Lycée Joffre MPSI2 année 2021 — 2022

Chapitre 17 — Espaces vectoriels

Dans la suite du cours, K désigne un sous-corps de C, et le plus souvent, R ou C.

1 Définition et exemples
1.1 Définition
Définition 1. Soit E un ensemble non vide.
Une loi externe à opérateurs dans K est une application · : K × E → E.
L’image d’un couple (λ, x) ∈ K × E est notée λ · x ou λx.

Définition 2. Soient E un ensemble non vide, + une loi de composition interne sur E et · une loi externe
à opérateurs dans K.
On dit que (E, +, ·) est un espace vectoriel sur K ou un K−espace vectoriel ou un K − ev si les
conditions suivantes sont satisfaites :
1. (E, +) est un groupe abélien :
(a) ∀ (x, y, z) ∈ E 3 , x + (y + z) = (x + y) + z
(b) Il existe 0E ∈ E tel que ∀x ∈ E, x + 0E = 0E + x = x
(c) ∀x ∈ E, ∃x′ ∈ E, x + x′ = x′ + x = 0E
(d) ∀ (x, y) ∈ E 2 , x + y = y + x
2. la multiplication externe vérifie les propriétés suivantes :
(a) ∀ (λ, µ) ∈ K2 , ∀x ∈ E, (λ +K µ) · x = λ · x + µ · x pseudo-distributivité à droite
(b) ∀λ ∈ K, ∀ (x, y) ∈ E λ · (x + y) = λ · x + λ · y
2
pseudo-distributivité à gauche
(c) ∀ (λ, µ) ∈ K , ∀x ∈ E, λ · (µ · x) = (λ ×K µ) · x
2
associativité externe
(d) ∀x ∈ E, 1K · x = x.

Remarque 1.
ñ Les éléments de E sont appelés vecteurs de E et sont parfois notés →
−
x , lorsqu’une confusion est à craindre.
ñ Les éléments de K sont appelés les scalaires et K est appelé corps des scalaires.
ñ 0E est appelé vecteur nul de E.
ñ Si x est un élément de E, on rappelle que le symétrique de x est unique. Il est noté −x et est appelé vecteur
opposé à x. Si x et y sont deux éléments de E, x + (−y) est noté x − y.
ñ Le plus souvent, on omettra le point de la multiplication externe et on écrira λx pour λ · x.
ñ On se gardera d’écrire x · λ pour λ · x.
ñ De manière abusive, on confond parfois l’espace vectoriel (E, +, ·) avec l’ensemble sous-jacent E.
Exemple 1.
1. K muni de l’addition et de la multiplication usuelles est un K-espace vectoriel et 0K = 0.
2. C muni de l’addition usuelle et de la multiplication usuelle R × C → C, (λ, x) 7→ λx est un R-espace vectoriel
et 0C = 0.

1.2 Propriétés élémentaires

Proposition 1 (règles de calcul). Soit (E, +, ·) un espace vectoriel sur K.
• ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E, (λ · 0E = 0E et 0K · x = 0E ).
• ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E, (λ · x = 0E ssi (λ = 0K ou x = 0E )) .
• ∀x ∈ E, (−1K ) · x = −x.
• ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E, (−λ) · x = λ · (−x) = −(λ · x).
• ∀ (x, y) ∈ E 2 , ∀λ ∈ K, λ · (x − y) = λ · x − λ · y.
• ∀x ∈ E, ∀ (λ, µ) ∈ K2 , (λ − µ) · x = λ · x − µ · x.

1
1.3 Exemples de référence
1.3.1 Espace Kn
Soit n ∈ N∗ . On rappelle que Kn est l’ensemble des n-uplets d’éléments de K. On définit alors l’addition sur Kn par

+ : Kn × Kn −→ Kn
( (x1 , . . . , xn ) , (y1 , . . . , yn ) ) 7−→ (x1 + y1 , . . . , xn + yn )

Ainsi,
∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Kn , ∀y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Kn , x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) .
On définit la multiplication externe sur Kn par

· : K × Kn −→ Kn
(λ , (x1 , . . . , xn ) ) 7−→ (λx1 , . . . , λxn )

Ainsi,
∀λ ∈ K, ∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Kn , λ · x = (λx1 , . . . , λxn ) .
Dans le cas où n = 1, on parle de droite vectorielle, et dans le cas n = 2, de plan vectoriel.

Proposition 2. (Kn , +, ·) , où l’addition et la multiplication externe sont définies ci-dessus, est un K-espace
vectoriel et 0Kn = (0, 0, . . . , 0).

1.3.2 Espace des applications de X dans E

Soient X un ensemble et (E, +, ·) un K-espace vectoriel. On note E X l’ensemble des applications de X dans E.
On définit l’addition sur E X par

+: EX × EX −→  EX
X → E
(f, g) 7−→
x 7 → f (x) + g (x)

Ainsi, f + g est l’application de X dans E vérifiant ∀x ∈ X, (f + g) (x) = f (x) + g (x) .

On définit la multiplication externe par

·: K × EX −→  EX
X → E
(λ, f ) 7−→
x 7→ λ · f (x)

Ainsi, λ · f est l’application de X dans E vérifiant ∀x ∈ X, (λ · f ) (x) = λ · f (x) .

Proposition 3. E X , +, · , où l’addition et la loi externe sont celles définies ci-dessus, est un espace
vectoriel sur K. De plus, 0KX est la fonction nulle.

En particulier, KN est l’espace vectoriel des suites à valeurs dans K.

1.3.3 Espace des polynômes sur K

On rappelle que l’on note K [X] l’ensemble des polynômes à une indéterminée et à coefficients dans K. On munit cet
ensemble de l’addition des polynômes et de la multiplication par un scalaire usuelles.

Proposition 4. (K [X] , +, ·) est un espace vectoriel sur K. De plus, 0K[X] est le polynôme nul.

Dans la suite du cours, (E, +, ·) désigne un espace vectoriel sur K.

1.4 Combinaisons linéaires

Définition 3. Soient n ∈ N∗ , (xi )1⩽i⩽n ∈ E n une famille de vecteurs de E et u ∈ E un vecteur.
On dit que u est une combinaison linéaire de la famille (xi )1⩽i⩽n lorsqu’il existe (λi )1⩽i⩽n ∈ Kn ,
X
n
tel que u = λi x i .
i=1

2
Remarque 2.
ñ Dans R2 , tout vecteur est combinaison linéaire de i := (1, 0) et j := (0, 1).
ñ Dans R3 , tout vecteur est combinaison linéaire de i := (1, 0, 0), j := (0, 1, 0) et k := (0, 0, 1).


ñ Dans Kn [X], tout polynôme est combinaison linéaire de la famille 1, X, X 2 , . . . , X n .
ñ Plus généralement, si n ∈ N∗ , dans Kn on pose pour tout k ∈ J1, nK, εk := (0K , . . . , 0K , 1K , 0K , . . . , 0K ) où l’unique
1K se trouve en k ème position. La famille (εk )1⩽k⩽n est appelée base canonique de Kn .
Alors, tout vecteur de Kn est une combinaison linéaire de la famille (ek )1⩽k⩽n .
Exemple 2.
1. Dans R2 , on considère les vecteurs u := (1, −2) et v := (2, 3). Montrer que w := (7, 0) est une combinaison
linéaire de u et v. 
 u := (1, −1, 0)
2. Dans R3 , on considère v := (0, 1, 2) . Soit (x, y, z) ∈ R3 . Donner une condition nécessaire et suffisante sur

w := (2, 1, 6)
x, y et z pour que le vecteur (x, y, z) soit combinaison linéaire de u, v et w.
Généralisons cette définition à une famille quelconque de vecteurs. On fixe un ensemble I quelconque.

Définition 4. Soit (λi )i∈I ∈ KI une famille
de scalaires. On dit que (λi )i∈I est presque nulle ou à
support fini lorsque l’ensemble Supp (λi )i∈I := {i ∈ I | λi 6= 0}, appelé support, est fini.
L’ensemble des familles de scalaires presque nulles est noté K(I) .

Remarque 3.
ñ On définit de même les familles presques nulles de vecteurs de E.

Définition 5. Soit (xi )i∈I ∈ E (I) une famille presque nulle de vecteurs de E. On note S son support. On
pose alors X X
xi := xi
i∈I i∈S

Définition 6. Soient (xi )i∈I ∈ E I une famille de vecteurs de E et u ∈ E un vecteur. On dit que u
est une combinaison linéaire de la famille (xi )i∈I lorsqu’il existe une famille de scalaires presque nulle
X
(λi )i∈I ∈ K(I) telle que u = λi x i .
i∈I

1.5 Produit d’espaces vectoriels

Définition 7. Soient (E, +, ·) et (F, +, ·) deux K-espaces vectoriels. On définit sur E × F une loi de
composition interne + et une loi externe à opérateurs dans K · en posant
2
∀ ((x1 , y1 ) , (x2 , y2 )) ∈ (E × F ) , (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )
∀λ ∈ K, ∀ (x, y) ∈ E × F, λ · (x, y) = (λ · x, λ · y)

(E × F, +, ·) est un K-espace vectoriel, appelé espace vectoriel produit de E et de F .

Remarque 4.
ñ Cette définition se généralise sans difficulté à un produit fini E1 × E2 × · · · × En de K-espaces vectoriels.

1.6 Structure d’algèbre

Définition 8. Soient A un ensemble, + et × des lois de composition interne sur A et · une loi externe
sur A à opérateurs dans K. On dit que (A, +, ×, ·) une algèbre sur K ou une K-algèbre lorsque
• (A, +, ·) est un K-espace vectoriel ;
• (A, +, ×) est un anneau ;
• ∀λ ∈ K, ∀ (x, y) ∈ A2 , λ · (x × y) = (λ · x) × y = x × (λ · y) compatibilité des multiplications

Exemple 3.
1. K est une K-algèbre commutative intègre. Plus généralement, si X est un ensemble non vide, KX est une
K-algèbre commutative. En particulier, RR est une R-algèbre commutative non intègre.
2. K [X] est une algèbre commutative intègre sur K, tout comme K(X).
3. C est une R-algèbre commutative intègre.

3
2 Sous-espace vectoriel
2.1 Définition
Définition 9. Soient (E, +, ·) un K-espace vectoriel et F une partie de E.
On dit que F est un sous-espace vectoriel (sev) de E lorsque les conditions suivantes sont satisfaites :
1. F est non vide ;
2. F est stable pour l’addition : ∀ (x, y) ∈ F 2 , x + y ∈ F ;
3. F est stable pour la multiplication externe : ∀λ ∈ K, ∀x ∈ F, λx ∈ F .

Remarque 5.
ñ Si F est un sous-espace vectoriel de E, F est un sous-groupe de (E, +).
ñ (F, +, ·), où l’addition et la multiplication externe sont les restrictions à F des lois de E (ce qui est possible, grâce
à la stabilité), est un espace vectoriel sur K.
ñ 0E ∈ F et 0F = 0E .
ñ En pratique, pour montrer que (F, +, ·) est un espace vectoriel sur K, on montre le plus souvent que F est un
sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel connu.
ñ {0E } et E sont des sous-espaces vectoriels de E.

Proposition 5. Soient (E, +, ·) un K-espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E.

X
n
Alors, ∀n ∈ N∗ , ∀ (λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn , ∀ (x1 , . . . , xn ) ∈ F n , λi x i ∈ F .
i=1
On dit que F est stable par combinaison linéaire.

Remarque 6.
ñ Pour tout ensemble I, X
∀ (λi )i∈I ∈ K(I) , ∀ (xi )i∈I ∈ F I , λi x i ∈ F
i∈I

Proposition 6. Soient (E, +, ·) un K-espace vectoriel et Fun ensemble.

 F ⊂ E;
Alors F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F est non vide ;

∀ (λ, µ) ∈ K2 , ∀ (x, y) ∈ F 2 , λx + µy ∈ F.

2.2 Sous-algèbre
Définition 10. Soient (A, +, ×, ·) une K−algèbre et B une partie de A.
On dit que B est une sous-algèbre de A lorsque B est un sous-anneau de (A, +, ×) et un sous-espace
vectoriel de (A, +, ·).

Proposition 7. Soient (A, +, ×, ·) une K−algèbre et  B un ensemble.


 B ⊂ A;

1A ∈ B ;
Alors, B est une sous-algèbre de A si et seulement si

 ∀ (λ, µ) ∈ K2 , ∀ (x, y) ∈ B 2 , λx + µy ∈ B ;

∀ (x, y) ∈ B 2 , x × y.

2.3 Exemples
Exemple 4.
1. Les droites vectorielles — Ru = {λu , λ ∈ R} où u ∈ R2 \ {0R2 } — du plan sont des sous-espaces vectoriels.
2. On fixe n ∈ N et on rappelle que Kn [X] = { P ∈ K [X] | deg (P ) ⩽ n} . Kn [X] est un sous-espace vectoriel de
(K [X] , +, ·).
3. Si K = R ou K = C, l’espace C 0 (I, K) des fonctions continues de I dans K est un sous espace vectoriel de KI ,
tout comme l’ensemble D (I, K) des fonctions dérivables de I dans K.
Plus généralement, si n ∈ N, l’espace C n (I, K) des fonctions de classe C n sur I à valeurs dans K est un sous-
espace vectoriel de KI et de C 0 (I, K) . Il en est de même pour l’espace C ∞ (I, K) des fonctions de classe C ∞
sur I à valeurs dans K.

4
 4. L’ensemble des suites convergentes est un sous-espace vectoriel (et une sous-algèbre) de KN (K ∈ {R, C}), tout
comme l’ensemble des suites bornées est un sev et une sous-algèbre de KN . L’ensemble des suites qui tendent
vers 0 en est un sev.
5. R est sev de C comme R − ev. Et comme C − ev ?
6. Les ensembles suivants sont-ils des sev de R3 ? 7. Les exemples suivants sont-ils des sev de RR ?
   
(a) (x, y, z) ∈ R3  x + y + z = 0 . (a) f ∈ RR  f (0) = 0 .
   
(b) (x, y, z) ∈ R3  x + y + z = 1 . (b) f ∈ RR  f (0) = 1 .
   
(c) (x, y, z) ∈ R3  xyz = 0 . (c) f ∈ RR  ∀x ∈ R, f (x) ⩾ 0 .
   
(d) (x, y, z) ∈ R3  x2 + y 2 + z 2 = 1 . (d) f ∈ RR  f croissante .
  n  o

(e) (x, y, z) ∈ R3  x + y + z = 0 et x − y + 2z = 0 . (e) f ∈ RR  f (x) = o (x) .
x→0

3 Sous-espace vectoriel engendré par une partie

3.1 Intersection de sev
Proposition 8. Soient (E, +, ·) un espace vectoriel sur K, F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
Alors, F ∩ G est un sous-espace vectoriel de E.

Remarque 7.
ñ Attention, la réunion de sous-espaces vectoriels n’est en général pas un sous-espace vectoriel.

Proposition 9. Soient (E, +, ·) un K-espace vectoriel, I un ensemble non vide et (Fi )i∈I une famille de
sous-espaces
\ vectoriels de E.
Alors, Fi est un sous-espace vectoriel de E.
i∈I

3.2 Combinaisons linéaires de vecteurs

Définition 11. Soient (E, +, ·) un K-espace vectoriel et A une partie de E. On dit que le vecteur u est
combinaison linéaire d’éléments de A lorsqu’il existe n ∈ N∗ , (xi )i∈J1,nK ∈ An et (λi )i∈J1,nK ∈ Kn ,
X
n
tels que u = λi x i .
i=1

Remarque 8.
ñ 0E est une combinaison linéaire d’éléments de A.
ñ Tout vecteur de A est combinaison linéaire d’éléments de A.
ñ u est une combinaison linéaireXd’éléments de A si et seulement si il existe une famille de scalaires presque nulle
(λx )x∈A ∈ K(A) telle que u = λx x.
x∈A

3.3 Définition
Définition 12. Soient (E, +, ·) un K-espace vectoriel et A une partie de E.
L’intersection des sev de E contenant A est un sev de E. C’est le plus petit sev de E (au sens de l’inclusion)
contenant A.
On l’appelle sev engendré par A et on le note Vect (A).

Remarque 9.
ñ Si A = {x1 , . . . , xn } est une partie finie, Vect (A) est noté Vect (x1 , . . . , xn ).
ñ Plus généralement, si A = {xi , i ∈ I}, alors Vect(A) est aussi noté Vect (xi )i∈I .
ñ Si F est un sev de E contenant A, alors Vect(A) ⊂ F .

5
 Proposition 10. Soient (E, +, ·) un K-espace vectoriel et A une partie de E.
Vect (A) est l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de A :
(  )
 Xn
 ∗
Vect (A) = y ∈ E  ∃n ∈ N , ∃ (λi )1⩽i⩽n ∈ K , ∃ (xi )1⩽i⩽n ∈ A , y =
n n
λi x i

i=1
( )
X
= λx x , (λx )x∈A ∈ K(A)
x∈A

Remarque 10.
ñ Attention au fait que « n varie ». Toutefois, lorsque A = {x1 , . . . , xn },
( n )
X
Vect (A) = λi xi , (λi )1⩽i⩽n ∈ K n
.
i=1

ñ Vect (∅) = Vect (0E ) = {0E }.

ñ L’ordre des éléments de A n’a aucune importance.
ñ Si x est un vecteur non nul de E, Vect ({x}) = {λx , λ ∈ K} = K · x = Kx est appelé droite vectorielle de E.

ñ Si x et y sont deux vecteurs de E, Vect (x, y) = λx + µy , (λ, µ) ∈ K2 .
ñ Si F est un sev de E, alors Vect (F ) = F .

Proposition 11. Soient (E, +, ·) un K-espace vectoriel, u ∈ E et (x1 , . . . , xn ) ∈ E n .

• Si u est une combinaison linéaire de (x1 , . . . , xn ), Vect (x1 , . . . , xn , u) = Vect (x1 , . . . , xn ).
• Si λ ∈ K∗ , Vect (λx1 , . . . , xn ) = Vect (x1 , . . . , xn ) .
!
X n
• Si (λ2 , . . . , λn ) ∈ K n−1
, Vect x1 + λi xi , x2 , . . . , xn = Vect (x1 , . . . , xn ).
i=2

Exemple 5.
1. Soient u = (0, 1, 1) et v = (1, 0, 0). Déterminer Vect (u, v).

3.4 Familles génératrices

Définition 13. Soient I un ensemble et (xi )i∈I ∈ E I une famille de vecteurs de E. On dit que (xi )i∈I est
une famille génératrice de E (ou engendre E) lorsque E = Vect ({xi , i ∈ I}) = Vect (xi )i∈I , c’est à dire
lorsque tout vecteur de E est combinaison linéaire d’éléments de la famille (xi )i∈I .

Remarque 11.
ñ La base canonique de R3 est une famille génératrice. Plus généralement, la base canonique de Kn est une famille
génératrice de Kn .


ñ La famille 1, X, X 2 , . . . X n engendre Kn [X].
ñ La famille (X n )n∈N engendre K [X].
ñ La famille (1, i) engendre C comme R-ev. Et comme C-ev ?
Exemple 6.
1. Dans R3 , on considère les vecteurs u = (1, 1, 0), v = (0, 1, 1) et w = (−1, 1, 0). Montrer que (u, v, w) est une
famille génératrice de R3 .


2. Montrer que 1, X + 1, X 2 − 1 est une famille génératrice de R2 [X].
 
k
3. Soient n ∈ N et a ∈ K. Montrer que la famille (X − a) est une famille génératrice de Kn [X].
0⩽k⩽n
4. Dans R3 , déterminer une famille génératrice du plan P d’équation cartésienne x + y + z = 0.

x+y+z+t=0
5. Dans R4 , déterminer une famille génératrice du plan P d’équations cartésiennes .
x − y − 2z + t = 0

4 Somme de sous-espaces vectoriels

Dans la suite de ce cours, (E, +, ·) désigne un espace vectoriel sur K.

6
4.1 Somme de p sous-espaces vectoriels
Définition 14. Soient p ∈ N et (Fi )1⩽i⩽p une famille de p sous-espaces vectoriels de E.
[
Le sous-espace vectoriel engendré par Fi est appelé somme des sous-espaces vectoriels F1 , . . . , Fp .
1⩽i⩽p
On le note F1 + F2 + · · · + Fp .

( )
X
p
Proposition 12. F1 + · · · + Fp = xi , ∀i ∈ J1, pK , xi ∈ Fi .
i=1

Remarque 12.
X
p
ñ C’est donc l’ensemble des vecteurs x ∈ E pour lesquels il existe (xi )1⩽i⩽p ∈ F1 × · · · × Fp tel que x = xi .
i=1
ñ Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E, alors F + G = {f + g , f ∈ F et g ∈ G } = Vect (F ∪ G).
ñ Attention, il ne faut pas croire que si x ∈ F + G et x ∈
/ F , alors x ∈ G.
ñ Soient (n, p) ∈ (N∗ )2 , (xi )1⩽i⩽n ∈ E n et (yj )1⩽j⩽p ∈ E p . Alors,

Vect (x1 , . . . , xn ) + Vect (y1 , . . . , yp ) = Vect (x1 , . . . , xn , y1 , . . . yp )

Exemple 7.
1. Dans R3 , on considère la droite D = R (1, 0, 0) et le plan P d’équation cartésienne x + y + z = 0.
Montrer que D + P = R3 .

4.2 Somme directe de deux sous-espaces vectoriels

Définition 15. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
On dit que F et G sont en somme directe ou que la somme F + G est directe lorsque

∀ (x, y) ∈ F × G, ∀ (x′ , y ′ ) ∈ F × G, (x + y = x′ + y ′ =⇒ x = x′ et y = y ′ ) .

La somme F + G se note alors F ⊕ G.

Remarque 13.
ñ Ainsi, pour tout élément u de F + G, il existe un unique couple (x, y) ∈ F × G, tel que u = x + y.
ñ De manière informelle, si la somme est directe, tout élément de F + G se décompose de manière unique comme la
somme d’un élément de F et d’un élément de G.
ñ Attention, F + G et F ⊕ G désignent le même ensemble.
ñ Lorsque la somme est directe, l’application φ : E × F → E + F, (x, y) 7→ x + y est un isomorphisme de groupes.
Exemple 8.
1. Dans R3 , on considère les vecteurs u = (1, 0, 1), v = (1, 2, 0) et w = (1, −2, 2).
Alors, les sous-espaces F = Vect (u, v) et G = Vect (w) ne sont pas en somme directe.

Proposition 13. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.

Alors, F et G sont en somme directe si et seulement si F ∩ G = {0E }.

Exemple 9.
1. Dans R3 , on considère les vecteurs u = (1, 0, 0), v = (1, 1, 0) et w = (1, 2, 2).
Alors, F = Vect (u, v) et G = Vect (w) sont en somme directe.

4.3 Sous-espaces supplémentaires

Définition 16. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
On dit que F et G sont des sous-espaces supplémentaires de E lorsque F et G sont en somme directe
et lorsque F + G = E.

Remarque 14.
ñ Ainsi, pour tout vecteur u ∈ E, il existe un unique couple (x, y) ∈ F × G tel que u = x + y.

7
ñ On a alors E = F ⊕ G.

Proposition 14. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. 

E =F +G
F et G sont des sous-espaces supplémentaires de E si et seulement si
F ∩ G = {0E } .

Exemple 10.
1. Dans R3 , on considère les vecteurs u := (1, 0, 0), v := (1, 1, 0) et w := (1, 2, 2).
Alors, F := Vect (u, v) et G := Vect (w) sont supplémentaires.
2. Vect ((1, 0, 0)) et Vect ((0, 1, 1)) sont en somme directe, mais ne sont pas supplémentaires dans R3 .
3. Dans RR , on considère l’ensemble P des fonctions paires et l’ensemble I des fonctions impaires.
Montrer que P et I sont des sous-espaces supplémentaires de RR .
4. Dans R3 , on considère le plan P d’équation cartésienne x − y + z = 0. Déterminer un supplémentaire de P.

x+y+z =0
Soit D la droite d’équations cartésiennes . Déterminer un supplémentaire de D.
x−y−z =0
5. Soient E := R [X] et F := {P ∈ E | P (1) = 0}. Déterminer un supplémentaire de F dans E.
6. Soient E := R [X] et F := {P ∈ E | P (1) = 0 et P ′ (1) = 0}. Déterminer un supplémentaire de F dans E.
 Z 1 

7. On pose E := C ([0, 1] , R) et F := f ∈ E 
0  f = 0 . Déterminer un supplémentaire de F dans E.
0

4.4 Sommes directes de p sev

Définition 17. Soient F1 , F2 ,…, Fp p sev de E. On dit que la somme F1 + · · · + Fp est directe lorsque

X
p
∀u ∈ F1 + · · · + Fp , ∃! (xk )1⩽k⩽p ∈ F1 × · · · × Fp , u = x1 + x2 + · · · + xp = xk
k=1

M
p
Si tel est le cas, la somme F1 + · · · + Fp est alors notée F1 ⊕ · · · ⊕ Fp ou Fk .
k=1

Remarque 15.
ñ Autrement dit, la somme est directe lorsque la décomposition de chaque vecteur sur la somme est unique.
ñ La somme est directe si et seulement si
  X
p X
p
2
∀ (xk )1⩽k⩽p , (yk )1⩽k⩽p ∈ (F1 × · · · × Fp ) , xk = yk =⇒ ∀k ∈ J1, pK , xk = yk
k=1 k=1

Proposition 15. La somme F1 + · · · + Fp est directe si et seulement si

X
p
∀ (xk )1⩽k⩽p ∈ F1 × · · · × Fp , x1 + · · · + xp = xk = 0E =⇒ ∀k ∈ J1, pK , xk = 0E
k=1

Exemple 11.
1. Dans R4 , on pose e1 := (1, 0, 0, 0), e2 := (0, 1, 0, 0) et e3 := (0, 0, 1, 0).
Alors, la somme Vect(e1 ) + Vect(e2 ) + Vect(e3 ) est directe.

5 Applications linéaires
Dans la suite du cours, on fixe trois K-espaces vectoriels (E, +, ·), (F, +, ·) et (G, +, ·).

5.1 Définition
Définition 18. Soit f : E → F une application.
On dit que f est une application linéaire de E dans F lorsque

∀ (x, y) ∈ E 2 , ∀ (λ, µ) ∈ K2 , f (λx + µy) = λf (x) + µf (y) .

8
Remarque 16.
ñ La définition est équivalente à l’assertion suivante :

∀ (x, y) ∈ E 2 , ∀λ ∈ K, f (λx + y) = λf (x) + f (y) .

Elle est également équivalente aux propriétés suivantes :


∀ (x, y) ∈ E 2 , f (x + y) = f (x) + f (y) ;
∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, f (λx) = λf (x) .

ñ L’ensemble des applications linéaires est noté L (E, F ).

ñ Si F = E, on parle alors d’endomorphisme de E.
On note L (E) l’ensemble des endomorphismes de E. Ainsi, L (E) = L (E, E).
ñ Si f est bijective, on dit que f est un isomorphisme de E dans F .
ñ S’il existe un isomorphisme de E dans F , on dit que E et F sont isomorphes.
ñ Un isomorphime de E dans E est appelé automorphisme de E.
L’ensemble des automorphismes de E est noté G L (E).
ñ Lorsque F = K, une application linéaire de E dans K est appelée forme linéaire sur E.
L’ensemble des formes linéaires sur E est noté E ∗ .
ñ Une application linéaire est un morphisme de groupes. Ainsi, on a
• f (0E ) = 0F ;
• ∀x ∈ E, f (−x) = −f (x) ;
• ∀ (x, y) ∈ E 2 , f (x − y) = f (x) − f (y).
!
X
n X
n
ñ Plus généralement, ∀n ∈ N∗ , ∀ (λi )1⩽i⩽n ∈ Kn , ∀ (xi )1⩽i⩽n ∈ E n , f λi x i = λi f (xi ).
i=1 i=1
« L’image d’une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des images. »

5.2 Quelques exemples d’applications linéaires

Exemple 12.
1. L’application 0L (E,F ) : E −→ F est une application linéaire. Ainsi, L (E, F ) n’est pas vide.
x 7−→ 0F
2. Soit a ∈ R. L’application ha : R → R : x 7→ ax est un endomorphisme de R.
Si a 6= 0, ha est un automorphisme de R.
Par contre, l’application g : R → R : x 7→ ax + 1 n’est pas linéaire car g (0) 6= 0.
3. IdE : E −→ E est linéaire. C’est un automorphisme de E.
x 7−→ x
4. Plus généralement, soit λ ∈ K.
L’application hλ : E −→ E est un endomorphisme de E appelé homothétie de rapport λ.
x 7−→ λ · x
Si λ 6= 0K , hλ est un automorphisme de E.
5. L’application u : R3 −→ R2 est une application linéaire de R3 dans R2 .
(x, y, z) 7−→ (x − y, x + z)
6. L’application v : R4 −→ R est une forme linéaire sur R4 .
(x, y, z, t) 7−→ x − y + z − t
7. L’application I : C 0 ([a, b] , R) −→ R est une forme linéaire sur C 0 ([a, b] , R).
Z b
f 7−→ f
a
8. L’application D : C 1 (I, R) −→ C 0 (I, R) est une application linéaire.
f 7−→ f′
9. L’application c : C −→ C est-elle linéaire ?
z 7−→ z
10. Soient X un ensemble non vide et a ∈ X.
L’application eva : KX −→ K est une forme linéaire, appelée morphisme d’évaluation.
f 7−→ f (a)
11. Soient E un K-ev et F et G deux sev.
L’application θ : F × G −→ E est linéaire. Est-elle injective ? Est-elle surjective ?
(x, y) 7−→ x + y
12. C et R2 sont deux R-ev isomorphes.

9
5.3 Opérations sur les application linéaires
5.3.1 Structure de L (E, F ) et de L (E)

Proposition 16. Soient u et v deux applications linéaires de E dans F (resp. deux endomorphismes de
E) et soient λ et µ deux scalaires. Alors, λu + µv ∈ L (E, F ) (resp. λu + µv ∈ L (E)).

Remarque 17.
ñ Ainsi, l’ensemble L (E, F ) (resp. L (E)) est un sous-espace vectoriel de F E (resp. de E E ) et donc un espace
vectoriel sur K.

Proposition 17. Soient u ∈ L (E, F ) et v ∈ L (F, G). L’application v ◦ u : E → G est une application
linéaire de E dans G. Autrement dit, v ◦ u ∈ L (E, G).

Remarque 18.
2
ñ Attention, si (u, v) ∈ L (E) , alors u ◦ v et v ◦ u sont deux endomorphismes de E, mais en général v ◦ u 6= u ◦ v.

Définition 19. Soient u et v deux endomorphismes de E. On dit que u et v commutent lorsque u◦v = v◦u.

Proposition 18.
2
• ∀ (u, v) ∈ L (E, F ) , ∀h ∈ L (F, G) , ∀ (λ, µ) ∈ K2 , h ◦ (λ · u + µ · v) = λ · h ◦ u + µ · h ◦ v.
2
• ∀ (u, v) ∈ L (F, G) , ∀h ∈ L (E, F ) , ∀ (λ, µ) ∈ K2 , (λ · u + µ · v) ◦ h = λ · u ◦ h + µ · v ◦ h.

Remarque 19.
ñ Dans le cas où E = F = G, la proposition précédente montre en particulier que la composition est distributive sur
l’addition et qu’elle est compatible avec la multiplication externe. Toujours dans ce cas, et lorsqu’aucune confusion
n’est à craindre, on note uv l’endomorphisme u ◦ v.

Proposition 19. (L (E) , +, ◦, ·) est une K-algèbre.

Remarque 20.
ñ Le plus souvent, elle n’est ni commutative, ni intègre.
ñ 0L (E) est l’application nulle et on a 1L (E) = IdE .
ñ On rappelle que pour tout k ∈ N∗ , uk = u
| ◦ u ◦{z· · · ◦ u} et u = IdE .
0

k fois

Proposition 20 (Formule du binôme de Newton). Soient u et v deux endomorphismes qui commutent.

Alors, pour tout n ∈ N,
Xn  
n n i n−i
(u + v) = uv .
i
i=0

5.4 Propriétés des isomorphismes et des automorphismes

Proposition 21. Soient u : E → F un isomorphisme de E dans F et v : F → G un isomorphisme de F
dans G. Alors,
• la bijection réciproque u−1 : F → E est un isomorphisme de F dans E.
• la bijection v ◦ u : E → G est un isomorphisme de E dans G.

Corollaire 1. ∀ (u, v) ∈ G L (E) , u ◦ v ∈ G L (E) et ∀u ∈ G L (E), u−1 ∈ G L (E) .

2

Remarque 21.
ñ (G L (E) , ◦) est un groupe. C’est le groupe des inversibles de l’anneau (L (E), +, ◦).
ñ Attention, la somme de deux isomorphismes de E dans F n’est en général pas un isomorphisme. En particulier,
G L (E) n’est pas un sous-espace vectoriel de L (E).

10
6 Noyau et image d’une application linéaire
6.1 Image et image réciproque d’un sev par une application linéaire
Proposition 22. Soit u ∈ L (E, F ).
• Si E ′ est un sous-espace vectoriel de E, alors u (E ′ ) est un sous-espace vectoriel de F .
• Si F ′ est un sous-espace vectoriel de F , alors u−1 (F ′ ) est un sous-espace vectoriel de E.

6.2 Noyau et image d’une application linéaire

Définition 20. Soit u ∈ L (E, F ).
• Le sous-espace vectoriel u (E) ⊂ F est appelé image de u et est noté Im(u).
• Le sous-espace vectoriel u−1 ({0F }) ⊂ E est appelé noyau de u et est noté Ker(u).

Remarque 22.
ñ Im(u) = {y ∈ F | ∃x ∈ E, u(x) = y} et Ker(u) = {x ∈ E | u(x) = 0F }.
ñ Ker(u) = E ⇐⇒ u = 0L (E,F ) .
Exemple 13.
1. Soit u : R2 −→ R . Déterminer Im(u) et Ker(u).
(x, y) 7−→ x + y
2. Soient (xi )1⩽i⩽n ∈ E n et f ∈ L (E, F ). Montrer que f (Vect(x1 , . . . , xn )) = Vect(f (x1 ), . . . , f (xn )).

Proposition 23. Soient I un ensemble, (xi )i∈I une famille génératrice de E et f ∈ L (E, F ).
Alors,
Im(f ) = Vect ({f (xi ) , i ∈ I})

Remarque 23.
ñ Ainsi, pour toute famille (xi )i∈I de vecteurs de E,

f (Vect ({xi , i ∈ I})) = Vect ({f (xi ) , i ∈ I})

6.3 Caractérisation des applications linéaires injectives ou surjectives

Proposition 24. Soit u ∈ L (E, F ) .
• u est surjective si et seulement si Im(u) = F .
• Alors, u est injective si et seulement si Ker(u) = {0E }.

Remarque 24.
ñ Ainsi, pour montrer qu’une application linéaire u est injective, il suffit de montrer que

∀x ∈ E, (u (x) = 0F =⇒ x = 0E ) .

7 Projecteurs et symétries
7.1 Projecteurs
Définition 21. Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de E.
Soit u ∈ E. Il existe un unique couple (uF , uG ) ∈ F × G tel que u = uF + uG .
On définit deux applications p : E −→ E et q : E −→ E .
u 7−→ uF u 7−→ uG
Alors, p (resp. q) est un endomorphisme de E appelé projecteur sur F (resp. sur G) parallèlement à
G (resp. parallèlement à F ).

Proposition 25. Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de E. Soient p le projecteur sur F

parallèlement à G et q le projecteur sur G parallèlement à F . Alors,
• p + q = IdE et p ◦ q = q ◦ p = 0L (E) ; on dit que les projecteurs p et q sont associés ;
• l’application p vérifie p ◦ p = p ;
• Ker(p) = G et Im(p) = F ;
• Im(p) = {x ∈ E | p (x) = x } = Ker (IdE − p) (p induit l’identité sur Im(p)) ;
• Ker(p) ⊕ Im(p) = E.

11
 Théorème 1 (Caractérisation des projecteurs). Soit p ∈ L (E).
Alors,
p est un projecteur si et seulement si p ◦ p = p.
Et dans ce cas, p est le projecteur sur Im(p) parallèlement à Ker(p).

7.2 Symétries
Définition 22. Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de E.
Soit u ∈ E. Il existe un unique couple (uF , uG ) ∈ F × G tel que u = uF + uG .
On définit l’application s : E −→ E .
u 7−→ uF − uG
Alors, s est un endomorphisme de E appelé symétrie par rapport à F parallèlement à G.

Remarque 25.
ñ Si p est le projecteur sur F parallèlement à G, on a s = 2p − IdE .

Proposition 26. Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de E. Soit s la symétrie par rapport
à F parallèlement à G. Alors,
• F = {x ∈ E | s (x) = x } = Ker (s − IdE ) ;
• G = {x ∈ E | s (x) = −x } = Ker (s + IdE ) ;
• L’application s vérifie s ◦ s = IdE . Ainsi, s est un automorphisme de E et s−1 = s :
• Ker (s + IdE ) ⊕ Ker (s − IdE ) = E.

Théorème 2 (Caractérisation des symétries). Soit s ∈ L (E).

Alors,
s est une symétrie si et seulement si s ◦ s = IdE .
Dans ce cas, s est la symétrie par rapport à Ker (s − IdE ) parallèlement à Ker (s + IdE ).

F F

p(u) u s(u) u

uF
uF

0E −uG 0E uG
uG q(u) G G

12