Mécanique des fluides Licence Professionnelle «Energies Renouvelables»

TD de Mécanique des fluides

Licence Professionnelle «Energies Renouvelables»
A.U 2021-2022

Exercice 1.
La masse volumique de l’eau d’un lac est ρ = 101
. 103 kg / m3 .
 Quel est le gradient de pression en un point quelconque de l’eau du lac ?
 Quelle est la différence de pression entre deux points dont la distance verticale est
de 10 mètres ? (prendre g = 9.8 m / s2 ).

Exercice 2.
Deux récipients cylindriques A et B de section respective S = 100 cm2 et s = 10cm 2
communiquent entre eux par un tube de très faible volume horizontal au fond. Les fonds des
deux récipients sont dans le même plan horizontal. On introduit dans A un volume
V1 = 1 litre d’eau puis, toujours dans A, on ajoute V2 = 1 / 2 litre d’huile.
Déterminer le niveau de l’eau dans le récipient B et la dénivellation entre les
surfaces libres en A et en B.
Application numérique : ρ1 = 103 kg / m3 (eau) et ρ2 = 800 kg / m3 (huile).

Exercice 3.
On considère un manomètre à trois liquides :
 Le liquide 1 est de l'aniline (𝜌𝜌1 = 1022 𝑘𝑘𝑘𝑘. 𝑚𝑚−3). Il se trouve dans la partie AM.
 Le liquide 2 est du mercure (𝜌𝜌2 = 13600 𝑘𝑘𝑘𝑘. 𝑚𝑚−3). Il se trouve dans la partie MN.
 Le liquide 3 est de l'eau. Il se trouve dans la partie NB.

M
N

Les réservoirs A et B sont reliés à deux récipients où règnent respectivement des pressions
différentes p1 et p2.
1. Exprimez la différence de pression (p1-p2) en fonction des trois masses volumiques et
des hauteurs h1, h2, h3, h4 et h5.
2. Application numérique : h1 = 10 cm, h2= 27 cm, h3= 6 cm, h4 = 42 cm et h5 = 15 cm.
3. Qu'est-ce qu'un manomètre ?

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Exercice 4.
Un piston vertical de rayon R = 5 cm et de masse M = 5 kg appuie sur un liquide
contenu dans un cylindre.
 Faire le bilan des forces s’exerçant sur le piston. En déduire la pression qui
s’exerce sur la surface de ce liquide au contact du piston. La donner en Pa, en bar et en mCE.
La pression atmosphérique est de 1 bar, soit environ 105 Pa.
 Un corps de pompe cylindrique vertical contient de l’eau sur laquelle repose ce
piston mobile sans frottement. Ce piston est maintenant traversé par un tube fin ouvert à ses
deux extrémités. Jusqu’à quelle hauteur h l’eau monte-t-elle dans ce tube ?
On comptera h à partir de la base inférieure du piston. Application numérique : g = 10 m / s2 .

Exercice 5.
Un aquarium est constitué d'un bac parallélépipédique posé sur un contour métallique muni de
quatre pieds. Les dimensions sont : a = 150 cm, b = 75 cm. Le bac, ouvert sur l’atmosphère,
contient de l'eau sur une hauteur c = 60 cm.
 
1. Calculez les résultantes F1 et F3 des forces exercées par l’eau respectivement sur la
face latérale verticale hachurée sur la figure et sur le fond de l’aquarium.
2. Précisez les coordonnées des centres de poussée correspondants sachant que l’origine
du repère est placée selon la figure ci-dessous.
On ajoute sur l’eau un volume V = 225 dm3 d’huile non miscible avec l’eau et de densité
égale à 0,8.
3. Déterminez la pression relative au fond de l’aquarium.

z 
g

a

y

b
c


x

Exercice 6.
Un tube cylindrique fermé à sa partie inférieure et lesté est immergé sur une hauteur
h = 10 cm quand il flotte sur l’eau.
 Dans un autre liquide, la hauteur immergée est h ′ = 12 cm . Calculer la densité de
ce liquide.
 De l’eau est maintenant surmontée d’une couche du liquide étudié d’épaisseur
e = 5 cm . On fait flotter le tube précédent dans ce système de fluides. Quelle est la hauteur
totale h′′ maintenant immergée ?

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Exercice 7.
1 ρs − ρ f
Nous allons démontrer la formule de Stockes u∞ = g D2 .
18 µ
Cette formule donne l'expression de la vitesse de chute d’une bille dans un fluide.
On laisse tomber une bille de diamètre D = 2 R et de masse volumique ρs sans vitesse
initiale dans un fluide de masse volumique ρf et de viscosité dynamique µ immobile contenu
dans un tube de verre vertical.
Les forces de viscosité s’exerçant sur la bille ont pour résultante la force de traînée T,
donnée dans ce cas-là par : T = 6πµRu∞ .

 Enoncer le théorème d’Archimède.

 Faire le bilan des forces qui s’exercent sur
la bille en précisant clairement leur nom, leur
sens et leur point d’application.
 En déduire la vitesse u∞ de la bille,
supposée constante au cours de l’essai.
 D’un point de vue expérimental, quel est
l’intérêt de cette formule ?

Exercice 8.
Dans une conduite horizontale de diamètre D = 500 mm circule du pétrole considéré
comme un fluide isovolume ( ρ = 870 kg / m3 , µ = 0.25 USI ). Le débit volumique est
Q v = 50 l / s .
1. Qu’est-ce qu’un fluide isovolume ?
2. Définir le nombre de Reynolds. Donner les trois types d’écoulement possibles d’un
fluide et commentez les lignes de courant associées à chaque régime (figure 1).

Figure 1
3. Calculez la vitesse dans la conduite. Quel est le type de régime associé ? En déduire le
profil du champ de vitesse dans une section droite.
4. Calculez la vitesse du pétrole sur l’axe de la conduite.

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5. En supposant le fluide parfait, calculez la pression du pétrole dans la conduite sachant

qu’une pression de 4 105 Pa a été mesurée dans une conduite coaxiale de diamètre
20 mm dans le même circuit.
6. Le fluide n’étant pas parfait, calculez la puissance perdue par frottements visqueux sur
une longueur L = 1 km de conduite de diamètre 500 mm.

Exercice 9.
Dans une conduite cylindrique horizontale, circule de l’eau. On relie un manomètre
différentiel à deux prises de pression pratiquées dans la paroi à une distance l = 5 m l’une de
l’autre. La variation de pression est de : ∆p = 3,2 hPa .
 Calculer la perte de charge linéique ϖ . Que se passe-t-il si la conduite n’est pas
horizontale ?
 Le débit est Q = 50 l / s . Quelle est la puissance dissipée sous forme de
frottements sur une longueur de L = 1 km ?
 On refait une mesure en reliant le manomètre à deux prises de pression situées à 50
cm avant et 50 cm après un coude à angle droit de la conduite horizontale. La variation de
pression mesurée est de 2,1 hPa.
A quelle longueur de conduite droite ce coude est-il équivalent pour les pertes de
charge ?

Exercice 10.
Nous allons étudier l’écoulement du pétrole ( ρ = 800 kg / m3 ) supposé incompressible
dans une conduite horizontale circulaire de diamètre D1 = 12 cm avec un débit de 16.3 m3/h.
Une conduite secondaire d’axe coaxial et de diamètre D 2 = 4 cm est raccordée à la première.
La viscosité dynamique du pétrole est : µ = 0.02 Pa s . La pression dans la section droite
d’entrée de la première conduite est : p1 = 4 105 Pa .
1. Calculer la vitesse dans les deux conduites. Dessiner l’allure du champ de vitesse
dans une section droite de chacune des conduites.
2. Deux choix sont retenus pour raccorder les deux conduites supposées lisses : un
rétrécissement brutal (Figure a) et un rétrécissement progressif (Figure b). Quelles sont les
pertes de charge présentes dans cette portion de circuit hydraulique composé des deux
conduites supposées lisses ? Pour les trois pertes de charge exprimées en hauteur, donner leur
expression littérale et leurs valeurs numériques en détaillant la détermination du coefficient de
pertes de charge.

D1 D2 D1 D2

L1 L2 L1 L2
Figure a Figure b

Application numérique : L1 = L2 = 5 m

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Exercice 11.

S 1. Calculer la vitesse de l’écoulement

z pour un réservoir ouvert sur
h l’atmosphère.
2. Calculer le temps de vidange du
réservoir.
s 3. Etude de la vidange avec un siphon.

Exercice 12. Etude de débitmètres

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Exercice 13. Pré-dimensionnement d’un circuit hydraulique élémentaire

On propose ici une démarche de pré-dimensionnement d’une pompe hydraulique utilisée dans
un circuit hydraulique élémentaire.

1- Description du circuit

La figure ci-dessous décrit le schéma hydraulique et renseigne certains paramètres. En

annexe, des extraits de la norme de représentation des composants hydrauliques sont proposés
afin d’identifier les composants du schéma.

Les propriétés de l’huile utilisée sont : ρ = 850 kg m-3 et ν = 0.25 St.

DAB = 21 mm
conduite
LAB = 8 m
supposée lisse

Dt = 40 mm
A vérin Dc = 100 mm
B ηv = 0.9

M
C
DCD = 21 mm
conduite
LCD = 8 m
D

On cherche à déterminer les puissances de la pompe et du moteur à installer. On donne le

rendement de la pompe : ηp ≈ 0.82.
Le cahier des charges impose une force Fv de 75 kN avec une vitesse vv=0.25 m.s-1 au niveau
du vérin.

2- Analyse

Déterminer la pression au point B.

Déterminer la vitesse du fluide dans la jonction AB. En déduire les pertes de charge dans cette
jonction (régulières + singulières).

Déterminer la pression nécessaire en sortie de pompe.

Déterminer la puissance de la pompe puis celle du moteur.

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Annexe

Vérins

Limiteurs de pression

Filtre

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Exercice 14.Ecoulement de Couette

Le fluide considéré est l’eau de viscosité dynamique : µ = 0.001 kg.m-1.s-1 et de
masse volumique : ρ = 1 000 kg.m-3.

Nous considérons ici que le plan supérieur est en translation uniforme de vitesse v0.
v0 Données :
∆pe ∆ps
b L =0.5 m
b = 10 mm
L

Tracer les champs de pression et de vitesse pour les trois cas suivants :
1er cas 2ème cas 3ème cas
∆pe = 5 Pa, ∆pe = 5 Pa, ∆pe = 1 Pa,
∆ps = 1 Pa, ∆ps = 1 Pa, ∆ps = 5 Pa,
v0 = 0 m.s-1 v0 = 2 m.s-1 v0 = 0,1 m.s-1