LA MÉTHODE RATIONNELLE GÉNÉRALISÉE

S. Bennis* et E. Crobeddu

École de technologie supérieure

Département de génie de la construction

1100, Notre-Dame Ouest

Montréal (Québec) H3C 1K3
Tél. : (514) 396-8839
Fax. : (514) 396-8584
*
Correspondance. Courriel : sbennis@ctn.etsmtl.ca

Résumé
L’objectif de cet article est de présenter une généralisation de la méthode
rationnelle pour la transformer en véritable modèle de simulation des débits de
ruissellement. La nouvelle formulation prend explicitement en considération
d’une manière séparée les contributions des surfaces perméables et
imperméables. Les variations temporelles des intensités de pluie d’infiltration et
de rétention sont aussi prises en considération. On propose par ailleurs une
démarche méthodologique structurée pour les étalonnages successifs des
divers paramètres en jeu à l’aide d’événements pluviométriques ciblés. Les
résultats fournis par la méthode rationnelle généralisée ont été comparés
d’une part aux valeurs mesurées et d’autre part aux résultats obtenus à partir
du modèle du réservoir non linéaire. Les critères de performance utilisés
montrent clairement que la méthode proposée reproduit fidèlement les valeurs
mesurées et donne des résultats similaires sinon meilleurs que le modèle du
réservoir non linéaire aussi bien dans les phases de l’étalonnage que de la
validation des modèles. Par ailleurs, tous les paramètres utilisés dans la
méthode rationnelle généralisée sont physiques et faciles à étalonner.

Mots-clés : Modélisation, ruissellement urbain, méthode rationnelle.

Abstract

The objective of this paper is to present a generalized form of the rational

method in order to transform it into a true runoff simulation model. In the new
formulation, the separate contributions of permeable and impermeable
surfaces are explicitly considered. Variations of the intensities of rainfall,
percolation and retention are also taken into account. Furthermore, a structured
procedure is proposed for the successive calibrations of the various implied
parameters on the basis of specific precipitation events. The results obtained
by the generalized rational method are compared to measured values as well
as to the results derived from the non linear reservoir model. As clearly
indicated by the performance criteria used, the proposed method reliably
reproduces the measured values and yields results which are similar to if not
better than those obtained by the non linear reservoir model, both in the
calibration and in the validation phases. Moreover, all the parameters required
by the generalized rational method are physical and easily calibrated.

Key words : Modelling urban, runoff, rational formula.

1. Introduction
1.1 Contexte de la recherche
Le présent travail s’inscrit dans un vaste projet de collaboration mené durant
les cinq (5) dernières années entre l’École de Technologie Supérieure, les
Villes de Montréal et de Laval, l’Arrondissement de Verdun, Hydro-Québec et
le Centre d’expertise de recherche en infrastructures urbaines. L’objectif
général du projet était de développer des méthodologies et des techniques de
prévision et de validation des séries hydrométéorologiques. En milieu urbain,
l’objectif spécifique était de mettre à la disposition des ingénieurs un logiciel
pratique et convivial dédié à l’autosurveillance et à la gestion en temps différé
des réseaux d’assainissement. Ce logiciel, baptisé PRÉVAL, permet d’établir
sur des périodes variables les bilans quantitatifs et qualitatifs des rejets par les
déversoirs d’orage et leurs fréquences. L’estimation des rejets d’eaux usées se
fait à l’aide de mesures directes et par l’intermédiaire de modèles de prévision
hydrauliques et hydrologiques. Les mesures sont aussi nécessaires pour
l’étalonnage des modèles de la quantité et la qualité des eaux de
ruissellement. À leur tour les modèles hydrauliques et hydrologiques, une fois
étalonnés, permettent de créer la redondance analytique qu’on utilise pour la
validation des mesures. Le modèle hydrologique de ruissellement que nous
avons incorporé initialement dans PRÉVAL est similaire à celui utilisé dans le
logiciel SWMM. Ce modèle, qui est basé sur la méthode du réservoir non
linéaire, donne de bons résultats. Mais à la suite de certaines difficultés d’ordre
technique lors de l’étalonnage, nous avons été amenés à mettre au point un
nouveau modèle qui généralise le principe de la méthode rationnelle. L’objectif
du présent article est de comparer les résultats fournis par la méthode
rationnelle généralisée aux résultats du modèle du réservoir non linéaire.

1.2 Revue de la littérature

Les modèles de simulation hydrologique et hydraulique sont utilisés pour la
conception, le diagnostic de fonctionnement et la gestion des réseaux
d’assainissement. Ces modèles permettent de simuler les trois importantes
phases du cycle de l’eau en milieu urbain : 1- la variation spatio-temporelle de
la pluie 2- la transformation pluie-débit sur la surface du bassin 3- la
propagation des ondes de crue dans les conduites et les réservoirs. Selon la
nature et les besoins du projet, les modèles de simulation des trois phases
sont appliqués d’une manière sélective ou séquentielle pour obtenir les débits
et les niveaux piézométriques dans différents nœuds du réseau. Quoiqu’il soit
difficile de dissocier les modélisations des trois phases décrites
précédemment, on est principalement concerné dans le présent travail par la
transformation pluie-débit. Cette transformation s’opère à son tour par sous-
bassin en deux étapes successives : 1) le calcul des pertes par rétention
initiale et infiltration qu’on doit soustraire de la pluie brute pour déduire la pluie
nette et 2) la transformation par une fonction de transfert de cette pluie nette en
débit à l’exutoire du bassin de drainage.

Le modèle de transformation pluie-débit le plus simple est sans contredit la

méthode rationnelle (Mulvaney, 1851). Cette méthode fit son apparition en
Amérique du Nord en 1889 lorsque Kuichling l’utilisa pour étudier le
comportement de plusieurs réseaux de collecte des eaux de ruissellement en
milieu urbain. La méthode rationnelle possède des équivalents européens qui ont
eu le même succès outre Atlantique : en Europe centrale, on utilise la formule
d’Imhoff (1964); en Angleterre la méthode Lloyd Davies (1906) et en France la
formule de Caquot (1941). Ces modèles permettent de connaître le débit de
pointe à l’exutoire d’un bassin pour une intensité de pluie donnée.

Malgré sa simplicité, la méthode rationnelle a été utilisée pour concevoir la quasi-

totalité des réseaux de drainage en milieu urbain en Amérique du Nord. Elle jouit
encore d’une grande faveur auprès des ingénieurs car elle renferme peu de
paramètres, qui sont tous physiques et faciles à obtenir à partir de relevés sur le
terrain. L’étalonnage de ces paramètres est souhaitable et peut aider à
l’amélioration des résultats de simulation mais n’est pas absolument nécessaire.
Compte tenu des hypothèses simplificatrices inhérentes à cette méthode on
valide de plus en plus souvent le choix des paramètres de conception en utilisant
des modèles plus sophistiqués comme le réservoir non linéaire incorporé dans le
logiciel SWMM (Huber et al. 1988). Malheureusement ce dernier modèle
renferme beaucoup de paramètres dont certains sont conceptuels et doivent
absolument être étalonnés (Proctor et al. 1976). En absence de mesures de pluie
et de débit, les résultats fournis par ce modèle doivent être utilisées avec
précaution. Dans les études diagnostiques de fonctionnement hydraulique des
réseaux existants, ces modèles informatisés sont maintenant systématiquement
utilisés. Cette tendance s’explique en grande partie par les possibilités offertes
pour l’usage de logiciels commerciaux de plus en plus conviviaux et rapides.
L’ordinateur rend possible l’usage de modèles sophistiqués pour le calcul détaillé
des hydrogrammes de crues à l’exutoire de chacun des sous-bassins de
drainage alors que la méthode rationnelle traditionnelle ne fournit que le débit de
pointe pour une pluie uniforme d’intensité constante.

Plusieurs chercheurs ont tenté de rendre moins contraignantes les hypothèses

de la méthode rationnelle. Nous citons les travaux de Smith et al. (1984) et de
Guo (2001) qui ont utilisé la méthode rationnelle pour simuler un hydrogramme
de ruissellement correspondant à une intensité variable. Plus récemment,
Ogden et al. (2003) ont remplacé le coefficient de ruissellement de la méthode
rationnelle par la conductivité hydraulique moyenne pour représenter les pertes
sur les surfaces perméables.

Le but du présent article est de montrer comment il est possible de généraliser la

méthode rationnelle et combler ses lacunes. La ligne directrice de notre
démarche est de sauvegarder la simplicité de la méthode rationnelle tout en la
transformant en véritable modèle de simulation de ruissellement qui reproduit
fidèlement aussi bien le débit de pointe et son temps d’occurrence que le volume
de ruissellement. On considère en particulier les points suivants : 1- moyen
d’utilisation de la méthode rationnelle avec une intensité de pluie variable. 2-
proposition d’une alternative au coefficient de ruissellement variable et prise en
considération d’une manière explicite la contribution des surfaces perméables. 3-
introduction de la notion de rétention initiale sur les surfaces perméables et
imperméables dans la méthode rationnelle. 4- proposition d’une démarche
méthodologique d’étalonnage des différents paramètres en jeu.

On analyse la performance de la méthode rationnelle généralisée à travers

plusieurs critères de performance. Les résultats de simulation sont comparés
d’une part aux données de mesure et d’autre part aux résultats fournis par le
modèle du réservoir non linéaire.

2. MÉTHODE RATIONNELLE TRADITIONNELLE

2.1 Les hypothèses de la méthode rationnelle traditionnelle

La méthode rationnelle traditionnelle est basée sur les hypothèses suivantes :

1- l’intensité de la pluie I est constante dans le temps et dans l’espace;

2- toutes les pertes par infiltration, rétention et évaporation sont

ramenées à un coefficient de ruissellement C constant dans le
temps;
3- la surface contributive au ruissellement augmente linéairement en
fonction du temps pour atteindre la superficie totale du bassin A au
temps t = temps de concentration (tc).

2.2 Formulation de la méthode rationnelle

Lors de la conception d’une conduite de drainage pluvial, on choisit une pluie de
projet de période de récurrence T. Afin de faire contribuer simultanément
l’ensemble de la superficie du bassin au ruissellement à l’exutoire, la durée de
cette pluie doit égaler le temps de concentration tc du bassin versant. Dans ce
cas, le débit de pointe Qp (m3/s) à l’exutoire du bassin de drainage est donné par
la formule :
 = (1)

où K: coefficient de conversion (0,0028 en SI)

C: coefficient de ruissellement

I: intensité de la pluie (mm/h)

A: superficie du bassin (hectares)

L’intensité de la pluie I est tirée des courbes intensité - durée - fréquence de la

région sous étude. Cette courbe peut avoir la forme suivante :

= (2)
+

En supposant qu’il y a une relation linéaire entre le temps écoulé depuis le début
de la pluie et la surface contributive cumulative du bassin, l’hydrogramme
correspondant à une pluie de durée tc est donné par la forme (2) de la figure (1).
Lorsque la durée de la pluie est inférieure ou supérieure au temps de
concentration tc l’hydrogramme de débit correspondant est donné respectivement
par la forme (1) ou (3).

Figure 1 : Hydrogramme de ruissellement pour différentes

durées de la pluie
On comprend donc à partir de la figure (1) pourquoi la durée critique de la pluie
qu’on choisit lors de la conception doit égaler le temps de concentration du
bassin. Pour des durées supérieures au temps de concentration, l’intensité de la
pluie diminue comme l’indique l’équation (2) mais la surface contributive ne peut
excéder la surface totale du bassin. Pour des durées de pluie inférieures au
temps de concentration l’intensité augmente mais ne peut pas compenser la
diminution de la surface contributive (Smith et al., 1984). Soulignons au passage
que les cas (2) et (3) pour lesquels les durées de la pluie T2 et T3 sont
respectivement égale et supérieure au temps de concentration sont utilisés
adéquatement en pratique. Le cas (1) pour lequel la durée de la pluie T1 est
inférieure au temps de concentration est souvent mal utilisé. C’est le cas par
exemple, dans la dernière version du logiciel XP-SWMM2000 où on oublie la
présence d’un plateau dans l’hydrogramme entre les instants T1 et Tc.

3. GÉNÉRALISATION DE LA MÉTHODE RATIONNELLE

3.1 Prise en compte de la variation temporelle de l’intensité

L’idée de généraliser la méthode rationnelle à une pluie d’intensité variable
provient de l’allure (1) de l’hydrogramme représenté à la figure 1. En effet, soit
un hyétogramme de pluie représenté par les intensités successives I1,
I2,…Ij,…IN (Figure 2).

Figure 2 : Hyétogramme de pluie

En posant la durée de la pluie t1 égale au pas d’échantillonnage t de
l’hyétogramme de pluie, le débit de pointe correspondant à chacune des
intensités, I1, I2,…Ij,…IN est donné par :

∆
+ ∆ = (3)

En appliquant le principe de superposition, on peut additionner pour chaque

pas de temps les ordonnées des hydrogrammes correspondant à chacune des
intensités et obtenir par convolution l’hydrogramme résultant.

3.2 Prise en compte explicite des surfaces perméables

Une des limitations de la méthode rationnelle provient du fait que le coefficient
de ruissellement C n’est en réalité pas constant en fonction du temps. Il
dépend entre autres de l’état d’humidité du bassin, c’est-à-dire de l’historique
des précipitations antérieures (Chocat, 1997). Ainsi, pour une pluie donnée, le
coefficient de ruissellement qui est initialement faible, augmente au fur et à
mesure que le sol devient saturé (Schaake, 1970). Ainsi, Fair et al., (1971)
propose de prendre en considération un coefficient C dépendant du temps
sous la forme suivante :

= (4)
+
où d, e et f sont des constantes à déterminer.

Bien que la relation (4) ait donné satisfaction dans certaines applications (Fair
et al., 1971) les constantes d, e et f varient toutefois sensiblement d’un
événement à l’autre (Smith et al., 1984).
L’approche préconisée dans le présent travail consiste à considérer le débit de
pointe Qp comme la somme de deux composantes :

= + − [ − ] (5)

où en plus des notations précédentes f représente l’infiltration dans le sol;

Le premier terme de l’équation (5) représente la contribution des surfaces

imperméables directement drainées. Il s’agit principalement de la chaussée et
des toitures reliées directement au réseau d’égout. Le paramètre C représente
donc la fraction du bassin occupée par les surfaces imperméables directement
drainées plutôt que le coefficient de ruissellement utilisée dans la méthode
rationnelle traditionnelle. Il est par conséquent constant et indépendant des
conditions d’humidité du bassin. Le second terme du membre de droite de
l’équation (5) représente la contribution des surfaces perméables et des
surfaces imperméables indirectement drainées. Il s’agit dans le premier cas de
terrains vagues et de surfaces gazonnées et dans le second cas de toitures
drainées vers les surfaces perméables.

Aussi bien sur les surfaces perméables qu’imperméables, il y a seulement une

partie de la pluie tombée sur le bassin qui engendre un ruissellement. Pour les
surfaces perméables, ces pertes peuvent se produire par deux mécanismes
distincts : la rétention en surface dans les irrégularités du sol et l’infiltration
dans les couches profondes. L’intensité d’infiltration f peut être calculée à l’aide
de la méthode de Horton (Bennis, 2003).

−
= ∞ + − ∞ (6)

où fo et f sont les intensités d’infiltration initiale et asymptotique et K une

constante homogène au temps.
3.3 Prise en compte des pertes par dépression
Un autre inconvénient de la méthode rationnelle auquel nous désirons
remédier est la non prise en compte explicite des pertes par dépression dp. Ce
sont les seules pertes qui surviennent sur les surfaces imperméables. Pour les
surfaces perméables, ces pertes, qui sont beaucoup plus modestes que les
pertes par infiltration, s’ajoutent à ces dernières. Ainsi, l’équation (5) devient :

= − + − − − (7)

La valeur typique de la perte cumulative par dépression dp1 est 2 mm alors que
dp2 varie entre 5 et 12 mm (Bennis, 2003). On montrera au moment de
l’étalonnage des modèles que la valeur de dp1 contrôle directement le début du
ruissellement. Soulignons que la perte par dépression doit être exprimée sous
forme d’intensité pour assurer l’homogénéité de l’équation (7).

4. MODÈLE DU RÉSERVOIR NON LINÉAIRE

Le modèle du réservoir non linéaire est très utilisé lorsqu’on fait appel à
l’informatique pour simuler le ruissellement en milieu urbain. C’est pour cette
raison que nous l’utilisons comme modèle de référence pour évaluer la
performance du modèle proposé. Nous avons incorporé le modèle du réservoir
non linéaire dans le logiciel PRÉVAL au même titre qu’il est utilisé dans le
modèle SWMM (Huber et al., 1988). Le ruissellement sur un bassin est
modélisé par un réservoir schématisé par la Figure (3).
 Figure 3 : Schéma du réservoir non linéaire

La méthode du réservoir non linéaire est basée sur le couplage de l’équation

de continuité et de l’équation de Manning. L’équation de continuité s’écrit :
∗
= = − (8)

où : d est la profondeur de l’eau du bassin (m);

A est la surface du bassin (m2);
S = Ad est le volume d’eau disponible dans le bassin à l’instant t
(m3);
T est le temps instantané (s);
I* est l’intensité des précipitations nettes (pluie brute + fonte -
infiltration - évaporation) en m/s.

Le débit de sortie Q (figure 2) est donné par l’équation de Manning écrite sous
la forme suivante :

= − (9)

où : W est la largeur du bassin (paramètre à étalonner);

n est le coefficient de Manning;
dp est la profondeur de stockage dans les dépressions (m);
S0 est la pente du terrain (m/m).
Si le bassin est réellement rectangulaire, la largeur W représente effectivement
la vraie grandeur de cette largeur (Figure 4). Autrement, W devient un
paramètre d’étalonnage pour ajuster les débits simulés aux valeurs mesurées.

W = 2l
Figure 4 : Schématisation du bassin de drainage

En utilisant l’équation de Manning (9) dans l’équation de continuité (8), on

obtient l’équation à résoudre suivante :

= ∗− − (10)

Sous forme de différences finies, l’équation (10) devient :

−
= ∗− + − − (11)
∆

À chaque intervalle de temps, la valeur de d2 est trouvée par la méthode

itérative de Raphson-Newton. Les différentes valeurs successives des
profondeurs d permettent ensuite de calculer les débits correspondant à
l’exutoire du bassin en utilisant l’équation (9).
5. CRITÈRES DE PERFORMANCE

Afin de limiter la subjectivité dans l'

évaluation des résultats fournis par les deux
méthodes, nous avons considéré quatre critères de performance mesurant
l'
écart entre les variables calculées et les variables mesurées.

Le coefficient de Nash est le critère le plus utilisé en hydrologie pour apprécier

la concordance entre les débits mesurés et ceux simulés.

Σ
= − =
=
(12)
Σ=

où : Qmes (i) : débit mesuré à l’instant i (m3/s),

Qcal (i) : débit calculé à l’instant i (m3/s) ,
: débit moyen mesuré (m3/s),

Le rapprochement du coefficient de Nash de l'

unité est un indicateur de la
concordance entre les valeurs simulées et celles mesurées.

Pour faire la conception d’une conduite ou analyser les problèmes de

débordement, il est primordial de connaître le rapport Qmax / Qadmissible. On peut
alors définir un critère de performance en rapport avec le débit de pointe par la
relation suivante :

(13)

Comme pour le coefficient de Nash, le rapprochement de RQp de l'

unité
mesure la concordance entre les débits de pointe mesurés et ceux simulés par
l'
approche préconisée.
Pour concevoir et gérer les ouvrages de stockage il est important de bien
simuler les volumes de ruissellement. Le rapport des volumes simulé et
mesuré est donné par :

Σ ∆
= =
(14)
Σ
=
∆

Le rapprochement de ce rapport de l’unité est particulièrement souhaité lors de

la conception d’une structure de stockage.

Enfin, pour la gestion en temps réel, le synchronisme entre les débits simulés
et les débits réels est d'
une très grande importance. Toutes les stratégies de
dérivation des flux reposent sur les temps de propagation des différents flux
sur les bassins versants et dans le réseau de drainage. On peut donc aussi
définir un critère de performance en relation avec le temps d'
occurrence des
débits de pointe, soit :

∆ ! "# $%! (15)

∆T = 0, indique un synchronisme parfait.

6. PROCÉDURE D’ÉTALONNAGE

On présente une méthodologie d’étalonnage systématique selon trois étapes

séquentielles. Chaque étape vise l’étalonnage de certains paramètres
spécifiques à l’aide d’événements pluviométriques appropriés. Cette procédure
est commune à la méthode rationnelle généralisée et la méthode du réservoir
non linéaire. Il faut signaler que le nouveau coefficient C utilisé dans la
méthode rationnelle généralisée est utilisé directement pour calculer le
pourcentage de la surface imperméable pour le modèle du réservoir non
linéaire (Imp = C Η 100).
6.1 Étalonnage de C, Imp et dp1
L’étalonnage du coefficient C, Imp et de la rétention initiale sur les surfaces
imperméables se fait en premier à l’aide d’un événement pluviométrique de
faible intensité. Idéalement, cet événement pluviométrique survient après une
période de plus de sept jours consécutifs de temps sec. Tant que l’intensité de
la pluie demeure inférieure à l’intensité d’infiltration dans le sol, seules les
surfaces imperméables directement drainées contribuent au ruissellement.

La valeur initiale du coefficient de ruissellement C peut être prise égale à la

fraction des surfaces imperméables du bassin. Normalement, cette valeur sera
révisée à la baisse au cours de l’étalonnage pour ne tenir compte que des
surfaces imperméables directement raccordées au réseau. En absence de
données sur ce paramètre on peut supposer une valeur initiale C = 0,5 (Imp =
50%) dans le processus d’étalonnage. La valeur de la rétention dp1 en mm
peut être estimée dans un premier temps (Mosini et al. 2003) à l’aide de :

dp1 = 2 mm si S 1,5%
dp1 = 0,5 + (3 – S) si 1,5% S 3%
dp1 = 0,5 mm si S > 3%

où S est la pente moyenne du bassin.

En absence de données sur la pente, on peut considérer une valeur initiale par
défaut dp1 = 2 mm lors du processus d’étalonnage.

Après la première simulation du ruissellement à l’aide de l’équation (7) on doit

réajuster la valeur du coefficient C en utilisant le critère de performance. (14) :

En opérant ce réajustement, on ramène systématiquement le rapport des

volumes simulés et mesurés à l’unité (1).

Le second paramètre à réajuster est la valeur de la rétention initiale sur les

surfaces imperméables dp1. Hormis l’évaporation, ce paramètre constitue la
seule perte sur les surfaces imperméables et n’influence pas beaucoup le
volume de ruissellement. La valeur dp1 contrôle plutôt l’instant du début de
ruissellement. La valeur dp1 = 2 mm, supposée initialement, sera ajustée pour
assurer un démarrage du ruissellement en accord avec l’hydrogramme
mesuré. Comme la modification de la valeur de dp1 va débalancer le rapport
des volumes simulé et mesuré obtenu dans l’étape précédente, on doit
réajuster le coefficient C1 à l’aide de l’équation suivante (Sangal et Benema,
1994).
−
= (17)
−

où P est la lame cumulative de la pluie.

6.2 Étalonnage de Tc et W
Plusieurs paramètres contrôlent l’amplitude du débit de pointe et le temps de
montée de l’hydrogramme simulé par la méthode du réservoir non linéaire. Ces
paramètres sont, les coefficients de Manning des surfaces perméables et
imperméables, les pentes du terrain et des conduites et la largeur du bassin.
En pratique, pour réduire l’écart entre les débits simulés et mesurés, on modifie
seulement la largeur W du bassin en considérant que les valeurs supposées
pour les autres paramètres sont proches de leur valeur physique réelle.
L’augmentation de la largeur W du bassin amplifie l’amplitude du débit de
pointe et fait diminuer le temps de transit sur la surface du bassin en réduisant
par le fait même le temps de montée de l’hydrogramme simulé. La diminution
de W produit l’effet inverse.

Pour la méthode rationnelle généralisée, le temps de concentration du bassin

synthétise tous les paramètres qui influencent le temps de montée et le débit
de pointe de l’hydrogramme. La diminution du temps de concentration tc fait
augmenter l’amplitude du débit de pointe simulé et le rend hâtif.
L’augmentation de tc produit l’effet inverse.

La valeur initiale du temps de concentration peut être estimée à l’aide des

multiples formules proposées dans la littérature (Rivard, 1998). Le même
événement pluviométrique que celui utilisé dans l’étape précédente peut être
retenu pour étalonner Tc et W.

6.3 Étalonnage de ƒo, ƒ∞, K et dp2

L’étalonnage des paramètres de la fonction de production se fait à l’aide d’une
pluie dont l’intensité dépasse l’intensité d’infiltration sur les surfaces
perméables. En partant des valeurs initiales de ƒo, ƒ∞ et dp2 affichées dans la
littérature pour le type de sol en présence, ces valeurs seront révisées en
fonction des rapports de volumes simulé et mesuré.

6.4 Validation
Lorsqu’on fait l’étalonnage de modèles, il faut toujours séparer les événements
pluviomètriques disponibles en deux blocs distincts : le premier sert à étalonner
les paramètres du modèle. Le second sert exclusivement à valider le modèle
étalonné. Il est fortement recommandé de faire en sorte que les deux blocs
contiennent des événements de fortes et de faibles intensités.
7. APPLICATION
7.1 Site de l’étude

Notre étude de cas porte sur le système d’assainissement de la ville de

Verdun, nouvel arrondissement de la grande ville de Montréal. Le réseau
d'
égouts combinés de cet arrondissement draine trois bassins
hydrographiques. Ces bassins sont tous tributaires actuellement du fleuve
Saint-Laurent et de l'
intercepteur Sud de la Ville de Montréal.

Le bassin N0 1 faisant l'

objet de notre étude, est limité à l'
est par l'
aqueduc et
l'
usine de filtration de la ville de Montréal. Au nord, ce secteur est délimité par
le territoire de la ville de Montréal, à l’ouest par la 1ière avenue et au sud par le
fleuve Saint-Laurent. Le réseau drainant ce bassin totalise une longueur
d'
environ 10 900 m.

À l'
exutoire, ce bassin versant totalise une superficie de 177 hectares, dont des
surfaces perméables et des surfaces imperméables directement ou
indirectement drainées.

Afin de tester les deux modèles de ruissellement cinq événements

pluviométriques, (Tableau 1) tirés de la campagne de mesure réalisée par
Bennis (2000), ont été considérés, à savoir :

• l'
événement du 30 septembre 1999;
• l’événement du 13 octobre 1999;
• l’événement du 16 août 2000;
• l'
événement du 23 août 2000;
• l’événement du 22 juin 2001.
 & '
& '
& '
& '
& '
Tableau 1 : Caractéristiques des événements pluvieux échantillonnés

Les hydrogrammes générés mesurés à l'

exutoire du réseau lors des cinq
événements ont été départagés en deux blocs : les deux événements du 30
septembre 1999 et du 16 août 2000 ont servi pour l’étalonnage des modèles.
Les trois événements restant ont servi pour la validation des modèles.

7.2 Étalonnage des modèles

7.2.1 Étalonnage du coefficient C et Imp

La première étape consiste à étalonner le coefficient C et la rétention initiale
sur les surfaces imperméables dp1. Afin de franchir cette première étape, on a
retenu l’événement pluviométrique du 30 septembre 1999. Cet événement a
été choisi car l’intensité de la pluie demeure en tout temps inférieure à
l’intensité potentielle d’infiltration. Les valeurs initiales des paramètres qui sont
communes aux deux méthodes sont :

C = 0,5 (Imp = 50%) dp1 = 2 mm S = 1%

En utilisant la formule tc de Kirpich (Bennis, 2003) on obtient une valeur de 37

minutes pour le temps de concentration du bassin. Soulignons qu’on aurait pu
choisir directement une valeur raisonnable quelconque du temps de
concentration sans affecter le cheminement subséquent.
Pour le modèle du réservoir non linéaire il faut fixer aussi la largeur W du
bassin. Plusieurs recherches ont porté sur le calcul de ce paramètre dans les
modélisations globales et détaillées d’un bassin (Kamal et Bennis, 2004).
Comme ce paramètre contrôle plutôt le débit de pointe et son temps
d’occurrence on le fixe dans un premier temps à W = 1500 m.

La figure 5 montre la comparaison des débits simulés par la méthode

rationnelle et par la méthode du réservoir non linéaire aux débits mesurés.

1,8 0

1,6 Précipitation 10

1,4 20
Débit mesuré

Précipitation (mm /h)

30
1,2 Méthode rationnelle
généralisée 40
Débit (m 3/s)

1
Modèle du réservoir 50
0,8 non linéaire
60
0,6
70
0,4 80
0,2 90
0 100
4:00 5:15 6:30 7:45 9:00 10:15 11:30 12:45
Tem ps (h:m n)

Figure 5 : Comparaison entre les débits mesurés et simulés (Essais 1)

Les critères de performance de ce premier essai sont fournis au Tableau 2 :

" ## " ## %&

!
$ # #
( !)*"+ $)"'' , , , ',
( !)*"+ + $! $%" $'"'
, , , '
'! $

Tableau 2 : Critères de performance lors du 1er essai de l’étape 1.

Cette première simulation donne des résultats largement avantageux pour la
méthode rationnelle généralisée. Ceci s’explique par le fait que tous les
paramètres initiaux choisis dans la méthode rationnelle sont proches de leur
valeur réelle, alors que dans une modélisation globale à l’aide de la méthode
du réservoir non linéaire on ne connaît pas a priori la largeur W du bassin.

En ajustant le coefficient C selon la formule (16), on obtient C1 = 0,41 pour la

méthode rationnelle. Ceci correspond à un pourcentage imperméable de 41%
pour le modèle du réservoir non-linéaire. Une nouvelle simulation a été réalisée
avec le coefficient C ajusté. Les nouveaux critères de performance sont
affichés au Tableau 3.

" ## " ## %&

!
# #
( !)*"+ $)"'' '
( !)*"+ + $! $%" $
'
'"' '! $
Tableau 3 : Critères de performance lors du 2e essai de l’étape 1.

La figure 6 montre la comparaison des débits simulés et mesurés lors de ce

deuxième essai dans la première étape.

1,8 0

1,6 10
Précipitation
1,4 20
Précipitation (m m/h)

Débit mesuré
30
1,2
Débit (m 3/s)

Méthode rationnelle 40
1 généralisée
50
0,8 Modèle du réservoir
non linéaire 60
0,6
70
0,4 80
0,2 90
0 100
4:00 5:15 6:30 7:45 9:00 10:15 11:30 12:45
Temps (h:m n)

Figure 6 : Comparaison entre les débits mesurés et simulés (Essais 2)

7.2.2 Étalonnage de la rétention initiale dp1
On constate sur la figure 6 que le ruissellement simulé par les deux méthodes
débute plus tard par rapport aux valeurs mesurées suggérant que la valeur de
la rétention initiale choisie (dp1 = 2 mm) est trop élevée. La figure 7 montre les
résultats de la simulation après la réduction de la valeur de dp1 à 1,1 mm. Afin
de ne pas débalancer le rapport des volumes obtenu précédemment, le
coefficient de ruissellement pour la méthode rationnelle et le pourcentage de
surface imperméable pour le modèle du réservoir non linéaire a été de
nouveau réajusté à l’aide de l’équation (17) pour obtenir respectivement C2 =
0,386 et Imp = 38.6%

1,8 0

1,6 Précipitation 10

1,4 20
Débit mesuré

Précipitation (m m/h)
30
1,2
Débit (m 3/s)

Méthode rationnelle 40
1 généralisée
Modèle du réservoir 50
0,8 non linéaire 60
0,6
70
0,4 80
0,2 90
0 100
4:00 5:15 6:30 7:45 9:00 10:15 11:30 12:45
Temps (h:m n)

Figure 7 : Comparaison entre les débits mesurés et simulés (Essais 3)

7.2.3 Étalonnage de W et Tc
La seconde étape dans le processus d’étalonnage consiste à modifier le temps
de concentration pour la méthode rationnelle et la largeur du bassin pour la
méthode du réservoir non linéaire afin d’ajuster l’amplitude et le temps
d’occurrence du débit de pointe.
Comme le débit de pointe simulé par les deux méthodes est plus faible et
survient plus tard que le débit mesuré, il faut diminuer le temps de
concentration pour la méthode rationnelle et augmenter la largeur du bassin W
pour le modèle du réservoir non linéaire. Le tableau 4 et la figure 8 montrent
les résultats de la simulation quand le temps de concentration a été ramené de
37 à 32 minutes et la largeur du bassin portée de 1330 à 2200 m.

" ## " ## %&

!
# #
( !)*"+ $)"'' ',
( !)*"+ + $! $%" $
'
'"' '! $
Tableau 4 : Critères de performance lors de l’étape 2

1,8 0

1,6 Précipitation 10

1,4 20
Débit mesuré

Précipitation (m m/h)
30
1,2
Débit (m 3/s)

Méthode rationnelle 40
1
généralisée
50
0,8 Modèle du réservoir
non linéaire 60
0,6
70
0,4 80
0,2 90
0 100
4:00 5:15 6:30 7:45 9:00 10:15 11:30 12:45
Tem ps (h:m n)

Figure 8 : Comparaison entre les débits mesurés et simulés

Globalement, les critères de performance obtenus à l’aide des deux modèles

de simulation sont similaires. On remarque cependant que la modification du
temps de concentration a permis de faire coïncider parfaitement les débits
mesurés et simulés à l’aide de la méthode rationnelle généralisée. En
revanche pour la méthode du réservoir non linéaire, l’ajustement de la largeur
du bassin ne nous a pas permis d’avoir un calage aussi précis. Une largeur du
bassin de 4500 m, valeur peu réaliste compte tenu de la forme et de la
superficie du bassin, nous aurait permis d’avoir un rapport des pointes proche
de l’unité mais le synchronisme des pointes serait passé à 15 min. Une
modification de la pente du bassin avec répétition de l’ensemble des phases
d’étalonnage ne permet pas non plus d’obtenir un résultat satisfaisant. On a
donc opté pour une largeur de bassin qui offre un compromis entre le rapport
des débits de pointe et leur synchronisme.

7.2.4 Étalonnage de ƒo, ƒ∞, et K

La troisième étape du processus d’étalonnage consiste à ajuster les
paramètres de la fonction de production ƒo, ƒ∞, K et dp2. L’événement
pluviométrique du 16 août 2000 durant lequel l’intensité des précipitations
dépasse l’infiltration potentielle dans le sol, a été choisi pour cet étalonnage. La
figure 9 montre les résultats de la simulation à l’aide des paramètres obtenus
précédemment et des valeurs initiales par défaut des paramètres d’infiltration
du modèle de Horton :

-" * -∞ * . *
7 0

6 Précipitation
50
Débit mesuré
Précipitation (m m /h)
5
Débit (m 3/s)

Méthode rationnelle 100

4
généralisée
Modèle du réservoir
3
non linéaire 150

2
200
1

0 250
1:25 1:50 2:15 2:40 3:05
Tem ps (h:mn)

Figure 9 : Comparaison entre les débits mesurés et simulés (Essai 1)

Le tableau 5 montre les critères de performance de cette première simulation
dans la troisième étape.

" ## " ## %&

!
# #
( !)*"+ $)"'' ',
( !)*"+ + $! $%" $
'
'"' '! $
Tableau 5 : Critères de performance lors de l’étape 3

Comme on pouvait s’y attendre, la figure 9 et le Tableau 5 montrent clairement

que les débits sont sous-estimés par la surestimation des paramètres
d’infiltration du modèle de Horton. Il convient alors de diminuer la valeur
l’intensité d’infiltration pour augmenter le volume du ruissellement provenant
des surfaces perméables. La figure 10 et le tableau 6 montrent les résultats de
la simulation après ajustement des paramètres d’infiltration à :

ƒo = 85 mm/h ƒ∞ = 25 mm/h et K = 2/h

7 0

6 Précipitation
50
Débit Mesuré
Précipitation (mm /h)
5
Débit (m3/s)

Méthode rationnelle 100

4
généralisée
3 Modèle du réservoir
150
non linéaire
2
200
1

0 250
1:25 1:50 2:15 2:40 3:05
Temps (h/m n)

Figure 10 : Comparaison entre les débits mesurés et simulés (Essai 2)

 " ## " ## %&
!
# #
( !)*"+ $)"'' ',
( !)*"+ + $! $%" $
'
'"' '! $

'( ) * # + , #

Comme pour l’événement de faible intensité, les résultats d’étalonnage avec

cet événement sont encore avantageux pour la méthode rationnelle
généralisée.

7.3 Validation du modèle

La dernière étape à franchir avant d’utiliser le modèle avec confiance est sa

validation. Cette étape consiste à éprouver le modèle calibré et tester ses
capacités à prédire des hydrogrammes de ruissellement qui n’ont pas été
utilisés lors de la période d’étalonnage. Le tableau 7 montre les résultats de la
validation des modèles obtenus précédemment à l’aide de trois évènements
pluviométriques.

Tableau 7 : Critères de performance pour l’étape de validation

À l’exception du synchronisme des pointes pour l’événement du 22 juin 2001,
la méthode rationnelle généralisée donne des résultats comparables sinon
meilleurs que la méthode du réservoir non linéaire pour tous les critères. Elle
s’avère donc meilleure que la méthode du réservoir non linéaire pour simuler le
comportement global d’un bassin de drainage.

8. Conclusion
L’objectif de ce travail était la généralisation de la méthode rationnelle pour
combler ses lacunes et la transformer en véritable modèle de simulation des
débits. La nouvelle formulation prend en considération d’une manière explicite
les contributions des surfaces perméables et imperméables, la variation
temporelle de la pluie et les pertes par infiltration et rétention initiale.

Nous avons proposé une démarche systématique et structurée pour

l’étalonnage en plusieurs étapes des différents paramètres en jeu à l’aide
d’événements pluviométriques ciblés.

Cette méthodologie systématique a fait l’objet d’une application sur le bassin

hydrographique No. 1 de l’Arrondissement de Verdun (Montréal). Les résultats
de cette application ont été très encourageants aussi bien dans les phases
d’étalonnage que de la validation des modèles. Dans la phase d’étalonnage, la
méthode rationnelle généralisée qui ne renferme que des paramètres
physiques faciles à obtenir donne de meilleurs résultats que la méthode du
réservoir non linéaire.

Dans la phase de validation des modèles, la méthode rationnelle généralisée a

permis de prédire les caractéristiques hydrauliques mesurées avec une
précision acceptable rencontrant les exigences recherchées par une gestion en
temps réel des réseaux d’assainissement.
Références bibliographiques

Bennis, S. (2000), Caractérisation des eaux pluviales du secteur 1 de la ville de

Verdun. Rapport technique : École de Technologie Supérieure, ville de Verdun et
BGH Planning.

Bennis, S. (2003), Hydraulique et hydrologie. ISBN 2-9214504604. Coopérative

École de Technologie supérieure, Montréal, Québec. 369 pages.

Caquot, A, (1941). Écoulement des eaux pluviales, Compte rendu de l’Académie des
sciences de Paris du 20 octobre 1941.

Chocat, B, (1977). Encyclopédie de l’hydrologie urbaine et de l’assainissement,

Lavoisier Tec et Dec,. p. 832.

Fair, G.M., J.C. Geyer and D.A. Okun. (1971). Elements of Water Supply and
Wastewater Disposal. 2ed. John Wiley & Sons, Inc. New York. p. 273.

Guo, James C.Y. (2001). Rational Hydrograph Method for Small Urban Watersheds,
Journal of Hydrologic Engineering. July-August pp. 352-356.

Huber, W.C. and R.E. Dickinson. 1988. Storm Water Management Model : User’s
manuel. Version 4. University of Florida. Gainesville, Florida.

Imhoff, K. (1964). Manuel de l’assainissement urbain. Édition Dunod. Paris, France.

405 pages.

Kamal, A. et Bennis, S. (2004). Effet d’échelle sur la simulation du ruissellement en

milieu urbain. Article accepté pour publication dans la revue des sciences de l’eau.

Kuichling, G. (1889). The relation between the rainfall and the discharge of sewers in
populous districts. ASCE transactions. Vol. 120. p. 1-56.
Lloyd-Davies, D.E. (1906). The Elimination of Stormwater from Sewerage Systems,
Proceeding of Institution of Civil Engineers. vol 164. pp. 41-67.

Mosini, M.L., F. Rodriguez et H. Andrieu. (2003). Évaluation du logiciel CANOE sur

une bassin versant nantais. Bulletin des LABOS des Ponts et Chaussées. 243. Mars-
Avril 2003. Réf. 44-68. pp. 31-46.

Mulvaney, T.J. (1851). On the use of self-registering rain and flood gauges in making
observation of the relation of rainfall and floods discharges in a given catchment.
Proceedings of the Civil Engineers of Ireland. 4. pp. 18-31.

Ogden, F.l. and D.R. Dawdy. (2003). Peak discharge scaling in small Hortonian
watersheds. Jour of Hydrologic Engineering. ASCE. Vol. 8, No. 2.

Maclarent, James, F., (1976). “Sormwater management model study”, Proctor et

Redfern Limited., Vol. 1, Septembre 1976, Rapport 47.

Rivard, G. (1998). Gestion des eaux de ruissellement en milieu urbain. Alias

communication design, Québec, Canada. ISBN-9805883-0-x. Page 91.

Sangal, S.K. and R.S. Benema. (1994). “A methodology for calibrating SWMM
Models”. Currents practices in modelling the management of stormwater impacts.
Editer by William James.

Schaake, J.C. (1970). Synthesis of the inlet hydrograph. Tech. Rep. No. 3. Johns
Hopkins Storm Drainage Research Project. Beltimore, Md.

Smith, Alan. A. and Lee Ken-Beck. (1984). The rational method revisited. Can. J. Civ.
Eng. Vol. 11, pp. 854-862.