,i i

Chapitre 3
Calcul des lignes d'influence

3 "
1 Définition
La ligne d'infl.uence d.'une por:tre est la courbe représentative de la
variation d'un effet en un pgint donné en fonction de 1a position d'unc
charge unité mobile

Les lignes d'influence sont fort utiles pour 1a clétermination cles com-
binaisons d'actions iors cles calculs des stiuctures de génie civil En effet'
elles permettent d.e cléf enniner très sirrrplement cluelles bolll Ie» ztlnes de
charge*ent favorables (et défavorables) qui minimisent (maximisent) une
action en un point donné'

La signification cles lignes d'influence est opposée à celle des diagrammes

cles cfforts (tableau 3"1).

L.I. D.E"
Pos tion charge : Variable Fixe
Pos tion section : Fixe Variable

T;\BLtr 3.1- Signification des L"I. et cles rliagrarnmes des eflbrts

pr. II. RGt.rIG L'ours : Calcul tles structrrres :fu OUTp

3.2 Lignes d'influence d'une poutre isostatiqrre

3.2 Lignes d'influence d'une poutre isostatique

Considérons une poutre droite AoAr, simplement appuyée, soumise à une
charge unitê mobile à'abscisse a (premier schéma de la figure (3.1))

Puisque la poutre est en équilibre, on a :

f/- .11,r,
/" : s (3 1)

+ Vol,-7(l-a) :0 (3 2)

+ Vo:|-I (3 3)

On a donc :
pour (.} < jlt :
I Vs,ot : -i (3.4)
1-\,1,,.o, : "(r-i)
pour .l > lt
I li,,*r :: 1-i
:

(3.5 )
\ ,.o,
.\-I, (r - ?) ",-

ces deux s-vstèmes représentent 1es équations des lignes cl'j.nfltrence cle 1',effort
tra,nchant ÿ et du urorrrent fléchissant M relatifs à Ia positioll r pollr une
position variable de Ia charge mobile a (voir figure 3"1)'

Ii
I rr -*1
.46
i-;u
ii.,,.or

1-i A1

FTCURB 3.1 - Lignes d'influence de V et Ày' d'une poutre isostatique

Cor-rrs : Calcul des structures Â& EHTP

Pr. r'1. RGUIG
3.3 Exploitation des lignes d'influence o/

3.3 Exploitation des lignes d'influence

3.3"1 Charges localisées
Soit une poutre l10y'1 chargée par un ensemble de charges ponctuelles
(Pr,..", P") (figrre 3.2).

- Soient ai e\ yl les ordonnées d'abscisse ai des lignes d'influences de l'ef-

fort tranchant et du rioment flêchissant dans la section I (figure 3.2)"
- lJne charge unité 1 d'abscisse a; produit dans I un erffort tranchant y;
et un moment fléchissant yl (frgure 3.2).
- D'après le théorème de superposition, une charge P; d'abscisse {}, pIo-
cluit un effort trancbant P,yi et un moment flêchissant Piy'..

Le système cle charges total produit un effort tranchant et nn moment

fléchissant à 1a section I de :

V(,):ÿ'rro (3 6)
i:1

ù11*1:»r*l \ù.1,/
i:l

AÙ

1.,i.,,..,,

1
-1i)

)r
-t11.i,., r 'v:,

An
Âr

FtcuRu 3.2 - Charges localisées sur la porttre

Pr" N{" RGIIIG Cours : Calcul des structures § oHre

3.3 Exploitation des lignes d'influence 58

3.3.2 Charges réparties

Soit une poutre 4s,41 soumise entre a, et, ct2 à, une ctrarge répa,rtie rf in-
tensité P1o) (figure 3.3).

- Un tronçon de longueur dcr et d'abscisse cr subit une charge localisée

élérnentaire P(a)do (frgure 3.3).
- par principe de superposition, la tbrce P(a)da produit dans Ia section
I d'atrscisse r un effort tranchant P(a)rlr;'y et un mornent flêchissant
P(a)dat/ "

L'ensemble de la charge répartie procluit ;

foz
Vt,): I P(,v)ydn (3 8)
J o,

!v[1,): ,to)r'do (3.e)

1,",'

Au r,

1i.,,... )

As
ar
,l-{1;".tr)

FIcuRo 3.3 - Charge répartie sur la poutre

Pr. NI. RGUIG Cours : C-laicul des structures lfu BHrp

3.4 Exercices 59

A"--qyg. Si, Ia charge appli'quée est uni.forme, P(a) -- P, on a :

ÎC'2
\/,.:Pluda
, -'
'{tl I
(3.10)
JO,

Mat:PlJarfoz a'da (3'11)

3.4 Exercices
.ô Exercice 1 :

Calcr-rler ia ligne d'influence du moment fléchissant el le moment produit

au nrilier.t de ia poutre de ia figure (3.4).

FtcuRp 3.4 - Schéma de l'exercice 9

e Solution 1 :

Ligne cl'influence du moment fléchissant :

Partie AsÀI (r,oir figure 3.1) :

L[ç,.o):"(r-i) (3.12)

onà:
*o,:* + uç,,,1:'| (3.13)

Partie L,l A1 :

-\-1ro,:,(, -?:],,-rf (3.1/t)

Pr. NI. R.GUIG Cours : Calcul des structures ak Burp

3.4 Exercices 60

La L.I. du moment fléchissant est présentée sur 1a figure (3'5)'

,11ir,..r) I

An l,
FtCUnn 3.5 - Ligrre cf influelce clu ntoment fléchissa,nt à 1a section X

Calcul du moment à mi-trar'ée :

ôna: rt
J11r; : I pq'dn (3.15)
Jo

Partle' stu:
lt(r) : tL*. =4[orl i:p!
: (3.16)
r
Jn ,oo:, LTlo T
partie l'4 At :

:'rl,^- çl 1,,: #
l, 7*
-\1(r) : t' (3 17)

le moment total est donc ;

tt(r):ryI (3 18)

Autre façon pour calculer le N,I.F. à partir de la L"I" :

on divise le chargement répartie par parties simplifrêes et on cherche le 'centre

de gravité' de 1a reprêsenta,tion schématique de I'effort et on calcule clirec-
tement le moment en cherchant la, cornposante ÿ' du c.D.G sur la ligne
d'influencei comlrle Ça on a pour notre cas (figure 3'6) :

ù'1(:r) : Fn,U't * Fs,a;: ,t L. ,i ln: + (3.1e)

Pr. II. RGUIG (lorrrs : Caicul des structures tfu purp

 61
3.4 Exercices

1I
- r.r (.r .rr )

Ao

FrcuRn 3.6 - lvloment total à 1a section )l

.e Exercice 2 :

1. Déterminer les lignes d'influence des moments fléchissants aux sections

Ir et Iz (f,gure 3.7).
2. Calculer les N{.F. aux sections 11 et 12 du chargement extérieur appli-
qué (figure 3.8).

FtcunB 3.7 Schérna de l'exercice 10

3tj Â:r
20 Â,§
10 À:.V
2ut 1 rn, 2wt

ATJ B
Ftcuns 3.8 - Chargernent extêrieur appliqué à la poutre - Exercice 1Û

Pr, \I RGUIG Cours : Calcui des structures lfu Bntp

3.4 Exercices 62

æ Solution 2 :

Quand a < 2m, :

En tenant en compte l'équilibre cie la partie de Ia poutre AD, on ob-

tient :

\M1o:o + 4Re-1(4-a) :g (3.20)

a
+ R., :1 - =+ (3.21)

le moment à 11 est donc :

l,Ip,"1 : R,,..2-l(2-a) (3.22)

: (r-i) 2-1.(2-n) (3.23)

\ 4/
: CI
(3.24)
2

Quand a > 2'm :

On a der.x cas à tralter cette fbis :

üas1:2m<a14m
On a la mêrne travée et Ie même équilibre, donc :

R'l:1-û 4
(3.25)

le moment sur Ia deuxième partie de Ia poutre est :

.11,r.^r ': Ra.'2: (r - î) , :L; (3.26)

Cas2:ct>4m

La partie de la poutre AD ne subit aucun chargement, d'où:

f.t/rr:o + R,:o (3.27)

Ie moment sur la troisième partie de la poutre est :

-1-1,, ^,,
: 0 (3.28)

Pr. lvI" RCiiliG Cours : C-lalcul des structures § on:re

3.4 Exercices 63

'lr
- r "r 12.,r )

l-lCUnp 3.9 * Ligncs d'influencc dg momcnt flêchissant, à la section !1

Nous préserrtons la ligne d'influence c1u moment fléchrssant à ia sectton

I1 sur Ia figure (3.9).

Qu,and a <.4m :

Ona:
\À't1o: o + Rr:1-; O,

4
(3.2e)

i'effort trancha,nt au point D est :

ù
Vo: Rs- 1_
4
(3 30)

le moment à !2 est :

(v.o a
,L110,.1 : VD"Z: (3.31)
4',L
Quanda)4m:

Pr. i\1. RGUIC Cours : Calcul des structures § nHre

3.4 Exercices 64

L'équilibre du tronçon AD nous donne :

\tut1r:o + R.q:0 (3.32)

le moment à 12 est :

R /r oD\
&u,^):-1'(6*a) \Ù"t.rur /

La ligne d'influence correspondante à E2 est scirématisée sur 1a figure

(3.10).

;1/ic.,,)

t
^{
t
,1t
- /.ù
,1Iie .,-r)
I
Iff,:'

.l
-t

:1/1c..,)

A
FTCUnB 3.10 - l,ignes cf influence du rnoment fléchissant à la section 12

2. Calcul du m6ment fléchissant clû au ch:rrgerrrent présenté sur la fi-

gure (3.8) :

En cherchant les orclonnées des lignes d'influence de 11 et 12 au niveau

cles points d'application des efforts (voir figure 3.11)" ori otitient direc-
tement les valeurs des moments fléchissants aux points C et B. Ainsi
ona:
Nl1": 10.(1) + 30.(0, 5) + 20.(0) : 25 kN.rn, (3.34)

)[1a :10 (-1) + 30.(-1,5) + 20"(-1) : -75 klV.m, (3'35)

Pr. ivl" RGLTIG Cours : Calcul des s'tructures tfu Bnm

3.4 Exercices 65

lJ[) Â:.Y
20 Â:,

A
FtCUnp 3"i1 - Moment total d'un chargement ext" aux sections Ir et trz

.ê Exercice 3 :

1. Déterminer les foyers de la poutre de la figure (3.12),

2. Calculer et tra,cer la ligne d'inflnence du moment fléchissant à ia sec-
tion I,
on considère EI : cte.

rI -7»
--
.4a AL ,4: '{ r

FtctlRB 3"72 - Schêma de l'excrcice 11

e Solution 3 :

7. Calcul d,es foyers de gauche :

Travée 1 :
on a : l'Io :0, donc :

(3 36)

Pr" NI. RGLTIG Cours : Calcu.l cles structures ;fu, oure

3.4 Exercices 66

Travée 2 :

t1
/1.,:
bz
: t 6EI - ' (3 37)
q'i a2
3EI -l--1
I 3ET
Travée 3 :

rJ':b': t,-Ll-
6EI
LL
:'-.4 (3 38)
ct - o3 - bziz 3EI I 3EI 6EI 4
15

Calcul d,es foyers d," arolt" ,

En utilisant ia syrnétrie de 1a poutre, on a :

J
(3.3e)
Yl 1=
lù

^,_!_
Y2- (3.40)
J

7s:u (3.41)

2. Calcui cles équations cle la ligrre cl'inflllence du mornent fléciiissant ;

- cluand 1a force unitê est appliquée sur la travée 1 :

r r,
-lrl -lb1A;''o'i - ?'§'t (3.42)
1-;,pi
6412-a2 (3.43)
I 15- 6l
I /
=^lt *,r2\I (3 44)
-15" \' t= )
- quand Ia force unité est appliquée sur la travée 2 :

I tpz?l +,pzç'r?,
LIt : b2 I - çzç'z
(3.45)

(3.46)
1
L- 16

(\ (",-, _û ()
_-2\\
: -r, + 5a)
')_ (3.47)
1ô

Pr. lvl. RCLTIG Corrrs : L]aicul des structures § oHrr

3.4 Exercices 67

- quand la force unité est appliquée sur la travée 3 :

'tL'2 fu*0i7-;s?'t
- qsi's?L
L (3"48)

64 (t-a)(2t-a) (3.4e)
I 15' 6l
,.0 o'\
4a / o-'{--r- (3.50)
-G\'''l
-
-l t2)
I

les moments ,VIr et 112 sont reliés par :

-\1r : - s':)[z (3 51)

d'otl :
(t /
rr-11:-S:-:-l
-o o:\ (3.52)
-vLr - "7
G \'- t2 )
En traçant point par point, ia iigne d'influence c1u mornent fléchissant
obtenue est présentêe sur la figure (3.13).

Aç1
,l
1r
II
;'1')
- (l "r r )
,, ,,1-. t) {}lll
rl.{ill}1"_k}; r,.lll\
{).'l ir. -l ii. ci {1.,i f.i. lj {.i. ,l -e [].
[-: (,r I r) ri r]" \
A3
-{1" rJ3]
-{)" i}ti-l
-ti. ûû1*1y. 11s

FTCURS 3.f3 - Ligne cf influence ciu notlent flécftissalt à La section tr

.+ Exercice 4 :

on consi«lère Lln pont à deux travêes schématisé par une poutre colllme
présetité srtr la figure (3.14)"

1" Déterminer les foyers de la, poutre,

2" Cair:uler et tracer la ligne cf influcnce du \rt.F. à 1a section I,

Pr. r'L RGUIG Cours : Calcul des structures § outr

3.4 Exercices 68

3. On considère le passage d'un camion de 30t (camion type B")' Calculer

la valeur absolue maximale du M"F. dans la section E'

Ll.
lr-ll
,:1 111--*-i1. i irl

FtcuRo 3.14 - Schéma de l'exercice 12 (ponl à 2 travées)

e Solution 4 :

1" Calcul rles foyers de gauch,e :

travée 1 (,4041) :

ona:L'[o:0,d'où,
nn (3 53)
/t:--vr:u
travée 2 (gA2) :

:t
8o
6L1 (3"54)
Çz -- I 68a
c., a2 3EI I 3EI

Calcul des foyers de draite :

travée 2 (fiA2) :
on a : 1v-12 :0, d'où ;

t
i.lt')
Lt
-/ - _ it (3.55)
YZ r r
It-l l
travée 1 (AoAr) :

b'
t', -.,-n, & -3
#-# ll (3 56)

Pr, Nl. RCUIG Cours : Calcui des structures lfu Bntp

3.4 Exercices 69

2" Calcul rles équations cie Ia ligne d'influence :

- Quarid ia force unité est appliquée à la travée L :

\
tvttr, -U lt:Llsi
1_ptl,t
/Ii (3.57)

: _a(36 - 92) (3.58)

168

- Quand ia force unité est appliquée à la travée 2 :

7 .pz?i + çzç'20'z
Mt : (3 5e)
bz 1* çzçL
g(8 ")!! - q) (3.60)
224

La ligne d'influence est présentée sur la figure (3'15)' EIle est obtenue
après traçage point Par Point'

A2

1" .ï nr 3 rrr .1. ;,-r ltr nr. |ru. ü nr ()

Ào A2
--0.
_{).+ÿ -{l"Jti
-u, Itiij
-11, 7.:r
-lr. $57

FrCtiRp 3.15 - Lisne d.'influence du mornent fléchissant à la section I

3. Détermination de Ia position la plus défa,vorable du camion et la valeur

extrêrne de ,ld :

on dispose les essieux du camion sur les travées du pont en le faisant

rouler de gauche à droite ciu de droite à gauche" la va,leur maximaie
du momerrt est recherchée pour chaque cas et l'enveloppe cie ces maxi-
mums correspond à la vaieur |a plls dêfavorable du pont et sa position
est la position la plus défavorable.

Pr. IvI. RGUIG Cours : Calcul des structures gfu eHre

-§

7A
3.4 Exercices

Sur la figure (3.16), noLs prêsentons Ies trois situations potentielles de

notre pÀt" Le ca,s le plus logique que donne le monrent ma-rimal est la
deuxièrne situation.

t?t LZt

,-{tr
{
A2

,^lg A,
,''l r

éç

FrCuRs 3.16 - Positions potcnticlles possibles du camion sur 1e-. deux trar'ées

soient a, ù, ei a,, les positions des essieux par lapport aux appuis situés
immédiatement à gauchc de ces essicux (voir figure (3.16). on a:
,a':A+4.5-lr:a -i"5 (3.61)

a.":a+6-/t:o (3.62)

en utilisant 1a ligne d'influence) on trouve :

a(36 - a2) .^(a - 1.5)(9.5 - a)(17.5 - a)

-
toa{8 - q)-( t6 - o) (3.63)
221
: 13.36 - 19.22a * 2.813a2 - 0.07143cr3 (3.64)

Le maximum c1e M11o; corresPond à :

d,\11 1o1
:t, + _ 19.22*5.626r-r - Ù.2143o2 :O (3.65)
da
--__:
+ o :4.04rn, (3"66)

el le moment maximal est :

N[, : *2i3"1t"m (3 67)

Pr. NI. RGLTIC Cours : Calcul des structlrres § onre