Chapitre 1 Statistiques dans les semi-conducteurs

Chapitre 1 : Statistiques dans les semi-conducteurs

1.1. Introduction aux milieux matériels

Selon les propriétés électriques, les matériaux sont classés en trois catégories, conducteurs,
isolants et semi-conducteurs.

1.1.1. Conducteurs

Les métaux tels que le fer (Fe), le cuivre (Cu), l’or (Au), l’argent (Ag) et l’aluminium (Al)
sont des conducteurs de courant électrique. La présence d’électrons libres dans la couche
périphérique (densité n =1022 à 1023 é/cm3) est à l’origine de la conductivité électrique.
A température ambiante la résistivité des conducteurs est très faible (˂10 -5 Ω.cm).
Une augmentation de la température provoque une légère augmentation de la résistivité. Ceci
peut s’expliquer par le fait que les électrons libres sont gênés dans leur déplacement par les
vibrations des atomes du cristal, qui deviennent de plus en plus croissantes avec l’élévation de
la température.
Les conducteurs (ou métaux) sont les corps qui n’ont pas de bande interdite, la bande de
valence et la bande de conduction sont jointives (Figure 1.1). Il y existe donc, à toute
température des électrons libres.

Figure 1.1 : Bandes d’énergie d’un métal.

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1.1.2. Isolants

Les matériaux qui ont une résistivité supérieure à 108 Ω.cm sont des isolants (matériaux non
conducteurs de courant électrique). Parmi ces matériaux, se trouve le verre, la silice (SiO 2) et
le carbone.
Les isolants sont les corps dont la bande interdite est large (plusieurs électrons volts (Eg>6
eV)) (Figure 1.2). Pour faire passer des électrons de la bande de valence jusqu’à la bande de
conduction, il faudrait une énergie tellement grande que le corps serait détruit.

Figure 1.2 : Bandes d’énergie d’un isolant.

1.1.3. Semi-conducteurs

Cette classe de matériaux se situe entre les métaux (conducteurs) et les isolants (non
conducteurs). La résistivité des semi-conducteurs varie de 10-3 à 10+4 Ω.cm.
Les semi-conducteurs sont des corps dont la bande interdite est assez étroite (0˂Eg˂4 eV)
(Figure 1.3). Sous l’effet de la température, des électrons peuvent passer de la bande de
valence jusqu’à la bande de conduction ; des trous sont aussi créés dans la bande de valence.
Ces porteurs vont participer à la conduction électrique, ce qui provoque une amélioration de
la conductivité et une baisse de la résistivité.
La distinction entre semi-conducteurs et isolants n’est pas absolument nette, on considère
qu’un solide est un semi-conducteur si Eg˂4 eV.
Un semi-conducteur peut être soit intrinsèque (pur) ou extrinsèque (dopé par des additifs).

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Figure 1.3 : Bandes d’énergie d’un semi-conducteur.

1.2. Semi-conducteurs intrinsèques

Un semi-conducteur est dit intrinsèque quand il ne possède ni défaut physique (défauts

ponctuels et complexes), ni défaut chimique (atomes étrangers).
Or, un cristal possède nécessairement des défauts ponctuels (lacune, atome en position
interstitielle) et des défauts complexes (défauts de Frenkel (association : lacune-atome en
position interstitielle) et défauts de Schottky (association : lacune – atome à la surface)).
Par ailleurs, un cristal n’est jamais parfaitement pur, quel que soit le degré de purification
auquel on parvient (actuellement, on arrive à purifier le germanium et le silicium à
99.99999999 %), il subsiste toujours un résidu, plus au moins grand, d’atomes étrangers, de
nature mal connue qui ne sont pas tétravalents comme les atomes de silicium et de germanium
par exemple, et qui modifient localement l’énergie potentielle des électrons (défauts dans la
périodicité de cette énergie).
Un cristal intrinsèque ne peut donc évidemment pas être réalisé, et ne devrait même pas être
envisagé.
Pour toutes ces raisons, on va donc se contenter de faire une approximation en appelant :
semi-conducteur intrinsèque, tout semi-conducteur ne renfermant aucun atome étranger
introduit volontairement.

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Dans un semi-conducteur intrinsèque, à tout électron se trouvant dans la bande de conduction

correspond un trou dans la bande de valence.
Au zéro absolu, la bande de valence est pleine et la bande de conduction vide. Les électrons
n’ont aucune possibilité de se déplacer dans la bande de valence, parce qu’ils sont liés à leurs
atomes.
Si la température s’élève, des électrons peuvent recevoir une énergie suffisante pour passer
dans la bande de conduction et devenir libres.

1.2.1. Différents types de Semi-conducteurs intrinsèques

1.2.1.1. Semi-conducteurs intrinsèques simples

Un semi-conducteur intrinsèque simple est constitué d’un seul élément tels que les semi-
conducteurs de la colonne IV de la classification périodique des éléments, par exemple : le
silicium (Si) et le germanium (Ge).

1.2.1.2. Semi-conducteurs intrinsèques composés

Dans cette catégorie, le semi-conducteur est constitué d’au moins deux types d’atomes
différents. Il existe aussi d’autres types de semi-conducteurs composés de trois atomes
différents (ternaires) et même de quatre atomes (quaternaires).

a) Les semi-conducteurs binaires sont constitués :

d’un élément de la colonne II et d’un autre élément de la colonne VI de la
classification périodique, Comme le tellurure de cadmium (CdTe).
d’un élément de la colonne III et d’un autre élément de la colonne V, comme
l’arséniure de gallium (GaAs).
d’un élément de la colonne IV et d’un autre élément de la colonne VI, comme le
sulfure d'étain (SnS).

b) Les semi-conducteurs ternaires, comme le di-séléniure de cuivre et d’indium (CuInSe2).

c) Les semi-conducteurs quaternaires, comme le di-séléniure de cuivre d’indium et de gallium

(CuInGaSe2).

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1.2.2. Notion de génération et de recombinaison de paires électron-trou

Sous l’action d’une agitation thermique (élévation de la température), des électrons peuvent
quitter leurs atomes d’origine et devenir des électrons libres. L’électron devenu libre a brisé
un lien covalent et a laissé une place vacante. On donne à cette place vacante le nom de trou
libre (manque d’électron).

A chaque rupture d’un lien covalent, il se crée simultanément un électron libre et un trou
libre. On dit qu’il y a : génération d’une paire électron-trou (Figure 1.4).

Au cours de son déplacement dans le cristal, l’électron libre peut tomber dans la zone
d’attraction d’un atome ayant un lien incomplet et prendre la place laissée vacante. L’électron
libre redeviendra un électron lié et le trou qu’il occupe disparaîtra. Cette disparition d’une
paire électron-trou s’appelle une recombinaison.

Figure 1.4 : Génération et recombinaison dans un cristal de silicium.

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1.2.3. Densités d’états dans les bandes permises

La densité d’états dans les bandes permises (Figure 1.5) est donnée par :
3
2 m* 2 1
DE 2 E E0 2
h2

Avec, m* : masse effective,

h : constante de Planck.

Cette densité d’états représente la densité des niveaux au voisinage du niveau d’énergie E.
Cette densité est nulle hors d’une bande permise.

Figure 1.5 : Bandes permises d’un semi-conducteur.

Au voisinage d’une frontière : E0=Epot, ou Ev, ou Ec .

Dans le bas de la bande de valence : E E 0 E E pot

Dans le haut de la bande de valence : E E 0 E v E , car Ev>E

Dans le bas de la bande de conduction : E E 0 E Ec

1.2.4. Occupation des niveaux d’énergie des bandes permises

1.2.4.1. Fonction d’occupation de Fermi-Dirac

La fonction d’occupation de Fermi-Dirac exprime pour un cristal à l’équilibre thermique, la

probabilité Pe(E) qu’a le niveau d’énergie E d’être occupé par des électrons (Figure 1.6) :

1
Pe E
E EF
1 exp
KT

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avec, K : Constante de Boltzmann (8.62 10-5 eV.K-1),

T : Température absolue (en K),
E : Energie du niveau destiné à être occupé par des électrons (en eV),
EF : Energie du niveau de Fermi (en eV).

D’après l’expression de Pe(E), on remarque :

A T=0 K Pe(E)=1 pour E<EF
Pe(E)=0 pour E>EF

et à T≠0 K Pe(E)=1/2 pour E=EF

Figure 1.6 : Variation de la probabilité d’occupation Pt(E) en fonction

des niveaux d’énergie E pour différentes températures.

On note par Pt(E), la probabilité qu’a le niveau d’énergie E d’être occupé par des trous.
Or, un trou est un manque d’électron, donc la probabilité de présence d’un trou sur un niveau
d’énergie E, est naturellement complémentaire de celle d’un électron, c’est à dire :
E EF
1 exp 1
1 KT 1 1
Pt E 1 Pe E 1
E EF E EF E EF EF E
1 exp 1 exp 1 exp 1 exp
KT KT KT KT
E EF
exp
KT
1
Soit, Pt E
E E
1 exp F
KT

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1.2.4.2. Statistique de Boltzmann

Si le niveau de Fermi se trouvait dans la bande interdite à plus de 3KT des limites de cette
bande (Figure 1.7), la statistique de Boltzmann est alors applicable à tous les niveaux des
bandes permises (à la place de la fonction d’occupation de Fermi-Dirac).

En effet, si E EF 3KT , l’exponentielle figurant au dénominateur de la fonction

d’occupation de Fermi-Dirac (Pe(E) ou Pt(E)) est supérieure à 20.

E EF
Donc, en négligeant 1 devant exp , on commit une erreur de 5 % ;
KT

1 1 EF E
Par conséquent, exp
E EF E EF KT
1 exp exp
KT KT

Par suite, la probabilité de présence (des électrons et des trous) est donnée avec une erreur
maximale de 5 % par la formule de Boltzmann, qui est :

EF E
Pe E exp Pour les électrons
KT

E EF
Pt E exp Pour les trous
KT

Figure 1.7 : Position du niveau de Fermi.

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1.2.4.3. Occupation des niveaux

L’intervalle E, E+dE contient dN niveaux :

Soit : dN=De(E).dE

La probabilité d’occupation du niveau E étant Pe(E), et sachant que chaque niveau accepte
deux électrons, le nombre dn des électrons occupant cet intervalle d’énergie est :
dn=2.Pe(E).dN=2.De(E).Pe(E).dE
Ce nombre (dn) est donc proportionnel au produit: De(E).Pe(E).

Par ailleurs, le nombre dp des trous occupant ce même intervalle d’énergie est :
dp=2.Dt(E).Pt(E)dE

Avec,
3 3
* 2
2m e 1 2m*e 2
1
De E 2 E E0 2
2 E EC 2 , la densité des niveaux (au voisinage
h2 h2
du niveau d’énergie E), destinés à recevoir des électrons.
3 3
* 2
2m t 1 2m*t 2 1
Dt E 2 E E 0
2
2 EV E 2 , la densité des niveaux (au voisinage
h2 h2
du niveau d’énergie E) destinés à recevoir des trous.
Où, me* et mt* sont respectivement les masses effectives des électrons et des trous.

A T=0 K, tous les niveaux de la bande de valence sont occupés, chacun par deux électrons ;
par contre, tous les niveaux de la bande de conduction sont vides. Il en résulte que le cristal se
comporte comme un isolant.

A T>0 K, on constate que des niveaux du haut de la bande de valence deviennent inoccupés
(bande partiellement pleine) et qu’en revanche des niveaux du bas de la bande de conduction
deviennent occupés (bande partiellement vide). Ceci est du à des électrons de la bande de
valence qui sont passés dans la bande de conduction où ils sont devenus libres (ou de
conduction). Le cristal devient conducteur.

Le nombre total des électrons étant constant dans tout élément de volume du cristal. Par
conséquent, le nombre des niveaux vides dans le haut de la bande de valence, doit être égal au
nombre des niveaux occupés dans le bas de la bande de conduction.

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1.2.4.4. Concentration des porteurs dans les bandes permises

On appelle porteurs, les électrons libres de la bande de conduction, et les trous libres de la
bande de valence, qui assurent le transport du courant.
Pour calculer leur concentration, il suffit de sommer :
le nombre d’électrons : dn=2.De(E).Pe(E).dE, sur tous les niveaux de la bande de
conduction,
et le nombre de trous : dp=2.Dt(E).Pt(E)dE, sur tous les niveaux de la bande de
valence.

On a donc :

n 2.De E .Pe E .dE

Ec

Ev
et p 2.Dt E .Pt E .dE

Les intégrales peuvent être étendues jusqu’à +∞ pour la bande de conduction et jusqu’à -∞
pour la bande de valence, puisque pour ces valeurs de l’énergie, P e et Pt sont respectivement
nuls.

Nous sommes dans le cas des semi-conducteurs intrinsèques, donc le niveau de Fermi se situe
au milieu de la bande interdite. Par conséquent :
Eg
E EF Ec EF EF Ev 3KT
2
En effet, dans un semi-conducteur intrinsèque, EF est situé au milieu de la bande interdite, car
dans ce type de semi-conducteur, il y a autant de niveaux occupés dans la bande de
conduction (niveau supérieur à EF) que de niveaux vides dans la bande de valence (niveau
inférieur à EF). De plus, à 300 K, KT=0.025 eV et la plupart des semi-conducteurs ont un gap
Eg dont la valeur est située autour de 1 eV et plus.

Les probabilités d’occupation Pe(E) et Pt(E) sont donc données par la statistique de
Boltzmann.

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1.2.4.5. Concentration des électrons dans la bande de conduction

On a : n 2.De E .Pe E .dE

Ec

D’où, en remplaçant De(E) et Pe(E) par leurs expressions respectives, on obtient :

3 3
2m*e 2
1 EF E 2m*e 2
1 EF Ec E Ec
n 4 E Ec 2 exp .dE 4 E Ec 2 exp .dE
h2 Ec KT h2 Ec KT

E Ec dE
En posant : x donc dx
KT KT
3
2KTm*e 2
E F Ec 1
On obtient : n 4 exp x 2 exp x .dx
h2 KT 0

On remarque que l’intégrale a la forme de la fonction d’Euler, qui est :

a x a 1 exp x .dx
0

Cette fonction d’Euler est calculée pour plusieurs valeurs de l’indice a.

1 1 3 2 5 3 7 4
a
2 2 2 2

1 1 3 2 15 6
a
2 4 8

Pour a=3/2 (notre cas), la fonction d’Euler est égale à

2

L’expression de la concentration d’électrons s’écrit donc :

3 3
2KTm *e 2
E Ec 3 2 KTm *e 2
EF Ec
n 4 exp F . 2. exp
h2 KT 2 h2 KT

3
2 KTm *e 2
En posant : N c 2.
h2

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EF Ec
La concentration d’électrons libres prend sa forme finale : n N c exp
KT
Nc : représente la concentration effective des places disponibles dans la bande de conduction.
Ces places sont supposées situées sur le niveau d’énergie (équivalent) Ec et sont destinées à
être occupées par des électrons libres.

1.2.4.6. Concentration des trous dans la bande de valence

Ev
On a : p 2.Dt E .Pt E .dE

D’où, en remplaçant Dt(E) et Pt(E) par leurs expressions respectives, on obtient :

3 3
2 Ev 2 Ev
2m*t 1 E EF 2m*t 1 Ev EF Ev E
p 4 Ev E 2 exp .dE 4 Ev E 2 exp .dE
h2 KT h2 KT

Ev E dE
En posant : x donc dx
KT KT
On obtient :
3
2KTm*t 2
Ev EF 1
p 4 exp x 2 exp x .dx
h2 KT 0

On remarque que l’intégrale a la forme de la fonction d’Euler, qui est :

a x a 1 exp x .dx
0

Par suite, l’expression de la concentration des trous s’écrit :

3 3
2KTm*t 2
E EF 3 2 KTm*t 2
Ev EF
p 4 exp v . 2. exp
h2 KT 2 h2 KT
3
2 KTm*t 2
En posant : N v 2.
h2
Ev EF
La concentration des trous libres prend sa forme finale : p N v exp
KT
Nv : représente la concentration effective des places disponibles dans la bande de valence. Ces
places sont supposées situées sur le niveau d’énergie (équivalent) Ev et sont destinées à être
occupées par des trous libres.

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1.2.4.7. Concentration intrinsèque

Dans un semi-conducteur intrinsèque, on a autant d’électrons libres dans la bande de

conduction que de trous libres dans la bande de valence ;
Soit : n=p=nI

Avec nI, comme valeur commune, qu’on appelle : concentration intrinsèque.

En faisant le produit des expressions de n et de p, on obtient :

Ev Ec Eg
n.p n 2I N c N v exp N c N v exp
KT KT
Eg
La concentration intrinsèque s’écrit donc sous la forme : n I N c N v exp
2KT

.
1.2.4.8. Position du niveau de Fermi

Dans un semi-conducteur intrinsèque, la concentration des électrons libres est toujours égale à
celle des trous libres : n=p ;

EF Ec Ev EF
Soit : N c exp N v exp
KT KT

Ec Ev KT Nv
Par suite, on tire : E F ln
2 2 Nc

En remplaçant Nc et Nv par leurs expressions, on obtient la position du niveau de Fermi :

Ec Ev 3KT m*
EF ln *t
2 4 me
Le dernier terme est toujours très faible (me* et mt* ne sont pas très différents, et KT=0.025
eV à 300 K). On admet presque toujours que le niveau de Fermi dans un semi-conducteur
intrinsèque est situé au milieu de la bande interdite (Figure 1.8), c'est-à-dire :
Ec Ev
EF EI
2
Où, EI est le niveau intrinsèque.

B. Hadjoudja 13
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Figure 1.8 : Position du niveau de Fermi dans un semi-conducteur intrinsèque.

1.3. Semi-conducteurs extrinsèques

Un semi-conducteur est dit extrinsèque quand on lui ajoute volontairement des atomes
trivalents (B, Al, Ga, In) ou pentavalents (P, As, Sb, Bi).

Le procédé d’introduction des atomes dans le cristal s’appelle : dopage.

On peut faire ce dopage par différentes méthodes : implantation, diffusion, in-situ.

Les atomes tri- ou pentavalents, qu’on a volontairement incorporés au cristal, sont dits
additifs, afin de les distinguer des atomes étrangers, les impuretés, qu’on n’arrive pas à
éliminer du cristal.

Généralement, les additifs ont tendance à se placer en position de substitution dans le cristal :
par exemple, dans le cas d’un cristal de silicium dopé au phosphore, chaque atome de
phosphore prend la place d’un atome de silicium.

Contrairement aux semi-conducteurs intrinsèques, les bandes interdites des semi-conducteurs

extrinsèques contiennent des niveaux énergétiques permis aux électrons. Ces niveaux
énergétiques sont introduits par les additifs.

B. Hadjoudja 14
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Etant donné que la concentration et l’effet des impuretés qu’on n’arrive pas à éliminer du
cristal sont généralement négligeables devant ceux des additifs, donc dans la suite du cours,
on désignera indifféremment les atomes introduits dans le cristal par : additifs ou impuretés.

1.3.1. Niveaux introduits par les additifs tri- et pentavalents

Les additifs pentavalents (groupe 5) introduisent des niveaux E d (dans la bande interdite)
voisins de la bande de conduction, permettant des transitions électroniques faciles avec cette
bande.
De la même façon, les additifs trivalents (groupe 3) introduisent des niveaux Ea (dans la bande
interdite) voisins de la bande de valence.

Les valeurs de Ec-Ed, représentants les positions (par rapport au bas de la bande de
conduction) des niveaux Ed introduits par les additifs pentavalents dans la bande interdite du
silicium, ont été mesurées expérimentalement (Figure 1.9).

Figure 1.9 : Niveaux d’énergie Ed introduits par les additifs pentavalents

dans la bande interdite de silicium.

Les valeurs de Ea-Ev, représentants les positions (par rapport au haut de la bande de valence)
des niveaux Ea introduits par les additifs trivalents dans la bande interdite du silicium, ont eux
aussi été mesurées expérimentalement (Figure 1.10).

B. Hadjoudja 15
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Figure 1.10 : Niveaux d’énergie Ed introduits par les additifs pentavalents

dans la bande interdite de silicium.

1.3.2. Additifs pentavalents : Semi-conducteurs de type N

1.3.2.1. Présentation

Si on admet une concentration d’atomes pentavalents (par exemple N d=1017 atomes de

phosphore par cm3) dans un silicium (N=5.1022 atomes par cm3), on a environ deux atomes de
phosphore pour 106 atomes de silicium. Ces atomes de phosphore sont répartis au hasard,
chacun étant séparé, en moyenne, de son plus proche voisin, par une centaine d’atomes de
silicium, de sortes que ces atomes étrangers ne réagissent pas les uns sur les autres.

Les atomes pentavalents (par exemple le phosphore) possèdent 5 électrons sur la couche
périphérique.

A T=0 K, l’atome de phosphore placé en position de substitution dans le réseau du silicium,

engage 4 électrons dans des liaisons de valence avec les 4 atomes de silicium voisins (Figure
1.11), il reste donc le cinquième électron qui est très peu lié à son atome, de sorte qu’il lui
suffit d’une faible énergie thermique (élévation de température) pour rompre sa liaison et
devenir un électron libre en passant dans la bande de conduction (Figure 1.12).

B. Hadjoudja 16
Chapitre 1 Statistiques dans les semi-conducteurs

Figure 1.11 : Silicium dopé au phosphore à T=0 K.

Figure 1.12 : Silicium dopé au phosphore à T>0 K.

B. Hadjoudja 17
Chapitre 1 Statistiques dans les semi-conducteurs

A T=0 K, l’électron excédentaire de chaque atome pentavalent se trouve énergétiquement sur

le niveau Ed (niveau introduit par les atomes pentavalents de phosphore).

A T>0 K, les électrons excédentaires liés aux atomes pentavalents (situés sur le niveau E d)
peuvent acquérir une énergie thermique égale ou supérieure à leur énergie de liaison (Ec-Ed),
qui leur permet de rompre leurs liaisons et de passer du niveau E d à la bande de conduction
(sur le niveau Ec, ou un peu plus haut).

Du fait de la faible énergie d’ionisation (E c-Ed) des additifs, on peut s’attendre qu’à des
températures relativement basses (T>100 K), tous les atomes additifs deviennent ionisés, ce
qui signifie qu’il existe, dans la bande de conduction, Nd électrons libres provenant des
additifs.

Il est important de noter que la création de N d électrons libres dus aux additifs augmente
fortement leur par rapport au cristal intrinsèque, sans augmenter le nombre de trous libres. Au
contraire, les trous ont une plus grande probabilité de se recombiner avec des électrons donc
leur nombre diminue. En effet, un trou résulte de la création d’un ion Si+ (ion du cristal de
base), un tel ion n’ayant que 3 électrons de valence, tandis qu’un atome additif pentavalent de
phosphore, qui a perdu un électron, est un ion P + possédant 4 électrons de valence, c'est-à-dire
exactement le nombre nécessaire pour entrer en liaison covalente avec ses 4 voisins.
On peut donc en déduire :

Les semi-conducteurs dopés par des additifs pentavalents (groupe 5) verront leurs
concentrations d’électrons augmentées, la conduction est donc assurée par les
électrons libres. Ces semi-conducteurs sont dits de type N.

Les électrons libres sont dits : porteurs majoritaires, tandis que les trous libres sont
dits, porteurs minoritaires.

Les atomes additifs pentavalents sont dits : atomes donneurs.

Les niveaux d’énergie introduits par les additifs pentavalents (dans les bandes
interdites des semi-conducteurs) sont dits : niveaux d’énergie des donneurs.

La concentration des électrons libres est supérieure à celle des trous libres; par
conséquent, le niveau de Fermi se trouve dans la partie supérieure de la bande interdite
du semi-conducteur.

B. Hadjoudja 18
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1.3.2.2. Occupation des niveaux d’énergie des donneurs

Le niveau d’énergie d’un donneur (phosphore) E d représente en réalité une bande de N d

niveaux, mais comme ces Nd niveaux sont très serrés, on a préféré les assimiler à un seul
niveau comportant Nd places (Nd atomes).

Un niveau donneur Ed a 2 états de charges :

0 : état neutre,
+ : état ionisé.

A T=0 K, tous les atomes additifs pentavalents sont neutres, donc tous les électrons
excédentaires sont liés à leurs atomes, ils se trouvent sur le niveau donneur E d (Figure 1.13).
Le niveau donneur est complètement occupé par des électrons liés, donc :

N0d Nd

Nd Nd N0d 0
Où,
N 0d : représente les atomes additifs pentavalents neutres (atomes donneurs neutres),

donc les électrons excédentaires liés,

N d : représente les atomes additifs pentavalents ionisés (atomes donneurs ionisés),

donc les électrons libres.

Figure 1.13: Diagramme énergétique à T=0 K d’un semi-conducteur

dopé avec des additifs pentavalents.

B. Hadjoudja 19
Chapitre 1 Statistiques dans les semi-conducteurs

A T>0 K (quelques K), les atomes additifs deviennent en partie neutres (l’autre partie est
ionisée), le niveau donneur devient donc partiellement occupé par des électrons, l’autre partie
des électrons passent dans la bande de conduction où ils deviennent libres (Figure 1.14).

Figure 1.14 : Diagramme énergétique à T>0 K d’un semi-conducteur

dopé avec des additifs pentavalents.

La probabilité d’occupation du niveau E d (par des électrons) est donnée par la loi
d’occupation de Fermi-Dirac :
1
Pe E d
Ed EF
1 exp
KT

Dans le cas des semi-conducteurs dopés par des additifs pentavalents, on n’utilise pas la
statistique de Boltzmann, parce qu’on n’est pas sûr que Ed-EF est supérieure à 3KT, surtout
que Ed se situe légèrement au dessous de Ec, et EF se situe quant à lui dans la partie supérieure
de la bande interdite du semi-conducteur (ce qui diminuait les chances d’avoir E d-EF>3KT).

La concentration des électrons excédentaires liés (électrons excédentaires occupant le niveau

Ed) est :
Nd
N 0d N d Pe E d (Atomes additifs pentavalents neutres).
E EF
1 exp d
KT

B. Hadjoudja 20
Chapitre 1 Statistiques dans les semi-conducteurs

La concentration des électrons libres (électrons excédentaires ayant quittés le niveau Ed pour
passer dans la bande de conduction) est :
Nd
Nd Nd N 0d (Atomes additifs pentavalents ionisés).
E Ed
1 exp F
KT

Ce calcul de concentration qu’on vient de faire ne tient pas compte d’une éventuelle
dégénérescence des Nd états du niveau donneur (existence des deux spins positif et négatif
pour chaque état).
Cette dégénérescence va modifier la probabilité d’occupation P e(Ed) en y introduisant un
facteur de dégénérescence.

En effet, il y a deux façons de passer de l’état ionisé à l’état neutre (capture d’un électron de
spin positif ou négatif), mais il n’existe qu’une manière de passer de l’état neutre à l’état
ionisé (émission dans la bande de conduction d’un électron libre de spin déterminé) (Figure
1.15). On a donc beaucoup plus de chance d’avoir un état neutre qu’un état ionisé.

Figure 1.15 : Passage d’un atome additif pentavalent de l’état neutre

à l’état ionisé et vice versa.

B. Hadjoudja 21
Chapitre 1 Statistiques dans les semi-conducteurs

Finalement, en tenant compte d’une éventuelle dégénérescence des N d états du niveau

donneur, la probabilité d’occupation du niveau E d (par des électrons) est donc :
1
Pe E d
Ed E F
1 d exp
KT

avec γd=1/2 facteur de dégénérescence

Par suite :

La concentration des électrons excédentaires liés (électrons excédentaires occupant le

niveau Ed) est :
Nd
N 0d N d Pe E d (Atomes additifs pentavalents neutres)
1 E EF
1 exp d
2 KT

La concentration des électrons libres (électrons excédentaires ayant quittés le niveau

Ed pour passer dans la bande de conduction) est :

Nd
Nd Nd N 0d (Atomes additifs pentavalents ionisés)
E Ed
1 2 exp F
KT

1.3.3. Additifs trivalents : Semi-conducteurs de type P

1.3.3.1. Présentation

Les atomes trivalents (par exemple le bore) possèdent 3 électrons sur la couche périphérique.

A T=0 K, l’atome de bore placé en position de substitution dans le réseau du silicium, engage
ses 3 électrons dans des liaisons de valence avec 3 des 4 atomes de silicium voisins. Il reste la
liaison avec le quatrième atome de silicium qui est insatisfaite (Figure 1.16). Pour faire, il
suffit d’une faible énergie thermique (élévation de température) pour que l’atome de bore
capture un électron de valence (appartenant à un atome de silicium) lui permettant de
compléter sa quatrième liaison avec le quatrième atome de silicium (Figure 1.17).
La capture d’un électron à un atome de silicium, donne naissance à un ion positif Si+, donc
apparition d’un trou libre dans la bande de valence.

B. Hadjoudja 22
Chapitre 1 Statistiques dans les semi-conducteurs

Figure 1.16 : Silicium dopé au bore à T=0 K.

Figure 1.17 : Silicium dopé au bore à T>0 K.

B. Hadjoudja 23
Chapitre 1 Statistiques dans les semi-conducteurs

A T=0 K, tous les atomes additifs trivalents situés sur le niveau Ea sont neutres.

A T>0 K, les atomes additifs trivalents peuvent acquérir une énergie thermique égale ou
supérieure à Ea-Ev, leur permettant de capturer des électrons de la bande de valence
(appartenant à des atomes de silicium, situés sur le niveau E v ou un peu plus bas). Ces
électrons capturés par les atomes trivalents vont leur permettre de compléter leur quatrième
liaison avec les atomes de silicium. La capture des électrons de la bande de valence laisse
apparaitre des ions Si+, donc des trous libres, situés sur le niveau E v ou un peu plus bas.

Du fait de la faible énergie d’ionisation (E a-Ev) des additifs, on peut s’attendre qu’à des
températures relativement basses (T>100 K) tous les atomes additifs deviennent ionisés, ce
qui signifie qu’il existe dans la bande de valence, Na trous libres provenant de ces additifs.

La création de Na trous libres dus aux additifs augmente fortement leur concentration par
rapport au cristal intrinsèque, sans augmenter le nombre d’électrons libres. Au contraire, les
électrons ont une plus grande probabilité de se recombiner avec les trous donc leur nombre
diminue.

On peut donc en déduire :

Les semi-conducteurs dopés par des additifs trivalents (groupe 3) verront leurs
concentrations de trous augmentées, la conduction est donc assurée par les trous libres.
Ces semi-conducteurs sont dits de type P.

Les trous libres sont dits : porteurs majoritaires, tandis que les électrons libres sont
dits, porteurs minoritaires.

Les atomes additifs trivalents sont dits : atomes accepteurs.

Les niveaux d’énergie introduits par les additifs trivalents (dans les bandes interdites
des semi-conducteurs) sont dits : niveaux d’énergie des accepteurs.

La concentration des trous libres est supérieure à celle des électrons libres ; par
conséquent, le niveau de Fermi se trouve dans la partie inférieure de la bande interdite
du semi-conducteur.

B. Hadjoudja 24
Chapitre 1 Statistiques dans les semi-conducteurs

1.3.3.2. Occupation des niveaux d’énergie des accepteurs

Un niveau accepteur Ea a 2 états de charges :

0 : état neutre,

- : état ionisé.

A T=0 K, tous les atomes additifs trivalents sont neutres, ils se trouvent sur le niveau
accepteur Ea (Figure 1.18). A cette température, le niveau accepteur est complètement occupé
par des additifs trivalents neutres, donc :

Noa Na

Na Na Noa 0

Où,

N oa : représente les atomes additifs trivalents neutres (atomes accepteurs neutres),

N a : représente les atomes additifs trivalents ionisés (atomes accepteurs ionisés), donc les
trous libres.

Figure 1.18: Diagramme énergétique à T=0 K d’un semi-conducteur

dopé avec des additifs trivalents.

B. Hadjoudja 25
Chapitre 1 Statistiques dans les semi-conducteurs

A T>0 K (quelques K), les atomes additifs trivalents deviennent en partie neutres (l’autre
partie est ionisée), le niveau accepteur devient donc partiellement occupé par des électrons
liés, provenant de la bande de valence, donc il y a création dans cette dernière d’un nombre
équivalent de trous libres (Figure 1.19).

Figure 1.19 : Diagramme énergétique à T>0 K d’un semi-conducteur

dopé avec des additifs trivalents.

La probabilité d’occupation du niveau Ea par des électrons (liés) provenant de la bande de

valence, donc de trous libres créés dans cette dernière, est donnée par la loi d’occupation de
Fermi-Dirac :
1
Pe E a
E EF
1 exp a
KT

Dans le cas des semi-conducteurs dopés par des additifs trivalents, on n’utilise pas la
statistique de Boltzmann parce qu’on n’est pas sûr que Ea EF 3KT , surtout que Ea se situe

légèrement au dessus de E v, et EF se situe quand à lui dans la partie inférieure de la bande

interdite du semi-conducteur (ce qui diminuait les chances d’avoir Ea EF 3KT ).

B. Hadjoudja 26
Chapitre 1 Statistiques dans les semi-conducteurs

La concentration des trous libres (états de Ea occupés par des électrons provenant de la bande
de valence) est :
Na
Na N a Pe (E a ) (Atomes additifs trivalents ionisés)
E EF
1 exp a
KT

La concentration des états de Ea inoccupés par des électrons de la bande de valence est :
Na
N oa Na Na (Atomes additifs trivalents neutres)
E Ea
1 exp F
KT

Ce calcul de concentration (qu’on vient de faire) ne tient pas compte d’une éventuelle
dégénérescence des Na états du niveau accepteur (existence des deux spins positif et négatif
pour chaque état). Cette dégénérescence va modifier la probabilité de présence (occupation du
niveau Ea par des électrons) de Pe(Ea) en y introduisant un facteur de dégénérescence.

En effet, il y a deux façons de passer de l’état ionisé à l’état neutre (émission d’un électron de
spin positif ou négatif), mais il n’existe qu’une manière de passer de l’état neutre à l’état
ionisé (capture d’un électron de spin déterminé) (Figure 1.20). On a donc beaucoup plus de
chance d’avoir un état neutre qu’un état ionisé.

Figure 1.20 : Passage d’un atome additif trivalent de l’état neutre

à l’état ionisé et vice versa.

B. Hadjoudja 27
Chapitre 1 Statistiques dans les semi-conducteurs

Finalement, en tenant compte d’une éventuelle dégénérescence des N a états du niveau

accepteur, la probabilité d’occupation du niveau E a par des électrons provenant de la bande de
valence (trous libres) s’écrit :
1
Pe Ea
Ea E F
1 a exp
KT
Avec, γa=2 : facteur de dégénérescence.

Par suite :

La concentration des trous libres (états de Ea occupés par des électrons provenant de la
bande de valence) est :
Na
Na N a Pe (E a ) (Atomes additifs trivalents ionisés)
E EF
1 2 exp a
KT

La concentration des états de Ea inoccupés par des électrons de la bande de valence

est :
Na
N oa Na Na (Atomes additifs trivalents neutres)
1 E Ea
1 exp F
2 KT

1.3.4. Position du niveau de Fermi

Dans un semi-conducteur extrinsèque la concentration des électrons libres est en général

différente de celle des trous libres.

1.3.4.1. Semi-conducteur de type N

Dans un semi-conducteur extrinsèque de type N :

La concentration des porteurs majoritaires (électrons) est :

E FN E c
nN N c exp
KT

La concentration des porteurs minoritaires (trous) est :

Ev E FN
pN N v exp
KT
EFN : représente le niveau de Fermi relatif à un semi-conducteur de type N

B. Hadjoudja 28
Chapitre 1 Statistiques dans les semi-conducteurs

La concentration des porteurs majoritaires est largement supérieure à celle des porteurs
minoritaires :
n N pN

En remplaçant nN et pN par leurs expressions respectives, on obtient :

E FN E c Ev E FN
N c exp N v exp
KT KT

A partir de cette inégalité, en tire :

Ec Ev KT Nv
E FN ln
2 2 Nc

Ou bien,

Ec Ev 3KT m *t
E FN ln *
2 4 me

Pour un semi-conducteur extrinsèque de type N, le niveau de Fermi se situe donc dans la

partie supérieure de la bande interdite (Figure 1.21).

Figure 1.21 : Position du niveau de Fermi dans un semi-conducteur

extrinsèque de type N.

B. Hadjoudja 29
Chapitre 1 Statistiques dans les semi-conducteurs

1.3.4.2. Semi-conducteur de type P

Dans un semi-conducteur extrinsèque de type P :

La concentration des porteurs majoritaires (trous) est :

Ev E FP
pp N v exp
KT

La concentration des porteurs minoritaires (électrons) est :

E FP Ec
np N c exp
KT
EFP : représente le niveau de Fermi relatif à un semi-conducteur de type P.

La concentration des porteurs majoritaires est largement supérieure à celle des porteurs
minoritaires :
pp n p

En remplaçant pP et nP par leurs expressions respectives, on obtient :

Ev E FP E FP E c
N v exp N c exp
KT KT

A partir de cette inégalité, en tire :

Ec Ev KT Nv
E FP ln
2 2 Nc

Ou bien,

Ec Ev 3KT m*
E FP ln *t
2 4 me

Pour un semi-conducteur extrinsèque de type P, le niveau de Fermi se situe donc dans la

partie inférieure de la bande interdite (Figure 1.22).

En général, on ne conserve pas l’indice N et P des niveaux de Fermi EFN et EFP. En effet, quel
que soit le type du cristal, son niveau de Fermi s’écrit EF.

B. Hadjoudja 30
Chapitre 1 Statistiques dans les semi-conducteurs

Figure 1.22 : Position du niveau de Fermi dans un semi-conducteur

extrinsèque de type P.

D’après les expressions précédentes de n, p, nN, pN, nP et pp, on constate que pour chaque type
de semi-conducteur, on a :
Eg
n.p n N .p N n P .p P N c N v exp n 2I
KT

On peut donc en conclure que le produit des concentrations des électrons et des trous dans un
semi-conducteur à l’équilibre thermique, qu’il soit intrinsèque, de type P ou de type N est
toujours égal à n 2I .

B. Hadjoudja 31