UNIVERSITÉ DE YAOUNDÉ I UNIVERSITY OF YAOUNDÉ I

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ÉCOLE NATIONAL
NATIONAL ADVANCED
SUPÉRIEURE
SCHOOL OF ENGINEERING
POLYTECHNIQUE
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Département de Génie civil Department of Civil engineering

CALCUL D’UN RÉSEAU MAILLÉ PAR LA MÉTHODE

DE HARDY-CROSS

UE Adduction en eau potable – GCU 541 / Génie civil

Assignment done by:

MBAH Lionel Tebon (17P147)

Under the supervision of:

Ing. Dr Jacques Rémy MINANE

Doctorat/ Ph.D en Génie Civil

Ingénieur de Génie Civil
Ingénieur des Travaux du Génie Rural

Academic year: 2021 / 2022 Level: 5th year Civil engineering

Adduction en eau potable Potable water supply

 CALCUL D’UN RÉSEAU MAILLÉ PAR LA MÉTHODE DE HARDY-CROSS

TABLE DES MATIÈRES

TABLE DES MATIÈRES ....................................................................................... 2

LISTE DES FIGURES ........................................................................................... 2

INTRODUCTION .................................................................................................. 3

1. MÉTHODE D’HARDY CROSS ........................................................ 4

1.1. DÉFINITIONS ................................................................................ 4

a) Réseau de distribution ....................................................................... 4
c) Réseau maillé ..................................................................................... 4
d) Méthode de Hardy Cross (méthode d’égalisation des charges) ........ 5
1.2. DOMAINE D’APPLICATION.......................................................... 5
1.2.1. Dans le dimensionnement des réseaux maillés. ............................... 5
1.3. OBJECTIF DE LA MÉTHODE ....................................................... 6
1.4. PRINCIPE DE LA MÉTHODE ....................................................... 6
1.4.1. Loi des nœuds .................................................................................... 6
1.4.2. Loi des mailles ou loi de la conservation de la charge...................... 6
1.5. ÉTAPES DE CALCUL..................................................................... 8
1.6. AVANTAGES ET INCONVÉNIENTS ............................................ 9
1) Facilité des calculs ............................................................................. 9
2) Rapidité des calculs ........................................................................... 9
CONCLUSION..................................................................................................... 10

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES .............................................................. 10

LISTE DES FIGURES

Figure 1: Réseau ramifié (Source: Réf. [2]) .............................................................. 4

Figure 2: Réseau maillé (Source: Réf. [2]) ................................................................ 4
Figure 3: Réseau ramifié (Source: Réf [3]) ............................................................... 4
Figure 4: Réseau maillé (Source: Réf. [3]) ................................................................ 5
Figure 5: Principe de la méthode de Hardy-Cross (Source : Réf. [1]) ..................... 6
Figure 6: Exemple de convention de parcours et numérotation des mailles .......... 8

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Rédigé par : MBAH Lionel Tebon
Sous supervision de : Ing. Dr Jacques Rémy MINANE
 CALCUL D’UN RÉSEAU MAILLÉ PAR LA MÉTHODE DE HARDY-CROSS

INTRODUCTION
La détermination explicite des débits répartis dans les différents tronçons
constituant un réseau de distribution est très délicate et exige l’utilisation de
programmes et logiciels (LOOP à titre d’exemple). Ce problème se rencontre
souvent dans les études de schémas directeurs réalisés par les bureaux d’études
spécialisés en Hydraulique.
Les recherches menées actuellement dans le domaine des réseaux d'eau potable
concernent essentiellement le vieillissement des conduites, la réalisation de
diagnostic et la construction de programme de maintenance (réhabilitation) et
enfin l’optimisation dans le calcul des réseaux. Ces différents problèmes
constituent, de nos jours, une préoccupation majeure pour les gestionnaires des
réseaux d'A.E.P (Adduction en Eau Potable).
Le distributeur d'eau potable a toujours le souci de couvrir les besoins des
consommateurs, en quantité et qualité suffisantes. Il a aussi le souci de veiller à la
bonne gestion et à la perfection de toutes les infrastructures concourant
l'approvisionnement en eau.
L’objectif du calcul d’un réseau de distribution est la détermination des paramètres
géométriques et hydrauliques des canalisations formant le réseau. Un très bon
calcul avec une bonne réalisation facilite largement la tache aux gérants des
réseaux et font satisfaction des abonnés. C’est dans cette optique que nous
développerons la méthode d’Hardy cross ; méthode qui se base sur un modèle
rugueux de référence (méthode itérative) pour la détermination explicite des débits
en route dans les tronçons formant un réseau maillé (réseau existant).

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Sous supervision de : Ing. Dr Jacques Rémy MINANE
 CALCUL D’UN RÉSEAU MAILLÉ PAR LA MÉTHODE DE HARDY-CROSS

1. MÉTHODE D’HARDY CROSS

1.1. DÉFINITIONS
a) Réseau de distribution
C’est un réseau constitué d’un ensemble de canalisations, robinetterie, appareils
hydrauliques et ouvrages de génie civil qui délivrent l’eau au consommateur via
un branchement privé ou un point d’eau collectif. Il y a deux (02) types : les réseaux
maillés et les réseaux ramifiés.

Figure 1: Réseau ramifié (Source: Réf. [2]) Figure 2: Réseau maillé (Source: Réf. [2])

b) Réseau ramifié
Le réseau ramifié est un réseau dans lequel les conditions de desserte ne
comportent aucune alimentation de retour. Il présente l’avantage d’être
économique, mais il manque de sécurité et de souplesse en cas de rupture. Un
accident sur la conduite principale prive les abonnés en aval.

Figure 3: Réseau ramifié (Source: Réf [3])

c) Réseau maillé
Le réseau maillé permet une alimentation en retour et donc il évite l’inconvénient
du réseau ramifié. Une simple manœuvre de vanne permet d’isoler le tronçon
endommagé. Il est bien entendu plus coûteux d’établissement, mais en raison de
la sécurité qu’il procure, il doit être préféré au réseau ramifié.
Un réseau maillé est constitué d'une série de tronçons disposés de telle manière
qu'il soit possible de décrire une ou plusieurs boucles fermées en suivant son tracé

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: une telle boucle s'appelle une « maille ». Ce système qui présente de nombreux
avantages par rapport au réseau ramifié s’adapte très bien au plan des
agglomérations urbaines.

Figure 4: Réseau maillé (Source: Réf. [3])

d) Méthode de Hardy Cross (méthode d’égalisation des charges)

C’est une méthode itérative de calcul de réseau maillé en régime permanent. C’est
le Professeur Hardy-Cross de l'Université d'Illinois (USA) qui a proposé en 1936
une méthode de calcul des réseaux maillés par approximation successive ; cette
méthode reste valable et applicable de nos jours et porte le nom de méthode de
Hardy Cross. Elle a l’avantage d’être : relativement simple à mettre en œuvre, une
convergence rapide et elle a une implémentation (programmation) simple.
Il y a deux approches :
 Approche aux nœuds : égalisation des débits ;
 Approche aux boucles : égalisation des charges.

1.2. DOMAINE D’APPLICATION

1.2.1. Dans le dimensionnement des réseaux maillés.
L’objectif du calcul d’un réseau de distribution est la détermination des paramètres
géométriques et hydrauliques des canalisations formant le réseau de distribution
c'est-à-dire le diamètre D (m), le gradient de la perte de charge J (perte de charge
unitaire), la vitesse de l’écoulement v (m/s) en fonction d’une répartition arbitraire
des débits Q (m3/s), puis la vérification de la pression au sol au niveau de chaque
nœud qui doit être comprise entre 10 mCE et 40 mCE pour conclure que le calcul
est acceptable ou non.
Ce calcul ne peut se faire qu’après avoir évaluer les différents débits susceptibles
d’être évacués par chaque tronçon et cela après avoir estimé les différents besoins
en eau de l’agglomération urbaine (population, industrie, équipements, etc.…).
Un réseau maillé présente une indétermination sur les grandeurs et les signes,
donc sur les sens des débits et des pertes de charge dans chaque tronçon. Plusieurs
auteurs ont cherché à résoudre le problème et les méthodes utilisées reposent
toutes sur le principe d'équilibre des débits en chaque nœud et sur le principe
d'équilibre des pertes de charge le long de chaque maille. Ces deux principes ne
sont autres que la traduction des lois de Kirchhoff utilisées en électricité.

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1.3. OBJECTIF DE LA MÉTHODE

Pour une maille, ou plusieurs mailles contiguës, on retrouve les débits de
dimensionnement dans les tronçons et leur sens d’écoulement en régime
permanent.

1.4. PRINCIPE DE LA MÉTHODE

Trouver une répartition de débits qui annule la perte de charge dans la maille.
Dans un réseau maillé, le sens de circulation de l’eau dans une canalisation ne
peut être déterminé avec exactitude du premier coup. La répartition des débits
dans les canalisations ne peut être évaluée que d’après des hypothèses, en tenant
compte du fait que, pour assurer une circulation normale, il doit y avoir égalité des
pressions au point de rencontre de deux courants.
Le calcul d’un réseau maillé est assuré par l’utilisation de la méthode de Hardy-
cross basée sur des approximations successives et qui repose sur deux lois, la loi
des mailles et la loi des nœuds.

1.4.1. Loi des nœuds

Pour chaque nœud, la somme des débits qui y entrent est égale à la somme des
débits qui en sortent.

1.4.2. Loi des mailles ou loi de la conservation de la charge

Le long d’un parcours fermé et orienté, la somme algébrique des pertes de charge
est nulle (Figure 1). Pour chaque maille, on se fixera une répartition arbitraire des
débits ainsi qu’un sens d’écoulement, tout en respectant la première loi.

Figure 5: Principe de la méthode de Hardy-Cross (Source : Réf. [1])

Le problème revient à résoudre le système d’équations suivant :

1. Pour chaque nœud :
Q –Q = 0 ⋯ (1)
2. Le long d’un contour fermé et orienté :

ΔH , = 0 ⋯ (2)

ΔH étant la perte de charge totale le long d’un tronçon i (m).

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Si on considère une maille quelconque d'un réseau maillé constitué de p tronçons.

Dans chaque tronçon de la maille, on se donne a priori les débits Q , Q … Q , de
façon à respecter le principe d'équilibre des débits. Soit ΔH la perte de charge totale
dans un tronçon quelconque de la maille. Elle est reliée au débit Q qui y passe par
la formule :
ΔH = r Q ⋯ (3)
Avec : r : Résistance de la conduite.
Le principe d'équilibre des pertes de charge se traduit par :

ΔH = r Q = 0 ⋯ (4)

Le symbole Σ représente la somme algébrique de toutes les pertes de charge dans

une maille formée par des tronçons véhiculant chacun le débit Qi.
Le débit supposé Q’ diffère du débit réel à l’équilibre Q d'une quantité Δq, qui
représente la correction à apporter au débit arbitraire Q’ pour satisfaire au
principe d'équilibre des pertes de charge. D'où l'équation :
Q = Q + Δq ⋯ (5)
Δq étant exprimé en valeur algébrique. L'application de la formule (4) donne alors
:

ΔH = rQ = (Q + Δq) = 0 ⋯ (6)

Or Δq est supposé petit par rapport à Q', donc on peut dans le développement de la
formule (6), négliger les infiniment petits et on a :
∑ΔH
Δq = − ⋯ (7)
ΔH
∑
2 Q

La correction Δq ainsi calculée est ajoutée algébriquement à chacun des débits

initialement choisis Q', de façon à obtenir une meilleure répartition des débits dans
la maille considérée. Compte tenu du principe de l'équilibre des débits en chaque
nœud, on calcule les nouveaux débits approchés Q’ dans les tronçons d'une des
mailles contiguës à la précédente et sur laquelle on effectue le même calcul.
On procède ainsi successivement sur les différentes mailles du réseau de manière
à serrer de plus en plus près l'équilibre des pertes de charge dans chacune des
mailles, tout en vérifiant après chaque calcul, si le principe de l'équilibre des débits
est établi en chaque nœud.
La méthode de Hardy-Cross, méthode itérative, peut donc être facilement
informatisée. Parmi les programmes utilisés Hysys, Worteau et sont basés sur
cette méthode ; dans ces programmes la connaissance du coefficient de William-
Hazen, est indispensable.

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1.5. ÉTAPES DE CALCUL

Pour un réseau maillé donné, on procède par les étapes suivantes :
1) Identification et numérotation des mailles (on suppose qu’il y a N mailles et
n tronçons) ;
2) On fixe une convention de parcours de parcours de maille ;
3) Répartition arbitraire des débits par tronçons ;
4) Ensuite, on évalue une correction Δq telle que :

aL
(Q + Δq) (Q + Δq) = 0
D

5) Puis, on effectue un développement limité en Δq au voisinage de 0 qui

permet d’établir que :
∑ ΔH
Δq = −
ΔH
n∑ Q
6) On calcul ainsi les débits corrigés Q = Q + Δq :
Pour les tronçons appartenant à deux mailles, on effectue une double
correction ;
7) On reprend la procédure en itération n + 1 avec les nouveaux débits Q :
La condition d’arrêt des itérations étant : Δq < 10 à 10 L/s ;
8) Suivant les paramètres recherchés, on conduit un calcul amont-aval ou aval-
amont :
Calcul de charges réelles, pressions, …

Figure 6: Exemple de convention de parcours et numérotation des mailles

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1.6. AVANTAGES ET INCONVÉNIENTS

1) Facilité des calculs
Le calcul des réseaux maillés est long et fastidieux dès que ceux-ci atteignent un
certain degré de complexité. Malgré le fait qu’il existe d’autres méthodes itératives
comme la méthode de Newton-Raphson, Wood-Charles, la méthode « HARDY-
CROSS » permet d'abréger, considérablement, les calculs car elle donne un système
convergent d'approximations successives conduisant à l'état d'équilibre du réseau.

2) Rapidité des calculs

Les approximations successives entraînent des calculs nombreux. Il s'agit, pour
chaque branche considérée, de calculer les quantités rQ2 et 2rQ. Ces calculs
s'effectuent normalement à la règle, avec les inconvénients suivants:
a) Nécessité de consulter un tableau des résistances des différents branches du
réseau pour donner à la réglette la position convenable.
b) Détermination successive des quantités rQ2 et 2rQ; la règle ne donnant que
les chiffres caractéristiques de ces deux quantités, nécessite un effort
intellectuel supplémentaire pour la détermination de leur ordre de
grandeur.
La répétition de ces opérations entraîne, à la longue:
1- des erreurs de calcul possibles,
2- une' migraine probable de l'opérateur.
c) De plus, si au lieu de se baser, pour la perte de charge, sur une formule en
rQ2, on prend une formule en r Qx (Williams-Hazen : x = 1;85; Flamant x =
1,75), on peut affirmer que la possibilité du 2° devient une certitude, même
si l'on dispose d'une règle permettant le calcul des puissances fractionnaires,
car les règles existant dans le commerce ne permettent le calcul de Qx que
pour Q > 1; si Q < l le calcul nécessite un double passage par les inverses.

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CONCLUSION

En conclusion, il était question pour nous de montrer comment la méthode d’Hardy

Cross est utilisée dans le calcul des réseaux maillés. Ce dernier calcul exige
l’utilisation d’un programme ou d’un logiciel approprié. On remarque que les
calculs sont explicites et ne nécessitent pas l’utilisation ni des abaques ni des
tables. L’emploi du coefficient de William-Hazen est dorénavant un obstacle résolu
et sera remplacé par la rugosité absolue de la conduite paramètre facilement
reconnu, soit donné par le fabriquant des canalisations soit par mesure directe par
le biais d’un rugosimètre. Le nombre d’itérations en respectant les étapes décrites
au paragraphe 1.5 sera égal à l’unité car l’équilibre des mailles est atteint après la
première itération.

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES

[1].A. BEDJAOUI, B. ACHOUR (March 2015). Détermination des débits en

route dans un réseau maille par la méthode du Modèle Rugueux de
Référence (MMR) design of the water networks using the Rough Model
Method (RMM), Laboratoire de Recherche en Hydraulique Souterraine et de
Surface - Larhyss Université de Biskra, Algérie.
[2].Iskounen Yacine (2015/2016). Cours d’Hydraulique – BTP, Institut du
bâtiment et des travaux publiques, Maroc, P. 47-48.
[3].H. AAYA. Cours d’alimentation en eau potable. P. 5.
[4].Ch. DUBIN. (1947). Le calcul des réseaux maillés, Contribution à
l'application pratique de la Méthode de « HARDY-CROSS ». France, P. 213.

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