = z + 0,08. z + 0,79 = $ z − (−0,04 − 0,888 j ) . z − (−0,04 + 0,888 j ) '
 ' $ 
!M
$ '$ '
# z1 &# z2 &
Vérifions que ces 2 pôles sont dans le cercle unité :
in a
z1 = −0.04 − 0.888 j
z2 = −0.04 + 0.888 j
ou
Les modules des 2 pôles sont bien inférieurs à 1, donc les pôles sont dans le cercle unité.
i!
# Le filtre étudié est donc stable.
!

!
4.  Structure"des"filtres!
Pr
4.1!Structure!de!base!des!filtres!numériques!du!type!RIF!:!!
.!K
L’opérateur z-1 représente le retard d’un échantillon.
x(nBN+1)!
h
x(nB1)! x(nB2)!
ali
h(0).x(n)! d !M
h(1).x(nB1)!
in a
y (n) = h(0).x(n) + h(1).x(n − 1) + ... + h( N − 1).x(n − N + 1)
ou
N −1
⇒ y (n) = ∑ h(k ).x(n − k )
!
k =0
! !
Cours!TNS!
i!
100" K.!MINAOUI!
4.  Structure"des"filtres!
Pr
4.2!Structure!de!base!des!filtres!numériques!du!type!RII!:!!
.!K
h ali
d !M
M
y (n) = ∑ bn x(n − k )
in a
k =0
N −1
− ∑ a p y (n − p)
ou
p =1
!
Réalise!un!filtre!RIF! Réalise!un!filtre!RIF!
avec!pour!entrée!x(n)! avec!pour!entrée!y(n)!
i!
!

5.  Synthèse"des"filtres"numériques!
Pr
5.1!Objec=f!
.!K
L’objectif de la synthèse des filtres numériques est de trouver l’équation de récurrence ou
la Fonction de Transfert en z d’un filtre pour respecter un cahier des charges (gabarit du
h
filtre).
ali
N M
∑ a . y ( n − k ) = ∑ b .x ( n − j )
k =0
k
j =0
j
d !M
ou
H ( z) =
Y ( z)
X ( z)
! 
in a
Différentes méthodes de synthèse sont possible, par exemple:
ou
"  Par discrétisation de l’équation différentielle;
"  Par la transformation bilinéaire.
!
"  Par fenétrage
Cours!TNS!
i!
102" K.!MINAOUI!
Pr
5.2!Approche!par!discré=sa=on!de!l’équa=on!différen=elle!:!!
.!K
On se limitera aux filtres analogiques du second ordre qui ont donc une équation
h
différentielle du second ordre.
! 
ali
Méthode!de!la!discré=sa=on!de!l’équa=on!temporelle!:!!
Si on dispose de la fonction de Transfert en analogique H(jω), revenir à l’équation
différentielle par la Transformée de Fourier Inverse;
! 
" 
Remplacer :
d !M
les fonctions par : x(t ) → x(n)
in a
dx(t ) x(n) − x(n − 1)
"  les dérivées premières par : →
dt Te
d 2 x(t ) x(n) − 2.x(n − 1) + x(n − 2)
"  les dérivées secondes par :
ou
→
dt 2 Te2
!  Si on souhaite obtenir la transmittance, reprendre la méthode permettant de passer
de l’équation de récurrence à la transmittance vue précédemment.
!
Cours!TNS!
i!
103" K.!MINAOUI!
Pr
.!K
Exemple!pour!un!filtre!du!1er!ordre!du!type!passe!bas!:!!
h
Soit un filtre analogique ayant pour équation différentielle :
ali
En discrétisant l’équation différentielle, il vient :
dy (t )
dt
+ a. y (t ) = x(t )
dy(t )
dt d !M
+ a. y(t ) = x(t ) ⇒
L’équation de récurrence s’écrit donc :

y(n) − y(n − 1)
Te
+ a. y (n) = x(n)
! Te $
y (n ) = #
" 1+

a .Te %
in a
! 1 $
&.x (n ) − #
" 1+

a .Te
&. y (n −1) = A .x (n ) − B . y (n −1)
%
ou
A B
Cours!TNS!
i!104" K.!MINAOUI!
Pr
.!K
h
La Fonction de Transfert en z (ou transmittance en z) s’écrit donc :
ali Y ( z)
=
A
=
A.z
X ( z ) 1 + B.z −1 z + B
Remarque!:!!
• 
d !M
Contrairement aux filtres analogiques du premier ordre qui sont toujours stables, les
in a
filtres numériques du premier ordre ne sont pas obligatoirement stable.
•  Il faut étudier la valeur de B, qui dépend de a mais surtout de Te, donc de la fréquence
ou
d’échantillonnage.
i!
!

!
Pr
5.3!Méthode!de!la!transformée!bilinéaire!:!!
!
.!K
h
!  Si on dispose de l’équation différentielle, obtenir la Fonction de Transfert en
analogique H(f) par la transformée de Fourier;
ali
d
2 z − 1 2 1 − z −1
!  Remplacer la variable de e-jω par : p= . = .
!M
Te z + 1 Te 1 + z −1
! 
in a
Si on souhaite obtenir l’équation de récurrence, reprendre la méthode permettant de
passer de la transmittance à l’équation de récurrence vue précédemment.
ou
i!
!
!
!
Pr
5.3!Méthode!de!la!transformée!bilinéaire!:!!
.!K
h
dy (t )
Soit un filtre analogique ayant pour équation différentielle : + a. y (t ) = x(t )
dt
ali
En calculant la transformée de Laplace de cette équation différentielle, il vient :
d
Y ( p) 1
=
X ( p) p + a
!M
En faisant la transformation bilinéaire, on obtient :
in a
Y ( z) Te. ( z + 1)
=
X ( z ) z. ( 2 + a.Te ) + ( a.Te − 2 )
•  Remarque!:!!
ou
Même remarque que pour l’approche par discrétisation de l’équation différentielle, les
filtres numériques du premier ordre ne sont pas obligatoirement stable. Il faut étudier les
racines du dénominateur qui dépendent de a mais surtout de Te, donc de la fréquence
i!
d’échantillonnage.
!
!
Pr
5.4!Méthode!de!fenêtrage!:!!
.!K
!
h ali
!Md
in a
ou
!
Cours!TNS!
i!
108" K.!MINAOUI!
Pr
5.5!Principales!fenêtres:!!
.!K
!
h ali
d
!M
in a
ou
!
Cours!TNS! 109"
i!K.!MINAOUI!
Pr
5.5!Principales!fenêtres:!!
.!K
h
!
ali
!Md
in a
ou
!
Cours!TNS!
i!
110" K.!MINAOUI!
Pr
5.6!Choix!de!la!fenêtre:!!
.!K
!
h ali
!Md
in a
ou
!
Cours!TNS! 111"
i! K.!MINAOUI!
Pr
5.6!Choix!de!la!fenêtre:!!
.!K
!
h ali
!Md
in a
ou
!
Cours!TNS! 112"
i! K.!MINAOUI!
Pr
5.7!Gabarits!fréquen=elles:!!
.!K
!
h ali
d !M
in a
ou
!!!!!!!!!!Passe!bas!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Passe!bande!!!
!
!
Cours!TNS!
i!
113" K.!MINAOUI!
Pr !
.!K
h Prédic=on!linéaire
ali
!
!Md
in a
ou
!
Cours!TNS! 114"
i!
K.!MINAOUI!
6.  Prédic2on"linéaire!
Pr
6.1!introduc=on!!
! 
.!K
Prédiction linéaire est utilisée pour modéliser des signaux.
! 
h
L’idée est de remplacer la transmission ou le stockage des échantillons par :
" 
ali
La transmission des paramètres de prédiction.
" 
d !M
La transmission (ou le stockage) à chaque instant n, de l’erreur de prédiction
seulement, ce qui peut être codé par un nombre restreint de bits.
in a
!
ou
!
!
Cours!TNS!
i!
115" K.!MINAOUI!
Pr
6.1!introduc=on!!
.!K
h ali
d !M
! 
in a
La prédiction linéaire consiste à estimer la valeur de l’expérience à venir
d’un processus sur la base de quelques valeur mesurées précédemment. Le
ou
processus est supposé stationnaire au second ordre.
i!
!
!

Pr
6.1!introduc=on!
.!K
!  La valeur estimée u (t ) est calculée à partir des échantillons précédents pondérés
par des coefficients wk selon :
h
p
uˆ (t ) = ∑ wk u(t − k )
ali k =1
!  De cette équation,
duˆ (t ) peut être vu comme la sortie d’un filtre numérique (dit
!M
prédicteur) définie par les coefficient wk .
in a
!  La valeur des coefficients de pondération wk s’obtient par minimisation de l’erreur
quadratique de l’écart e(t) ; défini comme la différence entre la valeur réelle s(t) et
la valeur estimée sˆ(t ) : ˆ
e(t ) = u (t ) − u (t )
ou p
= u (t ) − ∑ wk u (t − k )
!
Cours!TNS!
i!
117"
k =1
K.!MINAOUI!
Pr
6.2!Représenta=on!schéma=que!d’un!prédicteur!à!un!pas!
.!K
h ali
d !M
6.3!Représenta=on!schéma=que!du!calcul!de!l’erreur!
in a
ou
!
!
Cours!TNS!
i!
118" K.!MINAOUI!
Pr
6.4!Calcul!des!coefficients!
.!K
!  Multipliant les deux cotés par u (t − i ) pour i = 0,..., p et appliquant l’espérance
mathématiques;
p
! 
h
E[e(t )u (t − i)] = E[u (t )u (t − i)] − ∑ wk E[u (t − k )u (t − i)]
ali
Sous format matricielle on aura
k =1
$
$  ! $ d
& E[e(t )u (t )] # & ru (0) … …
r (−1)
!=$ u !M
ru ( p) # & 1 #
! $− w !
ru ( p − 1)! $ 1 !
$
$
 ! $ 
! $
% E[e(t )u (t − p)]" %ru (− p) … …
in a  !$
!$
!
!
ru (0) " $%− w p !"
ou
i!
!  Où ru (τ ) et la fonction d’autocorrélation de u (t ) . Dans la suite on pose − wk = ak
!

Pr
6.4!Calcul!des!coefficients!
.!K
!  Or e(t) est indépendant des u (t − i ) pour i ≠ 0 on aura donc
! σ $ ! ru (0) … … ru ( p) $! 1 $
h & #
# &# &
& = # ru (−1) ru ( p −1) &# a1 &
ali
# 0
#  & #  
&# &
# &#
d
# & &
" 0 % #" ru (− p) … … ru (0) &%#" a p &%
!M
in a
σ = E[e(t)e(t)] = E[e(t)(u(t) − û(t))] = E[e(t)(u(t)]
!  avec
!  Cette équation s’appelle l’équation de YULE WALKER.
! 
ou
La calcul des coefficients revient donc à résoudre ce système. !
Cours!TNS!
i!
120" K.!MINAOUI!
Pr
6.5!Résolu=on!en!u=lisant!l’algorithme!de!LIVENSON!!
! 
.!K
De la structure très particulière de la matrice de covariance, Toeplitz, se déduit une
méthode itérative de résolution très simple.
! 
h ali
La matrice étant d’ordre ( p + 1) , son inversion par un algorithme général est de
d
complexité en ( p + 1) 3 . Nous proposons à présent un algorithme d’inversion rapide,
Algorithme de Levinson , de complexité en ( p + 1) 2 .
!M
! 
in a
L’algorithme calcule la solution au rang  ( < p) en supposons qu’on connaisse
la solution à l’ordre ( − 1).
ou
!
Cours!TNS!
i!
121" K.!MINAOUI!
Pr
! 
.!K
Soit l’équation au rang ( − 1)
h %" a (l−1)
" r (0) %
… … ru ( −1) ' " σ %
'$ 0
ali
u
$
$ ru (−1) ru ( − 2) '$ a1(l−1) ' $ 0
'
'$ '=$ '
d
$ 
$   '$ ' $ '
$# ru (− +1) … … ru (0)
!M '&$ a (l−1)
# p
' $#
&
0 '
&
! 
in a
( − 1) indique la solution au rang ( − 1)
! 
ou
On peut écrire cette équation comme suit :
R a F
 −1  −1
&σ  −1 #
=$ !
%0  − 2 "
!
Cours!TNS!
i!
122" K.!MINAOUI!
Pr
! 
.!K
En passant au rang  la matrice de covariance s’écrit :
h ali
& R −1
R = $ BT
rB # &r (0) rFT #
!=$ F !
% r
d r (0)" % r
!M
R −1 "
r = !" r(1)  r() #$

T
in a
!  Avec F= Forward (direct) # F

T
!  Avec B= Backforward (direct) # r = ! r()  r(1) #
B
ou
 " $
Cours!TNS!
i!
123" K.!MINAOUI!
Pr
! 
.!K
En utilisant la solution au rang  − 1 , on aura
hR $
F
 −1
ali
&a # & R −1
! = $ BT
% 0 " % r

B
r # &a # $
!$
& σ  −1 #
F
 −1
!=$ 0 !
r (0)" % 0 "
!
!  Et
d !M FT B
$%rBT aF−1 !"
in a r a −1
FT
& #
& 0 # &r (0) r # & 0 # $ !
R $ B ! = $ F !$ B ! = $ 0 !
%a −1 " % r R −1 " %a −1 "
ou$ σ  −1 !
% "
!
Cours!TNS!
i!
124" K.!MINAOUI!
Pr
! 
.!K
Par combinaison linéaire
h
FT B
&σ  −1 + k   a −1
r #
ali
F
& &a −1 # & 0 ## $ !
R $ $ ! + k $ B ! ! = $ 0 !
$% % 0 a
%  −1 " !" $r BT a F + k σ !
d
"
%   −1   −1 "
!  Le choix de
!M
k sera fait en posant
in a
rBT aF−1 + kσ  −1 = 0
ou
!
Cours!TNS!
i!
125" K.!MINAOUI!
Pr
! 
.!K
La solution au rang  , en fonction de celle au rang  − 1 est
h ali
$ k = −rBT aF−1 / σ  −1
!
! F + + a F
( + 0 ((
d
 −1
#a = ) ) & + k ) B & &
! )* * 0 '
!M
! σ = σ (1 − k 2 )
*a −1 ' &'
in a
"   −1 
!  En regroupant les résultat, l’algorithme de Livenson s’écrit :
ou
!
Cours!TNS!
i!
126" K.!MINAOUI!
Pr
.!K
Valeurs initiales :
1 2
σ 0 = r (0) = ∑t u (t ) et a00 = 1
h T
pour  = 1,...., p Répéter :
ali
2) pour n = 2,...,  − 1 d
1) k = −rBT aF−1 / σ  −1 = (−r ()a0(  −1) − ... − r (1)a( −−11) ) / σ  −1
!M on vérifie à l ' étape  = 1

a0 = 1
in a
an(  ) = an(  −1) + k a( −−n1)
$k1 = −r (1) / r (0)
!
!
#
a 1
( 0)
=1
ou
(1)
a(  ) = k ! a1 = k1
2
2 "σ 1 = σ 0 (1 − k1 )
!
i!
3) σ  = σ  −1 (1 − k )
!

Pr
6.5!Résolu=on!en!u=lisant!la!méthode!des!moindres!carrées!!
! 
.!K
Le système à résoudre , de p équations à p inconnu, peut être écrit comme suit
! 
h ali
XA = Y
Ce système possède un solution unique ssi la matrice X est inversible :
d !M
A = X −1Y
in a
!  Considérant l’écart quadratique (ici A est la solution exacte)
ε 2 = ( XA − Y ) 2 = ( XA − Y ) H ( XA − Y ) = 0
ou
!
Cours!TNS!
i!
128" K.!MINAOUI!
Pr
! 
.!K
En pratique, les observations sont toujours entachées d’un bruit additif B:
! 
h ali
Y = XA + B
Ainsi, l’estimateur A, construit à partir des observations Y et de la matrice X, est
d
d’autant meilleur que le nombre N d’observations est grand. Par conséquent N > p
!M
et la matrice X est de dimension N× p.
in a
!  On a donc plus d’équations que d’inconnues : on dit que le système est
surdéterminé # la matrice X n’est plus carrée et donc n’est plus inversible.
ou
!  Le but donc et de trouver un vecteur A, de dimension p, tel que XA soit le plus
proche possible de Y.
Cours!TNS!
i!
129" K.!MINAOUI!
Pr
! 
.!K
La solution est donnée par la minimisation, par rapport à A, de l’EQM donnée par
! 
h ε 2 = ( XA − Y ) 2 = ( XA − Y ) H ( XA − Y )
ali
Minimiser cette quantité revient à chercher le zéros de sa dérivée:
d
2X H (Y − XA) = 0, soit X H Y = X H XA
!M
in a
X H X est inversible # l’estimateur au sens des moindres carrées est
!  La matrice
A = ( X H X ) −1 X H Y
ou
!
Cours!TNS!
i!
130" K.!MINAOUI!
Pr
6.5!Résolu=on!en!u=lisant!la!méthode!des!moindres!carrées!récurssives!!
! 
.!K
Si X est construite à partir d’un flux continu de données sa taille croît de façon
illimitée.
! 
h ali
Effectuer un traitement en temps réel, rend impossible un calcul direct à partir de
A = ( X H X ) −1 X H Y
!  d !M
L’algorithme des moindres carrés récursifs fournit A est le met à jour au fur et à
in a
mesure que les données arrivent, et ne nécessiter pas d’inversion matricielle.
!  Indexons par n les valeurs obtenues à l’étape n :
an = Qn X nH Yn
ouoù Qn = ( X nH X n ) −1
!
Cours!TNS!
i!
131" K.!MINAOUI!
Pr
.!K
! X $
n
!  Notons que X n+1 = # &
# xn+1 &
h
" %
où xn+1 désigne la (n+1) ième ligne de la matrice X n+1
!  On en déduit que
ali
H
X n+1
d !
"
!M
X n+1 = # X nH H
xn+1
! X
$# n
&%# x
" n+1
$
&
&%
!  Et donc in a
= X nH X n + xn+1 xn+1
H
ou
Qn +1 = (Qn−1 + xn +1 xnH+1 ) −1
Cours!TNS!
i!132" K.!MINAOUI!
Pr
! 
.!K
En utilisant le lemme d’inversion matricielle suivant :
on obtient
h H −1
( A + bb ) = A −
ali
A−1bb H A−1
−1
1 + bA−1b H
Qn xn +1 xnH+1Qn
! 
d
Qn +1 = Qn −
!M
En reportant dans l’expression de
1 + xnH+1Qn xn +1
an+1 donné par
!in a
an+1 = Qn+1 # X nH
"
H
xn+1
! Y
$# n
&%# y
$
&
ou
&
" n+1 %
= Qn+1 (X nH Yn + xn+1
H
yn+1 )
!
Cours!TNS!
i!
133" K.!MINAOUI!
Pr
.!K
!  Après un calcul simple, il vient : an +1 = an + k n ( yn +1 − xn +1an )
h
En regroupant les équations, on aura l’algorithme :
ali
Valeurs initiales :
Q1 = I p / δ avec δ << 1 et a1 = 0
d
Répéter :
!M
kn =
H
Qn xn+1
in a
H
1+ xn+1Qn xn+1
an+1 = an + kn (yn+1 − xn+1an )
Qn+1 = Qn −
ou H
1+ xn+1
H
Qn xn+1 xn+1Qn
Qn xn+1
!
Cours!TNS!
i!
134" K.!MINAOUI!
Pr !
.!K
h aliFin!
!
!Md
in a
ou
!
Cours!TNS! 135"
i!
K.!MINAOUI!

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Pr !

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Cours!TNS! 105" K.!MINAOUI!

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