Correction du TD N°4

Exo.1
1.1) Barrière de potentiel

Condition d’équilibre : Le champ créé par la distribution de charge dans la zone de charge d’espace donne
naissance à une barrière de potentiel. Cette différence de potentiel crée des courants de dérive qui
compensent les courants de diffusion pour chaque type de porteurs de charge :
ρ ρ ρ
j n = en µ n E + e D n ∇n pour les électrons (1)

ρ ρ ρ
j h = ep µ h E − e D h ∇p pour les trous (2)

A l’équilibre on a :
ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ
jn = jh = 0  j = jn + jh = 0 (3)

Si on se place à une dimension et compte tenu de la condition d’équilibre on a :

dn
jn = en µ n E + e D n =0 (4)
dx

A partir de (4), on a:

dn
en µ n E + e D n =0 (5)
dx

Ce qui permet d’écrire :

D n dn
Edx + =0 (6)
µn n

Par intégration de la région P à la région N, on aboutit à :

xn
D n N dn
 Edx +  =0 (7)
−xp µn P n

ce qui donne :

D n N dn D n N D N N  k T N N 
VB =  = Ln n P = n Ln  D A  = B Ln  D A  (8)
µn P n µn µ n  n i2  e  n2 
 i 

puisque Dn/µn=kBT/e (relation d’Einstein).

1.2) Champ dans le cas d’une jonction PN abrupte

Profil des charges : Dans la zone de charge d’espace, les concentrations des porteurs libres sont pratiquement
nulles (n=p=0) et la densité de charge dans cette zone proviennent de l’ionisation des accepteurs et des
donneurs. Loin de la zone de charge d’espace, il y a neutralité électrique. Ainsi, le profil de la densité de charge
a l’allure illustrée par la Fig.1.
 ρ(Ccm-3)

+qND

-xP xn
x

-qNA

Fig.1: Profil des charges d'espace

Equation de Poisson : L’équation de Poisson dans le cas général est donnée par l’expression :

ρ e( N D − n + p − N A )
∆V = − =− (9)
ε 0 εs ε 0 εs

Dans ZCE coté P (-xP ≤ x ≤ 0): Dans cette région, n=p=ND= 0. En plus, si la température est suffisante pour
avoir le régime d’épuisement (ionisation totale des accepteurs), l’équation de poisson s’écrit :

e NA
∆V = (10)
ε 0 εs

Dans ZCE coté N (0≤ x ≤ xn): Dans cette région, n=p=NA= 0. En plus, si la température est suffisante pour avoir
le régime d’épuisement (ionisation totale des donneurs), l’équation de poisson s’écrit :

e ND
∆V = − (11)
ε 0 εs

Profil du champ électrique: Les expressions du champ et du potentiel peuvent être établies par la résolution
de l’équation de Poisson dans la zone de charge d’espace.

Dans ZCE coté P (-xP ≤ x ≤ 0) : Dans cette région, l’équation de Poisson est donnée par l’expression (10).
Comme on a (à une dimension) :

d2 V e NA
= (12)
d x 2 ε 0 εs

dV
E=− (13)
dx

On déduit alors :
dE e NA
=− (14)
dx ε 0 εs

Par intégration, on déduit :

dV e NA
E=− =− x+C (15)
dx ε 0 εs

Or à x=-xP, E=0, on obtient alors :

dV e NA
E=− =− ( x + xp) (16)
dx ε 0 εs

Dans ZCE coté N (0 ≤ x ≤ xn) : Dans cette région, l’équation de Poisson est donnée par l’expression (11).
Comme on a (à une dimension) :

d2 V e ND
=− (17)
d x2 ε 0 εs

dV
E=− (18)
dx

On déduit alors :

dE e N D
= (19)
dx ε0 εs

Par intégration, on déduit :

dV e N D
E=− = x+C (20)
dx ε 0 εs

Or à x=xn, E=0, on obtient alors :

dV e N D
E=− = (x − x n) (21)
dx ε 0 εs

13) Profil du Potentiel

Dans ZCE coté P (-xP ≤ x ≤ 0) : Dans cette région, d’après (16), on a :

dV e NA
E=− =− ( x + x P) (22)
dx ε 0 εs

Par intégration, on a :

e NA
V= ( x + x P)2 + V P (23)
2 ε 0 εs

Dans ZCE coté N (0 ≤ x ≤ xn) : Dans cette région, d’après (21), on a :

 dV e N D
E=− = (x − x n) (24)
dx ε 0 εs

Par intégration, on a :

e ND
V=− (x − x n)2 + V n (25)
2 ε 0 εs

1.4) Les expression de xn et xp

Tirons profit, dans une première étape, de la continuité de la composante normale du vecteur déplacement (
ρ ρ
D = ε0 εs E ) au point x=0. Dans le présent cas, cette condition nous donne d’après (22) et (24):

NA xP = ND x n (26)

L’expression (26) traduit l’égalité des charges développées des deux cotés du plan de la jonction. Elle montre
aussi que la charge d’espace s’étend davantage dans la région à faible dopage.

Dans la seconde étape, on va utiliser la continuité du potentiel au point x=0. Cette condition nous donne :

e ND 2 e NA 2
− x n + Vn = x + Vp (27)
2 ε 0 εs 2 ε 0 εs P

e ND 2 e NA 2
VB = Vn − Vp = xn + x (28)
2 ε 0 εs 2 ε 0 εs P

Cette expression peut encore s’écrire, compte tenu de (26), sous la forme :

e ND 2 ND e NA 2 NA
VB = x n (1 + )= x P (1 + ) (29)
2 ε 0 εs NA 2 ε 0 εs ND

Ce qui donne pour xn et xP les expressions suivantes :

2 ε 0 εs 1 2ε 0ε s NA
x 2n = VB soit xn = VB (30)
e ND N e N D ( N D + N A)
(1 + D )
NA

2 ε 0 εs 1 2ε0ε s ND
x 2P = VB soit x p= VB (31)
e NA N e N A ( N D + N A)
(1 + A )
ND

1.5) La largeur de la zone de charge d’espace

La largeur de la zone de charge d’espace est donnée par :

W = xn + xP (34)

2ε 0ε s  N A + N D 
W=  VB (35)
e  N A N D 
1.6) Donner l'expression de la capacité de la ZCE.

La capacité par unité de surface est donnée par:

( )
= = ( )
(36)

1.7) Valeur du champ maximal

eND eND eND 2ε0ε s NA 2e ND NA

E max = ( x − xn) = x = VB = VB
εε εε εε
x =0 n
e N D ( N D + N A) ε 0 ε s ( N D + N A)
0 s 0 s 0 s (37)

1.8. Application numérique:

1.8.1. La valeur du potentiel de diffusion;

kT  N A .N D  1.38 10 −23 ⋅ 300  10 24 ⋅10 22 

=
VD = Ln  Ln 16 2 
 = 0.83 V
e  ni
2
 1.6 10 −19  (1.10 ) 

1.8.2. La largeur de la ZCE;

W=
2ε 0ε s  N A + ND 
 VB =
2 8.8510−12 12 1024 +1022 (
0.83 =9.6310−8 m = 0.096µm
)
−19 24 22
e  N A ND  1.610 (10 10 )

1.8.3. La valeur du. champ maximal

2e N D NA 2 1.610−19 (1024 1022 )

= VB = 0.83 = 4.97106 V / m ≈ 5 104V / cm
Emax
ε 0 ε s ( N D + N A)
−12
8.8510 12 10 + 10
24 22
( )

2ème Partie: Etude hors équilibre-Polarisation directe sous une tension de 0.5 V
2.1 La nouvelle valeur de la barrière de potentiel;
V'B=VB-Va=0.83-0.5=0.33 V

2.2 La nouvelle valeur de la largeur de la ZCE.

W=
2ε 0ε s  NA + ND


(VB − Va ) =
2 8.8510−12 12 10 24 + 10 22 (
(0.33) = 0.06 µm
)
−19 24 22
e  N AND  1.610 (10 510 )
2.3. La valeur du courant de recombinaison;
q ni   q V a   1.6 10 −19 1016 −8
  1.6 10 −19 0.5  
JR= W exp  − 1 =
 6 10 exp  − 1 = 1.5 A / m 2 = 1.5 10 −4 A / cm 2
2τ   2 k B T   2 5.05 10 −7 −23
  2 1.38 10 300  

2.4. La valeur du courant de diffusion.

µ
Nous utilisons d'abord l'expression = pour calculer les constantes de diffusion et l'expression =√
pour calculer les longueurs de diffusion.
 D np   e  
= e ni 
2
+ D Pn  exp  V F  − 1
J D     
 LnP N A L N Pn D   2 k BT  
  Dn P D Pn    q V a  
J D = q ni2  +  exp  − 1
 L nP N A L Pn N D    k B T  
 4 10 −3 2 10 −3    1.6 10 −19 0.5  
= 1.6 10 −19 (1016 ) 2  +  exp  − 1
−7
 6.32 10 10
24
4.5 10 −6 10 22    1.38 10 −23300  
= 2.7 10 −6 A / m 2 (245792931) = 0.066 A / cm 2

3ème partie: Etude hors équilibre-Polarisation inverse sous une tension de -10
3.1. La nouvelle valeur de la barrière de potentiel.
V''B=VB+|Va|=0.83+10=10.83 V

3.2. La nouvelle valeur de la largeur de la ZCE.

W=
2ε 0ε s  N A + ND


(VB + Va ) =
2 8.8510−12 12 10 24 + 10 22 ( )
(10.83) = 0.22µm
e  N AND  1.610−19 (10 24 51022 )
3.3. La valeur du courant de diffusion des minoritaires.
2 Dn P D Pn 
J dif . min .
= − q n 
i 
+  = 2.7 10 −10 A / cm 2
 L nP N A L Pn N D 
3.4. La valeur du courant de génération thermique.

= − qW n i
= 9.5 10 −9 A / cm 2
J Géné
2τ

Exo.2
2.1. Tension seuil.
Vseuil≈200mV

140

120

100

80
I(µA)

60

40

20

0
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300
V(mV)

2.2. Matériau de base

Le matériau de base est, d'après la valeur de la tension seuil, le germanium

2.3. Résistance interne de la diode

RD=∆V/∆I=(275-225)10-3/(130-40)10-6=555.55 Ω
2.4. Tension appliquée aux bornes de la diode
2.4.1. Graphiquement
A partir du graphe, la tension correspondant au courant I=40 µA est V=225 mV
2.4.2. Par le calcul
UD=Useuil+RD*I
UD=0.2 + 555*40 10-6=222.22 mV

2.5. Résistance limitatrice

U=Useuil +RD*I +R*I
R=(U-Useuil-RD*I)/I=(5-0.2-555.55*20 10-6) /(20 10-6)=239 444.45 Ω ≈ 240 000 Ω=240 kΩ

Exo.3
3.1. Résistance interne de la diode
RD=Rp+Rn
Rp=[1/(epµp)][Lp]/s=[1/(1.6 10-19*1024*0.077)][200 10-6]/(1 10-6)=0.016 Ω
Rn=[1/(epµp)][Lp]/s=[1/(1.6 10-19*1022*0.1540)][5 10-6]/(1 10-6)=0.020 Ω
RD=0.016+0.020=0.036 Ω
3.2. Capacité de transition
C=(ε0*εsi * s)/W=(8.85 10-12*12*1 10-6)/(0.096*10-6)=1.1nF