Chapitre II.

Diffusion et transfert de matière

Diffusion moléculaire dans les fluides

La diffusion est le mouvement des molécules individuelles à travers une substance; c’est
un transfert de substance à l’échelle moléculaire.
Exemple: Transfert d’eau placée à l’air libre
Ce sont les molécules d’eau qui diffusent dans l’air où elles sont entraînées. Ce n’est pas
un mouvement global de liquide mais un mouvement à l’échelle de molécules.
Remarque: Le mouvement global de liquide s’obtient si on a une différence de pression
(Transfert de quantité de mouvement, voir L2).

Force motrice : Le transfert de matière est causé par une différence de concentration. La
substance qui diffuse se déplace d’une région de haute concentration vers une région de
basse concentration. Le mouvement s’arrête dés qu’il y a uniformité des concentrations
dans les deux régions.
La diffusion est causée par l’existence d’un gradient de potentiel chimique (gradient de
concentration); c’est la force motrice. La force motrice pour une diffusion est
l’existence donc d’un gradient de concentration.

Lois de diffusion moléculaire

Loi de Fick : La première loi de Fick décrit le lien entre le flux de diffusion et le
gradient de concentration.
C A
J A   D AB
z
JA est le flux molaire de diffusion (mol/m2 s);
DAB est le coefficient de diffusion de A dans B (m2/s);
CA est la concentration molaire de A (mol/m3);
z est la distance dans la direction de la diffusion (m).

Equation générale de diffusion

Le taux de diffusion avec lequel un soluté bouge à un point particulier et dans une
direction donnée dépend du gradient de concentration en ce point.

-1-
Pour un mélange de deux constituants (A et B), deux flux sont nécessaires pour la
C
description du mouvement d’un constituant en régime stationnaire ( 0 )
t
Le flux net des deux constituants est: N A  N B  N
De façon générale, le mouvement de A est constitué de:
- La part résultant du mouvement « bulk », soit NyA
- La part résultant de la diffusion, JA
C A dC A
N A  N y A  J A avec J A   D AB   D AB (Régime stationnaire).
z dz
dC A
On aura : N A  N A  N B y A  D AB
dz
C B
De même : N B  N A  N B y B  D AB
z
CA dC A
Puisque y A  , alors dy A  c.à.d. dC A  C dy A
C C
dy A
D’où : N A  N A  N B y A  D AB C 
dz
 N  dy A
N A  N A 1  B  y A  D AB C 
 NA  dz

  N  dy A
N A 1  y A 1  B    D AB C 
  NA  dz

1 dy A
N A   D AB C
 N  dz
1  y A 1  B 
 NA 
Intégration de l’équation :
1 dy A D C dy A
dz   D AB C   AB 
 N  NA NA  N 
1  y A 1  B  1  y A 1  B 
 NA   NA 
z yA 2
N D AB C dy A
Posons 1  B   , on aura :
NA 0 dz   N A 
y A1
1 

D AB C  1 1 y A 2 
D’où : z 2  z1    ln 
N A   1 y A1 

D AB C 1  1  y A 2 
Enfin : N A  ln
z 2  z1    1  y A1 

-2-
Diffusion dans les gaz
P
En supposant que le mélange est un gaz parfait, on peut écrire : C 
RT
C A PA
Puisque y A   avec PA la pression partielle de A dans le mélange et Pt la
C Pt

pression totale.

D AB Pt 1  Pt  PA 2 
L’équation ci-dessus devient donc : N A  ln 
RTz   Pt  PA1 

D AB Pt 1  1  y A 2 
Ou encore : N A  ln 
RTz   1  y A1 

Deux cas peuvent se présenter : la diffusion de A à travers B qui est stagnant et la

diffusion équimolaire à contre courant.

Diffusion du constituant A à travers B qui stagnant

On rencontre ce cas dans la phase gazeuse d’une colonne d’absorption ; cette colonne
est alimentée par un mélange gazeux binaire à partir duquel A est continuellement
absorbé par le liquide.
NB
B ne diffuse pas alors NB = 0, donc  1  1
NA

D AB Pt  Pt  PA 2 
Alors : N A  ln 
RTz  Pt  PA1 

D’autre part : Pt   Pi  PA1  PB1  PA 2  PB 2

D AB Pt  PB 2 
Donc l’équation précédente peut s’écrire : N A  ln
RTz  PB1 
Diffusion équimolaire à contre courant
NB
Dans ce cas, NA = -NB et donc  1  0
NA

-3-
Si on remplace ε = 0 dans l’équation générale, on aura une indétermination. Il faut pour
dC A
cela utiliser l’équation : N A  N A  N B y A  D AB
dz
dC A D dPA
NA = -NB  N A   D AB   AB
dz RT dz

D AB PA1  PA 2 
En intégrant on trouve : N A 
RT  z 2  z1 

Diffusion dans les liquides

Pour les liquides, l’influence de la différence de concentration peut être importante ;
Pour cela on doit prendre une valeur moyenne. L’équation devient alors :

D AB    1  1  x A 2 
NA    ln
z 2  z1  M  moy   1  x A1 

ρ est la masse volumique du mélange (A+B)

M est la masse molaire du mélange (A+B)
xA1 et xA2 sont les fractions molaires du constituant A aux points 1 et 2.

  
La valeur   est calculée comme suit :
 M  moy

   1   
    1  2  , tels que :
 M  moy 2  M1 M 2 
ρ1 et ρ2 sont les masses volumiques du mélange aux points (1) et (2), respectivement
M1 et M2 sont les masses molaires du mélange aux points (1) et (2), respectivement.

Diffusion du constituant A à travers B qui est stagnant : Le flux de diffusion de A est

donné par la relation :

D AB     x A1  x A 2 
NA   
z 2  z1  M  moy  x B ML 
(xB)ML est la moyenne logarithmique de xB telle que :

-4-
 x B2  x B1
x B ML  x 
ln B2 
x 
 B1 
Question : Quel est l’intérêt d’utiliser une moyenne logarithmique dans une relation
mathématique ?

Diffusion équimolaire à contre courant

dC A
On a : N A  N A  N B x A  D AB
dz
dC A
Puisque, NA = -NB alors, N A   D AB , donc :
dz
z2 CA 2
D AB D AB
z dz   N A  dC A  z 2  z1  C A1  C A 2 , d’où :
1 C A1
NA

D AB   
NA    x  x 
z 2  z1  M  moy A1 A 2

Diffusion dans les mélanges

Dans les mélanges de plus de deux constituants, quand tous les flux sont nuls (tous les
constituants sont stationnaires) à l’exception de A, on utilise alors le coefficient DAm, tel
que :
1
D Am  n
yi
D
iB A ,i

DAm est la diffusivité de A dans le mélange m,

yi est la fraction molaire de (i) dans le mélange.

Calcul des coefficients de diffusion

Le coefficient de diffusion est le rapport d’un flux molaire et d’un gradient de
concentration. Il mesure la mobilité due à la diffusion d’une substance et dépend des
caractéristiques physicochimiques du milieu (Température, pression et nature du
constituant).
La détermination des coefficients de diffusion se fait en général à l’aide de corrélations.

-5-
Estimation du coefficient de diffusion pour les gaz

1ère corrélation :

 1 1  3/ 2 1 1
 0, 00107  0, 00246  T 
M M MA MB
D AB  
A B 

 
Pt rAB f KT /  AB 
2

DAB est la diffusivité de A dans B (cm2/s),

T est la température du système (K),
MA et MB sont les masses molaires des gaz (g/mol),
Pt est la pression totale (atm),
rA  rB
rAB  tels que rA et rB sont les rayons atomiques des molécules de A et B (Å),
2
 AB
f(KT/ εAB) est la fonction de collision (l’unité de est le Kelvin) avec :
K
εAB est l’énergie d’interaction entre une molécule de A et une molécule de B
 AB   A  B

R
K est la constante de Boltzman et K 
cp

Les valeurs de r et f(KT/ε) sont disponibles pour un grand nombre de composés

chimiques. Cependant, dans certains cas, on doit les calculer en utilisant les corrélations

suivantes : r 1,18 v1 / 3 (Å) et 1,21 Teb (K)
K
Où v est le volume molaire du gaz (cm3/mol)
Teb est la température d’ébullition (K)

2ème corrélation :

1 1
0,0043 T1,5 
MA MB
D AB 

P v1A/ 3  v1B/ 3 
DAB est la diffusivité de A dans B (cm2/s),
T est la température du système (K),

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P est la pression totale (atm),
MA et MB sont les masses molaires des gaz (g/mol),
vA et vB sont les volumes molaires des gaz (cm3/mol).

Estimation du coefficient de diffusion pour les liquides

La corrélation suivante est valable pour des solutions diluées :

7,4  10 8  M B  T
0,5
D AB 
 v 0A, 6
DAB est la diffusivité de A dans B (cm2/s),
T est la température du système (K),
MB est la masse molaire du solvant B (g/mol),
μ est la viscosité de la solution (cp)
vB est le volume molaire calculé à la température d’ébullition (cm 3/mol).
ϕ est le facteur d’association : ϕ = 2,6 si le solvant est l’eau
ϕ = 1,9 si le solvant est le méthanol
ϕ = 1,5 si le solvant est l’éthanol
ϕ = 1 pour les solvants non associés

Remarque :
Les solvants associés possèdent des liaisons hydrogène qui assurent une association
entre les molécules. Cette association est mesurée par le facteur ϕ.

Exercices
1. Application de la loi de Fick
2. Diffusion d’un gaz à travers un gaz stagnant
3. Diffusion d’un gaz un mélange stagnant
4. Diffusion d’un liquide à travers un film liquide stagnant
5. Calcul des coefficients de diffusion
6. Application du procédé de dialyse

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