Terminale spécialité

Devoir à la maison n°4

(à rendre le mardi 9 janvier 2024)

Exercice 1

On estime que 12,7 % des Français sont gauchers. On considère une classe de 35 élèves. On note X la variable
aléatoire donnant le nombre de gauchers dans la classe. Le choix des élèves est assimilé à un tirage avec remise.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ?
2. Déterminer le plus petit nombre entier a tel que P ( X ≤a )≥0,95 .
3. Dans la classe, il y a neuf gauchers. Est-ce étonnant ?

Exercice 2

x
Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x )=x +1+ x et c sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
e
x
1. Soit g la fonction définie sur ℝ par g ( x)=1−x +e .
a) Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction g sur ℝ (les limites de g aux
bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues).
b) En déduire le signe de g ( x) .
2. Déterminer la limite de f en −∞ puis la limite de f en +∞ .
3. On appelle f ' la dérivée de la fonction f sur ℝ . Démontrer que pour tout x réel, f ' ( x)=e−x g (x ) .
4. En déduire le sens de variation de la fonction f sur ℝ .

Exercice 3

Traiter au choix un des deux exercices suivants.

Piste verte
Soit Cf la courbe représentative dans un repère de la fonction f définie sur ℝ par :
f ( x )=2 e 3 x .
Soit a un réel et M le point de Cf d’abscisse a.
On considère la tangente T à la courbe Cf au point M, H le projeté orthogonal de M
sur l’axe des abscisses et P le point d’intersection de T avec l’axe des abscisses.
Montrer que la distance PH est la même quelle que soit la valeur de a.

Piste bleue
Soient f et g les fonctions définies sur l’ensemble des nombres réels par :
f (x )=e x et g ( x)=e−x
On note cf la courbe représentative de la fonction f et cg la courbe représentative de la fonction g dans un repère.
Pour tout réel a, on note M le point de cf d’abscisse a et N le point de cg d’abscisse a.
La tangente en M à cf coupe l’axe des abscisses en P, la tangente en N à cg coupe l’axe des abscisses en Q.
Montrer que la longueur PQ est indépendante de a.
 Correction du devoir à la maison n°4
Exercice 1 :
1) Examiner si un élève est gaucher est une épreuve de Bernoulli dont le succès (être gaucher) a une
probabilité de 0,127. On répète cette épreuve 35 fois de façon identique et indépendante. On obtient
ainsi un schéma de Bernoulli de paramètres 35 et 0,127. La variable aléatoire X compte le nombre de
succès, on sait alors qu'elle suit la loi binomiale de paramètres 35 et 0,127.
2) O n a P ( X ≤7 )>0,95 e t P ( X ≤8 )≥0,95 , ainsi 8 est le plus petit nombre entier a tel que
P ( X ≤a )≥0,95 .
3) On peut être sûr au seuil de 95 % qu'il n'y aura pas plus de 9 gauchers dans une classe de 35 élèves.
Qu'il y en ait 7 ne peut pas être considéré comme étonnant.

Exercice 2 :
1) a) g est dérivable sur ℝ en tant que somme de fonctions dérivables.
Pour tout x réel, g ' ( x )=−1+e x
g ' (x )=0 ⇔ −1+e x =0 x
g ' (x )>0 ⇔ −1+e >0
x x
g ' (x )=0 ⇔ e =1 g ' (x )>0 ⇔ e >1
x 0 x 0
g ' (x )=0 ⇔ e =e g ' (x )>0 ⇔ e >e
g ' (x )=0 ⇔ x=0 g ' (x )>0 ⇔ x >0
x −∞ 0 +∞
g ' (x ) – 0 +

g ( x)
2
b) Pour tout x réel, g ( x) est strictement positif.
2) * lim ( x +1)=−∞
x→−∞
x
lim x=−∞ et lim e x =0+ donc en tant que quotient lim x
=−∞
x→−∞ x→−∞ x→−∞ e

En tant que somme, lim f ( x)=−∞

x→−∞
* lim ( x +1)=+∞
x→+∞
x 1 ex x
= or lim =+∞ donc en tant que quotient, lim x =0
x→+∞ x
x x
e e x→+∞ e

x
En tant que somme, lim f (x )=+∞
x→+∞
3) f est dérivable en tant que somme de fonctions dérivables.
x
1×e x − x×e x e x − xe x e (1− x) 1−x
Pour tout x réel, f ' ( x)=1+0+ x 2
=1+ x 2
=1+ x 2
=1+ x
(e ) (e ) (e ) e
−x −x x −x −x 0 1 x 1−x
De plus, e g ( x)=e (1−x +e )=e −xe +e = x − x +1= x +1
e e e
On a donc bien f ' ( x)=e−x g (x ) .
4) Pour tout x réel, e− x >0 et g ( x)>0 donc f ' ( x)>0 donc f est strictement croissante sur ℝ .

Exercice 3 :
Piste verte
Soit a un nombre réel.
• Cherchons une équation de T :
La fonction f est dérivable en a donc la tangente T a pour équation y= f ' (a)( x−a )+f (a)
c’est à dire y=2×3 e 3 a (x−a)+2 e 3 a ou encore y=6 e 3 a ( x−a)+2 e 3a .
• Cherchons maintenant l’abscisse du point P :
P est situé sur l’axe des abscisses donc on cherche x tel que 0=6 e 3a ( x−a)+2 e 3 a
0=6 e 3a ( x−a)+2 e 3 a ⇔ e 3 a (6 x −6 a+2)=0
 0=6 e 3a ( x−a)+2 e 3 a ⇔ 6 x−6 a +2=0
1 1
0=6 e 3a ( x−a)+2 e 3 a ⇔ x= (6 a−2)=a−
6 3
• Calculons enfin la distance PH :
1
Comme a >a− , on a PH = a− a− =
3 ( ) 1
3
1
3
La distance PH est donc bien la même quelque soit la valeur de a.
Piste bleue
Soit a un nombre réel.
• Cherchons l’abscisse du point P :
La fonction f est dérivable en a donc la tangente en
M à cf a pour équation y= f ' ( a)( x−a )+f (a)
c’est à dire y=e a ( x−a )+e a
P est situé sur l’axe des abscisses donc on cherche x
tel que 0=e a ( x −a)+e a
0=e a ( x −a)+e a ⇔ e a ( x−a +1)=0
a
0=e a ( x −a)+e a ⇔ x−a+1=0 car e ≠0
0=e a ( x −a)+e a ⇔ x=a−1
L’abscisse de P est donc a−1
• Cherchons maintenant l’abscisse du point Q :
La fonction g est dérivable en a donc la tangente en
N à cg a pour équation y=g ' (a )(x−a)+g ( a) c’est à dire y=−e− a ( x−a)+e−a .
Q est situé sur l’axe des abscisses donc on cherche x tel que 0=−e−a ( x−a )+e−a
0=−e−a ( x−a )+e−a ⇔ e−a (−x +a +1)=0
0=−e−a ( x−a )+e−a ⇔ −x +a +1=0 car e ≠0
−a

0=−e−a ( x−a )+e−a ⇔ x=a+1

L’abscisse de Q est donc a +1
• Calculons la longueur PQ :
Comme a +1>a−1 , on a PQ = (a +1)−(a−1)=2 . La longueur PQ est donc bien indépendante de a.