Equations Maxwell

UNIVERSITÉ SULTAN MOULAY SLIMANE
Faculté Polydisciplinaire
Béni Mellal
Notes de Cours
Électromagnétisme dans le vide
Les équations de Maxwell dans le vide

Filières : SMP, SMC, SMA, SMI (S3)
Élaboré par:
Pr Elmostafa ATIFY
Département de Physique
FP Béni Mellal
Les équations locales de Maxwell
Outline
1 Les équations locales de Maxwell

Les équations en régime variable
Les équations en régime statique
2 Les formes intégrales des équations de Maxwell

3 Etude du potentiel
4 Les équations de propagation des potentiels

Équation de propagation du potentiel vecteur
Équation de propagation du potentiel scalaire
5 L'approximation des régimes quasi-stationnaires (A.R.Q.S) ou quasi-permanent(A.R.Q.P)

Potentiels retardés
A.R.Q.P
E.ATIFY (F.P, Béni Mellal) Électromagnétisme dans le vide November 24, 2019 2 / 24
Les équations locales de Maxwell Les équations en régime variable
Les équations locales de Maxwell
→
−
Soit une distribution de charges dénie par ρ(M, t) et de courant³ par la densité ´j (M, t) qui
→
− →−
crée un champ électromagnétique, en un point M à l'instant t , E (M, t), B (M, t) .
Les équations de Maxwell relient, dans des référentiels galiléen, le champ électromagnétique
aux sources qui le créent.
Les équations de Maxwell locales dans le vide sont :
→
− ρ(M, t)
(1) • div E (M, t) = Maxwell-Gauss
ε0
→
−
(2) • div B (M, t) = 0 Maxwell-Flux ou Maxwell-Thomson
→
−
−→ →− ∂ B (M, t)
(3) • rot E (M, t) = − Maxwell- Faraday
∂t →
−
−→ →
− →
− ∂ E (M, t)
(4) • rot B (M, t) = µ0 j (M, t) + µ0 ε0 Maxwell- Ampère
∂t
→
−
Le vecteur densité de courant de déplacement j d (M, t) est déni par :
→
−
→
− ∂ E (M, t)
j d (M, t) = ε0 (1)
∂t
Contenu des équations de Maxwell
Équation de Maxwell-Faraday :
→
−
−→ →− ∂ B (M, t) (2)
(3) • rot E (M, t) = −
∂t
Là où il y a un champ magnétique non statique (dépend du temps ) il y aura un champ

électrique, c'est le phénomène d'induction électromagnétique.
Équation de Maxwell- Ampère :
→
−
−→ →
− →
− ∂ E (M, t) (3)
(4) • rot B (M, t) = µ0 j (M, t) + µ0 ε0
∂t
Il y a deux cause de production du champ magnétique :

→
−
le courant j (M, t);
un champ électrique variable dans le temps.
→
− →
−
En régime variable B (M, t) et E (M, t) sont inséparables
Contenu des équations de Maxwell
Équation de conservation de la charge :

Ã →
− !
³ →
−→ −
´ →− ³→− →− ³→
− ∂ E (M, t)
(4)
´ ´
div rot B (M, t) = ∇ . ∇ ∧ B (M, t) = µ0 div j (M, t) + µ0 ε0 div =0
∂t
Soit aussi :
→
−
→
− ∂div E (M, t)
div j (M, t) + ε0 = 0
→
−
∂t
∂ρ(M, t)
(5)
div j (M, t) + = 0 : équation de conservation de la charge
∂t
Expression de la célérité c de la lumière dans le vide :

1
µ0 ε0 = 2 (6)
c
Autrement
1
c= p = 3.108 m/s (7)
µ0 ε0
Les équations locales de Maxwell Les équations en régime statique
Les équations locales de Maxwell en régime statique
Les équations locales de Maxwell en régime statique dans le vide sont :

→
− ρ(M)
(1) • div E (M) =
ε0
→
−
(2) • div B (M) = 0
−→ →− →
−
(3) • rot E (M) = 0
−→ →− →
−
(4) • rot B (M) = µ0 j (M)
→
− →
−
En régime statique, et sont séparés : un champ électrostatique ne peut pas créer un
E B
champ magnétostatique et inversement.
Les formes intégrales des équations de Maxwell
Outline




A.R.Q.P
Les formes intégrales des équations de Maxwell Les équations en régime variable
Équation de Maxwell-Gauss :
Équation locale :
→
− ρ
div E (M, t) = (8)
ε0
En intégrant sur le volume (V ) :
ρ(M, t)
Ñ Ñ
→
−
div E (M), t)dτ(M) = dτ(M) (9)
(V ) (V ) ε0
Forme intégrale de l'équation de Maxwell-Gauss ((S) surface fermé qui engendre (V )) :

−
→ 1 q
Ó Ñ
→
−
E (M, t)dS(M) = ρ(M, t)dτ(M) = int (10)
(S) ε0 (V ) ε0
Le théorème de Gauss reste valable en régime variable.
Équation de Maxwell-Flux :
Équation locale :
→
−
div B (M, t) = 0 (11)
En intégrant sur le volume (V ) :
−
→
Ñ Ó
→
− →
−
div B (M), t)dτ(M) = B (M, t)dS(M) = 0 (12)
(V ) (S)
Forme intégrale de l'équation de Maxwell-Flux :

−
→
Ó
→
−
B (M, t)dS(M) = 0 (13)
(S)
Conservation du ux du champ magnétique en régime variable.
Les formes intégrales des équations de Maxwell Les équations en régime variable
Équation de Maxwell-Faraday :
Équation locale :
→
−
−→ →− ∂ B (M, t)
rot E (M, t) = − (14)
∂t
En intégrant sur une surface (S) :
→
−
−
→ →
− ∂ B (M, t) −
→
Ï I Ï
−→ →− →
−
rot E (M, t)dS(M) = E (M, t)dl(M) = − dS(M) (15)
(S) (C) (S) ∂t
Forme intégrale de l'équation de Maxwell-Fraday sur une surface ((S) une surface quelconque
ouverte qui s'appuie sur le contour (C)) :
→
−
→
− ∂ B (M, t) −
→
I Ï
→
−
E (M, t)dl(M) = − dS(M) (16)
(C) (S) ∂t
→
−
La circulation du champ électrostatique E (M, t) n'est pas conservative dans un régime non
statique càd la circulation du champ électrostatique dépend du chemin suivi.
Équation de Maxwell-Ampère :
Équation locale : " →
− #
−→ →
− →
− ∂ E (M, t)
rot B (M, t) = µ0 j (M, t) + ε0
h→
∂t (17)
−→ →
− − →
− i
rot B (M, t) = µ0 j (M, t) + j d (M, t)
En intégrant sur une surface ((S) une surface quelconque ouverte qui s'appuie sur le contour (C)) :
·Ï ¸
−
→ →
− −
→ −
→
Ï I Ï
−→ →
− →
− →
− →
−
rot B (M, t)dS(M) = B (M, t)dl(M) = µ0 j (M, t)dS(M) + j d (M, t)dS(M) (18)
(S) (C) (S) (S)
Forme intégrale de l'équation de Maxwell-Ampère :
→
−
I
→
−
B (M, t)dl(M) = µ0 I(t) + Id (t) (19)
£ ¤
(C)
C'est le théorème d'Ampère généralisé.
Etude du potentiel
Outline




A.R.Q.P
Etude du potentiel
Le potentiel scalaire
Rappel
Équation locale de Maxwell-Thomson
→
−
div B (M, t) = 0 (20)
→
− →
−
B (M, t) dérive d'un potentiel vecteur A (M, t)
→
− −→ →−
B (M, t) = rot A (M, t) (21)
→
−
A (M, t) n'est pas unique :
→
−0 →− −−−→
A (M, t) = A (M, t) + grad f (M, t) (22)
D'après Maxwell-Faraday :
→
−
−→ →− ∂ B (M, t)
rot E (M, t) = −
−→ →−∂t
∂rot A (M, t) (23)
= −
→
−∂t
−→ ∂ A (M, t)
= −rot
∂t
On en déduit que : Ã →
− !
−→ → − ∂ A (M, t) →
−
rot E (M, t) + = 0 (24)
∂t
Etude du potentiel
Le potentiel vecteur et le potentiel scalaire
Potentiel scalaire
Ã →
− ! →
−
−→ → − ∂ A (M, t) →
− →
− ∂ A (M, t)
rot E (M, t) + = 0 donc E (M, t) + dérive d'un potentiel scalaire V (M, t).
∂t ∂t
→
−
→
− ∂ A (M, t) −−−→
E (M, t) + = −grad V (M, t)
∂t
Soit aussi : →
−
→
− ∂ A (M, t) −−−→
E (M, t) = − − grad V (M, t) (25)
∂t
→
− →
−
Soient ( A (M, t), V (M, t)) et (A0 (M, t), V 0 (M, t)) deux couples de potentiels pour le même champ
→
− →
−
électromagnétique ( E (M, t), B (M, t)) avec :
→
−0 →
− −−−→
A (M, t) = A (M, t) + grad f (M, t)
→
−
→
− ∂ A (M, t) −−−→
E (M, t) = − − grad V (M, t) (26)
−0 ∂t
→
→
− ∂A (M, t) −−−→ 0
E (M, t) = − − grad V (M, t)
∂t
On en déduit que :
→
− →
−
∂ A (M, t) −−−→ ∂A0 (M, t) −−−→ 0
− − grad V (M, t) = − − grad V (M, t)
∂t ∂t
Etude du potentiel
Le potentiel vecteur et le potentiel scalaire
→
− →
−
∂ A (M, t) −−−→ ∂A0 (M, t) −−−→ 0
+ grad V (M, t) = + grad V (M, t)
∂t h→ ∂t−−−→
− i
∂ A (M, t) + grad f (M, t) −−−→
= + grad V 0 (M, t)
→
− ∂t −−−→
=
∂ A (M, t) ∂grad f (M, t) −−−→ 0
+ + grad V (M, t)
(27)
− ∂t
→ ∂t
∂ A (M, t) −−−→ ∂f (M, t) −−−→ 0
= + grad + grad V (M, t)
→−∂t · ∂t
∂ A (M, t) −−−→ ∂f (M, t)
¸
= + grad + V 0 (M, t)
∂t ∂t
En en déduit :
∂f (M, t)
V (M, t) = + V 0 (M, t)
∂t
Soit aussi
∂f (M, t)
V 0 (M, t) = V 0 (M, t) −
∂t
est une fonction scalaire quelconque. Il exista une innité de potentiels scalaires associées
f (M, t)
au même champ électromagnétique.
Conclusion
→
− →
−
Pour le même champ électromagnétique ( E (M, t), B (M, t)) on lui associé une innité de couples de
→
−
potentiels ( A (M, t), V (M, t)).
Etude du potentiel
Jauge de Lorentz
Jauge de Lorentz
→
−
Un choix du couple ( A (M, t), V (M, t)) est tel que :
→
− ∂V (M, t)
div A (M, t) + µ0 ε0 =0 (28)
∂t
Soit aussi
→
− 1 ∂V (M, t)
div A (M, t) + 2 =0 (29)
c ∂t
Cette condition est la jauge de Lorentz
Remarque : Cas statique

∂V (M, t) →
−
En statique =0 on retrouve donc la jauge de Coulomb. À savoir, div A (M, t) = 0
∂t
Les équations de propagation des potentiels
Outline




A.R.Q.P
Les équations de propagation des potentiels Équation de propagation du potentiel vecteur
−→ −→ → − −−−→ ³ →
− ´ →
−
rot rot A (M, t) = grad div A (M, t) − ∆ A (M, t)
−→ → − −−−→ ³ →
− ´ →
−
rot B (M, t) = grad div A (M, t) − ∆ A (M, t) (30)
→
−
→
− ∂ E (M, t) −−−→ ³ →
− ´ →
−
µ0 j (M, t) + µ0 ε0 = grad div A (M, t) − ∆ A (M, t)
∂t
→
−
→
− ∂ A (M, t) −−−→
Sachant que : E (M, t) = − − grad V (M, t) Donc
∂t
" → − #
∂ A (M, t) −−−→
∂ − − grad V (M, t)
→
− ∂t −−−→ ³ →
− ´ →
−
µ0 j (M, t) + µ0 ε0
∂t
= grad div A (M, t) − ∆ A (M, t) (31)
2 →
−
∂ A (M, t) −−−→ ∂V (M, t)
µ ¶
→
− −−−→ ³ →
− ´ →
−
µ0 j (M, t) − µ0 ε0 − µ0 ε0 grad = grad div A (M, t) − ∆ A (M, t)
∂t 2 ∂t
Donc :
→
−
∂2 A (M, t) ∂V (M, t)
µ ¶
−−−→
→
−
∆ A (M, t) − µ0 ε0 =
→
−
−µ0 j (M, t) + grad µ0 ε0
→
−
+ div A (M, t) (32)
∂t 2 ∂t
D'après la jauge de Lorentz :

∂V (M, t) →
−
µ0 ε0 + div A (M, t) = 0 (33)
∂t
Les équations de propagation des potentiels Équation de propagation du potentiel vecteur
→
−
Équation de propagation de A (M, t)
→
−
1 ∂2 A (M, t)
→
−
∆ A (M, t) − 2 =
→
−
−µ0 j (M, t) (34)
c ∂t 2
Remarque
→
−
L'équation de propagation de A (M, t) (34) est l'équation de poisson généralisé .
Équation de propagation
L'équation de propagation est toute équation mathématique qui relie les dérivées partielles
d'espace d'une fonction scalaire ou vectorielle et ces dérivées partielles temporelles.
Remarque
En statique, on touve l'équation de poisson :
→
− →
− →
−
∆ A (M) + µ0 j (M) = 0 (35)
n'est pas une équation de propagation.
Les équations de propagation des potentiels Équation de propagation du potentiel scalaire
→
− ρ(M, t)
div E (M, t) =
ε0
Ã →
− !
−−−→ ∂ A (M, t) ρ(M, t)
div −grad V (M, t) −
∂t
=
ε0
(36)
→
−
∂div A (M, t) ρ(M, t)
−∆V (M, t) − =
∂t ε0
D'après la jauge de Lorentz :
→
− ∂V (M, t) 1 ∂V (M, t)
div A (M, t) = −µ0 ε0 =− 2
∂t c ∂t
D'où :
1 ∂2 V (M, t) ρ(M, t)
−∆V (M, t) + 2 = (37)
c ∂t 2 ε0
Équation de propagation de V (M, t)

1 ∂2 V (M, t) ρ(M, t)
∆V (M, t) − 2 = − (38)
c ∂t 2 ε0
Remarque
L'équation de propagation de V (M, t) (38) est son équation de poisson généralisé .
Remarque
En statique, on touve l'équation de poisson :
ρ(M)
∆V (M) + = 0 (39)
ε0
n'est pas une équation de propagation.
Équations de propagation hors charge et hors courant
En dehors de la distribution de charge et de courant càd on se retrouve en un point M tel que

→
− →
−
ρ(M, t) = 0 et j (M, t) = 0 . Les équation de propagations des potentiels devient :
→
−
Équation de propagation de A (M, t) hors courant
→
−
1 ∂2 A (M, t)
→
−
∆ A (M, t) − 2 =
→
−
0 (40)
c ∂t 2
Équation de propagation de V (M, t) hors charge

1 ∂2 V (M, t)
∆V (M, t) − 2 = 0 (41)
c ∂t 2
Denition (Opérateur Alembertien)

On dénit l'opérateur D'alembrtein, noté ä (.) tel que:
1 ∂2 (.)
ä (.) = ∆ (.) − 2 (42)
c ∂t 2
Équations de propagation D'Alembert
En dehors de la distribution de charge et de courant càd on se retrouve en un point M tel que

→
− →
−
ρ(M, t) = 0 et j (M, t) = 0 . Les équation de propagations des potentiels sont données par les
équations D'Alembert :
→
−
Équation de D'Alembert pour A (M, t)
→
−
1 ∂2 A (M, t)
→
− (43)
³→
− ´ →
−
∆ A (M, t) − 2 = ä A (M, t) = 0
c ∂t 2
Équation de D'Alembert pour V (M, t)

1 ∂2 V (M, t)
∆V (M, t) − 2 = ä (V (M, t)) = 0 (44)
c ∂t 2
quasi-permanent(A.R.Q.P)
Outline




A.R.Q.P
quasi-permanent(A.R.Q.P) Potentiels retardés
Les solutions mathématiques des équations (44) et (43) pour une distribution (D) nie sont :
Les potentiels retardés
µ
PM
¶
ρ P, t −
1 Ð c
V (M, t) = (D) dτ(P)
4πε0
→
−
µ PM ¶
PM
(45)
j P, t −
→
− µ0 Ð c
A (M, t) = (D) dτ(P)
4π PM
Commentaire
→
− →
−
Pas de simultanéité entre causes (ρ, j) et les eets crées ( A , V ).
PM
Les valeurs des eets à l'instant t sont reliées aux valeurs de causes à l'instant t − .
c
PM
Les eets au point M sont ressentis après un retard de τp =
c
Ces solutions sont appelées solutions retardées et le retard est due à la vitesse nie de
propagation qui est c.
quasi-permanent(A.R.Q.P) A.R.Q.P
A.R.Q.P
Denition (A.R.Q.P)
PM
Dans l'A.R.Q.S on néglige le temps de propagation τp = devant tout temps caractéristique de
c
variation de la distribution.
conséquence
Si la distribution varie périodiquement au cours du temps d'une période T , dans l'A.R.Q.P :
τp << T (46)

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Les équations de Maxwell dans le vide

1 Les équations locales de Maxwell

2 Les formes intégrales des équations de Maxwell

4 Les équations de propagation des potentiels

5 L'approximation des régimes quasi-stationnaires (A.R.Q.S) ou quasi-permanent(A.R.Q.P)

Les équations locales de Maxwell

Contenu des équations de Maxwell

Là où il y a un champ magnétique non statique (dépend du temps ) il y aura un champ

Il y a deux cause de production du champ magnétique :

Contenu des équations de Maxwell

Équation de conservation de la charge :

Expression de la célérité c de la lumière dans le vide :

Les équations locales de Maxwell en régime statique

Les équations locales de Maxwell en régime statique dans le vide sont :

1 Les équations locales de Maxwell

2 Les formes intégrales des équations de Maxwell

4 Les équations de propagation des potentiels

5 L'approximation des régimes quasi-stationnaires (A.R.Q.S) ou quasi-permanent(A.R.Q.P)

Les formes intégrales des équations de Maxwell

Forme intégrale de l'équation de Maxwell-Gauss ((S) surface fermé qui engendre (V )) :

Forme intégrale de l'équation de Maxwell-Flux :

Conservation du ux du champ magnétique en régime variable.

Les formes intégrales des équations de Maxwell

1 Les équations locales de Maxwell

2 Les formes intégrales des équations de Maxwell

4 Les équations de propagation des potentiels

5 L'approximation des régimes quasi-stationnaires (A.R.Q.S) ou quasi-permanent(A.R.Q.P)

Le potentiel vecteur et le potentiel scalaire

Le potentiel vecteur et le potentiel scalaire

Remarque : Cas statique

1 Les équations locales de Maxwell

2 Les formes intégrales des équations de Maxwell

4 Les équations de propagation des potentiels

5 L'approximation des régimes quasi-stationnaires (A.R.Q.S) ou quasi-permanent(A.R.Q.P)

Équation de propagation du potentiel vecteur

D'après la jauge de Lorentz :

Équation de propagation du potentiel vecteur

Équation de propagation du potentiel scalaire

Équation de propagation du potentiel scalaire

Équation de propagation de V (M, t)

n'est pas une équation de propagation.

Équations de propagation hors charge et hors courant

En dehors de la distribution de charge et de courant càd on se retrouve en un point M tel que

Équation de propagation de V (M, t) hors charge

Denition (Opérateur Alembertien)

Équations de propagation D'Alembert

En dehors de la distribution de charge et de courant càd on se retrouve en un point M tel que

Équation de D'Alembert pour V (M, t)

1 Les équations locales de Maxwell

2 Les formes intégrales des équations de Maxwell

4 Les équations de propagation des potentiels

5 L'approximation des régimes quasi-stationnaires (A.R.Q.S) ou quasi-permanent(A.R.Q.P)

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Conservation du ux du champ magnétique en régime variable.

Denition (Opérateur Alembertien)