L.P.

A
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2021/2022

Exercice 1 :

Soit (𝑈 ) la suite réelle définie par 𝑈 ∈]0,1[ et pour tout 𝑛 de IN : 𝑈 =

1) Montrer que pour tout 𝑛 de IN ; on a 0 < 𝑈 < 1

2) Montrer que (𝑈 ) est strictement décroissante
3) On prend 𝑈 = et 𝑉 = 1 − , 𝑛 ∈ 𝐼𝑁
a) Montrer que (𝑉 ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier
terme.
b) Exprimer 𝑉 puis 𝑈 en fonction de n

Exercice 2 :

𝑉 =1
Soit la suite (𝑉 ) définie sur IN par ; pour tout 𝑛 ∈ IN
𝑉 =𝑉 1+𝑉

1) Montrer que pour tout 𝑛 élément de IN : 𝑉 ≥ 1

2) Montrer que la suite (𝑉 ) est monotone
3) Montrer que : 𝑉 ≥ √2 𝑉 ; pour tout 𝑛 ∈ IN
4) En déduire que la suite (𝑉 ) est non majorée et préciser sa limite.

Exercice 3 :

On considère la suite (𝑈 ) définie sur IN par 𝑈 = 1 et pour tout 𝑛 𝑑𝑒 𝐼𝑁 on a : 𝑈 =

1) Montrer que pour tout n de IN on a : 1 ≤ 𝑈 < 2

2) Etudier la monotonie de 𝑈
3) Soit (𝑉 ) la suite définie sur IN par : 𝑉 =
a) Montrer que (𝑉 ) est une suite géométrique
b) Déterminer 𝑉 puis 𝑈 en fonction de n

Exercice 4 :

On considère la suite 𝑈 définie par : 𝑈 = 𝑒𝑡 𝑈 = 𝑈 ²+ 𝑈

1) a) montrer que pour tout n, 0 < 𝑈 < 1

b) Montrer que 𝑈 est convergente et calculer sa limite

2) a) montrer que pour tout n : 𝑈 ≤ 𝑈

b) Déduire que pour tout n : 0 < 𝑈 < ( )

c) Trouver alors lim 𝑈

1
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Exercice 5 :
²
1) On définit, pour tout entier naturel 𝑛 > 0, la suite (𝑈 ) par 𝑈 = et la suite (𝑉 ) par
𝑉 = .
a) Montrer que lim 𝑉 =
→
b) Montrer que pour tout entier 𝑛 > 0, 𝑉 >
c) Trouver le plus petit entier N tel que, si 𝑛 ≥ 𝑁, 𝑉 <
d) En déduire que si 𝑛 ≥ 𝑁 alors 𝑈 < 𝑈
e) Montrer par récurrence que, pour tout entier 𝑛 ≥ 5, 𝑈 ≤ ( ) 𝑈
En déduire que (𝑈 ) est convergente et calculer sa limite
2) On pose, pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 5 ∶ 𝑆 = 𝑈 + 𝑈 + ⋯ + 𝑈
a) Montrer que, pour tout entier naturel 𝑛 > 5,
3 3 3
𝑆 ≤ [1 + + + ⋯+ ]𝑈
4 4 4
b) En déduire que, pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 5, 𝑆 ≤ 4𝑈
3) Montrer que la suite (𝑆 ) est croissante et en déduire qu’elle converge.

Exercice 6 :

On définit sur [0, [ la fonction 𝑓 (𝑥) = 𝑥 − 𝑛𝑡𝑎𝑛(𝑥) avec 𝑛 ∈IN*

1) a) Montrer que pour tout 𝑛 > 0 , l’équation 𝑓 (𝑥) = −𝑛 admet dans 0, une solution
unique qu’on note 𝑈 .
b) Vérifier que pour tout > 0 , 𝑈 ∈] , [ et que 𝑡𝑎𝑛(𝑈 ) = 1 +
2) a) Montrer que pour tout 𝑛 > 0 et pour tout 𝑥 ∈] , [ on a : 1 + 𝑓 (𝑥) < 𝑓 (𝑥)
b) Déduire alors que la suite (𝑈 ) est strictement décroissante , et qu’elle converge vers
une limite que l’on précisera.

Exercice 7 :

Soit 𝑈 la suite définie par : 𝑈 = 0 𝑒𝑡 𝑈 =

²

1) Montrer que pour tout n , on a 0 ≤ 𝑈 < 1

2) a) Montrer que pour tout n , on a : 𝑈 >
b) Déduire les variations de la suite 𝑈
c) Montrer que 𝑈 est convergente
3) montrer que ⩝ 𝑛, on a : 0 < 1 − 𝑈 < (1 − 𝑈 )
4) Trouver la limite de la suite 𝑈

2
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Exercice 8 :

Soit la suite (𝑈 ) ∈ définie par :

𝑈 ∈ 𝐼𝑅,⩝ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁 , 𝑈 = 2+𝑈 − 3+𝑈 ²

A) 1) On suppose que : 𝑈 = 1
Etudier la suite (𝑈 ) ∈
Dans la suite on suppose que 𝑈 ∈]0,1[

2) a) Montrer que : ⩝ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁; 0 < 𝑈 < 1

b) Etudier la monotonie de la suite (𝑈 ) ∈

c) En déduire que la suite (𝑈 ) ∈ est convergente et calculer sa limite

3) a) Montrer que : ⩝ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁, 1 − 𝑈 ≤ √3 − 1 (1 − 𝑈 )

b) En déduire que ⩝ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁, 1 − 𝑈 ≤ √3 − 1 (1 − 𝑈 )
c) Retrouver la limite de (𝑈 ) ∈
4) On pose : 𝑊 = ,⩝ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁
Montrer que : lim 𝑊 = +∞

5) Pour tout 𝑛 ∈ 𝐼𝑁 ∗ , on pose :

𝑆 = 3 + 𝑈 ² et 𝑡 =𝑈 +𝑆

a) Montrer que (𝑡 ) est une suite arithmétique et calculer 𝑡 en fonction de 𝑛 et 𝑈

b) Déterminer alors la limite de ( ) lorsque 𝑛 → +∞
B) On suppose maintenant que 𝑈 ∈ ] − ∞, −1[
1) Montrer que ⩝ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁 , 𝑈 < −1
2) En déduire que la suite (𝑈 ) ∈ est décroissante
3) a) Montrer que ⩝ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁 ; que 𝑈 −𝑈 ≤ 2− 3+𝑈 ²

b) En déduire que (𝑈 ) est divergente

Exercice 9 :

On considère la suite 𝑈 définie sur IN Par : 𝑈 = 2 𝑒𝑡 𝑈 = pour tout 𝑛 ∈ 𝐼𝑁

1) a) Montrer que pour tout n de IN on a : 0 < 𝑈 < 3

b) Montrer que la suite 𝑈 est croissante . Déduire que la suite 𝑈 est convergente et
calculer sa limite.

2) a) Montrer que pour tout n de IN on a :

9−𝑈 ≤ 4(3 − 𝑈 ) et que 3 − 𝑈 ≤ (3 − 𝑈 )

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b) Déduire que pour tout n de IN on a : 3 − 𝑈 ≤ et retrouver la limite de la suite 𝑈.

3) On considère la suite 𝑆 définie sur IN par 𝑆 =

Montrer que pour tout n de IN on a : 𝑆 ≤ −𝑛 − ( )

En déduire la limite de la suite 𝑆

Exercice 10 :

Soit la suite 𝑈 définie par :

𝑈 = 2 et ∀ n , 𝑈 = 𝑈 +

1) Montrer que pour tout entier n, on a : 𝑈 ≥ 1

2) Montrer que 𝑈 est décroissante, en déduire que 𝑈 converge et calculer sa limite.
3) Soit 𝑉 la suite définie sur IN par : 𝑉 =
a) Montrer que pour tout 𝑛 ∈ 𝐼𝑁 : 𝑉 = 𝑉²
∗
b) Montrer que pour tout 𝑛 ∈ 𝐼𝑁 on a : 0 < 𝑉 < ( )
En déduire la limite de 𝑉 et retrouver celle de 𝑈
4) Soit 𝑊 la suite définie sur IN par :
𝑊 = . Calculer la limite de 𝑊.
( )
5) Montrer par récurrence que pour tout 𝑛 de IN. 𝑉 = , en déduire 𝑈 en fonction
de n.
6) Pour 𝑛 ∈ IN, on pose : 𝑇 = 𝑉 𝑉 … 𝑉
Exprimer 𝑇 en fonction de 𝑛
Calculer la limite de 𝑇 en +∞

Exercice 11 :

Soit 𝑈 la suite définie sur IN par 𝑈 donné

1
𝑈 = (𝑈 + 1); 𝑛 ∈ 𝐼𝑁
2
1) On suppose que 𝑈 = 1. Que peut on dire de la suite 𝑈
2) On suppose que 0 ≤ 𝑈 < 1
a) Montrer que pour tout 𝑛 de IN, 0 < 𝑈 < 1
b) Montrer que la suite est croissante. En déduire qu’elle converge et calculer sa limite.
c) Soit 𝑉 la suite définie sur IN par 𝑉 = 1 − 𝑈
Calculer − en fonction de 𝑈 .

En déduire que l’on a lim − =

3) On pose 𝑡 = ∑ ,𝑛 ≥ 1
4
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Montrer que 𝑡 = − , déduire que lim 𝑡 = +∞

4) on suppose dans cette question que 𝑈 > 2
a) Montrer que la suite 𝑈 est croissante et non majorée.
Déduire que 𝑈 diverge vers +∞
b) Montrer par récurrence que ⩝ 𝑛, 𝑈 ≥ 2( )

Exercice 12 :

Soit la suite 𝑈 définie sur 𝐼𝑁 par 𝑈 = et pour tout entier 𝑛, 𝑈 = ²

1) a) Montrer que ⩝ ∈ 𝐼𝑁 , 0 < 𝑈 < 1

b) Montrer que la suite 𝑈 est croissante

c) En déduire que la suite 𝑈 est convergente et déterminer sa limite.

2) Soit la suite 𝑉 définie sur IN par : 𝑉 =

a) Montrer que ⩝ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁, 𝑉 =𝑉²
b) En déduire, par récurrence, que ⩝ ∈ 𝐼𝑁 , 𝑉 = (𝑉 )
c) Exprimer alors 𝑈 en fonction de 𝑛
d) En remarquant que pour tout entier 𝑛, on a 2 ≥ 𝑛, retrouver la limite de la suite 𝑈
3) Soit les suites 𝑊 𝑒𝑡 𝑆 définies sur IN par : 𝑊 = 𝑈 − 𝑈 et 𝑆 = 𝑛 ∑ 𝑊
a) Montrer que ⩝ n ∈ IN, 𝑊 ≥
b) En déduire la limite de la suite (𝑆 )

Exercice 13 :

Soit 𝑞 un entier au moins égal à 2.

2n
Pour tout n   , on pose U n  cos
q

1) Montrer que U n  q  U n , pour tout n  

2) Calculer U nq et U nq 1 . En déduire que U n  n’a pas de limite.

Exercice 14 :

x3 2 x 1
On considère la fonction f :    définie par : f  x     et on définie la suite  xn n
9 3 9
en posant x0  0 et xn 1  f  xn  pour n  

 1
1) Montrer que l’équation x 3  3 x  1  0 possède une solution unique    0, 
 2

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2) Montrer que l’équation f  x   x est équivalente à l’équation x 3  3 x  1  0 et en déduire que

 est l’unique solution de l’équation f  x   x dans l’intervalle 0, 

1
 2
3) Montrer que la fonction f est croissante sur   et que f      . En déduire que la suite

 xn  est croissante.
1 1 1
4) Montrer que f  et déduire que 0  xn  pour tout n  0
2 2 2
5) Montrer que  xn n converge vers 

Exercice 15 :

Soit n  1
n
1- Montrer que l’équation x k
 1 admet une unique solution notée an dans  0,1
k 1

1
2- Montrer que  an  n est décroissante et minorée par
2

1
3- Montrer que  an  converge vers
2

Exercice 16 :

Soit U n  et Vn  deux suites réelles.

Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses.

Lorsqu’elles sont vraies, les démontrer.

Lorsqu’elles sont fausses, donner un contre-exemple.

1- Si U n  et Vn  divergent, alors U n  Vn  diverge.

2- Si U n  et Vn  divergent, alors U n  Vn  diverge.
3- Si U n  converge et Vn  diverge, alors U n  Vn  diverge.
4- Si U n  converge et Vn  diverge, alors U n  Vn  diverge.
5- Si U n  n’est pas majorée, alors U n  tend vers 
6- Si U n  est positive et tend vers 0 => U n  est décroissante à partir d’un certain rang.
7- Si U n  est décroissante positive alors U n  converge vers0.
8- Une suite positive non bornée ne tend pas vers 
9- Si U n  est convergente alors  E U n   est convergente.

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Exercice 17 :

Soit U n  n  n  1  ...  1

1- Ecrire une formule de récurrence liant U n 1 et U n

U 
2- Montrer que la suite  n  est bornée
 n
3- Déterminer sa limite.

Exercice 18 :

U 0  0

U 1
0  U n 1  2  U ,n  
 n

a) Montrer que U n  est convergente.

b) Déduire que lim U n  1
n 

Exercice 19 :

U n  a , Vn  b n
Soient 𝑎, 𝑏   et soient U n  et Vn  deux suites réelles telles que 
U n  Vn  converge vers a  b

Montrer que U n  converge vers 𝑎 et que U n  converge vers 𝑏.

Exercice 20 :

soient U n  et Vn  deux suites telles que 0  U n  1 , 0  Vn  1 et U nVn  converge vers 1

Montrer que U n  et Vn  convergent vers 1