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    Int 01 LNT Sur Tmoins 1

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    Ce document présente le calcul de l'intégrale I = ∫01 ln(t)/(t-1) dt. Il démontre l'existence et l'intégrabilité de cette intégrale, puis transforme l'intégrale en une somme infinie dont les termes sont calculés individuellement, aboutissant au résultat final I = π2/6.

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    Z1

    ln t
    Calcul de dt
    0 t−1
    1) Existence de l’intégrale.
    ln t
    La fonction f : t 7→ dt est continue sur ]0, 1[ et donc localement intégrable sur ]0, 1[.
    t−1  
    ln t
    • Quand t tend vers 0, ∼ | ln t| = o √1 . Par suite, f est intégrable au voisinage de 0.
    t − 1 t
    ln t
    • Quand t tend vers 1, ∼ 1. Ainsi, f se prolonge par continuité en 1 et est donc intégrable au voisinage de 1.
    t−1
    Z1
    ln t
    Finalement, f est intégrable sur ]0, 1[ et on peut poser I = dt.
    0 t−1

    2) Transformation de l’intégrale.
    Soit n un entier naturel. Pour t ∈]0, 1[,
    n
    ! n
    ln t 1 X
    k tn+1 X tn+1 ln t
    = − ln t × = − ln t t + = −tk ln t − .
    t−1 1−t 1−t 1−t
    k=1 k=1

    1
    Chacune des fonctions t 7→ −tk ln t est intégrable sur ]0, 1[ car continue sur ]0, 1[, négligeable devant √ quand t tend
    t
    tn+1 ln t
    vers 0 et prolongeable par continuité en 1. On en déduit aussi que la fonction t 7→ est intégrable sur ]0, 1[ en
    1−t
    tant que combinaison linéaire de fonctions intégrables sur ]0, 1[. Par intégration, on obtient
    Z1 Xn Z1 Z 1 n+1
    ln t t ln t
    dt = Ik + Jn où Ik = − tk ln t dt et Jn = − dt.
    0 t − 1 0 0 1 − t
    k=0

    tk+1
    3) Calcul de Ik . Soient k ∈ N et ε ∈]0, 1[. Les deux fonctions t 7→ et t 7→ − ln t sont de classe C1 sur [ε, 1]. On
    k+1
    peut donc effectuer une intégration par parties qui fournit
    Z1  k+1 1 Z1
    k t 1 εk+1 ln ε 1
    −t ln t dt = − ln t + tk dt = + (1 − εk+1 ).
    ε k + 1 ε k + 1 ε k + 1 (k + 1)2
    1
    Quand ε tend vers 0, on obtient Ik = . Ainsi
    (k + 1)2
    1
    ∀k ∈ N, Ik = .
    (k + 1)2
    4) Convergence de la suite (Jn )n∈N . Soit n ∈ N. On a
    Z1
    −t ln t
    Jn = tn dt.
    0 1−t
    −t ln t
    La fonction t 7→ est continue sur ]0, 1[ et se prolonge par continuité en 0 et en 1. Cette fonction est donc bornée
    1−t
    −t ln t
    sur ]0, 1[ et il existe un réel M tel que pour tout t ∈]0, 1[, ≤ M. Pour n ∈ N, on a alors
    1−t
    Z1 Z1
    n −t ln t n M

    |Jn | ≤ t
    1 − t dt ≤ |M| t dt = n + 1 .
    0 0

    Cette dernière expression tend vers 0 quand n tend vers +∞ et donc lim Jn = 0.
    n→ +∞
    +∞
    X +∞
    X +∞
    X
    1 1
    5) Calcul de I. D’après ce qui précède, I = Ik = = .
    (k + 1)2 n2
    k=0 k=0 n=1
    Z1 +∞
    ln t X 1 π2
    dt = = .
    0 t−1 n2 6
    n=1

    http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.

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