Resumé EDO
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4 Critère de stabilité
Théorème I.3
Soit le schéma à un pas yk+1 = yk + h Φ(xk , yk , h), une condition suffisante de
stabilité est donnée par :
Il existe une constante Λ, indépendante de h, telle que
kΦ(x, y, h) − Φ(x, z, h)k ≤ Λ ky − zk,
(I.4)
∀x ∈ [x0 , x0 + a], ∀y, z ∈ Rn , ∀h ∈ [0, h0 ]
Corollaire I.4
Si Φ vérifie (I.3) et (I.4) alors la méthode à un pas est convergente.
h (1)
yk+1 = yk + h f (xk , yk ) + f (xk , yk )
2
Si on appelle B la matrice q×q des bi,j , a et c les vecteurs de dimension q des co-
efficients respectivement ai et ci . La méthode se représente traditionnellement
par le tableau (tableau de Butcher) :
a B
cT
Remarque I.3 D’après les P critères vusPplus haut, une méthode de Runge
et Kutta est d’ordre 1 si i ci = 1 et i ci ai = 1/2. On démontre que les
méthodes de Runge et Kutta sont stables si f est Lipschitzienne. Elles ont
même une stabilité presque optimale.
0 0 k1 = f (xk , yk )
1/2 1/2 0 k2 = f (xk + h2 , yk + h2 k1 )
1/2 0 1/2 0 k3 = f (xk + h2 , yk + h2 k2 )
1 0 0 1 0 k4 = f (xk + h, yk + hk3 )
1/6 2/6 2/6 1/6 yk+1 = yk + h6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )
0 0 k1 = f (xk , yk )
1/3 1/3 0 k2 = f (xk + h3 , yk + h3 k1 )
2/3 −1/3 1 0 k3 = f (xk + 2h 3
, yk − h3 k1 + hk2 )
1 1 −1 1 0 k4 = f (xk + h, yk + h(k1 − k2 + k3 ))
1/8 3/8 3/8 1/8 yk+1 = yk + h8 (k1 + 3(k2 + k3 ) + k4 )
√ √ √ √
3+ 3 3+2 3
6√
1/4 12
k1 = f (xk + 3+6 3 h, yk + h4 k1 + 3+2
12
3
hk2 )
√ √ √
3− 3 3−2 3 3− 3 3−2 3
6 12
1/4 k2 = f (xk + 6 h, yk + 12 hk1 + h4 k2 ))
1/2 1/2 yk+1 = yk + h2 (k1 + k2 )
0 0 k1 = f (xk , yk )
1/2 1/4 1/4 k2 = f (xk + h2 , yk + h4 (k1 + k2 ))
1 0 1 0 k3 = f (xk + h, yk + hk2 )
1/6 4/6 1/6 yk+1 = yk + h6 (k1 + 4k2 + k3 )