Fin Poly EDP

CHAPITRE 2
ESPACES DE SOBOLEV
2.1. Notions de distributions

On ne donne ici que quelques éléments de théorie des distributions. Pour ceux qui
souhaitent aller plus loin, on conseillera la lecture de [1, 7, 8].
2.1.1. Définitions. —
Définition 2.1 (Espace de fonctions-test). — Soit ⌦ un ouvert de RN . On note
D(⌦) l’ensemble des fonctions C 1 sur RN dont le support est un compact K contenu
dans ⌦ (c’est à dire nulles hors de K). On note D(⌦) l’ensemble des restrictions à ⌦ des
fonctions de D(RN ).
Exemple. — On sait que la fonction
⇢ 1/x
e si x > 0,
✓1 (x) =
0 si x  0,
est de classe C 1 (R). Donc la fonction ✓(x) = ✓1 (1 |x|2 ) pour x 2 RN appartient à D(RN ).
Famille régularisante. — Pour tout " > 0, on pose

✓(x/")
✓" (x) = R .
RN ✓(y/")dy
fonction regularisante ! fonction regularisante !" ; " = 0.5
2
0.4
1.5
0.3
1
!(x)
!"(x)
0.2
0.5
0.1
0 0
−0.1
−2 −1 0 1 2 −2 −1 0 1 2
x x
Cette fonction vérifie les propriétés suivantes :
– Support : Supp (✓" ) = B(0, ").
– Positivité : R✓" (x) 0 8x 2 RN .
– Intégrale : RN ✓" (x)dx = 1.
– C’est une fonction-test sur RN : ✓" 2 D(RN ).
L’intérêt de cette fonction ✓" réside dans le lemme suivant, qui sera démontré en TD à
l’aide de l’Annexe A.
Lemme 2.2. — i) Soit f 2 C(RN ). Alors f ⇤ ✓" 2 C 1 (RN ). Si de plus le support de f
est compact, alors f ⇤ ✓" converge uniformément vers f sur RN et f ⇤ ✓" 2 D(RN ).
ii) Soit f 2 Lp (RN ) , 1  p  +1. Alors f ⇤ ✓" 2 C 1 (RN ) et si p < +1 alors f ⇤ ✓"
converge vers f dans Lp (RN ).
Notation. — Soit ↵ = (↵1 , ↵2 , · · · , ↵N ) 2 RN un multi-entier. On note :

@ |↵| '
@↵' = avec |↵| = ↵1 + ↵2 + · · · + ↵N .
@x↵11 @x↵22 · · · @x↵NN
Définition 2.3 (Distributions). — On dit que u est une distribution sur ⌦ si u est une
forme linéaire sur D(⌦)
u : ' 2 D(⌦) 7! hu, 'i
qui vérifie la propriété de continuité suivante : Pour tout K compact de ⌦, il existe un
entier k et une constante CK tels que
n o
8' 2 D(⌦) avec Supp (') ⇢ K, |hu, 'i|  CK max k@ ↵ 'kL1 (⌦) .
|↵|k
On note D0 (⌦) l’espace des distributions sur ⌦.

Remarque 2.4. — Lorsque, dans cette définition, l’entier k peut être choisi indépendant
de K, on dit que la distribution est d’ordre fini. La plus petite valeur de k possible est
appelée l’ordre de u.
2.1.2. Exemples importants. —

2.1.2.1. Les fonctions localement intégrables dans ⌦. — Soit
f 2 L1loc (⌦) = { f |K 2 L1 (K) , 8K compact ⇢ ⌦}.
Alors, la forme linéaire Z
' 7! f ' dx
⌦
définit une distribution d’ordre
R 0, encore notée f par abus. La propriété de continuité est
vérifiée avec k = 0 et CK = K |f (x)| dx.
Remarque 2.5. — L’identification de f avec la distribution définie ci-dessus n’est pos-
sible que grâce au lemme suivant.
Lemme 2.6. — Soient f, g 2 L1loc (⌦). Alors
Z Z
8' 2 D(⌦), f 'dx = g'dx () f = g presque partout dans ⌦.
⌦ ⌦
20
Démonstration. — Par linéarité, on est amené à montrer
Z
8' 2 D(⌦), f 'dx = 0 () f = 0 presque partout dans ⌦.
⌦
D’autre part, seul le sens ) est à démontrer (l’autre étant évident). Soit ' 2 D(⌦). Posons
Z
h" (x) = f (y)'(y)✓" (x y)dy.
⌦
Comme '(·)✓" (x ·) 2 D(⌦), on a h" ⌘ 0, d’après l’hypothèse sur f . Prolongeons f ' par
0 hors de ⌦ : on a alors f ' 2 L1 (RN ) et h" = (f ') ⇤ ✓" = 0 ! f ' dans L1 (RN ). Donc
f ' = 0. La fonction ' étant arbitraire, on a bien f = 0 p.p. dans ⌦.
2.1.2.2. La masse de Dirac. — Soit a 2 ⌦. La forme linéaire
a : ' 7! h a , 'i = '(a)

définit une distribution d’ordre 0, appelée masse de Dirac au point a.
Remarque 2.7. — Quand reconnaı̂t-on une fonction dans une distribution ?

Soit u 2 D0 (⌦). On suppose qu’il existe c > 0 telle que
8' 2 D(⌦) |hu, 'i|  c k'kL2 .
Alors, par densité de D(⌦) dans L2 (⌦) (Lemme 2.2), u se prolonge de façon unique en
une forme linéaire continue sur L2 (⌦). Par le théorème de représentation de Riesz, on dira
même que u 2 L2 (⌦). Plus généralement, soit u 2 D0 (⌦) telle que
8' 2 D(⌦) |hu, 'i|  c k'kLp , (1 < p < +1)
0 1 1
Alors u est identifiable avec une fonction de Lp (⌦), où p0 =1 p.
2.1.3. Convergence dans D0 (⌦). —
Définition 2.8. — On dit qu’une suite de distributions un converge au sens des distri-
butions vers u 2 D0 (⌦) ssi
8' 2 D(⌦), hun , 'i ! hu, 'i dans R .
On notera dans ce cas un * u.
Remarque 2.9. — A l’aide du théorème de Banach-Steinhaus (voir par exemple [1]), on

peut démontrer le résultat suivant. Soit un est une suite de distributions telle que, pour
tout ' 2 D(⌦), la suite numérique hun , 'i vers une limite. Alors, si l’on note hu, 'i cette
limite, u appartient à D0 (⌦).
On a les résultats suivants (dont les démonstrations sont laissées en exercice) :
Lemme 2.10. — a) Si fn ! f dans L1 (⌦) alors fn * f dans D0 (⌦).

b) On a ✓" * 0 dans D0 (⌦) lorsque " ! 0.
21
2.1.4. Dérivation des distributions. —
@u
Définition 2.11. — Soit u 2 D0 (⌦). Pour 1  i  N , on note @x i
la distribution définie
par ⌧ ⌧
@u @'
8' 2 D(⌦), ,' = u, .
@xi @xi
Pour u 2 D0 (⌦), on note
✓ ◆
@u @u @u
ru = , ,··· , 2 D0 (⌦)N .
@x1 @x2 @xN
De même, si ↵ est un multi-entier, on note @ ↵ u la distribution
8' 2 D(⌦), h@ ↵ u, 'i = ( 1)|↵| hu, @ ↵ 'i .
Remarque 2.12. — Si f 2 C 1 (⌦), on a, de façon classique et par simple intégration par
parties sur un segment, ' étant nulle au voisinage de @⌦,
Z Z
@f @'
' dx = f dx
⌦ @xi ⌦ @xi
La dérivée de f au sens des distributions est donc la dérivée usuelle.
Remarque 2.13. — La dérivation est une opération continue sur D0 (⌦) : il est facile de
voir que si un * u dans D0 (⌦), alors 8↵ multi-entier, @ ↵ un * @ ↵ u dans D0 (⌦).
Exemple. — Dérivée de la fonction de Heaviside H.
La fonction de Heaviside est définie comme suit : H(x) = 1 pour x > 0 et H(x) = 0 sinon.
Alors, la dérivée de H est la masse de Dirac en 0. En e↵et, pour ' 2 D(⌦), on a
Z Z +1
0 0 0
hH , 'i = hH, ' i = H' dx = '0 dx = '(0).
R 0
2.2. L’espace de Sobolev H 1 (⌦) : premières propriétés

Dans cette section, ⌦ est un ouvert de RN , sans propriété particulière de régularité.
2.2.1. Définition et structure. —

Définition 2.14. — Soit ⌦ un ouvert de RN . On dit que u 2 H 1 (⌦) si u 2 L2 (⌦) et
@u
si, pour tout i 2 {1, . . . , n}, la distribution @x i
appartient aussi à L2 (⌦) (ou, de façon
équivalente, si la distribution ru appartient à L (⌦)N .)
2
On considère sur cet espace le produit scalaire

Z XN Z Z Z
@u @v
(u, v)H 1 = uv dx + dx = uv dx + ru · rv dx
⌦ i=1⌦ @xi @xi ⌦ ⌦
et la norme induite
!1/2
N
X @u 2 ⇣ ⌘1/2
kukH 1 = kuk2L2 + = kuk2L2 + kruk2L2 .
@xi L2
i=1
Théorème 2.15. — L’espace H 1 (⌦) muni de ce produit scalaire est un espace de Hilbert
séparable.
22
Démonstration. — Montrons tout d’abord que H 1 (⌦) est complet. Soit un une suite de
Cauchy pour la norme k·kH 1 . Alors, un et toutes les fonctions @u @xi (pour i = 1, · · · , n)
n
forment des suites de Cauchy pour la norme k·kL2 .

Par conséquent, il existe u 2 L2 et des fonctions gi 2 L2 telles que un ! u dans L2 et
@un 2
@xi ! gi dans L pour tout i.
Par continuité de l’injection canonique L2 ,! D0 (⌦), on a un * u dans D0 (⌦) et
@un 0
@xi * gi dans D (⌦) pour tout i.
@u
Enfin, par continuité de la dérivation dans D0 (⌦), pour tout i on a gi = @x i
ce qui
1 1
conduit à un ! u dans H (⌦). Cela démontre que l’espace H (⌦) est complet.
Montrons que H 1 (⌦) est séparable c’est-à-dire qu’il admet une partie dénombrable
dense. On va s’appuyer sur les deux résultats suivants :
(i) Le produit de deux espaces séparables est séparable.
(ii) Si E est un espace de Hilbert et F est un sous-espace fermé de E, la séparabilité
de E entraı̂ne celle de F (utiliser la projection sur F ).
On introduit alors l’espace L2 (⌦)N +1 muni de la structure hilbertienne produit, et l’ap-
plication ✓ ◆
@v @v
T : u 7! v, ,··· ,
@x1 @xN
1
de H (⌦) dans L (⌦) 2 N +1 . Cette application est une isométrie, de sorte que H 1 (⌦) s’iden-
tifie à un sous-espace fermé de L2 (⌦)N +1 . Or l’espace L2 (⌦) étant séparable, L2 (⌦)N +1
l’est aussi, en vertu de la propriété (i) ci-dessus. Par la propriété (ii), H 1 (⌦) est donc
séparable.
Généralisations. — On définit plus généralement les familles d’espaces suivants :
– Les espaces H m (⌦), définis pour m 2 N par
H m (⌦) = u 2 L2 (⌦) : 8↵ multi-entier tel que |↵|  m , @ ↵ u 2 L2 (⌦) .
Munis du produit scalaire
X Z
(u, v)H m = @ ↵ u@ ↵ vdx
|↵|m ⌦
et de la norme 0 11/2
X
kukH m = @ k@ ↵ uk2L2 A ,
|↵|m
ce sont des espaces de Hilbert.
– Les espaces W m,p (⌦), définis pour m 2 N, 1  p  +1, par
W m,p (⌦) = {u 2 Lp (⌦) : 8↵ multi-entier tel que |↵|  m , @ ↵ u 2 Lp (⌦)} .
Munis de la norme
X
kukW m,p = k@ ↵ ukLp , pour p < +1
|↵|m
et
kukW m,1 = max k@ ↵ ukL1 ,
|↵|m
ce sont des espaces de Banach. Dans le cas p = 2, les normes k·kW m,2 et k·kH m sont
équivalentes.
23
– Dans le cas ⌦ = RN , on définit les espaces H s (RN ) avec s 2 R+ , par
n o
H s (RN ) = u 2 L2 (RN ) : (1 + |⇠|2 )s/2 u
b 2 L2 (RN ) , (2.1)
b est la transformée de Fourier de u, notée aussi F(u) par la suite. On rappelle

où u
que l’opérateur
L1 (RN ) \ L2 (RN ) ! L1 (RN ) \ L2 (RN )

Z
1 ix·⇠
u(x) 7! u
b(⇠) = e u(x) dx
(2⇡)N/2 RN
se prolonge par continuité en une isométrie sur L2 (RN ). On rappelle aussi que la
transformée de Fourier inverse est définie par
Z
1
F 1 (u)(x) = eix·⇠ u(⇠) d⇠.
(2⇡)N/2 RN
Proposition 2.16. — Lorsque s est entier, cette dernière définition est équivalente à
celle donnée au-dessus pour H m (RN ), et les normes sont équivalentes.
Démonstration. — On ne va faire la preuve que dans le cas m = 1. Notons

n o
H = u 2 L2 (RN ) : (1 + |⇠|2 )1/2 u
b 2 L2 (RN )
et montrons que H = H 1 (RN ), avec kukH 1 = k(1 + |⇠|2 )1/2 ubkL2 . Tout d’abord, on peut
voir facilement, par une intégration par parties, que pour tout ' 2 D(RN ) et 1  j  N ,
on a
@[ b et F 1 (i⇠j ') = @xj F 1 ('),
xj ' = i⇠j '
toutes ces fonctions étant (au moins) dans L2 (RN ).

Montrons que H ⇢ H 1 (RN ). Pour tout u 2 H et ' 2 D(RN ), on a
Z Z Z
(i⇠j û, ')
ˆ L2 = û i⇠j 'd⇠
ˆ = û @[
xj 'd⇠ = u @xj 'dx = h@xj u, 'i,
RN RN RN
donc, par Cauchy-Schwarz, |h@xj u, 'i|  k⇠j ûkL2 k'kL2 , ce qui suffit à identifier @xj u avec
une fonction de L2 (RN ), avec de plus k@xj ukL2  k⇠j ukL2 . On a donc u 2 H 1 (RN ) et
kukH 1  k(1 + |⇠|2 )1/2 u
bkL2 .
Montrons maintenant l’inclusion inverse : H 1 (RN ) ⇢ H. Pour tout u 2 H 1 (RN ) et
' 2 D(RN ), la fonction ⇠ 7! ⇠j '(⇠) appartient aussi à D(RN ) et on a
1
hi⇠j û, 'i = hiû, ⇠j 'i = (û, i⇠j ')L2 = (u, @xj F ('))L2 .
Or u et F 1 (') étant toutes les deux dans H 1 (RN ), en utilisant le résultat de den-
sité ci-dessous (Théorème 2.17), on démontre que l’intégation par partie suivante est
valide : (u, @xj F 1 ('))L2 = (@xj u, F 1 ('))L2 . Ainsi, par Cauchy-Schwarz, |h⇠j û, 'i| 
k@xj ukL2 k'kL2 et donc, comme ci-dessus, ⇠j û s’identifie avec une fonction L2 telle que
k⇠j ûkL2  k@xj ukL2 . On obtient ainsi que u 2 H avec kukH 1 k(1 + |⇠|2 )1/2 u
bkL2 .
24
2.2.2. Un premier résultat de densité. — Travailler sur les fonctions L2 (⌦) et leurs
dérivées au sens des distributions est souvent délicat. Pour beaucoup de preuves, il est
commode de se ramener aux fonctions régulières et de passer ensuite à la limite. Dans le
cas où ⌦ = RN , nous avons le résultat de densité souhaité, mais, comme on le verra plus
loin lors de la présentation de la notion de “trace sur le bord”, lorsque ⌦ est un ouvert
quelconque de RN , di↵érent de RN , D(⌦) n’est pas dense dans H 1 (⌦).
Théorème 2.17. — Soit u 2 H 1 (RN ). Alors il existe une suite un 2 D(RN ) telle que
un ! u dans H 1 (RN ).
Démonstration. — La démonstration de ce résultat se fait en deux étapes.
Étape 1 : troncature.
Montrons que l’espace suivant est dense dans H 1 (RN ) :
Hc1 = u 2 H 1 (RN ) : Supp (u) est compact .
Soit 2 D(RN ) satisfaisant
⇢
1 pour |x|  1,
(x) =
0 pour |x| 2.
Pour n 2 N⇤ , posons un (x) = (x/n)u(x). Alors on a bien un 2 Hc1 et un ! u dans
H 1 (RN ). En e↵et, de la relation
@(un u) @u 1@
= ( (x/n) 1) (x) + (x/n)u(x)
@xi @xi n @xi
on déduit
@(un u) @u c
 ( (x/n) 1) (x) + kukL2 .
@xi L2 @xi L2 n
Le premier terme tend vers 0 par convergence dominée, le second terme tend aussi vers 0.
Étape 2 : convolution.
La seconde étape utilise une technique de régularisation par convolution, avec le lemme
suivant qui est démontré plus loin.
Lemme 2.18. — Soit u 2 H 1 (RN ) et ✓ 2 L1 (RN ). Alors ✓ ⇤ u 2 H 1 (RN ) et on a, pour

i = 1, · · · , N ,
@ @u
(✓ ⇤ u) = ✓ ⇤ . (2.2)
@xi @xi
Avec l’étape précédente, il suffit maintenant de montrer que, pour tout u 2 Hc1 (RN ),
il existe une suite un 2 D(RN ) telle que un ! u dans H 1 (RN ). Pour n 2 N⇤ , on pose
un = ✓1/n ⇤u, où ✓1/n désigne la famille régularisante définie au début du chapitre. Puisque
u et ✓1/n sont à supports compacts, un est aussi à support compact. De plus, comme
u 2 L2 (RN ) et ✓ 2 C 1 (RN ), on a un 2 C 1 (RN ), donc un 2 D(RN ).
D’après le Lemme 2.2, on a un ! u dans L2 (RN ). Par ailleurs, le Lemme 2.18 donne
que @u @u @un @u
@xi = @xi ⇤ ✓1/n , donc le même Lemme 2.2 entraı̂ne que @xi ! @xi dans L (R ). On
n 2 N
a donc bien un ! u dans H 1 (RN ).
25
Preuve du lemme. — On utilise les résultats classiques sur la convolution dans les espaces
de Lebesgue. Comme u 2 L2 (RN ) et ✓ 2 L1 (RN ), on a déjà ✓ ⇤ u 2 L2 (RN ). Soit ' 2
D(RN ). Nous allons montrer l’identité suivante :
Z Z ✓ ◆
@' @u
(✓ ⇤ u) dx = ✓⇤ ' dx (2.3)
@xi @xi
@
qui entraı̂ne directement (2.2), puis @x i
(✓ ⇤ u) 2 L2 (RN ).
Pour montrer (2.3), traitons tout d’abord le cas particuler où ✓ est à support compact.
ˇ
En notant ✓(x) = ✓( x), on a
Z ZZ Z ✓ ◆
@' @' ˇ @'
(✓ ⇤ u) dx = ✓(x y)u(y) (x) dxdy = u ✓ ⇤ dx
@xi @xi @xi
Z Z Z ✓ ◆
@ ˇ @u ˇ @u
= u ✓ ⇤ ' dx = ✓ ⇤ ' dx = ✓⇤ ' dx.
@xi @xi @xi
On a bien démontré (2.3). Notons qu’on a utilisé ici que ✓ˇ ⇤ ' est bien une fonction-test, ce
qui découle notamment du fait que ✓ est à support compact. Si maintenant ✓ n’est pas à
support compact, on introduit une suite ✓n 2 Cc0 (RN ) telle que ✓n ! ✓ dans L1 (RN ) (voir
Annexe A). L’identité (2.3) est valable pour ✓n , autrement dit, on a
Z Z ✓ ◆
@' @u
(✓n ⇤ u) dx = ✓n ⇤ ' dx. (2.4)
@xi @xi
Ensuite, en utilisant la Proposition A.7 et u 2 H 1 (RN ), on obtient que ✓n ⇤ u ! ✓ ⇤ u et
@u @u
que ✓n ⇤ @x i
! ✓ ⇤ @x i
dans L2 (RN ) donc, en passant à la limite dans (2.4), on obtient
bien (2.3).
Corollaire 2.19. — Soit ⌦ ⇢ RN , un ouvert. Soit u 2 H 1 (⌦) tel que Supp u ⇢ !, où !
est un ouvert tel que ! ⇢ ⌦ et ! est compact. Alors le prolongement u e de u par zéro hors
de ⌦ appartient à H 1 (RN ) et il existe une suite de fonctions un 2 D(⌦) telle que un ! u
dans H 1 (⌦).
Démonstration. — D’après les propriétés de !, on peut trouver une fonction ✓ 2 D(⌦)

telle que ✓ = 1 sur !. Montrons d’abord que u e 2 H 1 (RN ). Il est clair que u
e 2 L2 (RN ),
examinons son gradient. Pour ' 2 D(RN ), on a
Z Z Z
hre
u, 'i = heu, r'i = ur'dx = u✓r'dx = ur(✓')dx = hru, ✓'i
! ! ⌦
car ✓'|⌦ 2 D(⌦). Donc, on a l’estimation

Z
|hre
u, 'i|  |hru, ✓'i|  ru✓'dx  krukL2 k✓'kL2  krukL2 k'kL2 ,
⌦
qui suffit à déduire que reu2 L2 (RN ), donc que u e 2 H 1 (RN ).

Ainsi, on peut appliquer le Théorème 2.17 à cette fonction u e : il existe une suite vn 2
D(RN ) telle que vn ! u e dans H 1 (RN ). Posons un = ✓vn |⌦ . On a bien un 2 D(⌦) et il
est facile de vérifier que run = ✓rvn |⌦ + vn r✓|⌦ , ce qui entraı̂ne immédiatement que
un ! ✓e u|⌦ = u dans L2 (⌦) et que run ! ✓re er✓|⌦ = ru dans L2 (⌦). Autrement
u| ⌦ + u
dit, on a un ! u dans H 1 (⌦).
26
2.2.3. L’espace H01 (⌦) et son dual. —
Définition 2.20. — On appelle H01 (⌦) le complété de D(⌦) dans H 1 (⌦).
Remarque 2.21. — Par densité de D(RN ) dans H 1 (RN ) (Théorème 2.17), on a l’iden-
tification H01 (RN ) = H 1 (RN ). Mais, en général, on n’a pas H01 (⌦) = H 1 (⌦).
Le théorème suivant aura une importance pratique lorsque nous aborderons la résolution
des EDP elliptiques avec condition de Dirichlet.
Théorème 2.22 (Inégalité de Poincaré). — Si ⌦ est borné, alors il existe une

constante C⌦ > 0 telle que
8u 2 H01 (⌦), kukL2  C⌦ krukL2 . (2.5)
Par conséquent, la semi-norme u 7! krukL2 est une norme sur H01 (⌦), équivalente à la
norme H 1 (⌦), et que l’on notera kukH01 .
Démonstration. — Il suffit de raisonner avec des fonctions régulières. En e↵et, par densité
de D(⌦) dans H01 (⌦), l’inégalité (2.5) est équivalente à
8u 2 D(⌦), kukL2  C⌦ krukL2 .
Soit maintenant u 2 D(⌦). On note u e le prolongement de u par 0 hors de ⌦. Puisque le
domaine ⌦ est borné, il est compris dans une bande : il existe a < b tels que
⌦ ⇢ x 2 RN : a  x N  b .
En posant x = (x0 , xN ), c’est-à-dire x0 = (x1 , . . . , xN 1 ), on a
Z xN
@e
u 0
e(x) = u
u e(x0 , xN ) = (x , y)dy.
a @xN
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on en déduit
Z xN 2 Z +1 2
2 @eu 0 @e
u 0
|e
u(x)|  (xN a) (x , y) dy  (xN a) (x , y) dy
a @xN 1 @xN
puis, en intégrant par rapport à x0 ,
Z Z 2
2 @e
u
e(x0 , xN ) dx0  (xN
u a) dy.
RN 1 RN @xN
Il reste à intégrer par rapport à xN :
Z Z Z bZ
2 2 2
|u(x)| dx = |e
u(x)| dx = e(x0 , xN ) dx0 dxN
u
RN RN a RN 1
Z 2
1 2 @e
u
 (b a) dy
2 @xN
ZR
N
Z
1 1
2
 (b a) 2
|re
u| dy = (b a) 2
|ru|2 dy.
2 RN 2 RN
p
2
On a donc l’inégalité demandée, avec C⌦ = 2 (b a). La preuve d’équivalence des normes
kukH01 et kukH 1 sur H01 (⌦) est immédiate.
27
Remarque 2.23. — La démonstration précédente montre que l’inégalité est vraie dès
que ⌦ est borné selon une direction. Par ailleurs, l’inégalité de Poincaré (2.5) permet de
montrer que si ⌦ est borné et non vide, alors l’inclusion H01 (⌦) ⇢ H 1 (⌦) est stricte. En
e↵et considérons la fonction constante u ⌘ 1. Cette fonction est clairement dans H 1 (⌦),
mais ne peut pas appartenir à H01 (⌦), car sinon (2.5) entraı̂nerait alors |⌦|1/2 = kukL2 = 0.
Pour terminer cette section, on identifie le dual de H01 (⌦).
Théorème 2.24. — Le dual de H01 (⌦) s’identifie à un sous-espace de D0 (⌦). On le note

H 1 (⌦). De plus, on a
( N
)
X @fi
1 0 2 2
H (⌦) = u 2 D (⌦) : u = f0 + , f0 2 L (⌦), fi 2 L (⌦), 1  i  N . (2.6)
@xi
i=1
Démonstration. — Une forme linéaire continue sur H01 (⌦) s’identifie à une distribution de
la façon suivante. Par la Définition 2.20, il est nécessaire et suffisant de définir cette forme
linéaire sur D(⌦) pour qu’elle soit bien définie. Soit u 2 H 1 (⌦), on note hu, viH 1 ,H01 son
action sur une fonction v 2 H01 (⌦). Pour tout ' 2 D(⌦), on pose naturellement
hu, 'i = hu, 'iH 1 ,H 1
0
.
On vérifie facilement que cela définit une distribution d’ordre au plus 1.
Notons provisoirement H l’espace de droite dans (2.6) et montrons d’abord que
P
H 1 (⌦) H. Soit ' 2 D(⌦) et u = f0 + N @fi
i=1 @xi . Alors
N ⌧
X @'
hu, 'i = hf0 , 'i fi ,
@xi
i=1
et donc par Cauchy-Schwarz,

N
!1/2
X
|hu, 'i|  kfi k2L2 k'kH 1 .
i=0
Par densité, u se prolonge donc en une forme linéaire continue sur H01 (⌦). Notons que l’on
aura donc, pour tout v 2 H01 (⌦),
Z N Z
X @v
hu, viH 1 ,H 1 = f0 v dx fi dx.
0
⌦ ⌦ @xi
i=1
Cette formule ne dépend bien entendu par du choix des fonction fi (qui ne sont pas
uniques). On peut poser
N
!1/2
X 2
kukH 1 = infP kfi kL2 .
@fi
u=f0 + @xi i=0
Montrons maintenant que H 1 (⌦) ⇢ H. Soit u 2 H 1 (⌦), on notera hu, viH 1 ,H01
l’action de u sur un élément v 2 H01 (⌦). On utilise pour cela le théorème de représentation
de Riesz sur (L2 (⌦))N +1 .
28
Etape 1. Onn⇣
définit une forme⌘linéaire continue 2 N +1 .
o sur un sous-espace vectoriel de (L )
@v @v
Soit G = v, @x 1
, · · · , @x N
: v 2 H01 (⌦) ⇢ (L2 (⌦))N +1 . L’application
T : ⇣ G ⌘ !R
@v @v
v, @x1 , · · · , @xN 7! hu, viH 1 ,H 1
0
est une forme linéaire continue sur G.

Etape 2. Prolongement par le théorème de Hahn-Banach (Corollaire I-2 de [2]). La
forme linéaire T se prolonge en g, forme linéaire continue sur (L2 (⌦))N +1 .
Etape 3. Par le théorème de représentation de Riesz, il existe (f0 , f1 , · · · , fN ) 2 (L2 )N +1
tels que, 8(w0 , w1 , · · · , wN ) 2 (L2 )N +1 , on ait
N Z
X
g(w0 , w1 , · · · , wN ) = fi wi dx,
i=0
donc en particulier,
⇣ ⌘ ⇣ ⌘
@v @v @v @v
8v 2 H01 (⌦), hu, viH 1 ,H 1
0
= T v, @x 1
, · · · , @xN = g v, @x1 , · · · , @xN
Z X N Z
@v
= f0 vdx + fi dx
@xi
i=1
X N ⌧ X N ⌧
@v @fi
= hf0 , vi + fi , = hf0 , vi ,v .
@xi @xi
i=1 i=1
N
X @fi
On a bien u = f0 au sens des distributions, donc u 2 H.
@xi
i=1
Remarque 2.25. — On peut faire un commentaire sur la terminologie H 1 . Comme

nous l’avons vu, sur RN , les espaces de Sobolev d’exposant s 0 peuvent être définis par
la transformée de Fourier. En fait, la définition (2.1) s’étend pour les exposants négatifs en
utilisant la transformée de Fourier des distributions tempérées. L’espace des distributions
tempérées S 0 (RN ) est le dual de l’espace S(RN ), fonctions C 1 à décroissance rapide à l’in-
fini, voir par exemple [1]. On a alors la caractérisation équivalente suivante de H 1 (RN ) :
n o
H 1 (RN ) = u 2 S 0 (RN ) : (1 + |⇠|2 ) 1/2 u b 2 L2 (RN )
qui généralise bien (2.1).
2.3. Prolongements
Dans de nombreuses situations, il peut être utile de savoir prolonger une fonction de
H 1 (⌦) en une fonction de H 1 (RN ). Ceci va nécessiter des hypothèses de régularité sur le
domaine ⌦.
29
Afin de définir ce qu’est un ouvert régulier, introduisons quelques notations. Pour tout
x 2 RN , on note x = (x0 , xN ) où x0 = (x1 , x2 , . . . , xN 1 ) 2 RN 1 , puis
0
RN
+ = x = (x , xN ) : xN > 0 , RN = x = (x0 , xN ) : xN < 0
N
!1/2
X1
0 0 0 2
Q = x = (x , xN ) : |x | < 1 et |xN | < 1 , où |x | = xi
i=1
Q + = Q \ RN
+ , Q = Q \ RN , Q0 = x = (x0 , xN ) : |x0 | < 1 et xN = 0 .
Définition 2.26. — Un ouvert ⌦ de RN est dit de classe C 1 si pour tout x 2 @⌦ il existe

un voisinage U de x dans RN et une application : Q ! U bijective telle que
2 C 1 (Q), 1
2 C 1 (U ), (Q+ ) = U \ ⌦, (Q0 ) = U \ @⌦.
Le théorème principal de cette section est le suivant.
Théorème 2.27. — Soit ⌦ un ouvert de classe C 1 , de frontière bornée (ou bien ⌦ = RN
+ ).
Alors il existe un opérateur de prolongement linéaire et continu
P : H 1 (⌦) ! H 1 (RN )
c’est-à-dire tel que P u|⌦ = u et kP ukH 1 (RN )  CkukH 1 (⌦) .
Avant de démontrer ce théorème, on va énoncer deux lemmes utiles.
Lemme 2.28. — Soit u 2 H 1 (Q+ ). On définit la fonction suivante, prolongée par
réflexion : ⇢
⇤ 0 u(x0 , xN ) si xN > 0
u (x , xN ) = 0
u(x , xN ) si xN < 0.
⇤ 1 ⇤
p
Alors on a u 2 H (Q) et ku kH 1 (Q)  2kukH 1 (Q+ ) .
p
Démonstration. — Il est déjà clair que u⇤ 2 L2 (Q) avec ku⇤ kL2 (Q)  2kukL2 (Q+ ) . On va
alors démontrer les propriétés suivantes, qui permettent de déduire directement le résultat
souhaité : ✓ ◆
@u⇤ @u ⇤
= si 1  i  N 1, (2.7)
@xi @xi
8
> @u 0
⇤
>
< (x , xN ) si xN > 0
@u @xN
= (2.8)
@xN >
> @u 0
: (x , xN ) si xN < 0.
@xN
On utilisera la suite ⌘k de fonctions de C 1 (R) définie par ⌘k (t) = ⌘(kt) pour t 2 R et
k 2 N⇤ , où ⌘ est une fonction fixée, de classe C 1 , telle que ⌘(t) = 0 si t < 1/2 et ⌘(t) = 1
si t > 1.
Preuve de (2.7). Soit ' 2 D(Q). En posant
(x0 , xN ) = '(x0 , xN ) + '(x0 , xN ),
on peut voir que, pour 1  i  N 1, on a
⌧ ⇤ Z Z
@u @' @
,' = u⇤ dx = u dx. (2.9)
@xi Q @x i Q+ @xi
30
La fonction n’appartient a priori pas à D(Q+ ), en revanche on a ⌘k (xN ) (x0 , xN ) 2
D(Q+ ), ce qui permet d’écrire
Z ⌧ ⌧ Z
@u @u @(⌘k ) @
⌘k dx = , ⌘k = u, = u⌘k dx
Q+ @xi @xi @xi Q+ @xi
car ⌘k ne dépend pas de la variable xi . Par convergence dominée, on peut passer à la limite
dans les deux intégrales de cette série d’identités, lorsque k ! +1, ce qui donne
Z Z Z Z
@ @u @u @u 0
u dx = dx = ' dx + (x , xN )'(x0 , xN ) dx
Q+ @x i Q+ @x i Q @x i Q @x i
Z + Z +
@u @u 0
= ' dx + (x , xN )'(x0 , xN ) dx
Q+ @x i Q @x i
Z ✓ ◆ ⌧✓ ◆
@u ⇤ @u ⇤
= ' dx = ,' .
Q @xi @xi
En insérant cette égalité dans (2.9), on obtient bien (2.7).
Preuve de (2.8). On notera v(x0 , xN ) la fonction définie par le membre de droite de (2.8).
Soit ' 2 D(Q). En posant cette fois
(x0 , xN ) = '(x0 , xN ) '(x0 , xN ),
on obtient ⌧ Z Z
@u⇤ @' @
,' = u⇤ dx = u dx. (2.10)
@xN Q @xN Q+ @xN
On doit maintenant faire attention au fait que
@(⌘k ) @
= ⌘k + k⌘ 0 (kxN ) ,
@xN @xN
de sorte que, comme on a aussi ⌘k 2 D(Q+ ),
Z Z Z
@u @
⌘k dx = u⌘k dx uk⌘ 0 (kxN ) dx. (2.11)
Q+ @x N Q+ @x N Q+
La dernière intégrale tend vers 0 lorsque k ! +1. Pour le montrer, on remarque tout
d’abord que la fonction (x0 , xN ) s’annule pour xN = 0 donc, cette fonction étant régulière,
il existe une constante M > 0 telle que | (x0 , xN )|  M |xN |. Par conséquent, on a la
majoration
Z Z Z
0 0 1
uk⌘ (kxN ) dx  k⌘ kL M |u|kxN 10kxN 1 dx  C |u|10kxN 1 dx,
Q+ Q+ Q+
ce qui permet de conclure par convergence dominée.

Par conséquent, en passant à la limite dans (2.11) (toujours par convergence dominée),
on obtient comme ci-dessus
Z Z Z Z
@ @u @u @u 0
u dx = dx = ' dx (x , xN )'(x0 , xN ) dx
Q+ @x N Q+ @x N Q @x N Q @x N
Z + Z +
@u @u 0
= ' dx (x , xN )'(x0 , xN ) dx
Q+ @xN Q @xN
= hv, 'i .
@u⇤
Avec (2.10), on obtient bien @xN = v.
31
Le lemma suivant de partitions de l’unité est supposé connu et sera aussi utilisé dans la
preuve du Théorème 2.27. Il est donné ici sans preuve.
Lemme 2.29 (Partitions de l’unité). — Soit un compact de RN et O1 , O2 , . . . , On

des ouverts tels que ⇢ [ni=1 Oi . Alors il existe des fonctions ✓0 , ✓1 , ✓2 , . . . , ✓n de classe
C 1 (RN ) telles que
k
X
(i) Pour i = 0, 1, . . . , n, on a 0  ✓i  1 et ✓i = 1 sur RN .
i=0
(ii) Pour i = 1, . . . , n, le support de ✓i est compact et inclus dans Oi .
(iii) Le support de ✓0 est inclus dans RN \ .
Démonstration du Théorème 2.27. — Remarquons tout d’abord que la démonstration du

Lemme 2.28 fonctionne aussi si l’on remplace Q+ par R+ N , ce qui permet directement
de démontrer le Théorème 2.27 dans le cas ⌦ = RN + . Considérons maintenant le cas d’un

ouvert ⌦ de frontière bornée. Comme @⌦ est compacte et de classe C 1 , il existe des ouverts
(Oi )1in de RN tels que @⌦ ⇢ [ni=1 Oi et il existe des applications i : Q ! Oi bijectives
telles que
1
i 2 C 1 (Q), i 2 C 1 (Oi ), i (Q+ ) = Oi \ ⌦, i (Q0 ) = Oi \ @⌦.
On peut alors appliquer le Lemme 2.29 à = @⌦, qui donne les fonctions ✓0 , ✓1 , ✓2 , . . . ,
✓n .
Soit maintenant u 2 H 1 (⌦). On déduit du point (i) du Lemme 2.29 que
n
X
u= ui où ui = ✓i u.
i=0
On va prolonger séparément chacune des fonctions ui à RN .

Prolongement de u0 . Pour la fonction u0 , le prolongement se fait simplement en posant
⇢
u0 (x) si x 2 ⌦
u0 (x) =
0 si x 2 RN \ ⌦.
On a ✓0 2 C 1 (RN ) \ W 1,1 (R N
Pn). Pour cette dernière propriété, on rappelle en e↵et que
l’on a 0  ✓0  1 et r✓0 = i=1 r✓i (et chacune de ces fonction est régulière, à support
compact). De plus, on a Supp ✓0 ⇢ RN \ @⌦.
Soit ' 2 D(RN ). Pour j = 1, . . . , N , on a
Z Z Z ✓ ◆
@' @' @(✓0 ') @✓0
u0 dx = ✓0 u dx = u ' dx
RN @xj ⌦ @xj ⌦ @xj @xj
Z ✓ ◆ Z ✓ ◆
@u @✓0 @u @✓0
= ✓0 ' + u ' = ✓0 ' + u ' .
⌦ @xj @xj RN @xj @xj
On a utilisé ici le fait que ✓0 '|⌦ 2 D(⌦). Il s’en suit l’identification
@u0 @u @✓0
= ✓0 + u ,
@xj @xj @xj
et donc on a u0 2 H 1 (RN ) avec ku0 kH 1 (RN )  CkukH 1 (⌦) .
32
Prolongement de ui , 1  i  n. On transporte d’abord u depuis Oi \ ⌦ vers Q+ grâce à
la fonction i . Posons
vi (y) = u( i (y)) pour y 2 Q+ .
Par changement de variable régulier, on préserve l’appartenance à H 1 (admis
pour l’instant, voir [2], Proposition IX.6, à énoncer et démontrer à la fin de la
sous-section 2.2.2), donc vi 2 H 1 (Q+ ). On utilise ensuite le Lemme 2.28 pour définir
sur Q le prolongement de vi par réflexion, noté vi⇤ 2 H 1 (Q). On revient ensuite sur Oi en
posant
wi (x) = vi⇤ ( i 1 (x)) pour y 2 Ui .
On a alors wi 2 H 1 (Oi ), wi = u sur Oi \ ⌦ et kwi kH 1 (Oi )  CkukH 1 (Oi \⌦) . Enfin, on pose
⇢
✓i (x)wi (x) si x 2 Oi
ui (x) =
0 si x 2 RN \ Oi .
On a bien ui 2 H 1 (RN ) (procéder comme ci-dessus pour u0 ) et kui kH 1 (RN ) 
CkukH 1 (Oi \⌦) .
P
Conclusion. En posant P u = ni=0 ui , on a bien toutes les propriétés souhaitées.
Corollaire 2.30. — On suppose ⌦ de classe C 1 . Soit u 2 H 1 (⌦). Alors il existe une suite
un 2 D(RN ) telle que un |⌦ ! u dans H 1 (⌦). Autrement dit, l’espace D(⌦) est dense dans
H 1 (⌦).
Démonstration. — Supposons tout d’abord @⌦ bornée. D’après le Théorème 2.27, une

fonction u 2 H 1 (⌦) peut être prolongée en une fonction P u 2 H 1 (RN ). Ensuite, d’après
le théorème de densité 2.17, il existe une suite un 2 D(RN ) qui converge vers P u dans
H 1 (RN ). Il est alors immédiat de vérifier que un |⌦ ! u dans H 1 (⌦).
Lorsque @⌦ n’est pas bornée, on raisonne par troncatures en considérant les intersections
de ⌦ avec des grandes boules. Cette partie de la preuve est laissée en exercice.
2.4. Traces et formule de Green

On va montrer qu’à toute fonction u 2 H 1 (⌦), on peut associer naturellement une
fonction u 2 L2 (@⌦), qui est la “trace de u sur le bord”. Comme ci-dessus, le cas du
demi-espace RN
+ va nous servir de modèle.
2.4.1. Le cas de la dimension 1. — Le cas de la dimension 1 d’espace peut être traité

séparément. En e↵et, on va montrer que les fonctions de H 1 (]a, b[) ont un représentant
continu sur [a, b], ce qui permet de parler de façon univoque des valeurs au bord u(a) et
u(b).
Lemme 2.31. — Soient a < b. L’espace H 1 (]a, b[) s’injecte de façon continue dans
C 0,1/2 ([a, b]), l’espace des fonctions 1/2-Höldériennes sur [a, b].
Démonstration. — Soit u 2 H 1 (]a, b[). On veut montrer qu’il existe u 2 C 0,1/2 ([a, b]),
choisi de façon continue par rapport à u, tel que u = u presque partout dans ]a, b[. Pour
x 2 [a, b], on pose
Z x
e(x) =
u u0 (t)dt.
a
33
e est bien définie pour tout x 2 [a, b] car u0 2 L1 (]a, b[). En fait, on peut voir
La fonction u
e appartient à C 0,1/2 ([a, b]), par une simple inégalité de Cauchy-Schwarz : en e↵et,
que u
pour tout x, y 2 [a, b], on a
Z x p
|e
u(x) u e(y)| = u0 (t)dt  |x y| u0 L2 . (2.12)
y
e au sens des distributions. Pour ' 2 D(]a, b[),

Calculons maintenant la dérivée de u
Z b Z b Z x
0 0 0 0
he
u , 'i = he
u, ' i = e(x)' (x)dx =
u dx ' (x) u0 (t)dt
a a a
Z b Z b
Fubini
= dt u0 (t) '0 (x)dx
a t
Z b
= u0 (t)'(t)dt car '(b) = 0
a
0
= hu , 'i
donc u e0 = u0 dans D0 (⌦). Ainsi, u u e est une constante 2 R. Posons u = u e+ 2

C 0,1/2 ([a, b]). On a bien u = u presque partout sur ]a, b[.
Il reste à montrer la continuité de l’injection H 1 (]a, b[,! C 0,1/2 ([a, b]). Rappelons que la
norme sur cet espace s’écrit
|u(x) u(y)|
kukC 0,1/2 = max |u| + sup .
[a,b] x6=y |x y|1/2
D’après (2.12), on a déjà

|u(x) u(y)|
sup  ku0 kL1  kukH 1 .
x6=y |x y|1/2
Pour l’autre terme, on écrit
u| + | |  ku0 kL2 + | |
max |u|  max |e (par Cauchy-Schwarz).
[a,b] [a,b]
Mais on a aussi
Z 1
| | = |u(x) e(x)| =
u |u(x) e(x)|dx  kukL2 + ku0 kL2
u
0
ce qui donne finalement

p
max |u|  kukL2 + 2ku0 kL2  5kukH 1 .
[a,b]
La preuve du lemme est terminée.
Remarque 2.32. — En dimension N > 1, le lemme ci-dessus est faux. Les fonctions H 1
peuvent admettre des singularités, mais celles-ci doivent être localisées sur des variétés de
dimension au plus N 2. Par exemple, on peut montrer (voir TD) que la fonction définie
sur ⌦ = B(0, 12 ) ⇢ R2 par u(x, y) = ( ln |x|)↵ avec 0 < ↵ < 12 appartient à H 1 (⌦).
34
2.4.2. Un théorème de trace. — Tout va reposer sur un calcul très simple.
Lemme 2.33. — Pour tout v 2 D(RN

+ ), on a l’inégalité
kv(·, 0)kL2 (RN 1)  kvkH 1 (RN ) . (2.13)

+
0
+ ). On a, pour tout x 2 R
Démonstration. — Soit v 2 D(RN N 1,
Z +1 Z +1
0 2 @ 0 2 @v
v(x , 0) = ( v(x , xN ) )dxN = 2 v(x0 , xN ) (x0 , xN )dxN
0 @x N 0 @x N
Z +1 !
2
0 2 @v 0
 v(x , xN ) + (x , xN ) dxN
0 @xN
où l’on a utilisé l’inégalité de Cauchy-Schwarz et 2ab  a2 + b2 . En intégrant par rapport

à x0 , on obtient
Z Z !
2
2 @v
v(x0 , 0) dx0  |v(x)|2 + (x) dx
R N 1 R+
N @xN
d’où (2.13).
Sachant que D(RN 1 N N 1 ) est dense

+ ) est dense dans H (R+ ) (Corollaire 2.30), et que D(R
dans L2 (RN 1 ), l’application v 7! v(·, 0) de D(RN+ ) sur D(R
N 1 ) se prolonge par continuité
en une application linéaire continue de H (R+ ) sur L (R 1 ). De plus, (2.13) est vraie
1 N 2 N
pour ce prolongement. Ce procédé, appliqué à un ouvert ⌦ ce classe C 1 , va nous permettre

de définir l’application trace.
Théorème 2.34. — Soit ⌦ ⇢ RN un ouvert de classe C 1 et de frontière bornée (ou
⌦ = RN 0
+ ). Alors l’application 0 : v 7! 0 v = v|@⌦ de D(⌦) dans C (@⌦) se prolonge par
1 2
continuité en une application linéaire continue de H (⌦) dans L (@⌦), encore notée 0 et
appelée application trace.
Démonstration. — Le cas ⌦ = RN + venant d’être démontré, traitons de cas ⌦ de classe C
1
et de frontière bornée. Par prolongement par continuité, ce résultat se déduit de la densité

de D(⌦) dans H 1 (⌦) (Corollaire 2.30) et de l’inégalité suivante : il existe une constante
C > 0 telle que, pour tout v 2 D(⌦), on a
k 0 vkL2 (@⌦)  kvkH 1 (⌦) . (2.14)
Pour démontrer cette inégalité, on utilise une partition de l’unité telle que définie dans
le Lemme 2.29 pour = @⌦, couplée à des fonctions i définies comme au début de la
preuve du Théorème 2.27 ci-dessus. Pour v 2 D(⌦), on pose
wi = (✓i v) i.
D’après le Lemme 2.33 et en utilisant la régularité des fonctions ✓i et i, on obtient

kwi (·, 0)kL2 (RN 1)  kwi kH 1 (RN )  Ci kvkH 1 (⌦) .
+
Pour conclure à (2.14), il suffit de se convaincre de l’équivalence des normes suivantes :

✓Z ◆1/2 n
!1/2
X 2
kvkL2 (@⌦) = |v(x)|2 d et k(✓i v) i kL2 (RN 1
@⌦ i=1
35
qui résulte encore des propriétés de la partition de l’unité et des régularités des fonctions
bijectives i .
2.4.3. Applications du théorème de trace. — La première application du théorème

de trace est une généralisation de la formule de Green (intégration par parties) sur H 1 (⌦).
Théorème 2.35. — Soit ⌦ ⇢ RN , de classe C 1 et de frontière bornée. Alors, 8u, v 2
H 1 (⌦), on a
Z Z Z
@u @v
vdx = u dx + 0 u 0 v ni d 1iN
⌦ @xi ⌦ @xi @⌦
où ni désigne la ieme composante du vecteur normal sortant n(x) au point x 2 @⌦.
Démonstration. — Ce théorème résulte de la même formule dans le cas où u, v 2 C 1 (⌦)
et ⌦ de classe C 1 , voir la Proposition C.5 dans l’annexe C, couplée avec la densité de D(⌦)
dans H 1 (⌦) (Corollaire 2.30) et la continuité de l’application trace 0 .
Remarque 2.36. — Par commodité, on omettra souvent le “ 0 ” dans cette expression :
Z Z Z
@u @v
vdx = u dx + uv ni d
⌦ @xi ⌦ @xi @⌦
Corollaire 2.37. — Soit ⌦ ⇢ RN , de classe C 1 et de frontière bornée. Pour u 2 L2 (RN ),

on note u = u1 + u2 , avec u1 = u|⌦ et u1 = u|RN \⌦ . On a alors
8
< u1 2 H 1 (⌦)
1 N
u 2 H (R ) () u 2 H 1 (RN \ ⌦)
: 2
0 u1 = 0 u2 .
Démonstration. — (=)) Pour tout u 2 H 1 (RN ) et ⌦ ⇢ RN , on a toujours u1 = u|⌦ 2

H 1 (⌦). En e↵et, pour tout ' 2 D(⌦), on a l’identité
Z Z Z
hru1 , 'i = hu1 , r'i = u1 r'dx = ur'dx = ru'dx,
⌦ RN RN
(on a utilisé le fait que le prolongement de ' par 0 hors de ⌦ est une fonction-test D(RN ))
qui entraı̂ne l’estimation
Z
|hru1 , 'i|  ru'dx  krukL2 (RN ) k'kL2 (⌦) ,
RN
puis que ru1 2 L2 (⌦)avec ru1 = ru|⌦ .
Cette remarque entraı̂ne que si u 2 H 1 (RN ), alors u1 2 H 1 (⌦) et u2 2 H 1 (RN \ ⌦).
Montrons la troisième propriété. Par densité de D(RN ) dans H 1 (RN ), on peut trouver une
suite 'n 2 D(RN ) telle que 'n ! u dans H 1 (RN ). Par définition de 0 , on a
0 ( 'n | ⌦ ) = 'n |@⌦ = 0 ( 'n |RN \⌦ ). (2.15)
Par ailleurs, on a 'n |⌦ ! u|⌦ = u1 dans H 1 (⌦) et 'n |RN \⌦ ! u|RN \⌦ = u2 dans H 1 (RN \
⌦) (cela découle encore de la remarque ci-dessus). Donc, par continuité de l’application
trace, on peut passer à la limite dans (2.15), ce qui donne 0 u1 = 0 u2 .
((=) Pour ' 2 D(RN ) et i 2 {1, . . . , N }, on a
Z Z Z
h@i u, 'i = u@i 'dx = u1 @i 'dx u2 @i 'dx.
RN ⌦ RN \⌦
36
Or, la formule de Green donne
Z Z Z
u1 @i 'dx = @i u1 'dx + 0 u1 0 ' ni d ,
⌦ ⌦ @⌦
où n est le vecteur normal unitaire sortant de ⌦. De même, on a
Z Z Z
u2 @i 'dx = @i u2 'dx 0 u2 'ni d
RN \⌦ RN \⌦ @⌦
(noter que n est le vecteur normal unitaire sortant de RN \ ⌦). Comme par hypothèse,
0 u1 = 0 u2 , on a donc
Z Z
h@i u, 'i = @i u1 'dx + @i u2 'dx.
⌦ RN \⌦
Ainsi la fonction de L2 (RN ) définie par @i u1 sur ⌦ et par @i u2 sur RN ⌦ s’identifie presque
partout à @i u. Cela montre bien que u 2 H 1 (⌦).
Une autre application intéressante du théorème de trace est une caractérisation plus
intuitive de l’espace H01 (⌦) défini par la Définition 2.20.
Théorème 2.38. — Soit ⌦ ⇢ RN un ouvert de classe C 1 et de frontière bornée (ou
⌦ = RN 1
+ ). Pour tout u 2 H (⌦), les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) u 2 H01 (⌦). ⇢
u(x) si x 2 ⌦
(ii) La fonction ue(x) =
0 si x 2 RN \ ⌦
appartient à H 1 (RN ).
(iii) 0 u = 0.
Démonstration. — (i) ) (iii). On a H01 (⌦) ⇢ Ker 0 . En e↵et, soit u 2 H01 (⌦) et soit
'n une suite de fonctions de D(⌦) telle que 'n ! u dans H 1 (⌦). Par continuité de
l’application trace, on a 0 'n ! 0 u dans L2 (@⌦). Mais, comme les fonctions 'n sont à
support compact dans ⌦, on a 0 'n = 0. Donc 0 u = 0 presque partout sur @⌦.
(iii) ) (ii). Il suffit d’appliquer le Corollaire 2.37 à la fonction u e|⌦ =
e. En e↵et, on a u
u 2 H 1 (⌦), u
e|RN \⌦ = 0 2 H 1 (RN \ ⌦) et 0 u = 0 0 = 0, donc u e 2 H 1 (RN ).
(ii) ) (i). C’est la partie la plus compliquée de cette preuve. En raisonnant encore par
partitions de l’unité, on peut voir qu’encore une fois, il suffit de montrer le résultat pour
⌦ = RN 1 N
+ . Considérons donc une fonction u 2 H (R+ ) telle que son prolongement u e par 0
hors de R+ appartient à H (R ). On va montrer que u est la limite d’une suite de fonctions
N 1 N
de D(R+ N ). Il faut combiner trois techniques : troncature, translation et régularisation par

convolution.
Troncature. Soit 2 D(RN ) une fonction de troncature, telle que (x) = 1 si |x|  1 et
(x) = 0 si |x| 2. Pour M 2 N⇤ , on pose u eM (x) = (x/M )e u(x). Il est immédiat de voir
que u M
e !u 1 N
e dans H (R ) lorsque M ! +1.
Translation. Pour tout h > 0, on note ⌧h u e la fonction translatée définie par
eM (x0 , xN ) = u
⌧h u eM (x0 , xN h).
On a facilement que @i ⌧h u eM = ⌧h @i u
eM , donc la fonction ⌧h u
eM appartient à H 1 (RN ). On
M
e !u
vérifie en outre que ⌧h u M 1 N
e dans H (R ) lorsque h ! 0 (pour montrer ce résultat
pour la norme L2 , il convient d’ approcher la fonction L2 par une fonction Cc0 , ensuite il
est facile d’en déduire l’analogue pour la norme H 1 ).
37
Régularisation. Le support de la fonction ⌧h ueM est compact et est inclus dans {(x0 , xn ) :
xN h} : il est donc inclus dans un certain ouvert ! tel que ! ⇢ RN + et ! est compact.
N eM dans
D’après le Corollaire 2.19, il existe une suite 'n 2 D(R+ ) qui converge vers ⌧h u
1 N
H (R+ ) (c’est l’étape de régularisation par convolution). En faisant tendre M ! +1,
h ! 0 et n ! +1, par extraction diagonale on construit une suite de fonctions de D(RN +)
qui converge vers u dans H 1 (RN + ).
2.5. Un résultat de compacité

Le but de cette section est de démontrer le théorème de compacité suivant.
Théorème 2.39 (de Rellich). — Soit ⌦ un ouvert borné de RN , de classe C 1 . Alors

l’injection canonique de H 1 (⌦) dans L2 (⌦) est compacte.
Rappelons que, si X et Y sont deux espaces de Banach, une application linéaire A :

X ! Y est dite compacte si pour toute suite un 2 X bornée, il existe une sous-suite u'(n)
telle que Au'(n) converge dans Y . Le théorème précédent signifie donc que, si ⌦ est borné
et de classe C 1 , alors de toute suite bornée dans H 1 (⌦), on peut extraire une sous-suite
qui converge dans L2 (⌦).
Démonstration. — Considérons une suite un bornée dans H 1 (⌦) et notons vn = P un son

prolongement dans H 1 (RN ) selon l’opérateur de prolongement défini dans le Théorème
2.27. Alors vn est une suite bornée de H 1 (RN ). De plus, comme ⌦ est borné, quitte à
multiplier vn par une fonction de troncature régulière, à support compact et valant 1 sur
⌦, on peut sans perte de généralité supposer que les fonctions vn ont toutes leur support
inclus dans un même compact K ⇢ RN .
Un résultat classique d’analyse fonctionnelle dit que tout ensemble borné d’un espace de
Hilbert (qui est donc réflexif) est faiblement relativement compact. Ainsi, en considérant
l’espace de Hilbert L2 (RN ), la suite vn étant bornée dans L2 (RN ), on peut extraire une
sous-suite de vn (encore notée vn ) qui converge vers v 2 L2 (RN ) pour la topologie faible
L2 (RN ). Notons que le support de v est aussi inclus dans K. En e↵et, pour toute fonction
' 2 D(RN \ K), on a
Z Z Z
v(x)'(x)dx = v(x)'(x)dx = lim vn (x)'(x)dx = 0,
RN \K RN n!+1 RN
ce qui entraı̂ne que v|RN \K est nulle presque partout (par le Lemme 2.6). Dans la suite, on
note wn = vn v. La suite wn est une suite de fonctions bornées dans H 1 (RN ), à support
dans K, et convergeant vers 0 faiblement dans L2 (RN ).
On va maintenant utiliser la caractérisation de H 1 (RN ) par la transformée de Fourier.

On rappelle en e↵et que u 2 H 1 (RN ) si, et seulement si, u 2 L2 (RN ) et (1 + |⇠|2 )1/2 u
b2
L2 (RN ), et alors
kukH 1 = k(1 + |⇠|2 )1/2 u
bkL2 .
38
Par le théorème de Plancherel, on a
Z
2
kwn kL2 = bn (⇠)|2 d⇠
|w
RN
Z Z
2 1
 |w
bn (⇠)| d⇠ + 2
bn (⇠)|2 d⇠
(1 + |⇠|2 ) |w
|⇠|M 1 + M |⇠| M
Z
1
 bn (⇠)|2 d⇠ +
|w sup kwn k2H 1 . (2.16)
|⇠|M 1 + M2 n
Démontrons que, pour tout M > 0, la première intégrale converge vers 0 lorsque n ! +1.
Soit ⇠ 2 RN . Comme le support de wn est inclus dans K, on a
Z
N/2
wbn (⇠) = (2⇡) e ix·⇠ wn (x)1K (x)dx,
RN
où 1K désigne la fonction indicatrice de K. Comme K est borné, la fonction x ! 7
e ix·⇠ 1K (x) est clairement une fonction de L2 (RN ), donc la convergence faible L2 de
wn vers 0 entraı̂ne que
8⇠ 2 RN , lim w bn (⇠) = 0.
n!+1
De plus, par Cauchy-Schwarz, on a la majoration uniforme suivante
Z
N/2
|w
bn (⇠)|  (2⇡) |wn (x)|1K (x)dx  (2⇡) N/2 |K|1/2 sup kwn kL2 .
RN n
On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée, pour montrer que, pour tout
M > 0, Z
lim bn (⇠)|2 d⇠ = 0.
|w
n!+1 |⇠|M
Il ne reste plus qu’à conclure. Pour tout " > 0, on commence à choisir M tel que
1 2
1+M 2
supn kwn k2H 1 < "2 . Ensuite, il existe n0 tel que, pour tout n n0 , on a
R 2 "2
|⇠|M |w
bn (⇠)| d⇠ < 2 . En insérant ces inégalités dans (2.16), on obtient kwn kL2  ".
ON vient de démontrer que la sous-suite vn converge vers v pour la topologie forte de
L2 (RN ). La restriction un = vn |⌦ converge donc vers v|⌦ dans L2 (⌦).
Ce théorème joue un rôle important dans la théorie spectrale des opérateurs elliptiques.
On peut aussi lui trouver une application intéressante pour obtenir des inégalités de type
Poincaré par des démonstrations par l’absurde. On renvoie pour cela à un exercice vu en
TD.
39
CHAPITRE 3
PROBLEMES ELLIPTIQUES LINEAIRES
3.1. Introduction : Un problème de minimisation

Dans de nombreuses situations, la résolution d’une EDP elliptique peut être associée
à la recherche d’un équilibre en terme d’énergie. Par exemple, lorsque l’EDP régit un
problème d’élasticité, il peut s’agir de trouver la solution qui minimise les e↵orts subits
par une membrane élastique sous contraintes.
On se propose de regarder le problème modèle suivant. On cherche à minimiser la

fonctionnelle Z Z
1 2
J(u) = |ru(x)| dx f (x)u(x)dx
2 ⌦ ⌦
où u 2 H01 (⌦) et ⌦ est un domaine borné de classe C 1 .
Interprétation physique : On cherche, parmi un ensemble d’états possibles, celui qui
correspond à la plus petite énergie. Exemple : si l’on considère l’équilibre d’une membrane
élastique, on recherche la position en laquelle la membrane subira le moins d’e↵orts, de
tensions internes.
Lemme 3.1. — Soit f 2 L2 (⌦). Alors J admet un unique minimiseur u 2 H01 (⌦).
Démonstration. — Montrons d’abord que inf J > 1. Cela découle de l’inégalité de

Poincaré : il existe une constante C⌦ telle que, pour tout u 2 H01 , kukL2  C⌦ krukL2 ,
donc
1
J(u) kruk2L2 kf kL2 kukL2 (Cauchy-Schwarz)
2
1
kruk2L2 C⌦ kf kL2 krukL2 .
2
Or la fonction t 7! g(t) = 12 t2 C⌦ kf kL2 t est minorée car
1 1 2 1 2
g(t) = (t C⌦ kf kL2 )2 C kf k2L2 C kf k2L2
2 2 ⌦ 2 ⌦
1 2 2
Ainsi J(u) 2 C⌦ kf kL2 , ce qui donne que j = inf J > 1.
Montrons que l’infimum est atteint. Par définition de l’infimum, il existe une suite
un 2 H01 (⌦) telle que j  J(un ) < j + n1 . Montrons que cette suite est de Cauchy dans
H 1 (⌦). Pour cela, on remarque que, pour tout (v, w) 2 (H01 (⌦))2 , on a
✓ ◆ Z ✓ ◆ !
v+w 1 2 2 v+w 2
J(v) + J(w) 2J = |rv| + |rw| 2 r dx
2 2 ⌦ 2
Z
1
= |r(v w)|2 dx
2 ⌦
1
(1 + C⌦2 ) 1 kv wk2H 1
2
avec l’inégalité de Poincaré. Par conséquent, en notant C⌦0 = 12 (1 + C⌦2 ) 1 , on a
✓ ◆
0 2 un + up
C⌦ kun up kH 1  J(un ) + J(up ) 2J
2
 J(un ) + J(up ) 2j
1 1
 + .
n p
La suite (un )n est donc de Cauchy dans H 1 (⌦) qui est complet. Donc il existe u 2 H 1 (⌦)
tel que un ! u dans H 1 (⌦).
Or, H01 (⌦) est fermé dans H 1 (⌦) (par définition, car c’est l’adhérence de l’ensemble des
fonctions-test) donc u 2 H01 (⌦). Par ailleurs, il est facile de voir que J est continue sur
H 1 (⌦), ce qui entraı̂ne J(u) = limn!1 J(un ) = j. On conclut donc que u = minv2H01 J(v).
Il reste à montrer l’unicité du minimiseur. Soient v et w deux minimiseurs de J sur

H01 (⌦). On a
✓ ◆ ✓ ◆
0 2 v+w v+w
C⌦ kv wkH 1  J(v) + J(w) 2J = 2j 2J  0,
2 2
donc v = w.
En réalité, ce qui nous intéresse surtout ici c’est le point de vue di↵érentiel.
Lemme 3.2. — La fonctionnelle J est de classe C 1 sur H 1 et sa di↵érentielle est donnée
par Z Z
dJu (v) = ru · rv f v.
⌦ ⌦
Démonstration. —
Z Z Z
1 2
J(u + v) J(u) = ru · rvdx + |rv| dx f vdx
⌦ 2 ⌦ ⌦
La continuité de J est évidente :
1
|J(u + v) J(u)|  krukL2 krvkL2 + krvk2L2 + kf kL2 kvkL2 = O(kvkH 1 ).
2
La di↵érentiabilité est aussi évidente. En posant
Z Z
Lu (v) = ru · rvdx f vdx,
⌦ ⌦
alors Lu est clairement continue sur H1 et on a
1
|J(u + v) J(u) Lu (v)|  kvk2H 1 = o(kvkH 1 )
2
42
Enfin, le caractère C 1 découle de |Lu (v) Lue (v)|  kr(u e)kL2 krvkL2 , qui entraı̂ne
u
kLu Lue k  kr(u e)kL2 .
u
Corollaire 3.3. — Le minimiseur u de J sur H01 (⌦) satisfait :

Z Z
u 2 H01 (⌦) et 8v 2 H01 (⌦) ru · rvdx = f vdx (3.1)
⌦ ⌦
ou encore 8
< u=f au sens des distributions,
u=0 sur @⌦, (3.2)
:
u 2 H 1 (⌦).
Démonstration. — L’équation (3.1) découle directement de dJu = 0, que l’on vérifie ainsi.
Pour t 2 R et pour v 2 H01 , on a
J(u + tv) J(u)
dJu (v) = lim
t!0 t
avec J(u + tv) J(u), donc
8
> J(u + tv) J(u)  0
>
< si t < 0,
t
>
> J(u + tv) J(u)
: 0 si t > 0,
t
ce qui donne, en passant à la limite, à la fois dJu (v)  0 et dJu (v) 0.
Prenons v 2 D(⌦) dans (3.1) (noter que D(⌦) ⇢ H01 (⌦)) :
XN Z Z
@u @v
dx = f vdx
i=1⌦ @xi @xi ⌦
m
N ⌧
X @u @v
, = hf, vi
@xi @xi
i=1
m
* N
+
X @2u
,v = hf, vi,
i=1
@x2i
d’où u = f dans D0 (⌦). Les autres propriétés de (3.2) proviennent de u 2 H01 (⌦).
Bilan. A partir d’un problème de minimisation, on a résolu (c.a.d. trouvé une solution
à) une EDP elliptique (l’équation de Laplace), au sens des distributions. Cela signifie que
la solution n’étant que dans H 1 (⌦) a priori, on ne peut définir son Laplacien que dans
D0 (⌦).
On a aussi, ainsi, trouvé une formulation intermédiaire (3.1). Tout ceci nous fournit les
idées directrices de ce chapitre. On va résoudre les problèmes elliptiques au sens des
distributions (on parle de solutions faibles) en se ramenant non pas à un problème de
minimisation (ce n’est pas toujours possible), mais à une formulation du type (3.1) appelée
formulation variationnelle.
43
Remarque 3.4. — On a vu que J admet un unique minimiseur. On verra plus loin que
(3.1) et (3.2) admettent une unique solution. A ce stade du développement, ceci n’est pas
encore démontré.
3.2. Solutions faibles pour le problème de Dirichlet

3.2.1. L’équation de Laplace. — On s’intéresse à l’EDP suivante :
⇢
u = f dans ⌦
(3.3)
u = 0 sur @⌦.
Définition 3.5. — Une fonction u est dite solution faible de (3.3) si u 2 H01 (⌦) et si
u = f au sens des distributions.
Remarque 3.6. — A priori, pour cette définition, on n’a besoin que des hypothèses sui-
vantes : ⌦ ouvert, et f 2 D0 (⌦). On va néanmoins supposer des hypothèses plus fortes,
permettant d’utiliser la notion de traces pour interpréter la condition aux limites, et per-
mettant aussi d’utiliser l’inégalité de Poincaré. Nous supposerons toujours ⌦ borné, de
classe C 1 .
Remarque 3.7. — Rappelons que le dual de H01 (⌦), appelé H 1 (⌦), a été identifié, lors
du Théorème 2.24, à un sous-espace de distributions et que l’on a l’identification (2.6) dans
ce théorème. Par conséquent, le Laplacien d’une fonction H 1 (⌦) appartient à H 1 (⌦) et
il est donc clair que nous ferons les hypothèses minimales sur f suivantes : f 2 H 1 (⌦).
Quelques petits calculs. Soit u une solution faible de (3.3) et ' 2 D(⌦), alors on a
successivement
h u, 'i = hf, 'i = hf, 'iH 1 ,H 1
0
* N
+
X @2u
, ' = hf, 'iH 1 ,H01
i=1
@x2i
XN ⌧
@u @'
, = hf, 'iH 1 ,H01
@xi @xi
i=1
XN Z
@u @'
dx = hf, 'iH 1 ,H01
@xi @xi
i=1 ⌦
Z
ru · r' dx = hf, 'iH 1 ,H01 .
⌦
Soit v 2 H01 et 'n une suite de D(⌦) convergeant vers v. En passant à la limite dans
l’égalité ci-dessus, on obtient
8
< u 2 H01 Z
(3.4)
: 8v 2 H01 ru · rv dx = hf, viH 1 ,H01 .
⌦
On passe ainsi de l’EDP (3.2) à ce problème intermédiaire. Le point intéressant est qu’on
a en fait l’équivalence entre les deux problèmes.
Lemme 3.8. — Soit ⌦ borné, de classe C 1 et f 2 H 1 (⌦). Une fonction u est solution
faible de (3.3) si, et seulement si, elle vérifie (3.4).
44
Définition 3.9. — Une formulation variationnelle est la donnée
– d’un espace de Hilbert V
– d’une forme bilinéaire continue a(·, ·) sur V ⇥ V
– d’une forme linéaire continue `(·) sur V
et consiste à rechercher une solution du problème
⇢
u2V
(3.5)
8v 2 V a(u, v) = `(v).
Application ici. La formulation (3.4) est appelée formulation variationnelle du problème

de Dirichlet pour le Laplacien (3.3). R Elle rentre bien dans le cadre de la Définition 3.9,
où l’on a : V = H01 (⌦), a(u, v) = ⌦ ru · rvdx et `(v) = hf, viH 1 ,H01 . On vérifie sans
difficulté la continuité de a : par Cauchy-Schwarz,
|a(u, v)|  krukL2 krvkL2  kukH 1 kvkH 1 .
La continuité de ` est codée dans l’information f 2 H 1 (⌦).
Le point fort de cette approche repose sur la possilibité d’utiliser le théorème de Lax-
Milgram :
Théorème 3.10 (Lax-Milgram). — On se donne une formulation variationnelle selon

la Définition 3.9. On suppose que la forme bilinéaire a est coercive, c’est à dire :
9↵ > 0 : 8u 2 V, a(u, u) ↵ kuk2V .
Alors le problème (3.5) admet une unique solution u.
De plus, si a est symétrique, alors u est l’unique minimiseur de J(v) = 12 a(v, v) `(v)
sur V .
Démonstration. — On applique tout d’abord par deux fois le théorème de représentation

de Riesz. Pour tout v 2 V fixé, w 7! a(v, w) est une forme linéaire continue sur V . Il
existe donc un unique A(v) 2 V tel que 8w, a(v, w) = (A(v), w). De la bilinéarité de a,
on déduit la linéarité de A. Et, en prenant w = A(v), on a
kA(v)k2 = a(v, A(v))  M kvk kA(v)k ,
d’où
kA(v)k  M kvk ,
c’est-à-dire, A est continue. De même, il existe u0 2 V tel que 8w 2 V , `(w) = (u0 , w).
Il s’agit alors de trouver u tel que : 8w a(u, w) = `(w), ce qui se réécrit

A(u) = u0 .
On va utiliser le théorème du point fixe de Banach :
Soit X un espace de Banach et
T : X ⇥ X strictement contractante,
alors T admet un unique point fixe.
Soit T (v) = v (A(v) u0 ) avec > 0 à fixer. Si T admet un point fixe alors ce point
fixe vérifie le résultat attendu pour u : A(u) = u0 .
45
On cherche donc une valeur de telle que T soit strictement contractante. On calcule
kT (v) T (w)k2 = kv w A(v w)k2
= kv wk2 2 (A(v w), v w) + 2
kA(v w)k2
 kv wk2 2 a(v w, v w) + 2
M 2 kv wk2
 (1 2 ↵+ 2
M 2 ) kv wk2 .
Il suffit alors de trouver tel que 1 2 ↵ + 2 M 2 < 1, ce qui est vérifié dès lors que
2↵
<M 2 . Prenons par exemple = M↵2 et alors T est contractante.
Pour traiter le cas où a est symétrique, il suffit de reprendre point par point la
démonstration du premier lemme du chapitre (en exercice).
Remarque 3.11. — Dans le théorème de Lax-Milgram, on obtient en plus une estimation

a priori sur la solution. En e↵et, dans
8v 2 V, a(u, v) = `(v),
il suffit de prendre v = u et on obtient a(u, u) = `(u). Ainsi, en utilisant la coercivité de
la forme bilinéaire a,
↵ kuk2  a(u, u) = `(u)  k`kV 0 kuk
k`kV 0
d’où kuk  ↵ .
Théorème 3.12. — Soit f 2 H 1 (⌦), où ⌦ est un ouvert borné de classe C 1 . Alors (3.3)
admet une unique solution faible u. De plus, il existe une constante c, ne dépendant que
de ⌦, telle que
kukH 1  c kf kH 1 .
Démonstration. — D’après le Lemme 3.8 (et les propriétés de continuité de a et f ), il

suffit de montrer que la formulation variationnelle (3.4). Pour appliquer le théorème de
Lax-Milgram, il suffit de vérifier la coercivité de la forme bilinéaire . La coercivité de a se
vérifie grâce à l’inégalité de Poincaré :
Z
a(u, u) = ru · rudx = kruk2L2 C⌦ kuk2H 1 .
⌦
3.2.2. Problèmes elliptiques d’ordre 2. — On s’intéresse maintenant au problème

elliptique d’ordre 2 général introduit au début du cours :
XN X N ✓ ◆ X N
@ @u @u
aij (x) + bi (x) + a0 (x)u = f (x) sur ⌦, (3.6)
@xi @xj @xi
i=1 j=1 i=1
avec condition aux limite de Dirichlet homogène sur @⌦

u=0 sur @⌦. (3.7)
Les hypothèses sont les suivantes.
– Sur le domaine : ⌦ borné, de classe C 1 .
– Sur les données : aij , bi , a0 de classe L1 (⌦) ; f 2 H 1 (⌦).
46
– Sur l’opérateur : uniforme ellipticité, il existe une constante c0 > 0 telle que
N
X
Pour presque tout x 2 ⌦, 8⇠ 2 RN , aij (x)⇠i ⇠j c0 |⇠|2 .
i,j=1
Lemme 3.13. — Les deux assertions suivantes sont équivalentes :

(i) u 2 H 1 (⌦) satisfait (3.6) au sens des distributions et (3.7) au sens des traces.
(ii) u satisfait la formulation variationnelle suivante :
(
u 2 H01 (⌦)
(3.8)
8v 2 H01 (⌦) a(u, v) = hf, viH 1 ,H 1
0
où
N Z
N X
X X N Z Z
@u @v @u
a(u, v) = aij (x) dx + bi (x) vdx + a0 (x)uvdx.
⌦ @xj @xi ⌦ @x i ⌦
i=1 j=1 i=1
Une fonction u satisfaisant ces propriétés est dite solution faible de (3.6), (3.7).
Démonstration. — Simple généralisation de ce qui a été fait pour le Laplacien, laissée en
exercice.
Il convient désormais de s’intéresser à l’utilisation du théorème de Lax-Milgram, et plus
précisément à la coercivité de a. On a
XN X N Z N Z
X Z
@u @u @u
a(u, u) = aij (x) dx + bi (x) udx + a0 (x)u2 dx
⌦ @x j @x i ⌦ @x i ⌦
i=1 j=1 i=1
unif. ellipticité N Z
X Z
@u
c0 kruk2L2 + bi (x) udx + a0 (x)u2 dx
⌦ @xi ⌦
i=1
Inég. Poincaré c0
kuk2H 1 + 2 termes d’ordres inférieurs.
1 + C⌦2
Il y a donc deux situations :
(i) Les cas favorables où les termes d’ordres inférieurs sont positifs :
– Par exemple, si pour tout i, on a bi = 0 p.p. et a0 0 p.p. sur ⌦.
– Ou encore, plus généralement, si div bi  0 au sens des distributions et a0 (x) 0
p.p. sur ⌦. En e↵et, pour tout ' 2 D(⌦), on a
X N Z XN ⌧ ✓ 2◆ ⌧
@' @ ' '2
bi ' dx = bi , = div b, 0,
@xi @xi 2 2
i=1 ⌦ i=1
P R
cette propriété de signe reste donc vraie, par densité, pour N @u
i=1 ⌦ bi @xi u dx, avec
1
u 2 H0 (⌦).
(ii) Les cas défavorables où les termes d’ordres inférieurs n’ont pas de signe a priori.
Dans ce cas, le problème (3.6), (3.7) peut avoir plusieurs solutions faibles ou n’en
avoir aucune. Voici deux contre-exemples, en dimension un :
– Pour le problème
⇢
u00 ⇡ 2 u = 0 sur ]0, 1[,
u(0) = u(1) = 0,
l’ensemble des solutions est {↵ sin ⇡x , ↵ 2 R}.
47
– Pour le problème
⇢
u00 ⇡ 2 u = 1 sur ]0, 1[,
u(0) = u(1) = 0,
il n’y a pas de solution faible. En e↵et, une solution u vérifierait la formulation
variationnelle, donc, pour tout v 2 H01 (0, 1),
Z 1 Z 1 Z 1
0 0 2
u (x)v (x)dx ⇡ u(x)v(x)dx = v(x)dx.
0 0 0
Prenons v(x) = sin(⇡x). En remarquant que v 2 H 2 (0, 1), la formule de Green
donne
Z 1 Z 1
u0 (x)v 0 (x)dx = u(x)v 00 (x)dx + u(1)v 0 (1) u(0)v 0 (0)
0 0
Z 1
= ⇡2 u(x)v(x)dx.
0
R1
Donc, on devrait avoir 0 sin(⇡x)dx = 0, alors que cette intégrale vaut 2/⇡.
Théorème 3.14. — Sous les hypothèses ci-dessus :
(i) Si, de plus, div bi  0 au sens des distributions et a0 0 p.p. sur ⌦, alors (3.6),
(3.7) admet une unique solution faible.
(ii) Sinon, il existe "0 0 tel que, dès que kbkL1 + ka0 kL1  "0 , le problème (3.6),
(3.7) admet une unique solution faible.
Démonstration. — Avec l’analyse précédente, il suffit dans chaque cas de montrer la coer-
civité de la forme bilinéaire. Dans le cas (i), on a déjà vu que, pour tout u 2 H01 (⌦), on
a
c0
a(u, u) c1 kuk2H 1 avec c1 = .
1 + C⌦2
Dans le cas (ii), on utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
2
XZ @u
Z
a(u, u) c1 kukH 1 + bi u+ a 0 u2
⌦ @xi
i ⌦
c1 kuk2H 1 kbkL1 krukL2 kukL2 ka0 kL1 kuk2L2

(c1 2"0 ) kuk2H 1
c1
donc "0 = 4 convient.
3.3. Régularité H 2
Dans cette section nous nous intéressons à la régularité de la solution selon la régularité
de la donnée f . Soit u solution de (3.3) ou de (3.6), (3.7).
– Si f 2 H 1 (⌦) mais f 62 L2 (⌦), on ne peut pas espérer u 2 H 2 (⌦).
– En revanche, si f 2 L2 (⌦), en dimension 1, on récupère directement u 2 H 2 (⌦). En
e↵et : u00 = u 2 L2 (⌦).
– En dimension supérieure, le résultat reste vrai mais plus compliqué à établir. En
e↵et, l’information disponible est seulement qu’une combinaison linéaire de certaines
dérivées secondes est dans L2 , et on veut en déduire que toutes les dérivées secondes
sont dans L2 . C’est le caractère elliptique du problème qui e↵ectue ce transfert de
régularité.
48
Théorème 3.15 (Régularité H 2 pour le Laplacien). — Soit u solution faible de
(3.3) et ⌦ borné, de classe C 2 . Si f 2 L2 (⌦) alors u 2 H 2 (⌦), et il existe une constante
c > 0, ne dépendant que de ⌦, telle que kukH 2  c kf kL2 .
Démonstration. — Supposons avoir montré que u 2 H 2 (⌦). Alors l’existence de la
constante c provient du théorème de l’application ouverte de Banach. En e↵et, l’appli-
cation
H 2 (⌦) \ H01 (⌦) 7 ! L2 (⌦)
u ! u
est un opérateur linéaire continu et bijectif, son inverse l’est donc aussi. Il reste à montrer
la régularité. Cela se fait en deux étapes :
(i) Régularité intérieure : 8 2 D(⌦), u 2 H 2 (⌦).
(ii) Régularité au voisinage du bord : u 2 H 2 (⌦).
Mais avant de traiter le cas ⌦ régulier quelconque, on va traiter deux cas particuliers qui
s’avéreront utiles.
Étape 1 : ⌦ = RN .
On cherche à montrer que
u 2 H 1 (RN ) et u 2 L2 (RN ) =) u 2 H 2 (RN ).
Commençons par une preuve non rigoureuse mais intuitive. Soit u 2 H 1 (RN ) et u=
f 2 L2 (RN ). Alors on a
Z Z
1 N
8v 2 H (R ), ru · rvdx = f vdx.
RN RN
@2u
Imaginons que l’on puisse prendre v = , pour i 2 {1, . . . , N }. Il vient alors
@x2i
Z ✓ 2 ◆ Z
@ u @2u
ru · r dx = f 2 dx.
RN @x2i RN @xi
Par intégration par partie, on obtient la relation
2 Z
@2u @u 2 @2u
 r dx  kf kL 2 . (3.9)
@x2i L2 RN @xi @x2i L2
D’où
@2u
 kf kL2 .
@x2i L2
En revenant à l’étape intermédiaire (3.9), il vient donc, pour tout i 2 {1, . . . , N },
X 2
@2u
 kf k2L2
@xi @xj L2
j
2
et u 2 H 2 (⌦). Cependant, cette démonstration n’est pas rigoureuse, car @@xu2 n’est a priori
i
pas une fonction-test admissible. Pour permettre un tel raisonnement, il nous faut passer
2
par des fonctions de H 1 (RN ) qui approcheront @@xu2 , les quotients di↵érentiels.
i
Lemme 3.16. — Soit ⌦ = RN

ou ⌦ = RN
+ et ei le i-ème vecteur de la base canonique.
Si ⌦ = R+ , on suppose de plus que i  N
N 1. Pour tout u 2 L1loc (⌦) et h 2 R⇤ , on pose
⌧h u u
⌧h u(x) = u(x + hei ) p.p., et Dh u = .
h
49
(i) Si u 2 H 1 (⌦), alors pour tout h 2 R⇤ , on a
@u
kDh ukL2 (V )  .
@xi L2 (⌦)
(ii) Soit u 2 L2 (⌦). Supposons qu’il existe C1 indépendante de h telle que

8h 2 R⇤ , kDh ukL2  C1 .
@u
Alors on a @xi 2 L2 (⌦) et
@u
 C1 . (3.10)
@xi L2
Démonstration. — Commençons par remarquer que l’on a l’intégration par parties

discrète, pour tout u, v 2 L2 (⌦),
Z Z
uD h v dx = Dh uv dx.
⌦ ⌦
Preuve de (i). On raisonne par densité et on prouve l’inégalité pour u 2 D(⌦). On a alors,
pour h 6= 0,
Z 1
u(x + hei ) u(x) @u
Dh u(x) = = (x + thei )dt,
h 0 @xi
donc, par Cauchy-Schwarz et Fubini,
Z Z ✓Z 1 ◆2
2 @u
(Dh u(x)) dx  (x + thei )dt dx
⌦ ⌦ 0 @xi
Z Z 1✓ ◆2
@u
 (x + thei ) dtdx
⌦ 0 @xi
Z 1Z ✓ ◆2 Z ✓ ◆2
@u @u
= (x + thei ) dxdt = (x) dx.
0 ⌦ @xi ⌦ @xi
Preuve de (ii). Soit ' 2 D(⌦). Par intégration par parties discrète, on a
Z Z
u(x)Dh '(x)dx = D h u(x)'(x)dx  kD h ukL2 k'kL2  C1 k'kL2 .
⌦ ⌦
En passant à la limite h ! 0, cela donne donc, pour tout ' 2 D(⌦),

⌧ ⌧
@u @'
, ' = u,  C1 k'kL2 .
@xi @xi
@u
La distribution @x i
se prolonge donc par continuité en une forme linéaire continue sur
@u
L et par le théorème de représentation de Riesz sur L2 , @x
2
i
s’identifie elle-même à une
2
fonction de L (voir la Remarque 2.7) et on a l’estimation (3.10).
On e↵ectue maintenant la preuve rigoureuse de la régularité H 2 , en utilisant la technique

des translations de Nirenberg. Soit i 2 {1, . . . , N } et h 2 R⇤ , on prend alors v = D h Dh u 2
H 1 (RN ), (combinaison linéaire de fonctions appartenant à H 1 (RN )). On a donc
Z Z
ru · r (D h Dh u) dx = f D h Dh udx
RN RN
50
et, par intégration par partie discrète (noter que les opérateurs r et Dh commutent),
Z
kDh ruk2L2 = krDh uk2L2 = r(Dh u) · r(Dh u)dx  kf kL2 kD h Dh ukL2
RN
En utilisant le Lemme 3.16 (i), il vient alors
kDh ruk2L2  kf kL2 krDh ukL2 = kf kL2 kDh rukL2
@
d’où kDh rukL2  kf kL2 et, en utilisant le Lemme 3.16 (ii), on obtient donc que @xi (ru) 2
L2 (⌦). Il s’en suit que u 2 H 2 (RN ).
Étape 2 : ⌦ = RN
+.
On peut reproduire la preuve ci-dessus, à condition de ne prendre que des translations

tangentielles, donc i 2 {1, . . . , N 1}. On obtient donc
@2u
8i 2 {1, . . . , N 1}, 8j 2 {1, . . . , N }, 2 L2 (⌦).
@xi xj
Pour traiter la dernière dérivée seconde, on utilise simplement l’équation :
N
X1 N
X1
@2u @2u @2u
= u = f 2 L2 (⌦).
@x2N i=1
@x2i i=1
@x2i
Étape 3 : ⌦ borné, de classe C 2 .

On ne va faire qu’esquisser cette preuve, pourPla détails on pourra se référer à [2]. On
utilise des partitions de l’unité et on écrit u = ni=0 ✓i u. Comme ✓0 2 D(⌦), on a
(✓0 u) = ✓0 f 2r✓0 · ru u ✓0 2 L2 (RN ),
en identifiant ✓0 u et son prolongement par zéro sur RN . Donc l’Étape 1 nous donne que
✓0 u 2 H 2 (RN ).
Le traitement des autres termes ✓i u, 1  i  n est plus délicat. Il faut utiliser une
application i : Q ! Oi bijective telle que
1
i 2 C 2 (Q), i 2 C 2 (Oi ), i (Q+ ) = Oi \ ⌦, i (Q0 ) = Oi \ @⌦
et considérer la fonction vi = (✓i u) i . Ensuite, l’équation de Laplace (✓i u) = fi 2
L2 (O1 ) se transporte sur Q+ en une équation elliptique du second ordre. Il faut donc
adapter la technique des translations de Nirenberg dans le cas RN + à cette équation ellip-
tique, ce qui est possible dès lors que les coefficients de cette équation sont dans C 1 (on
fait une intégration par parties dans la preuve...). On montre ainsi que vi 2 H 2 (Q+ ), puis
on revient à ✓i u grâce à i 1 .
Quelques généralisations.
– Opérateur uniformément elliptique d’ordre 2. Si u 2 H01 (⌦) vérifie
N X
X N Z Z
1 @u @v
8v 2 H0 (⌦), aij (x) dx = f v dx, (3.11)
⌦ @xj @xi ⌦
i=1 j=1
avec f 2 L2 (⌦) et aij 2 C 1 (⌦), alors u 2 H 2 (⌦).
51
– Régularité supérieure : si ⌦ est de classe C k+1 et si les fonctions aij sont de classe
C k (⌦), alors la solution de (3.11) satisfait
f 2 Hk 1
(⌦) =) u 2 H k+1 (⌦).
– Espaces Lp : si ⌦ est de classe C 2 et si les fonctions aij sont de classe C 1 (⌦), alors
f 2 Lp (⌦) , 1 < p < +1 =) u 2 W 2,p (⌦)
Le résultat est faux pour p = 1 ou p = +1.
3.4. Autres problèmes aux limites

3.4.1. Condition de Dirichlet non homogène. — Dans cette section, on garde un
opérateur uniformément elliptique :
XN X
N ✓ ◆
@ @u
Lu = aij + a0 u
@xi @xj
i=1 j=1
en considérant, pour simplifier un peu, que nous n’avons pas de terme d’ordre 1, et que
l’on a a0 0 presque partout. Les hypothèses sont toujours :
– Domaine ⌦ borné, de classe C 1 .
– Données aij , a0 de classe L1 (⌦) ; f 2 H 1 (⌦).
– Opérateur L uniformément elliptique.
Définition 3.17. — Soit ⌦ un ouvert de classe C 1 , de frontière bornée. On note

H 1/2 (@⌦) = {v 2 L2 (@⌦) : 9V 2 H 1 (⌦) tel que v = 0V }
l’image de H 1 (⌦) par l’application trace 0. Muni de la norme
kvk = inf{kV kH 1 où V 2 H 1 (⌦) est tel que 0V = v},
c’est un espace de Banach.
Théorème 3.18. — Sous les hypothèses ci-dessus, on suppose de plus que g 2 H 1/2 (@⌦).
Alors il existe un unique solution faible u 2 H 1 (⌦) de
⇢
Lu = f (⌦)
(3.12)
u = g (@⌦)
Démonstration. — On définit une solution faible de (3.12) par : u 2 H 1 (⌦) et

⇢
Lu = f au sens des distributions
0 u = g.
La propriété d’unicité de la solution découle du théorème d’unicité de la solution du
problème de Dirichlet homogène. Pour ce qui est de l’existence, on se ramène au problème
de Dirichlet homogène en introduisant une fonction G appelée relèvement de g : Soit
G 2 H 1 (⌦) tel que 0 G = g. La fonction G n’est bien entendu pas unique et existe bien
par définition de H 1/2 (@⌦). De plus, comme on a la caractérisation
( N
)
X @f i
H 1 (⌦) = v 2 D0 (⌦) : 9f0 , f1 , · · · , fN 2 L2 (⌦), v = f0 + ,
@xi
i=1
52
il est clair que, comme les coefficients aij et a0 sont dans L1 , on a LG 2 H 1 (⌦). En
posant alors ue = u G, on aura que u est solution faible de (3.12) si, et seulement si
⇢
Le
u = f LG au sens des distributions
e = 0,
0u
e est solution faible d’un problème elliptique avec conditions de Dirichlet

c’est-à-dire si u
homogène. Le Théorème 3.14 (i) nous dit donc qu’il existe un unique tel u e.
Remarque 3.19. — Supposons que ⌦ est de classe C 2 et que aij 2 C 1 (⌦). Si de plus
f 2 L2 (⌦) et g 2 H 3/2 (@⌦) = { 0 G, G 2 H 2 (⌦)}, alors on peut choisir un relèvement de
g tel que LG 2 L2 (⌦) et on aura donc ue 2 H 2 (⌦) par le théorème de régularité elliptique,
2
d’où l’on déduit que u 2 H (⌦).
3.4.2. Le problème de Neumann pour le Laplacien. — On souhaite maintenant

imposer des conditions aux limites sur les dérivées de u (comme il est naturel de le faire
en dimension 1). Quelques remarques préliminaires s’imposent.
Remarque 3.20. — Remplacer “u = 0 sur @⌦” par “ru = 0 sur @⌦” n’est pas une idée
convenable en dimension supérieure à 1. En e↵et, remplacer une condition scalaire par une
condition vectorielle revient à imposer N conditions aux limites au lieu d’une seule. La
condition la plus naturelle issue des problèmes modélisés porte sur la dérivée normale de
u. Pour x 2 @⌦, la dérivée normale à u au point x est
N
X @u
@u
(x) = ru · n(x) = ni (x),
@n @xi
i=1
où n(x) désigne le vecteur normal à @⌦ au point x, unitaire et dirigé vers l’extérieur.
Remarquons que n(x) est une fonction vectorielle continue sur le bord, de module 1.
@u
Ainsi, si rx u 2 L2 (@⌦), on aura @n comme produit d’une fonction L2 par une fonction L1 .
@⌦
⌦
n
La condition aux limites dite de Neumann homogène s’écrit :

@u
= 0 sur @⌦
@n
et correspond physiquement à un “flux nul de u à travers @⌦”.
Remarque 3.21. — Malheureusement, lorsque u 2 H 1 (⌦), sa dérivée normale sur @⌦

n’a pas nécessairement de sens alors que c’est bien le cas pour u 2 H 2 (⌦) selon la théorie
des traces. Il ne sera donc pas possible de définir une solution faible de
8
< u = f (⌦)
(3.13)
: @u = 0 (@⌦)
@n
avec u 2 H 1 (⌦), où la première équation u = f serait prise au sens des distributions
@u
et où @n = 0 serait prise au sens des traces.
53
L’idée consistant à changer d’espace fonctionnel et à remplacer H 1 (⌦) par H 2 (⌦) nous
amènerait à considérer un espace trop restrictif et ne fonctionne pas. On y reviendra plus
loin.
Solution : on va supposer d’abord u 2 H 2 (⌦), définir une formulation variationnelle en
élargissant ensuite l’espace à H 1 (⌦). La solution faible du problème sera définie comme
étant la solution de la formulation variationnelle.
Remarque 3.22. — Il est impossible que le problème (3.13) admette une unique solution.
En e↵et, si u est solution alors u+c est aussi solution, quelle que soit la constante c 2 R. On
va alors s’intéresser au problème suivant, qui aura une meilleure propriété de coercivité :
8
< u+u = f (⌦)
@u (3.14)
: = 0 (@⌦).
@n
Le cas sans terme d’ordre 0 est abordé en TD.
Quelques petits calculs. Soit u solution du problème (3.14), où l’on suppose u 2 H 2 (⌦),
ce qui entraı̂ne donc que l’on doit s’être donné une fonction f 2 L2 (⌦). On multiplie la
première équation par une fonction-test v 2 H 1 (⌦), et l’on utilise la formule de Green
suivante. Pour tout u 2 H 2 (⌦) et v 2 H 1 (⌦), on a
Z Z Z
@u
u vdx = ru · rvdx vd
⌦ ⌦ @⌦ @n
@u
Ainsi, si u est solution du problème, puisque @n = 0, on obtient
Z Z Z
8v 2 H 1 (⌦), ru · rv dx + uv dx = f v dx
⌦ ⌦ ⌦
A ce stade, on cherche u 2 H 2 (⌦) et la fonction-test se trouve dans H 1 (⌦). Or, il nous est
indispensable que l’espace de la solution et celui des fonctions de base soient identiques,
en vue de l’utilisation du théorème Lax-Milgram, et aussi en vue de la discrétisation
qui suivra. On peut alors envisager de prendre la fonction test dans H 2 (⌦). Mais on
imagine bien que cela risque d’être inadapté dans la mesure où le problème initial amenait
naturellement à considérer des fonctions-tests H 1 seulement. Regardons ce qu’il se passe
e↵ectivement dans le cas d’un tel choix. Chercher u 2 H 2 (⌦) tel que
Z Z Z
2
8v 2 H (⌦), ru · rv dx + uv dx = f v dx.
⌦ ⌦ ⌦
L’existence et l’unicité d’une solution pour ce problème seraient liées à la coercivité de
la forme bilinéaire impliquée. Et cela reviendrait à dire qu’il existe une constante ↵ > 0
telle que : 8u 2 H 2 (⌦), kuk2H 1 ↵ kuk2H 2 . Cela se traduirait par une équivalence des
normes k·kH 1 et k·kH 2 sur H 2 (⌦), ce qui induirait H 2 (⌦) = H 1 (⌦). En e↵et, D(⌦) est
dense dans (H 1 (⌦), k·kH 1 ) et alors aussi dans (H 2 (⌦), k·kH 1 ) puisque D(⌦) est dense
dans (H 2 (⌦), k·kH 2 ) et que l’on considère qu’il y a équivalence des deux normes dans
H 2 (⌦). De fait, H 1 (⌦) = H 2 (⌦). On remarquera la di↵érence avec le cas (H01 , H 1 ).
On est en fait dans une impasse avec un tel choix : l’espace qui convient aux problèmes
elliptiques d’ordre 2 est e↵ectivement H 1 (⌦).
54
Définition 3.23 (Solutions fortes, solutions faibles). —
@u
Une fonction u 2 H 2 (⌦) qui vérifie u + u = f au sens L2 (⌦) et @n = 0 sur @⌦ au sens
des traces est dite solution forte de (3.14). La formulation variationnelle de (3.14) s’écrit
8
< u 2 H 1 (⌦) Z Z Z
1 (3.15)
: 8v 2 H (⌦), ru · rv dx + uv dx = f v dx.
⌦ ⌦ ⌦
Une fonction u satisfaisant (3.15) est dite solution faible de (3.14).
Théorème 3.24. — Soit ⌦ borné, de classe C 1 et f 2 L2 (⌦). Alors (3.14) admet une
unique solution faible u. De plus, si ⌦ est de classe C 2 , alors cette solution faible est en
fait l’unique solution forte du problème.
Démonstration. — Pour la première partie du théorème, on utilise le théorème de Lax-

Milgram, avec l’espace de Hilbert V = H 1 (⌦), la forme bilinéaire
Z Z
a(u, v) = ru · rvdx + u vdx
⌦ ⌦
qui est le produit scalaire sur H 1 (⌦), donc clairement continue et coercive, et la forme
linéaire continue Z
v 7! f vdx.
⌦
Démontrons maintenant la seconde partie du théorème. Tout d’abord, les calculs ci-
dessus montrent que toute solution forte du problème est solution faible. Remontons les
calculs dans l’autre sens. Soit u satisfaisant (3.15). En prenant v 2 D(⌦), on obtient
facilement u + u = f au sens des distributions. Si l’on suppose de plus que u 2 H 2 (⌦),
alors en appliquant la formule de Green, on obtient, quel que soit v 2 H 1 (⌦),
Z Z Z Z Z
@u
vd = ru · rv dx + u vdx = ru · rv dx + (u f ) vdx = 0.
@⌦ @n ⌦ ⌦ ⌦ ⌦
Si l’on sait que H 1/2 (⌦), l’ensemble des traces des fonctions H 1 (⌦), est dense dans L2 (⌦),
@u
alors on peut en déduire que @n = 0 en tant que fonction L2 (@⌦) : u est solution forte du
problème.
Ce résultat de densité se montre de la façon suivante. Tout d’abord, remarquons que
le cas ⌦ = RN + , dont le bord est R
N 1 ⇥ {0} est très simple. On sait déjà que l’ensemble
1
des fonctions Cc (R N 1 ) est dense dans L2 (RN 1 ). Comme il est clair que tout fonction
0 1
'(x ) 2 Cc (R N 1 ) est trace d’une fonction 2 H 1 (RN 0 0
+ ) (prendre (x , xN ) = '(x ) (xN )
où est une fonction Cc1 (R+ ) telle que (0) = 1), on en conclut que H 1/2 (RN 1 ⇥ {0}) est
dense dans L2 (RN 1 ⇥ {0}). On en déduit le même résultat dans le cas ⌦ borné de classe
C 1 en utilisant l’argument habituel de partitions de l’unités pour se ramener à RN +.
Il reste à montrer que toute solution faible est dans H 2 (⌦). En fait, un examen de
la preuve de la régularité H 2 pour le problème de Dirichlet (donc pour la formulation
variationnelle (3.15) avec H 1 (⌦)) montre que l’on peut remplacer partout H01 (⌦) par
H 1 (⌦) dans cette preuve (les seules intégrations par parties sont tangentielles au bord).
Sous réserve donc que ⌦ est de classe C 2 (ce qui était utilisé dans cette démonstration),
et comme on a pris soin dès le début de choisir f 2 L2 (⌦), on en déduit donc par cet
argument que u 2 H 2 (⌦), donc que la solution faible est l’unique solution forte.
55
Conclusion. La démarche de résolution du problème de Neumann homogène est donc la
suivante.
– On définit la formulation variationnelle sur H 1 (⌦) en supposant la solution u 2 H 2 (⌦)
(donc en partant d’une solution forte) pour permettre les calculs.
– Sur H 1 (⌦), la formulation variationnelle est bien posée. Toute la difficulté vient de
son interprétation.
– La solution faible u satisfait l’équation au sens des distributions et, dès qu’elle est
dans H 2 (⌦), elle satisfait la condition aux limites au sens des traces.
– En fait, dès que ⌦ est assez régulier, on dispose d’un théorème de régularité H 2 qui
nous dit que la solution est une solution forte. La boucle est bouclée...
Remarque 3.25. — Considérons les deux problèmes variationnels :
8
< u 2 H01 (⌦) Z Z Z
1 (3.16)
: 8v 2 H0 (⌦), ru · rv dx + uv dx = f v dx
⌦ ⌦ ⌦
et 8
< u 2 H 1 (⌦) Z Z Z
1 (3.17)
: 8v 2 H (⌦), ru · rv dx + uv dx = f v dx
⌦ ⌦ ⌦
Dans le premier cas, on a vu que u est la solution faible du problème de Dirichlet, tandis
que dans le deuxième cas il s’agit de la solution du problème de Neumann.
– La condition de Dirichlet est présente dans la définition de l’espace fonctionnel H01 (⌦) :
On dit que c’est une condition essentielle.
– La condition de Neumann est présente implicitement dans la formulation variation-
nelle. On dit que c’est une condition naturelle.
3.4.3. Le problème de Neumann pour L elliptique. — On s’intéresse ici à nouveau

à un opérateur de la forme
N X
X N ✓ ◆
@ @u
Lu = aij + a0 u.
@xi @xj
i=1 j=1
On ébauche seulement la théorie. La question principale que l’on veut aborder ici est :
quelle condition naturelle est associée à la formulation variationnelle suivante ?
⇢
u 2 H 1 (⌦)
(3.18)
8v 2 H 1 (⌦) a(u, v) = `(v)
où l’on a repris les formes bilinéaires et linéaires suivante :
8
XN X N Z Z
>
> @u @v
>
< a(u, v) = aij dx + a0 u vdx,
⌦ @xj @xi ⌦
Z i=1 j=1
>
>
>
: `(v) = f vdx.
⌦
Remarque 3.26. — S’il existe ↵ > 0 tel que a0 ↵ presque partout, alors le problème
(3.18) est bien posé.
Une fonction satisfaisant (3.18) est solution faible d’un problème restant à préciser.
Cherchons le problème aux dérivées partielles associé à (3.18). En considérant v 2 D(⌦)
56
dans (3.18), on établit que Lu = f dans D0 (⌦). Considérons maintenant v 2 H 1 (⌦) et
u 2 H 2 (⌦). Alors, en utilisant la formule de Green, on obtient
Z X N XN
1 @u
8v 2 H (⌦), aij nj vd = 0
@⌦ @xj
i=1 j=1
donc la condition aux limites

XXN N
@u @u
:= aij nj = 0.
@na @xj
i=1 j=1
Sous la condition que ⌦ est de classe C 2 et si f 2 L2 (⌦), alors on a un résultat de régularité

@u
H 2 pour u, ce qui donne un sens à cette condition au bord. On dit que @n est la dérivée
PN @ ⇣ ⌘ a
@
conormale associée à l’opérateur i,j @xi aij @xj .
3.4.4. Conclusion, démarche générale. — Il existe de nombreuses conditions aux

limites possibles, que nous n’étudierons pas dans ce cours. Voici quelques exemples :
@u
– Condition de Neumann non homogène : @n = g sur @⌦. La formule de Green et la
prise en compte de la condition aux limites engendrent la formulation variationnelle
suivante : Z Z Z Z
ru · rvdx + u vdx = f vdx + g vd .
⌦ ⌦ ⌦ @⌦
– Condition mixte Dirichlet-Neumann. Si on décompose @⌦ = D [ N, D \ N = ;,
alors on pose 8
< u = g1 sur D
@u
: = g2 sur N
@n
@⌦
⌦ D
@u
– Condition de Fourier-Robin : @n + ↵u = 0 (étudiée en TD).
– Condition oblique : @n + @⌧ = 0 où @u
@u @u
@⌧ est une dérivée tangentielle au bord.
– etc ...
Dans tous les cas, on applique la même démarche :

– On commence par établir la formulation variationnelle du problème. On suppose
u 2 H 2 (⌦), on multiplie l’équation par v 2 H 1 (⌦), on applique la formule de Green
et, en utilisant les conditions aux limites, on obtient un espace V (en général inclus
dans H 1 (⌦)), une forme bilinéaire a continue sur V , une forme linéaire ` continue sur
V , ...
– On définit une solution faible du problème comme solution de la formulation va-
riationnelle, dont on détermine, si possible, l’existence et l’unicité par le théorème de
Lax-Milgram.
57
– On cherche ensuite à revenir au problème initial. Souvent l’équation elliptique est vraie
au sens des distributions mais les conditions aux limites ne sont obtenues que formel-
lement, c’est-à-dire sous réserve d’une régularité H 2 de la solution u du problème
variationnel.
– Parfois, on a un théorème de régularité H 2 qui permet de montrer que la solution
faible est solution forte, mais il peut être difficile à obtenir (ou faux). Génériquement,
une solution forte est telle que tous les termes de l’EDP sont définis presque partout,
et telle que la condition de bord est définie au sens des traces.
58
ANNEXE A
RAPPELS SUR LES ESPACES Lp
Cette annexe, ainsi que l’Annexe B reprennent les notes [4] de F. Nier.
A.1. Densité de Cc0 (Rn ) dans L1 (Rn )

Tout ce dont on a besoin ici est la propriété suivante de la mesure de Lebesgue : pour
tout ensemble borélien E de Rn
|E| = sup |K| = inf |⌦| ,
K⇢E E⇢⌦
K compact ⌦ ouvert
où on a noté Z
|E| = mesure de E = 1E (x)dx.
Remarque A.1. — On rappelle que la tribu borélienne sur un espace topologique est la
famille de parties stable par union dénombrable et passage au complémentaire engendrée
par les ouverts. Une mesure étant fixée (ici la mesure de Lebesgue dx), on complète cette
tribu en rajoutant tous les ensembles de mesure nulle. Par abus de langage, on appelle ici
borélien un élément de la tribu borélienne complétée pour la mesure de Lebesgue.
La démonstration qui se fait en trois étapes est rappelée ci-dessous.
Démonstration. — a) Une fonction caractéristique de compact peut être approchée dans
L1 (Rn ) par une suite de fonctions continues. Soit K un compact de Rn , on prend
⇢
" 1 d(x,K) si d(x, K) < "
f (x) = "
0 sinon.
On note ⌦" = {x 2 Rn , d(x, K) < "} et on a pour tout " > 0,
1K (x)  f " (x)  1⌦" (x).
On en déduit
Z
k1K f " (x)kL1 = (f " (x) 1K (x)) dx
Rn
Z
"!0
 (1⌦" (x) 1K (x)) dx = |⌦" | |K| ! 0,
Rn
puisque |K| = inf |⌦| = inf |⌦" |.
K⇢⌦ ">0
⌦ ouvert
b) La fonction caractéristique d’un borélien peut être approchée dans L1 (Rn ) par une
famille de fonctions caractéristiques de compact. On écrit tout simplement pour un
borélien E : |E| = sup |K| . Pour K ⇢ E, la norme k1E 1K kL1 n’est autre
K2E
K compact
que |E| |K| qui est arbitrairement petit.
En conséquence, une fonction caractéristique de borélien peut être approchée dans
L1 (Rn ) par une suite de fonctions continues. Par linéarité, il en est de même de
P
toute combinaison linéaire finie, i.e. toute fonction étagée Nk=1 k 1Ek (x) peut être
1 n
approchée dans L (R ) par une suite de fonctions continues.
c) Toute fonction f 2 L1 (Rn , dx) est limite d’une suite de fonctions étagées. En fait,
on fixe un représentant (toujours noté f ) qui est une fonction mesurable intégrable.
En écrivant f = f+ f , on se ramène au cas f 0. On prend alors
n2n
X i 1
sn (x) = 1f 1 ([ i n1 , in [) (x) + n 1f 1 ([n,+1]) (x).
2n 2 2
i=1
On a alors 0  sn (x)  f (x) et sn (x) ! f (x) presque partout. Le théorème de
n!1
Lebesgue (convergence dominée) donne alors kf sn kL1 ! 0.
A.2. Autres rappels sur les espaces Lp

Définition A.2. — Pour 1  p  +1,
a) Lp (Rn , dx) désigne l’espace des fonctions mesurables f telles que :
Z
si p < +1 : |f (x)|p dx < +1 ; si p = +1 : 9Cf > 0, |f (x)|  Cf .
Rn
b) Lp (Rn , dx)est le quotient de Lp (Rn , dx) par la relation d’équivalence (f ⇠ g) ,

(f (x) = g(x) p.p.). Il est muni de la norme
✓Z ◆1/p
p < +1 : kf kp = |f (x)|p dx ; p = +1 : kf k1 = Sup ess |f (x)| .
Rn
Remarque A.3. — a) Lp (Rn , dx) est un espace de Banach, ce qui signifie que k kp est
bien une norme (elle vérifie l’inégalité triangulaire kf + gkp  kf kp + kgkp (inégalité
de Minkowski) et kf kp ne s’annule que si le vecteur f est nul) et que Lp (Rn , dx)
avec cette norme est complet. Par le théorème de densité précédent, c’est d’ailleurs
le complété de Cc0 (Rn ).
b) Nécessité de passer au quotient : k kp ne définit pas une norme sur Lp (Rn ). En e↵et
la fonction qui vaut 1 sur Q \ [0, 1] aurait une norme nulle. Dans Lp (Rn ), on n’a plus
ce problème puisque une telle fonction s’identifie au vecteur nul.
On rappelle sans démonstration l’inégalité de Hölder et les propriétés liées.
Proposition A.4. — a) Si f 2 Lp (Rn , dx) et g 2 Lq (Rn , dx) avec 1  p  +1,
1  q  +1, p1 + 1
q = 1, alors
Z
f (x)g(x) dx  kf kp kgkq .
Rn
70
⇤ 1
b) Pour 1  p < +1, le dual topologique de Lp (Rn ) s’identifie à Lp (Rn ) avec p + p1⇤ =
1. (Faux pour p = +1.)
1 1 1
c) Si pour i = 1, . . . , N on a fi 2 Lpi (Rn , dx) avec r = p1 + ··· + pN  1, alors le
produit f1 . . . fN appartient à Lr (Rn , dx) avec
N
kf1 . . . fN kr  ⇧ kfi kpi .
i=1
Le résultat suivant est utile. L’argument de sa démonstration est similaire à celui utilisé
pour montrer la complétude de Lp (Rn , dx).
Proposition A.5. — Si p < +1, de toute suite convergeant vers u dans Lp (Rn , dx) on
peut extraire une sous-suite qui converge presque partout vers u.
Démonstration. — Puisque la suite (un )n2N converge vers u dans Lp (Rn , dx) si et seule-
ment si k|un u|p k1 ! 0 il suffit de le démontrer pour p = 1. Pour p = 1, on peut extraire
une sous-suite (unk )k2N telle que unk+1 unk p  21k . En choisissant pour chaque k un
P
représentant de unk , on peut dire que la fonction k2N unk+1 unk (x) est une fonction
mesurable positive d’intégrale  2 (Lemme de Fatou). On en déduit que pour presque tout
x 2 Rn la suite
k 1
X
unk (x) = un0 (x) + uni+1 (x) uni (x)
i=0
converge absolument. Notons v(x) cette limite ponctuelle (p.p.), en posant v(x) = 0 pour
l’ensemble de mesure nulle où la série ne converge pas. Le lemme de Fatou donne alors
Z +1 Z
X +1
X 1 1
|v(x) unk (x)| dx  unk+1 (x) unk (x) dx  i
= k 1.
R n R n 2 2
i=k i=k
En conséquence v est également limite de (unk )k2N dans L1 (Rn )

et s’identifie donc à u.
En conclusion, la sous-suite (unk )k2N converge presque partout vers u(x).
Remarque A.6. — Il est important de noter que la convergence presque partout n’est
vraie qu’en extrayant une sous-suite. On pourra s’en convaincre en considérant la suite un
définie de la façon suivante : On prend l’unique l 2 N tel que l(l+1)
2  n < (l+1)(l+2)
2 et on
pose un (x) = 1[ n l , n+1 l ] (x).
l+1 2 l+1 2
On termine ce paragraphe par les inégalités pour le produit de convolution

Z
f ⇤ g(x) = f (x y)g(y) dy.
Rn
Proposition A.7. — a) Pour f, g 2 L1 (Rn , dx), on a f ⇤ g 2 L1 (Rn , dx) avec

kf ⇤ gk1  kf k1 kgk1 .
b) Si f 2 Lp (Rn , dx) et g 2 Lq (Rn , dx) avec p1 + 1q 1 = 1r alors on a f ⇤ g 2 Lr (Rn , dx)

avec ✓ ◆
1 1 1
kf ⇤ gkr  kf kp kgkq + 1= .
p q r
71
Démonstration. — On rappelle brièvement la démonstration de a). Après avoir pris des
représentants, on vérifie avec le changement de variables u = x y, v = y que l’intégrale
positive Z Z Z Z
|f (x y)g(y)| dxdy = |f (u)| |g(v)| dudv
vaut kf k1 kgk1 qui est fini. Le théorème de Fubini dit alors deux choses : l’intégrale
Z
f ⇤ g(x) = f (x y)g(y) dy
Rn
est définie pour presque tout x 2 Rn et on a l’inégalité
kf ⇤ gk1  kf k1 kgk1 .
Pour le b), il est commode de raisonner par dualité. Il suffit de montrer que pour tout
r 2 [1, 1], on a
Z Z
I= |f (x)g(x y)h(x)| dxdy  kf kp kgkq khkr⇤ .
Rn
En e↵et, si r = 1, en prenant h ⌘ 1, on obtient directement que kf ⇤ gk1  I  kf kp kgkq ,
⇤
et siRrR> 1, on utilise que le dual de Lr est Lr . Réécrivons cette intégrale double ainsi :
I= ↵(x, y) (x, y) (x, y) dxdy, avec
↵(x, y) = |f (x)|p/r |g(x y)|q/r ,
⇤ ⇤ /p⇤
(x, y) = |g(x y)|q/p |h(y)|r ,
p/q ⇤ r ⇤ /q ⇤
(x, y) = |f (x)| |h(y)| .
En remarquant que 1/p⇤ + 1/q ⇤ + 1/r = 1, on applique l’inégalité de Hölder pour obtenir
|I|  k↵kr k kp⇤ k kq⇤ , ce qui donne le résultat souhaité.
72
ANNEXE B
FORMULES DE LEIBNIZ ET DE TAYLOR
On rappelle ici les formules de Leibniz et de Taylor avec reste intégral, écrites à l’ordre
quelconque ici pour des fonctions f et g supposées de classe C 1 . Pour les retrouver, le
plus simple est de commencer par le cas à une variable.
B.1. Fonction d’une variable

Formule de Leibniz ↵ 2 N :
X ↵! X ↵! 1 2
@x↵ (f g) = @x f @x↵ g= 1 2
@x↵ f @x↵ g.
(↵ )! ! ↵ !↵ !
↵ ↵1 +↵2 =↵
Formule de Taylor avec reste intégral m 2 N : Elle s’obtient par intégration par parties
⇣ ⌘0
t)k+1
utilisant (1 t)k = (1 k+1 :
Z 1 Z 1
0 0
f (1) = f (0) + f (t) dt = f (0) + f (0) + (1 t)f 00 (t) dt
0 0
X 1 Z 1
(k) 1
= f (0) + (m + 1) (1 t)m f (m+1) (t) dt.
k! 0 (m + 1)!
km
B.2. Fonctions de plusieurs variables

On rappelle les notations pour les multi-indices ↵ = (↵1 , . . . , ↵n ) 2 Nn avec x =
(x1 , . . . , xn ) 2 Rn :
↵! = ↵1 !↵2 ! . . . ↵n !, x↵ = x↵1 1 x↵2 2 . . . x↵nn , |↵| = ↵1 + ↵2 + · · · + ↵n .
Formule de Leibnitz ↵ 2 Nn :
X ↵! ⇣ ↵1 ⌘ ⇣ ↵2 ⌘
@x↵ (f g) = @ f @x g , ↵1 = (↵11 , . . . , ↵n1 ), ↵2 = (↵12 , . . . , ↵n2 ).
1 2
↵1 !↵2 ! x
↵ +↵ =↵
Démonstration. — On écrit @x↵ (f g) = @x↵11 . . . @x↵nn (f g) et on applique la formule de Leibnitz

en dimension 1 à chaque @x↵ii .
On vérifie facilement par récurrence la généralisation
X ↵! 1 2 k
@x↵ (f1 f2 . . . fk ) = 1 2 k
(@x↵1 f1 )(@x↵2 f2 ) . . . (@x↵ fk ).
1 k
↵ !↵ ! . . . ↵ !
↵ +···+↵ =↵
Formule de Taylor avec reste intégral m 2 N, a = (a1 , . . . , an ) 2 Rn et b = (b1 , . . . , bn ) 2 Rn :
X (b a)↵ Z 1 X (b a)↵
↵
f (b) = @x f (a + t(b a))+(m+1) (1 t)m @x↵ f (a + t(b a)) dt.
↵! 0 ↵!
|↵|m |↵|=m+1
Démonstration. — On applique la formule en dimension 1 à la fonction '(t) =

f (a + t(b a)) puis on calcule :
" n # !
d' X
(t) = (bi ai )@xi f (a + t(b a)) ,
dt
i=1
0" #k 1
k Xn
d '
(t) = @ (bi ai )@xi f A (a + t(b a)) .
dtk
i=1
Les opérateurs di↵érentiels (bi ai )@xPi commutent. On peut donc utiliser la formule du
1
multinôme (X1 + X2 + · · · + Xn )k = k! |↵|=k ↵! X ↵ , valable dans tout anneau commutatif
k!
(Le coefficient ↵! s’obtient en calculant la dérivée ↵-ième par rapport à X de chaque côté,
ou bien par récurrence). On obtient
1 dk ' X (b a)↵
(t) = @x↵ f (a + t(b a)) .
k! dtk ↵!
|↵|=k
74
ANNEXE C
MESURE SUPERFICIELLE ET FORMULE DE GREEN
Cette annexe reprend des éléments de [3].
C.1. La mesure superficielle

Soit ! un ouvert de RN 1 et F : ! ! RN de classe C 1 . On dit que F est un plongement
si F et F 0 sont injectives (F 0 injective signifie que pour tout x 2 ! la matrice F 0 (x) est de
rang N 1). Alors F 0 (x)⇤ F 0 (x) est une matrice carrée d’ordre N 1, définie positive et
d’éléments génériques @i F (x) · @j F (x).
Définition C.1. — On note S = {F (x) : x 2 !}. Si u est une fonction continue de S

dans R, à support compact, on pose
Z Z
1/2
u( )d = u(F (x))det F 0 (x)⇤ F 0 (x) dx.
S !
La mesure d est appelée mesure superficielle sur S.
Proposition C.2. — La mesure superficielle est indépendante du plongement F .
Démonstration. — Soit ⌦ un ouvert de RN 1 et G : ⌦ ! RN un autre plongement tel

que S = G(⌦). Alors h = F 1 G est un C 1 -di↵éomorphisme de ⌦ sur !. Soit u continue
à support compact de S dans R. On note df la mesure superficielle définie à l’aide de G :
Z Z
1/2
u( )df = u(G(y))det G0 (y)⇤ G0 (y) dy.
S ⌦
On a G = F h et G0 (y) = F 0 (h(y))h0 (y), donc

Z Z
1/2
u( )df = u(F h(y))det F 0 (h(y))⇤ F 0 (h(y)) deth0 (y) dy (C.1)
S
Z⌦ Z
1/2
= u(F (x))det F 0 (x)⇤ F 0 (x) dx = u( )d , (C.2)
! S
par la formule du changement de variable dans une intégrale.
Très souvent, on sera amené à intégrer une fonction sur le bord d’un ouvert ⌦ ⇢ RN .
Dans ce cas, le bord sera défini localement par un plongement et la mesure superficielle
aura une définition locale.
Définition C.3 (Régularité du domaine). — Soit ⌦ un ouvert de RN , @⌦ sa
frontière. L’ouvert ⌦ est dit de classe C k pour k 1 si, pour tout point 0 2 @⌦,
on peut trouver un voisinage ouvert !0 de 0 , une boule B(0, r) ⇢ RN , une bijection
: B(0, r) ! !0 et une application continue ' : B(0, r) \ RN 1 ⇥ {0} ! R tels que
(i) (0) = et les fonctions , 1 et ' sont de classe C k .
0
(ii) ⌦ \ !0 = B(0, r) \ RN 1
⇥ R+ et @⌦ \ !0 = B(0, r) \ RN 1
⇥ {0} .
(iii) Il existe une matrice de rotation R0 et b0 2 RN tels que
⌦ \ !0 ⇢ R0 (y 0 , yN ) 2 RN 1
⇥ R : yN '(y 0 ) + b0 ,
@⌦ \ !0 ⇢ R0 (y 0 , yN ) 2 RN 1
⇥ R : yN = '(y 0 ) + b0 .
Remarque C.4. — On remplace parfois C k par Lipschitzien dans cette définition. Par
ailleurs, si ⌦ est de classe C 1 au voisinage de 0 = (0) alors l’application F (y 0 ) =
R0 (y 0 , '(y 0 )) + b0 , définie sur B(0, r) \ RN 1 ⇥ {0} , est un plongement. Avec ces nota-
tions, la normale extérieure à @⌦ en un point = R0 (y, '(y)) + b0 2 @⌦ \ !0 est donnée
par ~n
(r'(y), 1)
n( ) = R0 p
1 + |r'(y)|2 ⌦
(elle ne dépend pas des choix de et ').
C.2. Intégration par parties

Proposition C.5 (Formule d’intégration par parties ou formule de Green)
Soit ⌦ un ouvert de classe C 1 et u 2 Cc1 (RN , R). Alors, pour tout i 2 {1, . . . , N }, on a
Z Z
@i u(x)dx = u( )ni ( )d .
⌦ @⌦
Démonstration. — Cette démonstration se fait en trois étapes.
a) On suppose d’abord que
⌦ = (x0 , xN ) : xN > '(x0 ) , @⌦ = (x0 , xN ) : xN = '(x0 )
où ' : RN 1 ! R est de classe C 1 .
Si 1  i  N 1, on pose
Z xN Z xN
0
g(x , xN ) = @i u(x0 , s)ds, 0
f (x , xN ) = u(x0 , s)ds.
1 1
Alors, on a
Z Z Z +1 Z
@i u(x)dx = @i u(x0 , xN )dxN dx0 = g(x0 , '(x0 ))dx0 .
⌦ RN 1 '(x0 ) RN 1
Par ailleurs, si on note h(x0 ) = f (x0 , '(x0 )), comme i < N on a

@i h(x0 ) = g(x0 , '(x0 )) + u(x0 , '(x0 ))@i '(x0 )
et comme h est à support compact (car u est à support compact, ce qui entraı̂ne
qu’il existe > 0 tel que, pour tout |x0 | , g(x0 ) = 0 et f (x0 ) = 0), on a
Z
@i h(x0 )dx0 = 0
RN 1
76
donc
Z Z
0 0 0
g(x , '(x ))dx = u(x0 , '(x0 ))@i '(x0 )dx0 (C.3)
RN 1 RN 1
Z p
= u(x0 , '(x0 ))ni (x0 , '(x0 )) 1 + |r'(x0 )|2 dx0 (C.4)
ZR
N 1
= u( )ni ( )d . (C.5)
@⌦
On a ici utilisé le plongement F (x0 ) = (x0 , '(x0 )) et on peut calculer que

det F 0 (x)⇤ F 0 (x) = 1 + |r'|2
(Pour cela, soit A la matrice de termes @i '@j '. Voir que F 0⇤ F 0 = I + A et que les
valeurs propres de A sont (0, 0, . . . , |r'|2 ) car A est la projection orthogonale sur
r', à une constante près).
Si i = N , on a
Z Z Z +1
@N u(x)dx = @N u(x0 , xN )dxN dx0 (C.6)
⌦ RN 1 '(x)
Z
= u(x0 , '(x0 ))dx0 (C.7)
RN 1
Z
1
= u( )nN ( )d , car nN ( ) = p . (C.8)
@⌦ 1 + |r'|2
b) On suppose que ⌦ est du type précédent après rotation et translation : ⌦ = R⌦0 + b,

où b 2 RN , R est une matrice de rotation et ⌦0 est comme à l’étape a. Le résultat
que l’on souhaite montrer est équivalent à celui-ci : pour toute fonction vectorielle
u 2 Cc1 (RN , RN ), on a
Z Z
div u(x)dx = u( ) · n( )d .
⌦ @⌦
Soient y = R⇤ (x b) 2 ⌦0 et v(y) = u(Ry + b). Alors on a Du(x) = Dv(y)R⇤ . Or

div u(x) = tr (Du(x)) = tr (Dv(y)R⇤ ) = tr (R⇤ Dv(y)) = tr (D(R⇤ v(y))),
ce qui entraı̂ne, en utilisant l’étape a,
Z Z N Z
X
⇤
div u(x)dx = tr (D(R v(y)))dy = @i (R⇤ v(y)))dy (C.9)
⌦ ⌦0 i=1 ⌦0
N Z
X Z
⇤
= (R v(y))i (n0 )i ( 0 )d 0 = (R⇤ v(y)) · n0 ( 0 )d 0
(C.10)
i=1 @⌦0 @⌦0
Z Z
= u(Ry + b) · (Rn0 ( 0 )) d 0 = u( ) · n( )d . (C.11)
@⌦0 @⌦
c) Cas général. En chaque point 2 @⌦, on peut trouver un ouvert !0, et des fonctions
, ' remplissant les conditions de la Définition C.3. On peut alors recouvrir @⌦ \
77
Supp u (qui est compact) par un nombre fini d’ouverts !k := ! k , pour 1  k  K.
On considère ensuite une partition de l’unité ( k )0kK avec
K
X K
[
Supp k ⇢⇢ !k , k (x) ⌘ 1, ! 0 ⇢ ⌦, ⌦ \ Supp u ⇢ !k .
k=0 k=0
Alors, on a
Z K Z
X
@i u(x)dx = @i (u(x) k (x)) dx
⌦ k=0 !k
et deux cas se présentent. Si 1  i  K alors on utilise l’étape b :
Z Z
@i (u(x) k (x)) dx = u( ) k ( )ni ( )d
!k @⌦
et si i = 0, on a Z
@i (u(x) k (x)) dx = 0.
!0
En faisant la somme, on obtient le résultat souhaité.
78
BIBLIOGRAPHIE
[1] J.-M. Bony. Cours d’analyse : théorie des distributions et analyse de Fourier. Editions
de l’École polytechnique, Ellipses, 2001.
[2] H. Brézis. Analyse fonctionnelle. Théorie et applications. Collection Mathématiques

Appliquées pour la Maı̂trise. Masson, Paris, 1983.
[3] O. Kavian, Introduction à la théorie des points critiques et applications aux problèmes
elliptiques, Springer, 1993.
[4] F. Nier, Rappel et formulaires, Université de Rennes 1, 2004.
[5] P.-A. Raviart et J.-M. Thomas. Introduction à l’analyse numérique des équations aux
dérivées partielles. Collection Mathématiques Appliquées pour la Maı̂trise. Masson,
Paris, 1983.
[6] L. Sainsaulieu. Calcul Scientifique. Masson, Paris, 1996.
[7] L. Schwartz. Théorie des distributions. Publications de l’Institut de Mathématique

de l’Université de Strasbourg, No. IX-X. Nouvelle édition. Hermann, Paris, 1966.
[8] C. Zuily. Distributions et équations aux dérivées partielles. Hermann, Paris, second
edition, 1986.

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CHAPITRE 2

2.1. Notions de distributions

Famille régularisante. — Pour tout " > 0, on pose

Notation. — Soit ↵ = (↵1 , ↵2 , · · · , ↵N ) 2 RN un multi-entier. On note :

On note D0 (⌦) l’espace des distributions sur ⌦.

2.1.2. Exemples importants. —

2.1.2.2. La masse de Dirac. — Soit a 2 ⌦. La forme linéaire

a : ' 7! h a , 'i = '(a)

Remarque 2.7. — Quand reconnaı̂t-on une fonction dans une distribution ?

2.1.3. Convergence dans D0 (⌦). —

Remarque 2.9. — A l’aide du théorème de Banach-Steinhaus (voir par exemple [1]), on

On a les résultats suivants (dont les démonstrations sont laissées en exercice) :

Lemme 2.10. — a) Si fn ! f dans L1 (⌦) alors fn * f dans D0 (⌦).

2.2. L’espace de Sobolev H 1 (⌦) : premières propriétés

2.2.1. Définition et structure. —

On considère sur cet espace le produit scalaire

forment des suites de Cauchy pour la norme k·kL2 .

b est la transformée de Fourier de u, notée aussi F(u) par la suite. On rappelle

L1 (RN ) \ L2 (RN ) ! L1 (RN ) \ L2 (RN )

Démonstration. — On ne va faire la preuve que dans le cas m = 1. Notons

toutes ces fonctions étant (au moins) dans L2 (RN ).

Démonstration. — La démonstration de ce résultat se fait en deux étapes.

Lemme 2.18. — Soit u 2 H 1 (RN ) et ✓ 2 L1 (RN ). Alors ✓ ⇤ u 2 H 1 (RN ) et on a, pour

a donc bien un ! u dans H 1 (RN ).

Démonstration. — D’après les propriétés de !, on peut trouver une fonction ✓ 2 D(⌦)

car ✓'|⌦ 2 D(⌦). Donc, on a l’estimation

qui suffit à déduire que reu2 L2 (RN ), donc que u e 2 H 1 (RN ).

Définition 2.20. — On appelle H01 (⌦) le complété de D(⌦) dans H 1 (⌦).

Théorème 2.22 (Inégalité de Poincaré). — Si ⌦ est borné, alors il existe une

Pour terminer cette section, on identifie le dual de H01 (⌦).

Théorème 2.24. — Le dual de H01 (⌦) s’identifie à un sous-espace de D0 (⌦). On le note

et donc par Cauchy-Schwarz,

est une forme linéaire continue sur G.

Remarque 2.25. — On peut faire un commentaire sur la terminologie H 1 . Comme

qui généralise bien (2.1).

Définition 2.26. — Un ouvert ⌦ de RN est dit de classe C 1 si pour tout x 2 @⌦ il existe

ce qui permet de conclure par convergence dominée.

Lemme 2.29 (Partitions de l’unité). — Soit un compact de RN et O1 , O2 , . . . , On

(iii) Le support de ✓0 est inclus dans RN \ .

Démonstration du Théorème 2.27. — Remarquons tout d’abord que la démonstration du

de démontrer le Théorème 2.27 dans le cas ⌦ = RN + . Considérons maintenant le cas d’un

On va prolonger séparément chacune des fonctions ui à RN .

Démonstration. — Supposons tout d’abord @⌦ bornée. D’après le Théorème 2.27, une

2.4. Traces et formule de Green

2.4.1. Le cas de la dimension 1. — Le cas de la dimension 1 d’espace peut être traité

e au sens des distributions. Pour ' 2 D(]a, b[),

donc u e0 = u0 dans D0 (⌦). Ainsi, u u e est une constante 2 R. Posons u = u e+ 2

D’après (2.12), on a déjà

ce qui donne finalement

La preuve du lemme est terminée.

Lemme 2.33. — Pour tout v 2 D(RN

kv(·, 0)kL2 (RN 1)  kvkH 1 (RN ) . (2.13)

où l’on a utilisé l’inégalité de Cauchy-Schwarz et 2ab  a2 + b2 . En intégrant par rapport

Sachant que D(RN 1 N N 1 ) est dense

pour ce prolongement. Ce procédé, appliqué à un ouvert ⌦ ce classe C 1 , va nous permettre

et de frontière bornée. Par prolongement par continuité, ce résultat se déduit de la densité

D’après le Lemme 2.33 et en utilisant la régularité des fonctions ✓i et i, on obtient

Pour conclure à (2.14), il suffit de se convaincre de l’équivalence des normes suivantes :