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    TD1 Produit Scalaire 1S1

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    Lycée de El Hadji Omar Lamine BADJI

    Année 2008/2009
    1ère S2 M. FALL
    Série n°3 : Le Produit Scalaire
    Exercice 1 :
    1) On considère un triangle rectangle isocèle ABC de sommet A tel que AB = 2.
     
    Calculer BA.BC de trois façons différentes.
       
    2) Soit ABC un triangle tel que AB = 3, BC = 4 et AC = 2 ; Calculer AB. AC et BA.BC
    3) soit A et B deux points du plan tels que AB = a( a>0). Exprimer en fonction de a les produits
       
    scalaires suivantes : AB. AI , où I est le milieu de [AB] ; BA. JB , où J est le symétrique de B par rapport
    à et KB. AB , où K est définie par BK =3BA
       

    Exercice 2 :
    On considère un hexagone régulier ABCDEF de centre O. de côté a (a>0) Calculer les produits
    scalaire suivantes en fonctions de A :
                   
    a) OB.OA ; OD.OE ; OC .OE ; OB.CB b) CB.FE ; ED.CB ; EB.FA et EB.CA
    Exercice 3:
    1) Soit A et B deux points du plant tels que AB = 2 cm. Déterminer et construire l’ ensemble des
    points M tels que : a ) AM . AB = 0 ; b) AM . AB = 1 ; c ) AM . AB = 2 et AM = 4 ; d ) AM . AB = −2
           

    2) A et B deux points du plant tels que AB = 8cm.


    a) Soit G le barycentre de ( A,1) et ( B ;-9) Déterminer la position de G et calculer AG et BG.
    b) Construire l’ ensemble (E1) des points M du plan tels que : ( MA−9 MB ). AB =0
      

    Exercice 4:
    Soit (O ;I ;J) un repère du plan. On considère les points A ( 1 ; 0) , B ( 1+ 3 ; 1) et C(3 ; 2 3 )
    1. Calculer le produit scalaire AB. AC ; en déduire la mesure l’ angle géométrique θ = ( AB; AC )
       
       
    2. a. Déterminer l’ ensemble (ξ )des points M du plan vérifiant MB. MC = AB. AC
    b. Montrer que le point A ∈ (ξ) et construire( ξ ).
    3. Soit I le milieu de [AB] ;écrire une condition pour que le point M appartient à la médiatrice (D)
    de [AB] ; puis en déduire l’ équation cartésienne de cette droite. Calculer la distance du point
    E( 1 ;3) à la droite (D).
    Exercice 5 :
    Soit ( O;i ; j ) un repère orthonormé du plan ;(Ω) le cercle de centre O et de rayon r = 3 et (Ω’) le
     

    cercle de centre O’(0 ;2) et de rayon r’ = 1.


    1. Déterminer les équations cartésiennes de (Ω) et (Ω’)
    2. Montrer que (Ω) et (Ω’) ont deux points d’intersection dont on déterminera les coordonnées. On
    notre A et B ces points.
    Exercice 6 :
    Un cercle( C ) de centre O et de rayon R est donné. Par un point M quelconque du plan on trace une
    droite qui coupe (C) en A et B
    1. I est le milieu de [AB] et A’ le point de (C ) diamétralement opposé à A. vérifier que :
    P = MA .MB = MA.MA ' = MA2 − IA2 = MO 2 − R 2
       

    Remarque: le réel P ne dépendant que de M et de (C ) et non de (AB) ; par définition la


    puissance d’ un point M du plan par rapport à un cercle (C ) de centre O et de rayon R est le réel
    P = MO2 − R2 .
    2. Quels sont les points M du plan qui ont une puissance:
    a) nulle ? b) négative ? c) positive d) égale à R2 ? e) égale à –R2 ?
    3. On donne deux cercles ( C ) de centre O et de rayon 3 et ( C’ ) de centre O’ et de rayon 4 tel que la
    distance OO’ = 5 . Quel est l’ensemble des points dont les puissances par rapport aux deux cercles
    sont égales ? opposées ?

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